of 261 /261
  Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz Vise Matematike 20 10 0 -10 -20 25 12.5 0 -12.5 -25 10 5 0 -5 -10 x y z x  y z  by Mate Vijuga

Mate Vijuga - Rijeseni Zadaci Iz Vise Mate Ma Tike

  • Author
    dragan

  • View
    4.161

  • Download
    13

Embed Size (px)

Text of Mate Vijuga - Rijeseni Zadaci Iz Vise Mate Ma Tike

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz Vise Matematike 20 10 0 -10 -202512.50-12.5-251050-5-10xyzxyz by Mate Vijuga Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Sadrzaj1 SADRZAJ 1. Funkcije, Limes, Neprekinutost broj stranica 1.1Brojevi slijed, interval, limes2 1.2Pojam funkcije, graf, vrste funkcija9 1.3Neprekinutost funkcije4 2. Derivacije 2.1Pojam derivacije 6 2.2Pravila za derivaciju 3 2.3Rijeseni zadaci: 2.3.1Deriviranje algebarskih izraza5 2.3.2Tangenta i normala na krivulju5 2.3.3Derivacija implicitno zadane funkcije2 2.3.4Rjesavanje zadataka iz fizike5 2.3.5LHospitalovo pravilo6 3. Teoremi srednje vrijednosti funkcije4 4. Analiza toka funkcije, ekstremi 4.1Osnovni pojmovi 1 4.2Asimptote i polovi funkcije3 4.3Ekstremi i graficki prikaz toka funkcije14 5.Funkcije u parametarskom obliku ipolarnim koordinatama 5.1Funkcije zadane u parametarskom obliku3 5.2Funkcije zadane u polarnom koordinatnom sustavu7 5.3Zakrivljenost krivulja i evoluta5 6. Beskonacni redovi7 7. Neodredjeni integrali7.1Opcenito o integralu i pravilima integriranja3 7.2Neodredjeni integral razlomljene racionalne funkcije12 7.3Neodredjeni integral trigonometrijskih funklcija4 7.4Razni zadaci 7 8. Odredjeni integrali 8.1Opcenito o odredjenim integralima2 8.2Razni zadaci10 9. Nepravi integrali 9.1Opcenito o nepravim integralima1 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Sadrzaj2 9.2Razni zadaci 5 10.Diferencijalne jednadzbe 10.1Opcenito o diferencijalnim jednadzbama 2 10.2Osnovne postavke o diferencijalnim jednadzbama3 10.3Oblici diferencijalnih jednadzbi2 10.4Diferencijalne jednadzbe prvog reda 10.4.1 Diferencijalne jednadzbe sa odvojenim koeficijentima5 10.4.2 Egzaktne diferencijalne jednadzbe 5 10.4.3 Linearne diferencijalne jednadzbe5 10.4.4 Teorija rjesenja3 11.Diferencijalne jednadzbe- Primjena11.1Proracun prirodnog rasta ili pada4 11.2Primjena u fizici8 12.Diferencijalne jednadzbe viseg reda 12.1Homogene diferencijalne jednadzbe sa konstantnim koeficijentima 1 12.2Linearne diferencijalne jednadzbe sa konstantnim koeficijentima2 12.3Linearne dif. jedn. metoda nedefiniranih koefic. 2 12.4Linearne dif. jedn. metoda varijacije parametara3 12.5Primjena linearnih dif.jedn. drugog reda5 13.Laplace-ova transformacija 13.1Opcenito o Laplace transformaciji10 13.2Inverzna Laplace transformacija5 13.3Konvolucija funkcija 3 13.4Primjena Laplace transformacije 13.4.1 Rjesavanje linearnih DJ sa konstantnim koeficijentima 6 13.4.2 Rjesavanje sistema linearnih DJ3 14.Funkcije dviju ili vise promjenjivih 14.1Opcenito o funkcijama dviju promjenjivih 3 14.2Parcijalne derivcije 11 14.3Ekstremne vrijednosti funkcija sa dvije promjenjive 13 14.4Ovojnica porodice funkcija u ravnini 1 15.Vektori u prostoru 15.1Opcenito o vektorima 13 15.2Derivacije u odredjenom smjeru 2 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Funkcije 1 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1, 2, 3..., , 1...koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom tockom. Za svaki broj, za koji vrijedi ,i su granin nxa x b a b+ | | ( )ce intervala i u ovom slucaju je to zatvoren interval, . Ako vrijedi , tada je,otvoreni interval. Interval moze biti otvoren ili zatvoren, zatvoren samo sa lijeve ili samo sa desne strane.Sa b a x b a b < < < ai da svaki brisani okolis tocke A sadrzi clanove slijeda. Znaci, da za svaki po volji mali0 moze se naci clan slijeda, broj, koji nije jednak A ali vrijedi. Za vrlo mali mora biti konac x x A > < ni broj clanova sa vrijednosti. Slijed koji sadrzi sve svoje granicne tocke, zovemo zatvorenim slijedom. Ako za sve brojeve,slijeda, postoji broj gdje vrijedi, slijed je ogranicen sa gornjexx M x M strane a M je gornja granica. Slicno, za, broj je donja granica. Za sve za koje vrijedikazemo da je slijed ogranicen.Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima m x m xm x M barem jednu granicnu tocku. 1 2 3 1 2 31. Imamo slijed koji je nastao od dva slijeda: A i B, oba slijeda su brojiva. Dokazi da je novonastali slijed brojeva takodjer brojiv.... ..Za lijed A vrijedi: Za lijed B vrijedi:1 2 3 ...a a a b b b7 7 7 7.1 2 3 ...Za novonastali slijed mozemo sada imati dva slucaja:7 7 7 7 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Funkcije 2 1 1 2 2 3Clanovi A i B...a) Elementi u A i B su rasliciti:slijed je brojiv.Prirodni brojevi 1 2 3 4 5 ...b) Neki clanovi su jednak a neki se razlikuju. Isti postupak mozemo primijeniti na clanove a b a b a7 7 7 7 7 7koji se razlikuju. Zakljucujemo, slijed je brojiv.Slijed sastavljen od svih clanovaA ili B ili oba, naziva se unija od i i oznacava se sa ili.Slijed sastavljen od jednakih clanova u A ilABA B A B +i B slijeda , naziva se presjek i i oznacava sesa ili.Slijed sastavljen od clanova u A ali ne od clanova u B, naziva se razlika i i oznacava se sa.ABA B A BABA B AB = 2. Dokazi da je slijed racionalnih brojeva izmedju 0 i ukljucivsi 1, brojiv.Predstavimo brojeve slijeda u obliku razlomaka i pridruzimo jedan prema jedan, prirodne brojeve:Racionalni brojevi:Prirodnibr1 1 20 1 ...2 3 3ojevi : 1 2 3 4 5 ...Vidimo da je slijed brojiv izmedju 0 i ukljucivsi jedan jer mozemo pridruziti prorodne brojeve7 7 7 7 7 7 | || |1 2 33. Dokazi da slijed realnih brojeva u zatvorenom intervalu0,1nije brojiv.Svaki realni broj u0,1moze se prikazati sa decimalnim znamenkama oblika. ...gdje je sa a osnacena bilo koja znamenka a a a| |11 12 13 21 22 23 31 32 330,1,2,3,...9. Na primjer broj 0.653 mozemo napisati kao 0.6530000... i to je isto kao i 0.6529999.... Ako su realni brojevi u0,1brojevi,mozemo napisati 0. 0. 0. .znani odnos:a a a a a a a a a| |1 2 3 1 11 2 22 3 33..1 2 3 ...Napravimo novi broj0. tako da vrijedi , , . Taj novi broj u 0,1 je razlicit i ne mozemo pridruziti prirodne brojeve kao gore. Znaci da je slijed nebrojiv.b b b b a b a b a 7 7 7 7 1 1 14. Dokazi da slijed brojeva 1, , , ,... ima granicu. Utvrdi koja je najniza gornja granica i 2 3 4najvisa donja granica. Dokazi da je 0 granica (limes) slijeda. Utvrdi da li je slijed zatvoren. Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Funkcije 3 3Slijed ima granicu, jer je svaki clan manji od na pr. i veci od na pr. 1. Slijed je orgranicen.2Slijed nema veceg clana od 1 i ima barem jedan clan koji je veci od 1 , za svaki pozitivni broj.Z naci da je 1 najniza gornja granicna vrijednost slijeda.Slicno,nema manjeg broja od 0 i ima barem jedan clan koji ima vrijednost 0 , za svaki pozitivnZnaci da je 0 najvisa donja granicna vrijed +nost slijeda.Uzmemo bilo koji clan slijeda. Moze se uvijek naci takavda vrijedi 0za svaki pozitivni broj, a to snaci da je 0 granica odnosno limes zadanog slijeda.Slijed nije zatvoren jx x x < er 0 nije clan slijeda.< 1.2 Pojam funkcije, graf funkcije, vrste funkcija Funkcija je pojam kojim je definiran odnos dva slijeda brojeva ili opcenito odnos dviju velicina. Ako svakoj vrijednosti jedne velicine, zvane nezavisna promjenjiva, druga velicina poprima jednu ilix( ) ( ) ( ) ( )vise vrijednosti, tada je odnos funkcionalni i ta druga velicina je funkcija ili zavisna promjenjiva obicno oznacena sa ili. Odnos se pise u obliku, , ,i tome slicno.Vrijednosti koje ny f x y f x y G x F x y = =| | ( )ezavisna promjenjiva ili argument moze poprimiti naziva se podrucje definiranosti ili domena funkcije. Oznacava se sa na pr.a,bzatvoreni interval ilia,botvoreni interval.Graf funkcije je slikovix( )( )ti prikaz odnosa u obicno, pravokutnom koordinatnom sustavu u obliku krivulje koja spaja parove tocaka i .Jednoznacna funkcija je ona funkcija, koja za jednu vrijednost argumenta poprima sy f xx f xx=amo jednu vrijednost. y1 2Viseznacna funkcija je ona funkcija, koja za jednu vrijednost argumenta poprima vise vrijednosti za.Monotono rastuca funkcija u nekom intervalu, je ona funkcija koja za dvije vrijednosti iunxyx x ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 21 2 1 2utar intervala iima. Za,funkcija je strikno rastuca.Monotono padajuca funkcija u nekom intervalu, je ona funkcija koja za dvije vrijednosti iunutar intervala ix x f x f x f x f xx x x x < ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2ima f f . Za,funkcija je strikno padajuca.x x f x f x > ( ) Ako postoji takav broj da jeza svakounutar intervala, tada je slijed brojeva ogranicen sa gornje strane i tocka je gornja granica funkcije. M f x M xM ( ) Ako postoji takav broj da jeza svakounutar intervala, tada je slijed brojevam f x m x Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Funkcije 4 ( )( )( )( )( )( )22 221 1ogranicen sa donje strane i tocka je donja granica funkcije. 5. Primjer jednoznacne funkcije u intervalu1 1:Domena je u intervalu1 1 1 1, 1 1Svakoj vrijednosti za imy f x x xx y f x x f fx= = = = = = = =( ) | |( )( )( )( )( )( )( )22 221 120mamo jednu vrijednost za. 6. Primjer dvoznacne funkcije1uintervalu1,1 :1 1 1 0, 1 1 0Dalje imamo:1 0 1Svakoj vrijednosti za imamo dvije vrijednost za. yy f x xy f x x f fyx y= = = = = = == == = ( )( )( )( )2 2 21 1Zadani primjer je kruznica sa sredistem u ishodistu radijusa 1: 1 17. Primjer granice funkcije: Funkcija3 u intervalu1 1 ima slijedece vrijednosti:3 1 3 2 1 3 4Funkcijx y y xy x xy x y y+ = = = + = + = + = = + =( ) 0a ima gornju granicu 4 i donju granicu 2.18. Primjer granice funkcije: Funkcija u intervalu 0 4 ima slijedece vrijednosti:1 1Za dovoljno mali funkcija porima veliku vrijednost, nije ogra0y xxy y xx= < kada je. Znaci da za : imamo 9 9 9 9 5 9 5 9 Funkcija je striktno padajuca.f x f x x x x xx x x x x x< < > > + > + Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Funkcije 6 ( ) ( )( ) ( )( )( )( )1 2222 22) Iz>zakljucujemmo, funkcija je ujedno i monotono padajuca.3) Rijesimo5 9po: 5 9 5 910 25 9 10 16 2 8Inverzna funkcija funkcije5 9je jednoznacna.f x f xy f x x x y x yy y x x y y x y yf x x= = + = = + = = + = = + x ( )( )1sin , 012. Zadana je funkcija. Konstruiraj graf funkcije.0, 01 1 1Analizirajmo izrazsin : 0 kada jesin 0 1, 2, 3,...1 1 1odnosno, kada je, , ...Graf je omedjen sa dva pra2 3x xy f x xxx y f x k kx x xx >= = == = = = == vca, i. y x y x = = ( )1 21 2 1 00 1 2Slijedece vrste funkcija se cesto susrecu:1. Cijela racionalna funkcija ili funkcija polinoma...Koeficijenti, , ...su konstante a je stupanj polinoma.Za0 fun n nn n nnP x a x a x a x a x aa a a a nn = + + + + += ( )( )0 01 1 0nkcija ima oblik i graf je pravac paralelan sa osi.Za1 funkcija ima oblik i graf predstavlja pravac. P x a xn Px a x a== = + Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Funkcije 7 ( )( )1 022 2 1 03 23 3 2 1 0koeficijenttan koeficijent smjera,odsjecak pravca na osi.Za2 funkcija ima oblikgraf je kvadratna funkcija.Za3 funkcija ima oblik grafje kubna funya axn P x a x a x an Px a x a x a x a = = = = + += = + + +( )( )( )y( )kcija.2. Razlomljena racionalna funkcijaU brojniku i nazivniku su polinomi ogovarajuceg stupnja.Nultocke razlomljene racionalne funkcije su tocke u kojima0Polovi razlomljene racionalne funnmP xR xQ xR x==( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 21 2 1 020kcije su tocke u kojima poprima beskonacnuvrijednost.3. Algebarska funkcija ima oblik ... 0Koeficijenti...su polinomi od. Primjer su, 24. Transceden nn nnR xp x y p x y p x y p x y p xp x p x x y x y px + + + += =1 1ntne funkcije: su sve ostale funkcije koje ne spadaju u gornje grupea) Trigonometrijske funkcije, su oblika: sin , tanb) Inverzne Trigonometrijske funkcije, su oblika: sin , tanc) Hiperbolne funy x y xy x y x = == ==( )1 1kcije, su oblika: sinh , tanh2d) Inverzne Hiperbolne funkcije, su oblika: sinh , tanhe) Eksponencijalne funkcije, su oblika:Funkcija je inverzna logaritamskoj funkciji.fx x x xx xxe e e ex xe ey x y xy f x a = =+= == =( ) ) Logaritamske funkcije, su oblika: logFunkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji.ay f x x = = ( ) ( )00 0Granicna vrijednost funkcije je vrijednost L; lim :kada nezavisna promjenjiva,teziprema vriednosti,;kada za neki mali brojmozemo naci pozitivni broj (koji je obicno ox xf x f x Lx x x x =( )( )00visan o)tako da je ,kada je 0Drukcije receno: Apsolutna vrijednost razlike moze se napraviti po volji malom akoizaberemo vrijednost za dovoljno blizu vrijednosti.Nezavisna prof x Lx xf x Lx x ( ) ( )01 2 1 2rijednosti itog intervala vrijedi:kada jex xf x f x x x < < ( )( ) ( )00 0 00 00 0 0 0031. Ispitaj neprekinutost funkcije:sin za bilo koji.Postavimo uvjete prema definiciji:sin sin 2sin cos 2 sin cos2 2 2 2sin cos 1 sin sin 2 1ili2 2 2 2siy f x x x xx x x x x x x xf x f x x xx x x x x x x xx x= = = + + = = = + < = =+ > = ` < ) > = `+ < ) Derivacije 8 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( )( )1Deriviranje inverzne funkcije:Ako je funkcija neprekinuta ua,btada su funkcijske vrijedosti (range) konacne i funkcija je rastuca ili padajuca. Inverzna funkcija promatrane funkcije je takodf xf x( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )()( )' 10 0' '1 10 0 0 0 0 0' '0 01jer neprekinuta.Ako jederivabilna i0, tada jederivabilna za1 1 ii1Deriviranje implicitno zadane funkcije:Funkcija, 0 oznf x f x fy f x f y y f x f yf x f xdxx f ydydydxF x y = = = == ==( )( )acava implicitnu funkciju od. Domena te funkcije sadrzi vrijednosti za, za koje postoji jedinstveni, tako da je, 0Implicitno zadana funkcija se derivira kao slozena funkcija xx y F x yy y x== 2.3 Rijeseni zadaci 2.3.1 Deriviranje algebarkih izraza ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )2 32 32 3 3 2' 2 3 3 22 3 1 3 2 1' 2 3 3 3 2 22 2 3' 2 3 2 3 22 2' 2 3 3 3'15. Deriviraj (diferenciraj) izraz:4 2 14 2 1 2 1 44 3 2 1 2 2 1 2 43 4 2 1 6 2 2 1 4 22 4 2 1 9 2 1 2 2 12y x xd dy x x x xdx dxd dy x x x x x xdx dxy x x x x x xy x x x x x x xy = + = + + += + + += + + + (= + + ( =( )( ) ( )22 3 34 2 1 12 36 2Radi lakseg razumijevanja kasnijeg tumacenja toka funkcije, ovdje je dan graf zadane funkcije i njene derivacije.x x x x x + + Derivacije 9 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )22222 2 22'2 22 21 1'1 12 2 2 02 22 2 32 2'2 1 3222 2 23 3 3'3 32 2 2 216. Deriviraj (diferenciraj) izraz: 4444 414 2 4 24 2 4 424448 2 84 4xyxd xdxx x xxdx dxyx xx x x x xx x x x xyxxxx x x x xyx x= = = + = = + = = 2= ( )( )( )( )( )23 222 22 2'22117. Derivirajako je211 11 11uy u xud u d uu udy dy du dydx dxydx du dx duu= = ++ ++ = = =+ Derivacije 10 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )3 22 23 32 2 22 2 22232 2232 2 22 221 2 2 12 2 2 2 41 1 11 2 22 23 33 24 2 831 3 1d xu u u udy u u u u udu dxu u udy x xx xdu uxdy du u x xdu dx uu u u++ + += = = =+ + += + = =+= =+ + ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )221 1 1' 22 2 21222 2 2'1 1 1 12 2 2 218. Deriviraj2 214 2 1 2 2 4 2224 2 8 58 4 8 52 2 2 2y x xdy xy x x x x x xdxxx x x x xx x x x xyx x x x= = = + = = = = = ( ) ( )( ) ( )3 21 3 2123 1 31 22' 23 32 2119. Deriviraj 3513351 1 53 6 53 2y xxd xd xd xxy xdx dx dx = | | || | \ .= = = |\ .5 x x Derivacije 11 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( )( )22' 2333 3 4 3'35 2 5 22 3 529 2 5 592 52 19 2 5dy x xy x x xdxx x x xxxdyydxx x x= = + = + = += = +5 ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )12' '2 2''2 2 2 2120. Derivirajako je 1121 11 11 11 1121 12 2 21 1 1 2 11uy u xud xdy dy du dudx du dx dx dxxd u d uu uu u u udyx xduu uu u udy u dy xdu dxu u u x ux x= =+= = = ++ + = =+ +| | |+ +\ .= = = = =+ + + ++21 ( ) ( )( )( )( )( )2 21222122221. Deriviraj po t:4 2 1 za 22 4 2 2 2 2 12 2 2 4 2Za 2 2 2 1 52 12 1y x x x t tdy dxx x t tdx dtx t txdy dy dxt xdt dx dttt= = + == = = + = = = = = + =++ Derivacije 12 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )( ) ( )24 2 5 24 2 5 4 25 2 5 2 555 52 2 1dydt= = =+ ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )222222. Deriviraj kompoziciju funkcija zadanih u obliku:; 1 i pokazi razliku u rezultatu u ovisnosti o redosljedu deriviranja.1 2 12Derivacijase razlikuje odf x x g x xf g x f g x f x x xg f x g f x g x xf g x= = += = + = + += = =

( )( ) derivacijeg f x ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )222 22'23. Deriviraj kompoziciju funkcija zadanih u obliku: 3; 2 1 Prvi nacin: Izrazi funkcije implicitno i deriviraj:2 1 2 1 3 4 4 1 3 4 4 44 4 48 4 Drugi nacin: Nazovimf x x g x xy f g x f x x x x x xd x xy xdx= + = += = + = + + = + + + = + ++ += = + ( ) ( ) ( )( )( )()( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2''' 'ovanjskom funkcijom aunutrnjom funkcijom:3Derivirajmo vanjsku funkciju: 22 1Derivirajmo unutarnju funkciju: g x 2Derivacija kompozicije je:2 2 4 4 2 1 8xf g x g xd xf x xdxd xdxD f g x f g x g x g x g x x x+= =+= == = = = + = + 4 ( ) ()12 124. Odredi inverznu funkciju i derivaciju, funkcije.22 1inverzna funkcija je: 2xyxxy f x x f yx=+= = =+ Derivacije 13 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike () ( ) ( )() ( )( ) ( )( )( )() ( )( )1'12'1222 12 2 1 2 2 122 2 2 1 12 1 2 12 225225. Derivirajcosh ako je 3 1Koristeci formulu za derivaciju funkcije cosh i slozene funyx f y x y y y x xyx xx dx d xy f yx dy dy xxdxf ydyxy u u x x= = + = = ++ + + + | |= = = = | \ . == = +( ) ( )( ) ( ) ( )22kcije, imamo:3 1coshsinh 2 3 2 3 sinh 3 1d x xd udy dy duu x x x xdx du dx du dx += = = = + 2.3.2 Tangenta i normala na krivulju ( )( )2'221 226. Odredi koeficijent smjera tangente na krivulju4 u tocki gdje krivulja sjeceos.1 14 2 42 4Presjecista su za0 : 4 0 4 0 0; 4Trazene tocke su(0, 0) i(0x y y ydx dyy y ydxdy dx ydyx y y y y y yA B= = = = == = = = =( )( )'' '' ', 4). Koeficijent smjera tangente jednak je:1 1 1T:2 4 2 0 4 4 41 1 1T: 42 4 2 4 4 4 4A A AAB B BBydy xy y y y x x ydx ydy xy y y y x x ydx y= = = = = = = = = = = = + ( ) ( )3 2'27. Izracunaj jednadzbu tangente i normale na 2 4,u tocki T 2,4 .Koeficijent smjera tangente jednak je: y f x x xy= = + Derivacije 14 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( ) ( )( ) ( )2' ' 2 '(2)''3 2i za tocku T: 3 2 2 2 4Jednadzba tangente kroz tocku T i koeficijentom smjera :4 4 2 4 4Normala je pravac okomit na tangentu u tocki T, pa je koeficijent smjeT Ty f x x x yyy y y x x y x T y x= = = = = = = ( ) ( )'ra1 1 1normale:.Normala ima jednadzbu:41 14 24 4NTT N Tkk yy y k x x y x N y x= = = = = = +92 ( ) ( )( )28. Izracunaj jednadzbu tangente i normale na krivulju3sin 2 1u tocki nultockama, ( 0).Nultocke funkcije su u: sin 2 1 0 2 1 0,1 1Za2 1 0 Koordinata diralista je A( ,0)2 21Za2 12y f x xyx xx xx x= = = = = = =+ = =( ) ( ) ( )'' ''TA ( )'TB ( )1Koordinata diralista je B( ,0) 2Koeficijent smjera tangente jednak je:3cos 2 1 2 6cos 2 1 i za zadane tocke:1 1: 6cos 2 1 6cos 0 662 61: 6cos 2 12A TA NATAByy f x x xk y k kkk y+= = = | |= = = = = = |\ .+= 11 16cos 66 6TB NBTBk kk| | = = = = = |\ . ( )( ) ( )''Jednadzba tangente kroz tocke A i B:10 6 6 3210 6 6 3 12A AB By y y x x y x T y xy y y x x y x T y x| | = = = |\ .+ | | = = = + |\ . Pripadajuce normale imaju koeficijente smjera i jednadzbe: Derivacije 15 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )1 1 1 106 2 6 121 1 106 2 6 1A NA AA NB By y k x x y x N y xy y k x x y x N y x | | = = = + |\ .+ + | | = = = |\ .12 2 2' ' '229. Izracunaj jedn. tangente koja ima koeficijent smjera, na elipsu 4 9 40.98 4 2Koeficijent smjera:8 18 0 :18 9 94 2Koordinate diralista su:29 9Diraliste je na elipsT Tk xx xy x yy y ky yxy xy= + = + = = = = = =( )y( ) ( )( ) ( )22 2 2 2 221,2 1,21 1 1 12 2 2 2i: 4 9 40 4 9 2 40 4 36 401 1 22 2Tgta. T : 2 19 92 2Tgta. T : 2 19 9T T T T T TT T TT TT Tx y x x x xx x yy y x x y x T y xy y x x y x T y x+ = + = + == = = | | | | = = = + ||\ . \ .| | | | = + = + = ||\ . \ .2 209 92 209 9 ( )( )2 22 2 ' 'x' '30. Izracunaj jednadzbu tangente i normale na krivulju3 5 u tocki A(1,1).Diferencirajmo: D 3 52 3 3 2 02 23 2 2 23 2x xy yx xy y x y xy yyx yy x y x y y kx y+ + =+ + = + + + = + = = + Derivacije 16 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( ) ( ) ( )( ) ( )''2 1 2 1 1Koeficijent smjera :1 13 1 2 1Tangenta T : 1 1 1 2Normala N: 1 1 1T N ATA A AA N Ay k kky y y x x y x T y xy y k x x y x N y x = = = = =+ = = = + = = = ( )( ) ( )22 21 1 1 2 2 2'31. Izracunaj jednadzbu tangente koja prolazi tockom A(4,5) i tangira krivulju9.Tocke diralista su D , 9 D , 9 .Koeficijenti smjera:2, koji zadovoljavaju jednadzbe tangenta kroz tof x xx x x xy x= ++ += ( )( )( ) ( )( ) ( )2' 221,2 1 2' ' '1 2'1 1 1'2 2cku A 4,5 :9 52 2 9 5 2 4 8448.472136; 0.47213622 16.944; 0.944Tgta T : 5 16.944 4 16.944 62.776Tgta T :AAA AAxy yy x x x x x x xx x xb b acx x xay x y yy y y x x y x T y xy y y x x+ = = = + = = = = = = = = = = = = ( ) ( )24 025 0.944 4 0.944 8.776Ay x T y = = + ( ) ( ) ( )2 22 2 ' ' 'x'32. Izracunaj jednadzbu vertikalne i horizontalne tangente na krivulju 27.Koeficijent smjera tangenta dobijemo derivirajuci implicitno funkciju:D 27 2 2 0 2 22x xy yx xy y x y xy yy y y x x yy xy + = + = = + + = = +=2y x Derivacije 17 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( )' '22 2 22 2 2 21,2 1,22Horizontalna tangenta ima koeficijent smjera:0 : 0 2 022 ; uvrstimo u jednadzbu:27 2 2 272 4 27 3 9 3 6Diralista horizontalnih tangenti su u tockay xy y y xy xy x x xy y x x x xx x x x x y= = = == + = + + = = = = ( ) ( )=( ) ( )1 2''22 2 2ma:3, 6 ; 3, 6Vertikalna tangenta je okomica na horizontalnu tangentu i ima koeficijent smjera; 2nazivnik :0 :220 2 0 2 ; uvrstimo u jednadzbu:22 2 27 4 2 27H Hy xyy xy xy y x x yy xy y y y y yy y = == = = = + = + =( ) ( )221,2 1,21 23 279 3 6Diralista horizontalnih tangenti su u tockama: 6, 3 ; 6, 3yy y xV V== = = ( )( )2 2'2 '1 1 12233. Izracunaj kut pod kojim se sjeku zadane krivulje, ako je jedno presjeciste u tocki A 1,2 :4 i2 12 5Koeficijent smjera tangenti jednak je:4 2 2 24 2 4 12 22 1xAxy x x yyk D y x yy k ky y yk D x= = = = = = = = = = =( )'2 21 21 24 4 4 1 42 5 2 55 5 5 5441155Tangente se sjeku pod kutem: tan 94 4 11 1 15 5tan9 83.659Ax xy x y k kk kk karc = = = = = = | | + |\ .= = = =+ | | + |\ .= = Derivacije 18 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 34. Viseci most je pricvrscen na stupovima udaljenih 250m. Most je u obliku parabole, sa najnizom tockom 50m ispod visine ovjesenja. Izracunaj kut izmedju lancanice mosta i stupa (nosaca).Parabola ima 2222''250oblik:izracunajmo koeficijent: 50;2250 50 2 250 Jednadzba parabole je tada: 2 625 625 1252 4U tocki ovjesenja koeficijent smjera tangente lancanice je:2625 615412615AAy kx k y xk k y xy x xy= = =| |= = = = |\ .= ==( ) ( )''5 0.8 Trazeni kut iznosi: arctan arctan 0.8 38.65990 90 38.659 51.34 Jednadzba tangente u tocki A:50 0.8 125 0.8 50AA Ayy y y x x y x y x = = = = = = = = = = 2.3.3 Derivacija implicitno zadane funkcije ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 22 ' 3 '2 41 341 2 33' 2 3' '235. Deriviraj3 5353 1 6 163 63xy x xyd xy d xd xy ddyx y y y x xy ydx dx dx dx dxdy y x y yy xy x y x y ydx xy x = + = + = + = + + + = = =_ __ _ _0 Derivacije 19 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( ) ( )( )' '311 2 3 2''36. Derivirajln cos 2ln cos 2ln 2sin 2ln 2sin 22sin 22 sin 2lnxyxyxy xyxy xyxyxye y x xd edy x d xdy ye xy e y y xdx dx dx dx xdy yy e x x x e ydx xyx e ydy x xxydx x e x x+ = + = = + + + = + = + + = = = +___ _ _ _x( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 2 22 2 2 251 2 3 42 ' 2 ' '341 22 2' 2 2 '2ln37. Deriviraj002 2 2 2 02 22 2 2 2 02xyxyx y xyex e x xx y xy x yd x y d xy d x dyddydx dx dx dx dx dxdyx y xy y xyy x yydxdy dy y xy xy x xy y xy y x ydx dx x+ ++ + + = + + = + + + = = + + + = = =_ _ _ __ _2 xy y + ( )( ) ()22 1'238. Izracunaj inverznu funkciju i njenu derivaciju za,0.,0 zamijenimo promjenjive: 1 1 22 po definiciji 2239. Izracunaj izraza1 y f x x xy f x x x x f y x ydy dxy xdydx dy xydxdyx y ydxdydxdy= = >= = > = == = = = == =( )( )( ) ( ) ( )1222 1 2 12 22 2 21111 2 12yd ydyy y y ydy dy dy= = + 1 y ( ) ( )( )( )( )( )( )1 12 22 2 1 1 1 22 2 2 22 2 21 12 22 2212211 1 11 11 21y ydx yy y y ydyy ydx ydyy+ + = + = + = == Derivacije 20 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )( )( ) ()122 22 2 21221'211 1 1Trazena derivacija 1 2 1 2 1 21140. Izracunaj inverznu funkciju i njenu derivaciju za 1 1zamijenimo promjenjive: 1po definiciji yy dydxdx y y ydyyy f xxy f x x f y xx ydy dxydx x= = = = = == = = == = 22221 1 11xdydy y ydxx| |= = = = = || |\ . |\ .1 ( ) ( )( ) ( )2 32 3' 2 2 '' '2 2 2 2' ' 2 2 '222'241.Izracunaj prvu i drugu derivaciju izraza2 u tocki(1,1).0 2 3 02 2 1 1u tocki A(1,1)2 3 1 3 12 32 2Ax y y Ad x y dydyxy y x y ydx dx dxdy xyy ydx x ydy d xy y x y yd ydx dx dxd yy xydx+ = + = + + = = = = = + ++ += == +1( ) ( )' 2 " ' ' 2 "22 2 2 2 2 ' ' '"2 2 2 2 2' "2 6 3 02 22 4 63 3 2 4 63 31 3Trazena derivacija u tocki A(1,1), uz iznosi:2 8Axy x y yy y y yxy xyy x yx y x y d y y xy yy yydx x y x yy y+ + + + =| | | |+ + ||+ + + +\ . \ .= = =+ += = ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2' ' '' ' '2' ' " ' ' "22 ' '2" '242. Izracunaj prvu i drugu derivaciju izraza320 2 2 022 2 02 2 22 2 2zamijenimosa 2x xy yd x d yd xydy x yx y xy yy ydx dx dx dx x ydy d x y xy yyd yy y xy y y yydx dx dxd y y yy yy x dx + = + + = = = == = + + = = =ranijim rjesenjem:0 Derivacije 21 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )( )( )( )( )( )( )22 2' '2" "3"2"2 22 2 262 2 2 2 22 22Drugu derivaciju smo mogli izracunati deriviranjem prve derivacije:22 22 2222 2x y x yx xy yx y x y y yy yy x y xx yx yd x y d x ydx y x yx ydx dxydxx yx y yy| | | | || + \ . \ .= = = = | | | \ .= = =( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )' '2' ' ' ' '"2 22 2"2 22 1 222 4 2 2 4 2 3 32 223 363 2 3 2 22 2 2x y yx yx xy y yy x xy y yy xy yyx y x yx yx yx xy yx x y y x y x yyx y x y x y + + + = = | | | + \ .= = = 3 2.3.4 Deriviranje u rjesavanju zadataka iz fizike 3123' 2143. Tocka putuje po krivulji3 5,gdje je3.2Izracunaj brzinu promjene vrijednosti, za 4. Vrijednost t je vrijeme.Trazi se derivacija za4: 3 5 323y x x x ty tty t y u u udy dy du dyy udx du dx du= + = +== = + = += = =( )( )( )( )122' 22'41 11243 113 1i za4.4 413 4 3 123 16 1458 84 4dutdxtudy duy u tdu dxt ty = == = = = (| |+ ( |\ . ( = = = | |4 3 244. Sila prenesena na bregastu osovinu dana je sa:12 46 60 25gdje je sa oznacena udaljenost od sredista vrtnje (1 5). Izracunaj brzinu promjene sile u zavisnosti o, kada je4cm.F x x x x Nx xx x= + + + = Derivacije 22 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( ) ( ) ( )4 3 23 23 2 '412 46 60 25Trazimo za4 :4 36 92 60 4 4 36 4 92 4 60 12d x x x xdF dFxdx dx dxdF Nx x x ydx m+ + += = (= + + = + + = ( ( )( )( )( )( )( ) ( )2 3' 2 2' 2'045. Tocka putuje po krivulji2i 2 6 . Izracunajza0 i5.16 6 6 1 2 22 116 1 3 1i za zadane vrijednosto t:2 13 1 3 0 1dyx t t y t t t tdxdy dy dt dy dt dxy t t tdx dt dx dt dx dt tdy dty t tdt dx ty t= + = = == = = = = + =+= = = += = = ( ) ( )( )'522' ''3 3 1 3 5 1 1246. Dva otpornika sa otporom i2 su spojena paralelno. Kombinirani otpor i otpor su u odnosu2 2 2 . Izracunaj.2 2 22 2 2 2 22 2 22y tr r RdRr r rR R rdrd r rR R rdRr R rR Rdr drdR r RRdr = = =+= + = + = = + + + += =( )( )1 20.4122 112 2 2 247. Faktor iskoristenja motora sa unutarnjim sagorjevanjem dan je sa jednadzbom1100 1 gdje su i minimalni i maksimalni volumen cilindra.Izracunar Rr Rr r rV VVV+ + = =+ + +| | | |= || | | | |\ . \ .( )1 20.410.4 1 1.421 11 1 1 2 2 2 21.4 1.41 11.4 0.41 2 2 2j faktor iskoristenja za uz predpostavku da jekonstantan.1100100 1 400 100 0.44040V VdVVV V d ddV dV dV V V V VV V ddV V V V | | | | || | | | || | | |\ . \ .= = = ||\ . \ .= = =0.421.4140VV Derivacije 23 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )33222222148. Putanja tijela koje putuje dano je sa2 . Izracunaj brzinu i ubrzanje nakon2vremena2s.123 3 2Brzina je2 2 2 6 2 42 2322Ubrzanje je ts f t t ttd t tds mv t vdt dt sd td s dvadt dt== = =| | | ( \ .= = = = = = ( = = =2232 3 3 3 2 62tmt t a tdt s=| | | ( \ . = = = = = ( ( )3 249. Putanja cestice koja se krece po pravcu dano je sa6 9 4.a) Izracunaj put i ubrzanje kada je brzina0.b) Izracunaj put i brzinu kada je ubrzanje0.c) Izracunaj kada put rastes f t t t ts vs v as= = + +==( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 223 23 213 23 22d) Izracunaj kada brzina raste.e) Kada se smjer kretanja mijenja? 6 9 4a) Ako je0: 0 3 12 9 03 6 9 4 3 6 3 9 3 4 41 6 9 4 1 6 1 9 1 4 8 Ubrzanje iznosi vd t t tdsv t tdt dtt s t t t mt s t t t m + += = = + == = + + = + + === + + = + + =( )( ) ( ) ( )23 12 23 23 2223 12 96 12 i za dano t imamo:6 12 6 3 12 6 6 12 6 1 12 6) Ubrzanje je nula za6 12 0 2Put iznosi:6 9 4 2 6 2 9 2 4 6Brzina iznosi: 3t tttd t tdva tdt dtm ma t a ts sb a t ts t t tv t= === += = = ((= = = = = = (( = = == + + = + + == ( ) ( )22212 9 3 2 12 2 9 3) Put raste kada brzina raste0 : 3 12 9 0 1 i3) Brzina raste kada je ubrzanje0: 6 12 0 2e) Smjer kretanja se mijenja u trenutku1 i3, kada je brzina0 i ubrtc v t t t td a t tt t v + = + = > + > < >> > >= = = zanje0.Iz prilozenog grafickog prikaza lijepo se mogu vidjeti svi uvjeti i rjesenja zadatka.a Derivacije 24 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )-4 5 2-4 5 2'50. Savijanje celicnog nosaca dano je jednadzbom10 25 gdje je sa oznacena udaljenost od oslonca. Izracunaj drugu derivaciju (promjenu koeficijeta smjera tangente) za3.10 25y x x xxd x xdyydx= =

= =( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )-4 5 -4 2-4 4-4 4 -4 4 -42" -4 323" -4 3 -43310 10 2510 5 5010 5 50 10 5 10 5010 20 50110 20 50 10 20 3 50 0.049xxd x d xx xdx dx dxd x x d x d xd yy xdx dx dx dxy xm==( = = ( = = = = (= = = ( 3 251. Putanja cestice koja se krece vodoravno dano je sa9 24 .a) Izracunaj kada put raste a kada pada.b) Izracunaj kada brzina raste a kada pada.c) Izracunaj put koje cestica predje u prvihs t t tsvs= +( )( )( )3 2221,2 1 2 5 sekundi kretanja.9 24a) Izracunajmo brzinu: 3 18 24 18 18 4 3 240 zat 2 4 ili drukcije2 3 3 1 4 Put raste za02, 4 vidi graf!Put pada za0 2 4 vidi gd t t tdsv tdt dtv t tv t t v t tv t += = = + = = = == > < >< > < = Derivacije 25 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 23 223 23 249 24 2 9 2 24 2 20U narednih 2 sekundi, tijelo mijenja smjer u lijevo do4:9 24 4 9 4 24 4 16Smjer kretanja je u lijevo, pa je16 20 4Za5 sekundi, tijelo je preslo putts t t t mts t t t ms mt=== + = + === + = + == = =.( ) ( ) ( )3 23 252 4 5t od:9 24 5 9 5 24 5 20Sveukupno, predjeni putiznosi:20 4 4 28tt t ts t t t mS s s s m== = == + = + == + + = + + = 4 3 252. Putanja cestice koja se krece vodoravno dano je sa6 12 10 3.a)Izracunaj kada brzina raste a kada se smanjuje.b)Kada cestica mjenja smjer.c) Izracunaj put koje cestica predje u prs t t t tvs= + +( )4 3 23 21,2 3vih 3 sekundi kretanja.Izracunajmo brzinu i ubrzanje:6 12 10 34 18 24 24 Nultocke jednadzbe za su : 1, 5 Rjesenje se moze izracunati koristeci objasnjenja u dijelu "Jed t t t tdsv t t tdt dtv t t + += = = + += =( )3 221 21 2dnadzbe viseg reda". 4 18 24 2412 36 24 1, 2 ) Brzina mijenja predznak u2.5 a ubrzanje mijenja predznak u1 i2Za1 brzina0 i 0. Posto je0, brzina se povecd t t tdva t t t tdt dta t tt v a a + += = = + = == =< < > >t=ava;odnosno posto je 0 brzina se smanjuje: Za 1 2 brzina0 i 0. Posto je0, brzina se smanjuje; odnosno posto je 0 brzina se povecava: Za 2 2.5 brzina0 i 0. Brzina se smanjv v vt v a av v vt v a< = > > > = 0) Smjer kretanja se promijeni za2.5 (funkcija puta ima ekstrem)) Za0put3. To je predjeni put cestice za0.tb tc t s t=== = =s Derivacije 26 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( ) ( ) ( )4 3 24 3 22.53Do vremena2.5, cestica putuje u lijevo i proci ce put od: 6 12 10 3 2.5 6 2.5 12 2.5 10 2.5 3 1.6875Za3, put je nula0. Cestica je dosla na pocetni polozaj, sto iznosi 1.687ttts t t t tt s==== + + = + + = = =0 2.5 35.Sveukupno, predjeni putza prve 3 sekunde iznosi:1.6875 3 1.6875 6.375 jedinica mjere za duzinut t tS s s s= = == + + = + + =

353. Cestice rotira po putanji danoj jednadzbom,gdje oznacava kut u radijanima50 i,vrijeme u sekundama. Izracunaj kutni pomak, kutnubrzinu i kutno ubrzanje nakon vremena10 .Izracuntttt s = =| |( )3 310221010210ajmo pomak cestice: 10 1050 503 3Kutna brzina cestice: 1 10 1 550 506 6 6Kutno ubrzanje cestice: 1050 50 5ttttt radd rtdt sd radtdt s === = = = =(= = = = ( (= = = = ( ad 2.3.5 LHospital-ovo pravilo ( )( )( )Utvrdjivanje granicnih vrijednosti za funkcije, koje uvrstavanjem granicne vrijednosti postaju neodredjene, rjesavaju se L'Hospital-ovim pravilom:0Vrijednost funkcije u obliku razlomka ili 0f xy xg x= =( )( )( )( )( )( )( )' "' "0 0 0dobije se tako, da se derivira posebno brojnik i posebno nazivnik onoliko puta, koliko je dovoljno da se dobije konacna vrijednost kao rezultat.lim lim limitd.Izrazlix x xf x f x f xy xg x g x g x = = = =1 0 22m moze biti bilo koji od oblika, kao na pr.lim, lim, lim,...x x xx+ Derivacije 27 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Za funkcije koje nisu zadane u obliku kvocijenta i neodredjeni oblik je na pr., 0,funkciju treba najprije prikazati kao kvocijet a potom primijeniti L'Hospital-ovo pravilo. Za funkcije koje imaj 0 0 0u neodredjeni oblik na pr. 1 , , 0racunaju se tako, da se funkcija najprije logaritmira po bazi prirodnog broja e, prikaze ako kvocijent i potom primijeni L'Hospital-ovo pravilo. ( )( )( )( )''0 0 0sin54. Rijesi za0sin0 sin cos 1 Izraz je oblika0 lim lim lim 10 1sinNapomena: Kvocijent se derivira posebno brojnik a posebno nazivnik. 55. Rijesi lim ln 1x x xxxy xxxx xyxxxxay x ax = = = = = = = | |= + + |\ . ( )1( )( )( ) ( )'22'2 2izraz je oblika0ln 11lim ln 1 limsada primjenimo pravilo:1 11ln 11lim lim lim lim1 11x xx x x xaa xyxx a x aa aa aa x axxxx xyx a x ax a ( ( (| |+ (|| | \ . (= + = | (\ . (+ + ( | |+++|(\ . = = = =| | |+ +|+\ .( )( )( )( )( )( )2210'1lim lim lim 056. Rijesiza 1 ln lnIzraz je oblikaln ln limln limsada primjenimo pravilo na desnu stranu jednadzbe:lnlimln limx x xxx xx xx a xx aa x a a x aay a a ax a x x xy x xx xy x yx x xxy +++ += = = + = + =+= = = ==( )'11lim 0 sada rjesimo jednakost:limln 0 ln 0 samo za1 slijedi: lim1 1 1 za xxx xxxy y y y x x = == = = = = = Derivacije 28 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )( )( )21' '2 22 ' '1 1 1 1 21 cos57. Rijesilim2 11 cos sin1 cos coslim lim lim lim2 2 2 12 22 158. Rijesi za0logaritmirajmo, limitirajmo i primjenimo pravilo:lnln lnxx x x xxxxx xx xx xx xxx xy x xy xy x x + ++ + = = = = + += === = ( )( )( )( )( )''0 0 0 0 020sin''0 0 0 01lnlimln lim lim lim lim 01 11limln 0 1 odnosno 1 za059. Rijesi za0lnln sin lncsc1ln1limln lim lim limcsc cotcscx x x x xxxxx x x xxxxy x xx xxy y y x xy x xxy x xxxxyx xxx = = = = =| | |\ .= = = = = == == = = ( )200 0 0 0 0 0sinlim1 cos cossin sinsin sin sin sin sinlimln lim lim lim lim limtan 1 0 0cos cosxx x x x x xxx x xx xx x x x xy xx x x x x = | | |\ .= = = = = ( )( )2'' 20 0 0 0 0 0160. Rijesi: 1za01ln 11 1Izraz ima oblik0 1 ln ln 1111 1ln 1 11 1lim ln lim lim lim lim lim1 111xxx x x x x xy xxxy y xx xxxx x xyxxx xx | |= + |\ .| |+ || | | | \ . = + = + = ||\ . \ . ( | | | |+ + |(|\ . \ .= = = = =+| |+ |\ .( )( )10 0 011lim ln lim 1 ln lim11 0x x xxxxy y e exx x += = = = =++ Derivacije 29 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )( )( )0''0 0 00 0Derivirajmo opetln cos361. Rijesi:limln cos 2sin3 3cos3 ln cos33sin3 cos 2lim lim lim2sin 2 cos3 sin 2 2ln cos 2cos 2sin3 3cos 2lim limsin 2 2cos3xx x xx xxxxx xx xx x xxxx xx x + + + + + + | | |\ .= = | | |\ .| | | |= | \ . \_03Izraz je jednak 23cos3 3 3 3 9lim2cos 2 2 2 2 4xxx +| || | | || |= =|| || |. \ .\ . \ .\ ._= ( )( )( )( )0''0 0 0''0 0 021 161. Rijesi lim111 1 1Izraz je oblikalim lim lim1 1111 1lim lim lim2 0 2 21262. Rijesi limxxxxx xx x xxxx xx x x x xx x x x xxx ee xex e xex eee ee xe e e xexe ex +| | |\ . | | = = = | +\ . ( = = = = =+ + + ++ +xe ( )( )( )( )'112 122221222122 222Izraz je oblikalim lim lim' 1lim lim22Ponovno deriviranje nas dovodi do pocetnog rezultata. L'Hospital-ovo pravilo se ne moze primijex x xx xxxx xxx xx xxx+ + ++ + (+ ( + + = == =++=2 22 2niti. Koristimo zato drukciju transformaciju:2 2 2lim lim lim 1 1 0 1 x x xx xx x x+ + ++ += = + = + = ( )( ) ( ) ( ) (2202 2 2 263. Rijesi tan za 2Izraz je oblikalim lim tan lim ln lim 2 ln tanxxx x x xy x xy x y x = = = ( ) x Derivacije 30 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )( ) ( )( )| |( )( )( )( )'2'2 2' '2 2 2 22 2sin 22 2 21 1 cos 12ln tantan sin cos coslim lim lim lim2 22sin cos12 224 22 2 22lim ln lim 0 lim ln 0 12cos 2 2 1definx x x xxx x xxxxx x x xx xx xxxy yx ( ( = = = ( ( | | | \ .= = = = = _( )y( )0 22 2icija logaritma baza 1 lim lim tan 1xx xy x = = = ( )( )( )( )( )( )( )2212 2' '' '0 0 0 0 0 210 064. Rijesi cos za01 ln cosIzraz je oblika 1 ln ln cos limitirajmo1sinln cos sincoscoslimln lim lim lim lim2 22 cos1 1limln lim cos2 0 2xx x x x xxx xy x xxy xx xxx xxxyx xx xxy x = = == = = == = cos 2 sin x x( )( )( )2210 01121ln lim ln lim cos2cosxx xxy xy x e | |= = |\ .= = Derivacije 31 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )( )( )22'' 2' '22 202 203 5 865. Rjesi zaIzraz je oblika 7 2 13 5 86 56 6 3lim lim lim lim14 14 714 27 2 11 166. Rijesi lim izraz je oblika sin1 1lim lsinx x x xxxx xy xx xx xxyxx xx xx x+ + + ++ = + ++ += = = = = +| | |\ .| | = |\ .( )( )2 2 2 2 22 2 2 2 20 022 2 2 224 2 20 0 00sin 2'2 2'0 0 4sin sinim limsin sinsinlim lim lim 1 1sin sin sin2 2sin cossinlim limx xx x xxxx xx x x x xx x x x xx x x x xx x x xx x xx xx | | | | = ||\ . \ .| || || | | | |= = = = | || |\ .\ . \ .\ .| (\ ( = ( ( )( )( )( )( )'' '' '0 0 3 22 20 02 2cos 2 4sin 2lim lim244 128cos 2 8 1 1 1 1 1lim lim 124 24 3 3 3 sinOvaj zadatak se moze rjesiti koristeci Taylor-ov teorem, koji ce biti obradjen u poglavlju Beskox xx xx xxx xxx x | | |. = =| |= = = = = |\ .nacni Redovi.'= ( )( ) ( )( )( )( )4''4 422'2'4 467. Rjesi lim 1 tan sec 21 tan 1 tan1Izraz je oblika 0 ; sec 2 lim limcos 2 cos 2cos 211sec1 tansec 2 4 2lim lim 12sin 2 2 1 2cos 22sin 24xx xx xx xx xxx xxxxxx = =| | | | | | | || \ . \ .= = = = = | | |\ . ( )( ) ( )cos02cos2 2 2 2 268. Rjesi lim tan zaizraz je oblika 2ln tanlim lim tan ln lim lim cos ln tan limsecxxxx x x x xx xxy x y x xx | | |\ .| | | | | | | | ||||\ . \ . \ . \ .| | |\ .= = = Derivacije 32 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Derivacije 33 ( )( )2'' 22 2 2 2 22221 1secln tansectan cosln lim lim lim lim limsec tan tan sinseccoscos 0lim 01 sinx x x x xxxxxx xyx x x xxxxx | | |\ .= = = == = =2= Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Teoremi srednje vrij. 1 3. TEOREMI SREDNJE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE ( )| |( )( ) ( )': Ako funkcija zadovoljava uvjete:1. jednoznacna i neprekinuta u zatvorenom intervalua,b ,2. u svakoj tocki intervala ima derivaciju,3. ima funkcijske vrijednosti0 i 0f xf xf a f b = =Rolle - ovteorem( )'tada unutar intervala postoji barem jedna tocka , u kojoj je tan 0 odnosno, ima barem jedna tocka u kojoj je tangenta paralelna sa osi c f cx = = ( ) | |- Ako je funkcija jednoznacna i neprekinuta u intervalu,i ima u svakoj tocki tog intervala odredjenu derivaciju, tada za tu funkciju vrijedi, da ima baremjedna tockf x a b Teoremsrednjevrijednosti( ) ( )( )( ) ( ) | |( ) ( )'a, unutar intervala, za koju jeZa dvije funkcije, i koje su neprekinute i derivabilne u intervalu,i uz predpostavku da je0,postoji barem jedna tocka c, ua,bza koju vrijecf b f af cb af x g x a bg x=( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )''di:Rastuca funkcija u intervalua,b je ona, koja za ima vrijednosti za sve a i b u intervalu a,b .Padajuca funkcija u intervalua,b je ona, koja za ima vrijednosti za sf b f a f cg b g a g ca b f a f ba b f a f b=< ( ) ve a i b u intervalu a,b . ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )33'' ' 3 21. Izracunaj vrijednost i dokazi Rolle-ov teorem, za funkciju12 , u intervalu0 2 3.0 0 0 0 2 3 2 3 12 2 3 8 3 3 24 3 00 12 3 12 0 2Trazena vrijednost za c, je u nutare intc f x xxf a f f b ff c f x x x x x= = = = = = == = = = = xrvala0,2 3i iznosi2 c (= ( )| |( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22. Izracunaj vrijednost c i dokazi teorem srednje vrijednosti, za funkciju3 4 3,u intervalu1,3 .1 3 1 4 1 3 4 3 3 3 4 3 3 36f x x xf a f f b f= + = = + = = = + = Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Teoremi srednje vrij. 2 ( ) ( )( )( ) ( )| |'' 2'3 4 3 6 4 6 4 3 1 236 46 4 6 12 22Trazena vrijednost za c, je u nutar intervala1,3i iznosi23. Izracunaj vrijednost c i dokazi teorem srednje vrijednosti, za funkcije f c x x x c b af b f af c c c cb ac= + = + + = == + = = ==( )( ) | |( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )| |2''' ' 2 223 2 i 1 u intervalu1,4 .3 4 2 3 1 2 4 1 3 234 1 24 1 1 1 114 5 3 3 3 15 56 1517 2 2 5 2 6 2Trazena vrijednost za c, je u nutar intervala1,4i f x xg x xf b f a f c f f xg b g a g g x g cxc cx c= += ++ +(( + = = = ((+ + + = = = = =5iznosi 2c = ( )| |( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )22 2'' 2'4. Izracunaj vrijednost c i dokazi teorem srednje vrijednosti, za funkciju2 7 3,u intervalu2,5 .2 2 2 7 2 3 3 5 2 5 7 5 3 182 7 3 4 7 4 7 5 2 318 34 7 4 7 73f x x xf a f f b ff c x x x c b af b f af c c c cb a= += = + = = = + == + = = = = = = +| |72Trazena vrijednost za c, je unutar intervala2,5i iznosi3.5 c== ( ) | |( ) ( )2245. Ispitaj Rolle-ov teorem za funkciju u intervalu0,420 kada je brojnik 4 0 odnosno za0.nije definirana kada je nazivnik 2 0 2Funkcija je nekontinuirana pa se Rolle-ov teox xf xxf x x x x f xx x== = = = =rem ne moze primijeniti. ( ) ( ) ( ) ( )( )1 12 2''1 ' 12 21 1'26. Izracunaj vrijednost c i dokazi teorem srednje vrijednosti, za funkciju tan tanza.1 11 1Neka jetan tan1 1tan tan 1za 1b a b ab a a bb af x x f x x f cx cb af c a bb a c < < < < >+ + + +< < + +2 ( ) | |( ) ( )( )( )( ) ( )( )221 2' 22'247. Ispitaj Rolle-ov teorem za funkciju u intervalu0,420 kada je brojnik 4 0 odnosno za0; 4;nije definirana kada je nazivnik 2 0 22 2 4 4422x xf xxf x x x x x f xx xx x x xx xf xxx=+= = = =+ = = + | | = = = |++ \ . ( )( )( )( )2 222'221,22 4 4 8 424 8Prva derivacija postoji za sveosim za2;koji nije u 2promatranom intervalu i jednaka je nula kada je brojnik:4 8 02 2 3. 2 3 1Funkcija zadovoljavx x x x xxx xf x x xxx xx x c + +++ = =++ == = ( )a Rolle-ov teorem jer je c unutar intervala: 0 2 3 1 4 c < = < ( )( )( ) ( )( )3 7''' 3 7 2 68. Dokazi da je funkcija1 padajuca za sve vrijendosti od.Funkcija je padajuca ako je0 u promatranom intrvalu:1 3 7 0za sve0.Za sve0, funkcija je pozitivna,0.f x x x xf xf x x x x x xx f x= ( ) ( ) Za sve0,0 1 , funkcija pada za sve realne brojeve.x f f x > = > ( )( ) ( )9. Odredi za koje intervale funkcija raste ili pada:2 3Funkcija pada u intervalu, 2i raste u intervalu2,f x x = + Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Teoremi srednje vrij. 4 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije 1 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4.1 Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula.Polovi funkcije - su tocke u kojima je nazivnik razlomljene funkcije jednak nula. U tim tockama funkcija ima vertikalne pravce, okomite na os i dodiruju krivuju funkcije u beskonacnosti.Asimptota - je prvac koji se u beskonacnosti priblizava krivulji a moze biti vertikalna (x( )( )pol funkcije), horizontalna ili kosa.Horizontalna asimptota je pravac koji ima jednadzbu: zalim .Vertikalna asimptota je pravac koji ima jednadzbu : za funkcijuodnosno u inverzyy a y f x a xx b y f x = = == =() ()( )( )nom obliku zalim limKosa asimptota je pravac koji ima jednadzbu : za: limlimy yyyx g y x b b x g yyy kx l y f x kxl f x kx = = = == + = == ( Tocka infleksije - je tocka u kojoj funkcija mijenja zakrivljenost iz konkavnosti u konveksnost (ili obratno) ( ) ( )( ) ( )( )' '0 0 0' "0 0"0Kriticni broj - je broj, koji pripada domeni funkcije i za koji je 0ilije nedefinirana. Uz predpostavku dapostoji, i da postoji i tada:Ako je 0 Nije definirano sto se x f xf x f xf x==( )( )0"0 0"0 00zbiva sa funkcijom u tocki.Ako je 0 Funkcija ima relativni maximum u tocki.Ako je 0 Funkcija ima relativni minimum u tocki.Funkcija ima apsolutni maximum u tocki ako za sve vrijednosxf x xf x xx( ) ( )( ) ( )'00'0ti od u intervalu I vrijedi:.Funkcija ima apsolutni minimum u tocki ako za sve vrijednosti od u intervalu I vrijedi: .xf x f xx xf x f xf xx ( )0"0"' "'0"'0Ako funkcija ima0, potrebno je definirati sto se desava u tocki:izracunamo:ako je 0 funkcija ima tocku infleksije u ako je 0 racunamoderivaciju i uvrstimo.izracunamo xIVxy xy y xy yy==( )( )0: ako je 0 funkcija ima u toj tocki ekstrem. IVIVy ( ) ( )( ) ( )0 0za0, maksimum, za0, minimum.ako je 0 moramo nastaviti derivirati i naci.IV IVx xIV Vy yy y< >= Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije2 ( ) ( ) ( )0U tocki za koju su derivcije neparnog reda, ,razlicite od nule, funkcoija ima tocku infleksije. III V VIIx y y y 00Tok funkcije i njene derivacije:Ako funkcija ima pozitivnu prvu derivaciju u, funkcija prolazi tom tockom rastuci.Ako funkcija ima negativnu prvu derivaciju u, funkcija prolazi tom padajuci.Ako xx0funkcija ima prvu derivaciju u,u toj tocki je tangenta paralelna sa osi. U toj tocki funkcija ima ili ekstrem ili tocku infleksije.Ako je funkcija u nekom intervalu konveksna (oblik gljive), njex x000na druga derivacija u je negativna.Ako je funkcija u nekom intervalu konkavna(oblik slova U), njena druga derivacija u je pozitivna.Funkcija ima u tocku infleksije, ako je u toj tocki drugaxxxderivacija nula. 4.2 Asimptote i polovi funkcije 11. Odredi asimptote zadane funkcije: .1Jednadzba horizontalne asimptote,paralelne sa osi: lim 00 0 asimptota jeosJednadzba vertikalne asimptote, paralelne sa osi: limxyyxx y a y axa y xy x b x b== = = == = = = = izrazimo 1 1 1funkciju po: lim lim 0 0 0asimptota jeosy yxx y x x b xx y yy = = = = = = ( )( )( )( ) ( )22. Odredi asimptote zadane razlomljene racionalne funkcije:.1 3Funkcija ima polove-vertikalne asimptote, u tockama za koje je nazivnik nula: 1 01 3 0 3 Funkcija ima nultocke za0,kadxyx xxx x x f x= + == + = = = a je brojnik nula: Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije3 22 0 2.Funkcija ima horizntalne asimptote, u tockama za koje vrijedi:2 2lim lim lim 0 horizontalna asimptota je os2 2 2 3x x xx xxy a y xx x x = = = = = = = + + ( )( )43. Odredi asimptote razlomljene racionalne funkcije:.3Funkcija ima polove-vertikalne asimptote, u tockama za koje je nazivnik nula: 3 03.Funkcija ima nultocke za0,kada je brojnik nula: xyxxx f x+= == = 4 0 4.Funkcija ima horizontalne asimptote, u tockama za koje vrijedi:4 414lim lim lim lim 13 331Horizontalna asimptota jepravacparalelan saosina1.x x x xx xxxx x xy a yxxx x xx y + = = + ++= = = = = = = ( ) ( )22 24. Izracunaj jednadzbe kosih asimptota za funkciju: 2 3 2 2 0Koristeci gornja tumacenja imamo:2 3 2 2 0 2 3 2 2 0 :x x xyF x x x xy f x x x xy x+ + == + + = + + =2 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije4 ( )22 2 2 2 2 2222 0 3 2 22 3 2 2 0 odnosno:3 1 1 312 2Jednadzba kose asimptote je jednadzba pravca: 1 3Koeficijent smjera:lim lim 1 1 12Odsjecak na x xx x xy yx x x x x x x xyf x y xx x x xy kx lyk kx x x + + = + + == = + = = +| |= = = = |\ .( )( )3 1osi: lim 123 1 3 1 3lim lim2 23Trazena asimptota ima jednadzbu: 2xx xy l f x kx x xxl x xx xy x ( | |= = + ( |( \ . | | | |= + + = + = ||\ . \ .= 2 ( ) ( )2 2223 2 3 2 2 25. Izracunaj kose asimptote funkcije2 0U funkciji se zamijenisai prva dva clana, sa najvisom potencijom se izjednace sa nulom:2 02 2 0x y xyy y kx ly kx l x kx l x kx lx k x l x k x kl xl+ == += + + + + =+ + + + =( ) ( )( )( )( )3 2 21 2 21 1 21 1212 2 22 01 0 0 1 2 02 0 0 2 1 0 0Trazene jednadzbe jesu: 20 0 0 01 0x x xlk k k k k l lk l l l l l ly kx l y k x l x yy k x l x xk k kl ly x + + =+ = = = + =+ = = + = == + = + = + = == + = + = = ( )( )202 0k kl k l++ =+ =+ Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije5 4.3 Ekstremi i graficki prikaz toka funkcije ' "' 'U nastavku je dan postupak za graficko prikazivanje toka funkcije: Izracunaj i ako treba i. Koristi za ispitivanje kriticnih brojeva, kada je0 ili nedefiniran. Ispitaj moguce relativy yy y =' ' '" ' 'ne ekstreme. Koristi za ispitivanje intervala u kojem funkcija raste0ili pada0. Koristi za ispitivanje da li je funkcija konkavna0ili konveksna 0. Ispitaj za tocke y y yy y y> = |\ .= = =3sin1232181.. 0.37. y e ee= = = = ( )( )( ) ( )21 210. Analiziraj funkciju2 6Polovi funkcije su za: 2 0; 6 0 2; 6xyx xx x x x= = = = = Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije9 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )23 2 2 3 2'2 2 3222'2 2'2"2 22 22"4 43 2"3 3Izracunajmo derivacije:2 2 6 2 82 12 4 24 2 82 6424 82 624 82 624 16 2 6 24 8 2 2 6 2 82 616 72 2882 6Izrx x x x xx x x x xyx xxx xyx xx xyx xx x x x x x x xyx xx xyx x + + += = = (= =( ( ( = += ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )2' 22 221 23 2" "0 3 324 8acunajmo ekstreme: 0 0 24 8 8 3 02 630 3 3ekstrem je u tocki0, 0 ,3, 33 2 3 6Ispitajmo vrijednost druge derivacije:16 0 72 0 288 10 0 imamo60 2 0 6xx xy x xx xx x y A By y za x= = = = = = = = += = > = ( )( ) ( )x x( ) ( )3 2" "3 3 33 2" 33 3" minimum16 3 72 3 288 80 3 imamo maksimum33 2 3 616 72 288Pogledajmo za tocke infleksije: 0 2 9 36 02 6Realno rjesenje kubne jednadzbe je0 za1.7037. Funkcija imy y za xx xy xx xy x += = < = += = = = ( )( )( )2x + =22 222 22 2 2a tada vrijedost1.7037 0.10171.To su ujedno koordinate tocke infleksijePogledajmo za horizontalne asimptote:lim lim lim lim 12 6 8 12 8 12Jednadzba horizontax x x xfxx xxy a yx x x x x xx x x == = = = = = + +lne asimptote:1 y = Prikaz funkcije je na donjoj slici u nastavku Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije10 5' 4 " 3' 4 "1,2,3,41,2,311. Izracunaj ekstreme funkcije 3 2Izracunajmo derivacije: 15 60Ekstrem je za:0 15 0 0 Vrsta ekstrema:0 60 00 Funkcija ima ekstrem samoza0. Ispitajmo sa trecoy xy x y xy x x y xx x= = == = = = == =( ) ( )( ) ( ) ( )"' 2 "' 2 2m derivacijom:180 180 0 0 nastavimo:360 360 0 0nastavimo:360 360 0imamo ekstrem:Derivacija koja je razlicita od nule, je neparna i funkcija ima tocku infleksije zaIV IVx xV V Vx xy x y y x yy y y= = = = = == = ( ) ( ) ( )50. Funkcijska vrijednost je:0 3 0 2 0, 2 x f A = = = 3 12. Izracunaj koja je naj veca duzina grede, koja se moze prenijeti kroz uski hodnik, uz uvjet, da je kretanje grede paralelno sa podom (vidi sliku) .Trazena duzina je minimum funkcije kojoj je izrazen( )'a duzina:secsec csc cscsec csc odredimo minimum funkcije sec csc 0 sec tan csc cotBCaABBC a AB bbdDD BC AB a bddDa b a bd == = == + = + = + = = Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije11 2 2 2 23 3 3 13 3"2" 321 sin 1 cos sin cos sin coscos cos sin sin cos sin cos sinsin cos tan tan tanMinimum funkcije dobijemo iz druge derivacije0 :sindDa b a b a bddD b b ba bd a ayd Dy ad = = =| | = = = = | |\ .>= = ( )a'3 2 2" 2 22 2"cos 0 3 sin cos 3 cos sin0 3 sin cos 3 cos sin 03 sin cos 3 cos sin tan0 jer su vrijednosto za i konacne i realne (dimenzije hodnika) i nas minimum je dokazan.Izracinb a cy a bba bay b a = = += + == = >112212 2213 13 33312 2 232 3 3 31 1 13 3 311221 2 223 3 321 23 3ajmo duzinu grede:sec csc11 tancsc ...tansec 1 tan 1 ..D a bba baaaa a bb b bb a ba a = + (| | ( ( |+ (+ ( | ( | (\ .( + + = = = = = (| |( ( + |(= + = + = ( |( | ( (\ . 2 23 3131 1 12 2 2 2 2 2 1 12 2 23 3 3 3 3 3 3 31 1 1 13 3 3 332 223 3.sec csca baa b a b a b ab baD a b a ba b a bD a b +=| | | | | |(+ + + + |||(\ . \ . \ . = + = + =| |= + |\ . Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije12 13. Izracunaj dimenzije drvene grede pravokutnog presjeka, koja se moze isjeci iz balvana promjera 16 cm tako, da njena cvrstoca bude najveca. Cvrstoca grede jednaka je produktu sirine i kvadrata C s( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22 22 2 2 2 2 22 2 3 3'' 3 2 visine dijagonala grede jednaka je promjeru balvana:1616 256 256256 256 256Izracunajmo derivaciju:256 256 3v C ksvd s vd s v v sC ksv C ks s k s s f x C s k s sdCy k s s k sdsdCkds == = += = = + = = = = = = (= = = =( )2 22 2 2 2256256 3 0 3 256 za1: 9.24316 256 256 9.24 13.1Trazena greda ima dimenzije 9.24 13.1s s k s cmd s v v cmcm cm = = = = == = = + = = 214. Potrebno je napraviti reklamu povrsine 18 m . Rubovi na vrhu i dnu trebaju biti siroki 0.75 m a rubovi sa lijeva i desna, 0.5 m. Izracunaj dimenzije plakata tako, da povrsina korisnog dijela (unuta( )( ) ( )'2r okvira) bude maksimalna. 18Oznacimo jednu dimenziju sa mjerenu u m. Druga dimenzija je.18 3Korisna povrsina iznosi:1218 3 18 3 18Derivacija1 12 2xxP xxdPx x xdx x x x| |= |\ . ( | | | | | |= = + || (\ . \ . \ ( )( )'22 "2 2 2 3"318 3 18 3 360 3 36 2 32 2360.866 0 funkcija ima maksimum za2 3.2 318Korisna povrsina ima dimenzije:2 32 3 3 32 3xdP dP d Px x ydx dx x dxy x|.| |= = = = = = = |\ .= = < = = x x Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije13 15. U kompaniji je utvrdjeno, da mogu prodati 1000 komada svojih proizvoda na mjesec ako bi cijena bila 5 kn po komadu. Isto tako, ako smanje cijenu za 0.01 kn, za tih 1000 komada, prodati ce 10 komada vise. Izracunaj uz te uvjete, najveci dohodak i jedinicnu cijenu proizvoda koji stvara taj dohodak.Broj proizvoda preko 1000 oznacimo sa. Ukupno je prodano 1000komada.Cijena proizvoda za broj prox x +( )( )danih komada preko 1000, tj. 10, sa snizenom cijenom od 0.01 kn izrazimo kao: 5 0.01 5 0.00110Dohodak,dobijemo mnozenjem broja prodanih proizvoda i jedinicne cijene:1000 5 0.001 500xJC xDD x x| | = |\ .= + =2'' '0 4 0.001 sada racunamo ekstrem:4 0.002 4 0.002 0 2000 izjednacili smo0Za2000 0Za2000 0Za 2000 imamo maksimum funkcije. To znaci, da najveci dohodak ce se ostvariti ax xdDx x x ydxx y x yx+ = = = =< > > = ||\ .\ . ( )220. Izracunaj dimenzije pravokutnika za maksimalnom povrsinom, koji se moze upisati u dio omedjenim sa parabolom4i vertikalnim pravcem.Vrh pravokutnika ima kordinate, . Povrsina pravokutny px x aVx y= =( )2 2 32'3 2 22ika je:4 2 2 24 4 23 3Trazimo ekstrem:2 2 odnosno:0 2 02 2 244 3 Dimenzije pravokutnika su:3y y yy px x P y a x y a ayp p pdP dP y y yay a ady p p dy papap y y| |= = = = = |\ . (= = = = ( = =,, , Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Analiza toka kunkcije18 22'2 22434 3 42 2 4 33 3 43 34 2Potvrda, da imamo maksimum funkcije:12 3 33 6 32 0 maksimum2 2apap ap yy ap a x ap pap a aa apd P y y yap p p dy| | | |\ .= = = = = = = (= = = < ( ,12a Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik 1 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5.1 Funkcije zadane u parametarskom obliku ( ) Ako se koordinate neke tocke, , zadaju u obliku funkcije neke trece promjenjive, koja se tada naziva parametar, kazemo da je tocka zadana u parametarskom obliku.Uobicajeno je oznaciti parametar saT x yT( ) ( )( )( )( )( )() ()()()()()()''1 1 1 1 1'11 1'11, pa nasa je tocka zadana sa: Derivacija takve funkcije je: Jednadzba tangente na krivulju u tocki,Jednadzba normale: t Tx x t y y ty tdydx x tx x tT x t y ty y ty ty y t x x tx ty y t= === ( = = ( = ()()()'11'1x tx x ty t( () ( ) () ( )( )() ()1 1''' ' ' '1 11 32 21. Izracunaj jednadzbe tangente i normale na krivulju u parametarskom obliku, za 4 1 14 4 24 424Derivacija funkcije: 1 1 1 114 12 2Tangenttx t x t x y t y t ytx t x t y t y ttt t== = = = = = = =| |= = = = = + = |\ .()()()7176() | | ( )()()()() ( )'11 1'1'11 1'1177 7 116a:2 212 2 4417 34 47 4 4 2Normala:22 17 17 17y ty y t x x t y x y xx ty xx ty y t x x t y x y xy t = = = ( = = = = ( 75 2. Izracunaj jednadzbe tangente i normale na elipsu u parametarskom obliku, za . 66cos ; 4sintx t y t== = Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik2 ()()( ) ()( ) ()()()()()11'' '1'' '1'11 1'136cos 6cos 6 3 3 6 214sin 4sin 4 26 2Derivacija funkcije:6cos 6sin 6sin 364sin 4cos 4sin 2 362 3Tangenta:23x t x ty t y tx t t x ty t t y ty ty y t x x t y xx t| |= = = = |\ .| |= = = = |\ .| |= = = = |\ .| |= = = = |\ . = =( ( )()()()()( )'11 1'13 32 3 2 32 6 83 33Normala:2 3 32 33 9 3 522 2 2 2y x y xx ty y t x x t y xy ty x y x = + = + = = ( = = 3. Polozaj cestice koja se krece po krivulji, dana je izrazom u parametarskom obliku. Vrijednosti i su u metrima, u sekundama:2 3cos ;3 2sin . Izracunaj:) Brzimu promjene, kada je)3x y t x t y ta x t b= = +=( ) ( )( )( )' '' ''1'5 Brzimu promjene, kada je 32) Brzimu promjene kuta tangente, kada je 3Derivacija funkcije:2 3cos 3sin ; 3 2sin 2cos2cos 2 2Kut tangente:tan cot tan cot3sin 3 3y tc tx t t y t ty ttt tt x t === = = + =| = = =\| |. ''3) Za3sin 3sin 33 3 25 5) Za2cos 2cos 2 13 3ma t x tsmb t y ts | |(= = = = | (\ . | | = = = = = | (\ . 12( Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik3 '1 1222 22222 2)tan cot tan cot3 31 2 6csc 2cscodnosno, za 3 3 9 4cot21 cot32266csc3 3219 4cot9 433d d d duc t tdt dt du dtd tt tdt dt ttddt ( | | | |= = = ||(\ . \ . | |= = = |+\ .| |+ |\ .| || | ||\ . \ .= =| ||+ | +

\ .\d224 3124Kut tangente se smanjuje brzinom radijana u sekundi31= ||. ( ) ( )( ) ()( ) ()( ) ( )11''4. Izracunaj jednadzbe tangente i normale na cikloidu radijusa2u tocki. 2sin ; 1 cossin 2 sin 2 2 21 cos 2 1 cos 22Derivacija funkcije:sin 1r tx r t t y r tx r t t x ty r t y tx r t t r = == = | |= = = |\ .| |= = = |\ .= = ( ) ()( ) ( ) ()()()()() ( )()()()() ( )'1'' '1'11 1'1'11 1'1cos 2 1 cos 221 cos sin 2sin 222Tangenta:2 2 224Normala:2 1 2 2t x ty r t r t y ty ty y t x x t y x xx tT y xx ty y t x x t y x xy tN y x | | = = |\ .= = = = = = + = + ( = + = = + = + ( = + Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik4 5.2 Funkcije zadane u polarnim koordinatama ( )Osnove polarnog koordinatnog sustava prikazan je u dijelu srednjoskolske matematike.Ponovimo ukratko: Koordinata tocke definiran je sa,gdje je: radijvektor ili polarna os kutem rotacije, kut T rr( )2 2 21 1 1izmedju pozitivneosi (polarne osi, polozaj0) i polozaja tocke TOdnos pravokutnog i polarnog koordinatnog sistema dan je sa:cos sinJednadzba tangente na krivulju u tocki,daxx r y r r x yT r == = = +( )( )( )'1 1 11 1 1 1 1' '1 1 11 1 1 1 1 1'n je izrazom:tansin cosili, za, kut izmedju i tangente:tantansin tan coscos sinKut izmedju tangente i polarne osi izrazen je sa:tansinr r ry r x r rr r ry r x rr rr + = = = + += +'cos r ( )2 2 2 2 22 2 2 2 25. Pretvori funkciju zadanu u polarnim koordinatama, u pravokutne koordinate i nacrtaj graf:4sin 2sin 2 2sin cos 4sin 2 4 2sin cos 8sin cos8 8 88rry x xy xy xyr x y x yr r r x y x y == = =| || |= + = = = + = | |+ +\ .\ .( )( )2 232 2 2 2 2 222 26464x yx y x y x yx y+ = + =+ ( ) ( )222 26. Pretvori funkciju4zadanu u pravokutnimkoordinatama, u polarne koordinate i nacrtaj graf:cos sin 4 sin 4 cos sin 4 cosy xx r y r y x r r r r == = = = =2 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik5 2cos 14 4cot 4cot csc 4cot cscsin sinr r = = = = 1 11' '1 1 1'1 11 17. adana je Arhimedova spirala,2 . Izracunaj jednadzbu tangente u tocki Ti 6kut sto ga tangenta zatvara sa radijvektorom.2 2 2 2 26 3Jednadzba tangente:sinZ rrr r r rr ry r = == = = = = =+ ==( )( )( )11 1'1 1 111 1 1'12tantan3 6cos sin cos3 6 3 6 tan2 tan3 62 39 2 33 33 36 6 6 618 33 18 39 9261.577 0.90746 Kut iznosi: tan 27.632 6Iz tehnickix r y xr ry x y xry xr +| | = |\ .++| | | | = = + || ||\ . \ .= = = = =D2 2 11 11 1 1h razloga, graf je nacrtan u pravokutnom koordinatnom sistemu i u tu svrhu, jednadzba je preracunata u pravokutni krd. sistem:2 2tan 2 2 1.0471986cos 1.047198cos 0.9066yr x y rxx r | |= + = = = = |\ .= = =1 1 11sin 1.047198sin 1.047198 0.5235996 2y r = = = = Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik6 28. Izracunaj pod kojim se kutem sjeku krivulje:cos 2icosPotrebno je izracunati tocku presjecanja i izracunati kut pod kojim se sjeku tangente u toj tocki.cos 2 cos 2 2cos 1cos cos 2 cosr rrr = == = = =( )( )( ) ( )2 21 11 1 1 1 1 11 11 1 22cos 1 cos 2cos cos 1 01 2 2 42cos 1 cos 1 0 cos 2 ,2 3 3 34 1cos 1 0 cos 2 cos 2 0 1 cos 2 cos 23 22 1cos 2 cos 23 21 2Tocke presjecanja, :1, 0 ; ,2 3kr rrT r T T = =| |+ = = = + |\ .= = = = = = = = = = = | |

\ .D32 1'1 21 4; ,2 3tan tanKut izmedju tangenata racunamo po jednadzbi: tan = ;tan1 tan tanTTTTrr | |||\ .=+ ( )1''''1 112cos 2 1cos 2 2sin 2 tan cot 22sin 2 2coscos sin tan cotsin1Za1, 0imamo:tan cot 2 0 902tan cot 0 90 tan 0 01 2Za,imamo:ta2 3T TT TT TT TT TT TTTrr rrrr rrTT = = = = = = = = = = = = == = = = =| | |\ .DD11 2 3 2n cot 2 tan cot2 3 6 3T T = = = =33 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik7 2 11 2133 3 3 3tan tan 3 33 6 6tan11 tan tan 53 31166 33 3 3 3tan tan 46.1 . Za tocku Timamo isti kut.5 5U ishodistu, polu, krivulje se takodjer sjeku. Za pol vrijedi0 :cos 2 0rr += = = =+ | || |+ | | | |\ .\ .= = === = D010132 , 0,2 4 4 4cos 0 0,2 2Slicnim postupkom naci cemo da se u polu, krivulje sjeku pod kutem.4Tr T | |= = |\ .| |= = = |\ . 11 1' '1 19. Izracunaj kut izmedju tangente i radijvektora r, te kutizmedju tangente i polarne osi, za funkciju2sin3 za.422sin3 2sin3 2sin3 2 24 226cos3 6cos3 6cos3 64 2rr rr r = == = = = =| |= = = = = | |\ .11 1'111'1'3 22 1Kut tangente i radijvektora za: tan4 33 21tan 18.43 odnosno 180 18.43 161.563cos sinKut tangente i polarne osi za:tan4 sin cosrrr rr r = = = = | |= = = |\ .+= = +D D D D ( )( )( )2 22 cos 3 2 sin 2 3 21 3 14 4 2 2tan1 3 22 22 sin 3 2 cos2 3 24 42 2 + = = + + = =Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik8 ( )( )( )( )( )( )11'1 1 11 1 1 1'1 1 11tan 26.565 Jednadzba tangente u:2 4tansin costan2 3 2 tan42 sin 2 cos4 43 2 2 tan422 3 23 22 222 2 1 12 223 2 13 2 220.302 1 1 0.302r ry r x rr ry xy x xy x | |= = = |\ .+ = + | | = |\ . + | |= + = | | +\ . = + =D0.697 0.302 0.697Skica tangente i kuteva koje cini sa i polarnom osi, prikazan je na slici.x T y xr+ = ++ ( )1 112 22 2 2 ' 2 '3 31 1'1 1 11 1 1 1'1 1 110. Izracunaj jednadzbu tangente na logaritamsku jednadzbu, za=38.1205 2 2 2 16.24105tanJednadzba tangente u: sin cos3 tan8.120r e r e e r e r e er ry r x rr ry = = = = = = = =+= = 1'231 11' 2138.1205 16.24105tan35sin 8.1205cos3 316.24105 8.1205tan316.66 67.643Izracunajmo kut izmedju tangente i radijvektora: tan1 1tan tan 0.4636 26.5652 22xT y xrrrr ere +| |= |\ . = =| |= = = = = = |\ .D Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik9 Kut izmedju radijvektora r i tangente, je u svim tockama spirale jednak.Jedan graf je nacrtan u polarnom koordinatnom sustavu a drugi graf je skica- prikaz zadatka, u pravokutnom koordinatnom sustavu.

U nastavku su prikazane neke od poznatijih krivulja zadanih u polarnom koordinatnom sustavu Kardioida 1 cos r = + Kardioida 1 sin r = + Limakon 1 2sin r = Limakon 1 2cos r = + Ruza 2cos 2 r = Ruza cos3 r = Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik10 Arhimedova spirala2 r = Spirala 2 r= 4cos2r= 4sin 4 r = 2Hiperbolna spiralar=Logaritamska spiralar e= 5.3 Zakrivljenost krivulja, evoluta ( ) Zakrivljenost krivulje neke funkcije u tocki T, definirana je promjenom smjera tangente u tocki T, odnosno, promjenom kuta tangente u odnosuna duzine segmenta luka krivulje.Pravokutne kook y f xs =( ) ( )( )"3 3'2 2 22 22 ' 2 "32 ' 221rdinate:Parametarski oblik: 12Polarni oblik: Radijus zakrivljenosti je reciprocna vrijednost zakrivljenosti. Pravac ima zakrivljenost0 i radiy xy yk ky x yr r rrkr rk= = =+ ++ =+= jus zakrivljenosti Kruznica zakrivljenosti je kruznica radijusa,polozena unutar zakrivljenosti krivulje i dira krivulju u tocki T, kao i tangenta.= x Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik11 ( )( )' '2'2" "11Srediste kruzice zakrivljenosti S, ima koordinate, :;Evoluta je krivulja geometrijsko mjesto sredista zakrivljenosti krivulje.Evolventa je krivulja na koju su tangente evy yySp q p x q yy y++= = +( )' '2'2" "olute okomite odnosno, tangenta na evolutu je okomita na evolventu.Koordinate sredista zakrivljenosti racunamo na slijedeci nacin:11Pravokutne koordinate:;Parametarski oblik: y yyp x q yy yp++= = += ( )( )( )( )( )( ) ( )( )2 2 2 22 ' 2 2 ' 2 '2 ' 2 " 2 ' 2 ";Polarne koordinate:sin cos cos sinp cos ; sin2 2y x y x x yx t q y txy yx xy yxr r r r r r r rr q rr r rr r r rr + + = + + + + = = ++ + ' "max"11. Izracunaj najvisu tocku, maksimum, cikloide u intervalu 0 x 2 :sin ; 1 cosNadjimo maksimum za1 cos : sin ; cosimamo kada jecos 0Izracunajmo zakrivljenost:1 cosx yy y y yydxd = = = = = = < == sinsin1 cosdy dyd dx = = ( )( ) ( )( )( )( )'222 222 2 2"3 3'22 21 cos cos sinsin 11 cos1 cos 1 cossin 1 1 101 cos 4 21 cos11441 01d ydxdy d ydx dxyky +| | = = = | \ .| | | |= = = = = ||\ . \ .= = = ++2 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik12 212. Izracunaj polumjer zakrivljenosti elipse zadane u parametarskom obliku za interval 30 t 2 ,u vrhovima (0,t= , , )2 23cos 3sin 3cos2sin 2cos 2sinPolumjer: t t tx t x x x ty t y t y tx = = == = = = = = += ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )332 22223 32 2 2 22 22 2332 22202 223sin 2cos3sin 2sin 2cos 3cos9sin 4cos 9sin 4cos66 sin cos9sin 0 4cos 04 8Za tocku0 imamo:1.3336 6 69sin 4cos2 2Za tocku imamo: 2t tyxy yx t t t tt t t tt ttt ( + = + += =++= = = = =|+= = ( )3232332 222322 2 32329 274.56 6 69sin 4cos4 8Za tocku imamo:1.3336 6 63 39sin 4cos3 9 2 2Za tocku imamo:4.52 6 6 6tt | |\ .= = =+= = = = =| |+ |\ .= = = = =27 ( ) ( )( )( ) ( ) ( )2 32 3' 2 2 2 ' ' ' " '13. Izracunaj zakrivljenosti cisoide2u tocki u tocki1,12 Funkcija je zadana implicitno. Derivirajmo:2 2 3 2 2 2 2 2 2 6Izracunajmo vrijednosti derivax xy x x Ty x xD y x y y x D y x y yy y x y yy x = = = + =( )( )' 2 2 ' 'cija za zadanu tocku1,1 : 1, 12 2 1 1 3 1 2 4 2xTT x yD y y y= = = = = Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik13 ( ) ( )( )( ) ( )2 "2 " " " ""3 3 3' 2 22 2 22 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 6 18 4 2 4 6 4 2 2 6 33 3 3Zakrivljenost u1,1 : k251 1 2 5xTxTD yD y y y yyTy + = + = = = == = = =+ +5 ' "'14. Izracunaj koordinate sredista kruznice zakrivljenosti za funkcijucosh(lancanica) za 0cosh cosh 0 1Derivirajmo:sinh cosh Izracunajmo vrijednosti derivacija za0sinh 0 0xx xy xxy x yy x y x xy y=== = == = == = ( ) ( )( )( )( )( )"33' 222" 32' '2'2" "2cosh 0 111 01Radijus zakrivljenost u0:11111Koordinate sredista:;0 1 01 00 01 2 Srediste je u tocki S 0,21 1xyxyy yyp x q yy yp q= =++= = = = =++= = +++= = = + = 2215. Izracunaj jednadzbu evolute za parabolu1212 12 2 3 Derivirajmo:y xy x y x x== = = Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik14 ( )' ''''2 "1 3 2 2 32 22' '2"3212 6 32 122663 3 6 6 362Jednadzbu evolute nadjemo iz koordinata sredista zakrivljenosti:3 33 311332xxD yy yy yxy yD yy y y yx xx xy yxxp x x xyx = = = =| || | | = = = = = | |\ .\ . (| | (+ |+| (+\ . = = = ( )3222'2 3 3 2"3 32 33323 66 3611 36 36 3636 36Sada imamo dvije jednadzbe iz kojih ce se izraziti i i uvrstiti u osnovnu jednadzbu parabole, tj. jednadzbu evolvex xxp xyy y y y y yq y y y yyy yx y= + += +| |++ |+ +\ .= + = + = + = = ( )( ) ( ) ( )( )2332232 2 2 33332nte1263 6 363 36612 36 12 36 4 6 36 4 63 Kubirali smo obje strane, sredili i zamijenili i 4Jednadzba evolute je:681y xp yp x x q y qpy x q q p q pp x q yy x== + = = = | |= = = = |\ .= == ' "16. Izracunaj jednadzbu evolute za logaritamsku spiralu: Jednadzbu evolute nadjemo iz koordinata sredista zakrivljenosti:y er e r r e r r e == = = = =Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Parametarski i polarni oblik15 ( )( )( )( )( )( )2 222 2 22 222 2 2sin cos2 sin coscos cos2 2sincos sin2 cos sinsin sin2 2cosSada imo dvije jednadzbe, koje predstavljaju parametarskejednadzbe er r r rr r rp r rr r rr rp rr r r rr r rq r rr r rr rq r + ++= = + = + = + = ++ =12 2 2 2 2 22 2 2 2 2volute logaritamske spirale, sa parametrom.Izrazimosa, i:sin cossin costan tansin cossin sin cos cossin cosr e r p qp qp r r q r rp q p pq qp r p r q r q rp q r == = = =| | = = = |\ .= = = =+ = +( )12 2 2tan2 2 2 2 12 2 1ln tanodnosno, zamjenom; jednadzba evolute u pravokutnim koordinatama izgleda ovako: ln tanUvedimo novi koordinatni sustav gpqr p qpr e p q e p qqp x y qxx yy | | |\ . = +| |= + = + = |\ .= =| |+ = |\ .( )2 2 1 2 2 2 2 1lndje je: 270sin sin cos cossintan tani nakon preuredjenja:cosln tan ln sin cos tan tanln Jednadzba evolute u polrp r x r q r y rx ry rpp q r rqr r e = += = = == = | |+ = + = |\ .= =D

arnim koordinatama Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 6. BESKONACNI REDOVI 1 2 3n 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3n=1Ako su, , ,...,sume prvih clanova beskonacnog niza tada je beskonacni red prikazan izrazom: s ... ...Beskonacni red je konvergentan ako se moze nnnss s s ns s s s s u s u u s u u u= + + + + + = = + = + +nnnnaci broj S , za koji vrijedi:lim Sje u tom slucaju suma beskonacnog reda.Beskonacni red je divergentan ako nema broja S , za kojeg vrijedi gornja tvrdnja U tom slucaju vrijedi: lim S odnonnS S++== +nn+1 n+2 n+3 n+rsno lim SNuzan uvjet konvergencije beskonacnog reda: konvergira kada vrijedi :lim 0Dovoljan i nuzan uvjet za konvergenciju beskonacnog reda:lim u u +u ... u 0Mnozenje svnn nnru u++= =+ + +akog clana beskonacnog reda sa brojem razlicitim od nule, ne mijenjaju senjegovasvojstva konvergencije ili divergencije. Dodavanjem ili oduzimanjem konacnog broja clanova beskonacnog reda, ne mijenjaju senjegovasvojstva konvergencije ili divergencije. Ispitivanje konvergencije beskonacnog reda vrsi se na vise nacina:: Ako poznati red konvergira za0 za sve,tada akon nv v n N >Usporedjivanjemje0 , za sve , isto tako konvergira. (Clanovi su pozitivni)Ako poznati red divergira za0 za sve,tada ako je , za sve , isto tako divergira. (Clanovi su pozitivnn n nn n n nnu v n N nv v n N u vn N n > > >=i): Ako je0i 0 i lim 0 ili tada i i konvergiraju ili divergiraju. Zalim 0 i ako konvergira, tada konvergira. Zalimi aknn n n nnnnn nnnnnnuu v A A A u vvuA v uvuAv+++ = = = == = Test kvocijentao divergira, tada divergira.1Praktican primjer je kada se uzme pa nas limes ima oblik: lim lim konvergira ako je1 i A je tada beskonacno. divergira ako je n np nn npn nnnnv uuv nv nu pu p+ += => 1 i A konacno, A 0. u A = ( )( )( ) ( ): Ako jepozitivna, neprekinuta i monotono padajuca za,, 1, 2 tada konvergira ili divergira ovisno da li lim konvergira ili divergira.n nMMN Nf x x Nf n un NN N uf x dx f x dx= = + += Integral test Beskonacni redovi 1 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 1: takav red konvergira ako vrijedi:1 za n 1 ilim 0 odnosnolim 0: Red konvergira apsolutno ako jelim1Za1, test nn n n nn nnnnu u u uuLuL ++ = ===Izmjenicni redoviTest omjera1ije valjan : Red konvergira apsolutno ako jelim1Za1, test nije valjan: Red konvergira apsolutno ako jelim 1>nnnnnnu LLun Lu+==| | = | |\ .Test n - tog korjenaRaabe - ov test121 odnosno za L1 red apsolutno konvergira i za 1 red uvjetno divern nnnLu c Lc P n Nu n nL+== + < >Gauss - ov testgira ili konvergira.Ovaj se test koristi kada Raabe-ov test ne daje rjesenje. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 31Kada su clanovi reda funkcije, govorimo o redovima funkcija i prikazan je izrazom:...Red funkcija konvergira jednoliko ka, ili ima za granicuza sve iz zatvorenog intervalannu x u x u x u xF x F x x== + +| | ( ) ( )( ),ako apsolutna vrijednost ostatkareda moze postati manja od unaprijed odredjenog broja, za sve iz intervala, ako sa brojem clanova idemo dovoljno daleko.Ako je red funkcija , 1, 2nna b u x F xx nu x n= | | ( )( ) | | ( ) | || |, 3,...neprekidan u,i ako suma konvergira ka u, , tada je i funkcija neprekinuta u, .: Red neprekinutih funkija od u intervalu, uniformno konvergira ako su na b u xS x a b S x a bx a bWeierstrass - ov kriterij( )clanovi tog reda manji od poznatog reda pozitivnih konstanti koji konvrgiraju:1, 2, 3,... konvergiraZa redove funkcija potencija vrijedi teorem: Red funkcija potencija je absolutno konvergentn n nu x M n i M =an 0 1 1 2 2 00 0 0Za redovi funkcija potencija vrijede racunske radnje mnozenja i djeljenja uz uvjet da su neprekinute i da konvergiraju:...n n nn n n n n n n nn n nc x a x b x c a b a b a b a b = = == = + + + + Beskonacni redovi2 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 00 0 00za i zamjenom dobiju se koeficijenti u funkciji od.Red funkcija potencija moze se razviti u Taylor-ov red i Maclaurin-ov red uz uvjet da su nnnn n n nn n nn n n nnnn na xc x y a x x b yb xb a == = === = = ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' '''2 3'2 3'eprekinute, derivabilne u promatranom zatvorenom intervalu:Taylor-ov red:...2! 3!Maclaurin-ov red : 0 0 " 0 ''' 0 ... 02! 3!f a f af x f x f a x a x a x ax xf x f x f f f a= + + + += + + + + = ( )( )( )( )11 2 31 1 11. Dokazi da zadani red konvergira i nadji sumu reda:...1 3 3 5 5 71 1 1 1Red ..napisimo izraz na drukciji nacin:1 3 3 5 5 7 2 1 2 11 1 1 12 1 2 1 2 2 1 2 11 1...2 2nnn nn nun n n nS u u u u=+ + + + + + = +| |= = | + +\ .= + + + + =n1 1 1 11 2 1 2 2 2 1 2 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 12 2 3 1 2 3 1 2 1 3 3 5 5 2 1 2 1 2 2 11 1 1 1lim lim 1 Red konvergira i suma iznosi S =2 2 1 2 22. Ispitaj konvergencinn nn n nSn | | | | + + ||+ +\ . \ .| | | | |+ = + + + = || + + +\ . \ . \| |= = |+\ .||.( )( )11 1 1 1ju reda..1 2 2 3 3 4 1Sredimoizraz i napravimo n suma: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1..1 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3 3 41 1 1 1... 1 lim lim 1 1 04 5 1 1nnnn nn nSn n n nSn n= + + + = +| | | | | |= = + + + = = + + + |||+ +\ . \ . \ .| | | |+ + = = = = ||+ +\ . \ .1Red konvergira i suma je 1. 64 2563. Ispitaj konvergenciju reda 9 12 16 ...3 9 + + Beskonacni redovi3 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( ) ( )211 2 312 4 4Red je geometrijski sa koeficijentom19 3 3Geometrijski red divergira.4. Dokazi da red divergira iako jelim 0,za 1 Postavimo sume:... 1 1 1 2 1 2 ... 1n nnn nnaq qau u n nS u u u u n nS= = = = >= = += + + + + = + + + + + +=( ) ( )( )( )12 311 Red divergira iako je 11lim lim 1 lim 1 lim 011!5. Ispitaj konvergenciju reda 10! 1 2! 3! !Napisimo clanove reda: ...10 10 10 10 10Za test konvergennn n n nnnn nnn nn nS n n n nn nn nnn n ==+++= + = + = =++++= + + + +( )( )( ) ( )( )11 11111cije koristimo test omjera:1 !1 ! !10lim lim lim!10 101010 1 ! 1 !1 1lim lim lim lim 110 ! 10 !101Red divergirannn n n nn nn nn n nnn nnnn n nnn n n nn n nnn u n uL u unu un n unu n nL++ +++ ++ ++= = = =+ += = = + = = > ( )n=021-11 1 1 16. Ispitaj konvergentnost reda : 1 ...2 4 8 16 2112Vidljivo je, da se radi o geometrijskom redu sa. 1 21Prvi clan ima vrijednost 1. Red konvergira jer je1. Suma reda je2nnaqaq + + == = = = +( )11vergira takodjer.ln9. Ispitaj Integralnim testom konvergenciju redaln lnIzvrsimo zamjenu i prema ranijem objasnjenju, izracunajmoln lnlim Rjesenje integrala se moze nacunnx xf x dxx xx xdx dxx x== ( ) ( )212 21 1 141i u dijelu neodredjeni integraliln ln 1 1lim lim ln lim ln 02 2Integral divergira, pa tako i nas red.10. Ispitaj testom omjera, konvergenciju redan . Vidimo da jeuuuu u unnx xdx dx x ux xe == = = = ( )( )24111nnu n e ++ = + Beskonacni redovi5 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( )( )( )( )2 2 22 22 1 4 4 2 1 1 414 44 42 1 2 1 111 11lim lim lim lim1 1lim lim lim lim 1 0 0Posto jelim0 1, red kon nn n nnn nn n n nnn n nn n n nnnnnn e n e u n eu nn e n e eu n ne eu n nuu + + + + ++ + ++ ++ | |= = = |\ .+ + | | | |= = = = ||\ . \ .= < nvergira2n = ( )2 2 23 3 32 23 3223132 +1 3 +1 4 +111. Testom usporedjivanja, ispitaj konvergenciju reda 1+ ...2 +1 3 +1 4 +1+1 1Red cemo usporediti sa redomPostavimo limes: +1+1+1+1lim lim lim lim1+1nnn n n nnn nun n nnn nunu nn+ + + += == = =( )23233 5 71 Red kojim usporedjujemo je 11 +1harmonijski red,koji divergira. Ispitani red znaci isto tako divergira.+12 2 212. Usporedbenim testom ispitaj konvergentnost reda 2 ...3! 5! 7!1nn nnnn nu+=+ + = ( )( )( )( )( )( )( )( )2n+112n+12n-1112n-1 2n-1n n n11n n212 1 ! 2 2 12Omjer limlimlim2 1 ! 2 2 212 1 !4 limlim 0 Red je apsolutno konvergentan.2 1nnnnnnnn n un u nnuu n n+++ ++ + = = += +!1 ! 2 3 4 55 213. Ispitaj konvergentnost reda 1 2 2 2 ...zai .3 3Testom n-tog korjena imamo:lim2 2ako je neparanlim lim limako je parannnnn nnn nn nn n nnna a a a a a au La a au u aa a a + + + + + = = = = = = ` = )nnu 2Zaa 1 red konvergira a zaa 1 red divergira. 5 2Zared divergira i za,red konvergira.3 3na aa a=< >= = Beskonacni redovi6 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike Beskonacni redovi7 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )11 111 11-114. Za koje vrijednosti od, zadani red konvergira? 2 3 1-1 1 -1 1 -1Postavimo sume:i 2 3 1 2 3 2 2 3 1 11 -1Primjenimo testa omjera: lim limnnnn nn nn n nnnn nnn xxnn x n x n xu un n nn xuu=+ +++ ++ + += = = + + ( +=( )n( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )111 11112 3 2-12 3 11 -1 2 3 1 -1 -1 1lim lim lim lim2 3 2 -1 2 -1 2 -11 1lim =lim Red konvergira za1 2 1 22 23-1Za 3: red izgleda ovako: 2nnnn n nnnn n nn n n n nnnn nnnnnn xnn x n x x x uun n x x xx x ux xunx+++ +++ + ++ = = =+ = < = =( ) ( )( )( )( )( )1 11 1Red divergira jerti 3 1 3 1clan ne postaje nula 1 1 1Za 1: red izgleda ovako:Red divergira jerti 3 1 2 3 1clan ne postaje nula Zadani red konvergira samo za n nn nnn nnnn nn nx nn nx = = = == = = ( ) 1 2 2 1 2 odnosno 1 3 x x < < < < < Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 7. NEODREDJENI INTEGRALI 7.1 Opcenito o integralu i pravilima integriranja ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )Integriranje je inverzna racunska operacija od deriviranja.Integrirati funkciju znaci odrediti primitvnu funkcijufunkcije .jer je C je konstanta integracije.xf x F x f xf x dx F x C D F x C f x = + + =( Pravila in( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )11':1. 0 2. 1 3.4. ;za sve racionalne brojeve;1.15.6.7.18. za s1nnn ndx Cdx x Ca dx ax Cxx dx C nna f x dx a f x dxf x g x dx f x dx g x dxf x g x dx f x dx g x dxf x f x dx f x Cn++== += += + +=+ = +( = ( = +(( + tegriranja( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' 've racionalne brojeve;19. metoda supstitucije10. ;metodaparcijalne integracije11. Metoda parcijalni razlomakanf g x g x dx f u duu dv uv v du f x g x dx f x g x f x g x dx == = ( )( )( )( ) ( )1 8 87 7133:1. 0002. 11 13. 7 7 7 74.1 8 85. 5 5xxxnnxdx C dx C D Cdx x C dx x C D x Ca dx ax C dx x C D x Cx x xx dx C x dx C D C xna f x dx a f x dx xdx x dx+= = == + = + + == + = + + =| |= + = + + = |+\ .= = = Primjeri primjene pravila integriranja114331551413xC x++ = ++C Neodredjeni integrali 1 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )4 13 33 32 2 24 23 34 23'15546.7 7 7 73 37.3 53 5 3 54 23 53 54 218.xxxnD x C xf x g x dx f x dx g x dxx xx dx x dx dx x C D x C xf x g x dx f x dx g x dxx xx x dx x dx xdx Cx xD C x xf x f x dxn| |+ = |\ .+ = +( | |+ = + = + + + + = + |\ . = ( = = +| | + = |\ .=( 7( )( ) ( ) ( ) ( )15 63 2 36 53 3 2'22 2za sve racionalne brojeve;111 1 17 73 6 31 1 17 76 3 39. metoda supstitucijesin sin122nxf x C nx x dx x CD x x xf g x g x dx f u duu xx x dx x xdu x xdx du++ ( +| | | |+ = + + ||\ . \ .| || | | |+ = + | || |\ . \ .\ .= == = = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2' '1 1 1 1sin cos cos cos sin2 2 2 210.1ln 1ln ln1ln ln ln ln 1 lnxu dvxdxu du u C x C D x C x xu dv uv v du f x g x dx f x g x f x g x dxu x du dxx dx x x x dxxxdv dx v xxx x x dx x x x C D x x x C x xx x| |= + = + + = |\ .= = = == = = = + + = + = 2 11. Metoda parcijalnih razlomaka - opsirnije objasnjeno u nastavku Neodredjeni integrali2 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 12 2:ln1sin cos cos sintan ln sec ln cos cot ln sinsec tan csc cotsec tan sec csc connu duu du C u Cn uu du u C u du u Cu du u C u C u du u Cu du u C u du u Cu u du u C u+= + = ++= + = += + = + = += + = += + Integrali poznatijih funkcija ili izraza( ) ( )1 12 2t csc; 0, 1lnsinh cosh cosh sinhtanh ln cosh coth ln sinhsech tan sinh csch coth coshsech tan csch cothuu u uu du u Caa du C a a e du e Cau du u C u du u Cu du u C u du u Cu du u C u du u Cu du u C u du u C = += + > = += + = += + = += + = = + = + +2 22 22 2sech tanh sech csch coth csch1ln ln2u u du u C u u du u Cdu du u au u a C Ca u a u au a= + = += + + = ++ ( )1 12 2 2 2 2 222 2 2 2 12 21 1 1 12 22 21 1 1ln cos seccos bsinbsin cos b2 21 1sin cos tan cotsin bauauaaudu u du a uC Ca a u aua u a a u uu ae a u b uu a ua u du a u C e u du Ca a bdu u u du u uC C C Ca a a a a a u aa uee u du = + = + = + + = + + = ++= + = + = + = ++= ( )Ca2 222 2 2 2 2 2sin b cos bcsc ln csc cot ln tan2sec ln sec tan ln tan2 4ln2 2ua u b uuC u du u u C Ca buu du u u C Cu au a du u a u u a C+ = + = ++| |= + + = + + |\ . = + + Neodredjeni integrali3 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 7.2 Neodredjeni integral razlomljene racionalne funkcije Integral razlomljene racionalne funkcije je naj rajrasireniji integral i pojavljuje se u vise razlicitih oblika, zavisno o stupnju potencije u brojniku i nazivniku izraza. Integrala ima opci oblik: I ( )( )( ) ( ) gdje su i polinomi-og stupnja. Posto potencija polinoma u brojniku i nazivniku moze poprimati razlicite vrijednosti, pojavljuju se razlicite kombinacije razlomljene racionalne funkcije,P xdx P x Q x nQ x koje su razmotrene u nastavku, svaka posebno. ()()3 22 2 2213 4 3 4 41. 3 4 3 41 1 134 4tan Podijelili smo razlomak. Postupak djeljenj2x x xI dx x dx xdx dx dxx x xxI x + | | = + = + |+ + +\ . + nnP xIntegral je oblika :I dx potencija brojnika je veca od potencije nazivnikaQ x( ) ( )3 2 223 2 3 2 3 2a prikazan je u srednjoskolskoj matematici u dijelu "Polinomi":43 4 3 1 3 4 i ostatak 4 odnosno 12 7 4 2 1 2 7 4 2 1 2 4 52. 23 3 2 3 2 2 3 22 212x x x x xxx x x x x x x xI dx dx xxx xI + + = +| | |+ + + + + + | = = + ++| | |+ + ||\ . \ . dx( )( )3 2 323 23 22 4 1 1 5 1 2 32 2 23 3 2 2 2 2 3 223 2 4 5Djeljenje daje rezultat:2 7 4 2 232 3 22x x xdx dx x dx dx x x x Cxx xx x x x xx ( (| | (+ + = + + + || |(\ .+ | (\ . | |+ + + + = + + |\ .+ 5ln + ()( )( )1 12 2 2 221 1 53. tan tan10 305 55 5dx dx du u xI Ca a x x u ax + = = =+ + ++ + 21Integral je oblika I dx nazivnik je kvadratna funkcijaQ x+ Neodredjeni integrali4 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )( ) ( )( )222 22 251 12 22Nadopunimo izraz na potpuni kvadrat i primijenimo poznati integral kao rjesenje:10 30 2 5 25 25 30 5 5 5 531 1 1 34. tan tan3 3 3 2 5141 1439xx x x x x xxdx dx uIa a x xx+ + + = + + + = + + = + + = = +| || | + ||\ .\ . _21222 2 221313141 3 1tan14 141 2 5 1 1 1 1 15 1 1 143 2 5 23 3 3 3 3 9 9 3 3 9 3xxI Cxx x x x x x| | |\ .| | |\ . = | | + |\ .| | | ( | | || | | | ( + = + = + + = + || || | ( \ . \ .\ .| | |\ ._ 21 12 2 22 22 2 21221 1 1 2 15. tan tan2 3 3 2 2 51 32 25 1 1 1 10 1 32 2 5 2 2 2 22 2 4 4 4 2 26.7 12xdx dx u xI Ca a x xxx x x x x x xdx dxIx xx | |+ |\ .+ | | = = + |+ +\ .| | | |+ + ||\ . \ .| | | (|| | | | | |+ + = + + = + + + = + + (||||\ . \ . \ . ( | | |\ . = + _2 27 11 12 2ln ln ln1 7 12 37 122 2 22 2xu a xCa u a xx = =+ | | | | + ||\ . \ . 4+ 22 22 2 2727 49 49 48 7 49 1 7 17 12 2 22 4 4 4 2 4 4 2 2xx x x x x x x| | |\ .| | | || | | + = + + = + = || \ . \ | | |\ ._| | |||. \ . Neodredjeni integrali5 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 21 12 221222 212121 2 27. tan tan13 31 32 42 2 1tan3 31 1 1 4 1 31 22 4 4 4 2 4xxdx dx uIa a x xxxI Cx x x x x | |+ |\ .| |+ |\ . = =+ +| || |+ + | | |\ .\ .| | + + |\ .| | || ||| |+ + = + + + = + + ||| |\ .\ .| | |\ . _= ()( )( ) ( ) ( ) ( )1 12 2 2 222 22 2 2 2248. sin sin620 86 420 8 8 20 2 4 16 16 20 4 36 6 419.31 3dx dx du u xI Cax x a uxx x x x x x x xdx dxIx x = = = + ( = = + = = = 21Integral je oblika I dx nazivnik je kvadratna funkcija pod korjenomQ x1 12 2 221116sin sin3 1313 166 61 6 1sin 3 13xdu uaa uxxI C + = =| || | + | | |\ .\ .+= + ( )22 2 2221 12 2 2 221 1 1 1 12 1 131 3 3 3 2 33 3 6 36 36 36 6 3613 136 6610. sin sin828 128 6xx x x x x xxdx dx du u xI Cax x a ux (| | | | | | = + = + + = + ( |||\ . \ . \ . ( (| || | (= + | | | ( \ .\ . + = = = + + ( ) ( ) ( )22 2 228 12 12 28 2 6 36 36 28 6 64 x x x x x x x ( = + = + + = + = Neodredjeni integrali6 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( )228 6 x = + 2 22 2 22 22 22 2 22111. ln21 3 23 14 41 3 3 1ln4 4 421 3 3 9 9 8 3 11 3 2 2 2 2 22 2 4 16 16 16 4 4112.54 525dx dxI u ux xxI x x Cx x x x x x xdx dxIx xx = + = +| | | | ||\ . \ .| | | | + + ||\ . \ . (| | | | | | | + = + = + + = ( ||| \ . \ . \ . \ ( =+| |+ |\ . a||.2 22 22 22 22 2 212 2 2 222ln251 2 2 2ln5 5 554 2 4 4 2 24 5 5 5 2 55 5 25 25 5 51 1 413. sin4 4 525 16542525 16 16u u aI x x Cxx x x x x xdx dx du xI Cx a uxx + =| | |\ .| | | | + + + + ||\ . \ . (| | | | | | | |+ = + = + = ( ||||\ . \ . \ . \ . ( = = + | | |\ . = 22 22 22 222222 2 251616 4114. ln24 4 51121 1 1ln 12 2 21 1 1 5 14 4 5 4 2 4 12 4 4 4 2x xdx dxI u u ax xxI x x Cx x x x x (| | | | = ( ||\ . \ . ( = + = +| | |\ .| | + + |\ . (| | | | + = + + = ( ||\ . \ . ( Neodredjeni integrali7 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 2222 221 315. 1 2 41 1 1 4 1 3Izraz pod korjenom smo preuredili:1 22 4 4 4 2 41 3 1oznacimo: 2 4I x x dx xx x x x xI x x| | + + = + + |\ .| |+ + = + + + = + + |\ .| | + + + |\ . 2Integral je oblika I ax +bx +c dx kvadratna funkcija pod korjenom122 2 22 2 2 22 2 2 21212 2 2 22222222 22 int3 3;; pa mozemo pisati:2 4 2 rijesimo svaki integral posebno:Iu dx du a au a uI u a du u a du du duu a u adua I auIu au aIu uI du u duaau u a= = = =+ + + == = += ++ ++ + ++++ __ 1 2 22 222 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 22egral rijesimo metodom parcijalne integracije:11 22 2u duv vII I at u t a k u tdtu du v k dk k u adu dt tdt dku a t auu du t t a t a dt u u a u aI uaI uuuu a = + = = = = = +===+ + + == + + = + +++ _ __2222 2 2 222o sada2Sada mozemo napisati cijeli izraz:1lnodnosno:2 21 1 1 3 3 1 1ln2 2 2 2 8 2 2aaaI uu a u u aI x x x x+ += + + + +| || || | | | | |= + + + + + + + | | ||| |\ .\ . \ . \\ ..222 2321 1 3 11 ln 12 2 8 2CI x x x x x x C| |+ + | |\ .| | | |= + + ++ + + + + + ||\ . \ . 2I2 22 222 2 rijesimI :ln tipski integral .IduI u u au a= = + ++ 2 2 2 22 2 2 22 2 2 216.a x a xI a x dx a x dx dxa x a x = = = = Neodredjeni integrali8 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike 1 2 122 22 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2sin; ;11222dx x dx xI a dx I a Caa x a x a xu xx x xdx x dx dv vdu dxa x a x a x a xa x kx dv vxdx dk xdx dkI I Ika x= = = = + = = = = = `= ) = = = = = ` = = ) _ _1xkk a x( )( )2 2 2 2 2 22 22 2 1 2 2 2 1 2 222 1 2 22211 2sin sin2 sin sin2 2Ixuv vdu x a x dx x a x I x a x Ia xx xI a a x a x I I a x a x Ia ax a x xI a x a x I a x Ca aI I | |= = = + = + |\ .= = + = + = + = + + _ 1 222I III ()()3 2 1 11 1 1 1 11 3 11 517. 3 3 ln5 5 2 5 2 2 2 2 2 2 4 22 23 2Izraz smo preuredili2 5x dxI dx dx dx x xxx xxx| | |= = + = + = + | | | | | |\ .\ . P xIntegral je oblika I dx potencija polinoma brojnika i nazivnika je istog stupnjaQ xC +( )3 2 1 3 2 5 11 1: 3 2 35 5 2 5 2 2 22 2x xx xxx x | |= = + | | | \ . |\ . ()()Metoda se svodi na preuredjenje nazivnika tako, da se prikaze u obliku produkta faktora i potom rijesi kaoP xIntegral je oblika I dx potencija polinoma nazivnika je veca od potencije Q xpolinoma brojnika suma parcijalnih razlomaka: ( )( ) ( ) ( )( )( )( )2 2 2 2 2218.2 32 3 2 35 6x x A B Cdx dx dxx xx x x xx x (= = + + +(+ ++ + + +(+ + D Neodredjeni integrali9 Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz vise matematike ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )2 2 2 222 2 2 21 22 2 2 22 2Izraz smo preuredili: 5 6 2 3 2 3Pisemo:3 2 3 2 2 3Za vrijednosti korjena izraza, 2 2 3 3Za0 0 3 2 3 2 2 30 2 0 3 0 2 0 3x x x x x xx A x B x x C x D x xx A x Cx A x B x x C x D x xB+ + + + = + +( + + + + + + + + += = = = = + + + + + + + + + == + + + + + ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 23 0 2 0 2 0 30 2 9 18 12 12 18 12 30 3 2 5Za44 2 4 3 4 2 4 3 3 4 2 4 2 4 34 2 1 2 1 3 4 4 1 2 4 10 2 4 10Rijesimo jednadzbe: 3 2 5 3 5 2 5 2 10 52 4 10 2DB D B D B DxB DB D B D B DB D D D DB D B + + + += + + + = + == = + + + + + + + + + = + + + = + = + = + = = = + = +=( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )2 22 22 22 2 15 2 10 52 32 32 5 3 52 32 32 5 3 52 32 3Uvedimo zamjenu za: 2 ; 3 ;22 5 3 51D B BA B C DI dxx xx xdxx xx xdx dx dx dxx xx xx u dx du x v dx dvdu dvI u du v dv uu v = = = (= + + + =(+ ++ +( ( = + + + =(+ ++ +( = + + ++ ++ = = + = == + = ( )( )( )( )135ln 5ln12 35ln 2 5ln