Prof. dr ing. Boris Apsen RIJESENI ZADACI VISE MATEMATIKE UZ TREe l DIO REPETITORIJ A

Od dr ing. B. Apsena izala su ova izdanja u nakladi Tehnike knjige, Zagreb:

LOGARITAMSKO RACUNALO REPETITORIJ

III izdanje 1952. godine VISE MATEMATIKE, prvi dio IV izdanje 1957. godine I izdanje 1950. godine V izdaRje 1962. godine II izdanje 1963. godine

vi izdanje 1967. godine III izdanje 1964. godine VII izdanje 1969. godine IV izdanje 1966. godine

V izdanje 1969. godine REPETITORIJ

ELEMENTARNE MATEMATIKE REPETITORIJ II izdanje 1950. godine VISE MATEMATIKE, drugi dio

III izdanje 1954. godine I izdanje 1952. godine IV izdanje 1958. godine II izdanje 1958. godine V izdanje 1960. godine III izdanje 1964. gddine

VI izdanje 1963. godine IV izdanje 1966. godine VII izdanje 1965. godine V izdanje 1970. godine

VIII izdanje 1970. godine

RIJESENI ZADACI REPETITORIJ

VISE MATEMATGKE VISE MATEMATIKE, trei dio I dio 1969. godine I izdanje 1958. godine

II dio 1969. godine II izdanje 1963. godine III dio 1967. godine III izdanje 1965. godine III oko 1970. godine IV izdanje 1968. godine

Dr ing. BORIS APSEN

r R?f~ENI ZADACI VIE MATEMATIKE

UZ TREI DIO REPETITORIJA

VEKTORSKA ALGEBRA. ANALITICKA GEOMETRIJA U PROSTORU. FUNKCIJE DVIJU I VISE PROMJENLJIVIH. VISESTRUKI INTEGRALI I NJIHOVA PRIMJENA NEPRAVI UITBGRALI. INTE-GRALI OVISNI O PARAMETRU EGZAKTNI D1FERENCIJALI I NJIHOVO INTEGRIRANJE EGZAKTNE DIFERENCIJALNE JEDNAD2BE EULEROV MULTIPLIKATOR KRIVULJE U PRO. STORU. KRIVULJNI I PLOSNI INTEGRALI VEZA IZMEU INTEGRALA RAZLICITIH TIPOVA. VEKTORSKA ANALIZA ELEMENTI SKALARNOG I VEKTORSKOG POLJA OPERATORSKI

RACUN SUSTAVI LINEARNIH 'D1FERENCIJALNIH JEDNAD2BI

TEHNICKA KNJIGA ZAGREB.

Tisak: Izdavako-!itamparsko preduzee "OBOD - Cetinje

PREDGOVOR

Nastojei da olakam studij vie matematike u prvom redu onim sluaima tehnikih i prirodoslovno-matematikih fakulteta, koji nemaju mogunosti pohaati sva predavanja i vjebe iz matematike, a takoer i onim mnogobrojnim tehnikim radnicima, koji bi u vrijeme slobodno od terenskih radova htjelisamouno proiriti svoje matematiko znanje, sastavio sam ovu zbirku 2adataka, u kojoj sam rijeio i potanko rastumaio uz mnogobrojne slike preko 800 zadataka.

Dok se veina sluaa relativno lako snalazi u gradiVU, koje sam obradio u I i II dijelu Repetitorija, mnogo vie tekoa ini razumjevanje i usvajanje gradiva III dijela, pa sam

odluio da kao prvi korak sastavim zbirku zadataka koji bi u stopu pratili gradivo tO& treeg dijela, odgodivi sastavljanje zbirke rjeenih zadataka za prva dva dijela Repetitorija. Sada radim' na toj zbirci.

Veina zadataka je uzeta iz poznatih izvrsnih zbirki ruskih autora Bermana, Davidovia, Gintera i dr., pri emu je preteni dio tih zadataka potanko obraen i rijeen, dok manji dio

. sadri samo sline zadatke i rezultate za samostalno rjeavanje tih zadataka. Oito je da rjeavanje zadataka navedenih u zbirci pretpostavlja znanje gradiva I i II dijela

Repetitorija i to diferencijalnog i integralnog rauna, pri emu su osobito esti osvrti na tipove integrala navedenih u II dijelu.

Na poetku svakog poglavlja navedene su formule prema kojima se rjeavaju dotini zadaci. Formule su oznaene brojevima iz III dijela pa se dotino gradivo lako pronae u Repetitoriju. Preporuam da se iza studija svakog pojedinog poglavlja III dijela odmah proue i rijee pripadni zadaci iz zbirke. '

Na kraju izrazujem iskrenu zahvalnost lanovima kolektiva Tehnike knjige i Grafikog zavoda Hrvatske a u prvom redu uredniku ove knjige Ivanu Uremoviu za susretljivost i saradnj\l i meteru Emanuelu Dragojeviu koji pri slaganju veoma sloenog gradiva nije tedio trud i znanje da knjiga bude to preglednija.

Drage itaoce molim da mi saope svoje primjedbe i elje i upozore me na mogue pogreke koje je teko izbjei kad sam svladava tako golem materijal. Moja adresa: Zagreb,

Voninina ul. 8.

Zagreb, listopada 1966. B. Apsen

SADRAJ

PREDGOVOR

I. VEKTORSKA ALGEBRA I NJENA PRIMJENA A. Vektori i operacije svektorima - formule .

Zadaci 1 do 35 . . . . o . . . o. . o . B. Vektorske funkcije skalamog argumenta. DerivaciJe vektora po

parametru. Primjene ukinematici - formule o . . . o . . . o Zadaci 36 do 47 . . . . . . . . . . . . . o o o o o o . o

C. Analitika geometrija u prostoru uz primjenu vektorske metode -formule o o o o ..

Zadaci 48 do 96 .0

IL PLOHE - formule o o o A. Plohe drugog reda izraene kanonskim jednadbam&. (Elipsoid. ID

perboloidi. Paraboloidi. Eliptini stoac.) Zadaci 97 do 110

B. Sfera (kuglina ploha) . o Zadaci 111 do 121 o

C. St'>aste i valjkaste plohe Zadaci 122 do 129

D. Openite plohe Oo o o o Zadaci 130 do 138 o

III. FUNKCIJE DVIJU I VISE NEZAVISNIH PROMJENLJIVIH A. Parcijalne derivaciJe funkcija dviju i vie nezavisnih promjenljivih

ao Parcijalne derivacije prvog reda o Zadaci 139 do 147 o o o o o o . ~

bo Parcijalne derivacije viih redova Zadaci 148 do 156 o o o o o o .

B. Totalni diferencijali fuilkcija ao Raunanje totainih diferencijala prvog i viih redova - formule

Zadaci 157 do 166 . o . o o . . '. . . o . o o . . o o o o bo Priblino raunanje pomou totalnog diferencijala - formule

Zadaci 167 do 176 o o o o o o o o o o o o o o., o o o o C. Parcijalne derivacIje i diferencijali sloenih funkciJa - formule

Zadaci 177 do 190 o o o . o o o o o o o o o Do Zamjena promjenljivih u diferencijalnim izrazima

Zadaci 191 do 201 o o o o o o o o o o o o o

5

11 11 13

26 27

32 34

60

62 62 71 .71 78 78 82 82

87 ...

87 87 87 89 89 91 91 92 94 94 97 98

101 101

7

8

E. DerIvacUe fUDkcOa zadanih implicitno lparametarskl - formule o Zadaci 202 do 221 o o o o . . o . . . . o . . o o o o . . o o o

F. Taylorove l Mac Laurlnove formule za funkcije viie promjenljivih - formule o o ... o ..... o . o o . o .. o o o o

Zadaci 222 do 234 . . . . . o . . . o o o o o o o o G. Ekstremne vrl.JednoIItl funkol,ja dvi,ju I vile promjenl,jlvih

a. Stacionarne take funkcije o o o o o o Zadaci 235 do 244 . . . . . . . o o

b. Slobodni ekstremi funkcija -' formule Zadaci 245 do 265 o . . o . . o o .

G. Vezani (uvjetni) ekstremi funkcija - formule Zadaci 266 do 285 o o . . . o . o o . o .

OO

do Najvee i najmanje vrijednosti funkCija u zadanim zatvorenim podrujima .., o . . o . o o o o . . . . o .

Zadaci 286 do 292 . . . . o . . o o o o . o o o H. GeoJDetrUske prlm,lene parclja.lnih derivacIja fUDkclja . . o . o . .

ao Singularne take ravnih krivulja - formule . o . o o o .. o . Zadaci 293 do 301 . o o . o o . o . . . . . o . . o . . . o

bo Ovojnice (anvelope) familija ravnih krivulja ovisnih o jednom parametru - formule . . . . o . . o . o

Zadaci 302 do 315a . . o . . . o o . o o o . o . o o o o o

VISESTRUKI INTEGRALI

104 105

112 113 118 118 118 121 122 131 132

142 142 147 147 147

150 150

IV. DVOSTRUKI INTBGB.ALI .... ~ . . . . ... o 158 A. PromJena redosll,jeda Integrlran.ta u dvostrukim integralima i rau-

nan,je tih lntegrala - formule . o . o o . o o o . . 158 Zadaci 316 do 361 o . o . . . . . . o o o o 158

B. Sredn,ja vrl,jednOBt dvostruko. lntegrala - formule . . o o o . " 179 Zadaci 362 do 365 . . . . . . . . o . o . . o o . o . . o 179

C. Zam,jena prom,jenl,jlvih u. dvoetruklm intecralima I raunan,je tih lntecrala uz tu zamjenu - formule . . . o . . ~ . 181 ao Dvostruki Integrali ti polarnim koordinatama o . . o . o 181

Zadaci 366 do 388 . . . o o . . . . . o . . ., . . . 181 b. Dvostruki Intelran u ellptikim i openitim koordinatama 192

Zadaci 389 do 396a . o . o . o . . . o . . o 192 D. PrImJena dvostrukih lntecrala o .. o o o o o . o o 196

a. Odreivanje volumena zadanih tijela - formule 196 Zadaci 397 do 422 . . " . . . . 196

b. Ravni likovi ... o .'. o . o . o 206 1. Povriina ravnih likova - formule 206

.Zadaci 423 do 434 o . . . . . o . 207 2. Masa nehomogenih ravnih likova - formule 210

Zadaci 435 do 438 . . . . . . . . . o o o . . . . o . . . . " 210 3. Statiki momenti i koordinate tdita ravnih likova - formule 212

Zadaci 439 do M6 . . . .'. . . '0 212 4. Momenti tromosti ravnih likova - formule 216

Zadaci 447 do 456 . . . . . o . o . o . . 216 c. Plohe ........... o . o o . o o . '0 220

1. Komplanacija (odreivanje povrAine) ploha - formule 220 Zadaci 457 do 473 . o '0 o o . . .. . . o . . . 220

2. Te!ita i momenti tromosti homogenih ploha - formule . o 231 Zadaci 474 do 478 . o o .'. . . . . o o . . . . . , . 232

~STBUKI INTEGRALI .................... A. Ra1llllUlje trostrukih Integra.la - formule . . . . . . . . . . . . .

Za9aci 479 do 483 . . .. . . . " . . . . B. zamjena promjenljivih u trostrukim integralima i nhDaa.le. tih

Intecrala uz tu zamjenu - formule . Zadaci 484 do 495 . . . . .

Co PrImjena trostrukih Iniepala . . . o . a. Odreivanje obujma tijela - formule

Zadaci 496 do 512 . . . . . . b. Odreivanje mase nehomogenih tjelesa - formule

Zadaci 513 do 519 . . . . o . . c. Odreivanje statikih momenata tjelesa - formule

Zadaci 520 do 522 o . . . . . . d. Odreivanje telita tjelesa - formule . o ... . . .

Zadaci 523 do 534 . . o . . . . . . . . . . . e. Odreivanje momenata tromosti tjeleSa - formule

Zadaci 535 do 546 o . . . . . . . . . .

VJ. NEPRAVI VlSESTBUKI INTEGRALI - formule A. Nepravi dvostruki integraIi

. Zadaci 547 do 557 .. B. Nepravi trostrUki IntegraIt

Zadaci 558 do 561 . .

VIL BRIVIRANJB I INTEGRIRANJE INTEGRALA PO PARAMBTBU-formule ........ o ..................... .

Zadaci 562 do 568 . . . . . . . . . . . '0

VUI. EGZAKTNI DIFERENCUALI I NJmOVO INTEGRIRANJE - formule Zadaci 569 do 581 . . . . . . . . . o. . . . . .

GZAKTNE DIFBRENCUALNE JEDNADZBB. EULEROV MULTI-..-............. TOR - formule ..

Zadaci 582 do 595 . . . o . . o . X. KRIVULJE U ,PROSTORU . . .

A. Jednadlbe tangente inonnalne ravnine- formule B. DUU1na luka krivuUe - formule . . . . . .'. . . C. JednadlbaoaJmlacione ravnine u taal ~ parametra to D. Elementi krlvuUe u wki parametra so - formule . . . . . E. Prostorna krivulja zadana u vektonkom obliku - formule F. Primjena uklnematlci - formule . . . . . . . . ., .

Zadaci 596 do 627 . . . . . . . . . . . . . . . . . XI. KRIVULJNI (LINIJSKI) INTEGRAL! . . . . . . . . . . . A. KrIvuljni Iniepali po du1jlni 8 krlvuUe k - formule

a. Raunanje krivuljnih integraIa . . . Zadaci 628 do 843 . . . . ~.

b. Primjena krivuljnih integrala uzetih po duljini krivulje Zadaci 644 do 660 . . . . . . . . . . . . .

B. KrlvuUni Intepall po koordinatama - formule . . . a. Raunanje krivuljnih integrala . . . . . . . . .

Zadaci 661 do 678 . : o . . b. Primjena. Odreivanje radnje sile uzdu! krivuijek

Zadaci 679 do 685 ..;............ .

'.

.'

237 237 237

23t 240-245

24~ 245 254 254 25B 258' 25t 280 267 268

276 276 276 282 282:

285 285

28t 290'

294 29& 300 300 301 301 30% 302 302' 303:

32(); 320 322: 322 32'1 327 334 335 335-342 342

9

C. Krivulini iniegrali izraza koji predouju totalne' diferenciJa]e neklIl \J funkcija - formule . . . . . . Zadaci 586 do '696 . . . . . . . . . . . XI PLOSNI INTEGRALI , ......... o o o

A. Ploni integrali po povrini S plohe - formule Zadaci 697 do 704 o '. o o o

B. PlOni integrali po koordinatama - formule Zadaci 705 do 717 o o o o o o o ., o o

VEZA IZMEDU INTEGRALA RAZLICITIH TIPOVA GREENOVA FORMULA o

Zadaci 718 do 729 V STOKESOVA FORMULA

Zadaci 730 do 732

" FORMULA GREEN-GAUS-OSTROGRADSKOG Zadaci 733 do 745 o o o o o o o

VEKTORSKA ANALIZA. ELEMENTI TEORIJE POLJA

XVI~~ALARNO POLJE - formule A Gradijent skalarnog polJa o o

Zadaci 746 do 760 o o o o, B. Usmjerena derivacija 'o

Zadaci 761 do 777 C. Nivo-plohe polja

Zadaci 778 do 780 D. Kut dviju ploha o o o o

Zadaci 781 do 785

XVII. VEKTORSKO POLJE A. Vektorske krivulJe;... formule (j Zadaci 786 do 789 o o o o o o o o B. Divergencija i rotor vektorskoc polja, odnosno polja sUa. Selenoi-

daina i potencijalna polja - formule . . o o o o o Zadaci 790 do 797 o o : o o " o o

C. Odredivanje potencijala "konzenativnih polja. SUDice l ~a polja SUa - formule . o o o o o

~ Zadaci 798 do 811 . . . . . . . . . . . . . . D. talni tok i cirkulacija vektonkoc polja - formule a. Ravno vektorsko polje . . . . . . .'. . . . . .

Zadaci 812 do 817 . . . b. Prostorno vektorsko polje

Zadaci 818 do 837 . . .

, XVID. OPERATORSKI RACUN - formule Zadaci 838 do 848 . o e SUSTAVI LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNADZBI S KON-, STANTNIM KOEFICIJENTIMA . . . . .'. . . . . . . . . . . . .

Zadac~ 849 do 866 . o . '. '.

10

347 348

351 351 352 356 356

366 366 374 375

379 379

385 386 386 390 390 395 395 39.5 395

398 398 399

400 401

404 404 410 411 411 413 413

424 426

429 429

I. VEKTORSKA ALGEBRA I NJENA PRIMJENA

A. Vektori i operacije svektorima

Formule

V=V'Vo

T = + V Xl + yi + Zi X

cosex=-r y. cos~=

T

z cosY=r

(1)

(2)

(3)

(4)

cos ex + cos' ~ + COSi Y = 1 (~)

Skalami produkt ;b .;; = a b cos cp

-- --ab --bil = b cos cp = a = ag b; ab --ab = a cos cp = -b- = bo a

akoje ;.lb

~11)

(12)

(l2b) .

(13)

(IS)

11

;b COS !ji = cib .

Vektorski produkt; x b

I a x b I = a b sin !JI = S paralelograma

-;;xb1.-;;i ;xb1.b;

I; x b I = a b, ako je -;; 1. b

-; x b = O ako su -; i b kolinearni axa=O

- - k i j ;xb= a", a 1/ a.

b '"

b b. /I

sin !ji = I; X b"1 ab

Viestruki produkti vektora

a) (;b) -; == (a b cos !JI) -; = vektor. b) Trostruki skalarm produkt

(-; x b) -; = a b sin !JI . e cos ljI = V paralelopipeda (; x b) -; = O uvjet komplanarnosti vektora ;; b i -;

12

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(20)'

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(26a)

(27a)

(28)

(30)

(30)

(30a)

a", all a. (; x ih';;= b", bil b.

c'" cII C.

(; x f)7= (h x 7); = (;x ;)1 = (~17) = ;1-; e) Trostruki vektorski produkt

; x (b x -;) = b(ac) - c(ab)

(; x b) x -; = b(;;-;) - ;(b~\ d) Cetverostruki skalarni produkt

(-; x b) (-; x d) = (-;-;) (bd) -(b7) (;id). e) Cetverostruki vektorski produkt .

vektor dodijeljen pravcu x - Xl Y - YI Z - Zt -a- = -b- = -c-

.;=A7+B7+Ck vektor normale za ravninu A X + By + Cz + D = O.

Zadaci

(31)

(3la)

(32)

(32a)

(33)

(34)

(39)'

(47),

l. Vektori A B = a i A D = b ine dvije stranice paralelograma AB CD. Izrazi pomou a i b vektore M A, M B, M C i M D, gdje je M sjeciite dijagonala paralelograma. Prema slici 1:

S A~;;:--I1--0----="C

Slika l.

AC=a+b, DB=a-b AM= ;+~, 2 pa jo --,- ;+b MA= --2--' --- --- a-b MB = --r-r'. -- -;-b b-; MD= --2-=--2-'

13

14

2. Tri vektora A B = c, B C = a i C A = b ine stranice 6. A B C. Izrazi pomou a, b i c i posebno pomou a i b teinice trokuta: A M, B N iC P. Kako je prema slici 2.

iz 6. A Al B slijedi

ili iz 6.AAIC:

Iz 6. B C N slijedi:

e

BM=~ 2 --> -+ a AM=c+ Z

-~ (~a) AAl=-b+ Z

A~--------~------~~B

Slika 2.

Kako je prema slici

odnosno

dobijemo

Prema slici:

ili kako je

.....

-- - e CP= b +-2

/:-------;.c

B

Slika 3.

odnosno

dobijemo

3. U praVilnom lesterokutu A B C D E F poznati su A B = P i B C = q, Izrazi pomou. ; i q vektore:

C D, b E, E F, FA, Ac' A D A E . Prema slici 3:

CD=BS=BA+AS=-p+q ~

DE=-p; EF=-q; FA=-CD=p-:1l - - . --

Slika 4.

~ 4. Izraunaj zbroj -;b + b-; + -;;, ako su -;, b i -; tri orta koji zadovoljavaju uvjet -; + b + -; =. O.

Iz uvjeta slijedi da zadani orti zatvaraju istostrani trokut stranica l (vidi sl. 4), pa meusobno zatvaraju kutove = 120, Prema (ll) dobijemo:

.-.-+ ........... -....... 3 a b + b e + e a = 3 . l . l ' cos 12()O = - 3 sin 30 = - -, 2

S. Uz uvjet da vektori -;, b i -; zatvaraju trokut pa je -; + b + -; = O izraunaj duljinu stranice e uz pretpostavku da su -; i b poznati.

IS

."".

"

6. Pokai da su vektori p = ;; (bi> - b ~ ~ i -; meusobno okomiti. Vektor -; mnoimo skalamo s Z Dobijemo:

pa suprema (12 b) vektori -; i -; meusobno okomiti. ... -.. ".......... -+.... -to -to 2 TC'

i. zadani su vektori P = IX a + 17 b i q = 3 a :- b, gdje je a = 2, b == S i ~ (a,'h) = 3' Odredi koeficijent IX uz uvjet da su vektorlmedusobno okomiti,

Raunamo p-; prema (17) i (15): p-; = hai + Sl ~b) - lX~b) - 17 bl = 31X . 4 +'(Sl - 1X)(;;b) - 17 . 2S =

'. . . 2", ~ - . = prema (11) == l21X + (Sl -IX) 2 . S . cos - .,.. 42S = l21X + (Sl - IX) 10 cos l20' - 42S =

, 3. . \

. 1 . = l2ex - (Sl - IX) 10 - - 42S = 17 IX - 680 .

. ' , 2 -

Prema (12 b): l71X - 680 = O

IX =

h) Vektorska komponenta vektora b u smjeru vektora -; = bc = bc' c;; = prema (12) j (2) = b-; -; (3 - 2) (3 i - k) 37- k 3 ~ 1-+

=-'-= =---=-.--k. e e el 9 + 1 10 10

i) (;7)1 - f;1)7 = prema (18) = (3 - 1) (i + 7 + 2k) - (l - 1+2) (37 - k) = 27 + 27 + 41. - 67 + 2k = - 47 + 21 + 6k.

9. Odredi radnju to je vrj sila Fkojoj su komponente Fs = Fil = 2 kp na putu s od A(O,l) do B(2,2).

Prema slici 5:

!J 2 -------- ...... - 8 .. ~

Fi 1'%1 I 1

-""'J;---jFy I I I I 1

f 2

Slika 5.

~adn;a R = -P7 = prema (18) = 4 + 2 = 6 kpm.

x

10. Odredi skalarnu i vektorsku komponentu (projekciju) vektora ;; = 27+ 7+ 2 k u smjeru O p [O (O, o, O), P (1, - 2,3)]. Prema (3):

O P = r = i - 2j + 3 k. Prema (12), (18) i (3):

ar 2 - 2 + 6 6 3 V14 a =-= =-=--.

r l rl Vl + 4 + 9 V14 7 ~--Prema (l) i (2):

-+ -+ 6' 7 - 27+ 3 k 3. 6""! 9 -+ 3-+ ar =a(ro =V14' v14 =1"'-1"J+1"k=1"T.

11. Izraunaj vektorsku komponentu (projekciju) vektora b = 7 + 3 7 + 4 k u smjeru vektora ; ~ 107+ 117-2k.

2 B. Apsen: Rijeeni zadaci iz Vile matematike 17

12. Izraunaj nutarnje kutove ~ A B e [A (- l, O, 2), B (2, l, - 1), e (l, - 2,2)]. Prema (8) i slici 6:

- --A B = e = (2 + l) i + (1 - O) j + (- l - 2) k = 3 i + j -:- 3 k - -A e = b = (1 + 1) i + (- 2 - O) j + (2 - 2) k = 2 i - 2j

e B = a = e - b = (3 - 2) i + cl + 2) j + (- ,3 - O) k = i + 3 j - 3 k. Prema (3):

e = V9 + 1 + 9 = V19, a = Vl + 9 + 9 = V19, pa je y =~, b = V4 + 4 = 2 Yl. Prema (19):

--ea 3 + 3 + 9 15 cos () = ea = YT9 , V19 = 19' Pomou logaritamskog raunala dobijemo:

(,), '38 N --'-- 1800 - 38 - 710 Y __ o 71'. 1"=_' ~- 2 - ,

Proba: r:r 6-2 2 ffs

ot = 'ci) = 'yT9 , 2V2 = V38 = 19; ot == W,

8

)(

Slika 6. Slika 7.

J' il e

13. U kocki brida a = 1 izraunaj prema slici 7 kutove cp i ~.

18

Prema slici:

~OCA:d=j+7; ~AOB:k=d+D, pajeD=k-d=k-J-1 -o. .... kD k(k -T-l;

cos qI = cos ~ (k, D) = prema (19) = k D = -::--'':-iV=========-1 1+1+1 qI == S4,7'.

-. ~ d D ci + f; (k - } - i5 - l - l ' - 2 VC; VC; cos ~ = cos (d, D) = - = - = = --- = - -.

d D V 2 VJ VC; 6 .. ,3 B d .. d . ''l' 'k' V"6 , U uel a Je ~ l Jatl ut uZimamo cos cp = 3 pa Je

.~ == 35,30 Proba:

14. Odredi kut to ga zatvaraju vektori;; = 27+ 2J + k [cos cp = !~; cp == 73,20]

l~dredi vektor -; koji je okomit na vektorima -;; = 3 i +7- 2 k i b = 4 i -7 + 3 k. jrema (27a):

7 j k c= 3 1 -2 =7(3-2)-}(9+8)+k(-3-4)=7-17J-7k.

4 -1 3 I

Proba prema (18): ~-ac=3-17+14=O; 1,7 = 4 + 17 - 21 = O.

.4'f"'Ir... .... ..... .......... ..... ~ {I 6 . .JVdredi koeficijent a; uz uvjet da su vektori p = x a + 5 b i q = 3 a - b kolinearni, dok /' vektori -; i b to nisu.

Raunamo prema (23):

-; x q = (a; -; + 5 b) x (3 -; - b) = po zakonu distribucije = ...... .-. ~- --+ ...... -

= 3 a; (a x a) + 15(b.x a)-a;(a X b) - 5(b X b) = "

= prema (24) i (26).

/18. Izraunaj plotinu paralelograma konstruiranog na vektorima AB = ;; + 2;; i iD =

,/

~ ... -- 7t =m-3n, gdje je m=5, ,,= 3 i ~(m,n)=(jI=6" Raunamo prema (20):

- .....

p= I A B x A D I = A B . A D . sin Iji. A B x A D = (;; + 2 n) x (;;; - 3 n) = (-; x ;) + 2 e; x ;) - 3 (; x t;) - 6 e; x n) =

= O + 2 (n x ;) + 3 C;; x ;;;) - O = 5 e; x -;). ..... ..... ~

p = 5 I n x m I = 5 . " . III sin (ji = 5 . 3 . 5 . sin 300 = --. 2

p = 37,5 kv. jedinica.

19. ji A B e odreden je vektorima A B = 3 p - 4 q i B e = p + 5 q. Izraunaj u tom trokutu visinu fl baenu iz vrha e na' stranicu A B uz uvjet da su P i q meusobno okomiti orti. Prema (20)" (26a) i (~6):

PA = ! I AR x BC 1= ! [3 (p x ;)B4(q x p) + IS eP x ''i>-:- 20(q x q)] = l -+ -+ ..... - 19.......... 19 19

= -r:{4(P x q) + 15(px q) = 21p x ~ 1=:'2' 1 ~ J . sin 900 = 2' U drugu ruku:

P I AB . 2P = 2. . fl, pa Je fJ = A B

fJ = 19 = 19 = 3,8. V9 + 16 5, -20~Izraunaj duljinu vektora -; = (37+ 47+ Sk) x (i + 67+ 4 k).

", '

-- [21]. 1!IIzraunaj sinus kuta Ito III zatvaraju dijagonale ,paralelograma konstruiranog na vektorima

20

;;=27+7-1 i b=7-3f+k. prva dijagonala: d1,=-; + b = 37-2J. Drugadijagonahr: d. = -; - b= 7 + 4 f -: 2 k.

prema (28)

-+ -+

i j

. ~;txd.1 am tp = \dsHtt.\ k _ ~ x 1. = 3-2 O = 7(4 - O) -jc-'6 - O) +k(12 + 2) = 47+ 67+ 14k

1 4 -2 VI6 + 36 + 196 1/248

sin tp = Y9 + 4 . V l + 16 + 4 = , 273'

Na drugi nain prema (19): d'id. 3-8 S cos, = d1 d. = V273 = - tm

sin, = Vl - cos, = y-;-- 22:3 = y~~. cl - - - -t.:7' IzraUilaj skalarnu projekciju vektora a = 3 i - 12i+ 4.k na os koja ima smjer vektora

b = (7- 2 k) x (J + 3} - 4 k). ['~. ~izraunaj volwnene V paralelopipeda kons~ranih na vekto~: \: ----

a) a = i - 3j + k

Prema (31): 1 -3 1

1 -3 = 1(1 + 6) + 3 (2 + 3) + 1 (4 -1) = 7 + IS + 3 = V= 2 1 2 1 = 2S kubnih jedinica.

b);; = 3; + S;

Kako je b + -; = 3 ;;; + S;; = ; sva su tri zadana vektora komp1anarna, paralelopiped ne postoii.,~.e ~ ,-

,..,~. , ..... ,'~ \

...

r i 2-4; Izraunaj visinu paralelopipeda konstruiranog na vektorima ; = 37 + 2 j - S k, \--/ -+ -+ -+ .... -+ -+ .....-+

b = i - j + 4 k i e = i ~ 3 j + k, ako je za osnovicu uzet p8r9lelogram konstruiran na ;i b.

-+. ......... ~ prema (31) V = (a x b) e, dok je u drugu ruku V = baza puta visina = prema (20) = = I;; x bl;: Odatle slijedi:

21

prema (31):

..... ..... ..... 3 2 -S I (a x b) c = l -1 4 = 3 . 11 -.2' (- 3) - 5(- 2) = 49 l -3 l., ~ --

7 7 k --;xb= 3 2-5 =37-177-5k

l -1 4

I; x bl = V9 + 289 + 25 = V323 49

v=vm'

,fs)odredi vektor;; koji je okomit na ravnini odredenoj takama A (l, O, - l), B (2, - l, 1) i V C(- l, 1,2). Vektori AB = ; = (2 - l) 7 + (- l - 0)7 + (l + l) k = -; -7 + 2 k

AC = b = - 2 -; + 7 + 3 k [vidi (8)] lee u zadanoj ravnini pa je prema (27a)

) - - -+ -- - - - -+ -+ -+ ... 26. Zadana su tri vektora a = 2 i - j + k, b = i + 2j - k i c = i + j - 2 k. Odredi jedinini ~u' - ---+

"ektor Vo koji lei u ravnini to je ine vektori b i c, a okomit je na vektoru a.

Traeni vektor ;- = v 7 + v 7 + v k lei u ravnini vektora b i Z ta su tri vektora dakle ;t' 11 . z

komplap.arna, pa je prema (30)'

Odatle prema (31): v.,

l v" v. I 2 - 1 = - 3 fl + v. - fl = O

z Y I ~ -2 I .

(a)

;- ..L ;, dakle prema (12b):

(b) (a) + Cb) daje:

fl., = O,

pa iz (a) i (b) slijedi v = v.

" z CC)

22

Kako je Vo = 1, prema (3) imamo:

odnosno s obzirom na (c)

a odatle je

IzraU11aj:

a) -; (b x ~, (;; x~7 i (7 x ~;;.

Vva+ Vl = 1 1/ z , .r K v

V2v2 =1, 1/

-+ 1 7" .... v. = v=2 V + k).

1 -2 ;;(b x ~ = prema (31) = 3 O = 1 (- 1) + 2 (- 3) + 1 (3) = ~

O 1-1

~ x "t) 7 = prema (3la) = ;;(b-X C) = - 4 c; x ~;; = prema (3la) = - -;{(b x ~ = + 4.

b) (-; + b) (b + ~ x Z Oznaivi i izraunavi

dobijemo trostruki skalarni produkt, koji raunamo prema (31):

I; x ~- :(; x c) =! ~ -~ ~ = - 4. \ cr I O 1-1 Isti primjer na drugi nain:

-+ ...... -+ -+ - ...... -+- ...... -+ -(a + b) (b +" e) x e = po zakonu distribucije = (a + b) (b x e + e x e) =

= prema (24) = c;; + "t) ch x C) = -; ch x ~ + b ch x ~ = prema (30a) = = ;; (b x ~ ..L O = prema a) = - 4.

23

e) {; x b) x fb + ~(-; + C) = [prema (3I) uzeVi u obzir da je ;; + h = 47 - 2J + 2k. 4 -2 2

-;; + -; = 37+ 7 i -; + -; = 7- jj = 3 l O = 2 (- 3 - l) = - .!: l -1 O

28. Pokai da je C;; x b) x -; +(b X C) x; + ~ x -;) x b =0. Raunamo prema (32a):

C;; x b) x -; = bC;;C) - ;(bC) (b x-;) x-;=-;(b~-b~~ + o~ X ~ x b = ;~b) - -;C;;b)

O

29. Pokai da je ;; x Ch x C)0 = o, ako je -; l. b Prema (32):

.... ....

a l. c.

30. Zadana su tri vektora

24

Izraunaj:

a) (-;b) -; i -; (b~. Prema (18):

Vidimo da je

(;; h) -~ = (2 - l + 2) -; ~~ 3 -; = 37+ 67 - 3 k ;; Cb~ = -; (2 + 2 - l) = 3-;; = 37- 37+ 6 k.'

jer je na lijevoj strani vektor kolinearan s;' a na desnoj strani vektor kolinearan s ;.

b) (-; x b) x -; i ;; x (h x ~. Prema (32 a) :

(-; Y. b) X -; = h (7, "J) - -; (b C) = - 3 h - 3 -; = - 3 (b + ~ = - 3 (37+ 3 k) = =-9U+k)=-97-9k.

Prema (32):

-; x (b x ~:= b(-;~ - Z(-;b) = - 3 b - 3 Z = - 3 (b + C) = - 3 (37+ 3}) = =-9{i+f>=-97-9f

31. Dokai identitete:

~ -+ -100 -+ -+ "'+ -+-+-+ Uvedemo li oznake a + b = u i a + e = !I, dobijemo u (!I x u) = ~ prema (30 a) ..

lli: ;(;; x ;) = ;;(; X ;) = prema (24) =;;. O =~.

b) ; x [;i x ~ x b)]:= al (b x ;i). Stavimo li -;x b ,.,;.; dobijemo -; x ~ x ~ = prema (32) = ; (;;j - ; (-;-;) = = -;[;(; x 6)] - (; x b)(-;~ = prema (30 a) i (IS) = - al (-; X b) = al (b x ~.

; x [-; x C; x 6)]; = prema (32) = -;i" x [;i(-;b) - b(-;-;)]; = prema (26 a) i (IS) = = [(-;i" b) (-; x ;i) - aa C; X i)f; = prema (24) i (31 a) = - al (b x ;j-;i" = - al; (b X ;j.

d) ~ x 6) x C; x d) = O ako su vektori ;, b. ;, i 1 komp1amU'ni. Oznaivi Z x d = 7 dobijemo

(-; x 6) x C; x 1) = (-; x i) x 7= prema (32 a) = b(ld) - ;(bfJ = =b[~ x J);j ~ -;[b(; x 1)] = ~,

Oba su trostruka skalama produkta jednaka nuli, jer su vektori;'1 i;' a ~oder b. ; i 1 komplanarni. [Vidi (30').] Na drugi nain:

jer su vektori -;. i 7 kolinearni kao vektori okomiti na istu ravninu u kojoj su vektori ;, b,; i 1. [Vidi 23).] ~-;X(bX~+bx(;x~+;xC;xi)=~

Uputa: Izraunaj prema (32) vrijednosti zadanih trostrukih vektorskih produkata. 25

f) (; (b x D] 7 + [;:i (b x 7)17 + ~ (b x k)] k = ; x bo Uputa: IzraWlaj prema (31) trostruke skalarne produkte navedene u uglatim zagradama.

g) Dokai da su vektori ;, b i -; komp1anarni, ako je c;i x b) + b x ;) + (-; x ~ = O. Uputa. Zadanu jednakost pomnoi skalamo s -;; pa uzmi u obzir formule (30)' i (30 a).

32. zadani su vektori:

[l; --107- 27 - 12 k; 2; 2 -; + 4 f - 8 kj. 33: Zadan je tetraedar svojim vrhovima A (l, 1, l), B (O, O, 2), C (0,3, O), D (4, O, OI. Odredi

volumen tetraedra i kut to ga ine bridovi A B i A C.

[ ! ; cos ~ = - ~]. 34. Izraunaj povrinu P trokuta A B C [A (I, - l, O), B (2, l, - l), e (- I, 1,2)].

l - -Uputa P = -f I A B x A e I. [3 Vi].

35. Odredi jedinini vektor (ort) koji je okomit na vektorima

Za

26

[7- s7- 3k]. -V3s

B. Vektorske funkcije skalarnog argumenta. Derivacije vektora po par.ametru. Primjene u kine matici.

Formule

;(tl = ax Ct) -; + all Ct)f + a. Ct) k bet) = bl> (t) 7 + bil (t)f + b. (t) k

--d-- -- da db dt ea b) = dt dt

d -- ~ dt (e . a) = e dt Cc = skalarna konstanta)

(35)

pri emu je

d - -d;; d da dt (a)2 = 2 a dt = ili prema (15) = dt al == 2 a dt

d- -- -- db -- d-;; -(a x b) = a X - - b x-dt dt dt

db slino dt

d --- -d-;; -(ea) = e-dt dt

ako je -; konstantan vektor.

ako je -; vektor konstantne duljine. U kinematici predouje

-; = x(t)7 + y (t)} + z (t) k

(35)

(3S)'

jednadbu gibanja take, tj. gibanje take u prostoru (ili u ravnini) zadaje se tako da se toj pominoj taki dodijeli radijvektor -;, dok je t vrijeme, pa je

vektor brzine, dok je (35')

-vektor akceleracije krajnje take vektora r.

Zadaci-

36. Zadana su dva vektora koji su funkcije skalarnog argumenta (parametra) t:

-;; (t) = St 7 -} + t2 k i bct) = sin t 7 + cos t k. Izraunaj prema (35):

d~- ~ -+ - -+ -+ -+ a) dt (a + b) = S i + 2 t k + cos i i - sin t k = (S + cos t) i + (2 t - sin t) k.

d -- -+ -+ -+ - -+ - - - -b) dt (a b) = (S t i - j + tl k) (cos t i =- sin t k) + (sin t i + cos t k) (S i + 2 t k) = = 5 t cos t - t2 sin t + S sin t + 2 t cos t = 7 t cos t + (S - t2) sin t.

27

d -- d d c) dt (a a) = prema (IS) = dt al = prema (17) = dt (2S tl + l + t~) = SO t + 4 tl.

d -lo _ _ 4 - _.. - -+ -+ - - ,i d) dt (a x b) = (S t i - j + tS k) x (cos t i - s~ t k) - (sin t i + cos t k) x (S i + 2 t k) =

i St

cos t

j -1

O

k I i tl - sin t - sin t S

j k O cost = Tsint-j{-Stsint-t2cost)+ O 2t

37. Izraunaj za -; = -; (t). Raunamo prema (3S):

d- -d; d' dr a) -(r)1 = 2r - = ili prema (IS) = -rl = 2r- dt dt dt dt

Izrauna; ! (;)1 prema prvom i drugom rezultatu! _ ........ _ -+ -J

, d (- dr) - dir dr dr - dir (dr)1 b) dt r dt = r (fti + dt . dt, = r (ili + dt .

d (- ~) - di; d-; ~. _. dl; c) - r x - = r x - - - X - = s obznom na (24) = r x_o dt dt dt l dt dt dt~

38. Zadan je vektor;: = ;; cos (o) t + b sin (o) t, gdje su ;; i b konstantni vektori dok je (o) skalama konstanta. Dokai:

.....

.... dr -+-a) r x dt = (o) (a x b)

--dr -too ........ -r X dt = (a cos (o) t + b sin (o) t) x (- a (o) sin (o) t + b (o) cos (o) t) =

= - c; x';;) (o) cos (o) t sin (o) t - (b X ;) (o) sini (o) t + &i x b) (o) COSi (o) t +

'F (o) (-; X b').

-dS, - ..... - -dtl + (o) r = s obzirom na zadatak a) = - a (0)1 cos (o) t -, b (0)1 sin (o) t + a (0)1 cos (o) t +

+b(o)lsin(o)t=~

28

39. Dokai da za -; = ;e"'t + be-"'t, gdje su;i bkonstantni vektori, vrijedi jednakost

dir .......... -+ -+ .-dtS - 6)1 r = a 6)2 e'" t + b 6)" e - '" t - a 6)1 e'" t - b 6)s e - '" t = O.

40. Odredi derivaciju po parametru t volumena paralelopipeda kojemu su bridovi vektori

41. Poloaj take koja se giblje u prostoru odreden je radijvektorom -; = et r + et sin t T + t - - -+ -- ..... + e cos t k. Odredi brzinu v, ubrzanje a i kut !p izmedu v i a u momentu t = O.

--+ dr t- t -+ t -V (t) = dt = e i + e (cos t + sin t) j + e (- sin t + cos t) k, a za t = O

. - - ~ - dv dir t7 t . . - 7 t a Ct) = dt = dtl = e J + e (- sm t + cos t + COS t + sm t) J + e (- COS t .- sm t -

- sin t + cos t) k = iT + 2 et cos tT- 2 et sin t k

Prema.(19):

42. Izraunaj za t = O brzinu v, akceleraciju a i ~!p c;';;), ako je gibanje take odredeno radijvektorom -; = ln (tl + 1) T + &,(c ta t T + V t' + 1 k.

[cp = 90'].

29

43. Gibanje take u ramini zadano je jednadbom -; = 3 i cos t + 4 T ~in t. Odredi trajektoriju, ..... - .... - ---- 7r 7t'

brzinu v i ubrzanje a gibanja, napose v i a za tl = 0, t. = 4" i ta = 2 Iz usporeenja zadane jednadbe gibanja --; = 3 i cos t + 47 sin t s opim oblikom radij-vektora --; = x 7 + y 7 slijedi:

x=3cost 1:3 y=4sint 1:4 x -=cost 3

y . -4 = Slnt.

Kvadriranje zbrajanje tih jednadbi daje Xl y2 9+16=1.

Staza gibanja je elipsa spoluosima 3 i 4.

dr 3~ 4~ v = dt = - z Sin t + J cos t; ->-

za tl = O: 'Ul = 4j;

Za ta = ;: va = - 37;

->-.... dv .... .... a = - = - 3 i cos t - 4 j sin t dt

2 Vl7

44. Odredi stazu, brzinu ;, akceleraciju ;, a takoer veliine brzine i akceleracije za moment t.

30

tl = 0, ta = ; t8 =; i to za gibanje take koje je zadano jed~dbom --;= 27coQt + 2isint + 3kt. Usporeenje s --; = x 7 + y 7 + z k daje stazu gibanja u parametarskom obliku:

x=2cost y=2sint z = 3 t

a to je cilindrika spirala [vidi formulu(lSS) u dijelu III Repetitorija

->-.... dr .... -+ .... v = dt = _-..,;;2 .... i,.;;sIn;;; ;.;t;.,.+..:....;2:;.;J~ .;.,.cos;..;;.,,;t_+.:.,...;3;.,.k ....

...

- dv - -a=-= -2icost-2jsint dt

- v = JI 4 sini f + 4 cos' t + 9 = Vu } a = JI 4 cos' t + 4 sini t = 1. v i a imaju konstantne vrijednosti za sve t.

Za tl = O: ~ = 27 + 3 k; i

7'c' -+ 1/- -+ -+ -+..... -+ lI--Za t. = 3": 'lJ1 = - V 3 i + j + 3 k; al = - i - V 3 j

Za t, = ;: .;. = - 2i+ 3 k; .

45. Zadana je jednaCiba gibanja -; = i cos ~ cos (o) t + 1 sin ~ cos (o) t + k sin (o) t, gdje su iX i (o) skalarne konstante. Odredi trajektoriju, veliinu i smjer brzine i akceleracije.

Usporeenje zadane jednadbe gibanja s opim oblikom radijvektora -; = x 7 + y 7.+ z k daje jednadbu traene staze:

x=cos~cos(o)

y=sin~cos(o)t

z = sin (o) t. l:sporedinl.o li dobivenu jednadbu staze s parametarskom jednadbom kugline plohe [vidi dio III formulu (95) i sl. 75], vidjet emo prema navedenoj slici da je trajektorija krunica polumjera 1 kojoj ravnina zatvara s ravninom X Z zadani konstantni kut !x.

; = - T (o) cos !x sin (o) t -1 (o) sin !x sin (o) t + k (o) cos (o) t -; = - -; (0)2 cos ~ cos (o) t -1 (0)1 sin !x cos (o) t - k (0)2 sin (o) t f) = V (0)2 cos' iX sin" (o) t + (0)2 sinI !x sin" (o) t + (0)1 cos' (o) t = ~

Na isti nain dobijemo

46. Zadan' je radijvektor pomine take -;{a sin t, - a cos t, b t'}. Odredi hodografe brzine i akceleracije (a i b su ska1arne konstante).

Openito se pod hodografom radijvektora -; =-;(t) pomine take razumije krivulja to je opisuje krajnja taka tog radijvektora. U navedenom zadatku se trae hodografi za radij-"ektore brzine -;; i akceleracije ;; gibanja ~eenog zadanim radijvektorom. Prema zadatku:

-; = i a sin t ..,..7 a cos t + k b tl. Odatle:

-.... dr..... ..... -+ 'lJ = dt = iacos t +jasint + 2kb t

pa je hodograf brzine x=acost

y = asint

z = 2bt } cilindrilka .p_ [vidi fOnnUIU (''')1 --+d!' -+ ..........

a= dt =-iasint+jacost+2kb

31

ili

hodo.,.,. oI=Ienocij< (

X2 = a2 sin2 t I + y2 = at cos! t

X= -asint

y=acost

z = 2b

X2 + y2 = a2 } krunica polumjera a koja je paralelna s z = 2 b ravninom X Y a udaljena od nje za 2 b.

47. Odredi trajektoriju gibanja odredenog radijvektorom;:: ako taj radij vektor zadovoljava uvjet

gdje je -; konstantan vektor.

; --=axr dt

Zadani uvjet pomnoimo skalarno s ;;

a zatim s r:

-+ dr- -too __ - a = (a x r) a dt

-+

dr -+ - --dt r = (a x r) r.

Prema (30a) oba su trostruka skalama produkta jednaka nuli, pa. je

. Integriranje daje:

d-;' -; =0

d-;' -;=0 .

r a = const.

(;)1 = const. Prva jednadba predouje ravninu kojoj je vektor -; normala [vidi dio III formtJ.lu (45)J, dok druga jednadba predouje kuglinu plohu polumjera r. Navedena ravnina sijee sferu u krunici, koja je traena trajektoI:ija pomine take.

c. Analitika geometrija u prostoru uz primjenu vektorske metode

Formule . Pravac

Parametarski oblik:

.32

x = Xl + a t y = Yl + b t Z = Zl + ct

(37)

Kanonski oblik:

x - XI Y - YI Z - ZI -a- = -b- = -c-

Kosinusi smjera pravca a

cos IX = ---:-iV'=:al==+====;b::::I=+===;:cl

b cos ~ = -':J-;:==:=====;'

Val+bl+cl

Vektor smjera pravca (38):

Ravnina

Opi oblik: Ax+By+Gz+D=O

Kosinusi smjera norniale ravnine A

cos IX = --:----;)V;:=A7.I;=+==;B;;;I;=+~ea:;;' B cos~= ..

V AI + BI + ea G

cos y = VAl + Bl + G.

Vektor normale ravnine (46):

;=A7+B7+Gk Ravnina (46) u normalnom obliku:

Ax+By+Gz+D=O VAl + BI + Gl

Udaljenost take TI (XI' YI' ZI) od ravnine: . d = A XI + B YI + G ZI + D

, V Al + Bl + Cl Ravnina kroz taku Tl (x" Yp ZI):

A (x - xJ + B (y - YI) + e (z - ZI) = O. Ravnina kroz tri take Tl (x" YI' ZI)' Tl (x" YI' Z.) iT. (x" YI' z~:

x - Xl Y - YI Z - ZI

xa - XI YI - YI Z. - ZI . = o. Xa - XI Y. - y~ Z, - ZI

3 B. Apsen: Rijeleni zadaci iz Vile matematike

(38)

(39)

(39)'

(46)

(47)

(47)'

(47a) "

(48a)

(SO)

(Sla)

33

Zadaci

G N!ii jednadbu rav~ne E koja prolazi takom A (2, 3, O), a okomita je na pravcu V p -BC[B(l,l, - 1), C(0,0,3)l~ Sl. 8. Oznaivi s P (x,y, z) bilo koju taku traene ravnine E piemo prema (8)

XP = -; = (x - 2)-;+ (Y - 3)} + z k

Kako je ;; J. b, prema (12 b) i (18) imamo -;1 = (x - 2) . 1 + (y - 3) . l + z . (- 4) = O

ili x+y-4z-5=0

a to je prema (46) jednadba traene ravnine E.

r~Rijeli isti zadatak, ako je A (2, 1,2), a p = A O [A (2, 1,2); O (O, O, O)]. LJ- [2 x + y + 2 z :- 9= O].

Slika' 8. Slika 9.

E~"-edi udaljenost d take P (l, 2, 2) od pravca p """ A B [A (2, 2, 3); B (2, - 1, O)]. Sl. 9 CCma(8): ~"'"

.BA illi;=- 3j+ 3k

Prema (12):

;b - 9 - 6 IS b - - == prema (18) i (3) = -- = - - . a ffs ViS.

34

Prema slici 9:

dO = b2 _ bl = (1 + 9 + 4) _ 225 Jt::3'" OI 18 ,fl

~r d = Y1-.

Sl. Napii jednadbu ravnine E koja prolazi takama A (Xl' YI' ZI)' B (X"YB' z.) i C (xa'YI' za) Sl. 10. .

8

Slika 10.

Neka je P (x, y, z) bilo koja taka traene ravnine E. Znamo da je a x b J.. E, a dakle i na -; pa prema (30)' bit e

Kako je prema slici 10 i (8):

AB s;; = (x. - Xl) -; + (YI - YI) 7 + (Za - ZI) k AC s b = (Xa - Xl) 7" + (Ya - YI) 7 + (Za - ZI) k Xi> =- --; = (X - Xl) -; + (y - YI)} + (Z - ZI) k

imamo prema (ll): X - Xl Y -.YI Z - ZI

x. - Xl Y. - YI . Z2 - ZI = O.

a to je prema (S1a) jednadba traene ravnine E.

-r;;J Zadane su etiri take 8 A(1,2,2); B(l, 1,2); C(-I,S,2) D (2, - l, O). Odredi jednadbu pravca p koji prolazi takom O (O, O, O) a okomit je na pravcima A B i CD. Dodijelimo pravcima A B i C D vtktore ;; i bo

35

Prema (8):

CD !!! h = 3 T - 6} - 2 k

a traenom pravcu p radijvektor -; = x T + y T + z k. Vektor -; koji je okomit na vektorima -; i h glasi:

- k j 7=-;xh= 2 - 1 O = 21+ 47-9k.

3 -6 -2

Kako je prema zadatku -; okomit na -; i'h: bit e ;" c: pa je prema (23)

Odatle

Slijedi:

Odatle

ili

-.. l i J rxc=O ili x y z = O. 2 4 -9

7(- 9y - 4z) +7(2 z + 9x) + k(4x - 2y) = o.

2 z x=-"9 z=-9

2:

- 9y - 4z = O. 2.1'+ 9x = O 4x"":2y=0

a to je prema (38) traena jednadba pravca p.

@redi udaljenost d take P (4, 0,3) od ravnine odredene tauma

36

A(-1,6,3); B(3,-2,-S) C(O,l,O).

Kako se vidi iz sl. 11, spojnice zadanihtaaka ine bridove tetraedra kojemu je visina traena udaljenost d. Volumen ~etraedra V = ! B d, gdje je B ponina baze, odatle je

3V d=="B . (a)

Prema slici i (8):

Kako je prema (30) l V= -(b x e)p 6

dobijemo s obzirom na (a) i (20),: 1 .... ....-+

,3' "6 [(b x e)p] d=------l .......

Tlb x cl Prema (31) i (27&):

(ix ;)p Ibx;1

4 - 8 - 8

p

(a)

c'

Slika ll.

(b X ;) P = - S - 3 = - 104 ili po apsolutnoj vrijednosti 104. S - 6 O

7 7 k bx-;= 4 -8 -8 =-167+41-12k

l. '- S - 3

I b x e I = Y2S6 + 16 + 144 = V4I6 d = _104 = -~ = ~;i6.

V~16 2'V26 -

---

8

Rijeimo isti zadatak na drugi jednostvniji nain i to tako da odredimo duljinu projekcije vektora -; (ili CP ili BP) na vektor -;; = b X -; = - 167+ 4 j - 12 k koji je okomit na ravnini A B G. ...

Prema (12): d = p = 1;-; 1_ = 1- 80 - 241 = 104 = V26.

"n y'416 V416-

S. Odredi udaljenost take O (O, O, O) od ravnine odredene takama A (l, - l, 2); B (2, O, - l) ~ . i G (O, 2, I). '

, ,[v;'J. r-\ . f Sj Izraunaj visinu piramide kojoj je vrh S (O, 6, 4) dok je baza A A B G [A (3, S, 3); L B(- 2, 1, - S); GCI, - 1,4)],

[3].

37

56. Zadana su dva pravca

3a

Pl == A B [A (1, 0, - 1); B (- 1,1, O)] p2 - G D [G (3, 1, - 1); D (4, S, - 2)].

Dokai da su ti pravci mimosmjerni i odredi najkrau meusobnu udaljenost tih pravaca. a~ .

Prema (8) dodijelimo zadanim pravcima vektore

AB=h=-27+7+k Prema (23) zadani pravci nisu paralelni, jer je

.... .... k i j bxd= -2 1 l *0.

1 4 -1

P,

Pokaimo da se ti pravci i ne sijeku, pa su mimosmjerni. Uvedimovektor GB == -; =:' = - 4 i + k pa raunamo prema (31):

Slika 12.

-2 l

-4

l 1

4 -1 =H*O.

. Prema (30)' vektori b, d i -; nisu komp1anarni pa se pravci Pl i PI ne mogu sijei. Odredimo vektor 7 = b x d koji je okomit na Pl i PI. Projekcija bilo koje spojnice pravaca, npr. 7, na 7 daje traenu najkrau udaljenost d, pa je

Raunamo: 7=bXd~ -57-7-91 /= y'2S + l + 81 = y'107.

Ima1i smo (b x d) -; = II pa je d = ~.... II y'i07 . Vi07 107

Proba. Projicirat emo DA = -; = - 37- 57+ k na l. Prema (12): d = (h X d);

/

-2 'l 4 -I =11

- 3 - S

11 d=V107 .

57. Zadan je tetraedar svojim vrhovima A(I,2,2); B(-l,O,O); C(l,O,l) i D(-2,3,0). Odredi a) volwnen; b) povriinu t::" A B D; e) visinu h tetrardra uzedi B C D za bazu; d) naj-

krau udaljenost izmedu brodova A B iC D.

[ 2 l .1- 4 1 ] a) T; b)T y70; c)V46; d)V14

~ okai da se zadni pravci A B [A (7, - 2, 3); B (9, - 2, 4)] i CD [C (5,-1, l); D (S, O, O)] ~eku i odredi jednadbu ravnine koju odreduju .. Sl. 13. - - k i j

bxd= 2 .. --O 1 =1=0 O -l

Slika 13.

pa prema (23) pravci nisu paralelni.

Prema (31): 2 O l 2 O

(bxd);= O -l O l -l -2 l -2 -2+2 1+0 -2+1

2 O l O -1 =0. O -1

Prema (30)' pravci A B i C D su komp1anarni pa se sijeku.

39

Neka je P (x,y, z) bilo koja taka ravnine Ito je odreduju pravci A B i G D. Prema (8):

Prema (30),:

Odatle

AP = -; = (x - 7)7+ {JI + 2)7+ (z - 3) k

x-7 y+2 z-3 2

O O 1

1 -1

E == x - 2y - 2 z - 5 = O

=0

59. odredi jednad!bu ravnine, koja prolazi pravcima A B [A (1, 2, 2); B (2, 1, 1)] i GD [G(3,0, 3); D (4, -1,2)]. Sl. 14.

Slih 14.

CP = -; = (x - 3)7+ y 7 + (z - 3) k. Prema (30)' i (31):

x-3 Y z-3 -;C;xd) = 2 -2 =0

l -1 - 1

E "'" x -+- y - 3 = O.

60. odredi udaljenost d take P (2, - 3, 4) od ravnine x + 2 y + 2 z - 13 = o. Sl. 15.

Usporedimo li izraze za kosinuae smjera vektora -; = xr + y J + z k(4), pravca x - Xl = a

= y ~ y1 = Z ~ ~l (39) i normale ravnine A x + By + G z + D = O (47), opazit emo da su ti izrazi posve identini: .

X a A cos IX = ; COS IX = "7F=;;==:=;::==:===:=-

- y~+~+~ y~+~+~ cos IX = II itd. A' + BI + Gl Zakljuujemo da je

(39)'

40

vektor kolinearni s pravcem, x - X, = Y - YI = Z - zI, dok je a b e

(47)'

vektor normale za ravninu A X + By + e z + D = O.

Za na sluaj E == X + 2y + 2 z - 13 = O prema (47), imamo -; = T + 27 + 2 k.

p

:a I

Slika lS.

Da odredimo bilo koju taku Q zadane ravnine E uzmimo probodite osi X (x!, O, O) s ravni-nom. Uvrtenje daje Xl - 13 = O pa je Q (13, O, O), dok je vektor

Projekcija P na -;; daje traenu udaljenost d. 1;;11-11-6+819 d = P = prema (12) = -- = = -3 =_3.

TO n Vl + 4 + 4

61. Odredi udaljenost

a) take P (2,0, - ~) od ravnine 4x - 4y + 2z + 17 = O b) take Q (2, 2, 3) od ravnine 2 X + 3 ji + 5 z = O.

62. Odredi jednadbu ravnine koja prolazi takama A (1, O, - 1) i B (- 1,2, 1) a paralelna je s presjenicom ravnina El = 3 X + y - 2 z - 6 = O i Es = 4 x - y + 3 z = O.

Dodijelimo li prema (47)' normalama zadanih ravnina vektore

41

bit e vektor -; koji je okomit na ~ i ~, tj. - - k i j

- =:7-17j-7k $.= nl x nl = 3 1 -2 4 -1 3

kolinearan s presjenicom tih ravnina.

Traena ravnina E odredena je sad zadanim takama A i B, odnosno vektorom A Jj == == b = - 21 + 2j + 2 k i vektorom:;: dok je vektor

- k i j ;=bx-;= -2 2 2 = 207- 12} + 32k

- 17 -7

okomit na ravnini E (vidi sl. 16).

Slika 16.

Prema (47)' 20, - 12 i 32 su koeficijenti A, B i e traene ravnine. Usmeno li jol u obzir da ravnina prolazi takom A (1, O, - 1) dobijemo prema (SO)

20 (x - 1) - 12 (y - O) + 32 Cz + 1) = O ili

Sx-3y+8z+3=0

jednadb~ ravnine E.

Prpba. Ravnina E prolazi i "takom B (- 1, 2, 1). Uvrltenje daje - S - 6 + 8 + 3 = O.

063. Odredi kosinuse smjera pravca /.---

42

2x+ y- Z-S='0l x-~y+2z-2=0/~

.~ L 64~bdredi kut pravca SI. 17.

x+1 y z-3. P==-2-=T=-6-1 ravnine E==10x+2y-llz-3=0.

Slika 17.

Doqijelimo prema (39)' i (47), pravcu -; vektor -; = 2 -; + 3 T + 6 k, a: ravnini E vektor -; = 10-;+ ii - 11 k. Prema (19):

cos cp = I -;-; I = I 20 + 6 - 66 I =.! = 0,381 pn V49. Y22S 21 __

67. Odredi jednadbu ravnine koja prolazi takrn A (1, - 2, 1) a okomita je na radijvektoru ;"",OA. Kako je -; = 7 - 27 + k, a prema zadatku ;"'" r: obzirom na (47)' i (SO) dobijemo:

ili E == l (x - 1) - 2(Y + 2) + 1 (z - 1) = O

x - 2y + z - 6 ,.,;, o.

68. Odredi jednadbu ravnine koja prolazi takom A (2,1, - 1) a okomita je na presjenici s ravnina

El == 2 x + y - z = O i E2 "'" X + 2y + z - 2 = O.

Vektor ;'koji je o~omit na vektorima -;;1 i;2 normala zadanih ravnina El i E2, tj. na ;;. = 27 + 7 - k i ;. = 7 + 21 + k

paralelan je s presjenicom s tih ravnin9, pa je .....

i 2

..... j 1 - 1 2

Kako je presjenica s ravnina okomita na traenu ravninu E, -;.,.;; = vektor normale ravnine E. Prema (47), i (SO):

E=:3 (x - 2) - 3 (y - 1) + 3 (z + 1) = O ili

x-y+z=O.

69. Odredi jednadbu ravnine E koja prolazi takama A (1, 2, 3) i B (3, 2, 1) a okomita je na ravnini

44

E l ""'4x-y+2z-7=0. Prema slici 18, u kojoj je P (x,y, z) bilo koja taka traene ravnine E, a s obzirom na (47)' i (8) dobijemo:

Prema (30)':

AB""'b=2i-2k

Xp"", -; = (x.- 1)7 + (y - 2)} + (z - 3) k. x-l

-- -p(nxb)=O paje 4 2

y-2

-1

O

E ""':lC + 6y '+ z - 16 - O.

z-3 2 =0

-2

x-2 y z+S 70. Odredi udaljenost d take B (1,2, - 3) od pravca p "'" -2 - = T = . ...:. 6 . SI. 19.

Prema (39)':

Prema (8) uzevi u obzir da pravac p prolazi takom A (2, O, - S):

-- ...... ..... - -B_A"" a = i - 2j - 2 k. Prema (If):

AB'='a = -;; = 2-6+12 =.!.. . p p V 4 + 9 +36 7

Prema (3): a = V l + 4 + 4 = 3.

Iz "" B B' A slijedi:

d = ./9 _ 64 =,'377 r 49 7'

8

Slika 18. Slika 19.

71. Lee li take A (J, 2, - 3), B'(3, 1, O) i CC - 3,4, - 9) na istom pravcu?

Prema (8):

I

45

Kako je - - k ..... - k i j i j

- -bxc= 2 -1 3 2 - 1 3 -4 2 -6 -4+2'3 2 - 1 3 -6+3,3

- -i j 2 - 1 3 = O 2 -1 3

prema (23) vektori b i -; a dakle i take A, B i e lee na istom pravcu. 72. Da li je presjenica ravnina

El = X + 2 y - 2 z -' 5 = O i E. = 5 x - 2 Y - z = O x+3 y z-l paralelna s pravcem p = -2- = 3 = -4- ?

Znamo da je presjenica ravnina paralelna s vektorom -; koji je okomit na vektorima normala zadanih ravnina;l = -; + 21 - 2 k i ;. = 57- 27 - k, pa je -; = ;1 x ;;:.

- -Presjenica je paralelna s pravcem p, jer je vektorski produkt vektQra s = nl x fl. vektora pravca -; = 27+ 31+ 4 k, ti.

= (57- 27 - k) (2 1- 6 - 8) - (7 + 27- 2 k) (10 - 6 -- 4) = ~ 73. Zadana su dva pravca:

x-2 y-2 z-3 Pl == -1-=-3- =-1-

a) Da li. se ti pravci sijeku?

x-2 y-3 z-4 p. =-1- = -4- = -2-

b) Kako glasi jednadba ravnine E kojaAe odreena tim pravcima? Sl. 20.

Slika 20. a) Pravcima Pl i P., koji prolaze takama A (2, 2, 3), odnosno B (2, 3, 4) dodijelimo prema

(39)' vektore

dok je prema (8) BA =;= -7- k. RaUlllllDO plema (31):

3 1 1 3 1 - --(Pl x pJa= 1 4 2 1 4 2 =0

O - 1 -1 l 3

Prema (30)' . vektori;;', p: i ;su komp1anarni, pa se pravci Pl i P. sijeku, jer nisu ni paralelni. b) Prema slici 20:

BP = b = (x -2) -; + (y - 3)} + (z - 4) k, gdje je P(x,y,z) bilo koja taka traene ravnine E.

Opet raunamo prema (31) pa imamo: x-2 y-:3

(b x ~;. = O - l 1 4

te je

z-4 -1 =0

2

E=2x-y+z-S=0.

74. Zadana su etiri vektora -eo -eo ..... -tr d=i-j+k.

a) Odredi vektor koji je paralelan s presjenicom ravnina odredenih vektorim.a -;; i bo od~osno ;i 1..

-; x b = ~ } vekt' k .. k 'u' , , (- -b) odnosno (-c, -d) te odreduJ'u -+ -+ _ su orl OJI su o OInl naraVIWU a, , cxd=n" ravninu (fit, nl) koja je okomita na tUn ravninama pa je okomita i na pre-sjenici tih ravnina. Oito je da ; = ~ x -;. = (; 'x b) x e; x ti) predouje traeni

. " vektor, koji je okomit na ravnini (;1'-;.) pa je paralelan s presjenicom zadanih ravni;' na (;, b) i C;, ti). Prikai sve to grafiki!

Raunamo prema (34):

;= (; x t) x (: x 1) == -;{;bi) ....: d (;tc) == 4 -8 1 4 -8

.. -eo' .....

1 - 2 - (i - j + k) 2 l

-2 1 -1 1 3 - 4 12

= - 170-;+ 14S j + ss k. 47

b) Iz geometrijskog znaenja trostrukog skalarnog produkta kao volumena paralelepipe-da slijedi:

~ + d) (b x C) = -; (b x C) + d (b + 5. Prikai grafiki lijevu i desnu stranu te jednakosti i izraunaj posebno njihove vrijednosti.

[2681.

7S. Odredi pra vac ravnine odredene takama O (O, O, O), A (2, 2, O) i B (O, l, - 2) koji prolaz

48

takom O a okomit je na pravcu .

x+1 y-I z q=--=--=_. 3 .2 l 2"

zadana je ravnina odredena radijvektorima

Traenom pravcu

dodijelimo vektor

a pravcu q vektor

x y z p=-=-=-a b 1

~ .... .... 1 q = 3 i + 2j + 2" k.

(a)

Pravac p lei u zadanoj ravnini pa su vektori -;:1' ;. i -; komplanarni, pa prema OO)' imamo jednadbu

a b l -; (;.: x ;:;) = 2 2 O =-4a+4b+2=O

ili

Prema (12 b):

O -2

2a-2b-I=0.

-..-.. - -+ 1 Ptf=3a+2b+-=0. 2

Rijeiimo li sustav jednadbi (b) i (c) dobijemo

1 a=-lO

Uvrtenje u (a) daje

b= -.! 10

(b)

(c)

76. zadana! su tri vrha A (1, 2, - 1), B (3, - 1, 4) i e (2, 6, 2) paralelograma A B e D. a) Odredi koordinate vrha D.

Kako je prema sl. 21 stranica B e paralelograma, kojoj odgovara vektor

paralelna sa stranicom A D, kojoj odgovara

d = (x - 1) 7 + (y - 2)7+ (z + 1) k, gdje su x, y i z koordinate vrha D, bit e

x-l="':'l; y-2=:=7 z+1=-2 "pa je

DeO, 9, - 3). b) "Odredi povriinu S paralelograma.

AB "'" b = 27- 37+ 5 k; Prema (27a):

s = lb x dl = Y963 == 31,03 kv. jedinica.

A

Slika 21.

e

e) Odredi projekcije povriine S paralelograma na ravninu E"", 2 x - 2y' + z "",5 = O a zatim na koordinatne ravnine X Y, Y Z i X Z.

Projiciranje povriine paralelograma S = I b x d I = b d sin fP na ravninu E 8vodimo na projiciranje vektora normale paralelograma, tj. b"x d, na normalu;;;' ravnine E, pa prema (12) dobijemo:

S = (b x 1>110 B 1

Kako je za ravninu E

4 B. ApBen: R1jelen1 zaac11z Vile matemaUke 49

raun prema (31) daje: 2 - 3 S

1 S ==- -1 B 3 7 - 2 = - IS 2 - 2 1

ili po apsolutnoj vrjednosti SB ~ IS.

Na isti DII1D raunamo projekcije povriine S na' koordinatne ravnine. Jedinini vektori za koordinatne ravnine X Y, Y Z i Y Z jesu: k, 7 i 7. pa j~

2 - 3 S S =(bx"i/k= -1 7 -2 =11

"'''

o o 1

Proba: S = Vua + 291 + 1 = V963 == 31,03. Oito je da u

s = b x d = S", 7 + S"J + S.-; S"" S" i S. predouju projekcije povrine paralelograma na koordinatne ravnine YZ, XZ i XY.

77. Odredi kosinus kuta Ito ga zatvaraju pravac

p==x-!=L=~ -4 3 -5

. [- 1~] @78. 9dredi vektor b )rojile paralelan -II ravninom E == 2 x - y - z - 4 = O a okomit je na

vektoru -; = 7 +1+ ko r-l+k]

79. Odredi kosinus kuta Ito ga presjenica ravnina 2 x + y - z = O zamra s osi X.

x+y+2z=O

80. Odredi vektor; duljine 2,koji je paralelan s presjenicom ravnina El == x + 2 y + z-l = O iEI ==x-y+2z+7=0.

T~i vektor;' koji je paralelan s presjenicom zadanih ravnina, paralelan je i s vektl>--+ ..... -+ .

rom p, koji je okomit na vektorima nl i nl zadanih ravnina, tj. na

Kako je p = ;1 x ;;2 = 5 7-7 - 3 k, dok je -; paralelan s ; i ima duljinu 2, dobijemo - - -

- ...... 5 i- -I-;>-PO=T ' +T}'

Vektor Po a dakle i pravac P paralelan je s ravninom X Y i lei u ravnini z = 3, jer prolazi takom P (1,2, 3) Prema (38):

ili

x-l y-2 z-3 p~ VJ = -1-=-0-

T 2

x-l y-2 z-3 P ~V3 = -1- =-0-'

Pravac P moemo prikazati i kao presjek ravnina x - VJy - 1 + 2 VJ = O I

z=3

I X-2Z-3=0 ~. Pravac P 2 O probada ravninu E ~ x + 3y - z + 4 = O. y - z = a) Odredi probodite P tog pravca i ravnine.

Vektor; koji je okomit na vektorima normala onih ravnina kojima je pravac p odreden, tj. na ;;: = 7 - 2 k i n: = 7 - 2 k, paralelan je s pravcem p:

p lip =;;: x ;2 = 27+ 2} + k. Uvrtenje z = O u jednadbe ravnina koje odreuju pravac p daje x = 3 i y = O, pa je prema (38):

x - 3 y z P~-2-=T=T'

Prelazimo na parametarski oblik jednadbe p prema (37): x- 3 y z -2-=T=T= t.

Odatle: x=2t+3; y =2t z=t

Sl

Uvritenja u E == x + 3 Y - z + 4 = O daje t = - Ipa je probodite P(l, - 2, - 1).

b) Odredi pravac q koji prelazi proboditem P(1, - 2, - 1), lei u ravnini E, a oltomit je na pravcu p. Traeni pravac q lei u ravnini E, pa je okomit na ;; = T + 37- k te ravnine, a okomit je i na pravcu p, odnosno vektoru -;. Dodijelivi pravcu qvektor q = q",7 + -;"7+ k dobijemo prema (12b):

Odade slijedi

pa je

dok je

ili

q;;=q +3q -1=0 I '" 11

qp = 2 q", + 2 qll + 1 = O 5 q=--

'" 4 . 3 q =~

11 4

x-l y+2 z+l q == -5-= -3-=-1-

-4" 4" x-I y+2 z+l -=s - -3- = -4-

83. Odredi jednadbu pravca p koji prolazi takom P(3, 2,1), a okomit je na ravnini 2 x - y + + 2 z + 2 = O, a takoder probodilte Q tog pravca p sa zadanom ravninom.

Q (!! 26 _ 2)] 9' 9' 9 84. Odredi jednadbu ravnine E koja je paralelna s ravninom 2 x - y + 2 z + 4 = O, ako su

obje ravnine traena i zadana jednako udaljene od take P (3, 2, - l).

52

Kako je traena ravnina E paralelna sa zadanom, obje ravnine imaju identine vektore njihovih normala

;;=27-7+2k pa. prema (47)' jednadba traene ravnine glasi

2x-y+2z+D=0 (a) D =? Da odredimo uvaljenost d take P(3, 2, - l) od zadane, a dakle i od traene ravnine, odredimo neku taku Q zadane. ravnine. za x = O i z = O dobijemo y = 4 pa je Q (O, 4, O), a vektor .QP == -; glasi prema (8):

Prema (12) d=p =~= 6+2-2 =2 . " n V4+1-+4

Prema (47 a) napiemo jednadbu (a) traene ravnine u normalnom obliku 2x- y +2z+D=0

-V4+1+4

a prema (48 a) odredimo udaljenost d = 2 te ravnine od take P(3, 2, - 1):

2 =2'3-2-2+D ---_--0-3--'---

a odatle je D = - 8 pa je E=;2x-y+2z-8=0

85. Zadane su etiri take

A (- 2, O, - 3), B (1, - 2, 1), ( 13 26). ( 16 13 ) e - 2, - 5' 5 l DS' - 5' o .

a) Napii jednadbu ravnine E koja prolazi pravcem A B a paralelna je s pravcem eD.

Kako je AB=;b=37-fJ+4k -- - 26- 26-eD=;d=si-sk

XP = P = (x + 2) i + y T + (z + 3) k, gdje je P (x, y, z) bilo k?ja taka ravnine E, dobijemo prema (30)':

ili x+2 y z+3

3 -2 4 = O.

26 O 26 5 5 Odatle

E=;2 x + 7 y + 2 z + 10 = O.

b) Odredi najkrau udaljenost pravaca A B i eD. Tu udaljenost d odredimo tako da izraunamo duljinu projekcije spojnice bilo koje

take ravnine E i take na pravcu e D, npr. spojnice A e, u smjeru vektora -;; normale ravnine E.

Kako je

a

-- - 13 - 41-Ae=c=--j+-k 55

53

dobijemo prema (12): _ 91 + 82

d=c cn 5 5 9 fl = -n- = V 4 + 49 + 4 = - 5 V 57 .

d=_9_ 5V:57

86. Odredi najkrau udaljenost d zadanih pravaca x+3 y-6 z-3

a) Pl == -4- = -=3 = -2-x-4 y+l z+7

PI == -8- = -=-3 = -3-' Pravac Pl prolazi takom A (- 3,6,3) a Pa takom B (4, - 1, - 7).

Vektor AH = b = 7 i - 7} - 10 k projicirajmo na normalu -; ravnine to je odreuju zadani pravci, odnosno vektori

- - - -Pa = 8 i - 3 j + 3 k

Prema (12): ..........

bn d= b = - = 13. R n _

b) Pl == X ~ 9 = y ~ 32 = ; x y+7 z-2

PI == --=-2 = -9- = --2-[7].

87. -Izvedi uvjet da se sijeku zadani pravci

54

Uz pr~tavku da su zadani pravci mimosmjerni odredimo na nain prikazan u zadacima 85 i 86 najkrau udaljenost d tih pravaca. Sl. 22.

pt =aJ+btl+ CIk pa = a.i + bl} + Cs k

BA == q = (Xl - x.)1 + (YI - Y2)} + (ZI - z.)1 n = Pl X Pa'.

d dobijemo tako da q projiciramo na ;.

Prema (12)

ili prema (31) i (27a): Xl - XI YI - Y. ZI - ZI

al bl Cl

d= a. b. c.

-j k al bl Cl

a. b. c.

To je formula za najkrau udaljenost mimosmjernih pravaca Pl i PI'

Siika 22.

Ako se pravci sijeku, ta je udaljenost d = O pa je

=0

traeni uvjet da se pravci P, i P2 sijeku.

188. Odredi jednadbu ravnine koja prolazi krajnjim takama radijvektora

OznaiVi s P (x,y, z) bilo koju taku traene ravnine E i uzevi u obzir da su krajnje take zadanih radijvektora A (3, - 1, 1), B (l, 2, - 1) i e (1, l, l) dobijemo

Prema (30)': x-3

E= -,2

-2

y + 1 3 2

Z - l

- 2 =0 O

55

odatle je E=. 2 x + 2 y + II - S = O.

89. Odredi kut zadanih ravnina

El =. 4 x - S Y + 3 II - l = O Ea =. X - 4 y - II + 9 = O. Kut dviju ravnina je kut vektora njihovih normala:

Prema (19): cos (ji = 4 + 20 - 3 = 21 = 0,7

VSO VIS 30

90. Dokai da su zadane ravnine meusobno okomite El =. 3 x - y + 2 II + IS = O E."",Sx,+9y-311-1=0

[;:~=O]. 91. Takom M (S, 16, 12) prolaze dvije ravnine: jedna od njih sadri os X, a druga os Y. Izra-

unaj kosinus kuta tih ravnina. Sl. 23.

s6

co

x

4L----/f~

Slika 23. Slika 24.

Ravnina El koja sadrti os X okomita je na ravnini Y Z, pa njena jednadba glasi JI = by, dok ravnina El koja sadri os Y, pa je okomita na ravnini X Z, ima jednadbu JI = ax. Obje ra~ne prolaze takom M, pa je

Slijedi:

Odatle je

12.= 16b

3 b =--'4

El "'" 3 Y - 4 JI = O

12 = Sa.

12 a=- S

El =. 12 x - S II = O.

Vektori normala tih ravnina glase:

;.= 127 - Sk. Prema (19):

~;;: 20 4 cos cp = -- = -- = -.

rit '" S 13 13

92. Zadan je vrh A (2, - S, 3) trokuta A B C i vektori njegovih strana

Odredi vrhove B i C i vektor -; strane A C. Prema zadatku i slici 24:

AB = (x - 2)7+ (y + 5)7 + (z - 3) k == 47 +7+ 2 k gdje su x, y i z koordinate take B. Odatle

Na isti nain dobijemo

Proba:

x-2=4 y+S=1 z-3=2

B(6 - 4,5).

C(9, - 6,10)

93. Odredi kosinus kuta zadlmih pravaca

_{ 3x-4y-2z=0 PI = 2x+ y-2z=0

_{4X+ Y -6Z-2=O PI = -

Y - 3z + 2 = O.

Pravci su zadani kao presjenice zadanih ravnina. Odredimo PI i P2. Za pravac PI vektori normala zadanih ravnina jesu

;;1= 37-41-2k ;;:=~7+7 -2k PI= ~ x;' = 107+ 21 + II k.

Na isti nain dobijemo za pravac PI

Prema (19): ;;P. 98

coscp=--=- PI PI 195

57

94. Odredi jednadbu ravnine koja prolazi ishoditem koordinatnog sustava a okomita je na ravninama

Et ==2x-y+5z+3=0 El == X + 3 y - z - 7 = O. Traena ravnina E okomita je na presjenici s zadanih ravnina El i Es pa je -; vektor normale traene ravnine E. Prema (47)':

;;1=27-7+ Sk ;;.= 7+37-k

-; = ;: x ;;. = - 147+ 7 j + 7 k. Kako traena ravnina E prolazi ishoditem, neposredno dobijemo

E == - 14 x + 7 y + 7 z = O -ili

2x-y-z=0.

"95. Je li mogue poloiti ravninu takama A (1, - 1,1), B (0,2,4), C(l, 3, 3) i D (4, O, - 3)? Ravninu moemo poloiti kroz 4 take, ako su te take, odnosno vektori

komplanarni. Prema (30),:

- --

Xii $E b = -7+ 31 + 3 k Xc == -; = 4j + 2 k AD$d=37+T-4k

- l 3 (b x e) d = O

3 4 2 = 18 + 18 - 36 = O

3 1 - 4

'vektori su komplanarni pa moemo odrediti jednadbu ravnine koja prolazi zadanim takama. Vektor normale traene ravnine E glasi:

;; = b X -; = - 67+ 27- 4k. Ravnina E prolazi takom A (1, - 1. 1) pa prema (SO) i (47)'

E == - 6 (x - 1) + 2 (y + 1) - 4 (z - 1) = O ili

'96. Presjenicom ravnina

poloi

3 x - y + 2 z - 6 = O.

E1 ==4x-y+3z-l=0

EJ == x + 5y - z + 2 = O

a) Ravninu El koja prolazi takom O (O, o. O). Za zadane ravnine El i El vektori normala glase

pa je vektor presjenice s tih ravnina .-; =;;;. x ;. = - 2i+7 + 3 k.

Vektorom Ti takom O ravnina El jo nije odrede pa moramo na presjenice s odre-diti jednu bilo koju taku A. Uvrtenje z = O u jednadbe ravnina El i El daje

4x- y-I=O x+5y+2=0

a odatle je x = ~ i y = - ; pa je A ( ~ , - ; , O) taka presjenice s (prl?bodite" s ravninom XY). Traena ravnina El odredena je sada vektorima -- - 1- 3-O A = a = - i - - j, 7 7

gdje je P (x, y, z) bilo koja taka ravnine Ea. Prema (30)':

x Y z 1 3 7" -7"

- 2 l

O =0 3

E.e9x+3y+5z=0.

b) Ravninu E, koja prolazi takom T (l, l, l). Na isti nain dobijemo

.EI == 23 x - 32y + 26 z - 17 = O.

e) Ravninu E5 koja je paralelna s osi Y. Traena ravnina E3 okomita je na ravnini X Z pa sadri vektor J. dok je

Prema (30)':

- - ( 1)- ( 3)- .... A P = Pl = X - 7. i + y + 7 j + z k. l

_ -:_ x-~ (Pl x J) S = O.

-2 El == 21 x + 14 z - 3 = O.

lt

O =0 3

d) E. koja je okomita na ravnini 2 x - y + 5 lt - 3 = O. Traena ravnina E. odredena je opet vek.torima AZ> = pt i s, a takoder vektorom nor-male -;; = 27 -.7+ 3 k ravnine na koju je okomita:

l x--7

2 -2

3 y+7" - l l

Eee 7 x + 14 y + 5 = O.

lt

5 = O 3

59

60

Pravac kroz dvije take

Kut dvaju pravaca

Uvjet okomitosti dvaju pravaca

Ravnina kroz jednu taku

Uvjet paraleinosti dviju ravnina

Pravac i ravnina.

Uvjet paraleinosti

Uvjet okomitosti

Kuglina ploha ili sfera

II. PLOH E

Formule

Y -YI Y. -YI

a A + b B + e e = o.

x, + Y' + z, - T' = O

(x - m)' + (y - n)2 + Cz - q)O = TO

x' yO z' -+-+-=1 a" . bO eO

(41)

(42a)

(43)

(50)

(55)

(57)

(58)

(60)

(61)

(63)

Hiperboloidi

dvokrilni x' y' z, -----=1 a' b' c'

jednokrilni

u pararnetarskom obliku kao pravasta ploha

tu + 1 x=a t + u ;

t-u Y - b .

- -'t + u' :::=c t u-l t+u

Paraboloidi

eliptini

hiperbolni

Eliptini stoac

pravocrtne izvodnice

I susta,v

II sustav (X, z (, y) -(;'c=u 1'7J

~ - ~ = J... (I - ~) a c u b

x' y2 -- - = 2z a2 -b"

u pararnetarskom obliku kao pravasta ploha x=a(t+u); y=;=b(t-u); z = 2 t u

pravocrtne izvodnice

( T+-~=2t I sustav x, y z a-7J=T

II sustav ( :+~=:' ~ - L = 2u a b

(64)

(65)

(68)

(66)

(67)

(69)

(70)

(73)

(71)

I (72)

(70)

61

Tangentna ravnina na plohu u taki T, (x" Yl' Z,) plohe

F(x,y,z) = O: (~~)l (x - Xl) + (~:)l (y -Yl) + (::t (z - Z,) = O (76) z = f (x, y): ( :: ) l (X - X,) + (:~) l (y - y,) = z - Zl (75)

elipsoida:

hiperboloida :

dvokrilnog

jednokrilnog

paraboloida :

eliptinog

hiperbolnog

X Xl + Y Y, + Z Zl = I a2 b2 c

XX, yy, ----a:;- + -[;2 = z + Zl

XX, YY, ao - ---rF = z + zi' Normala na plohu u taki T, (x" y" z,) plohe

F(x,y, z) = O: X - x, Y - Yl (~~[ = (::t z = f(x,y): X - Xl Y -Yt

Pl q, elipsoida:

x - X, Y -y, z - z,

~ Yl Zl aZ bO CO

z - Zl - l

A. Plohe drugog reda izraene kanonskim jednadbama (Elipsoid. Hiperboloidi. Paraboloidi. Eliptini stoac.)

Zadaci

97. Odredi omjer osiju dvaju paralelnih presjeka elipsoida x Y' z 25+9+"4=1

62

i to s ravninom X Z i s ravninom koja je od nje udaljena za 2. Uvrten~e Y = O i y = 2 u jednadbu elipsoida daje presjek s ravninom X Z

(76),

(76)1T

(76)III

(76)IV

(78)

(77a)

(78),

a to je elipsa spoluosima a=S c=2,

i s ravninom y = 2 XI Zi

125+20= l, T 9"

opet je elipsa spoluosima

.a'=sVs 3

a:a'=c:c

c' = 2 Vs 3

=3:VS: 98. Odredi projekciju na ravninu XY presjenice elipsoida

icl yi Zi -+-+-=1 i ravnine x+4z-4=O, 16 4 l

a takoder sredite te presjene krivUlje. Iz jednadbe ravnine slijedi:

4-x 18'=-4-'

a uvrtenje te vrijednosti za z u jednadbu elipsoida daje nakon ureenja . Xl- 4 x + 2y = O

ili (x - 2)1 + 2 y2 = 4 I : 4

Projekcija presjene krivulje je elipsa spoluosima a = 2 b = vl i sreditem S (2, O).

99. U taki A ( - 2, l, - ~) povuci normalu na elipsoid

Prema (78)' dobijemo

ili

traena jednadba normale.

x+2 l

y-1 l

4

y-l -1

l 18+ 2 l

-2 T

l 18+ 2 2

61

100. Odredi tangentne ravnine elipsoida I I I ~+~+..!..= 1 21 6 4

koje su paralelne s ravninom 2 x + 2y - 3 z = O.

Prema (76)' jednadba jedne od traenih tangentnih ravnina glasi E =- X Xl + Y YI + Z ZI = 1

21 6 4 . (a)

Treba odrediti koordinate diraliita Dl (Xl' YI' ZI)' Iz paralelnosti. traene i zadane ravnine slijedi prema (SS)

ili

Traena ravnina E prolazi diraliitem Di., dakle

Iz (b) slijedi:

I Y~ Xl + -2 + ZI = 1 21 6 4 .

7 Xl = - TZl

Uvritenje tih vrijednosti za Xl i YI U Cc) daje nakon uredenja Zi = 1

pa je z. = - 1

i prema Cd) dobijemo

Odatle iz (a) slijede traene jednadbe tangentnih ra~: El == 2 X + 2y - 3 Z 12 = O.

101. Odredi tangentne ravnine elipsoida

x' + 2y' + Zi = 1 koje su paralelne s ravninom

x-c-y+2z=0.

[x-Y-i-2Z V~ =0]. 102. Odredi tangentnu ravninu na troosni e1ipsoid

XI YI Zi "4+9"+36=1

koja MSjeca jednake odreske na koordinatnim osima.

64

Cb)

(c)

Cd)

Prema (76)' jednadba traene ravnine glasi E = x Xl + Y YI + Z ZI = 1

4 9 36 (a)

gdje su X1> YI i ZI koordinate traenog diralita D. U drugu 0IkU jednadba iste ravnine E napisana u segmentnom obliku (49) glasi

~+L+3..-=1. m m m

ili E=x+y+z-m=O

gdje je m duljina odrezaka na koordinatnim osima. Budui da oba izraza za E predouju istu ravninu imamo prema (SS)

a odade je

Uvrtenje u jednadbu elipsoida daje

pa je

81 Yi = 49

9 Yl= T

36 ZI = T

Iz (a) slijede konano obje traene jednadbe tangentnih ravnina

E". = X +~ + Z T 7 = O.

103. Odredi probodite pravca i plohe: a) elipsoida

i pravca x-4 y+6 z+2 -2- = --=--3 = --=-2

Prelazimo na parametarski oblik jednadbe pravca:

Odade dobijemo: x = 2(t + 2); y = - 3(t + 2) z = - 2(t + l).

5 B. Apsen: Rijeeni zadaci iz Viile matematike

(a)

65

Uvritenje u jednadbu elipsoida daje nakon uredenja t l +3t+2=0

paje tl = - 1

Iz (a) slijede sad trae~ probodiita P, (2, - 3, O)

tl = - 2.

Pa (O, O, 2).

b) dvokrilnog hiperboloida

i pravca

Xl yI Z2 ----+-=1 4 l 9

z-6 x-3=y-l=--. 3

Prijelaz na parametarsku jednadbu pravca i uvrtenje u jednadbu hiperboloida daje jednadbu

pa je

Pravac dira plohu.

c) jednokrilnog hiperboloida

pravca

Pl (4, 2, 9).

x-4 y+3 z-l -4-=-0-=-1-

Postupajui na isti naiIi. .ne dobijemo jednadbu u t, ve identitetu l = l koja kazuje da zadani pravac lei potpuno na plohi hiperboloida.

104. Odredi jednadbu ravnine ltoja tangira dvokrilni hiperboloid

66

u taki Dl (- 6, 2, 6).

Xl yI Zi -+---=-1 914

Prema (76)1l dobijemo neposredno - 6x 2y 6z -9-+T-T=-1

a odatle je E == 4 x - 12y + 9 z - 6 = o.

105. Na jednokrilni hiperboloid

poloi tangentne ravnine koje prolaze pravcima x Y + 9 z

a) -=--=-3 3 l

Ad a) Izvrimo li prijelaz na parametarski oblik jednadbe zadanog pravca, dobijemo t, = 4 i t2 = 2 nakon u\

Iz slike 2S vidimo da su traene tangentne ravnine okomite na ravnini Y Z pa njihove jed-nadbe imaju opcnito oblik

By+Cz+l=O. U tom sluaju jednadba tangcntne ravnine prima oblik

~--------------~p x

Slika 25.

prema (76)11. Pravac,a dakle i tangentne ravnine prolaze takom A (O, O, l). Uvrtenje daje

;6 = l pa je .11'1 = 16. Uvrtenje .11'1 = 16 u jednadbu hiperboloida daje uz x = O

Dobijemo:

pa je

yi .1 4" = 15 pa je Y1 = 2 r 15.

=r 2 V15 y + 16 z = l 4 16

El"" - rEy + 2.11' -2 = O El == viS y + 2 z - 2 = O.

107. Odredi tangentnu ravninu eliptinog paraboloida Xl y' 6"+2"=2.11'

koja je paralelna s ravninom x -y - 2.11' = O;

Prema (76)1V traena ravnina ima jednadbu E == x Xl + Y Yl = Z + z 6' 2 l' (a)

Treba odrediti diralite D (Xl' Yl' .11'1)'

68

Prema (SS): Xl .YI 6 "2 -1

-1-=-1=-2

pa je Xl = 3j

.YI = - 1,

a uvritenje tih vrijednosti u jednadbu paraboloida daje ZI = 1. Dakle je D (3, - 1, l). Iz (a) dobijemo konano

E ilE X - )I - 2 II - 2 = o.

108. Zadan je hiperbolni paraboloid

i jedna od njegovih tangentnih: ravnina 10x - 2)1 - z - 21 = O.

Odredi jednadbe pravaca u kojim se oni sijeku. Zadatak se svodi na odreivanje jednadbi dviju pravocrtnih izvodnica paraboloida koje pripadaju diralitu zadane tangentne ravnine, jer znamo da je hiperbolni paraboloid prav-

asta ploha kao i jednokrilni hiperboloid. Da odredimo diralite D napiemo prema (76/ jednadbu tangentne ravnine u obliku

2 x Xl - )I )11 = z + z, 2

pa prema (SS) imamo:

Odade Xl = S, )Il = 4, a uvritenje tih vrijednosti u jednadbu paraboloida daje ZI = 21 D (S, 4, 21).

Da odredimo prema (71) i (72) traene jednadbe izvodnica izraunajmo prema (73) vriJed-nosti parametara t i u paraboloida. Uzevi u obzir. da je u naem sluaju a = V~ dok je b = vi dobijemo

1 S = Vl (t + u) .} 4 = Vl (t -u)

pa je 3 u = Vl'

Proba: II = 2 tu = 21.

Uvritenje vrijednosti za t i u u (71) i (72) daje traene jednadbe izvodnica Pl i PI kao pre-sjeci dviju parova ravnina:

{ 2:lC + )I - 14 = O Pl :!! 14 x - 7 )I ~ 2 II = O

Prikaimo jednadbu Pl u kanonskom obliku.

{ 2X-)l-6=0 P. == 6x+3)1-2z=O.

Iz 1. jednadbe slijedi: x-7

Y=--l -2

x = - ~ + 7.

Uvrtenje te vrijednosti za x u 2. jednadbu daje z - 49 Y=~

pa je

ili

Na isti nain dobijemo:

x - 7 Y z - 49 --1- = T = --=7 -2 x - 7 Y z - 49 P =--=-=---.

l l - 2 14

109. Odredi pravce koji prolaze takom (6, 2, 8) a lee na plohi x2 y' z -+---=1 9 4 16 .

Budui da je jednokrilni hiperboloid pravasta povrina, zadatak se svodi na odreivanje pravocrtnih izvodnica u zadanoj taci hiperboloida. Na nain prikazan u zadatku 108 pri-mijeni formule (68), (66) i (67).

[ X-6 _ y-2 _ z-8. x-6 _ y-2 _ Z-8] -3- - -0- - -4-' -9- - -8- - 20 .

110. Zadan je eliptini stoac z = 2 x2 + 4 y2. Odredi onu izvodnicu s stoca koja je paralelna s ravninom 12 x + 14 y + 11 z - 2S = O i onu tangentnu ravninu koja prolazi tom izvod-nicom.

70

Napisavi jednadbu stoca u obliku x' y2 Z2 -+--- =0 2 l 4

vidimo da je zadna ploha stoac s vrhom u O (O, O, O) kojemu je presjek s ravninom z = 2 elipsa

x' y' -+-= l 2 1

s poluosima a = V2" i b = 1 [vidi formulu (70)' i sl. 26]. Budui da svaka tangentna rav-nina zadanog stoca prolazi kroz ishodite-D i dira plohu po jednoj od izvodnica, biti e prema (SS)

E"", 12 x + 14y + 11 z = O (a)

jednadba traene tangentne raynine. Kako je u jednom od diralita Tl (xl' ~i' Zi) tangentne ravnine

(OF) = -~z oz l 2 l

dobijemo prema (76) jednadbu tangentne ravnine E u drugom obliku: 1

E == Xl (X - Xl) + 2 YI (Y - YI) - "2 ZI (z - ZI) = O. Iz (a) i (b) slijedi:

pa je

z

Slika 26.

Jednadbu izvodnice s dobijemo kao pravac kroz take O (0,0, O)

B. Sfera (kuglina ploha)

Zadaci

(b)

TJ prema (41):

111. Napii jednadbu sfere opisane oko tetrae.ra kojemu su vrhovi O (O, 0, O), A (2, 0, O), B (O, 5, O) i e (O, 0, 3). Prema (61) jednadba sfere sa sreditem u S (m, n, q) glasi

(x ~ m)2 +(Y - n)1 + (;: - q)1 = rl. Uvrtenje. koordinata vrhova tetraedra. daje etiri jednadbe za odreivanje nepoznanica m, n, q, i r:

ml + nl + ql = 'rl (2 - m)1 + nl + ql = rl ml + (S - n)1 + qI ;,. rl ml + nl + (3 - q)1 = rl.

71

Iz prve jednadbe slijedi: nl + ql = rl - ml; ml + ql = r. - nl

a uvritenje tih jednakosti u ostale tri jednadbe daje: (2 - m)1 - ml = O (S - n)1 - nl == O (3 - q)1 - ql = O.

Odatle dobijemo: m = 1; S n=-2

a uvrltenje tih vrijednosti u 1. jednadbu daje 38

r' =-4

3. q=-2

( S)2 ( 3)2 38 (x - 1)1 + y - 2" + z - 2" ="4 . 112. Napili jednadbu sfere koja prolazi takom A (O, - 3, 1) a sijee ravpinu X Y u kru-

.... { Xl +yl = 16 rucI .11'=0

Sredilte sfere lei na osi Z, jer na toj osi lei sredilte presjene krunice SI (O, O, O) pa prema (61) jednadba sfere glasi

Xl + yi + (z - q)1 = rl q=? r=? Uvritenje z = O u ea) daje drugi.oblik presjene krunice

XI+yl+qI=rI

pa iz usporedbe tog oblika sa zadanim slijedi: 16 + ql = rl.

Sfera prolazi takom A (O, - 3, 1) pa prema (a) 9 + (1 - q)1 = rl.

Iz (b) i (e) slijedi 16 + qI = 9 + 1 - 2q + ql

pa je q = - 3, dok je rl = 2S. Prema (a): Xl + yi + (~ + 3)1 = 2S.

(a>

(b)

(e)

113. U prc>bodiltima pravca x-l y z-l -1-=~=-2-

i sfere (x - 2)1 + (y + 1)1 + (Jr - 3)1 = 6

poloi tangentne ravnine na sferu.

Prelazimo na parametarski oblik jednadbe zadanog pravca x-l y Jr-l -1-=~=-2-=t.

72

Odatle: x=t+l y = - t

z=2t+1.

Uvrtenje u jednadbu sfere daje: (t - 1)1 + (- t + 1)2 + (2 t - 2)1 = 6

ili 6 tl - 12 t = O pa je tl = O ta = 2.

Uvritenje tl = O i ta = 2 u (a) daje oba probodita Pl (1, O, 1) PI (3, - 2, S). Raunamo prema (76):

iJF - = 2(x - 2) iJx '

dok je u Pl: (F,)l = - 2; (F,), = 2;

iJF iJy = 2(y + 1);

(F,,)l = 2 (F,,)I = - 2

iJF - = 2(z - 3) iJz

(F,)l = - 4 (F,). = 4.

(a)

(b)

(c)

Uvrstivi (b) i (c) u (76) i uredivi dobijemo traene jednadbe tangentnih ravnina, koje su. meusobno paralelne:

I x-y+2z- 3=0

II x - y + 2 z-IS = O.

114. Na sferu (x + 5)2 + (y - 8)1 + (z + 1)2 = 16

poloi tangentne ravnine koje prolaze kroz os X.

z

x

Slika 26 a.

Kako se vidi iz slike 26 a jednadbe traenih ravnina imaju openito oblik By + Cz = O,

odnosno (a)'

73

Da odredimo ~ uoimo da je udaljenost ravnina od sredita S (- S, 8, - l) sfere jednaka polumjeru 4 te sfere, pa p~ (48 a) imamo stavivii ~ = u

U 8,...., l 4= . v' Ul + 1

Odatle dobijemo

u = (B) = _ ~ I e a 12'

Uvrtenje u (a) daje traene jednadbe tangentnih ravnina: I 3y+ 4z=0

II S y - 12 z = O.

lIS. Na sferu (x - 4)1 + yi + (z - 2)2 = 225

poloi tangentne ravnine koje su paralelne s ravilinom 10 x - II y - 2 z + 3 = O.

Znamo prema (55) da su koeficijenti od x, y i z paralelnih ravnina proporcionalni ili jednaki, pa e jednadbe traenih tangentnih ravnina glasiti:

10 x - II y - 2 z + D = O.

Kako je svaka tangentna ravnina na sferu udaljena od sredita sfere za njen polumjer, odredimo D prema (48a) uzevii u obzir da je u naem sluaju d = T = 15 i S (4, O, 2):

ili

10 . 4 - II . O - 2 . 2 + D 15 = . v' 100 + 121 + 4

IS = 36 + D 15 .

Odatle je Dl = 189 i Da = - 261. Dobijemo: I 10x-lly-2z+l89=0

II 10 x - II y - 2 z - 261 = O.

116. Napii jednadbu sfere koja tangira pravac

74

x-l y+4 z-6 Pl EO -3- = -6-- = -4-

u taki A (l, - 4, 6) i pravac

P. EO X - 4 =y + 3 = ~ 2 1 - 6

u taki B (4, - 3,2). Sl. 27. Sredite S (m, n, q) sfere odredimo kao sjecite ravniD.a El i El koje prolaze takama A i B a okomite su na pravcima Pl i PI i ravnine E, koja prolazi sredinom e tetive A B okomito na tu tetivu.

Prema (50a) El == Al (x - 1) + Bl (Y + 4) + (z - 6) = O (a)

a prema (58): 3 6

odatle 3

Al =--4 3 B l =-

. 2 pa je prema (a):

El "'" 3 x + 6y + 4 z - 3 = o. Na isti nain dobijemo:

Ez==2x+y-6z+7=0.

'Slika 27.

Koordinate' take e:

1 + 4 5 x = ---:z = 2; - 4 - 3 7 y = 2 = -"2; 6+2 z=-- =4 2

pa je

Prenia (41) " x-'I y+4 11-'-6 AB==P==-3-=-1-=~

Na isti nain kao za El i El dobijemo

E. "'" 3 x + y - 4 z + 12' = O.

Rijeiimo li sustav Ito ga ine jednadbe dobivene za El' E. i .E., . dobijemo sredite S (- 5, 3, O) sfere. . . Polumjer sfere

A S ~ T =V36 + 49 + 36 = 11. Prema (61):

(x + 5)'-+ (y - 3)1 + "I =_121. 75

117. Odredi koordinate srediita i polumjer sfere 36x3 + 36y s + 36z3 - 36x + 24y - 72z - 95 = O

118. Napiii jednadbu sfere kojoj je sredite u taki a) S(1,4, - 7) i koja tangira ravninu 6x + 6y - 7 z + 42 = O b) S (6, - 8, 3) i koja tangira os Z.

[a) (x - 1)1 + (y - 4)1 + (z + 7)1 = 121; b) (x - 6)1 + (y + 8)1 + (z - 3)1 = 100].

119. Dokai da su sfere xl+r+zl=ax x3 +yl+zl=by meusobno ortogonalne, tj. da se sijeku pod pravim kutom. Prema (78) izraunajmo koeficijente smjera normala zadanih sfera:

oF oF oF al = - = 2 x - Q; bl = - = 2y; Cl = - = 2:r ox oy OZ a. = 2 X; bl = 2y - b; C. = 2z.

(a)

Kako je kut dviju ploha kut njihovih normala primijenimo uvjet (43) okomitosti dvaju pravaca. u naem sluaju normala:

Dobijemo: (2 X - a) 2 x + 2y (2y - b) + 2 z 2 z = 4 (x + yi + zi) - 2 (a x + by) = prema (a) =

='2(ax + by) - 2(ax + by) = ~ Zadane su sfere ortogonalne.

120. Na plohi

76

X3 + yi + Z3 - 6y + 4.8' - 12 = O

odredi take u kojim su tangentne ravnine paralelne s koordinatnim ravninama. Prema (76) odredimo jednadbu tangentne ravnine E na zadanu plohu u diraliitu D (Xl' YI> ZI):

oF -= 2x; ox

oF - = 2y - 6; iJY ::'=2Z+.4

E == 2 Xl (X - Xl) + (2 YI - 6) (y - yJ + (2 ZI + 4 ) (z - ZI) = O. (a) za ravnine koje su paralelne s ravninom X Y kosinusi smjera normala imaju vrijednosti

cos ac = cos 900 = O; cos f), = cos 900 = O cos 'y = cos o' = l pa jednadiba normale u taki D plohe glasi

X - Xl Y - YI Z - ZI -0- = -0- = -1- (b)

Iz (a) i (b) slijedi obzirom na uvjet (58) okomitosti pravca i ravnine:

Odatle:

2Zl + 4 l

Xl = 0, 2Yl - 6 = pa je YI = 3. Uvrtenje Xl = i YI = 3 u jednadbu zadane plohe daje jednadbu

ZZ + 4z - 21 = 11 odatle je

z. = - 7.

Traene su take na plohi u kojim su tangentne ravnine paralelne s ravninom XY. A (O, 3, 3) B (O, 3 - 7).

Postupajui na isti nain dobijemo take C(O, - 2, - 2) D (O, 8, - 2)

u kojem su tangentne ravnine paralelne s ravninom X Z i. take E(S, 3, - 2) F(- 5,3, - 2)

u kojem su tangentne ravnine paralelne s ravninom Y Z. Do istih rezultata mnogo lake i bre dolazimo i to bez rauna, ako napiemo jednadbu zadane plohe u obliku

X2 + (y - 3)2 + (z + 2)1 = 25 pa uoimo da je to sfera polumjera S sa sreditem u S (O, 3, - 2) pa je grafiki prika-emo.

121. Takom M (3,4, 12) sfere X2 + yi + Z2 = 169

poloeJle su ravnine okomite na koordinatnim osima X i Y. Napii jednadbu ravnine koja prolazi tlU1gentama poloenim u taki M na presjenici sfere i ravnina okomitih na koordinatne osi. .

Odredimo presjenico. Sl i S. sfere sa zadanim ravninama koje prolaze zajednikom takom M (3, 4, 12). -Ravnina okomita na os X:

,,=3 paje sl==yl +z2 =160. Ravnina okomita na os Y:

y = 4, pa je. s. == x' + Z2 = 153. Raunamo prema (76) u M (3, 4, 12): Za Sl:

(OF) = 2. 4 = 8; ay .1

( OF) = 2 . 3 = 6; ox 1

(OF) = 2 . 12 = 24 oz 1

77

Jednadbe tangenata glase:

ili

Traena ravnina

tl "" 8 (y - 4) + 24 (z - 12) = O l, == 6 (x - 3) + 24 (z - 12) = O

tl "'" Y + 3 z - 40 = O ti == X + 4 z - 51 = O.

R = A (x - 3) + B(y - 4) + (z - 12) = o. Prema uvjetu (55) paraleinosti dviju ravnina uzevi u obzir da jednadbe tangenata II i 12

predouju dvije ravnine od kojih je prva okomita na ravninu Y Z a druga na ravninu X Z dobijemo:

B 1 3 pa je.

1 A=-4

R == 3 x + 4y + 12 z - 169 = O.

C. Stoaste i valjkaste plohe

Zadaci

B=~ 3

122. Koje plohe predouju jednadbe: ;\:2 + y' Z2

a) --.- - b' = O; a- -Xl Zi

b) -,,f - yI + "4 = O; x2 y2 + Z2 e) -9+~=0

z

x

lj

Slika 28.

Ad a) Napisavi jednadbu zadane plohe u obliku

78

i usporedivi je s jednadbom rotacione plohe x 2 + y2 = [f(z)]2 [vidi formulu (90) II II dijelu Repetitorija], vidimo da je f(z) = : z, ili x = : z, odnosno z = : x-a to je pravac kroz ishodite, kojemu je ~ = tgcp. Zadana ploha predouje kruni

a (rotacioni) stoac, kojemu je os Z os rotacije, dok je a polumjer poprenog prt!-sjeka udaljenog za b od vrha '(vidi sl. 28).

ad b) Prikazavi jednadbu zadane plohe u obliku x2 + Z2 = (2y)2 zakljuujemo prema (90) da ona predouje kruni stoac nastao rotacijom oko osi Y pravca z = 2 y (ili x = 2y) kojemu je vrh u ishoditu koordinatnog sustava. Narii sliku plohe.

ad c) Postupajui na isti nain zakljuujemo da zadana jednadba predouje kruni stoac nastao rotacijom oko osi X pravcu fl' = ~ x. Narii sliku plohe.

2 123. Odredi kut to ga zatvara izvodnica s osi rotacije stoca x' + y' - ~ = O i sve prikai grafiki

J 2

124. Odredi ravninu koja tangira eliptini stoac ~. +~ - Z2 = O u taki TI (4, - 6,4) stoca. Raunamo:

oF -= -2z az .

a u TI (41 - 6,4):

(oF) = 2; ox 1 (oF) = _ 4 ox 1 ( oF) = _ 8. az 1 Uvrtenje u (76) daje:

2 (x - 4) - 4 (y + 6) - 8 (z - 4) = O ili

x - 2y - 4z = O.

125. Napii jednadbu stoca kojem je vrh u ishoditu koordinatnog sustava a ravnalica je zadana . { x' + y. + (z - 5)2 = 9 Jednadbama z =" 4.

Znamo da se stoastom plohom ili, krae, stocem zove openito ploha to je opisuje pomini pravac (izvodnica) koja prolazi stalnow. takom (vrh stoca) i sijee neku krivulju (ravnalicu). (Vidi IS III dijela Repetitorija). Prema (38) jednadba izvodnice zadane plohe glasi:

jer prema zadatku prolazi ishoditem koordinatnog sustava. Odatle je

x = az} y = b z (a)

a= ~) z (b) b=~

z

79

Da uklonimo x, y i z iz jedJwi!be ravnalice uvrstimo jednakosti (a) u njenu jednadbu: al Zi + fil Zi + (;: - 5)1 = 9

a uz z == 4 dobijemo: 116al +16bl "",8

ili 1

al +fII= 2" Uvritcnjcm jednakosti (b) dobivamo tra!cnu jednadbu stolca

( X)1I (y)1 1 - + - =_. z ;: 2

126. U ravnini XY lei parabola yi = 4x. Napili jcdnad!bu stolca kojem je ta parabola ravnalica dok je vrh u taki V (O, O, 8). Iz jednadbe izvodnice

slijedi:

x = a(;: -.8) } y = b (z _ 8) (a)

Uvrtenje (a) u jednadbu ravnalice daje

~z,~ 'j (b) b=--

z-8

bl (z - 8)1 = 4a(z - 8) auzz=O

2f11=-a a odatle uvrstivIi (b) dobijemo traenu jcdnad!bu stolca

2yl+X;:-8x=0.

127. Pravac

80

x-:2 y z ~"EJ.-3-=2=6 okree se oko osi X. odi-edi h:dnadbu nastale rotacionc plohe. Pravac p sijee os X u taki V (2, 0, O) pa opisuje stofastu plohu s vrhom u V pri emu ta izvodnica p zatvara s osi X stalni kut a:, kojemu je

3 3 cosa: = . = _o. V9 + 4 + 36 07 Iz slike 29 sc vidi da taj stoac sijee ravninu Y Z u krunici polumjera T ... 2 tg a: pa cmo tu krunicu uzeti kao ravnalicu zadane plohe.

Raunamo: tga: = y'_I- - 1 = ll4O.

COSi a: 3 pa je

2V40 T=--'

. 3

x OJ--+r--F.-;P--+---I , I I

rl I , '/ r /1

Slika 29.

Uvritenje (t u (a> daje:

Jednadba ravnaliee glasi:

160 ) yl+ZI=T

x=O

Napisavii jednadbu izvodnice x-2 y 11 -3-=-;;=--;

raunamo

y = ~ (x - 2) ) z = .E.. (x - 2) 3

b=2L ) x-2 3z

c = -x---2

a uvrstivii ovamo (c) dobijemo traenu jednadbu stoca 40 (x - 2)1 - 9 yi - 9 ZI = O.

(a)

(b)

(e)

{ X' + yi = 25 128. Napiii jednadbu valjka kojemu je' ravnalica krunica z = O a smjer izvodnice zadan je razmjerom

a:b:c=S:3:2.

Valjkastu plohu opisuje pravac (izvodnica) koji pri pomicanju ne mijenja svoga smjera i uvijek sijee odredenu krivulju (ravnalicu). [Vidi IS u III dijelu Repetitorija.] Jednadbu iz\'odniee napiimo u obliku

x-m y-n z ---5-=-3-=2' (a>

Tu su (m, n, OJ kordinate taaka u kojim izvodnice probadaju ravninu X Y, m i n su prema tome promjenljivi parametri. Iz ea) slijedi:

) ~) Uvritenje (b) u jednadbu ravnalice daje

m' +n' =25

6 B. Apsen: Rijeeni zadaci iz Vie matematike II

.'

pa je s obzirom na (e)

traena jednadba valjka.

129. Pokai da se meusobno tangiraju stoac XI + yi = Zi

i sfera

u taki D (O, 1, 1). . [Izvedi jednadbe tangentnih ravnina na stoac i na sferu u taki D pa e dobiti za obje plohe

istu tangentnu ravninu jednadbe ji - z = O, plohe se dakle tangiraju u taki D.]

D. Openite plohe

Zadaci

130. Odredi jednadbe tangentnih ravnina i normala na zadane plohe u zadanim diralitima.

82

a) z = Xl - xy - yi U Tl (1,1, - 1) plohe. Raunamo prema (75) i (77 a):

~z p = ~x = 2x -y:

Pl = (~Z) = 2 - 1 = l; ~x l

~z q= -= -x-2y ~y

ql = (:;), = - 1 - 2'= - 3. Tangentna ravnina

E == (x - 1) . 1 + (y - 1) . (- 3) = z + 1 ili

E==x-3y-z+l=0

normala x-l y-1 z+l

n==--=---=-- . 1 -3-1

b) z ~ arc tg ~ u Tl (1, 'l, :) . Prema (75) i (77):

P = :; = -7 . (- ~I) = - Xl ~ yi ; 1 + XI

~z l 1 x q = (}y = ------:yi . x = xa + yi ;

1 + x.

E=x-y+2z-2:..=0 2

Tt' z--

x-l y-l 4 n=--=--=--1 - 1 2

~ ~ e) 2:: + 2:: = 8 u TI (2, 2, 1).

Raunamo prema (76) i (78):

" oF - 1 -=2::ln2_ ox z'

" Y oF - x - y -= -2:: ln2--2:: ln2-OZ Zi Zi

a u T, (2, 2, 1):

ili

(oF) = 4ln2; ox l (~:)l = 41n2; (oF) = -161n2 OZ l -E =4ln2(x - 2) + 41n2(y - 2) - 16 ln 2(z - 1) = O

E=x+y-4z=0

n=x-2=y-2=z-1 1 1 - 4

d) (Z2 - x2) X Y Z - yi = S U Tl (1, 1,2) oF ox = (Zi - Xl) Y Z - 2 XI y z;

oF - = (ZO - Xl) X Z - S y'; oy .

oF OZ = (Zi - xl) xy + 2 x Y Zi;

(Fil)' = 1

E=2x+y+llz-2S=0

x-l y-l z-2 n =-2-=-1-=-1-r-

e) II = Y + ln ~ u Tl (1, l, 1) z

[ X + y _ 2 z = O; x-l _ y - l _ z - l] --=t - --=t - -2-

f) z = V x' + yO - X Y U Tl (3, 4, - 7) [ x-3 y-4 Z+7] 17x+lly+Sz=0; --=--=--17 11 S

83

g) S x' - yi + Zi + 4 xy + 6 x z + 4 xy + 2 x + 4 y + 6 z - 8 = O U Tl (O, - 4,4).

Sx+ 6y + 7z-4=0; -=--=--[ X y+4 Z-4] S 6 7-

[ X - 2 y - 3 z - 6] S'X +4y +Z -28 ~ O; -5-=-4-= -1- .

131. Pod kojim se kutom sijeku valjak Xl + yi = al i ploha b z = x y u taki T. (x., y