33
,_" - + JI<5x...,-l)dxdy= Jdyj<2-:-y-3z)dz+ AOB O O l 1-x l 1-x +J dx J (lx_._ 3z-2)dz +J dx J (Sx-l)dv = Q o o o ff s l. J J VR•-=-x• -y• dS, gdje je S gornja -polovina kugline plohe s x' + y' + z' = R• 2. J j z dx dy, gdJe je S ploha elipsoida s x.:. y 2 z' -+-+-=1 a2 b2 e' [l = "'R'l 3. J J x dy dz + :Ji dx dz + z dx dy, gdje je S povrlina ko<:ke ravninama s X = O, y = O, z = o, X = l, y = l i z = l. [l= 3) § 12. VEZA INTEGRALA RAZLICITIH TIPOVA Veliko u analizi i fizici, a u mnogim naukama imaju formule, koje daju vezu integrala uzetih po nekom i integrala uzetih po granicama tih Tu vezu daju formule Green-a, Stockes-a i Gauss-a. 1. Greenova formula formula Grin) daje vezu izmedu poznatog nam krivuljnog integrala fP ( x, y) dx + Q ( x, y ) 1 dy K . 358

Izvadok Boris Apsen

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Izvadok Boris Apsen

Citation preview

  • ,_" -

    + JI

  • uzetog po ravnoj zatvorenoj krivulji k i dvostrukog integrala u;,:;t:wg po povrini:i koju ta krivulja k omeuje.

    Da takva veza postoji, znamo ve od prije: sjetimo se samo formule, koju smo izve1i za povrinu sektora krivulje y = y (x). Ta formula za povrinu zatvorene krivulje K glasi:

    Pomou te formule izraunali smo kao primjer povrinu sektora istostran~ hiperbole (vidi Dio Il. 7, 1).

    Green daje tu vezu u opem obliku. Neka su zadane dvije funkcije P(x, y) i Q(x, yf, koje su neprekinute za-

    jedno sa svojim prvim parcijalnim derivacijama i koje su definirane u podruju cr ravnine XY. To podruje cr omeeno jc:-krivuljom k, kojoj je jednadba y = y(x), od-nosno x = x ( y) i koju pravci paralelni s ko-ordinatnim osima sijeku najvie u dvije toke (sl. 176).

    Izraunajmo dvostruki integral parcijalne derivacije po y funkcije P( x, y) uzevi ga po rom podruju cr:

    y

    A )l ....... .

    I= J JoP(x,y) dxdy a t}y ~0+---~a---L--------~b--~x

    SL 176 Kako se vidi iz slike, tangente na krivulju

    'k, paralelne s osi Y, dijele krivulju na dva dijela: donji jednadbe y,( x) i gornji jednadbe Y (x}, pa integrirajui najprije po y, a zatim po x dobijemo:

    b

    J y,(x) = dx l P (x, y) l = [kad P( xy) parcijalno deriviramo po y, x je konstanta, a y,(x) l

    P je dakle funkcija samo od y, pa je ostala bez promjene, jer smo je najprije dert virali, a zatim integrir~li] =

    b

    =J (P[x, Y (x)] -P[x, Yi (x)]} dx~ b b

    =J P [x, Y (x)] dx- J P[x, y, {x)] dx==

    359

  • b " = J P [x, Y (x)J dx+ J P [x,y,. (x)] dx=

    .. ' b

    =fp (x,y) dx -K

    jer smo, kako se vidi iz slike, izvrili potpuno obilaenje krivulje k u negativnom smislu (u smislu kazaljke na satu, povrina 11 desno!).

    Ili

    J J P r;;y) dx dy =-fP (x,y) dx a +K

    (a)

    Na isti nain dobijemo:

    J J Q(:, y) dx dy =prema slici 176 a X

    Id Ir,(~Q( x, Y} Id l l ~,(y)

    = dy -~dx= dy Q(x, y) = x,(y) ,.,(y)

    d

    =I {Q[x.(y), y]- Q[x,(y), y]} dy = d e

    =I Q[x.(y), y] dy +I Q[x,(y), y) dy = f Q(x, y) dy d +K

    jer smo sada izvrili obilaenje krivulje k u pozitivnom smislu (protiv kazaljke na satu, povrina lijevo).

    Dobili smo dakle:

    Oduzmemo li od te jednakosti jednakost (a), dobijemo: .

    J J ( ~;- :~rtxdy = fP{x,yJdx. + Q(x,yJdy (193) a K

    360

  • To je Green ova form.uui. . PomQu Greenove formule moemo zamijeniti dvostruki inte-

    gral; uzet po ravnom podruju, krivuljnim integralom uzetim po krivu! ji, koja to ravno podruje. omeuje.

    Uzmemo li da je P=-y, a Q = x i izraunamo li: c)Q = l i c)P =-l, x c)y d~bijerno prema Greenovoj formuli

    ili

    ff 2 dx dy ::,_ f ~ dy- y dx a K

    cr= -}~x dy--;:- y dx, K

    a to je gore spomenuta formula za povrinu zan:orene krivulje y = ylx).

    (193- a)

    Greenova formula daje dragocjenu kontrolu krivuljnih integrala izraunatih po zatvorenoj krivulji, naravno uz uvjet, da su funkcije P(x, y) i Q{x,y) ne-pre]dnute u podruju cr, koje ta krivulja omeuje, jer je neprekinutost tih funkcija u podruju cr bitna pretpostavka Greenove formule.

    Kontrolirajmo pomou Greenove formule krivuljne integrale, . izraunate u primjerima l., 2., S. i 6. na str. 333 i sl.. Krivuljne integrale navedene u primje-rima 3. i 4. ne moemo kontrolirati po Greepu, jer su uzeti po otvorenim krivuljama.

    Primjer l.

    Raunajmo prema (193):

    .J. (x - 2y + 5) dx+ (3x 1 4y- 7)dy j p Q K

    oP =- 2 oy

    . oQ.:.. 3 ' ox.-

    f =J f(3 + 2)dx dy = 5 J J dx dy = 5 a== 65 prem!.l slici 161 = 5 - 2- = Il a to ie rc-K a a.

    zultat, koji smo prije dobili. Primjer 2.

    l. (x- y')# ~ (x' + y') dy j' p Q K

    Prema (193): oP oQ oy =-::Qo ; ox=2x

    f = JJ (~x + 2y) d~ dy =.prema. slici 162 = Jo: a

    361

  • P7imjer 5.

    7. ~ 7 5

    Z J dx J (x + y)dy = 2 J dx l xy.+ ~~-= 2 3 z 3

    7 7.

    J"( 25 '9) J = 2 Sx + T- 3x- 2 dx = 2 (2x + 8)dx -~ z

    7 \

    21x + sx[ = 2(49+ 56-4-16) = ~ ' z

    f(2x- y + 3)dx + (x -1'- 2y- S)dy K

    Prema (193): t) p -=-1 t)y . oQ =I ox

    f= 2 J J dxdy = 2a =prema slici_l(i3 = K a

    = 2 { 2 ~ 1 -;- 2 2 + + 3 - 2 -:t"+ S 2 + + 41t ) = 30 + Sn Primjer 6.

    ,.h ydx- xdy j x + y' , gdje je k krunica polumjen r. K

    Napisavi zadani integral u obliku

    rh _Y_ dx - -"- dy j x' + y' x' + y' K

    vidimo, da je P = -e;-~, a Q = --.--=--,. Funkcije p" i Q ne oegovaraju pretpostave[ x+y x.+y

    Greenove formult, jer nisu neprekinute u svim tokama podruja a omeenog kru:tnicom x + y' = r2 (prekinute su u ishoditu), pa kontrola po Greenu.nije dopustiva. Da se u to llvjc-rimo, raunamo prema (193):

    t)p x +y2 -2y' x'-y' t)y ""' (x' + y')' = (x' + y'F oQ = - x' + y'- 2x' t) x (x' + y')'

    xz-y~

    (x' + y')'

    J. fi ( x'-Y' x'-y') j= _ (x'+y')'-(x'+y')' dxdy=O K a

    dok smo prije dobih drugi rezultat i to - 2 1t, Kontroliraj po Greenovoj f?rmuli primjere 1: i 3. navbdene na ~tr. 337.,

    362

  • Vdna p:Qsljedica Greenov.e formule. Govorei u 1 o egzakt1ilin diferencijalima i njihovom integriranju, dokazali smo, da je

    oQ oP ----=0 ox oy

    (147)

    nudan i dovoljan uvjet, da linearni diferencijalni izraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy predouje totalni diferencijal neke funkcije. u= u(x, y).

    Uzmimo sada sluaj, da funkcije P(x, .V) Q(x, y), koje ulaze u krivuljni integral

    f P(x, y)dx + Q(x, y)dy (a) K

    i za koje pretpostavljamo, da su neprekinute zajedno sa svojim prvim parcijalt)im derivaci-jama u podruju cr, koje omeuje krivulja k, zadovoljavaju gore navedeni uvjet (147), t.- j. neka integrand predouje egzaktni diferencijal. Tada uvrtenje toga uvjeta u Greenovu for-mulu daje:

    f P(x, y)dx + Q(x, y)dy =O K Sl. 177

    To znai: ako je Pdx + Qdy egzaktni diferencijal, vrijednost krivuljnog integrala po bilo kojoj zatvorenoj krivulji jednaka je nuli.

    Na pr. krivuljni integrali po zatvorenim krivuljama T,AT .BT, i T, CT,DT. (sL l 77) jednaki su u tom sluaju nuli, a iz toga slijedi, da integrali po otvorenim krivuljama T,AT" T,BT" T,CTa i T,DT. moraju imati istu vrijednost, jer su i integrali po zatvorenim k.rivuljama T,AT,CT, i T,BT.DT1 jednaki nuli.

    Prema tome: Ako je Pdx+Qdy, egzaktni diferencijal, t. j. ako je ispunjen uvjet

    oQ oP o d oP oQ d .. d k . l' . l ox-ox ~ , o nosno ily =ox, ta a VriJe nost nvu 1nog mtegra a Pdx + Qdy ne ovisi o putu integracije; ve jedino o poetnoj i ko-

    nanoj toki toga puta, dok je krivuljni integral po zatvorenoj krivulji jednak nuli.

    Na pr.} (2x'- xy') dx+ (2y- x'y) dy, koji _smo naveli kao primjer 3. -tK .

    na str. 337, jednak je nuli po bilo kojoj zatvorenoj krivulji, jer je integrand egzaktni diferencijal:

    .oP - = -2xy;' ay ~~=-2xy, paje

    oP dQ oy =ox

    363

  • Sl. 178

    . S istog razloga vrijednost krivuljnog in-tegrala

    j 2xy dx + xdy K

    uzetog uzdu bilo koje otvorene krivulje ne ovisi o putu integracije, ve jedino o poetnoj i konanoj toki toga puta, jer je

    oQ oP --- =2x-2x=O ox. oy

    Da se,u to uvjerimo, izrauna j mo taj integral po pravcu y = x i po parabolaroa y = x, y.~ .x i y == l{X od toke 0(0, O) do toke .A(l, l) (vidi sl. 178):

    l).poy = x, odnosno x .= y:

    fl . Ji. 12x yli l = 2x'dx + y' dy =. T + T 0 = ..!_ u o 2) po y = x, odnosno x = + '{Y:

    fi JI ,.x' yIJ I = 2x'dx + y dy = T + 2 = _..!.. o o o

    3

    3) po y = x', odnosno x = '{Y:

    l l 3 12 . 3 'll l= j.2x'dx + jl(Yzdy = ; +SyT 0

    = ..!_ ll o

    4) po y = yx, odnosno x = y':

    l l 14 i 'l'. I = [ 2x Vx dx + [ y' dy = 5 x + ~ 0 =..!., Iz dobivenih rezultata vidimo; da je vrijednost tog integrahi jednaka nuli za

    sve zatvorene krivulje, koje prolaze tokama O i A, jer integrirajui.u obratnom. smislu, t. j. od A do O dobijemo svaki put vrijednost -l.

    Vrijedi i obrat Greenove formule: Da linearni diferencijalni izraz P dx + Qdy. bude egzaktni diferencijal, nurio

    je i dovoljno, da vrijednost krivuljnog integrala P dx+ Qdy ne ovisi o putu, integri~

    364

  • ran ja, ve jedino o po~tnoj i konanoj toki toga putj:l, a integral po zatvoreno; k 1 d d ak- ul' da k oQ oP o nvu Jl a Jc JC n .. n 1, Jer JC to samo. on moguce, a o Je"-:;----:;-.= .

    , . ~ vy U tom sluaju diferencijalni izraz Pdx + Qdy predouje totalni difer.encijal

    neke funkcije U(x, y), koju moemo definirati kao integral du krivulje k od toke A(a, b) do toke T(x, y):

    x,y

    U(x, y.f =j Pdx + Qdy a, b

    2. s,okesova formula

    Stokes-ova formula (hai Stoks) je proirenje Greenove formule. Dok Green ova formula svodi integral uzet po ravnoj povrini na integral po ravnoj krivulii, Stokesova formula svodi integral uzet po zakrivljeno; povrini, t. j. ploni in~ tegral, na integral po prostornoj krivuifi.

    Neka je zadana u prostoru ploha S jednadbe z= z(x, y), koju pravci para lelni s osi Z probadaju najvie u jednoj toki. Tu plohu neka omeuje prostorna krivulja k (vidi sl. 179). U tom dijelu prostora neka su definirane tri funkcije P(x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z}, za koje pretpostavljamo, da su neprekinute zajedno sa svojim parcijalnim derivacijama prvog reda.

    Uzmimo integral funkcije P(x, y, z) po prostorno; krivulji k i' integrirajmo samo po x:

    fP(x, y, z) dx= "

    budui da krivulja k lei na plohi S, kojoj je jednadba z= z(x, y), aplikata z= z(x, y)

    = T P[x, y, z(x, y)) dx k'

    X

    Sl. 179

    gdje je k' projekcija krivulje k na ravninu XY. , Kako je k' ravna l

  • J{aun:pno_:

    iJP, .{ } . iJy = oy P[x, y, z(x, y).) = prema (87)

    oP oP z = oy +o z oy

    Uvrtenje' u (a) daje:

    J.. P-(x, y, z) dx= ff(- oP dx dy- oP . o z dx dy) (b) 'f oy iJz oy k a

    Zruuno, da je prema (130) :. 'dxdy = dS cosy,

    ~

    &die 1e y kut, to ga orijentirana normala na element dS plohe S zatvara s + ~,?si Z (vidi sl. 179).

    U drugu ie_ruku

    iJz dx dy = q . dS cosy = prema (130 ) = iJy

    = -dS V l +:s + q' = prema (77a) i (39) = -dS e01 ~ gdje je cos f. = q kosinus kuta, to ga normala na dS zatva.,. s + v l+ p + q osi Y.

    Uvrtenje u (b) daje:

    f P(x, y, z) dx= J J(-~~ dScosy + ~~QSCD$ ~) = k s

    = JJ (oP cos [3- oP cosy) dS . oz. i:Jy

    s -

    Dobili smo dakle:

    J J{:~ cos [3- :~ cosy) dS= fP(x, y, z)dx s

    Na slini nain dobije;mo:

    J f (~; cosy- ~~co! ct) dS= f Q(x, y, e)dy s k

    f. -f (oR i:JR ) " ay ces IX- iJx cos ~ dS= 'f R(x, y, z)dz s ~

    JQ6

  • Zbrojimo H te tri jednakosti, dobit etpo llakon 'ure\te~ja:

    rf [(aR oQ) (oP oR) (clQ clP) 1 -. -- COS ot+ --- COS (3 + --- COS"( dS"t= oy iJz . oz OX OX i)y . s (IM)

    = fP(x, y,.z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz k .

    To je Stokesova formula. Ona pretvara bilo koji ploni integral, t. j. integralrpo ori-

    jentiranoj povrini plohe, u krivuljni integral uzet po orijenti-ranoj mei te plohe. .

    Uzevi u obzir, da k prema (130, 130c i d): dS cos ot = dy dz dS cos (3 = dx dz dS COS"( = dx dy

    moemO' Stokesovu formulu napisati u obliku:

    ff (oR aQ) (oP oR) (oQ oP) . - -- dydz + --- dxdz + --- dxdy = ay az iJz ox ox oy s

    = f P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz K

    094&)

    Uzmimo specijalni sluaj .. Stokesove formule. . Neka je ploha S ravna i lei zajedno sa svojom meom k u ravnini KV. Tada

    je z =O i dz = O, pa uvrtenje_ u (194a) daje:

    ff e~-~~) dxdy = ~ P(x, y)dx + Q(x, y)dy a K

    a to je. Greenova formula. , Pamtei Greenovu formulu,. moemo lako napisati Stokesovu, treba samo cikliki permu tirati u 0

    0Q -

    0p' slova x, y, z i P, Q, R. [Vidi dalje formulu (211)].

    X y . Pretpostavimo; da je integrand krivuljnog integrala

    J Pdx + Qdy + Rdz. K

    10"1

  • ~totalni diferencijal neke funkcije U= U(x, y, z}, t. j._funkcij~ P, Q .i R za-dovoljavaju uvjete (149):

    oP ~oR= 0 oz ox

    Uvrtenje tih uvjeta u Stokesovu formulu daje:

    l'

    :P Pdx + Qdy + Rdz = O k .

    a to znai: ako je Pdx + Qdy + Rdz egzaktni diferencijal, vrijednost krivuljnog integrala ne ovisi o putu integriranja,.ve jedino o

    poetnoj \konanoj toki toga puta, a krivuljni integral po za7 tvorenoj krivulji jednak je nuli.

    Vrijedi i obrat' te posljedice Stokesove formule: da linearni diferencijalni. izraz Pdx + Qdy + Rdz predouje egzaktni diferencijal, nuno je i dovoljno, da vrijednost krivuljnog integrala Pdx + Qdv + Rdz ne ovisi o putu integriranja, ve jedino o poetnoj i konanoj toki toga puta, a krivuljni integral 'po zatvorenoj krivulji da je jednak nuli, ato je mogue samo u tom sluaju, kad funkcije P, Q i R zadovoljavaju uvjete (149).

    U tom sluaju predouje diferencijalni izraz Pdx + Qdy + Rdz total.ni dife-rencijal neke funkcije V(x, y, z), koju moemo definirati kao krivuljni integral

    x,;y,:r

    U(x, y, z) -= J Pdx + Qdy +: Rdz (195) a. b, e

    Na pr. raunajui krivuljni integral

    J. (x + 3)dx + (y- l)dy + (2z + 2)dz r p Q R K . po luku cilindrike spirale AB. i pravcu BA (vidi primjer 3. na str. 345), dobili smo nulu. Integrand je dakle egzaktni diferencijal. Da se u tome uvjerimo, izra:...

    unajmo uvjete (149) za zadani integrand. Dobijemo:

    pa je

    oQ _oP~ o, ox . ~y .

    (x + 3)dx + (y -l)dy + (2z + 2}dz =dU

    Da odredimo funkciju U(x, y, z}, izraunajmo krivuljni integral po bilo kojem putu, na pr. po pravcu OB, od toke 0(0, 0,- 0) do neke toke T(x, y, z) toga pravca.

    ;i68

  • Prema (195). x,y~e

    U(x, y, z) = J (x + 3}dx + fy -l)dy + (2z + 2)dl o.~. o.

    Jednadba pravca. OT:

    ili u:. parametarskom cQbliku:

    X y X y

    X.=xt Y=yt z,=z_t

    z. z

    Odatle: 'dX =o=x dt; dY =ji dt; dZ =z dt.

    lz'{a):slijedi; da je.,.. toki 0(0, 0:'0) parametar t =:o;~aJUttoki T(x, y~aJ parametar t =,1.

    Dobijemo: l

    U(xi y, z) = J [(xt + 3)x + (yt- l)y + (2zt + 2)z] dt=- ll

    = x - + 3xt +.y- - yt + zt + 2zt = l t t' ,., 2 2 o ' Do istog rezultata dolazimo raunajui U prema formuli (150).

    Budui da je po Stokesovoj formuli vrijednost plonog integrala po povrini S ve odreena vrijednou krivuljnog integrala uzetog du zatvorene krivulje k, koja tu plohu S omeuje, moemo za plohu S uzeti bilo koju plohu, koju pravci paralelni s osi Z probadaju najvie u jednoj toki.

    Navedimq nekoliko primjera.

    t. rp (y' + z')dx + (x2 + z 2)dy + (x' + y')dr K

    tizet po nekoj zatvorenoj prostornoj krivulji k pretvori pomou Stokesove formule u plo!lra integral uzet po povrini S, koju-ta krivulja omeuje.

    Raunamo prema (194a):

    oR oQ oy- iJz = 2y-2z iJP oR oQ iJP ; ~z- iJx = 2z-2x ; --- = 2x-2y

    u iJx iJy '

    f=2JJ~-~~h+~-~~h+~-~~ K' s

    24 B. A,psen: Repetitorli 'vi.e matemaqke - Dio III. 369

  • ~ Dokai, da je kriw!jl'li .integral

    f x'yadx + dy +z~~ K

    gdje je k krunica x + y' = R, z = O, jednak plonom integralu uzetom .po povrini pol~~~at .. gle, koju omeuje ta krunica k.

    Najprije raunamo krivuljni integral' prema (184):

    z = () ; dz = O ; x = R co_s t ; y = R,sin t dx.= -R sin t dt ; dy = R cos t dt

    2'1f t I (- R' sin' t cos t + R cos t) dt = K O

    z.". z.:r

    =- R~ I sin4 t cos tdz.+ R Jcos 1 dr =\vidi Dio II., S, 7. Tip XI, 7) primjer l.= 8 o

    Z'lr Zw R.ll sin 41 sin3 2tl' Rl . l xR .. =- . )6\64----:iiS + Slnt =--8-

    . o o -

    Sada raunajmo prema Stokesovoj formuli~(f94a) ploni integral uzet po povrini pc>N.-. kugle:

    z=+. Vl -x-y .f

    P = x y ; Q = l ; R= z

    J J(_.. 3x' y')dxdy ~ s

    Prelazimo na polarne kordinate uzevi uz to u obzir, . da orijenurana normala na gom;R tK>Iovinu kugline plohe zatvara s+ osi Z kut y < 9.0, pa je eosy >O.

    Prema (Illa) imamo:

    =- 3 fI p cost"!> .. sin'''!' tlptlcp = (J

    = -3fi ( cp_.sin44cp)f~Wr=- 1t:-Oito je, da terno za taj ploni integral oobiti istu vrijedllost-.1r: za sve plobe,koje'su ome .. ene krunicom k.

    370

  • J. Gaussova formula

    Ta formula, koja je takoder poznata pod imenom formule Green-Ostrograd-skog, daje vezu izmedu trostrukog ili prostornog integrala i plonog integrala.

    Neka su zadane tri funkcije P(x, y, z), Q(x, y, z) i R(x, y, z), koje su ne-prekinute zajedno sa svojim prvim parcijalnim derivacijama. Te su funkcije defi-nirane u trodimenzionalnom podruju volumeQa V, koje j.e omeeno plohom S jednadbe z= z(x, y), pri emu za tu plohu pretpostavljamo, da je pravci para- z . lelni s koordinatnim osima probadaju najvie u dvije toke (slika 180).

    Uzmimo trostruki integral J po volumenu V zadanog podruja parcijal-e derivacije po z funkcije R (x, y, z):

    J= J J J iJR(x~: z) dxdydz v

    z 2(x.y) J f dx dy f iJR(x~: z) dz a z.rx,y)

    o

    M X

    x' Sl. IRO

    gdje je a ortogonalna projekcija podruja omeenog plohom S nu ravninu XY, a z= z,(x,y) i z= z,(x,y) jednadbe ploha s. i s;, u koje dijeli zadanu plohu S valj kasta ploha, kojom se ploha S projicira u podruj~ a ravnine XY ..

    Izvrivi deriviran je i integriranje [oR( x~:' z) je funkcija samo od z, jer x 1 y smatramo, da su konstante ] , dobijemo nakon uvrtenja granica integracije:

    1 = J J { R [ x, y_, z,(x, y)]- R [ x, ~' z,(x, y))} dx dy = cr

    e~ J J R[x, y, z.(:~, y)] dx dy-J J R[x, y, zdx, y)j dx dy cr

    Kako se vidi iz slike 180, orijentirana normala na element dS, donjeg dijela S, plohe' zatvara s osi +Z kut y, > 90", pa je cosy,

  • Prema tome:

    l= I I R(x, y, z)dx dy +fI R(x, y, z)dx dy =J I R(x, y, z) dxdy ~ ~ s

    , Dobili smo, dakle:

    I I I~~dxdydz =I I R(x, y, z)dxdy v s

    Na isti nain dobijemo:

    I I I ~;dxdydz =I I Q(x, y, z) dxdz v s

    I I I~~ dx dy dz = I I P(x, y, z) dy dz v s

    Zbr0)1mo li te tri jednakosti. dobijemo:

    III (oP oQ oR) -+-+- dxdydz= ox ay az

    v

    =I I P(x, y, z)dy dz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy s

    To je Gaussova formula.

    (196)

    Ona pretvara trostruki ili prostorni integral uzet po volumenu V podruja u ploni integral uzet po vanjskoj povrini plohe, koja to podruje volumena V omeuje.

    Kako je prema (130, 130c i d) dx dy = dS cos y dx dz = dS cos ~ dy dz = dS cos or:

    Gaussovu formulu moemo napisati i u obliku:

    I I I ( ~~ + ~; + ~:) dxdydz =J J [P(x, y, z)cos oc + Q(x, y, z)cos () + v s ' '

    ( 196a) + R(x, y, z) cosy] dS

    372

  • POPIS NAJV AZNqiH FORMULA

    Vektorsb algebra _

    _,.. -+ -+ .-.

    Radij vektor r ':"', x i + y j + z,k . apsolutna vrijednost 'ili duljina r = l ;l := + V x lt- y + z' smjer X y Ill cos =-,-- ; cos (i =- ; . cosy ""'-".

    7' ' 'T ..

    cos.~+ cos ~ + cosy = l / akalame komponente r" = x ~ rcosrx.;1 ry ";,y "=rcos ~; r. ='z.= rcosy

    r,. = cosoc; . r; =cos~;--: " ='COS"(. '

    Opi vektor ; : . --~ ,, -:-t ~ d= (x,- x.) s + .(y,.-y,) J+ (z.:-"" z-,) k . Njegova duljina, odnosno udalj~Ost' dviju toaka u prosto~u:

    1 d= Y (xi- x,) + (y,-:- y,)~ -t;. (z 1 ~z.)"

    Skalarni produkt ......,_.. ~_....

    (a 'b) = {.1 b =a b ; cos cp --+--+

    u komponentama a b= a"b" + ayby +_a.b. --+ __..,_... #- ~ _...... -+2"

    a l. b, ako je .a b = O a t,~ = a = ~

    Osnovni jedinini vektori: .

    _,. __.,. -+ ......

    i j= j i=; O; --..~ -t-2

    iz=i=l;

    Kut dvaju vektora:

    _._. _.._. ' ~~ __.._.

    j k=ki=O; _k i=i k=(,) __,..-+ _.,.z . r --+ ~ -+a , j j=j=l; k k=k= l

    ---ab

    cos cp=-. ab.

    ~

    (3)

    (4)

    (3)' (6) (7)

    (8)

    (9)

    (ll)

    ' (18)

    (lS)

    (13)

    (16)

    (19)

    453

  • ~_,.. ........ _..

    Zakoni: a b= b a; ..,. '--,,... ,

    .... ~'~i.....:.. \ .. _..:.:- ~~-~ :......;._., ~[...., -....,:... ' (+lj) (e +d{:;:=;~f ~~~ c.+{ljd +b d ' (17)

    ,: '.l . " . . ,._ +- ~' .,,

    _..,.. -:1- ' . . Vektorski produkt:

    . ' ax b

    /.. --... .. ._..

    duljina: 1 (f ~ b l = a . tr ~-$il$ ;\ .'! - ,. .

    smjer: ... ~- ~ .1 . !Ul ravDini a i !t . ' . , L smi~: p{avilo "rutfi; ~0$1\0' 1~ ':vilka

    . . . . . ' . ' . ~ l ;

    u. komponentama~

    -

    ... -+

    ...... i j lt ax b= ax' y .. ~

    r.,T ")' .". t'""

    -+ . -.~ ---a ll b~ ako ie a x _b ;::::; ~

    Osnovni jedini~~ vektori' , _,. -+'- ...

    _. _,.. --

    i X j= fe! j X fc :::a i; ' " /

    - -+ . -+~ ._.. ~ ~ i X i= O;' i X j';:= O; --+ ~ -+ ~ _., ~ i ~ --~ ....... , ....... ........ '1..,_:-" ,. 1:'',

    Zakoni: ax b= -b x a;,Ja +b) X(c +d) =ll)(c'+h.x& +,)( .... fi')(.d'' (2~ Viestru'ki l'tedlikti

    r; x JJ"7 ~ absin cp~ e eds ~_;": t-~ .. .~ -~~-~l.~~ ~~lo~~ '(l~.l b.; b' b' i ' .. ,' "' ~ y / ~

    Uvjet komplan'arnO.sti triju vektbra: . .

    ..... :;..-t.~.~_.......... ., {~ x_b)c,.., (4 b c);~o

    -Jo. '-+ '_.. ~ _,.._,. ~ ~ _. ,', _";' --+- .. 4 -": r.,..... -t~, ~...+ ...:...\ a x (b x e)= b (a e) -t (a b); (4:X ~) X e 91 b (a-c) ;,;.;.;.>a (b e) -(31)

    ' J ., ' . ' ; ' . ! ' .

    -Jo. -+ .--.. -+ ~ -.~.; / ~ . ..... ' ...... ~ ..... _. , ._."'_.,. _:. ....;..:. (a X b) (e X :d)= a(h, X (e X d)J (a c)(b.d)- (a~d) (b, cr . (3:~

    r-; x bJ x r; x d)== -:rr; x 1idr-'du-:~\)~=:7i;11J :_7(;-r;J. (34J , 'e' .. ' l

    . . ' - l ~ ~

    454

  • Vektori ov.sni o pararllet,rb r ~. \

    ..... _.. ' ..... -" ,, .......

    a (t) :.-aJz) t +.ay(t) J :1-; a,it) t ,

    -,( ). _-d; _ d""; . A a7~+' fl "w7: ; a t --- --.,...,...t.f--1 -10 dt . df ' . ' dt A : d't' l -

    Pravac Jednadba pravca

    -- -d ~ - , da db dt (a:.!: b) ;=dt ,dt ..,.

    . d .__.. ~d b -d a -"'- fa b) = a- + b-dt dt . dt

    _., -d '- - -: d b. - . d a --"-(a .X b)--= a X-_- -b-)!.--dt . t . . ' dl

    -da. - Za a = l = cons~. dl .L a

    kroz jednu toku (x., Y~> z,): u parametarskom obliku: _

    u kanonskom obliku:

    kosinusi smjera pravca:

    X= Xt +at y =y,+ b,t

    ~=z,+ ct . x-,-x, y-y,. z-z, --- =--- =----..

    a b . e

    ''

    (37,

    (38)

    . a . - b' . l cos ot = ; cos~= : . ; c:osy = . '{39).

    Va + b + e ~ Va + b~ + e . . .. :~:: Va' + ih''+ e .... \' '

    Kroz dviior toke ( x., y., z,) f (x., y,~ z.): _,;.-

    x-xi y-y, z-z, ---=t-=---x,-'- x, Y ~Yt. ;_...,._zi (4H

    Dva pravca

    kut dvaju pravaca: (42a) . ~ , .

  • uvjet okomitosti: . uvjet para1elnosti :

    uvjkomitosti:

    456

    (SJt)

    (sfl (S~)

    (5~ f (5!1} .. '

    '.i. : (Sl} . l

  • \JVjcti, da p;av:lc. lei u 'ravrunl~ . " . ........ . . j-, \ _. ~ . ' ; ."' .: ...

    'aA+ b'B +~CC =O"~ .. Ax, + By cf- Qz, '+ 'q ;= O ,

    . . -~!: . ' . ,~ .. : ~

    Plohe d~ugog reda

    kugla: .'( + y + z =:= R,"; ir-Obsni ~lipsoid:: Troosni hiperboloid; - . . x y! z' . . x- y. z

    dvoknlm: -----=l; jednokrilni;: -~+----=l' a b' e' a b e!

    Paraboloict: x y , -- +- = 2z; a b ,

    -.x .y . hipe_r-bolni: .iii ~e/l ;e= 2z:

    ' ~ ..

    Eliptiki stoac: x y" , ~a -- + ~-- - f- "" () a b2 ~

    Jednadba taogeotne ravnine i normale u to~i (~1, .r~ z.) plohe F(x, y, z) = 0::

    -..(59)

    .. (60) (63)

    .64) (65)

    (69) .{70)

    (oF) (x-x,) + (iJF) (v-~.) +(of). ~(z-z,)= O (76) ox l oy 1 - . (Jz t - : l

    X'-x, = ~,;., z-:---z (?S) (~aF) . (oF) (oF)

    plohe z = f(x, y): ax ' . . o y ' . ?~ l

    (x-x,Ji,-+ (y-y',;_q, =.z~i, x-x1 y~y, >S-z~ .... 7i = -q-,- = --=fl ~ .. -

    gdje je

    Parcijalne derivacij~ i ,difCHb~iali ' ~ '. ' \ . . ~

    Za eksplicitnu funkciju~ =f(x, y): _ ' oz oz .

    _._::::;:::~

    oxay _, a:;.Ox az 'or

    dz. = bx d.x + ~-' .dy

    (75)

    . (77)

    (i9-)

    {80)

  • ;.;_.

    .Za sloenu funkciju w =f(u, v), g~ ;e-:lt'..;. u(x,y, ~), "- = ;(x,y, ~):. ' /' l .;, n; ' -

    .. ,

    ow d'al- otto . 0r.u .. w = - du + 2 -- du dv + - dfJ + - d"u + ~ d'v ou ' .ouov .. , ov . '. du . en,

    Za implicitnu. funkciju:

    f(:x, y) = 0:

    F(:~e, y, z)= 0:

    of dy ' ' dx' ax=- of

    /a;, .. oF

    ot: JX dX=- iJF .

    > az

    Taylor-ov red za funkciju z =/(x, y) iz tQke (x., Ji~)/

    (U)

    (8$) ,

    ..... (86) . .

    (90)

    - (92)

    .I, (of h of ) .. . 1 {o'f f{x, +h, y0 +.k) =f{x0, Y) + -11 _ T .. + rk + -21 n h + . . . , vX. . uy . .---. . . v:X

    ~ .~ 'i ~~-:~ .

    (96)

    1 [of: . . .Df:.. ') . .. i [of . ' f(x,y)=f(:x.,y.)+-11 T_ (x-x.)_+T(y-y,) +-21 rfx::-xe}+ . vx . , vy. . ,._..,_. , vX , ; - l ~-Ye ' ' . .... .

    ' '

    df ] 1 [af . ~l . J + ~(y-y.) .+-3, ~rx~.x.) +.-~;(Y-,J vy . x=x. . uX VJ ': ~- >'~>'. . ,_,.

    (96b)., '

    gdje su potencile izraza u uglatim Zagrada.tna sin>bOilke., . .. .; . . ~ '.

    458

  • Mac Laurin-ov red za ;fil.okciju ._'!!:/(x.-'yi} ' . ~~ .

    '

    _ , 1 (or . of \ . , . t (o'/ 2 --o tf . . f(x, yJ =f(O, OJ+ TI ax-~+ oy yl..~o+ 2t IOl~~ -t: x:iiJI-9 + Y-~ ' .

    Eks tn mn~ vrijednosti- fuat.;ii~ ~J( x, Y/ A) Slobodni ekstrem.

    Nuni uvjet: -iJz t' oz __ o -=0 ox 0.)1 Dovoljni uvjet; ' Oznaka: u toki ( x,, y,) .

    L a)

    (o'z) =-r, ox .

    ekstrem u toki ( x~, y.) i .to

    (:::;). = s .. . r, *O r.t.~s,L> o.

    ....! =t. '(o-)' ~ l -

    za r, < O rnaksimUD11 a za r. > O minim\bn ' /

    b) e)

    II. a) b)

    rot~- s, < o ekstr~ nem -r,t,- s1~ = Q neodluQo

    r, =O s. ~ -O ekstrema nema

    i s. = O n~dluno.

    '\ . \

    UOO)

    (lO l)

    . l

    B) Vezani ekstrem funkCije .z =:f()C,:y} uz uvjet r9(x1 .)1)= 'o svo_di se na slobodni ekstrem funkcije

    ,_

    F(x, y) = f(x, y) +). ~(x, y) -- l ... '

    Sil!gUlarne toke krivulJe; F(x, 'y) ...: O l ._ '. - " l . ...

    Odreduju se iz sustava jednadbi: oF . oF --=D, -==0

    -ox ' Oy .

    (102)

    --

    ' (lOJ')

  • \

    ako je dvosttuka to.ka r.t;- s.~ :>O izoHi-ana tok:.' (lO~) roto- so =--q ~ili*

    Tu je: r, = ( ~:.).; s. = (o~,~~; i ( iJ'F) to= w- . . .O

    Ovojnica (anvelopa) familije krivulja F(x, y, IX) =O . '

    . " . ' . : ~ ' ,. . ' ," . , .. - .. . .~ ,.: ,.. . Njena jednadba se dobije tako; -da se uklQili parame'ar iZ jednad~i: >< J

    oF(x, y, IX) = o . qrx . F(x, y, 11.) =O

    Viestruki integ'rali '. l

    D v o s tr u k i i n t e g ni l i

    u pravokutnim koordinata~a: h ~~ d ~w

    V~ f J f{x, y)dx dy =J dx Jirx, y) dy =J dy J f(x, yJdx 'a . n _v dX) ~ ,. Nt(Y)

    u polarnim koordinatama: x ==' p cos tp; y =" p' sit1 ~.; dx dy ;; p dp d rp

    V= J J J(~ cos .q;>, p sin ~p-) p-dp d rp G

    (105)

    (106)

    (111)

    l

    U eJiptikim koordinatama:, X = au COS 'V; y ':"' bu sin V; dx dy = ab U.du dv O~tU51 o~ 'V < 27t

    V=~ JJ j(auc~sv, _#Jun'nv)ud~dv lJ

    Trostruki integrali

    (U3)

    u pravokutnim koordinatama: b y,(.:) Jt,(ll,y} J J J f{x, y, z)dxdyd~ = J dx J dyJf(~, y, z)_ti~ (109)

    l' . ., ;>~dx) 't,(lt,y)

    460

  • U cilindrikim koordinatama~ .X =p CO$ q~i "ye= p S'ln ~;. if""' Ji

    o~ tp< 2;t; o ;i p

  • Momenti tromosti (inercije) ravnih..rlitbva tiL ;==JJ: -~ ' - > : ~. ;

    1,. =J J y'd~dy JY ":.J f x~x_d; ;_ '1"~ ==J J 1lJI.bQY .~UM), s s $

    111 =le ~J J ~~4dy. -(127} $

    Komplanacija plohe z = f( x, ?') :

    s = J J v ~ e+"' dx dy ~ a

    . ( 131)

    . . \ ( Masa nehomogene plohe z -= f( x, y) ~toe 1.1. ~ IL( x, y):

    m= J J !.L(x, yJV,l +P'+ q'.dx~ (t32a). a

    Nehomogena tjel~~ gustoe IL= IL(x, y, J i v_olwheoa V: . ' '

    masa m= I J J IL(x, y, Jdx dy d:' ' ' '(136) v

    ,l

    I JJx IL(x, y, )dx dy dz .. v ' '

    x,= ~------m------~

    (137). te:ti~e l '

    tl2

  • .JUOmenti tt;osnoSti (~clJe) 1,. = J I frY~ + ~) ~(,.. _,;, ~)h d~

    v.. :-. . .. . ..

    1:1 = J J J (x' + .e~J !L( X~};, ~J tlx,4:J b v.

    I. =JJ J.cx+ Y'}.!J.fx, y,iJ *~JI~ . v ~ ' . . . /.

    . . .

    I,= I.= J J J (x + y + z')!L(x, y, ~jdx dy dt= ~- (l~ +1" +-111) (139) ' ll . .'\. .

    .

    Derivitanje po parametru : ' l. Granice integracije su konstantne.

    (144) a ..

    2. Granice integracije su fynkcije .parametra ~ b(d) b(} . .

    ~ Jf(x, r~.)dx =J of(x, )dx~ f(b, -~jdb~J(a, J~, (14S) d . th ' . d . d d(ll) ' a() ,.

    Jntepiranje po parametru il: .. " b .. . J [J f{x, )dx] d;,., J dx J f(x; .fl.)drl.

  • Ako je

    ' . l :r. ,_.~ .. ;,- ' ":y ' ~. ; l _ . = prx, y, z) +. C =J P(x, y, z)dx+ -r~(t~?Y t)dz +, .

    x, ye . t

    ' z .

    + f R(x~; y., z)q&: + ~ . . (lSO) ' ..

    Euler-ov multiplikitor. !L za slua{, kad je .-o;*. ~Q: , r.Jyux

    l. Ako je !L = fJ.(x):

    d~:~= ci (~ ~~~) ( IS2)' / 2. Ako je fl= !l(Y)_:

    d~:.!L = ; (~~~ !~); .(l52a) Krivulje u prostor~'.

    \.

    na pr. Ci!-indrika spirala x =, r cos t I. krivulja x = x(t) y = y(t} z= z(t)

    (154) y=r~int (155) Z;:", Ct

    Jednadbe u toki T.(x., y., z.) parametra t= t,:

    tangente

    ili

    x-~. Y -y. . ::-~.' -. -, - = -, -.- r,---;--:-"-x(to) y(to) z(t)

    x-x. y-y . \z.-ta dX = ---:-JY =-rz-

    ' (l56)

    normalne ravnine .( x- x.)x' (to) + (y .,..- yo}y' (t,) +(z~ zo) 11' (t.) =O (157)'

    oskulacione ravnine

    464

    x-x.

    x' {to) x" (to)

    y-y. ss--z. y'[t.) . :l(t,} y" (t. o) .ft" (t,)

    . \

    =0 (163) . '~,'

  • /

    II. krivulja

    ,. ' . ' ' ' : ., .. -

    ,==J v~r~; +"~t.~'+ $,'~(tJ dt _ t,

    'f =~(sj y = y(s) gdje je s duljiila ~ kriVUlje. z= z(s)

    Jednadba u toki. T,(:x., y., _z,) parainetra s= s,: . . \

    \

    tangente x-x. y-y. , z-z,

    ~'(s,) _= y'(s.) =. z'(s)

    (161)

    (l6t)

    (x-x,)x'(s,) +.fy-y.)y'(so) + (z-z.,)z'(s,).;,;. O (170) ., ~ .. ,. ' . ;. . ...... l ' - '

    nonnalne ravnine

    oskuJacione ravnine 1

    x-xo

    x'(so) x" (s,)

    y-y. - ' y' (s.) ,z' (s,} :y" (s~) , z" (s,)'

    . \ '=o

    binonnale x-x,

    l y' (s.) z' (s,) y" (s,) z" (-s,; J)avne normale

    rektifikacione ravnine -

    y..;....y. z-z,. ,

    l z'(so) x'(s,) ~-~,.~'(se) ',y1{s,) l z" (s,) x''( s.) . x'' (s.~ y~ (s,)

    (J11r

    (172)

    {173)

    (x-x,)x"(s..) + (y-y,)y''(s,) + (,..---z.)s'\(s,) =-O (174) ' l !. \

    zakrivljenost '(l~b) .

    -IOI'Zija (177)

    ' -+ -+ 'III.Jaivulja T= T (s) Frenet-ove formule , -

    ..... ...... . ' ....

    t, -ort_ tangente n, -'ort- glavne normale; l

    ..... '

    h.-orr hin~ .

  • -+ -' 4t. ". .... -=~=Kn,

    ds p . -+ -+ ab. \ .n~. . 4 ----=--rn, ds p~ .

    l

    G.;een-ova formula

    ')l ... i

    . (l78)

    l

    . ~~ l '

    . pJ:>txiy)dx+Qrx;~)dy:o:fJ(~~:;)IUdy ft9~) K , 1!1.. ,

    Stokes-ova formula

    Gauss-oVa formula ..... ~ J:'; { .

    =J JP(x, y, z]dyd~ + Q(x. y, ~)dx.4:t R(.X" y, ):'Ist 3 ~ ' : ,. \ _.: :,". ._ l . ~- '

    . \ ~ ' ' ,-l .. -

    .. Vektoraka analiza ' - ~ ' . -~- . .:......,

    Perivacija funkcije U(x, y~ z) u smjeru s{at, ~' y), odnoSJIO ' :: , dU iJU oU ~U , 71JU ...,;. .... : " . ' ds =T cos (J.+ ,\.,, co.t ~+ik cos"(=~= s.g;iulfl (198)

    X . VJ . os~. .

    , ' iJU..., i>l/- 4U- grat!U(x, y, z) r=;.~.1 f'"W J* li l

    \ (199)'

  • ; K cMJu ploha Gfi,y;J~(). :t ~11fit'l'1i,.J~~:,.,c .. : ; - ; ~ ~

    : ',;' .':..:,., :......-_:-!r> , -- . ....,_' .- ..

    1 Ze vektorsko po1;e v= P(x, y,_z) i+ Q(x, ~. J j +R(x, y, )-, ~ -, '

    d.- oP +'_OQ+.~R . .. 'll ,ll = OX Oy - "iii (202)

    . - (QR dQ)~ (dP oR)~ .(b(/ oP)-- . rot v= --- t+ ,-~- 1_ + -. -~- k_. , . . -~ oz .. '' oz ox .. :; ox Oy _.,: ..

    U(x, y, :~) ~fP dx+' Qdy f Rb+ C == r .

    . :- oil , dU . . . oU = potencijal polja " ako je T)" =p = OX; ~f)y = Q = c)y; '" = R -. o .

    -~QSno ako je rot'v =O Gauss-ova formula u vektoPSkom obliku

    J J J div-; dx dy dz :=f J v,IIS v ., s

    Stokes-ova formula u vektorskom obliku . .

    Operatori;

    I Nabla

    l.

    _ ~ v,ds = J J (rot-;)" dS K S

    ()- ()-; ()-V=-i+,;_i+-k dx dy .. oz .

    v skalar =Irad Skahlra ~~u= grad p

    (203)

    (lOS)

    ~206)

    (207) . '

    . (208) V( U+. V)= 'VU+ VV =grad U+ gt'tll/. V l V(UV) = UVV1+ VVU=,UgradY+V.srizdU VkU = kVU= kgrad U Vf(U) =f'(U) VO =/'(U/gr~ U -

  • ' ~. . '\ . . ('1166\> . . ' , . .."..,J '

    Jdj'! je k kons.tanta . .. ~- ' ;.... ' -+ -t -+ :__. ' -1

  • - "'' .... ._l.','

    ; "__{;4-.\t{;'i,_. .; .:.' l, ~_;- .... i' .:---

    ... ... ..... ' ....,&. .. - .... - .- ~- "" - v X(Vxt>+ t X

  • _.- .... . ,;-_. ...... ,_ . .'~., ':' ~ . -+ ro~4'Jii . .=a v X (V X 11) =~~ilififfliJ ~V(V"tl) . ..:..-'.&11 ';'(220)

    . . ... ', -'+ , . ;;,... . , .:_.-\_. . ..,.;: . ,.... .grad dilili= V('V 11) ... rot rot f) + dftipa#fJ =v X ~v X :v)+ & " 'c2t9)

    . . ' \ . J' . . ',

    ~ 6/ff! J= r'ru;ii.u,::+J"ttJJ (titJ); (220a) ' '

    '~f(r) d.~;..!, (T' f/), , :r~tff .. . . . '(220b)

    (220c~

    ' ~ .. ' . . ~ -'~'. P~rcijaloe difereodJalae teducllbe

    l

    Opi oblik linearne parcijalne diferencij~lne. j~be l)l'V(Ig. ~ ' ~.~> ~ \:-. ~ .. - ... ~ . ' '

    '

    oi . i)z . . . . . P(x, y, z)-"-+ Q(x, y, z)-" =R(x, Y- ) .

    . yX ., uy

    Diferencijalna jednadba ka~akteristinili krivulja

    (121)

    Ope rjeenje: (222)

    gdje su F i f funkcije _po voiji, p.

    ~ l ' konstante integracije Izraunate iz opih rleenja d~f.erencijalnih j~dbi Jr.a-

    rakteristinih krivulja.

    REPETITORIJ VIE MATEMATIKE III DIOSADRZAJ 1. DETERMINANTE1. Openito2. Determinante drugog reda3. Determinante treeg reda4. Determinante viih redova5. Svojstva determinanata6. Operacije s determinantama7. Matrice

    2. VEKTORI U PROSTORU VEKTORSKA ALGEBRA1. Openito o vektorima i skalarima2. Prostorni pravokutni koordinatni sustav, koordinatne osi i ravnine3. Komponente vektora. Njegova duljina i smjer4. Skalarni ili unutarnji produkt dvaju vektora5. Vektorski ili vanjski produkt dvaju vektora6. Zbroj vektora poliedra7. Viestruki produkti vektora8. Derivacija vektora po parametru. Primjene u mehanici

    3. ANALITIKA GEOMETRIJA U PROSTORU PRAVCI I RAVNINE1. Openito2. Pravac3. Dva pravca4. Ravnina5. Dvije ravnine6. Sjecite triju ravnina7. Pravac ravnina

    4. FUNKCIJE DVIJU l VIE NEZAVISNIH PROMJENLJIVIH1. Openito o funkciji dviju promjenljivih. Njeno geometrijsko zaaenje i neprekinutost2. Plohe drugog reda3 Parcijalne derivacije funkcije dviju i vie promjenijivih4. Geometrijsko znaenje parcijalnih derivacija funkcije dviju promjenljivih5. Jednadbe tangentne ravnine i normale na plohu z = f(x, y) u zadanojtoki T1(x1, y1, z1) plohe&: Parcijalne derivacije viih redova7. Totalni diferencifal funkciJe i njegova primjena8. Totalni diferencijali viih redova9. Totalni diferencijal sloenih funkcija10. Parcijalne derivacije sloenih funkcija vie promjenliivih11. Deriviranje implicitnih funkcija12. Parametarski oblik funkcija dviju nezavisnih promjenljivih i njihovo deriviranje13. Taylor-ove i Mac Laurin-ove formule i redovi za funkcije.dviju i .vie nezavisnih promjenljivih14. Primjena Taylor-ove formule za priblino rjavanje Jednadbi15. Ekstremne vrijednosti funkcije dviju i vie promjenljivih16. Geometrijske primjene parcijalnih derivacija

    5. VIESTRUKI ODREENI INTEGRALI I NJIHOVA PRIMJENA1. Dvostruki integrali2. Trostruki integrali3. Zamjena promjenljivih u dvostrukim integralima4. Zamjena promjenljivih u trostrukom integralu5. Primjena dvostrukih i trostrukih integralaa) Povrina ravnih likovab) Masa ravnih likovae) Statiki momenti i koordinate teita ravnih likovad) Momenti tromosti (inercije) ravnih likovae) Komplanacija (odreivanje. povrine) plohaf) Masa i koordinate teita plohag) Masa i koordinate teita tijelah) Momenti tromosti (inercije) tijela

    6. INTEGRALI KOJI OVISE O PARAMETRU. NJIHOVO DERIVIRANJE I INTEGRIRANJE PO PARAMETRU1. Pojam parametra integrala2. Deriviranje integrale po parametru3. Integriranje integrala po parametru

    7. EGZAKTNI DIFERENCIJAL! I NJIHOVO INTEGRIRANJE 8. EGZAKTNE DIFERENCIJALNE JEDNADZBE.EULEROV MUL TIPLIKATOR 9. KRIVULJE U PROSTORU1. Jednadbe prostornih krivulja2. Jednadba tangente na prostornu krivulju3. Jednadba oskulacione ravnine6. Jednadba prostorne krivulje u vektorskom obliku7 Zakrivljenost prostorne krivulje8. Glavna normala. Binormala. Rektifikaciona ravnina. Osnovni trobrid9" Torzija prostorne krivulje10. Frenet-ove formule

    10. LINlJSKI (KRIVULJNI) INTEGRALI1. Linijski integrali po ravnoj krivulji2. Linijski integrali po prostornoj krivulji

    11. PLONI INTEGRAL! 12. VEZA IZMEU INTEGRALA RAZLIITIH TIPOVA1. Greenova formula2. Stokesova formula3. Gaussova formula

    13. VEKTORSKA ANALIZA1. Usmjerena derivacija. Gradijent skalarne funkcije U(x, y, z)2. Potencijal3. Vektorski oblik Gaussove formule. Divergencija vektorskog polja4. Vektorski oblik Stokesove formule. Rotor vektorskog polja. Potencijalno polje sila. Odreivanje potencijala5. Operatori V-nabla i -delta i njihova primjena u veltorskim raunima

    14.SUSTAVI OBINIH DIFERENCIJALNIH JEDNADBI 15. PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNADBEPOPIS NAJVANIJIH FORMULAVektorska algebraAnalitika geometrija u prostoruJednadba tangentne ravnine i normale u toki (x1, y1, z1)Parcijalne derivacije i diferencijaliEkstremne vrijednosti funkcije x=f(x,y)Ovojnica (anvelopa) familije krivulja F(x, y, )=0Viestruki integraliPrimjena viestrukih integralaIntegrali koji ovise o parametruEgzaktni diferencijali. Egzaktne diferencijalne jednadbeKrivulje u prostoruVeza izmedju integrala razliitih tipovaVektorska analizaParcijalme diferencijalne jednadbe