Zadaci iz matematicke logike

8/11/2019 Zadaci iz matematicke logike

http://slidepdf.com/reader/full/zadaci-iz-matematicke-logike 1/36

Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku

Sarajevo, 11. 11. 2009.

Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa A

Pitanje 1 (5 poena)

a) Definisite interpretaciju racuna Ri u X = ∅ i definisite dokazivu Ri-formulu Φ.

b) ˇ Sta mozete kazati o glavnoj interpretaciji racuna Ri i o Booleovoj funkciji Ri-formule Φ = Φ( p1, p2, ....., pn)?

c) Formirajte Booleovu funkciju Ri-formule ( p ⇒ q ) ∨ r.

Pitanje 2 (5 poena)

a) Definisite semanticki ekvivalentne Ri-formule i napisite najmanje 10 primjera semanticki ekvivalentnih iskaznih formula.

b) Dokazite (najmanje na dva nacina) da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ∧ q ) ∨ (¬ p ∧ ¬q ) semanticki ekvivalentne.

Zadatak 1 (5 poena) Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈{,⊥} ako je

τ

( p ⇔ r) ⇒

¬q ⇒ (¬r ∧ ¬t)

∨ (¬s ⇒ t)

= ⊥.

Zadatak 2 (5 poena) Iskazna formula

Φ ≡

(¬r ∨ p) ⇒ q ⇒ F

⇔

F ⇒

¬q ⇒ (r ∧ ¬ p)

je tautologija. Sastaviti s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ≡ F ( p, q, r).

1




Sarajevo, 11. 11. 2009.

Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B

Pitanje 1 (5 poena)

a) Definisite Ri-tautologiju Φ = Φ( p1, p2, ....., pn).

b) Formulisite Teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite (najmanje na dva nacina) da je ( p ⇒ q ) ⇔ (¬ p ∨ q ) Ri-tautologija.

Pitanje 2 (5 poena)

a) Definisite kanonske (normalne) forme ( n.k.f., n.d.f., s.n.k.f. i s.n.d.f.)Ri-formule Φ = Φ( p1, p2, ....., pn).

b) Formirajte s.n.d.f. i s.n.k.f. Ri-formule p ⇒ q.

Zadatak 1 (5 poena) Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈{, ⊥} ako je

τ (s ⇔ p) ⇒ ¬r ⇒ (¬ p ∧ q ) ∨ (t ⇒ ¬q ) = ⊥.


Φ ≡

( p ∨ ¬q ) ⇒ ¬r

⇒ F

⇔

F ⇒

r ⇒ (¬ p ∧ q )


1




Sarajevo, 11. 11. 2009.

Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa C

Pitanje 1 (5 poena)

a) Definisite interpretaciju racuna Ri u X = ∅ i definisite dokazivu Ri-formulu Φ.

b) ˇ Sta mozete kazati o glavnoj interpretaciji racuna Ri i o Booleovoj funkciji Ri-formule Φ = Φ( p1, p2, ....., pn)?

c) Formirajte Booleovu funkciju Ri-formule ( p ⇒ q ) ∨ r.

Pitanje 2 (5 poena)

a) Definisite semanticki ekvivalentne Ri-formule i napisite najmanje 10 primjera semanticki ekvivalentnih iskaznih formula.

b) Dokazite (najmanje na dva nacina) da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ∧ q ) ∨ (¬ p ∧ ¬q ) semanticki ekvivalentne.

Zadatak 1 (5 poena) Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza p,q,r,s,t ∈{,⊥} ako je

τ

(q ⇔ s) ⇒

¬t ⇒ (¬s ∧ ¬ p)

∨ (¬r ⇒ p)

= ⊥.


Φ ≡

(r ∨ p) ⇒ q ⇒ F

⇔

F ⇒

¬q ⇒ (¬r ∧ ¬ p)


1






Sarajevo, 23.12.2009.

Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa D

Zadatak 1 (3 poena) Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule

F ≡ (q ∨ ¬r) ⇒ [(¬q ∨ p) ⇔ (r ∧ p)] .

Zadatak 2 (3 poena) Na skupu S = {a,b,c,d,e} dvomjesni predikat P

definisan je sljedecom tabelom

y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ b ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ ⊥ ⊥ e ⊥ ⊥ ⊥

Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza:

a) ¬P (d, b) ⇒ P (b, d);

b) P (c, e) ⇒ (∀y ∈ S )(∃x ∈ S )P (x, y).

Odgovor obrazloziti!

Zadatak 3 (4 poena) Na skupu S =

x ∈ Z

1 ≤ |x + 3| < 4

definisani su

jednomjesni predikati:

• P 1(x) : “ |x + 2| ≤ 1 i

• P 2(x) : “x2 + 4x ≥ 0.

Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1, P 2

i P

= P 1

⇔ ¬P 2.

1




Sarajevo, 23.12.2009.

Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa C


F ≡ (¬ p ∨ r) ⇒ [(¬r ∨ q ) ⇔ ( p ∧ q )] .



y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ ⊥ b ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ ⊥ ⊥ ⊥e ⊥ ⊥ ⊥


a) ¬P (c, b) ⇒ P (b, c);

b) P (b, d) ⇒ (∀y ∈ S )(∃x ∈ S )P (x, y).



x ∈ Z

1 ≤ |x + 2| < 4

definisani su


• P 1(x) : “ |x + 1| ≤ 1 i

• P 2(x) : “x2 + 3x ≤ 0.


i P

= ¬P 1

⇔ P 2.

1




Sarajevo, 23.12.2009.

Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa B


F ≡ (¬r ∨ ¬ p) ⇒ [(r ∨ q ) ⇔ ( p ∧ q )] .



y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥b ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ d ⊥ ⊥ ⊥e ⊥ ⊥


a) ¬P (d, c) ⇒ P (c, d);

b) (∀x ∈ S )(∃y ∈ S )P (x, y) ⇒ P (e, c).



x ∈ Z

1 ≤ |x − 3| < 4

definisani su


• P 1(x) : “ |x − 4| ≤ 1 i

• P 2(x) : “x2 − 2x > 0.


i P

= ¬P 1

⇔ P 2.

1




Sarajevo, 23.12.2009.

Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa A


F ≡ ( p ∨ ¬q ) ⇒ [(¬ p ∨ r) ⇔ (q ∧ r)] .



y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ ⊥b ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥ d ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥e ⊥ ⊥ ⊥


a) P (c, a) ⇒ ¬P (a, c);

b) (∀x ∈ S )(∃y ∈ S )P (x, y) ⇒ P (c, b).



x ∈ Z

1 ≤ |x − 2| < 4

definisani su


• P 1(x) : “ |x − 3| ≤ 1 i

• P 2(x) : “x2 − 3x ≤ 0.


i P

= P 1

⇔ ¬P 2.

1






Sarajevo, 27.12.2009.

Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa C

Pitanje 1 (3 poena)

a) Definisite predikat duzine n ∈ N = {1, 2, 3, ...} definisan na skupu S =∅.

b) Definisite univerzalni kvantor (kvantifikator) ∀.

Pitanje 2 (3 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa

{∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y)} ,

koji su pridruzeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1}definisanom na skupu S = ∅.

Pitanje 3 (4 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju pomocu logickog kva-drata?

Zadatak 1 (5 poena) Sataviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je

τ ((P (a) ∨ P (c)) ⇒ P (b)) = .

Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su jednomjesni predikati

P 1(x, y) : “x − 2y ≥ −2,

P 2(x, y) : “x + y ≥ −5 i

P 3(x, y) : “x ≤ 2.

Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇒ (P 2 ∧ P 3).

1




Sarajevo, 27.12.2009.

Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B

Pitanje 1 (3 poena)

a) Definisite predikat duzine n ∈ N = {1, 2, 3,...} definisan na skupu X =∅.

b) Definisite egzistencijalni kvantor (kvantifikator) ∃.

Pitanje 2 (3 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelo-vanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata.

Pitanje 3 (4 poena) ˇ Sta mozete kazati o direktnom (neposrednom) dokazu u racunu iskaza? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.


τ ((P (b) ∨ P (c)) ⇒ P (d)) = .


P 1(x, y) : “x − y ≤ 5,

P 2(x, y) : “2x + y ≥ −2 i

P 3(x, y) : “y ≤ 2.


1




Sarajevo, 27.12.2009.

Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa A

Pitanje 1 (3 poena)

a) Definisite predikat duzine n ∈ N = {1, 2, 3, ...} definisan na skupu S =∅.

b) Definisite univerzalni kvantor (kvantifikator) ∀.

Pitanje 2 (3 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa



Pitanje 3 (4 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju pomocu logickog kva-drata?


τ ((P (a) ∨ P (d)) ⇒ P (c)) = .


P 1(x, y) : “x − 2y ≤ 2,

P 2(x, y) : “x + y ≤ 5 i

P 3(x, y) : “x ≥ −2.


1




Sarajevo, 14.01.2010.

Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A

Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite i-tautologiju Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). For-mulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite da je ( p =⇒ q ) ⇔(¬q ⇒ ¬ p) i- tautologija.

Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata.

Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o posrednom (indirektnom) dokazu u racunu i? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.

Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule

F 1 ≡ [(¬ p ∨ q ) ⇒ r] ⇒ F i F 2 ≡ [(¬ p ∨ q ) ∧ ¬r] ∧ ¬F

su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F =F ( p, q, r).

Zadatak 2 (6 poena) Sastaviti tabele istinitosti svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je

τ

P (a)∨P (b)∨¬P (c)∧P (a)∨¬P (b)∨P (c)

∧¬P (a)∨¬P (b)∨P (c)

= .

Zadatak 3 (7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati

P 1(x, y) : “x− y + 1

≤ 1” i

P 2(x, y) : “x + y − 5

> 1”.

Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.

1




Sarajevo, 14.01.2010.

Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B

Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite semanticki ekvivalentne i-formule i napisite najmanje 10 primjera semanticki ekvivalentnih iskaznih formula. Dokazite da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p) semanticki ekvivalentne.

Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa



Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju (u racunu i) tvrdnji oblika implikacije p ⇒ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.


F 1 ≡ [( p ∨ ¬q ) ⇒ ¬r] ⇒ ¬F i F 2 ≡ [( p ∨ ¬q ) ∧ r] ∧ F



τ

P (a)∧¬P (b)∧P (c)

∨P (a)∧¬P (b)∧¬P (c)

∨

¬P (a)∧¬P (b)∧P (c)

= ⊥.


P 1(x, y) : “x − y + 5

≤ 1” i

P 2(x, y) : “x + y − 1

> 1”.


1




Sarajevo, 14.01.2010.

Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa C

Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite i-tautologiju Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). For-mulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite da je ( p =⇒ q ) ⇔(¬q ⇒ ¬ p) i- tautologija.


Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o posrednom (indirektnom) dokazu u racunu i? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.


F 1 ≡ [(q ∨ ¬r) ⇒ p] ⇒ F i F 2 ≡ [(q ∨ ¬r) ∧ ¬ p] ∧ ¬F



τ

P (a)∨P (b)∨P (c)∧P (a)∨¬P (b)∨P (c)

∧¬P (a)∨¬P (b)∨P (c)

= .


P 1(x, y) : “x− y − 1

≤ 1” i

P 2(x, y) : “x + y + 5

> 1”.


1




Sarajevo, 14.01.2010.

Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa D

Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite semanticki ekvivalentne i-formule i napisite najmanje 10 primjera semanticki ekvivalentnih iskaznih formula. Dokazite da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p) semanticki ekvivalentne.




Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju (u racunu i) tvrdnji oblika implikacije p ⇒ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.


F 1 ≡ [(¬q ∨ r) ⇒ ¬ p] ⇒ ¬F i F 2 ≡ [(¬q ∨ r) ∧ p] ∧ F



τ

P (a)∧P (b)∧¬P (c)

∨

¬P (a)∧P (b)∧¬P (c)

∨

¬P (a)∧¬P (b)∧P (c)

= ⊥.


P 1(x, y) : “x − y − 5

≤ 1” i

P 2(x, y) : “x + y + 1

> 1”.


1




Sarajevo, 04.02.2010.

Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A

Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite osnovne logicke operacije u skupu P X (svih) jednomjesnih predikata definisanih na skupu X = ∅. Nakon toga ilustrujte ih na primjeru skupa P X , ako je X = {a, b} .


Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o neposrednom (direktnom) dokazu u racunu i? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.

Zadatak 1 (6 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskaz

(∀x ∈ R) x2 − (m + 1)x + m + 1 > 0 ⇒ (∃x ∈ R) x2 + 4x + 5 ≤ 0

bude tacan.

Zadatak 2 (7 poena) Navesti primjer dvomjesnog predikata P, definisanog na skupu S =x ∈ Z

1 < |x − 2| ≤ 3

takvog da iskaz

(∀y ∈ S ) (∃x ∈ S )P (x, y) ⇒ (∃x ∈ S ) (∀y ∈ S )P (x, y)

bude netacan.

Zadatak 3 (7 poena) Rijesiti jednacinu

τ

(¬r ∨ ¬q ) ⇒ (s ∧ q )

∨ ( p ∧ q )

∨

(¬r ∧ ¬s) ⇒ p

∧ ¬q

= ,

po nepoznatim p ,q,r, s ∈ {,⊥}.

Napomena: Na ovoj provjeri znanja je moguce osvojiti maksimalno 40

bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeriznanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na zavrsnoj provjeri znanja vecovi drugi anuliraju prve.

1




Sarajevo, 04.02.2010.

Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B

Pitanje 1 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o univerzalnom kvantoru?


{∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y)}

koji su pridruzeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2

→ {0, 1}definisanom na skupu S = ∅.

Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju (u racunu i) tvrdnji oblika implikacije p ⇔ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.

Zadatak 1 (6 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskaz

(∀x ∈ R)x2 − (m − 1)x + m − 1 > 0 ⇒ (∀x ∈ R)x2 + 4x + 3 ≥ 0

bude tacan.

Zadatak 2 (7 poena) Navesti primjer dvomjesnog predikata P, definisanog na skupu S =

x ∈ Z

1 < |x + 2| ≤ 3

takvog da iskaz

(∀x ∈ S ) (∃y ∈ S )P (x, y) ⇒ (∃y ∈ S ) (∀x ∈ S )P (x, y)

bude netacan.


τ

(¬q ∨ ¬ p) ⇒ (r ∧ p)

∨ (s ∧ p)

∨

(¬q ∧ ¬r) ⇒ s

∧ ¬ p

= ,

po nepoznatim p ,q,r, s ∈ {,⊥}.


bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeriznanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na zavrsnoj provjeri znanja vecovi drugi anuliraju prve.

1




Sarajevo, 02.09.2010.

Dodatni ispit iz Uvoda u matematicku logiku (ljetna skola)

Pitanje 1 (16.7 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite (bar na dva naina) da je zakon otkidanja iskazna tautologija.

Pitanje 2 (16.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora (na promjenjive dvomjesnog predikata).

Pitanje 3 (16.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju po logickom kvadratu?


P 1(x, y) : “x− y + 1

≤ 1” i

P 2(x, y) : “x + y − 5

> 1”.



τ

(¬s ∨ ¬r) ⇒ (¬ p ∧ r)∨ (¬q ∧ r)

∨

(¬s ∧ p) ⇒ ¬q ∧ ¬r

= ,

po nepoznatim p,q,r,s ∈ {,⊥}.

Zadatak 3 (20 poena) Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R za koje je tacan iskaz

x2 − 2x− 3 ≥ 0 ⇒x2 − 2x− 8

≤ 8.

Napomena: Na ovom ispitu je moguce osvojiti maksimalno 100 bodova

(50 iz teorije i 50 iz zadataka). Da bi student polozio ispit neophodno je daosvoji minimalno 55 bodova.

1




Sarajevo, 14.09.2010.

Dodatni ispit iz Uvoda u matematicku logiku

Pitanje 1 (6.7 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite (bar na dva naina) da je zakon otkidanja iskazna tautologija.

Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora (na promjenjive dvomjesnog predikata).

Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju po logickom kvadratu?

Zadatak 1 (6.7 poena) Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R\{4} za koje je tacan iskaz

x2 − 6x + 2

4− x ≥ −1 ⇒ 2x ≤

1

4.

Zadatak 2 (6.7 poena) Iskazna formula

Φ ≡ [( p ∧ ¬q ) ⇒ r] ⇔ ¬F

je tautologija. Rijesiti jednacinu F ( p, q, r) = ⊥, po nepoznatim p , q, r ∈{,⊥}.

Zadatak 3 (6.7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati

P 1(x, y) : “ max{|x|, |y|} ≤ a” i

P 2(x, y) : “x − y

≤ a”

( a > 0). Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.


bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeriznanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na prethodne dvije provjereznanja (zavrsni i popravni ispit). Bodovi osvojeni na ovoj provjeri anulirajubodove osvojene na prethodne dvije provjere.

1




Sarajevo, 11. 11. 2010.

Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa A

Pitanje 1 (3.33 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite

da je iskazna formula ¬ p⇒ (q ∧ ¬q )

⇒ p iskazna tautologija.

Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o interpretacijama logike iskaza?

Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu konjuktivnu formu (n.k.f.) i

savrsenu normalnu konjuktivnu formu (s.n.k.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Φ =Φ( p, q, r) ako je Φ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∧ q ) ∨ ¬r.


Φ ≡

(q ⇔ ¬r) ∨ ¬F

∧ (¬ p ∨ ¬F )

∧

(¬F ⇒ p) ∨ (¬q ⇔ ¬r)

je tautologija. Sastaviti:

a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r);

b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r).

Zadatak 2 (5 poena) Zadani su iskazi

p :x + 3

≥ −2x i q : −x2 + 11x− 8

3− x ≥ 2x− 1.

Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R tako da:

a) iskaz p bude tacan;

b) iskaz q bude tacan;

c) iskazna formula F ≡

(¬ p ∨ q ) ⇒ ¬q

∧ ( p⇔ q ) bude tacna.

1




Sarajevo, 11. 11. 2010.

Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B

Pitanje 1 (3.33 poena) Definisite semanticki ekvivalentne iskazne formule i navedite bar deset primjera takvih formula. Nakon toga dokazite da su iskazne formule p⇒ q i ¬ p⇒ ¬q semanticki ekvivalentne.

Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o glavnoj interpretaciji logike iskaza i o Booleovoj funkciji iskazne formule Φ = Φ ( p1, p2, . . . , pn)? Nakon toga

formirajte Booleovu funkciju iskazne formule ( p∨

q )∧ ¬

r.

Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu disjunktivnu formu (n.d.f.) i savrsenu normalnu disjunktivnu formu (s.n.d.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Ψ =Ψ( p, q, r) ako je Ψ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∨ q ) ∧ ¬r.


Φ ≡

( p⇔ r) ∨ ¬F

∧ (q ∨ ¬F )

∧

(¬F ⇒ ¬q ) ∨ ( p⇔ ¬r)

je tautologija. Sastaviti:




p :x + 4

≥ −3x i q :

−x2 + 9x + 2

2− x ≥ 2x + 1.



b) iskaz q bude netacan;


( p ∨ ¬q ) ⇒ q

∧ (¬ p⇔ q ) bude tacna.

1




Sarajevo, 11. 11. 2010.

Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa C

Pitanje 1 (3.33 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite

da je iskazna formula ¬ p⇒ (q ∧ ¬q )

⇒ p iskazna tautologija.

Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o interpretacijama logike iskaza?

Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu konjuktivnu formu (n.k.f.) i

savrsenu normalnu konjuktivnu formu (s.n.k.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Φ =Φ( p, q, r) ako je Φ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∧ q ) ∨ ¬r.


Φ ≡

(¬q ⇔ ¬r) ∨ ¬F

∧ ( p ∨ ¬F )

∧

(¬F ⇒ ¬ p) ∨ (q ⇔ ¬r)

je identicki lazna. Sastaviti:




p :x + 5

≥ −4x i q : −x2 + 13x− 20

4− x ≥ 2x− 3.





( p ∨ ¬q ) ⇒ ¬ p

∧ ( p⇔ q ) bude tacna.

1




Sarajevo, 11. 11. 2010.

Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa D

Pitanje 1 (3.33 poena) Definisite semanticki ekvivalentne iskazne formule i navedite bar deset primjera takvih formula. Nakon toga dokazite da su iskazne formule p⇒ q i ¬ p⇒ ¬q semanticki ekvivalentne.

Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o glavnoj interpretaciji logike iskaza i o Booleovoj funkciji iskazne formule Φ = Φ ( p1, p2, . . . , pn)? Nakon toga

formirajte Booleovu funkciju iskazne formule ( p∨

q )∧ ¬

r.

Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu disjunktivnu formu (n.d.f.) i savrsenu normalnu disjunktivnu formu (s.n.d.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Ψ =Ψ( p, q, r) ako je Ψ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∨ q ) ∧ ¬r.


Φ ≡

(¬ p⇔ ¬r) ∨ ¬F

∧ (¬q ∨ ¬F )

∧

(¬F ⇒ q ) ∨ (¬ p⇔ r)

je identicki lazna. Sastaviti:




p :x + 6

≥ −5x i q :

−x2 + 7x + 10

1− x ≥ 2x + 3.


a) iskaz p bude netacan;



(¬ p ∨ q ) ⇒ p

∧ ( p⇔ ¬q ) bude tacna.

1




Sarajevo, 18.12.2010.

Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa A


F ≡ [r ⇒ ( p ∧ ¬q )] ⇔ [q ∨ (¬ p ⇒ r)] .



y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ ⊥b c ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ ⊥ ⊥ ⊥e ⊥ ⊥

Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∀x) P (x, b) , (∀y) P (b, y) , (∃x) (∀y) P (x, y)i (∃y) (∀x) P (x, y) .


x ∈ Nx2

−7x + 12

x − 6 < x − 2

defi-

nisani su jednomjesni predikati:

• P 1(x) : log5

3√

5x > 6

7 i

• P 2(x) :

x + 3

5

< x.

Sastaviti tabele istinitosti predikata P 1, P 2 i P = ¬P 2 ⇒ P 1.

1




Sarajevo, 18.12.2010.

Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa B


F ≡ [ p ⇒ (¬q ∧ r)] ⇔ [¬r ∨ (q ⇒ p)] .



y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ b ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ e ⊥ ⊥ ⊥

Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∀x) P (x, b) , (∀y) P (b, y) , (∃x) (∀y) P (x, y)i (∃y) (∀x) P (x, y) .


x ∈ Nx2 + 3x

−6

x < x + 2

defini-

sani su jednomjesni predikati:

• P 1(x) : log3

√ 3x >

√ 7

2 i

• P 2(x) :

x + 5

3

< x.


1




Sarajevo, 18.12.2010.

Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa C


F ≡ [q ⇒ (¬ p ∧ r)] ⇔ [ p ∨ (¬r ⇒ q )] .



y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ ⊥b ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ ⊥ ⊥ ⊥e ⊥ ⊥

Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∃x) P (x, b) , (∃y) P (b, y) , (∀x) (∃y) P (x, y)i (∀y) (∃x) P (x, y) .


x ∈ Nx2

−x

−6

x < x − 2

defini-

sani su jednomjesni predikati:

• P 1(x) : log2

3√

2x > 6

7 i

• P 2(x) :

x + 2

5

< x.


1




Sarajevo, 18.12.2010.

Testiranje iz Uvoda u matematicku logiku grupa D


F ≡ [q ⇒ ( p ∧ ¬r)] ⇔ [¬ p ∨ (r ⇒ q )] .



y ↓; x → a b c d ea ⊥ ⊥ ⊥ b ⊥ ⊥ ⊥ ⊥c ⊥ ⊥ ⊥ ⊥d ⊥ ⊥ e ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

Odrediti istinitosne vrijednosti iskaza: (∃x) P (x, b) , (∃y) P (b, y) , (∀x) (∃y) P (x, y)i (∀y) (∃x) P (x, y) .


x ∈ Nx2

−3x

−12

x − 6 < x + 2

defi-

nisani su jednomjesni predikati:

• P 1(x) : log5

√ 5x >

√ 7

2 i

• P 2(x) :

x + 5

2

< x.


1




Sarajevo, 24.12.2010.

Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa A

Pitanje 1 (3.33 poena)

a) Definisite univerzalni kvantor ∀.

b) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀xP (x, y),∀yP (x, y),∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvo-mjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = θ.

Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju pomocu logickog kvadrata?

Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o direktnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.

Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d,e} takvih da je

¬P (c) ⇒

P (a) ∧ ¬P (e)

∧

¬P (c) ∨P (a) ∧ ¬P (e)

∨

P (d) ∨ ¬P (b)

⇒P (d) ∧ P (b)

= .


P 1(x, y) : y ≥ (x − 1)2 −x − 1

i

P 2(x, y) : y ≤ −x2 + 2x.

Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i ¬P 1 ∧ P 2.

1




Sarajevo, 24.12.2010.

Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B


a) Definisite egzistencijalni kvantor ∃.

b) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata.

Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o silogizmu (kao formi zakljucivanja)i njegovim vrsta-ma (uz navodenje najmanje po jednog primjera za svaku vrstu)?

Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o indirektnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.


¬P (b) ⇒

¬P (e) ∧ ¬P (d)

∧¬P (b) ∨

¬P (e) ∧ ¬P (d)

∨¬P (c) ∨ P (a)

⇒

¬P (c) ∧ ¬P (a)

= .


P 1(x, y) : y ≥x− 1

− (x− 1)2 i

P 2(x, y) : y ≤ x2 − 2x.

Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ∧ ¬P 2.

1




Sarajevo, 24.12.2010.

Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa C


a) Definisite univerzalni kvantor ∀.

b) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀xP (x, y),∀yP (x, y),∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvomjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = θ.

Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju pomocu logickog kvadrata?

Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o direktnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.


¬P (e) ⇒

P (c) ∧ ¬P (b)

∧

¬P (e) ∨P (c) ∧ ¬P (b)

∨

¬P (a) ∨ P (d)

⇒

¬P (a) ∧ ¬P (d)

= .


P 1(x, y) : y ≥ (x + 1)2 −x + 1

i

P 2(x, y) : y ≤ −x2 − 2x.

Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ∧ ¬P 2.

1




Sarajevo, 24.12.2010.

Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa D


a) Definisite egzistencijalni kvantor ∃.


Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o silogizmu (kao formi zakljucivanja)i njegovim vrsta-ma (uz navodenje najmanje po jednog primjera za svaku vrstu)?

Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o indirektnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.


¬P (a) ⇒

P (d) ∧ ¬P (c)

∧¬P (a) ∨

P (d) ∧ ¬P (c)

∨¬P (b) ∨ P (e)

⇒

¬P (b) ∧ ¬P (e)

= .


P 1(x, y) : y ≥x + 1

− (x + 1)2 i

P 2(x, y) : y ≤ x2 + 2x.

Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i ¬P 1 ∧ P 2.

1




Sarajevo, 13.01.2011.

Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A

Pitanje 1

a) (2 poena) Definisite konjunktivnu normalnu formu (k.n.f.) i savrsenu konjunktivnu normalnu formu (s.k.n.f.) iskazne formule Φ.

b) (2 poena) Definisite egzistencijalni kvantor ∃.

c) (4.33 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelo-vanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata.

Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o vrsti zakljucivanja pomocu logickog kvadrata, koju nazivamo zakljucivanje po suprotnosti . Nakon toga navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takve vrste zakljucivanja.

Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika ekvivalencije p ⇔ q ? Navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takvog dokaza.

Zadatak 1 (12.5 poena) Iskazne formule

Φ1 ≡

(¬ p ∧ r) ∨ q

⇒

(¬ p ∨ r) ∧ q

∨ ¬F

i Φ2 ≡

( p ∨ ¬r) ∧ ¬q ∧ ¬F

∨

(¬ p ∨ r) ∧ q ∧ ¬F

su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti, s.k.n.f. i s.d.n.f.iskazne formule F(p,q,r).

Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R definisani su jednomjesni predikati

P 1(x) : x2 − 2x +x − 1

≥ 5,

P 2(x) : 4 −x − 1

≥ −1,

P 3(x) : max {x − 1, 3 − x} ≥ 3.

Odrediti oblast istinitosti predikata P 1, P 2, P 3 i (P 1 ⇔ P 2) ∧ ¬P 3.

1




Sarajevo, 13.01.2011.

Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B

Pitanje 1

a) (2 poena) Definisite disjunktivnu normalnu formu (d.n.f.) i savrsenu disjunktivnu normalnu formu (s.d.n.f.) iskazne formule Φ.

b) (2 poena) Definisite univerzalni kvantor ∀.

c) (4.33 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jedno-mjesne predikate ∀xP (x, y), ∀yP (x, y),∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvomjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = ∅.

Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o vrsti zakljucivanja pomocu logickog kvadrata, koju nazivamo zakljucivanje po suprotnosti . Nakon toga navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takve vrste zakljucivanja.

Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika jednakosti L = D? Navedite bar jedan (pogodno-

ilustrativni) primjer takvog dokaza.

Zadatak 1 (12.5 poena) Iskazne formule

Φ1 ≡

(¬q ∧ r) ∨ ¬ p

⇒

(¬q ∨ r) ∧ ¬ p

∨ ¬F

i Φ2 ≡

(q ∨ ¬r) ∧ p ∧ ¬F

∨

(¬q ∨ r) ∧ ¬ p ∧ ¬F

su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti, s.k.n.f. i s.d.n.f.iskazne formule F(p,q,r).

Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R definisani su jednomjesni predikati

P 1(x) : x2 + 2x +x + 1

≥ 5,

P 2(x) : 4 −x + 1

≥ −1,

P 3(x) : max {x + 1, 1 − x} ≥ 3.

Odrediti oblast istinitosti predikata P 1, P 2, P 3 i (P 1 ⇔ P 2) ∧ ¬P 3.

1




Sarajevo, 03.02.2011.

Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A


a) Definisite kanonske forme Ri− formula.


Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o zakljucivanju popotsuprotnosti i zakljucivanju po protivrjecnosti .

Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika ekvivalencije p ⇔ q ? Navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takvog dokaza.

Zadatak 1 (12.5 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskazi:

I 1 ≡ “ (∃x ∈ R) x2 + 3x + 3 ≤ m(x + 1);

I 2 ≡ “ (∀x ∈ R)x + 1

> m− 1;

I 1 ⇔ I 2.

budu tacni.

Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati:

P 1(x, y) ≡ “x2− 2x ≤ y2 + 2y;

P 2(x, y) ≡ “x2− 2x ≤ −y2

− 2y.

Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ⇒ P 2.

1




Sarajevo, 03.02.2011.

Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B


a) Definisite Ri-tautologiju. Nakon toga formulisite Teoremu o iskaznim tautologijama i ispitajte da li je iskazna formula

¬( p ∧ q ) ⇔ ¬ p ∨ ¬q

iskazna tautologija.

b) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvo-mjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = ∅.

Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o zakljucivanju po

podredenosti i zakljucivanju po suprotnosti .

Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika implikacije p ⇒ q ? Navedite bar jedan (pogodno-

ilustrativni) primjer takvog dokaza.

Zadatak 1 (12.5 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskazi:

I 1 ≡ “ (∃x ∈ R) x2 − 3x + 3 ≤ m(x − 1);

I 2 ≡ “ (∀x ∈ R)x − 1

> m + 1;

I 1 ⇔ I 2.

budu tacni.

Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati:

P 1(x, y) ≡ “x2 + 2x ≤ y2 − 2y;

P 2(x, y) ≡ “x2 + 2x ≤ −y2 + 2y.

Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ⇒ P 2.

1

Documents

Zadaci iz matematicke logike