MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES

01 REGRAS E TEOREMAS DE DETERMINANTES

09/06/2020

2

REGRA DE SARRUSPROPRIEDADES DE DETERMINANTES

3

REGRAS E TEOREMAS DE DETERMINANTES

4

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

Ex: 1)

2)

Quando todos os elementos de uma fila são nulos

0000892531

01605802501

5

Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais

3)

4)

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

0

91809212318

0921

0884201

693

31 LL

31 C.C2

6

Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

5)

6)

Casos em que um determinante é igual a ZERO:

09114053961

0

0957877097130531

321 LLL

321 CC.C2

7

det(A)=det(At)

Ex: 1)

2)

Propriedades de Determinante.

612189432

612189342

,10 Se tsrzyxcba

10 então tzcsybrxa

8

1)Ex:

Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal

2)

Propriedades de Determinante.

315189352

318153925

,5 Se tsrzyxcba

5 então cbazyxtsr

9

Ex: 1)

2)

Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no

Propriedades de Determinante.

69432 306.5

94.532.5

,10 Se tsrzyxcba

7010.7.7.7.7 então tsrzyxcba

10

Considerando a matriz quadrada A abaixo, e det(A) seu determinante, calcule o valor de 5.det(A).

𝐴=(7 −132 4 )

LEMBRANDO

11

LEMBRANDO𝐴=(7 −132 4 )

det (𝐴)=(7 −132 4 ) det (𝐴)=7.4det (𝐴)=7.4− (−13 ).2

12

LEMBRANDO𝐴=(7 −132 4 )

det (𝐴)=(7 −132 4 ) det (𝐴)=7.4det (𝐴)=7.4− (−13 ).2

13

Exemplo

14

TEOREMA DE LAPLACEO Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas  de  ordem n.  Normalmente,  é  utilizado  quando  as matrizes  são  de ordem igual ou superior a 4.Esse método  foi  desenvolvido  pelo matemático  e  físico  Pierre-Simon  Laplace (1749-1827).

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Como Calcular?O  teorema  de  Laplace  pode  ser  aplicado  a  qualquer  matriz  quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:Selecionar uma fila  (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior  quantidade  de  elementos  igual  a  zero,  pois  torna  os  cálculos  mais simples;Somar  os  produtos  dos  números  da  fila  selecionada  pelos  seus  respectivos cofatores.

TEOREMA DE LAPLACE

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CofatorO cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:Aij = (-1) i + j. DijOndeAij: cofator de um elemento aiji: linha onde se encontra o elementoj: coluna onde se encontra o elementoDij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

TEOREMA DE LAPLACE

17

ExemploVamos calcular o determinante da matriz abaixo.

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

)

18

ExemploVamos calcular o determinante da matriz abaixo.

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) det (𝐴)=(−2).𝐴11+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41Precisamos encontrar os cofatores. Esses cofatores são Aij = (-1) i + j. DijOnde Dij é o determinantes da nova matriz eliminado a respectiva linha e coluna identificada no cofator.

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Como Calcular?O  teorema  de  Laplace  pode  ser  aplicado  a  qualquer  matriz  quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:Selecionar uma fila  (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior  quantidade  de  elementos  igual  a  zero,  pois  torna  os  cálculos  mais simples;Somar  os  produtos  dos  números  da  fila  selecionada  pelos  seus  respectivos cofatores.

TEOREMA DE LAPLACE

20

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).𝐴11+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o  = Elimine a primeira linha e primeira coluna da matriz L

21

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).𝐴11+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a primeira linha e primeira coluna da matriz L

𝐴11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o det .

22

Exemplo𝐴11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o det .𝐴11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1| 𝐴11=|

−1 2 1−4 5 10 −2 −1|

−1 2−4 50 −2

det (𝐴11)=(−1) .5 .(−1)+2.1.0+1.(−4) .(−2)

−[1.5 .0+(−1).1 .(−2)+2.(−4) .(−1)]

23

Exemplodet (𝐴11)=(−1) .5 .(−1)+2.1.0+1.(−4) .(−2)−[1.5 .0+(−1).1 .(−2)+2.(−4) .(−1)]

24

Exemplo

25

LOST

26

27

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).𝐴11+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

)Vamos calcular o cofator 

 = Elimine a primeira linha e primeira coluna da matriz L

𝐴11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1|Vamos calcular o det .

 =

 =

28

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L

29

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L

𝐴21=| 3 1 7−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o det .

30

EI!SE PERDE NÃO.

ATENÇÃO!

31

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L

Vamos calcular o det.

32

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L

𝐴21=| 3 1 7−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o det.

33

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L

34

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L

𝐴31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1| Vamos calcular o det.

35

Exemplo𝐴31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1| Vamos calcular o det .𝐴31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1|

3 1−1 20 −2

−[7.2 .0+3.1. (−2)+1.(−1) .(−1)]

36

Exemplodet (𝐴31)=3.2 .(−1)+1.1 .0+7. (−1) . (−2)−[7.2 .0+3.1 .(−2)+1.(−1) .(−1)]

37

38

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L

39

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

)Vamos calcular o cofator 

 = Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L

𝐴31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1|Vamos calcular o det.𝐴𝐴𝐴(𝐴31)=13

 = =

 =

40

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2) .3+0.𝐴21+3.13+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a quarta linha e primeira coluna da matriz L

0

41

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2) .3+0.𝐴21+3.13+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a quarta linha e primeira coluna da matriz L

𝐴41=| 3 1 7−1 2 1−4 5 1| Vamos calcular o det .

0

42

Exemplo𝐴41=| 3 1 7−1 2 1−4 5 1| Vamos calcular o det .𝐴41=| 3 1 7−1 2 1−4 5 1|

3 1−1 2−4 5

det (𝐴41)=3.2 .1+1.1 .(−4)+7. (−1).5

−[7.2 .(−4 )+3.1.5+1.(−1) .1]

43

Exemplodet (𝐴41)=3.2 .1+1.1 .(−4)+7. (−1).5−[7.2 .(−4)+3.1 .5+1.(−1) .1]

44

ACABOU!!!

45

46

ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2) .3+0.𝐴21+3.13+1.𝐴41

𝐴=(−2 3 10 −1 231

−40

5−2

711−1

) Vamos calcular o cofator  = Elimine a quarta linha e primeira coluna da matriz L𝐴41=| 3 1 7−1 2 1−4 2 1|

Vamos calcular o det .

0

det (𝐴41)=9 = =

47

det (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3.13+1.(−9)

48

det (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3.13+1.(−9)

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QUESTÃO 01Calcule o determinante da matriz abaixo.

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