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MATEMÁTICA RAPHAELL MARQUES 01 REGRAS E TEOREMAS DE DETERMINANTES 09/06/2020

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  • MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES

    01 REGRAS E TEOREMAS DE DETERMINANTES

    09/06/2020

  • 2

    REGRA DE SARRUSPROPRIEDADES DE DETERMINANTES

  • 3

    REGRAS E TEOREMAS DE DETERMINANTES

  • 4

    Casos em que um determinante é igual a ZERO:

    Ex: 1)

    2)

    Quando todos os elementos de uma fila são nulos

    0000892531

    01605802501

  • 5

    Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais

    3)

    4)

    Casos em que um determinante é igual a ZERO:

    0

    91809212318

    0921

    0884201

    693

    31 LL

    31 C.C2

  • 6

    Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

    5)

    6)

    Casos em que um determinante é igual a ZERO:

    09114053961

    0

    0957877097130531

    321 LLL

    321 CC.C2

  • 7

    det(A)=det(At)

    Ex: 1)

    2)

    Propriedades de Determinante.

    612189432

    612189342

    ,10 Se tsrzyxcba

    10 então tzcsybrxa

  • 8

    1)Ex:

    Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal

    2)

    Propriedades de Determinante.

    315189352

    318153925

    ,5 Se tsrzyxcba

    5 então cbazyxtsr

  • 9

    Ex: 1)

    2)

    Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no

    Propriedades de Determinante.

    69432 306.5

    94.532.5

    ,10 Se tsrzyxcba

    7010.7.7.7.7 então tsrzyxcba

  • 10

    Considerando a matriz quadrada A abaixo, e det(A) seu determinante, calcule o valor de 5.det(A).

    𝐴=(7 −132 4 )

    LEMBRANDO

  • 11

    LEMBRANDO𝐴=(7 −132 4 )

    det (𝐴)=(7 −132 4 ) det (𝐴)=7.4det (𝐴)=7.4− (−13 ).2

  • 12

    LEMBRANDO𝐴=(7 −132 4 )

    det (𝐴)=(7 −132 4 ) det (𝐴)=7.4det (𝐴)=7.4− (−13 ).2

  • 13

    Exemplo

  • 14

    TEOREMA DE LAPLACEO Teorema de Laplace é um método para calcular o determinante de matrizes quadradas  de  ordem n.  Normalmente,  é  utilizado  quando  as matrizes  são  de ordem igual ou superior a 4.Esse método  foi  desenvolvido  pelo matemático  e  físico  Pierre-Simon  Laplace (1749-1827).

  • 15

    Como Calcular?O  teorema  de  Laplace  pode  ser  aplicado  a  qualquer  matriz  quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:Selecionar uma fila  (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior  quantidade  de  elementos  igual  a  zero,  pois  torna  os  cálculos  mais simples;Somar  os  produtos  dos  números  da  fila  selecionada  pelos  seus  respectivos cofatores.

    TEOREMA DE LAPLACE

  • 16

    CofatorO cofator de uma matriz de ordem n ≥ 2 é definido como:Aij = (-1) i + j. DijOndeAij: cofator de um elemento aiji: linha onde se encontra o elementoj: coluna onde se encontra o elementoDij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

    TEOREMA DE LAPLACE

  • 17

    ExemploVamos calcular o determinante da matriz abaixo.

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    )

  • 18

    ExemploVamos calcular o determinante da matriz abaixo.

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) det (𝐴)=(−2).𝐴11+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41Precisamos encontrar os cofatores. Esses cofatores são Aij = (-1) i + j. DijOnde Dij é o determinantes da nova matriz eliminado a respectiva linha e coluna identificada no cofator.

  • 19

    Como Calcular?O  teorema  de  Laplace  pode  ser  aplicado  a  qualquer  matriz  quadrada. Entretanto, para as matrizes de ordem 2 e 3 é mais fácil utilizar outros métodos.Para calcular os determinantes, devemos seguir os seguintes passos:Selecionar uma fila  (linha ou coluna), dando preferência a fila que contenha a maior  quantidade  de  elementos  igual  a  zero,  pois  torna  os  cálculos  mais simples;Somar  os  produtos  dos  números  da  fila  selecionada  pelos  seus  respectivos cofatores.

    TEOREMA DE LAPLACE

  • 20

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).𝐴11+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o  = Elimine a primeira linha e primeira coluna da matriz L

  • 21

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).𝐴11+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a primeira linha e primeira coluna da matriz L

    𝐴11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o det .

  • 22

    Exemplo𝐴11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o det .𝐴11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1| 𝐴11=|

    −1 2 1−4 5 10 −2 −1|

    −1 2−4 50 −2

    det (𝐴11)=(−1) .5 .(−1)+2.1.0+1.(−4) .(−2)

    −[1.5 .0+(−1).1 .(−2)+2.(−4) .(−1)]

  • 23

    Exemplodet (𝐴11)=(−1) .5 .(−1)+2.1.0+1.(−4) .(−2)−[1.5 .0+(−1).1 .(−2)+2.(−4) .(−1)]

  • 24

    Exemplo

  • 25

    LOST

  • 26

  • 27

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).𝐴11+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    )Vamos calcular o cofator 

     = Elimine a primeira linha e primeira coluna da matriz L

    𝐴11=|−1 2 1−4 5 10 −2 −1|Vamos calcular o det .

     =

     =

  • 28

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L

  • 29

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L

    𝐴21=| 3 1 7−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o det .

  • 30

    EI!SE PERDE NÃO.

    ATENÇÃO!

  • 31

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L

    Vamos calcular o det.

  • 32

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a segunda linha e primeira coluna da matriz L

    𝐴21=| 3 1 7−4 5 10 −2 −1| Vamos calcular o det.

  • 33

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L

  • 34

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L

    𝐴31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1| Vamos calcular o det.

  • 35

    Exemplo𝐴31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1| Vamos calcular o det .𝐴31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1|

    3 1−1 20 −2

    −[7.2 .0+3.1. (−2)+1.(−1) .(−1)]

  • 36

    Exemplodet (𝐴31)=3.2 .(−1)+1.1 .0+7. (−1) . (−2)−[7.2 .0+3.1 .(−2)+1.(−1) .(−1)]

  • 37

  • 38

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L

  • 39

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3 .𝐴31+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    )Vamos calcular o cofator 

     = Elimine a terceira linha e primeira coluna da matriz L

    𝐴31=| 3 1 7−1 2 10 −2 −1|Vamos calcular o det.𝐴𝐴𝐴(𝐴31)=13

     = =

     =

  • 40

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2) .3+0.𝐴21+3.13+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a quarta linha e primeira coluna da matriz L

    0

  • 41

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2) .3+0.𝐴21+3.13+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a quarta linha e primeira coluna da matriz L

    𝐴41=| 3 1 7−1 2 1−4 5 1| Vamos calcular o det .

    0

  • 42

    Exemplo𝐴41=| 3 1 7−1 2 1−4 5 1| Vamos calcular o det .𝐴41=| 3 1 7−1 2 1−4 5 1|

    3 1−1 2−4 5

    det (𝐴41)=3.2 .1+1.1 .(−4)+7. (−1).5

    −[7.2 .(−4 )+3.1.5+1.(−1) .1]

  • 43

    Exemplodet (𝐴41)=3.2 .1+1.1 .(−4)+7. (−1).5−[7.2 .(−4)+3.1 .5+1.(−1) .1]

  • 44

    ACABOU!!!

  • 45

  • 46

    ATENÇÃO PARA OS COFATORESdet (𝐴)=(−2) .3+0.𝐴21+3.13+1.𝐴41

    𝐴=(−2 3 10 −1 231

    −40

    5−2

    711−1

    ) Vamos calcular o cofator  = Elimine a quarta linha e primeira coluna da matriz L𝐴41=| 3 1 7−1 2 1−4 2 1|

    Vamos calcular o det .

    0

    det (𝐴41)=9 = =

  • 47

    det (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3.13+1.(−9)

  • 48

    det (𝐴)=(−2).3+0.𝐴21+3.13+1.(−9)

  • 49

    QUESTÃO 01Calcule o determinante da matriz abaixo.

  • 50

  • 51

    Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Slide 30Slide 31Slide 32Slide 33Slide 34Slide 35Slide 36Slide 37Slide 38Slide 39Slide 40Slide 41Slide 42Slide 43Slide 44Slide 45Slide 46Slide 47Slide 48Slide 49Slide 50Slide 51