Numericka Analiza - Zbirka Resenih Zadataka

  • View
    663

  • Download
    32

Embed Size (px)

DESCRIPTION

1

Text of Numericka Analiza - Zbirka Resenih Zadataka

Gradimir V. MilovanovicMilan A. Kovacevic Miodrag M. SpalevicNUMERICKA MATEMATIKAZbirka resenih problemaPredgovorOva zbirka sadrzi 217 kompletno resenih zadataka iz oblasti numerickematematike i namenjena je prvenstveno studentima tehnickih i prirodno-matematickih fakulteta na kojima se ova oblast izucava. Zadaci su odabranitako da pokrivaju nastavne programe standardnih kurseva numericke mate-matike. Knjiga je pisana u skladu sa udzbenicima prvopotpisanog autora: NUMERICKA ANALIZA, I deo, Naucna knjiga, Beograd, 1985 (drugoizdanje 1988, trece izdanje 1991), NUMERICKA ANALIZA, II deo, Naucna knjiga, Beograd, 1985 (drugoizdanje 1988, trece izdanje 1991), NUMERICKA ANALIZA, III deo, Naucna knjiga, Beograd, 1988 (drugoizdanje 1991),i nastala je znacajnom izmenom i prosirenjem prethodne knjige dvojice pr-vopotpisanih autora koja se pod naslovom ZBIRKA RESENIH ZADATAKAIZ NUMERICKE ANALIZE, takode, pojavila u izdanju Naucne knjige izBeograda i koja je dozivela tri izdanja (1985, 1988, 1991).Celokupan rukopis ove knjige podeljen je u 8 glava i na adekvatan nacinprati prethodno pomenute udzbenike. U nekim interesantnim slucajevimanavedene su i programske realizacije algoritama na FORTRAN jeziku.Prva glava ima uvodni karakter i daje kratak pregled razvoja numerickematematike u svetu i kod nas, kao i pregled vaznijih visoko-kvalitetnih prog-ramskih paketa za resavanje numerickih problema.Druga glava se odnosi na osnovne elemente numericke matematike, gdesu reseni tipicni problemi koji se odnose na analizu gresaka, rekurzivnaizracunavanja i sumiranja, ukljucujuci ortogonalne i s-ortogonalne polinome.U trecoj glavi se tretiraju problemi vezani za opstu teoriju iterativnihprocesa, tj. za primenu Banchovog stava o nepokretnoj tacki, karakteristikeiterativnih procesa i ubrzavanje konvergencije procesa.Cetvrta glava se bavi problemima u linearnoj algebri (direktni i iterativnimetodi), dok se u petoj glavi razmatraju nelinearne jednacine i sistemi nelin-earnih jednacina. Algebarskim jednacinama je posveceno posebno poglavlje.vi PREDGOVORProblemi iz interpolacije funkcija i problemi najboljih aproksimacija raz-matraju se u sestoj glavi. Numericko diferenciranje i numericka integracijasu tretirani u sedmoj glavi.Najzad, osma glava je posvecena problemima pribliznog resavanja obicnihdiferencijalnih jednacina. Posebo su tretirani priblizni analiticki metodi zaCauchyev problem, kao i numericki metodi Runge-Kutta i linearni viseko-racni metodi.Autori se nadaju da ce ova knjiga biti od koristi ne samo studentimakojima je prvenstveno knjiga namenjena, vec i svima onima koji se bavenumerickom analizom ili koriste numericke metode u svojim istrazivanjima.Na kraju, autori izrazavaju zahvalnost kolegi Ljubisi Kocicu, redovnomprofesoru Elektronskog fakulteta u Nisu, koji je u svojstvu recenzenta procitaorukopis ove knjige i dao korisne sugestije.Nis/Kragujevac, 20. 09. 2002. AutoriSadrzajI G L A V AUvod 1II G L A V AOsnovni elementi numericke matematike 52.1. Analiza gresaka, rekurzivna izracunavanja i sumiranja 52.2. Ortogonalni polinomi 42III G L A V AOpsta teorija iterativnih procesa 493.1. Primena Banachovog stava 493.2. Karakteristike procesa i ubrzavanje konvergencije 56IV G L A V ANumericki metodi u linearnoj algebri 654.1. Direktni metodi u linearnoj algebri 654.2. Iterativni metodi u linearnoj algebri 79V G L A V ANelinearne jednacine i sistemi 1015.1. Nelinearne jednacine 1015.2. Sistemi nelinearnih jednacina 1315.3. Algebarske jednacine 147viii SADRZAJVI G L A V AInterpolacija i aproksimacija 1516.1. Interpolacija funkcija 1516.2. Problem najboljih aproksimacija 211VII G L A V ANumericko diferenciranje i numericka integracija 2597.1. Numericko diferenciranje 2597.2. Numericka integracija 274VIII G L A V APriblizno resavanje obicnih diferencijalnih jednacina 3338.1. Analiticki metodi za resavanje Cauchyevog problema 3338.2. Linearni visekoracni metodi 3408.3. Metodi Runge-Kutta 361I G L A V AUvodRazvoj nauke i tehnike, posebno racunarske tehnike, posle drugog svet-skog rata uslovio je brzi i sistematski razvoj numericke matematike, kojaomogucava resavanje veoma kompleksnih problema uz pomoc racunara. Nai-me, sposobnost racunara da u realnom vremenu obavi veliki broj racunskihoperacija uz automatizovani proces racunanja, pruza neslucene mogucnostinumerickoj matematici. Na taj nacin niz matematickih problema koji seklasicnim matematickim metodima ne mogu uvek tacno resiti ili bi njihovoresavanje bilo necelishodno, ekasno se resavaju koriscenjem aparata nu-mericke matematike. Programski realizovani numericki metodi (numerickisoftver1)) omogucavaju korisnicima brzo resavanje problema sa proizvoljnomtacnoscu, a da pri tome ne moraju biti eksperti u oblasti numericke matem-atike. Ova okolnost ima pozitivno povratno dejstvo na razvoj novih tehnolo-gija i razvoj nauke uopste.Glavni zadatak numericke matematike je konstrukcija i analiza metoda(algoritama) i formiranje odgovarajuceg numerickog softvera. Kao baza po-javljuje se posebna oblast pod nazivom teorija aproksimacija. Kao posebnaoblast izdvaja se i teorija optimizacija koja tretira razne optimizacione prob-leme. U poslednjih nekoliko decenija sve ove oblasti su imale buran razvoj, ocemu svedoci velika produkcija naucnih rezultata koji se publikuju kroz ve-liki broj specijalizovanih casopisa. Navescemo neke od tih casopisa2): Mathe-matics of Computation (Americko matematicko drustvo), Numerische Math-ematik, Constructive Approximation, Computing, Calcolo (Springer Verlag),SIAM Journal on Numerical Analysis, SIAM Journal on Computing, SIAMJournal on Matrix Analysis and Applications, SIAM Journal on Optimiza-tion, SIAM Journal on Scientic Computing (SIAM Drustvo za industri-jsku i primenjenu matematiku, SAD), Journal Computational and AppliedMathematics, Applied Mathematics and Computation, Computers & Mathe-matics with Applications (Elsevier), Journal of Approximation Theory (Aca-demic Press), itd. U poslednje vreme pojavljuju se i elektronski casopisi (na1)Na engleskom jeziku: numerical software.2)U zagradama iza naziva casopisa navedeni su izdavaci.2 UVODprimer, ETNA Electronic Transactions on Numerical Analysis, u izdanjuKent Univerziteta, SAD, http://etna.mcs.kent.edu).Znacajan napredak je ucinjen i u realizaciji programskih paketa visoko-kvalitetnog numerickog softvera. Pomenucemo samo neke od njih:LINPACK (za linearne sisteme jednacina),EISPACK (za problem sopstvenih vrednosti),LAPACK (za probleme u linearnoj algebri),FUNPACK (za specijalne funkcije),MINIPACK (za nelinearne jednacine i minimizacione probleme),DEPAC (za obicne diferencijalne jednacine),PDEPACK (za parcijalne diferencijalne jednacine),ELLPACK (za elipticke parcijalne diferencijalne jednacine),SPARSPACK (za retke matrice).U vezi nekih od ovih paketa interesantno je videti knjigu: Sources and de-velopment of mathematical software (W.R. Cowell, ed.), PrenticeHall, Inc.,Englewood Clis, New Jersey, 1984. Mahom programski paketi su imple-mentirani na FORTRAN jeziku. U novije vreme postoje implementacije ina jeziku C++. Veliki broj matematickih softverskih paketa danas se slo-bodno distribuira. (Neka uputstva u tom pravcu mogu se naci na adresi:http://gams.nist.gov).Treba napomenuti da su se u poslednje vreme pojavili i programski sistemikao sto su:MATLAB (The MathWorks, Inc., http://www.mathworks.com),MATHEMATICA(Wolfram Research, Inc., http://www.wolfram.com),MAPLE (Waterloo Maple, Inc., http://www.maplesoft.com), itd.Na primer, u MATLAB-u je dobar deo prethodno pomenutog visoko-kvalitetnog softvera ugraden, posebno onaj koji se odnosi na resavanje prob-lema u linearnoj algebri. Svi pomenuti programski sistemi predstavljaju in-tegrisane sisteme za numericka i simbolicka izracunavanja, gracku prezen-taciju i interpretaciju, i najzad pruzaju takvo okruzenje koje omogucavakorisniku programiranje na jedan veoma jednostavan nacin.Pored numericke matematike u poslednje vreme znacajan progres je uci-njen i u simbolickim izracunavanjima, tako da su se za ovu namenu pojaviliveoma ekasni algoritmi. Stavise, ima i specijalizovanih casopisa koji treti-raju samo ovu problematiku, na primer, Journal of Symbolic Computation(Academic Press) (videti: http://www.apnet.com/jsc).Na prostorima bivse Jugoslavije numericka matematika je pocela da seozbiljnije izucava i razvija tek od nedavno. Na vecini tehnickih i prirodnoUVOD 3matematickih fakulteta, ova oblast se na redovnim i poslediplomskim studi-jama ozbiljnije pocinje da izucava od pre dvadesetak godina. Nazalost, nanekim fakultetima ova oblast ni do danas nije uvedena u nastavni plan.Prva knjiga iz oblasti numericke matematike, koja je stampana na srp-skom jeziku, bila je knjiga prevedena sa engleskog jezika: E. Whittaker i G. Ro