of 561 /561

3 mathematiskop 3 -zbirka resenih zadataka za prvi razred srednjih skola - vladimir stojanovic.pdf

Embed Size (px)

Text of 3 mathematiskop 3 -zbirka resenih zadataka za prvi razred srednjih skola - vladimir stojanovic.pdf

  • 1 GLA VA

    LOGIKA

    Jskaz je recenica koja moze biti samo tacna ili samo netacna.

    Logicke konstante su T i .l (,,te" i ,,nete") - tacno i netacno.

    Jstinitosna vrednost iskaza p oznacava se sa 'C' (p). Moguce je 'C' (p) = T ili 'C' (p) = .l.

    Negacija iskaza p je iskaz koji je tacan ako i samo ako* je netacan iskaz p.Koristimo oznaku lP ili p. (Citamo: nije p).

    Konjunkcija iskaza p i q je iskaz koji je tacan ako i samo ako su tacna oba iskaza p i q. Oznaka je p /\ q. (Citamo: p i q.).

    Disjunkcija iskaza p i q je iskaz koji je netacan ako i samo ako su netacna oba iskaza p i q. Oznaka je p V q. (Citamo: p ili q).

    Implikacija iskaza p i q je iskaz koji je netaan ako i samo-ako je iskaz p tacan, a iskaz q netacan. Oznaka je pq. (Ako p, onda q).

    Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz koji je tacan ako i samo ako p i q imaju jednake istinitosne vrednosti. Oznaka je p=>q. (p ekvivalentno sa q).

    Ovo su osnovne logicke operacije i njima odgovaraju sledece istinitosne tablice

    negacija konjunkcija disjunkcija

    cm /\jTj-1 vlTI..L TjTj..L TJTfr J_- -T,.l Potreban i dovoljan uslov.

    I) Iskazu pq odgovaraju sledece recenice:- p povlaci q

    Jz p sledi qAko p, onda qq, ako p

    implikacija

    =>jTj..L

    TITI..L

    .11 TIT

    * Umesto ako i samo ako cesto se skraceno pise akko.

    ekvivalencija

    ,TL TjTI..L

    .1l.1IT

    7

  • +-y+-z -x--y-z ; 18)' (4 b2+2a2-4ab)(3ab+2a2-3 b3 ) 1 1 )(1 1 1 ) 3 4 3 2 4

    19) (x-y) (y-z)(x-z)-x(y-z) + y (z-x).b,. 683. Dati su polinomi: A= 5 a4 - 8 a3 b +2 a2 b2 -4 ab3 --b4 , B = a4 + 3 a3 b -

    - 5 a2 b2 -6 ab3 -2 b4, C = -4 a4 + 5 a3 b -7 a2 b2 + 10 ab3 - 5 b4 Izracunati:

    a) A+B-C; b) A-B+C; c) B+C-A.

    !::,, 684l,Srediti polinom pa mu izracunati brojnu vrednost:

    a) 5abc-('.2.a2 b-(3abc-(4ab2-a2 b))), za a= -2, b= -1, c=3.

    b) 3 x2 y-(xyz-(2 xyz-x2 z) -4x2 z + 3 x2 z-(4 xyz- 5 x2 z-3 xyz)), zaX= -1, Y= =2, Z= -3.

    c) abc-(3a2 b-(4abc-(3a2 b-2ab2)), za a1 2

    -- b = --, C = -4.2 3 3

    d) (a-4)(a-2)-(a-l)(a-3), za a=l-.4 3e) (m- 5)(m-1)-(m+2)(m - 3) za m= -2-.5

    !) (x-2)(x-3)+(x+6)(x-5)-2(x2-7x+ 13), za x = 5,6.

    g) (x+ l)(x+2)+(x+3)(x+4), za -x= -0,4.h) (a-l)(a-2)+(a-3)(a-4), za a =0,2.

    i) (x-l)(x+2)+(x+ l)(x-2), za x=2_!_,2

    !::,, 6850 Izracunati A2 i A3 ako je : \ / a) A=x-2; b) A= 1 +x; c) A=2x+ 5y; d) A=x2-.1 ;e) A=(a+b)- c; f) A=3x2y-l; g) x-y+2; h) ax+ab- bx;i) x2-x-l; j) am- b".

    !::,, 686. Sledece trinome predstaviti u obliku kvadrata binoma:

    a) x2+2x+l; b) 4a2+4ab+ b2 ; c) m2 -6mn+ 9n2 ;

    98

    1 d) 25x2+20xy+4y2 ; e) --x+x2 ; !) 0,64a6+8a3+25.4 !::,, 687. Date polinome napisati u obliku kuba binoma:

    a) k3-3k2 +3k-l; b) 8x3+l2x2+6x+l;

    c) 21m3- 54m2 n+36mn2 -8n3

    !::,, 688. Dopuniti sledece polinome, tako da se dobije kvadrat iii kub binoma:

    a) m2-2mn+?; b) 4a2+ l2ab+?; c) 25x2+?+49b2; d) l-2a+?;

  • ...... %,n5 - 5 n3 + 4 n deljivo sa 120; e) nk -n deljivo sa k, gde je kE{3, 5, 7, 11, 13}.4- * 714. Neka je a1 + a2 + ... +an= 19841983, gde su a1, 1. Odrediti ostatak-pri deljenju broja ai + a+ + a s 5. * 715. Dokazati da:

    k k2 k 3 n 5 n4 7 n3 5 n2 n a)-+-+-, k=2n b)+-+-+-+-12 8 24 120 12 24 12 5 ima celobrojnu vrednost za svaki prirodan broj n. l * 716. Dokazati da je polinom:

    +-

    a);n3+'3 n2-n-3 deljiv sa 48 za nE2N+ 1;[Wn12 _n8-n4+1 deljiv sa 512 za nE2N+l ;ct+20n deljiv sa 48' za nE2N.

    * 717. Dokazati da nj za jedan prirodan broj n polinom:a) n2 + n + 2_ nije deljiv sa 49;b) n2+ 3n + 5 nije deljiv sa 121.* 718. Ako je x EZ tada je (x2 + 5x) (x2 + 5x + 10) + 24 deljivo sa 24. Dokazati.

    < * 719. Dokazati da je broj N = 4 a2 + 3 a+ 5, gde je a ceo broj, deljiv sa 6 akoa nije deljiv ni sa 2 ni sa 3 .

    .\-- * 720. Dokazati da je zbir kubova tri uzastopna cela broja deljiv sa 9.,,- *. 721. Ako je p prost broj veci od 3, dokazati da je izraz p2-1 deljiv sa 24. +'

    * 722. Ako su a i b prirodni brojevi, koji nisu deljivi sa tri, tada je razlikaa6 - b6 deljiva sa devet. Dokazati.

    +' * 723. Ako su a i b celi brojevi i a2 +ab+ b2 deljivo sa 9, onda su a i b deljivsa 3. Dokazati. f-' * 724. Naci sve proste brojeve p za koje je broj 2P+pz takode prost broj .

    ...:,...

    * 725. Neka je broj 2n + n2 prost, n 2. Dokazati da je tada broj n -3 deljiv sa sest. 5.3. DELJENJE POLINOMA

    6. 726. Po definicijf: (D =;i=O AD Q = P) => P: D = Q, gde Q nazivamo kolicnikom.Koristeci se rastavljanjem na cinioce odrediti kolicnike, tj. podeliti polinome: a) (m2 -n2):(m+n), m=;i=-n; b) (36-p2):(6-p); p=;i=6;

    c) (a4+2a2 b2+ b4) :(a2+b2); d) x3 - 3 x2 y+ 3 xy2 .,-y3): (x-y), x=;i=y;l

    e) (8 a3-1): (2a- 1), a=;i=-; !) (8 a3 + p: (4 a2- 6a+ 9).-2 / 8 '\ L,104 z1 )