Zbirka Resenih Zadataka Iz Algebre Za 2. Raz. Gimnazije - Vene

  • View
    20.324

  • Download
    38

Embed Size (px)

Text of Zbirka Resenih Zadataka Iz Algebre Za 2. Raz. Gimnazije - Vene

I "I FASI GA10IM BOGOSLAVOVVENE --r _ ,I ' t'"{SIe ,/ ZBIRKA RESENIHZADATAKAIZALGEBRE zaII rnzredgimnazije 1971 . ,. SAVREMENAADMINISTRACIJA-BEOGRAD Recenzent: drRAJKORALEVIC IZDANJE: . SAVREMENAADMINISTRACIJA. preduzece Beograd,KnezMIhailova6IV telefoni:624-0961 622-369 fab479 Glavniiodgovornlurednik: MILUTINSRDIC Urednik: DORDEMILJKOVIC Tehnick>iurednik: VUKASINOGNJENOVIC Stam"\n>. SRBIJA., Beograd, Mije Kovaeevica5. PREDGOVOR Ovazbirkanamenjenajeucenic1maIIrazredagimnazijepri-rodnomatelT)atickogsmera,madamozekoristitiiucenicimaIT razredasmera,kao ucenicimaIIrazredaostalih skoladrugogstupnja. Napocetkusvakeglavedatesuuviduuvodaskorosve nij edefinicije,o2nakeiteoreme bezdokaza.Zadacisusredeni,kako posrodnosti,takoipotezini,tj.adlakSih,j edno!;tavnijihkatezim, kakobi seuceni!kllomogucilop05tupnoulaZenjeutehniku reSavanja zadataka.Veliki ,>1 a-b a2 + b2=6ab. Racionalisatiimenioce: v'1O+2Vs 7.v'5+ v'W' Sv'2-4Vs 8.2V2-Vs' 10. 13. 14. 4+7 v'S - v3-2Vs-'S=-+-3-v3-;=3' 2+3 3+v'7V7-2 5 2V2+X 15.v' .2-x xv'2=x v'2+" 4-v'IT . 2xZ v'4xS' a+2+v'a2 4a+2-v'a2 4 9.v'Q,3 + v'Q,2 . vo;9 +V0;6 S2 12.---3-Vs 1..18,)+ -'----;=== a+2-;-v'a2 4a+2+v'a2 4' 4 2-v3 7. : c . . _ ~ '.I2+v3 v3-V2 +2+v3 v3+V22-v'3 .)Kvadratniiraciona1itetjcizrazoblikap+ qv'T. ,18. 1-.- 1Iv'3'24 ~ xSx,,8+- -x ~VfX8sv'3-sv3 . Racionalisatiimenioce: 2 IS 23.. ~. v'5- v' 3 + vS or3 + v' S- V2' ?,4.Neka Slla,b,m tripozitivnabroja,i dajea> b.Uporedi brojeve A=Va+m-Va B=v'b + m-v'b 1)1 (1)-1 (1 +2+v'3- +1+2-v'3 I 26.PokazatidajeR=[(A+ A -I) - (B+ B-I)f 2 racionalan broj za / 2- v3 A=-2-+-v'3 ' 3=-27.Odreditivrednostizraza [(It+1) -1 + (B+I) _,jf zaA= (2 + V3)-I,B= (2-v'3)-1. .A + B 28.OdreditivrednostlZrazaA_B zaA = . 17. r. v5 - v3 5 I 29. -I-1 - 2 Odreditivrednostizraza(Al+B2) zaA=3+VSB_3-Vs 2'- 2 30:'Izracimati2 -lA -2 (B _A), za A= V3 Vs+ V:3'B=vs- V:3 31.IzraeunativrednostizrazaA -I- !.! Aza 12' - 1-1 A=(I - 0,5.32) Uprostitiizraze : 32.33.+1_+I V21 + _1_ V2 35.3+I V21 _ _ 1_ v'2 1- I I 1- V2 (15412) -36.\16+1 +v'6-2 - 3-v'6 (V6+ II ). ' 37. ( I+2)I V:3 - v'2VB + VI2- v'3 Izracunativrednostizraza 3 38 (xV;- 1V'-- a--Y"''''2=b=g .+zaX=a VI-xflxV;2a ' 6 Uprostitiizraze: ( I-n) -I0 O. 2ab +2ab tI.:)(Va+ Vx - Va+x a > 0,x > O. .x 1+ --=== I(x2)aVx2 + a (44:- V x2+ a++ - .. 2v x2 + a2x +vx-+a '45""] [(a+ ,'r,h) :ex + {laxz) - I_ 6 {l a- ?'x?'X rr(Va +;),]-3 (Va + l)3-aVa + 2 7 x> 0,y >O. ([-) aa++V;-1_ rJ' a > 0,b> O. b1 @[(:1::)'+,] u:!::r +'(:+: -a*l. Uprostitibrojneizraze: A=v'C-./3-3)2+v'CI2+6V3iB=V1- _ C2-v's)2 -v . 5Datjenizbrojevax"definisansa 0+ x,,-l x"- aXl=l. - 1- 0 x,,-1' PokazatidajeovajnizperiodiOOl. 8 v'\ / 56. )Izracunativrednostizraza V3 zaX=-4 Izracunativrednostizraza: 57.y=(x-:-I)V3zaa)x = 2+V3;b)x=2-VT Vx' -x +1 58. 59. Uprostitiizraze: 60. Izracunatibrojnuvrednostrezultatazaa=I; 1 b= - sa 2 taenoUuod0,0 I. :(I+V:+!) @Vx+VY-I +Vx-vy. (Vy+Vy) _/x+vXY2Vxyx-v'XYx+-VxY 83 (9 (a +v'a' - b' a-v'a'-b2 a-vaZ-b2J: 4avat=b' a+ v' a' - b2b' 9 65. 66. 67. 68. ( 2315) v'3-1 +v'3- 2+3- v'3.(v'3+5)-1. Izracunativrednostizraza : 11 xy _ (x2 _1)2(y21)2 za x=2-1 (a+ a-I) xy+ (x2 -I) 2(y2_1)2(a ;;;'I ,b ;;;'I ). Y=2 - 1(b+ b-1) (v';;+X - v';;;=;:vx=n) -2-v' m+xv'x+n + v'mx v'xnzax =v'mn, lII > n> O. 11 (a+ bx) 2+ (a- bX) 22alll 11'zax=,11111 y>x>0) 1- y2x ;Y,Vl + V2x;Y =I I+V2X Y Y. ' YxY l. 90. /Izracunativrednostizraza 33 Y= x3+ 12x,zax=v' 4(V5 + I)- Y""4-(V5-= 5- 1-). 9;'I zraeunativrednostizraza Y= x3+ ax + b,akoje 3 x = +Vb2 +W + b2+w . 2427.2427 92:\ )A2+B y = x3 - 3x - 2A2_B za Izraeunativrednostizraza 33_---,_ X=V A + VB+V A- VB. A- v B.A +VB 13 II.GLAVA 2.KOMPLEKSNIBROJEVI Oznaka,obrasciidefinicijeuvezi sa kompleksnimbrojevima. l.Definicija :1'2*L - l. 2.OpstioblikkompleksnogbrojaZ=a+ib. KonjugovanokompJeksnibrojzaZje:;;=a - ib. 3.p=Izl =Va2 + b2 - moduJkompleksnogbroja 4.Definicija:Aritmetickeoperacijesakompleksnimbrojevima definisanesuovako: Jednakost:a+bi = e + di ~a= e /\b = e. Sabiranje:(a+bi)+(e+di)=a+e+(b+d)i Mnozenje:(a+bi) (e+dl)=(ae - bd)+(be+ad)i. Oduzirnanje:Razlikakompleks nihbrojevaZliZ 2, (Zl - Z2)jekompleksnibrojZtakavdajeZl=Z2+z. Deljenje:PodelitikompleksnibrojZl,kompleksnirnbro-jemZ 2(Z2=F0)znacinaCikompleksnibrojZtakavdaje Zl=Z2'Z. 93.Izracunati 14 a)V-36- V16-v64+V-49; b)V18-v=50+v=72-v-98; c)Va2 - V - a2 +2ab - b2 +Vb2 I 94.NaCizbircfatihkompleksnihbrojeva a)(3+ 2;)+ (5-8i) ; b) (-3-4i) + (8+ 21); c)(8+4i)+(7- 2i)+(- 6+i ) ; d)(1,8+i)+(2,4 - 3i)+( I+2,41) 95.Nacirazlikudatihkompleksnihbrojeva a)(7+9i) - (- 8+31) ;b)(4 - 51)- (- 7+91); Izvrsinaznaceneoperacije: 96.a)(7+31)- (2+81)+(9 - 12.); b) (I2.)(2I.)(II.) 3+51+- 3+41 ~5- 2'1; c)( 5x- 2YI)+(3x+5yt)- (x+y;)+2x; 97.@ - 5+2i) (3+2i),b)(- 7+2i) (6 +3i) ; c)(V3+i..i2) (V3- iV2' ) ;d)(Va +iVb)(Va - i Vb) ) 2+ 3i 98.a; 2-3i b) 5-2i I-i /a)} J- 3ii 99.d1+ i- 2+ i; 100.Datjekompleksnibrojz . .3+i3-2i2- i a)Z=;b)Z= --+ --(2 - i )22+ i3+ i OdreditiReIzl;JmIzi 101.PokazatidasuZl=2+3iiZ2=- 2+i.nulefunkcije ! (z)=Z2- 4iz - 7 - 4i. 102.Izracunativrednostizraza: a)Z- ZakojeZ=1 +i; 1 + zz -Z+ Zi-I b)akojez= - - . 2z+ 32 15 103.Izracunati: I + il-i + :24 l- i+ l + i' 104.Dokazatidaje (- 1 +iv'3)3_ 2- .1. 1 05. naznaceneoperacije 2+ i2-i a)2- i+ 2+ i; 1 + 3i(-4 +i) (-4-.) d (- 1+i)2+I+i. 106.Akojef (z)=2+Z+3z2,izracunatif (z) ifez)zaz =3+2i ( 107.Izracunati: a)y=z2+ 2z - 3zaz =2 ;; b) y=2Z2+ z - 1zaz=3 5i. 108.NekasuZ liZ2dvakompleksnabroja. Dokazati:IZl+z212 +IZ1 - z212 =2IIzl 12+IZ2j2J. 109:-} Izracunati: CJ (I+I)3 (2 - 31)22+;3+. 110.' Odreditimodulekompleksnibbrojeva _(2+ ;)2.Ibn.) =V3 +;. )Z- 3_4;' 6 - 8; , , 2; c)Z=1+iv'3 . 111. Odreditikompleksnibrojz=x+iytakodabuduzadovoljene relacije: a)JmIz. Zl\= - 1akojeZl= 3+2iiZ2= 2+i. 16 112.Datjeko mpleksnibrojZt=2+i. a)OdreditikompleksnibrojZ=x+iytakodaje { Z}.3 ReZ I= - 5aJmIz . Zl\\I ; b)OdreditikompleksnibrojZ=x+iytakodaje Jm{3..- } = _ 2.aRelzzl\= 1. ZI'>4:';-Y,," r//r'/' U3.*)Pokazatidaje_(.. " , VI + iV3 + VI-i,,'3 =v6. Dokazatidaje: 114. (-I +iV3)3(-I-iV3)3= 2+22. 115. (-I +IV))"(-I-iv'3)4 i+2= -1. 116.{' ++ e-;'V;7 =I. 117.Uprostitiizraz 118.Izracunati: a),'25 +(_i)50+i62+,'83; b),'20+i30 +i40+i50+i60+i70; !(;))(- i)6' _i102 +i - 112+i20I; d)i -256 +i602+i408 119.Odredirealniiimaginamidecbroja (I+i)"d'.db' Z=1-ige)enpruoanrOJ - --It)LajboicovBjednakost.La;bnicjematematiw18.v. 2 17 ,....--,(I+ I)n 120.Izraeunati( I_I)n-2 'akojenprirodanbroj. 121.Pokazatidaje(I+ ,)4- ( I - i)4realanbroj. 122.NaCixiyizjednacine (3i - 8) x+ (2i - 5) y=i gdesu~iyrealnibrojevi 123.NaCixiyizjednacina: a)3x+ xi - 2y=12 - yi - i; b)5x - 3yi + 2i =6 - xi - y; c ~x+ yi - 2=4xi + 3y+ 3i; d)(x ,+iy) (3 - 7i) =2+ 4i; e)(x+ iy) (2+ I) =1+ 3i, gdesuxiyrealnibrojevi. (x -4)+(y -l)i = 2 _5i. 124. I + i 125.NaCikompleksnibrojZizuslova : @ (2+ ,) Z+ 2z - 3=4+ 6i, "b)2z (3 - 5i)+ z- 1 =- 30 - 65i. / 126.NaCikompleksnibrojzizuslova: (z+ t)( I+ 2i)+ ( I+ zi) (3 - 4i)=1 + 7i. Rastavitinakompleksneciniocesledecebinome: 127.a)Xl+ 1;b)' x2 + 81;c)4x2 + 49. 128.a)a2 + b2;b)a2 + 36b2;c)16a2 + 25b2 129.a)a+ b;b)a+ I. 130.DatjekompleksanbrojZl=2 - 3i. a)Sastavitibrojz=x+ iytakodabude Re[zzll =18iJm{:l} =-H- J b)Gi"afickiodreditibrojevez+ ZliZ- z, c)Odreditimoduobrojaz. 18 .-I iV3 131.AkoJea.=2'pokazatidaje I) a.2 + a.+ I= 0ia.3 =I,zatimodredirealniiimaginarnideo kompleksnogbroja aa.2 + ba. Z=. a+ ba.2 1321Pokazatidaje /(I+ 1)6_(1 - i)6. .. Z=(I+ i)6. (I _1)6unagmaranbroJ. 133.Dokazatidaje a)(I+ t)4krealanbroj; 0 - ~. ... b)(I+ i)4k+2imaginaranbrojakojekprirodan. s 19 20 IIIGLAVA 3.KVADRA TNEFUNKCIJE Izrazoblikaax2 + bx+ czaa=1=nazivasepolinomfunkcija drugog stepena sajednorupromenljivom,gde su a,b,c konstante, axnezavisnopromenljiva(argument),ovajobliksecestonaziva ioblikkvadratnefunkcije. Zaa=1=0,b=c =0,navedenipolinomsvodisenaax2. Zaa=1=0,c=1=0,b=istipolinomsvodisenaax2 + c. Zaa=1=0,b=1=0,c =istipolinomsvodisenaax2 + bx. Polinomi: ax2, ax2 + ciax2 + bx su nepotpuni oblici kvadratnog polinoma. K vadratnitrinomtransformisanuobliku y=ax2+ bx+ c=ax+ - + ---( b)24ac -b2 2a4a " naz ivasekanonickioblikkvadratnogtrinoma. Prethodniizrazkracesey=a (x - 00 ,?(', Datajefunkcija a -b. r. y=vbx2 - 2ax+a vb Pokazatidasu x = y;;bnule. va+vb funkcijezaa>0ib> O. 177.Komadlicedug4011'1 trebapodelitinacetiridela,takodaseod tih delovasastavipravougaonikmaksimalnepoVliine.Kakotreba podelititajkomadzice? 178.Dui:apodelitinadyedui:itakodasumatrostrukogkvadrata prvedui:iidvostrukogkvadratadrugedui:ibudeminimalna. 179.RazlozitibrojJ 8nadvasabirkatakodasumakvadratatihsabi-rakabudeminimalna. 180.Odreditistranicunajmanjegk-vadrata,kojisemoZeupisatiu datikvadratstranice6em. 181.Komadl iceduZine56em.trebapodelitinadvadeJa,odjednog delanapravitikvadrat,oddrugogpravougaonik,Cijajeosnovica tri puta veta od visine.Gde treba preseei f icudabizbir povrSina, takonastal ihfigurabionajmanji? 25 182.Uglovinaveeojosnovicitrapezasupo60,njegov'obimiznosi 200em.Kolikamorabiti tfSnovicatrapezadabi njegovapovrsina bilamaksimalna? 183.U .pravouglomtrouglucijesukateteaib upisanjepravougaonik maksimalnepovrsine,takodasejednotemepravougaonika poklaR8satemenompravoguglat raougla,aostalatrilezena stranamatrougla.Odreditidimenzijeipovrsinupravougaonika. 184.Utrougluosnoviceaivisinehupisatipravougaonikmaksimalne povrsine, tako damu dva temena leze na osnovicitrougla, a druga dvanadrugimdvemastranama.Izracunatidimenzijeipovrsinu pravougaonika. 185.UpolukruZnici preenika10em.upisati trapez kome je duZaosnova preCnik,adamuobimimamaksimalnuvrednost. Ukvadratstraneacmupisanjepravougaonikmaksimalne - povrsine,cij esustraneparaleJnesadijagonalamakvadrata.Ko-likesudimenzijepravougaonika? 187) Obekatetejednogpravouglogtrouglaiznoseaem.Kakotreba izabratikatete _dabihipotenuzabilaminimalna? Odreditinajmanjuvrednost izraza.!. +.!. akosn xi ypozitivni xy realnibrojevitakvidajex+ y=5.(TakmicenjeIIstupnjaiz matematickeskole1968-69g.) 18..( NekajeMproizvoljnatackadateduZiAB = a.NadAM = x '\.konstruisanjekvadratAMCD,pajenadduiiBCopetkon-struisan kvadrat BEFC.OdredipolozajTackeMt