Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

1/140


2/140


3/140

Milica B. Naumovi

ZBIRKA REENIH ZADATAKA

IZDIGITALNIH SISTEMA UPRAVLJANJA

I deo: Diskretni signali

Elektronski fakultetNi, 1997.


4/140

dr Milica B. NaumoviZBIRKA REENIH ZADATAKAIZ DIGITALNIH SISTEMA UPRAVLJANJAI deo: Diskretni signali

Izdava

Recenzent

Prof. dr MiliStoji

Urednik

Korice

CIP - Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

Tira: 300 primeraka

tampa

Odlukom Nastavno-naunog vea Elektronskog fakultetau Niu, br. 1/0-05-074/96-003 od 18. juna 1996. godine,rukopis je odobren za tampu kao pomoni udbenik.

Elektronski fakultetNi, Beogradska 14

Prof. dr Stojan Risti

M. B. Naumovi

ISBN 86-80135-12-7

681.51(075.8)(076)

NAUMOVI, Milica B.Zbirka reenih zadataka iz digitalnih sistema upravljanja. Deo 1, Diskretni signali / Milica B.

Naumovi. - Ni: Elektronski fakultet, 1997 (Ni : Grafika Galeb). -128 str.: ilustr.; 24 cm

Tira 300. - Bibliografija: str. 127-128.ISBN 86-80135-12-7

62-52(075.8)(076)a) Digitalna tehnika - Zadaci b) Sistemi automatskog upravljanja - ZadaciID=50896908

"GRAFIKA GALEB" NI


5/140

1. Uvod 11.1. Digitalni sistem upravljanja 11.2. Istorijat razvoja transformacionih metoda 6

2. Frekvencijske karakteristike signala 9Problemi 17

3. Proces diskretizacije signala 19Problemi 44

4. Proces rekonstrukcije signala 47Problemi 75

5. Z- transformacija 775.1. Definicija i osobine Z- transformacije i

inverzna Z- transformacija 795.2. Preslikavanje iz s- u z- ravan 89

5.3. Modifikovana Z- transformacija 995.4. Primene Z- transformacije 104

Problemi 110

Problemi (reenja) 113

Literatura 127


6/140


7/140

Ova knjiga je rezultat autorovog viegodinjeg

istraivanja u teoriji sistema digitalnog upravljanja. Zbirka

zadataka, iako nije pisana iskljuivo kao pomoni

udbenik za odreeni predmet, ini celinu sa udbenikomM. R. Stoji: Digitalni sistemi upravljanja, Nauka,

Beograd, 1994(tree izmenjeno i dopunjeno izdanje).

Nivo izlaganja, izbor zadataka i nain njihovog

reavanja je rezultat iskustva autora steenog

dugogodinjim radom u izvoenju auditornih i

laboratorijskih vebi, kasnije i predavanja, kao i upripremi ispita iz predmeta Teorija automatskog

upravljanja i Projektovanje sistema automatskog

upravljanja. Zbirka je raena prema vaeim nastavnim

programima iz digitalnog upravljanja na elektrotehnikim

fakultetima, mada moe da poslui i u nastavi srodnih

oblasti gde se koriste digitalna obrada signala, digitalni

prenos podataka i slino.

Autor je itaocu eleo da prui polazne osnove na

kojima se dalje zasnivaju teorijske metode analize i sinteze

digitalnih sistema upravljanja, pa i postupci njihove

praktine realizacije. Materija je izloena na savremen

nain. U elji da se pomogne razumevanju fizikog

znaenja pojedinih fenomena, primeri i verifikacija

rezultata analitikog razmatranja najee su raeni

simulacijom na personalnom raunaru korienjem

raspoloivih simulacionih jezika (MATLAB sa

SIMULINKom, CC, VISSIM). Pretpostavljajui da italac

poznaje ove programske pakete, oni nisu posebno

objanjavani.

Celokupna materija izloena je u pet poglavlja. Na kraju

svakog poglavlja formulisan je odreen broj problema iz

odgovarajue oblasti, a njihova reenja data su na

kraju knjige.


8/140


9/140

Osnovnu strukturu digitalnog upravljakog sistema definisaemo na primeru

konkretnog servomehanizma ija je principska ema prikazana na Sl. 1.1. Dakle, razmatra se

servopogon ruke robota sa jednim stepenom slobode.

Podsetimo, da se sistem upravljanja smatra digitalnim ako neke njegove promenljive

podleu diskretizaciji i po nivou i po vremenu. Pod izvesnim uslovima mogu se impulsni

sistemi, u kojima se kvantovanje promenljivih vri po vremenu, i digitalni sistemi tretirati istim

metodama[1]. Uoimo, da su u upravljakom delu posmatranog sistema zastupljene

komponente koje ga upravo ine digitalnim, poto se periodino, u trenucima diskretizacije,

registruju trenutne vrednosti upravljane promenljive ( ), da bi se na osnovu njih i zahtevane

reference (Kn ), formirao signal greke i dalje, po nekom unapred zadatom digitalnom

zakonu upravljanja, generisali odbirci upravljake promenljive (u). Dakle, upravljaki deo

digitalnog sistema datog na Sl. 1.1 ini enkoder, digitalno-analogni (D/A) konvertor i digitalnikontroler.

Sl. 1.1 Principska ema sistema sa digitalnim upravljanjem

Inae, uoimo da je u posmatranom sistemu problem upravljanja najjednostavniji

problem balansiranja. Zadatak regulacije bi bio obezbediti uslove balansiranja, tj. odravati


10/140

2

ugao u odreenim granicama uprkos dejstvu poremeaja (promeni momenta optereenja navratilu motora) ili promeni parametara sistema. Sloeniji zadatak bi bio zadatak praenja;

recimo ruka se kree po krugu u vertikalnoj ravni konstantnom brzinom.

Generalno, reenje upravljakog problema zahteva:

Izbor senzora i izvrnog organa;

Razvoj modela objekta, senzora i izvrnog organa;

Projektovanje regulatora na osnovu razvijenih modela i zadatog upravljakogkriterijuma;

Sprovoenje i verifikacija projektovanja analitiki, putem simulacija i testova na

sistemu.

Izvrni mehanizmi robota elektrinog tipa mogu da poseduju jednosmerne, asinhrone

i korane motore od kojih je, sa stanovita sinteze servomehanizama, u prednosti jednosmerni

motor, koji je odabran i u primeru razmatranog servopogona. Za detekciju ugaone pozicije

vratila servopogona koristi se inkrementalni enkoder brojakog tipa [1]. Umesto D/A

konvertora na Sl. 1.1 moe da se upotrebi bilo koji pretvara digitalne rei u kontinualni

naponski signal ili u irinsko modulisani signal.

Robot je sloen sistem kod koga su izraeni uticaji izmedju kretanja pojedinih

zglobova celog mehanizma, to implicira sloenu proceduru projektovanja sistema upravljanja.

Poznato je, meutim, da je nezavisno upravljanje zglobovima najjednostavniji, a sa stanovita

realizacije i najprihvatljiviji nain upravljanja. Dinamiki model robota obuhvata dinamikimodel mehanizma kao i modele aktuatora koji pokreu pojedine njegove zglobove.

Standardni nain za dobijanje dinamikih jednaina mehanikih sistema zasnovan je

na Euler-Lagrangeovim jednainama oblika

d

d

L L

t

=

Mq q

(1.1)

gde je: [ ]T1 nqq =q n- dimenzionalni vektor generalisanih koordinata sistema, L - je

razlika izmedju kinetike i potencijalne energije sistema iT

1 nM M = M je n-

dimenzionalni vektor generalisanih sila (momenata) ijem je dejstvu podvrgnut sistem.

Alternativni oblik dinamikih jednaina manipulatora je

( ) ( , ) ( )

+ + =D q q C q q q G q M (1.2)

gde je D q( ) n n simetrina, pozitivno definitna matrica inercija manipulatora za svako

q , elementi matrice ( , )C q q sadre proizvode tipa2

i , , 1,2, , ,i i jq q q i j n= i j koji

su oznaeni kao centrifugalni i Coriolisovi lanovi, respektivno, dok je n- dimenzionalnivektor G q( ) dat u funkciji gravitacionih momenata. Izrazi u ( ), ( , ) i ( )D q C q q G q sadre

trigonometrijske funkcije, pa su otuda jednaine kretanja (1.2) sloene i nelinearne, ali se

mogu prevesti u linearnu formu oblika

( , , ) =W q q q p M . (1.3)

Matrica ( , , )W q q q je matrica poznatih funkcija dimenzija n r , a p je r- dimenzionalni

vektor nepoznatih ali konstantnih parametara koji su izraeni u funkciji masa, momenata


11/140

3

inercija, duina, centara mase i koeficijenata trenja odgovarajuih segmenata, a koji se mogu

menjati povremeno sa promenom optereenja.

Na Sl. 1.2 prikazan je objekat upravljanja koji, saglasno nezavisnom upravljanju

zglobovima, predstavlja jednosegmentni manipulator u vertikalnoj ravni sa ravnotenim

stanjem [ ]T T

0 = , iji je izvrni mehanizam jednosmerni motor upravljan strujom u

kolu rotora.Uz pretpostavku da je segment ruke robota koji vezuje aku robota sa zglobom u

obliku valjka zanemarljivo malog poprenog preseka mase mi duine l,a da je aka robotaoptereena teretom mase M, koji emo tretirati kao materijalnu taku, jednaina ovogmanipulatora u Lagrangeovoj formi dobija se u obliku

2 2 2 sin3 2

m m em r m m

l N J N F gl M NK I

+ + + = + +

(1.4)

gde je g-gravitaciono ubrzanje, a K Iem r pokretaki moment motora.

Odziv razmatranog objekta upravljanja sa nultim ulazom i poetnim stanjem

[ ]T T

0.01 0 = prikazan je na Sl. 1.3.

S

l. 1.2 ematski dijagram jednostavnogmanipulatora

0 5 10 15 20

0

1

2

3

t, s

Sl. 1.3 Odziv objekta upravljanjaDobro poznata strukturna ema motora jednosmerne struje prikazana je na Sl. 1.4,

Sl. 1.4. Blok dijagram servopogona


12/140

4

gde su I I Mr, i 0 redom primenjena referentna struja, struja rotora i moment optereenja

sveden na osovinu motora.

U blok dijagramu usvojena je sledea notacija:

Tr - elektrina vremenska konstanta ( )T L Rr r r= ,

Tm - mehanika vremenska konstanta T J Fm = ,Rr - otpornost kola rotora,

F- koeficijent viskoznog trenja,Kme - koeficijent elektromotorne sile namotaja rotora

(= koeficijent pokretakog momenta Kem ),

- prenosni broj reduktora,

Kc - naponsko pojaanje,

Kr - pojaanje u strujnoj petlji,

Kn - broj impulsa inkrementalnog enkodera po ugaonom pomeraju od

jednog radijana.

Ako se izrazi u funkciji referentne struje I

i spoljanjeg momenta M0 , dobija se

( )( )

( )( )

( )

( )( )s

B s

A sI s

C s

A sM s= +1

1

1

10 (1.5)

A s T T s TK K

RT

K K

FR FK Ks

K K

R

K K

FR FK Ksr m m

c r

rr

em me

r c r

c r

r

em me

r c r1

3 21 1 1 1( )= + +

+ +

+

+ +

+

+

B sK K

R FNem c

r1( )= (1.6)

C sNF

K K

RsTc r

rr1

11( ) .= + +

Od interesa je sada detaljnije formulisati problem upravljanja. Naime, on se sastoji u

nalaenju podeljivih parametara digitalnog regulatora sa ciljem da se postigne eljeni kvalitet

ponaanja sistema u prelaznom procesu i odgovarajua tanost rada u stacionarnom stanju, to

se u vremenskom domenu moe specificirati na sledei nain: preskok u %, vreme uspona i

vreme smirenja nisu vei od , T Tu s

i , respektivno. U brojnim aplikacijama, a po pravilu

kod robotskih servomehanizama, zahteva se to bri odziv koji je blizak aperiodinom. Dakle,

problem upravljanja moe se formulisati kao dobro poznati problem podeavanja polova.

Aperiodian karakter prelaznog procesa sa vremenima uspona i smirenja redom ne

veim od 0.25 s i 1 s, moe se ostvariti digitalnim PD kao i PID kontrolerom. Rezultati

analitikog projektovanja mogu se verifikovati simulacijom razliitih reima rada sistema na

digitalnom raunaru, kako je to ilustrovano slikama 1.5 i 1.6.


13/140


14/140

6

Za razumevanje procedure projektovanja digitalnog sistema upravljanja neophodno je

detaljnije poznavanje procesa diskretizacije kontinualnog signala, obrade diskretne informacije

kao i prevoenja diskretnog signala u kontinualan signal. Drugim reima, teorijsku osnovu

digitalnih sistema upravljanja, pa i digitalnih sistema uopte, ini teorija diskretnih signala.

Diskretni signali se inae mogu analizirati u vremenskom podruju, ali se njihove osobine

mogu sagledati polazei od njihovog kompleksnog lika koji se dobija primenom odgovarajue

transformacije.U narednom odeljku je dat izvestan broj interesantnih informacija da bi se ukazalo na

hronologiju pojave i primenu nekih transformacionih metoda, koje se koriste pri analizi i

projektovanju digitalnih sistema upravljanja [3].

Za vreme i nakon Drugog svetskog rata bila je jako aktuelna analiza radarskih

sistema, koji su po prirodi impulsni sistemi, poto se informacija o izmerenoj poziciji dobija

jednom po obrtu antene. Poput teorije transformacija, koja je bila od velike pomoi kod

kontinualnih sistema, prirodno je bilo pokuati sa razvojem sline teorije i za impulsne sisteme.

Najpre je Hurewicz (1947) uveo transformaciju niza { }f kT( ) defininiui

{ } )()(0

kTfzkTfk

k

=

=Z .

Uoimo da je ova transformacija slina funkcijama generatrisama korienim u brojnim

granama primenjene matematike. Zatim su Ragazzini i Zadeh (1952) ovu transformaciju

definisali kao z-transformaciju. Teorija transformacija razvijala se dalje nezavisno u bivem

Sovjetskom Savezu, Sjedinjenim Amerikim Dravama i u Velikoj Britaniji. Tsypkin (1950)

nazvao je transformaciju diskretna Laplaceova transformacija pomou koje je razvio teoriju

impulsnih sistema. Nezavisno je u Engleskoj ovaj transformacioni metod razvijao Barker

(1952). U Americi je transformaciju razvijao Jury u okviru svoje doktorske disertacije na

Columbia Univerzitetu. Takodje je razvio i metode analize i sinteze diskretnih sistema.

Osnovno ogranienje teorije zasnovane na z-transformaciji je injenica da se ne posedujeinformacija o tome ta se deava sa sistemom izmedju trenutaka diskretizacije. To ne bi smelo

da bude akademsko pitanje iz razloga mogunosti pojave skrivenih oscilacija koje su jednake

nuli u trenucima diskretizacije, a mogu da budu znaajne izmedju njih.

Drugi prilaz teoriji impulsnih sistema zagovarao je Linvill (1951). Kao sledbenik

ideje MacColla (1945), interpretirao je odabiranje kao amplitudnu modulaciju i efikasno

opisao ponaanje izmedju trenutaka odabiranja koristei prilaz preko opisne funkcije. Drugi

prilaz reavanju ovog problema je tzv. z- transformacija sa kanjenjem, poznata kao

modifikovana z-transformacija koju su razvijali Tsypkin (1950), Barker (1952) i Jury (1956).

Razvoju celokupne teorije diskretnih sistema dosta je doprinela grupa na Columbia

Universitetu u Americi koju je vodio Ragazzini kod koga su radili svoje doktorske disertacije

Jury, Kalman, Bertram, Zadeh, Franklin, Friedland, Kranc, Freeman, Sarachik i Sklansky.


15/140

7

Krajem pedesetih se ovladalo analizom impulsnih sistema pomou z-transformacije

pa se simultano pojavio i odreeni broj knjiga: 1958. godine - Ragazzini i Franklin [12],

Jury [16],Tsypkin [15] i 1959. godine Tou [14]. Ova teorija, po uzoru na teoriju linearnih,

stacionarnih, kontinualnih sistema dala je dobre metode za analizu i sintezu impulsnih sistema.

Do sada je iz oblasti impulsnih i digitalnih sistema publikovan veliki broj knjiga udbenikog

ili monografskog karaktera, a one vanije, po miljenju autora, nalaze se u spisku citirane

literature.U nastavku je data bibliografija sa originalnim radovima po redosledu navoenja u

prethodnom tekstu.

W. Hurewicz, "Filters and Servo Systems with Pulsed Data", in Theory ofServomechanisms, ed. H.M. James, N.B. Nichols, R.S. Philips, McGraw-Hill, New York,1947.

J.R. Ragazzini, L.A. Zadeh, The Analysis of Sampled-Data Systems, AIEE Trans. ,71,Pt.II, Nov. 1952, pp. 225-34.

Y.Z. Tsypkin, Theory of Discontinuous Control, Avtomat i Telemekh., 3(1949), 5(1949),5(1950).

R.H. Barker, The Pulse Transfer Function and Its Applications to Sampling Servosystems,Proc. IEE, 99, Pt. IV, 1952, pp. 302-17.

W.K.Linvill, Sampled-data Control Systems Studied Through Comparison of Samplingwith Amplitude Modulation, AIEE Trans., 70, Pt. II, 1951, 1778-88. L.A. MacColl, Fundamental Theory of Servomechanisms, D.Van Nostrand, New York,

1945

E.I. Jury, Synthesis and Critical Study of Sampled-Data Control Systems, AIEE Trans.,75, Pt. II, 1956, 141-51.


16/140


17/140

Poznato je, da se u inenjerskoj praksi za opis signala potpuno ravnopravno koristi

kako vremensko tako i frekvencijsko podruje.

Neka je f t( ) analogni signal koji je definisan za svako t u intervalu t t t1 2 (ne

iskljuuje se t ). Ako sa F i 1F oznaimo operatore Fourierove i inverzne

Fourierove transformacije, tada je:

{ }( ) ( ) ( )e dj tF j f t f t t

= = F (2.1)

i

{ }11

( ) ( ) ( )e d2

j tf t F j F j

= = F . (2.2)

Kompleksna funkcija realne promenljive , F j F j j F j( ) ( ) e arg ( ) = , predstavlja

kontinualni frekvencijski spektar signala f t( ) , koji ine amplitudni ( )F j( ) i fazni

( )arg ( )F j spektri signala.


18/140

10

Ako sa f t F j( ) ( ) oznaimo Fourierov transformacioni par, dovoljni uslovi za

njegovu egzistenciju su tzv. Dirichletovi uslovi [5]:

funkcija f t( ) treba da pripada klasi funkcija tipa poetnih uslova, tj. integral

I f t t=

( ) d treba da ima konanu vrednost;

funkcija f t( ) mora da ima konaan broj maksimuma i minimuma kao i konaan

broj prekida u konanom vremenskom intervalu.

Ove uslove zadovoljavaju tzv. energetski signali, za koje vai f t t2( ) d

< , za

razliku od signala snage koji nemaju konanu energiju, ali imaju konanu snagu tj,. postoji

lim ( ) dT

T

T

Tf t t

1 22

2. U narednoj tablici su date neke vane osobine Fourierove transformacije.

Tablica 2.1 Neke osobine Fourierove transformacije

1. Linearnost a f t a f t a F a F 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )+ +

2. Simetrinost F t f( ) ( ) 2

3. Skaliranjef at

aF

a( ) ( ) 1

4. Kanjenje f t t Fj t( ) e ( ) 0 0

5. Modulacija e ( ) ( )j tf t F 0 0

6. Konvolucija originala f t f t F F1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

7. Konvolucija kompleksnih

likovaf t f t F F1 2 1 2

1

2( ) ( ) ( ) ( )

8. Izvod originala d

d( ) ( ) ( )

n

ntf t j Fn

9. Integral originalaf F

jF

t

( ) d ( ) ( ) ( ) +0

10. Izvod kompleksnog lika jtf t

F( )

d ( )

d

11. Integral kompleksnog lika f t

jtF

( )( )d

12. Invertovanje f t F( ) ( )

U narednom tekstu su dati primeri nalaenja frekvencijskih karakteristika nekih

jednostavnih energetskih signala.


19/140


20/140

12

Na Sl. 2.1 su prikazane frekvencijske karakteristike funkcija iz drugog i tre eg

primera.

-2 0 2 4

0

1

2

-3

2

f t)

-4 -2 0 2 4

0

2

4

|F(j)|

0

0

1

2

f t)

t

-1 1

-20 -10 0 10 20

0.0

0.5

1.0

|F(j)|

Sl. 2.1 Frekvencijske karakteristike pravougaonog i trougaonog impulsa

Na osnovu dobijenog transformacionog para ( )t 1 kao i nekih osobinaFourierove transformacije, lako se sukcesivno dobijaju slede i transformacioni parovi:

Tablica 2.2 Neki Fourierovi transformacioni parovi

osobina f t F j( ) ( )

ka{njenja ( ) et t j t 0 0

simetri nosti 1 2 ( )

simetri nosti e ( )j t 0 2 0

linearnosti [ ]cos ( ) ( ) 0 0 0t + + linearnosti [ ]sin ( ) ( ) 0 0 0t j + linearnosti

a akk

nj t

kk

n

kk

= =

1 1

2e ( )

periodi nosti

( ) ( ) ,t kT k

T

k k

==

=

0 0 0

00

2


21/140

13

Oigledno je da osobine Fourierove transformacije znatno olakavaju postupak

odreivanja frekvencijskih karakteristika sloenijih signala. Tako na primer, polazei od

transformacionog para dobijenog reavanjem treeg problema

f t A

tt

t

F j A( ),

( ) sinc=

>

=

1

0 2

2

,

i saglasno osobini simetrinosti, direktno se dobija transformacioni par

F t t

f( ) sinc ( ),

=

=

>

2

22

2 1

0

. (2.3)

Poto jedinina odskoana funkcija nije apsolutno integrabilna, celishodno je izraziti

je na nain

h( ) sgn( ) ,t t= +1

2

1

2

gde je 1 0 2sgn( ) 0 0 .

1 0

tt t

jt

Ovaj Fourierov transformacioni par lako se dobija na osnovu osobine diferenciranja po

vremenu

{ }d

sgn( ) 2 ( ) sgn( ) .d

t t j t t

= F

Otuda je

{ } { }1 1 1

h( ) sgn( ) ( ) .2 2

t tj

= + = +

F F F

Primeri funkcija koje ne pripadaju klasi funkcija tipa poetnih uslova

Primer 5.

JEDININA ODSKONA FUNKCIJA

h( ) ( )tj

+ 1


22/140

14

0 1 2

0.0

0.5

1.0

e

- t

t

=3

=2

=1

a.

-10 -5 0 5 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

=3

=2

=1

|F(j )|

b.

-10 -5 0 5 10

-100

-50

0

50

100

=3=2

=1

argF j

)

c.

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

h t)

t

d.

-4 -2 0 2 4

10

-3

10

0

10

5

10

10

10

15

|F(j )|

e.

-4 -2 0 2 4

100

150

200

250

300

argF j )

f.

0 2 4 6 8 10

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

sin

0

t h t)

t

=

0

g.

-4 -2 0 2 4

10

-3

10

10

10

15

10

5

|F(j )|

10

0

h.

-4 -2 0 2 4

150

200

250

300

350

argF j

)

i.

0 2 4 6 8 10

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

cos

0

t h t)

t

=

0

j.

-4 -2 0 2 4

10

-3

10

0

10

5

10

10

10

15

|F(j )|

k.

-4 -2 0 2 4

100

150

200

250

300

argF(j)

l.

Sl. 2.2 Amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike nekih tipinih signala


23/140

15

Saglasno osobini konvolucije u frekvencijskom podruju lako se dobija:

{ } { } { }0 0 0 01 1 1

cos h( ) cos h( ) ( ) ( ) ( )2 2

t t t t j

= = + + +

F F F

pa je

{ }0 0 0

0 00 0

0 0 2 20

1 1cos h( ) ( ) ( ) ( ) d

2 ( )

1 1 1( ) ( )

2 2

( ) ( ) .2

t t u u u uj u

j

j

= + + +

= + + + + +

= + + +

F

Do ovog transformacionog para mogue je doi i na sledei nain:

{ } { } { }0 0j j0

0 00 0

0 00 0

00 0 2 2

0

1 1sin h( ) h( ) e h( ) e

2 2

1 1 1 1( ) ( )2 ( ) 2 ( )

1 1 1( ) ( )

2 2

( ) ( ) .2

t tt t t t

j j

j j j j

j

j

=

= + + + +

= + +

= + +

F F F

Na Sl. 2.2 prikazane su amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike signala koji ne

pripadaju klasi funkcija tipa poetnih uslova.

Primer 6.

[ ]f t t t j

( ) cos h( ) ( ) ( )= + + +

0 0 0

02 22

Primer 7.

[ ]f t t t j( ) sin h( ) ( ) ( )= + +

0 0 0

0

02 22


24/140


25/140

17

Kako je i t t nT n( ) ( )= = periodina funkcija, razvojem u Fourierov red

dobija se:

{ }

0 0

0 0

0 0

2 2

0 0 02 2

0 00 0

1 1 1( )e d ( )e d ,

2 2( ) ( ) , .

T Tjnw t jnw t

n T T

n

F i t t t t T T T

i t nT T

=

= = =

= =

F

Uoimo, da je na ovaj nain dobijen transformacioni par iz Tablice 2.2.

P2-1. Odrediti frekvencijske spektre sledeih signala:

f t

A

-3 -2 - 0 2 3

t a.

0 2 3

...

t

1

4

...

f t

sint

b.

P2-2. Nai funkciju g t( ) na osnovu zadatog frekvencijskog spektra G j( ) .

G j

-

0

0

A

2aa

a.

4a 4a

0

0

-

G j

A

b.


26/140

18

-

0

000

+2a-2a

G j

A

c.

Napomena. Pri reavanju ovog zadatka

koristiti osobine Fourierove transforma-cije.

P2-3. Nai frekvencijski spektar signala na izlazu sistema koji vri modulaciju

ulaznog signala na nain kako je to prikazano na slici. .

SISTEM

x t y t =x

2

t

a. x t t( ) cos= 0 b. X( ) ( )

= +

1 2 4

0 inace(

P2-4. Skicirati frekvencijski spektar signala y t f t m t( ) ( ) ( )= , ako je

f t t t m t t( ) cos cos ( ) cos= + =2 10 4 20 200 i .

P2-5. Ako je f t F( ) ( ) i F(0) 0 , pokazati da je

fj

F Ft

( ) d ( ) ( ) ( ) .

= +1

0

Napomena. Neka je g t f g t Gt

( ) ( ) d= i ( ) ( ) . Uslov egzistencije G( ) je

apsolutna integrabilnost funkcije originala, a neto stroi uslov je lim ( )t

g t

= 0 , tj.

f t t( ) d =

0 , to je, s obzirom da je F f t t ( ) ( ) d=

=0 , ekvivalentno sa uslovom

F( )0 0= . Ako je F( )0 0 , tada g t( ) nije vie energetska funkcija i pokazuje se da njena

transformacija sadri impulsnu funkciju.


27/140

0 T 2T 3T

Diskretizacija signala po vremenu se vri odabiraem koji se moe tretirati kao jednavrsta impulsnog modulatora. Kao to je prikazano na Sl. 3.1a, na ulaz impulsnog modulatora se

dovodi kontinualni signal f t( ) , a na izlazu se dobija povorka impulsa - odbiraka f t( ) .Odbirci su jednaki vrednostima ulaznog signala u trenucima odabiranja 0, , 2 ,T T - gde je T

perioda odabiranja, tj.:

f tf nT t nT

t nTf t f kT t kT

k

=

= =

= ( )( ),

, , ( ) ( ) ( ) .0 0odnosno

IMPULSNI

MODULATOR

f*

(t)

t

-T 0 T t

i(t)

... ...

t

f(t)

f*(t)=f(t)i(t)

a.

T

f(t) f *(t)

b.Sl. 3.1 Odabirakao impulsni modulator i njegova simbolika oznaka


28/140

20

3-1.ZADATAK

U zadatku se razmatra problem usvajanja periode sa kojom se vri diskretizacijaposmatranog signala. Poznato je da postoji ogranienje u pogledu minimalne brzinediskretizacije pri kojoj je mogue rekonstruisati signal na osnovu njegovih vrednosti utrenucima odabiranja [1].

Svojevrsne formulacije teoreme odabiranja mogu se nai u radovima autoraC.E. Shannona (1949) i Kotelnikova (1933) [1], [3]. Precizna formulacija teoreme odabiranjaglasi:

Na Sl. 3.2 prikazan je signal x t( ) koji se diskretizuje sa periodom T, kao i njegov

amplitudni frekvencijski spektar za iju graninu uestanost moemo praktino da usvojimovrednost 0 200= rad s . Otuda se dobija T = 0 00157. s .

U posmatranom sluaju se razmatra izbor periode diskretizacije sa stanovitataanosti opisivanja posmatrane funkcije x t( ) .

Posmatra se kauzalni signal x t t( ) e= 4 koji se diskretizuje sa periodomdiskretizacije T.

a) Izabrati periodu diskretizacije tako da se pri opisivanju date

funkcije x t( ) vrednostima u ekvidistantnim ta

kama t kT= , 0,1,2,k=

nepravi greka vea od 5% od poetne vrednosti signala.

b) Izabrati periodu diskretizacije tako da se, pri linearnoj interpolacijidate funkcije x t( ) , u takama 2, 2 1, 0,1, 2,t k T k n n= = + = ne pravi greka

vea od 5% od poetne vrednosti signala.

Ako kontinualni signal ne sadri harmonike van podruja uestanosti

( ) 0 0, , on se moe kompletno okarakterisati svojim vrednostima u

ekvidistantnim takama ako je uestanost odabiranja

sT

=2

vea od 2 0 .

Kontinualni signal se tada moe izraunati primenom interpolacione formule

( )[ ]( )f t f kT t kT

t kTs

sk( ) ( ) sin .=

=

22

(3.1)


29/140


30/140

22

to se svodi na e e . + 4 22 0 9 0T T , odnosno 0 6838 131622. e . T . Kako je periodadiskretizacije Tpo prirodi pozitivna, dobija se T 019. s , to odgovara zahtevu za znatnomanjom brzinom odabiranja pri linearnoj interpolaciji funkcije x t( ) .

3-2.ZADATAK

Poto je [ ]sin( ) sin( ) sin ( ) t t t l = + = +2 , to je l= 2 osnovni

period periodine funkcije sin( )t . U razmatranom sluaju je = 3 , pa je periodl= 2 s3 . Perioda diskretizacije T mora da zadovolji uslov teoreme odabiranja, odnosno

T f f =1 2 150 0, . Hz - je granina uestanost spektra signala koji se diskretizuje. Otuda se

dobija T 1 3 s . Lako se moe ustanoviti da je i nakon diskretizacije ouvana periodinostsignala ako je 2 3 2 3 s , 1, 2, .kT T k k = = = Medjutim, kako je Tmax= 1 3, to je

kmin= 2 . Dakle, periodu diskretizacije treba birati prema relaciji

2s , 2,3,

3T k

k= = . (3.2)

Na Sl. 3.4 prikazan je signal i dve periodine povorke odbiraka dobijene njegovomdiskretizacijom u skladu sa prethodnom relacijom.

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

T7

T3

f

f

*

(t); T=2/21 s

f

*

(t); T=2/9 s

f(t)=sin(3

t)

f(t),f*(t)

t, s

Sinusoidalni signal f t t( ) sin( )= 3 diskretizuje se sa periodom Tpriemu se u procesu diskretizacije ne gubi informacija koju kontinualni signalf t( ) nosi. Odrediti periodu diskretizacije T tako da i diskretizovani signal

bude periodian.


31/140

0 T 2T 3T 23

Sl. 3.4 Kontinualni signal i povorke odbiraka

3-3.ZADATAK

Poznato je, da se Laplaceova transformacija diskretizovanog signala f t( ) u oznaci

F s( ) moe odrediti na tri razliita naina [1]:Ukoliko se znaju vrednosti signala u trenucima odabiranja, kompleksni lik povorkeodbiraka se dobija u obliku

{ } 0( ) ( ) ( )e kTs

k

F s f t f kT

=

= =

L . (3.3)

Poznavanje Laplaceove transformacije signala koji se diskretizuje omoguavasraunavanje kompleksnog lika povorke odbiraka po formuli

F sF p

F pP p

Q pT s pi

n

=

=

=( ) Res( )

e( )

( )

( )( )11 u polovima funkcije . (3.4)

Ostatak funkcije F p( ) u polu pi odreuje se na nain

Res ( ) Res( )

( ) ( )

( )

( )p p p p i

i

ii i

F pP p

p p Q p

P p

Q p= ==

=

1 - ukoliko je pol prost,

odnosno, u sluaju viestrukog pola reda k,

( )Res ( ) Res( )

( ) ( ) ( )! lim

d

d ( ) ( )p p p p i k p p

k

k i

k

i i iF p

P p

p p Q p k p p p F p= =

= = 2

1

1

1

1 .

Kompleksni lik povorke odbiraka se moe dobiti svojevrsnom superpozicijomkompleksnih likova kontinualnog signala f t( ) , koji se diskretizuje, na nain

F sT

F s jn fT

sk

s +

=

= + + =( ) ( ) ( )

1 1

20

2

, . (3.5)

a)

U sluaju diskretizacije signala f t A t t( ) cos( ) h( )= za povorku odbiraka

dobijamo

Kruna uestanost odabiraa kojim se diskretizuje kauzalni signalf t t t( ) cos( ) h( )= 4 10 je 50 rad s .

a) Odrediti kompleksni lik F s

( ) dobijene povorke odbiraka f t

( ) .b) U s-ravni nacrtati konfiguraciju polova i nula funkcije F s( ) .


32/140

24

f t A kT t kTk

=

= ( ) cos( ) ( ) ,

0

a izraz (3.3) moe se prepisati u obliku

[ ]F s AAj kT j kT kTs kT s j kT s j

kk

+

=

=

=

+= ( )

e ee e e( ) ( )

2 2 00

odnosno u zatvorenoj formi pod pretpostavkom da je e ( )


33/140

0 T 2T 3T 25

F sA

s j

s jk

s j

s j

s jk

s j

As

ss

k

s

ss

k

=

=

=

+

+

+

+

+

+

+( ) .2

1

2

21

21

222

12

21

+ +

Vai sledea jednakost S x xx k xk

x

x( ) e

e=

+ + = +

=

2 1 1

12 2122

[20]. Stoga se

prethodni izraz moe prepisati u obliku

F sA

Ss j

Ss j A A

s s

T s j

T s j

T s j

T s j

+

+

= +

+

+ =

+

+ +

+

+

( )e

e

e

e

( )

( )

( )

( )4 2 4

1

11

1

11

odakle se posle sredjivanja dobija konaan izraz (3.7).

b)Kontinualan signal f t A( ) ( , )= =4 10 rad s i povorka odbiraka koja odgovara

brzini odabiranja od s= 50rad s prikazani su na Sl. 3.3a.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-4

-2

0

2

4

f(t),f

*

(t)

t

j

s

j10

-j10

b

-15 -10 -5 0 5

0

j50

j100

j150

-j50

-j100

-j150

j

Komplementarnipojasevi

s-ravan

Komplementarnipojasevi

Nyquistovo p odru~jeu~estanosti

c.

Sl. 3.3 a. Kontinualni signal i povorka odbiraka,b. Spektar kritinih uestanosti kompleksnog lika F s( )

c. Spektar kritinih uestanosti kompleksnog lika F s( )


34/140

26

Polovi kompleksnog lika F s( ) , ( ) (50 10), 0, 1, 2,n sp j n j n n= = = su koreni

jednaine2 (2 )e 2e cos 1 0 odnosno e e , n=0, 1, 2,Ts Ts Ts j n T T + = = .

Nule kompleksnog lika F s( ) ,1

ln cos 9.345 50 , 0, 1, 2,n sz T jn j n nT

= = = su

koreni jednaine e cosTs T= .

3-4.ZADATAK

a) Uoimo da e sraunavanje kompleksnih likova povorki odbiraka dva signala poformuli (3.3) dati isti rezultat ukoliko su vrednosti tih signala u trenucima odabiranja iste. NaSl. 3.6 pokazano je da je upravo to sluaj sa signalima e t e t 1 2( ) ( )i pri periodi

diskretizacije T= 05. s .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

e

1

(t),e

1

*

(t)

t

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

e

2

(t),e

*

2

(t)

t

Sl. 3.6 Kontinualni signali e t e t 1 2( ) ( )i i odgovarajue povorke odbiraka

b) Saglasno izrazu (3.7) kompleksni likovi povorki odbiraka dobijenihdiskretizacijom signala e tn( ) , su

E sT

Tn

Tsn

Tsn

Ts

=

+( )

e cos

e cos e,

1

1 2 2

odnosno, kako je T= 05. s

( )E s nn

Ts

Ts

=

=( )

e

e, , .

1

11 22

Ako je perioda diskretizacije T= 05. s , nai kompleksne likove povorkiodbiraka signala e t t e t t 1 24 8( ) cos( ) ( ) cos( )= = i . Objasniti zato su dobijeni

kompleksni likovi jednaki i to:a) posmatrajui funkcije u vremenskom domenu;b) na osnovu rasporeda polova i nula kompleksnih likova u s-domenu.


35/140


36/140

28

a) Diskretizacijom signala x t( ) po vremenu dobija se povorka odbiraka

x t x kT t kT Tk

=

= ( ) ( ) ( )

0, perioda diskretizacije,

tj.

x t t t t t t

t t t t

= + + + + + + + +

( ) ( . ) ( ) ( . ) ( . ) ( )

( . ) . ( . ) ( ) . ( . )

2 05 4 1 2 15 2 5 2 3

35 05 4 5 5 0 5 55

,

koja je prikazana na Sl. 3.8b.

b) Kompleksni lik povorke odbiraka signala x t( ) dobija se na osnovu (3.3) kao:

X s x kTk

kTs s s s s s s

s s s

=

= = + + + + +

+ + +

( ) ( ) e e e e e e e

. e e . e

. . . .

. .0

0 5 15 2 5 3 3 5

4 5 5 5 5

2 4 2 2

05 05

,

odnosno

( )( )X s s s s s = + + +( ) e e . e e. .0 5 2 4 0 52

2 05 1 .

3-6.ZADATAK

a) Na osnovu (3.3) dobija se

F s akT kTs

k

kT s a

kT s a

T s a

=

+

=

+ += = =


37/140

0 T 2T 3T 29

pa je

F sT s a

T s a T s a

+

+ += +

+

=

( )

e

e e.

( )

( ) ( )

1

2

1

11

1

1

b) F s kTsk

sT

sT

=

= =


38/140

30

Prema relaciji (3.5) frekvencijski spektar F j( ) pored osnovne komponenteF j( ) sadri vie harmonike ili komplementarne komponente F j jn Ts s( ), + = 2 .

a)

( )2 2 22

1 1 1 1 1 1 1( ) 2 2 2

1 1 2 2 1

22

s s s s

s s

F s T s s j s j s j s j

s s

T s s s

= + + + + + + + +

= + + + + + +

Dakle, saglasno Sl. 2.2e i prethodnoj diskusiji, harmonik na uestanosti = 0multipliciran je u beskonano komplementarnih harmonika na uestanostima

12; 24; 36;sn = , kako je to prikazano na Sl. 3.9b.

b) Frekvencijski spektar povorke odbiraka prikazane na Sl. 3.9c sadri saglasnoSl. 2.2h osnovni harmonik na uestanosti = 5 , kao i beskonano komplementarnihharmonika na uestanostima 7; 17; 19; 29; 31; 41;sn = , kako je to

dato na Sl. 3.9d.

0.0 2.5 5.0

0

1

h(t)

t a.

*|F(j)|

-40 -20 0 20 40

10

0

10

5

10

10

10

15

b.

0 1 2 3 4 5

-2

0

2

2sin5t

t c.

|F*(j)|

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

10

0

10

5

10

10

10

15

d.

Sl. 3.9 Signali, povorke odbiraka i frekvencijski spektri


39/140

0 T 2T 3T 31

3-9.ZADATAK

Kako je f fs0 2 1= =Hz i Hz , u izlaznom diskretizovanom signalu prisutne suuestanosti 0 , 0,1, 2,sf kf k = , tj. ( )0,1,2, ,9 Hz 10 Hzf = s odreuje se prema relaciji [3]

( )

= +

1 2 2

ss

smod ,

a u posmatranom sluaju to je = 0 .

Napomena. Budui da je frekvencijski spektar povorke odbiraka, dobijenediskretizacijom u skladu sa teoremom odabiranja, svojevrsna multiplikacijafrekvencijskog spektra kontinualnog signala, proces odabiranja prati pojava tzv. aliasefekta. Naime, uestanost predstavlja alias uestanosti + n s , odnosno, kako je

uobiajeno razmatrati samo pozitivne uestanosti, , , 2 , 2 ,s s s s + +

gde je 0 2


40/140

32

3-10.ZADATAK

Lako se pokazuje, da dva prostoperiodina signala razliitih uestanosti 1 i

2 1= k ks ( - ceo broj) imaju identine odbirke, pa se na osnovu istih ne mogu

meusobno razlikovati. To je upravo sluaj kod signala e t e t 1 2( ) i ( ) (videti Sl. 3.11a) pri

emu je k= 1 , pa je e t1( ) alias signala e t2

( ) .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

t

e

2

(t)

e

1

(t)

a.

Na Sl. 3.11b i Sl. 3.11c date su amplitudnefrekvencijske karakteristike signala

e t e t 1 2 ( ) ( )i , respektivno. Primetimo da su one

identine, to je rezultat alias efekta. Naime, u

amplitudnim frekvencijskim spektrima signalae t e t 1 2

( ) ( )i prisutne su uestanosti ( ) > 0 :

1 1 1 1 1, , , 2 , 2 ,s s s s + + + + ,

odnosno

2 2 2 2 2, , 2 , , 3 ,s s s s + + + + Uoimo da su ovi nizovi uestanosti identini.

-40 -20 0 20 40

10

0

10

15

|E1*(j)|

b.-40 -20 0 20 40

10

-3

10

0

10

15

*|E2(j)|

c.

Sl. 3.11 Alias efekti u vremenskom i frekvencijskom podruju

Posledica alias efekta je teorema odabiranja ( ) s 2 0 koja je samo u sluajusignala e t1( ) ispotovana.

Signali e t t e t t 1 25 15( ) cos ( ) cos= = i diskretizuju se odabiraem ija je

kruna uestanost odabiranja s= 20 rad / s . Navesti uestanosti prisutne u

frekvencijskim spektrima oba diskretizovana signala. Komentarisati dobijenerezultate.

Fenomen aliasa moe se pojasniti u vremenskom domenu.


41/140


42/140


43/140


44/140

36

Amplitudni frekvencijski spektar diskretizovanog signala je rezultat superpozicijefrekvencijskih karakteristika povorki odbiraka dobijenih diskretizacijom osnovnog signala isignala poremeaja koje su prikazane na Sl. 3.15.

Sl. 3.15 Amplitudne frekvencijske karakteristike

3-13.ZADATAK

-3 -2 -1 0 1 2 3

|F(jf)|

0.0

f(f

1

)

1.5Af

1

1

.0Af

0.5Af

1

a.

-3 -2 -1 0 1 2 3

10

0

10

5

10

10

10

15

|sin(5f1)|

f(f1

) b.

Analogni signal sastoji se iz signala pravougaonog talasnog oblikaamplitude 1 i periode od 30 s kome je superponiran sinusoidalni poremeajuestanosti 0 9. Hz , kao to je prikazano na slici . Vri se njegova diskretizacijaodabiraem uestanosti fs= 1 Hz . Komentarisati efekat prefiltracije filtrom

drugog reda ija je realizacija data na slici .

0 15 30 45 60

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

f(t)

t, s


45/140

0 T 2T 3T 37

Kako ne postoji fiziki signal sa strogo odreenom graninom uestanoufrekvencijskog spektra, harmonici viih uestanosti, mada obino znatno potisnuti, zbog aliasefekta mogu se javiti kao niskofrekventni signali. Problem je utoliko ozbiljniji, ukoliko suvisokofrekventne komponente signala periodine. Reenje problema je analogna filtracija

signala pre diskretizacije, kako bi se uklonile sve komponente signala sa frekvencijama iznadpolovine frekvencije odabiranja. Ovakav analogni prefiltar naziva se antialiasing filtar.Napomenimo, da svi analogni senzori poseduju izvesne filtarske sposobnosti.

Najjednostavniji je analogni RC filtar frekvencijske funkcije prenosa

G jj

RCf

f( ) , . =

+ =

1

1

Ako zahtevamo da prefiltar unosi slabljenje signala najmanje sa faktorom 10 na poloviniuestanosti odabiranja, vremenska konstanta RC filtra mora da iznosi bar

s f f T2

100 3182

= . .

Uoimo, meutim, da primenjeni filtar unosi slabljenje i korisnog signala. Ako je

s= 10 0 , gde je 0 granina u

estanost frekvencijskog spektra signala, tada je slabljenje

G j

f

( )

0

02 2

1

1

1

23=

+= =

dB

i ono je svakako manje za signale nie uestanosti.U primeni su kompleksniji filtri vieg reda sa boljim filtarskim karakteristikama koji

se dobijaju kaskadnim povezivanjem sekcija prvog i drugog reda. Koristi se Besselov,Butterworthov kao i tzv. ITAE (Integral Time Apsolute Error) filtar [3].

U razmatranom primeru je Nyquistova uestanost 0.5 Hz, pa poremeaj nauestanosti 0.9 Hz ima osnovni alias od 0.1 Hz, to znai da je znaajno zastupljen udiskretizovanom signalu, kako je to prikazano na Sl. 3.16c.

Butterworthov filtar drugog reda, koji je inae uobiajeni antialiasing filtar, efikasnouklanja sve komponente signala na frekvencijama iznad Nyquistove, kako je to prikazano naSl. 3.16b i d. Uoavamo da je amplituda poremeaja znaajno redukovana.

Funkcija prenosa G s E s E si( ) ( ) ( )= 0 filtra prikazanog na Sl. 3.17 sraunava se u

obliku 2, Glava XIII - Analogna raunska tehnika:

G sE

E

Z

Z Z Z

Z Z

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

ZZ

fi

( ) ,= = + + + +

0 4

1 3 4

2 5

3 4

5

1 3

5

1 4

51

a za zadate vrednosti impedansi postaje


46/140

38

( )

( )G s

RC

s s RC RCf( ) .=

+ +

1

2 1

2

2 2

0 5 10 15 20 25 30

1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

f(t)

t, s a.

0 5 10 15 20 25 30

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

f

f

(t)

t, s b.

0 5 10 15 20 25 30

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

f

*

(t)

t, s c.

0 5 10 15 20 25 30

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

f

f

*

(t)

t, s d.

Sl. 3.16 Rezultat primene prefiltraa. Signal sa sinusoidalnim poremeajem;b.Filtrirani signal;c.Diskretizovani signal poda.d. Diskretizovani signal podb.

Sl. 3.17 Aktivni filtar drugog reda

Z Z Z R

ZCs

ZCs

1 3 4

2 52

33

2

= = =

= =

,

,


47/140

0 T 2T 3T 39

Prefiltar je, dakle, Buterworthov filtar drugog reda funkcije prenosa

G ss s RC

f

f f

f( ) , , .= + + = =

2

2 22

1 1

2

0.1 1 10

0.01

0.1

1

|G(j)|

b

s

b

f

0.1 1 10

-200

-150

-100

-50

0

argG(j)

Sl. 3.18 Dijagrami slabljenja i faze Butterworthovog filtra drugog reda

Ako je 0 granina u

estanost spektra signala koji se diskretizuje, filtar na tojuestanosti unosi fazno kanjenje od

=

arctg .2 20

202

00

f

f ff ako je

Slabljenje filtra na Nyquistovoj uestanosti je, meutim:

nG j s

s

f

s

f

= = +

1

21

2 2

4 2

( ).

Eliminacijom f iz prethodne dve jednaine dobija se

sn

= 04

. (3.9)

Prema tome, za ( ) = 01 57. .rad o i n= 10 , na osnovu (3.9) zakljuuje se da krunauestanost odabiranja treba da je 90 puta vea od granine uestanosti spektra signala koji sediskretizje. Napomenimo, da bi za manje brzine odabiranja, koje bi bile i realnije, trebalo uzetiu razmatranje i dinamiku samog prefiltra.

U posmatranom sluaju je s sf= =2 2 rad s , pa se prelomna uestanost filtra

bira kao f s= = 2 10 0 9935 1. rad s .


48/140

40

3-14.ZADATAK

Nedostatak analize signala u diskretnom domenu je upravo injenica da se osignalu sudi samo na osnovu njegovih vrednosti u trenucima odabiranja. ak i u sluajusignala ogranienog frekvencijskog spektra od T rad s , to garantuje korektnu

diskretizaciju, signal moe da poseduje znaajne oscilacije ija je vrednost u trenucimaodabiranja jednaka nuli. To je poznati fenomen tzv.skrivenih (hidden) oscilacija [3], [12].

U razmatranom primeru je r t t( ) h( )= . Odziv sistema moe se nai i primenomprogramskog paketa CC[17]. kako je to prikazano u daljem tekstu.

Na Sl. 3.19 je prikazano kako se na osnovu povorke odbiraka c t( ) oscilacije uodzivu c t( ) i ne nasluuju. Naravno, sve ovo je rezultat alias efekta primenjene diskretizacijesignala. Na Sl. 3.20 dati su logaritamski dijagrami slabljenja i faze za funkciju prenosaG j( ) . Uoimo da perioda diskretizacije T nije odabrana u skladu sa teoremom odabiranja.

Od interesa je ukazati na prisustvo oscilatorne komponente u kontinualnom sistemuijoj uestanosti upravo odgovara usvojena perioda odabiranja.

Isto tako, saglasno izrazu (3.4) dobija se kompleksni lik povorke odbiraka izlaznogsignala c t( ) u obliku

( )( )

( )( ) ( ) ( )C s

Ts Ts Ts

Ts Ts Ts

=

+

( ). e e . e .

e e . e . ..

0877 0 949 0 961

1 0135 0 961 1346 102 6 2

Oigledno je prisutno skraivanje polova i nula u funkciji C s( ) , to ukazuje na mogunostpojavljivanja skrivenih oscilacija, a isto tako upuuje na nain da se, proverom ouvanjaopservabilnosti sistema pri diskretizaciji, ista mogunost eliminie.

Razmatra se proces opisan funkcijom prenosa

( )G s

C s

R s s s( )

( )

( ) ..= =

+ +

+ +

1

1 0 022 2

Izlaz procesa diskretizuje se sa periodom T. Odrediti normalni jedini

niodskoni odziv posmatranog procesa. Na osnovu vrednosti odziva u trenucimadiskretizacije , 0,1, 2,kT k= , za T= 2 s , komentarisati uoeni fenomen.


49/140

0 T 2T 3T 41

0 4 8 12 16 20

0.0

0.5

1.0

1.5

c(t),c

*

(t)

t, s Sl. 3.19Normalni jedinini odskoni odziv procesa

i povorka odbiraka dobijena diskretizacijom sa T= 2 s

0.1 1 10

-20

-10

0

10

20

30

|G(j)|, dB

(log)

argG(j

)

0.1 1 10

-200

-150

-100

-50

0

(log)

Sl. 3.20 Logaritamski dijagrami slabljenja i faze

funkcije prenosa G j( )


50/140


51/140

0 T 2T 3T 43

a da bismo proverili da li u funkciji C s( ) pri nekoj vrednosti periode odabiranja T dolazido skraivanja polova i nula istim faktorom, podelimo imenilac drugog sabirka u prethodnomizrazu brojiocem. Na osnovu rezultata deljenja vidi se da je skraivanje mogue ukoliko je

[ ]{ }e cos( . ) . sin( . ) ;. + =0 2 21 0 995 0 9045 0 995 0T T T

ako usvojimo 0.995 2 , 1, 2, ,T m m= = prethodna jednakost jeste ispunjena.

Dakle, oscilacije u izlaznom signalu ne mogu se sagledati u trenucima odabiranja akoje 6.3148 , 1, 2, .T m m= = Slika 3.21 potvruje ovaj rezultat.

0 10 20 30 40 50 60

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

c(t)

t, s

Sl. 3.21Simulacioni blok dijagram, normalni

jedinini odskoni odziv procesa

i povorka odbiraka0 10 20 30 40 50 60

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

c

*

(t)

t, s


52/140

44

P3-1. Nai kompleksni lik E s( ) signala datih sa:

e t t Ta t T( ) e h( )=

2

2

( )( )E s

s s( )=

+ +

1

1 2

( )( )E s

s

s s( )=

+ +1 2

( )( )

E ss s

Ts

( )e

=+ +

1 2

( )

( )( )E s

s s

T s

( )e

=+ +

2

1 2

( ) ( )E s

s

s s

( )=+ +

2

21 2

E s

s

s s( )=

+

+ +

1

2 262

( )( )E s

s

s s( )=

+

+

2

1 1

( )( )( )E s

s

s s

Ts

( )

e

=

+

+

2

1 1

2

P3-2. Nai kompleksni lik E s( ) ako je

( )( )( )

E s

s

s sT( )

. e

., .

. s

= +

+ =

1 05 1

05 105

0 52

2s .

P3-3. Uporediti spektre kritinih uestanosti (polova i nula) kompleksnih likova

E s E s( ) ( )i u s - ravni za svaki sluaj iz problema 3.1. Koji se zakljuak izvodi?

P3-4. Kompleksni lik vremenske funkcije e t( ) je

( )

( )E s

s

s s s

( )= +

+ +

10 2

2 22.

Na osnovu teoreme odabiranja odrediti maksimalnu vrednost periode diskretizacije koja e

garantovati da je informacija sadrana u signalu e t( ) verno sauvana u dobijenoj povorci

odbiraka e t( ) .


53/140


54/140


55/140

4-1.ZADATAK

Neka se kontinualni signal f t F j( ) ( ) koji ne sadri harmonike van podrujauestanosti ( ) 0 0, diskretizuje odabiraem krune uestanosti s 2 0 tako da se dobija

povorka odbiraka f t F j ( ) ( ) . Saglasno relaciji (3.5) je

F jTF j s

s( )

( )

=

>

2

02

.

Polazei od definicionog izraza za inverznu Fourierovu transformaciju (2.2) i

zamenom F j( ) prema prethodnoj relaciji kao i F j( ) prema (3.3), dobija se:

Pokazati da se kontinualni signal f t( ) moe rekonstruisati na osnovu

povorke njegovih vrednosti ( ), 0, 1, 2,f kT k= tzv. Shannonovom

rekonstrukcijom, tj. po formuli (3.1).


56/140

48

f t F jT

F j f kTj t j t

s

j t jk T

ks

s

s

s

( ) ( ) e d ( ) e d e ( ) e d= = =

=

1

2 2

1

2

2

2

2

pa je

f t f kT f kT

j t kTs k

j t kT

s k

j t kT

s

s

s

s

( ) ( ) e d ( )e

( )

( )( )

= =

=

=

1 1

2

2

2

2

.

Otuda je

[ ]f t f kT

t kT

t kT T k

s

s

( ) ( )sin ( )

( )=

=

=

2

2

2 , s . (4.1)

Dobijenom formulom definie se procedura koja je inverzna procesu odabiranja, akoja se moe smatrati linearnim operatorom pri emu funkcija [ ]sinc ( )s t kT 2 predstavljainterpolacionu funkciju. Uoimo da se ne radi o kauzalnom operatoru, poto se vrednost f u

trenutku t sraunava na osnovu kako prethodnih { }f kT k t T( ): , tako i narednih odbiraka

{ }f kT k t T( ): > , gde je k- ceo broj. Ovo iskljuuje primenu Shannonove rekonstrukcije u

upravljakim aplikacijama, dok je sa stanovita komunikacija ona ipak prihvatljiva.Grafika interpretacija relacije (3.1) data je na narednim slikama.Radi jednostavnosti, posmatra se kauzalni signal f t( ) koji se diskretizuje sa

periodom T= 2.5 s . Signali f t( ) i deo povorke njegovih vrednosti prikazani su na Sl. 4.1.

Prema relaciji (4.1) svaki odbirak je pomnoen odgovarajuom interpolacionomsinc funkcijom, centriranom u odnosu na odbirak, kako je to prikazano na Sl. 4.2 zak= 0 1 2 3 4, , , , . Suma ovih krivih daje funkciju f tr( ) kojom se rekonstruie originalni signal

f t( ) . Slaganje izmedju ova dva signala zavisi od izabrane periode diskretizacije. Na Sl. 4.3

prikazani su rezultati Shannonove rekonstrukcije za razliite periode diskretizacije. Uoava se,da je pri 25 puta broj diskretizaciji (Sl. 4.3d) od prvobitno usvojene (Sl. 4.3a), kvalitetrekonstrukcije zadovoljavajui.

0 2 4 6 8 10

.2

1.4

1.6

1.8

2.0

t)

t

a.

0 5 10

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

f

*

t)

t

b.

Sl. 4.1 Signali f t f t( ) ( )i


57/140

49

0 5 10

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

k=0

k=1

k=2

k=3

k=4

f(kT)sinc[0.4(t-kT)]

t Sl. 4.2 Neke interpolacione funkcije

0 5 10

.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2 T=2.5 s

f t)

f

r

t)

f t)

t a.

0 5 10

.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

T=0.5 s

f t)

f

r

t)

f t)

t b.

0 5 10

.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

T=0.2 s

f t)

f

r

t)

f t)

t c.

0 5 10

.2

1.4

1.6

1.8

2.0

T=0.1 s

f t)

f

r

t)

f t)

t d.

Sl. 4.3 Neki rezultati Shannonove rekonstrukcije signala f t( )


58/140

50

Dakle, ureaj za rekonstrukciju signala (Sl. 4.4) ija je praktina realizacijamogua, treba na osnovu povorke brojnih vrednosti 1 1(0), ( ), , ( ), ( ), ( ),k k k k f f t f t f t f t +

da rekonstruie originalni signal. Najee korieni metod pri rekonstrukciji signala jepolinomna ekstrapolacija. Otuda je procena signala f t( ) u intervalu t t tk k < +1 mogua

polazei od razvoja funkcije u Taylorov red u posmatranom intervalu(2)

(1) 2( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ,2!

kk k k k k

f tf t f t f t t t t t= + + + (4.2)

gde je sa ,2,1),()( =itf ki oznaen i-ti izvod od f t( ) u t tk= ; dakle,

f t f t t t tk k k( ) ( ), < +1 .

Kako je signal f t( ) nepoznat, njegovi izvodi mogu se aproksimirati redom na nain:

{ }

( ){ }

(1)1

1

(2)1 22

1

1( ) ( ) ( )

1( ) ( ) 2 ( ) ( )

k k kk k

k k k k

k k

f t f t f tt t

f t f t f t f tt t

+

pa je za aproksimaciju izvoda f tn k( ) ( ) potrebno 1+n odbiraka posmatranog signala.

Sl. 4.4 Rekonstrukcija signala f t( )

Najjednostavnija kauzalna rekonstrukcija analognog signala f t( ) na osnovu

povorke odbiraka definisana je prvim lanom Taylorovog reda (4.2)

1( ) ( ), , 0,1,2, .h k k k f t f t t t t k+= < = (4.3)

Dakle, rekonstruisani analigni signal je u delovima konstantna funkcija, neprekidna sa desnestrane i jednaka diskretizovanom signalu u trenucima odabiranja. Kolo koje na svom izlazugenerie stepenasti signal konstantne vrednosti u svakom od vremenskih intervala naziva sekolom zadrke nultog reda.

Kauzalna polinomna ekstrapolacija prvog reda moe se izraziti pomou prva dvalana Taylorovog reda (4.2)

1 11

( ) ( ) ( ) ( ) , , 0,1,2, . (4.4)kh k k k k k k k

t tf t f t f t f t t t t k

t t +

= + < =

Kolo zadrke prvog redaje ureaj za rekonstrukciju signala koji na svom izlazu daje ovakav udelovima linearan signal sa nagibom koji je u intervalu t t tk k < +1 odreen vrednostima

odbiraka f t f tk k( ) ( )1 i


59/140

51

Uoimo da je izloeni metod rekonstrukcije primenljiv i u sluaju neperiodinogkvantovanja signala po vremenu, to nije bio sluaj sa Shannonovom rekonstrukcijom.

Nadalje emo razmatrati proces rekonstrukcije signala u sluajevima periodinogodabiranja t kT k k= =, , , ,...,0 1 2 T - perioda odabiranja .

4-2.ZADATAK

a) Kolo odabiranja i zadrke nultog reda na svom izlazu daje signal koji imakonstantne vrednosti izmedju dva sukcesivna trenutka odabiranja. Dakle,

[ ] [ ][ ] .)3h()2h()2(

)2h()h()()h()h()0()(0++

+=

TtTtTf

TtTtTfTttftfh

Laplaceova transformacija signala f th0( ) je

2 2 3

0

2

0

1 e e e e e ( ) (0) ( ) (2 )

1 e (0) ( )e (2 )e

1 e ( ) e

Ts Ts Ts Ts Ts

h

TsTs Ts

kTs

k

F s f f T f Ts s s s s s

f f T f Ts

f kT

=

= + + +

= + + +

=

1 e( ) .

Ts Ts

F ss s

=

(4.5)

Kako drugi lan u proizvodu (4.5) ne zavisi od ulaznog signala, on moe predstavljati kolozadrke nultog reda; dakle, funkcija prenosa kola zadrke nultog reda je po definiciji

Na slici prikazano je kolo odabiranja i zadrke nultog reda. Perioda

odabiranja je Ts .a) Pokazati da se razmatrano kolo moe opisati blok dijagramom datim

na slici .b) Nai impulsni odziv kola zadrke nultog reda.

c) Odrediti frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda.

d) Kako se kolo odabiranja i zadrke nultog reda moe fiziki

realizovati?


60/140

52

G sF s

F s sh

hTs

00 1( )( )

( )

e= =

, (4.6)

pa se kolo odabiranja i zadrke moe predstaviti blok dijagramom prikazanim na slici.

b)Odziv kola zadrke nultog reda na jedininu impulsnu pobudu u trenutku t= 0 jeg t t t Th0( ) h( ) h( );= (4.7)

Laplaceova tarnsformacija normalnog impulsnog odziva (poetni uslovi jednaki su nuli)g th0( ) je, po definiciji, funkcija prenosa kola zadrke nultog reda

{ }0 01 e

( ) ( ) .Ts

h hG s g t s

= =L

Koristei programske pakete VisSimi MATLABsa SIMULINKomsnimljeni sunormalni impulsni odzivi kola zadrke nultog reda ( T= 1 s ) i prikazani na narednim slikama.Odzivi na Sl. 4.4 i 4.5 verifikuju poslednju relaciju.

Sl. 4.4 Snimanje normalnog impulsnog odziva kola zadrke nultog redaprimenom programskog paketaVisSim

c) Frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda dobijamo na nain

( )G j G s

jTh h s j

j T

s

s

s

j

s

s0 0

1 2 2( ) ( )

e sine

= =

= =

=

, .


61/140

53

1

PulseGenerator

+-

Zero-OrderHold1

0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1

t, s

g

h0(t)

Sl. 4.5 Snimanje normalnog impulsnog odziva kola zadrke nultog reda

primenom programskog paketaMATLABsa SIMULINKom

Frekvencijske karakteristike (amplitudna i fazna) kola zadrke nultog reda date su sa

( )G jh

s

s

s0

2( )

sin

= ,

(4.8)

arg ( ) ;sin( )sin( )G jh s

s

s0

0 00

= + =

< .

Na Sl. 4.6 prikazane su frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda (T= 0 2. s ).

0 20 40 60 80 100

.00

0.05

0.10

0.15

0.20

s

|Gh0(j)|

argG

h0

j

)

0 20 40 60 80 100

200

-150

-100

-50

0

s

Sl. 4.6 Frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda

d) Praktina realizacija kola odabiranjai zadrke nultog reda prikazana je naSl. 4.7. Kada je prekida zatvoren,kondenzator se puni do ulaznog napona.Napon na kondenzatoru nakon otvaranjaprekidaa ne bi trebalo da se promeni donjegovog narednog zatvaranja.

Sl. 4.7 Realizacija kola zadrke nultog reda


62/140


63/140

55

Laboratorijski model odabiranja irekonstrukcije signala realizovan je pomoustandardnih linearnih i digitalnih integrisanihkola [22]. Upotrebljeno je komercijalnointegrisano kolo odabiranja i zadrke AD582[23]. U konfiguraciji primenjenog kola

odabiranja i zadrke kondenzator zadrkeCH je element povratne sprege.

Izlaz iz tajmera 555 je logiki signalkoji se kao upravljaki signal vodi na logiki ulaz kola odabiranja i zadrke. Nivo ovog signaladefinie reim rada primenjenog kola - odabiranje ili zadrka. Trajanje oba reima rada kolaAD582 mogue je podeavati kontinualnom promenom otpornosti (R1 ) i diskretnom

promenom kapacitivnosti ( C1 ili C2 ) parametara odgovarajue RC mree na ulazu tajmera

555, saglasno relacijama:

T R R C

T R C1 1 2

2 2

11

0 69

= +=

. ( )

. .

Promenom kapacitivnosti kondenzatora zadrke ( C CH1 H2ili ) mogue je uticati natanost rada primenjenog kola; u sluaju manjih vrednosti kapacitivnosti mogu se oekivativea izoblienja u izlaznom signalu, tj. uoavaju se eksponencijalna slabljenja impulsa u tokuperiode diskretizacije.

Uoimo da impulsno-modulisani signal f t( ) nije dostupan merenju u fiziki

realizovanom modelu procesa odabiranja i zadrke (slika ), ali se javlja pri matematikomtretiranju problema odabiranja i zadrke (videti zadatak 4-2. slika ).

Snimljene frekvencijske karakteristike prikazane na slici odgovarajufrekvencijskim karakteristikama kola zadrke nultog reda u sluaju periode diskretizacijeT= 00002. s . Uoavaju se poremeaji u vidu uskih impulsa na uestanostima

2, 1, 2,skf k= . Pojava ovih impulsa zasluuje posebnu panju.

Poznato je, da se proces odabiranja moe tretirati kao oblik impulsnemodulacije gde je nosei signal povorka jedininih impulsa

i t t kT k

( ) ( ) ,= =

a f t( ) je moduliui signal [1]. Periodini signal i t( ) moe se razviti u Fourierov red na

nain

i t A AT

i t tT T

kjk t

kk

jk t

T

T

ss s( ) e , ( ) e d , .= = = =

=

1 1 2

2

2

Dakle,


64/140

56

( ) ( )

i tT T

T Tk t

jk t

k

jk t

k

jk t

k

jk t jk t

ks

k

s s s

s s

( ) e e e

e e cos .

= = + +

= + +

= +

=

=

=

=

=

1 11

11

11 2

1

1

1 1

Ako na ulaz kola odabiranja i zadrke dovedemo prostoperiodian signal krune uestanosti

i faze ( ) [ ]f t t j t( ) sin e ,( )= + = + I m (4.9)

povorka odbiraka na izlazu idealnog odabiraa data je sa

( )

[ ]

f tT

t k t t

Tt k t t k t t

sk

s sk

=

=

= + + +

= + + + +

( ) sin( ) cos sin( )

sin( ) sin( ) sin( ) .

12

11

1

(4.10)

Dakle, signal f t( ) sadri osnovnu komponentu na uestanosti ulaznog signala .

Ona je pomnoena sa 1 T to predstavlja stacionarno pojaanje odabiraa. Signal sadri

takoe i komplementarne komponente koje odgovaraju uestanostima k s (uporediti sa

alias efektom razmatranim u prethodnoj glavi). Izlazni signal kola odabiranja i zadrke dobijase linearnim filtriranjem signala f t( ) [1].

Za k s s2 2, - je Nyquistova uestanost, osnovna komponenta izlaza je*

( )0 0

1( ) ( )e ;j th hf t Im G j

T

+ =

(4.11)

za = k s 2 dolazi do superpozicije harmonika na uestanosti i k s ;

tako se za k= 1 dobija komponenta

{ }

( ){ }

0 ( ) ( )0 0 0

j2 ( ) ( )2

0 0

1( ) ( )e ( )e

1 1

1 e ( )e 2e sin ( )e .

j t j th h h

j j t j t

h h

f t Im G j G jT

Im G j Im G jT T

+

+ +

=

= =

(4.12)Dakle, prenos osnovne uestanosti okarakterisan je sa

000 ( )

20

1( ) 2

( ) 1,2, .2

( ) e sin 2

h s

h j

h s

G j kT

G j k

G j kT

= = =

(4.13)

*Kada je linearan, stacionaran sistem sa koncentrisanim parametrima pobuen prostoperiodinimsignalom, njegov izlaz je takoe prostoperiodian signal uestanosti kao i ulazni signal, ali razliite

amplitude i faze [2].


65/140

57

Za k s 2 prenos osnovne komponente signala odreen je funkcijom prenosa

kola; uoimo, meutim, da on na Nyquistovoj uestanosti s 2 kritino zavisi od - tj. od

same sinhronizacije ulaznog prostoperiodinog signala u odnosu na trenutke diskretizacije.Svakako da, zbog prisutne diskretizacije u kolu, postoje komponente izlaznog signala i nadrugim uestanostima. U praktinim realizacijama posebno je vano efikasno izvritiodgovarajue filtriranje viih harmonika; tavie, ak i u sluaju savrenog filtriranja, prisutnisu pomenuti problemi na Nyquistovoj uestanosti.

Pojava impulsa na frekvencijskim karakteristikama na slici je u saglasnosti sarazmatranim fenomenom prenosa signala koji je iskazan relacijama (4.9) i (4.13), potoodgovarajua sinhronizacija izmeu poetka procesa odabiranja u modelu i snimanjafrekvencijskih karakteristika nije ostvarena.

Uoava se, takoe, da je snimljena karakteristika faze prekidna funkcija za vrednosti

argumenta , 1, 2,sf kf k= = i da lei unutar opsega ( 0 150, o).

Od interesa je bilo snimiti i amplitudni spektar izlaznog signala kada je ulazni signalrealizovanog modela prostoperiodina funkcija vremena. Na slici dati su amplitudni spektriulaznog i izlaznog signala. Poto se eksperimentisalo sa nedovoljno savrenim izvoromprostoperiodinog signala, u amplitudnom spektru ulaznog signala su, pored osnovnogharmonika na f = 1 kHz , prisutni i oslabljeni vii harmonici. Amplitudni spektar izlaznog

signala sadri pored osnovnog harmonika na uestanosti f = 1 kHz i vie harmonike na

uestanostima , 1, 2,skf f k = pri emu je f kHzs= 5 , to jasno ilustruje multiplikaciju

spektra ulaznog signala du frekvencijske ose kao posledicu diskretizacije izvedene u skladusa Shannonovom teoremom odabiranja.

4-4.ZADATAK

a)Na Sl. 4.8 prikazani su signali na izlazu kola odabiranja i zadrke nultog reda kojisu dobijeni diskretizacijom signala

( )2 2( ) e sa periodom s .

sj t

s

e t Re T

+ = =

Njihova amplituda oigledno zavisi od faznog ugla = 0 2 4, i rad .

Pretpostavimo da se signal

e t ts( ) cos= +

2

dovodi na idealni odabirai kolo zadrke nultog reda.

a) Nacrtati vremenski promenljivi signal koji se dobija na izlazu iz kola

zadrke nultog reda i pokazati da je njegova amplituda funkcija faznog ugla .b) Razvojem signala u Fourierov red pokazati da je komponenta signala

na izlazu kola zadrke na uestanosti = s 2 funkcija faznog ugla .


66/140

58

0 2 4

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

=0

=2

=4

e(t)=cos[t+]

t, s 0 2 4

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

=0

e

h0

t), T=1 s

e t)

t, s

0 2 4

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

=2 rad

e

h0

t), T=1 s

e t)

t, s

0 2 4

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

=4 rad

e

h0

t), T=1 s

e t)

t, s

Sl. 4.8 Kontinualni signali na ulazu i izlazu kola odabiranja i zadrke nultog reda

b) Slino kao i u prethodnom zadatku, za povorku odbiraka na izlazu idealnogodabiraa dobijamo:

( )e tT

t k t t

Tt k t t k t t

ss

k

s

ss

ss

s

k

=

=

= + + +

= + + + + +

( ) cos( ) cos cos( )

cos( ) cos( ) cos( ) .

1

22

2

12 2 2

1

1

Uoimo da na uestanosti s 2 ( k= 1 ) dolazi do superpozicije harmonika tako da se dobija

komponenta signala

( ) ( )0 2 20 0 0

( )2

0

1( ) ( ) e ( )e

12e cos ( )e ,

s s

s

j t j t

h h h

j tj

h

e t Re G j G jT

Re G jT

+

+

= +

=

ija je amplituda funkcija faznog ugla .


67/140

59

4-5.ZADATAK

a)Odziv razmatranog kola zadrke na jedininu impulsnu pobudu u trenutku t= 0 ima oblik prikazan na Sl. 4.9, gde je

g t t t Th( ) h( ) h( ).= 2

0 100 2000

1

t

jedini~ni impuls

0 T/2

0 100 2000

1

t

g

h

t)

0 T/2

Sl. 4.9 Jedinina impulsna pobuda i normalni

impulsni odziv kola zadrke

Dakle, funkcija prenosa kola zadrke je

{ }21 e

( ) ( ) .

Ts

h hG s g t s

= =L

b) Frekvencijske karakteristike kola zadrke dobijamo na nain

( )G j G s

j

T T

Th h s j

j Tj T( ) ( )

e sine

= =

=

=

1

2

4

4

24 ;

frekvencijske karakteristike kola zadrke (amplitudna i fazna) date su izrazima

Na slici je prikazan izlaz iz kola zadrke koje slui za rekonstrukciju

diskretizovanog signala. U toku prve polovine periode odabiranja izlaz zadrava

vrednost ulaznog signala u trenutku odabiranja, dok se u toku druge polovine

periode odabiranja vraa na nulu.

a) Odrediti funkciju prenosa ovog kola zadrke.b) Nacrtati frekvencijske karakteristike razmatranog kola.c) Uporediti frekvencijske karakteristike kola sa karakteristikama kola

zadrke nultog reda i izvesti zakljuak pomou kojeg kola je rekonstrukcija

podataka uspenija.

0 200 400 600 800

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

analogni signal

3T 7T/2 ...

T/2 T 3T/2 2T 5T/2

izlaz iz kola

zadr{ke


68/140

60

( )G jh

s

s

ss( )

sin

=

2

2 , =

2

T

arg ( ) ;sin( )sin( )

G jhs

s

s

= + =

Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

Text of Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

Zbirka Resenih Zadataka Iz Verovatnoce i Matematicke Statistike

192080418 Mathematiskop 3 Zbirka Resenih Zadataka Za Prvi Razred Srednjih Skola Vladimir Stojanovic

3 mathematiskop 3 -zbirka resenih zadataka za prvi razred srednjih skola - vladimir stojanovic.pdf

Skripta Resenih Zadataka Fizicki Parametri

44708260 Zbirka Resenih Zadataka Iz Elektrotehnike

148601782 Zbirka Resenih Ispitnih Zadataka Iz Betonskih Konstrukcija (1)

Telekomunikaciona Merenja 1 - Zbirka Resenih Zadataka

Mehanika I [statika] - Skripta Resenih Zadataka

78930995 Zbirka Resenih Zadataka Iz Mehanike Statika Kinematika Dinamika

Zbirka Resenih Zadataka Iz Matematike I - T.G, J.P., S.L., N.S., T.L., Lj.T. 2009

Zbirka Resenih Zadataka Iz Algebre Za 2. Raz. Gimnazije - Vene

Buka i Vibracije (Master) - Skripta Resenih Zadataka

Operativni Sistemi Zbirka Resenih Zadataka

Numericka Analiza - Zbirka Resenih Zadataka

Skripta Resenih Zadataka Iz Mehanike i Otpornosti Materijala

A.Skejic - 100 Resenih Ispitnih Zadataka Iz Mehanike Tla

Milica B. Naumovi ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA I deo: …starisajt.elfak.ni.ac.rs/milica_naumovic/ZBIRKA RESENIH ZADATAKA IZ... · pripremi ispita iz predmeta Teorija automatskog upravljanja

Stabilnost i Dinamika Konstrukcija - Zbirka Resenih Zadataka - r. Salatic, b. Coric, s. Zivanovic 2001 Beograd

Maretic Zbirka Resenih Zadataka Iz Otpornosti Materijala Ra

Zbirka resenih zadataka iz algebre (prvi deo) - Akademska misao 2004

Zbirka Resenih Zadataka Iz Matematike 4 Mr Vene T Bogoslavov

146052018 TM Skripta Resenih Zadataka

3 Mathematiskop 3 -Zbirka Resenih Zadataka Za Prvi Razred Srednjih Skola - Vladimir Stojanovic

Zbirka Resenih Zadataka Iz Mate Ma Tike SRAGA

TM Skripta Resenih Zadataka

148601782 Zbirka Resenih Ispitnih Zadataka Iz Betonskih Konstrukcija

Zbirka resenih zadataka iz statike

H.Bozilovic G.Bozilovic B.Notaros Zbirka resenih ispitnih zadataka iz OET 2, elektromagnetizam

Zbirka Resenih Ispitnih Zadataka Iz El 2010

Matematika 3 - Zbirka Resenih Zadataka Za III Razred Gimnazija i Tehnickih Skola (Krug)

Documents

Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

Text of Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic