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Unidad III Generación de variables aleatorias. Introducción Handbook of Simulation: Principles, Methodology, Advances, Applications, and Practice. Edited by J. Banks Copyright © 1998 John Wiley & Sons, Inc. Una vez aceptadas las pruebas de media, varianza, uniformidad e independencia sobre los números aleatorios con distribución uniforme entre 0 y 1, se puede hacer uso de esos números para generar variables aleatorias con otro tipo de distribución. VARIABLE. Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la duración de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante. VARIABLE ALEATORIA: Podemos decir que las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico en la realidad. Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde a un resultado de un experimento aleatorio. Algunos ejemplos son: número de caras obtenidas al lanzar seis veces una moneda, número de llamadas que recibe un teléfono durante una hora, tiempo de fallo de una componente electrónica, etc. Para entender mejor lo anterior, consideremos el numero de clientes que llegan a un banco cada hora, este depende de la hora del día, el día de la semana y otros factores. Por lo general, la afluencia de clientes es mayor al mediodía que a las primeras horas del día; la demanda de servicio es mayor el inicio y el fin de semana que el resto de los días; habrá más clientes un día de pago que un día normal, etc. Dadas las características de las variables aleatorias, estas deben cumplir las siguientes reglas de distribución de probabilidad: La suma de las probabilidades asociadas todos los valores posibles de la variable aleatoria X es igual a uno.

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Generación de Variables Aleatorias

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Generacin de variables aleatorias

Unidad III

Generacin de variables aleatorias.

IntroduccinHandbook of Simulation: Principles, Methodology, Advances, Applications, and Practice. Edited by J. Banks Copyright 1998 John Wiley & Sons, Inc.

Una vez aceptadas las pruebas de media, varianza, uniformidad e independencia sobre los nmeros aleatorios con distribucin uniforme entre 0 y 1, se puede hacer uso de esos nmeros para generar variables aleatorias con otro tipo de distribucin.

VARIABLE. Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la duracin de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante.

VARIABLE ALEATORIA: Podemos decir que las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilstico en la realidad. Una variable aleatoria es un valor numrico que corresponde a un resultado de un experimento aleatorio. Algunos ejemplos son: nmero de caras obtenidas al lanzar seis veces una moneda, nmero de llamadas que recibe un telfono durante una hora, tiempo de fallo de una componente electrnica, etc. Para entender mejor lo anterior, consideremos el numero de clientes que llegan a un banco cada hora, este depende de la hora del da, el da de la semana y otros factores. Por lo general, la afluencia de clientes es mayor al medioda que a las primeras horas del da; la demanda de servicio es mayor el inicio y el fin de semana que el resto de los das; habr ms clientes un da de pago que un da normal, etc. Dadas las caractersticas de las variables aleatorias, estas deben cumplir las siguientes reglas de distribucin de probabilidad: La suma de las probabilidades asociadas todos los valores posibles de la variable aleatoria X es igual a uno. La probabilidad de que un posible valor de la variable X se presente siempre es mayor o igual a cero.

El valor esperado de la distribucin de la variable aleatoria es la media de la misma, la cual a su vez estima la verdadera media de la poblacin.

Si la distribucin de probabilidad asociada a una variable aleatoria esta definida por ms de un parmetro, estos parmetros pueden obtenerse mediante un estimador no sesgado. Por ejemplo, la varianza de la poblacin 2 puede ser estimada usando la varianza de una muestra s2. De la misma manera, la desviacin estndar de la poblacin, , puede estimarse mediante la desviacin estndar de una muestra s.

3.1 Variables aleatorias discretas.

Una variable aleatoria discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numricas que resultan de un proceso de conteo.

La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar. El nmero de guilas en cinco lanzamientos de una moneda. Nmero de circuitos en una computadora. El nmero de vehculos vendidos en un da, en un lote de autosEste tipo de variables deben cumplir con los parmetros siguientes:

Algunas distribuciones discretas de probabilidad son la uniforme discreta, la de Bernoulli, la hipergeomtrica, la de Poisson y la binomial. Por ejemplo, si el propsito al analizar un muestreo de calidad consiste en decidir si la pieza bajo inspeccin es buena o no, estamos realizando un experimento con dos posibles valores y por lo tanto se puede asociar a una distribucin de Bernoulli. Por otro lado, si lo que queremos es modelar el nmero de usuarios que llamaran al telfono de atencin a clientes, el tipo de comportamiento puede parecerse a una distribucin de Poisson. Tambin puede ocurrir que el tipo de comportamiento de la variable no se parezca a ninguno de los mencionados, podra entonces utilizarse un tipo de distribucin emprica que se ajuste a las condiciones reales de probabilidad.3.2 Variables aleatorias continuas.

Variable aleatoria continua es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; sta puede asumir infinito nmero de valores y stos se pueden medir.

La estatura de un alumno de un grupo escolar. El peso en gramos de una moneda. La edad de un hijo de familia. Las dimensiones de un vehculo.Este tipo de variables se representan mediante una ecuacin que se conoce como funcin de densidad de probabilidad, por lo que se cambia el termino sumatoria por una integral y deben de cumplir con las condiciones siguientes:

Para este tipo de distribuciones de probabilidad se utilizan la uniforme continua, la exponencial, la triangular, la normal, la de Weibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang. Por ejemplo, es posible que el tiempo de llegada de cada cliente a un sistema tenga una distribucin de probabilidad semejante a la exponencial, o que el tiempo que le toma a un operario realizar una serie de tareas se comporte de una manera muy similar a la dispersin que presenta una distribucin triangular.3.3 Mtodos para generar variables aleatorias.

Existen varios mtodos que nos permiten generar variables aleatorias. Lo normal es que existan varias opciones para generar una misma variable aleatoria. La eleccin del mtodo adecuado se puede basar en una serie de factores como:

Exactitud. Es preferido un mtodo exacto frente a mtodos aproximados, como soluciones numricas.

Velocidad. Uno de los datos que se toma en consideracin es el tiempo de generacin de la variable.

Espacio. Necesidades de memoria del mtodo utilizado. En general, los mtodos no consumen mucha memoria.

Simplicidad. El mtodo debe ser fcil de entender.

La mayora de las tcnicas utilizadas para la generacin se pueden agrupar en:

1. Mtodo de la transformada inversa 2. Mtodo de aceptacin y rechazo; y3. Mtodo de convolucin.

3.3.1. Mtodo de la Transformada Inversa

El mtodo de la transformada inversa utiliza la densidad de probabilidad acumulada (cdf) F(x) de la funcin de densidad de probabilidad (pdf) f(x) que se va a simular.

Puesto que F(x) esta definida en el intervalo (0-1), se puede generar un nmero aleatorio uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable aleatoria para cual su distribucin acumulada es igual a R, es decir, el valor simulado de la variable aleatoria que sigue un distribucin de probabilidad f(x), se determina al resolver la siguiente ecuacin.

F(x) = R x = F-1 (R)

La dificultad principal de este mtodo descansa en el hecho de que en algunas ocasiones no es tan simple encontrar la transformada inversa. Sin embargo si esta funcin inversa ya ha sido establecida, generando nmeros aleatorios uniformes se podrn obtener valores de la variable aleatoria que sigan la distribucin de probabilidad deseada.

Esta tcnica se explicara en detalle para las distribuciones uniforme, exponencial y la triangular, posteriormente se aplicara a otras distribuciones, como la de Weibull.

Distribucin uniforme

Considerar que la variable aleatoria X esta uniformemente distribuida en el intervalo [a, b]. Una expresin razonable para generar X esta dada por:

Recordando que R siempre es un numero aleatorio en [0, 1]. La pdf esta dada por:

Para derivar la cdf de la ecuacin de la distribucin uniforme, se aplica la integral ya mencionada, de manera que:

Para la aplicacin de esta distribucin se siguen los siguientes pasos:

Paso 1. Calcule la cdf de la variable aleatoria deseada X. Para la distribucin uniforme, la cdf es F(x), como se obtuvo arriba.

Paso 2. Hacer F(X)=R, en el rango de X. Para esta distribucin, se tiene:

Paso 3. Resolver X en trminos de R, de manera que se obtiene la ecuacin dada al inicio X=a+(b-a)R, en el rango de [a, b].

Ejercicio:

Aplicar el mtodo al conjunto de nmeros aleatorios generados por el mtodo congruencial lineal. Considerando a=70 y b=100.

Como ejemplo de obtencin de los valores de X a partir de los nmeros aleatorios, se muestra la siguiente tabla:

i12345678910

Ri0.13060.04220.65970.79650.76960.12080.03880.67110.77950.7589

Xi73.91871.26689.79193.89593.08873.62471.16490.13393.38592.767

Distribucin exponencial

En este tipo de distribucin, la funcin de densidad de probabilidad esta dada por:

Y la funcin de densidad acumulada, esta dada por:

El parmetro puede ser interpretado por el nmero promedio de ocurrencias por unidad de tiempo. Por ejemplo, si los tiempos entre llegadas X1, X2, X3, tienen una distribucin exponencial con razn , entonces podr ser interpretada como el numero promedio de llegadas por unidad de tiempo o la razn de llegadas. Observe que para toda i:

Tal que 1/ es el tiempo medio entre llegadas. El objetivo es desarrollar un procedimiento para generar valores X1, X2, X3,, los cuales tengan una distribucin exponencial. La tcnica de la transformada inversa puede ser utilizada, al menos en principio, para cualquier distribucin, pero es ms til cuando la cdf es de manera tan simple, que su inversa puede ser fcilmente calculada. Un procedimiento paso a paso para esta tcnica, utilizando una distribucin exponencial, es como sigue:Paso 1. Calcule la cdf de la variable aleatoria deseada X. Para la distribucin exponencial, la cdf es F(X), que se obtuvo antes.

Paso 2. Hacer F(X)=R, en el rango de X. Para esta distribucin, se tiene:

Ya que X es la variable aleatoria para esta distribucin exponencial, se sigue que toda la expresin exponencial es tambin una variable aleatoria, aqu llamada R, la cual tendr una distribucin uniforme en el intervalo [0, 1].

Paso 3. Resolver la ecuacin F(X)=R para X en trminos de R. La solucin obtenida es:

Esta ecuacin es llamada el generador de variable aleatoria para la distribucin exponencial. Generando una secuencia de valores que es completada en el paso 4.

Paso 4. Generar (como se necesite) nmeros aleatorios uniformes R1, R2, R3,,y calcule la variable aleatoria deseada X1, X2, X3,, por:

para i=1, 2, 3,,NEjercicio:Aplicar el mtodo al conjunto de nmeros aleatorios generados por el mtodo congruencial lineal. Considerando =1.Como ejemplo de obtencin de los valores de X a partir de los nmeros aleatorios, se muestra la siguiente tabla:

i12345678910

Ri0.13060.04220.65970.79650.76960.12080.03880.67110.77950.7589

Xi0.14000.04311.07791.59211.46790.12870.03961.11201.51191.4225

Distribucin triangular

Considerar una variable aleatoria X dada por la pdf de forma triangular con valor mnimo a, mximo b y moda c:

Como se muestra en la figura siguiente:

Para esta distribucin, la cdf esta dada por:

Para el intervalo de x [a, c], y despejando X de la expresin:

de donde:

Para el intervalo de x (c, b], y despejando X de la expresin:

de donde:

Donde el dominio para cada expresin de X ser de [0, (c-a)/(b-a)] para la primera y de ((c-a)/(b-a), 1] para la segunda.Ejercicio:

Aplicar el mtodo al conjunto de nmeros aleatorios generados por el mtodo congruencial lineal. Considerando la distribucin triangular.

Como ejemplo de obtencin de los valores de X a partir de los nmeros aleatorios, se muestra la siguiente tabla:

i12345678910

Ri0.13060.04220.65970.79650.76960.12080.03880.67110.77950.7589

Xi0.511080.290521.1751.3621.32120.491530.278571.1891.33591.3056

Distribucin WeibullEste tipo de distribucin se llega a utilizar como un modelo para el tiempo de falla en maquinas o componentes electrnicos. Para el caso ms simple la pdf esta dada por la ecuacin:

Donde >0 y >0 son los parmetros de escala y de forma respectivamente para esta distribucin. La cdf se obtiene a partir de la integral, como se indica a continuacin:

Para obtener la variable de Weibull se siguen los siguientes pasos:Paso 1. La cdf de la variable aleatoria deseada X esta dada por:

Paso 2. Hacer F(X)=R, en el rango de X. Para esta distribucin, se tiene:

Paso 3. Resolver la ecuacin F(X)=R para X en trminos de R. La solucin obtenida es:

Comparando la ecuacin obtenida para la distribucin exponencial, se puede ver que si X es una variable Weibull, entonces X es una variable exponencial con media . Inversamente, si Y es una variable exponencial con media , entonces Y1/ es una variable Weibull con parmetro de forma y parmetro de escala =1/. Se deja al lector para que desarrolle el grafico correspondiente.Ejercicio:

Aplicar el mtodo al conjunto de nmeros aleatorios generados por el mtodo congruencial lineal. Considerando =1 y =2.Como ejemplo de obtencin de los valores de X a partir de los nmeros aleatorios, se muestra la siguiente tabla:

i12345678910

Ri0.13060.04220.65970.79650.76960.12080.03880.67110.77950.7589

Xi0.37410.207641.03821.26181.21160.358810.198931.05451.22961.1927

El mtodo de la transformada inversa tambin puede utilizarse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como la distribucin Bernoulli, binomial, Poisson, discreta uniforme, etc. El procedimiento es similar al continuo pero el valor de F(x) se encuentra acumulando las probabilidades de los eventos individuales p(x). Tambin en este caso, F(x) est definida en el intervalo 0 a 1; se genera un nmero aleatorio ri y se determina el valor de la variable aleatoria cuya distribucin acumulada es igual a ri. El mtodo consiste en:

1. calcular todos los valores de la distribucin de probabilidad p(x) de la variable a modelar.

2. Calcular todos los valores de la distribucin acumulada P(x).

3. Generar nmeros pseudo-aleatorios ri ~ U(0,1).

4. Comparar con el valor de P(x) y determinar que valor de x corresponde a P(x).

En la figura siguiente se muestra en forma grfica el procedimiento anterior para una funcin cualquiera p(x) discreta. La dificultad de este mtodo radica en que no existe una expresin final sencilla, como en el caso de la continua.

3.3.2. Mtodo de Aceptacin y RechazoEl mtodo de aceptacin y rechazo es otro procedimiento para generar nmeros al azar de distribuciones de probabilidad no uniformes. Este mtodo consiste primeramente en generar un valor de la variable aleatoria y en seguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribucin de probabilidad que se esta analizando. Para comprender mejor este mtodo, supngase que un analista necesita elaborar un mtodo para generar variables aleatorias, X, uniformemente distribuidas entre y 1. Una forma de proceder podra ser siguiendo los pasos que a continuacin se indican:Paso 1. Generar un numero aleatorio R.

Paso 2. Si R , se acepta X=R, va al paso 4.

Paso 3. Si R < , se rechaza R, va al paso 1.

Paso 4. Si se requiere otra variable aleatoria uniforme en [1/4, 1], se repite el procedimiento iniciando en el paso 1. Si no, se detiene.

Cada vez que el paso 1 es ejecutado, un nuevo nmero aleatorio debe ser generado. El paso 2 es una aceptacin y el paso 3 es un rechazo en esta tcnica de aceptacin-rechazo. Para resumir la tcnica, las variables aleatorias (R) con alguna distribucin de probabilidad (aqu utilizamos una de tipo uniforme en [0, 1]) son generados hasta que alguna condicin (R ) se cumple. Cuando la condicin finalmente se cumple, la variable aleatoria deseada (aqu de tipo uniforme en [0, 1]), puede ser calculada (X=R). Este procedimiento puede mostrarse que es correcto al reconocer que los valores aceptados de R estn condicionados; esto es, el R propiamente no tiene la distribucin deseada, pero R condicionada en el hecho de (R ) tiene la distribucin deseada.Para mostrar esto, tomar a < b 1, entonces:

La cual es la probabilidad correcta para una distribucin uniforme en [1/4, 1]. La ecuacin anterior dice que la distribucin de probabilidad de R, dado que R esta entre y 1 (todos los dems valores de R no son considerados), es la distribucin deseada. Por lo tanto, si R 1, sea X=R.La eficiencia de la tcnica de aceptacin y rechazo depende en gran medida de su capacidad para minimizar el nmero de rechazos. En este ejemplo, la probabilidad de un rechazo es P(R 0 tiene funcin de masa de probabilidad (pmf)

Pero lo ms importante, N puede ser interpretado como el nmero de llegadas, para un proceso de arribo Poisson, en una unidad de tiempo. Recordad que los tiempos inter-arribos, A1, A2, entre clientes sucesivos son distribuidos exponencialmente con razn (es decir, es el numero promedio de llegadas por unidad de tiempo); adems, una variable exponencial puede ser generada como ya se vio anteriormente. As, hay una relacin directa entre la distribucin Poisson (discreta) y la distribucin exponencial (continua), a saber:N=n

Si y solo si:A1 + A2 + + An 1 < A1 + A2 + + An + An+1La primera ecuacin dice que fueron exactamente n llegadas en una unidad de tiempo y la segunda dice la n-sima llegada ocurri antes del tiempo 1, mientras que la (n+1)-sima llegada ocurri despus del tiempo 1. Claramente estos dos enunciados son equivalentes. Proceda ahora a generar tiempos de nter-arribo exponenciales hasta que alguna llegada, llmese n+1, ocurra despus del tiempo 1, entonces haga N=n.Para aplicaciones de generacin eficiente, la relacin obtenida es simplificada usando la ecuacin Ai=(-1/)lnRi, de manera que se obtiene:

Que si multiplicamos toda la desigualdad por , los signos de la misma se invierten, quedando:

Y aplicando la propiedad de los logaritmos, que la suma de los logaritmos es igual al logaritmo del producto, queda:

Y para eliminar el ln se aplica la exponencial e a la expresin anterior, y finalmente:

El procedimiento para generar variables aleatorias tipo Poisson, N, esta dado por los siguientes pasos:Paso 1. Hacer n=0, P=1.

Paso 2. Generar un numero aleatorio Rn+1 y sustituya P por P*R n+1.

Paso 3. Si P < e-, se acepta N=n. Caso contrario, se rechaza el n actual, se incrementa n por uno y se regresa al paso 2.

Observe que al final del paso 2, P representa el lado derecho de la desigualdad obtenida. Se vuelve a manifestar la idea de la tcnica de rechazo en el paso 3, para los valores de P mayores del valor de la exponencial dada.Para obtener la cantidad de nmeros aleatorios que se deben generar, en promedio, para generar una variable aleatoria tipo Poisson, N, se considera que para N=n es necesario generar n+1 nmeros aleatorios, de manera el nmero promedio esta dado por:E(N+1)= +1La cual es bastante grande si el promedio, , de la distribucin Poisson es grande.Ejemplo 1:Generar tres variables Poisson con media =0.2. Primero se calcula e-, que es igual a 0.8187. Despus se obtiene la secuencia de nmeros aleatorios R obtenidos por el mtodo congruencial y siguiendo los pasos 1 a 3 ya mencionados:

Paso 1. Hacer n=0, P=1.

Paso 2. R1 = 0.4357, P=1* R1=0.4357.

Paso 3. Ya que P= 0.4357 < e- = 0.8187, se acepta N=n.De la misma manera se procede para todos los nmeros aleatorios, obtenindose una tabla como la siguiente:nRn+1PAceptacin/RechazoVariable resultante

00.43570.4357P < e- (se acepta)N=0

00.41460.4146P < e- (se acepta)N=0

00.83530.8353P e- (se rechaza)

10.99520.8313P e- (se rechaza)

20.80040.6654P < e- (se acepta)N=2

00.79450.7945P < e- (se acepta)N=0

Se observa que 6 nmeros aleatorios, R, se generan cuatro variables Poisson (N=0, N=0, N=2, N=0), pero en una corrida larga, para generar por ejemplo 1000 variables Poisson con media =0.2, se requerirn aproximadamente 1000( +1) o sea 1200 nmeros aleatorios.Ejemplo 2:

Los autobuses llegan a la parada de Profra. Fajardo y Diego Jos Abad de acuerdo a un proceso Poisson con media de un autobs cada 15 minutos. Generar una variable aleatoria, N, la cual represente el nmero de autobuses llegando durante el lapso de 1 hora de tiempo. As, N es la distribucin Poisson con media de 4 autobuses por hora. Primero se calcula e- = e-4, que es igual a 0.0183. Despus se obtiene la secuencia de 12 nmeros aleatorios R obtenidos por cualquier mtodo, obtenindose una tabla como la siguiente:

nRn+1PAceptacin/RechazoVariable resultante

00.43570.4357P e- (se rechaza)

10.41460.1806P e- (se rechaza)

20.83530.1508P e- (se rechaza)

30.99520.1502P e- (se rechaza)

40.80040.1202P e- (se rechaza)

50.79450.0955P e- (se rechaza)

60.15300.0146P < e- (se acepta)N=6

00.98340.9834P e- (se rechaza)

10.70750.6957P e- (se rechaza)

20.05560.0387P e- (se rechaza)

30.30910.0119P < e- (se acepta)N=3

00.55420.5542P e- (se rechaza)

10.71370.3955P e- (se rechaza)

20.93670.3705P e- (se rechaza)

30.74060.2744P e- (se rechaza)

40.84880.2329P e- (se rechaza)

50.04610.0107P < e- (se acepta)N=5

00.21250.2125P e- (se rechaza)

10.51560.1095P e- (se rechaza)

20.58430.0604P e- (se rechaza)

30.14060.0090P < e- (se acepta)N=3

Se observa que 21 nmeros aleatorios, R, se generan cuatro variables Poisson (N=6, N=3, N=5, N=3), pero en una corrida larga, para generar por ejemplo 1000 variables Poisson con media =4, se requerirn aproximadamente 1000( +1) o sea 5000 nmeros aleatorios.

3.3.3 Procedimientos Especiales

Estn basados en caractersticas de familias particulares de distribuciones de probabilidad. Ejemplos de ellos son la transformacin directa y el mtodo de convolucin.

3.3.3.1 Transformacin Directa

Es utilizada principalmente para distribuciones de probabilidad Normal y Lognormal, de la manera siguiente:

Distribucin Normal

Este mtodo se basa en el Teorema de Pitgoras, las variables involucradas en l se muestran en la figura siguiente:

Geomtricamente,

La suma de variables aleatorias normales sigue una distribucin Chi-cuadrada con grados de libertad, as:

La funcin de densidad de una variable aleatoria Chi-cuadrada con 2 grados de libertad es equivalente a una distribucin exponencial con media de 2. En consecuencia, utilizando la ecuacin obtenida por el mtodo de la transformada inversa para generar variables aleatorias exponenciales, que sustituida en la ecuacin anterior, se obtiene:

Se generan valores aleatorios uniformes del ngulo entre 0 y 2, tambin mediante el mtodo de transformada inversa:

Y sustituyendo se obtiene:

Para cualquier variable aleatoria normal N,

Al despejar N y sustituir el valor de z previamente desarrollado, se llega a la expresin final para la generacin de variables aleatorias normales:

Este procedimiento puede iniciarse tambin a travs de la generacin de la variable aleatoria z1, lo cual dar lugar a la ecuacin:

De manera que con cada par de nmeros aleatorios se puede generar variables aleatorias normales con la media y la desviacin estndar conocidas.Distribucin Lognormal

Este mtodo se basa en el anterior, las variables involucradas en l se obtienen respecto del resultado anterior, es decir:

Por lo que se necesita obtener la variable de tipo normal y el valor obtenido se usa como exponente de la exponencial.

3.3.3.2 Mtodo de ConvolucinEn algunas distribuciones de probabilidad la variable aleatoria a simular, Y, puede generarse mediante la suma de otras variables aleatorias X, de manera mas rpida que a travs de otros mtodos. Entonces, el mtodo de convolucin puede expresarse como:

Las variables aleatorias de dos de las distribuciones mas conocidas (de Erlang y Binomial) se pueden generar a travs de este mtodo, como se vera en lo siguiente:

Distribucin de ErlangLa variable aleatoria k-Erlang con media 1/, puede producirse a partir de la generacin de k variables exponenciales con media 1/k:

Lo cual significa que cada valor de la variable tipo k-Erlang se obtiene por medio del producto de k trminos 1-Ri.Ejemplo 1:El tiempo de proceso de cierta pieza sigue una distribucin 3-Erlang con media 1/=8 minutos/pieza. Una lista de nmeros pseudo-aleatorios Ri U(0, 1) y la ecuacin de generacin de valores de variable aleatoria tipo Erlang:

A partir de esta ecuacin y el conjunto de nmeros pseudo-aleatorios ya mencionados, se obtiene la siguiente tabla:Pieza1-R11-R21-R3Tiempo de Proceso (min/pieza)

10.51650.62280.77213.7143

20.80620.24420.87674.6848

30.47980.93920.63043.3560

40.33960.38720.44777.5532

50.49650.64880.66594.1051

60.83780.36920.20927.3010

70.46360.22760.33998.8747

80.42680.14420.76078.1640

90.27360.23440.38579.8654

100.26360.77160.78344.8979

110.30850.18280.218511.7236

120.92580.44950.6953.3082

130.69760.85550.9121.6221

140.22560.03050.00726.5090

150.39520.42170.5576.3387

160.37520.96250.85943.1201

Distribucin BinomialLa variable aleatoria binomial con parmetros N y p puede ser generada a travs de la suma de N variables aleatorias con distribucin de Bernoulli con parmetro p.

Ejemplo 1:Al inspeccionar lotes de tamao N=5, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es de 0.20. Simular el proceso de inspeccin para determinar el numero de piezas defectuosas por lote.

Este proceso sigue una distribucin binomial con N=5 y p=0.20 y ser simulado mediante la generacin de variables aleatorias de Bernoulli con p=0.20, de acuerdo con el procedimiento sealado en esta seccin, donde BEi=0 representa una pieza en buen estado y BEi=1 a una defectuosa.

Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:LoteRiBE1RiBE2RiBE3RiBE4RiBE5Piezas Defectuosas

10.830210.923210.229800.280800.884813

20.287100.242600.885410.393300.468401

30.939810.322400.394100.531400.238501

40.688200.361900.097100.942810.887112

50.694600.246900.095900.919610.566401

60.080800.652800.614700.785600.716700

70.365800.380900.508400.84710.740901

80.893210.780600.933610.160800.585602

90.292700.567300.182900.345200.916311

100.960510.25600.553600.647200.886712

EJERCICIOS:

0 UTILIZANDO EXCEL, GENERE 100 VALORES DE VARIABLES ALEATORIAS PARA1. Exponencialmente distribuidas con =3.

2. Normalmente distribuidas con media 10 y varianza 4.3. Uniformemente distribuidas con limite inferior de 10 y limite superior de 30.

4. Triangularmente distribuidas con limite inferior de 5, valor mas probable de 10 y limite superior de 15.

5. Con distribucin binomial y parmetros N=5, p=0.3, q=0.7.

6. Con distribucin Poisson, con =3.I APLICAR EL METODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA

1. Desarrollar un generador de variable aleatoria para una variable X con pdf:

2. Desarrollar un generador de variable aleatoria para una variable X con pdf:

3. Desarrollar un esquema de generacin para una distribucin triangular con pdf:

4. Desarrollar un generador para una distribucin triangular con rango (1, 10) y una media de 4.

5. Dada la siguiente cdf para una variable continua con rango de -3 a 4, desarrollar un generador para la variable X.

6. Dada la cdf siguiente, desarrollar un generador para esta distribucin:

7. Dada la pdf siguiente, desarrollar un generador para esta distribucin:

8. Desarrollar un generador de variable aleatoria X cuya pdf es:

II APLICAR EL METODO DE ACEPTACION Y RECHAZO

1. La demanda semanal, X, de un artculo de poco movimiento se ha encontrado que tiene una distribucin Poisson con una demanda media semanal de 2.5 artculos. Generar 10 valores de X, demanda por semana, usando los nmeros aleatorios de la tabla siguiente:0.031250.484380.3750.953130.46875

0.171880.31250.140630.906250.85938

0.250.328130.343750.546880.1875

0.515630.781250.234380.1250.70313

0.218750.921880.06250.890630.65625

0.6093800.0781250.093750.29688

2. Los plazos de entrega se han encontrado que tienen una distribucin de Poisson con media de 3.7 das. Generar 10 plazos de entrega aleatorios para esta distribucin.

3. El mantenimiento regular de una lnea de produccin se encontr que vara y puede ser modelada con una distribucin de Poisson con una media de 33 minutos. Generar 10 tiempos de mantenimiento aleatorios para esta distribucin.III EJERCICIOS ADICIONALES

Para los siguientes ejercicios, debern entregarse de manera escrita, utilizando como nmeros aleatorios los obtenidos mediante su programa de generacin de nmeros aleatorios con semilla=2*k+1, donde k son los dos ltimos nmeros de su numero de control. Incluir dicha lista en la solucin del problema.1. Los tiempos de falla de un proceso de produccin automatizado se encuentra que estn distribuidos de acuerdo a una distribucin Weibull con parmetros beta=2 y alfa=10. Derivar la ecuacin correspondiente y utilizarla para generar 10 valores de la variable aleatoria para esta distribucin.

2. Los siguientes datos han sido recopilados de tiempos de servicio en la ventanilla de un auto banco en la Cd. de Guadalajara. Los datos estn agrupados en intervalos como se indica. Intervalo (segundos)Frecuencia

15-3010

30-4520

45-6025

60-9035

90-12030

120-18020

180-30010

Estructurar la tabla como en la Tabla siguiente para generar 10 tiempos de servicio aleatorios para este tipo de distribucin, utilizando nmeros aleatorios de 4 dgitos.PRACTICA

Obtener tabla de 20 valores de la variable aleatoria con diferentes valores de alfa, 2 fraccionarios y 3 enteros, indicando en cada caso la cantidad de nmeros aleatorios requeridos para obtener los valores deseados.

20( +1)Nmeros aleatorios requeridosValores de la Variable aleatoria

0.2524Mas de 240001

0002

0000

0100

011

0.530280001

0002

0000

0101

1110

260570311

2220

3300

2533

1222

51201161333

6259

57510

7372

7533

1022021957812

13121610

91087

610916

1215104

Semilla = 2*(2 ltimos dgitos de tu nmero de control) +1_1363553620.unknown

_1365960434.unknown

_1366432273.unknown

_1367037788.unknown

_1370342421.unknown

_1416731739.unknown

_1416732067.unknown

_1369644548.unknown

_1370327268.unknown

_1367131943.unknown

_1366433068.unknown

_1366433173.unknown

_1366432946.unknown

_1366006276.unknown

_1366006296.unknown

_1365972270.unknown

_1365974461.unknown

_1365960553.unknown

_1363636553.unknown

_1364030906.unknown

_1365960378.unknown

_1364023334.unknown

_1364023783.unknown

_1364023821.unknown

_1364023728.unknown

_1364023282.unknown

_1363556065.unknown

_1363556771.unknown

_1363557166.unknown

_1363554269.unknown

_1330807438.unknown

_1333827519.unknown

_1333828956.unknown

_1334000957.unknown

_1333830752.unknown

_1333827909.unknown

_1333828938.unknown

_1333564136.unknown

_1333825316.unknown

_1333826194.unknown

_1333824794.unknown

_1333630563.unknown

_1333563014.unknown

_1333563032.unknown

_1333561053.unknown

_1331031480.unknown

_1330806377.unknown

_1330807172.unknown

_1330807293.unknown

_1330806409.unknown

_1330806426.unknown

_1330806389.unknown

_1330804680.unknown

_1330805704.unknown

_1330806274.unknown

_1330804128.unknown