Simulación3 Generación de variables aleatorias.

Ingeniera Esmeralda Elizabéth Rodríguez Rodríguez

Generará variables aleatorias discretas, continuas y empíricas, realizará pruebas de ajuste de bondad y determinará tamaño de muestra.

Objetivo

Un modelo de simulación permite lograr un mejor entendimiento de prácticamente cualquier sistema. Para ello resulta indidpensable obtener la mejor aproximación a la realidad, lo cual se consigue componiendo el modelo a base de variables aleatorias que interactúen entre sí.

3.1 Introducción.

Las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico en la realidad.

Podemos diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el tipo de variables aleatorias que representan. Por ejemplo, si habláramos del número de clientes que solicitan cierto servicio en un periodo de tiempo determinado, podríamos encontrar valores tales como 0,1,2,…,n, es decír, un comportamiento como el que presentan las distribuciones de probabilidad discretas.

3.2 Variables aleatorias discretas.

Este tipo de variables deben cumplir con estos parámetros:

b

aibai

ii

pppbxaP

p

xP

..)(

1

0)(

0

Algunas distribuciones discretas de probabilidad son la uniforme discreta, la de Bernoulli, la hipergeométrica, la de Poisson y la binomial.

Si nuestro propósito al analizar un muestreo de calidad consiste en decidir si la pieza bajo inspección es buena o no, estamos realizando un experimento con dos posibles resultados: la pieza es buena o la pieza es mala. Este tipo de comportamiento está asociado a una distribución de Bernoulli.

Distribución de Bernoulli

Si lo que queremos es modelar el número de usuarios que llamarán a un teléfono de atención a clientes, el tipo de comportamiento puede llegar a parecerse a una distribución de Poisson.

Podría ocurrir que el comportamiento de la variable no

se pareciera a otras distribuciones de probabilidad conocidas. Si éste fuera el caso, es preferiblemente válido usar una distribución emprírica que se ajuste a las condiciones reales de probabilidad. Esta distribución puede ser una ecuación o una suma de términos que cumplan con las condiciones necesarias para ser consideradas una distribución de probabilidad.

Distribución de Poisson

Si habláramos del tiempo que tarda en ser atendida una persona, nuestra investigación tal vez arrojaría resultados como 1.54 minutos, 0,028 horas o 1.37 días, es decír, un comportamiento similar al de las distribuciones de probabilidad continuas.

3.3 Variables aleatorias continuas.

Este tipo de variables se representan mediante una ecuación que se conoce como función de densidad de probabilidad. Dada esta condición cambiamos el uso de la sumatoria por la de una integral para conocer la función acumulada de la variable aleatoria.

b

a

xfbxaPbxaP

xf

axP

xP

)()()(

1)(

0)(

0)(

Por lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cumplir los siguientes parámetros:

Entre las distribuciones de probabilidad tenemos la uniforme continua, la exponencial, la normal, la de Weibull, la Chi-cuadrada y la de Earlang.

El tiempo de llegada de cada cliente a un sistema tenga una distribución de probabilidad muy semejante a la exponencial.

Distribución exponencial

El tiempo que le toma a un operario realizar una serie de tareas se comporte de manera muy similar a la dispersión que presenta una distribución normal.

Distribución normal

La variabilidad de eventos y actividades se representa a través de funciones de densidad para fenómenos continuos, y mediante distribuciones de probabilidad para fenómenos de tipo discreto. La simulación de estos eventos o actividades se realiza con la ayuda de la generación de variables aleatorias.

3.4 Métodos para generar variables aleatorias.

El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada f(x) y la generación de números pseudoaleatorios. El método consiste en:

1. Definir la función de densidad F(x) que represente la variable a modelar.

2. Calcular la función acumulada F(x).3. Despejar ka variable aleatoria x y obtener la función

acumulada inversa F(x)-1.4. Generar las variables aleatorias x, sustituyendo

valores con números pseudoaleatorios en la función acumulada inversa.

Método de transformada inversa

El método de la transformada inversa también puede emplearse para simular variables de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general, etc. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acumulada P(x) y la generación de números pseudoaleatorios. El método consiste en:

1. Calcular todos los valores de la distribución de probabilidad p(x) de la variable a modelar.

2. Calcular todos los valores de la distribución acumulada P(x).

3. Generar números pseudoaleatorios.4. Comparar con el valor de P(x) y determinar qué valor de

x corresponde a P(x).

A partir de la función de densidad de las variables aleatorias uniformes entre a y b.

xi=a+(b-a)ri

Ejemplo:La temperatura de una estufa se comporta

uniformemente dentro del rango de 95 a 100℃. Una lista de números pseudoaleatorios y la ecuación xi=95+5ri nos permiten modelar el comportamiento de la variable aleatoria que simula la temperatura de la estufa.

Distribución uniforme

Medición ri Temperatura

1 0.48 97.40

2 0.82 99.10

3 0.69 98.45

4 0.67 98.35

5 0.00 95.00

Simulación de las temperaturas de una estufa

A partir de la función de densidad de las variables aleatorias exponenciales con media 1/λ.

Distribución exponencial

)1ln(1

ii rx

Los datos históricos del tiempo de servicio en la caja de un banco se comportan de forma exponencial con media de 3 minutos/cliente. Una lista de números pseudoaleatorios y la ecuación generadora exponencial

nos permiten simular el comportamiento de la variable aleatoria.

)1ln(3 ii rx

Cliente ri Tiempo de servicio (min)

1 0.64 3.06

2 0.83 5.31

3 0.03 0.09

4 0.50 2.07

5 0.21 0.70

A partir de la distribución de probabilidad de las variables aleatorias de Bernoulli con media

p(x) = px(1-p)1-x para x=0,1Se calculan las probabilidades para x=0 y

x=1, para obtener

Distribución Bernoulli

X 0 1

p(x) 1-p p

X 0 1

P(x) 1-p 1

Generando números pseudoaleatorios se aplica la regla:

Xi = si riЄ(0,1-p) x=0

si riЄ(1-p,1) x=1

EjemploLos datos históricos sobre la frecuencia de paros de

cierta máquina muestran que existe una probabilidad de 0.2 de que ésta falle (x=1), y de 0.8 de que no falle (x=0) en un día determinado. Generar una secuencia aleatoria que simule este comportamiento.

A partir de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli con media 0.8,

p(x) = (0.2)x(0.8)1-x para x=0,1Se calculan las probabilidades puntuales y las

acumuladas para x=0 y x=1, y se obtienen los datos:

X 0 1

P(x) 0.8 0.2

P(x) 0.8 1

La regla para generar esta variable aleatoria estaría dada por:

Xi = si riЄ(0,0.8) x=0 si riЄ(0.8,1) x=1Con una lista de números pseudoaleatorios y la regla anterior es posible simular el comportamiento de las fallas de la máquina a lo largo del tiempo, considerando que:•Si el número pseudoaleatorio es menor que 0.8, la máquina no fallará, y•Si el número pseudoaleatorio es mayor que 0.8 ocurrirá la falla

Día ri Xi Evento: la máquina

1 0.453 0 No falla

2 0.823 1 falla

3 0.034 0 No falla

4 0.503 0 No falla

5 0.891 1 falla