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Simulación 3 Generación de variables aleatorias. Ingeniera Esmeralda Elizabéth Rodríguez Rodríguez

3 Generación de variables aleatorias. Ingeniera Esmeralda Elizabéth Rodríguez Rodríguez

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  • Diapositiva 1
  • 3 Generacin de variables aleatorias. Ingeniera Esmeralda Elizabth Rodrguez Rodrguez
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  • Generar variables aleatorias discretas, continuas y empricas, realizar pruebas de ajuste de bondad y determinar tamao de muestra.
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  • Un modelo de simulacin permite lograr un mejor entendimiento de prcticamente cualquier sistema. Para ello resulta indidpensable obtener la mejor aproximacin a la realidad, lo cual se consigue componiendo el modelo a base de variables aleatorias que interacten entre s.
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  • Las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilstico en la realidad.
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  • Podemos diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el tipo de variables aleatorias que representan. Por ejemplo, si hablramos del nmero de clientes que solicitan cierto servicio en un periodo de tiempo determinado, podramos encontrar valores tales como 0,1,2,,n, es decr, un comportamiento como el que presentan las distribuciones de probabilidad discretas.
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  • Este tipo de variables deben cumplir con estos parmetros:
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  • Algunas distribuciones discretas de probabilidad son la uniforme discreta, la de Bernoulli, la hipergeomtrica, la de Poisson y la binomial.
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  • Si nuestro propsito al analizar un muestreo de calidad consiste en decidir si la pieza bajo inspeccin es buena o no, estamos realizando un experimento con dos posibles resultados: la pieza es buena o la pieza es mala. Este tipo de comportamiento est asociado a una distribucin de Bernoulli.
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  • Si lo que queremos es modelar el nmero de usuarios que llamarn a un telfono de atencin a clientes, el tipo de comportamiento puede llegar a parecerse a una distribucin de Poisson. Podra ocurrir que el comportamiento de la variable no se pareciera a otras distribuciones de probabilidad conocidas. Si ste fuera el caso, es preferiblemente vlido usar una distribucin emprrica que se ajuste a las condiciones reales de probabilidad. Esta distribucin puede ser una ecuacin o una suma de trminos que cumplan con las condiciones necesarias para ser consideradas una distribucin de probabilidad.
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  • Si hablramos del tiempo que tarda en ser atendida una persona, nuestra investigacin tal vez arrojara resultados como 1.54 minutos, 0,028 horas o 1.37 das, es decr, un comportamiento similar al de las distribuciones de probabilidad continuas.
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  • Este tipo de variables se representan mediante una ecuacin que se conoce como funcin de densidad de probabilidad. Dada esta condicin cambiamos el uso de la sumatoria por la de una integral para conocer la funcin acumulada de la variable aleatoria.
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  • Por lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cumplir los siguientes parmetros:
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  • Entre las distribuciones de probabilidad tenemos la uniforme continua, la exponencial, la normal, la de Weibull, la Chi- cuadrada y la de Earlang.
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  • El tiempo de llegada de cada cliente a un sistema tenga una distribucin de probabilidad muy semejante a la exponencial.
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  • El tiempo que le toma a un operario realizar una serie de tareas se comporte de manera muy similar a la dispersin que presenta una distribucin normal.
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  • La variabilidad de eventos y actividades se representa a travs de funciones de densidad para fenmenos continuos, y mediante distribuciones de probabilidad para fenmenos de tipo discreto. La simulacin de estos eventos o actividades se realiza con la ayuda de la generacin de variables aleatorias.
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  • El mtodo de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la funcin acumulada f(x) y la generacin de nmeros pseudoaleatorios. El mtodo consiste en: 1. Definir la funcin de densidad F(x) que represente la variable a modelar. 2. Calcular la funcin acumulada F(x). 3. Despejar ka variable aleatoria x y obtener la funcin acumulada inversa F(x) -1. 4. Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con nmeros pseudoaleatorios en la funcin acumulada inversa.
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  • El mtodo de la transformada inversa tambin puede emplearse para simular variables de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geomtrica, discreta general, etc. La generacin se lleva a cabo a travs de la probabilidad acumulada P(x) y la generacin de nmeros pseudoaleatorios. El mtodo consiste en: 1. Calcular todos los valores de la distribucin de probabilidad p(x) de la variable a modelar. 2. Calcular todos los valores de la distribucin acumulada P(x). 3. Generar nmeros pseudoaleatorios. 4. Comparar con el valor de P(x) y determinar qu valor de x corresponde a P(x).
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  • A partir de la funcin de densidad de las variables aleatorias uniformes entre a y b. x i =a+(b-a)r i Ejemplo: La temperatura de una estufa se comporta uniformemente dentro del rango de 95 a 100. Una lista de nmeros pseudoaleatorios y la ecuacin x i =95+5r i nos permiten modelar el comportamiento de la variable aleatoria que simula la temperatura de la estufa.
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  • Medicinriri Temperatura 10.4897.40 20.8299.10 30.6998.45 40.6798.35 50.0095.00
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  • A partir de la funcin de densidad de las variables aleatorias exponenciales con media 1/.
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  • Los datos histricos del tiempo de servicio en la caja de un banco se comportan de forma exponencial con media de 3 minutos/cliente. Una lista de nmeros pseudoaleatorios y la ecuacin generadora exponencial nos permiten simular el comportamiento de la variable aleatoria.
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  • Clienteriri Tiempo de servicio (min) 10.643.06 20.835.31 30.030.09 40.502.07 50.210.70
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  • A partir de la distribucin de probabilidad de las variables aleatorias de Bernoulli con media p(x) = p x (1-p) 1-x para x=0,1 Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1, para obtener X01 p(x)1-pp X01 P(x)1-p1
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  • Generando nmeros pseudoaleatorios se aplica la regla: X i = si r i (0,1-p) x=0 si r i (1-p,1) x=1 Ejemplo Los datos histricos sobre la frecuencia de paros de cierta mquina muestran que existe una probabilidad de 0.2 de que sta falle (x=1), y de 0.8 de que no falle (x=0) en un da determinado. Generar una secuencia aleatoria que simule este comportamiento. A partir de la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli con media 0.8, p(x) = (0.2) x (0.8) 1-x para x=0,1 Se calculan las probabilidades puntuales y las acumuladas para x=0 y x=1, y se obtienen los datos:
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  • X01 P(x)0.80.2 P(x)0.81 La regla para generar esta variable aleatoria estara dada por: X i = si r i (0,0.8) x=0 si r i (0.8,1) x=1 Con una lista de nmeros pseudoaleatorios y la regla anterior es posible simular el comportamiento de las fallas de la mquina a lo largo del tiempo, considerando que: Si el nmero pseudoaleatorio es menor que 0.8, la mquina no fallar, y Si el nmero pseudoaleatorio es mayor que 0.8 ocurrir la falla Dariri XiXi Evento: la mquina 10.4530No falla 20.8231falla 30.0340No falla 40.5030No falla 50.8911falla