I numeri con la retta di Alnuset - shop.erickson.it · Sfruttando le potenzialità di rappresentazioni offerte dalla «retta dei numeri», AlNuSet facilita la com- ... l’apprendimento

Ped

emon

te e

Mar

iott

i

€ 25,00

I nu

meri c

on la

retta

di A

lNuS

et

I numeri con la retta di AlNuSet propone l’utilizzo di un «artefatto intelligente» composto da un software particolarmente intuitivo (AlNuSet – Algebra of Numerical Sets, scaricabile con il codice di attivazione incluso nel libro), realizzato per favorire la comprensione di alcuni concetti chiave dell’algebra (quali ad esempio, espressioni, equazioni e operazioni tra numeri in sistemi numerici diversi).

Sfruttando le potenzialità di rappresentazioni offerte dalla «retta dei numeri», AlNuSet facilita la com-prensione dei significati connessi tra tale raffigurazione e le altre diverse rappresentazioni simboliche del numero.

La prima parte del volume è dedicata alla presentazione del quadro teorico centrato sull’uso di AlNuSet e alle linee guida per l’analisi didattica. La seconda parte si articola in tre sezioni:

• i numeri naturali,• i numeri interi relativi,• i numeri razionali.

Ciascuna delle tre sezioni è costituita da una guida per l’insegnante, per organizzare le attività in classe, e le schede operative pensate per lo studente.

Il testo, pratico ed efficace, rappresenta una guida innovativa per l’insegnante e uno strumento indi-spensabile per l’approfondimento e la comprensione della matematica nella scuola secondaria di primo grado, facilitando l’acquisizione dei sistemi numerici e del loro significato matematico anche negli alunni con difficoltà di apprendimento.

CONTENUTI

PARTE 1 – I sistemi numerici nella didattica del primo ciclo• Difficoltà a orientarsi nella foresta dei numeri• Presentazione di AlNuSet

PARTE 2 – Attività didattiche con l’artefatto• I numeri naturali• I numeri interi relativi• I numeri razionali

COLLANA

Artefatti intelligentiDal fare al sapere:Artefatti intelligenti per costruire significati matematici

Collana diretta daDaniela Lucangeli

Comitato scientifico-editorialeMaria Giuseppina Bartolini BussiMaria Alessandra MariottiAnna Baccaglini-Frank

COLLANA

Artefatti intelligenti

Contiene

il codice di

attivazione per

il download

del software

AlNuSet

I numeri conla retta

di AlNuSetStrumenti e strategie per

l’apprendimento dei numeri naturali,relativi e razionali nella scuola

secondaria di primo grado

Bettina Pedemontee Maria Alessandra Mariotti

Ped

emon

te e

Mar

iott

i

€ 25,00

I nu

meri c

on la

retta

di A

lNuS

et

I numeri con la retta di AlNuSet propone l’utilizzo di un «artefatto intelligente» composto da un software particolarmente intuitivo (AlNuSet – Algebra of Numerical Sets, scaricabile con il codice di attivazione incluso nel libro), realizzato per favorire la comprensione di alcuni concetti chiave dell’algebra (quali ad esempio, espressioni, equazioni e operazioni tra numeri in sistemi numerici diversi).

Sfruttando le potenzialità di rappresentazioni offerte dalla «retta dei numeri», AlNuSet facilita la com-prensione dei significati connessi tra tale raffigurazione e le altre diverse rappresentazioni simboliche del numero.

La prima parte del volume è dedicata alla presentazione del quadro teorico centrato sull’uso di AlNuSet e alle linee guida per l’analisi didattica. La seconda parte si articola in tre sezioni:

• i numeri naturali,• i numeri interi relativi,• i numeri razionali.

Ciascuna delle tre sezioni è costituita da una guida per l’insegnante, per organizzare le attività in classe, e le schede operative pensate per lo studente.

Il testo, pratico ed efficace, rappresenta una guida innovativa per l’insegnante e uno strumento indi-spensabile per l’approfondimento e la comprensione della matematica nella scuola secondaria di primo grado, facilitando l’acquisizione dei sistemi numerici e del loro significato matematico anche negli alunni con difficoltà di apprendimento.

CONTENUTI

PARTE 1 – I sistemi numerici nella didattica del primo ciclo• Difficoltà a orientarsi nella foresta dei numeri• Presentazione di AlNuSet

PARTE 2 – Attività didattiche con l’artefatto• I numeri naturali• I numeri interi relativi• I numeri razionali

COLLANA

Artefatti intelligentiDal fare al sapere:Artefatti intelligenti per costruire significati matematici

Collana diretta daDaniela Lucangeli

Comitato scientifico-editorialeMaria Giuseppina Bartolini BussiMaria Alessandra MariottiAnna Baccaglini-Frank

COLLANA

Artefatti intelligenti

Contiene

il codice di

attivazione per

il download

del software

AlNuSet

I numeri conla retta

di AlNuSetStrumenti e strategie per

l’apprendimento dei numeri naturali,relativi e razionali nella scuola

secondaria di primo grado

Bettina Pedemontee Maria Alessandra Mariotti

I n d i c e

7 Introduzione

11 PARTE 1 – I sistemi numerici nella didattica del primo ciclo

13 CAP. 1 Difficoltà a orientarsi nella foresta dei numeri

21 CAP. 2 Presentazione di AlNuSet

51 Bibliografia

55 PARTE 2 – Attività didattiche con l’artefatto

57 SEZ. 1 I numeri naturali

119 SEZ. 2 I numeri interi relativi

165 SEZ. 3 I numeri razionali

Introduzione

Nelle Indicazioni nazionali per il primo ciclo tra i traguardi da raggiungere per lo sviluppo delle competenze di matematica al termine della scuola secondaria di primo grado si legge: «L’alunno si muove con sicurezza nel calcolo anche con i numeri razionali, ne padroneggia le diverse rappresentazioni e stima la grandezza di un numero e il risultato di operazioni» (Indicazioni nazionali per il primo ciclo, 2012, p. 51). Obiettivo di questo libro è offrire materiali didattici per sviluppare un percorso che, al di là degli aspetti operativi legati all’esecuzione veloce e corretta di calcoli, permetta agli allievi di acquisire un senso più profondo dei sistemi nu-merici e del loro significato matematico. Tale visione è per noi indispensabile per dare una base solida alla pratica dei numeri per raggiungere l’efficienza richiesta dagli obiettivi specificati nelle Indicazioni nazionali.

Nella scuola primaria l’allievo è stato introdotto al concetto di «numero naturale» e alla sua rappresentazione secondo il sistema di scrittura posizionale; all’idea di frazione nella soluzione di compiti che richiedono di individuare parti di una quantità o rapporti tra quantità. Solo in modo assai vago può aver incontrato la necessità di pensare a una frazione come a un numero. È, infatti, solo all’ingresso della scuola secondaria inferiore che ci si porrà il problema di costruire nuovi significati relativi al numero, in particolare: il significato di numero negativo e quello di numero razionale. I nuovi termini introdotti e i loro significati richiede-ranno all’allievo di adeguare il proprio, «vecchio», significato di numero a quello «nuovo»: dovrà man mano mettere in relazione tra loro i concetti recenti e quelli già acquisiti in modo da rendere possibile lo sviluppo di un’idea di numero più ricca e flessibile, più vicina al significato matematico che tale termine ha e che in seguito porterà alla costruzione di concetti assai articolati, come quello di numero reale o di numero complesso.

La letteratura nell’ambito della didattica della matematica ha messo chiara-mente in luce la complessità dello sviluppo del concetto matematico di «numero», le difficoltà che l’allievo incontra nell’approcciarvisi e l’impossibilità di superare tali difficoltà senza interventi didattici mirati. Un elemento chiave nella matura-zione di questo nuovo concetto è costituito dalla costruzione della relazione tra le diverse rappresentazioni di uno stesso numero. In particolare, una delle principali difficoltà consiste proprio nel superare la semplice identificazione del numero con

8 ◆ I numeri con la retta di AlNuSet

la sua rappresentazione simbolica. Pensiamo, per esempio, al numero razionale: per molti studenti la frazione non rappresenta un numero, ma un’entità «che con-sente di dividere oggetti» (Fabio, 2ª media). Spesso, se si chiede a uno studente di rappresentare una frazione su una retta numerica non ne risulta capace. Accade spesso che il numero venga rappresentato come punto sulla linea compreso tra l’intero al numeratore e quello al denominatore (per esempio per rappresentare 3

4

viene indicato un punto tra 3 e 4). Nonostante questa difficoltà, la linea dei numeri è uno strumento molto potente sia perché offre un sistema di rappresentazione unificante nel quale è possibile ritrovare, contemporaneamente, le raffigurazioni degli elementi dei diversi insiemi numerici (numeri naturali, relativi e razionali) sia perché consente all’allievo di abbandonare la specificità di ciascun sistema numerico e superare l’identificazione del numero con la sua rappresentazione.

Un intervento didattico efficace dovrà, dunque, sfruttare le potenzialità di rappresentazione offerte dalla linea dei numeri e costruire la necessaria rete di significati tra tale raffigurazione e le altre diverse rappresentazioni simboliche del numero. Un esempio in questo senso lo possiamo trovare nella proposta didattica contenuta in Frazioni sul filo (Robotti, Censi, Segor e Peraillon, 2016). L’obiettivo didattico che l’insegnante dovrà costantemente avere in mente sarà quello di far cogliere all’allievo il significato unificante di «numero», la specificità dei diversi insiemi numerici, cosa accomuna e cosa differenzia un insieme dall’altro e, infi-ne, il carattere comune a tutti gli elementi di ogni insieme tale per cui si possono definire tutti «numeri». Proprietà comuni e specificità dei diversi insiemi numerici non sono legate ai numeri in sé, ma sono legate alle proprietà delle operazioni che con essi è possibile eseguire.

Nella PARTE 1 si inizierà descrivendo alcune difficoltà d’apprendimento ricorrenti tra gli alunni cercando di spiegarne l’origine e introducendo, così, una breve trattazione delle nozioni matematiche che sono alla base della proposta didattica. Tale trattazione mira a condividere con il lettore termini e concetti ai quali ci si riferirà nei capitoli successivi.

Verrà poi presentato il quadro teorico dell’intervento proposto. La teoria della mediazione semiotica, come già descritto in altri contributi di questa collana, deli-nea la metodologia didattica generale centrata sull’uso di un artefatto – in questo caso si tratta del software AlNuSet, Algebra on Numerical Sets (Algebra per gli insiemi numerici) – e, in particolare, fornisce le linee guida per l’analisi didattica che sarà sviluppata in dettaglio all’interno delle descrizioni di ogni singola attività.

Le tre sezioni della PARTE 2 presenteranno le attività didattiche relative, rispettivamente, ai numeri naturali, a quelli relativi e a quelli razionali. Le sezioni in questione servono all’insegnante per poter presentare le attività in classe. Cia-scuna attività è suddivisa secondo le seguenti sezioni:

• Obiettivi – Vengono presentati gli obiettivi matematici specifici che lo studente dovrebbe raggiungere al termine dell’attività esplicitandone i concetti affrontati;

• Strumenti utilizzati – Si descrivono le funzionalità specifiche di AlNuSet da utilizzare nell’attività;

• Allestimento e consegne – Ciascuna scheda è associata a un diverso tipo di attività: Attività in piccoli gruppi, Attività individuale, Attività collettiva. Si consiglia un’attività individuale quando le consegne sono sempli-

Introduzione ◆ 9

ci e invece un’attività di gruppo quando le attività sono più complesse e riteniamo che l’interazione tra pari dei concetti matematici affrontati. Un’attività collettiva sarà utile quando l’intervento dell’insegnante è necessario. In quest’ultimo caso, la Scheda comparirà non solo come attività collettiva, ma anche come Attività individuale o Attività di gruppo.

• Descrizione attività – Vengono descritte nel dettaglio le attività sia in termini di utilizzo del software sia in termini di ciò che l’insegnante dovrebbe attendersi dalle schede presentate in classe;

• Descrizione del potenziale semiotico – Si discutono le potenzialità didattiche dell’attività a partire dal potenziale semiotico della funzionalità del software utilizzata nel corso dell’attività.

Alla fine di ogni capitolo si trovano le schede operative pensate per lo studente e dedicate alla specifica attività trattata nella sezione.

Difficoltà a orientarsi nella foresta dei numeri

Durante la scuola dell’obbligo l’allievo vede man mano cambiare il mon-do dei numeri con cui ogni giorno, in classe, deve «fare i conti» e se nel primo anno di scuola primaria l’insegnante, consapevole del delicato compito, dedica molto tempo e molte attività al primo approccio al numero, forse non si può dire lo stesso per le fasi successive, quando il concetto di numero, così solidamente fondato, dovrà trasformarsi adattandosi a nuovi contesti. Il percorso scolastico si presenta come un «pericoloso» viaggio tra i numeri che richiede uno sforzo cognitivo di adattamento estremamente difficile per molti alunni.

Le difficoltà relative alla complessità intrinseca che presenta la concettua-lizzazione dei «nuovi» numeri si sommano a quelle di adattamento del modello intuitivo di «numero» radicato nel concetto di «numero naturale»; in più, si incontrano delle difficoltà specifiche in relazione ai diversi sistemi di rappre-sentazione. Quest’ultimo tipo di complessità risulta particolarmente ostico da superare perché spesso difficile da individuare: la tendenza a non mescolare sistemi diversi di rappresentazione è efficace all’interno di un determinato con-testo, ma ingannevole tra contesti diversi. Per questo motivo, riteniamo sia molto importante introdurre i vari insiemi numerici come strettamente collegati tra loro: è importante che lo studente percepisca l’insieme Z dei numeri interi come l’ampliamento dei numeri naturali, così come l’insieme Q dei numeri razionali lo è per i numeri interi. Infatti, i numeri interi (Z) risolvono il problema della non chiusura della sottrazione nell’insieme dei naturali (N) mentre, quelli razionali (Q), consentono di chiudere l’operazione di divisione, non chiusa nell’insieme Z.

Insegnare agli studenti che N, Z e Q costituiscono quelli che solitamente sono chiamati Insiemi Numerici consente non solo di definire il numero (come non necessariamente associato al solo numero naturale), ma di comprendere anche le diverse rappresentazioni che esso può avere. Come conseguenza, anche le proprietà operative e strutturali che caratterizzano ciascun insieme numerico dovrebbero assumere un nuovo significato perché sono proprio queste che con-sentono di individuare l’insieme a cui appartengono.

Il percorso didattico presentato in questo libro si propone di far emergere i significati matematici delle proprietà operative e strutturali che caratterizzano i diversi insiemi numerici ed è basato sull’utilizzo di uno strumento tecnologico,

1


AlNuSet che può aiutare l’insegnante ad affrontare alcune delle difficoltà che gli studenti incontrano nell’approccio ai diversi insiemi numerici. Tali difficoltà sono di seguito descritte e suddivise secondo l’insieme numerico di appartenenza.

Difficoltà sui numeri naturali

Di solito, gli allievi che si affacciano alla scuola secondaria di 1° grado hanno conseguito una «conoscenza operativa» dell’insieme dei numeri naturali: ossia, si dimostrano in grado di eseguire, in modo più o meno veloce e corretto, semplici addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni. La conoscenza delle proprietà delle operazioni, quando acquisita, ha caratteristiche operative: le proprietà sono formulate in termini di uguaglianza del risultato che si ottiene eseguendo determinate procedure. In questo modo, diventa molto difficile riuscire a cogliere il significato relazionale tra le espressioni aritmetiche che rappresen-tano le procedure (Gray & Tall, 1994; Sfard, 1991). In particolare, la proprietà di chiusura di un insieme numerico rispetto ad un’operazione X riveste un ruolo fondamentale nella caratterizzazione dei diversi insiemi numerici, ma raramen-te è compresa e spesso, gli ampliamenti sono concepiti esclusivamente come associati a una evoluzione delle conoscenze riguardanti i numeri, quasi legata all’età anagrafica dell’allievo. È, invece, molto importante rendere sin da subito l’alunno consapevole di come sono costruiti i diversi sistemi numerici partendo dalla necessità di eseguire le operazioni non solo mantenendo le proprietà che li caratterizzano, ma anche allargando a quelle che in altri insiemi non valgono.

Dal punto di vista metodologico, occorre che lo studente sia in grado non solo di effettuare operazioni con i numeri naturali, ma anche di capire che le proprietà delle operazioni consentono di eseguire calcoli complessi. Far com-prendere il significato strutturale delle operazioni, significa mettere l’alunno nella condizione di poter effettuare i collegamenti tra i naturali e gli altri insiemi numerici. Così, ad esempio, per l’allievo è importante imparare che somma e sottrazione non sono operazioni separate tra loro (Bartolini Bussi, Ramploud e Baccaglini–Frank, 2013) ma sono l’una l’inversa dell’altra e che il fatto di poter effettuare una sottrazione si basa sull’introduzione di nuovi elementi all’insieme dei numeri naturali, così che ogni elemento abbia il proprio opposto.

Anche prodotto e divisione sono operazioni inversamente collegate tra loro, così come lo sono la potenza intera e quella razionale, ed è importante che lo studente ne sia consapevole. Per quanto riguarda l’operazione di potenza, questa presenta difficoltà specifiche poiché viene, a volte, confusa dagli studenti con l’operazione di moltiplicazione tra la base e l’esponente della potenza (ossia, 23 viene interpretato come 2 * 3). Anche le proprietà delle potenze vengono imparate senza coglierne i significati e, per questo, facilmente dimenticate o ricordate in modo errato. Pensiamo, per esempio, alla difficoltà che gli studenti hanno nel ricordare la proprietà am * an = am+n, i segni operativi di somma tra esponenti e di moltiplicazione tra potenze vengono facilmente scambiati oppure ne viene usato solo uno per entrambe (Tipico errore: am * an = am*n oppure am + an = am+n).

Un’altra difficoltà che gli studenti incontrano quando affrontano il program-ma di matematica della scuola secondaria di primo grado è legata al concetto

Difficoltà a orientarsi nella foresta dei numeri ◆ 15

di «multiplo» e «divisore» e, di conseguenza, al concetto di «minimo comune multiplo» e «massimo comune divisore». Una delle ragioni possibili che spiegano tali difficoltà risiede certamente nel fatto che tali concetti sono spesso introdotti in modo teorico attraverso una semplice definizione del tutto scollegata dallo svolgimento di un esercizio che dia loro senso e significato. Di qui l’abitudine a legare i concetti di multiplo e di divisore a tecniche specifiche per il loro calco-lo, di modo che le tecniche di calcolo si sostituiscano alle definizioni e ai loro significati. La confusione, stando così le cose, diventa del tutto comprensibile e giustificata.

Le funzionalità e l’aspetto dinamico fornito dalla Retta Algebrica di AlNu-Set consentono, invece, di cogliere meglio quei significati che non emergono nell’operatività standard effettuata con carta e penna. Per esempio, i multipli di un numero, sulla Retta di AlNuSet, sono costruiti come punti che si susseguono mantenendo costanti le distanze l’uno dall’altro; le distanze costanti rappre-sentano il numero di cui stiamo costruendo i multipli. Inoltre, la possibilità di costruire sulla retta espressioni quali, ad esempio, 2x o 2x + 1 e la dinamicità fornita dalla possibilità di muovere x sulla retta e vedere gli effetti che questo movimento produce sulle espressioni che dipendono da essa, aiuta gli studenti a cogliere il vero significato di multiplo (2x rappresenta l’insieme dei numeri pari perché tutti i multipli di 2 sono contenuti in tale insieme e vengono visualizzati sulla retta al variare di x).

Difficoltà sui numeri interi

Molte delle difficoltà che gli studenti incontrano nell’approccio ai numeri negativi riflettono le difficoltà che hanno caratterizzato lo sviluppo di questi numeri sul piano storico.

Verso la fine del XVIII secolo, infatti, l’algebra era ancora considerata come aritmetica universale: le operazioni erano caratterizzate dalle stesse limitazioni presenti in aritmetica, per cui un’espressione come a – b aveva senso solo se b era minore di a. All’inizio del XIX secolo il matematico George Peacock distin-gue tra algebra aritmetica e algebra simbolica e afferma che l’operazione a – b ha senso nell’algebra simbolica anche quando b è maggiore di a, attribuendo al risultato di tale operazione (priva di senso nell’algebra aritmetica) il valore di un vero e proprio «statuto di realtà matematica». Guardate da una prospettiva storica, le difficoltà poste dai numeri negativi sembrano avere origine nel legame tra numero e quantità: legare il numero al concetto di «quantità» non aiuta nella concettualizzazione del numero negativo perché non ha senso concepire una quantità che sia «meno di niente». In effetti, anche grandi matematici hanno mo-strato di trovare difficoltà in questo senso; la costruzione del concetto di numero negativo richiede di abbandonare il legame tra numero e quantità, sviluppando l’idea di numero come «entità ideale» dotata di specifiche proprietà legate alle operazioni che è possibile eseguire con essa.

In modo analogo a quanto accaduto nella storia del pensiero matematico, il concetto di numero negativo è difficile da cogliere per il giovane alunno che manca dell’esperienza diretta di ciò che potrebbe essere ricondotto a tale numero


negativo; inoltre, gli esempi proposti a scuola appaiono il più delle volte artificiali agli occhi degli studenti. Molto spesso si tratta, infatti, di modelli costruiti a po-steriori che non forniscono significati coerenti rispetto ai numeri e alle operazioni svolte con essi. Pensiamo, per esempio, ai numeri negativi introdotti utilizzando il concetto di «misura»: essi vengono ricondotti a un livello di riferimento come, ad esempio, il livello del mare (i numeri negativi sono quelli sotto il livello del mare opposti ai numeri positivi che sono, invece, quelli sopra il livello del mare). Il modello fornito dal calcolo della distanza rispetto a un livello di riferimento non può essere esteso in modo sensato al modello della somma e, ancor meno, a quello del prodotto. Allo stesso modo, anche la rappresentazione mediante i passi a destra o sinistra (o avanti e indietro) non sembra adeguata a introdurre il numero negativo, potrebbe funzionare per la somma, ma fallisce per quanto riguarda la rappresentazione e giustificazione del prodotto.

Tuttavia, anche la retta dei numeri non è del tutto adeguata: percorrerla in avanti e all’indietro assume un significato diverso da quello che si ricaverebbe in classe dalla «simulazione» del movimento mediante il compimento di passi reali. La retta, infatti, è orientata e i numeri sono ordinati su di essa. Tuttavia, occorre fare attenzione al fatto che a destra dello 0 l’ordinamento è quello ca-nonico, mentre a sinistra si inverte. Occorre, quindi, tenere sotto controllo sia la quantità del numero sia il segno (Bagni, 2007). Inoltre, la retta canonica non risolve il problema delle operazioni tra numeri: la moltiplicazione e la divisione non sono, infatti, rappresentabili su di essa, a differenza della somma che può essere giustificata come spostamento verso destra o verso sinistra. Lo spostamento verso destra a partire da un numero dato significa sommare una quantità a quel numero (secondo i passi compiuti verso destra), mentre lo spostamento verso sinistra significa sottrarre una quantità. Tuttavia, occorre tenere sotto controllo il segno meno che non rappresenta solo il segno di sottrazione: infatti, una delle maggiori difficoltà nell’apprendimento dei numeri interi consiste nell’imparare a distinguere i diversi significati che il segno meno può assumere. Così, se nell’in-sieme dei numeri naturali il segno meno rappresenta il segno della sottrazione, in quello dei numeri negativi assume anche un ruolo predicativo e non più soltanto operativo: il segno meno diventa, infatti, parte integrante del simbolo numerico. Infine, un terzo significato che viene acquisito dal segno meno è quello che individua l’opposto di un numero, cioè quel numero che sommato al primo da come risultato zero.

È raro che questi significati del segno meno vengano discussi in classe, al contrario una discussione esplicita su questi significati potrebbe consentire agli allievi di ottenere una maggiore consapevolezza della loro diversità e aiutarli nell’operare con i numeri negativi evitando i frequenti errori legati alla errata interpretazione del segno.

Difficoltà sui numeri razionali

La ricerca didattica (Ferrari, 2011 – parte prima e seconda; Campolucci, Pinilla, Maori, Sbaragli, 2006; Pinilla, 2005; Malara, 1999; Bonotto, 1991, 1992, 1993; Hart, 1985; Kieran 1976) ha mostrato che la comprensione del concetto di


«frazione» rappresenta uno tra gli argomenti più difficili del curriculum scola-stico della scuola media. Una delle difficoltà maggiori incontrate dagli studenti consiste nel capire la complessa rete di significati che sta dietro una frazione: per la maggior parte di loro il simbolo che separa numeratore e denominatore non indica una divisione.

L’approccio alle frazioni è difficile anche per gli insegnanti perché spesso gli strumenti a loro disposizione non sono adeguati per promuovere l’apprendi-mento di questo concetto. Di solito a scuola si insegna a operare con le frazioni (l’algoritmo della somma, la semplificazione nel prodotto, la divisione come prodotto per l’inversa) con il solo fine di poter affrontare il calcolo di espressioni, spesso lunghe e complesse dal punto di vista operativo, ma assolutamente prive di senso per lo studente. L’addestramento a questi compiti di calcolo richiede ovviamente molto tempo, che spesso è sottratto al tempo dedicato alla costru-zione di significati adeguati, sia per il concetto di frazione che per quelli relativi alle operazioni.

Di solito i significati vengono costruiti con il ricorso a modelli, dei quali spesso vengono fornite immagini che facilmente diventano degli stereotipi e non permettono un uso efficace del modello. È questo il caso, ad esempio, del modello della torta e la sua divisione in fette, come nella figura 1, nella quale la parte di torta colorata rappresenta 1

4.

Fig. 1.1 Il modello della torta è quello più utilizzato per spiegare in classe le frazioni.

La ricerca ha mostrato che questo modello, se non trattato adeguatamente, può portare gli studenti alla costruzione di misconcetti (Zan, 2000), che possono diventare veri e propri ostacoli all’apprendimento (D’Amore & Sbaragli, 2005). In particolare, il modello della torta non consente di fissare il concetto di «parte intera» rispetto al quale la frazione viene costruita. Gli alunni tendono a ricorrere a questo modello anche per svolgere delle operazioni tra frazioni che hanno come risultato una frazione maggiore dell’unità, e ciò può portare a risultati errati. Consideriamo, come esempio, la seguente somma:

34

+ 34

Per lo studente che utilizza il modello della torta è lecito pensare che la somma sia 6

8. Infatti, l’alunno vede che nella prima torta non ci sono abbastanza

fette e procede considerandone una seconda. Quindi, il numero totale delle fette risulta essere 8 e le fette che vengono aggiunte sono 3 + 3, quindi 6. Secondo questo ragionamento, la somma di due frazioni ha come risultato una frazione


che ha per numeratore la somma dei numeratori e per denominatore la somma dei loro denominatori. Per mostrare allo studente che il ragionamento non è corretto l’insegnante solitamente spiega che occorre considerare una sola torta. Questo però non chiarisce allo studente la relazione che esiste tra l’unicità della torta e l’unità considerata come parte intera nell’approccio alle frazioni. Lo studente non capisce perché si deve considerare una sola torta.

Il modello in questione non funziona neppure per il prodotto tra frazioni; immaginiamo, per esempio, di dover compiere la seguente operazione:

34

* 35

Il modello della torta consente di rappresentare le due frazioni, ma quando si effettua la moltiplicazione il modello non risulta omogeneo: cioè, l’interpre-tazione deve essere adeguata in modo che se la prima frazione, ancora consi-derata come parte di una torta, diventa la nuova unità, la seconda frazione deve essere necessariamente interpretata come un operatore che agisce su di essa; il risultato sarà allora «i 3

5 dei 3

4» ed è ancora interpretabile in termini di «fette di

una torta», fette che nelle suddivisioni successive sono diventate 20 e di cui ne sono state prese 9.

Ancora una volta, il modello della retta dei numeri sembra essere il più ade-guato per la rappresentazione corretta di un numero razionale. Occorre, tuttavia, procedere con attenzione perché certe proprietà valide nel caso di numeri naturali non valgono nel caso di numeri razionali. Per esempio, per i numeri naturali il predicato di successivo permette di generare tutti i numeri dell’insieme a partire dal numero 0, mentre nel caso dei razionali ciò non è possibile. Non possiamo, cioè, costruire l’ordinamento delle frazioni a partire dall’ordinamento stabilito per i naturali, occorrono nuove regole che consentano di ordinare e confrontare le frazioni.

Le nuove tecniche, tuttavia, a volte, entrano in conflitto con quelle utilizzate per i numeri interi: pensiamo, per esempio, al classico errore compiuto dagli studenti quando affermano che 1

2 è minore di 1

3 perché 2 è minore di 3. Costruire

il significato di ordine tra le frazioni risulta assai complesso se si fa riferimento al significato di frazione come relazione «parte/tutto». Risulta, invece, più intu-itivo se si fa riferimento alla rappresentazione decimale di una frazione; diventa, allora, fondamentale costruire un legame chiaro tra rappresentazione frazionaria e rappresentazione decimale attraverso l’interpretazione della scrittura frazionaria come «operazione di divisione tra interi». Anche il concetto di «densità» (cioè, la proprietà che tra due numeri razionali è sempre possibile determinarne uno intermedio) che caratterizza l’insieme dei numeri razionali non esiste per i nu-meri interi o per i naturali. Occorre, quindi, che lo studente estenda l’immagine tradizionale di retta che la vede come un insieme di punti ordinati che si trovano a una determinata distanza l’uno dall’altro (che corrisponde alla distanza dell’u-nità), al nuovo e più ampio concetto che la descrive come un’entità contenente infiniti punti e tale che tra due punti è sempre possibile determinarne un altro.

Per tutte queste ragioni, il passaggio dalla concettualizzazione di numero intero a quella di numero razionale è più problematica di quella che lo studente deve compiere nell’acquisizione del numero intero a partire da quello naturale.


Le attività del percorso didattico basate sull’uso della Retta Algebrica e del Manipolatore consentono di affrontare almeno parzialmente alcune di queste problematiche: l’aspetto dinamico della retta, le sue funzionalità e il modello della divisione che consente di costruire frazioni supportano, non solo una rappresentazione di frazione corretta dal punto di vista matematico, ma anche la costruzione di significati adeguati relativi alle proprietà che caratterizzano i numeri razionali. Le caratteristiche del Manipolatore Algebrico inducono, invece, lo studente a riflettere sulle proprietà che consentono le operazioni tra frazioni fornendo loro un significato difficilmente ricavabile dal solo svolgimento di compiti con carta e penna.

GUIDA ALLE ATTIVITÀ PER L’INSEGNANTE

ATTIVITÀ 1 Somma e differenza tra numeri naturali sulla Retta Algebrica di AlNuSet

Obiettivi

• Introdurre la somma e la differenza tra due numeri naturali utilizzando il comando di addizione/sottrazione( );

• Riscoprire le proprietà della somma come operazione binaria tra numeri naturali e la loro scrittura simbolica:

Proprietà Commutativa ∀a, bϵNa + b = b + a Proprietà Associativa ∀ a, b ϵ N a + (b + c) = (a + b) + c Esistenza Elemento Neutro ∀ a ϵ N a + 0 = a

• Introdurre la rappresentazione di un numero attraverso l’uso di una lettera.

Strumenti utilizzati

• Comando di addizione/sottrazione;• Post-it;• La funzione Edita veloce; • La funzione Inserisci nella Retta Algebrica;• Manipolatore Algebrico.

Allestimento e consegne

Attività a piccoli gruppi (Schede 3 e 4)

Attività individuale (Schede 1 e 2)

Attività collettiva – discussione matematica – (Schede 1, 2, 3 e 4)

62 ◆ I numeri con la retta di AlNuSet SEZIONE 1 – I numeri naturali

Sul quaderno

Al termine dell’Attività, gli studenti riporteranno sul quaderno le regole imparate.

Descrizione dell’attività

Inizialmente, si propone agli studenti di esplorare il funzionamento del co-mando addizione/sottrazione mediante la Scheda 1 e la Scheda 2. Come descritto nel primo capitolo, la somma e la sottrazione sono implementate nell’artefatto come operazioni inverse: mediante l’uso dello stesso modello geometrico del parallelogramma, l’allievo si renderà conto che il passaggio dall’operazione di addizione a quello di sottrazione si ottiene scambiando il ruolo degli elementi che rappresentano i dati con quello che rappresenta il risultato. Le consegne, chiedendo di eseguire una procedura e osservare quello che appare sullo schermo, mirano proprio a rendere consapevole l’allievo riguardo ciò che accomuna e ciò che dif-ferenzia le due operazioni.

La Scheda 3 aiuta a riflettere sulle proprietà della somma da un punto di vi-sta strutturale, non ancora formale: si chiede agli studenti di costruire la somma tra un numero e 0 per portarli a riflettere sul fatto che lo 0 è elemento neutro dei numeri naturali rispetto alla somma. Si chiede poi di costruire la somma di 2 + 3 e di 3 + 2 per osservare che entrambe le somme sono ricomprese nello stesso post-it. Si chiede in seguito di costruire in due diversi modi la somma 2 + 3 + 5 e, infine, di determinare diversi modi di costruire la somma 2 + 5 + 4 + 3. Le attività esplorative di questa scheda sono proposte per riscoprire le proprietà della somma tra numeri naturali: in particolare, la richiesta di eseguire la somma tra tre numeri con il comando disponibile, impone di prendere coscienza del fatto che l’operazione di somma è binaria e che quindi per eseguire la somma richiesta occorre decidere da quale delle due somme iniziare. Ci aspettiamo che gli allievi scrivano prima a parole e poi attraverso espressioni numeri-che le due procedure possibili. La richiesta di eseguire la somma di quattro addendi e di cercare tutte le procedure possibili dovrebbe approfondire e chiarire quanto già fatto nel caso di tre addendi. La complessità di esprimere a parole le procedure dovrebbe indurre a ricorrere alla scrittura standard per le espressioni numeriche:

2 + 3 + 4 + 5(2 + 3) + (4 + 5)

(2 + (3 + 4)) + 5

2 + ((3 + 4) + 5)

Sulla Retta Algebrica di AlNuSet non compaiono le parentesi quando viene effettuata la somma di 3 o 4 addendi.

Immaginiamo per esempio che lo studente debba compiere l’operazione (2 + 3) + 4. Inizialmente costruirà la somma 2 + 3 e comparirà sulla retta l’etichetta 2 + 3. In seguito utilizzerà il comando di addizione per sommare 4 a 2 + 3.

Guida alle attività per l’insegnante ◆ 63SEZIONE 1 – I numeri naturali

La Figura 1.1 mostra la costruzione della somma. L’etichetta associata a 2 + 3 + 4 non contiene parentesi.

Fig. 1.1 La schermata della somma di tre addendi.

Tuttavia, se si costruiscono somme modificando l’ordine degli addendi, per esempio (3 + 4) + 2 o (4 + 2) + 3, queste cadono nello stesso punto di (2 + 3) + 4 e aprendo il post-it corrispondente si osserva che esso contiene tutte le somme costruite in cui l’ordine degli addendi è stato modificato (Figura 1.2).

Fig. 1.2 La schermata di visualizzazione del post-it con l’elenco delle operazioni svolte.

L’introduzione delle parentesi e la relativa riflessione viene invece affrontata esplicitamente e da una prospettiva formale nella scheda successiva.

La Scheda 4 è divisa in quattro parti. Nella prima, si chiede agli studenti di riflettere sulla proprietà dell’elemento neutro da un punto di vista formale. La proprietà mostra che 0 è un numero naturale particolare: elemento neutro perché se sommato a qualsiasi altro numero naturale il risultato resta invariato. Nella seconda parte si chiede agli studenti di utilizzare la proprietà commutativa nella semplice espressione numerica 2 + 3 in modo da ottenere la somma 3 + 2. Gli studenti dovrebbero collegare questo risultato formale con le diverse rappresen-tazioni che appaiono nei post-it della Retta Algebrica. Con i post-it è possibile avere le rappresentazioni diverse di tutte le espressioni equivalenti che si possono ottenere nel Manipolatore. La terza parte chiede di editare la somma (2 + 3) + 5 nel Manipolatore e di trasformare l’espressione in una a essa equivalente. Poiché non è semplice trovare tutte le espressioni equivalenti a una data, chiediamo allo studente di provare a effettuare le trasformazioni indicate nella parte sinistra della tabella seguente e di scrivere a destra la proprietà utilizzata per trasformare l’espressione

Ciò che possiamo ottenere dallo studente è la tabella seguente (Figura 1.3):

64 ◆ I numeri con la retta di AlNuSet SEZIONE 1 – I numeri naturali

Comandi Manipolatore Proprietà utilizzata

Fig. 1.3 Obiettivo che lo studente dovrebbe raggiungere lavorando alla Scheda 4.

L’utilizzo della proprietà associativa, oltre alla commutativa, aiuta a rappresen-tare e a tenere sotto controllo tutti i casi possibili. Nell’ultima parte della scheda si chiede, invece, di trasformare nel Manipolatore l’espressione 2 + 5 + 4 + 3 secondo quanto trovato nella Scheda 3. Gli studenti possono utilizzare indifferentemente la proprietà associativa o commutativa e possono inserire o togliere la parentesi. Si noti che le riflessioni sulla somma di quattro elementi potrebbero aprire ad attività combinatorie ma in ogni caso può essere significativo far osservare agli studenti come l’aggiunta di un solo addendo complichi le cose e faccia aumentare le possibili catene di operazioni.

Si suggerisce di far lavorare gli alunni in piccoli gruppi per affrontare la Scheda 3 e la Scheda 4, poiché quest'ultima richiede di utilizzare per la prima volta il Manipolatore Algebrico.

Descrizione del potenziale semiotico

Il modello di addizione/sottrazione utilizza le proprietà del parallelogramma per sommare due segmenti sulla retta. È possibile richiamare la proprietà com-mutativa della somma riconoscendo come il ruolo dei due addendi possa essere invertito. La rappresentazione dei numeri su due rette (di colore diverso) permette di distinguere i due addendi come appartenenti ciascuno a una retta diversa. Un ruolo specifico è giocato in questa attività dalla rappresentazione nei quadretti dei due elementi dell’operazione: il primo elemento è sempre rappresentato da un quadretto blu e il secondo da un quadretto rosso, coerentemente con il fatto che il primo è rappresentato sulla retta blu e il secondo sulla retta rossa. In questo modo, l’ordine dei due elementi ha un corrispettivo nei colori e nella posizione reciproca di punti sulle rette.

Questo espediente permette anche di chiarire come la somma sia una opera-zione che coinvolge solo due elementi per volta e in un ordine ben preciso.

Si stabilisce dunque una relazione tra tre numeri: due addendi e il risultato; tale relazione può essere espressa in molti modi diversi ma tutti equivalenti:

2 + 3 = 5

3 + 2 = 5

5 – 3 = 2

5 – 2 = 3

Guida alle attività per l’insegnante ◆ 65SEZIONE 1 – I numeri naturali

L’esplorazione delle proprietà della somma (commutativa, associativa ed esistenza dell’elemento neutro) utilizzando il modello, ovvero riconoscendole anche nelle proprietà geometriche del modello, aiuta a visualizzarle concreta-mente prima di studiarle formalmente. Ad esempio, la proprietà associativa, che per gli alunni può non avere un significato evidente, viene resa in modo semplice da scritture quali 2 + 3 + 5, ovvero somme di più addendi senza parentesi. La richiesta di eseguire la somma con il pulsante obbliga l’allievo a scegliere consapevolmente una coppia di numeri dalla quale iniziare conducendolo a definire una delle diverse procedure possibili; il confronto tra le diverse procedure e la constatazione che si otterrà sempre lo stesso risultato permette di dare senso sia alle scritture con parentesi sia a quella senza parentesi.

ATTIVITÀ 2 Costruire semplici espressioni con il comando di addizione/sottrazione

Obiettivi

• Introdurre la lettera x come variabile che rappresenta un numero del dominio scelto (in questo caso, l’insieme dei numeri naturali);

• Introdurre semplici espressioni associate a una procedura di calcolo nella quale è stata inserita la variabile.

Strumenti utilizzati

• Comando di addizione/sottrazione; • La funzione Edita veloce; • Post-it.

Allestimento e consegne

Attività a piccoli gruppi (Scheda 5)

Attività individuale

Attività collettiva – discussione matematica – (Scheda 5)

Descrizione dell’attività

Nella Scheda 5, si chiede agli studenti di rappresentare mediante un’espressio-ne il successivo di un numero dato. Si richiede, poi, di rappresentare il successivo del successivo del numero dato: gli studenti, a questo punto, dovrebbero inserire sulla retta la lettera x e costruire il successivo come x + 1. Il successivo del suc-cessivo di x sarà invece x + 1 + 1.

Muovendo la variabile x sulla retta e utilizzando il post-it per visualiz-zare il valore delle espressioni, lo studente potrà verificare le ipotesi fatte (Figura 1.4).

140 ◆ © 2017, B. Pedemonte e M.A. Mariotti, I numeri con la retta di AlNuSet, Trento, Erickson SEZIONE 2 – I numeri interi relativi

SCHEDA 1

• Nell’ambiente Retta Algebrica di AlNuSet seleziona il Dominio dei numeri interi relativi.

• Prova a determinare un’espressione che rappresenti il successivo di x (ricor-dando che x rappresenta un numero intero relativo).

• Scrivi anche un’espressione che rappresenti il numero precedente a x.

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

• Completa la tabella seguente scrivendo quali sono, secondo te, il successivo e il precedente di ciascun numero indicato.

Numero antecedente Numero Intero Numero successivo

3

42

0

–2

–5

• Sulla Retta Algebrica inserisci la lettera x mediante il comando Edita veloce.

• Inserisci anche le espressioni da te determinate che rappresentano il succes-sivo e il precedente del numero x.

• Trascina x sulla retta e osserva il movimento delle espressioni che rappre-sentano il successivo e il precedente di x. Secondo te, le espressioni determi-nate permettono di determinare il successivo e il precedente di un numero?

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

© 2017, B. Pedemonte e M.A. Mariotti, I numeri con la retta di AlNuSet, Trento, Erickson ◆ 141SEZIONE 2 – I numeri interi relativi

• Perché?

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

• I numeri da te determinati nella tabella corrispondono a quelli che trovi muovendo x sulla Retta Algebrica? Secondo te perché?

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


SCHEDA 2


• Osserva l’immagine e indica quale delle seguenti affermazioni è vera: a precede b; b precede a; a segue b; b segue a.

• Sapresti indicare di quanti passi (si indica con passo la distanza tra un nume-ro e il suo successivo o il suo precedente) distano i due punti corrispondenti alle due lettere?

____________________________________________________________________________________________

• In quale direzione occorre muoversi per andare da a verso b?

____________________________________________________________________________________________

• Sapresti adesso scrivere b in funzione di a?

____________________________________________________________________________________________

• Prova a scrivere un’espressione utilizzando a che vada a finire nello stesso post-it di b.

____________________________________________________________________________________________

• In quale direzione occorre muoversi per andare da b verso a?

____________________________________________________________________________________________

• Sapresti adesso scrivere a in funzione di b?

____________________________________________________________________________________________


• Prova a scrivere un’espressione utilizzando b che vada a finire nello stesso post-it di a.

____________________________________________________________________________________________

Verifica la correttezza delle tue risposte:

• Inserisci mediante il comando Edita veloce le lettere a e b.

• Trascina a e b sulla retta in modo che appaiano esattamente come nel dise-gno.

• Inserisci poi con il comando Edita veloce le due espressioni da te trovate e verifica che cadano negli stessi post-it di a e b.


SCHEDA 3


• Mediante il comando Edita veloce inserisci la lettera x sulla Retta Algebrica, il numero x rappresenta un numero appartenente all’insieme dei numeri interi.

• Scrivi l’espressione che rappresenta il successivo di x.

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

• Mediante il comando Edita veloce inserisci x e l’espressione che rappresenta il successivo di x sulla retta.

• Trascina x sulla retta e rispondi alle domande. Per quali valori di x, il valore dell’espressione è uguale o maggiore di –7?

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

• Per quali valori di x il valore dell’espressione è uguale o minore di –3?

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

• Per quali valori di x il valore dell’espressione è uguale o maggiore di –11 e minore o uguale a 2?

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________


• Scrivi un’espressione che rappresenti 3 passi (si indica con passo la distanza tra un numero e il suo successivo o il suo precedente) verso destra rispetto a x e inseriscila sulla retta.

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

• Trascina x sulla retta e rispondi alle domande. Per quali valori di x il valore dell’espressione è uguale a 0?

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

• Per quali valori di x il valore dell’espressione è uguale o minore di 3?

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

• Per quali valori di x il valore dell’espressione è uguale o maggiore di –1?

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

• Per quali valori di x il valore dell’espressione è compreso tra –3 e 3?

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________

Documents

I numeri con la retta di Alnuset - shop.erickson.it · Sfruttando le potenzialità di rappresentazioni offerte dalla «retta dei numeri», AlNuSet facilita la com- ... l’apprendimento