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fine Questioni sullINFINITO

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I numeri naturali sono infiniti. Anche i numeri razionali sono infiniti. Beh, allora, se parliamo dinfinito, in una retta ci sono infiniti punti e in un segmento?

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Attenzione. Linfinito un campo in cui si deve entrare con precauzione. Molti matematici e filosofi hanno disquisito su questo soggetto. fine Quando si parla dellinfinito in matematica occorre fare attenzione. Leggiamo che cosa ne pensava Galileo Galilei

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Discorsi e dimostrazioni matematiche, Giornata Prima (1638) SimplicioSalviati Qui nasce subito il dubbio, che mi pare insolubile: ed , che sendo noi sicuri trovarsi linee una maggior dell'altra, tutta volta che amendue contenghino punti infiniti bisogna confessare trovarsi nel medesimo genere una cosa maggior dell'infinito, perch la infinit de i punti della linea maggiore ecceder l'infinit de i punti della minore. Ora questo darsi un infinito maggior dell'infinito mi par concetto da non poter esser capito in verun modo. fine

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SimplicioSalviati Qui nasce subito il dubbio, che mi pare insolubile: ed , che sendo noi sicuri trovarsi linee una maggior dell'altra, tutta volta che amendue contenghino punti infiniti bisogna confessare trovarsi nel medesimo genere una cosa maggior dell'infinito, perch la infinit de i punti della linea maggiore ecceder l'infinit de i punti della minore. Ora questo darsi un infinito maggior dell'infinito mi par concetto da non poter esser capito in verun modo. fine E u c li d e Discorsi e dimostrazioni matematiche, Giornata Prima (1638)

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Queste son di quelle difficolt che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl'infiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente, perch stimo che questi attributi di maggioranza, minorit ed egualit non convenghino a gl'infiniti, de i quali non si pu dire, uno esser maggiore o minore o eguale all'altro. () Discutendo su quanti sono i quadrati e le radici, rispetto a tutti i numeri fine

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Queste son di quelle difficolt che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl'infiniti, dandogli quelli attributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente, perch stimo che questi attributi di maggioranza, minorit ed egualit non convenghino a gl'infiniti, de i quali non si pu dire, uno esser maggiore o minore o eguale all'altro. () Discutendo su quanti sono i quadrati e le radici, rispetto a tutti i numeri fine

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Ma se io domander, quante siano le radici, non si pu negare che elle non siano quante tutti i numeri, () e pur da principio dicemmo, tutti i numeri esser assai pi che tutti i quadrati, essendo la maggior parte non quadrati. () e pur nel numero infinito, se concepir lo potessimo, bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati quanti tutti i numeri insieme. fine

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Ma se io domander, quante siano le radici, non si pu negare che elle non siano quante tutti i numeri, () e pur da principio dicemmo, tutti i numeri esser assai pi che tutti i quadrati, essendo la maggior parte non quadrati. () e pur nel numero infinito, se concepir lo potessimo, bisognerebbe dire, tanti essere i quadrati quanti tutti i numeri insieme. fine

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Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, () E per quando il Sig. Simplicio mi propone pi linee diseguali, e mi domanda come possa essere che nelle maggiori non siano pi punti che nelle minori, io gli rispondo che non ve ne sono n pi n manco n altrettanti, ma in ciascheduna infiniti. fine

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Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, () E per quando il Sig. Simplicio mi propone pi linee diseguali, e mi domanda come possa essere che nelle maggiori non siano pi punti che nelle minori, io gli rispondo che non ve ne sono n pi n manco n altrettanti, ma in ciascheduna infiniti. fine

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Il tutto uguale ad una parte? I quadrati sono tanti quanti i numeri? Ma cos linfinito in matematica?

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Sono stato io, Dedekind, a fine ottocento a fornire la definizione di infinito fine era necessario dar una definizione per evitare i paradossi Richard Dedekind

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Un insieme S si dice infinito se equipotente a una sua parte propria, altrimenti si dice finito equipotente fine Richard Dedekind

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fine riprendiamo il discorso di Salviati tanti essere i quadrati quanti i numeri insieme e cerchiamo di capire cosa intendeva esprimere con i numeri insieme si riferiva ai numeri naturali consideriamo allora linsieme dei numeri naturali N e linsieme dei qudrati dei numeri naturali, QUAD e costruiamo una corrispondenza biunivoca tra questi due insiemi Richard Dedekind

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fine 1234567812345678 1491625364964 gli insiemi N e QUAD sono equipotenti N un insieme infinito. provate voi con linsieme dei numeri naturali pari P...

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fine costruiamo una tabella di tutte le frazioni come questa E unidea del mio collega Georg Cantor (primo metodo diagonale) facciamo un altro esempio: consideriamo linsieme di tutte le frazioni...

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fine e iniziamo a mettere in fila le frazioni secondo un ordine conveniente in modo da non saltarne nessuna...

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31 371341011212236 6834 714 2615 16 17 18 27 28 29 30 32 42 41 40 39 2591220233538 191324 3325 fine Ogni volta che ritroviamo una frazione equivalente ad una gi considerata, la saltiamo. Cos, saltiamo 2 ; 4 ; 3 ; 2 ; eccetera 2 2 3 4 ..

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31 37 1341011212236 6834 714 2615 16 17 18 27 28 29 30 32 42 41 40 39 2591220233538 191324 3325 fine mantenendo sempre lo stesso ordine .

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fine 31 37 1341011212236 6834 714 2615 16 17 18 27 28 29 30 32 42 41 40 39 2591220233538 191324 3325 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 29

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31 37 1341011212236 6834 714 2615 16 17 18 27 28 29 30 32 42 41 40 39 2591220233538 191324 3325 fine 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 29 Le frazioni sono quindi ordinate cos. 34

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31 37 1341011212236 6834 714 2615 16 17 18 27 28 29 30 32 42 41 40 39 2591220233538 191324 3325 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 29 fine 28 abbiamo cos stabilito una corrispondenza biunivoca tra N e Q allora linsieme Q infinito. meglio, linsieme delle frazioni numerabile... il procedimento seguito ci assicura che nessuna frazione pu essere dimenticata e nellordinamento fatto non possiamo inserire nessunaltra nuova frazione

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Attenzione: Naturalmente lordine in cui sono scritte le frazioni un ordine convenzionale! non il consueto ordinamento espresso dalla relazione minore di