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PIANO CARTESIANO Sia f: AR R , il grafico di f è un sottoinsieme del prodotto cartesiano RxR = R 2 Costruiamo una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano euclideo e le coppie di numeri reali: 1- scelta di un punto O, origine, questo punto verrà associato alla coppia (0,0) 2- scelta di una retta r 1 qualsiasi passante per O, asse delle ascisse 3- scelta di un punto diverso da O su r 1 (unità di misura e orientamento sull’asse delle ascisse)

PIANO CARTESIANO - Benvenuti |  · PIANO CARTESIANO Scegliamo un punto P del piano, dobbiamo associare a P una coppia di numeri reali: 1- retta per P parallela all’asse delle ordinate

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PIANO CARTESIANOSia f: A⊆R → R , il grafico di f è un sottoinsieme delprodotto cartesiano RxR = R2

Costruiamo una corrispondenza biunivoca tra i punti delpiano euclideo e le coppie di numeri reali:1- scelta di un punto O, origine, questo punto verràassociato alla coppia (0,0)2- scelta di una retta r1 qualsiasi passante per O, assedelle ascisse3- scelta di un punto diverso da O su r1 (unità dimisura e orientamento sull’asse delle ascisse)

PIANO CARTESIANO4- scelta di una retta diversa da r1 e passante per O, asseordinate (usualmente scelto ortogonale all’asse delleascisse)

5- scelta di un punto diverso da O sull’asse delleordinate (unità di misura (può essere diversa da quelladell’asse delle ascisse) e orientamento per l’asse delleordinate)

Sistema di riferimento

PIANO CARTESIANOScegliamo un punto P del piano, dobbiamo associare aP una coppia di numeri reali:1- retta per P parallela all’asse delle ordinate. Questaretta interseca l’asse delle ascisse in un unico punto P1 acui corrisponde un unico numero reale x , ascissa delpunto P2- retta per P parallela all’asse delle ascisse. Questaretta interseca l’asse delle ordinate in un unico punto P2a cui corrisponde un unico numero reale y, ordinatadel punto P P←→(x,y)

PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI{(x,c) | x∈R} = {(x,y)∈R2 | y=c}⊂R2

è una retta parallela all’asse delle ascisse

L’asse delle ascisse è una retta di equazione y=0

Analogamente {(c,y) | y∈R} = {(x,y)∈R2 | x=c}⊂R2

è una retta parallela all’asse delle ordinate

L’asse delle ordinate è una retta di equazione x=0

PIANO CARTESIANO:EQUAZIONIf: A⊆R → R , il grafico Gf della funzione f è Gf ={(x,y)∈AxR | y=f(x)}Esempi:f: R → R , il polinomio f(x) = x2 - x -2. Il grafico di f èl’insieme di equazione y= x2 - x -2, che è una parabola.

f: [-1,1]→ R, la funzione √(1-x2). Il grafico di f èl’insieme di equazione y = √(1-x2), che è lasemicirconferenza superiore di centro l’origine e raggio1, dove x è compreso nell’intervallo [-1,1].

PIANO CARTESIANO:EQUAZIONIEsercizio:Nei due esempi precedenti, determina perquali valori di c l’equazione f(x)=c ha soluzione

Primo esempio:il grafico della funzione f è la parabolay= x2 - x -2; essa interseca l’asse delle ascisse nei punti(-1,0) e (2,0) (dunque x=-1 ed x=2 sono soluzionidell’equazione f(x)=0).Essendo la parabola rivolta verso l’alto, il grafico di f haordinata minima nel vertice (1/2,f(1/2)) = (1/2,-9/4).Dunque:

PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI

PIANO CARTESIANO:EQUAZIONISe c< -9/4 , il grafico di f non interseca la retta y=c, diconseguenza l’equazione f(x) =c non ha soluzioni

Se c=-9/4, la retta y=-9/4 interseca il grafico di f in unsol punto, di conseguenza l’equazione f(x) = -9/4 ha unasola soluzione

Se c>-9/4, la retta y=c interseca il grafico di f in duepunti, pertanto l’equazione f(x) = c ha due soluzionidistinte.

PIANO CARTESIANO:EQUAZIONINel secondo esempio: f: [-1,1]→ R, la funzione √(1-x2).Poichè y = √(1-x2) è la semicirconferenza superiore dicentro l’origine e raggio 1, il grafico di f ha ordinatamassima nel punto (0,f(0))=(0,1), inoltre f(x)=0 per x=-1 oppure per x=1, per -1<x<1 f(x)>0. Dunque,l’equazione f(x)=cper c<0 non ha soluzioniper 0≤c<1 ha due soluzioniper c=1 ha una sola soluzione x=0per c>1 non ha soluzione

PIANO CARTESIANO:EQUAZIONI

PIANO CARTESIANO:DISEQUAZIONIIl semipiano superiore è rappresentato dalladisequazione y>0Le soluzioni della disequazione f(x)>0 sono le ascissedei punti del grafico di f contenuti nel semipianosuperiore

Esempio: Risolvere x2 - x -2 > 0. Posto f(x) = x2 - x -2,risolvere la disequazione equivale a determinare f-1(R+)f-1(R+)={x∈R | x<-1 o x>2} = (-∞, -1)∪(2, +∞)

PIANO CARTESIANO: un problema diprogrammazione lineare

In un laboratorio sono disponibili due contatori A, B dibatteri. Il contatore A può essere azionato da unlaureato che guadagna 20 euro per ora. In media ilcontatore A è in grado di stimare 6 campioni l’ora. Ilcontatore B è più veloce, ma anche più perfezionato,solo una persona più esperta, che guadagni 50 euro perora, può usarlo. Con la stessa precisione di A, ilcontatore B consente in media la stima di 10 campionil’ora.Si devono stimare 1000 campioni in un periodo ditempo non superiore a 80 ore. Come convieneprocedere?

PIANO CARTESIANO: un problema diprogrammazione lineare

y5010B

x206A

Numero di ore difunzionamento

Retribuzioniorarie in euro

Campionistimatiper ora

Contatore

Poiché il lavoro deve essere eseguito in 80 ore, si ha:0 ≤ x ≤ 80, 0 ≤ y ≤ 80Inoltre, 6x + 10y = 1000, con costo 20x + 50y chevorremmo minimo.

PIANO CARTESIANO: un problema diprogrammazione lineare

Dobbiamo considerare i punti del piano chesoddisfano a tutte le condizioni elencate.Abbiamo il quadrato[0, 80]x[0, 80], intersecato dallaretta 6x+10y=1000. Questa intersezione è data dal segmento di estremi ipunti (100/3,80) e (80,52).Il costo totale 20x + 50y può essere espresso nella solaincognita x; infatti, dalla relazione 6x + 10y =1000,ricaviamo y=-0.6x + 100, quindiCosto= 20x + 50(-0.6x + 100)= -10x + 5000

PIANO CARTESIANO: un problema diprogrammazione lineare

PIANO CARTESIANO: un problema diprogrammazione lineare

Costo= 20x + 50(-0.6x + 100)= -10x + 5000

C(x) = 5000 - 10x, il costo diminuisce all’aumentaredi xPer x= 100/3 il costo C(100/3)≈ 4667 euroPer x=80 il costo C(80)=4200 euroLa spesa minima si ottiene facendo lavorare ilcontatore A per 80 ore e il contatore B per 52 ore

A controlla 480 campioni e B ne controlla 520

(da Batschelet, pag 81)

FUNZIONI LINEARI

Una funzione è lineare se il suo valore varia inmodo proporzionale alla variazione del suoargomento.Supponiamo che l’argomento vari da x0 a x, lavariazione dell’argomento è, dunque, Δx= x - x0 .Se f: R → R è una funzione lineare, la variazioneΔf = f(x) - f(x0) deve essere proporzionale a x - x0 ,vale a dire deve esistere una costante m tale che f(x) - f(x0) = m·(x - x0 ), Δf = m ·Δx, dunquef(x) =mx + q, dove si è posto q= f(x0) - m x0

FUNZIONI LINEARI

Viceversa, se f: R → R è una funzione f(x) =mx + q,dove m e q sono costanti, allora f(x) - f(x0)=mx+q -(mx0 +q)= m·(x - x0 ), quindi f èlineare.Le funzioni lineari sono tutte e sole le funzioni deltipo f(x) = mx + q , dove m e q sonoopportune costanti reali.

FUNZIONI LINEARI: un problema dicrescita

Supponiamo di voler studiare la crescita di una radicedi pianta di mais, la cui lunghezza verrà espressa inmm, in funzione del contenuto di saccarosio, espressoin gr/l, nel terreno di coltura.Per un contenuto di saccarosio (s) di 15 gr/l, si èottenuto una lunghezza (l) di 62 mm, mentre con 25gr/l si è ottenuto una lunghezza di 74 mm.Puoi determinare l(s), supponendo che la relazione sialineare?

FUNZIONI LINEARI: un problema dicrescita

Vogliamo esprimere l(s)=ms +qDeterminiamo m74- 62 = m (25 -15), da cui m=1.2Determiniamo qq= 62 - 1.2·15 = 44l(s) = 1.2s + 44

Quale sarà la lunghezza della radice per un contenutodi saccarosio di 20 gr/l?l(20) = 1.2·20 + 44 = 68 mm

FUNZIONI LINEARI: un problema dicrescita

l(s) = 1.2s + 44

Per quale contenuto di saccarosio la radice avrà unalunghezza di 80 mm?

80= 1.2s + 44, da cui s = (80-44)/1.2 = 30 gr/l

FUNZIONI LINEARI: un problema dicrescita

Le osservazioni di cui disponiamo danno per lavariabile libera s i due valori 15 e 25, per cui 20 è unvalore interno a questo intervallo, la predizione perl(20)=68 è frutto di una interpolazione dei dati; ilvalore s=30 ottenuto nella seconda domanda è esternoall’intervallo dei dati, per cui la predizione l(30) =80è frutto di una estrapolazione dei dati

Attenzione! Per un contenuto 0 di saccarosio unalunghezza di 44 mm sarà ragionevole? Se mettessimo100 gr/l la previsione di una lunghezza di 164 mm èragionevole?

FUNZIONI LINEARI

In generale: per una funzione f(x) = mx + q,assegnati due coppie di dati (x1 ,y1) e (x2 ,y2), perdeterminare m e q, si pone y1- y2 = f(x2)-f(x1) = m(x2 -x1) m=(y1- y2 )/(x2 -x1)q= f(x1) -m x1= f(x2)- mx2Due punti bastano per individuare una funzionelineare, viceversa data una funzione lineare, bastanodue punti per disegnare il suo grafico.

FUNZIONI LINEARI

I grafici delle funzioni lineari sono tutte le rette nonparallele all’asse delle ascisse. Per ottenere tutte lerette dobbiamo considerare, più in generale,l’equazione ax + by = c

Per b≠0 otteniamo y = -(a/b)·x + c/b, se a=0 alloray=c/b, vale a dire la retta parallela all’asse delleascisse passante per il punto (0, c/b)

Per b=0, a≠0 otteniamo x=c/a , vale a dire una rettaparallela all’asse delle ordinate passante per il punto(c/a,0)

FUNZIONI LINEARI

Assegnata f(x)=mx+q, conoscendo un valore y=f(x)determinare x, si ottiene:

per m≠0 x= (y-q)/m, soluzione unica

per m=0 se y ≠ q , non ci sono soluzioni

per m=0 se y=q, ogni valore di x va bene, infinitesoluzioni.

FUNZIONI MONOTONE

Diremo che una funzione f: A⊆ R→ R è crescentese per ogni x1, x2 ∈A con x1 < x2 allora f(x1) ≤ f(x2).

Diremo che la funzione è strettamente crescente sese per ogni x1, x2 ∈A con x1< x2 allora f(x1) < f(x2).

Diremo che la funzione f è decrescentese per ogni x1, x2 ∈A con x1< x2 allora f(x1) ≥ f(x2).

Diremo che la funzione f è strettamente decrescentese per ogni x1, x2 ∈A con x1< x2 allora f(x1) > f(x2).

FUNZIONI LINEARI

Sia f una funzione lineare f(x) = mx + q, comedecidere se f è monotona?

Sappiamo che m= Δf(x)/ Δx , possiamo quindi dire:

se m > 0, quando Δx > 0 anche Δf(x) > 0quindi f è strettamente crescente

se m < 0, quando Δx > 0 allora Δf(x) < 0quindi f è strettamente decrescente

se m=0 la funzione è costante, si ha f(x)=q

MAX E MIN

Sia f: [a, b] → R diremo che x0 ∈ [a, b] è un punto di minimo per f, se per ogni x ∈ [a, b]si ha f(x)≥f(x0).f(x0) è il valore minimo che la funzione f assumenell’intervallo [a, b]

Sia f: [a, b] → R diremo che x0 ∈ [a, b]è un punto di massimo per f, se per ogni x ∈ [a, b]si ha f(x)≤f(x0).f(x0) è il valore massimo che la funzione f assumenell’intervallo [a, b]

MAX E MIN

Se f: [a, b] → R è crescente

il punto di minimo è a (perché?) ( ed è unico se lafunzione è strettamente crescente) ed il valoreminimo è f(a);

il punto di massimo è b (perché?) (ed è unico se lafunzione è strettamente crescente) e il valoremassimo assunto da f in [a, b] è f(b).

MAX E MIN

Se f: [a, b] → R è decrescente

il punto di minimo è b (ed è unico se la funzione èstrettamente decrescente) ed il valore minimo èf(b);

il punto di massimo è a (ed è unico se la funzione èstrettamente decrescente) e il valore massimoassunto da f in [a, b] è f(a).

FUNZIONI LINEARI

Se f: [a, b] → R è lineare f(x) = mx + q

Per m>0 x=a punto di minimo, x=b punto dimassimo

Per m<0 x=a punto di massimo, x=b punto diminimo

f: R → R tale che f(x) = mx + q non ha né punti dimassimo né punti di minimo

FUNZIONI LINEARI

f: R → R tale che f(x) = mx + q non ha né punti dimassimo né punti di minimo

Infatti se m>0, per ogni M>0, per quanto grandepossiamo sceglierlo, esiste un valore x0 tale che perogni x ≥ x0 f(x)≥M

basta porre mx+q ≥ M e ricavare x0 = (M-q)/m

quindi non si può avere un punto di massimo

FUNZIONI LINEARI

f: R → R tale che f(x) = mx + q non ha né punti dimassimo né punti di minimo

Infatti se m>0, per ogni M<0, per quanto grandepossiamo sceglierlo in valore assoluto, esiste unvalore x0 tale che per ogni x ≤x0 f(x)≤M

basta porre mx+q ≤ M e ricavare x0 = (M-q)/m

quindi non si può avere un punto di minimo

LIMITI

Sia f: R → RSe per ogni M>0, per quanto grande possiamosceglierlo, esiste un valore x0 tale che per ogni x ≥x0 si ha f(x) ≥ M, diremo che la funzione f(x) halimite +∞ per x che tende (x→+∞) a +∞

Se per ogni M<0, per quanto grande possiamosceglierlo in valore assoluto, esiste un valore x0 taleche per ogni x ≤ x0 si ha f(x)≤M, diremo che lafunzione f(x) ha limite − ∞ per x che tende (x→ −∞) a −∞.

LIMITI

Scriveremo rispettivamente:

limx→+∞ f(x) =+∞

limx→−∞ f(x) =−∞

A voi definire : limx→+∞ f(x) =−∞

limx→−∞ f(x) =+∞

LIMITI: FUNZIONI LINEARI

Se f(x) = mx +q , si ha per m>0

limx→+∞ f(x) =+∞ limx→−∞ f(x) =−∞

Mentre, per m<0

limx→+∞ f(x) =−∞ limx→−∞ f(x) =+∞

Dimostralo per esercizio…