Linsieme dei numeri razionali Q

Prof. Walter Pugliese

Concetto di frazione

Abbiamo visto che la divisione non unoperazione interna n in N n in Z. Lesigenza di renderla sempre possibile ci porter aconsiderare linsieme dei numeri razionali. Prima di parlare di numeri razionali bisogna per introdurre il concetto di frazione.

Se osserviamo la figura seguente, sono rappresentate delle bottiglie da litro:

La quantit di litri presenti nelle bottiglie viene indicata con il numero naturale 2.

Se adesso osserviamo la seguente figura:

La quantit di litri presente nella bottiglia sopra raffigurata non pu essere rappresentata n con un numero naturale n conun numero intero. Si tratta della met di un litro, ovvero 1:2 litri. Tale quantit viene indicata con la frazione:

1

2

dunque la frazione rappresenta il quoziente tra due numeri naturali ossia il loro rapporto.

Per esempio, la frazione 3

4avr lo stesso significato di 3:4.

Definizione di frazione

Definizione:

Una frazione una coppia ordinata di numeri naturali, di cui il secondo diverso da zero.

Il primo numero il numeratore della frazione, il secondo il denominatore.

Non esistono frazioni con denominatore 0

Le frazioni in cui il numeratore minore del denominatore vengono dette proprie

Le frazioni in cui il numeratore maggiore del denominatore vengono dette improprie

Le frazioni in cui il numeratore un multiplo del denominatore vengono dette apparenti

Esempio:

non indica una

frazione

una frazione

propria

una frazione

impropria

una frazione

apparente

Le frazioni equivalenti

Definizione:

Due frazioni sono equivalenti se il prodotto del numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda.

Indichiamo lequivalenza con il simbolo ~:

~

si legge:

equivalente a

Esempio:

Le frazioni 3

5e

6

10sono equivalenti.

Infatti i prodotti in croce risultano uguali.

La propriet invariantiva

Propriet invariantiva:

Se si moltiplica per uno stesso numero diverso da zero sia il numeratore che il denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente.

Allo stesso modo si possono dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero, purch sia divisore di entrambi.

~

, 0

~:

: ( , 0)

Esempio:

2

5~2 3

5 3

Infatti 2 5 3 = 5 2 3 , quindi:

2

5~6

5

La semplificazione di frazioni

Data una frazione, quando applichiamo la propriet invariantiva dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero, diciamo che semplifichiamo la frazione.

Se semplifichiamo pi possibile una frazione, giungiamo alla frazione ridotta ai minimi termini.

Per ridurre una frazione ai minimi termini sufficiente dividere numeratore e denominatore per il loro M.C.D.

Esempio:

24

40non ridotta ai minimi termini.

Per ridurla ai minimi termini basta dividere numeratore e denominatore per il M.C.D. (24,40) ovvero per 8:

24

40~

24:8

40:8, quindi

24

40~

3

5

La riduzione di frazioni a denominatore comune

Ridurre a denominatore comune due frazioni significa trovare altre due frazioni aventi lo stesso denominatore, ciascuna equivalente a una delle frazioni date.

Si possono trovare infinite soluzioni a questo problema ma, per semplicit di calcolo, fra tutti i possibili denominatori comuni si sceglie il pi piccolo, cio il m.c.m. fra i denominatori: si parla allora di riduzione al minimo denominatore comune.

Esempio:

Riduciamo al minimo denominatore comune le frazioni 5

6e

4

15:

m.c.m. (6,15)=30

Applichiamo la propriet invariantiva: 5

6~

?

30.

Il numero che moltiplicato per 6 d 30 30:6=5 quindi

5

6~

55

65ovvero

5

6~

25

30

Procedendo allo stesso modo con la frazione 4

15si ottiene che:

4

15~

8

30

I numeri razionali assoluti

Supponiamo di dover dividere una tavoletta di cioccolato in parti uguali tra due amici. Possiamo dividere la tavoletta in due parti uguali e darne una ad ogni amico, ma possiamo anche dividere la tavoletta in quattro parti uguali e darne due a ogni amico, oppure possiamo dividere la tavoletta in otto parti uguali e darne quattro a ogni amico ecc.

Ciascuna di tali quantit pu essere espressa mediante una frazione, nellordine:1

2~

2

4~

4

8.Quindi un problema risolto con luso di una frazione,

pu essere risolto con altre infinite frazioni ad essa equivalenti.

Possiamo pensare di raggruppare tutte le frazioni equivalenti a 1

2, avremo ottenuto cos un particolare insieme chiamato classe di equivalenza.

Ciascuna frazione di una stessa classe rappresenta lintera classe a cui appartiene.

Definizione:

Un numero razionale assoluto una classe di frazioni fra loro equivalenti.

Esempio:

2

3e 6

9sono solo due modi diversi , tra altri infiniti modi, per rappresentare lo stesso numero razionale assoluto, che la classe

2

3,4

6,6

9, .

Possiamo allora scrivere 2

3=

6

9, nel senso che le due frazioni individuano lo stesso valore assoluto.

Linsieme dei numeri razionali assoluti si indica con

I numeri razionaliE possibile estendere il concetto di frazione anche al caso in cui numeratore e denominatore sononumeri interi (con il denominatore diverso da zero).

Anche la definizione di frazioni equivalenti e la propriet invariantiva si possono estendere allefrazioni di numeri interi.

Se facciamo precedere una frazione che rappresenta un numero razionale assoluto dal segno- ,stiamo scrivendo una frazione negativa; se la facciamo precedere dal segno +, stiamo scrivendo unafrazione positiva.

Esempio:

2

+3~+2

3

Queste due frazioni rappresentano la stessa classe che pu essere rappresentata con la frazione

2

3.

Definizione:

Un numero razionale una classe di frazioni equivalenti in cui il numeratore e il denominatore sono numeri interi (con il denominatore diverso da zero).

Linsieme dei numeri razionali si indica con Q.

Linsieme Q come ampliamento dellinsieme Z

Abbiamo gi visto con i numeri interi la definizione di ampliamento.

Per fare in modo che linsieme Q sia un ampliamento di Z, a ciascuna frazione con denominatore 1 di Q facciamo corrispondere un numero intero.

Z quindi un sottoinsieme proprio di Q.

Il confronto tra numeri razionali

Frazioni con lo stesso denominatore positivo:

1. Confrontiamo 56

e 4

15.

Riduciamo le due frazioni allo stesso minimo denominatore :

25

30e

8

30

Poich 25>8 concludiamo che

5

6>

4

15

2. Confrontiamo ora 12

e 1

3

Riduciamo le due frazioni allo stesso minimo denominatore positivo :

3

6e

2

6. Poich -3 6 4 abbiamo che 5

6>

4

15

2. Con frazioni negative il prodotto in croce ancora valido se si attribuisce il segno ai numeratori delle frazioni.

Confrontiamo 1

2e

1

3

Poich 1 3 < 2 (1) abbiamo che 1

2<

1

3

La rappresentazione dei numeri razionali

Anche i numeri razionali si possono rappresentare su una retta orientata.

Tutte le frazioni tra loro equivalenti corrispondono allo stesso punto sulla retta.

Poich possibile trovare punti che corrispondono a numeri razionali vicini quanto si vuole ad un qualsiasi dato punto sulla retta, diremo che Q denso nella retta.

Le operazioni in Q.Laddizione e la sottrazione

Definizione:

La somma (o la differenza) tra due numeri razionali espressi da frazioni aventi lo stesso denominatore il numero razionale espresso dalla frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori.

2

5+4

5=2 + 4

5=6

55

31

3=5 1

3=4

3

In Q valgono tutte le propriet delladdizione e della sottrazione viste in Z.

Laddizione e la sottrazione sono operazioni interne in Q.

Lelemento neutro per laddizione 0 in Q come in Z.

Se i numeri razionali sono espressi da frazioni che hanno denominatori diversi, si utilizza la definizione precedente dopo aver ridotto le frazioni al minimo denominatore comune:

1

6+

2

15

Poich

1

6=

5

30

2

15=

4

30

Si ha

1

6+

2

15=

5

30+

4

30=

9

30

In forma abbreviata possiamo scrivere

1

6+

2

15=5 + 4

30=

9

30

La moltiplicazione

Definizione:

Il prodotto di due numeri razionali espressi da frazioni un numero razionale espresso dalla frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

1

25

3=1 5

2 3=5

6

La moltiplicazione unoperazione interna in Q.

1 lelemento neutro.

0 lelemento assorbente.

Valgono le propriet della moltiplicazione e la seconda legge della monotonia.

Reciproco:

Di ogni numero razionale, escluso lo zero, esiste il reciproco; ilprodotto di un numero per il suo reciproco ugualeallelemento neutro della moltiplicazione, cio 1.

Chiamiamo reciproco del numero razionale espresso dallafrazione

il numero espresso dalla frazione

.

Sono reciproci:

7

2e2

7poich

7

22

7=1

3 e1

3poich 3

1

3= 1

2

3e

3

2poich

2

3

3

2=1

La divisione

Definizione:

Il quoziente di due numeri razionali, di cui il secondo diverso da zero, uguale al prodotto del primo per il reciproco del secondo.

4

7:

12

5=

4

7

5

12=

5

21

Per la divisione in Q continuano a valere la propriet invariantiva e la propriet distributiva a destra rispetto alladdizione.

La divisione unoperazione interna in Q, infatti:

5:7 non ha risultato in Z

ma

5

1:7

1=

5

11

7=

5

7ha risultato in Q

La potenza

Definizione:

Dato un numero naturale n, la potenza n-esima di una frazione

la frazione che ha per numeratore e per denominatore .

=

0

Esempio:

2

5

3

= 8

125

2

5

2

= +4

25

Le potenze con esponente intero negativo

Definizione:

La potenza di un numero razionale, diverso da zero, con esponente intero negativo una potenza che ha per base il reciproco del numero dato e per esponente lopposto dellesponente.

=

, 0

Esempi:

57 = 15

7=

1

57

34

2=

4

3

2=

16

9

Lesponente -1 permette di scrivere la la frazione reciproca di una frazione data mediante una potenza:

25

1=

5

2

1=

5

2

91 = 19

12

1= 2