Retta reale

La RETTA REALE è una retta su cui sono stati fissati:

• un’origine

• un orientamento

• una unità di misura

O

u

Retta reale

Sulla retta reale c’è CORRISPONDENZA BIUNIVOCA tra punti e numeri, per cui i suoi elementi possono essere designati indifferentemente come punti o come numeri.

O

u

1 2-1-2

Ordinamento

La retta reale è ORDINATA: dati due punti distinti x1 e x2 allora:

• o x2<x1

• o x1<x2

O X1 X2

Intervallo chiuso

Si dice INTERVALLO CHIUSO di estremi a, b, e lo si indica con

[a;b]

L’insieme di tutti i punti compresi tra a e b, estremi inclusi

O a b

Intervallo chiuso

Geometricamente, un intervallo chiuso non è altro che un segmento

O a b

Intervallo aperto

Si dice INTERVALLO APERTO di estremi a, b, e lo si indica con

]a;b[

L’insieme di tutti i punti compresi tra a e b, estremi esclusi

O a b

Intervallo aperto

Si considerano intervalli aperti anche:

]-∞;b[

Insieme di tutti i numeri minori di b, e:

]a;+∞[

Insieme di tutti i numeri maggiori di a

Intervallo aperto

L’insieme dei reali, R, si considera sia aperto che chiuso, e lo si può indicare anche con:

]-∞;∞[

Aperto a sinistra e chiuso a destra

Come prima, solo che a non è incluso mentre b lo è

]a;b]

O a b

Aperto a destra e chiuso a sinistra

Come prima, solo che b non è incluso mentre a lo è

[a;b[

O a b

Intorno

Si dice INTORNO DI UN PUNTO un intervallo aperto che contiene il punto

Ad esempio, ]a;b[ è intorno di P

O a P b

Intorno destro

Si dice INTORNO DESTRO DI UN PUNTO un intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra che ha come estremo sinistro il punto

Ad esempio, [P;b[ è intorno destro di P

O P b

Intorno sinistro

Si dice INTORNO SINISTRO DI UN PUNTO un intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra che ha come estremo destro il punto

Ad esempio, ]a;P] è intorno sinistro di P

a P

Intorno sinistro

• ]1;5[ è un intorno di 2

• [3;4[ è intorno destro di 3

• ]-5;0] è intorno sinistro di 0

• [2;10] non è intorno di 5, perché non è aperto

• ]1,2[ non è intorno di 2, perché 2 non ne fa parte

Punto interno

Dato un insieme A, il punto P appartenente ad A si dice PUNTO INTERNO di A se esiste un intorno U di P tutto contenuto in A

A

P

U

Punto interno

• Il punto 3 è interno all’intervallo [1;5]: infatti, ]2;4[ è un intorno di 3 tutto contenuto nell’intervallo

• Invece, il punto 5 non lo è, perché la metà destra di ogni intorno di 5 cade al di fuori dell’intervallo

Punto interno

• Tutti i punti sono interni ad R

• Al contrario, Z è privo di punti interni; infatti un intorno di un intero non contiene solo numeri interi

Punti interni e intervalli aperti

• In un intervallo aperto TUTTI I PUNTI SONO PUNTI INTERNI

Punto di frontiera

Dato un insieme A, il punto P dice PUNTO DI FRONTIERA di A se ogni intorno di P contiene sia punti di A che punti non appartenenti ad A

A

P

U

Punto di frontiera

• Un punto non può essere contemporaneamente di frontiera e interno: i due ruoli si escludono a vicenda

• Un insieme può non avere punti di frontiera; ad esempio R

• Un punto può non essere né di frontiera né interno

• Un insieme può essere fatto di soli punti di frontiera

• Un punto di frontiera di un insieme non deve necessariamente appartenere all’insieme

Esempi

• 3 è punto di frontiera dell’intervallo A=]3;5[. Infatti, ogni intorno di 3 sta con la sua parte destra in A e con la sinistra fuori da A.

• L’intervallo A ha come unici punti di frontiera 3 e 5; gli altri o sono interni o sono staccati da A

• L’insieme degli interi, Z, coincide con l’insieme dei suoi punti di frontiera; infatti ogni intorno di un intero contiene anche numeri non interi

Punto isolato

Dato un insieme A, il punto P appartenente ad A si dice PUNTO ISOLATO di A se esiste un intorno di P che non contiene alcun altro elemento di A, oltre a P stesso

A

P

U

Punto isolato

• Un punto isolato non può essere punto interno, ma può essere punto di frontiera

• Esistono insiemi privi di punti isolati; ad esempio gli intervalli

• Esistono insiemi fatti di soli punti isolati: ad esempio Z

Punto di accumulazione

Dato un insieme A, il punto P dice PUNTO DI ACCUMULAZIONE di A se ogni intorno di P contiene almeno un punto di A distinto da P

A

P

U

Punto di accumulazione

• Può sembrare che la definizione sia uguale a quella dei punti di frontiera, ma non è così: qui non si chiede che nell’intorno ci siano anche punti fuori da A, inoltre P stesso non può essere conteggiato tra i punti di A

• Tutti i punti interni sono anche di accumulazione

• I punti isolati non possono essere di accumulazione

• I punti non isolati di frontiera sono di accumulazione

Esempi

• Il punto 0 è punto di accumulazione sia per ]0;1[ che per [0;1]

• L’insieme dei numeri interi è privo di punti di accumulazione.

• L’insieme dei reciproci degli interi maggiori di 0: I={1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…..} ha come unico punto di accumulazione il punto 0. Questo mostra che un insieme può essere fatto di soli punti isolati eppure possedere un punto di accumulazione (non appartenente all’insieme.

Insiemi superiormente limitati

Un insieme A si dice SUPERIOREMENTE LIMITATO se esiste un punto P maggiore o uguale a tutti gli elementi di A.

P si dice MAGGIORANTE di A

A

P

Estremo superiore

Il minore di tutti i maggioranti di un insieme superiormente limitato si dice ESTREMO SUPERIORE dell’insieme e si indica con

Sup(A)

A

P

Massimo

Se l’estremo superiore di un insieme appartiene all’insieme allora lo si chiama MASSIMO e lo si indica con

Max(A)

A

P

Insiemi inferiormente limitati

Un insieme A si dice INFERIOREMENTE LIMITATO se esiste un punto P minore o uguale a tutti gli elementi di A.

P si dice MINORANTE di A

A

P

Estremo inferiore

Il maggiore di tutti i minoranti di un insieme inferiormente limitato si dice ESTREMO INFERIORE dell’insieme e si indica con

Inf(A)

A

P

Minimo

Se l’estremo inferiore di un insieme appartiene all’insieme allora lo si chiama MINIMO e lo si indica con

Min(A)

A

P

Insiemi limitati

Un insieme limitato sia superiormente che inferiormente si dice LIMITATO

Esempi

L’intervallo [0;3[ è limitato:

• 0 è estremo inferiore e anche minimo

• 3 è estremo superiore ma non massimo

N è limitato inferiormente ma non superiormente: il suo minimo è 0

Esempi

L’insieme dei reciproci degli interi

A={1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…..}

È limitato sia inferiormente che superiormente:

• 1 è estremo superiore e massimo

• 0 è estremo inferiore ma non minimo

Funzioni limitate

Una funzione si dice LIMITATA se il suo codominio è limitato.

Se gli estremi superiore e inferiore fanno parte del codominio allora si dicono rispettivamente MASSIMO ASSOLUTO e MINIMO ASSOLUTO della funzione.

I punti in cui la funzione assume tali valori si dicono PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO e PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO

Funzioni limitate

Max

XMin

XMax

Min

Graficamente massimo e minimo assoluti sono il punto più alto e quello più basso del grafico

Funzioni limitate

La funzione:

y=x2+1

È limitata inferiormente e ha 1 come minimo assoluto. Il punto di minimo è x=0

La funzione:

y=ex

È limitata inferiormente ma non ha minimo; infatti 0 non appartiene al codominio

Funzioni limitate

La funzione:

y=senx

È limitata sia superiormente che inferiormente, e gli estremi sono 1 e -1.

I punti di massimo sono tutti i punti Xmax=/2+2k, mentre i punti di minimo sono tutti i punti Xmin= 3/2+2k