Flessione Retta

1

UNIVERSITA’ DELL’AQUILA

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELLE STRUTTURE, DELLE ACQUE E DEL TERRENO

Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni

sul problema di De Saint Venant - Prof. Angelo Luongo

15 Giugno 2009

CASTEL DI SANGRO

LA TEORIA APPROSSIMATA DELLA

FLESSIONE NON UNIFORME (JOURAWSKY)

Francesco D’Annibale [email protected]

2

RICHIAMO DELLE RELAZIONI FONDAMENTALI

Si ha flessione non uniforme del solido di De Saint Venant quando l’unica deformazione generalizzata

diversa da zero è il gradiente di curvatura flessionale ' .

La curvatura flessionale induce entrambi i campi di tensione, quello scalare e quello vettoriale .

Le condizioni di equivalenza su B si scrivono:

0, , , tN d M d m 0 t y a

E’ possibile esprimere il campo scalare attraverso la formula binomia della flessione non uniforme:

y yxx

x y x y

T M zM zTz l y x y xI I I I

3

Il campo di tensione tangenziale y va determinato risolvendo il seguente problema:

in

in 1

0 su

y x

x y

y x

x y

T Ty xI I

T Tx yI I

a

n

La teoria esatta richiede il soddisfacimento di condizioni di equilibrio e di condizioni di compatibilità

cinematica. La teoria approssimata di Jourawsky è invece basata esclusivamente su condizioni di

equilibrio. Poiché il problema dell’equilibrio è indeterminato, una delle due componenti di è scelta

arbitrariamente, in modo da soddisfare delle condizioni di equilibrio in media; l’altra componente è

determinata successivamente imponendo l’equilibrio puntuale.

Poiché il campo scalare soddisfa le condizioni di equivalenza alle basi e il campo vettoriale è

localmente equilibrato, quest’ultimo soddisfa anche la condizione di equivalenza delle forze di taglio

x x y yT T t a a ed il suo momento risultante, dato da tM d y a

è generalmente diverso da

zero. Di conseguenza, il campo è staticamente equivalente ad una forza F t t , applicata in un punto

FF y (centro di flessione) tale da soddisfare la seguente eguaglianza:

4

F y F x y xx T y T x y d =

Richiedendo che questa valga per ogni , x yT T si determinano le coordinate ,F Fx y del centro di

flessione.

Taglio retto

- Taglio retto secondo y

Se y yTt a la formula binomia del campo si riduce a:

y x

x x

T M zz l y y

I I

L’equazione indefinita di equilibrio e la condizione al contorno sul mantello diventano:

in

0 su

y

x

Ty

I

n

Scegliendo una corda arbitraria e considerando come dominio * una delle due parti separata

da è possibile esprimere il flusso attraverso la corda come:

*yc x

x

Tq S

I

5

Questa stabilisce che il flusso delle tensioni tangenziali attraverso una corda è proporzionale al

momento statico rispetto all’asse neutro di una delle due parti di sezione tagliate da . Essa

fornisce l’integrale della componente m m della tensione tangenziale nella direzione m

(normale alla corda). Da quest’unica condizione di equilibrio non può dedursi il valore puntuale di

m ma al più il suo valor medio /m c cq b , dove cb è la lunghezza della corda. La miglior

approssimazione fornita dall’equazione del flusso è costm m su , ovvero:

*ym x

x c

TS

I b

detta formula di Jourawsky.

- Taglio retto secondo x

Se x xTt a la formula binomia del campo si riduce a:

yx

y y

M zTz l x xI I

L’equazione indefinita di equilibrio e la condizione al contorno sul mantello diventano:

6

in

0 su

x

y

T xI

n

Il flusso attraverso la corda è fornito da:

*xc y

y

Tq SI

La tensione tangenziale è fornita da:

*xm y

y c

T SI b

7

Sezioni monoconnesse di piccolo spessore

Se la sezione è aperta e di spessore sottile è opportuno scegliere una famiglia di corde ortogonali alla

linea media della sezione per descrivere la distribuzione delle tensioni tangenziali dovute a taglio.

Infatti, la componente m , stante il piccolo spessore, è debolmente variabile lungo la corda ed il suo

valore è ben approssimato dal valor medio fornito dalla formula di Jourawsky. Detta s un’ascissa

curvilinea lungo la linea media la formula di Jourawsky fornisce:

*y x

mx

T S ss

I b s

8

in cui:

- *xS s è il momento statico del dominio * s staccato su dalla corda s ortogonale a

all’ascissa s, e avente sm quale normale uscente;

- b s è la lunghezza della corda s .

Se la sezione non gode di simmetria rispetto all’asse baricentrico parallelo a t occorre determinare

anche la posizione del centro di flessione.

Se y yTt a l’ascissa del centro di flessione è fornita da:

tF

y

MxT

=

in cui tM è il momento torcente rispetto a G del campo dovuto a taglio retto yT .

Se x xTt a l’ordinata del centro di flessione è fornita da:

tF

x

MyT

=

in cui tM è il momento torcente rispetto a G del campo dovuto a taglio retto xT .

9

Sezioni tubolari simmetriche

Se la sezione è biconnessa o pluriconnessa la condizione di equilibrio espressa dalla formula di

Jourawsky non è da sola sufficiente a determinare la tensione media sulla corda. Infatti, per isolare un

domino * è necessario considerare C corde (con C grado di connessione della sezione).

Tuttavia, se la sezione gode di proprietà di simmetria, il grado di iperstaticità si abbassa. E’ infatti

sempre possibile considerare un dominio * , anch’esso simmetrico, per il quale gli sforzi di

scorrimento risultino a due a due uguali. Nel caso di sezione tubolare la simmetria rende il problema

isostatico ed è possibile esprimere la tensione tangenziale attraverso la formula di Jourawsky, come:

10

*12

y xm

x

T S ss

I b s

in cui:

- *xS s è il momento statico del dominio * s staccato su dalle corde simmetriche A e B;

- b s è la lunghezza della corda s .

11

ESERCIZIO TAGLIO N. 1 – PROFILO IPE

Data la sezione in figura, sollecitata da una forza tagliante Ty:

1) disegnare l’andamento del flusso delle tensioni tangenziali;

2) diagrammare la distribuzione delle tensioni tangenziali;

3) calcolare, in ogni tratto, il valore massimo della tensione tangenziale;

4) determinare la posizione del centro di taglio.

Siano:

1

2

4

200 mm100 mm5,6 mm8,5 mm

5 10 Ny

hbaa

T

12

Le caratteristiche geometriche della sezione sono: 2

4x

2724,80 mm ; I 18455902, 27 mmA

- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto:

Diagramma delle tensioni tangenziali

1

2

3

: 0,50

: 0,191.5

: 0,50

s

s

s

13

*

x

3 4

x

21 1 1 1 1 1 1

22 2 2

22 2 2

I

2.7 10 N/mmI

191.58.5 , 0 0, 50 12.97 N/mm8.5 2

191.5 191.52 8.5 50 5.6 5.6 2 2 2

0 39.37 N/mm ,

yx

y

Ts S s

b sT

k

ks s s s

sks s

s

2 22 2 2

3 3 3

2 23 3 3 3

191.5 51.79 N/mm , 191.5 39.37 N/mm2

191.58.58.5 2

0 0 N/mm , 50 12.97 N/mm

s s

ks s

s s

- Il centro di taglio si trova sull’asse y (asse di simmetria).

14

ESERCIZIO TAGLIO N. 2 – PROFILO IPE






Siano:

1

2

4

200 mm100 mm5,6 mm8,5 mm

5 10 Ny

hbaa

T

15

Lo stato di sollecitazione indotto sulla sezione dalla forza tagliante Ty è staticamente equivalente ad una forza tagliante

applicata sul centro di taglio e ad un momento torcente Mt derivante dal trasporto di Ty .

62.5 10 N mm2t ybM T


4x

2724,80 mm ; I 18455902, 27 mmA

SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO

Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a taglio

1

2

3

: 0,50

: 0,191.5

: 0,50

s

s

s

16


*

x

3 4

x

21 1 1 1 1 1 1

22 2 2

22 2 2

I

2.7 10 N/mmI

191.58.5 , 0 0, 50 12.97 N/mm8.5 2

191.5 191.52 8.5 50 5.6 5.6 2 2 2

0 39.37 N/mm ,

yx

y

Ts S s

b sT

k

ks s s s

sks s

s

2 22 2 2

3 3 3

2 23 3 3 3

191.5 51.79 N/mm , 191.5 39.37 N/mm2

191.58.58.5 2

0 0 N/mm , 50 12.97 N/mm

s s

ks s

s s


17

SOTTOPROBLEMA DI TORSIONE UNIFORME

62.5 10 N mmtM

- Calcolo delle rigidezze torsionali delle parti componenti la sezione:

31 3

32

1 2 3

1 100 8.5 20470.831 183 5.6 10712.63

51654.2

i i i i

jj

K G J G J

K G G K

K G G

K K K K G

18

- Ripartizione del momento torcente nelle parti componenti la sezione:

tt

tt1 1 t3

tt 2 2

990762 N mm

518475 N mm

i ij

j

jj

jj

MM KK

MM K MK

MM KK

- Calcolo della tensione tangenziale massima in ogni parte componente la sezione:

2t1max1 max3

1

2t 2max2

2

8,5 411.39 N/mm

5,6 271.03 N/mm

MJMJ

19

Diagramma delle tensioni tangenziali dovute a torsione

20

ESERCIZIO TAGLIO N. 3 – PROFILO T






Siano:

1

2

4

100 mm80 mm6 mm8 mm

5 10 Ny

hbaa

T

21


4x0

1192 mm ;I 1133696,93 mm ;

72,85 mm.G

A

y



1

2

: 0, 40

: 0,96

s

s

22

*

x

3 4

x

21 1 1 1 1 1 1

22 2 2

2 22 2 2 2

I

44 10 N/mmI

8 96 , 0 0, 40 40.85 N/mm8

2 8 40 96 6 96 6 2

0 108.93 N/mm , 96 120.74 N/mm ,

yx

y

G

G G

G

Ts S s

b sT

k

ks s y s s

sks y s y

s s y

2

2 2 96 0 N/mms


23

ESERCIZIO TAGLIO N. 4 – PROFILO T






Siano:

1

2

4

100 mm80 mm6 mm8 mm

5 10 Ny

hbaa

T

24

Lo stato di sollecitazione indotto sulla sezione dalla forza tagliante Ty è staticamente equivalente ad una forza tagliante

applicata sul centro di taglio e ad un momento torcente Mt derivante dal trasporto di Ty .

62 10 N mm2t ybM T


4x0

1192 mm ;I 1133696,93 mm ;

72,85 mm.G

A

y

SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO


1

2

: 0, 40

: 0,96

s

s

25


*

x

3 4

x

21 1 1 1 1 1 1

22 2 2

2 22 2 2 2

I

44 10 N/mmI

8 96 , 0 0, 40 40.85 N/mm8

2 8 40 96 6 96 6 2

0 108.93 N/mm , 96 120.74 N/mm ,

yx

y

G

G G

G

Ts S s

b sT

k

ks s y s s

sks y s y

s s y

2

2 2 96 0 N/mms


SOTTOPROBLEMA DI TORSIONE UNIFORME

62 10 N mmtM

26


31

32

1 2

1 96 6 691231 80 8 13653.33

20565.3

i i i i

jj

K G J G J

K G G

K G G

K K K G


tt

tt1 1

6tt2 2

672199 N mm

1.328 10 N mm

i ij

j

jj

jj

MM KK

MM KK

MM KK


2t1max1

1

2t 2max 2

2

6 583.50 N/mm

8 778 N/mm

MJMJ

27


28

ESERCIZIO TAGLIO N. 5






Sia: 410 NyT

29


4 4x

13600 mm ; I 8221 10 mm .A



1

2

3

4

5

: 0, 40

: 0,100

: 0, 200

: 0, 40

: 0,100

s

s

s

s

s

30

*

x

4 4

x

211 1 1 1 1 1 1

2 2 2

2 22 2 2 2

I

1.21 10 N/mmI

20 50 , 0 0, 40 0.34 N/mm20 2

4020 40 50 20 100 20 2

0 0.34 N/mm , 100 1.56 N/mm

yx

y

Ts S s

b sT

k

sks s s s

ks s

s s

33 3 3

2 2 23 3 3 3 3 3

44 4 4 4 4 4 4

402 20 40 50 2 20 100 100 20 10020 2 2

0 3.11 N/mm , 100 3.72 N/mm , 200 3.11 N/mm

20 50 , 0 0, 40 0.34 20 2

sks s

s s s

sks s s s

2

5 5 5

2 25 5 5 5

N/mm

4020 40 50 20 10020 2

0 0.34 N/mm , 100 1.56 N/mm

ks s

s s


31







Sia: 43 10 NyT

32


4 4x

16000 mm ; I 18033 10 mm .A



1

2

: 0,100

: 0,300

s

s

33

*

x

4 4

x

21 1 1 1 1 1 1

22 2 2

2 22 2 2 2

2 2

I

1.66 10 N/mmI

10 150 , 0 0, 100 2.5 N/mm10

10 100 150 20 150 20 2

0 1.25 N/mm , 300 1.25 N/mm

15

yx

y

Ts S s

b sT

k

ks s s s

sks s

s s

s

20 3.12 N/mm


34







Sia:

20 kNyT

35


3 4x

2296 mm ; I 11561.82 10 mm .A

SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO:


1

2

3

4

: 0,50

: 0,50

: 0, 200

: 0,50

s

s

s

s

36

- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto

*

x

3 4

x

I

1.73 10 N/mmI

yx

y

Ts S s

b sT

k

211 1 1 1 1 1 1

2 2 2

2 22 2 2 2

3 3

2 38.19 , 0 0, 50 5.46 N/mm2 2

1 502 50 38.19 2 4 88.19 2 4 2

0 1.37 N/mm , 50 9.0 N/mm

1 502 50 38.19 2 4 52 4 2

sks s s s

ks s

s s

ks

33

2 2 23 3 3 3 3 3

24 4 4 4 4 4 4

0 88.19 2 4 88.19 2

0 9.0 N/mm , 200 4.91 N/mm , 88.19 15.72 N/mm1 2 2 111.81 , 0 0, 50 9.67 N/mm2 2

ss

s s sks s s s


Poiché la forza di taglio non è applicata sull’asse di simmetria essa genera momento torcente sulla sezione.

37

SOTTOPROBLEMA DI TORSIONE UNIFORME:

2

6t

206000 N/mm 0,3

50 10 N mmy

E

M T


31

226

2

61 2

1 46 2 122.673

4 200 1004 9.14 10d 2 200 100 1004 4 2

9.143 10

i i i i

jj

K G J G J

K G G

GGK Gsb s

K K K G

38


tt

tt1 1

tt 2 2

13.41 N mm

999987 N mm

i ij

j

jj

jj

MM KK

MM KK

MM KK


2t1max1

1

2t2max2

2t2max2

2 0.22 N/mm

4 6.25 N/mm2 4

2 12.5 N/mm2 2

MJ

Mb

Mb

39


40


Data la sezione in figura, sollecitata da due forze taglianti Ty e Tx:





Siano:

100 kN

100 kNy

x

T

T

41


4 4x

4 4y

9900 mm ; I 11137.7 10 mm ;

I 8008,3 10 mm .

A

SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO y

- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto per Ty :

Diagramma delle tensioni tangenziali per Ty

1

2

3

4

: 0,100

: 0,100

: 0, 200

: 0, 200

s

s

s

s

42

*

x

4 4

x

I

8.9 10 N/mmI

yx

y

Ts S s

b sT

k

211 1 1 1 1 1 1

2 2 2

2 22 2 2 2

10 189.9 , 0 0, 100 12.57 N/mm10 2

10010 100 189.9 10 89.9 10 2

0 12.57 N/mm , 100 20.64 N/mm

sks s s s

ks s

s s

33 3 3

2 23 3 3 3

23 3

4 4 4

24 4 4 4

1002 10 100 189.9 2 10 100 89.9 10 89.910 2 2

0 41.27 N/mm , 200 39.45 N/mm

89.9 44.9 N/mm

10 115.110

0 0 N/mm , 200 20.67

sks s

s s

sks s

s s

2 N/mm

43

SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO x

- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto per Tx :

Diagramma delle tensioni tangenziali per Tx

1

2

3

4

5

6

: 0,100

: 0,100

: 0,100

: 0,100

: 0, 200

: 0, 400

s

s

s

s

s

s

44

*

y

3 4

y

21 1 1 1 1 1 1

22 2 2

2 22 2 2 2

3

I

1.25 10 N/mmI

10 100 , 0 0, 100 12.48 N/mm10

10 100 100 10 100 10 2

0 12.48 N/mm , 100 18.73 N/mm

xy

x

Ts S sb s

Tk

ks s s s

sks s

s s

s

23 3 3 3 3 3

44 4 4

2 24 4 4 4

5 5

66 6 6

6 6

10 100 , 0 0, 100 12.48 N/mm10

10 100 100 10 100 10 2

0 12.48 N/mm , 100 18.73 N/mm

0

10 200 10 2

k s s s

sks s

s s

s

sks s

s

2 2 2

6 6 6 60 0 N/mm , 200 24.97 N/mm , 400 0 N/mms s

Dall’equilibrio dei momenti rispetto al baricentro G, con la notazione in figura, si determina la posizione yF del centro

di taglio.

45

100

10

100

2 40

400

60

110.08 200 89.92

10

10 10

10

55.85 mm

c a b x F

a

b

c

F

F F F T y

F ds

F ds

F ds

y

La sezione è, dunque, sollecitata anche da momento torcente, dato da:

6t 5.58 10 N mmx FM T y

46







70 kNyT

47


4 4x

4 4y

8200 mm ; I 3551.8 10 mm ;

I 1787.3 10 mm .

A



1

2

3

4

: 0,110

: 0, 200

: 0,110

: 0,110

s

s

s

s

48

*

x

3 4

x

I

1.97 10 N/mmI

yx

y

Ts S s

b sT

k

21 1 1 1 1 1 1

22 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

3 3

10 100 , 0 0, 110 21.68 N/mm10

10 110 100 20 100 20 2

0 10.84 N/mm , 200 10.84 N/mm , 100 20.7 N/mm

10 110 100 20 2010

ks s s s

sks s

s s s

ks

3

2 23 3 3 3

4 4

2000 100 10 1002

0 21.68 N/mm , 110 0 N/mm

0

s

s s

s

Dall’equilibrio dei momenti rispetto al baricentro G, con la notazione in figura, si determina la posizione xF del centro

di taglio.

100

10

200

10

28.15 mm

a y F

a

F

F T x

F ds

x

La sezione è, dunque, sollecitata anche da una momenti torcente, dato da: 6

t 110 9.67 10 N mmy FM T x

49


Data la sezione (in figura), sollecitata da una forza tagliante T:





Siano:

380 mm90 mm80 mm20 mm50 kN

abcsT

50


4I

4II

22000 mm ; I 671773333.34 mm ;

I 216651878.78 mm ;45 ;140.18 mm;140.18 mm.

G

G

A

xy

SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO I

- Calcolo delle leggi di distribuzione delle tensioni tangenziali e valori massimi in ogni tratto per TI :

Diagramma delle tensioni tangenziali per TI

1

2

3

: 0,90

: 0,80

: 0,380

s

s

s

51

*III

II

4 4I

II

I

1.63 10 N/mmI

Ts S sb s

Tk

211 1 1 1 1 1 1

22 2 2

2 22 2 2 2

3 3

220 77.52 , 0 0, 90 1.61 N/mm20 2 2

90 2 220 90 77.52 20 141.67 20 2 2 2 2

0 1.61 N/mm , 80 3.08 N/mm

2

sks s s s

sks s

s s

ks

33

2 2 23 3 3 3 3 3

90 2 80 2 220 90 77.52 20 80 141.67 20 84.6 0 2 2 2 2 2 2

0 3.08 N/mm , 380 0 N/mm , 119.64 3.91 N/mm

ss

s s s

52

SOTTOPROBLEMA DI TAGLIO RETTO SECONDO II

Diagramma delle tensioni tangenziali per TII

1

2

3

4

5

6

: 0,90

: 0,80

: 0,380

: 0,90

: 0,80

: 0,380

s

s

s

s

s

s

*III

I

5 4II

I

I

5.26 10 N/mmI

Ts S sb s

Tk

53

211 1 1 1 1 1 1

22 2 2

2 22 2 2 2

220 148.5 , 0 0, 90 2.65 N/mm20 2 2

90 2 220 90 148.5 20 212.13 20 2 2 2 2

0 2.65 N/mm , 80 5.79 N/mm

sks s s s

sks s

s s

33 3 3

2 23 3 3 3

44 4 4 4 4

90 2 80 2 220 90 148.5 20 80 212.13 20 268.7 20 2 2 2 2 2 2

0 5.79 N/mm , 380 14.12 N/mm

220 148.5 , 0 0, 20 2 2

sks s

s s

sks s s

24 4

55 5 5

2 25 5 5 5

6 6

90 2.65 N/mm

90 2 220 90 148.5 20 212.1320 2 2 2 2

0 2.65 N/mm , 80 5.79 N/mm

90 2 80 220 90 148.5 20 80 212.1320 2 2 2 2

s

sks s

s s

ks

66

2 26 6 6 6

220 268.7 2 2

0 5.79 N/mm , 380 14.12 N/mm

ss

s s

Dall’equilibrio dei momenti rispetto al baricentro G, con la notazione in figura, si determina la posizione xF del centro

di taglio.

54

II

90

10

80

20

380

30

2 50.18 2 249.8 2 130.2

20

20

10

722.3 mm

a b c F

a

b

c

F

F F F T x

F ds

F ds

F ds

x

La sezione è, dunque, sollecitata anche da una coppia torcente, il cui modulo è:

7t

2 390 760.6 3.80 10 N mm2F GM T x x T

55







Siano:

200 mm300 mm10 mm

50 kNy

abs

T

56


4x

33800 mm ; I 1177628942.9 mm .A



1

2

3

4

5

: 0, 200

: 0,500

: 0, 200

: 0, 200

: 0, 200

s

s

s

s

s

57

*

x

5 4

x

I

4.24 10 N/mmI

yx

y

Ts S s

b sT

k

21 1 1 1 1 1 1

22 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

3 3 3

10 355.08 , 0 0, 200 3.01 N/mm10

10 200 355.08 10 355.08 10 2

0 3.01 N/mm , 500 5.25 N/mm , 355.08 5.69 N/mm

1010

ks s s s

sks s

s s s

ks s

3

2 2 23 3 3 3 3 3

4 4 4

24 4 4 4

5 5

55.08 2

0 0 N/mm , 200 0.38 N/mm , 55.08 0.06 N/mm

20010 200 55.08 20 144.92 20 2

0 0.19, 200 1.42 N/mm

10 200 3520

s

s s s

ks s

s s

ks

5

25 5 5 5

500 2005.08 10 500 355.08 10 200 55.082 2

20 200 144.92 20 144.92

0 1.2, 200 0 N/mm

s

s s


Poiché la forza di taglio non è applicata sull’asse di simmetria essa genera momento torcente sulla sezione, pari a:

7t 10 N mmyM T a

Documents

Flessione Retta