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La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 1/4
La retta realeMateriale integrativo del
Corso integrato di
Matematica
per le scienze naturali ed applicate
Paolo Baiti, Lorenzo Freddi
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Rappresentiamo sur i numeri razionalimediantemultipli e frazionidell’unità dimisura: si ottiene la “retta razionale”
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Il punto corrispondente a√
2 non vieneindividuato perchénon è una frazione.
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Il punto corrispondente a√
2 non vieneindividuato perchénon è una frazione.
I punti rappresentati non coprono la rettar!
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Il punto corrispondente a√
2 non vieneindividuato perchénon è una frazione.
I punti rappresentati non coprono la rettar!
La retta razionale è una linea piena di “buchi”.Colmare i buchi significa aggiungere i numeriirrazionali a quelli razionali.
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 2/4
La retta reale
Siar una retta orientata e con un’unità dimisura
0 1 r2 3 4 5-1-2-3-4 12
32
13
Il punto corrispondente a√
2 non vieneindividuato perchénon è una frazione.
I punti rappresentati non coprono la rettar!
I numeri realicoprono tutta la rettar.
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 3/4
Dall’intuizione alla definizione
Abbiamo pensato i numeri irrazionali come“buchi” nella retta.
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 3/4
Dall’intuizione alla definizione
Abbiamo pensato i numeri irrazionali come“buchi” nella retta.Come definireste un buco?
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 3/4
Dall’intuizione alla definizione
Abbiamo pensato i numeri irrazionali come“buchi” nella retta.Come definireste un buco?Probabilmente utilizzando ciò che lo circonda.
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 3/4
Dall’intuizione alla definizione
Abbiamo pensato i numeri irrazionali come“buchi” nella retta.Come definireste un buco?Probabilmente utilizzando ciò che lo circonda.Uno dei modi di farlo è il seguente.
x ∈ R (A, B)si identifica con
A = {approssimazioni razionali per difetto}B = {approssimazioni razionali per eccesso}
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 3/4
Dall’intuizione alla definizione
Abbiamo pensato i numeri irrazionali come“buchi” nella retta.Come definireste un buco?Probabilmente utilizzando ciò che lo circonda.Uno dei modi di farlo è il seguente.
x ∈ R (A, B)si identifica con
A = {approssimazioni razionali per difetto}B = {approssimazioni razionali per eccesso}
A Bx
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
In pratica, è possibile trovare approssimazionirazionali dix precise quanto si vuole.
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√2
A B
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21
A B
1
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
A B
1 2
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4
A B
1 21.4
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4 1,5
A B
1 21.4 1.5
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4 1,5
1,41
A B
1 21.4 1.5
1.41
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4 1,5
1,41 1,42
A B
1 21.4 1.5
1.41 1.42
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4 1,5
1,41 1,42
1,414 1,415
A B
1 21.4 1.5
1.41 1.42
1.414 1.415
La retta reale
Dall’intuizione alla definizione
Esempio
La retta reale - Capitolo 3: Numeri reali - pagina 27 - p. 4/4
Esempio
Consideriamox =√
2 , identificato con
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
B = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 ≥ 2}
√21 2
1,4 1,5
1,41 1,42
1,414 1,415
A B
1 21.4 1.5
1.41 1.42
1.414 1.415
1.4142 1.4143
