Analisi Matematica Numeri reali e funzioni reali di ... · Rappresentazione geometrica dei numeri razionali Sia data una retta r. Fissiamo su r due punti distinti O (origine) e U

a.a. 2014/2015

Laurea triennale in Informatica

Analisi Matematica

Numeri reali e funzioni reali di variabile reale

Avvertenza

Questi sono appunti “informali” delle lezioni,

che vengono resi disponibili per comodita degli studenti.

Parte del materiale presentato e tratto dai libri di testo consigliati,

la cui consultazione e vivamente incoraggiata.

L’insieme dei numeri reali

L’insieme dei numeri reali R e un campo ordinato che soddisfa

l’assioma di Dedekind.

Campo ???

Campo ordinato ???

Assioma di Dedekind ???

1

R e un campo

In R sono definite due leggi di composizione interna

• + (addizione)

• · (moltiplicazione)

con le seguenti proprieta:

Proprieta commutativa

Per ogni a, b ∈ R : a + b = b + a , a · b = b · a

Proprieta associativa

Per ogni a, b, c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c) , (a · b) · c = a · (b · c)

Proprieta distributiva

Per ogni a, b, c ∈ R : a · (b + c) = a · b + a · c −→ “raccoglimentoa fattor comune”

2

Esistenza e unicita degli elementi neutri

• Esiste in R un unico elemento 0 tale che

a + 0 = a per ogni a ∈ R .

• Esiste in R un unico elemento 1, diverso da 0, tale che

a · 1 = a per ogni a ∈ R .

Esistenza e unicita degli inversi

• Per ogni a ∈ R esiste un unico elemento di R , che si denota con −ae si chiama opposto di a , tale che a + (−a) = 0.

• Per ogni a ∈ R \ {0} esiste un unico elemento di R , che si denota

con a−1 e si chiama reciproco di a , tale che a · a−1 = 1.

Notazione: R∗ := R \ {0}

3

Conseguenze degli assiomi di campo

Tramite gli inversi si definiscono le operazioni inverse:

• la sottrazione si definisce per ogni a, b , ponendo

a− b := a + (−b);

• la divisione si definisce per ogni a e per ogni b 6= 0, ponendo↓ perche?

a

b:= a · b−1.

In particolare,1

b= b−1 .

4

Legge di annullamento del prodotto

Per ogni a, b ∈ R : a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 oppure b = 0.

Osservazioni

• 0 non puo ammettere reciproco.

• La legge di annullamento del prodotto vale anche per il prodotto

di tre o piu fattori.

5

Proprieta degli inversi

IN1 Per ogni a ∈ R : −(−a) = a .

IN2 Per ogni a ∈ R∗ : (a−1)−1 = a .

IN3 Per ogni a, b ∈ R : −(a + b) = −a− b .

IN4 Per ogni a, b ∈ R∗ : (a · b)−1 = a−1 · b−1 .

IN5 Per ogni a, b ∈ R : (−a) · b = −(a · b).

IN6 Per ogni a, b ∈ R : (−a) · (−b) = a · b .

IN7 Per ogni a ∈ R∗ : (−a)−1 = −a−1 .

Osservazione

L’opposto del prodotto non e il prodotto degli opposti;

il reciproco della somma non e uguale alla somma dei reciproci.

Esempio? 6

R e un campo ordinato

In R e definita una relazione di ordine totale ≤ (minore o uguale)

con le seguenti proprieta:

Compatibilita rispetto all’addizione

Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c

Compatibilita rispetto alla moltiplicazione

Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b , 0 ≤ c =⇒ a · c ≤ b · c

7

Conseguenze degli assiomi di campo ordinato

A partire dalla relazione ≤ definiamo le relazioni

a ≥ bDEF⇐⇒ b ≤ a maggiore o uguale

a < bDEF⇐⇒ a ≤ b e a 6= b minore

a > bDEF⇐⇒ a ≥ b e a 6= b maggiore

8

Osservazioni

• Riformuliamo la proprieta di compatibilita rispetto alla moltiplicazione:

Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b , c ≥ 0 =⇒ a · c ≤ b · c .

Per ogni a, b, c ∈ R : a ≥ b , c ≥ 0 =⇒ a · c ≥ b · c .

• Riformuliamo la proprieta di compatibilita rispetto all’addizione:

Per ogni a, b, c ∈ R : a ≥ b =⇒ a + c ≥ b + c .

• Per ogni a, b, c ∈ R :a b =⇒ a + c > b + c

• Riformuliamo la proprieta di dicotomia della relazione d’ordine:

Per ogni a, b ∈ R e soddisfatta una e una sola delle condizioni

a b .

• Per ogni a, b ∈ R : a<=>

b ⇐⇒ a− b<=>

0

9

Regole algebriche per l’addizione

A1 Per ogni a ∈ R : a<=>

0 =⇒ −a>=<

0

A2 Per ogni a, b ∈ R : a<=>

b =⇒ −a>=<− b

A3 Per ogni a, b ∈ R :a ≤ 0 , b ≤ 0 =⇒ a + b ≤ 0

a ≥ 0 , b ≥ 0 =⇒ a + b ≥ 0

Se nella premessa almeno una disuguaglianza e stretta,

lo e anche nella conseguenza.

A4 Siano a, b ∈ R con a ≤ 0 e b ≤ 0 oppure a ≥ 0 e b ≥ 0.

Se a + b = 0, allora a = b = 0.

A5 Per ogni a, b, c ∈ R : a + b<=>

c ⇐⇒ a<=>

c − b

10

Definiamo gli insiemi

R− := {x ∈ R | x ≤ 0} insieme dei numeri reali negativi

R+ := {x ∈ R | x ≥ 0} insieme dei numeri reali positivi

R∗− := {x ∈ R | x < 0} insieme dei numeri reali strettamente negativi

R∗+ := {x ∈ R | x > 0} insieme dei numeri reali strettamente positivi

Osservazioni

1 R− ∪ R+ = R , R− ∩ R+ = {0} , R∗− ∪ R∗+ = R∗ , R∗− ∩ R∗+ = ∅

2 R− , R+ , R∗− e R∗+ sono chiusi rispetto alla addizione.

11

Regole algebriche per la moltiplicazione

M1 Per ogni a, b ∈ R : a ≥ 0, b ≥ 0 =⇒ a · b ≥ 0

a ≤ 0, b ≤ 0 =⇒ a · b ≥ 0

a ≥ 0, b ≤ 0 =⇒ a · b ≤ 0

Se nelle premesse tutte le disuguaglianze sono strette,

lo sono anche nelle conseguenze.

Osservazioni

• Per ogni a ∈ R , posto a2 := a · a , risulta a2 ≥ 0.

Piu precisamente: a2 = 0⇐⇒ a = 0 e a2 > 0⇐⇒ a 6= 0.

In particolare: 1 > 0.

• Due numeri si dicono concordi se sono entrambi positivi oppure

entrambi negativi, discordi se uno e positivo e l’altro e negativo.

Da M1 segue che a e b sono concordi se e solo se a · b ≥ 0

e sono discordi se e solo se a · b ≤ 0.12

M2 Per ogni a, b, c ∈ R :

a<=>

b , c > 0 =⇒ a · c<=>

b · c

a<=>

b , c < 0 =⇒ a · c>= 0 =⇒ a−1 <

> 0

M4 Per ogni a, b ∈ R∗ :a 0 =⇒ a−1 > b−1

a 

c , b > 0 =⇒ a<=>

c

b

a · b<=>

c , b < 0 =⇒ a>=<

c

b

13

Osservazione

Le proprieta A5 e M5 permettono di risolvere equazioni e disequazioni

di primo grado. Per esempio, se a ∈ R∗+ e b ∈ R :

a x + b ≤ 0 ⇐⇒ a x ≤ −b ⇐⇒ x ≤ −ba

Regole di semplificazione

S1 Per ogni a, b, c ∈ R : a + c<=>

b + c =⇒ a<=>

b

S2 Per ogni a, b, c ∈ R :

a · c<=>

b · c , c > 0 =⇒ a<=>

b

a · c<=>

b · c , c < 0 =⇒ a>=<

b

Osservazione

Le medesime regole valgono per le operazioni inverse.

14

Addizione e moltiplicazione membro a membro

Siano a, b, c , d ∈ R con a ≤ b e c ≤ d . Allora:

1 a + c ≤ b + d

2 a · c ≤ b · d se a, b, c , d > 0

a · c ≥ b · d se a, b, c , d < 0

Se nella premessa almeno una disuguaglianza e stretta,

lo e anche nelle conseguenze.

15

Alcuni sottoinsiemi speciali di R

Insieme dei numeri naturali

N := {0, 1, 2, 3, . . .} N∗ := N \ {0}

Insieme dei numeri interi (relativi)

Z := N ∪ −N = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} Z∗ := Z \ {0}

Insieme dei numeri razionali

Q :={mn

∣∣∣m ∈ Z, n ∈ Z∗}

Q∗ := Q \ {0}

Insieme dei numeri irrazionali R \Q

Osservazioni

• N ⊂ Z ⊂ Q• N e Z non sono campi

• Q e un campo ordinato. Qual e la differenza con R?16

L’assioma di Dedekind

Sia (X ,≤) un insieme totalmente ordinato; siano A ⊂ X e B ⊂ X .

Diciamo che (A,B) e una sezione di X se

• A ∩ B = ∅• A ∪ B = X

• per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B risulta a < b .

Esempio?

Assioma di Dedekind

Per ogni sezione (A,B) di R esiste un unico numero reale λ tale che

per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B si ha a ≤ λ ≤ b .

λ si chiama elemento separatore della sezione (A,B).

17

Esempio (da ricordare)

Gli insiemi

A ={q ∈ Q | q < 0

}∪{q ∈ Q | q ≥ 0, q2 < 2

}B =

{q ∈ Q | q ≥ 0, q2 ≥ 2

}costituiscono una sezione di Q che non ha elemento separatore in Q .

Dimostrazione . . .

Al campo ordinato Q “manca qualcosa”.

Un modo alternativo di esprimere questa proprieta si ottiene attraverso

la rappresentazione geometrica.

18

Rappresentazione geometrica dei numeri razionali

Sia data una retta r .

Fissiamo su r due punti distinti O (origine) e U (punto unita);

essi individuano:

• un verso di percorrenza positivo sulla retta, quello che porta

da O a U ;

• una unita di misura, cioe il segmento OU .

La retta r prende il nome di retta orientata.

Possiamo definire una applicazione di Q nella retta orientata.

Procedimento . . .

Questa applicazione

• e ingettiva, se identifichiamo tra loro frazioni equivalenti;

• non e surgettiva.

19

Formulazione equivalente dell’assioma di Dedekind:

esiste una corrispondenza biunivoca tra R e la retta orientata che

prolunga la applicazione definita in Q con il procedimento descritto.

Punti che corrispondono ai numeri irrazionali? Piu avanti . . .

In base a questa proprieta, possiamo identificare ciascun numero reale x

con il punto Px che corrisponde a x sulla retta orientata r .

Sottointendendo questa identificazione, chiameremo retta reale l’insieme

dei numeri reali R .

Osservazione

La relazione di ordine in R si esprime come segue: se x , y ∈ R e x < y ,

allora Px precede Py rispetto al verso di percorrenza positivo.

Cosa corrisponde in R ai concetti geometrici di segmento, semiretta,

distanza?20

Intervalli limitati

Siano a, b ∈ R , con a ≤ b :

[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} intervallo chiuso

(a, b) := {x ∈ R | a < x < b} intervallo aperto

[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b} int. chiuso a sinistra, aperto a destra

(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b} int. aperto a sinistra, chiuso a destra

Casi particolari:

[a, a] = {a}

(a, a) = [a, a) = (a, a] = ∅

21

Intervalli illimitati

Sia a ∈ R :

[a,+∞) := {x ∈ R | x ≥ a} interv. chiuso illimitato superiormente

(a,+∞) := {x ∈ R | x > a} interv. aperto illimitato superiormente

(−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} interv. chiuso illimitato inferiormente

(−∞, a) := {x ∈ R | x < a} interv. aperto illimitato inferiormente

(−∞,+∞) := R

Casi particolari:

[0,+∞) = R+ , (−∞, 0] = R−

(0,+∞) = R∗+ , (−∞, 0) = R∗−

22

Notazioni e terminologia:

• +∞ e −∞ si leggono “piu infinito” e “meno infinito”;

sono simboli, non numeri reali.

• R ∪ {−∞,+∞} =: R retta reale ampliata

• Invece di [a,+∞) ∪ {+∞} scriveremo [a,+∞] ;

analogamente negli altri casi.

Osservazione

Ciascuno degli insiemi che abbiamo chiamato intervallo ha la proprieta

che comunque si scelgano x e y in esso, tutti i numeri compresi tra

x e y vi appartengono.

Non tutti i sottoinsiemi di R hanno questa proprieta. Per esempio:

• l’insieme dei numeri naturali N non e un intervallo;

• l’insieme R∗ non e un intervallo.

23

Valore assoluto

Per ogni numero reale x si chiama valore assoluto (o modulo) di x

il numero reale, denotato con |x | , definito ponendo

|x | :=

x se x ≥ 0

−x se x < 0.

Osservazioni

• |x | coincide con la distanza dall’origine di Px .

• |x − y | coincide con la distanza tra Px e Py .

24

Proprieta immediate del valore assoluto

• |x | ≥ 0 per ogni x ∈ R

• |x | = 0 ⇐⇒ x = 0; |x | > 0 ⇐⇒ x 6= 0

• |−x | = |x | per ogni x ∈ R

• r > 0, |x | = r ⇐⇒ x = r oppure x = −r

|x | < r ⇐⇒ −r < x < r

|x | > r ⇐⇒ x > r oppure x < −r

• r < 0, |x | = r mai

|x | < r mai

|x | > r per ogni x

25

Ulteriori proprieta del valore assoluto

• |x · y | = |x | · |y | per ogni x , y ∈ R

•∣∣∣∣xy∣∣∣∣ =|x ||y |

per ogni x , y ∈ R , y 6= 0

• −|x | ≤ x ≤ |x | per ogni x ∈ R

• |x + y | ≤ |x |+ |y | per ogni x , y ∈ R (disuguaglianza triangolare)

•∣∣|x | − |y |∣∣ ≤ |x − y |

26

Conseguenze dell’assioma di Dedekind

Sia E ⊆ R un insieme non vuoto. Sia x ∈ R .

Se per ogni x ∈ E si ha x ≤ x , diciamo che x e un maggiorante di E .

Se esiste un maggiorante di E che appartiene a E , lo chiamiamo

massimo di E e lo denotiamo con maxE .

Osservazioni

• Non e detto che E abbia maggioranti. Esempio?

Se E ha maggioranti, diciamo che E e limitato superiormente.

• Un insieme limitato superiormente ha infiniti maggioranti.

• Un insieme limitato superiormente puo non avere massimo;

tuttavia il massimo, se esiste, e unico.

27

Sia E ⊆ R un insieme non vuoto. Sia x ∈ R .

Se per ogni x ∈ E si ha x ≥ x , diciamo che x e un minorante di E .

Se esiste un minorante di E che appartiene a E , lo chiamiamo

minimo di E e lo denotiamo con minE .

Osservazioni

Mutatis mutandis, sono le stesse della pagina precedente.

28

Teorema

1 Sia E ⊂ R un insieme non vuoto e limitato superiormente.

Allora: esiste il minimo dell’insieme dei maggioranti di E ,

che si chiama estremo superiore di E e si denota con supE .

2 Sia E ⊂ R un insieme non vuoto e limitato inferiormente.

Allora: esiste il massimo dell’insieme dei minoranti di E ,

che si chiama estremo inferiore di E e si denota con inf E .

Dimostrazione . . .

Notazioni

Sia E ⊂ R un insieme non vuoto.

Se E e illimitato superiormente, scriviamo supE = +∞ .

Se E e illimitato inferiormente, scriviamo inf E = −∞ .

29

Osservazioni

Sia E un insieme limitato superiormente.

• Se E ha massimo, allora maxE = supE ;

in particolare, supE appartiene a E .

• Se supE appartiene a E , allora supE e il massimo di E .

Analoghe considerazioni valgono per un insieme limitato inferiormente.

Esempio

Determinare gli estremi dell’insieme

E =

{n − 1

n

∣∣∣ n ∈ N∗}

30

Conseguenze dell’esistenza dell’estremo superiore

1 Proprieta archimedea di RPer ogni a, b ∈ R , con a > 0, esiste n ∈ N∗ tale che n a > b .

banale se b ≤ 0↓

2 Proprieta di densita di Q in RPer ogni x , y ∈ R , con x < y , esiste q ∈ Q tale che x < q < y .

Interpretazione geometrica?

Dimostrazione . . .

Osservazione

La proprieta archimedea (con x = 1) implica che l’insieme N non e

limitato superiormente.

31

Parentesi: rappresentazione decimale

Allineamento decimale: espressione della forma

± c0 . c1c2c3 . . . (∗)

c0 ∈ N , c1, c2, . . . ∈ {0, 1, 2, . . . , 8, 9} .

• Allineamento decimale limitato:

esiste k ∈ N tale che cn = 0 per ogni n ≥ k + 1.

(∗) si interpreta come somma:

±(c0 +

c1

10+ · · ·+ ck

10k

)• Allineamento decimale illimitato Somma? Serie numerica!

• periodico: un gruppo di cifre si ripete indefinitamente

• non periodico

32

Esempi

2.35

12.444444444444 . . . = 12.4

12.35444444444444 . . . = 12.354

12.35456456456456 . . . = 2.35456

1. 234567891011121314151617181920 . . .

3. 1010010001000010000010000001000 . . .

Osservazioni

• Ogni allineamento decimale limitato puo essere pensato come

periodico di periodo 0.

• Identifichiamo gli allineamenti decimali illimitati periodici di periodo 9

con allineamenti decimali limitati. Esempi: 4.9 = 5, 4.359 = 4.36.

• A ogni numero razionale corrisponde un allineamento decimale

periodico, e viceversa.33

Formulazione equivalente dell’assioma di Dedekind:

esiste una corrispondenza biunivoca tra R e l’insieme degli allineamenti

decimali (periodici o non periodici).

Osservazioni

• Le operazioni in R corrispondono alle operazioni con gli allineamenti

decimali.

• La relazione d’ordine in R corrisponde all’ordinamento lessicografico

tra allineamenti decimali.

• I numeri irrazionali corrispondono ad allineamenti decimali

non periodici. Rappresentazione sulla retta orientata . . .

34

Tramite gli allineamenti decimali illustriamo la proprieta di densita dei

numeri razionali (e anche dei numeri irrazionali) in R , cioe :

∀ x , y ∈ R, x < y =⇒

{∃ q ∈ Q t.c. x < q < y

∃ p ∈ R \Q t.c. x < p < y

x = 2. 36847264328589 . . .

y = 2. 36847527349870 . . .

q = 2. 368475

p = 2. 3684750101001000100001 . . .

x = 2. 36847264328589 . . .

y = 2. 36847500027349 . . .

q = 2. 368475

p = 2. 3684750000101001000100001 . . .

Implicazioni “geometriche” . . .

35

Osservazione

E impossibile scrivere un allineamento decimale illimitato.

Nella pratica dobbiamo approssimare allineamenti illimitati con

allineamenti limitati; dobbiamo tener conto dell’errore di approssimazione,

a cominciare dalla scrittura:

π = 3.14 X π ' 3.14 X

2

3= 0.66667 X

2

3' 0.66667 X

Fine della parentesi

36

Funzioni reali di variabile reale

Una funzione f : D → C si dice

• reale se C ⊆ R ;

• di variabile reale se D ⊆ R .

Esempi

• La funzione che a ogni numero intero associa il suo doppio e reale

di variabile reale.

• La funzione che associa al peso (in grammi) di una lettera

l’affrancatura (in centesimi di euro) necessaria alla spedizione e reale

di variabile reale.

• La funzione che a ogni citta sulla terra, individuata in base alla sua

latitudine e longitudine, associa l’altitudine e reale ma non di variabile

reale (e di due variabili reali).

37

Sia f : D ⊆ R→ R . Ricordiamo che:

• D e il dominio o insieme di definizione di f ;

notazione alternativa: dom(f );

• per x ∈ D : f (x) e l’unico elemento di R che f associa a x ,

chiamato valore di f in x , o anche immagine di x tramite f

• per D ′ ⊆ D , l’insieme f (D ′) :={f (x) | x ∈ D ′

}e l’immagine di D ′

tramite f ;

• f (D) e l’immagine di f ; notazione alternativa: imm(f );

• per y ∈ R , l’insieme{x ∈ D | f (x) = y

}e la controimmagine di y

tramite f ;

• per Y ⊆ R , l’insieme{x ∈ D | f (x) ∈ Y

}e la controimmagine di Y

tramite f .

38

Esempio

Sia f : R→ R tale che f (x) = 2x + 1. Determiniamo:

f (0) f (1.5) f (−2.34) f (π)

f ({−3,√

2, 2.1}) f ([−2, 4.5))

controimmagine di 3.6 controimmagine di [1, 8)

39

Siano A e B insiemi qualsiasi e sia f : A→ B .

Il grafico di f e l’insieme

graf(f ) :={

(x , y) ∈ A× B | y = f (x)}.

In particolare, se f e una funzione reale di variabile reale,

il grafico di f e un sottoinsieme di R× R . Apriamo una parentesi. . .

40

Parentesi: rappresentazione geometrica di R× R

A partire dalla corrispondenza biunivoca tra R e la retta orientata,

possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra il prodotto cartesiano

R× R e il piano cartesiano.

Concetti di base:

• sistema ortogonale / ortonormale

• assi coordinati

• come associare alla coppia (x , y) un punto nel piano

• come associare al punto P nel piano una coppia di numeri

• ascissa

• ordinata

41

Grazie alla corrispondenza tra R2 e il piano cartesiano,

possiamo descrivere “cartesianamente” un oggetto geometrico,

ossia “tradurre” le proprieta geometriche che lo caratterizzano

in una o piu relazioni (equazioni e/o disequazioni) tra le ascisse

e le ordinate dei punti che lo compongono.

Esempi

• assi coordinati

• rette parallele agli assi coordinati

• semipiani

• strisce parallele agli assi coordinati

• quadranti

• bisettrici di primo e terzo quadrante (prima bisettrice)

e di secondo e quarto quadrante (seconda bisettrice)

(in un sistema monometrico) Fine della parentesi42

Se f e una funzione reale di variabile reale:

• il grafico di f e un sottoinsieme di R× R ,

che e in corrispondenza biunivoca con il piano cartesiano;

• il grafico di f si identifica con un sottoinsieme del piano cartesiano

(una “curva”);

• il grafico di f puo essere disegnato.

Attenzione: non tutte le curve sono grafici di funzione!

Test delle rette verticali

Una curva nel piano cartesiano e grafico di una funzione della variabile x

se e solo se ogni retta parallela all’asse delle y interseca la curva al piu

una volta. Esempi . . .

43

Informazioni immediatamente deducibili da un grafico

Assegnato il grafico di una funzione f = f (x):

• dom(f ) e la proiezione del grafico sull’asse delle ascisse;

• imm(f ) e la proiezione del grafico sull’asse delle ordinate;

• per x0 ∈ dom(f ), il valore f (x0) e l’ordinata dell’unico punto

del grafico di f che si trova sulla retta di equazione x = x0 ;

• per y0 ∈ imm(f ), la controimmagine di y0 e formata dalle ascisse dei

punti del grafico di f che si trovano sulla retta di equazione y = y0 .

44

Esempio

Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.

In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare

(approssimativamente)

dom(f )

imm(f )

f (0)

f (2)

f ([−1, 1.5])

controimmagine di 0

controimmagine di 6

controimmagine di 2.5

controimmagine di [1.5, 7]

45

Alcune funzioni “modello” Grafici

• Funzione costante

Sia c ∈ R . Sia f : R→ R tale che f (x) = c per ogni x ∈ R .

• Funzione identica

Sia f : R→ R tale che f (x) = x per ogni x ∈ R .

• Funzione opposto

Sia f : R→ R tale che f (x) = −x per ogni x ∈ R .

• Funzione reciproco

Sia f : R∗ → R tale che f (x) =1

xper ogni x ∈ R∗ .

46

• Funzione valore assoluto

Sia f : R→ R tale che f (x) = |x | per ogni x ∈ R .

Esplicitando:

f (x) =

{x se x ≥ 0

−x se x < 0(funzione definita a tratti)

• Funzione segno

Sia sign : R→ R tale che

sign(x) =

1 se x > 0

0 se x = 0

−1 se x < 0

• Funzione parte intera inferiore o floor

Sia f : R→ R tale che f (x) = bxc per ogni x ∈ R .

• Funzione mantissa o parte frazionaria

Sia m : R→ R tale che m(x) = x − bxc per ogni x ∈ R .47

Come ottenere funzioni da funzioni

1 Operazioni algebriche

A partire da due funzioni reali f e g possiamo definire le seguenti

funzioni:

nome simbolo valore in x dominio

somma f + g f (x) + g(x) dom(f ) ∩ dom(g)

differenza f − g f (x)− g(x) dom(f ) ∩ dom(g)

prodotto f · g f (x) · g(x) dom(f ) ∩ dom(g)

reciproco1

g

1

g(x)

{x ∈ dom(g) | g(x) 6= 0

}rapporto

f

g

f (x)

g(x)

{x ∈ dom(f ) ∩ dom(g) | g(x) 6= 0

}48

Esempi

Determinare le funzioni somma, prodotto, reciproco di f ,

rapporto di f e g , specificandone il dominio:

• f (x) = x + 1 g(x) = |x | − 2

• f (x) = bxc g(x) =1

x

49

2 Composizione funzionale

Siano f e g due funzioni (qualsiasi) e sia

D :={x ∈ dom(f ) | f (x) ∈ dom(g)

}.

Se D e non vuoto, definiamo la funzione composta di f e g ,

che denotiamo con g ◦f , ponendo

(g ◦f )(x) := g(f (x)) per ogni x ∈ D .

Osservazioni

In generale, dom(g ◦f ) ⊆ dom(f );

l’uguaglianza e garantita se imm(f ) ⊆ dom(g).

La composizione funzionale non e commutativa.

50

Esempi

Determinare (se possibile) g ◦f e f ◦g , specificandone il dominio:

• f (x) = x + 1 g(x) = |x |

• f (x) = x2 + 1 g(x) =1

x

• f (x) = x2 − 1 g(x) =1

x

• f (x) = bxc g(x) =1

x

51

3 Inversione funzionale

Sia f : D ⊆ R→ R .

Se per ogni y ∈ f (D) l’equazione f (x) = y ha una e una sola soluzione

in D , diciamo che f e invertibile in D .

Osservazione (test delle rette orizzontali)

Con le stesse notazioni: f e invertibile se e solo se ogni retta parallela

all’asse delle x interseca il grafico di f al piu in un punto.

Funzioni modello?

Sia f : D ⊆ R→ R invertibile.

La funzione che a ogni elemento y di f (D) fa corrispondere l’unico

elemento x di D tale che f (x) = y si chiama funzione inversa di f

e si denota con il simbolo f −1 .

52

Conseguenze immediate della definizione

• Il dominio di f −1 coincide con l’immagine di f .

• L’immagine di f −1 coincide con il dominio di f .

• f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y

• f −1(f (x)) = x ∀x ∈ D f −1 ◦ f funzione identica di D

• f (f −1(y)) = y ∀y ∈ f (D) f ◦ f −1 funzione identica di f (D)

53

Proprieta generali delle funzioni

1 Periodicita

Sia T ∈ R∗+ . Una funzione si dice periodica di periodo T se

• per ogni x ∈ dom(f ) si ha x ± T ∈ dom(f ),

• f (x + T ) = f (x) per ogni x ∈ dom(f ).

Interpretazione grafica della periodicita?

Funzioni modello?

54

2 Simmetria

Sia f una funzione tale che dom(f ) sia simmetrico rispetto all’origine.

• Diciamo che f e una funzione pari se per ogni x ∈ dom(f )

si ha f (−x) = f (x).

• Diciamo che f e una funzione dispari se per ogni x ∈ dom(f )

si ha f (−x) = −f (x).

Osservazione

fpari

dispari⇐⇒ il grafico di f e simmetrico rispetto

all’asse delle y

all’origine degli assi

Esistono funzioni della variabile x il cui grafico sia simmetrico rispetto all’asse

delle x ?

Funzioni modello?

55

Esercizio teorico

Giustificare le seguenti affermazioni:

f =⇒ −f 1/f f −1

pari pari pari !!!

dispari dispari dispari dispari

f g =⇒ f + g f · g f ◦ gpari pari pari pari pari

dispari dispari dispari pari dispari

pari dispari– – – dispari pari

dispari pari

Osservazione

Le affermazioni su somma e prodotto valgono anche per differenza

e rapporto, rispettivamente.56

3 Limitatezza ed estremi

Sia f : D ⊆ R→ R .

Diciamo che f e limitata (superiormente, inferiormente)

se lo e la sua immagine f (D).

Maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore

dell’immagine di f si chiamano, rispettivamente,

maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di f .

In simboli: supD

f := sup f (D), infD

f := inf f (D).

Se esiste, il massimo/minimo dell’immagine di f si chiama

massimo/minimo globale di f .

In simboli: maxD

f := max f (D), minD

f := min f (D)

57

Esplicitiamo alcune delle nozioni ora introdotte:

f limitata superiormente ⇐⇒ ∃ c ∈ R t.c. ∀x ∈ D : f (x) ≤ c

f limitata inferiormente ⇐⇒ ∃ c ∈ R t.c. ∀x ∈ D : f (x) ≥ c

f ha massimo globale in D ⇐⇒ ∃ x ∈ D t.c. ∀ x ∈ D : f (x) ≤ f (x)

f ha minimo globale in D ⇐⇒ ∃ x ∈ D t.c. ∀ x ∈ D : f (x) ≥ f (x)

Interpretazione grafica . . .

Funzioni modello?

Nota

x si chiama punto dimassimo

minimoglobale di f in D .

58

Sia f : D ⊆ R→ R , x ∈ D .

x si dice punto dimassimo

minimolocale di f in D se

esiste δ ∈ R∗+ tale chef (x) ≤ f (x)

f (x) ≥ f (x)per ogni x ∈ D ∩ (x − δ, x + δ).

Osservazioni e terminologia

• Un intervallo del tipo (x − δ, x + δ) si chiama intorno di x

(anche: intorno sferico, intorno completo).

• x si dice punto di estremo locale/globale se e punto di massimo

oppure di minimo locale/globale.

• Un punto di estremo globale e anche di estremo locale;

il viceversa non e vero. Esempi?

• Il valore di f in un punto di estremo si chiama estremo di f .

Unicita? Molteplicita?59

4 Monotonia

Sia f : D ⊆ R→ R .

Diciamo che f e

crescente

strettamente crescente

strettamente decrescente

decrescente

in D se

per ogni x1, x2 ∈ D : x1 < x2 =⇒

f (x1) ≤ f (x2)

f (x1) < f (x2)

f (x1) > f (x2)

f (x1) ≥ f (x2)

Una funzione (strettamente) crescente o decrescente si dice

(strettamente) monotona.

Interpretazione grafica . . .

Funzioni modello?60

Esercizio teorico

Giustificare le seguenti affermazioni:

• f monotona =⇒ −f monotona di tipo opposto

• f e g monotone dello stesso tipo =⇒f + g monotona dello stesso tipo

• f di segno costante e monotona =⇒1/f monotona di tipo opposto

• f e g positive e monotone dello stesso tipo =⇒f · g positiva e monotona dello stesso tipo

• f e g negative e monotone dello stesso tipo =⇒f · g positiva e monotona di tipo opposto

• f strett. monotona =⇒ f −1 strett. monotona dello stesso tipo

• f e g monotone dello stesso tipo =⇒ f ◦ g crescente

• f e g monotone di tipo opposto =⇒ f ◦ g decrescente

61

Trasformazioni di grafici: traslazioni

Supponiamo che una funzione sia ottenuta dalla funzione f mediante una

determinata operazione; descriviamo come ottenere il suo grafico a partire

da quello di f .

Sia c ∈ R∗ e sia g(x) = f (x) + c .

Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una traslazione verticale

• verso l’alto se c > 0

• verso il basso se c < 0

62

Trasformazioni di grafici: traslazioni

Sia c ∈ R∗ e sia g(x) = f (x + c).

Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una traslazione

orizzontale

• verso sinistra se c > 0

• verso destra se c < 0

Esistono funzioni il cui grafico resta inalterato rispetto a una traslazione

orizzontale? E rispetto a una traslazione verticale?63

Trasformazioni di grafici: dilatazioni e compressioni

Sia c ∈ (0, 1) ∪ (1,+∞) e sia g(x) = c f (x).

Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante

• una dilatazione verticale se c > 1

• una compressione verticale se c < 1

64

Trasformazioni di grafici: dilatazioni e compressioni

Sia c ∈ (0, 1) ∪ (1,+∞) e sia g(x) = f (c x).

Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante

• una compressione orizzontale se c > 1

• una dilatazione orizzontale se c < 1

65

Trasformazioni di grafici: riflessioni

Siano g(x) = −f (x) e h(x) = f (−x).

• Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una riflessione

rispetto all’asse delle ascisse.

• Il grafico di h si ottiene da quello di f mediante una riflessione

rispetto all’asse delle ordinate.

Esistono funzioni il cui grafico resta inalterato rispetto a una riflessione rispetto

all’asse delle ordinate? E rispetto all’asse delle ascisse?66

Trasformazioni di grafici: composizione con il valore assoluto

Sia g(x) = |f (x)| .Il grafico di g si ottiene da quello di f

• lasciando invariata la porzione nel semipiano superiore,

• riflettendo la porzione nel semipiano inferiore simmetricamente rispetto

all’asse delle ascisse.

67

Trasformazioni di grafici: composizione con il valore assoluto

Sia g(x) = f (|x |).

Il grafico di g si ottiene da quello di f

• trascurando la porzione nel semipiano sinistro,

• lasciando invariata la porzione nel semipiano destro e riflettendola

simmetricamente rispetto all’asse delle ordinate.

68

Trasformazioni di grafici: passaggio al reciproco

Sia g(x) =1

f (x).

Osserviamo che:

• g e definita in tutti i punti in cui f e definita e diversa da 0;

• g non assume mai il valore 0;

• g e positiva dove f e positiva, negativa dove f e negativa;

• se in un intervallo f ha segno costante ed e monotona, nel medesimo

intervallo g ha lo stesso segno di f e monotonia opposta.

69

Trasformazioni di grafici: passaggio all’inversa funzionale

Supponiamo che f sia invertibile e sia g la inversa funzionale di f .

Osserviamo che:

• dom(g) = imm(f ), imm(g) = dom(f )

• (a, b) ∈ graf(f ) =⇒ b = f (a) =⇒ a = g(b)

=⇒ (b, a) ∈ graf(g)

Quindi:

i grafici di f e g sono simmetrici rispetto alla retta di equazione y = x .

70

Osservazione importante

Le funzioni1

f(reciproco di f ) e f −1 (inversa funzionale di f )

sono “inversi” di f rispetto a leggi di composizione diverse.

Pertanto, sono funzioni diverse tra loro e non devono essere confuse.

Esempi

f := x ∈ R 7→ x2 + 1

1

f:= x ∈ R 7→ 1

x2 + 1f −1 non esiste! ???

f := x ∈ R 7→ 2x + 1

1

f:= x ∈ R \

{−1

2

}7→ 1

2x + 1f −1 := x ∈ R 7→ x − 1

2

Confrontare i grafici . . .71

R I C H I A M I

72

Relazione di ordine totale

Una relazione binaria R su un insieme X si dice relazione d’ordine totale

se soddisfa le seguenti proprieta:

Proprieta riflessiva

Per ogni a ∈ X : a R a .

Proprieta antisimmetrica

Per ogni a, b ∈ X : a R b , b R a =⇒ a = b .

Proprieta transitiva

Per ogni a, b, c ∈ X : a R b , b R c =⇒ a R c .

Proprieta di dicotomia

Per ogni a, b ∈ X : a R b oppure b R a .

Esempio di relazione d’ordine non totale?

73

G R A F I C I

74

Esempio




dom(f )

imm(f )

f (0)

f (2)

f ([−1, 1.5])

controimmagine di 0

controimmagine di 6



75

Esempio




dom(f )

imm(f )

f (0)

f (2)

f ([−1, 1.5])

controimmagine di 0

controimmagine di 6



76

Esempio




dom(f )

imm(f )

f (0)

f (2)

f ([−1, 1.5])

controimmagine di 0

controimmagine di 6



77

Esempio




dom(f )

imm(f )

f (0)

f (2)

f ([−1, 1.5])

controimmagine di 0

controimmagine di 6



78

Esempio




dom(f )

imm(f )

f (0)

f (2)

f ([−1, 1.5])

controimmagine di 0

controimmagine di 6



79

Esempio




dom(f )

imm(f )

f (0)

f (2)

f ([−1, 1.5])

controimmagine di 0

controimmagine di 6



80

Esempio




dom(f )

imm(f )

f (0)

f (2)

f ([−1, 1.5])

controimmagine di 0

controimmagine di 6



81

Esempio




dom(f )

imm(f )

f (0)

f (2)

f ([−1, 1.5])

controimmagine di 0

controimmagine di 6



82

Esempio




dom(f )

imm(f )

f (0)

f (2)

f ([−1, 1.5])

controimmagine di 0

controimmagine di 6



83

Grafici delle funzioni modello - I

funzione costante funzione identica

funzione opposto funzione reciproco

84

Grafici delle funzioni modello - II

funzione valore assoluto funzione segno

funzione parte intera inferiore funzione mantissa

85

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Analisi Matematica Numeri reali e funzioni reali di ... · Rappresentazione geometrica dei numeri razionali Sia data una retta r. Fissiamo su r due punti distinti O (origine) e U