Liceo Scientifico “G. Galilei”

Anno Scolastico 2013/2014

PROGRAMMA DI MATEMATICA

Classe I C

Libri di testo:

M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Algebra.blu con Statistica, Vol.1, Zanichelli.

M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Geometria.blu, Zanichelli.

ALGEBRA

Logica

- Elementi di logica. Ambito sintattico e semantico. Calcolo proposizionale. Proposizioni semplici.

Connettivi logici. Proposizione composte. Connettivo di implicazione: premessa (ipotesi) e conclusione

(tesi). Connettivo di doppia implicazione. Condizioni necessarie e sufficienti.

- Valore di verità di proposizione composte. Tavole di verità. Tautologie e contraddizioni. Equivalenza

logica. Equivalenze notevoli: associatività, commutatività, distributività, Leggi di De Morgan, doppia negazione, contronominale, dimostrazioni per assurdo.

- Calcolo dei predicati. Variabili, costanti, quantificatori. Proprietà e relazioni. Verità nel calcolo dei

predicati. Schematizzazione di testi matematici (problemi geometrici) attraverso costrutti logici e relativa

rappresentazione geometrica.

Insiemi. Relazioni e funzioni

- Concetto di insieme. Rappresentazione tabulare, grafica, caratteristica. Relazione di appartenenza. Insieme

vuoto. Insiemi finiti ed infiniti. Insiemi uguali. Insiemi numerici.

- Relazioni di inclusione ed inclusione stretta. Sottoinsieme e sottoinsieme proprio di un insieme. Insieme

delle parti di un insieme. Concetto di cardinalità di un insieme. Cardinalità dell’insieme delle parti.

Relazioni insiemistiche fra gli insiemi numerici N, Z, Q, R.

- Operazioni insiemistiche: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementazione

(insieme universo). Proprietà delle operazioni insiemistiche. Concetto di coppia ordinata. Prodotto

cartesiano. Rappresentazione grafica. Cardinalità del prodotto cartesiano. Prodotto cartesiano R×R=R2.

Rappresentazione cartesiana (diagramma cartesiano) del prodotto cartesiano. Piano cartesiano.

- Relazioni binarie. Dominio, codominio, immagine (corrispondente) di un elemento. Grafico di una

relazione: rappresentazione insiemistica (per elencazione), sagittale, grafica (diagramma cartesiano), tabella a doppia entrata. Relazione inversa. Relazioni (binarie) definite in un insieme e relative proprietà: riflessiva,

simmetrica, transitiva, antisimmetrica. Relazioni di equivalenza. Relazioni d’ordine, totale o parziale.

Funzioni: dominio, codominio, immagine (corrispondente) di un elemento, immagine. Variabile

indipendente e dipendente. Funzioni numeriche. Funzioni reali di una variabile reale. Rappresentazione

insiemistica e grafica (del grafico) di una funzione: osservazioni relative nel caso di funzioni numeriche o

reali di una variabile reale (insiemi discreti, “continui”, densi) rappresentate nel piano cartesiano. Proprietà

delle funzioni: iniettiva, suriettiva, biettiva. Condizioni necessarie (non sufficienti) affinché esistano

funzioni iniettive, suriettive, biettive tra due insiemi in base alla relativa cardinalità. Concetto di

corrispondenza biunivoca. Funzione inversa. Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché una

funzione sia invertibile è che sia biettiva. Funzioni numeriche particolari: funzione di proporzionalità

diretta, funzione di proporzionalità inversa, funzione lineare, funzione di proporzionalità quadratica.

Relative rappresentazioni nel piano cartesiano, rispettivamente: retta passante per l’origine, retta obliqua, iperbole equilatera, parabola.

Retta reale. Piano cartesiano. Retta. Parabola

- Retta reale. Corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta orientata ed i numeri reali. Ascissa di un

punto. - Sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Piano cartesiano. Corrispondenza biunivoca tra i punti di un

piano cartesiano e R2. Coordinate di un punto: ascissa e ordinata.

- La retta come funzione. Rappresentazione grafica. Coefficiente angolare, ordinata all’origine. Significato

geometrico del coefficiente angolare e osservazioni sul relativo segno e variazione. Condizione di

parallelismo tra rette. Equazioni delle bisettrici del I-III e del II-IV quadrante. Equazioni di rette parallele

agli assi cartesiani

- La parabola come funzione. Vertice, concavità. Rappresentazione grafica. Apertura di una parabola e

relativa dipendenza dalla costante di proporzionalità quadratica. Simmetria rispetto all’asse x di y=kx2 e

y=−kx2.

Insiemi numerici (ripasso e approfondimenti)

- Numeri naturali. Insieme N dei numeri naturali. Confronto. Operazioni e relative proprietà. Legge di

annullamento del prodotto. Potenze ad esponente naturale: base, esponente, proprietà. Espressioni con i

numeri naturali.

Divisibilità di numeri naturali. Criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 9, 25. Numeri primi e numeri primi tra

loro. Scomposizione di un numero naturale in fattori primi. Regola per il calcolo di M.C.D. e m.c.m. di due

o più numeri.

- Numeri razionali assoluti. Trasformazione di frazioni in numeri decimali: numero decimale finito, periodico semplice e misto, parte intera e parte decimale, periodo, antiperiodo. Frazioni decimali. Frazione

generatrice di un numero decimale, finito e periodico, semplice o misto. Operazioni con i numeri razionali

assoluti. Espressioni con i numeri razionali assoluti.

- Numeri relativi, interi e razionali. Insieme Z dei numeri interi come ampliamento di N. Insieme Q dei

numeri razionali come ampliamento di Z. Concetti di numero positivo e negativo, valore assoluto di un

numero relativo, numeri concordi, discordi, opposti, uguali. Rappresentazione grafica di numeri razionali

relativi su una retta. Proprietà dell'ordine tra numeri relativi. Operazioni con i numeri relativi. Potenza di

numeri relativi. Potenze a esponente negativo e relative proprietà. Rappresentazione di frazioni decimali

come potenze ad esponente negativo. Frazioni di frazioni. Espressioni con i numeri relativi. Ampliamento

dell’insieme Q all’insieme R dei numeri reali.

Calcolo letterale. Espressioni algebriche

- Introduzione al calcolo letterale come generalizzazione del calcolo numerico. Espressione letterale,

espressione razionale, intera e fratta. Valore numerico di un’espressione algebrica.

Monomi

- Concetto di monomio. Coefficiente numerico, parte letterale. Monomi in forma normale e riduzione di

monomi in forma normale. Grado complessivo di un monomio. Grado di un monomio rispetto ad una

lettera. Monomio nullo, monomi uguali, opposti e simili.

- Addizione e sottrazione di monomi. Riduzione di monomi simili. Grado del monomio somma (differenza)

di due o più monomi. Moltiplicazione di monomi. Grado del monomio prodotto di due o più monomi.

Divisibilità di due monomi e divisione di monomi. Grado del monomio quoziente di due monomi. Potenza di un monomio. Grado del monomio potenza di un monomio. Espressioni con monomi.

- M.C.D. e m.c.m. di monomi.

Polinomi

- Concetto di polinomio. Forma normale di un polinomio e riduzione di un polinomio in forma normale.

Termini di un polinomio. Classificazione dei polinomi rispetto al numero dei termini: binomio, trinomio, quadrinomio. Grado complessivo di un polinomio e grado di un polinomio rispetto ad una lettera. Polinomi

omogenei. Termine noto. Numeri e monomi come polinomi. Polinomi ordinati secondo le potenze

crescenti/decrescenti di una data lettera. Polinomi completi. Principio di identità tra polinomi.

- Addizione e sottrazione di polinomi. Moltiplicazione di un polinomio per un monomio. Moltiplicazione di

polinomi. Divisibilità di un polinomio per un monomio. Divisione di un polinomio per un monomio.

Espressioni con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni di polinomi e moltiplicazioni e divisioni di un

polinomio per un monomio.

- Prodotti notevoli. Quadrato di un binomio. Quadrato di un trinomio. Prodotto della somma per la differenza

di due monomi/polinomi. Raccoglimento del fattore (+1) o (-1). Cubo di un binomio. Binomio somma

(differenza) di monomi per il rispettivo falso quadrato. Espressioni con i prodotti notevoli.

- Divisibilità di due polinomi. Divisione di polinomi in una o più lettere. Relazione tra dividendo, divisore,

quoziente e resto. Grado del polinomio quoziente. Grado del resto. Regola di Ruffini. Teorema del resto.

Teorema di Ruffini.

Scomposizione di un polinomio in fattori primi

- Scomposizione di polinomi in fattori primi. Polinomi riducibili e irriducibili. Raccoglimento a fattor

comune totale di monomi e polinomi. Raccoglimento a fattor comune parziale di monomi e polinomi.

Regola per il raccoglimento del fattore (-1) in potenze a esponente pari e a esponente dispari di monomi e

polinomi.

- Scomposizione del trinomio sviluppo del quadrato di un binomio (generalizzazione: scomposizione dello

sviluppo del quadrato della somma o differenza di due polinomi), e del polinomio sviluppo del quadrato di

un trinomio. Scomposizione di una differenza di quadrati (generalizzazione: scomposizione dello sviluppo

della differenza di quadrati di due polinomi). Scomposizione del quadrinomio sviluppo del cubo di un

binomio (generalizzazione: scomposizione dello sviluppo del cubo della somma o differenza di due

polinomi). Scomposizione di somme e differenze di cubi (dimostrazione attraverso la regola di Ruffini) (generalizzazione: scomposizione della somma o differenza di cubi di due polinomi.).

- Scomposizione del trinomio particolare a coefficienti numerici e letterali x2+Bx+C (risp. x2n+Bxn+C,

nN\{0}). Scomposizione del trinomio particolare a coefficienti numerici e letterali Ax2+Bx+C (risp.

Ax2n+Bxn+C, nN\{0}). - Scomposizione mediante la regola di Ruffini: ricerca dei divisori del termine noto.

- Scomposizioni miste.

- M.C.D. e m.c.m. di polinomi.

Frazioni algebriche

- Definizione di frazione algebrica. Condizione di esistenza di frazioni algebriche. Monomi e polinomi come

frazioni algebriche. Frazioni algebriche con numeratore nullo. Frazioni algebriche equivalenti. Proprietà

invariantiva. Frazioni algebriche riducibili e irriducibili. Semplificazione di frazioni algebriche. Riduzione

di frazioni allo stesso denominatore.

- Addizione e sottrazione di frazioni algebriche. Moltiplicazione di frazioni algebriche. Frazione algebrica

reciproca: condizioni di esistenza. Divisione di frazioni algebriche. Potenza di frazioni algebriche (anche

con esponente negativo). Frazioni di frazioni algebriche. Espressioni con frazioni algebriche, con relative

condizioni di esistenza.

Identità ed equazioni

- Concetti di identità ed equazione. Concetto di valore che soddisfa (verifica) una uguaglianza. Concetti di

incognita (variabile, radice), membri di un’identità e di un’equazione. Classificazione delle equazioni:

equazioni numeriche e letterali, intere e fratte. Significato delle lettere (parametri) nelle equazioni letterali.

Condizioni di esistenza di identità ed equazioni. Concetti di soluzione e risoluzione di un’equazione.

Concetto di soluzione a seconda del numero di variabili dell’equazione. Classificazione di un’equazione

rispetto al numero di soluzioni: equazione determinata, indeterminata, impossibile. Osservazioni relative

nel caso di equazioni con una o due o più variabili. - Equazioni equivalenti. Principi di equivalenza. Principio di addizione e sottrazione. Regola del trasporto.

Regola di cancellazione. Principio di moltiplicazione e divisione. Regola del cambiamento di segno. Regola

di eliminazione del minimo comun denominatore. Semplificazione di un’equazione mediante divisione di

tutti i termini per il M.C.D. dei coefficienti numerici (se possibile).

- Equazioni in una variabile. Forma normale e riduzione ad essa. Grado di un'equazione. Equazioni lineari.

Osservazioni: 1. equazioni in una variabile lineari sono sempre determinate; 2. equazioni in una variabile

determinate hanno al più tante soluzioni quanto è il relativo grado.

- Equazioni in una variabile lineari. Forma normale. Equazioni in una variabile lineari numeriche intere.

Equazioni in una variabile lineari numeriche fratte: condizioni di esistenza e verifica dell’accettabilità della

soluzione.

- Problemi di primo grado. “Modellizzazione” di problemi di natura algebrica, geometrica, del mondo reale attraverso gli strumenti dell’algebra e relativa risoluzione attraverso la risoluzione di equazioni in una

variabile lineari. Scelta dell’incognita e relative (eventuali) condizioni (limitazioni) di esistenza.

Osservazioni nei problemi di natura geometrica sulla scrittura simbolica di lunghezze di segmenti (risp.

ampiezze di angoli, aree di superfici piane) e delle relative misure.

- Cenni alle equazioni letterali intere.

GEOMETRIA

Introduzione. Linguaggio e terminologia

- Introduzione alla Geometria euclidea: gli "Elementi" di Euclide. Nozioni di concetto primitivo, assioma

(postulato), enunciato, definizione, dimostrazione. Nozione di teorema: enunciato, ipotesi, tesi,

dimostrazione. Nozioni di teorema inverso, corollario, lemma. La tecnica del dimostrare.

- Concetti primitivi: punto, retta, piano, spazio. Punti interni (appartenenti) e punti esterni (non appartenenti)

ad una retta e ad un piano. Figure geometriche. Figure piane e solide.

Postulati

- Postulati di appartenenza. Postulati di appartenenza della retta. Postulato 1: Per due punti distinti di un

piano passa una ed una sola retta. Punti allineati. Postulato 2: Su una retta ci sono almeno due punti.

Postulato 3: Data una retta su un piano, esiste almeno un punto del piano non appartenente ad essa.

Postulati di appartenenza del piano. Postulato 1: Per tre punti distinti non allineati passa uno ed un solo

piano. Postulato 2: Fissati due punti su un piano, la retta passante per essi giace interamente sul piano.

- Ordinamento dei punti su una retta. Postulato dell’ordine: Data una retta 1. è possibile fissare su di essa un

verso rispetto a cui, comunque presi due suoi punti distinti A e B, si può sempre dire che, nel verso fissato,

o A precede B (B segue A) o B precede A (A segue B); 2. non esiste né un primo, né un ultimo punto; 3.

Fra due suoi punti distinti esiste sempre almeno un altro punto. Conseguenze: 1. La retta contiene infiniti

punti ed è illimitata; 2.Ogni piano contiene infiniti punti ed infinite rette; 3. Per un punto P di un piano

passano infinite rette. Fascio proprio di rette. Retta orientata. Cenni agli insiemi (di punti) discreti, “continui”, densi.

Semirette, segmenti, angoli. Congruenza

- Semirette (origine). Semirette opposte. Fascio di semirette. Segmenti (punti interni ed estremi).

Prolungamenti di un segmento. Segmenti consecutivi ed adiacenti. Poligonali (lati). Poligonali aperte e

chiuse, intrecciate.

- Postulato di partizione del piano: Sia r una retta del piano e siano A e B due punti del piano. Allora: se A e

B appartengono alla stessa regione, il segmento AB non interseca la retta r; se A e B appartengono a regioni

diverse, il segmento AB interseca la retta r. Semipiani (origine). Semipiani opposti. Semipiani aperti e

chiusi. Angoli (lati, vertice, punti interni). Angoli consecutivi ed adiacenti. Angolo piatto, giro, nullo. Corda

di un angolo. - Figure concave e convesse. Angoli concavi e convessi.

- Concetto primitivo di movimento rigido. Figure coincidenti. Figure congruenti. Proprietà della congruenza:

riflessiva, simmetrica, transitiva. Osservazione: La congruenza è una relazione di equivalenza. Congruenza

di tutte le rette, semirette, di tutti i piani e di tutti i semipiani.

- Postulato del trasporto dei segmenti. Postulato del trasporto di angoli. Linee piane. Distanza tra due punti.

Circonferenza.

- I segmenti. Lunghezza di un segmento. Confronto tra segmenti. Addizione e sottrazione fra segmenti.

Multipli e sottomultipli di segmenti. Postulato di Eudosso –Archimede per i segmenti: Dati due segmenti,

che non siano congruenti o nulli, esiste sempre un segmento multiplo del minore che supera il maggiore.

Postulato di divisibilità dei segmenti: Dato un segmento esiste sempre ed è unico il suo sottomultiplo

secondo un qualsiasi numero naturale non nullo. Punto medio di un segmento. Postulato di unicità del punto medio: Esiste sempre il punto medio di un segmento ed è unico. Problemi relativi.

- Gli angoli. Ampiezza di un angolo. Confronto fra angoli. Addizione e sottrazione fra angoli. Multipli e

sottomultipli di angoli. Postulato di Eudosso –Archimede per gli angoli: Dati due angoli, che non siano

congruenti o nulli, esiste sempre un angolo multiplo del minore che supera il maggiore. Postulato di

divisibilità degli angoli: Dato un angolo esiste sempre ed è unico il suo sottomultiplo secondo un qualsiasi

numero naturale non nullo. Bisettrice di un angolo. Postulato di unicità della bisettrice: Esiste sempre ed è

unica la bisettrice di un angolo. Angoli retti, acuti, ottusi. Angoli supplementari, complementari,

esplementari. Teorema. Angoli complementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti

(dimostrazione). Angoli opposti al vertice. Teorema: Angoli opposti al vertice sono congruenti

(dimostrazione). Teorema. Angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono

congruenti (dimostrazione). Problemi relativi.

Poligoni e triangoli

- Poligoni e triangoli. Poligono. Vertici, lati, contorno, angoli interni, esterni, diagonali. Classificazione dei

poligoni rispetto al numero dei lati: triangolo, quadrilatero, pentagono, esagono.

- I triangoli. Angolo opposto e adiacente a un lato, angolo compreso tra due lati. Angolo interno ed esterno.

Bisettrici, altezze e mediane in un triangolo. Classificazione dei triangoli rispetto ai lati: triangolo scaleno,

isoscele (lati, base, angoli alla base, angolo al vertice), equilatero.

Criteri di congruenza. Proprietà del triangolo isoscele ed equilatero. Teorema dell’angolo esterno

- Criteri di congruenza dei triangoli: Primo criterio di congruenza: Due triangoli sono congruenti se hanno

ordinatamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso (dimostrazione). Secondo criterio di congruenza: Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli ad esso

adiacenti (dimostrazione).

- Proprietà dei triangoli isosceli. Teorema 1: In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti

(dimostrazione). Teorema 2 (inverso del Teorema 1): Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora esso è

isoscele (dimostrazione). Teorema 3: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è

che abbia due angoli congruenti. Teorema 4: Se un triangolo è isoscele, allora la bisettrice dell’angolo al

vertice è anche altezza e mediana relativa alla base (dimostrazione).

- Proprietà dei triangoli equilateri. Corollario1: Un triangolo equilatero ha i tre angoli congruenti, ossia è

equiangolo (dimostrazione). Corollario 2 (inverso del Corollario1): Un triangolo avente i tre angoli

congruenti (equiangolo) è equilatero (dimostrazione). Teorema 3: Condizione necessaria e sufficiente

affinché un triangolo sia equilatero è che sia equiangolo. Corollario 4: In un triangolo equilatero la bisettrice

di un qualsiasi angolo è anche altezza e mediana relativa al lato opposto (dimostrazione). - Terzo criterio di congruenza: Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti

(dimostrazione). Teorema: Se un triangolo è isoscele, allora la mediana relativa alla base è anche bisettrice

dell’angolo al vertice e altezza relativa alla base (dimostrazione). Teorema: Se un triangolo è equilatero,

allora la mediana relativa ad un qualsiasi lato è anche bisettrice dell’angolo opposto e altezza relativa al lato

medesimo (dimostrazione).

Disuguaglianze nei triangoli

- Disuguaglianze nei triangoli. Primo teorema dell’angolo esterno: In ogni triangolo ogni angolo esterno è

maggiore di ciascuno dei due angoli interni ad esso non adiacenti (dimostrazione). Corollario 1: La somma

degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto (dimostrazione). Corollario 2: Un triangolo

non può avere due o più angoli retti, né due o più angoli ottusi, né un angolo retto ed uno ottuso, cioè in un

triangolo due angoli sono sempre acuti (dimostrazione). Corollario 3: In un triangolo rettangolo gli angoli

diversi da quello retto sono acuti (dimostrazione). Corollario 4: In un triangolo isoscele gli angoli alla base

sono acuti (dimostrazione). Corollario 5: In un triangolo equilatero gli angoli sono acuti (dimostrazione).

Classificazione dei triangoli in base agli angoli: triangolo rettangolo, ottusangolo, acutangolo.

- Relazioni fra gli elementi di un triangolo. Teorema: Se un triangolo ha due lati disuguali ha anche due

angoli disuguali ed a lato maggiore sta opposto angolo maggiore (dimostrazione). Teorema inverso: Se un triangolo ha due angoli disuguali ha anche due lati disuguali ed a angolo maggiore sta opposto lato

maggiore. Corollario 1: In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti

(dimostrazione). Corollario 2: In ogni triangolo ottusangolo il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore di

ciascuno degli altri due lati (dimostrazione). Teorema: In un triangolo un lato è minore della somma degli

altri due e maggiore della loro differenza (dimostrazione). Problemi relativi.

Parallelismo e perpendicolarità nel piano

- Rette perpendicolari. Teorema: La perpendicolare condotta per un punto ad una retta data esiste sempre ed

è unica (dimostrazione sia nel caso di punto appartenente che di punto non appartenente alla retta).

- Piede della perpendicolare. Proiezione di un punto e di un segmento su una retta.

- Teorema: Il segmento perpendicolare condotto da un punto ad una retta è minore di ogni segmento obliquo

condotto dallo stesso punto alla stessa retta (dimostrazione). Distanza di un punto da una retta.

- Asse di un segmento. Proprietà dell’asse di un segmento: Ogni punto dell’asse di un segmento è

equidistante dagli estremi (dimostrazione). Concetto di luogo geometrico.

- Rette parallele. Proprietà del parallelismo: riflessiva, simmetrica, transitiva. Osservazione: Il parallelismo

tra rette è una relazione di equivalenza. Fascio improprio di rette.

- Rette tagliate da una trasversale: angoli alterni interni, alterni esterni, corrispondenti, coniugati interni, coniugati esterni. Teorema 1: Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni

interni congruenti, allora sono parallele (dimostrazione). Criterio del parallelismo: Se due rette tagliate da

una trasversale formano con essa o due angoli alterni (interni o esterni) congruenti, o due angoli

corrispondenti congruenti, o due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari, allora le due rette sono

parallele (dimostrazione). Corollario: Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro

(dimostrazione). Esistenza della retta parallela ad una retta data passante per un punto fissato: relativa

costruzione. Unicità della retta parallela ad una retta data passante per un punto fissato. V postulato di

Euclide: Dati una retta e un punto fuori di essa, la retta parallela alla retta data passante per quel punto è

unica. Cenno alle geometrie non euclidee. Teorema (inverso del Teorema 1): Se due rette sono parallele,

formano con una qualunque trasversale due angoli alterni interni congruenti (dimostrazione). Teorema del

parallelismo: Due rette parallele tagliate da una trasversale formano con essa angoli alterni (interni ed

esterni) congruenti e angoli corrispondenti congruenti e angoli coniugati (interni ed esterni) supplementari (dimostrazione). Corollari del criterio del parallelismo. Corollario 1: Se due rette sono parallele, ogni retta

incidente l'una incide anche l'altra (dimostrazione). Corollario 2: Se due rette sono parallele, ogni retta

perpendicolare all'una è perpendicolare anche all'altra (dimostrazione). Corollario 3: Due rette

perpendicolari a due rette incidenti sono anch’esse incidenti (dimostrazione). Corollario 4 (transitività del

parallelismo): Due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro (dimostrazione). Corollario 5: Due

rette rispettivamente parallele a due rette incidenti, sono anch’esse incidenti (dimostrazione). Problemi

relativi.

- Lati concordi e discordi di due angoli. Teorema: Due angoli che hanno i lati paralleli possono essere

congruenti o supplementari: sono congruenti se entrambi i lati paralleli sono concordi oppure discordi, sono

supplementari se due lati paralleli sono concordi e gli altri due discordi. - Applicazione del criterio del parallelismo ai triangoli: proprietà degli angoli dei poligoni. Secondo teorema

dell’angolo esterno: In ogni triangolo ciascun angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni

ad esso non adiacenti (dimostrazione). Corollario 1: La somma degli angoli interni di un triangolo è

congruente ad un angolo piatto (dimostrazione). Corollario 2: Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo

sono complementari (dimostrazione). Corollario 3: Ogni angolo di un triangolo equilatero è congruente alla

terza parte di un angolo piatto (dimostrazione). Corollario 4: Se due triangoli hanno due angoli

ordinatamente congruenti, hanno congruente anche il terzo angolo (dimostrazione). Corollario 5 (secondo

criterio di congruenza dei triangoli generalizzato): Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente

congruenti un lato e due angoli egualmente disposti rispetto ad esso (dimostrazione). Teorema: Se un

triangolo è isoscele, allora l’altezza relativa alla base è anche bisettrice dell’angolo al vertice e mediana

relativa alla base (dimostrazione). Teorema: Se un triangolo è equilatero, allora l’altezza relativa a qualsiasi

lato è anche bisettrice dell’angolo opposto e mediana relativa al lato medesimo (dimostrazione). Problemi relativi.

- La somma degli angoli interni di un poligono convesso. Teorema: La somma degli angoli interni di un

poligono convesso con n lati è congruente a (n-2) angoli piatti (dimostrazione).

- La somma degli angoli esterni di un poligono convesso. Teorema: La somma degli angoli esterni di un

poligono convesso è congruente ad un angolo giro (dimostrazione).

- Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli. Primo criterio: Due triangoli rettangoli sono congruenti se

hanno ordinatamente congruenti i due cateti (dimostrazione). Secondo criterio: Due triangoli rettangoli

sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un cateto ed un angolo acuto (dimostrazione). Terzo

criterio: Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti l’ipotenusa ed un

angolo acuto (dimostrazione). Quarto criterio: Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno

ordinatamente congruenti l’ipotenusa ed un cateto (dimostrazione). Teorema (criterio di congruenza dei triangoli rettangoli riassuntivo): Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente

congruenti due elementi (escluso l’angolo retto) che non siano i due angoli acuti. Problemi relativi.

Quadrilateri e parallelogrammi

- Quadrilateri e parallelogrammi. Proprietà dei parallelogrammi. Teorema: In ogni parallelogramma i lati

opposti sono congruenti, gli angoli opposti sono congruenti, gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari, le diagonali si dividono scambievolmente a metà (dimostrazione).

- Criteri per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma. Teorema (inverso delle proprietà): Se un

quadrilatero convesso ha i lati opposti congruenti, oppure gli angoli opposti congruenti, oppure gli angoli

adiacenti a ciascun lato supplementari, oppure le diagonali che si dividono scambievolmente a metà, oppure

una coppia di lati opposti paralleli e congruenti allora è un parallelogramma (dimostrazione). Problemi

relativi.

Parallelogrammi particolari

Rettangolo

- Il rettangolo. Proprietà del rettangolo. Teorema: Un rettangolo ha le diagonali congruenti (dimostrazione).

- Criterio per stabilire se un parallelogramma è un rettangolo. Teorema (inverso della proprietà): Un

parallelogramma avente le diagonali congruenti è un rettangolo (dimostrazione). Teorema: In un triangolo

la mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa (dimostrazione).

- Osservazioni: 1. Se in un parallelogramma un angolo è retto anche gli altri sono retti, dunque è un

rettangolo; 2. Le diagonali di un rettangolo si dividono scambievolmente in quattro parti congruenti e

quindi formano quattro triangoli isosceli a due a due congruenti. Problemi relativi. - Teorema: Date due rette parallele, ogni punto di ciascuna retta ha la stessa distanza dall’altra

(dimostrazione). Distanza fra due rette parallele. Altezza della striscia individuata da due rette parallele.

Rombo

- Il rombo. Proprietà del rombo. Teorema: In un rombo le diagonali sono perpendicolari tra loro e bisettrici

degli angoli (dimostrazione).

- Criteri per stabilire se un parallelogramma è un rombo. Teorema (inverso delle proprietà): Un

parallelogramma è un rombo se ha le diagonali perpendicolari, oppure se una diagonale è bisettrice di un

angolo (dimostrazione).

- Osservazione: Se un parallelogramma ha due lati consecutivi congruenti allora è un rombo. Problemi

relativi.

Quadrato

- Il quadrato. Proprietà del quadrato. Teorema: In un quadrato le diagonali sono congruenti, perpendicolari tra

loro e bisettrici degli angoli (dimostrazione).

- Criteri per stabilire se un parallelogramma è un quadrato. Teorema: Un parallelogramma è un quadrato se

ha le diagonali congruenti e perpendicolari, oppure se ha le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di

un angolo (dimostrazione).

- Osservazioni: 1. Le diagonali di un quadrato si dividono scambievolmente in quattro segmenti congruenti

formando quattro triangoli rettangoli isosceli congruenti; 2. Ogni triangolo rettangolo isoscele è la metà di

un quadrato. Problemi relativi.

Trapezio

- Il trapezio. Trapezio scaleno, isoscele (basi maggiore e minore, lati obliqui), rettangolo.

- Proprietà del trapezio isoscele. Teorema: In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono

congruenti, gli angoli opposti (o adiacenti ad un lato obliquo) sono supplementari, le diagonali sono

congruenti, le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti (dimostrazione).

- Criteri per stabilire se un trapezio è isoscele. Teorema: Un trapezio è isoscele se ha gli angoli adiacenti a ciascuna base congruenti, oppure gli angoli opposti supplementari, oppure le diagonali congruenti, oppure

le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore congruenti (dimostrazione). Problemi relativi.

- Relazioni insiemistiche tra gli insiemi dei quadrilateri, dei trapezi, dei parallelogrammi, dei rettangoli, dei

rombi, dei quadrati.

Siena, 7 giugno 2014

Liceo Scientifico “G. Galilei”

Anno Scolastico 2013/2014

PROGRAMMA DI MATEMATICA

Classe I D

Libri di testo:

M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Algebra.blu con Statistica, Vol.1, Zanichelli.

M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Geometria.blu, Zanichelli.

ALGEBRA

Logica

- Elementi di logica. Ambito sintattico e semantico. Calcolo proposizionale. Proposizioni semplici.

Connettivi logici. Proposizione composte. Connettivo di implicazione: premessa (ipotesi) e conclusione

(tesi). Connettivo di doppia implicazione. Condizioni necessarie e sufficienti.

- Valore di verità di proposizione composte. Tavole di verità. Tautologie e contraddizioni. Equivalenza

logica. Equivalenze notevoli: associatività, commutatività, distributività, Leggi di De Morgan, doppia

negazione, contronominale, dimostrazioni per assurdo. - Calcolo dei predicati. Variabili, costanti, quantificatori. Proprietà e relazioni. Verità nel calcolo dei

predicati. Schematizzazione di testi matematici (problemi geometrici) attraverso costrutti logici e relativa

rappresentazione geometrica.

Insiemi. Relazioni e funzioni

- Concetto di insieme. Rappresentazione tabulare, grafica, caratteristica. Relazione di appartenenza. Insieme

vuoto. Insiemi finiti ed infiniti. Insiemi uguali. Insiemi numerici.

- Relazioni di inclusione ed inclusione stretta. Sottoinsieme e sottoinsieme proprio di un insieme. Insieme

delle parti di un insieme. Concetto di cardinalità di un insieme. Cardinalità dell’insieme delle parti.

Relazioni insiemistiche fra gli insiemi numerici N, Z, Q, R.

- Operazioni insiemistiche: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementazione

(insieme universo). Proprietà delle operazioni insiemistiche. Concetto di coppia ordinata. Prodotto

cartesiano. Rappresentazione grafica. Cardinalità del prodotto cartesiano. Prodotto cartesiano R×R=R2.

Rappresentazione cartesiana (diagramma cartesiano) del prodotto cartesiano. Piano cartesiano.

- Relazioni binarie. Dominio, codominio, immagine (corrispondente) di un elemento. Grafico di una

relazione: rappresentazione insiemistica (per elencazione), sagittale, grafica (diagramma cartesiano), tabella

a doppia entrata. Relazione inversa. Relazioni (binarie) definite in un insieme e relative proprietà: riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica. Relazioni di equivalenza. Relazioni d’ordine, totale o parziale.

Funzioni: dominio, codominio, immagine (corrispondente) di un elemento, immagine. Variabile

indipendente e dipendente. Funzioni numeriche. Funzioni reali di una variabile reale. Rappresentazione

insiemistica e grafica (del grafico) di una funzione: osservazioni relative nel caso di funzioni numeriche o

reali di una variabile reale (insiemi discreti, “continui”, densi) rappresentate nel piano cartesiano. Proprietà

delle funzioni: iniettiva, suriettiva, biettiva. Condizioni necessarie (non sufficienti) affinché esistano

funzioni iniettive, suriettive, biettive tra due insiemi in base alla relativa cardinalità. Concetto di

corrispondenza biunivoca. Funzione inversa. Teorema: Condizione necessaria e sufficiente affinché una

funzione sia invertibile è che sia biettiva. Funzioni numeriche particolari: funzione di proporzionalità

diretta, funzione di proporzionalità inversa, funzione lineare, funzione di proporzionalità quadratica.

Relative rappresentazioni nel piano cartesiano, rispettivamente: retta passante per l’origine, retta obliqua, iperbole equilatera, parabola.

Retta reale. Piano cartesiano. Retta. Parabola

- Retta reale. Corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta orientata ed i numeri reali. Ascissa di un

punto. - Sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Piano cartesiano. Corrispondenza biunivoca tra i punti di un

piano cartesiano e R2. Coordinate di un punto: ascissa e ordinata.

- La retta come funzione. Rappresentazione grafica. Coefficiente angolare, ordinata all’origine. Significato

geometrico del coefficiente angolare e osservazioni sul relativo segno e variazione. Condizione di

parallelismo tra rette. Equazioni delle bisettrici del I-III e del II-IV quadrante. Equazioni di rette parallele

agli assi cartesiani.

- La parabola come funzione. Vertice, concavità. Rappresentazione grafica. Apertura di una parabola e

relativa dipendenza dalla costante di proporzionalità quadratica. Simmetria rispetto all’asse x di y=kx2 e

y=−kx2.

Insiemi numerici (ripasso e approfondimenti)

- Numeri naturali. Insieme N dei numeri naturali. Confronto. Operazioni e relative proprietà. Legge di

annullamento del prodotto. Potenze ad esponente naturale: base, esponente, proprietà. Espressioni con i

numeri naturali.

Divisibilità di numeri naturali. Criteri di divisibilità per 2, 3, 4, 5, 9, 25. Numeri primi e numeri primi tra

loro. Scomposizione di un numero naturale in fattori primi. Regola per il calcolo di M.C.D. e m.c.m. di due

o più numeri.

- Numeri razionali assoluti. Trasformazione di frazioni in numeri decimali: numero decimale finito, periodico semplice e misto, parte intera e parte decimale, periodo, antiperiodo. Frazioni decimali. Frazione

generatrice di un numero decimale, finito e periodico, semplice o misto. Operazioni con i numeri razionali

assoluti. Espressioni con i numeri razionali assoluti.

- Numeri relativi, interi e razionali. Insieme Z dei numeri interi come ampliamento di N. Insieme Q dei

numeri razionali come ampliamento di Z. Concetti di numero positivo e negativo, valore assoluto di un

numero relativo, numeri concordi, discordi, opposti, uguali. Rappresentazione grafica di numeri razionali

relativi su una retta. Proprietà dell'ordine tra numeri relativi. Operazioni con i numeri relativi. Potenza di

numeri relativi. Potenze a esponente negativo e relative proprietà. Rappresentazione di frazioni decimali

come potenze ad esponente negativo. Frazioni di frazioni. Espressioni con i numeri relativi. Ampliamento

dell’insieme Q all’insieme R dei numeri reali.

Calcolo letterale. Espressioni algebriche

- Introduzione al calcolo letterale come generalizzazione del calcolo numerico. Espressione letterale,

espressione razionale, intera e fratta. Valore numerico di un’espressione algebrica.

Monomi

- Concetto di monomio. Coefficiente numerico, parte letterale. Monomi in forma normale e riduzione di

monomi in forma normale. Grado complessivo di un monomio. Grado di un monomio rispetto ad una

lettera. Monomio nullo, monomi uguali, opposti e simili.

- Addizione e sottrazione di monomi. Riduzione di monomi simili. Grado del monomio somma (differenza)

di due o più monomi. Moltiplicazione di monomi. Grado del monomio prodotto di due o più monomi.

Divisibilità di due monomi e divisione di monomi. Grado del monomio quoziente di due monomi. Potenza di un monomio. Grado del monomio potenza di un monomio. Espressioni con monomi.

- M.C.D. e m.c.m. di monomi.

Polinomi

- Concetto di polinomio. Forma normale di un polinomio e riduzione di un polinomio in forma normale.

Termini di un polinomio. Classificazione dei polinomi rispetto al numero dei termini: binomio, trinomio, quadrinomio. Grado complessivo di un polinomio e grado di un polinomio rispetto ad una lettera. Polinomi

omogenei. Termine noto. Numeri e monomi come polinomi. Polinomi ordinati secondo le potenze

crescenti/decrescenti di una data lettera. Polinomi completi. Principio di identità tra polinomi.

- Addizione e sottrazione di polinomi. Moltiplicazione di un polinomio per un monomio. Moltiplicazione di

polinomi. Divisibilità di un polinomio per un monomio. Divisione di un polinomio per un monomio.

Espressioni con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni di polinomi e moltiplicazioni e divisioni di un

polinomio per un monomio.

- Prodotti notevoli. Quadrato di un binomio. Quadrato di un trinomio. Prodotto della somma per la differenza

di due monomi/polinomi. Raccoglimento del fattore (+1) o (-1). Cubo di un binomio. Binomio somma

(differenza) di monomi per il rispettivo falso quadrato. Espressioni con i prodotti notevoli.

- Divisibilità di due polinomi. Divisione di polinomi in una o più lettere. Relazione tra dividendo, divisore,

quoziente e resto. Grado del polinomio quoziente. Grado del resto. Regola di Ruffini. Teorema del resto.

Teorema di Ruffini.

Scomposizione di un polinomio in fattori primi

- Scomposizione di polinomi in fattori primi. Polinomi riducibili e irriducibili. Raccoglimento a fattor

comune totale di monomi e polinomi. Raccoglimento a fattor comune parziale di monomi e polinomi.

Regola per il raccoglimento del fattore (-1) in potenze a esponente pari e a esponente dispari di monomi e

polinomi.

- Scomposizione del trinomio sviluppo del quadrato di un binomio (generalizzazione: scomposizione dello

sviluppo del quadrato della somma o differenza di due polinomi), e del polinomio sviluppo del quadrato di

un trinomio. Scomposizione di una differenza di quadrati (generalizzazione: scomposizione dello sviluppo

della differenza di quadrati di due polinomi). Scomposizione del quadrinomio sviluppo del cubo di un

binomio (generalizzazione: scomposizione dello sviluppo del cubo della somma o differenza di due

polinomi). Scomposizione di somme e differenze di cubi (dimostrazione attraverso la regola di Ruffini) (generalizzazione: scomposizione della somma o differenza di cubi di due polinomi.).

- Scomposizione del trinomio particolare a coefficienti numerici e letterali x2+Bx+C (risp. x2n+Bxn+C,

nN\{0}). Scomposizione del trinomio particolare a coefficienti numerici e letterali Ax2+Bx+C (risp.

Ax2n+Bxn+C, nN\{0}). - Scomposizione mediante la regola di Ruffini: ricerca dei divisori del termine noto.

- Scomposizioni miste.

- M.C.D. e m.c.m. di polinomi.

Frazioni algebriche

- Definizione di frazione algebrica. Condizione di esistenza di frazioni algebriche. Monomi e polinomi come

frazioni algebriche. Frazioni algebriche con numeratore nullo. Frazioni algebriche equivalenti. Proprietà

invariantiva. Frazioni algebriche riducibili e irriducibili. Semplificazione di frazioni algebriche. Riduzione

di frazioni allo stesso denominatore.

- Addizione e sottrazione di frazioni algebriche. Moltiplicazione di frazioni algebriche. Frazione algebrica

reciproca: condizioni di esistenza. Divisione di frazioni algebriche. Potenza di frazioni algebriche (anche

con esponente negativo). Frazioni di frazioni algebriche. Espressioni con frazioni algebriche, con relative

condizioni di esistenza.

Identità ed equazioni

- Concetti di identità ed equazione. Concetto di valore che soddisfa (verifica) una uguaglianza. Concetti di

incognita (variabile, radice), membri di un’identità e di un’equazione. Classificazione delle equazioni:

equazioni numeriche e letterali, intere e fratte. Significato delle lettere (parametri) nelle equazioni letterali.

Condizioni di esistenza di identità ed equazioni. Concetti di soluzione e risoluzione di un’equazione.

Concetto di soluzione a seconda del numero di variabili dell’equazione. Classificazione di un’equazione

rispetto al numero di soluzioni: equazione determinata, indeterminata, impossibile. Osservazioni relative

nel caso di equazioni con una o due o più variabili. - Equazioni equivalenti. Principi di equivalenza. Principio di addizione e sottrazione. Regola del trasporto.

Regola di cancellazione. Principio di moltiplicazione e divisione. Regola del cambiamento di segno. Regola

di eliminazione del minimo comun denominatore. Semplificazione di un’equazione mediante divisione di

tutti i termini per il M.C.D. dei coefficienti numerici (se possibile).

- Equazioni in una variabile. Forma normale e riduzione ad essa. Grado di un'equazione. Equazioni lineari.

Osservazioni: 1. equazioni in una variabile lineari sono sempre determinate; 2. equazioni in una variabile

determinate hanno al più tante soluzioni quanto è il relativo grado.

- Equazioni in una variabile lineari. Forma normale. Equazioni in una variabile lineari numeriche intere.

Equazioni in una variabile lineari numeriche fratte: condizioni di esistenza e verifica dell’accettabilità della

soluzione.

- Problemi di primo grado. “Modellizzazione” di problemi di natura algebrica, geometrica, del mondo reale attraverso gli strumenti dell’algebra e relativa risoluzione attraverso la risoluzione di equazioni in una

variabile lineari. Scelta dell’incognita e relative (eventuali) condizioni (limitazioni) di esistenza.

Osservazioni nei problemi di natura geometrica sulla scrittura simbolica di lunghezze di segmenti (risp.

ampiezze di angoli, aree di superfici piane) e delle relative misure.

GEOMETRIA

Introduzione. Linguaggio e terminologia

- Introduzione alla Geometria euclidea: gli "Elementi" di Euclide. Nozioni di concetto primitivo, assioma

(postulato), enunciato, definizione, dimostrazione. Nozione di teorema: enunciato, ipotesi, tesi,

dimostrazione. Nozioni di teorema inverso, corollario, lemma. La tecnica del dimostrare.

- Concetti primitivi: punto, retta, piano, spazio. Punti interni (appartenenti) e punti esterni (non appartenenti)

ad una retta e ad un piano. Figure geometriche. Figure piane e solide.

Postulati

- Postulati di appartenenza. Postulati di appartenenza della retta. Postulato 1: Per due punti distinti di un

piano passa una ed una sola retta. Punti allineati. Postulato 2: Su una retta ci sono almeno due punti.

Postulato 3: Data una retta su un piano, esiste almeno un punto del piano non appartenente ad essa.

Postulati di appartenenza del piano. Postulato 1: Per tre punti distinti non allineati passa uno ed un solo

piano. Postulato 2: Fissati due punti su un piano, la retta passante per essi giace interamente sul piano.

- Ordinamento dei punti su una retta. Postulato dell’ordine: Data una retta 1. è possibile fissare su di essa un

verso rispetto a cui, comunque presi due suoi punti distinti A e B, si può sempre dire che, nel verso fissato,

o A precede B (B segue A) o B precede A (A segue B); 2. non esiste né un primo, né un ultimo punto; 3.

Fra due suoi punti distinti esiste sempre almeno un altro punto. Conseguenze: 1. La retta contiene infiniti

punti ed è illimitata; 2.Ogni piano contiene infiniti punti ed infinite rette; 3. Per un punto P di un piano

passano infinite rette. Fascio proprio di rette. Retta orientata. Cenni agli insiemi (di punti) discreti, “continui”, densi.

Semirette, segmenti, angoli. Congruenza

- Semirette (origine). Semirette opposte. Fascio di semirette. Segmenti (punti interni ed estremi).

Prolungamenti di un segmento. Segmenti consecutivi ed adiacenti. Poligonali (lati). Poligonali aperte e

chiuse, intrecciate.

- Postulato di partizione del piano: Sia r una retta del piano e siano A e B due punti del piano. Allora: se A e

B appartengono alla stessa regione, il segmento AB non interseca la retta r; se A e B appartengono a regioni

diverse, il segmento AB interseca la retta r. Semipiani (origine). Semipiani opposti. Semipiani aperti e

chiusi. Angoli (lati, vertice, punti interni). Angoli consecutivi ed adiacenti. Angolo piatto, giro, nullo. Corda

di un angolo. - Figure concave e convesse. Angoli concavi e convessi.

- Concetto primitivo di movimento rigido. Figure coincidenti. Figure congruenti. Proprietà della congruenza:

riflessiva, simmetrica, transitiva. Osservazione: La congruenza è una relazione di equivalenza. Congruenza

di tutte le rette, semirette, di tutti i piani e di tutti i semipiani.

- Postulato del trasporto dei segmenti. Postulato del trasporto di angoli. Linee piane. Distanza tra due punti.

Circonferenza.

- I segmenti. Lunghezza di un segmento. Confronto tra segmenti. Addizione e sottrazione fra segmenti.

Multipli e sottomultipli di segmenti. Postulato di Eudosso –Archimede per i segmenti: Dati due segmenti,

che non siano congruenti o nulli, esiste sempre un segmento multiplo del minore che supera il maggiore.

Postulato di divisibilità dei segmenti: Dato un segmento esiste sempre ed è unico il suo sottomultiplo

secondo un qualsiasi numero naturale non nullo. Punto medio di un segmento. Postulato di unicità del punto medio: Esiste sempre il punto medio di un segmento ed è unico. Problemi relativi.

- Gli angoli. Ampiezza di un angolo. Confronto fra angoli. Addizione e sottrazione fra angoli. Multipli e

sottomultipli di angoli. Postulato di Eudosso –Archimede per gli angoli: Dati due angoli, che non siano

congruenti o nulli, esiste sempre un angolo multiplo del minore che supera il maggiore. Postulato di

divisibilità degli angoli: Dato un angolo esiste sempre ed è unico il suo sottomultiplo secondo un qualsiasi

numero naturale non nullo. Bisettrice di un angolo. Postulato di unicità della bisettrice: Esiste sempre ed è

unica la bisettrice di un angolo. Angoli retti, acuti, ottusi. Angoli supplementari, complementari,

esplementari. Teorema. Angoli complementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti

(dimostrazione). Angoli opposti al vertice. Teorema: Angoli opposti al vertice sono congruenti

(dimostrazione). Teorema. Angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono

congruenti (dimostrazione). Problemi relativi.

Poligoni e triangoli

- Poligoni e triangoli. Poligono. Vertici, lati, contorno, angoli interni, esterni, diagonali. Classificazione dei

poligoni rispetto al numero dei lati: triangolo, quadrilatero, pentagono, esagono.

- I triangoli. Angolo opposto e adiacente a un lato, angolo compreso tra due lati. Angolo interno ed esterno.

Bisettrici, altezze e mediane in un triangolo. Classificazione dei triangoli rispetto ai lati: triangolo scaleno,

isoscele (lati, base, angoli alla base, angolo al vertice), equilatero.

Criteri di congruenza. Proprietà del triangolo isoscele ed equilatero. Teorema dell’angolo esterno

- Criteri di congruenza dei triangoli: Primo criterio di congruenza: Due triangoli sono congruenti se hanno

ordinatamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso (dimostrazione). Secondo criterio di congruenza: Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli ad esso

adiacenti (dimostrazione).

- Proprietà dei triangoli isosceli. Teorema 1: In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti

(dimostrazione). Teorema 2 (inverso del Teorema 1): Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora esso è

isoscele (dimostrazione). Teorema 3: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia isoscele è

che abbia due angoli congruenti. Teorema 4: Se un triangolo è isoscele, allora la bisettrice dell’angolo al

vertice è anche altezza e mediana relativa alla base (dimostrazione).

- Proprietà dei triangoli equilateri. Corollario1: Un triangolo equilatero ha i tre angoli congruenti, ossia è

equiangolo (dimostrazione). Corollario 2 (inverso del Corollario1): Un triangolo avente i tre angoli

congruenti (equiangolo) è equilatero (dimostrazione). Teorema 3: Condizione necessaria e sufficiente

affinché un triangolo sia equilatero è che sia equiangolo. Corollario 4: In un triangolo equilatero la bisettrice

di un qualsiasi angolo è anche altezza e mediana relativa al lato opposto (dimostrazione). - Terzo criterio di congruenza: Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti

(dimostrazione). Teorema: Se un triangolo è isoscele, allora la mediana relativa alla base è anche bisettrice

dell’angolo al vertice e altezza relativa alla base (dimostrazione). Teorema: Se un triangolo è equilatero,

allora la mediana relativa ad un qualsiasi lato è anche bisettrice dell’angolo opposto e altezza relativa al lato

medesimo (dimostrazione).

Disuguaglianze nei triangoli

- Disuguaglianze nei triangoli. Primo teorema dell’angolo esterno: In ogni triangolo ogni angolo esterno è

maggiore di ciascuno dei due angoli interni ad esso non adiacenti (dimostrazione). Corollario 1: La somma

degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto (dimostrazione). Corollario 2: Un triangolo

non può avere due o più angoli retti, né due o più angoli ottusi, né un angolo retto ed uno ottuso, cioè in un

triangolo due angoli sono sempre acuti (dimostrazione). Corollario 3: In un triangolo rettangolo gli angoli

diversi da quello retto sono acuti (dimostrazione). Corollario 4: In un triangolo isoscele gli angoli alla base

sono acuti (dimostrazione). Corollario 5: In un triangolo equilatero gli angoli sono acuti (dimostrazione).

Classificazione dei triangoli in base agli angoli: triangolo rettangolo, ottusangolo, acutangolo.

- Relazioni fra gli elementi di un triangolo. Teorema: Se un triangolo ha due lati disuguali ha anche due

angoli disuguali ed a lato maggiore sta opposto angolo maggiore (dimostrazione). Teorema inverso: Se un triangolo ha due angoli disuguali ha anche due lati disuguali ed a angolo maggiore sta opposto lato

maggiore. Corollario 1: In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno dei due cateti

(dimostrazione). Corollario 2: In ogni triangolo ottusangolo il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore di

ciascuno degli altri due lati (dimostrazione). Teorema: In un triangolo un lato è minore della somma degli

altri due e maggiore della loro differenza (dimostrazione). Problemi relativi.

Parallelismo e perpendicolarità nel piano

- Rette perpendicolari. Teorema: La perpendicolare condotta per un punto ad una retta data esiste sempre ed

è unica (dimostrazione sia nel caso di punto appartenente che di punto non appartenente alla retta).

- Piede della perpendicolare. Proiezione di un punto e di un segmento su una retta.

- Teorema: Il segmento perpendicolare condotto da un punto ad una retta è minore di ogni segmento obliquo

condotto dallo stesso punto alla stessa retta (dimostrazione). Distanza di un punto da una retta.

- Asse di un segmento. Proprietà dell’asse di un segmento: Ogni punto dell’asse di un segmento è

equidistante dagli estremi (dimostrazione). Concetto di luogo geometrico.

- Rette parallele. Proprietà del parallelismo: riflessiva, simmetrica, transitiva. Osservazione: Il parallelismo

tra rette è una relazione di equivalenza. Fascio improprio di rette.

- Rette tagliate da una trasversale: angoli alterni interni, alterni esterni, corrispondenti, coniugati interni, coniugati esterni. Teorema 1: Se due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli alterni

interni congruenti, allora sono parallele (dimostrazione). Criterio del parallelismo: Se due rette tagliate da

una trasversale formano con essa o due angoli alterni (interni o esterni) congruenti, o due angoli

corrispondenti congruenti, o due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari, allora le due rette sono

parallele (dimostrazione). Corollario: Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele tra loro

(dimostrazione). Esistenza della retta parallela ad una retta data passante per un punto fissato: relativa

costruzione. Unicità della retta parallela ad una retta data passante per un punto fissato. V postulato di

Euclide: Dati una retta e un punto fuori di essa, la retta parallela alla retta data passante per quel punto è

unica. Cenno alle geometrie non euclidee. Teorema (inverso del Teorema 1): Se due rette sono parallele,

formano con una qualunque trasversale due angoli alterni interni congruenti (dimostrazione). Teorema del

parallelismo: Due rette parallele tagliate da una trasversale formano con essa angoli alterni (interni ed

esterni) congruenti e angoli corrispondenti congruenti e angoli coniugati (interni ed esterni) supplementari (dimostrazione). Corollari del criterio del parallelismo. Corollario 1: Se due rette sono parallele, ogni retta

incidente l'una incide anche l'altra (dimostrazione). Corollario 2: Se due rette sono parallele, ogni retta

perpendicolare all'una è perpendicolare anche all'altra (dimostrazione). Corollario 3: Due rette

perpendicolari a due rette incidenti sono anch’esse incidenti (dimostrazione). Corollario 4 (transitività del

parallelismo): Due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro (dimostrazione). Corollario 5: Due

rette rispettivamente parallele a due rette incidenti, sono anch’esse incidenti (dimostrazione). Problemi

relativi.

- Lati concordi e discordi di due angoli. Teorema: Due angoli che hanno i lati paralleli possono essere

congruenti o supplementari: sono congruenti se entrambi i lati paralleli sono concordi oppure discordi, sono

supplementari se due lati paralleli sono concordi e gli altri due discordi. - Applicazione del criterio del parallelismo ai triangoli: proprietà degli angoli dei poligoni. Secondo teorema

dell’angolo esterno: In ogni triangolo ciascun angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni

ad esso non adiacenti (dimostrazione). Corollario 1: La somma degli angoli interni di un triangolo è

congruente ad un angolo piatto (dimostrazione). Corollario 2: Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo

sono complementari (dimostrazione). Corollario 3: Ogni angolo di un triangolo equilatero è congruente alla

terza parte di un angolo piatto (dimostrazione). Corollario 4: Se due triangoli hanno due angoli

ordinatamente congruenti, hanno congruente anche il terzo angolo (dimostrazione). Corollario 5 (secondo

criterio di congruenza dei triangoli generalizzato): Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente

congruenti un lato e due angoli egualmente disposti rispetto ad esso (dimostrazione). Teorema: Se un

triangolo è isoscele, allora l’altezza relativa alla base è anche bisettrice dell’angolo al vertice e mediana

relativa alla base (dimostrazione). Teorema: Se un triangolo è equilatero, allora l’altezza relativa a qualsiasi

lato è anche bisettrice dell’angolo opposto e mediana relativa al lato medesimo (dimostrazione). Problemi relativi.

- La somma degli angoli interni di un poligono convesso. Teorema: La somma degli angoli interni di un

poligono convesso con n lati è congruente a (n-2) angoli piatti (dimostrazione).

- La somma degli angoli esterni di un poligono convesso. Teorema: La somma degli angoli esterni di un

poligono convesso è congruente ad un angolo giro (dimostrazione).

- Criteri di congruenza dei triangoli rettangoli. Primo criterio: Due triangoli rettangoli sono congruenti se

hanno ordinatamente congruenti i due cateti (dimostrazione). Secondo criterio: Due triangoli rettangoli

sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un cateto ed un angolo acuto (dimostrazione). Terzo

criterio: Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti l’ipotenusa ed un

angolo acuto (dimostrazione). Quarto criterio: Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno

ordinatamente congruenti l’ipotenusa ed un cateto (dimostrazione). Teorema (criterio di congruenza dei triangoli rettangoli riassuntivo): Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente

congruenti due elementi (escluso l’angolo retto) che non siano i due angoli acuti. Problemi relativi.

Quadrilateri e parallelogrammi

- Quadrilateri e parallelogrammi. Proprietà dei parallelogrammi. Teorema: In ogni parallelogramma i lati

opposti sono congruenti, gli angoli opposti sono congruenti, gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari, le diagonali si dividono scambievolmente a metà (dimostrazione).

- Criteri per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma. Teorema (inverso delle proprietà): Se un

quadrilatero convesso ha i lati opposti congruenti, oppure gli angoli opposti congruenti, oppure gli angoli

adiacenti a ciascun lato supplementari, oppure le diagonali che si dividono scambievolmente a metà, oppure

una coppia di lati opposti paralleli e congruenti allora è un parallelogramma (dimostrazione). Problemi

relativi.

Parallelogrammi particolari

Rettangolo

- Il rettangolo. Proprietà del rettangolo. Teorema: Un rettangolo ha le diagonali congruenti (dimostrazione).

- Criterio per stabilire se un parallelogramma è un rettangolo. Teorema (inverso della proprietà): Un

parallelogramma avente le diagonali congruenti è un rettangolo (dimostrazione). Teorema: In un triangolo

la mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa (dimostrazione).

- Osservazioni: 1. Se in un parallelogramma un angolo è retto anche gli altri sono retti, dunque è un

rettangolo; 2. Le diagonali di un rettangolo si dividono scambievolmente in quattro parti congruenti e

quindi formano quattro triangoli isosceli a due a due congruenti. Problemi relativi. - Teorema: Date due rette parallele, ogni punto di ciascuna retta ha la stessa distanza dall’altra

(dimostrazione). Distanza fra due rette parallele. Altezza della striscia individuata da due rette parallele.

Rombo

- Il rombo. Proprietà del rombo. Teorema: In un rombo le diagonali sono perpendicolari tra loro e bisettrici

degli angoli (dimostrazione).

- Criteri per stabilire se un parallelogramma è un rombo. Teorema (inverso delle proprietà): Un

parallelogramma è un rombo se ha le diagonali perpendicolari, oppure se una diagonale è bisettrice di un

angolo (dimostrazione).

- Osservazione: Se un parallelogramma ha due lati consecutivi congruenti allora è un rombo. Problemi

relativi.

Quadrato

- Il quadrato. Proprietà del quadrato. Teorema: In un quadrato le diagonali sono congruenti, perpendicolari tra

loro e bisettrici degli angoli (dimostrazione).

- Criteri per stabilire se un parallelogramma è un quadrato. Teorema: Un parallelogramma è un quadrato se

ha le diagonali congruenti e perpendicolari, oppure se ha le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di

un angolo (dimostrazione).

- Osservazioni: 1. Le diagonali di un quadrato si dividono scambievolmente in quattro segmenti congruenti

formando quattro triangoli rettangoli isosceli congruenti; 2. Ogni triangolo rettangolo isoscele è la metà di

un quadrato. Problemi relativi.

Trapezio

- Il trapezio. Trapezio scaleno, isoscele (basi maggiore e minore, lati obliqui), rettangolo.

- Proprietà del trapezio isoscele. Teorema: In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono

congruenti, gli angoli opposti (o adiacenti ad un lato obliquo) sono supplementari, le diagonali sono

congruenti, le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti (dimostrazione).

- Criteri per stabilire se un trapezio è isoscele. Teorema: Un trapezio è isoscele se ha gli angoli adiacenti a ciascuna base congruenti, oppure gli angoli opposti supplementari, oppure le diagonali congruenti, oppure

le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore congruenti (dimostrazione). Problemi relativi.

- Relazioni insiemistiche tra gli insiemi dei quadrilateri, dei trapezi, dei parallelogrammi, dei rettangoli, dei

rombi, dei quadrati.

Siena, 7 giugno 2014

Liceo Scientifico “G. Galilei”

Anno Scolastico 2013/2014

PROGRAMMA DI MATEMATICA

Classe III D

Libro di testo:

M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Manuale blu 2.0 di Matematica con e-book, Vol.3, Zanichelli.

GEOMETRIA ANALITICA

Il metodo delle coordinate. Retta reale. Piano cartesiano

- Retta reale: corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta e l’insieme R dei numeri reali. Osservazione:

non esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta e l’insieme dei numeri razionali Q (gli

insiemi N, Z, Q hanno una potenza numerabile, R ha la potenza del continuo). Sistema di coordinate.

Ascissa di un punto. Ordinamento dei numeri reali su una retta. Distanza tra due punti della retta reale.

Sistema di riferimento cartesiano ortogonale (monometrico). Piano cartesiano: corrispondenza biunivoca tra

i punti di un piano e l’insieme R2 delle coppie ordinate di numeri reali. Definizione ed esempi di prodotto

cartesiano A×B tra due insiemi A e B e A×A=A2. Ascissa, ordinata, coordinate cartesiane di un punto.

Quadranti.

- Distanza tra due punti. Distanza tra due punti aventi una stessa ascissa o una stessa ordinata (dimostrazione). Distanza tra due punti aventi ascisse diverse ed ordinate diverse (dimostrazione).

Coordinate del punto medio di un segmento avente per estremi due punti aventi una stessa ascissa o una

stessa ordinata (dimostrazione). Coordinate del punto medio di un segmento avente per estremi due punti

aventi ascisse diverse ed ordinate diverse (dimostrazione). Simmetria centrale: definizione e relative

equazioni (dimostrazione). Simmetria centrale rispetto all’origine degli assi. Osservazione: In una

simmetria centrale il punto unito è solo e soltanto il centro di simmetria. Coordinate del baricentro di un

triangolo (dimostrazione). Problemi relativi.

- Concetto di luogo geometrico di punti nel piano. Equazione in due variabili associata a un luogo

geometrico di punti nel piano cartesiano: criterio generale. Condizione di appartenenza di un punto a un

luogo geometrico.

- Introduzione alla Geometria Analitica: applicazione di strumenti algebrici allo studio di problemi geometrici.

Retta

- La retta come luogo geometrico. Rette parallele agli assi cartesiani come luogo geometrico e relativa

equazione (dimostrazione). Verifica del criterio generale. Caratteristiche dell’equazione. Equazioni degli

assi cartesiani. Rappresentazione grafica di rette parallele agli assi cartesiani a partire dalla relativa equazione.

- Rette oblique passanti per l’origine degli assi cartesiani come luogo geometrico e relativa equazione

(dimostrazione). Verifica del criterio generale. Forma implicita ed esplicita, caratteristiche dell’equazione.

Equazioni delle bisettrici del I-III e del II-IV quadrante. Rappresentazione grafica di rette oblique passanti

per l’origine degli assi cartesiani a partire dalla relativa equazione.

- Retta obliqua in posizione generica come luogo geometrico e relativa equazione (dimostrazione). Verifica

del criterio generale. Forma implicita ed esplicita e caratteristiche dell’equazione. Coefficiente angolare di

una retta a partire dalla sua equazione, sia in forma implicita che in forma esplicita. Significato geometrico,

segno e variazione del coefficiente angolare di una retta. Ordinata all’origine di una retta a partire dalla sua

equazione, sia in forma implicita che in forma esplicita. Rappresentazione grafica di rette oblique in

posizione generica a partire dalla relativa equazione.

- Corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta e le soluzioni dell’equazione associata. Condizione di appartenenza di un punto ad una retta (di passaggio di una retta per un punto). Corrispondenza biunivoca tra

l’insieme delle rette (nel piano cartesiano) e l’insieme delle equazioni lineari in due variabili

(dimostrazione).

- Determinazione dell'equazione di rette parallele agli assi cartesiani passanti per un punto dato.

Determinazione dell'equazione di una retta obliqua passante per l'origine sapendo il suo coefficiente

angolare. Determinazione dell'equazione di una retta obliqua passante per l’origine e per un punto dato.

Determinazione dell'equazione di una retta obliqua in posizione generica attraverso un sistema di due

equazioni e due incognite sapendo: 1. Coefficiente angolare e ordinata all’origine; 2. Coefficiente angolare

e un punto per cui passa; 3. Un punto per cui passa e l’ordinata all’origine; 4. Due punti per cui passa.

- Posizione reciproca di due rette: rette parallele, incidenti, perpendicolari. Condizione di parallelismo

(dimostrazione). Condizione di incidenza (dimostrazione). Condizione di perpendicolarità (dimostrazione).

Metodo per stabilire la posizione reciproca di due rette. Determinazione del punto di intersezione di due rette incidenti.

- Equazione di una retta passante per due punti (dimostrazione). Coefficiente angolare di una retta dati due

suoi punti (dimostrazione). Condizione di allineamento di tre punti (dimostrazione). Equazione di una retta

passante per un punto e con coefficiente angolare dato (dimostrazione). Determinazione dell'equazione di

una retta passante per un punto e parallela (perpendicolare) ad una retta data. Determinazione

dell'equazione dell'asse di un segmento dati i suoi estremi (sia attraverso la definizione che come luogo

geometrico). Simmetria assiale e relative equazioni con asse di simmetria: 1. Una retta parallela all’asse y

(o l’asse y); 2. Una retta parallela all’asse x (o l’asse x); 3. La bisettrice del I-III quadrante; 4. La bisettrice

del II-IV quadrante. Coordinate del punto simmetrico di un punto dato rispetto ad una retta generica:

metodo di determinazione. Osservazione: In una simmetria assiale i punti uniti sono tutti e soli i punti

dell’asse di simmetria.

- Distanza di un punto da una retta (obliqua o parallela a un asse cartesiano). Equazioni delle bisettrici degli angoli formati da due rette (dimostrazione).

- Problemi sulla retta. Equazioni parametriche lineari di due variabili e determinazione del parametro sotto

varie condizioni (inerenti la retta).

- Determinazione dell’equazione di luoghi geometrici e relativo grafico.

- Grafico di funzioni definite per casi attraverso leggi lineari o di funzioni in valore assoluto o contenenti uno

o più valori assoluti (ripasso del concetto di valore assoluto, relative proprietà e grafico). Concetti intuitivi

di segno e crescenza/decrescenza di una funzione: relativa determinazione dal grafico della funzione

medesima. Deduzione della legge analitica di una funzione dal relativo grafico.

- Fascio proprio ed improprio di rette: relativa equazione. Fasci di rette parallele ad un asse cartesiano:

relativa equazione. Determinazione dell’equazione di rette di un fascio (proprio o improprio) soddisfacenti

particolari condizioni. Fascio generato da due rette (proprio o improprio). Combinazione lineare delle equazioni di due rette con due parametri o un solo parametro: condizioni relative. Osservazione: Una

combinazione lineare delle equazioni di due rette con due parametri rappresenta l’equazione di tutte e sole

le rette del fascio da esse generato (dimostrazione). La combinazione lineare delle equazioni di due rette

con un parametro rappresenta le equazioni di tutte e sole le rette del fascio da esse generato tranne quella

della retta moltiplicata dal parametro. Studio di un fascio di rette (generatrici, senso di rotazione nel caso di

un fascio proprio, senso di percorrenza nel caso di un fascio improprio).

Parabola

- La parabola come luogo geometrico. La parabola con asse parallelo all’asse y (risp. asse x) e relativa

equazione y = ax2+bx+c (risp. x= ay2+by+c), a,b,cR, a0 (dimostrazione). Determinazione dell’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse x a partire dall’equazione di una parabola con asse parallelo

all’asse y per simmetria assiale rispetto alla bisettrice del I-III quadrante (dimostrazione). Caratteristiche

dell’equazione di una parabola. Condizione di appartenenza di un punto ad una parabola. Concavità di una

parabola, coordinate del vertice e del fuoco, equazioni della direttrice e dell’asse di simmetria

(dimostrazione). Corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle parabole con asse parallelo all’asse y (risp.

asse x) e l’insieme delle equazioni del tipo y = ax2+bx+c (risp. x= ay2+by+c), a,b,cR, a0 (dimostrazione). Relazione tra variazione del primo coefficiente dell’equazione di una parabola e apertura

della parabola.

- Rappresentazione grafica di una parabola generica a partire dalla relativa equazione con determinazione

delle caratteristiche della parabola: concavità, vertice, intersezione con l’asse y (risp. asse x), eventuali intersezioni con l’asse x (risp. asse y) e asse di simmetria. Condizioni per l’esistenza o meno di intersezioni

con l’asse x (risp. asse y). Esistenza e unicità dell’intersezione con l’asse y (risp. asse x).

- Parabole simmetriche rispetto all’asse x e relative equazioni. Parabole congruenti. Osservazione: Parabole

ottenute per simmetria (centrale o assiale) o traslazione da una parabola data sono ad essa e fra loro

congruenti.

- Equazioni di parabole in posizione particolare rispetto al sistema di riferimento, con relative caratteristiche:

1. Parabola passante per l’origine: y = ax2+bx (risp. x = ay2+by); 2. Parabola con vertice sull’asse y (risp.

asse x): y = ax2+c (risp. . x = ay

2+c); 3. Parabola con vertice nell’origine: y = ax

2 (risp. x = ay

2). Relative

formule per vertice, fuoco, direttrice, asse di simmetria (dimostrazione).

- Rappresentazione grafica di una parabola in posizione particolare rispetto al sistema di riferimento a partire

dalla relativa equazione con determinazione delle relative caratteristiche, punti di intersezioni (esistenti)

con gli assi cartesiani o punti generici sulla parabola e relativi punti simmetrici rispetto all’asse di

simmetria.

- Determinazione dell'equazione di una parabola sotto varie condizioni, in particolare noti: 1. Tre punti non

allineati per cui passa; 2. Vertice (fuoco) ed un punto per cui passa; 3. Vertice e fuoco; 4.Vertice e

direttrice. Determinazione dell’equazione di una parabola con vertice nell’origine noto: 1. Un punto per cui

passa; 2. Fuoco o direttrice.

- Posizione reciproca retta-parabola: retta secante, tangente, esterna ad una parabola. Condizioni per la determinazione della posizione reciproca di una retta rispetto ad una parabola e determinazione degli

eventuali punti di intersezione o dell’eventuale punto di tangenza. Corda intercetta da una retta secante su

una parabola. Determinazione delle equazioni delle rette tangenti a una parabola condotte da un punto

esterno ad essa e dei relativi punti di tangenza. Determinazione dell’equazione della retta tangente ad una

parabola in un suo punto. Formula di sdoppiamento.

Determinazione dell’equazione di una parabola attraverso condizioni di tangenza. Posizione reciproca tra

un fascio di rette parallelo all’asse x (risp. asse y) ed una parabola con asse parallelo all’asse y (risp. asse

x): condizione affinché una retta del fascio sia secante, tangente o esterna. Osservazione: Ogni retta del

fascio di rette parallelo all’asse y (risp. asse x) è secante una parabola con asse parallelo all’asse y (risp.

asse x) in uno ed un sol punto.

- Segmento parabolico e relativa area.

- Problemi sulla parabola. Equazioni parametriche di secondo grado di due variabili e determinazione del parametro sotto varie condizioni (inerenti la retta o la parabola). Quadrilateri inscritti in archi di parabola.

Segmenti congruenti staccati da una retta secante su due parabole.

- Grafici deducibili dalla parabola. Grafico di funzioni definite per casi (con leggi lineari o di secondo grado

in una variabile) o di funzioni in valore assoluto o contenenti uno o più valori assoluti. Deduzione della

legge analitica di una funzione dal relativo grafico.

- Osservazione: Una parabola con l’asse parallelo all’asse y è una funzione, una parabola con asse parallelo

all’asse x non è una funzione, a meno che non si operino opportune restrizioni del dominio. Equazioni dei

rami di una parabola con asse parallelo all’asse x al di sopra/al di sotto dell’asse di simmetria con le

opportune restrizioni del dominio e determinazione della relativa immagine. Rappresentazioni grafiche di

funzioni di tale tipo, previa determinazione del dominio.

- Fasci di parabole: relative tipologie, generatrici, punti base, parabole degeneri. Combinazione lineare delle equazioni di due parabole con asse parallelo all’asse y (risp. asse x) con due parametri o un parametro e

relative condizioni. Osservazione: La combinazione lineare delle equazioni di due parabole con due

parametri rappresenta le equazioni di tutte e sole le parabole del fascio generato dalle due parabole date. La

combinazione lineare delle equazioni di due parabole con un parametro rappresenta le equazioni di tutte e

sole le parabole del fascio generato dalle due parabole date tranne quella della parabola moltiplicata dal

parametro. Determinazione dell’equazione di una parabola del fascio sotto varie condizioni. Studio di un

fascio di parabole.

- Parabola e luoghi geometrici. Equazione del luogo geometrico descritto dai vertici di parabole di un fascio.

Circonferenza

- La circonferenza come luogo geometrico. Equazione di una circonferenza note le coordinate del centro ed il

raggio (dimostrazione). Equazione di una circonferenza con centro nell’origine. Equazione di una generica

circonferenza x2+y

2+x+y+=0, ,,R, (,)(0,0). Caratteristiche dell’equazione di una

circonferenza. Condizione affinché l’equazione x2+y2+x+y+=0, ,,R, (,)(0,0) rappresenti una circonferenza, con successiva determinazione delle coordinate del centro e del raggio: condizione di realtà

(dimostrazione). Non esistenza di una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle circonferenze e

l’insieme delle equazioni del tipo y x2+y2+x+y+=0, ,,R, (,)(0,0). Condizione di appartenenza di un punto ad una circonferenza.

- Rappresentazione grafica di una circonferenza a partire dalla sua equazione.

- Equazioni di circonferenze in posizione particolare rispetto al sistema di riferimento e relative

caratteristiche: 1. Circonferenza passante per l’origine: x2+y2+x+y=0; 2. Circonferenza con vertice

sull’asse y (risp. asse x): x2+y2+y+=0 (risp. x2+y2+x+=0); 3. Circonferenza tangente all’asse y (risp.

asse x) nell’origine: x2+y2+x=0 (risp. x2+y2+y=0). Relative formule per centro e raggio e relativo grafico.

- Determinazione dell'equazione di una circonferenza sotto varie condizioni, in particolare noti: 1. Centro e

raggio; 2. Tre punti non allineati per cui passa; 3. Centro ed un punto per cui passa; 4. Gli estremi di un diametro; 5. Due punti per cui passa e l’equazione di una retta a cui appartiene il centro.

- Posizione reciproca retta-circonferenza: retta secante, tangente, esterna ad una circonferenza. Condizioni

per determinare la posizione reciproca di una retta rispetto ad una circonferenza e determinazione degli

eventuali punti di intersezione o dell’eventuale punto di tangenza. Determinazione della posizione reciproca

retta-circonferenza attraverso il confronto fra la distanza del centro della circonferenza dalla retta ed il

raggio. Determinazione delle equazioni delle rette tangenti a una circonferenza condotte da un punto

esterno ad essa e dei relativi punti di tangenza. Determinazione dell’equazione della retta tangente ad una

circonferenza in un suo punto. Formula di sdoppiamento. Equazione della retta tangente in un punto della

circonferenza come perpendicolare al raggio passante per il punto medesimo.

Determinazione dell’equazione di una circonferenza attraverso condizioni di tangenza retta-circonferenza.

- Posizioni reciproche di due circonferenze. Relativa determinazione attraverso il confronto fra la distanza

dei rispettivi centri e la somma e differenza dei rispettivi raggi. Equazione dell’asse radicale a partire

dall’equazione di due circonferenze. Determinazione degli eventuali punti di intersezione (o eventuale punto di tangenza) di due circonferenze tramite l’equazione dell’asse radicale. Asse dei centri: relative

proprietà ed equazione. Determinazione dell’equazione di una circonferenza attraverso condizioni di

tangenza circonferenza-circonferenza.

- Problemi sulla circonferenza. Equazioni parametriche di secondo grado di due variabili e determinazione

del parametro sotto varie condizioni (inerenti la circonferenza).

- Grafici deducibili da una circonferenza.

- Osservazione: Una circonferenza non è una funzione, a meno che non si operino opportune restrizioni del

dominio. Equazioni della semicirconferenza superiore/inferiore o destra/ sinistra di una circonferenza

(rispetto ai diametri paralleli agli assi cartesiani) con le opportune restrizioni del dominio e determinazione

della relativa immagine. Rappresentazioni grafiche di funzioni di tale tipo, previa determinazione del

dominio. Deduzione delle equazioni di semicirconferenze dal relativo grafico.

- Fasci di circonferenze: relative tipologie, generatrici, punti base, asse radicale e asse centrale, circonferenze degeneri. Combinazione lineare delle equazioni di due circonferenze con due parametri o un parametro e

relative condizioni. Osservazione: La combinazione lineare delle equazioni di due circonferenze con due

parametri rappresenta le equazioni di tutte e sole le circonferenze del fascio generato dalle due

circonferenze date. La combinazione lineare delle equazioni di due circonferenze con un parametro

rappresenta le equazioni di tutte e sole le circonferenze del fascio generato dalle due circonferenze date

tranne quella della circonferenza moltiplicata dal parametro. Determinazione dell’equazione di una

circonferenza del fascio sotto varie condizioni. Studio di un fascio di circonferenze.

- Circonferenza e luoghi geometrici. Determinazione dell’equazione del luogo geometrico descritto dai centri

delle circonferenze di un fascio.

Ellisse

- L’ellisse come luogo geometrico. L’ellisse con fuochi sull’asse x (risp. asse y) e relativa equazione x2/a2+

y2/b2=1, a,bR, a,b>0, a>b (risp. a<b) (dimostrazione). Caratteristiche dell’equazione di un’ellisse. Condizione di appartenenza di un punto ad un’ellisse. Vertici, asse maggiore e asse minore. Coordinate dei

vertici e dei fuochi, distanza (semidistanza) focale, lunghezza degli assi (semiassi) maggiore e minore.

Corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle ellissi con fuochi sull’asse x (risp. asse y) e l’insieme delle

equazioni del tipo x2/a2+ y2/b2=1, a,bR, a,b>0, a>b (risp. a<b). Proprietà dell’ellisse: 1. Simmetrie rispetto agli assi coordinati e all’origine (dimostrazione); 2. Intersezioni con assi cartesiani (vertici); 3. È inscritta

nel rettangolo con lati paralleli agli assi coordinati passanti per i vertici: dimostrazione algebrica attraverso

l’equazione della semiellisse superiore/inferiore e destra sinistra rispetto ai propri assi; 4. Coordinate dei fuochi a partire dalle lunghezze dei suoi semiassi; 5. Eccentricità: significato e variazione (casi limite).

Area racchiusa da un’ellisse.

- Rappresentazione grafica di un’ellisse a partire dalla relativa equazione.

- Determinazione dell'equazione di un’ellisse sotto varie condizioni, in particolare noti: 1. Le lunghezze dei

due semiassi; 2. Un vertice ed un fuoco; 3. Un vertice (fuoco) ed un punto per cui passa; 4. Due vertici su

assi diversi o due punti per cui passa; 5. Un vertice (fuoco, semiasse o un punto per cui passa) e

l’eccentricità.

Posizione reciproca retta-ellisse: retta secante, tangente, esterna ad un’ellisse. Condizioni per determinare la

posizione reciproca tra una retta ed un’ellisse e determinazione degli eventuali punti di intersezione o

dell’eventuale punto di tangenza. Determinazione delle equazioni delle rette tangenti a un’ellisse condotte

da un punto esterno ad essa e dei relativi punti di tangenza. Determinazione dell’equazione della retta tangente ad un’ellisse in un suo punto. Formula di sdoppiamento.

Determinazione dell’equazione di un’ellisse attraverso condizioni di tangenza.

- Osservazione: Un’ellisse non è una funzione, a meno che non si operino opportune restrizioni del dominio.

Equazioni della semiellisse superiore/inferiore o destra/ sinistra di un’ellisse (rispetto ai relativi assi) con le

opportune restrizioni del dominio e determinazione della relativa immagine. Rappresentazioni grafiche di

funzioni di tale tipo, previa determinazione del dominio.

- Problemi sull’ellisse. Equazioni parametriche di secondo grado di due variabili e determinazione del

parametro sotto varie condizioni (inerenti ellisse o circonferenza).

Iperbole

- L’iperbole come luogo geometrico. L’iperbole con fuochi sull’asse x (risp. asse y) e relativa equazione

x2/a2 y2/b2=1 (risp. x2/a2 y2/b2= 1), a,bR, a,b>0 (dimostrazione). Caratteristiche dell’equazione di un’iperbole. Condizione di appartenenza di un punto ad un’iperbole. Vertici reali e immaginari, asse

trasverso e non trasverso, asintoti. Concetto generale di asintoto. Coordinate dei vertici, distanza focale, lunghezza degli assi trasverso e non trasverso, equazioni degli asintoti (dimostrazione). Corrispondenza

biunivoca tra l’insieme delle iperboli con fuochi sull’asse x (risp. asse y) e l’insieme delle equazioni del

tipo x2/a2 y2/b2=1 (risp. x2/a2 y2/b2= 1), a,bR, a,b>0. Proprietà dell’iperbole: 1. Simmetrie rispetto agli assi coordinati e all’origine (dimostrazione), 2. Intersezioni con l’asse x (risp. asse y) (vertici reali); 3. È

esterna (tranne che nei vertici reali) al rettangolo con lati paralleli agli assi coordinati passanti per i vertici

reali e immaginari: dimostrazione algebrica attraverso l’equazione del ramo di iperbole a destra/sinistra

dell’asse y (risp. al di sopra/al di sotto dell’asse x). Equazioni dei rami di iperbole al di sopra/al di sotto

dell’asse x (risp. a destra/sinistra dell’asse y); 4. Coordinate dei fuochi a partire dalle lunghezze dei suoi

semiassi; 5. Eccentricità: significato e variazione.

- Rappresentazione grafica di un’iperbole a partire dalla relativa equazione.

- Determinazione dell'equazione di un’iperbole sotto varie condizioni, in particolare noti: 1. Le lunghezze dei

due semiassi; 2. Un vertice ed un fuoco; 3. Un vertice (fuoco) e un punto per cui passa; 4. Due vertici su

assi diversi o due punti per cui passa; 5. Un vertice (fuoco, semiasse o un punto per cui passa) e l’eccentricità.

- Posizione reciproca retta-iperbole: retta secante, tangente, esterna ad un’iperbole. Condizioni per

determinare la posizione reciproca di una retta rispetto ad un’iperbole e determinazione degli eventuali

punti di intersezione o dell’eventuale punto di tangenza. Osservazione: Una retta parallela (distinta) ad un

asintoto è secante l’iperbole in un unico punto. Determinazione delle equazioni delle rette tangenti a

un’iperbole condotte da un punto esterno ad essa e dei relativi punti di tangenza. Determinazione

dell’equazione della retta tangente ad un’iperbole in un suo punto. Formula di sdoppiamento.

Determinazione dell’equazione di un’iperbole attraverso condizioni di tangenza.

- Problemi relativi all’iperbole.

- Iperbole equilatera con fuochi sull’asse x (risp. asse y). Equazione dell’iperbole equilatera con fuochi

sull’asse x (risp. asse y) riferita agli assi: x2y2=a2 (risp. x2y2=a2). Coordinate dei vertici, dei fuochi ed eccentricità. Equazione dell’iperbole equilatera con fuochi sull’asse x (risp. asse y) riferita agli asintoti:

xy=k, kR, k>0 (risp. kR, k<0). Coordinate dei vertici e dei fuochi (dimostrazione). Passaggio dall’una all’altra equazione.

- Problemi relativi all’iperbole equilatera.

- Equazioni parametriche di secondo grado di due variabili e determinazione del parametro sotto varie

condizioni (inerenti ellisse, circonferenza o iperbole, eventualmente equilatera).

- Problemi di riepilogo sulle curve introdotte. Condizioni affinché un’equazione parametrica rappresenti una

delle curve introdotte.

GONIOMETRIA - TRIGONOMETRIA

- Unità di misura degli angoli: gradi sessagesimali (sottomultipli: primi e secondi) e radianti. Conversione

da gradi, primi, secondi a gradi sessadecimali e viceversa. Formule di conversione da gradi a radianti e

viceversa (dimostrazione). - Misura della lunghezza di un arco di circonferenza (dimostrazione.

- Angolo orientato (lato origine, lato termine). Circonferenza goniometrica. Rappresentazione di angoli

orientati sulla circonferenza goniometrica. Punto associato ad un angolo orientato sulla circonferenza

goniometrica.

- Funzioni goniometriche: seno e coseno. Valore delle funzioni seno e coseno su angoli fondamentali (0, ,

, , 2) o ad essi “sovrapposti”. Segno e variazione delle funzioni seno e coseno nei quattro quadranti.

Periodicità delle funzioni seno e coseno. Domino, codominio, immagine delle funzioni seno e coseno.

Identità goniometrica fondamentale e formule derivate (dimostrazione).

Funzione tangente. Dominio, codominio, immagine della funzione tangente. Valore della funzione

tangente su 0, , 2 o angoli ad essi “sovrapposti”. Segno e variazione della funzione tangente nei quattro

quadranti. Periodicità della funzione tangente. Identità: per ogni angolo D,

D=xR:x tg= e formule derivate (dimostrazione); 2. 1+tg2= e formule

derivate (dimostrazione).

Funzione cotangente. Dominio, codominio, immagine della funzione cotangente. Valore della funzione

cotangente su , , o angoli ad essi “sovrapposti”. Segno e variazione della funzione cotangente nei

quattro quadranti. Periodicità della funzione cotangente. Identità: per ogni angolo D,

D=xR:x cotg= e formule derivate (dimostrazione); 2. cotg= (dimostrazione),

3. 1+cotg2= e formule derivate (dimostrazione).

Funzioni goniometriche secondarie: secante e cosecante (definizione algebrica) e relativi domini. Cenni al

relativo segno e variazione.

- Significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta. Problemi relativi.

- Funzioni goniometriche di angoli particolari: , (dimostrazione).

- Relazioni tra le funzioni goniometriche di angoli associati: opposti, esplementari, supplementari, che

differiscono di , complementari, che differiscono di , la cui somma è , che differiscono di .

Riduzione al primo quadrante.

Grafici delle funzioni seno (sinusoide), coseno (cosinusoide), tangente (tangentoide), cotangente

(cotangentoide) con valori delle funzioni su angoli associati ad angoli del primo (mediante riduzione al

primo quadrante). Proprietà deducibili dai grafici.

Cenni alle funzioni goniometriche inverse di seno (arcoseno), coseno (arcocoseno), tangente

(arcotangente), cotangente (arcotangente). Relativo calcolo, anche con l’uso della calcolatrice scientifica.

- Formule goniometriche. Formule di addizione e sottrazione di seno, coseno, tangente, cotangente (dimostrazione). L’angolo fra due rette (dimostrazione della relativa tangente goniometrica a partire dai

coefficienti angolari delle due rette). Condizione di perpendicolarità tra rette: dimostrazione goniometrica.

Formule di duplicazione di seno, coseno, tangente, cotangente (dimostrazione). Formule di bisezione di

seno, coseno, tangente, cotangente (dimostrazione).

- Trigonometria. Concetto di risoluzione di un triangolo.

- Triangoli rettangoli. Teoremi sui triangoli rettangoli. Primo teorema sui triangoli rettangoli: In un triangolo

rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo

opposto al cateto ovvero per il coseno dell’angolo (acuto) adiacente al cateto (dimostrazione).

Secondo teorema sui triangoli rettangoli: In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella

dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto ovvero per la cotangente

dell’angolo (acuto) adiacente al primo cateto (dimostrazione). Risoluzione di un triangolo rettangolo noti: 1. I due cateti; 2.Un cateto e l’ipotenusa; 3. Un cateto e un angolo acuto; 4. L’ipotenusa ed un angolo

acuto. Problemi relativi.

- Applicazioni dei teoremi sui triangoli rettangoli. Area di un triangolo. Teorema: La misura dell’area di un

triangolo è uguale al semiprodotto delle misure di due qualsiasi lati per il seno dell’angolo fra essi

compreso (dimostrazione). Teorema della corda: In una circonferenza la misura di una corda è uguale al

prodotto della misura del diametro per il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sulla

corda (dimostrazione). Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo (dimostrazione). Problemi

relativi.

- Triangoli qualsiasi. Teorema dei seni: In un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli

angoli opposti (con costante di proporzionalità il diametro della circonferenza circoscritta al triangolo)

(dimostrazione). Teorema del coseno (di Carnot): In un triangolo il quadrato della misura di un lato è

uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati diminuita del doppio prodotto delle misure di tali due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso (dimostrazione). Formule inverse. Risoluzione di

un triangolo qualsiasi noti: 1. Un lato e due angoli; 2. Due lati e l’angolo fra essi compreso; 3. Due lati e

un angolo opposto ad uno di essi; 4. I tre lati. Problemi relativi.

COMPLEMENTI DI ALGEBRA

Ripasso

- Disequazioni intere di secondo grado: equazione e parabola associate. Regola risolutiva attraverso l’uso

della parabola associata. Schema risolutivo. Esempi relativi.

Disequazioni in valore assoluto

- Richiamo del concetto di valore assoluto e relative proprietà. Rappresentazione grafica della funzione

valore assoluto y=|x|. Rappresentazione grafica di funzioni in valore assoluto y=|A(x)| a partire dal grafico

di y=A(x). Richiami sulle equazioni in valore assoluto e relativa risoluzione. Disequazioni in valore

assoluto. Risoluzione nei casi:

1. |A(x)|>B(x); 2. |A(x)|<B(x); 3. |A(x)|B(x); 4. |A(x)|B(x), A(x), B(x) espressioni algebriche in x (dimostrazione).

Casi particolari: 1. |A(x)|>k; 2. |A(x)|<k; 3. |A(x)|k; 4. |A(x)|k, con kR.

- Disequazioni contenenti valori assoluti.

Disequazioni irrazionali

- Disequazioni irrazionali in una variabile. Risoluzione nei casi:

1. > ; 2. < , 3. ; 4. , con n pari o dispari,

A(x), B(x) espressioni algebriche in x.

Casi particolari: 1. > k; 2. < k; 3. k ; 4. k, con kR.

- Disequazioni contenenti irrazionali.

Siena, 7 giugno 2014

Liceo Scientifico “G. Galilei”

Anno Scolastico 2013/2014

PROGRAMMA DI MATEMATICA

Classe IV C

Libro di testo:

M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Matematica blu, Vol. 4, Zanichelli.

M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi Manuale blu 2.0 di Matematica, Vol.4, Zanichelli.

GONIOMETRIA – TRIGONOMETRIA: Ripasso ed approfondimenti

- Equazioni goniometriche elementari. Equazioni monomie di prima specie (con tutte e quattro le funzioni

goniometriche) o ad esse riconducibili mediante l’uso di una incognita ausiliaria per l’argomento.

Equazioni di secondo grado in una determinata funzione goniometrica. Equazioni monomie di seconda

specie (con tutte e quattro le funzioni goniometriche). Equazioni lineari in seno e coseno, omogenee e non

omogenee. Equazioni di secondo grado in seno e coseno, omogenee e non omogenee. Sistemi di equazioni

goniometriche.

- Disequazioni goniometriche elementari (con tutte e quattro le funzioni goniometriche). Disequazioni di

secondo grado in una determinata funzione goniometrica. Disequazioni goniometriche risolubili per scomposizione. Disequazioni goniometriche frazionarie. Sistemi di disequazioni goniometriche.

GEOMETRIA DELLO SPAZIO

- Postulati dello spazio. Posizione di due rette nello spazio. Posizione di due piani nello spazio. Posizione di

una retta ed un piano nello spazio. Teorema: Se per un punto P di una retta s si mandano due rette a e b

perpendicolari a s, allora s è perpendicolare a ogni altra retta r passante per P e giacente sul piano delle

rette a e b (dimostrazione). Teorema: Le perpendicolari ad una retta s condotte per un suo punto P

giacciono tutte sullo stresso piano (dimostrazione). Rette perpendicolari ad un piano. Teorema: Due rette

perpendicolari a uno stesso piano sono parallele tra loro. Teorema: Dati un piano ed un punto, esiste ed è

unica la retta passante per il punto e perpendicolare al piano. Teorema: Se due piani sono perpendicolari a

una stessa retta in punti distinti, allora sono paralleli. Teorema: Le intersezioni tra un piano e due piani paralleli sono due rette parallele. Teorema delle tre perpendicolari (dimostrazione). Distanza di un punto

da un piano. Distanza fra retta e piano paralleli. Distanza di due rette sghembe. Distanza fra due piani

paralleli.

- Teorema di Talete nello spazio (dimostrazione). Diedri. Sezione di un diedro. Teorema: Sezioni parallele

di uno stesso diedro sono congruenti (dimostrazione). Sezione normale di un diedro. Ampiezza di un

diedro. Piani perpendicolari. Angolo tra retta e piano.

- Trasformazioni geometriche nello spazio (cenni). Isometrie: traslazione, rotazione, simmetria centrale,

simmetria assiale, simmetria rispetto ad un piano. Omotetie. Similitudine.

- Poliedri. Prisma. Teorema: Le intersezioni tra due piani paralleli ed un prisma indefinito sono due poligoni

congruenti (dimostrazione). Prismi particolari: prisma retto, parallelepipedo. Teorema: Le facce opposte di

un parallelepipedo sono congruenti e parallele (dimostrazione). Teorema: Le diagonali di un parallelepipedo si incontrano in uno stesso punto che le divide in due segmenti congruenti (dimostrazione).

Parallelepipedo rettangolo. Cubo.

- Angoloide e triedro. Teorema: In ogni angoloide di vertice V, la somma degli angoli in V delle facce è

minore di un angolo giro (dimostrazione). Teorema: In ogni angoloide l’angolo di una faccia è minore

della somma degli angoli delle rimanenti. Teorema: In ogni triedro l’angolo di una faccia è maggiore della

differenza degli angoli delle altre due. Piramide. Piramidi particolari. Piramide retta. Teorema: In una

piramide retta le altezze delle facce laterali passano per i punti di tangenza dei lati di base con la

circonferenza inscritta e sono tra loro congruenti (dimostrazione). Piramide regolare. Tronco di piramide.

Teorema: Se si taglia una piramide di vertice V con un piano parallelo alla base si ha: 1. La sezione e la

base sono poligoni simili; 2. I lati ed i perimetri di tali poligoni sono proporzionali alle distanze del loro

piano dal vertice V; 3. Le misure delle superfici sono proporzionali ai quadrati delle misure di queste

distanze. Tronco di piramide retto o regolare. Poliedri regolari.

- Solidi di rotazione. Cilindro. Cono. Teorema: In un cono le misure delle stanno fra loro come i quadrati

delle misure delle loro distanze dal vertice (dimostrazione). Sfera.

- Aree di solidi notevoli. Superficie di un poliedro. Prisma retto. Teorema: La misura dell’area della

superficie laterale di un prisma retto è uguale al prodotto della misura del perimetro di base per la misura

dell’altezza del prisma (dimostrazione). Area della superficie di base e totale di un prisma retto.

Parallelepipedo rettangolo: area della superficie laterale, di base e totale. Cubo: area della superficie di

base e totale. Piramide retta. Teorema: La misura dell’area della superficie laterale di una piramide retta è uguale al prodotto della misura del semiperimetro di base per la misura dell’apotema della piramide

(dimostrazione). Area della superficie di base e totale di una piramide retta. Tronco di piramide retta.

Teorema: La misura dell’area della superficie laterale del tronco di piramide retta è uguale al prodotto

della somma delle misure dei semiperimetri delle due basi per la misura dell’apotema (dimostrazione).

Area della superficie di base e totale di un tronco di piramide retta. Cilindro. Superficie laterale di un

cilindro. Teorema: La misura dell’area della superficie laterale di un cilindro è uguale al prodotto delle

misure delle lunghezze della circonferenza di base e dell’altezza del cilindro (dimostrazione). Area della

superficie di base e totale di un cilindro. Cono. Superficie laterale di un cono. Teorema: La misura

dell’area della superficie laterale di un cono è uguale al prodotto delle misure delle lunghezze della

semicirconferenza di base e dell’apotema del cono (dimostrazione). Area della superficie di base e totale di

un cono. Tronco di cono. Superficie laterale di un tronco di cono. Teorema: La misura dell’area della

superficie laterale di un tronco di cono è uguale al prodotto delle misure della somma delle lunghezze delle semicirconferenze di base e dell’apotema (dimostrazione). Area della superficie di base e totale di un

tronco di cono. Area della superficie sferica. Area delle parti della superficie sferica: calotta, zona sferica,

fuso sferico (relative dimostrazioni).

- Estensione dei solidi. Volume di un solido. Equivalenza dei solidi. Postulati sull’equivalenza dei solidi.

Solidi equicomposti. Teorema: Due solidi equicomposti sono equivalenti (dimostrazione). Principio di

Cavalieri. Equivalenza dei solidi. Teorema: Se due prismi hanno basi equivalenti e altezze congruenti,

allora sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Se due piramidi hanno basi equivalenti e altezze

congruenti, allora sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Una piramide è equivalente alla terza parte

di un prisma che abbia la stessa base e la stessa altezza (dimostrazione). Teorema: Un prisma ed un

cilindro che hanno basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti (dimostrazione). Teorema: Un

piramide ed un cono che hanno basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti (dimostrazione). Anticlessidra. Teorema: La sfera è equivalente alla sua anticlessidra (dimostrazione).

- Volumi di solidi notevoli. Parallelepipedo rettangolo. Teorema: I volumi dei parallelepipedi rettangoli che

hanno basi congruenti sono proporzionali alle rispettive altezze. Teorema: La misura del volume del

parallelepipedo rettangolo è uguale al prodotto delle misure delle sue dimensioni (dimostrazione). Cubo.

Teorema: La misura del volume di un cubo è uguale alla misura del suo spigolo elevato alla terza potenza.

Prisma, piramide, tronco di piramide. Teorema: La misura del volume di un prisma è uguale al prodotto

delle misure dell’area di base per quella dell’altezza (dimostrazione). Teorema: La misura del volume di

una piramide è uguale alla terza parte del prodotto delle misure dell’area di base per quella dell’altezza

(dimostrazione). Teorema: La misura del volume di un tronco di piramide è uguale alla terza parte del

prodotto della misura dell’altezza per la somma delle misure delle aree delle due basi e della radice

quadrata del loro prodotto (dimostrazione). Volumi dei solidi di rotazione. Teorema: La misura del volume di un cilindro è uguale al prodotto della misura dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza

(dimostrazione). Teorema: La misura del volume di un cono è uguale alla terza parte del prodotto della

misura dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza (dimostrazione). Teorema: La misura del

volume di un tronco di cono è uguale alla terza parte del prodotto di π per la misura dell’altezza del tronco

e per la somma avente per addendi i quadrati delle misure dei raggi dei cerchi di base e il prodotto delle

misure degli stessi (dimostrazione). Teorema: La misura del volume della sfera è uguale al prodotto di 4/3

π per la misura del raggio della sfera elevato al cubo (dimostrazione). Area della superficie sferica.

Teorema: La misura dell’area della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio

massimo (dimostrazione). Volume delle parti di una sfera: segmento sferico (a una base o a due basi),

spicchio sferico, anello sferico (relative dimostrazioni).

CALCOLO COMBINATORIO

- Raggruppamenti. Disposizioni semplici e con ripetizione. Permutazioni semplici e con ripetizione. La

funzione fattoriale e relative proprietà. Espressione delle disposizioni semplici attraverso la funzione

fattoriale. Combinazioni semplici e con ripetizione. Coefficienti binomiali e relative proprietà

(dimostrazione). Potenze di un binomio: binomio di Newton. Triangolo di Tartaglia.

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

- Eventi. Eventi certi ed impossibili. Evento aleatorio. Esperimento aleatorio. Evento elementare o

campione. Universo degli eventi e spazio campionario. Concezione classica della probabilità. Probabilità

classica. Probabilità dell’evento contrario. Concezione statistica della probabilità. Frequenza relativa.

Legge empirica del caso. Probabilità statistica. Concezione soggettiva della probabilità. Probabilità

soggettiva. Impostazione assiomatica della probabilità. Spazio dei campioni. Evento. Spazio degli eventi.

Evento contrario, evento unione (somma logica), evento intersezione (prodotto logico). Definizione

assiomatica di probabilità. Probabilità della somma logica di eventi (compatibili ed incompatibili).

Teorema della somma logica di due eventi. Teorema della probabilità totale. Probabilità condizionata. Eventi stocasticamente indipendenti e dipendenti (correlati positivamente o

negativamente). Teorema sulla probabilità condizionata. Probabilità del prodotto logico di eventi. Teorema

della probabilità composta. Problema delle prove ripetute. Teorema-Schema delle prove ripetute (o di

Bernoulli). Teorema di Bayes.

COMPLEMENTI DI ALGEBRA

- Potenze con esponente reale. Relative proprietà. Funzione esponenziale. Relative proprietà, anche

deducibili dal grafico. Equazioni esponenziali. Disequazioni esponenziali. Sistemi di equazioni e sistemi di

disequazioni esponenziali.

- Logaritmi. Relative proprietà (dimostrazione). Funzione logaritmica. Relative proprietà, anche deducibili

dal grafico. Equazioni logaritmiche. Disequazioni logaritmiche. Sistemi di equazioni e sistemi di disequazioni logaritmiche.

ANALISI MATEMATICA

- Funzioni, funzioni numeriche, funzioni reali di una variabile reale: richiami ed approfondimenti. Dominio,

campo di esistenza, codominio, immagine, grafico e rappresentazione cartesiana del grafico di funzioni

numeriche. Classificazione delle funzioni reali di una variabile reale. Relative condizioni di esistenza.

Proprietà delle funzioni: iniettività, suriettività, biettività, crescenza, decrescenza. Funzioni pari e dispari.

- Determinazione del campo di esistenza, delle eventuali simmetrie, delle eventuali intersezioni con gli assi

cartesiani, del segno di una funzione reale di una variabile reale. Relativa rappresentazione nel piano

cartesiano. Osservazioni 1. Ha senso ricercare eventuali simmetrie di una funzione solo se il relativo campo di esistenza è un insieme simmetrico rispetto all’origine degli assi; 2. Il punto di intersezione di una

funzione con l’asse y, se esiste, è unico; 3. Ha sempre senso ricercare eventuali punti di intersezione di una

funzione con l’asse x. Ha senso ricercare il punto di intersezione con l’asse y solo se x=0 appartiene al

campo di esistenza; 4. Le ascisse di punti di intersezione con gli assi o valori per cui la funzione è positiva

o negativa devono essere accettabili in base alle condizioni di esistenza (ossia devono appartenere al

campo di esistenza).

Grafico probabile di una funzione.

- Topologia della retta. Intervalli in R. Intervalli limitati ed illimitati, aperti, chiusi, semiaperti o semichiusi.

Intorno completo di un punto. Intorno circolare di centro un punto. Intorno destro e sinistro di un punto.

Intorno di più infinito, meno infinito, infinito. Punti di accumulazione. Derivato. Punti isolati.

- Successioni a valori reali. - Limiti. Limite finito in un punto: idea intuitiva, esempio con calcolo numerico del limite, definizione e

relativa rappresentazione grafica. Limite destro e sinistro in un punto: idea intuitiva, esempio con calcolo

numerico del limite, definizione e relativa rappresentazione grafica. Limite per difetto e per eccesso.

Osservazione: Il limite di una funzione in un punto esiste finito e vale l, lR se e soltanto se esistono finiti i limiti destro e sinistro della funzione in quel punto e coincidono entrambi con l. Relativa

rappresentazione grafica. Esempi di non esistenza del limite generale. Verifiche di limite relative.

- Limite (più/meno) infinito in un punto: idea intuitiva, esempio con calcolo numerico del limite, definizione

e relativa rappresentazione grafica. Osservazione: 1. Il limite di una funzione in un punto esiste ed è più

(risp. meno) infinito se e soltanto se esistono e sono più (risp. meno) infinito i limiti destro e sinistro della

funzione in quel punto. 2. Il limite di una funzione in un punto esiste ed è infinito se e soltanto se esistono i

limiti destro e sinistro della funzione in quel punto e sono infinito di segno opposto. Rappresentazione

grafica relativa. Esempi relativi. Asintoto verticale. Verifiche di limite relative.

- Limite finito per x tendente a (più/meno) infinito: idea intuitiva, esempio con calcolo numerico del limite, definizione e relativa rappresentazione grafica. Osservazione: Il limite di una funzione per x tendente

all’infinito esiste finito e vale l, lR se e soltanto se esistono finiti i limiti della funzione per x tendente a più infinito e meno infinito e coincidono entrambi con l. Rappresentazione grafica relativa. Esempi

relativi. Asintoto orizzontale. Verifiche di limite relative.

- Limite (più/meno) infinito per x tendente a (più/meno) infinito: idea intuitiva, definizione e relativa

rappresentazione grafica. Esempi relativi. Verifiche di limite relative.

- Dimostrazione di limiti errati nei vari casi.

- Deduzione di campo di esistenza, eventuali simmetrie, eventuali intersezioni con gli assi, segno, limiti di

una funzione dalla rappresentazione cartesiana del grafico della funzione.

- Funzione continua in un punto. Funzione continua a destra (risp. a sinistra) in un punto. Relativo

significato geometrico. Funzione continua in un intervallo. Relativo significato geometrico. Osservazione:

Tutte le funzioni elementari sono continue nel relativo campo di esistenza. Dimostrazione analitica e

rappresentazione grafica nel caso di funzioni costanti e lineari. Deduzione della continuità nel relativo

campo di esistenza dalla rappresentazione grafica per le funzioni potenza, valore assoluto, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche.

- Punti di discontinuità di prima, seconda, terza specie. Relativa rappresentazione grafica ed esempi.

Siena, 7 giugno 2014