Guía de Definiciones y Teoremas Funciones de Variable Compleja - Guillermo Calandrini (UNS 2012)

5/24/2018 Gua de Definiciones y Teoremas Funciones de Variable Compleja - Guillermo Calandrini (UNS 2012)

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Gua de Definiciones y Teoremas estudiados en el

curso de Funciones de Variable Compleja.

Prof. Guillermo Calandrini

2do. cuatrimestre 2012


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....


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Funciones de Variable Compleja.

Esta gua cubre esencialmente gran parte de las definiciones, lemas y teoremas

estudiados en el curso de Funciones de Variable Compleja. Se denomina Guay no

Notas de Curso pues se espera que sus lectores recurran a los textos citados en la

bibliografa.

Para la primer parte de la materia se puede utilizar cualquier libro de Clculo,

como por ejemplo:

Introduccin al clculo y al anlisis matemtico. Courant, Richard; John,

Fritz. Vol. 1 y 2. (517. C833)

Mtodos Matemticos de la fsica. Moretti, Gino. (530. M818)

Matemtica superior para ingenieros y fsicos. Sokolnikoff, Ivan S. (517.

So39ma5)

Series

Definicin 1 Dada una sucesina1, a2, ..., an , ... de nmeros. La expresin

a1+ a2+ + an+ =

Xn=1

an

se llamaserie numrica. Losan se llaman trminos de la serie.

Sucesin de sumas parciales

Definicin 2 La sucesin de sumas parciales es la suma de losNprimeros trminos

de la serie.

SN=a1+ + aN=NX

n=1

an


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2

Nota: el smbolo

Psignifica la suma de o la serie de, si no se aclaran los

extremos, inferior y superior significa que podran ser cualesquiera.

Definicin 3 Si existe el lmitefinitoS= limN

SNse dice que la serieconvergey

el lmiteSes la suma de la serie. Si el lmite no existe entonces se dice que la serie

diverge y no tiene suma.

La convergencia no depende de los primeros trminos. Por ser un lmite im-

porta lo que suceda a partir de unN suficientemente grande.

Condicin necesaria

Teorema 1 Si una serie converge sun-simo trmino tiende a cero cuandontiende

a infinito.

Corolario: Si el n-simo trmino de una serie no tiende a cero cuandon tiende

a infinito, la serie diverge.

Series con trminos positivos

Criterio de comparacin

Sea0 an bn,n N, entonces:

Si

Pbn converge entonces

Pan converge.

SiP

an diverge entoncesP

bn diverge.

Criterio de DAlambert

Si para la serieP

an , conan>0, limn

an+1an

=L entonces:

siL 1 la serie diverge.


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3

Criterio de Cauchy

Si para la serieP

an , conan 0, limn nan = L entonces:

siL 1 la serie diverge.

Criterio de comparacin con lmite del cociente

Teorema 2 Seanan

0 ybn > 0,

n

N; y seaA= lim

n

anbn

, entonces

1) SiA 6= 0 yA 6=, las seriesP bn yP an tienen la misma naturaleza (ambasconvergen o ambas divergen).

2) SiA= 0 yP

bn converge entoncesP

an converge.

3) SiA= yP bn diverge entoncesP an diverge.Series alternantes

Las series alternantes son aquellas cuyos trminos son alternativamente positivos ynegativos,es decir

P(1)nan conan>0.

Teorema de Leibniz

Teorema 3 Si una serie alternantePn=0

(1)nan, es tal que sus trminos an sonestrictamente decrecientes, y lim

nan = 0, entonces la serie converge, su suma es

positiva y no supera el primer trmino a0.

Series con trminos positivos y negativos. Convergencia ab-

soluta y condicional

Definicin 4 La serieP

an converge absolutamentesi converge la serieP

|an| .

Teorema 4 Si la serieP

|an| converge entonces la serieP

an tambin converge.


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4

Definicin 5 Si la serie

Pan converge y la serie

P|an| diverge entonces se dice

que la seriePan converge condicionalmente. La suma de una serie absolutamente convergente no depende del orden de sus

trminos.

Anlisis de Convergencia

Conviene proceder en el anlisis utilizando los criterios en el siguiente orden:

1. Condicin necesaria.

2. Convergencia absoluta: criterios de series de trminos positivos (comparacin,

DAlambert, Cauchy).

3. Convergencia condicional: Leibniz, sumas parciales.

Propiedades

SiP

an yP

bn son series convergentes con sumaA y B respectivamente, entonces:

P

(an+ bn)converge y su suma es A + B.

Sices un nmero real,P

c an converge y su suma es c A.

Integrales impropias

Definicin 6 Dada una integral

Z ba

f(x)dx

en cualquiera de los casos donde:

a) el intervalo de integracin no tiene longuitudfinita,

b) la funcinf(x) no es acotada en(a, b),


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5

c) una combinacin de los dos casos anteriores,

diremos que la integral es una integral impropia.

Definicin 7 Decimos quef(x) es seccionalmente continua, o continua a tramos,

en el intervalo [a, b] si tiene a lo sumo un nmero finito de discontinuidades tipo

salto (existen los lmites laterales).

Definicin 8 Sif(x) es continua a tramos en [a, R],R > a y existe el siguientelmite

L= limR

Z Ra

f(x) dx

diremos que la integralRa

f(x) dx es convergente y queL es su valor y escribimosRa

f(x) dx= L. En caso contrario se dir que la integral es divergente.

Teorema 5 Una condicin necesaria y suficiente para que converjaRa

f(x) dx es

que: para todo> 0 existe un nmero positivo N tal que

Z qp

f(x) dx

N.

Criterio de la integral

Teorema 6 Sean los trminos de la serieP

an positivos y no crecientes,es decir

a1 a2 , y seaf(x) una funcin continua montona decreciente tal que:

f(1) =a1, f(2) =a2, . . . f (n) =an, . . .

a) Si la integral impropiaR1

f(x) dxconverge, es convergente tambin la serie.

b) Si la integral impropiaR1

f(x) dx diverge, es divergente tambin la serie.

Definicin 9 Se dice que la integral impropiaRb f(x) dx es convergente si existe

y esfinito el lmite

limR Z

b

R

f(x) dx


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6

Definicin 10 Se dice que la integral impropia

R+ f(x) dxes convergente si existe

y esfi

nito el lmite doble

limP,R

Z RP

f(x) dx

lo cual es equivalente a pedir que las dos integrales impropias siguientes sean con-

vergentes

Za

f(x) dx y

Z a

f(x) dx,

dondea es un nmero real cualquiera.

Definicin 11 La expresin limR

RRR f(x) dx se llama Valor Principal de Cauchy

de la integralR+ f(x) dxy lo notaremos como V.P.C.

R+ f(x) dx.

Este valor puede existir an cuando la integral impropia es divergente (Ej.

R+ x dx).

Integrales impropias en las que el integrando no es acotado

Supondremos ahora quec [a, b] y que limxc

|f(x)|= .

Definicin 12 Se dir queRba

f(x) dx es convergente si existen y son finitos los

siguientes lmites.

1)c= a,

Rb

af(x) dx= lim

0+ Rb

a+f(x) dx

2)c= b,Rba f(x) dx= lim0+

Rba f(x) dx3)c (a, b), Rb

af(x) dx= lim

10+

Rc1a

f(x) dx+ lim20+

Rbc+2

f(x) dx

Definicin 13 En el tercer caso de la definicin anterior tambin se denomina

Valor Principal de Cachy al lmite

V.P.C.

Z ba

f(x) dx= lim0+

Z ca

f(x) dx +

Z bc+

f(x) dx


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7

Operaciones vlidas con integrales impropias

En las siguientes integrales debe considerarse que alguno de los extremos puede ser

infinito o que el integrando no est acotado, es decir vale para cualquier tipo de

integral impropia.

1. Vale la frmula

Z ba

f(x) dx=

Z ba

f(x) dx

2. La ecuacin Z ba

(f1(x) + f2(x))dx=

Z ba

f1(x) dx +

Z ba

f2(x) dx

no siempre es cierta. Es claro que si las integrales de la derecha convergen, la

de la izquierda tambin y vale la igualdad.

3. Frmula de integracin por partes

Z ba

f1(x) f02(x) dx= f1(x) f2(x)|

ba

Z ba

f2(x) f01(x) dx

Esta ecuacin es vlida si cualquier par de estas expresiones existen

Definicin 14 SiRba

|f(x)|dx es convergente se dice quef(x) es absolutamente

integrable en ese intervalo y queRba

f(x) dx converge absolutamente.

Criterio de comparacin

Teorema 7 Sean f y g dos funciones integrables sobre todo intervalo cerrado y

acotado en [a, ) tales que

0 f(x) g(x) parax a.

Se tiene:

1) SiRa

g(x) dxconverge entonces Ra

f(x) dx converge.


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8

2) Si

Ra

f(x) dx diverge entonces

Ra

g(x) dxdiverge.

Teorema 8 Sean f y g dos funciones integrables sobre todo intervalo cerrado y

acotado en [a, ) tales que f(x) 0 y g(x) > 0 para x a. SeaA = limx

f(x)g(x)

,

entonces

1) Si A 6= 0 y A 6=, las integrales Ra

f(x) dx yRa

g(x) dx tienen la misma

naturaleza.

2) SiA= 0 yRa

g(x) dxconverge entoncesRa

f(x) dx converge.

3) SiA=

yRa g(x) dxdiverge entonces Ra f(x) dxdiverge.

Aclaracin: El criterio de comparacin y el teorema anterior (comparacin

por limite del cociente) tambin valen para integrales impropias del segundo tipo

(integrandos no acotados). En ese caso el lmite se calcula en el punto del intervalo

de integracin en el cual el integrando no es acotado.

Ejercicio 1 Demostrar el teorema anterior (utilice definicin de lmite y criterio de

comparacin).

En el siguiente teorema y definicin debe considerarse que alguno de los extremos

puede ser infinito o que el integrando no est acotado.

Teorema 9 SiRba |f(x)| dx es convergente entonces Rba f(x) dx tambin es conver-gente.

Definicin 15 SiRba

|f(x)|dxes divergente yRba

f(x) dxes convergente se dice queRba

f(x) dx converge condicionalmente.


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9

Series de funciones

Definicin 16 Una serie se llama serie de funciones si sus trminos son funciones

de una variable o parmetro, que lo indicaremos con la letrax, es decir:

f1(x) + f2(x) + + fn(x) + =Xn=1

fn(x),

es una serie de funciones. Dndole valores ax, obtenemos diferentes series numri-

cas que pueden ser convergentes o divergentes.

Definicin 17 El conjunto de valores dex para los cuales una serie de funcionesPn=1

fn(x)converge se llamadominio de convergenciade esa serie. En el dominio

de convergencia su suma es una cierta funcin dex, S(x).

Definicin 18 En el dominio de convergencia S(x) = SN(x) + rN(x), donde

rN(x) =P

n=N+1

fn(x) se llamarestode la serie.

Teorema 10 En el dominio de convergencia el resto rN(x)de una serie convergentetiende a cero cuando Ntiende a infinito.

Convergencia puntual

Definicin 19 La serieP

fn(x) se llama convergente (o puntualmente conver-

gente) en un intervalo o conjunto de puntos P R, si en cada x P, a todonmero positivo > 0, arbitrariamente pequeo, corresponde un nmero N(, x)tal

que para todos losn > Nse cumple que

|S(x) Sn(x)|< .


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10

Convergencia uniforme.

Definicin 20 SeaPun intervalo o un conjunto de puntos enR. La serieP

fn(x)

se llamauniformemente convergenteen el conjuntoP, si a todo nmero positivo

>0 arbitrariamente pequeo corresponde un nmero N() tal que para todos los

n > N yx Pse cumple que

|S(x) Sn(x)|< .

Test de Weierstrass

Teorema 11 Sea una serie de funcionesP

fn(x). Si existe una serie numrica

convergente,P

an, con trminos positivos, tales que

|fn(x)| an

para todos los valores dex P, entonces la serie de funciones converge absolutayuniformementeenP.

Teorema 12 La suma de una serie de funciones continuas que converge uniforme-

mente en un cierto intervalo [a, b] es una funcin continua en ese intervalo.


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11

Integrales impropias paramtricas

Sea S = {(x, t), x P R, t [c, +)}. Sea f : S R y supongamos quepara cadax Pla integral impropia R

c f(x, t) dtes convergente, entonces sobre el

conjuntoPse puede definir la siguiente funcin

F(x) =

Zc

f(x, t) dt

Convergencia puntual

Definicin 21 La integralRc f(x, t) dt converge puntualmente sobre un conjunto

P R, a la funcinF(x),si en cadax Py para todo > 0, existe unR0(, x)> ctal que

F(x)

Z Rc

f(x, t) dt

R0.

Convergencia uniforme

Definicin 22 Supongamos queRc f(x, t) dt converge puntualmente aF(x) en el

conjunto de puntosP. La integral converge uniformemente sobre el conjunto P si

para todo > o existe unR0()> c tal queF(x)

Z Rc

f(x, t) dt

R0.

Criterio M de Weierstrass

Teorema 13 Supongamos que existeR

Rc f(x, t) dtpara todo R cy todox P. Si

existe una funcin positivaM(t) 0 cuandot c tal que

|f(x, t)| M(t) parax Py todo t c

conRc

M(t) dt convergente, entonces la integralRc

f(x, t) dt es absoluta y unifor-

memente convergente sobre el conjuntoP.


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12

Este criterio tambin es aplicable en integrales impropias del segundo tipo (in-

tegrandos no acotados).

Aplicaciones de la convergencia uniforme

Sea F(x) =Rc

f(x, t) dt una integral impropia y S = {(x, t), x [a, b], t [c, +)}, se tienen los siguientes tres teoremas:

Teorema 14 Seafcontinua enS y supongamos que la integralRc

f(x, t) dtcon-

verge uniformemente en[a, b]. EntoncesF es continua en [a, b].

Teorema 15 Si f es continua en la bandaS yRc

f(x, t) dt converge uniforme-

mente en[a, b], entonces

Z ba

Zc

f(x, t) dtdx=

Zc

Z ba

f(x, t) dxdt

es decir podemos intercambiar el orden.

Teorema 16 Si

1)f y f

x son continuas en la bandaS.

2)Rc

f(x, t) dt converge puntualmente sobre[a, b].

3)Rc

f(x, t)

x dt converge uniformemente sobre[a, b].

EntoncesF(x) =Rc

f(x, t) dt es diferenciable sobre [a, b] y

F0(x) = d

dx

Zc

f(x, t) dt=

Zc

f(x, t)

x dt

Estos tres ltimos teoremas siguen valiendo con condiciones ms generales so-

bre la continuidad de los integrandos, por ejemplo se puede demostar que f(x, t)

yf(x, t)

x pueden no ser continuas en todoS,si tienen la forma

(x, t)(t)

donde es (x, t) continua en S y (t) es acotada e integrable (por ej. continua a

tramos) en todo intervalo cerrado contenido en [c, +

),los tres teoremas se siguen


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13

verificando, es decirF(x)es continua y se puede intercambiar el orden de integracin

y tambin derivar la integral impropia.

Algunos ejemplos de integrales impropias y series.

La integral impropiaRa

f(x) dx puede ser convergente an cuando el inte-

grando no tienda cero. La integralRa

sen x2 dxconverge condicionalmente y

el integrando no tiene lmite.

Series no uniformemente convergentes con funciones sumas discontinua:

La serieXn=0

x2

(x2 + 1)n converge sobre toda la recta real. Su suma es

discontinua enx = 0.

La serie x + x(x 1) + x2(x 1) + + xn(x 1) + converge a lafuncin

f(x) =

0 0 x


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14

Ejercicio 2 Estudie la convergencia uniforme de las siguientes integrales impropias

en el intervalo [2, 5]. La funcin a la cual convergen all es continua? Esposible ampliar dicho intervalo?

a)

Z1

dx

x b)

Z0

exdx c)

Z0

ex sen x dx

Ejercicio 3 SeaF(s)una funcin definida por medio de una integral paramtrica,

de la siguiente manera:

F(s) =

Z0

estf(t)dt

donde f(t) es una funcin continua a tramos y se sabe adems que |f(t)|

e3t

t [0, +).

1. Encuentre el dominio de definicin de la funcinF(s),es decir para qu valores

des queda bien definida dicha funcin por medio de la integral impropia.

2. Encuentre un intervalo dondeF(s) sea continua.

3. Encuentre un intervalo donde se verifique:

F0(s) = Z0

esttf(t)dt.


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Funciones de Variable Compleja

Bibliografa

Matemticas Avanzadas para Ingeniera. James, G.,Pearson Educacin

Variables complejas y sus aplicaciones. Churchill, Ruel V.; Brown, James W.;

Verhey, Roger F. McGraw-Hill. Mxico (517.8. C473-2).

Teora de funciones de variable compleja. Churchill, Ruel V. McGraw-Hill.

New York. (517.8. C473-1a2).

Matemticas avanzadas para ingeniera. 2. Kreyszig, Erwin. Limusa. Mxico.

(517. K889-2 / 517. K889-1/517. K889).

Regiones en el plano complejo

Definicin 23 Un entorno de radio de un punto z0, es el conjunto de puntos

z

Cque verifica

|z z0|< .

Definicin 24 Un entorno reducido de radio de un punto dadoz0,es el conjunto

de puntosz C que verifica

0< |z z0|< .

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16

Definicin 25 Dado un conjunto de puntosS C, un punto z0 C es un punto:

interiordel conjunto Ssiempre que exista algn entorno dez0 cuyos puntos

sean todos deS.

exteriordel conjunto S, cuando existe un entorno suyo que no contiene pun-

tos deS.

fronteradel conjuntoS, cuando cuyos entornos contienen tanto puntos deS

como puntos que no estn enS.

de acumulacindel conjunto S, si cada entorno reducido dez0 contiene al

menos un punto deS.

Definicin 26 Un conjunto es abierto cuando todos sus puntos son interiores.

Definicin 27 Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto (contiene

todos sus puntos frontera).

Definicin 28 Un conjunto abiertoSesconexosi cada par de puntosz1 yz2 en l

se pueden unir por una lnea poligonal, consistente de un nmero finito de segmentos

sucesivos, que est enteramente contenida enS.

Definicin 29 Un conjunto abierto y conexo se llama dominio.

Definicin 30 Un dominio unido a algunos, todos o ninguno de sus puntos frontera

se llamaregin.

Definicin 31 Un conjunto S es acotado si todo punto de Sest dentro de un

crculo (|z| R, z S).


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17

Funciones

Definicin 32 SeaS un conjunto de nmero complejos. Una funcin f definida

sobre Ses una regla que asigna a cada z en S un nmero complejo w. Es decir

dado S C, sobre el cual definimos la funcinf : S C, y dicha asignacin laexpresamos as:

w= f(z).

El conjuntoSse llama dominio de defi

nicin def .

Lmites

Definicin 33 Se dice que el lmite de f(z) cuando z tiende a z0 es w0, o sea

limzz0

f(z) =w0, cuando para cada nmero > 0, un nmero > 0 tal que:

|f(z)

w0|< siempre que0< |z

z0|< .

Teorema 17 Supongamos que f(z) = u(x, y) +i v(x, y), z0 = x0 +i y0, y w0 =

u0+ i v0. Entonces

limzz0

f(z) =w0

lim(x,y)(x0,y0)

u(x, y) =u0

lim(x,y)(x0,y0)

v(x, y) =v0.

Teorema 18 Supongamos que limzz0

f(z) =w0 y limzz0

g(z) =h0.

Entonces

limzz0

[f(z) + g(z)] =w0+ h0.

limzz0

[f(z) g(z)] =w0 h0.

Sih06= 0, limzz0

f(z)

g(z) =

w0h0

.


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18

Propiedades

1. limzz0

f(z) =w0 limzz0

|f(z)|= |w0| .

2. limzz0

f(z) = 0 limzz0

|f(z)|= 0.

3. limz0

f(z) =w0limr0

f(r ei ) =w0 uniformemente en.

4. Si limzz0

f(z) = 0 y |g(z)|< Men un entorno de z0 = limzz0

f(z) g(z) = 0.

5. Si limz

z0f(z) =w0 y lim

w

w0g(w) =h0 lim

z

z0g(f(z)) = lim

w

w0g(w) =h0

Ejercicio 4 Seaf(z) =u(x, y) + i v(x, y), z0=x0+ i y0,yw0=u0+ i v0.

1. Muestre que:

(a) |u(x, y) u0| |f(z) w0|.

(b) |v(x, y) v0| |f(z) w0|.

(c) |f(z) w0| |u(x, y) u0|+|v(x, y) v0|.

(d) Un entorno circular en R2 en el punto (x0, y0) [utilizado en funciones de

variables reales] es equivalente a un entorno de z0 en el plano complejo

C.

2. Usando (1.) pruebe el teorema17.

3. Pruebe el teorema 18usando el teorema17y propiedades de lmites de fun-

ciones de variables reales.

4. Pruebe las propiedades de la pgina anterior utilizando la definicn de lmite.


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19

Lmites y el punto del Infinito

Muchas veces es necesario considerar junto con el plano complejo el concepto o

punto del infinito. A este conjunto C {} se le llama plano complejo extendido.Para incorporar la nocin del punto del infinito es conveniente utilizar la esfera de

Riemann como se detalla a continuacin:

Esfera de Riemann

El plano complejo pasa por el ecuador de una esfera unidad centrada en z= 0. A

cada puntozdel plano le corresponde exactamente un punto Pen la superficie de

la esfera. se determina por la interseccin de la recta que pasa por el polo Norte y

el puntozcon la superficie de la esfera. A cada puntoPde la esfera le corresponde

un punto zdel plano, excepto al polo Norte. Haciendo corresponder al polo Norte

el punto del infinito, obtenemos una correspondencia 1 1 entre los puntos de laesfera y los del plano extendido

Esfera de Riemann C {}

Para cada > 0, pequeo, los puntos del plano complejo exteriores al crculo

|z|> 1/corresponden a puntos de la esfera prximos al polo Norte.

Llamaremos al conjunto|z|> 1/un entornode.

Definicin 34 La afirmacin limzz0

f(z) = significa que para cada> 0, > 0tal que|f(z)|> 1/, siempre que0< |z z0|< . Es decir

limzz0

f(z) = limzz0

1

f(z)= 0.

Ejercicio 5 En forma anloga a la definicin anterior muestre que:

i) limz

f(z) =w0limz0

f(1z

) =w0. ii) limz

f(z) = limz0

1f( 1

z)= 0.


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20

Continuidad

Definicin 35 Una funcin es continua en un punto z0 si satisface las siguientes

tres condiciones

existe limzz0

f(z)

existef(z0)

limzz0

f(z) =f(z0)

Es decir para cada > 0, > 0 tal que |f(z) f(z0)| < , siempre que|z z0|< .

Definicin 36 Una funcin se dice que es continua en una regin R si lo es en

todos sus puntos.

Teorema 19 Una funcinf(z) =u(x, y) + i v(x, y) es continua en un punto z0 =

x0+ i y0 si solo si sus funciones componentesu yv son funciones continuas.

Propiedades

Si dos funciones son continuas en un punto, su suma y su producto tambin

lo son, su cociente es continuo siempre que el denominador no se anule.

Un polinomio es continuo en todo el plano.

La composicin de funciones continuas es continua.

Si una funcin f(z) es continua y no se anula en un punto z0 f(z)6= 0 enalgn entorno de ese punto.

Una funcinf(z)continua en una regin cerrada y acotada R,es acotada enR

y|f(z)|alcanza su mximo en ella. Es decir existeM R tal que|f(z)| M

z

R.


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21

Ejercicio 6 Demuestre el teorema19 [sugerencia: utilice el teorema 17].

Derivadas

Definicin 37 Seafuna funcin cuyo dominio de definicin contiene un entorno

dez0. La derivada def enz0, f0(z0), se define por:

f0(z0) = limzz0

f(z) f(z0)z z0

supuesto que el lmite existe. La funcinf se dice diferenciable en z0 cuando

existe su derivada.

Si z=z z0, se obtiene una expresin equivalente:

f0(z0) = limz0

f(z0+ z)

f(z0)

z .

En forma similar siw= f(z)y llamando w= f(z+ z) f(z),

f0(z) =dw

dz= lim

z0

w

z.

Teorema 20 Si una funcinfes derivable en un punto z0 entonces dicha funcin

es continua en ese punto. Es decir si f0(z0) limzz0

f(z) =f(z0).

Ejercicio 7 Muestre que:

i) limzz0

f(z) =f(z0) limzz0

(f(z) f(z0)) = 0.ii) lim

zz0(f(z) f(z0)) = lim

zz0

f(z)f(z0)

zz0 (z z0)

.

iii) Usandoi) yii) muestre el teorema20.


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22

Frmulas de derivacin

d

dzc= 0, ces una constante compleja.

d

dzz= 1.

d

dzcf(z) =cf0(z).

d

dz[f(z) + g(z)] =f0(z) + g0(z).

d

dz

[f(z).g(z)] =f(z)g0(z) + f0(z)g(z).

Cuandog(z)6= 0, d

dz

f(z)

g(z)

=

f0(z)g(z) f(z)g0(z)g(z)2

.

Siw= f(z)yh = g(w), dh

dz =

dh

dw

dw

dz.

d

dzzn =nzn1 (nentero positivo, vale para negativo si z6= 0).

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Teorema 21 (Condiciones necesarias)Supongamos quef(z) =u(x, y)+i v(x, y)

y que existef0(z)en el puntoz0=x0+i y0.Entonces las derivadas parciales primeras

deu yv existen en(x0, y0) y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en l.

ux=vy

uy = vx

enz=z0.

Ademsf0(z0) se puede expresar como f0(z0) =ux(x0, y0) + i vx(x0, y0).

Teorema 22 (Condiciones suficientes) Sea la funcinf(z) =u(x, y) + i v(x, y)

definida en un entorno de un punto z0 = x0+ i y0. Supongamos que las deriva-

das parciales primeras de las funcionesu yv con respecto ax ey existen en todo

punto del entorno y son continuas en(x0, y0). Entonces si esas derivadas parciales

satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en(x0, y0),existe la derivada def en

z0.


25/123

23

Teorema 23 (Condiciones necesarias y suficientes) Sea la funcin f(z) =

u(x, y) +i v(x, y) definida en un entorno de un punto z0 = x0 +i y0. Existe la

derivada def enz0, si y slo siu yv son diferenciables en(x0, y0) y satisfacen las

ecuaciones de Cauchy-Riemann en(x0, y0).

Ejercicio 8 Seaf(z) = u(x, y) + i v(x, y) una funcin definida en un entorno del

puntoz0 = x0+ i y0.

1. Sabiendo quef(z)es derivable enz0,calcule las derivadas direccionales def(z)

enz0, segn las direcciones:

(a) x= 0y y 0

(b) y= 0y x 0

2. Usando el punto anterior pruebe el teorema21.

3. Seanu(x, y)yv(x, y)dos funciones diferenciables en(x0, y0)[recuerde que:

u(x0, y0) = ux(x0, y0)x + uy(x0, y0)y+ 1px2 + y2

v(x0, y0) = vx(x0, y0)x + vy(x0, y0)y+ 2px2 + y2

donde 1 y 2 0cuando(x,y) (0, 0)]. Adems seaw = f(z).Muestre que:

(a) w= f(z0+ z) f(z0) = u(x0, y0) + iv(x0, y0)

(b) w= (ux+i vx)x+(vyi uy)iy+(1+i2)|z| [en el punto(x0, y0)].

(c) Si adems se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces

existe limz0

w

z en el puntoz0.


26/123

24

Ecuaciones de Cauchy Riemann en Coordenadas polares

ux=vy

uy = vx

enz=z0

r ur =v

u= r vr

enz=z0.

Ademsux+ i vx= ei(ur+ i vr).

Funciones Analticas (Holomorfas)

Definicin 38 Una funcin de variable compleja se dice analtica (o holomorfa) en

un punto si es derivable en el punto y en el entorno.

Definicin 39 Una funcin de variable compleja se dice analtica en un conjunto

abierto si tiene derivada en todo punto de ese abierto.

Definicin 40 Si una funcinfno es analtica en un punto z0 pero es analtica

en algn punto de todo entorno dez0, se dice quez0 es un punto singularo una

singularidaddef.

Teorema 24 Si dos funciones continuasu(x, y) yv(x, y) tienen derivadas parcia-

les primeras continuas que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en algn

dominio D, entonces la funcin complejaf(z) = u(x, y) + i v(x, y) es analtica en

D.

Observacin: Dada una funcin f(z) =u(x, y) + i v(x, y),si las ecuaciones de

Cauchy Riemman se verifican en un punto, esto no alcanza para asegurar que exista

la derivada defen ese punto (teoremas 21 y 22). Si estas ecuaciones se verifican en

todo un dominioD, se podr asegurar que es analtica enD? J.D. Gray y A. Morris

demostraron que si fes continua en un dominio D, existen las derivadas parciales

ux, uy, vx, vyenD, y verifican las ecuacioes de Cauchy-Riemann en D, entonces f

es analitica enD.


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25

Propiedades de funciones analticas

Si dos funciones son analticas en un dominio, su suma y su producto tambin

lo son, su cociente es analtico siempre que el denominador no se anule.

La composicin de funciones analticas es analtica.

Un polinomio es analtico en todo el plano.

Teorema 25 Si una funcin f tiene derivada nula en todo punto de un dominio

D, entoncesfes constante enD.

Ejercicio 9 Seaf(z) =u(x, y) + i v(x, y)una funcin definida en un dominio D.

1. Pruebe el teorema24 [sugerencia: use el teorema22].

2. Sif(z)tiene derivada nula en todo punto del dominioD (=abierto y conexo).

Muestre que:

(a) fes analtica en D.

(b) ux=uy =vx= vy = 0 enD.

(c) uyv son constantes enD.

Teorema 26 Si una funcinf(z) = u(x, y) + i v(x, y) es analtica en un dominio

D, sus funciones componentesu yv son armnicas enD.

En el caso que se verifique el teorema anterior, las funciones u y v se llaman

armnicas conjugadas.

Recordar que una funcin real h de dos variables x e y se dice armnica en un

dominio del plano x y, si sobre ese dominio tiene derivadas parciales continuas de

primer y segundo orden y satisface la ecuacin de Laplace: hxx+ hyy = 0.


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26

Ejercicio 10 Seaf(z) =u(x, y) + i v(x, y)una funcin analtica en un dominio D.

a) Sean u(x, y) y v(x, y) dos funciones con derivadas parciales continuas de

primer y segundo orden en todoD. Muestre que en todo punto de D se verifica que:

(a)uxx= vyx (c)vxx= uyx (e)uxx+ uyy = 0(b)uyy = vxy (d)vyy =uxy (f)vxx+ vyy = 0

b) Pruebe la equivalencia entre las condiciones de Cauchy Riemann en coorde-nadas polares y cartesianas.

Funciones Elementales

Vamos a estudiar funciones de una variable compleja que se reducen a las funciones

elementales del clculo real cuando z= x + i 0.

Funcin exponencial

ez =ex+i y =ex(cos y+ isen y)

La funcin exponencial es analtica en todo el plano.

Cuandoy = 0, ex+i 0 =ex.

Cuandox = 0, ei y = (cos y+ i sen y),frmula de Euler.

ez =ex+i y =exei y.

ez1+z2 =ez1ez2.

|ez|= ex.


29/123

27

arg(ez) =y+ 2k, k Z.

ez 6= 0 z C.

ez+2 i =ez. La funcin exponencial es peridica con periodo imaginario puro

de2 i.

Logaritmo general

log(z) = ln |z|+ iArg(z) + 2k i, k Z.

Es una funcin multivaluada, su valor principal es para k = 0

Logaritmo principal

Log(z) = ln |z|+ i Arg(z)

SiArg(z) se restringe al intervalo (,+ 2), es decir < Arg(z)< + 2,

la funcinLog zes univaluada y continua. (en = es discontinua)

En el dominio|z|> 0 y< Arg(z)< + 2 es analtica y ddz

(Log z) =1

z.

Nota: En algunos textos se considera que la funcin argumento principal (Arg())

toma valores nicamente en el intervalo (,], en este curso se deja libertad pa-

ra defi

nirlo en la forma ms adecuada para cada caso particular. Esto requiereespecificar su definicin cada vez que se lo utilice. La funcin argumento general

(arg())es una funcin multivaluada (ntese que la escribimos en minscula), que

la podemos expresar a partir de cualquier definicin de un argumento principal:

arg(z) = Arg(z) + 2k, dondek Z.


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28

Funciones Trigonomtricas e Hiperblicas

sen z=ei z ei z

2 i senh z=

ez ez2

cos z=ei z + ei z

2 cosh z=

ez + ez

2

Son funciones enteras

d

dz(sen z) = cos z

d

dz(senh z) = cosh z

d

dz(cos z) = sen z d

dz(cosh z) = senh z

Algunas propiedades

sen(z) = sen z sen(i z) =i senh zcos(z) = cos z cos(i z) = cosh z

Son funciones peridicas

sen(z+ 2) = sen z senh(z+ 2 i) = senh z

cos(z+ 2) = cos z cosh(z+ 2 i) = cosh z

Funciones tangente y tangente hiperblica:

tan z=sen z

cos z

tanh z=senh z

cosh z

Funciones multivaluadas

Definicin 41 Unaramao determinacin de una funcin multivaluadafes cual-

quier funcin univaluadaF,que sea analtica en algn dominio donde en cada punto


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29

z, el valor deF(z) es uno de los valores def(z).

la funcinLog zes una rama de log z(la que llamamos principal, pero existen

otras infinitas determinaciones particulares o ramas).

Definicin 42 Un corte de una funcin multivaluadaf es una porcin de curva

(o recta) que se escoge con el objeto de definir una ramaF.Los puntos sobre el corte

def son puntos singulares deF, y cualquier punto que es comn a todos los cortes

posibles defse llamapunto de ramificacin.

el rayo = es un corte de log z, con < Arg(z)< + 2.

el origen y elson puntos de ramificacin dellog z.

si recorremos una curva cerrada simple que contenga un punto de ramificacin,

y en cada punto elegimos una rama de tal manera que la variacin de la funcin

sobre la curva sea en forma continua, cuando se regresa al punto inicial, el valor

de la funcin es diferente, est en otra rama.

Exponentes complejos

zc =ec log z

Funciones trigonomtricas inversas

arcsen z = 1i

log

iz+ 1 z2

arccos z = 1

i log

z+

z2 1

arctan z = i

2log

1 iz1 + iz

= i

2log

i + z

i z


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30

Ejercicio 11 Funciones multivaluadas.

1. Encuentre una rama log zque sea analtica en Im(z) < 0 y tal que Log(1) =

4 i.

2. Encuentre dos ramas de

zque sean iguales en el primer cuadrante y tomen

diferentes valores en el tercer cuadrante.

3. Cules son los puntos de ramificacin dearctan z?


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31

Integrales de Funciones de Variable Compleja

Con el objeto de introducir integrales de f(z)de modo sencillo, consideremos primero

derivadas e integrales de funciones complejas w(t)de una variable real t.

w = w(t) w: R C (0.1)

w(t) = u(t) + i v(t)

uyv son funciones reales R

R.

Definicin 43 La derivadaw0(t) o dwdt

de la funcin (0.1) se define como

w0(t) =u0(t) + i v0(t)

supuesto que existe cada una de las derivadasu0 yv0 ent.

Contornos

Definicin 44 Un conjuntoCde puntosz= (x, y)en el plano complejo se dice que

constituye unarcosix= x(t), y= y(t), a t b,dondex(t) ey(t) son funcionescontinuas del parmetro t

z= z(t) =x(t) + i y(t) t [a, b].

El arco C es un arco simple, o arco de Jordan, si no se corta a s mismo.

z(t1)6=z(t2)cuandot16=t2, t1, t2 (a, b).

Cuando z(a) =z(b), decimos que Ces una curva cerrada. (Si en los extremos

es el nico punto que se repite decimos que Ces unacurva cerrada simple).

Six(t)e y(t)son diferenciables en el intervalo [a, b]se llamaarco diferencia-

ble. Six0(t) ey0(t)son continuas y no valen ambas cero para el mismo valor


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32

det, se llamaarco suave. La derivada dez(t)es

z0(t) =x0(t) + i y0(t).

Siz0(t)6= 0, z0(t)representa un vector tangente a la curva en el puntoz(t).

La funcin|z0(t)|=p

x0(t)2 + y0(t)2 es integrable sobre el intervalo[a, b],sien-

do lalongitud de arcoL =bRa

|z0(t)| dt.

La representacin paramtrica para Cno es nica.

El nmero L es invariante.

Definicin 45 Uncontorno, o arco suave a tramos, es un arco que consiste

en un nmero finito de arcos suaves unidos por sus extremos. z(t) es continua y su

derivadaz0(t) es continua a tramos.

Cuando slo coinciden los valores inicial y final de z(t), el contorno se llama

contorno cerrado simple.

La longitud de un contorno cerrado simple es la suma de las longitudes de los

arcos suaves.

Definicin 46 Las integrales de funciones definidas como en (0.1) sobre intervalos

[a, b] se definen como

Z ba

w(t)dt=Z ba

u(t)dt + iZ ba

v(t)dt

cuando las integrales de la derecha existen, es decirIm(Rba

w(t)dt) =Rba

Im(w(t))dt,

yRe(Rba

w(t)dt) =Rba

Re(w(t))dt.

Lema 1 Seanw(t) =u(t) + i v(t) yW(t) =U(t) + i V(t) continuas en el intervalo

[a, b] yW0(t) =w(t), entoncesRba

w(t)dt= W(b) W(a)


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33

Lema 2 Supongamos que una funcinf(z) es derivable en todo punto de un arco

diferenciablez(t), a

t

b. Siw(t) =f(z(t)), entoncesw0(t) =f0(z(t))z0(t).

Ejercicio 12 Demuestre los dos lemas anteriores.

Integral de contorno ZC

f(z)dz

Definicin 47 Sea

C : contorno z(t), t [a, b].

f(z) =u +i vcontinua a tramos sobreC(es decirf(z(t))es continua a tramos

en el intervalo [a, b]).

ZC

f(z)dz =

bZa

f(z(t)) z0(t)dt

=

bZa

(u x0 v y0)dt + ibZa

(u y0 + v x0)dt

=

(x(b),y(b))Z(x(a),y(a))

(u dx v dy) + i(x(b),y(b))Z(x(a),y(a))

(u dy+ v dx)

Propiedades

RCf(z)dz=

RC

f(z)dz.

SeaC=C1+ C2, RC

f(z)dz= RC1

f(z)dz+ RC2

f(z)dz.


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34

RC f(z)dz=

RC

f(z)dz.

RC[f(z) + g(z)]dz=

RCf(z)dz+

RCg(z)dz.

R

Cf(z)dz

bRa

|f(z(t)) z0(t)| dt M L donde |f(z)| M sobre la curva C yLes la longitud deC.

Ejercicio 13 Integrales de contornos.

1. Calcular las siguientes integrales utilizando la definicin:

(a)R

|zz0|=R

dzzz0 ,

(b)RC

1.dz dondeCes el segmento que une los puntos z1yz2.

2. Seafuna funcin continua a tramos sobre un contornoC :z=z(t), t [a, b].Sea R =

RC

f(z)dz

y = Arg

RC

f(z)dz

, es decir:

RC

f(z)dz = R.ei.

Muestre que:

(a) R=RC

eif(z)dz

(b) Im

RC

eif(z)dz

= 0

(c) Re

RC

eif(z)dz

=

bRa

Re

eif(z(t))z0(t)

dt= R

(d) 0 R=RC

f(z)dz

b

Ra|f(z(t))| |z0(t)| dt M.L

donde M=maxt[a,b]

|f(z(t))|y L =bRa

|z0(t)| dt

Definicin 48 Un dominio simplemente conexoD, es un dominio tal que todo

contorno cerrado simple dentro de l, encierra slo puntos deD.

Definicin 49 Un dominio que no es simplemente conexo se llamamltiplemente

conexo.


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35

Teorema de la Integral de Cauchy

Teorema 27 Sif(z)es analtica yf0(z)es continua en un dominioD simplemente

conexo y acotado, entonces para toda curva cerrada simple enD,

ZC

f(z)dz= 0

Teorema de Cauchy-Goursat

Teorema 28 Si una funcin f es analtica en todos los puntos interiores de un

contorno cerrado simpleCy sobre los puntos deCentoncesZC

f(z)dz= 0

Ejercicio 14 Teorema de Cauchy.

1. Demuestre el Teorema de Cauchy (27) [sug. utilice el teorema de Green y lasecuaciones de Cauchy-Riemann].

2. Sea D un dominio simplemente conexo yfuna funcin analtica en D. Sean

C1 yC2 dos curvas contenidas enD que unen dos puntos cualesquieraz1 yz2

enD. Como indica la figura:

z1

z2

D

Muestre que:RC1

f(z)dz=RC2

f(z)dz=Rz2z1

f(z)dz.

3. Use el ejercicio anterior y el ejercicio13 para probar que si f(z) = 1

ZC1 dz= ZC2 dz= Z z2

z1

dz=z2 z1


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36

4. Seafuna funcin analtica en la regin comprendida entre las curvas cerradas

simples C1 yC2 y sobre las mismas, como indica la figura:

C1

C2

Muestre a partir del Teorema de Cachy queRC1 f(z)dz=

RC2 f(z)dz.

[Sug. considere las curvas ,o 1y 2 como muestran las figuras].

2

1

5. Sea Cuna curva cerrada simple que encierra al punto z0 en sentido positivo.

CalculeRC

dzzz0 , [recuerde el resultado del ejercicio13].

6. De manera similar al ejercicio anterior muestre que sifes analtica en la regin

comprendida entre las curvasC,C1 yC2,y sobre las mismas (como indica la

regin sombreada de la figura)

ZC

f(z)dz=

ZC1

f(z)dz+

ZC2

f(z)dz

C1

C2

C


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37

Teorema de Cauchy para dominios mltiplemente conexos

Teorema 29 Supongamos que

Ces un contorno cerrado simple con orientacin positiva.

Ck (k = 1, 2,...,n) denota un nmero finito de contornos cerrados simples

orientados positivamente, interiores aCy cuyos interiores no tienen puntos

en comn.

Si una funcinfes analtica en la regin cerrada formada por los puntos inte-riores aCo del propioC, excepto en los puntos interiores a cadaCk, entonces

ZC

f(z)dz=k=nXk=1

ZCk

f(z)dz

Primitivas

Teorema 30 Sea f(z) una funcin continua en un dominio D (puede ser mult.

conexo). Si cualquiera de estas afirmaciones es verdadera, lo son tambin las dems:

f(z) tiene una primitivaF enD.

las integrales defa lo largo de contornos contenidos enD que unen dos puntos

fijosz1 yz2 tienen todas el mismo valor (F(z2) F(z1)).

las integrales def a lo largo de cualquier contorno cerrado contenido en D

tienen todas el mismo valor (cero).

Teorema 31 Sif(z) es analtica en un dominio simplemente conexo D, entonces:

Rz2z1

f(z)dzes independiente del contorno de integracin en el dominio D.

f(z) tiene primitiva enD.

una primitiva def esF(z) = Rz

z0f(z)dz.


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38

Rz2z1

f(z)dz=F(z2) F(z1).

Ejercicio 15 Seafuna funcin continua en un dominio D.

1. Muestre que si existe una primitivaF def enD entonces

Z z2z1

f(z)dz=F(z2) F(z1)

[este es un resultado muy prctico para el clculo de integrales por primitivas].

2. Sea la integral de f independiente del contorno en D, es decir si C1 y C2

son dos curvas cualesquieras, que unen dos puntos z1 y z2 en D, entoncesRC1

f(z)dz=RC2

f(z)dz=Rz2z1

f(z)dz. Muestre que

(a) Para unz0 dado enD, el valor deRzz0

f(s)dses nico para cada z D.

(b) F(z) =

Rz

z0f(s)dses una funcin definida enD.

(c) W =F(z+ z) F(z) = Rz+zz f(s)ds.(d) z=

Rz+zz

ds [use ejercicio13].

(e) Wz

f(z) = 1z

hRz+zz

f(s)ds f(z)zi

= 1z

hRz+zz

f(s)ds Rz+zz

f(z)dsi

(f) Wz

f(z) =Rz+zz

(f(s)f(z))dsz

(g) Dado > 0,siempre existe un ()> 0 tal que:

i. |f(s) f(z)|< siempre que|s z|< ii.Wz

f(z)< siempre que|z|<

(h) limz0

Wz

=f(z) F0(z) =f(z) z D (Fes una primitiva de f enD).

3. Si ademsD es simplemente conexo yfes analtica en D,probar el teorema

31utilizando el teorema de Cauchy y el30.


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39

Frmula Integral de Cauchy

Teorema 32 Seafanaltica en el interior y en los puntos de un contorno cerrado

simpleC, orientado positivamente. Siz0 es un punto interior aC, entonces

f(z0) = 1

2i

ZC

f(z)

z z0dz

f(n)(z0) = n!

2i

ZC

f(z)

(z z0)n+1dz n= 1, 2,...

Teorema 33 Una funcin analtica tiene derivadas de todo orden y son todas ana-

lticas.

Ejercicio 16 SeaD un dominio simplemente conexo y fanaltica en D.SeaCun

contorno cerrado simple, con orientacin positiva, contenido en D, que encierra un

puntoz0 en su interior. SeaC0 un crculo centrado en z0 de radio suficientemente

pequeo para quedar contenido ntegramente dentro del contornoC. Muestre que:

1.RC

f(z)zz0dz=

RC0

f(z)zz0 dz.

2.RC0

1zz0dz= 2i.

3.RC

f(z)zz0dz 2i f(z0) =

RC0

f(z)zz0dz f(z0)

RC0

dzzz0 .

4. RC f(z)zz0dz2i f(z0) = RC0 f(z)f(z0)zz0 dz.

5. 0R

Cf(z)zz0 dz 2i f(z0)

, donde es un nmero arbitrariamente pe-

queo.

6.RC

f(z)zz0dz= 2i f(z0)


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40

Teorema de Morera

Teorema 34 Si una funcinfes continua en un dominio D simplemente conexo

y siRC

f(z)dz = 0 para todo contorno cerrado C contenido en D, entonces f es

analtica enD.

Teorema de Liuville

Teorema 35 Sifes analtica y acotada en mdulo para todazdel plano complejo,

entoncesf(z) es constante.

Ejercicio 17 Derivadas de funciones analticas, teorema de Morera, principio del

mdulo mximo.

1. A partir de la Frmula Integral de Cauchy para las derivadas demuestre el

teorema 33.

2. Demuestre el teorema de Morera, utilice los teoremas30y 33.

3. Seafanaltica en un entorno de un punto z0,|z z0|< .

(a) Muestre que si una funcin es analtica dentro y sobre un crculo dado,

su valor en el centro es la media aritmtica de sus valores sobre el crculo

(teorema del valor medio de Gauss), es decir

f(z0) = 12

2R0

f(z0+ ei) d, donde < . x

z0

[sug. utilice la frmula integral de Cauchy].


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41

(b) Sea z0 un punto tal que |f(z)| |f(z0)|, para todo z en ese entorno.Muestre:

i. |f(z0)| 122R0

f(z0+ e

i)

d.

ii. |f(z0)| 122R0

f(z0+ e

i)

d.

iii.2R0

|f(z0)|

f(z0+ ei)

d= 0.

iv. |f(z)|= |f(z0)|para todo punto del crculo |z z0|= .v. |f(z)|= |f(z0)|para todo punto del entorno.

vi. Si f es analtica en un dominio D, y |f(z)| = c es constante en

D, entonces fes constante. (usar ecuaciones de Cauchy-Riemann y

notar quef(z) =c2/f(z)).

vii. Lema: Sea f una funcin analtica en un entorno de un punto z0,

|z z0|< , si|f(z)| |f(z0)|, para todozen ese entorno, entoncesfes constante.

4. Use el lema anterior para probar elprincipio del mdulo mximo:

Si una funcin fes analtica y no constante en un dominioD,|f(z)|no tiene

valor mximo en D.


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42

Sucesiones y series

Definicin 50 Una sucesin de nmeros complejos es una funcin deN C.

Definicin 51 Una sucesinzn es convergente si tiene lmitez, es decir para cada

> 0, existe un nmero naturalN0 tal que|zn z|< n > N0,

limn

zn = z zn z.

Teorema 36 Supongamos quezn = xn+ i yn, yz= x + i y. Entonces

limn

zn = z

limn

xn = x

limn

yn = y

Propiedades de lmites de sucesiones:

1. Seanzn ywn dos suceciones convergentes tales que zn zywn w. Enton-ces:

(a) an= zn+ wn tambin es convergente y an z+ w.

(b) bn= zn wn tambin es convergentebn z w.

(c) Sizn 6= 0para todon, yz6= 0;cn= 1

zntambin es convergente ycn1

z.

(d) Toda subsucesin dezn tiene lmitez.

2. Toda sucesin convergente es acotada.

3. limn

zn= z limn

|zn|= |z| .

4. limn

zn= 0 limn

|zn|= 0.

5. limn

zn= 0 y|wn|< Mpara todon = limn

zn wn= 0.

6. Si limn

zn = zy limwz

f(w) =c limn

f(zn) =c.


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43

Definicin 52 Una serie de nmeros complejos

Pn=1zn =z1+z2+ +zn+ ,

converge con sumaS, si la sucesin

SN=NX

n=1

zn=z1+ z2+ + zN

de sumas parciales converge aS.

Teorema 37 Supongamos quezn = xn+ i yn, yS=X+ i Y

Xn=1

zn= S

Pn=1

xn

=X

Pn=1

yn=Y

En consecuencia una condicin necesaria para la convergencia de la serie es que

limn

zn= 0.

Definicin 53 Una serie

Pn=1 zn es absolutamente convergente si la serie

Pn=1 |zn|denmeros reales es convergente.

Teorema 38 SiPn=1

|zn| es convergente entoncesPn=1

zn tambin es convergente.

Si la serieP

|an|converge se dice que la serieP

anconverge absolutamente.

Si la serieP

an converge y la serieP

|an|diverge entonces se dice que la serie

Pan converge condicionalmente.

La suma de una serie absolutamente convergente no depende del orden de sus

trminos.

SiP

an yP

bn son series convergentes con suma A y B respectivamente,

entonces:

P

(an+ bn) converge y su suma es A + B.

Sices un nmero complejo,P c an converge y su suma es c A.


46/123

44

Criterio de Dirichlet.

Si la sucesin de nmeros reales a1, a2, . . . , an, . . . tiende montonamente a cero yPzn tiene sumas parciales acotadas (zn es una sucesin compleja,

PN1 zn

k,

independiente deN), entonces la seriePn=1

anzn es convergente.

Series de funciones

Definicin 54 Una serie de funciones es una serie cuyos trminos son funciones

de una variable compleja definida en una reginD del plano complejo

Xn=1

fn(z).

fn:D C

Sucesin de funciones de sumas parciales: SN(z) =NP

n=1

fn(z).

Regin de convergencia: es el conjunto de puntos RC D, para los cuales laserie converge, es decir dondeSN(z)tiene lmite.

Funcin suma: S(z) = limn

SN(z),en la regin de convergencia.

Resto de la serie: RN(z) =S(z) SN(z), en la regin de convergencia.

Convergencia uniforme.

Definicin 55 Se dice que la serieP

fn(z) converge uniformemente en la regin

M, si dado > 0, existe un nmero naturalN(), tal quen > N yz M

|Rn(z)|< .


47/123

45

Criterio de Weierstrass

Si existen nmeros positivos a1, a2, . . . , an, . . . tales que para todos los z de un

subconjuntoMde la regin de convergencia RCde la serieP

fn(z),

|fn(z)| an ny z M RC,

yPn=1

an es convergente, entonces la serieP

fn(z) es absoluta y uniformemente

convergente en M.

Teorema 39 Si los trminos de una serie de funcionesP

fn(z) son continuos en

un dominio y la serie converge uniformemente en ese dominio, entonces la suma de

la serie es una funcin continua dezen ese dominio.

Series de Potencias

Definicin 56 Una serie de potencias es una serie de funciones con la siguiente

estructura:

Xn=0

an(z z0)n =a0+ a1(z z0) + + an(z z0)n +

dondez0 y los coeficientescn son constantes complejas yzcualquier punto del plano

complejo.

Si an 6= 0

n

N,y existe lim

n

|an+1|

|an

| = 1

R, la serie de potencias converge abso-

lutamente en el crculo|z z0|< Ry diverge absolutamente cuando|z z0|>R.

Radio de convergencia: Frmula de Cauchy-Hadamard: 1R = limsup |an|n

1/n.


48/123

46

Ejercicio 18 Seafuna funcin analtica en un disco abierto centrado en z0 y de

radioR0, yC :s(t) =z0+r0eit, 0 t 2, conr0 < R0. Seazun punto interior

al crculoC, es decir|z z0|< r0, muestre que:

1. f(z) = 12i

ZC

f(s)

s zds.

2. f(z) = 12i Z

C

f(s)

s z0

1

1z z0s z0

ds.

3. 1

1 w = 1 + w+ + wN +

wN+1

1 w

4. f(z) = 12i

ZC

f(s)

s z0

1 + z z0

s z0 + +

z z0s z0

N+

z z0s z0

!N+1

1z z0s z0

ds.

5. f(z) =f(z0) + f0(z0)(z

z0) + +

f(N)(z0)

(N)! (z

z0)

N + N(z),

conN(z) = (zz0)N+1

2i

ZC

f(s)

(s z)(s z0)N+1ds.

6. limN

N(z) = 0.

7. f(z) =Pn=0

f(n)(z0)

n! (z z0)n.

Teorema de Taylor

Teorema 40 Seaf una funcin analtica en un disco abierto |z z0| < R0. En-tonces en todo punto z de ese disco f(z) admite la representancin en serie de

potencias:

f(z) =

Xn=0

an(z z0)n


49/123

47

dondean=f(n)(z0)

n! .

La serie de potencias converge a f(z)cuando|z z0|< R0.

Cuandoz0 = 0 se llama serie de Maclaurin.

La serie converge a f(z) dentro del crculo centrado en z0 cuyo radio es la

distancia dez0 al punto z1 ms prximo en el quefdeje de ser analtica.

Convergencia absoluta y uniforme de las series de potenciasTeorema 41 Si una serie de potencias

Pn=0

anzn converge cuando z=z1, (z1 6= 0)

es absolutamente convergente en todo punto del disco abierto |z|< |z1| .

El conjunto de puntos interiores a algn crculo en torno al origen es la regin

de convergencia.

El mayor crculo centrado en el origen tal que la serie converge en todos los

puntos interiores se llama crculo de convergencia.

La serie no puede converger en ningn punto z2 exterior a ese crculo pues si

lo fuera sera convergente dentro de un crculo mayor.

Teorema 42 Siz1 es un punto interior al crculo de convergencia|z|= R, de una

serie de potenciasPn=0

anzn, entonces esa serie es uniformemente convergente en el

disco cerrado |z|

R1, dondeR1 = |z1|< R.

La suma de la serie es una funcin continua en todo punto interior al crculo

de convergencia.


50/123

48

Integracin y derivacin de series de potencias

Ejercicio 19 SeaPn=0

anzn una serie de potencias con crculo de convergencia |z| 1R

.


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50

2. Extienda los teoremas41,42,43 y45para el caso general de z0 6= 0.

Unicidad de las representaciones en series de Potencias

Teorema 46 Si una seriePn=0

an(z z0)n converge af(z)en todo punto interior aalgn crculo, entonces es la serie de Taylor defen potencias dez z0.

Series de LaurentTeorema 47 Seaf una funcin analtica en un dominio anularR1 < |z z0| m, el punto singular aislado sellama polo de orden m. Sim= 1 se llama polo simple.

2. Si la parte principal de f en z0 tiene infinitos trminos no nulos, se llama

punto singular esencial.


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53

3. Si todos los coeficientesbn de la parte principal defen son cero, el punto z0

se llama punto singular evitable. Si se definef(z0) =a0 la funcin pasa a

ser analtica enz0.

Teorema de los residuos

Teorema 48 SiCes un contorno cerrado simple, positivamnete orientado, sobre y

dentro del cual una funcinfes analtica a excepcin de un nmerofinito de puntos

singulareszk (k= 1, 2, . . . , n) interiores aC, entonces

ZC

f(z)dz= 2 inX

k=1

Resz=zk

f(z).

Ejercicio 22 Demuestre el teorema de los residuos [sug. utilice teorema 29]

Ceros y polos de orden m

Definicin 60 Sifes analtica enz0, f(z0) = 0, y existe un entero positivo m, tal

quef(m)(z0)6= 0 y todas las derivadas de orden inferiores am se anulan enz0, se

dice quef tiene un cero de ordenmenz0. Adems se puede expresar

f(z) = (z

z0)

mg(z)

dondeg es analtica enz0 yg(z0)6= 0.

Lema 3 ftiene un polo de ordenmenz0, si y slo si, puede expresarse como

f(z) = (z)

(z z0)m,


56/123

54

donde es analtica enz0 y(z0)6= 0. Los coeficientes de la parte principal enz0

verifican

bk =(mk)(z0)

(m k)! .

Esta frmula es de gran utilidad en el clculo de residuo en polos pues

b1 = (m

1)(z0)

(m 1)!

= 1

(m1)! limzz0

dm1

dzm1((z z0)m

f(z)) ,

sim= 1, b1 = limzz0

(z z0)f(z).

Tambin es muy til en la descomposicin en fracciones parciales de una fun-

cin racionalR(z) = P(z)Q(z)

,

R(z) =r

Xj=1mj

Xk=1bk(zj)

(z

zj)k

= b1(z1)

z z1+

b2(z1)

(z z1)2+ +

b1(zr)

z zr+

b2(zr)

(z zr)2+ +

bmr(zr)

(z zr)mr,

donde P y Q son polinomios y el grado de P es menor que el grado de Q,

Q tiene r ceros distintos zj de orden mj y no tiene ceros en comn con P.

Los coeficientes de las fracciones se pueden calcular utilizando la frmula de

la definicin anterior, sea j(z) = (z zj)mjR(z) para z6=zj y j(zj) = limzzj

(z zj)mjR(z)

bk (zj) =

(mjk)j (zj)

(mj k)!

= 1(mjk)! limzzj

dmjk

dzmjk((z zj)mjR(z))


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55

Teorema de Picard

Teorema 49 En todo entorno de un punto singular esencial, una funcin alcanza

todo valorfinito, con una nica posible excepcin, un nmero infinito de veces.

Ejercicio 23 Seaz0 un punto singular aislado de f.

1. Probar que:

(a) limzz0 f(z) existe z0 es punto singular evitable de f.(b) lim

zz0f(z) = z0 es polo def.

(c) limzz0

f(z) no existez0 es punto singular esencial de f.

2. Seak un entero, k 0, usando el Lema 3 muestre que:

z0 es polo de orden m def limzz0

(z z0)kf(z) =

k < m(z0)6= 0 k= m

0 k > m

Teorema 50 Los ceros de una funcin analtica (no nula) son aislados.

Lema 4 Sif(z) = 0 en todo punto zde un dominio o arco que contiene un punto

z0, entoncesf(z) 0en cualquier entornoN0 dez0,en el quefsea analtica. Estoesf(z) = 0 en todo punto deN0.

Teorema 51 Si una funcinf es analtica en un dominio D yf(z) = 0 en todo

punto de un dominio o arco interior aD, entoncesf(z) 0 enD.

Prolongacin Analtica

Definicin 61 Dos funciones analticas: f1 definida en el dominio D1 yf2 definida

en el dominio D2 se dicen que sonprolongaciones analticasuna de la otra si

D1 D2 6= yf1(z) =f2(z) enD1 D2.


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56

Ejercicio 24 Ceros - Regla de Lhopital - residuos - descomposicin en

fracciones parciales

1. Seanf(z)y g(z)funciones analticas en un dominioD. Muestre que sif(z) =

g(z) en todo punto de un dominio o arco interior a D, entonces f(z) g(z)enD.

2. Sean f(z) y g(z) funciones analticas ambas con un cero en z0. Analizar lasingularidad que presentan las funciones f(z)

g(z) y f

0(z)g0(z)

en el punto z0 y probar

que limzz0

f(z)g(z)

=limzz0

f0(z)g0(z)

,si este ltimo existe.

3. Sea C un contorno cerrado simple que encierra un nico polo de una fun-

cin f(z) en sentido antihorario. Comparar la forma de resolver la integralRC

f(z)dzutilizando la Frmula Integral de Cauchy y el Teorema de los Resi-

duos.

4. Descomponer en fracciones parciales utilizando residuos:

(a) z+ 12

z2 + 4z

(b) 2

z2(z+ 1)

(c) 10 4z(z 2)2

(d) z+ 2z2 + 1


59/123

57

Transformada de Laplace

Bibliografa:


Matemticas avanzadas para ingeniera 1. Kreyszig, Erwin. (517. K889-1/

517. K889).

Transformadas de Laplace. Spiegel, Murray R. (517.7 Sp43-1)

Teora y problemas de matemticas superiores para ingenieros y cientficos.

Spiegel, Murray R.(510 Sp43)

Modern operational mathematics in engineering. Churchill, Ruel V. (517.7

C473/ 517.7 C473-1a2)

Functions of a complex variable. Moretti, Gino.(517.8 M818)

Definicin 62 Seaf : R+ R, es decir una funcin real definida para t 0. Sila integral

R0

estf(t)dt, existe donde s puede ser real o complejo, se define una

funcin des

F(s) =

Z0

estf(t)dt.

La funcinF(s) se llama transformada de Laplace de la funcin originalf(t) y se

denota porL{f(t)}, entonces

F(s) =L{f(t)}=

Z0

estf(t)dt.

La funcin originalf(t)se conoce como transformada inversa o inversa deF(s),

es decir

f(t) =L1{F(s)}.


60/123

58

La funcin original tambin puede ser una funcin compleja de variable real, es

decirf : R+

C , f(t) =fr(t) +i fi(t). La transformada de Laplace en este caso

se define del mismo modo

F(s) =

Z0

estf(t)dt=

Z0

est (fr(t) + i fi(t)) dt.

Notacin: las funciones originales se denotan mediante letras minsculas y sus

transformadas por las mismas letras en mayscula.

Teorema 52 Si la integralR0 e

st

f(t)dt converge absolutamente paras =

0 en-tonces la integral converge absoluta y uniformemente para todo Re(s) 0.

Abscisa de convergencia

Definicin 63 El nmero es la abscisa de convergencia absoluta si la integral

de Laplace converge absolutamente para Re(s) > y diverge absolutamente para

Re(s)< .

Definicin 64 El nmero 0 es la abscisa de convergencia si la integral de Laplace

converge paraRe(s)> 0 y diverge paraRe(s)< 0.

Orden Exponencial

Definicin 65 Sea f : R R y R diremos que f es de orden exponencialcuando t si existen constantes positivasM yT tales que

|f(t)| Met t > T

et |f(t)| M t > T

y escribimosf=O(et).


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59

Lema 5 Si limt

etf(t) existe entoncesf=O(et).

Ejercicio 25 Probar que1, t,tn, sen t,cos t,eat, eit,son de orden exponencial yet2

no es de orden exponencial.

Condiciones para la existencia de la Transformada de Laplace

Teorema 53 Si

f(t) es continua a tramos en0 t < .

f(t) es de orden exponencial, f=O(et).

EntoncesF(s)existe paraRe(s)> .Es decir la abscisa de convergencia0 es

menor o igual a.

Analiticidad de la Transformada de Laplace

Lema 6 Sif(t) es de orden exponencialf=O(e0t) entoncestf(t) =O(et) para

todo > 0.

Teorema 54 Si f(t) es continua a tramos y de orden exponencial f = O(e0t),

entonces F(s) = L{f(t)} es analtica y converge absoluta y uniformemente con

respecto as en el semiplano Re(s)> 0. AdemsF0(s) = L{tf(t)}.

Funcin de Heaviside o escaln unitario

h(t) =

0 sit 0


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60

Conjunto de funciones transformables segn Laplace

T L = {f(t) :fcontinua a tramos y de orden exponencial, f(t) = 0t 0.

Si dos funcionesf(t)yg(t)tienen la misma transformada de Laplace, entonces

f y g toman los mismos valores en todo los puntos t > 0 donde ambas sean

continuas.

Teorema 56 Sif(t)es de orden exponencialO(et)y continua a tramos, entonces

limRe(s)+

Im(s)=0

F(s) = 0

y |sF(s)| K cuandoIm(s) = 0 yRe(s) .

Ejercicio 27 Pruebe los siguientes items:

1. Lema6,Teoremas 53, 54, y 56.

2. L{h(t)}= L{1}.


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61

3. Sobre el conjunto de funcionesT LC ={f(t) :fcontinua y de orden exponen-

cial,f(t) = 0

t p

g(t) G(s) Re(s)> q

Linealidad

Para, C: f(t) + g(t) F(s) + G(s) Re(s)> max(p, q)

Traslacin

Para C:

et f(t) F(s ) Re(s)> p + Re()Paraa >0:

h(t a)f(t a) easF(s) Re(s)> pCambio de escala

Paraa >0:

f(at) 1a

F( sa

) Re(s)> a p

Derivadas

f(n)(t) snF(s) sn1f(0) f(n1)(0) Re(s)> p(1)ntnf(t) F(n)(s) Re(s)> p

IntegralesRt0

f(t)dt 1s

F(s) Re(s)> max(p, 0)

Si limt0

f(t)t

f(t)t

Rs

F(u)du Re(s)> p


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62

Ejercicio 28 Pruebe las propiedades anteriores para valores de s que estn sobre

una semirecta en el eje real y luego extindalas por prolongacin analtica sobre todo

el semiplano de la regin de convergencia.

Funciones Peridicas

Teorema 57 Seaf(t) peridica, de periodo T, es decirf(t+T) =f(t), t > 0. Si

fes continua a tramos en el periodo 0 t T, su transformada existe y podemosescribir

F(s) = 1

1 esTZ T0

es tf(t)dt.

Propiedades asintticas

Teorema 58 Teorema del Valor Inicial. Sif yf0 son continuas a tramos y de

orden exponencial, L{f(t)}= F(s) y existe el limRe(s)+

Im(s)=0

sF(s), entonces

f(0) = limRe(s)+

Im(s)=0

sF(s).

Teorema 59 Teorema del Valor Final. Si f y f0 admiten transformada de

Laplace paraRe(s)> 0 yL{f(t)}= F(s), si existe limt

f(t), entonces

lims0

sF(s) = limt

f(t).


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63

Producto de Convolucin

Definicin 66 El producto de convolucin entre dos funciones f(t) y g(t) (cuya

notacin esf g) se define mediante la integral R+ f(u)g(t u)du, sin embargoen el caso de utilizarse en aplicaciones junto a la transformada de Laplace, o bien

porque se considera que f(t), g(t) y (f g)(t) son nulas para t < 0, o estn slodefinidas en(0, +), la integral resulta con los siguientes extremos:

(f g)(t) =Z t0

f(u)g(t u)du t >0.

Propiedades

f g= g f

(f g) v= f (g v)

f (g1+ g2) =f g1+ f g2

Teorema de Convolucin

Teorema 60 Sif(t) yg(t) son las transformadas inversas deF(s) yG(s) respec-

tivamente, la transformada inversa del productoF(s)G(s)es la convolucin def(t)

yg(t).

Resolucin de ecuaciones diferenciales.

La transformada de Laplace provee un mtodo para resolver ecuaciones diferenciales

(lineales con coeficientes constantes) y los correspondientes problemas con condicio-

nes iniciales o con valores en la frontera. El proceso de resolucin consta de tres

pasos principales:

1. El problema complejo de resolver una ecuacin diferencal o un sistema de

ecuaciones diferenciales se transforma, utilizando la propiedad de las derivadas,

en un problema ms sencillo de resolver una ecuacin algebraica o un sistema

algebraico lineal.


66/123

64

2. Se resuelve el problema haciendo manipulaciones algebraicas.

3. La solucin del sistema algebraico se transforma en sentido inverso para obte-

ner la solucin del problema dado.

En la mayora de las aplicaciones consideradas en este curso se obtienne una

solucin de la forma Y(s) = P(s)Q(s)

,donde P y Q son polinomios en s. En tal caso

es posible determinar la solucin y(t) = L1{Y(s)}, expresando primero Y(s) en

trminos de fracciones parciales, y luego antitransformando. A este mtodo se lo

llama: Desarrollo de Heaviside.


67/123

65

Series de Fourier

Bibliografa


Series de Fourier y problemas de contorno. Churchill, Ruel V. (517.2. C473-

1).

Introduccin al clculo y al anlisis matemtico. Courant, Richard; John,

Fritz., vol. 1(517. C833).

Matemticas avanzadas para ingeniera. 2. Kreyszig, Erwin. Limusa. Mxico.

(517. K889-2 / 517. K889-1/517. K889).

Definicin 67 Una funcin real, f : R R es peridica, de periodo T, si verificaf(x) = f(x + T),x R, y el valor= 2

T se denomina frecuencia.


1. Las funcionessen x ycos x son funciones peridicas de periodo T = 2, y las

funcionescos nxL

ysen nxL

tienen periodo T = 2L y frecuencia = L

.

2. Sif(x) es una funcin peridica de periodo T , para cualquier constante arbi-

traria a Z T0

f(x)dx=

Z a+Ta

f(x)dx=

Z T/2T/2

f(x)dx

Definicin 68 Una funcin real, f : R R es par, si verifica f(x) = f(x),x R.


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66

Definicin 69 Una funcin real, f : R Resimpar, si verificaf(x) = f(x),

x

R.

Definicin 70 Seafuna funcin cuyo lmite a derechaf(x+0) existe en el punto

x0. La derivada a derecha se define como sigue:

f0D(x0) = lim0+

f(x0+ ) f(x+0)

cuando el lmite existe.

Definicin 71 Seafuna funcin cuyo lmite a izquierdaf(x0) existe en el punto

x0. La derivada a izquierda se define como sigue:

f0I(x0) = lim0+

f(x0) f(x0 )

cuando el lmite existe.

Si existe f0(x0), entonces existen ambas derivadas laterales y son iguales,

f0(x0) =f0D(x0) =f0I(x0).

Series de Fourier

Definicin 72 La serie trigonomtrica

1

2a0+

Xn=1

(ancos nx + bnsen nx)

o bien en notacin compleja

Xn=

neinx

es la serie de Fourier de una funcinf(x) si sus coeficientes vienen dados por las

frmulas

a0 = 1

Z

f(x) dx,


69/123

67

an = 1

Z

f(x)cos nx dx n= 1, 2,...

bn = 1

Z

f(x)sen nx dx n= 1, 2,...

n = 1

2

Z

f(x)einxdx n= 0, 1, 2,...

dondefes alguna funcin definida en el intervalo (,).

El trmino a02

=0 es el valor medio de f(x)en el intervalo(

,).

Cada uno de los trminos de la serie es peridico en x con periodoT= 2.

n=an i bn

2 paran >0.

n= n.

La serie de Fourier tiene dos aplicaciones fundamentales:

1. Representar una funcin definida en el intervalo (,).2. Representar una funcin peridica, con periodo 2 para todos los

valores de x.

Teorema 61 Seafuna funcin continua a tramos en el intervalo [,]y peridi-ca de periodo 2. Entonces su serie de Fourier converge al valor

f(x+0) + f(x0)

2

en todos los puntosx0 dondef tenga derivada a derecha y a izquierda.

La convergencia de la serieP

n=ne

inx,significa la existencia del lmite de la

suma parcial

SN(x) =N

Xn=Nne

inx =1

2a0+

N

Xn=1(ancos nx + bnsen nx)


70/123

68

Si las extensiones peridicas de f(x) yf0(x) son continuas a tramos, la serie

de Fourier de fes convergente para todox real.

Condiciones de Dirichlet

Si bien de acuerdo al teorema anterior la serie de Fourier converge si f(x) y f0(x)

son continuas a tramos, puede demostrarse tambin para condiciones mucho ms

generales. Sin embargo, el resultado formulado es suficiente para la mayora de

las aplicaciones. Las condiciones ms generales se conocen como Condiciones de

Dirichlet.

Definicin 73 Una funcinf(x) se dice que satisface las condiciones de Dirichlet

en un intervalo (a, b), en el cual est definida cuando satisface una de estas dos

condiciones:

1. f(x)es acotada en(a, b),y el intervalo puede ser partido en un nmero finito

de intervalos abiertos parciales, en cada uno de los cuales f(x)es montona (

ftiene un nmero finito de mximos y mnimos en (a, b)).

2. f(x)tiene un nmero finito de puntos de discontinuidad infinita en el intervalo

(a, b). Cuando se excluyen pequeos entornos alrededor de estos puntos,f(x)

es acotada en el resto del intervalo y ste puede ser partido en un nmero finito

de intervalos abiertos parciales, en cada uno de los cuales f(x) es montona.

Adems la integral Rb

af(x)dxes absolutamente convergente.

Serie de Cosenos

Cuando fes una funcin par en el intervalo (,)sus coeficientes tienen valores

a0 = 2

Z 0

f(x) dx,

an = 2

Z

0

f(x)cos nx dx n= 1, 2,...


71/123

69

bn = 0 n= 1, 2,...

Por lo tanto su serie de Fourier se reduce a

a02

+Xn=1

ancos nx.

Es la serie de Fourier de cosenos. Sirve para:

1. Representar funciones pares definidas en el intervalo (,).

2. Representar funciones peridicas pares de periodo 2.

3. Representar funciones definidas en el intervalo (0,).

Serie de Senos

Cuandofes una funcin impar en el intervalo (,)sus coeficientes tienen valores

a0 = 0,

an = 0 n= 1, 2,...

bn = 2

Z 0

f(x)sen nx dx n= 1, 2,...

Por lo tanto su serie de Fourier se reduce a

Xn=1

bnsen nx.

Es la serie de Fourier de senos. Sirve para:

1. Representar funciones impares definidas en el intervalo (,).

2. Representar funciones peridicas impares de periodo 2.

3. Representar funciones definidas en el intervalo (0,).


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70

En consecuencia si una funcin f(x) est definida solo en el intervalo [0,],

podemos extenderla al intervalo [,] ya sea como una funcin par o como

una funcin impar y desarrollar en una serie de cosenos o una serie de senos

que represente a f(x)en la mitad del intervalo.

Teorema 62 Si una funcinfes peridica con periodoT = 2L,continua a tramos

en[L, L], tiene como representacin la serie

f(x) va02

+

Xn=1

ancosnx

L + bnsen

nx

L

a0 = 1

L

Z LL

f(x) dx

an = 1

L

Z LL

f(x)cosnx

L dx n= 1, 2,...

bn = 1

LZ

L

L

f(x)sennx

L

dx n= 1, 2,...

o bien en la forma exponencial

f(x) X

neinxL

donde

n= 1

2LZ

L

L

f(x)einxL .

La serie converge a f(x+

0)+f(x

0)

2 en todos los puntos x0 donde f tenga derivada a

derecha y a izquierda.



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71

1. Sifes peridica con periodoT = 2Ly un nmero real cualquiera, entonces

a0 = 1L

Z +2L

f(x) dx

an = 1

L

Z +2L

f(x)cosnx

L dx

bn = 1

L

Z +2L

f(x)sennx

L dx

2. Los coeficientes de Fourier de una suma de funciones f1+ f2 son las sumas de

los coeficientes correspondientes af1 yf2.

Simetras

En cualquier funcin peridica con perido T = 2L se puede demostrar que hay

condiciones de simetra que permiten establecer la existencia o no de determinados

trminos en la serie de Fourier, lo que ahorra trabajo en el clculo.

Funcin impar: f(x) = f(x),slo tienen trminos en senos, a0=an= 0y

bn= 2

L

Z L0

f(x)sennx

L dx

para n = 1, 2,...; es decir dos veces la integral sobre la mitad del intervalo.

Ademsn es imaginario puro.

Funcin par: f(x) =f(x), slo tienen trminos en cosenos y la constante.bn= 0y

an = 2

L

Z L0

f(x)cosnx

L dx


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72

para n = 0, 1, 2,...;es decir dos veces la integral de la mitad del intervalo.

Ademsn

es real.

Simetra de media onda: Se dice que hay simetra de media onda cuando

esf(x) = f(x L). Resulta que:

a0= 0,

para n par (n= 2k) :

a2k =b2k = 0,

y paran impar (n= 2k+ 1) :

a2k+1 = 2

L

Z L0

f(x)cos(2k+ 1)x

L dx,

b2k+1 = 2

L

Z L0

f(x)sen(2k+ 1)x

L dx,

para k = 0, 1, 2,...

El hecho de ser funcin par o impar nada tiene que ver con los ndices o frecuen-

cias armnicas pares o impares. Adems puede hacerse una funcin par o impar

mediante un cambio de ejes.

En resumen si una funcin es par, o impar, o tiene simetra de media onda,

ciertos coeficientes son cero y el clculo de los restantes puede hacerse integrando

sobre medio perodo y multiplicando el resultado por dos. Ms an, si la onda tiene

simetra de media onda y adems es par o impar, es suficiente integrar en un cuarto

del periodo y luego multiplicar por cuatro.


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73

Ejemplos: Sumas parciales de la serie:

Xk=0

4(2k+1)

sen(2k+ 1)x

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102

1

0

1

2

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102

1

0

1

2

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102

1

0

1

2

S1(x)

S3(x)

S5(x)

x

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102

1

0

1

2

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102

1

0

1

2

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 102

1

0

1

2

S10

(x)

S20

(x)

S100

(x)

x


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74

Sumas parciales de la serie: 2

+

Pk=0

4(2k+1)2

cos(2k+ 1)x

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

S1(x)

S3(x)

S5(x)

x

Sumas parciales de la serie:P

n=12(1)n

n sen nx

10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

1

0.5

0

0.5

1

x

f(x)

16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

0

0.5

1

Modulo

16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 163.14

1.57

0

1.57

3.14

Fase

[rad]


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Sntesis de ondas.

Las series de Fourier se pueden utilizar para sintetizar ondas peridicas como una

suma infinita de senoidales y/o cosenoidales de la frecuencia fundamental = L

y

sus multiplos (armnicos)n.Es decir dichas ondas se pueden aproximar mediante

la sumas parciales de su serie de Fourier. Por ejemplo, partiendo de la expresin de la

onda cuadrada desarrollada en serie y viendo grficamente sus sumas parciales como

muestran las figuras del ejemplo anterior, se puede apreciar como la aproximacin

comienza a ser mejor a medida que se incrementa la cantidad de trminos. Sin

embargo siempre permanece una ondulacin que semejan orejas a ambos lados

de la discontinuidad (fenmeno de Gibbs). Con el aumento de los trminos las

mismas se estrechan pero no disminuyen su amplitud que se establece en un 9% del

salto de la discontinuidad. La serie infinita, sin embargo, converge exactamente a la

funcin, excepto en la discontinuidad donde converge al punto medio de la misma.

Convergencia Uniforme

Teorema 63 Seafuna funcin continua en el intervalo [L, L], tal quef(L) =f(L) cuya derivadaf0 es continua a tramos en ese intervalo. Entonces la serie

a02

+Xn=1

ancos

nx

L + bnsen

nx

L

y la serie

X

neinx

L

convergen af(x) en el intervalo [L, L] absoluta y uniformemente.

La hiptisis de este teorema es equivalente a pedir que la extensin peridica

defsea continua para todas lasxy la derivada continua a tramos.


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Una serie de Fourier no puede converger uniformemente en un intervalo que

contenga alguna discontinuidad.

Ejercicio 31 Compare el teorma anterior (63) con el teorema (12 y 11) de conver-

gencia uniforme de serie de funciones reales y el test de Weierstrass.

Teorema 64 Sifes una funcin continua en el intervalo [L, L],tal quef(L) =f(L)yf0 es continua a tramos en ese intervalo, entonces la serie de Fourier def(x)

a02

+Xn=1

ancos

nx

L + bnsen

nx

L

X

neinxL

es derivable trmino a trmino en todo punto dondef0

(x) tenga derivada a derechay a izquierda, y

f0(x) Xn=1

n

Lansen

nx

L + n

Lbncos

nx

L

f0(x) X

inL ne

inxL .

Teorema 65 Sifes una funcin continua a tramos con derivada continua a tramosen el intervalo [L, L] y desarrollo en serie de Fourier (a0= 0)

f(x) Xn=1

ancos

nx

L + bnsen

nx

L

,

entonces

Z x

L

f(u)du A02

+

Xn=1

Lann

sennx

L Lbn

n cos

nx

L


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conA0= 1LR

L

L uf(u)du.

(Sia06= 0basta considerarg(x) =f(x) a0/2).

Identidad de Parseval

Teorema 66 Sif(x) es acotada e integrable en[L, L], an ybn los coeficientes deFourier def, entonces

1

LZ

L

Lf2(x)dx=

a20

2 +

Xn=1

a2n+ b2no bien

1

2L

Z LL

f2(x)dx=X

n=|n|

2 .

De la identidad de Parseval se observa que el valor RMS (medio cuadrtico) de

la onda total es la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores RMS de

sus componentes:

RMS(f(x)) =

s 1

2L

Z LL

f2(x)dx=

vuuta02

2+

Xn=1

an

2

2+

bn

2

2!

Documents

Guía de Definiciones y Teoremas Funciones de Variable Compleja - Guillermo Calandrini (UNS 2012)