of 130/130
Coo Silvia Brabeceanu, Nicolae Breaz Ioan Lung, Viorica Lungana, Bl Ovidiu-Marius Mândrican, Adri Csaba Oláh, Enache Paul, GHID D BACALAUR Profil: Real, Militar Specializare: Matematică – Inf Subiectele din această lu ordonator: Andrei Octavian Dobre zu, Delia Valentina Bulgăr, Georgiana Canache, Vi landina Maniţiu, Ştefan Florin Marcu , Corneliu M ian Muscalu, Gabriel Necula, Nicolae Nicolaescu, , Ileana Rîcu, Adrian Stan, Constantin Telteu, Iulian DE PREGATIRE ONLINE REAT 2011, MATEMATICĂ M www.mateinfo.ro formatic ă ucrare sunt realizate după modelul elaborat de Ploieşti, 2011 iorica Ciocănaru, Mănescu-Avram, Gabriela Nistor, na Traşcă M1 M.E.C.I.

GHID DE PREGATIRE ONLINE BACALAUREAT 2011, …florescu-nicolae.wikispaces.com/file/view/BAC+2011... · Bacalaureat Matematică M1(matematică – informatică) Modele de Subiecte

  • View
    325

  • Download
    21

Embed Size (px)

Text of GHID DE PREGATIRE ONLINE BACALAUREAT 2011,...

  • Coordonator: Andrei Octavian Dobre

    Silvia Brabeceanu, Nicolae Breazu, Delia Valentina Bulgr, Georgiana Canache, Viorica Ciocnaru,Ioan Lung, Viorica Lungana, Blandina Maniiu, tefan Florin Marcu , Corneliu Mnescu-Avram,Ovidiu-Marius Mndrican, Adrian Muscalu, Gabriel Necula, Nicolae Nicolaescu, Gabriela Nistor,

    Csaba Olh, Enache Paul, Ileana Rcu, Adrian Stan, Constantin Telteu, Iuliana Trac

    GHID DE PREGATIRE ONLINE

    BACALAUREAT 2011, MATEMATIC M1

    www.mateinfo.ro

    Profil: Real, Militar

    Specializare: Matematic Informatic

    Subiectele din aceast lucrare sunt realizate dup modelul elaborat de M.E.C.I.

    Ploieti, 2011

    Coordonator: Andrei Octavian Dobre

    Silvia Brabeceanu, Nicolae Breazu, Delia Valentina Bulgr, Georgiana Canache, Viorica Ciocnaru,Ioan Lung, Viorica Lungana, Blandina Maniiu, tefan Florin Marcu , Corneliu Mnescu-Avram,Ovidiu-Marius Mndrican, Adrian Muscalu, Gabriel Necula, Nicolae Nicolaescu, Gabriela Nistor,

    Csaba Olh, Enache Paul, Ileana Rcu, Adrian Stan, Constantin Telteu, Iuliana Trac

    GHID DE PREGATIRE ONLINE

    BACALAUREAT 2011, MATEMATIC M1

    www.mateinfo.ro

    Profil: Real, Militar

    Specializare: Matematic Informatic

    Subiectele din aceast lucrare sunt realizate dup modelul elaborat de M.E.C.I.

    Ploieti, 2011

    Coordonator: Andrei Octavian Dobre

    Silvia Brabeceanu, Nicolae Breazu, Delia Valentina Bulgr, Georgiana Canache, Viorica Ciocnaru,Ioan Lung, Viorica Lungana, Blandina Maniiu, tefan Florin Marcu , Corneliu Mnescu-Avram,Ovidiu-Marius Mndrican, Adrian Muscalu, Gabriel Necula, Nicolae Nicolaescu, Gabriela Nistor,

    Csaba Olh, Enache Paul, Ileana Rcu, Adrian Stan, Constantin Telteu, Iuliana Trac

    GHID DE PREGATIRE ONLINE

    BACALAUREAT 2011, MATEMATIC M1

    www.mateinfo.ro

    Profil: Real, Militar

    Specializare: Matematic Informatic

    Subiectele din aceast lucrare sunt realizate dup modelul elaborat de M.E.C.I.

    Ploieti, 2011

    www.mateinfo.rowww.mateinfo.rowww.mateinfo.ro

  • IISSBBNN 997788--997733--00--1100229955--66

    Toate drepturile prezentei ediii aparin site -ului www.mateinfo.ro . Nicioparte a acestei ediii nu poate fi reprodus far acordul scris alwww.mateinfo.ro (prof. Andrei Octavian Dobre) .

    Culegerea este oferita gratuit doar pe site-ul www.mateinfo.ro i nu poate fipublicat pe un alt site fara acordul scris al www.mateinfo.ro (prof. AndreiOctavian Dobre).

    Site: www.mateinfo.roE-mail: [email protected] sau [email protected]

    Fiecare autor rspunde de corectitudinea i originalitatea variantelor propuse.

    Nume autori coala de provenien

    Andrei Octavian Dobre(coordonator)

    Grupul colar de Transporturi Ploieti

    Silvia Brabeceanu Colegiul Tehnic '' Gheorghe Lazr " PlopeniNicolae Breazu Colegiul Spiru Haret, PloietiDelia Valentina Bulgr Liceul Teoretic "Traian Vuia" Fget , jud. TimiGeorgiana Canache Grupul colar Toma Socolescu PloietiViorica Ciocnaru Grupul colar Industrial Energetic, CraiovaIoan Lung Colegiul Na ional Arany Janos SalontaViorica Lungana Colegiul Na ional Alexandru Dimitrie Ghica, Alexandria, jud. TeleormanBlandina Maniiu Colegiul Tehnic"Alexandru Doma"Alba Iuliatefan Florin Marcu Grup colar de Transporturi Auto -CalaraiCorneliu Mnescu-Avram Grupul colar de Transporturi PloietiOvidiu-Marius Mndrican Grupul colar C. Cantacuzino, BicoiAdrian Muscalu Colegiul Agricol Nicolae Corneanu TulceaGabriel Necula Colegiul Tehnic '' Gheorghe Lazr " PlopeniNicolae Nicolaescu Colegiul Tehnic "Alexe Marin" Slatina OltGabriela Nistor Grupul colar Administrativ i de Servicii Victor Slvescu PloiestiCsaba Olh Grup colar "Liviu Rebreanu, Blan, Jud.HarghitaEnache Paul Colegiul Naional Anastasescu , Rosiori de Vede , jud. TeleormanIleana Ricu Grup colar Agricol "Roiorii de Vede" TeleormanAdrian Stan Grup colar Costin Neniescu BuzuConstantin Telteu Colegiul Naional de Arte Regina Maria, ConstanaIuliana Trac coala cu cls. I-VIII Gh. Popescu Mrgineni -Slobozia

    [email protected][email protected]

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    1

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 1

    Prof. Silvia Brabeceanu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Calculai 3 264 log 64 .(5p) 2. Se consider funcia 1: , 2xf f x . S se calculeze 2 3 10f f f

    (5p) 3. S se rezolve n ecuaia 2 6 3x x x .(5p) 4. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea

    8,9,10, 40A acesta s fie divizibil cu 4.(5p) 5. Se consider vectorii 3 5u i j

    i 4 2v i j

    . Determinai coordonatele

    vectorului1

    22

    w u v

    .

    (5p) 6. ntr-un triunghi ABC se cunosc 12, 8, 6AB BC AC . S se calculeze cos B .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie matricea 22 1 1

    ,2 1 1

    x xA x x

    x x

    .

    (5p) a) S se calculeze 1 1A A .(5p) b) Notm matricea 21 1A A B . S se determine , 1nB n .

    (5p) c) S se calculeze suma 1

    n

    k

    A k .

    2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie3

    4 2 2 , ,2

    x y xy x y x y .

    (5p) a) S se arate c 12 1 2 1 , ,2

    x y x y x y .

    (5p) b) S se verifice dac este o lege de compoziie asociativ pe .

    (5p) c) S se demonstreze c 2 12 2 1 , , , 22

    nn

    n ori

    x x x x x x n n

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    2

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia

    3

    2: , , ,x

    f D f x a bax b

    .

    (5p) a) S se determine a i b , numere reale, astfel nct dreapta 1 14

    y x s fie

    asimptot la graficul funciei.(5p) b) Pentru a i b gsii la a). s se stabileasc domeniul maxim de definiie al funcieii apoi s se studieze monotonia funciei.

    (5p) c) S se calculeze

    2lim

    f x

    xf x

    x

    .

    2. Se consider funcia 1: 1, 2 ,2

    xf f x

    x

    .

    (5p) a) S se calculeze 2

    1

    f x dx .

    (5p) b) S se determine 0a astfel nct 1 5

    1 3ln4

    a

    a

    f x dx

    .

    (5p) c) S se arate c 2

    1

    10

    4f x dx .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 2

    Prof. Silvia Brabeceanu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se afle partea real a numrului complex 41 5z i .(5p) 2. S se determine m , astfel nct suma ptratelor soluiilor ecuaiei

    2 2 3 0x m x m s fie 25 .(5p) 3. tiind c doi termeni ai unei progresii geometrice sunt 1 3a i 4 192a , s secalculeze 8S .

    (5p) 4. S se rezolve ecuaia 22log 3 4 2x x x .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    3

    (5p) 5. S se arate c triunghiul cu vrfurile 10, 4A , 2,0B i 2,12C este triunghiisoscel.(5p) 6. S se determine m astfel nct punctele 2,2A , 4, 3B , 1,2C m m s fiecoliniare.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Se consider determinantul 1 2 2

    4 1 4 ,

    2 4 1

    x

    D x x x

    x

    .

    (5p) a) S se calculeze valoarea determinantului pentru 1x .(5p) b) S se demonstreze c 27 3D x x x .(5p) c) S se rezolve n ecuaia 3 0xD .

    2. Se consider polinomul 4 3 1 1f aX bX cX a X X , cu , ,a b c .(5p) a) tiind c polinomul f se divide cu 31X , s se calculeze suma S a b c .(5p) b) Pentru 2, 5, 3a b c s se descompun n produs de factori ireductibili peste polinomul f .(5p) c) Pentru 2, 5, 3a b c s se calculeze 2 2 2 21 2 3 4x x x x , unde 1 2 3 4, , ,x x x x suntrdcinile polinomului f .

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funciile 2, : 0, , , 1x

    f g f x arctg x g xx

    .

    (5p) a) S se arate c 0,f x g x x .

    (5p) b) S se gseasc punctele de extrem local ale funciei 2: 0, , 1x

    g g xx

    .

    (5p) c) S se scrie ecuaia tangentei la graficul funciei : 0, ,f f x arctg x n

    punctul de tangen 3 ,3 6

    A

    .

    2. Se consider funcia 3: 1,1 , 2 ,nn nf f x x n i 1

    1

    n nI f x dx

    .(5p) a) S se calculeze 1I .(5p) b) S se calculeze volumul corpului obinut prin rotaia subgraficului funciei nf njurul axei Ox pentru 1n .

    (5p) c) S se determine o relaie de recuren pentru 1

    3

    1

    2n

    nI x dx

    .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    4

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 3

    Prof. Silvia Brabeceanu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Calculai 3 710 10C C .(5p) 2. Fie funcia : , 3 2 7f f x m x m . S se determine m astfelnct punctul 4, 3A m m s fie situat pe graficul funciei.(5p) 3. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 3 3 32 5 2 7x x x .(5p) 4. S se rezolve ecuaia 4 4 4 6 2 2 10 0x x x x .(5p) 5. S se determine m astfel nct vectorii 5 2 1u m i m j

    i

    2 3 3v m i m j

    s aib acelai modul.(5p) 6. n reperul cartezian xOy se consider punctele 2, 3 , 5,4A B i 1,1C . S se scrieecuaia perpendicularei din B pe AC .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie dat sistemul 35 3 0

    : 0 , , ,

    3 2 0

    x y z

    S x y z x y z

    x y z

    (5p) a) S se afle determinantul i rangul matricei asociat sistemului.(5p) b) S se rezolve sistemul.(5p) c) S se gseasc o soluie 0, 0 0,x y z a sistemului pentru care 0 0 02 3 9x y z .

    2. Pe mulimea numerelor reale se definesc legile de compoziie i astfel2x y x y i 2 4 4 6x y xy x y , ,x y .

    (5p) a) Se dau mulimile 2 3 0A x H x x i 0B x H x x . S secalculeze \A B .(5p) b) S se demonstreze c , , ,x y z x z y z x y z .(5p) c) Fie a x x i b x x . S se determine x pentru care media aritmetic anumerelor a i b este negativ.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    5

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia 2

    4: \ 1 ,

    1f f x x

    x

    .

    (5p) a) S se calculeze 1

    1lim

    1xf x f

    x

    .

    (5p) b) S se determine intervalele de convexitate i concavitate ale funciei f .(5p) c) S se calculeze asimptotele la graficul funciei f .

    2. Se consider funciile : 0, , 2 1f f x x x i : 0, ,g g x f x .

    (5p) a) S se determine o primitiv G a funciei g pentru care 1 3G .

    (5p) b) S se calculeze 1

    limx

    xg t dt

    .(5p) c) S se calculeze aria cuprins ntre graficul funciei f , axa Ox i dreptele de ecuaii

    0x i 2x .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 4

    Prof. Silvia Brabeceanu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Calculai

    3 3

    2 2

    1 3 1 3

    3 3

    i i

    i i

    .

    (5p) 2. S se determine valorile reale ale lui x pentru care 23log 1x 3log 4 4x .

    (5p) 3. Determinai mulimea

    2/ 2 3 0

    i 0

    3

    xA x x

    x x

    .

    (5p) 4. S se determine termenul ce conine pe 2x din dezvoltarea301 1

    3 3 ,yx xy x y

    .

    (5p) 5. Fie 3 5Ar i j

    , 4 3Br i j

    , 2 7Cr i j

    vectorii de poziie ai vrfurilortriunghiului ABC . S se determine vectorul de poziie al centrului de greutate a triunghiuluiABC .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    6

    (5p) 6. Punctele 3,4 , 7,4 , 11, 3 , 1, 3A B C D sunt vrfurile unui trapez isoscel.S se calculeze aria trapezului ABCD .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Se consider sistemul 33 2 0

    : 0 , , , ,

    3 2 0

    x y z

    S x y az x y z a

    x y z

    .

    Notm cu A matricea sistemului.(5p) a) S se determine rangul matricei A n funcie de a .(5p) b) S se rezolve sistemul pentru 1a .(5p) c) S se gseasc o soluie 0, 0 0,x y z a sistemului cu proprietatea 3 20 0 0 0x y z .

    2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie5 5 20, ,x y xy x y x y .

    (5p) a) S se arate c 5 5 5, ,x y x y x y .(5p) b) S se demonstreze c mulimea ,5 este parte stabil a lui n raport cu legeade compoziie.(5p) c) Se d expresia 8 7 63E x x x , x . S se demonstreze c 0,E x x .

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia : 0, , ln 2ln 1f f x x x .(5p) a) S se calculeze derivatele de ordinul nti i doi ale funciei f .

    (5p) b) Fie funcia 2

    : 0, , ln1

    xg g x

    x

    . Se noteaz cu ng x derivata de

    ordinul n i cu ,nx n rdcina derivatei de ordinul n . S se calculeze ,nx n

    .

    (5p) c) S se calculeze limn

    n

    n

    x.

    2. Se consider integralele1

    20

    ,9

    n

    n

    xI dx n

    x

    .

    (5p) a) S se calculeze 0 13 2I I .

    (5p) b) S se demonstreze c pentru n este adevrat relaia 21

    91n n

    I In

    .

    (5p) c) S se arate c 1 ,1n

    I nn

    .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    7

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 5

    Prof. Nicolae Breazu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Fie ( nb ) n o progresie geometric . tiind c 3 17b b 100 , s se calculeze 5 15b b .

    (5p) 2. Rezolvai ecuaia x 6 x 1 2x 19 .

    (5p) 3. Dac 1f : 0; , f x xx

    , demonstrai c f f x 2 , x 0; .(5p) 4. O carte ilustrat are 300 pagini. Dintre acestea, 280 pagini au text, iar 200 audesene.

    Cte pagini au i text i desen?(5p) 5. S se scrie ecuaia nlimii dus din B n triunghiul ABC, dac A(2;-3); B(10;9) i

    C(0;-1).

    (5p) 6. Demonstrai c 2

    x2ctg

    2sin x , x 2k

    x1 ctg

    2

    .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Se d matricea1 0 0

    A 1 3 1

    2 4 1

    .

    (5p) a) Calculai detA i explicai de ce matricea A este inversabil;(5p) b) Demonstrai c n n 3A A 2I , n 1 ;

    (5p) c) Calculai 201012 A A .2. n grupul 6S ; se consider permutrile

    1 2 3 4 5 6

    3 1 2 6 4 5

    i

    1 2 3 4 5 6

    6 3 2 1 5 4

    (5p) a) Determinai paritatea sau imparitatea permutrilor i ;(5p) b) n grupul 6S ; , stabilii care dintre ordinele acestor dou permutri este maimare;(5p) c) Rezolvai ecuaia x x .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    8

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia 2

    f : \ 1; 2; 3 , f xx 1 x 2 x 3

    .

    (5p) a) S se determine A, B, C astfel nct A B Cf xx 1 x 2 x 3

    ;

    (5p) b) Demonstrai c irul n nn 1a , a f 1 f 2 ... f n este convergent i s segseasc n

    nlim a

    ;

    (5p) c) S se arate c graficul funciei este simetric fa de un punct al planului i s sedetermine coordonatele acestui punct.

    2. Se d funcia f : 0;2011 , f x 2x (5p) a) S se explice de ce f nu admite primitive dar este funcie integrabil pe 0;2011 ;

    (5p) b) S se calculeze 20110

    2x dx ;

    (5p) c) Artai c funcia x0

    1F : 0; , F x f t dt

    4 este funcie strict cresctoare pe

    intervalul1

    0;4

    .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 6

    Prof. Nicolae Breazu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se calculeze20104

    1 1 1...

    1 x 1 x 1 x

    , pentru x 0 , unde a este

    partea ntreag a numrului real a;

    (5p) 2. Rezolvai ecuaia3 32lg x lg x

    2x 10

    ;

    (5p) 3. Artai c funcia 3 2 xf : 2;2 , f x x ln2 x

    este funcie par;

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    9

    (5p) 4. S se demonstreze c k k 2 k 1 kn n 2 n 2 n 2C C 2C C ;

    (5p) 5. n patrulaterul convex ABCD, M este mijlocul laturii AB, N mijlocul laturii CD iarP,

    Q, R mijloace ale segmentelor AD , MN , respectiv BC . Artai c P, Q, R suntpuncte coliniare.

    (5p) 6. Rezolvai ecuaia 2 2sin x cos x cos x 0 pentru x 0;2

    .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1.Se consider matricele 22 1 1

    A 3 1 p

    1 2 1

    i 22 1 1 2

    B 3 1 p 2

    1 2 1 q

    .

    (5p) a) S se afle p astfel nct detA s fie minim;(5p) b) S se afle p i q astfel nct rangA= rangB;(5p) c) Determinai p astfel nct matricea A s fie inversabil i calculai 1A .

    2. Fie polinoamele 5 3 2f 2x 4x ax bx c , cu a,b,c i 3 2g x x x 1 .(5p) a) Determinai a,b,c astfel nct f s se divid cu polinomul g;(5p) b) Pentru a=4, b= -6, c=4, s se rezolve ecuaia f x 0 ;

    (5p) c) Calculai20105 5

    2010i i

    i 1 i 1

    S x x

    tiind c 1 2 3 4 5x , x , x , x , x sunt rdcinile

    determinate la punctul b).

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie funcia 2f : 1; , f x x ln x 1 .(5p) a) Demonstrai c f este strict cresctoare pe intervalul 1; ;(5p) b) Stabilii intervalele de convexitate, de concavitate i punctele de inflexiune alefunciei f;(5p) c) Artai c f este bijectiv i calculai derivata funciei 1f n 0y 4 .

    3. Fie funcia 2:[0; ] , ( ) cos 1f f x x i irul 2 n

    2n nn 1

    k 1

    ka , a cos

    n n

    .

    (5p) a) S se calculeze 0

    f x sin xdx ;(5p) b) S se determine volumul corpului obinut prin rotirea graficului funciei f n jurulaxei Ox;(5p) c) Demonstrai c irul n n 1a este convergent i gsii nnlim a .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    10

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 7

    Prof. Nicolae Breazu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se ordoneze cresctor numerele 3 3, 2, , log 2e , unde e este baza logaritmuluinatural;

    (5p) 2. Rezolvai n mulimea ecuaia 6 3x 7x 8 0 ;

    (5p) 3. S se determine inversa funciei 2

    x 3, pentru x 2;f : , f x

    x 1, pentru x ; 2

    ;

    (5p) 4. Calculai 2011 1 2010 2 20092011 20112 C 2 C 2 ... 1 ;

    (5p) 5. Artai c n orice triunghi ABC are loc relaia2 2b c

    b cos C ccos Ba

    ;

    (5p) 6. Cte soluii are ecuaia arcsin sin x 2 ? Justificai.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Se d sistemulx 2y 3z 0

    2x y mz 0

    x y 2z 0

    .

    (5p) a) Calculai determinantul sistemului;(5p) b) Determinai m astfel nct sistemul s admit soluie unic;

    (5p) c) Artai c pentru m=9 expresia2 2 2

    2 2 2

    x y zE

    x 5y z

    este constant.

    2. Se d mulimea a b b

    G X a,b b a b a,b , det X a,b 1

    b a a

    .

    (5p) a) Artai c G este parte stabil a lui 3M n raport cu nmulirea matricelor;(5p) b) Explicai de ce 3I G dar 3O G ;(5p) c) Artai c G; este grup.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    11

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia 3f : , f x 1 x .(5p) a) S se studieze derivabilitatea funciei f n 0x 1 ;(5p) b) Determinai punctele de extrem i intervalele de monotonie ale funciei f;(5p) c) S se rezolve ecuaia f x m , unde m .

    2. Fie funcia 2

    2

    x 1f : , f x

    x 4x 5

    i a .

    (5p) a) Calculai 10

    f x dx ;(5p) b) S se determine valorile lui a, astfel nct aria subgraficului funciei f pe intervalul

    a 1;a s fie maxim;

    (5p) c) S se calculeze a

    s alim

    ln a, unde s(a) reprezint aria suprafeei cuprinse ntre graficul

    funciei i axa Ox, pe intervalul [a 1;a] .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 8

    Prof. Nicolae Breazu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se arate c numrul 9 80 9 80 este ntreg;

    (5p) 2. Rezolvai ecuaia x x xx x 3 1 x n mulimea numerelor ntregi;(5p) 3. S se arate c funcia f : , f x x 1 x 1 nu este nici injectiv, nici

    surjectiv;(5p) 4. ntr-o urn sunt 30 bile albe i 20 bile negre. Se extrag simultan 5 bile. Care este

    probabilitatea de a extrage 3 bile albe i 2 bile negre?

    (5p) 5. S se calculeze 13

    sin12

    ;

    (5p) 6. Dou nlimi ale unui triunghi sunt egale cu 6 i cu 10. Artai c a treia nlimeeste mai mic dect 15.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    12

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Se consider irul de determinani: n n 1 definit astfel:

    1 2 3 n

    n 1 coloane

    1 1 1 1 1 1 ... 11 1 1

    1 1 1 x 1 1 1 x ... 1; 1 x 1 ; ;....;

    1 x 1 1 x 1 .. .. ... ..1 1 x

    1 1 1 x 1 1 ... x

    ,

    unde x \ 1 .(5p) a) Calculai 2 i 3 ;(5p) b) Demonstrai c dac x \ 1 , fixat, irul n n 1 este o progresie geometric.

    Gsii raia acestei progresii;(5p) c) Dac p , numr prim, iar x astfel nct x-1 i p sunt prime ntre ele, artaic

    n irul 1 2 n1, 1,..., 1,... exist cel puin un termen divizibil cu p.2. Polinomul 2 n0 1 2 nf a a x a x ... a x X are printre rdcini i numerele

    complexe k2k

    2kz cos i sin , k 0,1,2,3,4

    5 5 . Polinomul g X are

    rdcinile k kw z 1, k 0,1,2,3,4 .(5p) a) Calculai 0 1 na a ... a ;(5p) b) Determinai polinomul g;(5p) c) Care este gradul minim pe care l poate avea f, astfel nct f i g s aib divizori

    comuni de grad cel puin 1?

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se dau irul n 2 n1 1 1

    a ...e 1 e 1 e 1

    , n 1 i funcia

    xf : , f x ln e 1 .(5p) a) S se arate c irul n na este monoton;(5p) b) S se aplice teorema lui Lagrange funciei f pe un interval de forma k,k 1 , unde

    k 0 ;(5p) c) S se arate c irul n na este convergent i s se arate c nnlim a 0;ln 2 .

    2. Fie 2f : 0; , f t ln t 1 i x0

    F : 0; , F x f t dt .(5p) a) Artai c F x 0 pentru orice x 0 ;(5p) b) S se demonstreze c derivata funciei F este strict cresctoare pe 0; ;

    (5p) c) Calculai x 22 0x 01

    lim ln t 1 dtsin x

    .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    13

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 9

    Prof. Delia Valentina Bulgr

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se ordoneze cresctor numerele: 3 33!, 200, log 243 .

    (5p) 2. S se arate c1 4 9

    , 0, 0.a ba b a b

    (5p) 3. S se rezolve n ecuaia: 2lg( 6 5) lg(3 ) lg3x x x .(5p) 4. Cte submulimi ale mulimii A={1,2,3,4,5,6,7,8} au suma elementelor egal cu 8?(5p) 5. Se consider punctele A(m+1,n), B(2m,n+2), C(2n+1,m). S se determine m i n tiind ccentrul de greutate al triunghiului ABC este originea sistemului de coordonate XOY.

    (5p) 6.tiind c ( , )2

    i

    2sin

    3 , s se calculeze ctg .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie matricea 21 5 10

    ( ) ( ),2 1 4

    a aX a M a

    a a

    .

    (5p) a) S se arate c ( ) ( ) ( ), ,X a X b X ab a b a b (5p) b) S se determine valoarea a pentru care X(a) nu este inversabil.(5p) c) S se calculeze ( ( )) , 1nX a n

    2. Se consider polinomul 2 2011 2010( 1) ( 1) 1 [ ]f X X X X (5p) a) S se calculeze f(0) i f(-1).(5p) b) S se determine restul mpririi polinomului f la polinomul 2g X X .(5p) c) S se arate c polinomul 2 1h X X divide polinomul f.

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia1 12 3

    : , ( )2 3

    x x

    x xf f x

    (5p) a) S se arate c funcia f este strict cresctoare pe .(5p) b) S se determine asimptotele graficului funciei f.(5p) c) S se arate c funcia f este mrginit..

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    14

    2. Se consider funciile2

    : , ( ) ,nn n xx

    f f x ne

    i

    1

    2

    0

    ( )n

    n nI f x dx .(5p) a) S se calculeze 0I .

    (5p) b) S se verifice relaiile 11

    ( ) (2 ),2n n

    f x f x x i 11

    ,4n n

    I I n

    (5p) c) S se calculeze lim nn

    S

    , unde 0 1 2 ... ,n nS I I I I n

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 10

    Prof. Delia Valentina Bulgr

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se calculeze modulul numrului complex 6( 2 2 2 2 )z i .(5p) 2. Se consider progresia aritmetic 1( )n na cu 1 33a . tiind c suma primilor 10termeni ai progresiei este 420, s se afle raia progresie aritmetice.(5p) 3. S se determine , 4n n astfel nct 2 2 21nC .

    (5p) 4. . S se rezolve n intervalul (0, 2 ) ecuaia1

    sin 22

    x .

    (5p) 5. Triunghiul ABC are vrfurile A(2,3), B(4,2) i centrul de greutate G(3,-1). S se determinecoordonatele punctului C.

    (5p) 6. S se arate c 15 35 55 75 1tg tg tg tg

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie n 3( )M matricele:2 1 1

    1 2 1

    1 1 2

    A

    i1 1 1

    1 1 1

    1 1 1

    B

    .

    Se consider matricea2

    1, \{0}

    3 3xx

    M A B xx

    .

    (5p) a) S se calculeze 2A i 2B .(5p) b) S se arate c , , \{0}x y xyM M M x y .(5p) c) S se calculeze ( ) , 1nxM n .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    15

    2. Fie , ,a b c i 3 2{ | 0}H z z az bz c .(5p) a) Dac a=b=c+1=0 s se determine mulimea H.(5p) b) Dac a=b=c+1=0 s se arate c (H,) este grup.(5p) c) Pentru a=b=c+1=0 s se arate c 3( , ) ( , )H , unde 3( , ) este grupul aditiv alclaselor de resturi modulo n.

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funciile 2 1 1, :[0, ) , ( ) 1n n nf g f x x nx nx i1 2( ) 2 ( 1) 1, , 2.ng x x n x n n n

    (5p) a) S se verifice c 2'( ) ( ), 0.nf x nx g x x (5p) b) S se arate c ( ) 0, 0.g x x

    (5p) c) S se arate c1 1

    ( ), 1, , 2nn

    x n x x n nx x

    .

    2. Se consider irurile 1( )n nI i 1( )n nJ definite astfel:1

    lne

    nnI x xdx i

    2

    1

    (ln )e

    nnJ x x dx .

    (5p) a) S se calculeze nI .(5p) b) S se stabileasc o relaie ntre nI i nJ .

    (5p) c) S se calculeze1lim n nn

    n

    I J

    e

    .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 11

    Prof. Delia Valentina Bulgr

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Se consider 7 7 7log 35 log 9 log 45a . S se arate c a .(5p) 2. S se determine \{2}m pentru care funcia 2: , ( ) ( 2) 2f f x m x mx m admite un maxim egal cu -1.

    (5p) 3. S se determine termenul din mijloc al dezvoltrii 2031

    ( ) , 0,x x xx

    .

    (5p) 4. Care este numrul de diagonale ale unui poligon convex cu n laturi?

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    16

    (5p) 5. Fie A,B dou puncte distincte, iar punctul M mijlocul segmentului [AB]. S se arate cpentru orice punct O exist egalitatea 2OA OB OM

    .

    (5p) 6. S se calculeze lungimea razei cercului nscris ntr-un triunghi care are lungimile laturilorde 5, 7 i 8.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Se consider sistemul2 3 0

    5 3 0

    3 5 0

    x y z

    x y z

    x y z

    i matricea 3

    0 0 0

    0 0 0

    0 0 0

    O

    . Se noteaz cu A

    matricea sistemului.(5p) a) S se calculeze determinantul i rangul matricei A.(5p) b) S se rezolve sistemul.(5p) c) S se gseasc o matrice 3 3( ),B M B O astfel nct 3A B O

    2. Se consider mulimea de numere reale 2 2{ 2 | , , 2 1}M a b a b a b .(5p) a) S se arate c M este parte stabil n raport cu nmulirea numerelor reale.

    (5p) b) S se arate c dac z M atunci 0z i1

    Mz .

    (5p) c) S se gseasc un element z M astfel nct1

    010

    z .

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia2

    1: , ( ) 1

    1

    xf f x

    x

    .

    (5p) a) S se rezolve inecuaia f(x)

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    17

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 12

    Prof. Delia Valentina Bulgr

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se calculeze partea ntreag a numrului3

    2 1.

    (5p) 2. Fie2

    1: , ( )

    1f f x

    x x

    . S se arate c 40 ( ) ,

    3f x x .

    (5p) 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2 49 35 25x x x .(5p) 4. Care este probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de trei cifre,produsul cifrelor sale s fie impar?(5p) 5. S se determine a pentru care vectorii ( 3)u a i a j

    i 4 5v i j

    suntperpendiculari.

    (5p) 6. S se calculeze perimetrul triunghiului ABC, tiind c AB=3, AC=4 i ( ) 60m BAC .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie 51 2 3 4 5 1 2 3 4 5

    , , ,5 2 4 1 3 2 3 1 5 4

    S

    .

    (5p) a) S se demonstreze c .(5p) b) S se determine mulimea *{ | }nH n (5p) c) S se arate c mulimea *{ | }nH n este un subgrup al grupului 5( , )S .

    2. Se consider corpul 5( , , ) i polinomul3

    53 [ ]f X aX X , cu 5a .(5p) a) Pentru 1a s se determine rdcinile polinomului f.(5p) b) S se determine 5a pentru care polinomul f admite dou rdcini diferite n 5 .(5p) c) Notnd cu 1 2 3 5, ,x x x rdcinile polinomului f, s se calculeze

    3 3 31 2 3S x x x .

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia2

    : , ( )x

    f D f xx ax b

    , ,a b .

    (5p) a) Pentru a=b=1, s se scrie ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul de abscis x=1.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    18

    (5p) b) S se determine a astfel nct 2 1( ( ) 1)2limx

    x ax b f x

    .

    (5p) c) Pentru a=1, s se determine b astfel nct funcia f s admit un extrem de

    valoare2

    3.

    2. Se consider irul 0( )n nI definit prin

    2

    2

    1

    2

    2ln 1n

    n

    e

    n

    e

    xI dx

    x

    i suma

    0 1 ... ,n nS I I I n (5p) a) S se calculeze 0I .(5p) b) S se arate c 0( )n nI este o progresie aritmetic , preciznd raia.

    (5p) c) S se calculeze1

    2

    4lim

    n

    n

    n

    S

    n

    .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 13

    Prof. Canache Georgiana

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se determine numrul natural x din egalitatea 2 + 7 + ........+ x =245.

    (5p) 2. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia : 7 2 1 31 4

    x x

    x x

    .

    (5p) 3. Aflai valoarea minim a funciei f : -> f(x)=5x2 -3x+1 .(5p) 4. S se determine numrul funciilor f:{a,b,c,d}{1,2,3,4} cu proprietatea cf(a)=f(b).(5p) 5. Se consider triunghiul ABC cu vrfurile A(2, -1) , B(0,3) i C(-4, -2). S secalculeze cos A.

    (5p) 6.Calculai E= 43

    tg ctg

    ctg tg

    , dac cos = 1 , (0, )3 2

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    19

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1.Se consider matricea3 1 1

    0 2 2

    0 0 2

    A

    (5p) a) Calculai A2-3At(5p) b) Calculai inversa matricei A.(5p) c) Determinai An

    2. Se consider , , inel comutativ ,unde 4x y x y si4 4 20x y xy x y , ,x y

    (5p) a) Calculai (e1 e2)+( e1 e2) ,unde e1 este elemental neutru al primei legi ,iar e2 esteelementul neutru al celei de a doua legi.(5p) b) S se determine a,b astfel nct inelele , , si ( , +,) s existe unizomorfism de forma f : -> , f(x)=ax+b(5p) c) S se rezolve n ecuaia

    2011

    ..............de ori

    x x x 22011 + 4

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie funcia f : (-4,4)-> f(x)= 4ln4

    x

    x

    (5p) a) Gsii asimptotele funciei f.(5p) b) S se determine punctele de extrem ale graficului funciei f.

    (5p) c) Calculai 1lim ( )x

    x fx

    2. Se consider funcia f : -> f(x)=x3+6x2-x-30

    (5p) a) Calculai4

    3

    ( )

    2

    f xdx

    x

    (5p) b) Calculai 320

    21

    2 3

    6 30

    xdx

    x x x

    x

    (5p) c) Calculai21

    60 4

    dxxx ww

    w.ma

    teinfo

    .ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    20

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 14

    Prof. Canache Georgiana

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Ordonai descresctor numerele 5 , 3 2 , 4 6(5p) 2. Se d ecuaia x2-(3m+1)x+m2 - m=0 , m . Calculai expresia E(m)= x12+x22-x1-x2 ,unde x1si x2 sunt rdacinile ecuaiei.(5p) 3. S se determine inversa funciei f : (3 , )-> (0, ) f(x)=(5p) 4. Cte numere de 2 cifre se pot forma cu elemente ale mulimii {1,2,3,4,6} ?(5p) 5. Aflai m astfel nct distana dintre punctele A(m+1 ,5) i B(3, m-3) s fie de5 2 .

    (5p) 6. Calculai lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC tiind c m( B )=4

    i

    AC=8.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1.Fie mulimea G=

    1

    { ( , ) 1 | , }

    0 0 1

    a b

    M a b a a a b

    (5p) a) Calulai M(1,2)M(2,3)(5p) b) S se arate c

    3GI

    (5p) c) Calculai inversa matricei M(a,b)

    2. Se consider a 4 i polinomul f=x3+ x2+x+a 4[x](5p) a) Calculai f( )+ f( )+ f( )+ f( ) ,pentru a=(5p) b) Pentru a= , s se determine rdcinile din 4 ale polinomului f.(5p) c) Aflai a 4 pentru care polinomul este ireductibil n 4[x]

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie functia f : -> f(x)= 4x2-3x+2arctg x(5p) a) Studiai monotona funciei f pe .(5p) b) Verificai dac f este funcie bijetiv.

    (5p) c) Calculai 2( )

    limx

    f x

    x

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    21

    2. Se d funcia f : [-2,2] -> 2( ) 4f x x (5p) a) Calculai

    22

    2

    4x x dx

    (5p) b) Aflai volumul corpului obinut prin rotirea graficului funciei f n jurul axei ox

    (5p) c) Calculai1

    0

    lim ( )n

    xf x dxx

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 15

    Prof. Canache Georgiana

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Artai c numrul2

    2(1 3 2) (1 3 2)i i este numr ntreg .

    (5p) 2. S se rezolve n sistemul de ecuaii6

    8

    x y

    xy

    (5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale 3 23 7 56 xx x =x(5p) 4. Aflai m astfel nct vectorii ( 2) 2u m i j

    i ( 5) 3v m i j

    s fie coliniari.

    (5p) 5. Aflai numrul termenilor raionali ai dezvoltrii 1132 5(5p) 6. Se consider punctele A(5,-2) i B(1,3) . S se scrie ecuaia mediatoarei segmentului AB.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1.Fie dreptele d1: 2x-y=5 , d2: x+4y=-2 i d3: x+y=m , unde m(5p) a) Aflai m astfel nct dreptele sa fie concurente.(5p) b) Aflai m astfel nct coordonatele triunghiului format de cele 3 drepte au toatecoordonatele ntregi.(5p) c) S se calculeze valorile lui m pentru care triunghiul determinat de cele 3 dreptepentru m=-2.

    2.Se consider ecuaia 3 2 5 0x mx x n m,n i x1,x2,x3 soluiile complexeale acesteia.(5p) a) Pentru m=2 si n=0 aflai x1,x2,x3(5p) b) Aflai m i n tiind c x1= 2+i.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    22

    (5p) c) Calculai x13+x23+x33 , unde m,n

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se d funcia f: / { 2,0} 2 2

    3 2( )

    ( 2)

    xf x

    x x

    (5p) a) Determinai asimptotele graficului funciei f .(5p) b) Stabilii intervalele de monotonie ale funciei f.(5p) c) Calculai

    2

    lim( (1) (2) ....... ( ))x

    nf f f n

    2. Se consider funciile f : (-2 , ) 2

    3( )

    ( 2)( 2)

    xf x

    x x

    i F: (-2 , )->

    F(x)=a ln(x+2)+b ln(x2+2)+c arctg2

    x, a, b, c

    (5p) a) Aflai a,b,c astfel nct F o primitiv a lui f .

    (5p) b) Calculai1

    0

    ( )f x dx(5p) c) Stabilii monotonia funciei F ,n cazul n care F este o primitiv a lui f.

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 16

    Prof. Canache Georgiana

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Artai c numrul 13 132 3 2 3i i

    este numr natural.

    (5p) 2. S se determine m astfel nct funcia f: f(x)=(3m2-15)x+7 s fie funciestrict cresctoare.(5p) 3. S se determine valorile lui n pentru care 1 24 2 10

    n nC C (5p) 4. Care este valoarea sumei 1 2 2 3 ............ ( 1)n n ?

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    23

    (5p) 5. Aflai coordonatele simetriului punctului A(-2,1) fa de mijlocul segmentului [BC] , undeB(1,-5) i C(-3,-3).(5p) 6. Aflai m astfel nct punctele A(3,-2) , B(2,5) i C(3m,m-1) s fie coliniare.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1.Fie m i3 2 1

    2 1

    2 3 1 0

    A m

    m

    (5p) a) Calculai determinantul matricei A.(5p) b) S se afle m astfel nct matrice A sa fie inversabil .(5p) c) Aflai m astfel nct A-1= - A*

    2. Se consider mulimea G 2( ) ,2 25

    { | , , 1}5a b

    G a bb a a b

    (5p) a) Artai c G este parte stabil a lui 2( ) n raport cu nmulirea matricelor.(5p) b) Aflai un element A G astfel nct b 0(5p) c) S se arate c mulimea G conine o infinitate de elemente.

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia5 2 7

    : \{ } , ( )4 4 5

    xf f x

    x

    (5p) a) Determinai asimptotele funciei f.(5p) b) S se determine limita irului

    1( )

    nna , an=f(1)f(2)... f(n).(5p) c) S se determine puntele de inflexiune ale graficului funciei g: , g(x)=f(ex).

    2. Fie funciile g,G : (- ) unde g(x)=x 4 5x i G(x)= 2( ) 4 5ax bx c x i

    a,b,c (5p) a) Aflai a,b i c astfel nct G s fie o primitiv a lui g.(5p) b) Studiai convexitatea/ concavitatea funciei G penrtu a,b i c aflate la punctul a.

    (5p) c) Calculai2

    3

    ( ) ( )G x g x dx

    ww

    w.ma

    teinfo

    .ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    24

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 17

    Prof. Viorica Ciocnaru

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Calculai modulul numrului complex z = (1+ i)(1- i 3 ).(5p) 2. Rezolvai ecuaia x3 + 4 x2 - 2x - 8 = 0.(5p) 3. Exprimai n funcie de a = log 12 27, log 616.(5p) 4. Determinai b21 n progresia geometric n care b3 = 2 i b5 = C 24 .(5p) 5. Scriei ecuaia medianei dus prin vrful A(2, 5) al triunghiului ABC unde B(-3, 2) i C(5, -4).

    (5p) 6. Calculai5cos3cos

    7coscos

    pentru12

    .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie matricea A =233

    222

    211

    1

    1

    1

    xx

    xx

    xx

    unde x1, x2, x3 sunt rdcinile ecuaiei x3 + a x + b = 0,

    a,b R. Se noteaz cu Sk = x1k + x2k + x3k, k N* i D = det A.(5p) a) Calculai S2, S3, S4 n funcie de a i b.(5p) b) Artai c Sk+3 + a Sk+1+ b Sk = 0, k N.(5p) c) Artai c rdcinile x1, x2, x3 sunt reale dac i numai dac D2 0.

    2. Fie G = (-1, 1) i legea de compoziie definit pe G, x y =1

    xy

    yx, x, y G.

    (5p) a) Artai c legea este comutativ i asociativ.(5p) b) Determinai elemental neutru, e.(5p) c) Determinai mulimea elementelor simetrizabile.

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie funcia f: R R, f(x) =1

    12

    x

    xi funcia g: R\ {1} R, g(x) =

    1

    1

    x.

    (5p) a) Calculai f(x) i determinai asimptotele Gf.(5p) b) Calculai g(n) (x).(5p) c) Artai c (f g) (n) (x)(x2 + 1) + 2n (f g) (n-1) (x) x + n (n -1) (f g) (n-2) (x) = 0.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    25

    2. Se consider irul (In)n 0 definit prin In = 1

    0 2x

    x ndx, n N.

    (5p) a) Determinai I0 i I1 i stabilii o legtur ntre I0 i I1.(5p) b) Calculai In + 2 In-1, n N*.(5p) c) Studiai monotonia i mrginirea irul (In)n 1 i calculai

    nlim In.

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 18

    Prof. Viorica Ciocnaru

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Calculai | z | i_

    z pentru z = (2 + i)4.(5p) 2. Calculai probabilitatea ca un element din mulimea {A 13 , C

    45 , P3, C

    25 , A

    24 } s verifice

    relaia2n < 10 n + 1.

    (5p) 3. Rezolvai inecuaia log0,25 (log 74

    52

    x

    xx ) > 0.

    (5p) 4. Determinai suma vectorilor

    u = 2

    i - 3

    j i

    v = 4

    i + 5

    j i produsul lor scalar.(5p) 5. Triunghiul ABC are vrfurile A(-2, 6), B(-5, 2), C(3, - 4). Scriei ecuaia nlimii din A iaria triunghiului.

    (5p) 6. Artai c dac ntr-un triunghi ABC are loc relaia sin A =CB

    CB

    coscos

    sinsin

    , atunci

    triunghiuleste dreptunghic.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie matricea A =

    2121

    2121

    2121

    2121

    i B = p A + I4, unde p R.

    (5p) a) Verificai c 2 B B2 = I4.(5p) b) Artai c B este inversabil p R i calculai inversa ei.(5p) c) Artai c Bn = I4 + n p A, n N* i p R.

    2. Pe Z se definete legea de compoziie astfel: x y = x + ay a, x, y Z.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    26

    (5p) a) Determinai a Z astfel nct legea s fie asociativ.(5p) b) Determinai a i e Z astfel nct x e = e x = x, x Z i calculai a a.(5p) c) Artai c (Z, ) este grup abelian.

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie funcia f: R R, f(x) = arc tg x 2x.(5p) a) Calculai f (1), f(1).(5p) b) Studiai monotonia funciei i curbura ei.(5p) c) Determinai asimptota la graficul funciei ctre + .

    2. Se consider funcia f: [0, 1]R, f(x) =65

    12 xx

    i se definete irul (In)n 0 prin

    In = )(1

    0

    xfx n dx, n N.(5p) a) Determinai I0 i I1.(5p) b) Calculai In+2 + 5 In+1+ 6 In, n N.

    (5p) c). Determinai o primitiv a funciei f care trece prin M(1,2

    1ln

    4

    3).

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 19

    Prof. Viorica Ciocnaru

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Determinai n N astfel nct s aib loc relaia A 2 4n > C3

    4n .

    (5p) 2. Ordonai descresctor numerele log 6 36, 3 16 , 20 , 4 48 .

    (5p) 3. Calculai probabilitatea ca alegnd un element din mulimea {6

    ,

    4

    ,

    3

    ,

    2

    ,

    3

    2,

    6

    5, }, cos Q?

    (5p) 4. S se gseasc termenii dezvoltrii ( x +42

    1

    x)8astfel nct puterea lui x > 0 s fie numr

    natural.(5p) 5. Rezolvai ecuaia z5 = 1 unde z C cu ajutorul formei trigonometrice a unui numrcomplex.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    27

    (5p) 6. Aflai perimetrul i aria triunghiului ABC cu vrfurile A(-2, -6), B(-1, 3), C(3, 6).

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie sistemul t1 x + t2 y + t3 z = m unde t1, t2, t3 sunt rdcinile complexe ale ecuaieit2 x + t3 y + t1 z = nt3 x + t1 y + t2 z = p

    t3 + m t2 + n t + p = 0.(5p) a) Aflai m, n, p dac t1 = 1, t2 = -1, t3 = 2.(5p) b) Rezolvai sistemul dac m = n = p = 1.(5p) c) Pentru m 0, ecuaia t3 + m t2 + n t + p = 0 admite rdcin tripl nenul dac i numaidac

    sistemul este incompatibil.

    2. Fie inelele comutative (Z, , ) i (Z, , ), unde x y = x + y 4, x y = x + y 7,x y = xy - 4(x + y) + 20, x y = xy - 7(x + y) + 56, x, y Z.

    (5p) a) Aflai elementele neutre ale celor dou inele.(5p) b) Determinai elementele simetrizabile ale celor dou inele.(5p) c) Artai c funcia f: Z Z, f(x) = x + 3 stabilete un izomorfism ntre inelele (Z, , ) i

    (Z, , ).

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie funcia f: R\ { 1} R, f(x) =1

    562

    3

    x

    xx.

    (5p) a) Determinai rdcinile ecuaiei f(x) = 0.(5p) b) Determinai ecuaiile asimptotelor la Gf.

    (5p) c) Calculaix

    limx

    x

    x

    xf 213

    )(

    .

    2. Se consider funcia f: R\ {-5, 0}R, f(x) =)5(

    1

    xx.

    (5p) a) S se calculeze n

    xf1

    )( dx, n 2, n N.

    (5p) b) Dac se noteaz integrala de la a) cu In, s se determinen

    lim In.

    (5p) c) Fr a calcula efectiv integrala, s se arate c3

    1 )()3(

    7

    4

    xfxx dx 1.www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    28

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 20

    Prof. Ciocnaru VioricaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Determinai modulul i conjugatul numrului complexi

    i

    23

    32

    .

    (5p) 2. Gsii coeficientul lui x4 n dezvoltarea (x- 2x2 + 1)5.

    (5p) 3. Determinai suma vectorilor 1

    v ,

    2v ,

    3v i cosinusul unghiului format de 1

    v i

    2v tiind c

    nv = 1

    122

    nn

    n i +

    1

    12

    2

    nn

    n j , n N.

    (5p) 4. Aflai partea ntreag a numrului log6 2011.(5p) 5. Calculai bc cos2 A/ 2 + ac cos2 B/ 2 + ab cos2 C/ 2.(5p) 6. Determinai raportul Sa / Sg unde Sa este suma primilor 101 termeni ai unei progresiiaritmetice

    i Sg este suma primilor 80 termeni ai unei progresii geometrice, ambele progresii avndprimul

    termen 5 i raia 0,2.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie matricea M =

    100

    210

    321

    .

    (5p) a) Calculai M2, M3, Tr M.

    (5p) b) Artai c Mn se scrie sub forma Mn =100

    10

    1

    n

    nn

    x

    yx

    , n N, calculai xn, yn.

    (5p) c) Calculai M13, M23, M21 (complemenii algebrici) i M2011.

    2. Se consider sistemul^^^^

    2332 zyx ,^^^^

    6246 zyx ,^^^^

    3423 zyx .(5p) a) Calculai determinantul matricei sistemului n inelul Z12 i n inelul Z7 .(5p) b) Determinai elementele inversabile n inelul Z12 n raport cu nmulirea i calculai

    probabilitatea ca alegnd un element din Z12, acesta s fie inversabil.(5p) c) Rezolvai sistemul n inelul Z12.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    29

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funciile f, g: R R, f(x) =

    n

    kk kxp

    1

    cos i g(x) = kxk

    pn

    k

    k sin1

    , n N\ {0,

    1},unde pk R, k {1, 2, 3, ...}.

    (5p) a) Calculai g(x), g(x), f(0) i g(0) .(5p) b) Artai c dac f(x) 0, x R, atunci g(x) este nul x R.

    (5p) c) Calculai g (k ), k Z ix

    xgx

    )(lim

    0.

    2. Se consider funciile f: (1, )R, f(x) =)ln1(

    1

    xx , g: R R, g(x) = ex (2 ex 3) i

    h: (0, )R, h(x) =x

    1(2 ln x 3). Determinai:

    (5p) a) primitiva F a funciei f cu proprietatea F(ee-1) = 2.

    (5p) b) t R astfel nct t

    xg0

    )( dx = 0.

    (5p) c) t > 0 astfel nct t

    e

    xh2

    )( dx = 0.

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 21

    Prof. Andrei Octavian Dobre

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Soluia ecuaiei (x+1)+(x+4)+(x+7)+...+(x+28)=155

    (5p) 2. S se simplifice expresia2 ! (2 )!

    ( 1)( 2) ...(2 2)(2 1)2 2

    n n

    n n n n n

    (5p) 3. Rezolvai ecuaia 3 4 1 2 1 5x x x x (5p) 4. Dac funcia :f , ( ) 2012 1f x x , are inversa :g , s se calculezeg(2012)(5p) 5. Fie punctele A(0,2), B(4,6), C(8,10) . Daca punctul A este simetricul lui A fa de BC,aflai lungimea segmentului AA.(5p) 6. n triunghiul ABC avem BC=4, AC=2 si AB = 6. Dac M este mijlocul segmentului [BC]aflai ( )m BAM

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    30

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1.2 2 2 2

    1x y z

    ax by cz d

    a x b y c z d

    (5p) a) Aflai detA(5p) b) Daca a=b si a c aflati rangul matricei A(5p) c) Daca a=b=d si a c rezolvai sistemul

    2. Pe multimea G = (0,1) se defineste legea de compozitie asociativ

    *2 ( 1)

    xyx y

    xy x y

    (5p) a) Aratati ca (G,*) este monoid

    (5p) b) Calculati1 1 1

    * *...*2 3 2012

    (5p) c) Calculati * *...*de n ori

    x x x

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie funcia :f , unde2 1 2

    2 2

    6( ) lim ,

    4

    n

    nn

    x xf x x

    x x

    (5p) a) Aflai ( )f x pentru | | 1x (5p) b) Studiai continuitatea funciei in 0 1x si 0 1x (5p) c) Studiai convexitatea i concavitatea funciei

    2. Fie1

    2

    1

    (1 )nnI x dx

    , *n (5p) a) Calculai 2I

    (5p) b) Artai c 12

    2 1n nn

    I In

    (5p) c) Calculai suma0 1 2 31 1 1 1... ( 1)

    3 5 7 2 1n n

    n n n n n nS C C C C Cn

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    31

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 22

    Prof. Andrei Octavian Dobre

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Fie dezvoltarea4

    1( )nx x

    x . Dac diferena dintre coeficientul termenului al treilea al

    dezvoltarii i coeficientul termenului al doilea al dezvoltarii este 44 atunci aflai termenul din aceastdezvoltare care nu l conine pe x(5p) 2. Aflai z astfel nct 2 2 1 0z z z i

    (5p) 3. Rezolvati ecuatia 2 2[ 1] 1x x x x (5p) 4. Fie ecuaia 22 2 7 4 0x mx m . S se arate c pentru soluiile ecuaiei verificegalitatea 2 21 2( 2) ( 2) 1x x m (5p) 5. Fie AB si CD doua coarde perpendiculare ale unui cerc cu centrul O.

    Dac { }AB CD P , s se arate c: 2PA PB PC PD PO

    (5p) 6. Dac n triunghiul ABC tim b=2, c=6 i lungimea bisectoarei din A este de 4 cm, aflai

    cos2

    A

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1.

    bx ay c

    cx az b

    cy bz a

    (5p) a) Aratai c determinantul matricei asociate este un numr divizibil cu 2(5p) b) Aflai rangul matricei asociate sistemului.(5p) c) Aratai c sistemul are solutie unic dac i numai dac 0abc . n acest caz rezolvaisistemul.

    2. Fie { / , , , }ka b

    A a b Z k fixatkb a

    (5p) a) Aratai c ( , , )kA este inel(5p) b) Afai k astfel nct inelul kA s aib divizori ai lui 0

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    32

    (5p) c) Demonstrai c k pA A dac i numai dac k=p

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia 2011: , ( ) 1f f x x

    (5p) a) Aratai c 'f este strict descrescatoare pe [0; )

    (5p) b) S se calculeze1 1 2

    lim ( '( ) '( ) ... '( ))n

    nf f f

    n n n n

    (5p) c) Utiliznd teorema lui Lagrange s se arate ca pentru orice1

    [ , ]k k

    xn n

    avem

    1( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

    k k k k kx f f x f x f

    n n n n n

    , 2n si {1, 2,.., }k n

    2. Se consider irul ( )n nI definit prin2

    1

    0

    0

    xI e dx i2

    1

    0

    , 1xnI e dx n

    (5p) a) S se calculeze 0I

    (5p) b) Aratai c *11

    ,n nI nI ne

    (5p) c) Aratai c *! 1 1 1( (1 ... )),

    1! 2! !nn

    I e ne n

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 23

    Prof. Ioan Lung

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Determinai partea real a numrului complex4

    1 iz

    2

    .

    (5p) 2. Fie funcia 2f : 2,10 , ( ) 2 3.B f x x x Determinai mulimea B astfel nctfuncia f s fie surjectiv.(5p) 3. Calculai 5log 3 2 25 log (3 7) log (3 7) .(5p) 4. Rezolvai ecuaia 519 19

    nC C .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    33

    (5p) 5. Fie punctele ( 1,1)A , (3,5)B i (4,9)C . Determinai punctual D astfel nct ABCDs fie un parallelogram.

    (5p) 6. Dac 22

    xtg , calculai cos2x.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie matricea

    1 0 1

    0 1 0

    1 0 1

    A

    (5p) a) Calculai 3A .(5p) b) Determinai numerele reale p,q astfel nct 3 2A pA qA .(5p) c) Determinai matricea 2 *... ,nB A A A n N .

    2. Se consider polinomul 2000 1000 3 2 2 (1 2)f X X X X X i .

    (5p) a) Artai c 12

    i este rdcin a lui f.

    (5p) b) Artai c 2 2 1X X divide polinomul f.(5p) c) Determinai restul mpririi polinomului f la 2( 1)X .

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se d funcia f : , ( )R R f x x arctgx .(5p) a) Studiai monotonia funciei f .(5p) b) Determinai punctele de inflexiune ale funciei f .(5p) c) Determinai asimptotele funciei f .

    2. Se d funcia2

    0

    f : , ( ) ( 3)x

    tR R f x t e dt .(5p) a) Calculai f(1).(5p) b) Determinai punctele de extrem ale funciei f .

    (5p) c) Calculai20

    ( )limx

    f x

    x.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    34

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 24

    Prof. Ioan Lung

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Determinai partea imaginar a numrului complex 23 2

    iz

    i

    .

    (5p) 2. Determinai funcia f : , ( )R R f x ax b tiind c 1(8) 2f i 1( 4) 2f .(5p) 3. Fie funcia 2f : , ( ) 4 1A B f x x x . Determinai o pereche de mulimi (A,B)astfel nct funcia f s fie bijectiv.(5p) 4. Fie A o mulime avnd n elemente. Determinai numrul natural n astfel nctmulimea A s conin 255 de submulimi nevide.(5p) 5. Considerm punctele ( 3, 3), ( , 1), (2, 5)A B m m C . Determinai numrul real m

    astfel nct aria triunghiului ABC s fie 332

    .

    (5p) 6. Calculai arcsin(sin2).

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie mulimea 21

    ( ) ( )1

    x xM A x M R

    x x

    .

    (5p) a) Calculai detA(2011).(5p) b) Artai c mulimea M este stabil n raport cu nmulirea matricelor.(5p) c) Artai c A(2011) este inversabil i determinai matricea 2011nA .

    2. Fie permutrile de gradul 5:12345

    45132

    ,12345 12345

    ,25431 53421

    .

    (5p) a) Determinai semnul permutrii .(5p) b) Determinai permutarea 1 .(5p) c) Rezolvai ecuaia x .

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie funcia f : , ( ) 2 4 2D R f x x x .(5p) a) Determinai domeniul maxim de definiie al funciei f.(5p) b) Determinai domeniul de derivabilitate al funciei f.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    35

    (5p) c) Aplicai teorema lui Lagrange funciei f pe intervalul 11,18 i determinai punctulc corespunztor.

    2. Se consider funciile 0f : , ( )n R R f x x i 1( ) cos ( )n nf x f x , 0n .

    (5p) a) Calculai2

    2

    0

    ( )sinf x xdx

    .

    (5p) b) Artai c funciile fn sunt mrginite, n N .

    (5p) c) Determinai volumul corpului de rotaie determinat de funcia

    1: 0, , ( ) ( )2g R g x f x

    .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 25

    Prof. Ioan Lung

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Determinai rdcina ptrat a numrului 1 4 3z i .

    (5p) 2. Rezolvai sistemul2 2

    2 0

    3 2 7 4

    x y

    x xy y x y

    (5p) 3. Studiai injectivitatea funciei 2f : , ( ) 2 3 2R R f x x x .

    (5p) 4. Determinai termenul din mijloc al dezvoltrii20

    3 2 1aa

    .

    (5p) 5. Considerm punctele ( 3, 3)A i (1,3)B . Determinai ecuaia mediatoareisegmentului AB .(5p) 6. Calculai tg( 75 ).

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    36

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Se consider determinantula b c

    c a b

    b c a

    , a,b,c

    (5p) a) Calculai determinantul .(5p) b) Calculnd determinantul n dou moduri, artai c

    3 3 3 2 2 23 ( )( )a b c abc a b c a b c ab ac bc (5p) c) Rezolvai pe R ecuaia 3 3 8 6x y xy tiind c 2 0x y .

    2. Fie 0, \ 1G i legea de compoziie ln yx y x .(5p) a) Artai c legea este asociativ i comutativ.

    (5p) b) Artai c ( , )G este grup abelian.(5p) c) Determinai numrul ...e e e , unde e apare de n ori.

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie irul 1n na ,

    2

    33 3 3 3 3

    7 19 3 3 1...

    1 2 2 3 1n

    n na

    n n

    .

    (5p) a) Determinai termenul general al irului 1n na .(5p) b) S se calculeze

    3

    lim nnn

    a

    .

    (5p) c) S se calculeze 1lim sin sinn nn

    na na .

    2. Se consider funcia2

    2f : , ( ) min ,

    1R R f x x

    x

    .

    (5p) a) Explicitai funcia f i artai c admite primitive.(5p) b) Determinai primitivele funciei f.(5p) c) Calculai aria suprafeei mrginit de graficul funciei f, axa Ox i dreptele verticale

    1, 2x x .www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    37

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta26

    Prof. Ioan Lung

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Calculai 2 3 2011cos cos 2 cos3 ... cos 2011i i i i .(5p) 2. S se determine valorile parametrului real m astfel nct ntre soluiile 1 2,x x aleecuaiei 21 5 7 2 0m x m x s existe relaia 1 2 3x x .

    (5p) 3. Rezolvai pe mulimea numerelor reale ecuaia 52 81

    log 15log2

    x x .

    (5p) 4. Considerm o mulime A cu 10 elemente. Care este probabilitatea ca alegnd osubmulime a lui A, aceasta s conin dou elemente?(5p) 5. Considerm punctele ( 4, 2), (2,0), ( 5,1)A B C . Artai c dreptele AB i AC suntperpendiculare.(5p) 6. Rezolvai pe mulimea 0, ecuaia 2sin 3 1 0x .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Fie sistemul

    2 1

    1

    2,

    x y mz

    x y z

    x my z m R

    (5p) a) Determinai parametrul m astfel nct sistemul s admit o singur soluie.(5p) b) Determinai parametrul m astfel nct sistemul s fie incompatibil.(5p) c) Determinai parametrul m astfel nct sistemul s admit o singur soluie 0 0 0, ,x y z cu 0 0y .

    2. Pe mulimea 7,G se definete legea de compoziie 7 7 56x y xy x y .(5p) a) Artai c ( , )G este grup abelian.(5p) b) Rezolvai pe R ecuaia

    2011

    ... 7ori

    x x x .

    (5p) c) Fie funcia f : 0, , ( )G f x ax b . Determinai numerele reale a i b astfelnct funcia f s fie un izomorfism de la grupul ( , )G la grupul * ,R .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    38

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Considerm funcia 2f : , ( ) ln 1R R f x xarctgx x .(5p) a) Calculai f x .(5p) b) Artai c funcia f este strict cresctoare.(5p) c) Demonstrai c *( ) 0,f x x R .

    2. Se consider funcia 1 1f : , , ( )3 3 1

    R f xx

    .

    (5p) a) Determinai primitivele funciei f.

    (5p) b) Calculai0

    1lim

    n

    nk

    kf

    n n

    .

    (5p) c) Fie F o primitiv a funciei f astfel nct 503

    F . Rezolvai ecuaia

    1F x f x .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 27

    Prof. Viorica Lungana

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Scrierea zecimal a numrului37

    1este ......,0 321 naaaa . S se determine 2011a .

    (5p) 2. S se determine rdcinile reale ale ecuaiei : 0342 xx .(5p) 3. S se arate c numrul de submulimi ale unei mulimi cu n elemente este n2 .(5p) 4. Un copac cu nlimea de 10 m crete n fiecare lun cu 4% din nlimea sa. Ce

    nlime va avea copacul dup dou luni?

    (5p) 5. Fie ,0,, cba cu 1,, cba . Artai c: 1lglglg ba

    a

    c

    c

    b

    cba .

    (5p) 6. n triunghiul ABC se dau 6BC ,2

    A i

    6

    C . Calculai:

    BCAC ,

    ABAC ,

    BCBA .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    39

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Se consider matricele:

    369

    246

    123

    A ,

    100

    010

    001

    3I i AIB 3 .

    (5p) a) S se calculeze determinantul i rangul matricei A.

    (5p) b) Dac

    3

    2

    1

    X i 123Y , s se calculeze matricea XYAS .

    (5p) c) S se arate c matricea B este inversabil i inversa sa este matricea

    AIB11

    13

    1 .

    2. Fie ,*I grup abelian, unde ,1I R i legea de compoziie este definit prin2* 2222 yxyxyx , Iyx , .

    (5p) a) S se determine elementul neutru i mulimea elementelor simetrizabile.(5p) b) S se arate c ntre grupurile ,*R i ,*I exist un izomorfism ,1,0:f

    de forma mxxf , unde m R, se va determina.(5p) c) Fie Ix . S se calculeze

    oride

    xxxx100

    *...*** .

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie un ir nf astfel ca pentru orice n N s avem: nfnfnf 31 i

    2

    10 f .

    (5p) a) S se calculeze 4,3,2,1 ffff .(5p) b) Exprimai termenul general nf n funcie de n.(5p) c) S se calculeze nffffSn ....210 i s se arate c

    3

    01 fnfSn

    2. Fie :f RR o funcie care admite ca primitiv funcia F cu proprietatea xxxfxF ,sin R.

    (5p) a) Calculai xdxe x sin .(5p) b) Calculai derivata funciei xexF .(5p) c) Dac 00 f , atunci determinai funcia f .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    40

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 28

    Prof. Viorica Lungana

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se determine valorile parametrului real m pentru care ecuaia 012 mxx arerdcini complexe.

    (5p) 2. S se rezolve ecuaia 02

    3

    3

    1

    xx.

    (5p) 3. S se calculeze a , pentru

    n

    kk

    a0 2

    1, unde a este partea ntreag a numrului

    real a.(5p) 4. S se calculeze suma nnaaaaS ...32 32 , a R.(5p) 5. O trup de actori are n componena sa 4 brbai, 3 femei i 3 copii. n cte moduri

    se poate face distribuia ntr-o pies de teatru care are 2 roluri de brbai, 2 roluri defemei i un rol de copil?

    (5p) 6. Calculai ctgttgt 43 , tiind c 052sin42cos3 tt .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. nM 2(C) se consider matricele

    10

    012I ,

    00

    002O i submulimea

    Cwzzw

    wzG ,____ .

    (5p) a) S se verifice c GI 2 i GO 2 .

    (5p) b) S se calculeze z i w dac 0____ zw

    wz.

    (5p) c) S se arate c dac GQP , , atunci GQP .

    2. Pentru orice n Z, considerm funcia nxxff nn 222,,2,2: . Sse arate c:

    (5p) a) nmfff nmnm ,; Z.(5p) b) Mulimea ZnfG n mpreun cu operaia de compunere a funciilor este grup

    comutativ.(5p) c) Grupul ,G este izomorf cu grupul aditiv al numerelor ntregi ,Z .

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    41

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia ,0:f R, 22 1

    12

    xx

    xxf i irul 1nna definit prin

    nfffan ...21

    (5p) a) S se verifice egalitatea

    ,0,1

    1122

    xxx

    xf .

    (5p) b) S se arate c

    nn

    nnan ,

    1

    22

    2

    N*.

    (5p) c) S se calculeze nnfnn

    a1

    lim

    .

    2. Fie funcia

    3

    2,

    3

    51,1:

    f , xxxf arccos

    3

    2

    .

    (5p) a) S se arate c f este funcie bijectiv.

    (5p) b) Calculai:

    2

    1

    2

    121

    dxx

    x.

    (5p) c) Calculai:

    0

    1

    dxxf .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 29

    Prof. Viorica Lungana

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. a) S se arate c xxxxx ,21

    1

    1

    21

    1N.

    b) S se calculeze suma20112010

    1...

    43

    1

    32

    1

    21

    1

    S .

    (5p) 2. Cte laturi are un poligon convex cu msurile n grade ale unghiurilor n progresiearitmetic de raie 20 , dac cel mai mic unghi are 68 ?

    (5p) 3. S se dea un exemplu de dou numere iraionale cu proprietatea c suma i produsul

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    42

    lor sunt numere raionale strict pozitive.

    (5p) 4. S se rezolve ecuaia 43232 1212 xx .(5p) 5. Folosind metoda induciei matematice, demonstrai inegalitatea:

    1,121...2

    1

    1

    1222

    nnn

    .

    (5p) 6. S se rezolve ecuaia: 02sinsin xx .

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. n M 3(C) se consider matricele

    100

    010

    001

    3I i

    000

    100

    230

    A .

    (5p) a) Calculai matricele: 2A i 3A .(5p) b) S se arate c pentru orice z C, determinantul matricei zAI 3 este egal cu 1.(5p) c) Calculai: 233 AAIAI . Ce putei spune de inversa matricei AI 3 ?

    2. Fie gf , Z5 X ,

    145 XXf ,

    23235 XXXXg .(5p) a) S se afle cel mai mare divizor comun al celor dou polinoame.(5p) b) S se afle cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f i g.(5p) c) S se rezolve ecuaia xgxf .

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia :f RR dat de legea 1

    122

    xx

    xxf .

    (5p) a) S se studieze continuitatea funciei f pe R.(5p) b) S se studieze derivabilitatea funciei f n punctul 1x .(5p) c) Cercetai cte puncte de extrem are funcia f .

    2. Se consider irul 0nnI , e

    nn dxxI

    1

    ln .

    (5p) a) Calculai 0I i 1I .(5p) b) Gsii o formul de recuren pentru irul 0nnI .(5p) c) Studiai convergena irului i, n cazul n care este convergent, calculai limita sa.

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    43

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 30

    Prof. Viorica Lungana

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se determine funcia de gradul al doilea :f RR, cbxaxxf 2 , astfelnct graficul ei s conin punctele 4,1;1,3;2,1 CBA .

    (5p) 2. S se determine parametrul real m astfel nct yxmyxyx ,,06422 R.

    (5p) 3. Fie :f R 2 R 2

    ,1

    x

    xxf . S se arate c funcia f este bijectiv i s se

    calculeze xf 1 .

    (5p) 4. S se determine coeficientul lui 8x n dezvoltarea binomului25

    2

    1

    xx .

    (5p) 5. S se calculeze imaginea funciei :f RR, 1

    32

    2

    x

    xxxf .

    (5p) 6. Dintr-un far nalt de 100 m (fa de nivelul mrii) se vd pe mare dou nave peaceeai linie cu baza farului, una sub un ungh de 45 i cealalt sub un unghi de 30 .

    Aflai distana dintre cele dou nave.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Se consider sistemul

    12

    1

    02

    zmyx

    zmyx

    zymx

    , unde m R.

    (5p) a) S se rezolve sistemul pentru 1m .(5p) b) S se determine parametrul real m, astfel nct sistemul s fie compatibildeterminat.(5p) c) S se determine parametrul real m, astfel nct sistemul s fie incompatibil.

    2. Se consider polinomul cbacbXaXXf ,,;34 R.(5p) a) Pentru 501c s se demonstreze c 200811 ififff , unde

    12 i .(5p) b) Pentru 2a , 2b , 1c s se determine rdcinile polinomului f.(5p) c) S se demonstreze c nu exist valori reale ale coeficienilor cba ,, astfel ca f s se

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    44

    divid cu XXg 3 .

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie funcia real Ef : R, 168143 xxxxxf .(5p) a) Determinai domeniul de definiie i artai c funcia f se poate scrie

    ,101

    10,5,512

    5,1,1

    xdacxdacxxdac

    xf

    (5p) b) Studiai continuitatea funciei f n punctele 51 x i 102 x i calculai derivatafunciei.

    (5p) c) Cercetai dac funcia f este derivabil n punctele 51 x i 102 x . Stabiliidomeniul de derivabilitate al funciei. Ce fel de puncte sunt 51 x i 102 x pentrugraficul funciei f ?

    2.(5p) a) Demonstrai inegalitatea 0,1ln xxx .

    (5p) b) Artai c 01lnlim1

    0

    2

    dxa

    xx nn

    n, unde 0a .

    (5p) c) S se calculeze

    1

    02

    22lim dx

    axx

    xxn

    nn

    nn

    n, unde 0a .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 31

    Prof. Blandina Maniiu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1 S se determine partea imaginar a numrului complex z1

    .1

    i

    i

    (5p) 2. Se consider funcia f : , f(x)=x +2.S se rezolve ecuaia f 2( ( )) ( ).f x f x(5p) 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 12 9 9 7.x x

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    45

    (5p) 4. S se rezolve sistemul:! 6

    ,! 25

    x

    y

    unde x,y .

    (5p) 5. S se determine parametrul real m,tiind c dreptele distincte d 1: 3 2mx y i d 2:12 2 3 0x y sunt perpendiculare pe aceeai dreapt d.

    (5p) 6. Comparai elementele cos2 i cos3.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1. Se consider mulimea M= , ,1

    / 0 1 0 , ,

    0 0 1p q p q

    p q

    A A p q

    3 .M

    (5p) a) S se arate c oricare ar fi m,n,p,q avem: , ,m n p qA A M .(5p) b) S se arate c orice matrice din M este inversabil i s se afle inversa ei.(5p) c) S se afle n funcie de p i q rangul matricei ,p qA

    1, .p qA

    2. Se consider polinomul f= 5 4 3 22 5 6 16X X X X X .(5p) a) S se afle rdcinile ntregi ale polinomului f.(5p) b) Aflai 2 2 2 2 21 2 3 4 5 .x x x x x (5p) c) Aflai rdcinile reale ale polinomului f .

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie f: 0, ,f(x)= lnx x .(5p) a) Aflai asimptotele funciei f.(5p) b) Studiai monotonia funciei f pentru x>0.(5p) c) Demonstrai c f(x)>0 pentru x>1.

    2. Fie f: , f(x)= 1 .2 sin x

    (5p) a)Studiai mrginirea funciei f pentru x .

    (5p) b) Calculai2

    0

    ( ) .f x dx

    (5p) c) Demonstrai c orice primitiv F(x) a funciei f(x) este strict cresctoare i

    calculai2011

    0

    1lim ( ) .

    x

    xf t dt

    x ww

    w.ma

    teinfo

    .ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    46

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 32

    Prof. Blandina Maniiu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se determine partea ntreag a numrului 3 2 2.

    (5p) 2. Studiai paritatea funciei f: 2, 2 2, , ( ) ln .2

    xf x

    x

    (5p) 3. S se rezolve n ecuaia 10 2 10 3x x (5p) 4. Calculai 0 2 88 8 8...C C C .(5p) 5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele

    2,1 , 2,2A B i 5, 3C .S se scrie ecuaia dreptei care trece prin C i esteperpendicular pe AB.

    (5p) 6. Calculai sin cos .8 8

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1.Se consider matricea A 31 1 1

    1 1 1 .

    1 1 1

    M

    (5p) a) Calculai rang A.(5p) b) Aflai 1A .(5p) c) Dac B=A 12A s se afle B 2011 .

    2. Fie G=(2, ) i 2 2 6, , .x y xy x y x y (5p) a) Demonstrai c G este parte stabil a lui n raport cu legea .(5p) b) Aflai mulimea elementelor simetrizabile n raport cu legea .(5p) c) Ct este suma i produsul soluiilor ecuaiei 11x x ?

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Se consider funcia f: , 2 .f x arctg x arctgx (5p) a) Aflai ecuaiile asimptotelor la graficul funciei f.(5p) b) Studiai monotonia funciei .

    (5p) c) Artai c 0 ( ) , .2

    f x x

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    47

    2. Se consider funcia f:2

    , 1, ( ) .

    , 12

    xxe xf x a

    xx x

    (5p) a) S se afle valoarea parametrului real a pentru care f este continu n x 0 1.(5p) b) Pentru a=3e demonstrai c f admite primitive pe .

    (5p) c) Calculai2

    0

    ( ) ,f x dx pentru a=3e.

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 33

    Prof. Blandina Maniiu

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. Aflai inversa funciei f: , ( ) 3 4.f x x

    (5p) 2. Aflai modulul numrului complex z 1 2 .1 2

    i

    i

    (5p) 3. Aflai o relaie independent de m ,ntre rdcinileecuaiei 2 2( 1) 2 1 0, .x m x m m

    (5p) 4. Calculai suma 1 1! 2 2! ... n !n , *n .(5p) 5. Aflai aria triunghiului ABC tiind c AB4,AC6 i m( 0) 15 .A (5p) 6. Fie A(1,-2),B(-3,0) i C(1,2).Scriei ecuaia nlimii din A ,a

    triunghiului ABC.

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1.Se consider matricea A(x)2

    1 0 0

    1 0 , .

    2 2 4 1

    x x

    x x x

    (5p) a) S se rezolve ecuaia S0 unde S este suma tuturor elementelor matricei.(5p) b) Calculai A(x) ( ), , .A y x y (5p) c) Aflai A *(2011), .n n

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    48

    2. Se consider polinomul f X 4 24 16X X i numrul 3 .i (5p) a) Calculai f( ).(5p) b) Aflai toate rdcinile polinomului f.(5p) c) Descompunei polinomul f n factori ireductibili n X

    SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

    1. Fie f2 1

    : , ( ) ln ,1

    xD f x D

    x

    este domeniul maxim de definiie al

    funciei f.(5p) a) S se afle D i s se determine asimptotele verticale la graficului funciei f.(5p) b) Studiai derivabilitatea funciei i calculai ( ).f x(5p) c) Scriei ecuaia tangentei la graficul funciei f ,n punctul de abscis x 3.

    2. Fie f n : ,f n ( ) 2 ,xnx x e n ,i I

    1

    1

    .n nf x dx

    (5p) a) Studiai paritatea funciei f ( ).n x(5p) b) Calculi 0I .

    (5p) c) S se determine1

    0 2011

    1

    ( ( ) ( ))f x f x dx

    .

    EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)

    Prob scris la MATEMATIC

    Varianta 34

    Prof. Maniiu Blandina

    Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.

    Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore La toate subiectele se cer rezolvri complete.

    SUBIECTUL I (30 de puncte)

    (5p) 1. S se rezolve n ecuaia 3log 2 2 23 5log 2 2 0.xx

    (5p) 2. Dac 3 2,3

    x y

    x y

    aflai x

    y,x,y , 0, 3 0.y x y

    (5p) 3. Aflai mulimea 2 8log log 8 .x x x (5p) 4. Determini valorile parametrului real m, astfel nct ecuaia

    2 ( 2) 4 0x m x s nu admit solii reale.(5p) 5. Fie dreptele de ecuaii 1 2: 2 1 0, : 3 4 0d x y d x y

    www.

    matei

    nfo.ro

    www.mateinfo.ro

  • Bacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro

    49

    i 3 : 3 0d x y m .Determinai m real astfel nct dreptele sfie concurente.

    (5p) 6. S se rezolve n 0,2 ecuaia cos2x sin 2 1.x

    SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

    1.Se consider sistemul de ecuaii liniare1

    ( 1) 2

    ( 1)

    mx y z

    m x y z

    x y m z m

    i A matricea sistemului

    (5p) a) S se calculeze determinantul matricei A, i s se afle valorile lui m pentrucare matricea are rang maxim

    (5p) b) S se determine valoarea lui m pentru care sistemul este compatibildeterminat.

    (5p) c) Pentru m 2 s se rezolve sistemul.

    2. Fie polinomul f 4 3 2 1X X X X cu rdcinile 1 2 3 4, , ,x x x x .(5p) a) Aflai media aritmetic i media geometric a rdcinlor 1 2 3 4, , ,x x x x .(5p) b) Calculai 11 201 2001 20111 2 3 4 .x x x x

    (5p) c) Aflai ctu