TESTE GRIL‚ DE MATEMATIC‚ - upt.ro .TESTE GRIL‚ DE MATEMATIC‚ pentru examenul de bacalaureat

  • View
    231

  • Download
    3

Embed Size (px)

Text of TESTE GRIL‚ DE MATEMATIC‚ - upt.ro .TESTE GRIL‚ DE MATEMATIC‚ pentru...

  • TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ

    pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior

    la

    UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” DIN TIMISOARA

  • PREFAŢĂ Prezenta culegere se adresează deopotrivă elevilor de liceu, în scopul instruirii lor curente, cât şi absolvenţilor care doresc să se pregătească temeinic în vederea examenului de bacalaureat şi a concursului de admitere în universităţi de prestigiu în care admiterea se face pe baza unor probe la disciplinele de matematică. Conţinutul culegerii este adaptat noului curriculum de matematică care prin setul de competenţe, valori şi atitudini pe care le promovează asigură premisele pentru o integrare profesională optimă prin trasee individuale de învăţare şi formare. Având în vedere diversitatea datorată existenţei unui mare număr de manuale alternative, am căutat să unificăm diferitele maniere de prezentare prin alegerea unor probleme pe care le considerăm indispensabile pentru abordarea cu succes a cursurilor de matematică din ciclul întâi de la toate facultăţile Universităţii „Politehnica”din Timişoara. La alcătuirea problemelor s-a avut în vedere o reprezentare corespunzătoare atât a părţii de calcul, cât şi a aspectelor de judecată, respectiv, de raţionament matematic. Gradul de dificultate al problemelor nefiind cel al unei olimpiade de matematică, acestea vor putea fi abordate de orice elev sau absolvent cu o pregătire medie a părţii teoretice şi care posedă deprinderi de calcul corespunzătoare. Problemele sunt prezentate după modelul „test”, cu şase răspunsuri fiecare, dintre care unul singur este corect. Conştienţi de faptul că doar urmărirea rezolvării unor probleme nu duce la formarea deprinderilor de calcul şi a unui raţionament matematic riguros, autorii au ales varianta problemelor propuse fără rezolvări. De asemenea, pentru a nu „forţa” în rezolvare obţinerea unui rezultat dinainte cunoscut, nu se face precizarea care dintre cele şase răspunsuri este adevărat, aceasta rezultând în urma unei rezolvări corecte. Totuşi, pentru unele problemele cu un grad mai mare de dificultate, autorii au considerat necesar să dea indicaţii şi rezolvări integrale. Ţinând cont de faptul că prezenta carte va fi folosită şi la întocmirea subiectelor pentru concursul de admitere la Universitatea „Politehnica” din Timişoara, invităm absolvenţii de liceu să rezolve testele din acest volum, adăugându-şi astfel cunoştinţe noi la cele deja existente şi implicându-se prin aceasta în demersul de evaluare a propriilor competenţe. Departamentul de Matematică al UPT

  • DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ

    PROGRAMA ANALITICĂ Elemente de algebră Progresii aritmetice şi geometrice. Funcţii: funcţia parte întreagă, funcţia radical, funcţia de gradul al doilea. Ecuaţii iraţionale. Sisteme de ecuaţii neliniare. Funcţia exponenţialǎ şi funcţia logaritmicǎ. Ecuaţii exponenţiale şi ecuaţii logaritmice. Permutări, aranjamente, combinări. Binomul lui Newton. Numere complexe sub formă algebrică şi sub formă trigonometrică. Matrice.Determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. Legi de compoziţie. Grupuri. Inele şi corpuri. Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp comutativ. Elemente de geometrie şi trigonometrie

    Funcţii trigonometrice. Relaţii între funcţii trigonometrice. Ecuaţii trigonometrice. Aplicaţii trigonometrice în geometria plană: teorema cosinusului, teorema sinusurilor; rezolvarea triunghiurilor. Dreapta în plan. Ecuaţii ale dreptei. Condiţii de paralelism şi condiţii de perpendicularitate a două drepte. Calcule de distanţe şi arii. Ecuaţii ale cercului în plan. Elemente de analiză matematică

    Limite de şiruri. Limite de funcţii. Continuitate. Derivabilitate. Aplicaţii ale derivatelor în studiul variaţiei funcţiilor. Primitive. Integrala definită. Aplicaţii ale integralei definite: aria unei suprafeţe plane, volumul unui corp de rotaţie, calculul unor limite de şiruri.

  • Această culegere este recomandată pentru admiterea la următoarele facultăţi ale Universităţii „Politehnica” din

    Timişoara:

    Facultatea de Arhitectură

    Facultatea de Automatică şi Calculatoare

    Facultatea de Electronică şi Telecomunicaţii

  • CUPRINS ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL ).....................................................................................................................9 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol GT ).................................................................................................................165 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )................................................................................................................217 PROBLEME MODEL CU REZOLVĂRI...............................................................320 BIBLIOGRAFIE……………………………………………………………..………358

  • 6

  • ELEMENTE DE ALGEBRĂ

  • 10 Culegere de probleme ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL) AL - 001 Care este cel de-al 10-lea termen al şirului 1,3,5,7,...? a) 10 b) 11 c) 15 d) 20 e) 19 f) 17 AL - 002 Să se găsească primul termen a1

    ( )a n n≥1

    şi raţia r ai unei progresii aritmetice

    dacă : a a a a a a

    2 6 4

    8 7 4

    7 2

    − + = − − =

      

    .

    a) a r1 4 3= − =, b) a r1 4 4= − =, c) a r1 3 1= − =, d) a r1 5 2= − =, e) a r1 2 2= − =, f) a r1 1 1= =, AL - 003 Să se determine suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice (an), dacă a1=2, a5

    S n nn = +5 6 2

    =14. a) 10100 b) 7950 c) 15050 d) 16500 e) 50100 f) 350 AL - 004 Pentru o progresie aritmetică suma primilor n termeni ai ei este . Să se determine primul termen a1

    a r1 11 9= =,

    şi raţia r. a) b) a r1 11 10= =, c) a r1 11 11= =,

    d) a r1 10 11= =, e) a r1 10 10= =, f) a r1 9 9= =, AL - 005 Să se determine raţia şi primul termen ale unei progresii aritmetice pentru

    care a S S Sn n n5 218 1 4

    = =, , iar unde este suma primilor n termeni ai progresiei.

    a) a r1 6 3= =, b) a r1 14 1= =, c) a r1 2 4= =,

    d) a r1 2 5= − =, e) a r1 8 5 2

    = =, f) a r1 1 1= =,

  • Elemente de algebră 11

    AL - 006 Să se determine x∈R astfel încât următoarele numere: 3 1 5

    x +    

    , 2 1x + ,

    4 1x + să fie în progresie aritmetică, unde [ ]α reprezintă partea întreagă a lui α ∈R .

    a) 3

    ,3 4

    x∈    ; b)

    4 ,3

    3 x∈   

    ; c) 4

    ,3 3

    x∈     ;

    d) 3

    ,3 4

    x∈    

    ; e) 4

    ,3 3

    x∈    ; f) x∈φ

    AL - 007 Să se determine x∈R astfel încât următoarele numere să fie în progresie

    aritmetică: 3

    1 x

    x +     

    , 4 1x − , 5 x     

    , unde x ∗∈N .

    a) { }1, 2,3x∈ ; b) 5x = c) 1x = d) { }5,6,7,8x∈ e) 0x = f) x∈φ AL - 008 Să se determine x∈R astfel încât următorul triplet să fie format din numere în progresie geometrică 1 , 4, 3 5x x+ − +

    a) 11

    ,1 3

    x −    

    b) 11

    , 1 3

    x −    

    c) x∈φ

    d) { }1x∈ e) 11 3

    x∈ −    

    f) 11

    1, 3

    x∈    

    AL – 009 Fie ( ) 1an n≥ un şir având suma primilor n termeni

    2S n an bn = + + , unde

    ,a b∈R , pentru orice 1n ≥ . Să se determine a şi b astfel încât şirul ( ) 1an n≥ să fie progresie aritmetică cu primul termen egal cu 2. a) 2, 3a b= = b) ( ), 1, 2a b∈ ∈R c) 1, 0a b= = d) 2, 0a b= = e) 2, 1a b= = f) 1, 2a b= =

  • 12 Culegere de probleme AL – 010 Fie , ,p q p q∗∈ ≠N . Să se determine raţia unei progresii aritmetice în care primul termen este 3, iar raportul între suma primilor p termeni şi suma primilor q

    termeni este 2

    2 p

    q .

    a) 1 b) 2 c) 6 d) 5 e) 4 f) 3 AL – 011 Fie { }0\,...,, 21 R∈naaa termenii unei progresii aritmetice cu raţia 0≠r .

    În funcţie de na ,1 şi r să se calculeze suma: nn

    n aaaaaa S

    13221

    1...11 −

    +++= .

    a) ( )naa n +11

    b) rnaa

    n 1

    2 1

    1 + +

    c) ( )[ ]rnaa n

    1 1

    11 −+ −

    d) ( )nraa n − −

    11

    1 e) ( )nra

    n +1

    f) ( )rna n

    1 2

    1 −+ +

    AL – 012 Să se determine numărul termenilor unei progresii aritmetice des