Bacalaureat 2014 Matematică Informatică

Ministerul Educaiei Naionale

Centrul Naional de Evaluare i Examinare

Prob scris la matematic M_mate-info Model

Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic

Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Examenul de bacalaureat naional 2014

Proba E. c)

Matematic M_mate-info

Model



Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. Determinai numerele reale a i ,b tiind c a ib+ este conjugatul numrului complex 1

1

iz

i

+=

.

5p 2. Determinai coordonatele vrfului parabolei asociate funciei :f , ( ) 2 4 12f x x x= + .

5p 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia ( ) ( )23 3log 4 log 6 12x x = . 5p 4. Calculai probabilitatea ca, alegnd la ntmplare un numr din mulimea numerelor naturale de

trei cifre, acesta s fie divizibil cu 100.

5p 5. Se consider punctele A , B i C astfel nct 4 3AB i j=

i 2 5BC i j=

. Determinai lungimea

vectorului AB AC BC+ +

.

5p 6. Calculai lungimea laturii AC a triunghiului ABC , tiind c 8BC = , 4

A

= i 7

12C

= .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Pentru fiecare numr real x se consider matricea ( )1 2

2 1 1

1 0

x

A x

x

=

.

5p a) Artai c ( ) ( ) 2 (0)A x A x A+ = , pentru orice numr real x .

5p b) Determinai numrul real x pentru care ( )( )det 0A x = .

5p c) Artai c exist o infinitate de matrice ( )3,1X M care verific relaia ( )0

1 0

0

A X

=

.

2. Se consider polinomul 3 2 1f X mX mX= + + + , unde m este un numr real.

5p a) Calculai ( )1f . 5p b) Determinai numrul real m tiind c 2 2 21 2 3 1x x x+ + = , unde 1 2 3, ,x x x sunt rdcinile complexe

ale polinomului f .

5p c) Determinai valorile reale ale lui m pentru care toate rdcinile polinomului f sunt reale.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consider funcia :f , 2( ) 1f x x x= + + .

5p a) Calculai '( )f x , x .

5p b) Determinai ecuaia asimptotei spre + la graficul funciei f .

5p c) Determinai intervalele de monotonie ale funciei f .

2. Pentru fiecare numr natural nenul n se consider numrul ( )1

0

1n x

nI x e dx= .

5p a) Calculai 1I .

5p b) Artai c ( )1 1 1n nI n I+ = + , pentru orice numr natural nenul n .

5p c) Demonstrai c 1 1

! 1 ...1! !

nI n en

=

, pentru orice numr natural nenul n .




Barem de evaluare i de notare



1

Examenul de bacalaureat naional 2014

Proba E. c) Matematic M_mate-info


Model Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic


Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem.

Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. z i=

z i= 0a = , 1b =

2p

1p

2p

2. 2Vx =

16Vy = 2p 3p

3. 2 24 6 12 6 8 0x x x x = + =

1 2x = nu convine i 2 4x = verific ecuaia 2p

3p

4. Numerele divizibile cu 100 din mulimea numerelor naturale de trei cifre sunt 100, 200, 300,

400, 500, 600, 700, 800 i 9009 cazuri favorabile Numrul numerelor naturale de trei cifre este 900900 de cazuri posibile

nr. cazuri favorabile 1

nr. cazuri posibile 100p = =

2p

1p

2p

5. 6 8 10AC i j AC= =

Lungimea vectorului 2AB AC BC AC+ + =

este egal cu 20

2p

3p

6.

6B

=

4 2sin sin

BC ACAC

A B= =

2p

3p


1.a)

( ) ( )1 2 1 2

2 1 1 2 1 1

1 0 1 0

x x

A x A x

x x

+ = + =

2p

( )0 2 4

4 2 2 2 0

2 0 0

A

= =

, pentru orice numr real x 3p

b)

( ) 21 2

det ( ) 2 1 1 2 1

1 0

x

A x x x

x

= = +

3p

( )( )det 0 1A x x= = 2p c)

( )1 1 2

1 2 1 1

1 0 1

A

=

; pentru

x

X y

z

=

avem ( )0 2 0

1 0 2 0

0 0

x y z

A X x y z

x z

+ + = = + + = =

care este

sistem omogen

3p

Determinantul sistemului este egal cu 0 sistemul are o infinitate de soluii exist o infinitate de matrice X

2p







2

2.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 21 1 1 1 1f m m = + + + = 2p 1 1 0m m= + + = 3p

b) 1 2 3x x x m+ + = i 1 2 1 3 2 3x x x x x x m+ + = 2p 2 2 2 21 2 3 2x x x m m+ + = 1p 2 2 1 1m m m = = 2p

c) ( ) ( )( )21 1 1f X X m X= + + + 2p f are toate rdcinile reale ( ) ( ] [ )21 4 0 , 1 3,m m + 3p


1.a) ( )'22

1'( ) 1

2 1f x x x

x x= + + =

+ + 2p

2

2 1

2 1

x

x x

+=

+ +, pentru orice x 3p

b) ( )lim 1

x

f x

x+= 2p

( )2

1 1lim ( ) lim

21x x

xf x x

x x x+ +

+ = =

+ + + 2p

Dreapta de ecuaie 1

2y x= + este asimptot oblic spre + la graficul funciei f 1p

c) 1'( ) 0

2f x x= = 1p

'( ) 0f x pentru orice 1

,2

x f +

este cresctoare pe 1

,2

+ 2p

'( ) 0f x pentru orice 1

,2

x f

este descresctoare pe 1

,2

2p

2.a) 1 11

1 00 0

(1 ) (1 ) |x x xI x e dx x e e dx= = + = 3p

2e= 2p b)

( ) ( )1 1

' '11 1 11 0

0 0

(1 ) (1 ) (1 )|n x n x n xnI x e dx x e x e dx+ + +

+ = = = 2p

1

0

1 ( 1) (1 ) 1 ( 1)n x nn x e dx n I= + + = + + , pentru orice numr natural nenul n 3p

c) Demonstraie prin inducie matematic: 1

11! 1 2

1!I e e

= =

, deci proprietatea este

adevrat pentru 1n = 1p Presupunem proprietatea adevrat pentru numrul natural nenul k . Avem

( ) ( ) ( )( )1

1 1 1 11 1 1 ! 1 ... 1 1 ! 1 ...

1! ! 1! 1 !k kI k I k k e k e

k k+

= + = + = + + , deci

proprietatea este adevrat pentru orice numr natural nenul n 4p

Ministerul Educaiei Naionale Centrul Naional de Evaluare i Examinare

Prob scris la matematic M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XI-a Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naional 2014 Proba E. c)

Matematic M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XI-a

Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculai z z+ , tiind c 3 4z i= + i z este conjugatul numrului complex z . 5p 2. Determinai numrul real pozitiv m pentru care dreapta 2x = este ax de simetrie a graficului

funciei :f , ( ) ( )2 22 1 3f x x m x= + . 5p 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia ( )2 2log 2 1 2logx x = . 5p 4. Determinai cte numere naturale abc , cu ,a b i c nenule, au suma cifrelor egal cu 5 . 5p 5. Se consider triunghiul ABC i punctul D astfel nct 0DB DC+ =

. Determinai numrul real p

pentru care ( )AD p AB AC= + . 5p 6. Calculai lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC , tiind c 6AC = i 4cos 5B = .


1. Se consider determinantul ( )2 2

1 1 1, 2

1 1 5D x y x y

x y=

+ +

, unde x i y sunt numere reale.

5p a) Calculai ( )1, 1D . 5p b) Artai c ( ) ( )( )( ), 2 2D x y x y y x= , pentru orice numere reale x i y . 5p c) Determinai numerele reale x pentru care ( )2 ,4 0x xD = .

2. Se consider matricea ( )1 11 1

1 1

x

A x xx

=

, unde x este numr real.

5p a) Calculai ( ) ( )1 2A A . 5p b) Demonstrai c ( )A n este inversabil pentru orice numr natural n , 1n . 5p c) Determinai inversa matricei ( )0A .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consider irul de numere reale ( ) 1n na , 21n na n

+= .

5p a) Artai c 1 1nn

a

a+ < pentru orice numr natural nenul n .

5p b) Demonstrai c irul ( ) 1n na este mrginit. 5p c) Calculai ( ) 2 2lim nn

nna

+

+.

2. Se consider funcia :f , ( )2 , 2

0, 2, 22 1

x a x

f x xx b

xx

+

+

, unde a i b sunt numere reale.

5p a) Determinai ecuaia asimptotei spre + la graficul funciei f . 5p b) Determinai numerele reale a i b pentru care funcia f este continu pe . 5p c) Pentru 2b = , rezolvai n mulimea ( )2, + inecuaia ( )( )( )7 1 2 16 0xf x .


Prob scris la matematic M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XI-a Barem de evaluare i de notare Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 1 din 2


Matematic M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XI-a

Barem de evaluare i de notare Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 3 4z i= 2p 6z z+ = 3p

2. 221 2 9 0

4m

m

= = 3p

3m = nu convine, 3m = convine 2p 3. 22 1x x = 2p

1x = , convine 3p 4. 5a b c+ + = cifrele nenule ,a b i c pot fi 1, 1, 3 sau 1, 2, 2 2p

Dac cifrele sunt 1, 1, 3 se obin numerele 113, 131 i 311 1p Dac cifrele sunt 1, 2, 2 se obin numerele 122, 212, 221 sunt 6 numere care verific condiiile date 2p

5. 0DB DC D+ =

este mijlocul laturii BC 3p

( )1 12 2AD AB AC p= + =

2p

6. 2 3sin 1 cos5

B B= = 2p

2 5sinAC R R

B= = 3p

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1.a)

( )1 1 1

1, 1 1 1 22 2 5

D = = 2p

6= 3p b)

( )( )( ) ( )( )

0 0 1, 2 2 2

2 2 2 2 5D x y x y

x x y y= =

+ +

2p

( )( ) ( )( )( )0 0 1

2 2 1 1 2 2 22 2 5

x y x y y xx y

= =

+ +, pentru orice numere reale x i y 3p

c) ( ) ( )( )( )2 ,4 2 2 4 2 4 2x x x x x xD = 2p 2 2 0 1x x = = 1p

14 2 02

x x = = 1p

4 2 0 0x x x = = 1p


Prob scris la matematic M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XI-a Barem de evaluare i de notare Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 2 din 2

2.a) ( )

1 1 11 1 1 1

1 1 1A

=

, ( )1 1 2

2 1 2 12 1 1

A

=

3p

( ) ( )0 0 3

1 2 0 3 03 0 0

A A

=

2p

b) ( )( ) ( )( )2

1 1det 1 1 2 1

1 1

n

A n n n nn

= = +

3p

n , ( )( )1 det 0n A n , deci ( )A n inversabil, pentru orice numr natural n , 1n 2p c)

( )1 1 0

(0) 1 0 1 det (0) 20 1 1

A A

= =

2p

1

1 1 12 2 21 1 1(0)2 2 21 1 12 2 2

A

=

3p

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1.a)

( )( )

( )22

12 3

2211 1

n

n

n na n n

a nn n

+ ++= = =

++ + 2p

3 2

3 22 1

3 3 1n n

n n n

+= > , pentru orice numr natural nenul n 2p

2 21 2 2 2n

n n na

nn n

+ + = , pentru orice numr natural nenul n , deci ( ) 1n na mrginit 3p c)

( )2

2 22 1lim limn

nn

n n

nna

n

++

+ +

+ = =

2p

2 2

11lim 1

nn n

ne e

n

+

+

= + = =

3p

2.a) ( ) 1lim lim2 1 2x xx bf xx+ +

= =

+ 3p

Ecuaia asimptotei spre + la graficul funciei f este 12

y = 2p

b) f este continu pe ( ),2 i pe ( )2,+ , pentru orice numere reale a i b 2p f este continu n 2x = , deci ( ) ( ) ( )

2 22 2

lim lim 2 4, 2x xx x

f x f x f a b < >

= = = = 3p

c) ( )( )( )7 1 2 16 0 3xf x x = = sau 4x = 2p f este continu pe ( )2,+ mulimea soluiilor inecuaiei este [ ]3,4 3p


Prob scris la matematic M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XII-a Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 1 din 1


Matematic M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XII-a


SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinai numerele reale a i b , tiind c 11

ia ibi

+= +

i 2 1i = .

5p 2. Determinai coordonatele punctelor de intersecie cu axele de coordonate a graficului funciei :f , ( ) 2 6 8f x x x= + .

5p 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 2

129 3 36x

x+

++ = . 5p 4. Calculai probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de dou cifre, acesta

s nu conin cifra 6. 5p 5. n reperul cartezian xOy se consider punctele ( )1,2A , ( )2,3B i ( )0, 2C . Determinai ecuaia

paralelei duse prin C la AB .

5p 6. Determinai ( )0, 2x pi pentru care 1 sin 1 cossin cosx xx x+ += . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consider matricea ( )1 1

1 11 1

a

A a aa

=

, unde a este numr real.

5p a) Artai c ( )( ) ( )( )2det 2 1A a a a= + , pentru orice numr real a . 5p b) Calculai inversa matricei ( )1A n ( )3 M . 5p c) Determinai perechile de numere naturale ( ),a b pentru care matricea ( ) ( )A a A b are suma

elementelor egal cu 24. 2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie 3 3 3 4x y xy x y = + . Legea

este asociativ i are element neutru. 5p a) Artai c ( )( )3 1 1 1x y x y = + , pentru orice numere reale x i y . 5p b) Calculai 1 2 3 2014...1007 1007 1007 1007 . 5p c) Determinai numerele reale x care sunt egale cu simetricele lor fa de legea .


1. Se consider funcia ( ): 1,f + , 2 2( ) 1xf xx

+=

.

5p a) Determinai ecuaia asimptotei oblice la graficul funciei f . 5p b) Determinai ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul de abscis 2x = , situat pe graficul

funciei f .

5p c) Calculai ( )3

limx

x

f xx

+

+

.

2. Pentru fiecare numr natural nenul n se consider numrul 1

01

n

nxI dx

x=

+ .

5p a) Calculai 1I . 5p b) Artai c 1 1 1n nI I n+ + = + , pentru orice numr natural nenul n .

5p c) Artai c 1lim ( 1) 2nn n I+ + = .


Prob scris la matematic M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XII-a Barem de evaluare i de notare Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 1 din 2


Matematic M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XII-a

Barem de evaluare i de notare Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 1

1i i a ib ii

+= + =

3p

0, 1a b= = 2p 2. ( ) ( ) ( ){ }2 1 20 6 8 0 2, 4 2,0 , 4,0ff x x x x x G Ox= + = = = = 3p

( ) ( ){ }0 8 0,8ff G Oy= = 2p 3. 2 1 13 3 36 3 9x x x+ + ++ = = 2p

1 2 1x x+ = = 3p 4. Sunt 72 de numere naturale de dou cifre care nu conin cifra 6, deci sunt 72 de cazuri

favorabile 2p

Sunt 90 de numere naturale de dou cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p nr. cazuri favorabile 72 4nr. cazuri posibile 90 5

p = = = 2p

5. 13AB

m = , 13d

d AB m = , unde d este paralela prin C la AB 3p

1: 2

3d y x= 2p

6. cos sin cos sin sin cos cos sinx x x x x x x x+ = + = 2p

4x

pi= 3p


( )( ) ( )1 1 2 1 1 1 0 0

det 1 1 2 1 2 1 1 01 1 2 1 1 0 1

a a

A a a a a a aa a a a

+

= = + = + =

+

3p

( ) ( )( )21 02 2 10 1a

a a aa

= + = +

2p

b) ( )( )det 1 4A = 2p

Inversa matricei ( )1A este

1 102 2

1 102 21 1 02 2

3p


Prob scris la matematic M_mate-info Simulare pentru elevii clasei a XII-a Barem de evaluare i de notare Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 2 din 2

c) ( ) ( )

2 1 11 2 11 1 2

ab a b a bA a A b a b ab a b

a b a b ab

+ + + + +

= + + + + + + + + + +

2p

( )( )3 6 6 12 24 2 2 8ab a b a b+ + + = + + = 1p Perechile de numere naturale care verific cerina sunt ( )0,2 i ( )2,0 2p

2.a) ( )3 3 3 4 3 1 1xy x y xy x y + = + + = 3p ( )( )3 1 1 1x y= + , pentru orice numere reale x i y 2p

b) 1 1 1x x = = , pentru orice numr real x

2p 1 2 3 2014 1 1006 1007 1008 2014

... ... ... 11007 1007 1007 1007 1007 1007 1007 1007 1007

= =

3p

c) Elementul neutru este 43

1p

( ) ( )2 24 4 13 1 1 13 3 9

x x x x = + = = 2p

123

x = , 243

x = 2p

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1.a) ( )lim 1

x

f xx+

= 2p

( )lim ( ) 1x

f x x+

= dreapta 1y x= + este asimptot oblic spre + la graficul funciei f 3p b) ( )2 6f = , ( )2 2f = 3p

Ecuaia tangentei este ( ) ( )( )2 2 2 2 10y f f x y x = = + 2p c)

( )( )2 2 2 33 32 2

2 22 2lim lim lim 1

xx

x x x xx xx

x x x

f x x xx x x x x

+ +

+ +

+

+ + +

+ +

= = + =

3p

2

25 6lim

x

x x

x xe e++ +

= =

2p

2.a) 1 11

0 0

111 1

xI dx dxx x

= = =

+ + 2p

1 ln 2= 3p b) 1 1 11

10 0 0

( 1)1 1 1

n n n

n n

x x x xI I dx dx dxx x x

+

++

+ = + = =+ + +

3p

11

01

1 1

nx

n n

+= =

+ +, pentru orice numr natural nenul n 2p

c) ( )11

0

10

1

n

n n

x xI I dx

x+

= +

, pentru orice numr natural nenul n 1p

112 2

1n nI I

n+ +

, pentru orice numr natural nenul n 2p

( )1 112 2n

nn I

n

+ + , pentru orice numr natural n , 2n 1p

1lim ( 1)2nn

n I+

+ = 1p


Prob scris la matematic M_mate-info Varianta 9 Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 1 din 1


Matematic M_mate-info Varianta 9


SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Artai c ( ) ( )3 2 4 2 1 6 8i i+ + = . 5p 2. Artai c parabola asociat funciei :f , 2( ) 2 1f x x x= + + este tangent la axa Ox . 5p 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia

2 4 45 5x x+ = . 5p 4. Determinai cte numere naturale de dou cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 3, 5 i 7. 5p 5. n reperul cartezian xOy se consider punctele ( )2,2A , ( )4, 2B i ( )4,2C . Determinai

ecuaia dreptei d care trece prin A i este perpendicular pe dreapta BC .

5p 6. Artai c 3sin cos 04 4pi pi+ = .


1. Se consider matricea ( )1 0 00 2 00 2 1 1

n

n

A n

=

, unde n este numr natural.

5p a) Artai c ( )( )det 0 1A = . 5p b) Determinai numrul natural n tiind c ( ) ( ) ( )1 3A n A A = . 5p c) Determinai numerele naturale p i q tiind c ( ) ( ) ( )A p A q A pq = .

2. Se consider polinomul 3 2 3 2f X X X= + + . 5p a) Calculai ( )0f . 5p b) Determinai ctul i restul mpririi polinomului f la 2 4X . 5p c) Artai c ( ) ( ) ( )2 221 2 2 3 3 1 20x x x x x x + + = tiind c 1 2,x x i 3x sunt rdcinile lui f .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consider funcia :f , ( ) 3 xf x x e= + .

5p a) Calculai ( )'f x , x . 5p b) Determinai ecuaia asimptotei oblice spre la graficul funciei f . 5p c) Artai c ( ) 4 1f x x + pentru orice numr real x .

2. Se consider funcia :f , ( ) 32 1xf x

x x=

+ +.

5p a) Artai c ( ) ( )1 20

114

x x f x dx+ + = .

5p b) Artai c ( )( )10

13 3

f x x dx pi + = .

5p c) Artai c ( )40 01 1lim

4

t

tf x dx

t

=

.


Prob scris la matematic M_mate-info Varianta 9 Barem de evaluare i de notare Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

Pagina 1 din 2


Matematic M_mate-info Barem de evaluare i de notare

Varianta 9 Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 6 12 2 12i i+ + = 3p

6 2 8= + =

2p 2. 4 4 = = 3p

0= , deci parabola asociat funciei f este tangent la axa Ox 2p 3. 2 24 4 4 4 0x x x x+ = + = 3p

2x = 2p 4. Cifra unitilor se poate alege n 4 moduri 3p

Pentru fiecare alegere a cifrei unitilor, cifra zecilor se poate alege n 3 moduri, deci se pot forma 4 3 12 = numere 2p

5. Panta dreptei BC este 1 2

2BC dm m= =

2p

: 2 2d y x= 3p 6. 2

sin4 2pi

= 2p

3 2 3cos sin cos 0

4 2 4 4pi pi pi

= + = 3p


( )( )1 0 0

det 0 0 1 00 0 1

A = = 2p

1 0 0 0 0 0 1= + + = 3p b)

( )1 0 0

1 0 2 00 1 1

A

=

, ( ) ( ) 11

1 0 0

1 0 2 0

0 2 1 1

n

n

A n A +

+

=

3p

( ) 33

1 0 0

3 0 2 0

0 2 1 1

A

=

i ( ) ( ) ( )1 3 2A n A A n = = 2p

c) ( ) ( ) ( )A p A q A p q = + pentru orice numere naturale p i q 2p ( ) ( ) ( )( )1 1 1 0A p q A pq p q pq p q p q+ = + = = = = sau 2p q= = 3p

2.a) ( ) 3 20 0 0 3 0 2f = + + =

3p 2=

2p b) Ctul este 1X + 3p

Restul este 6X +

2p



Pagina 2 din 2

c) 1 2 3 1x x x+ + = , 1 2 2 3 1 3 3x x x x x x+ + = 2p ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 221 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 12 6 20x x x x x x x x x x x x x x x + + = + + + + = 3p

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1.a) ( ) ( ) ( )''' 3 xf x x e= + = 2p

3 xe= + , x 3p b) ( ) 3lim lim 3x

x x

f x x ex x

+= = 2p

( )( )lim 3 lim 0xx x

f x x e

= = , deci dreapta de ecuaie 3y x= este asimptot oblic spre

la graficul funciei f 3p

c) ( )' 0 0g = , ( )' 0g x < pentru orice ( ),0x i ( )' 0g x > pentru orice ( )0,x + , unde :g , ( ) ( ) 4 1 1xg x f x x e x= = 3p ( ) ( ) ( )0 0 ( ) 4 1g x g g x f x x + pentru orice numr real x 2p

2.a) ( ) ( )1 12 30 0

1x x f x dx x dx+ + = = 2p

4 1 14 40x

= = 3p

b) ( )( )1 1 1 12 200 0 0

1 1 2 2 11 arctg3 31 1 3

2 4

xf x x dx dx dxx x

x

+ + = = = =

+ + + +

3p

2 1 2arctg 3 arctg

3 63 3 3 3 3 pi pi pi

= = =

2p

c) ( ) ( )4 30 00

1lim lim4

t

t t

f tf x dxt t

= =

3p

( )3

3 20

1lim44 1t

t

t t t= =

+ + 2p



Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naional 2014 Proba E. c) 2 iulie 2014 Matematic M_mate-info

Varianta 1 Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculai suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( ) 1n na

tiind c 1 6a = i 2 12a = .

5p 2. Determinai coordonatele vrfului parabolei asociate funciei :f , ( ) 2 2 4f x x x= + + . 5p 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia ( )( )3 1 3 3 0x x = . 5p 4. Calculai probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de dou cifre, acesta

s conin cifra 1. 5p 5. Se consider triunghiul echilateral ABC cu 2AB = . Calculai lungimea vectorului AB BC+

.

5p 6. Calculai aria triunghiului isoscel ABC tiind c 2Api

= i 4AC = .


1. Se consider matricea ( )2

2 22

a a

A a aa a

=


5p a) Artai c ( )( )det 0 8A = . 5p b) Determinai numerele reale a pentru care ( )( )det 0A a = . 5p c) Determinai matricea

x

X yz

=

tiind c ( )4

1 54

A X

=

.

2. Se consider 1 2 3, ,x x x rdcinile polinomului 3 22 3f X X X m= + + , unde m este numr real.

5p a) Calculai ( )1f . 5p b) Artai c 2 2 21 2 3 2x x x+ + = . 5p c) Determinai numrul real m tiind c 3 3 31 2 3 8x x x+ + = .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consider funcia ( ): 0,f + , ln( ) xf x

x= .

5p a) Artai c ( ) 21 ln xf xx

= , ( )0x , + . 5p b) Determinai ecuaia asimptotei spre + la graficul funciei f . 5p c) Artai c ( ) 1f x

e pentru orice ( )0x , + .

2. Se consider funcia :f , ( ) 2 1f x x x= + + .

5p a) Artai c ( )1

0

116f x dx = .

5p b) Pentru fiecare numr natural nenul n se consider numrul ( )1

0

n

nxI dxf x= . Artai c 1n nI I+

pentru orice numr natural nenul n .

5p c) Determinai numrul real pozitiv a tiind c ( )02 1 ln 3

ax dxf x

+= .



Pagina 1 din 2


Barem de evaluare i de notare Varianta 1

Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 3 18a = 2p 1 2 3 36a a a+ + =

3p 2. 1Vx = 2p

3Vy = 3p 3. 3 1x = sau 3 3x = 2p

0x = sau 1x = 3p 4. Sunt 18 numere de dou cifre care conin cifra 1, deci sunt 18 cazuri favorabile 2p

Sunt 90 de numere de dou cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p nr. cazuri favorabile 18 1nr. cazuri posibile 90 5

p = = = 2p

5. AB BC AC+ =

2p ABC echilateral 2AC = 3p

6. ABC dreptunghic isoscel 4AB = 2p 4 4 8

2ABC

= =A 3p


( )( )2 0 0

det 0 0 2 20 0 2

A = = 2p

8 0 0 0 0 0 8= + + = 3p b)

( )( ) ( ) ( )22

det 2 2 2 22

a a

A a a a aa a

= = + 3p

( ) ( )22 2 0 2a a a + = = sau 2a = 2p c) 2 1 1 4 2 4

1 2 2 5 2 2 51 1 2 4 2 4

x x y zy x y zz x y z

+ + =

= + + = + + =

2p

111

X

=

3p

2.a) ( ) 3 21 1 2 1 3 1f m= + + =

2p 2m= + 3p

b) 1 2 3 2x x x+ + = , 1 2 1 3 2 3 3x x x x x x+ + =

2p

( ) ( )22 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32 2 2 3 2x x x x x x x x x x x x+ + = + + + + = = 3p



Pagina 2 din 2

c) ( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 32 3 3 0x x x x x x x x x m+ + + + + + + + = 2p 3 3 31 2 3 3 10 6x x x m m+ + = = 3p

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1.a) ( ) ( ) 2

ln lnx ' x x x'f xx

= = 2p

2 2

1 ln 1 lnx x xxx x

= = , ( )0x , + 3p b) ( ) ln 1lim lim lim 0

x x x

xf xx x+ + +

= = =

3p

Dreapta de ecuaie 0y = este asimptot orizontal spre + la graficul funciei f 2p c) ( ) 0f e = , ( ) 0f x > pentru orice ( )0x ,e i ( ) 0f x < pentru orice ( )x e, + 3p

( ) ( ) ( ) 1f x f e f xe

pentru orice ( )0x , + 2p 2.a)

( ) ( )1 1 3 220 0

11

3 2 0x xf x dx x x dx x = + + = + + =

3p

1 1 1113 2 6

= + + =

2p

b) ( )11 2

0

11

n

n n

x xI I dx

x x+

=

+ + pentru orice numr natural nenul n 2p

Pentru orice n i [ ]0 1x , avem 0 1 0nx , x i 2 11 0 n nx x I I++ + >

3p c)

( ) ( )( ) ( )2 22 00 02 1 2 1 ln 1 ln 1

1

a a ax xdx dx x x a af x x x+ +

= = + + = + ++ +

3p

( )2 2ln 1 ln3 1 3a a a a+ + = + + = care are soluia pozitiv 1a =

2p



Pagina 1 din 1


Varianta 5 Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinai numrul real x

tiind c numerele 2 , 4 i 5x +

sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

5p 2. Artai c parabola asociat funciei :f , ( ) 2 4f x x x= + + este situat deasupra axei Ox . 5p 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 3 2 1 2x = . 5p 4. Calculai probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de dou cifre, acesta s

aib suma cifrelor egal cu 7. 5p 5. n reperul cartezian xOy se consider punctele ( )1,4A

i ( )1,2B . Determinai lungimea vectorului OM

, unde punctul M este mijlocul segmentului AB . 5p 6. tiind c 0, 2x

pi

i 3cos 2x = , calculai sin 2x .


1. Se consider matricea ( )1 2 00 4 1 00 3 1

x

A x xx

= +

, unde x este numr real.

5p a) Artai c ( )( )det 0 1A = . 5p b) Artai c ( ) ( ) ( ) 4A x A y A x y xy= + + pentru orice numere reale x i y . 5p c) Determinai numerele reale x , 1

4x , pentru care matricea ( )A x este egal cu inversa ei.

2. Se consider polinomul 3 2 4 2f X X X a= + + , unde a este numr real. 5p a) Calculai ( )0f . 5p b) Determinai numrul real a tiind c 1 i+ este rdcin a polinomului f . 5p c) Pentru 3a = , artai c 3 31 332 31x x x+ + = , unde 1 2,x x i 3x sunt rdcinile polinomului f .


1. Se consider funcia ( ): 2,f + , ( )2

2=

xf xx

.

5p a) Artai c ( ) ( )( )24

'

2

x xf xx

=

, ( )2,x + . 5p b) Determinai ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul de abscis 0 4=x , situat pe

graficul funciei f . 5p c) Determinai intervalele de monotonie ale funciei f .


30 1

=

+

n

n

xI dxx

.

5p a) Artai c 2 1 ln 23=I .

5p b) Artai c 31

1++ =

+n nI I

n pentru orice numr natural nenul n .

5p c) Calculai lim nn

I+

.



Pagina 1 din 2


Barem de evaluare i de notare Varianta 5

Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. ( ) 22 5 4x + = 2p 3x =

3p 2. 1 16 15 = = 2p

1 0a = > i 0 < parabola asociat funciei f este situat deasupra axei Ox 3p 3. 2 21 8 9 0x x = = 3p

1 3x = i 2 3x = 2p 4. Sunt 7 numere de dou cifre care au suma cifrelor egal cu 7, deci sunt 7 cazuri favorabile 2p

Sunt 90 de numere de dou cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p nr. cazuri favorabile 7nr. cazuri posibile 90

p = = 2p

5. ( )0,3M 2p 3OM = 3p

6. 6

xpi

= 2p

3sin 2 sin

3 2x

pi= = 3p


( )( ) 1 0 0det 0 0 1 00 0 1

A = = 2p

1 0 0 0 0 0 1= + + = 3p b)

( ) ( )1 2 0 1 2 0 1 2 2 8 00 4 1 0 0 4 1 0 0 4 4 16 1 00 3 1 0 3 1 0 3 3 12 1

x y x y xyA x A y x y x y xy

x y x y xy

+ +

= + + = + + + + +

3p

( )( )

( )( )

1 2 4 00 4 4 1 0 40 3 4 1

x y xyx y xy A x y xy

x y xy

+ +

= + + + = + + + +

pentru orice numere reale x i y 2p

c) ( ) ( ) ( ) ( )2 23 2 4 0 2 4 0A x xA x A x xAI x = += =+ 3p 1 0x = i 2

12

x = 2p

2.a) ( ) 3 20 0 0 4 0 2f a= + + =

2p 2a= 3p

b) 1 21 1x i x i= + =

1p 1 2 3 31 3x x x x+ + = =

2p 1 2 3 2 3x x x a a= = 2p



Pagina 2 din 2

c) ( ) ( ) ( )1 2 3 3 3 33 3 3 1 1 3x i ix x = + + + + + = 3p ( ) ( )2 2 2 2 27 31i i= + = 2p


( ) ( ) ( ) ( )( )'

'2 2

2

2 2

2

x x x xf x

x

= =

2p

( )( )

( )( )

2

2 22 2 4

2 2

x x x x x

x x

= =

, ( )2,x + 3p b) ( ) ( )( )4 ' 4 4y f f x = 2p

( )4 8f = , ( )' 4 0f = , deci ecuaia tangentei este 8y = 3p c) ( ) 0 4f x x = = 1p

( )' 0f x pentru orice ( ]2,4x f este descresctoare pe ( ]2,4 2p ( )' 0f x pentru orice [ )4,x f + este cresctoare pe [ )4,+

2p 2.a) 1 12 2

2 3 30 0

1 331 1

x xI dx dxx x

= = =

+ + 2p

( )3 11 1ln 1 ln 203 3x= + = 3p b) ( )31 1 13

3 3 3 30 0 0

1

1 1 1

nn n

n n

x xx xI I dx dx dxx x x

+

+

++ = + = =

+ + + 3p

1 1

0

101

nn x

x dxn

+

= =

+1

1n=

+ pentru orice numr natural nenul n 2p

c) Pentru orice n i [ ]0,1x avem 30, 1 0 0n nx x I + > 2p 3 0nI + i 3

1 10 lim 01 1n n n nn

I I I In n

++

+ = =+ +

3p



Pagina 1 din 1




SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Determinai partea real a numrului complex 21 2 3z i i= + + . 5p 2. Determinai coordonatele punctului de intersecie a graficelor funciilor :f , ( ) 1f x x=

i :g , ( ) 3 5g x x= . 5p 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia

2 23 3x x x = . 5p 4. Determinai cte numere naturale pare, de dou cifre, se pot forma cu cifrele 0, 1, 2 i 3. 5p 5. n reperul cartezian xOy se consider vectorii 3 2AB i j= + i ( )1 4AC m i j= + + , unde m este

numr real. Determinai numrul real m tiind c 2AC AB=

.

5p 6. Se consider triunghiul ABC cu 3AB AC= = i 3 2BC = . Determinai cosC . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consider matricea ( )2

1 0 01 0

2 2 4 1A x x

x x x

=

, unde x

este numr real.

5p a) Artai c ( )( )det 0 1A = . 5p b) Artai c ( ) ( ) ( )A x y A x A y+ = pentru orice numere reale x i y . 5p c) Determinai numerele reale x tiind c ( ) ( ) ( ) ( )2 2A x A x A x A x+ = .

2. Se consider polinomul 3 23 2f X X aX= + , unde a este numr real. 5p a) Artai c ( ) ( )2 2 3f a= . 5p b) Determinai numrul real a tiind c polinomul f este divizibil prin 2 1X X + . 5p c) Pentru 3a = , rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia ( )2 0xf = .


1. Se consider funcia ( ): 2,f + , ( )2

xxef xx

=

+.

5p a) Artai c ( ) ( )( )2

2

2 2'

2

xx x ef x

x

+ +=

+, ( )2,x + .

5p b) Determinai ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul de abscis 0 0x = , situat pe graficul funciei f .

5p c) Artai c ecuaia ( ) 1f x = are cel puin o soluie n intervalul ( )1,2 .


0 1

n

n n

xI dxx

=

+ .

5p a) Artai c 1 1 ln 2I = . 5p b) Artai c 1n nI I+ pentru orice numr natural nenul n . 5p c) Demonstrai c lim 0n

nI

+= .



Pagina 1 din 2



Varianta 7 Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 2 2z i= + 2p

Partea real a numrului z

este egal cu 2 3p 2. ( ) ( ) 1 3 5f x g x x x= = 3p

2x = i 1y = 2p 3. 2 22 3 0x x x x x = = 3p

1 0x = i 2 3x = 2p 4. Cifra unitilor poate fi 0 sau 2 2p

Cifra zecilor poate fi aleas n cte 3 moduri, deci se pot forma 3 2 6 = numere 3p 5. ( ) ( )1 4 2 3 2m i j i j+ + = + 2p

5m = 3p 6. ABC este dreptunghic isoscel 3p

2cos

2C = 2p


( )( ) 1 0 0det 0 0 1 00 0 1

A = = 2p

1 0 0 0 0 0 1= + + = 3p b)

( )( ) ( ) ( )2

1 0 01 0

2 2 4 1A x y x y

x y x y x y

+ = + + + +

2p

( ) ( ) ( )2 2

1 0 01 0

2 4 2 2 2 4 4 1

A x A y x y A x y

x xy y x y x y

= + = +

+ + +

pentru orice numere

reale x i y

3p

c) ( ) ( ) ( ) ( )3A x A x A x A x =

2p 2

12 3 1x x x+ = = i 2 2x = 3p 2.a) ( ) 3 22 2 3 2 2 2f a= + =

2p

( )2 6 2 3a a= = 3p b) ( )( ) ( )22 1 3f X X X a X= + +

3p 3a = 2p



Pagina 2 din 2

c) ( )( )22 1f X X X= + 2p ( )( )22 2 2 2 1 0 1x x x x + = =

3p


( ) ( ) ( ) ( )( )2' 2 2 '

'

2

x xxe x xe xf x

x

+ += =

+

2p

( ) ( )( )

( )( )

2

2 2

2 2 2

2 2

x x x xe xe x xe x x e

x x

+ + + += =

+ +, ( )2,x + 3p

b) ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x = 2p ( )0 0f = , ( ) 1' 0

2f = , deci ecuaia tangentei este 1

2y x= 3p

c) Funcia [ ]: 1,2g , ( ) ( ) 1g x f x= este continu pe [ ]1,2 2p ( ) ( )

23 21 2 03 2

e eg g = < , deci exist ( )1,2c astfel nct ( ) 0g c = , adic ( ) 1f c = 3p 2.a) 1 1

10 0

111 1

xI dx dxx x

= = = + + 2p

( )1 1ln 1 1 ln 20 0x x= + = 3p b) ( )

( )( )1 1

1 1 10 0

111 1 1 1

nn

n n n n n n

x xxI I x dx dxx x x x

+ + +

= =

+ + + + 2p

Pentru orice [ ]0,1x avem 1 0x , 0nx , 1 0nx+ > i 11 0nx ++ > , deci 1 0n nI I+ 3p c)

Pentru orice [ ]0,1x i orice *n avem 01

nn

n

xx

x

+

2p

1 1

0 010 0

11

nn

nn

x dx x dx Inx

++

, deci lim 0nn

I+

= 3p



Pagina 1 din 1




SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Se consider numrul complex 1z i= + . Calculai 2z . 5p 2. Artai c parabola asociat funciei :f , 2( ) 4 6f x x x= +

nu intersecteaz axa Ox . 5p 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia ( ) ( )2 2log 2 3 log 1x x = + . 5p 4. Calculai probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de dou cifre, acesta

s fie impar. 5p 5. n triunghiul ABC punctele ,M N i P sunt mijloacele laturilor ,AB BC

i, respectiv, AC . Artai c 0AM BN CP+ + =

.

5p 6. tiind c tg 3a = i a , artai c sin cos 2 3cos sin

a a

a a

=

+.


1. Se consider matricea ( )1 1 11 21 2

A a aa

=


5p a) Artai c ( )( )det 1 1A = . 5p b) Determinai numerele reale m tiind c ( )( )det 0A m = . 5p c) Determinai numerele reale a astfel nct ( ) ( ) ( )2

2 1 11 5 51 5 5

A a A a A a

=

.

2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie asociativ 3 3 6x y x y xy = + . 5p a) Calculai 1 3 . 5p b) Artai c ( )( )3 3 3x y x y = pentru orice numere reale x i y . 5p c) Determinai numerele reale x pentru care

de 2014 ori...

x

x x x x = .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consider funcia : f , ( ) 2 24 5

=

+

xf xx x

.

5p a) Artai c ( ) ( )( )( )221 3

'

4 5

x xf xx x

=

+, x .

5p b) Determinai ecuaia asimptotei spre + la graficul funciei f . 5p c) Determinai intervalele de monotonie ale funciei f .


lne

nnI x x dx= .

5p a) Artai c 2

11

4eI += .

5p b) Artai c 1n nI I+ pentru orice numr natural nenul n . 5p c) Demonstrai c ( ) 212 1n nI n I e+ + + = pentru orice numr natural nenul n .



Pagina 1 din 2



Varianta 3 Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. ( )22 21 1 2z i i i= + = + + = 2p 2i=

3p 2. 16 24 8 = = 3p

0 < , deci parabola asociat funciei f

nu intersecteaz axa Ox

2p 3. 2 3 1x x = + 2p

4x = care verific ecuaia 3p 4. Sunt 45 de numere impare de dou cifre, deci sunt 45 de cazuri favorabile 2p

Sunt 90 de numere de dou cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p nr. cazuri favorabile 45 1nr. cazuri posibile 90 2

p = = = 2p

5. 1 1 12 2 2

AM BN CP AB BC CA+ + = + + =

2p

( )1 02 AB BC CA= + + =

3p

6. sincos 1

cos tg 1sin coscos sin 1 tgsin

cos 1cos

aa

a aa a

a a aaa

a

= = =

+ + +

3p

3 1 2 31 3

= =

+ 2p


( )( ) 1 1 1det 1 1 1 21 2 1

A = = 2p

1 2 2 1 4 1 1= + + = 3p b)

( )( ) 21 1 1det 1 2 21 2

A m m m mm

= = 3p

212 0 0m m m = = i 2 2m = 2p

c) ( ) ( ) 2

2

3 3 33 5 4 13 4 1 5

a a

A a A a a a aa a a

+ +

= + + + + + +

, ( )2 22

1 1 11 21 2

A a aa

=

3p

2 2 2 2 1 12 5 4 1 1 5 5 12 4 1 5 1 5 5

a a

a a a

a a

+ + + = = +

2p



Pagina 2 din 2

2.a) 1 3 3 1 3 3 1 3 6 = + = 3p 3= 2p

b) 3 3 3 9x y xy x y = + + = 2p ( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3 3 3x y y x y= + = pentru orice numere reale x i y 3p

c) ( )20143 3x x = 3p 1 3x = i 2 2x = 2p


( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2

22

2 4 5 2 4 5

4 5

x x x x x xf x

x x

+ +

= =

+ 2p

( )( )( )( )

2

2 22 2

1 34 3

4 5 4 5

x xx x

x x x x

+

= =

+ +, x 3p

b) ( ) 2 2lim lim 04 5x xxf x

x x+ +

= =

+ 3p

Dreapta de ecuaie 0y = este asimptot orizontal spre + la graficul funciei f 2p c) ( ) 10 1f x x = = i 2 3x = 2p

( )' 0f x pentru orice ( ],1x f este descresctoare pe ( ],1 1p ( )' 0f x pentru orice [ ]1,3x f este cresctoare pe [ ]1,3 1p ( )' 0f x pentru orice [ )3,x f + este descresctoare pe [ )3,+

1p 2.a) 2

11 1

1ln ln12 2

e eexI x x dx x x dx= = = 3p

2 2 21 12 4 4 4e e e +

= + = 2p

b) ( )1

1ln 1 ln

en

n nI I x x x dx+ = 2p

Pentru orice n i [ ]1x ,e avem ln 0x i 1ln 1 0 n nx I I+ 3p c)

( )2 2

1 11

1 1

1ln ln 1 ln12 2

e en n n

n

ex xI x x dx x n x dxx

+ ++ = = + = 3p

( )2

21

1

1 ln 2 12 2

en

n n

e nx x dx I n I e+

+= + + = pentru orice numr natural nenul n 2p

1) E_c_matematica_M_mate-info_2014_ModelModel_E_c_matematica_M_mate-info_variantaModel_E_c_matematica_M_mate-info_barem

2) E_c_XI_matematica_M_mate-info_2014_simulareE_c_XI_matematica_M_mate-info_2014_var_simulare_LROE_c_XI_matematica_M_mate-info_2014_bar_simulare_LRO

3) E_c_XII_matematica_M_mate-info_2014_simulareE_c_XII_matematica_M_mate-info_2014_var_simulare_LROE_c_XII_matematica_M_mate-info_2014_bar_simulare_LRO

4) E_c_matematica_M_mate-info_2014_ses_specE_c_matematica_M_mate-info_2014_var_09_LROE_c_matematica_M_mate-info_2014_bar_09_LRO

5) E_c_matematica_M_mate-info_2014_ses I_prE_c_matematica_M_mate-info_2014_var_01_LROE_c_matematica_M_mate-info_2014_bar_01_LRO

6) E_c_matematica_M_mate-info_2014_ses I_rezE_c_matematica_M_mate-info_2014_var_05_LROE_c_matematica_M_mate-info_2014_bar_05_LRO

7) E_c_matematica_M_mate-info_2014_ses II_prE_c_matematica_M_mate-info_2014_var_07_LROE_c_matematica_M_mate-info_2014_bar_07_LRO

8) E_c_matematica_M_mate-info_2014_ses II_rezE_c_matematica_M_mate-info_2014_var_03_LROE_c_matematica_M_mate-info_2014_bar_03_LRO

Documents

Bacalaureat 2014 Matematică Informatică