TEORIE MATEMATIC‚ BACALAUREAT 2014

  • View
    229

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of TEORIE MATEMATIC‚ BACALAUREAT 2014

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    1/19

    TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2013-2014 TEHNOLOGIC RECAPITULARE COALA GENERAL

    Mulimi de numere N ! " R C #n$%ur$leincluse &n &n%re'iincluse &n r$i(n$leincluse &n re$leincluse &n)(m*le+e, N={0,1,2,3,4,}. ! ={ -3,-2,-1,0,1,2,3, }. "/! + fracii . R/" +radicali . C/R numere complexe

    Ordine$ (*er$iil(r m$%em$%i)e elemen%$re! " paran#e$ele %dac& sun# mai mul#e' din in#erior spre ex#erior sau de la cele ro#unde la acolade()* " ridicarea la pu#ere %'' o +nmulire repe#a#&,()- " +mp&rirea sau +nmulirea %''o adunare repe#a#&,(

    . " adunarea sau sc&dereaAdun$re$ $u ) dere$ numerel(r re$le/ adunarea a dou& numere po$i#i0e d& re$ul#a# po$i#i0 Exemplu1*2-34)/ adunarea a dou& numere ne5a#i0e d& re$ul#a# ne5a#i0 Exemplu1 %/*(2%/-(3 /4)/ adunarea unui num&r ne5a#i0 cu unul po$i#i0 d& semnul celui mai mare +n 0aloare a6solu#&%sau0alorile a6solu#e ale celor dou& numere sun# e5ale(' iar 0aloarea se afl& sc&$7nd 0alorile a6snumerelor%cea mai mare din cea mai mic&( Exemple1 +2-3= 2-3= -(3-2)=-1; 12 3=9; 3-12=-(12-3)=-9; 12-12=0; -12 +12=-(12-12)=-0=0.

    $) e $dun m$i mul%e numere e $dun &n%re ele )ele )u *lu &n%re ele )ele )e minu 5i $*($dun$re$ (7i5nui% $ d(u numere re$le Exemplu1 *2- 2!8 " 9 " !*3!4/!:3/%!:/!4(3 / -L$ $dun$re$8 ) dere$ li%er$l e $dun $u e )$d %ermenii )u li%ere de $)el$5i 9el l$ $)ei$$dun$re$8 ) dere$ e re$li6e$6 &n%re )(e9i)ienii $)e %(r %ermeni Adunarea sau scderea cu 0 nu mod ! care"u#$a$u#. Exemple1 2%2 -3%2 &-4%2 +3%&-'=-2%2-3%2 &+3%&-'; '+0 = '-0 ='; 2%3-0=2%3+0=2%3.

    Adun$re$8 ) dere$ $ d(u $u m$i mul%e 9r$)ii e *($%e 9$)e d($r d$) $u $)el$5i numi%(r lure$li6e$6 *rin $du)ere$ l$ $)el$5i numi%(r Numi%(rul )(mun e %e de (7i)ei )el m$i mi) mul%i*lu )%u%ur(r numi%(ril(r 9r$)iil(r !rac e nu *oa$e a ea num $oru# e a# cu "ero ( m*r rea cu 0 nu es$e *er

    Exemple/

    15

    31

    15

    2110

    15

    21

    15

    10

    53

    73

    35

    25

    5

    7

    3

    2

    5

    7

    3

    2 /3/5

    =+

    =+=

    +

    =+=+ ; 3 ' sun$ numere *r me a$unc ce# ma m c mu#$ *#u co

    es$e *rodusu# d n$re e#e, ad c 3 '=1'.

    2

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    /3/5

    2 15

    2110

    15

    21

    15

    10

    53

    73

    35

    25

    5

    7

    3

    2

    5

    7

    3

    22

    %&

    % &

    %&

    %

    %&

    &

    & %

    %

    % &

    &

    & % & %

    % &+

    =+=

    +

    =+=+

    Re5ula semnelor la +nmulire sau +mp&rire1 : / 8 / ) / ; / 3 /

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    2/19

    =0)(,

    0)(,0

    0)(,

    adaca

    adac

    adaca

    a

    Exemplu17'7='; 707=0; 7-'7=';

    =

    >< = >>=

    20)2(,2)2(

    20)2(,0

    20)2(,2

    2 % %daca % %

    % %daca

    % %daca %

    %

    L$ &nmulire$ unui num r )u ( *$r$n%e6 e &nmule5%e 9ie)$re num r )u 9ie)$re %ermen din *$r$n% Exemple12(%-')=2 %-2 '=2%-10; 3&2(%-')=3&2 %-3&2 '=3%&2-1'&2.Minu ul &n 9$$ unei *$r$n%e6e )=im7 emnul %u%ur(r %ermenil(r din *$r$n%e6 Exemple1 -(%-')=-%-(-')=-%+'; -3&2(%-')=-3&2 %-3&2 (-')=-3%&2+1'&2.Minu ul &n 9$$ unei 9r$)ii )=im7 d($r emnul num r %(rului $u emnul numi%(rului #nu l$ $m7i

    Exemple13

    232

    32

    == )

    32

    32

    32

    32

    3)2(

    32 =+=

    === ) ;32

    32

    32

    % % % ==

    % % % % % % 32

    32

    32

    32

    3)2(

    32 =+=

    ===

    ?(rmule de )$l)ul *re )ur%$% aca8c8a = )( ;2222 ))(( 8a8a8a8a =+= ; 8a8a8a =+ )()( ;

    222 2)( 8a8a8a ++=+ ; 222 2)( 8a8a8a += ; 8caca8c8ac8a 222)( 2222 +++++=++ ;3

    2233 33)( 8a88aa8a +++=+ ;32233 33)( 8a88aa8a ++= ; ))(( 2233 8a8a8a8a ++=+ ; ))(( 2233 8a8a8a8a ++= ;

    Exemple1 & % & % 22)(2 = ; 2222 4)2()2)(2( & % & % & % & % ==+ Exemple1 812622323)2( 22332233 +++=+++=+ % % % % % % % ;

    812622323)2( 22332233 +=+= % % % % % % %Triun'=iul este 9i'ur$ 'e(me%ri) )u %rei l$%urii um$ un'=iuril(r de 1@00 ($%e 9i ($re)$re #un5=iuri >ila#uri nee5ale,. e)=il$%er$l #cu #oa#e la#urile e5ale >i un5=iurile e5ale cu 98

    8

    ()i ( )el #cu dou& la#uri >i dou&un5=iuri e5ale,.dre*%un'=i) #cu un un5=i drep# >i la#urile numi#e ca#e#e " formea$& un5=iul drep# / >i ipo,Patrulaterul este figura geo etri!" !u 4 laturi# Patrulaterul !u $ou" laturi %aralele i $ou" &e%ara%r$*e6 $r$lel('r$mul este o figur" geo etri!" !u 4 laturi(%atrulater), %aralele i egale $ou" !'tParalelogra ul !u u& u&g i $re%t se &u etedre*%un'=i Paralelogra ul !u toate laturile egale se &u eter(m7.$re%tu&g iul !u laturile egale se &u ete* %r$%uma un : ur #or unu *ara#e#o ram sau $ra*e" es$e 3 00 Ariaunui paralelo5ram es#e1 7$6$ &n lime$ Perime#rulu&ui %oligo& (e #: %atrulater)e %e um$ lun'imil(r l$%uril(r

    $leCLA A A ID-$

    I UTERI I RA ICALI PUTERI Pu#eri cu exponen# na#ural1 a& u&$e a* , &* ; a0-1; a1-a; a& -

    ori&$e

    a###aa u&$e$-.a a %uterii;n-e %o&e&tul %uterii;

    ?ormul& Exemplu#$7,n/$ n7n, a,.* , &* ; $0 / 1 %e&tru ori!e a 0 (2 3)4=2434; ( 2 3)4=( 2)4 34=22 34#$m,n/$ mn, a* , &* ; $1/$ %e&tru ori!e a* ;0$ / 0 %e&truori!e a*

    (23 ) 4=23 4=212; 21=2,(-1)1=-1,6 1=6; 01=02=0-1 =0-< =0< =0; 11=12=1-1=1-

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    3/19

    Pu#eri cu exponen# +n#re5 ne5a#i01 nn

    aa

    1= u&$e a ,& ;restul %ro%riet" ilor se %"strea "# :a

    a 11 = ;

    81

    21

    2 33 ==

    Pu#eri cu exponen# raional po$i#i01 n mn

    m

    aa = , a 0, nm

    +; > *

    n

    m

    >

    *

    n

    m

    aaa+

    = , a 0nm

    ,

    > * +; Ex1 4 34

    3

    22 = ; 2841

    282021

    2820

    2821

    4745

    7473

    75

    43

    75

    43

    22 aaaaa ===== ++++

    ( ) nm

    nm

    nm

    8aa8 = , a,. 0, nm

    +;nm

    nm

    n

    m

    8

    a8a =

    , a 0, . 0, nm

    +; Ex1( ) 75

    7

    5

    7

    5

    3232 = ; 75

    75

    7

    5

    3

    232 =

    ; 0;21

    = aaa

    ( ) > *

    nm

    > *

    nm

    aa

    =

    , a 0,

    nm , >

    *+; >

    *nm

    > *

    nm

    a

    a

    a = ,

    a 0,nm

    , > *

    +, nm

    > *

    ; ( ) 10 3103

    5

    3

    2

    1

    5

    3

    21

    2222 ===

    ; 61

    3

    1

    2

    1

    31

    21

    2222 ==

    Pu#eri cu exponen# raional ne5a#i01 n mnm

    nm

    aa

    a 11 ==

    , a 0,

    nm

    +; Ex1 77 57

    57

    5

    32

    1

    2

    1

    2

    12 ===

    ;

    2

    1

    2

    12

    2

    12

    1

    ==

    RA ICALI Proprie#&ile radicalilor1 m n F N m n F 2

    nnn 8aa8 = , a,. 0; Ex1 333 8aa8 = ; nn

    n8

    a8a

    = , a 0,. 0; Ex1 33

    38

    a8a

    = ; mn mn aa = , a 0; Ex1 43 34 aa =

    ( n a ) - n ma , a 0; Ex1( )43 a - 3 4a ; n ma - n? m? a , a 0; Ex 3 4a - 53 54 a ; nmn m aa = , a 0 Ex112433 4 aaa ==

    II ?ORMULE TRIGONOMETRICE?(rmul$ 9und$men%$l: cos* x 2 sin* x3! @ % #

    u&! iile si&us i !osi&us su&t %erio$i!e !u %erioa$a 2 , iar ta&ge&t" i !ota&ge&t" su&t %erio$e :)( #+ 2F ,/)( x ; in#+ 2F ,/ in x ; #5%x2@ (3#5 xic#5%x2@ (3c#5 x Exemple1 )( # 0J 2F ,/)( 0J; in# 0J 2F ,/ in 0J. #5%48B2@ (3#5 48B

    u&! ia !osi&us este %ar"-cos%/x(3cos x) fu&! ia si&us este i %ar"-sin%/x(3 / sin xRedu)ere l$ *rimul )$dr$nse a%li!" atu&!i !'&$ aloarea $e !al!ulatnu es#e din Cadranul I (se !o&si$er")un( )u%e $oar alorile re ar!a.ile $i& %ri ul !a$ra&: 00;300;450;600 i ulti%lii $e /2)#CII-CI e )180;90( 00 & & = 6-%=1

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    4/19

    )( #$ 7, / )( $:)( 7 in $: in 7.cos% " se fa!" $isti&! ie E&tre !oefi!ie&tul u&ui ter e& al $e olt"rii i !oefi!ie&tul .iter e&; 4) G& $e oltarea (a+.)& si (aD.)&, $a!" a-. atu&!iCn0 Cn1 Cn2 Q Cnn/2 n / &u "rul tuturor su. ul i ilor u&ei ul i!u & ele e&te. Cn0 Cn2 Cn4 Q/C n1 Cn3 Cn Q/2 n-1

    r(7$7ili% i %ro.a.ilitatea* !a u& e e&i e&t s" se E&t' %le (sau o rela ie s" fie a$e "rat") este u& &

    fra! ieDegal" !u:* / mu#$ med ne#emen$ede$o$a# nr cond $ acnde*# nescemu#$ med ne#emen$enr

    $o$a#eca"urnr !a+ora8 #eca"urnr

    ###########

    ####

    = , !u%ri&s E&i&ter alul0.1V Pen#ru a calcula pro6a6ili#a#ea +n ca$ul mulimilor' #re6uie s#a6ili# clar cine es#e mulimea' c7#e eleme3 cardinalul mulimii(' care es#e condiia >i c7#e elemen#e din mulime sa#isfac condiia

    4

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    5/19

    Exemplu1 se s$a8 #easc *ro8a8 # $a$ea ca a#e Hnd un numr na$ura# de dou c !re, aces$a s a 8 c A={10,11,12,..,99} card A=90 (sun$ 90 de numere scr se cu dou c !re); Bond e/ n A, c !re#e #u n s ! e e a#e; cond a es$e nde*# n $ de/11,22,33,44,'', , ,>

    8n

    Exemplu1 . 1 -2 i ra ia M-3: - irul: 2; 6-2A3; 18-6A3-2A32; 54-18A3-2A33; B# .&+1 - . &A3 - 2A3&D1; B 4=81+82++84=2+2 3+2 34-1=2(1+3+ 34-1 ) / 80

    2160

    280

    22

    1812

    1313