TEME ȘI PROBLEME DE MATEMATICĂ PENTRU BACALAUREAT - …isjvl.ro/images/stories/food/site/resurse educationale/MATEMATICA/21... · 1.Progresii aritmetice şi progresii geometrice

1

Gheorghe NECȘULEU

TEME ȘI PROBLEME

DE MATEMATICĂ

PENTRU BACALAUREAT

PARTEA I

CLASELE a IX-a și a X-a

2

Capitolul 1

PROBLEME PENTRU CLASA A IX-A

1.Progresii aritmetice

şi progresii geometrice

1.1 Probleme rezolvate 1) Determinaţi x pentru care numerele 1, 1x x şi 3 1x sunt

termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Bacalaureat M 2 ,iunie-iulie,2011

Soluţie.

Numerele 1, 1a x b x şi 3 1c x sunt termenii consecutivi ai

unei progresii aritmetice ( sunt în progresie aritmetică ) dacă 2

a cb

( b este media aritmetică a termenilor vecini lui).

Deci 1 3 1

12

x xx

de unde 2 2 4 2x x sau 2.x

2) Într-o progresie aritmetică 1n n

a

se cunosc primul termen 1 5a şi

raţia 2r .Calculaţi suma primilor 5 termeni ai progresiei.

Soluţie.

Şirul 1n n

a

este progresie aritmetică cu primul termen 1a şi raţia r

daca 1 , 1n na a r n .

În cazul nostru

1 2 3 4 55, 5 2 7, 7 2 9, 9 2 11, 11 2 13a a a a a .

Rezultă

1 2 3 4 5 5 7 9 11 13 2 18 9 45.a a a a a


a

se cunosc termenii 2 6a şi 3 5.a

Calculaţi termenul 6a .

3

Bacalaureat M 2 august-septembrie ,2011

Soluţie.

Daca r este raţia progresiei atunci 3 2 ,a a r adică 5 6 r , de unde

obţinem 1r .

Deci 6 3 3 5 3 1 2a a r .


a

are loc relaţia

6 9 12 15 20a a a a .

Să se calculeze suma primilor 20 termeni ai progresiei.

Soluţie.

Suma primilor n termeni ai progresiei este

1

1 2 ...2

n

n n

a a nS a a a

.

Rezultă

1 20

20 1 20

2010

2

a aS a a

.

Dar 1 20 2 19 6 15 9 12... ...a a a a a a a a .

Atunci relaţia din enunţ devine 1 202 20a a , de unde obţinem

20 10 10 100S .

5) Să se determine x , dacă numerele 24 9, 4x x şi 2 1x sunt în

progresie aritmetică.

Soluţie.

Obţinem ecuaţia 2 4 9 2 14

2

x xx

, care conduce la ecuaţia

echivalentă 22 6 0x x , cu soluţiile 1 20, 3.x x

6) Dacă şirul 1n n

a

este o progresie geometrică cu 2 6a şi 5 384,a să

se afle termenul 3a .

Soluţie.

Şirul 1n n

a

este progresie geometrică de raţie 0r , dacă avem

1 , 1n na a r n . În cazul nostru

3

2

ar

a şi 25

3

,a

ra

4

de unde

2

3

3

384

6

a

a

, adică 3 6 3

3 2 6a sau 2

3 2 6 24.a

7) Să se determine produsul primilor trei termeni ai unei progresii

geometrice 1n n

a

ştiind că primul termen 1 5a şi raţia 3r .

Soluţie.

Cum 2 1 5 3 15a a r şi 3 2 15 3 45,a a r

obţinem 1 2 3 5 15 45 3375.a a a

8) Să se determine x astfel încât 6,2 8x x şi 5 1x să fie în

progresie geometrică.

Soluţie.

Numerele 6, 2 8, 5 1a x b x c x sunt în progresie geometrică

dacă sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice , adică dacă

avem 2b a c .

Obţinem 2

2 8 6 5 1x x x care conduce la ecuaţia echivalentă

3 3 70 0x x , cu soluţiile 1 210, 7.x x

9) Fie şirul 1n n

a

cu termenul general 3 2 , 1n

na n .Să se stabilească

dacă şirul dat este o progresie geometrică.

Soluţie.

Avem 1

1 3 22, 1.

3 2

n

n

n

n

an

a

Deducem că şirul 1n n

a

este o progresie geometrică de raţie 2,r

având primul termen 1 6.a

1.2 Probleme propuse


a

, se cunosc 4 7a și 9 22a . Cal-

culați termenul 14a .

Bacalaureat M 2, sesiunea specială, 2012

2) Se consideră o progresie aritmetică 1n n

a

, în care 3 5a și 5 11a .

Calculați suma primilor șapte termeni ai progresiei .

3) Se consideră progresia aritmetică 1n n

a

, în care 1 3a și 3 7a .

5

Calculați suma primilor 10 termeni ai progresiei.

4) Calculați rația progresiei geometrice 1n n

b

, cu termeni pozitivi , dacă

1 2 6b b și 3 4 24b b .

Bacalaureat M 1, august-septembrie, 2011

5) Știind că doi termeni ai unei progresii geometrice sunt 3 6b , 5 24b ,

determinați termenul 7b .

6) Determinați numărul real x pentru care numerele 1, 1, 2x x sunt

termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

2.Funcţia de gradul I

2.1 Probleme rezolvate

1) Se consideră funcţia : , 5 .f f x x Calculaţi produsul

0 1 ... 10 .f f f

Bacalaureat M 2,iunie-iulie,2011

Soluţie.

Avem 0 1 ... 10 0 1 ... 5 ... 10 0,f f f f f f f

întrucât 5 5 5 0.f

2) Se consideră funcţia : , 6 3f f x x . Să se rezolve ecuaţia

3 2 1 44.f f x

Soluţie. Ecuaţia se scrie succesiv sub următoarele forme echivalente:

6 3 3 6 2 1 3 44 15 12 6 3 44 12 26,x x x

de unde rezultă 26 13

12 6x .

3) Fie funcţia : , 8 7.f f x x Să se calculeze următoarea sumă

1 2 3 ... 2000f f f f , folosind eventual formula

11 2 3 ...

2

n nn

, n .

6

Solutie.

1 2 3 ... 2000 8 1 7 8 2 7 8 3 7 ...

2000 20018 2000 7 8 1 2 3 ... 2000 7 2000 8 7 2000

2

2000 4 2001 7 2000 7997 15994000.

f f f f

4) Să se determine funcţia : , ,f f x ax b cu a şi b numere

reale pentru care 4 5 4 5f f a b şi 6 10.f

Soluţie. Obţinem sistemul

4 5 4 5

6 10

a b a b a b

a b

5 3 0

18 3 30,

a b

a b

de unde 23 30a , 30

23a şi

5 30 50

3 23 23b . Astfel avem : ,f

30 50

23 23f x x .

5) Să se determine parametrul real m ştiind că funcţia afină : ,f

10 3 4f x m x m este strict crescătoare pe .

Soluţie.

Funcţia : , , , , 0f f x ax b a b a este strict crescătoare

pe pentru 0a (şi strict descrescătoare pe pentru 0a ).

În cazul nostru condiţia 10 3 0,m conduce la 3 10,m de unde

10,

3m

.

6) Fie funcţia : , 4.f f x x Să se calculeze următoarea sumă

2 3 42 2 2 2 .f f f f

Soluţie. Avem

2 3 4 2 3 42 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4

2 4 12 14.

f f f f

7) Se consideră funcţia : . 4 6f f x x . Să se determine punctul

care aparţine graficului funcţiei f şi are abscisa egală cu ordonata.

Solutie.

În general , .fM a b G f a b

7

În cazul nostru condiţia , ,fM a a G conduce la f a a , adică la

4 6a a ,de unde 2a şi obţinem punctul 2,2 .fM G

8) Fie funcţia : 3,2 , 1f f x x .Să se determine mulţimea

valorilor funcţiei f .

Soluţie.

Cum funcţia f este strict descrescătoare şi 3 3 1 4f ,

2 2 1 1f ,obţinem că Im 1,4 .f

9) Să se determine valoarea minimă a funcţiei de gradul întâi

: 2,5 , 5 3.f f x x

Soluţie. Din

2 5 2 5 10 5 25 7 5 3 22

7 22, 2,5 ,

x x x x

f x x

obţinem valoarea minimă 22 , întrucât 5 22f , rezultat care se

obţine direct din 5 22f şi faptul că f este strict descrescătoare pe

intervalul 2,5 .

10) Determinaţi ,x pentru care 1

1 13

x .

Bacalaureat M 2 ,august-septembrie,2010

Soluţie.

Obţinem inecuaţia 3 1 3x sau 4 2x şi cum x , obţinem

4, 3, 2, 1,0,1,2 .x


1) Se consideră funcțiile , : , 2 1, 3f g f x x g x x .

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f

și g .

Indicație. Punctul ,M x y este punct de intersecție al graficelor funcții-

lor f și g dacă și numai dacă f x g x .

2) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor

: , 3f f x x și : ,g 5g x x .

8

Bacalaureat M 2, sesiunea specială, 2012

3) Determinați parametrul a pentru care funcția : ,f

21 4f x a x este constantă.


4) Să se afle 1 5f , unde 1f este inversa funcției : ,f

10f x x .

Indicație. 1f f x x .

5) Se consideră funcțiile : , 2 3f f x x și :g ,

5g x x . Să se calculeze 5f g .

Indicație. 5 5f g f g .

3. Funcţia de gradul al II-lea


1) Determinaţi coordonatele vârfului parabolei asociate funcţiei

2: , 2 3.f f x x x

Bacalaureat M 2 ,iunie-iulie,2010

Soluţie.

Parabola asociată funcţiei 2: , ,f f x ax bx c are vârful

, ,v vV x y cu coordonatele , .2 4

v v

bx y

a a

În cazul nostru avem

221, 2, 3, 4 2 4 1 3 8a b c b ac şi atunci obţinem că

2 81, 2

2 2 1 4 4 1v v

bx y

a a

sunt coordonatele vârfului.

Observăm că de fapt 21 1 2 1 3 2.v vy f x f

2) Determinaţi soluţiile întregi ale inecuaţiei 22 3 0.x x


Soluţie.

Studiem semnul funcţiei 2: , 2 3f f x x x .

9

Considerăm ecuaţia 22 3 0x x . Discriminantul ecuaţiei este

22 4 1 4 2 3 1 24 25.b ac

Rezultă

1,2

1 25 1 5,

2 2 2 4

bx

a

de unde 1

1 5 3

4 2x

şi

2

1 51.

4x

Avem tabelul de semn

x 1

3

2

f x + + + + + + + 0 - - - - 0 + + + + + + + + + +

Obţinem că 22 3 0,x x x are mulţimea soluţiilor 3

1, .2

I

Atunci mulţimea soluţiilor întregi este 1,0,1I .

3) Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic conţine punctele

0,0 , 2,2 , 1,2 .A B C


Soluţie.

Fie 2: , , , , , 0.f f x ax bx c a b c a Avem

0,0 0 0; 2,2 2 2; 1,2 1 2.f f fA G f B G f C G f

Obţinem sistemul

0

4 2 2

2,

c

a b c

a b c

de unde 2 1

2

a b

a b

şi rezultă 1, 1, 0.a b c

În concluzie 2: ,f f x x x este funcţia căutată.

4) Fie 1 2,x x rădăcinile ecuaţiei 2 0x mx m .Să se determine m ,

astfel încât 1 2 1 2 4.x x x x

Soluţie.

10

Între rădăcinile ecuaţiei 2

1 20, , , , 0, ,ax bx c a b c a x x şi

coeficienţii , ,a b c există relaţiile lui Viete

1 2

1 2 ,

bx x

a

cx x

a

În cazul nostru 1 21

mx x m şi 1 2 .x x m

Atunci relaţia 1 2 1 2 4x x x x conduce la 4,m m de unde obţinem

2m şi în acest caz avem 0.

5) Să se demonstreze că funcţia 2: , 1f f x x x nu este

injectivă.

Soluţie.

O funcţie :f A B este injectivă dacă

1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x .

În cazul funcţiei 2: , 1 1 1,f f x x x x x avem

0 1 1f f şi deci f nu este injectivă.

6) Se consideră ecuaţia 2 0.x mx m Să se determine m ,astfel

încât 2 2

1 2 25,x x unde 1 2,x x sunt soluţiile ecuaţiei.

Soluţie.Avem

2 22 2 2

1 2 1 2 1 225 2 25 2 25 2 25 0.x x x x x x m m m m

Cum 22 4 2 4 1 25 4 100 104,m b ac obţinem soluţiile

1,2

2 26 41 26

2 2

mbm

a

.

7) Să se determine imaginea funcţiei de gradul al doilea

2: , 2 2 3.f f x x x

Soluţie.

Dacă , 0,a a imaginea funcţiei 2: ,f f x ax bx c este

Im , ,vf y cu .4

vya

În cazul nostru

2 2 20 54 2 4 2 3 4 24 20,

4 4 2 2vb ac y

a

11

şi atunci 5

Im , .2

f

8) Să se determine valoarea maximă a funcţiei de gradul al doilea

2: , 2 10.f f x x x

Soluţie.

Cum 1 0,a rezultă că funcţia f are valoare maximă şi aceasta este

22 2 4 1 104 4 4011.

4 4 4 1 4v

b acy

a a

9) Să se determine parametrul real 0,m ştiind că funcţia : ,f

2 1f x mx x m este descrescătoare pe ,3 .

Soluţie.

Funcţia f este descrescătoare pe , ,vx pentru 0m unde avem

1 1.

2 2 2v

bx

a m m

Deci

13

2m sau 6 1,m de unde

1

6m sau

1,6

m

şi cum 0m obţinem 1

0, .6

m

Observaţie. Dacă 0m funcţia devine : ,f 1f x x şi este

strict descrescătoare pe .

10) Să se determine ,m ştiind că soluţiile ecuaţiei de gradul al

doilea 2 5 2 0,x x m au semne opuse.

Soluţie.

Cum 22 4 5 4 1 2 25 8 ,b ac m m ecuaţia are rădăcini reale

diferite pentru 25 8 0,m adică pentru 25

, .8

m

Condiţia ca soluţiile reale 1 2,x x ale ecuaţiei să aibă semne opuse este

1 2 0,c

P x xa

adică 0.m

Deci 25

,0 , ,08

m

.

11) Fie funcţia 2: , 2 10.f f x x Să se rezolve inecuaţia

8.f x

12

Soluţie.

Inecuaţia devine 22 10 8 0x şi evident , orice număr real este soluţie

a acestei inecuaţii.

12) Determinaţi numerele reale m pentru care ecuaţia 2 1 0x mx m

are soluţii reale egale .

Soluţie.

Punem condiţia 2 4 0b ac pentru ecuaţia dată şi atunci obţinem

2

4 1 1 0,m m adică 2 4 4 0m m ecuaţie care are soluţiile

1,2

4 16 162 2 2.

2m

13) Să se rezolve sistemul :

2

4 1

2 10

x y

x x y

, unde , .x y

Soluţie.

Din prima ecuaţie 4 1y x şi înlocuind în a doua obţinem ecuaţia 2 2 10 4 1x x x sau 2 2 9 0x x , ecuaţie de gradul al doilea cu

22 4 2 4 1 9 4 36 40.b ac

Rezultă

1,2

2 2 101 10.

2 2

bx

a

Cu 1 1 10x obţinem 1 14 1 4 4 10 1 3 4 10.y x

Cu 2 1 10x obţinem 2 24 1 4 4 10 1 3 4 10y x .

Deci mulţimea soluţiilor sistemului este

1 10,3 4 10 , 1 10,3 4 10 .M

14) Se consideră funcţia 2: , 30 200f f x x x . Să se

calculeze P 2012 2011 ... 0 1 ... 2012f f f f f .

Soluţie.

Cum 210 10 30 10 200 0f obţinem că produsul 0P .

15) Să se determine ,m astfel încât ecuaţia 2 2 0x x m să aibă

soluţii reale.

13

Soluţie. Condiţia 2 2 24 1 4 1 0b ac m conduce la 24 1 0m şi

cum 24 1 0m are soluţiile 1,2

1,

2m inecuaţia 0 , are soluţiile

1 1, .

2 2m

16) Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie ale graficelor

funcţiilor : , 3 2f f x x şi 2: , 4.g g x x

Soluţie.

Sistemul 2

3 2

4

y x

y x

conduce la 2 4 3 2 0x x adică la ecuaţia

2 3 6 0x x , care are soluţiile

2

1,2

3 3 24 3 33

2 2 2

bx

a

.

Cu 1

3 33,

2x

obţinem 1 1

9 3 33 4 13 3 333 2

2 2y x

.

Cu 2

3 33

2x

, obţinem 2 2

9 3 33 4 13 3 333 2 .

2 2y x

Aşadar ,am obţinut punctele de intersecţie 1 1 1 2 2 2, , ,M x y M x y

cu coordonatele 1

3 33,

2x

1

13 3 33

2y

; 2

3 33

2x

,

2

13 3 33.

2y


1) Se consideră funcția 2: , 2 5f f x mx x . Determinați

m pentru care abscisa vârfului parabolei asociate funcției f este

egală cu 2.

2) Determinați numerele reale m pentru care punctul , 1A m aparține

graficului funcției 2: , 3 1f f x x x .

3) Se consideră funcția 2: ,f f x x ax b . Determinați

numerele a și b pentru care graficul funcției f conține punctele 2,3A

și 1,0B

14

4) Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției

:f , 22 3f x x x .

5) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor

: , 2 1f f x x și 2: , 2 3g g x x x .

6) Determinați numărul real m , știind că punctul 0,1A aparține

graficului funcției 2: , 2 3f f x x x m .


7) Determinați soluțiile întregi ale inecuației 2 2 8 0x x .

Bacalaureat M 1 ,iunie-iulie, 2010

8) Determinați valorile reale ale lui AB pentru care dreapta 2x este axa

de simetrie a parabolei 2 4y x mx .

Bacalaureat M 1,iunie-iulie, 2011

Indicație. Parabola de ecuație 2y ax bx c , are ca axă de simetrie

dreapta de ecuație 2

bx

a .

9) Determinați mulțimea valorilor funcției de gradul al doilea :f ,

2f x x 1x

10) Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficelor

funcțiilor 2: , 2f f x x x și :g , 2g x x .

Bacalaureat M 1, iunie-iulie, 2012

11) Se notează cu 1x și 2x soluțiile ecuației 2 3 0x x a , unde a este

un număr real . Determinați a pentru care 1 2 1 2 5x x x x .

12) Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției

2: , 5 4f f x x x cu axa Ox .


Indicație. Distanța este 1 2x x , unde 1 2,x x sunt soluțiile ecuației

0f x .

13) Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției

:f , 2 3 2f x x x .

Bacalaureat M 1, sesiune specială, 2012

14) Determinați coordonatele punctelor de intersecție a dreptei 2 1y x

cu parabola 22 3 1y x x .

4 Vectori în plan

15


1) Se consideră vectorii 1 2v i j şi 2 3v i j . Aflaţi coordonatele

vectorului 1 22w v v .

Bacalaureat M 2 ,iunie-iulie,2010

Soluţie.

Avem 2 2 3 4 2 3 3 5w i j i j i j i j i j şi deci 3, 5 .w

2) În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele 2,0 ,A

1, 1 , 0,0 .B O Determinaţi coordonatele punctului C pentru care

2 .OC OA OB

Bacalaureat M 2 ,august-septembrie ,2010

Soluţie.

Fie , .C a b Relaţia 2OC OA OB se scrie 4 0 ,ai b j i j i j sau

5 ,ai b j i j de unde 5a şi 1.b

3) Se consideră vectorii 1 2v i a j şi 2 3 2v a i j , unde a .

Determinaţi numărul 0,a pentru care vectorii 1v şi 2v sunt coliniari.

Soluţie.

Din 2

3 2

a

a

obţinem 2 3 4 0,a a de unde 1 2 1 23, 4.a a a a

Rezultă 1 21, 4.a a Numărul căutat este 1.a

4) Dacă vectorii 1 1,2v m şi 2 4,2 3v m sunt coliniari , determinaţi

parametrul .m

Soluţie.

Din 1 2

4 2 3

m

m

obţinem 22 3 2 3 8 0,m m m sau

22 11 0,m m de unde 1,2m 1 1 88 1 89

.2 4 4

b

a

5) Dacă 8 0MN PN să se determine valoarea raportului .MN

NP

Soluţie.

Rezultă 8 ,MN NP de unde 8.MN

NP

16

6) Triunghiul ABC este dreptunghic în A şi are catetele 8AB şi

6.AC Calculaţi modulul vectorului .AB AC

Soluţie. C A

6

A 8 B

A 8 B

Figura 1

Folosind figura1 observăm că AB AC AB BA AA şi are modulul

2 26 8 10BC .

7) Se consideră dreptunghiul ABCD de centru O şi M un punct exterior

dreptunghiului .Calculaţi

MA MC MB MD în funcţie de MO .

Soluţie. M

D C

O

A B

Figura 2

Ţinând seama ca vectorul de poziţie al mijlocului unui segment este egal

cu semisuma vectorilor de poziţie ai capetelor segmentului şi folosind

figura 2 avem

1

2MO MB MD şi

1.

2MO MA MC

17

De aici rezultă că 4 .MA MC MB MD MO

8) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,5A şi 8, 1 .B Să

se determine coordonatele vectorului .v OA OB

Soluţie.

Cum 3 5 , 8OA i j OB i j ,rezultă v 3 5 8 5 4i j i j i j .

Deci 5,4 .v

9) Să se determine coordonatele punctului B , ştiind că 4,9A şi

5 7 .AB i j

Soluţie.

Fie , .B x y Atunci 4 9 .AB x i y j Rezultă că 4 5x şi

9 7,y de unde 9, 16.x y

10) Fie ABCD un pătrat şi O centrul său. Arătaţi că avem relaţia

0OA OB OC OD şi cercetaţi dacă aceasta rămâne valabilă în cazul

unui paralelogram ABCD de centru O .

Soluţie. D C

O Figura 3

A B

Folosind figura 3 avem 0OA OB OC OD OA OB OA OB .

Deoarece am folosit numai faptul că diagonalele pătratului se injumătăţesc

rezultă că relaţia este adevărată şi în cazul unui paralelogram oarecare.

11) Să se arate că intr-un triunghi echilateral ABC , înscris în cercul de

centru O, avem 3 .AB AC AO

Soluţie. Figura 4

A

18

B C

Cum M este mijlocul laturii BC ,iar O este centrul de greutate al

triunghiului ABC , folosind figura 4 avem

1 3

2 2 3 .2 2

AM AB AC AB AC AM AO AO

12) Să se determine coordonatele punctului M , mijlocul segmentului

,AB ştiind că 3 , 7 5 .OA i j OB i j

Soluţie.

Avem 1,3 , 7, 5 , , ,M MA B M x y unde

3 51 7

3; 1.2 2 2 2

A B A BM M

x x y yx y


1) Calculați produsul scalar 1 2v v dacă 1 3v , 2 2v și unghiul dintre

1v și 2v are măsura 4

.

Indicație. 1 2 1 2 cosv v v v .

2) În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele 1,2 ,A

3, 1B și 0,0O . Să se determine coordonatele vectorului 2OA

3OB .

3) Într-un reper cartezian , ,O i j se dau punctele 1,1 , 1, 2A B

și 8,0C . Să se calculeze lungimile vectorilor ,BA BC și cosinusul

măsurii unghiului ABC .

4) Determinați parametrul real a știind că vectorii 1 3 4v i j și

O

M

M

19

2 8v i a j sunt perpendiculari .

Indicație. Punem condiția 1 2 0v v .

5) Să se arate că dacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC ,

atunci 0GA GB GC .

Indicație. ScriemGA OA OG și analoagele.

6) Paralelogramul ABCD are 1, 2AB BC și 60m BAD .

Calculați produsul scalar AC AD .

Indicație. AC AD AB AD AD .

7) Triunghiul ABC are măsura unghiului A de 60 , 4AB și 5AC .

Calculați AB AC .


8) Se consideră vectorii 2u i j și v ai j . Determinați numărul real

a pentru care 3u v .


9) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 1,3A și 7,12B .

Determinați coordonatele punctului M , știind că 1

3AM AB .

10) Aflați numărul real a pentru care vectorii 3u i a j și v ai

2 3a j sunt coliniari.


11) Se consideră vectorii 1 2v i a j și 2 3 2v a i j , unde

a . Determinați numărul 0a , pentru care vectorii 1v și 2v sunt

coliniari.

12) Fie 1 3 2v i j și 2 2 3v i j . Să se calculeze 1 22v v .

5 Trigonometrie și aplicaţii

ale trigonometriei în geometrie

5.1 Probleme rezolvate 1) Un triunghi dreptunghic are catetele 3, 4.AB AC Aflaţi lungimea

înălţimi duse din A .


Soluţie.

20

Cu teorema lui Pitagora avem 2 2 2 23 4 5.BC AB AC

Apoi scriem aria triunghiului ABC în două moduri

3 4

62 2

ABC

AB ACA

şi

5

2 2ABC

BC h hA

,

unde h este lungimea înălţimii duse din A .

Rezultă 5 12,h de unde 12

2,4.5

h

2) Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC în care

6AB şi 030m ACB .

Bacalaureat M 2,august-septembrie,2010

Soluţie.

Cu notaţiile cunoscute avem : 2 .sin sin sin

a b cR

A B C

Din 2sin

cR

C rezultă

0

66.

2sin 2sin30

cR

C

3) Calculaţi raza cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că 9BC

şi 0120m BAC .


Soluţie.

Din 2 ,sin

aR

A rezultă

0 0

92

sin 180 60R

sau

0

92 .

sin 60R

Obţinem 9 9 3

3 3.33

22

R

4) Calculaţi cosinusul unghiului M al triunghiului MNP ştiind că

4, 5MN MP şi 6.NP


Soluţie.

Cu teorema cosinusului avem : 2 2 26 4 5 2 4 5 cos ,M de unde

41 36 5 1cos .

40 40 8M

5) Să se calculeze aria triunghiului ABC , ştiind că

013, 12, 45 .AB AC m BAC

Soluţie.

21

0sin 12 13 sin 45 278 39 2.

2 2 2ABC

b c AA

6) Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC, unde

5, 13, 12.AB BC AC

Soluţie.

Cum 2 2 213 5 12 , folosind reciproca teoremei lui Pitagora , deducem că

090 .m A Atunci 6,52

BCR , întrucât BC este ipotenuza triunghiu-

lui ABC .

7) Să se calculeze aria triunghiului ABC dacă 4, 5AB BC şi

0135 .m B

Soluţie.

0 0

05 4 sin 180 45sin 2

10 sin 45 10 5 2.2 2 2

ABC

a c BA

8) Să se determine lungimea laturii BC a triunghiului ABC , ştiind că

06, 3, 30 .AB AC m A

Soluţie.

Cu teorema cosinusului:

2 2 2 2 2 32 cos 3 6 2 3 6 45 18 3,

2a b c bc A de unde

45 18 3.BC a

9) Fie triunghiul ABC de arie egală cu12 ,cu 6AB şi 16.BC Să se

calculeze sin .B

Soluţie.

Avem :sin 16 6 sin

48 sin .2 2

ABC

a c B BA B

Rezultă

48 sin 12,B de unde 12 1

sin .48 4

B

10) Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC , ştiind că

4, 8AB BC şi 0( ) 60 .m B

22

Soluţie.

Cu teorema cosinusului 2 2 2 2 08 4 2 8 4 cos60 80 32 48,AC b

de unde 48 4 3.b Obţinem că perimetrul triunghiului ABC este

12 4 3.ABCP a b c

11) Să se calculeze aria unui paralelogram ABCD ,ştiind că

10, 6AB AD şi 030 .m BAD

Soluţie.

Avem 0: sin 10 6 sin30 30.ABCDA AB AC A


1) Calculați cos x , știind că 1

sin3

x și 0,2

x

.

Indicație. 2 2sin cos 1x x .

2) Calculați cos130 cos50 și sin144 sin36 .

Indicație. cos 180 cosx x și sin 180 sinx x .

3) Triunghiul ABC are 8, 8AB AC și 30m BAC . Calcu-

lați aria triunghiului ABC .

4) Calculați perimetrul triunghiului MNP știind că 2, 3MN MP și

120m NMP .

5) Determinați măsura x a unui unghi ascuțit , știind că

sin 4cos5

cos

x x

x

.


6) Se consideră triunghiul MNP cu 3

6,sin5

MP N și 4

sin5

P

Calculați lungimea laturii MN .

7) Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC , știind că 6,AB

5AC și 60m BAC .


8) Aria triunghiului MNP este egală cu 16 , iar 8MN NP . Calcu-

lați sin N .

9) Calculați a) sin12

; b) 2 2sin 124 cos 56 .

23

Indicație. a) 45 3012

și sin sin cos cos sinx y x y x y

10) Fie x un număr real , care verifică egalitatea 2tgx ctgx . Arătați că

sin 2 1x .


Indicație. Notând tgx y , obținem 2

1 0y

11) Știind că ,2

x

și 2 2

sin3

x , calculați cos x .

Indicație. cos 0x și se obține din 2 2sin cos 1x x

12) Calculați cosinusul unghiului A , al triunghiului ABC , în care

4, 5AB AC și 7BC .


13) Determinați 0,2

x

, știind că sin 2cos

3cos

x x

x

.

14) Determinați măsura unghiului C al triunghiului ABC , știind că

2, 2BC AB și măsura unghiului BAC este egală cu 45 .


15) Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABC , știind că

5AB AC și 6BC .

Bacalaureat M 1, sesiune specială , 2012

Indicație. Folosim formula 4

abcR

S .

16) Știind că 0,2

x

și 1

cos 23

x , calculați sin x .

Indicație. 2cos2 1 2sinx x .

17) Dacă 4

sin5

x și ,2

x

, calculați tgx .

18) Să se stabilească semnul diferenței cos cos5 13

.

19) Să se arate că dacă într-un triunghi ABC avem 2 2sin sinA B 2sin C , atunci triunghiul este dreptunghic.

Indicație. 2sin sin sin

a b cR

A B C .

20) Să se arate că în orice triunghi ABC are loc egalitatea 2 2

cos cosb c

b C c Ba

.

Indicație. Se folosește teorema cosinusului.

24

Capitolul 2

PROBLEME PENTRU CLASA A X-A

1 Numere reale. Numere complexe


1) Calculaţi 3

2

1log 27.

8


Soluţie.

33

2 2

1log 27 log 2 3 3 3 0.

8

25

2) Calculaţi 2

38 16 lg100.

Soluţie.

Obţinem 2 2

33 38 16 lg100 2 4 2 4 4 2 6.

3) Calculaţi 32 2 2log 10 5log 2 3log 16.

Soluţie. Rezultă

3

53 3

2 2 2 2 2 2

2 2

log 10 5log 2 3log 16 log 10 log 2 log 16

10log 16 log 5.

32

4) Să se arate că 5log 80 1 4 ,a unde 5log 2.a

Soluţie.

Avem 5 5 5 5 5 51 4 log 5 4log 2 log 5 log 16 log 5 16 log 80.a

5) Calculaţi media aritmetică şi media geometrică a numerelor pozitive

2 3a şi 2 3ln 27.b e

Soluţie.

Cum 2 3a şi 2 3b obţinem

.

42

2 2aritm

a bm

şi

22

. 2 3 1.geomm a b

6) Să se calculeze

3

5

1log 125.

5

Soluţie. 3

3

5

1log 125 5 3 125 3 122.

5

7) Scrieți conjugatul numărului complex 7 4z i .

Soluție. Dacă z a bi atunci z a bi . În cazul nostru avem

7 4 7 4z i i .

8) Să se calculeze produsul 2 3 2012...P i i i i .

Soluție. Întrucât avem 2 3 4 21 1 1i i i i i i i și

2012: 4 503 , rezultă 503

1 1P .

26

9) Să se calculeze

131

1

i

i

.

Soluție. Întrucât

2 2

2

11 1 2

1 1 1 1

ii i ii

i i i i

, obținem imediat

13

313 4 3 1 41

1

ii i i i i

i

.

10) Să se rezolve ecuația bipătrată 42 1 0x x .

Soluție. Notând 2x y , obținem ecuația 22 1 0y y cu soluțiile reale

1 2

11,

2y y . Din 2 1x obținem 1,2 1x , iar din 2 1

2x , obținem

3,4

1

2x i .

11) Determinați numerele reale x și y astfel încât

2 5 4 16x i yi i .

Soluție. Relația din enunț se scrie succesiv sub următoarele forme

echivalente: 25 10 2 4 16 ; 5 2 10 4 16x xyi i yi i x y xy i i .

Obținem sistemul 5 2 4

10 16

x y

xy

. Din prima ecuație

5 4

2

xy

și

înlocuind în a doua obținem 5 4 12x x sau 25 4 12 0x x , cu

soluțiile 1 2

62,

5x x . Atunci 1 23, 5y y .

12) Calculați 4

1 1i i .


Soluție. 4 44 2 421 1 1 1 2 2 16i i i i i i

.

13) Calculați modulul numărului complex 1 3z i .

Soluție. Pentru z a ib avem 2 2z a b . În cazul nostru avem

2

21 3 4 2z .


1) Calculați 2 2log 3 5 log 3 5 .

27

Indicație. log log loga a ax y xy și log y

a x y a x .

2) Calculați 7 7log 3 2 log 3 2 .

3) Calculați 6 6log 3 log 12 .

4) Arătați că 1 22 2 0,75 .


Indicație. 1

2 ,2

n

nn .

5) Ordonați crescător numerele 12,2 2 și 3 .

6) Se consideră numărul 3log 2a . Arătați că 3log 6 1 a .


7) Care dintre numerele 32 6 și 33 3 este mai mare ?


8) Arătați că 2, 5 2 .

Bacalaureat M 1, iunie-iulie 2011

9) Găsiți 0x , știind că log 2log 3 3log 2a a ax , 0,a 1a .

Indicație. log log n

a an x x și log log loga a a

xx y

y

.

10) Arătați că 2 2log 7 3 log 7 3 2 .

Bacalaureat M 1, august-septembrie,2012

11) Să se verifice dacă 1 2i este soluție a ecuației 2 2 5 0z z .

12) Arătați că numărul 2 1i este soluție a ecuației 2 2 3 0z z .

13) Calculați modulul numărului complex 2

1 i .


14)Calculați partea reală a numărului complex 2

1 2i .

Indicație.Partea reală a numărului complex z a bi este numărul real a .

15) Să se afle conjugatul și modulul numărului complex 2 3z i .

16) Rezolvați în ecuația 224 8 3 0z z .

Indicație. Notăm z x iy .

17) Determinați forma algebrică a numărului complex 3 2

1

iz

i

.

18) Arătați că 1 2i este soluție a ecuației 2 2 5 0z z .

19) Dacă 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 1 0x x , să se calculeze

28

2013 2013

1 2x x .

Indicație. Avem 2

1 1 11 1 0x x x , de unde 3

1 1 0x .

20) Determinați numerele complexe z pentru care 4 10 6z z i .

21) Rezolvați în ecuațiile: a) 4 24 3 0;z z b) 3 8 0z .

2. Funcţii şi ecuaţii 2.1 Probleme rezolvate

1) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 12 3 1.x


Soluţie.

Obţinem 2 13 1x sau

2 1 03 3 ,x de unde 2 1 0x cu soluţiile 1,2 1x .

2) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia

3 3log 2 log 4 1.x x


Soluţie.

Din 2 0x şi 4 0x ,obţinem 4, .x

Ecuaţia se scrie 3

2log 1,

4

x

x

de unde

23,

4

x

x

sau 3 12 2x x .

Rezultă 3 2 12,x x de unde 7 4, .x

3) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia

2 2log 2 log 2.x x

Soluţie.

Din 3 0x şi 0x ,obţinem 0, .x

Ecuaţia se scrie 2 2

3log log 4

x

x

şi conduce la 1 0, .x

4) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 3.x x


Soluţie.

Condiţia 1 0,x conduce la 1, .x

Apoi ridicând ambii membrii ai ecuaţiei la pătrat , obţinem

29

21 6 9x x x sau 2 7 10 0x x cu soluţiile 1 2 1,x şi

2 5 1, .x

Prin ridicare la pătrat se pot introduce soluţii străine şi de aceea verificăm

dacă 2 şi 5 sunt soluţii ale ecuaţiei iniţiale.

Cum 2 1 2 3, iar 5 1 5 3, obţinem că 5 este singura soluţie a

ecuaţiei.

5) Se consideră funcţia 10

: 0, , .2000

xf f x

x

Să se calculeze 0 1 ... 20 .f f f

Soluţie.

Cum 10 0,f obţinem că produsul cerut este 0.

6) Să se rezolve ecuaţia 2 27 7x x în mulţimea .

Soluţie.

Rezultă 2 2x x sau 2 0x x , de unde 1 20, 2.x x

7) Să se rezolve ecuaţia 19 3 84.x x

Soluţie.

Ecuaţia se scrie 2

9 3 3 84 0.x x Notând 3 0,x y obţinem ecuaţia

29 84 0y y cu 21 4 9 84 3025 0y şi cu soluţiile

1,2

1 3025 1 55.

2 9 18y

Din 13 3,x y obţinem 1 3,x iar ecuaţia

2

563

18

x y

nu are soluţii.

8) Să se determine coordonatele punctelor de intersecţie cu axele de

coordonate ale graficului funcţiei 10: , 5 5.xf f x

Soluţie.

Intersecţia cu

10 10 1: 0 0 5 5 0 5 5 9 9,0x xOx y f x x A

Intersecţia cu 10 10: 0 0 5 5 0,5 5 .Oy x f B

9) Fie funcţia : 0, , lg .f f x x Să se calculeze

1 100 10 .f f f

30

Soluţie.

1 100 10 lg1 lg100 lg10 0 2 1 1.f f f

10) Fie funcţia 2: 0, , 3 log .xf f x x

Să se calculeze 1 2 .f f

Soluţie.

1 2

2 21 2 3 log 1 3 log 2 3 0 9 1 13.f f

11) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 6 5 4.x

Soluţie.

Prin ridicare la puterea a treia membru cu membru obţinem ecuaţia

6 5 64,x de unde 70

14.5

x

12) Să se rezolve în mulţimea ecuaţia 7log 6 5 1.x

Soluţie.

Condiţia 6 5 0x devine 5

, .6

x

Atunci ecuaţia este echivalentă

cu 6 5 7,x de unde 2 1 5

, .6 3 6

x

Deci soluţia este 1

.3

x

13) Să se rezolve ecuaţia 1 15 5 5 155.x x x

Soluţie.

Ecuaţia devine 1

5 5 5 5 1555

x x x sau 1

5 1 5 155,5

x

de unde

315 155.

5

x Obţinem 1 1555 ,

31

x adică 15 5.x

Deci 1 1,x de unde 2.x

14) Să se rezolve ecuaţia 9 7 3 12 0.x x

Soluţie.

Ecuaţia se scrie 2

3 7 3 12 0.x x Notăm 3 0x y şi obţinem

2 7 12 0y y cu 1 2 1 27, 12,y y y y de unde 1 23, 4.y y

Rezultă 3 3x sau 3 4,x de unde 1 2 31, log 4.x x

31

15) Să se rezolve în mulţimea ecuaţia 2lg 4lg 4 0.x x

Soluţie.

Punând condiţia 0,x obţinem 0, .x Ecuaţia din enunț se scrie

2

lg 2 0,x de unde lg 2x sau 210 100 0, .x

16) Rezolvați în mulțimea ecuația cos2 sin 0x x .

Soluție. Întrucât 2cos2 1 2sinx x , ecuația se scrie sub forma echi-

valentă 22 1 0y y , unde siny x .Obținem 1 1y și 2

1

2y .

Ecuația sin 1x conduce la 2 ,2

x k k

, iar ecuația1

sin2

x

conduce la 2 ,6

x k k

sau 7

2 ,6

x k k

.

17) Rezolvați în mulțimea 0,2 , ecuația 1

sin6 2

x

Bacalaureat M 1, iunie-iulie,2011

Soluție. 2 ,6 6

x k k

sau 5

2 ,6 6

x k k

.

Cum 0,2x obținem soluțiile 3

și .

18) Să se rezolve ecuația sin x tgx , pe intervalul 0,2 .

Soluție. Ecuația se scrie 1

sin 1 0cos

xx

și este echivalentă cu ecuațiile

sin 0x sau cos 1x . Obținem soluțiile 0, ,2 .


1) Rezolvați în mulțimea , ecuația 21 1

327

x .

2) Rezolvați în mulțimea , ecuația 5log 2 3 2x .

3) Rezolvați în mulțimea , ecuația 13 3 36x x .

4) Rezolvați în mulțimea , ecuația 17 7 392x x .

5) Rezolvați , în mulțimea numerelor reale, ecuația 2 2x x .


Indicație. Este mai simplu dacă notăm 2 0x y .

6) Se consideră funcția 2: 1, , log 1f f x x și funcția

32

: 1, , 2 1xg g x . Calculați 1f g .

7) Rezolvați în mulțimea , ecuația 2 2log 1 log 3 1x x .


Indicație. Impunem condițiile 1 0x și 3 0x , scriem 2

11 log

2 și

folosim formula log log loga a a

xx y

y

.

8) Rezolvați , în mulțimea numerelor reale, ecuația 3 12

4

x .

Bacalaureat M 2, sesiunea specială,2012

9) Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției

1: , 2 1xf f x cu axele Ox și respectiv Oy .

10) Rezolvați , în mulțimea numerelor reale, ecuația 2 25 12x .

11) Să se studieze dacă ecuația 2 2 0x are soluții reale.

12) Rezolvați în mulțimea , ecuația lg 7 lg 3 1 2x x .

13) Rezolvați , în mulțimea numerelor reale, ecuația 3 2x x .

14) Determinați soluțiile reale ale ecuației 2

2log 2 1 4x x .

15) Rezolvați , în mulțimea numerelor reale, ecuația 3 2 5 1x .

16) Rezolvați în mulțimea , ecuația 2

3 3log 1 log 5x x .

17) Rezolvați în mulțimea , ecuația 23 4 3 3 0x x .

18) Să se determine x dacă 2

1log 16 log

4x .

19) Rezolvați , în mulțimea numerelor reale, ecuația 2 2 1 1x x x .

20) Se dă funcția 3

1: 0, ,f f x

x . Calculați 512f f .

21) Să se determine mulțimea valorilor funcției : 1,2 ,f definită

prin 4 2f x x .

Indicație. f este descrescătoare pe ,0 și crescătoare pe 0, .

22) Să se rezolve ecuația 3

cos 22

x , 0,2x .

23) Să se rezolve în mulțimea 0,2 ecuația 1

cos 22

x .

33

24) Să se rezolve în mulțimea ecuația 21 cos sinx x .

Indicație. 2 2cos 1 sinx x .

25) Să se rezolve în mulțimea 0, ecuația sin3 sinx x .

3 Metode de numărare


1) Determinaţi câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu

elementele mulţimii 1,2,3,4 .


Soluţie. 3

4 4 3 2 24A de numere .

2) Determinaţi numărul submulţimilor ordonate cu 2 elemente ale unei

mulţimi cu 7 elemente.


Soluţie. 2

7 7 6 42A de submulţimi ordonate.

3) Care este numărul de drepte care se obţin unind 12 puncte din plan

astfel încât oricare 3 puncte din cele 12 sunt necoliniare.

Soluţie. 2

2 1212

2

12 1166

1 2

AC

P

drepte.

4) Câte submulţimi se pot forma cu elementele mulţimii 1,2,3,4,5,6 .

Soluţie.

Numărul de submulţimi ale unei mulţimi cu n elemente este 2n .

În cazul nostru avem 62 64 de submulţimi .

5) Să se afle câte numere de patru cifre distincte se pot forma cu numerele

2,4,6,8.

Soluţie.

4 4! 1 2 3 4 24P numere.

34

6) Să se determine numărul *n astfel încât numărul submulţimilor cu

trei elemente ale unei mulţimi cu n elemente să fie egal cu 120.

Soluţie.

Ecuaţia 3 120,nC cu 3n , conduce la

1 2120 1 2 720,

1 2 3

n n nn n n

de unde 10.n

7) Fie binomul 1

n

xx

, în care suma coeficienților binomiali este

256 . Să se determine termenul dezvoltării care nu îl conține pe x .

Soluție. Din 0 1 2 ... 2 256n n

n n n nC C C C găsim 8n și atunci avem

8

4

1 8 8

1k

kk k k

kT C x C xx

, de unde rezultă că 4

5 8T C este terme-

nul care nu-l conține pe x .

8) Găsiți numărul termenilor raționali din dezvoltarea 50

3 5 .

Soluție. 50

502 2

1 50 503 5 3 5k k

k kk k

kT C C

, dacă și numai dacă

50,2

k k

k

, adică dacă și numai dacă numărul k este un număr par

din mulțimea 0,1,2,...,50 . Deducem că numărul căutat este 26 .

9) Arătați că pentru orice număr n , numărul 3 5 3 5n n

este un număr natural.

Soluție. Conform dezvoltării după binomul lui Newton , există numerele

naturale a și b astfel încât 3 5 3 5n n

5a b a 5b

2a , care este un număr natural.

10) Să se determine suma coeficienților dezvoltării 100

3 22 5 5x y .

Soluție. Suma coeficienților dezvoltării se obține punând 1x y .

Se obține suma 100

505 5 .


1) Calculați 2 2

6 4C A .

2) Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale unei mulțimi cu

cinci elemente.

35

3) Determinați , 2n n , pentru care 2 14n nC A .

4) Calculați 5

2 2

5 6

P

C A.

5) Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi este egal cu

10 . Determinați numărul elementelor mulțimii .

6) Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu

elementele mulțimii 0,1,2,3M .

Bacalaureat M 2, sesiunea specială,2012

Indicație. Numărul tripletelor 0, ,b c , cu ,b c distincte nenule din M

este 2

3A .

7) Calculați 2 1

4 42 3C A ..

8) Determinați , 2n n , pentru care 2 2 18n nC A .


9) Determinați numărul termenilor raționali din dezvoltarea 41

41 2 .

Bacalaureat M 1, august-septembrie,2010

10) Determinați numărul termenilor raționali ai dezvoltării 10

1 2 .

11)Determinați rangul termenului care conține 14x în dezvoltarea binomu-

lui

20

1, 0x x

x


12) Determinați numărul termenilor iraționali din dezvoltarea 50

31 4 .

4. Matematici financiare


1) Calculaţi probabilitatea ca alegând la întâmplare un element n din

mulţimea 1,2,3,4 acesta să verifice inegalitatea 22 .n n


Soluţie.

Pentru 1 2 2 2 3 21 2 1 ; 2 2 2 ; 3 2 3n A n A n F

36

4 24 2 4n A .Probabilitatea este . . 3

.. . 4

nr caz favorabileP

nr caz posibile

2) După o scumpire cu 5% preţul unui produs creşte cu 12 lei. Calculaţi

preţul produsului înainte de scumpire.


Soluţie.

Avem 5%din 12x ,unde x este preţul produsului înainte de scumpire.

Rezultă 5

12100

x sau 12,20

x de unde 20 12 240x lei.

3) Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din mulţimea

21,22,...,90 ,acesta sa fie pătrat perfect.

Soluţie.

Pătratele perfecte cuprinse între 21 şi 90 sunt 25,36,49,64,81.

Deci mulţimea 21,22,...,90 ,are 70 numere dintre care 5 sunt pătrate

perfecte .Rezultă probabilitatea 5 1

.70 14

P

4) După o reducere cu 20% preţul unui produs este de 40 lei .Să se afle

preţul iniţial al produsului.

Soluţie.

80% din x 40 , conduce la 80

40100

x sau 8 400x de unde 50x lei

reprezintă preţul iniţial al produsului.

5) Să se determine probabilitatea ca alegând unul dintre numerele 3

5 4,P A şi 5

7C acesta să fie divizibil cu 5.

Soluţie.

Cum 3

5 41 2 3 4 5 120, 4 3 2 24P A şi 2

5 2 77 7

2

7 621,

1 2

AC C

P

obţinem probabilitatea 1

.3

P

6) Să se calculeze probabilitatea ca,alegând un element al mulţimii

1,2,3,4,5 acesta să verifice inegalitatea 1 10.n n

Soluţie.

37

Pentru 1 1 2 10 ; 2 2 3 10 ; 3 3 4 10 ;n F n F n A

4 4 5 10 ; 5 5 6 10 .n A n A Rezultă probabilitatea 3

.5

P

7) O sumă de 10.000 lei a fost depusă la o bancă şi după un an s-a obţinut

o dobândă de 800 lei .Să se calculeze rata dobânzii.

Soluţie.

Din 10.000 800100

x ,obţinem 100 800x , de unde 8,x adică rata

dobânzii este de 8%.

8) Preţul unui produs ,inclusiv TVA de 24% este de 496 lei. Care este

preţul fătă TVA ?

Soluţie.

Din 24

496100

xx

găsim 124 49.600x de unde 400x lei este preţul

fără TVA.

9) Să se calculeze probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea

0,1,2,...,75A acesta sa fie divizibil cu 19.

Soluţie.

Numerele din mulţimea A divizibile cu 19 sunt 0,19,38 şi 57 .Deci avem

4 cazuri favorabile dint-un total de cazuri egal cu 76. Probabilitatea este

4 1.

76 19P


1) Calculați produsul a b , știind că 150a b și numărul a reprezintă

25% din numărul b .

2) Calculați probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr din mulți-

mea 10,11,12,...,99 , acesta să fie divizibil cu 4 .

3) La o bancă a fost depusă într-un depozit suma de 900 lei, cu o dobândă

de %p pe an . Calculați p , știind că , după un an , în depozit suma este

de 1008 lei.


4) Determinați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea

1,2,...,30 , acesta să fie divizibil cu 7 .

Bacalaureat M 2 , august-septembrie, 2012

38

5) Fie mulțimea 3

0, , , ,6 2 2

A

. Care este probabilitatea ca

alegând un element din mulțimea A , acesta să fie soluție a ecuației 3 3sin cos 1?x x


6) Calculați probabilitatea ca , alegând la întâmplare una dintre submulți-

mile cu trei elemente ale mulțimii 1,2,3,4,5A , elementele submulți-

mii alese să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice .

Bacalaureat M 1, iunie-iulie , 2012

7) Se consideră mulțimea 1,2,3,4,5A . Determinați probabilitatea ca

alegând la întâmplare una dintre submulțimile lui A , aceasta să conțină

exact trei elemente.

Indicație. Numărul submulțimilor unei mulțimi cu n elemente este 2n .

8) După o mărire a prețului cu 10% un televizor costă 950 lei . Care era

prețul inițial al televizorului .

9) După o reducere cu 10% un produs costă 400 lei . Aflați prețul produ-

sului înainte de reducere .

10) Să se calculeze probabilitatea ca , alegând un număr din mulțimea

3 3 3 31, 2, 3,..., 70A , acesta să fie număr rațional.

5. Geometrie


1) Calculaţi distanţa de la punctul 2,3A la punctul de intersecţie al

dreptelor

1 : 2 6 0d x y şi 2 : 2 6 0.d x y


Soluţie.

Din sistemul

2 6 0 4 2 12 0

2 6 0 2 6 0

x y x y

x y x y

, obţinem 3 18x , de unde 6,x

6y , astfel încât 6,6B este punctul de intersecţie al dreptelor 1d şi

2d .Atunci

2 2 2 2 2 26 2 6 3 4 3 5.B A B AAB x x y y

39

2) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,4A şi 5,0B .

Determinaţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB .


Soluţie.

Panta dreptei AB este 0 4

1.5 1

B AAB

B A

y ym

x x

Mediatoarea d a segmentului AB trece prin mijlocul 0M al

segmentului AB şi este perpendiculară pe dreapta AB .

Obţinem 0 ,

2 2

A B A Bx x y yM

, adică 0 3,2M şi panta dreptei d este,

11.d

AB

mm

Rezultă că ecuaţia mediatoarei d a segmentului AB ,

este 2 1 3y x adică 1 0.x y

3) Să se determine numărul real m , astfel încât punctele 0, 2A , 1,1B

şi 2,C m să fie coliniare.

Soluţie. Scriem ecuaţia dreptei

:AB0 2

: :3 2 0.1 0 1 2

A A

B A B A

x x y y x yAB AB x y

x x y y

Condiţia C AB conduce la 3 2 0 6 2 0C Cx y m ,

de unde 4.m

4) Să se determine ,m ştiind că punctul , 2A m m aparţine dreptei

:5 3 0.d x y

Soluţie.

Condiţia A d conduce la 5 3 0 5 2 3 0A Ax y m m , de unde

3.

7m

5) Să se calculeze distanţa de la origine la dreapta AB ,ştiind că

1, 1A şi 3,2 .B

Soluţie.

Avem 1 1

:3 1 2 1

x yAB

sau :3 2 5 0.AB x y Rezultă că distanţa este

40

22

3 0 2 0 5 5, .

133 2d O AB

6) Se consideră triunghiul ABC cu 3,2 , 6,4 , 9,10 .A B C

Calculaţi lungimea medianei din .A

Soluţie.

Mijlocul M al segmentului BC are coordonatele

15, 7.

2 2 2

B C B CM M

x x y yx y

Atunci avem

am AM 2 2 2 2

7,5 3 7 2M A M Ax x y y

2 24,5 5 20,25 25 45,25 .

7) Aflaţi simetricul punctului 2, 3 ,A faţă de punctul 0 1,1 .P

Soluţie. Fie ,A simetricul căutat. Punctul 0 1,1P este mijlocul

segmentului .AA Deci , 2

12

şi

31

2

, de unde 0 şi

5. Astfel 0,5A este simetricul căutat.

8) Să se calculeze aria triunghiului ABC ,ştiind că 1,2 , 2,3A B şi

4, 8 .C

Soluţie.

Avem 2 2

2 1 3 2 10,AB iar ecuaţia dreptei AB este

1 2:

2 1 3 2

x yAB

sau altfel scris : 3 7 0.AB x y

Înălţimea

22

4 3 8 7 35,

101 3ch d C AB

şi atunci

3510

3510

2 2 2

cABC

AB hA

.

9) Să se determine ,m n astfel încât dreptele 1 : 2 3 0d x y n

şi 2 : 2 2 2 1 6 0,d m x m y să fie paralele.

Soluţie.

41

Avem că 1 2d d daca şi numai dacă 2 1 3

,2 3

m m

n

de unde

4m şi 3 .n

10) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,8 , 3,2A B şi

9,4C .Arătaţi că triunghiul ABC este dreptunghic şi isoscel.

Soluţie.

Avem

2 2 2 2

3 1 2 8 2 10; 9 3 4 2 2 10AB BC ;

2 2

9 1 4 8 4 5.AC

Deoarece AB BC şi 2 2 280AB BC AC ,rezultă că triunghiul

ABC este dreptunghic isoscel.

11) Să se scrie ecuaţia dreptei care trece prin 1,2M şi este paralelă cu

dreapta :8 4 2 0.d x y

Soluţie.Cum 1

8 4 2 0 4 8 2 22

x y y x y x rezultă forma

explicită a dreptei d şi anume 1

: 22

d y x de unde se observa uşor că

panta dreptei d este 2.m Dreapta d d ,va avea atunci ecuația

2 2 1M My y m x x y x 2 0x y .

12) Ştiind că 3,4M este piciorul perpendicularei duse din origine pe

dreapta d ,să se scrie ecuaţia dreptei .d

Soluţie.

Cum d trece prin 3,4M şi are vectorul normal 3,4n OM .

Rezultă că :3 3 4 4 0,d x y adică ;3 4 25 0.d x y


1) Găsiți m pentru care punctele 2,3 , 4,5A B și 21,C m m

sunt coliniare.

Indicație. Scriem ecuația dreptei AB și punem condiția C AB .

2) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 1, 2 , 1,2A B și

42

2, 1C . Calculați distanța de la punctul C la mijlocul segmentului AB .

3) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 0, 2A și 4,B m ,

unde m . Determinați valorile lui m pentru care 5AB .

4) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 2,3A și 1,0B .

Scrieți ecuația dreptei AB .

5) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 0,0O și 2,3A .De-

terminați coordonatele punctului B , știind că A este mijlocul segmentu-

lui OB .


6) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 5,1 , 3,5A B și

0,0O . Calculați lungimea medianei din vârful O în triunghiul OAB .

7) În reperul cartezian xOy , se consideră punctul 4, 1A . Determinați

coordonatele punctului B , știind că O este mijlocul segmentului AB .


8)Într-un reper cartezian xOy , se consideră punctele 1,2A și 3,0B .

Determinați coordonatele simetricului punctului A față de punctul B .

Bacalaureat M 2,sesiunea specială ,2012

Indicație. Punctul M este simetricul punctului M față de punctul P dacă

P este mijlocul segmentului MM .

9) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 3,5 , 2,5A B și

6, 3C . Scrieți ecuația medianei corespunzătoare laturii BC , în tri-

unghiul ABC .

10)În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele 2,1 , 2,3A B ,

1, 3C și 4,D a . Determinați a astfel încât dreptele AB și CD să

fie paralele.


Indicație. Punem condiția ca pantele dreptelor AB și CD să fie egale .

11) Calculați distanța dintre dreptele paralele de ecuații 2 6x y și ,

respectiv , 2 4 11x y .

Indicație. Calculăm distanța de la un punct al unei drepte la cealaltă

dreaptă.

12)Determinați a pentru care dreptele 1 : 2011 0d ax y și

2 : 2 0d x y sunt paralele .

43


Indicație. Punem condiția ca pantele celor două drepte să fie egale.

13) Calculați distanța de la punctul 2,2A la dreapta determinată de

punctele 1,0B și 0,1C .


14) Scrieți ecuația dreptei d care conține punctul 3,2A și este perpen-

diculară pe dreapta : 2 5 0d x y .

Indicație. Produsul pantelor celor două drepte este 1 .

15) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul 3,3A și este para-

lelă cu dreapta d de ecuație 3 2 1 0x y .


Indicație. Dreapta a cărei ecuație se cere va avea panta egală cu cea a

dreptei d .

16)Găsiți ecuația mediatoarei segmentului AB unde 1, 2A și 3,4B .

Indicație. Produsul dintre panta mediatoarei și panta dreptei AB este 1 .

17) Scrieți ecuația dreptei , determinată de vârfurile parabolelor 2 4 5y x x și 2 4 4y x x .

18) Să se determine coordonatele centrului cercului circumscris triunghiu-

lui ABC , în care 2,1 , 1,5A B și 2,4C .

Indicație. Se rezolvă sistemul determinat de ecuațiile a două mediatoare

ale triunghiului.

19) Să se afle coordonatele punctului de intersecție dintre dreptele

1 :3 2 0d x y și 2 : 3 4 0d x y .

20) Stabiliți dacă există m astfel încât punctele 3,2 , 1,4A B și

2 1, 1C m m să fie coliniare.

21) Să se calculeze lungimea înălțimii din A a triunghiului de vârfuri

2,1 , 6, 1A B și 4,4C .

Indicație. Se rezolvă sistemul format din ecuația înălțimii din A și ecuația

dreptei BC .

44

Capitolul 3

BREVIARE TEORETICE

1.Breviare teoretice clasa a IX-a

1.1 Progresii aritmetice şi

45

progresii geometrice

Şirul de numere reale 1n n

a

se numeşte progresie aritmetică de

raţie r dacă

1 , 1.n na a r n

În acest caz suma primilor n termeni este

1

1 2 ... ,2

n

n n

a a nS a a a

unde 1 1 , 1.na a n r n

Rezultă că numerele , ,a b c sunt termeni consecutivi ai unei progresii

aritmetice (sunt în progresie aritmetică) dacă .2

a cb

Şirul de numere reale 1n n

a

se numeşte progresie geometrică de

raţie 0r dacă

1 , 1.n na a r n

Atunci

1

1 2

1

, 1

... 1, 1

1

nn n

na r

S a a a ra r

r

unde 1

1 , 1.n

na a r n

Rezultă că numerele , ,a b c sunt termeni consecutivi ai unei progresii

geometrice (sunt în progresie geometrică) dacă 2 .b a c

1.2 Funcţia de gradul I

O funcţie : , ,f f x ax b cu , , 0a b a se numeşte

funcţie de gradul I .Graficul unei funcţii de gradul I este o dreaptă şi

astfel o funcţie de gradul I este unic determinată de două puncte ale

graficului său.

Funcţia de gradul I, : , ,f f x ax b este strict

crescătoare dacă 0a şi strict descrescătoare dacă 0.a

Semnul funcției de gradul I , : , ,f f x ax b se obține

calculând soluția 0x a ecuației de gradul I , 0ax b și este dat de

tabelul :

x 0x

f x semn contrar semnului lui a 0 semnul lui a

46

1.3 Funcţia de gradul al II-lea.

O funcţie 2: , ,f f x ax bx c cu , , , 0,a b c a se

numeşte funcţie de gradul al doilea.

Ecuaţia de gradul al doilea 2 0ax bx c , , , , 0,a b c a are

două soluţii reale distincte 1,2 ,2

bx

a

unde 2 4b ac ,dacă

0.

două soluţii reale egale 1 2 ,2

bx x

a

dacă 0.

nu are soluţii reale ,dacă 0.

Fie 1 2,x x soluţiile reale ale ecuaţiei 2 0ax bx c

20, 4 0a b ac .Notăm 1 2S x x şi 1 2.P x x

Atunci au loc relaţiile lui Viete :

1 2

bS x x

a 1 2; .

cP x x

a

Graficul funcţiei de gradul al doilea este o parabolă cu vârful

, ,v vV x y unde , .2 4 2

v v

b bx y f

a a a

Dacă 0,a 4

vya

este minimul (valoarea minimă) a funcţiei ,iar

dacă 0,a 4

vya

este maximul funcţiei de gradul al doilea.

Monotonia funcţiei de gradul al doilea rezultă din :

a)

x

2

b

a

2 ,

0

f x ax bx c

a

4a

b)

47

x

2

b

a

2 ,

0

f x ax bx c

a

4a

Semnul funcţiei de gradul al doilea 2: , ,f f x ax bx c

se obţine calculând şi soluţiile 1 2,x x ale ecuaţiei de gradul al doilea

2 0ax bx c în cazul 0 , şi este dat de tabelele :

a)dacă 0 avem tabelul de semn:

x

f x semnul lui a

b)dacă 0 avem tabelul de semn:

x 1 2x x

f x semnul lui a 0 semnul lui a

c)dacă 0 avem tabelul de semn:

x 1x 2x

f x semnul lui a 0 semn contrar semnului lui a 0 semnul lui a

Semnul funcţiei de gradul al doilea este folosit la rezolvarea inecuaţiilor

de gradul al doilea .

1.4 Vectori în plan

Fie V mulţimea vectorilor din plan şi 1 2, .v v V Reprezentăm vectorul

1v prin segmentul orientat AB iar 2v printr-un segment orientat cu

originea în B ,fie acesta BC .

Definim vectorul sumă 1 2v v ca fiind segmentul orientat AC .

Identificând vectorii cu segmentele orientate care îi reprezintă , avem

următoarea definiţie a sumei vectoriale

AB BC AC .

Trei puncte distincte ,A B şi C sunt coliniare dacă şi numai dacă

există * ,astfel încât .AB AC

Dacă avem punctul ,M x y în reperul cartezian , ,O i j , atunci

48

,OM x i y j iar dacă avem 1 1 2 2, , ,A x y B x y , în acelaşi reper ,

atunci 2 1 2 1AB x x i y y j , 2 2

2 1 2 1 .AB AB x x y y

Mai observăm că M este mijlocul lui AB , dacă şi numai dacă

AM MB , adică 1 2 1 2, .2 2

x x y yx y

De asemenea 1 1 1v x i y j şi 2 2 2v x i y j sunt coliniari dacă

1 1

2 2

x y

x y şi perpendiculari dacă 1 2 1 2 0.x x y y

Produsul scalar al vectorilor nenuli 1 1 1v x i y j și 2 2 2v x i y j

se definește prin 1 2 1 2 cosv v v v , unde 0, este măsura unghi-

ului determinat de vectorii 1v și 2v , iar expresia analitică a produsului sca-

lar este 1 2 1 2 1 2v v x x y y .

Vectorul de poziție Mr al mijlocului M al segmentului AB se expri-

mă prin 1

2M A Br r r .

Vectorul de poziție Gr al centrului de greutate G al triunghiului ABC

se exprimă prin 1

3G A B Cr r r r .

1.5 Trigonometrie și aplicaţii

ale trigonometriei în geometrie.

Valori importante ale funcțiilor trigonometrice:

a) 1

sin30 cos602

; b) 2

sin 45 cos 452

;

c) 3

sin 60 cos302

;d) 3

30 603

tg ctg ;

e) 45 45 1tg ctg ; f) 60 30 3tg ctg .

(aceste relații se pot scrie cu ajutorul lui 180 )

Formule trigonometrice:

49

a) 2 2sin cos 1x x ; b) sin

cos

xtgx

x ; c)

1 cos

sin

xctgx

tgx x ;

d) sin 180 sinx x ; e) cos 180 cosx x ;

f) sin 90 cosx x ; g) cos 90 sinx x ;

h) sin sin cos cos sinx y x y x y ;i) sin 2 2sin cosx x x ;

j) cos cos cos sin sinx y x y x y ; k) 2 2cos2 cos sinx x x ;

l) 2cos2 2cos 1x x ; m) 2cos2 1 2sinx x .

Într-un triunghi ABC avem :

a) 2 ,sin sin sin

a b cR

A B C unde R este raza cercului circumscris

triunghiului ABC (teorema sinusurilor).

b) 2 2 2 2 cosa b c b c A şi analoagele (teorema cosinusului).

c)sin

2

b c AS

şi analoagele unde S este aria triunghiului .

d)4

a b cR

S

şi ,

Sr

p unde p este semiperimetrul triunghiului, iar r

este raza cercului înscris în triunghi.

e) S p p a p b p c (formula lui Heron de calcul a ariei

S a triunghiului ABC când se cunosc lungimile laturilor ,a b și c ).

2.Breviare teoretice clasa a X-a

2.1 Numere reale și numere complexe

Fie , 0.a a Prin a înţelegem acel număr real pozitiv x ,cu

proprietatea că 2 .x a

50

Fie b .Prin 3 a înţelegem acel număr real y ,cu proprietatea că 3 .y a

Fie , 0a a şi .m

xn

Avem m

nx mna a a ,1x

xa

a

şi 0 1a prin convenţie.

Fie , 0, 1a a a şi , 0.b b Atunci loga b este numărul real

x ,pentru care .xa b

Avem :

log; log log log ; log log loga b

a a a a a a

xi a b ii x y x y iii x y

y

log loga aiv b b ; v log1

log ; log ,log log

bb a

a b

xa vi x

b a în

condiţiile corespunzătoare pentru , , ,a b x şi .y

Un număr complex z are forma algebrică z x iy , cu ,x y și 2 1i . În scrierea z x iy , partea reală a lui z este x , iar partea

imaginară a lui z este y .Dacă 0y , atunci z este real. Conjugatul lui

z este z x iy , iar modulul lui z este 2 2z x y .

Pentru orice două numere complexe 1 1 1 2 2 2,z x iy z x iy avem

1 2 1 2z z x x și 1 2y y . De asemenea reținem că operațiile de

adunare și înmulțire a numerelor complexe se fac în mod asemănător

operațiilor cu numere reale reprezentate prin litere , cu precizarea că

folosind faptul că 2 1i se ajunge la forma algebrică a sumei , res-

pectiv produsului , care sunt de asemenea numere complexe .

Ecuația 2 0, , ,az bz c a b c , 0a , 2 4 0b ac , are în

mulțimea a numerelor complexe două rădăcini care sunt numere

complexe conjugate , rădăcini care se obțin cu ajutorul formulei gene-

rale de rezolvare a ecuației de gradul al doilea dacă notăm 1 i .

2.2 Funcţii şi ecuaţii

O funcţie :f A B este injectivă dacă

1 2 1 2 1 2, , .x x A f x f x x x

O funcţie :f A B este surjectivă dacă

ecuaţia f x y B are cel puţin o soluţie .x A

51

O funcţie este bijectivă dacă este injectivă şi surjectivă.

Funcţia exponenţială este funcţia : 0, , ,xf f x a

cu 0, 1a a ( a se numeşte bază iar x se numeşte exponent)

Funcţia exponenţială este bijectivă,deci inversabilă,iar inversa ei se

numeşte funcţia logaritmică : : 0, ,g log , 0, 1.ag x x a a

Având de rezolvat o ecuaţie iraţională de forma u x v x

procedăm în felul următor :

- punem condiţia de existenţă a radicalilor şi obţinem mulţimea de

existenţă ;D

- rezolvăm ecuaţia 2 ;u x v x

- reţinem doar soluţiile care aparţin domeniului ;D

- verificăm dacă soluţiile rămase sunt soluţii ale ecuaţiei

u x v x ,deoarece prin ridicare la pătrat au fost introduse şi soluţiile

ecuaţiei u x v x .

Ecuaţia exponenţială u x v x

a a , cu 0, 1a a , ,u v funcţii date,

conduce la .u x v x Ecuaţia 20, , , ,

u x u xa a

0, se rezolvă făcând substituţia 0

u xa y .

Ecuaţia logaritmică log log , 0, 1,a au x v x a a în care

0, 0u x v x , conduce la .u x v x

Ecuația sin , 1,1x a a , are mulțimea soluțiilor

arcsin 2 , arcsin 2 ,a k k a k k ,

iar ecuația cos , 1,1x a a , are mulțimea soluțiilor

arccos 2 , arccos 2 ,a k k a k k .

Ecuația ,tgx a a , are mulțimea soluțiilor ,arctga k k .

Ecuațiile sin x a și cos x a , nu au soluții reale dacă 1,1a .

2.3 Metode de numărare

52

Numărul mulţimilor ordonate care se pot forma cu n elemente este

: ! 1 2 3 ... , 1 conven ie :0! 1 .nP n n n ţ

Numărul submulţimilor ordonate cu câte k elemente care se pot

forma cu cele n elemente ale unei mulţimi date , ,n k este k

nA ,

unde 1 2 ... 1 .k

nA n n n n k

Numărul submulţimilor cu câte k elemente ale unei mulţimi cu n

elemente ,n k este ,k

nC unde .k

k nn

k

AC

P

Formula combinărilor complementare : .k n k

n nC C

Numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este

2n . Avem 0 1 2 ... 2n n

n n n nC C C C .

Pentru ,a b și n , avem formula binomului lui Newton:

0

nn k n k k

n

k

a b C a b

, în care 1

k n k k

k nT C a b

, 0,1,2,...,k n , se nu-

mește termenul de rang k sau termenul general al dezvoltării binomu-

lui lui Newton n

a b . Coeficienții k

nC , care sunt în număr de 1n

(număr egal cu numărul de termeni din dezvoltare ) se numesc coeficienți

binomiali .

2.4 Matematici financiare

Într-un câmp de evenimente egal probabile,probabilitatea

unui eveniment A este

num rul cazurilor favorabile evenimentului

num rul total de cazuri

ăP A

ă .

Formula 100

pa b , se foloseşte pentru rezolvarea fiecăreia dintre

următoarele probleme

(i) aflarea numărului b care reprezintă %p din ;a

(ii)aflarea numărului a când cunoaştem că %p din el este ;b

(iii)aflarea raportului procentual %p (cât la sută din a reprezintă ).b

Dobânda simplă generată de o sumă de lei S într-un an,cu rata

anuală a dobânzii de %r este .100

rD S

53

Taxa pe valoarea adăugată (TVA) se calculează cu formula

pre ul ini ialTVA procentTVA ţ ţ ,

iar prețul de vânzare este: Pre ul de v nzare pre ul ini ialţ â ţ ţ TVA .

2.4 Geometrie

Distanţa dintre punctele , , ,A A B BA x y B x y este

2 2

.B A B AAB x x y y

Ecuaţia dreptei care trece prin punctul 0 0 0,M x y şi are panta m

este 0 0 .y y m x x

Panta dreptei AB unde , , ,A A B BA x y B x y este

B AAB

B A

y ym

x x

şi atunci ecuaţia dreptei AB este

: A A

B A B A

x x y yAB

x x y y

sau A AB Ay y m x x .

Ecuaţia dreptei d care trece prin 0 0 0,M x y şi are vectorul

director ,v p q este :

0 0:x x y y

dp q

.

Dreptele distincte y mx n şi y m x n sunt paralele

dacă şi numai dacă m m şi sunt perpendiculare dacă şi numai

dacă 1.m m

Distanţa de la un punct 0 0 0,M x y la o dreaptă

: 0,d ax by c este 0 0

02 2

, .ax by c

dist M da b

Distanța dintre două drepte paralele se calculează cu formula

precedentă , ca fiind distanța de la un punct al uneia dintre drepte la

cealaltă dreaptă .

54

55

Bibliografie

[1] F.Georgescu şi F.Smeureanu (coord.), A.Cojocaru, M.Crăciun,

M.Guşatu,M.Voinea,A-S.Negulescu, I.Necşuliu: Matematică,

culegere de probleme pentru clasa a IX-a, Editura Fair Partners,

Bucureşti,2007.

2 M.Guşatu,Gh.Necşuleu,I.Necşuleu,M.Crăciun,A.Pitea,D.Cioroboiu,

F.Smeureanu(coord.) :Matematică, Teste Naţionale,Editura Fair

Partners, Bucureşti,2006.

3 Gh.Necşuleu :Calcul vectorial şi elemente de trigonometrie. Aplicaţii

în geometrie, Editura Fair Partners,Bucureşti,2007.

4 Gh.Necşuleu, I.Necşuliu :Matematică,manual pentru clasa a VIII-a,

Algebră, Editura Fair Partners,Bucureşti,2010.

[5] Gh.Necșuleu,I.Necșuliu,V.Necșuleu:Matematică TC+CD,Probleme

pregătitoare pentru bacalaureat însoțite de breviare teoretice,Partea

I, clasele a IX-a și a X-a, Editura Sitech ,Craiova , 2013 ,

[6]Gh.Necșuleu,I.Necșuliu,M.Gușatu,B.Heroiu,V.Necșuleu,M.Stroie,

D.Eftenoiu(coord.):Matematică,Variante de subiecte pentru bacalau-

reat ,Editura Fair Partners , București, 2013.

7 M.Postolache (coord.), Gh.Necşuleu, I.Necşuleu,A. Crăciun, L.Bercu:

Matematică manual pentru clasa a X-a,TC, Editura Fair Partners,

Bucureşti,2005

8 M.Postolache (coord.),M.Crăciun, T.Saulea,M.Guşatu, Gh.Necşuleu,

C. Corcodel :Matematică pentru anul de completare, Editura Fair

Partners, Bucureşti,2005.

9 I.Ţevy(coord.),M.Crăciun,T.Saulea, M.Guşatu, A.Pitea, Gh.Necşuleu,

I.Necşuleu, A.Crăciun, L.Bercu, V.Nicula :Matematică,culegere de

probleme pentru clasa a X-a ,TC + CD, Editura Fair Partners,

Bucureşti,2005.

10 C.Udrişte(coord.),I.Ţevy,Gh.Necşuleu,I.Necşuleu,M.Guşatu,

M.Crăciun, T.Saulea, V.Nicula :Matematică, manual pentru clasa

a X-a, TC + CD, Editura Fair Partners , Bucureşti,2005.

Documents

TEME ȘI PROBLEME DE MATEMATICĂ PENTRU BACALAUREAT - …isjvl.ro/images/stories/food/site/resurse educationale/MATEMATICA/21... · 1.Progresii aritmetice şi progresii geometrice