Prof. Adrian Stan - Pregƒtire bacalaureat matematicƒ. Culegere cu teorie ™i probleme

  • View
    284

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Prof. Adrian Stan - Pregƒtire bacalaureat matematicƒ. Culegere cu teorie ™i probleme

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    1/130

    Dreptul de copyright:

    Cartea downloadata de pe site-ul http://www.mateinfo.ro/ nu poate fi publicata pe unalt site si nu poate fi folosita in

    scopuri comerciale fara specificarea sursei si acordul autorului

    Adrian Stan

    http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/
  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    2/130

    1. Multimea numerelor reale

    1.. Scrierea in baza zece :

    abcd =a10 3 +b 10 2 +c 10+d

    a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitatilor;

    a,efg =a10+e 10 1 +f 10 2 +g 10 3 = =a 10+e0.1+f0.01+g0.001

    e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.

    2. Fractii

    -Fractii zecimale finite: a,b = ab 10 ; a,bc = abc 100 ;

    -Fractii zecimale periodice:- simple: a,(b) = ab a 9 ; a,(bc) = abc a 99 ;

    mixte: a,b(c) = abc ab 90 ; a,b(cd) = abcd ab 990 ;

    3.. Rapoarte si proportii

    a b se numeste raportb0; a b = an bn =k, nQ * ,

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    3/130

    k se numeste coeficient de proportionalitate ;

    Proprietatea fundamentala a proportiilor:

    a b = c d ad=bc

    4. Proportii derivate :

    a b = c d{ b a = d c sau d b = c a sau a c = b d a ab = c cd sau ab b = cd d a b= a+c b+d sau a b = ac bd sau a 2 b 2 = c 2 d 2 .

    5. Sir de rapoarte egale : a 1 b 1 = a 2 b 2 =.........= a n b n = a 1 + a 2 + a 3 +....+ a n b 1 + b 2+ b 3 +.....+ b n ; ( a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )i( b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt direct

    proportionalea 1 b 1 = a 2 b 2 =..= a n b n =k .

    ( a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )i( b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt invers

    proportionale a 1 b 1 = a 2 b 2 =..= a n b n

    6. Modulul numerelor reale Proprietati: | a | def { a, a0 0, a=0a, a0

    1. | a |0,aR ; 2. | a |=0,a=0 ;

    3. | a |=| a |, aR ; 4. | a |=| b |,a=b ;

    5. | ab |=| a || b | ; 6. | a b |= | a | | b | ;

    7. | | a || b | || ab || a |+| b | ;

    8. | x |=a,x=a, a0 ;

    9. | x |a, x[a,a], a0 ;

    10. | x |a,x[,a][a,+], a0 .

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    4/130

    7. Reguli de calcul in R

    1. ( a+b ) 2 = a 2 +2ab+ b 2 ;

    2. ( ab ) 2 = a 2 2ab+ b 2 ;

    3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;

    4. ( a+b+c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2ab+2bc+2ca

    5. ( a+b ) 3 = a 3 +3 a 2 b+3a b 2 + b 3 ;

    6. ( ab ) 3 = a 3 3 a 2 b+3a b 2 b 3 ;

    7. a 3 b 3 =(ab)( a 2 +ab+ b 2 ) ;

    8. a 3 + b 3 =(a+b)( a 2 ab+ b 2 ) .

    8. Puteri cu exponent intreg

    a n def a aa......a n factori

    1. a o =1; a 1 =a; 0 n =0; 5. ( a m ) n = a mn 2. a m+n = a m a n 6. a n = 1 a n ,a0 3.

    (ab) n = a n b n 7. ( a b ) n = a n b n ,b0 4. a m a n = a mn ;a0 8. a m = a n m=n.

    9. Proprietatile radicalilor de ordinul doi

    1. a 2 =| a |0,aR

    2. a b = a b

    3. a b = a b ,b0

    4. a n = ( a ) n = a n 2 ,

    5. a b = a+ a 2 b 2 a a 2 b 2

    unde a -b=k .

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    5/130

    10. Medii

    Me dia aritmetica m a = x+y 2

    Media geometrica m g = xy

    Me dia ponderata m p = px+qy p+q ;p,qponderile

    Me dia armonica m h = 2 1 x + 1 y = 2xy x+y .

    Inegalitatea mediilor

    2xy x+y xy x+y 2

    11. Ecuatii

    ax+b=0x= b a ,a0

    x 2 =ax= a , a0 ;

    ax 2 +b x+c=0x 1,2 = b b 2 4ac 2a .

    a0, b 2 4ac0.

    | x |=a, a0x=a.

    x =a, a0x= a 2

    [ x ]=aaxa+1x[a,a+1) .

    12. Procente

    p % din N = p 100 N

    D = Spn 10012 . Dobndaobtinuta prin depunerea la banca a unei sume Sde bani pe o perioada de nluni cu

    procentul pal dobndei anuale acordate de banca .

    Ct la suta reprezinta numarul a din N.

    x % din N =a x= a100 N .

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    6/130

    13. Partea intreaga

    1. x=[ x ]+{ x } ,xR , [ x ]Z si { x }[0,1)

    2. [ x ]x< [ x ]+1 [ x ]=aax

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    7/130

    2. Inegalitati

    1. a>1 a k1 < a k k1

    a ( 0,1 ) a k < a k1 k1

    2. 00 a+ 1 a 2 a 1 k + k+1 = k+1 - k .

    5. a 2 + b 2 2 ( a+b 2 ) 2 ab a,bR

    6. a 2 + b 2 a+b a+b 2 ab 2 1 a + 1 b ,a,b>0

    7. a 2 + b 2 + c 2 ab+bc+ca a,b,c R

    8. 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ( a+b+c ) 2 a,b,c R

    9. a 2 + b 2 + c 2 a+b+c 1 3 ( a+b+c ) a,b,c R

    10. a+b+c 3 3 ( a + b + c )a,b,c0

    11. ( n1 )( a 1 2 +...+ a n 2 )2( a 1 a 2 +... a 1 a n + a 2 a 3 +...+ a n1 a n )

    12. n( a 1 2 +...+ a n 2 ) ( a 1 +...+ a n ) 2 , nN

    13. a n + b n 2 ( a+b 2 ) 2 ,nN,a,b>0.

    14. 0< a b 0.

    1< a b a b > a+r b+r ,r>0

    15. | x | a ( a>0 ) axa.

    16. | ab || a |+| b | , a,bR sauC .

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    8/130

    17. | a 1 a 2 ... a n || a 1 |+...+| a n | , in R sau C .

    18. | | a || b | || ab | in R sau C .

    19. 1 n 2 = 1 n n 1 ( n1 )n = 1 n1 1 n

    1 n! < 1 ( n1 )n = 1 n1 1 n

    20. a,bZ , m,nZ , m nQ | m a 2 n b 2 |1.

    21. Numerele pozitive a,b,c pot fi lungimile laturilor unui triunghi daca si numai daca x,y,z R + * a.i a=y+z,

    b=x+z, c=x+y.

    22. ( a b ) ab 1 ab a,b>0 ,

    23. a,b,cR + * a+b c + b+c a + c+a b 6.

    24. Daca x 1 ,..., x n 0 si x 1 +...+ x n =k constant atunci produsul x 2 x 2 ... x n e maxim cnd x 1 =...= x n = k n .

    25. Daca. x 1 ,..., x n

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    9/130

    ( a 1 +...+ a n n ) 1 ( a 1 +...+ a n n ) 1 , a i , b i R + ,, ,R.

    32. ( a 1 2 +...+ a n 2 n ) 1 2 a 1 +...+ a n n

    33.Inegalitatea lui Bernoulli:

    ( 1+a ) n 1+na,a1,nN.

    3.Multimi. Operatii cu multimi.

    1. Asociativitatea reuniunii si a intersectiei:

    A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C

    2. Comutativitatea reuniunii si a intersectiei:

    A B=B A A B=B A

    3. Idempotenta reuniunii si intersectiei:

    A A=A A A=A

    4. A =A A =

    5. Distributivitatea reuniunii fata de intersectie:

    A (B C)=(A B) (A C)

    6. Distributivitatea intersectiei fata de reuniune:

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    10/130

    A (B C)=(A B) (A C)

    7. A,B E, (A B)= A B (A B)= A B

    8. A E, ( A)=A

    9. A\B= (A B)10. A\(B C)=(A\B)\C

    A\(B C)=(A\B) (A\C)

    (A B)\C=(A\C) (B\C)

    (A B)\C=A (B\C)=(A\C) B

    11. A(B C)=(AB) (AC)

    A(B C)=(AB) (AC)

    A(B\C)=(AB)\ (AC)

    ABBA

    A B ( x) (x A=>x B)

    A B ( x)((x A) (x B))

    x A B (x A) (x B)

    x A B (x A) (x B)

    x C EA (x E) (x A)

    x A\B (x A) (x B)

    12. Relatiile lui de Morgan

    1. (p q)=p q, (p q)= p q .2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r).

    3. p p=A, p p = F.

    4. p q p q.

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    11/130

    5. p q (p q) (q p) ( p q) ( q p).6. p A = p , p A=A

    7. p q = q p , p q = q p

    8. (p)=p9. p p =F , p p =A

    10. (p q) r = p (q r)

    (p q) r = p (q r)

    11. p F = p p F = F

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    12/130

    4. Progresii

    1. Siruri

    Se cunosc deja sirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,.,sirul numerelor pare 2,4,6, Din obs ervatiile directe asupra acestor

    siruri, un sir de numere reale este dat in forma a 1 , a 2 , a 3 ,..... unde a 1 , a 2 , a 3 sunt termenii sirului iar indicii 1,2,3, reprezinta

    pozitia pe care ii ocupa termenii in sir.

    Definitie: Se numeste sir de numere reale o functie f: N*R, definita prin f(n)=a n

    Notam ( a n ) nN* sirul de termen general , a n

    Observatie: Numerotarea termenilor unui sir se mai poate face incepnd cu zero: a 0 , a 1 , a 2 ,.....

    a i , i 1 se numeste termenul de rang i.

    Un sir poate fi definit prin :

    a) des crierea elementelor multimii de termeni. 2,4,6,8,..

    b) cu ajutorul unei formule a n =2n

    c) printr-o relatie de recurenta. a n+1 = a n +2

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    13/130

    Un sir constant este un sir in care toti termenii sirului sunt constanti : 5,5,5,5,..

    Doua siruri ( a n ) n , ( b n ) n sunt egale daca a n = b n ,nN

    Orice s ir are o infinitate de termeni.

    2. Progresii aritmetice

    Definitie: Se numeste progresie aritmetica un sir in care diferenta oricaror doi termeni consecutivi este un numar

    constant r, numit ratia progresiei aritmetice.

    1. Relatia de recurenta intre doi termeni consecutivi:

    a n+1 = a n +r,n1

    2. a1,a2, an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice

    a n = a n1 + a n+1 2

    3. Termenul generaleste dat de :

    a n = a 1 +( n1 )r

    4. Suma oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal cu suma termenilor extremi :

    a k + a nk+1 = a 1 + a n

    5. Suma primilor n termeni :

    S n = ( a 1 + a n ) n 2

  • 8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

    14/130

    6. Sirul termenilor unei progresii aritmetice:

    a 1 , a 1