Prof. Adrian Stan - Pregătire bacalaureat matematică. Culegere cu teorie și probleme

8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme

1/130

Dreptul de copyright:

Cartea downloadata de pe site-ul http://www.mateinfo.ro/ nu poate fi publicata pe unalt site si nu poate fi folosita in

scopuri comerciale fara specificarea sursei si acordul autorului

Adrian Stan
http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/


2/130

1. Multimea numerelor reale

1.. Scrierea in baza zece :

abcd =a10 3 +b 10 2 +c 10+d

a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitatilor;

a,efg =a10+e 10 1 +f 10 2 +g 10 3 = =a 10+e0.1+f0.01+g0.001

e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.

2. Fractii

-Fractii zecimale finite: a,b = ab 10 ; a,bc = abc 100 ;

-Fractii zecimale periodice:- simple: a,(b) = ab a 9 ; a,(bc) = abc a 99 ;

mixte: a,b(c) = abc ab 90 ; a,b(cd) = abcd ab 990 ;

3.. Rapoarte si proportii

a b se numeste raportb0; a b = an bn =k, nQ * ,


3/130

k se numeste coeficient de proportionalitate ;

Proprietatea fundamentala a proportiilor:

a b = c d ad=bc

4. Proportii derivate :

a b = c d{ b a = d c sau d b = c a sau a c = b d a ab = c cd sau ab b = cd d a b= a+c b+d sau a b = ac bd sau a 2 b 2 = c 2 d 2 .

5. Sir de rapoarte egale : a 1 b 1 = a 2 b 2 =.........= a n b n = a 1 + a 2 + a 3 +....+ a n b 1 + b 2+ b 3 +.....+ b n ; ( a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )i( b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt direct

proportionalea 1 b 1 = a 2 b 2 =..= a n b n =k .

( a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )i( b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt invers

proportionale a 1 b 1 = a 2 b 2 =..= a n b n

6. Modulul numerelor reale Proprietati: | a | def { a, a0 0, a=0a, a0

1. | a |0,aR ; 2. | a |=0,a=0 ;

3. | a |=| a |, aR ; 4. | a |=| b |,a=b ;

5. | ab |=| a || b | ; 6. | a b |= | a | | b | ;

7. | | a || b | || ab || a |+| b | ;

8. | x |=a,x=a, a0 ;

9. | x |a, x[a,a], a0 ;

10. | x |a,x[,a][a,+], a0 .


4/130

7. Reguli de calcul in R

1. ( a+b ) 2 = a 2 +2ab+ b 2 ;

2. ( ab ) 2 = a 2 2ab+ b 2 ;

3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;

4. ( a+b+c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2ab+2bc+2ca

5. ( a+b ) 3 = a 3 +3 a 2 b+3a b 2 + b 3 ;

6. ( ab ) 3 = a 3 3 a 2 b+3a b 2 b 3 ;

7. a 3 b 3 =(ab)( a 2 +ab+ b 2 ) ;

8. a 3 + b 3 =(a+b)( a 2 ab+ b 2 ) .

8. Puteri cu exponent intreg

a n def a aa......a n factori

1. a o =1; a 1 =a; 0 n =0; 5. ( a m ) n = a mn 2. a m+n = a m a n 6. a n = 1 a n ,a0 3.

(ab) n = a n b n 7. ( a b ) n = a n b n ,b0 4. a m a n = a mn ;a0 8. a m = a n m=n.

9. Proprietatile radicalilor de ordinul doi

1. a 2 =| a |0,aR

2. a b = a b

3. a b = a b ,b0

4. a n = ( a ) n = a n 2 ,

5. a b = a+ a 2 b 2 a a 2 b 2

unde a -b=k .


5/130

10. Medii

Me dia aritmetica m a = x+y 2

Media geometrica m g = xy

Me dia ponderata m p = px+qy p+q ;p,qponderile

Me dia armonica m h = 2 1 x + 1 y = 2xy x+y .

Inegalitatea mediilor

2xy x+y xy x+y 2

11. Ecuatii

ax+b=0x= b a ,a0

x 2 =ax= a , a0 ;

ax 2 +b x+c=0x 1,2 = b b 2 4ac 2a .

a0, b 2 4ac0.

| x |=a, a0x=a.

x =a, a0x= a 2

[ x ]=aaxa+1x[a,a+1) .

12. Procente

p % din N = p 100 N

D = Spn 10012 . Dobndaobtinuta prin depunerea la banca a unei sume Sde bani pe o perioada de nluni cu

procentul pal dobndei anuale acordate de banca .

Ct la suta reprezinta numarul a din N.

x % din N =a x= a100 N .


6/130

13. Partea intreaga

1. x=[ x ]+{ x } ,xR , [ x ]Z si { x }[0,1)

2. [ x ]x< [ x ]+1 [ x ]=aax


7/130

2. Inegalitati

1. a>1 a k1 < a k k1

a ( 0,1 ) a k < a k1 k1

2. 00 a+ 1 a 2 a 1 k + k+1 = k+1 - k .

5. a 2 + b 2 2 ( a+b 2 ) 2 ab a,bR

6. a 2 + b 2 a+b a+b 2 ab 2 1 a + 1 b ,a,b>0

7. a 2 + b 2 + c 2 ab+bc+ca a,b,c R

8. 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ( a+b+c ) 2 a,b,c R

9. a 2 + b 2 + c 2 a+b+c 1 3 ( a+b+c ) a,b,c R

10. a+b+c 3 3 ( a + b + c )a,b,c0

11. ( n1 )( a 1 2 +...+ a n 2 )2( a 1 a 2 +... a 1 a n + a 2 a 3 +...+ a n1 a n )

12. n( a 1 2 +...+ a n 2 ) ( a 1 +...+ a n ) 2 , nN

13. a n + b n 2 ( a+b 2 ) 2 ,nN,a,b>0.

14. 0< a b 0.

1< a b a b > a+r b+r ,r>0

15. | x | a ( a>0 ) axa.

16. | ab || a |+| b | , a,bR sauC .


8/130

17. | a 1 a 2 ... a n || a 1 |+...+| a n | , in R sau C .

18. | | a || b | || ab | in R sau C .

19. 1 n 2 = 1 n n 1 ( n1 )n = 1 n1 1 n

1 n! < 1 ( n1 )n = 1 n1 1 n

20. a,bZ , m,nZ , m nQ | m a 2 n b 2 |1.

21. Numerele pozitive a,b,c pot fi lungimile laturilor unui triunghi daca si numai daca x,y,z R + * a.i a=y+z,

b=x+z, c=x+y.

22. ( a b ) ab 1 ab a,b>0 ,

23. a,b,cR + * a+b c + b+c a + c+a b 6.

24. Daca x 1 ,..., x n 0 si x 1 +...+ x n =k constant atunci produsul x 2 x 2 ... x n e maxim cnd x 1 =...= x n = k n .

25. Daca. x 1 ,..., x n


9/130

( a 1 +...+ a n n ) 1 ( a 1 +...+ a n n ) 1 , a i , b i R + ,, ,R.

32. ( a 1 2 +...+ a n 2 n ) 1 2 a 1 +...+ a n n

33.Inegalitatea lui Bernoulli:

( 1+a ) n 1+na,a1,nN.

3.Multimi. Operatii cu multimi.

1. Asociativitatea reuniunii si a intersectiei:

A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C

2. Comutativitatea reuniunii si a intersectiei:

A B=B A A B=B A

3. Idempotenta reuniunii si intersectiei:

A A=A A A=A

4. A =A A =

5. Distributivitatea reuniunii fata de intersectie:

A (B C)=(A B) (A C)

6. Distributivitatea intersectiei fata de reuniune:


10/130

A (B C)=(A B) (A C)

7. A,B E, (A B)= A B (A B)= A B

8. A E, ( A)=A

9. A\B= (A B)10. A\(B C)=(A\B)\C

A\(B C)=(A\B) (A\C)

(A B)\C=(A\C) (B\C)

(A B)\C=A (B\C)=(A\C) B

11. A(B C)=(AB) (AC)

A(B C)=(AB) (AC)

A(B\C)=(AB)\ (AC)

ABBA

A B ( x) (x A=>x B)

A B ( x)((x A) (x B))

x A B (x A) (x B)

x A B (x A) (x B)

x C EA (x E) (x A)

x A\B (x A) (x B)

12. Relatiile lui de Morgan

1. (p q)=p q, (p q)= p q .2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r).

3. p p=A, p p = F.

4. p q p q.


11/130

5. p q (p q) (q p) ( p q) ( q p).6. p A = p , p A=A

7. p q = q p , p q = q p

8. (p)=p9. p p =F , p p =A

10. (p q) r = p (q r)

(p q) r = p (q r)

11. p F = p p F = F


12/130

4. Progresii

1. Siruri

Se cunosc deja sirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,.,sirul numerelor pare 2,4,6, Din obs ervatiile directe asupra acestor

siruri, un sir de numere reale este dat in forma a 1 , a 2 , a 3 ,..... unde a 1 , a 2 , a 3 sunt termenii sirului iar indicii 1,2,3, reprezinta

pozitia pe care ii ocupa termenii in sir.

Definitie: Se numeste sir de numere reale o functie f: N*R, definita prin f(n)=a n

Notam ( a n ) nN* sirul de termen general , a n

Observatie: Numerotarea termenilor unui sir se mai poate face incepnd cu zero: a 0 , a 1 , a 2 ,.....

a i , i 1 se numeste termenul de rang i.

Un sir poate fi definit prin :

a) des crierea elementelor multimii de termeni. 2,4,6,8,..

b) cu ajutorul unei formule a n =2n

c) printr-o relatie de recurenta. a n+1 = a n +2


13/130

Un sir constant este un sir in care toti termenii sirului sunt constanti : 5,5,5,5,..

Doua siruri ( a n ) n , ( b n ) n sunt egale daca a n = b n ,nN

Orice s ir are o infinitate de termeni.

2. Progresii aritmetice

Definitie: Se numeste progresie aritmetica un sir in care diferenta oricaror doi termeni consecutivi este un numar

constant r, numit ratia progresiei aritmetice.

1. Relatia de recurenta intre doi termeni consecutivi:

a n+1 = a n +r,n1

2. a1,a2, an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice

a n = a n1 + a n+1 2

3. Termenul generaleste dat de :

a n = a 1 +( n1 )r

4. Suma oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal cu suma termenilor extremi :

a k + a nk+1 = a 1 + a n

5. Suma primilor n termeni :

S n = ( a 1 + a n ) n 2


14/130

6. Sirul termenilor unei progresii aritmetice:

a 1 , a 1 +r, a 1 +2r, a 1 +3r ,.

a m a n =( mn )r

7. Trei numere x1,x 2, x3se scriu in progresie aritmetica de forma :

x 1= u v x 2= u x 3= u + v u,v .

8. Patru numere x 1,x 2, x3, x4 se scriu in progresie aritmetica astfel:

x 1= u 3v, x 2= u v , x 3= u + v , x 4= u + 3v, u,v .

9. Daca a ia k a k+1 a k+1 a k+2

4. Progresii geometrice

Definitie : Se numeste progresie geometricaun sir in care raportul oricaror doi termeni consecutivi este un numar

constant q, numit ratia progresiei geometrice.

1. Relatia de recurenta : b n+1 = b n q,n1

2. b1,b2, bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu termeni pozitivi b n = b n1 bn+1

3. Termenul generaleste dat de : b n = b 1 q n1

4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal cu produsul extremilor

b k b nk+1 = b 1 b n

5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :

S n = b 1 1 q n 1q


15/130

6. Sirul termenilor unei progresii geometrice :

b 1 , b 1 q, b 1 q 2 ,... b 1 q n ,....

7. Trei numere x1,x 2, x3se scriu in progresie geometrica de forma :

x 1= u v x2= u x 3= u v ,u,vR * +

8. Patru numere x1,x 2, x3, x4 se scriu in progresie geometrica astfel :

x 1 = u v 3

x 2 = u v

x3= u v

x 4= u v 3 u,vR * +

5. Functii

I. Fie : AB.

1 ) Functia este injectiva,daca

x,y A, x y=> (x) (y).

2) Functia este injectiva,daca din (x)= (y) =>x=y.

3) Functia f este injectiva, daca orice paralela la axa 0x intersecteaza graficul functiei incel mult un punct.


16/130

II.

1)Functia este surjectiva, daca y B, exista cel putin un punct x A, a.i. (x)=y.

2) Functia este surjectiva, daca (A) =B.

3) Functia este surjectiva, daca orice paralela la axa 0x, dusa printr-un punct al lui B,intersecteaza graficul functiei in cel putin un punct.

III.

1) Functia este bijectiva daca este injectiva si surjectiva.

2) Functia este bijectiva daca pentru orice y B exista un singur x A a.i. (x) =y(ecuatia (x)=y,are o singura solutie,pentru orice y din B)

3) Functia este bijectiva daca orice paralela la axa 0x, dusa printr-un punct al lui B,intersecteaza graficul functiei intr-un punct si numai unul.

IV.

1A: AA prin 1A(x) =x, x A.

1) Functia : AB este inversabila , daca exista o functie g:BA astfel inct g o =1Asi o g =1 B, functia g este inversa functiei si se noteaza cu

-1.

2) (x) = y x= -1(y)

3) este bijectiva este inversabila.

V. Fie :AB si g: BC, doua functii.

1) Daca si g sunt injective, atunci g o este injectiva.

2) Daca si g sunt surjective,atunci g o este surjectiva.


17/130

3) Daca si g sunt bijective, atunci g o este bijectiva.

4) Daca si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o este (strict) crescatoare.

5) Daca si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o este (strict) descrescatoare.

6) Daca si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci g o este descrescatoare.

7) Daca este periodica, atunci g o este periodica.

8) Daca este para, atunci g o este para.

9) Daca si g sunt impare, atunci g o este impara,

10) Daca este impara si g para, atunci g o este para.

VI. Fie : A B si g:BC, doua functii.

Daca g o este injectiva, atunci este injectiva.

Daca g o este surjectiva, atunci g este surjectiva.

Daca g o este bijectiva, atunci este injectiva si g surjectiva.

Daca ,g: A B iar h: B C bijectiva si h o = ho , atunci = g.

VII. Fie : AB si X,Y multimi oarecare.

Functia este bijectiva, daca si numai daca oricare ar fi functiile

u,v: XA,din o u= o v, rezulta u=v.

Functia este surjectiva, daca si numai daca oricare ar fi functiile u,v :BY, din uo = vo , rezulta u=v


18/130

VIII.

1)Daca :AB este strict monotona,atunci este injectiva.

2) Daca : RR este periodic si monotona, atunci este constanta.

3) Daca : RR este bijectiva si impara,atunci -1 este impara.

4) Fie A finita si :AA. Atunci este injectiva este surjectiva.

IX. Fie : E F, atunci

1) injectiva ( ) g : F E (surjectiva) a.i. g o =1 E.

2) surjectiva ( ) g : EF (injectiva) a.i. o g =1 F

3) bijectiva inversabila.

X. Fie : E F.

1)Functia este injectiva daca si numai daca ( ) A,B E

(A B) = (A) (B).

2) Functia este surjectiva daca si numai daca ( ) B F exista A E, astfel inct (A)=B.

3) Functia este injectiva daca (A B)= (A) (B),

A, B E.

XI. Fie : E F si AE, B E, atunci

(A) ={y F ***TRANSLATION ERROR*** x A a.i. (x)=y}

-1 (B) = {x E (x) B}.


19/130

1.Fie : E F si A,B E, atunci

a) A B => (A) (B),

b) (A B)= (A) (B),

c) (A B) (A) (B),

d) (A) (B) (A B).

2.Fie : E F si A,B F atunci

a) A B => -1 (A) -1 (B),

b) -1 (A) -1 (B) --1 (A B),

c) -1 (A) -1 (B) = -1 ( A B),

d) -1 (A) -1 (B) = -1 (A B),

e) -1 (F) = E.

Functia de gradul al doilea

Forma canonica a functiei f:RR, f(x)=a x 2 +bx+c, a,b,c R,a0 este f(x)=a ( x+ b 2a) 2 4a ,xR ;

Graficul functieieste o parabola de vrf V( b 2a , 4a ) , unde = b 2 4ac

a0 f este convexa;


20/130

0 ; x1,x2 C

f(x) >0,xR ;

V( b 2a , 4a ) - punct de minim;

=0 , x1=x2 R

f(x) 0,xR ;

f(x)=0x= b 2a

0, x 1 x 2 R f(x) 0,x(, x 1 ][ x 2 ,+) ;

f(x)


21/130

Pentru x( , b 2a ) functia este strict descrescatoare;

Pentru x[ b 2a ,+), functia este strict crescatoare

a


22/130

=0 , x1=x2 R

f(x) 0,xR ;

f(x)=0x= b 2a

0, x 1 x 2 R

f(x) 0,x[ x 1 , x 2 ] ;

f(x)


23/130

C={ z| z=a+ib, a,bR, i 2 =1 }

- multimea numerelor complexe.

z=a+ib=Re z+Im z

OPERATII CU NUMERE COMPLEXE

Fie z 1 =a+ib, z 2 =c+id . Atunci:

1. z 1 = z 2a=c si b=d .

2. z 1 + z 2 =(a+c)+i(b+d).

3. z 1 z 2 =(a cbd)+i(ad+bc). 4. z 1 =aib, conjugatullui z 1

5. z 1 z 2 = ac+bd c 2 + d 2 +i bcad c 2 + d 2

6. 1 z 1 = a a 2 + b 2 i b a 2 + b 2 .

PUTERILE LUI i

1. i 4k =1 ;

2. i 4k+1 =i ;

3

. i 4k+2 =1 ; 4. i 4k+3 =i ;

5. i n = 1 i n , i 1 = 1 i =i ;


24/130

6. i n = (i) n = (1) n i n ={ i n ,n par i n ,n impar

PROPRIETATILE MODULULUI | z |= a 2 + b 2 - modulul nr. complexe

1. | z |0,| z |=0z=0 2. z z = | z | 2 3. | z |=| z | 4. | z 1 z 2 |=| z 1 | | z 2 |

5. | z 1 z 2 |= | z 1 | | z 2 | , z 2 0

6. | | z 1 || z 2 | || z 1 z 2 || z 1 |+| z 2 | 7. | z n |= | z | n

8. zC; zRImz=0z= z

ECUATII:

z 2 =a+ib z 1,2 = a+ib z 1,2 =[ a+ a 2 + b 2 2 i a+ a 2 + b 2 2 ]

+ daca b pozitiv; - daca b negativ

a x 2 +bx+c=0 x 1,2 = b b 2 4ac 2a daca = b 2 4ac0 sau x 1,2 = bi 2adaca 0

NUMERE COMPLEXE SUB FORMA GEOMETRICA

Forma trigonometrica a numerelor complexe:

z= (cos+isin) , =arctg b a +k, k={ 0, (a,b)I 1, (a,b)II,III 2, (a,b)IV = | z|= a 2 + b 2 se numeste raza polara a lui z


25/130

Fie z1= 1 (cos 1 +isin 1 ) si z2= 2 (cos 2 +isin 2 ) ;

z1=z2 1 = 2 ,si exista kZ a.i 1 = 2 +k

z 1 z 2 = 1 2 [cos( 1 + 2 )+isin( 1 + 2 ) z 1 = 1 (cos

1 isin 1 )

1 z 1 = 1 1 [cos( 1 )+isin( 1 )] z 2 z 1 = 2 1 [cos( 2 1 )+isin( 2 1 ) ]

z 1 n = 1 n (cosn 1 +isinn 1 ),nR z 1 n = 1 n (cos 1 +2k n +isin 1 +2k n ),k0,n1

7. FUNCTIA EXPONENTIALA

Def. f: R (0,), f(x)= a x ,a0,a1

Daca a 1 f este strict crescatoare

x 1 x 2 a x 1 a x 2

Daca a ( 0,1 ) f este strict descrescatoare


26/130

x 1 x 2 a x 1 a x 2

Proprietati:

Fie a,b ( 0, ),a,b1,x,yR

a x a y = a x+y ( a b ) x = a x a y ( a x ) y = a x y a x a y = a xy ,a0 ( a b ) x = a x b x ,b0 a 0 =1 a x = 1 a x

,a0 pentru a0,nu se defineste a x

Tipuri de ecuatii:

1. a f(x) =b,a0,a1,b0f(x)= log a b

2. a f(x) = a g(x) ,a0,a1f(x)=g(x)

3. a f(x) = b g(x) ,a,b0,a,b1f(x)=g(x) log a b

4. ecuatii exponentiale reductibile la ecuatii algebrice printr-o substitutie.

5. ecuatii ce se rezolva utiliznd monotonia functiei exponentiale.

Inecuatii

a>1, a f(x) a g(x) f(x)g(x)

a (0,1) a f(x) a g(x) f(x)g(x)

FUNCTIA LOGARITMICA


27/130

Def: f:(0,) R, f(x)= log a x , a0,a1 ,x>0

Daca a 1 f este strict crescatoare

x 1 x 2 log a x 1 log a x 2

Daca a ( 0,1 ) f este strict descrescatoare

x 1 x 2 log a x 1 log a x 2

Proprietati:

Fie a,b c( 0, ),a,b,c1,x,y(0,),mR

a y =x0y= log a x log a xy= log a x+ log a y log a x y = log a x log a y

log a a m =m, log a b m =m log a b log a b= log c b log c a , 1 log a b = log b a a log b c =c log b a , x= a log a x log a 1=0, log a a=1.

Tipuri de ecuatii:

1. log f(x) g(x)=b,f,g0,f1g(x)=f (x) b


28/130

2. log a f(x)= log a g(x)f(x)=g(x)

3. log a f(x)= log b g(x)f(x)= a log b g(x)

4. ecuatii logaritmice reductibile la ecuatii algebrice printr-o substitutie.

5. ecuatii ce se rezolva utiliznd monotonia functiei logaritmice.

Inecuatii

a>1, log a f(x) log a g(x)f(x)g(x)

a (0,1) log a f(x) log a g(x)f(x)g(x)


29/130

8. BINOMUL LUI NEWTON

In 1664 Isaac Newton(1643-1727) a gas it urmatoarea formula pentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Desi formula era cunoscuta

inca din antichitate de catre matematicianul arab Omar Khayyam(1040-1123), Newtona extins-o si pentru coeficienti rationali.

TEOREMA: Pentru orice numar natural n si a si b numere reale exista relatia:

( a+b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n1 b+ C n 2 a n2 b 2 +..........+ C n k a nk b k +.....+ C n n b n (1)

Numerele C n 0 , C n 1 ,...., C n n se numesc coeficientii binomiali ai dezvoltarii;

Este necesar sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii sicoeficientul binomial al acelui termen. Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+..

Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar coeficientul binomial esteC4

1 =4;

Pentru (a-b)navem urmatoarea forma a binomului lui Newton:

( ab ) n = C n 0 a n C n 1 a n1 b+ C n 2 a n2 b 2 ...........+ (1) k C n k a nk b k +.....+ (1) n C n n b n (1)

Proprietati:

1. Numarul termenilor dezvoltarii binomului (a+b)neste n+1;

Daca n=2k coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltarii este C nk si es te cel mai mare.


30/130

Daca n=2k+1 C nk si C n

k+1 sunt egali si sunt cei mai mari;

C noCnn daca n este par, n=2k

C no


31/130

9. Vectori si operatii cu vectori

Definitie:

Se numeste segment orientat, o pereche ordonata de puncte din plan;

Se numeste vector, multimea tuturor segmentelor orientate care au aceeasi directie,aceeasi lungime si acelasi sens cu ale unui segment orientat.

Observatii:

Orice vector AB se caracterizeaza prin:

- modul(lungime,norma), dat de lungimea segmentului AB;- directie, data de dreapta AB sau orice dreapta paralela cu aceasta;

- sens, indicat printr-o sageata de la originea A la extremitatea B.

Notatii: AB vectorul cu originea A si extremitatea B;

| AB | = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 - modulul vectorului AB unde A(x0,y0), B(x.y).

Definitie:

Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeasi directie, acelasi sens si acelasi modul.Doi vectori se numesc opusi daca au aceeasi directie, acelasi modul si sensuri contrare:

- AB = BA .

Adunarea vectorilor se poate face dupa regula triunghiului sau dupa regula

paralelogramului:


32/130

v = 0 =0 sau v = 0 ,R

Daca 0, v 0 | v |=| | | v |, v are directia si sensul vectoruluiv daca 0 si sens opus lui v daca 0 .

Definitie:

Doi vectori se numesc coliniaridaca cel putin unul este nul sau daca amndoi sunt nenulisi au aceeasi directie. In caz contrar se numesc necoliniari.

vectori coliniarivectori necoliniari

Teorema:

Fie u 0 si v un vector oarecare.

Vectorii u si v sunt coliniariR a.i. v =u .

Punctele A, B, C sunt coliniareAB si AC sunt coliniari Ra.i. AB = AC .

AB| |CDAB si CD sunt coliniari;

Daca u si v sunt vectori necoliniari atunci x,yR a.i. xu +y v = 0 x=y=0 .

Teorema: Fie a si b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , exista,R(unice) astfel inct v = a + b .


33/130

Vectorii a si b formeaza o baza.

, se numesc coordonatele vectorului v in baza ( a , b ) .

Definitie:

Fie XOY un reper cartezian. Consideram punctele A(1,0), B(0,1). Vectorii i = OA si j = OB se numesc versorii axelor de coordonate. Ei au modulul egal cu 1,directiile axelor si sensurile semiaxelor pozitive cu OX si OY.

Baza ( i , j ) se numeste baza ortonormata.

v = A'B' + A''B'' =xi +y j x=x B- xA, y=yB- yA

v =p r OX v i +p r OY v j | AB |= ( x B x A ) 2 + ( y B y A )2

Teorema:

Fie u (x,y), v (x',y') . Atunci:

1) u + v are coordonatele (x+x.y+y);

2) R,v are coordonatele ( x, y);

3) u (x,y), v (x',y') sunt coliniari x x' = y y' =k,x',y'0. xy'x'y=0.

4) Produsul scalar a doi vectori nenuli. u v =| u | | v |cos unde =m( u


34/130

, v ) ,[0,].

cos= xx'+yy' x 2 + y 2 (x') 2 + (y') 2

[0, 2 ] u v 0;( 2 ,] u v 0

Fie u (x,y), v (x',y') nenuli. Atunci: u v =0u v xx'+yy'=0.

u u = | u | 2 0, u . u u =0u =0. i i = j j =1; i j =0.

Vectori de pozitie. Daca r A , r B sunt vectori de pozitie,atunci: AB = r B r A

10. Functii trigonometrice

Semnul functiilor trigonometrice:

Sin: [ 2 , 2 ][ 1,1 ]

arcsin:[-1,1] [ 2 , 2 ]


35/130

Cos: [ 0, ][ 1,1 ]

arccos:[-1,1] [ 0, ]

Tg: ( 2 , 2 )R

arctg:R ( 2 , 2 )


36/130

Reducerea la un unghi ascutit

Fie u(0, 2 ) Notam sgn f= semnul functiei f; cof = cofunctia lui f

sin( k 2 u )={ sgnf(k 2 u)sinu,k=par sgnf(k 2 u)cosu,k=impar Analog pentrucelelalte;

In general, f(k 2 u)={ sgnf(k 2 u)f(u),k=par sgnf(k 2 u)cof(u),k=impar

Ecuatii trigonometrice

Fie x un unghi, a un numar real si kZ .

sinx=a,| a |1x= (1) k arcsina+k,dac a[0,1]

= (1) k+1 arcs in| a |+k,dac a [1,0]

cosx=a,| a |1x=arccosa+2k,dac a[0,1]

= arccosa+(2k+1),dac a [1,0]

tgx=a,aRx=arctga+k

arcsin(sinx)=ax= (1) k a+k

arccos(cosx)=ax=a+2k

arctg(tgx)=ax=a+k


37/130

sinf(x)=sing(x)f(x)= (1) k g(x)+k

sinf(x)=sing(x)f(x)= (1) k g(x)+k

tgf(x)=tgg(x)f(x)=g(x)+k,kZ

Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii care contin aceeasi functie a aceluiasi unghi;

Ecuatii omogene in sin x si cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin 2x+bsin x .cos x+ ccos 2x=0

Ecuatii trigonometrice care se rezolva prin descompuneri in factori;

Ecuatii simetrice in sin x si cos x;

Ecuatii de forma:asinx+bcosx+c=0 |: asinx+tgcosx= c a x+= (1) k arcsin( c a cos)+k

| asinx+bcosx | a 2 + b 2

Observatie importanta:Prin ridicarea la putere a unei ecuatii trigonometrice pot aparea solutii straine iar prin impartirea unei ecuatii

trigonometrice s e pot p ierde s olutii;

FORMULE TRIGONOMETRICE

1. sin 2 + cos 2 =1cos= 1 sin 2 ; sin= 1 cos 2 R

2. tg= sin 1 sin 2 = 1 cos 2 cos t g 2 +1= 1 cos 2 ;

3. cos= 1 1+t g 2 ; sin= tg 1+t g 2 ;

4. cos(+)=coscossinsin ;

5. cos()=coscos+sinsin ;

6. sin(+)=sincos+sincos ;

7. sin()=sincossincos ;


38/130

8. tg(+)= tg+tg 1tgtg ; tg ()= tgtg 1+tgtg ;

9. ctg(+)= ctgctg1 ctg+ctg ; ctg()= ctgctg+1 ctgctg ;

10. sin2=2sincos;

11. cos2= cos 2 sin 2 =2 cos 2 1=12 sin 2

12. cos 2 = 1+cos2 2 ; s in 2 = 1cos2 2 ;

13. cos 2 = 1+cos 2 ;sin 2 = 1cos 2 ;

14. tg 2 = 1cos 1+cos ; ctg 2 = 1+cos 1cos

15. tg2= 2tg 1t g 2 ; ctg2= ct g 2 1 2ctg ;

16. tg= 2tg 2 1t g 2 2 ; ctg= 1t g 2 2 2tg 2 ;

17. sin3=3sin4 sin 3 ; tg3= 3tgt g 3 13t g 2 cos3=4 cos 3 3cos; ctg3= ct g 3 3ctg 3ct g 2 1 ;

18. tg 2 = sin 1+cos = 1cos s in = 1 ctg 2 ;

19. sin= 2tg 2 1+t g 2 2 ; cos = 1t g 2 2 1+t g 2 2 ;

sina+sinb=2sin a+b 2 cos ab 2 sinasinb=2sin ab 2 cos a+b 2

cosacosb=2sin a+b 2 sin ab 2 cosa+cosb=2sin ab 2 cos a+b 2

tgatgb= sin(ab) cosacosb ctga+ctgb= sin(a+b) sinasinb ctgactgb= sin(ba) sinasinb


39/130

cosacosb= cos(a+b)+cos(ab) 2

arcsinx+arcsiny=arcsin(x 1 y 2 +y 1 x 2 )

arcsin x+arccos x= 2 arctg x +arcctg x= 2

arctg x+arctg 1 x = 2 arccos(-x)= -arccos x


40/130

11. ECUATIILE DREPTEI IN PLAN

1. Ecuatia carteziana generala a dreptei:

ax+by+c=0 (d)

Punctul M(x 0,y0) da x 0 +b y 0 +c=0

2. Ecuatia dreptei determinata de punctele A(x1,y1), B(x2,y2):

y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1

3. Ecuatia dreptei determinata de un punct M(x0,y0) si o directie data( are panta m)

y-y0=m(x-x0)

4. Ecuatia explicita a dreptei (ecuatia normala):

y=mx+n, unde m=tg= y 2 y 1 x 2 x 1 este panta dreptei si n este


41/130

ordonata la origine.

5. Ecuatia dreptei prin taieturi: x a + y b =1, a,b0.

6. Fie (d): y=mx+n si (d): y=mx+n

Dreptele d si d sunt paralele m=msi n n.

Dreptele d si d coincid m=msi n=n.

Dreptele d si d sunt perpendiculare mm= -1.

Tangenta unghiului a celor doua drepte este tg=| mm' 1+mm' |

7. Fie d: ax+by+c=0si d: ax+by+c=0cu a,b,c 0. si =m( d,d')

Dreptele d si d sunt paralele a a' = b b' c c'

Dreptele d si d coincida a' = b b' = c c'

Dreptele d si d sunt concurente a a' b b'

ab-ba 0.

cos= v v ' | v | | v ' | = a a ' +bb ' a 2 + b 2 a ' 2 +b ' 2 unde v ( b , a ), v ' (b ' ,a ' ) sunt vectorii directori ai dreptelor d si d.

Dreptele d si d sunt perpendiculare, dd'aa ' +bb ' =0

8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) in plan.

Dreptele AB si CD sunt paralele, AB|| CD R*,a. AB = CD sau

mAB=mCD.

Dreptele AB si CD sunt perpendiculare, ABCDAB CD =0

Conditia ca punctele A(x 1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) sa fie coliniare este:

y 3 y 1 y 2 y 1 = x 3 x 1 x 2 x 1

9. Distanta dintre punctele A(x1,y1) si B(x2,y2) este AB= ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2


42/130

Distanta de la un punct M0(x0,y0) la o dreapta h de ecuatie (h): ax+by+c=0 este datade:

d( M 0 ,h)= | a x 0 +b y 0 +c | a 2 + b 2 .

12. CONICE

1.CERCUL

Definitie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal departate de un punct fix, numit centru se numeste cerc.

C(O,r)={M(x,y)|OM=r}


43/130

1. Ecuatia generala a cercului

A(x + y ) + Bx + Cy + D = 0

2. Ecuatia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza r

(x - a) + (y + b) = r ; x + y = r

3. Ecuatia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2)

(x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 0

4. Ecuatia tangentei dupa o directie

O(0,0) : y = mx r 1+m

O(a,b) : y-b = m(x-a) r 1+m

5. Ecuatia tangentei in punctul M(x 0, y0)

(x x0) + (y y0) = r respectiv

(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r

6. Ecuatia normala a cercului

x + y + 2mx + 2ny + p = 0 cu

O(-m; -n) si r = m + n - p

7. Ecuatia tangentei in punctul M(x 0,y0)

x x0+ y y 0+ m(x + x 0) + n(y + y0) + p = 0

8. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuatie

y = mx + n este

d(0,d) = |mab+n| m+1 sau ( d= |ax0+by0+c| a+b )

9. Ecuatiile tangentelor din punctul exterior M(x 0, y0)

I. Se scrie ecuatia 4 si se pune conditia ca M sa apartina cercului de ecuatie 4.

II. y - y 0= m(x - x 0)


44/130

x + y = r , =0

2. ELIPSA

Definitie:Locul geometric al punctelor din plan care au suma distantelor la doua puncte fixe, constanta, se numeste

elipsa.

F,F- focare, FF distanta focala

E= { M(x,y)| MF+MF'=2a }

MF,MF- raze focale

1.Ecuatia elipseix a + y b =1 , b = a - c

2.Ecuatia tangentei la elipsa

y = mx am+b

3.Ecuatia tangentei in punctul M(x 0, y0) la elipsa


45/130

xx0 a + yy0 b =1 , m= b a x0 y0

4.Ecuatiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x 0, y0) la elipsa

VAR I Se scrie ecuatia 2 si se pune conditia ca M sa apartina elipsei de ecuatie 2 deunde rezulta m

VAR IISe rezolva sistemul y y 0 = m(x-x0)

,

cu conditia = 0

3. HIPERBOLA

Definitie: Locul geometric al punctelor dinplan a caror diferenta la doua puncte fixe este constanta, se numeste hiperbola


46/130

H: = { M(x,y) | |MF MF| = 2a }

y = b a x --ecuatia asimptotelor

1. Ecuatia hiperbolei

x a y b =1 , b = c - a ;

Daca a = b => hiperbola echilaterala

2.Ecuatia tangentei la hiperbola

y = mx amb

3. Ecuatia tangentei in punctul M(x 0, y0)

xx0 a yy0 b =1 , m= b a x0 y0

4. Ecuatiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x 0, y0)

VAR I. Se scrie ecuatia 2 si se pune conditia ca M sa apartina hiperbolei de ecuatie 2, de unde rezulta m.

VAR II. Se rezolva sistemul


47/130

y - y0= m(x - x 0)

x a y b =1 , cu = 0

4. PARABOLA

Definitie:Locul

geometric al punctelor egal departate de un punct fix, (numit focar) si o dreapta fixa (numita directoare), se numeste

parabola.


48/130

P: = { M(x, y) | MF = MN }

(d): x = p 2 ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem duce tangente la o parabola).

1. Ecuatia parabolei

y = 2px

2. Ecuatia tangentei la parabola

y = mx + P 2m

3. Ecuatia tangentei in M (x 0, y0)

yy0= p(x + x 0)

4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x 0, y0)

VAR I. Se scrie ecuatia 2 si se pune conditia ca M (ecuatia 2) => m

VAR II. Se rezolva sistemul

y - y0= m(x - x 0)

y = 2px cu = 0


49/130

13. ALGEBRA LINIARA

1. MATRICE.

Adunarea matricelor ( a b c d )+( x y z t )=( a+x b+y c+z d+t ) a( x y z t )=( axay az at )

Inmultirea matricelor ( a b c d ) ( x y z t )=( ax+bz ay+bt cx+dz cy+dt )

Transpusa unei matrice ( a b c d ) T =( a c b d )

2. DETERMINANTI.

| a b c d |=adbc ; | a b c d e f g h i |=aei+dhc+gbfcegfhaibd

Proprietati:


50/130

1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse;

2. Daca toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atuncideterminantul matricei este nul;

3. Daca intr-o matrice schimbam doua linii(sau coloane) intre ele obtinem o matrice care

are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale.

4. Daca o matrice are doua linii (sau coloane) identice atunci determinantul sau este nul;

5. Daca toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt inmultite cu unelement a, obtinem o matrice al carei determinant este egal cu a inmultit cu determinantulmatricei initiale.

6. Daca elementele a doua linii(sau coloane) ale unei matrice sunt proportionale atunci

determinantul matricei este nul;

7. Daca la o matrice patratica A de ordin n presupunem ca elementele unei linii i sunt deforma a ij = a ij ' + a ij ''

atunci det A = det A +det A;

8. Daca o linie (sau coloana) a unei matrice patratice este o combinatie liniara decelelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul.

9. Daca la o linie (sau coloana) a matricei A adunam elementele altei linii (sau coloane)inmultite cu acelasi element se obtine o matrice al carei determinant este egal cudeterminantul matricei initiale;

10. Determinantul Vandermonde: | 1 1 1 a b c a2 b 2 c 2 |=(ba)(ca)(cb) ;

11. Daca intr-un determinant toate elementele de deasupra diagonalei principale sau de

dedesubtul ei sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu acf; | a 0 0 b c 0 d e f |=acf

12. Factor comun

| ax ay az bm bn bp u v r |=ab| x y z m n p u v r |


51/130

3. Rangul unei matrice

Fie A M m,n (C) , r N, 1rmin(m,n) .

Definitie: Se numeste minor de ordinul r al matricei A, determinantul format cuelementele matricei A situate la intersectia celor r linii si r coloane.

Definitie: Fie A O m,n o matrice . Numarul natural r este rangul matricei A existaun minor de ordinul r al lui A, nenul iar toti minorii de ordin mai mare dect r+1 (dacaexista) sunt nuli.

Teorema: Matricea A are rangul r exista un minor de ordin r al lui A iar toti

minorii de ordin r+1 sunt zero.

Teorema: Fie A M m,n (C),B M n,s (C) . Atunci orice minor de ordinul k ,1kmin(m,s) al lui AB se poate scrie ca o combinatie liniara de minorii de ordinul k allui A (sau B).

Teorema: Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecareimatrice.

Definitie:M n (C) . A este inversabila det A 0.( A este nesingulara).

Teorema: Inversa unei matrice daca exista este unica.

Observatii: 1) det (AB) =det A det B.

2) A 1 = 1 detA A* ( A A A*= ( (1) i+j d ij ) i,j A 1 )

3) A -1 M n (Z) det A = 1 .

Stabilirea rangului unei matrice:

Se ia determinantul de ordinul k-1 si se bordeaza cu o linie (respectiv cu o coloana).Daca noul determinant este nul rezulta ca ultima linie(respectiv coloana )este combinatieliniara de celelalte linii (respectiv coloane).

Teorema: Un determinant este nul una din coloanele (respectiv linii) este ocombinatie liniara de celelalte coloane(respectiv linii).

Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numarul maxim de coloane(respectiv


52/130

linii) care se pot alege dintre coloanele (respectiv liniile) lui A astfel inct nici unadintre ele sa nu fie combinatie liniara a celorlalte.

4. Sisteme de ecuatii liniare

Forma generala a unui sistem de m ecuatii cu n necunoscute este:

(1 { a 11 x 1 + a 12 x 2 +...........+ a 1n x n = b 1 ............................................. a m1

x 1 + a m2 x 2 +..........+ a mn x n = b m sau b i

Unde A (aij)1im , 1jn - matricea coeficientilor necunoscutelor.

Matricea A =( a 11 ... a 1n b 1 ... a m1 .... a mn b m ) se numeste matricea extinsa asistemului.

Definitie: Un sistem de numere 1 , 2 ,....... n se numeste solutie a sistemului (1)

j=1 n a ij j = b i ,i= 1,m .

Definitie:

- Un sistem se numeste incompatibil nu are solutie;

- Un sistem se numeste compatibil are cel putin o solutie;

- Un sistem se numeste compatibil determinat are o singura solutie;

- Un sistem se numeste compatibil nedeterminat are o infinitate de solutii;

Rezolvarea matriceala a unui sistem

Fie A, BM n (C) .

A 1 |AX=BX= A 1 B X j = 1 detA i=1 n a ij b i , j=1,n .


53/130

Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:

Teorema lui Cramer: Daca det A not 0 , atunci sistemul AX=B are o solutieunica Xi= i .

Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuatii liniare este compatibil rangulmatricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.

Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuatii liniare este compatibil toti minoriicaracteristici sunt nuli.

Notam cu m-numarul de ecuatii;

n- numarul de necunoscute;

r -rangul matricei coeficientilor.

I m=n=r Sistem compatibil determinat 0

II m=r n Sistem compatibil nedeterminat Minorul principaleste nenul

III

n=r m

Sistem compatibil determinat

sau

Daca toti minorii

caracteristici suntnuli

Sistem incompatibil Exista cel putin unminor caracteristicnenul

IV rn,rm Sistem compatibil nedeterminatsau

Daca toti minoriicaracteristici suntnuli


54/130

Sistem incompatibil Exista cel putin unminor caracteristicnenul

Teorema: Un sistem liniar si omogen admite numai solutia banala 0


55/130

14. SIRURI DE NUMERE REALE

1. Vecinatati. Puncte de acumulare.

Definitia 1: Se numeste sir , o functie f : N R definita prin f(n) = a n .

Notam ( a n ) nN : a 0 , a 1 , a 2 ,.............sau a 1 , a 2 , a 3 ,........ ...

Orice sir are o infinitate de termeni; a n este termenul general al sirului ( a n ) nN .

Definitia 2: Doua siruri ( a n ) n N , ( b n ) nN sunt egale a n = b n ,nkN

Definitia 3: Fie a R. Se numeste vecinatate a punctului a R, o multime V pentru care >0 si un interval

deschis centrat in a de forma (a- , a+ ) V.

Definitia 4: Fie D R. Un punct R se numeste punct de acumulare pentru D daca in orice vecinatate a lui

exista cel putin un punct din D- { } V (D- { } ) . Un punct x D care nu e punct de acumulare se

numeste punct izolat.

2. Siruri convergente

Definitia 5: Un sir ( a n ) nN este convergent catre un numar a R daca in orice vecinatate a lui a se afla toti

termenii sirului cu exceptia unui numar finit si scriem a n n a sau lim a n =a n

a se numeste limita sirului .

Teorema 1: Daca un sir e convergent , atunci limita sa este unica.

Teorema 2: Fie ( a n ) nN un sir de numere reale. Atunci:


56/130

( a n ) nN este monoton crescator a n a n+1 ,nN sau a n+1 a n 0,sau an+1 a n 1 ;

( a n ) nN este stict crescator a n a n+1 ,nN sau a n+1 a n 0,sau an+1 a n 1 ;

( a n ) nN este monoton descrescator a n a n+1 ,nN sau a n+1 a n

0,sau a n+1 a n 1 ;

( a n ) nN este strict descrescator a n a n+1 ,nN sau a n+1 a n 0,sau an+1 a n 1 .

Definitia 6. Un sir ( a n ) nN este marginit M R astfel inct | a n |M sau

,R astfel nct a n .

Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice sir monoton si marginit este convergent.

Definitia 7: Daca un sir are limita finita sirul este convergent.

Daca un sir are limita infinita + sau sirul este divergent.

Teorema 4: Orice sir convergent are limita finita si este marginit dar nu neaparat monoton.

Teorema 5: Lema lui Cesaro:

Orice sir marginit are cel putin un subsir convergent.

Definitia 8: Un sir e divergent fie daca nu are limita, fie daca are o limita sau daca admite doua subsiruri care au limite

diferite.

OBS: Orice sir crescator are limita finita sau infinita.

Teorema 6: Daca ( a n ) nN R + * este un sir strict crescator si nemarginit atunci lim a n =+ lim 1 a n =0

n . Un sir descrescator cu termenii pozitivi este marginit de primul termen si de 0.

3. Operatii cu siruri care au limita

Teorema 7: Fie ( a n ) nN , ( b n ) nN siruri care au limita: a n n a , b n n b .

Daca operatiile


57/130

a+b,ab

a b , a b au sens atunci irurile a n + b n , a n b n , a n , a n b n , a n b n , a n b n aulimit .

lim( a n + b n )= lim a n +lim b n ; lim( a n b n )=lim a n .lim b n ;

n n n

lim( a n )=lim a n ; lim a n b n = lim a n lim b n lim a n b n = (lim a n ) lim b n

lim( log a a n )= log a ( lim a n ) lim a n k = lim a n k

Prin conventie s-a stabilit: += ; a+=,a R; a+(-)=-; -+(-)=-; a= ,a>0;

a=-,a


58/130

lim n q n ={ 0,dac q (1,1) 1,dac q=1 ,dac q1 nu exist,dac q1 lim n ( a 0 n p + a 1 n p1 +....+ a p )={ , a 0 0 , a 0 0

lim n a 0 n p + a 1 n p1 +.......+ a p b 0 n q + b 1 n q1 +.....+ b q ={0,dac pq a 0 b 0 ,dac p=q ,dac pq i a 0 b 0 0 ,dac pq i a 0 b 0 0.

lim ( 1+ 1 n ) n =e2,71...... lim ( 1+ 1 x n ) x n =e

n x n

lim ( 1+ x n ) 1 x n =e lim sin x n x n =1

x n 0 x n 0

lim arcsin x n x n = 1 lim tg x n x n =1

x n 0 x n 0

lim arctg x n x n =1 lim ln(1+ x n) x n =1

x n 0 x n 0

lim a x n 1 x n =lna lim ( 1+ x n ) r 1 x n =r

x n 0 x n 0


59/130

lim e x n x n p = lim ln x n x n p =0

x n x n

15. LIMITE DE FUNCTII

Definitie: O functie f:D RR are limita laterala la stnga ( respectiv la dreapta) inpunctul de acumulare x 0 exist l s R (respectiv l d R) a. i. lim f(x)= l s ,(respectiv lim f(x) = l d ).

x x 0 x x 0 x x 0 x x 0

Definitie: Fie f:D RR , x 0 D un punct de acumulare. Functia f are limita in x 0l s ( x 0 )= l d ( x 0 )

Proprietati:

1. Daca lim f(x) exista, atunci aceasta limita este unica. x x 0

2. Daca lim f(x) =l atunci lim| f(x) |=| l |. x x 0

x x 0 Reciproc nu.

3. Daca lim| f(x) |=0 limf(x)=0 x x 0

4. Fie f,g:D

RR ,

U o vecinatate a lui x 0

D astfel inct f(x) g(x)

x

DU{ x 0 } si daca exista limf(x),limg(x) x x 0 ,x x 0 limf(x) limg(x) x x 0 x x0


60/130

5. Daca f(x)g(x)h(x)xDU{ x 0 } i limf(x)=limh(x)=llimg(x)=l.

x x0xx0 xx0

6.

Daca | f(x)l |g(x) xDU{ x 0 } i limg(x)=0limf(x)=l

7. Dac limf(x)=0 i M0 a..| g(x) |Mlimf(x)g(x)=0 .

8. Dac f(x)g(x) i limg(x)=+limf(x)=+. Dac f(x)g(x) i limg(x=limf(x)=.

OPERATII CU FUNCTII

Dac exist limf(x)= l 1 ,limg(x)= l 2 i au sens operatiile l 1 + l 2 , l 1 l 2 , l 1 l 2 , l1 l 2 , l 1 l 2 , l 1

atunci:

1. lim(f(x) g(x))= l 1 l 2 .

2. limf(x)g(x)= l 1 l 2

3.lim f(x) g(x) = l 1 l 24.lim f (x) g(x) = l 1 l 2

5.lim f(x) = l 1


61/130

0, daca q( 1,1 )

lim x qx=

1, daca q=1

, daca q>1

nuexista,

daca q 1

0, daca q( 1,1

)

lim x qx

= 1, daca q=1

, daca q>1

nuexista,

daca q 1

lim x 2

tgx=

x> 2

lim x 2tgx=+

X< 2

0, daca q( 1,1 ) lim x 2tgx=

x> 2

lim x 2tgx=

x> 2

P(X)=a0xn+ a1x

n-1 + ..+an,a0 0 lim x P(x)= a 0 () n

lim x a 0 x p + a 1 x p1+.......+ a p b 0 x q + b 1 x q1 +.....+

b q ={ 0,dacpq a 0 b 0,dac p=q

,dac pq ia 0 b 0 0,dac pqi a 0 b 0 0.

a>1 limx a x = lim x

a x=0

a


62/130

lim x qx=

1, daca q=1

, daca q>1

nuexista,

daca q 1

lim x 2tgx=+

X< 2

lim x 2tgx=+

X< 2

lim x 2tgx=

x> 2

lim x 2tgx=+

X< 2

lim x 2tgx=

x> 2

lim x 2tgx=+

X< 2

(0,1) lim x a x =0 lim x a x = a>1 lim x log a x= lim x 0 log a x=

a (0,1) lim x log a x= lim x 0 log a x=

lim x 0 sinx x =1 lim u( x ) 0 sinu( x ) u( x ) =1

lim x 0 tgx x =1 lim u( x ) 0 tgu( x ) u( x ) =1

lim x 0 arcsinx x =1 lim u( x ) 0 arcsinu( x ) u( x ) =1

lim x 0 arctgx x =1 lim u( x ) 0 arctgu( x ) u( x ) =1


63/130

lim x 0 ( 1+x ) 1 x =e lim u( x ) 0 ( 1+u( x ) ) 1 u( x ) =e

lim x ( 1+ 1 x ) x =e lim u( x ) ( 1+ 1 u( x ) ) u( x ) =0

lim x 0 ln( 1+x ) x =1 lim u( x ) 0 ln( 1+u( x ) ) u( x ) =1

lim x 0 a x 1 x =lna lim u( x ) 0 a u(x) 1 u( x ) =lna

lim x 0 ( 1+x ) r 1 x =r lim u( x ) 0 ( 1+u( x ) ) r 1 u( x ) =r

lim x x k a x =0 lim u( x ) u ( x ) k a u( x ) =0

lim x lnx x k =0 lim u( x ) lnu( x ) u ( x ) k =0


64/130

16. FUNCTII CONTINUE

DEFINITIE. O functie f : D R R se numeste continua in punctul de acumulare x0 D oricare ar fi

vecinatatea V a luif(x0) , exista o vecinatate U a luix0,astfel inct pentru orice

x U D f(x) V.

DEFINITIE. f : D R R este continua inx0 D fare limita in x0 si lim f(x) = f (x0)

sau ls(x0) = ld(x0) = f(x0).

x0 se numeste punct de continuitate.

Daca functia nu este continua in x0 f.se numeste discontinua inx0 si x0 se numeste punct de discontinuitate.

Acesta poate fi:

- punct de discontinuitate de prima speta daca ls(x0), ld(x0)finite, dar f(x0);

- punct de discontinuitate de a doua speta daca cel putin o limita laterala e infinita sau nu exista.

DEFINITIE.f este continua pe o multime ( interval) este continua in fiecare punct a multimii ( intervalului).

Functiile elementare sunt continue pe domeniile lor de definitie.

Exemple de functii elementare: functia constanta c, functia identicax, functia polinomialaf(x) = a0xn+ a1x

n-1+

.......an , functia rationala f(x)/g(x), functia radical f(x) n , functia logaritmica log f(x), functia putere xa, functia

exponentiala ax, functiile trigonometricesin x, cos x, tg x, ctg x.


65/130

PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCTII INTR-UN PUNCT DE ACUMULARE

DEFINITIE. Fief : D R R. Dacaf are limita

l R in punctul de acumularex0 D

f: D { x0} R, f(x) = { f (x),xD l,x= x 0

este o functie continua inx0 si se numeste prelungirea prin continuitate a luif inx0.

OPERATII CU FUNCTII CONTINUE

T1. Dacaf,g:DR sunt continue inx0

( respectiv pe D) atuncif+g, f, f g,f /g, fg, f

sunt continue inx0 ( respectiv pe D); R, g 0.

T2. Dacaf:DR e continua inx0D ( respectiv pe D) | f(x) | e continua in x0 ( respectiv pe D).

Reciproca nu e valabila.

T3. Fief:DR continua in inx0A sig:B A continua inx0B, atuncig f e continua inx0A.

lim f( g (x) = f( lim g(x))

xx0 xx0

Orice functie continua comuta cu limita.


66/130

PROPRIETATILE FUNCTIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL

LEMA. Daca f este o functie continua pe un interval [ a,b] si daca are valori de semne contrare la extremitatile

intervalului

( f(a) ( f(b)


67/130

Dacaf :I R are P.D. atunci f( I) e interval.

( Reciproca e in general falsa).

CONTINUITATEA FUNCTIILOR INVERSE

T1. Fief : I R R o functie monotona a.i.

f( I) e interval. Atunci f este continua.

T2. Orice functie continua si injectiva pe un

interval este strict monotona pe acest interval.

T3. Fief : I R, I, J Rintervale.

Dacaf e bijectiva si continua atunci inversa sa

f-1e continua si strict monotona.


68/130

17. DERIVATE

FUNCTIA DERIVATA

C 0

x 1

xn nxn-1

xa axa-1

ax a x lna

ex e x

1 x - 1 x 2

1 x n - n x n+1

x 1 2 x

x n 1 n x n1 n


69/130

sin x cosx

cos x -sinx

tg x 1 cos 2 x

ctg x - 1 sin 2 x

arcsin x 1 1 x 2

arccos x - 1 1 x 2

arctg x 1 1+ x 2

arcctg x - 1 1+ x 2

lnx 1 x log a x 1 xlna

(u v) = v. uv-1.u+ u v.v.lnu

f(x)= ax+b cx+d f(x)= | a b c d | (cx+d) 2

REGULI DE DERIVARE

(f.g)=fg+fg

( f ) ' = f'

( f g ) ' = f ' gf g ' g 2

( f 1 ) ' ( f( x 0 ) )= 1 f ' ( x 0 )


70/130

18. STUDIUL FUNCTIILOR

CU AJUTORUL DERIVATELOR

Proprietati ge nerale ale functiilor derivabile .

1.Punctele de extrem ale unei functii.

Fie un interval si f: R.

Definitie. Se numeste punct de maxim (respectiv de minim)(local) al functiei f , un punct a pentru care exista o

vecinatate V a lui a astfel inct f( x )f( a )( respectiv.f( x ) )f( a )x V.

Un punct de maxim sau de minim se numeste punct de extrem.

a se numeste punct de maxim(respectiv de minim) global daca f( x )f( a )( resp.f( x

)f( a ) ) . x .

Obs.1.O functie poate avea intr-un interval mai multe puncte de extrem.(vezi desenul).

Obs.2.O functie poate avea intr-un punct a un maxim (local), fara a avea in a cea mai mare valoare din interval.(vezi

desenul f( a )


71/130

-puncte de maxim

-puncte de minim

TEOREMA LUI FERMAT

Daca f este o functie derivabila pe un interval si x 0 I 0 un punct de extrem,atunci f ' ( x 0 )=0 .

Interpretare geometrica:

Deoarece f ' ( x 0 )=0 tangenta la grafic in punctul ( x 0 ,f( x 0 ) ) este paralela cu

OX.

Obs.1. Teorema este adevarata si daca functia este derivabila numai in punctele de extrem.

Obs.2. Conditia ca punctul de extrem x 0 sa fie interior intervalului este esentiala.

(daca ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca f ' ( x 0 )0 ). Ex. f( x )=x.


72/130

Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevarata.(se pot gasi

functii astfel inct f ' ( x 0 )=0 dar x 0 sa nu fie punct de

extrem).

Solutiile ecuatiei f ' ( x )=0 se numesc puncte critice . Punctele de extrem se gasescprintre acestea.

Teorema lui Fermat da conditii suficiente (dar nu si necesare) pentru ca derivata intr-unpunct sa fie nula.

O alta teorema care da conditii suficiente pentru ca derivata sa se anuleze este :

TEOREMA LUI ROLLE.


73/130

Fie f: I R, a,b I, a


74/130

TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a cresterilor finite)

Fie f: I R,I (interval, a,b I, a


75/130

Consecinta 1. Daca o functie are derivata nula pe un interval,atunci ea este constanta pe acest interval.

Daca o functie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de intervale proprietate nu mai ramne adevarata in general.

Expl.

Consecinta 2. Daca si sunt doua functii derivabile pe un interval I si daca au derivatele egale atunci ele

difera

printr-o constanta.

Daca si sunt definite pe o reuniune disjuncta de intervale, proprietatea e falsa in general. Expl.

Consecinta 3.

Daca pe I e strict crescatoare pe I.

Daca pe I e strict descrescatoare I.

Consecinta 4. Daca . are derivata in si

Daca e derivabila in

Consecinta 5.Daca pe I pastreaza semn constant pe I.

ETAPELE REPREZENTARII


76/130

GRAFICULUI UNEI FUNCTII

1. Domeniul de definitie;

2. Intersectia graficului cu axele de coordonate :

Intersectia cu axa Ox contine puncte de forma{x,0},unde x este o radacina a ecuatieif(x)=0 {daca exista}.

Intersectia cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {daca punctul 0 apartine

domeniului de definitie}

3. Studiul continuitatii functiei pe domeniul de definitie :

Daca functia este definita pe R se studiaza limita functiei la iar daca este definita peun interval se studiaza limita la capetele intervalului.

4.Studiul primei derivate :

a. Calculul lui f.

b. Rezolvarea ecuatiei f(x)=0.Radacinile acestei ecuatii vor fi eventuale puncte demaxim sau de minim ale functiei ;

c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Acestea reprezinta intervalelede monotonie pentru f.

5.Studiul derivatei a doua :

a.Se calculeaza f

b.Se rezolva ecuatia f(x)=0. Radacinile acestei ecuatii vor fi eventuale puncte deinflexiune ale graficului

c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Astfel,pe intervalele pecare f>0 functia este convexa si pe cele pe care f


77/130

a= daca cel putin una din aceste limite are sens si exista in R.

b) Asimptotele verticale sunt drepte de forma x=x0, daca exista cel putin o limita lateralaa functiei in x0, infinita.

c) Asimptotele oblice sunt drepte de forma y=mx+n, unde

, analog si pentru -.

7. Tabelul de variatie;

8. Trasarea graficului.

19. PRIMITIVE

Primitive. Proprietati.

Fie I un interval din R.

Definitia 1. Fie f: I R. Se spune ca f admite primitive pe I daca F : I R astfel inct


78/130

a) F este derivabila pe I;

b) F(x) =f(x), x I.

F se numeste primitiva lui f. ( I poate fi si o reuniune finita disjuncta de intervale).

Teorema 1.1 Fie f : I R. Daca sunt doua primitive ale functiei f, atunci

exista o constanta c R astfel inct x I.

Demons tratie : Daca sunt primitive atunci sunt derivabile x I

, x I. , c= constanta

OBS 1. Fiind data o primitiva a unei functii, atunci orice primitiva F a lui f are forma F = + c , c= cons tanta

f admite o infinitate de primitive.

OBS 2. Teorema nu mai ramne adevarata daca I este o reuniune disjuncta de intervale Expl: f: R- , f(x) = x

F = , G=

F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e cons tanta . Contradictie cu T 1.1

OBS 3. Orice functie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.

Se stie ca derivata oricarei functii are Proprietatea lui Darboux , rezulta ca f are Proprietatea lui Darboux. F =f.


79/130

OBS 4. Daca I este interval si f(I) nu este interval atunci f nu admite primitive.

Daca presupunem ca f admite primitive atunci din OBS 3 rezulta ca f are P lui Darboux, rezulta f(I) este interval ceea ce este o

contradictie.

OBS 5. Orice functie continua definita pe un interval admite primitive.

Definitia 2. Fie f: I R o functie care admite primitive. Multimea tuturor primitivelor lui f se

numeste integrala nedefinita a functiei f si se noteaza prin simbolul dx. Operatiade calculare a primitivelor unei functii(care admite primitive ) se numeste integrare.

Simbolul a fost propus pentru prima data de Leibniz, in 1675.

Fie F(I)= Pe aceasta multime se introduc operatiile :

(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,

(f)(x)=.f(x) , constanta

C=

dx = .


80/130

Teorema 1.2 Daca f,g:I R sunt functii care admit primitive si R, 0, atuncifunctiile f+g, f admit

de asemenea primitive si au loc relatiile:

(f+g) =f +g, f=f, 0, f =f +C

Formula de integrare prin parti.

Teorema 1.1 Daca f,g:RR sunt functii derivabile cu derivatele continue, atuncifunctiile fg, fg, fg admit primitive si are loc relatia:

f(x)g(x)dx =f(x)g(x)- f(x)g(x)dx

Formula schimbarii de variabila

(sau metoda substitutiei).

Teorema: Fie I,J intervale din R si

1) este derivabila pe I;

2) f admite primitive. (Fie F o primitiva a sa.)

Atunci functia (f o ) admite primitive, iar functia F o este o primitiva a lui (f o ) adica:

5. Integrarea functiilor trigonometrice


81/130

Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind formula integrarii prin parti, fie metoda substitutiei. In

acest caz se pot face substitutiile:

1. Daca functia este impara in sin x,

R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t.

2. Daca functia este impara in cos x,

R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t.

3. Daca functia este para in raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos x) atunci tg x=t.

4. Daca o functie nu se incadreaza in cazurile 1,2,3,atunci se utilizeaza substitutiile universale:

5. Se mai pot folosi si alte formule trigonometrice:

sin 2x=2sin x .cos x,

Integrarea functiilor rationale

Definitie: O functie f:IR , I interval, se numeste rationala daca R(x)= unde f,g sunt

functii polinomiale.

Daca grad f grad g, atunci se e fectueaza impartirea lui f la g f=gq+r, 0 grad r


82/130

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.


83/130

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.


84/130

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.


85/130

28.

29.


86/130

Bibliografie:

- Arno Kahane. Complemente de matematica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1958.

- C. Nastasescu,C. Nita, Gh. Rizescui:Matematica-Manual pentru clasa a IX-a,E.D.P., Bucuresti, 1982.

- C. Nastasescu, C Nita, I. Stanescu: Matematica-Manual pentru clasa a X-a-Algebra, E.D.P., Bucuresti,1984.

- E. Beju, I. Beju:Compendiu de matematica, editura Stiintifica si Enciclopedica,Bucuresti, 1996.

- E. Rogai,Tabele si formule matematice,Editura tehnica,1983.

- Mica enciclopedie matematica, Editura tehnica, Bucuresti,1980.

- Luminita Curtui, Memorator de Matematica-Algebra, pentru clasele 9-12,Editura Booklet,2006.


87/130

Probleme propuse si rezolvate

1.Sa se determine numerele intregi a si b astfel inct

Rezolvare:


88/130

Ridicam la puterea a doua expresia data:

Din egalarea termenilor asemenea intre ei rezulta : ab=2 si 2a2+3b2=14 rezulta: a=1 sib=2.

2.Daca =7, sa se calculeze a4+ .

Rezolvare:

Ridicam la puterea a doua relatia data: ( )2=49, a2+ =51 procednd analog se

obtine .

3.Aflati X din X.3 2008= (3 2008 1) : (1+ )

Rezolvare:

, dupa formula


89/130

4. Sa se calculeze: unde

Rezolvare:

5. Stiind ca sa se calculeze partea intreaga a numarului

Rezolvare:


90/130

6.Se da numarul x =

Sa se arate ca x = 4

Sa se calculeze (X+2)2007

Rezolvare:

a)

x =

b. x =2007

=

0


91/130

7. Daca , sa se calculeze .

Rezolvare:

8.Sa se calculeze suma

S = .

Rezolvare: S=


92/130

Am adaugat si am scazut 1.

9.Calculati:

Rezolvare:

10.De terminati astfel inct

Rezolvare

11. Sa se rezolve ecuatia: (2x-4)(2x-3)(2x+1)(2x+2)=-6

Rezolvare:


93/130

Ecuatia data este echivalenta cu:

(2x-4)(2x+2)(2x-3)(2x+1)=-6 (4x2 4x-8) (4x 2 4x-3)=-6

Notam 4x2 4x-8=t

t(t-5)=-6 t2

-5t+6=0 t1=2 si t2=3

4x 2 4x-8=2 x 1,2= 4x2 4x-8=3 x 3,4= .

12 . Se da ecuatia:

x + 18x + 1 = 0. Se cere sa se calculeze , unde x1, x2sunt solutiileecuatiei .

Rezolvare :

Fie A = . Se ridica la puterea a treia

A = x1 + x 2 + 3 A

Cum x1+ x

2= 18 x

1+x

2=1 (Relatiile lui Viete)

A - 3A + 18= 0 ; Solutia reala a acestei ecuatii este A = -3 ; restul nu sunt reale

A + 3A -3A -9A+6A+18=0


94/130

A (A+3) 3A (A+3)+6(A+3)=o

(A+3)(A -3A+6)=0

A=-3

13. Doua drepte perpendiculare intre ele in punctul M(3;4) intersecteaza axa OY inpunctual A si OX in punctual B.

a) sa se scrie ecuatia dreptei AB

b) sa se arate ca diagonalele patrulaterului AOBM sunt perpendiculare ,unde 0

este originea sistemului.

Rezolvare :

Scriem ecuatiile dreptelor AM si MB

cum AM

Aflam coordonatele lui A:

- din (1) cnd

Aflam coordonatele lui B:

- din (2) cnd

Fie P(x,y) mijlocul lui AB

panta dreptei AB este


95/130

Panta dreptei OM este evident

A

M(3,4)


96/130

O B

14. Se dau punctele A (2,6), B(-4,3), C(6,-2). Se cere:

a) perimetrul triunghiului ABC si natura sa ;

b) coordonatele centrului de greutate;

c) ecuatia dreptei BC;

d) ecuatia medianei AM si lungimea sa;

e) ecuatia inaltimii din A pe BC si lungimea sa ;

f) ecuatia dreptei care trece prin A si face un unghi de 300cu axa OX;

g) ecuatia dreptei care trece prin A si este paralela cu BC;

h) ecuatia bisectoarei din A si lungimea ei

i) aria triunghiului ABC.

Rezolvare:


97/130

a) Aplicnd formula distantei pentru cele trei laturi ale triunghiului

obtinem:

AB = , BC = ,AC = ;

Se verifica cu reciproca teoremei lui Pitagora ca triunghiul este dreptunghic cu unghiul

de 900 in vrful A.

b) Coordonatele centrului de greutate sunt date de formula:

;

c) Ecuatia dreptei BC se scrie folosind formula:

5x+10y-10=0 x+2y-2=0

(forma generala a dreptei )sau (forma normala);

d) Coordonatele mijlocului segmentului BC sunt : M ecuatia medianei este:

11x-2y-10 =0; Pentru calculul lungimii medianei AM se poate folosifaptul ca intr-un triunghi dreptunghic mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatatedin ipotenuza:

AM = , altfel se poate aplica formula distantei.

e) Fie AD inaltimea din A AD si BC sunt perpendiculare ceea ce inseamna ca

produsul pantelor este egal cu -1. Cum panta dreptei BC este panta lui AD este 2.Ramne sa scriem ecuatia dreptei care trece prin A si are panta 2 :

y-6=2(x-2) 2x-y+2=0 este ecuatia inaltimii din A;

Pentru calculul inaltimii (intr-un triunghi dreptunghic) este convenabil sa aplicamformula:


98/130

AD = ;

Altfel, trebuia rezolvat sistemul format din ecuatiile dreptelor BC si AD pentru adetermina coordonatele lui D.

f) y-6= (x-2); Am aplicat formula y-y0=m(x-x0) in conditiile in care panta este tg300

g) y-6= (x-2) unde este panta dreptei BC .

h) Fie AE bisectoarea unghiului A.

Din teorema bisectoarei k= k= .Folosindu-ne de raportul in care un punct

imparte un segment rezulta coordonatele lui E . Atunci ecuatia bisectoarei este:

21x-7y=0. Pentru a calcula lungimea bisectoarei ne putem folosi si de

formula care este utilizata de obicei cnd se cunoaste masura

unghiului a carei bisectoare se calculeaza. AE = .

i) Aria triunghiului dreptunghic ABC este data de formula A = .

Se va insista pe faptul ca daca triunghiul nu ar fi fost dreptunghic ar fi trebuit sa secalculeze distanta de la A la dreapta BC adica tocmai lungimea inaltimii iar aceasta s-arputea face mai simplu folosind formula :

Distanta de la un punct M0(x0,y0) la o dreapta h de ecuatie (h): ax+by+c=0 este datade:

.


99/130

15. Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare : Ecuatia data este echivalenta cu :

Ridicam la puterea

Din monotonia functiei care e strict crescatoare ecuatia are solutieunica

16 . Sa se rezolve ecuatia: 2x x

x x 3 3

2007 2006 = 3(2006 + 2006 ) + 1

Rezolvare:

Ecuatia data este echivalenta cu:


100/130

x

x 3 3

2007 = (2006 + 1) . Ridicam la puterea 1/3 =>

x x

3 3

2007 = 2006 +1 =>

x x

3 3

2007 2006 =1 (*)

Din monotonia functiei f(x) = (1+ a)x a xcare e strict crescatoare => ecuatia (*) are

solutie unica: x = 3

17. Sa se determine numarul de cifre din care este compus numarul 72007.

Rezolvare:

102 < abc


101/130

(*) 10 p-1 N < 10 p, unde preprezinta numarul de cifre ale lui N.

Din (*) => lg 10 p-1 lg N p-1 lg N

lg N = 2007 lg 7 1696 de cifre.

18. Sa se arate ca matricea A = e inversabila , unde :

2006 ori de 1

Rezolvare :

A e inversabila ultima cifra a numarului det A


102/130


103/130

Probleme - sinteze

I. NUMERE REALE. APLICATII.

1. Sa se calculeze:

a) .

b)


104/130

2. Daca a=2006.2007, aratati ca

3. Sa se calculeze numarul

4. Comparati numerele:


105/130

5. Daca

6. Aratat i ca numarul e pat rat perfect.

7.Sa se arate ca expresia

8. Sa se aduca la o forma mai simpla expresia:

9. Care numar este mai mare: .

10*. Sa se arate ca: a)

11.Sa se arate ca: .

12. Stabiliti valoarea de adevar a p ropozitiei:

13. Sa se afle x stiind ca

14. Sa se afle numerele intregi x pentru care

15. Sa se verifice egalitatile:

16. Sa se ordoneze crescator numerele: .

17. Sa se rationalizeze numitorii fractiilor:

. ; ; d) ; e) .

18. Sa se determine radacina patrat a a numarului a=


106/130

19. Sa se determine cel mai mare numar natural n cu proprietatea:

.

20. Fie a,b,c numere rationale astfel inct ab+ac+bc=1. Sa se demonst reze ca: .

21. Sa se demonstreze ca nu este un numar rational.

II. PROGRESII ARITMETICE

1. Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice daca :

a) =-3 ; r=5 b) =7 ;r=2 c) = 1,3 ; r= 0,3

2. Sa se gaseasca primii doi termeni ai progres iei aritmetice :

a) b)

3. Sa s e calculeze primii cinci termeni ai s irului cu termenul general

a) =3n+1 ; b) = 3 + (-1) c) = n

4. Fie o progres ie aritmetica . Daca se dau doi termeni ai progresiei sa se afle ceilalti :


107/130

5. Fie o progresie aritmetica. Se dau :

se cere a

b) se cere a

c) se cere

d) se cere

6. Sa se gaseasca primul termen si ratia unei progresii aritmetice daca :

7. Sirul este dat prin formula termenului general.

a) x =2n-5 ; b) x =10-7n. Sa se arate ca e o progresie aritmetica. Sa se afle primul termen si ratia.

8. . Sa se afle S daca :

9.Cunoscnd Sn sa se gasesca :

a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice daca Sn =5n +3n ; Sn =3 n ; Sn = .

b) = ?, r= ? daca Sn = 2 n +3n ;


108/130

10. Este progresie aritmetica un sir pentru care :

a) Sn = n -2n ; b) Sn= 7n-1 ; c) Sn = -4 n +11.

11. , S10 = 100, S30 =900 . Sa se calculeze S50.

12. Determina x R astfel inct urmatoarele numere sa fie in progresie aritmetica.

a) x-3, 9, x+3 ; b) c)

13. Sa se rezolve ecuatiile :

a) 1+7+13+.+x =280 ;

b) 1+3+5+..+x = 169 ;

c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+..+(x+28) = 155 ;

d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ..+(x+25) = 338 ;

e) x+(x+5)+(x+10)++(x+100) = 2100.

14. Sa se arate ca urmatoarele numere sunt in progresie aritmetica :

a) (a+b) , a +b , (a-b) ;

b) ;

c)

15. Sa se arate ca daca numerele sunt in progresie aritmetica atunci numerele sun t in progresie

aritmetica.


109/130

16. Fie o progresie aritmetica.

Sa se arate ca : .

17. Fie ecuatia ax +bx+c =0 cu solutiile x1,x2. Daca numerele a,b,c sunt in progresie aritmetica atunci exista relatia : 2(x1+x2)+x1.x2 +1

= 0

18. Sa se demonstreze : a)

b)

c)

III. PROGRESII GEOMETRICE

1. Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (b ) daca :

a) b)


110/130

c) d)

e)

2. Sa se gaseasca primii doi termeni ai progresiei geometrice (b ) :

a) b)

3. Daca se cunosc doi termeni ai progresiei geometrice (b )

a) , sa se gaseasca

b) ,. .

4. Sa se scrie formula termenulei al n-lea al progresiei geomertice date prin :

a) b)

c) d)

5. Este progresie geometrica un sir pentru care suma primilor n termeni este :

a) Sn = n -1 ; b) Sn = ; c) Sn =

6. Sa se determine x a.i. numerele urmatoare sa fie in progresie geometrica :

a) a+x, b+x, c+x ; b) ; c) ;

7. Sa se gaseasca primul termen b1 si ratia q a progresiei geometrice (b ) daca :


111/130

a) b) c)

8.Sa se calculeze sumele :

a)

b)

c)

d)

e) 1+11+111+1111+1111111 (de n ori 1)

f) 3+33+333+..33333..3

g) 7+77+777+..77777(de n ori 7)

h)

9. Sa se rezolve ecuatiile :

a)

b)

IV. LOGARITMI

1. Sa se logaritmeze expresiile in baza a: a) E=a 2 .


112/130

b) E= .

c) E=

2. Sa se determine expresia E stiind ca : lg E=2 lga- lgb-3 lg3.

3. Sa se arate ca log26+log62>2.

4. Sa se calculeze expres iile: a)

b)

c) E=log225-log2 .

d)

e)

f)

g)

5. Sa se arate ca expresia: E= este independenta de valorile strict mai mari ca 1 ale

variabilelor x,z,y.

6. Sa se calculeze expres iile: a) E= .b) E=

7.Sa se calculeze suma:

8. Sa se arate ca daca a,b,c sunt in progresie geometrica atunci are loc

egalitatea:

9. Sa se arate ca daca x, y, z sunt in progres ie geometrica atunci sunt in progres ie aritmetica.


113/130

PRIMITIVE

1. Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii.

1. (3x 2. x(x-1)(x-2)dx

3. 4.

5. 6.

7. x 8.

9. ( e 10. (x


114/130

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

2..Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii compuse.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11.

12.

13. 14.

3. Sa se calculeze primitivele urmatoare utiliznd metoda integrarii prin parti:

1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.


115/130

13. 14. 15.

16. 17.

18.

19. 20. 21.22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33.

34. 35. 36.

37. 38. 39.

40. 41. 42.

43. 44. 45.

46. 47.

3. Sa se calculeze integralele prin metoda substitutiei

1. 2. 3. 4.

5. 6.


116/130

7. 8. 9.

10.

11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18.

19. 20. 21. 22.

23. 24.

25. 26. 27. 28.

29. 30. 31. 32.

33. 34. 35.

36 . 37. 38.

4. Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii trigonometrice :

1. 2. 3. 4.


117/130

5. 6.

7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18.

19. 20.

5.Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii rationale:

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13.

14. 15.

16. 17.


118/130

18. 19.

20. 21.

22. 23.

24. 25.

26. 27.

28. 29.


119/130

ISTORICUL NOTIUNILOR MATEMATICE

Sec. 18 i.e.n. mesopotamieniicreeaza primele tabele de inmultire;

sec. 6 i.e.n. este cunoscuta asemanarea triunghiurilor de catre Thales;

Sec. 5 i.e.n. pitagorienii introduc notiunile de numar prim, numar compus, numererelativ prime, numere prime perfecte;

Sec. 4 i.e.n.

Aristotel (384-322 i.e.n) filozof grec a introdus notiunile de perimetru,teorema, silogism.

Sec. 3 i.e.n.

Matematicianul grec Euclid(330-275 i.e.n ) cel care a intemeiat celebra scoaladin Alexandria (in 323 i.e.n) a introdus notiunile de semidreapta, tangenta la ocurba, puterea unui punct fata de un cerc sau sfera, sau denumirile de paralelogram,poliedru, prisma, tetraedru. A enuntat teorema catetei si a inaltimii pentru un triunghidreptunghic si a demonstrat concurenta mediatoarelor unui triunghi;

Apolonius din Perga(262-200 i.e.n), unul din cei mai mari geometri ai antichitatiiintroduce pentru prima data denumirile pentru conice, de elipsa, hiperbola, parabolasi notiunile de focare, normale si defineste omotetia si inversiunea si da oaproximare exacta a lui cu patru zecimale.

este data aria triunghiului in functie de laturi sau in functie de raza cerculuiinscris si semiperimetru;

Eratostene din Cyrene(275-195 i.e.n) introduce metoda de determinare atuturor numerelor prime mai mici dect un numar dat, metoda cunoscuta sub numelede Ciurul lui Eratostene


120/130

in prima carte din Elementele lui Euclid este cunoscuta teorema impartirii curest si algoritmul lui Euclid pentru aflarea c.m.m.d.c. a doua numere intregi

85-168 matematicianul grec Ptolemeuprezinta in cartea sa Almagest, pe lngavaste cunostinte de astronomie si trigonometrie si diviziunea cercului in 360 de particongruente si exprimarea acestora in fractii sexagesimale.

Sec. 3 s-a dat formularea teoremei celor trei perpendiculare de catre Pappos;acesta a mai dat si definitia conicelor precum si teorema despre volumul corpurilorde rotatie

Sec. 7

sunt cunoscute regulile de trei directa si inversa de catre Bragmagupta,matematician indian;

Arhimede(287-212 i.e.n) precursor al calculului integral, a determinat aria sivolumul elipsoidului de rotatie si ale hiperboloidului de rotatie cu pnze.

1202- Leonardo Fibonacci (1170-1240) matematician italian introduce notatiapentru fractia ordinara;

1228- Fibonacci introduce denumirea pentru numarul zero, precum si sistemul denumeratie zecimal. Tot prin opera sa Liber abaci sunt introduse pentru data in

Europa numerele negative, fiind interpretate ca datorii;

1150- este descrisa extragerea radacinii patrate si a celei cubice in cartea Lilavati a matematicianului indian Bhaskara(1114-1185), tot el prezinta sioperatiile de inmultire si impartire cu numere negative;

1515- rezolvarea ecuatiilor de gradul al treilea cu o necunoscuta de catre Scipiodel Fero, iar mai trziu de Niccolo Tartaglia in 1530, si pe acelea de gradul alpatrulea de Ludovico Ferrari in 1545. Acestea au fost facute cunoscute abia in

1545 de catre Girolamo Cardano(1502-1576) in lucrarile sale, desi promiseseautorilor lor sa nu le divulge;

1591-matematicianul francez Francois Viete(1540-1603) introduce formulelecunoscute sub numele de relatiile lui Viete;

1614- inventarea logaritmilor naturali de catre John Neper(1550-1617);

1637- este introdusa notiunea de variabila de catre Rene Descartes(1596-1650),cel care a introdus literele alfabetului latin pentru notatii si a folosit coordonatelecarteziene (definite dupa numele sau), reducnd problemele de geometrie laprobleme de algebra;


121/130

1640- este introdusa denumirea pentru cicloida de catre Galileo Galilei (1564-1642);

1654- inceputul crearii teoriei probabilitatilor datorat corespondentei dintre PierreFermat(1601-1665) si Blaise Pascal(1623-1662) si dezvoltarea combinatoriciiodata cu aparitia lucrarii lui Pascal, Combinationes;

1656- matematicianul englez John Wallis(1616-1703) introduce simbolul cu

notatiile si a denumirilor de interpolare respectiv mantisa

1670- este determinat semnul sinusului si desenata sinusoida respectiv secantoidade catre John Wallis);

1678- este data teorema lui Ceva de catre Ceva Giovani(1648-1734);

1679- in Varia opera mathematica aparuta postum, a lui Pierre Fermat(1601-1665), a fost data Marea teorema a lui Fermat, reguli de integrare, definitiaderivatei.

1692- este scris primul manual de calcul integral de catre matematicianul elvetianJean Bernoulli(1667-1748) Lectiones mathematicae de methodo integraliumaliisque, tiparit abia in 1742 si de asemenea a mai scris un manual de calculdiferential, descoperit abia in 1920.

Regula lui lHospital este data de catre Jean Bernoulli lui Guillaume delHospital pe care acesta o publica in 1696;

1690- este propusa denumirea de integrala de catre Jacques Bernoulli(1654-1705)

1692- sunt descoperite proprietatile spiralei logaritmice (Jacques Bernoulli)

1694- este descoperita curba numita lemniscata, caracterizata de inegalitatea

(1+x)n 1+nx (Jacques Bernoulli);

1696-1697- introducerea calculului variational, punerea problemei izoperimetrelorde catre Jean Bernoulli.

1705- este data Legea numerelor mari de catre Jacques Bernoulli;

1711- realizarea dezvoltarii in serie a functiilor ex, sinx, cosx,arcsinx, de catrematematicianul englez Isaac Newton(1642-1727) cel care a pus bazele calcululuidiferential si integral concomitent cu Gottfried Leibniz(1646-1716);


122/130

1729- este demonstrata existenta radacinilor complexe in numar par a unei ecuatiialgebrice cu coeficienti reali de catre Mac Laurin Colin(1698-1746;

1731- utilizarea sistemului de axe perpendiculare pentru a determina pozitia unuiobiect in functie de cele trei coordonate;

1733- crearea trigonometriei sferoidale de catre Alexis Clairaut(1713-1765); 1735- Matematicianul elvetianLeonhard Euler(1707-1783) introduce si calculeaza

constanta e= =0,577215..., n;

1739- introducerea conceptului de integrala curbilinie de catre Alexis Clairaut;

1746- relatia lui Stewart este demonstrata de Mathew Stewart dupa ce inprealabil ea ii fusese comunicata de catre Robert Simson in 1735;

1747

este enuntata problema celor trei corpuri de catre Clairaut;

introducerea metodei multiplicatorilor nedeterminati in studiul sistemelor deecuatii diferentiale de catre Jean Le Rond DAlembert(1717-1783);

1750- Gabriel Cramer da o regula de rezolvare a sistemelor cunoscuta subdenumirea de metoda lui Cramer;

1755- sunt puse bazele calculului variational de catre Lagrange(1736-1813)concomitent cu Euler,

1765- inceputul crearii geometriei descriptive de catre Gaspard Monge(1746-1818);

1766- crearea mecanicii analitice de catre Joseph Lagrange(1736-1813) cue

Documents

Prof. Adrian Stan - Pregătire bacalaureat matematică. Culegere cu teorie și probleme