Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme ... · Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate 2 8) a x dx a x x arcsin ( ) ( ) 2

Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate

1

ANALIZA MATEMATICA D1: Fie I un interval şi f,F:I →R. FuncŃia F se numeşte primitivă a lui f dacă:

1) F este derivabilă; 2) F

’(x)=f(x), ∀ x∈I • Fie I un interval şi funcŃia f:I →R care admite primitive. Dacă F1, F2:I →R sunt primitive ale

funcŃiei f, atunci F1(x)=F2(x)+c, ∀ x∈I, c∈R

• ( ) { : primitiva a funcŃiei }f x dx F I F f= →∫ R - integrala nedefinită a funcŃiei f

• O funcŃie continuă pe un interval admite primitive pe acel interval • Derivata oricărei funcŃii derivabile pe un interval I are proprietatea lui Darboux pe I • Daca f:I →R admite primitive pe intervalul I, atunci f are proprietatea lui Darboux pe I • Fie f:I → R. Dacă imaginea funcŃiei pe un subinterval J ⊂ I nu este interval, atunci f nu admite

primitive pe I • O funcŃie cu puncte de discontinuitate de speŃa I nu admite primitive deoarece nu are proprietatea lui

Darboux

Formula de integrare prin părŃi. Fie f,g:I → R funcŃii derivabile cu derivatele continue. Aunci funcŃiile f ’· g si f·g’ admit primitive şi

∫∫ −⋅= .)()()()()()( '' dxxgxfxgxfdxxgxf

Teorema de schimbare de variabilă:

Fie I,J ⊂ R intervale, RJfsiJI →→ ::ϕ funcŃii cu proprietăŃile:

• ϕ este derivabilă pe I • f admite primitiva F pe J

Atunci functia ( ) 'f ϕ ϕ⋅� admite primitiva ϕFo pe I.

Daca ϕ este o functie derivabila pe un interval, atunci:

1) ∫ ++

=⋅+

1)()(

1'

adxxx

aa ϕ

ϕϕ C

2) ∫ = )(ln)()('

xdxx

xϕ

ϕϕ

+C, ϕ 0≠

3) ∫ =⋅a

adxxa

xx

ln)(

)(')(

ϕϕ ϕ +C, a>0, a 1≠

4) ∫ +−

=− ax

ax

adx

ax

x

)(

)(ln

2

1

)(

)(22

'

ϕϕ

ϕϕ

+ C, ϕ 0, ≠±≠ aa

5) a

xarctg

adx

ax

x )(1

)(

)(22

' ϕϕ

ϕ=

+∫ +C, a 0≠

6) ( )∫ ++=+

22

22

'

)()(ln)(

)(axxdx

ax

xϕϕ

ϕ

ϕ+C, 0≠a

7) 22

22

'

)()(ln)(

)(axxdx

ax

x−+=

−∫ ϕϕ

ϕ

ϕ+C, 22 a>ϕ


2

8) a

xdx

xa

x )(arcsin

)(

)(22

' ϕ

ϕ

ϕ=

−∫ +C, aaa <<−> ϕ,0

9) )(cos)((x)sin ' xdxx ϕϕϕ −=⋅∫ +C

10) ∫ =⋅ )(sin)()(cos ' xdxxx ϕϕϕ +C

11) ∫ = )()(cos

)(2

'

xtgdxx

xϕ

ϕϕ

+C, IxZkkx ∈∀∈∀+≠ ,,2

)12()(π

ϕ

12) ∫ −= )()(sin

)(2

'

xctgdxx

xϕ

ϕϕ

+C, IxZkkx ∈∀∈∀≠ ,,)( πϕ

13) )(cosln)()( ' xdxxxtg ϕϕϕ −=⋅∫ +C, IxZkkx ∈∀∈∀+≠ ,,2

)12()(π

ϕ

14) ∫ =⋅ )(sinln)()( ' xdxxxctg ϕϕϕ +C, IxZkkx ∈∀∈∀≠ ,,)( πϕ

D2: O funcŃie raŃională f, definita pe un interval I, este de forma ( ) ( )( )

,xQ

xPxf = Ix ∈∀ , ,0)( ≠xQ unde

[ ]XRQP ∈, . D3: O funcŃie raŃională se numeşte funcŃie raŃională simplă dacă are una din formele:

1) [ ]( ) ( ),f x P x P X= ∈R

2) ( )

*( ) , , ,n

Af x A a n

x a= ∈ ∈

−R N

3) ( )

2 *

2( ) , , , , , 4 0,

n

Ax Bf x A B a b a b n

x ax b

+= ∈ − < ∈

+ +R N

• Orice funcŃie raŃională se poate descompune, în mod unic, în suma de funcŃii raŃionale simple D4: Fie :F I → R o primitiva a functiei continue :f I → R . Se numeste integrala definită a funcŃiei f de la

a la b, numărul real notat şi definit prin relatia ∫ −=b

a

aFbFdxxf )()()( (formula Leibniz-Newton)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), ,b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dxλ µ λ µ λ µ− ⋅ + ⋅ = + ∀ ∈∫ ∫ ∫ R

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=∈∀−b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf,Ic

( ) ( ) ( ) ( ) ( )abcfdxxf.i.ab,ac

b

a

−⋅=∈∃− ∫

[ ] ( )∫ ≥≥−b

a

0dxxfatunci,ba, pe 0fDaca

[ ] ( ) ( )∫ ∫≤≤−b

a

b

a

dxxgdxxfatunci,ba, pe gfDaca

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ), sunt astfel încât m f x , , , atuncib

a

Daca m M M x a b m b a f x dx M b a− ∈ ≤ ≤ ∀ ∈ − ≤ ≤ −∫R


3

( ) ( )∫∫ ≤−b

a

b

a

dxxfdxxf

D5: Fie , ,a b a b∈ <R şi funcŃia continuă pozitivă [ ]: ,f a b +→ R .

Multimea ( ) ( ){ }2, / , 0f

x y a x b y f xΓ = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R se numeşte subgraficul funcŃiei f..

D9: FuncŃia [ ]: ,f a b → R se numeşte continuă pe porŃiuni dacă are cel mult un număr finit, nenul,

de puncte de discontinuitate şi acestea sunt puncte de discontinuitate de speŃa întâi. -Fie [ ] Rb,a:g,f → astfel încât ( ) ( ) ( ) ( )b,ax,xgxf ∈∀= şi g este continuă. Atunci f este integrabilă pe

[ ]b,a şi ( ) ( )∫ ∫=b

a

b

a

dxxgdxxf .

-O funcŃie [ ]: ,f a b → R continuă pe porŃiuni este integrabilă pe [ ]b,a şi ( ) ( )∫ ∑ ∫=

−

=b

a

p

1i

c

c

i

i

1i

dxxfdxxf , unde

[ ]1: , , 1,i i i

f c c i p− → =R sunt funcŃiile asociate lui f.

-Fie RI:g,f → derivabile cu derivate continue. Dacă Ib,a ∈ , atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅′−⋅=′⋅b

a

b

a

b

a

dxxgxfxgxfdxxgxf .

-Dacă II: →ϕ este derivabila, cu derivata continuă şi :f I → R este continuă, dacă Ib,a ∈ , atunci

( )( ) ( ) ( )( )

( )

∫∫ =′⋅b

a

b

a

dttfdxxxf

ϕ

ϕ

ϕϕ .

-Fie [ ], : ,f g a b → R continue a.i. ( ) ( ) ( ) [ ]b,ax,xfxg ∈∀≤ .Dacă

( ) ( ) ( ){ }2, , / ,

f gx y a x b g x y f xΓ = ∈ ≤ ≤ ≤ ≤R , atunci aria ( ) ( ) ( )( )∫ −=

b

a

g,f dxxgxfΓ .

-Fie [ ]: ,f a b → R continuă. MulŃimea ( ) ( ){ }3 2 2, , /V x y z y z f x= ∈ + ≤R se numeşte corpul de rotaŃie

în jurul axei Ox determinat de funcŃia f. Volumul acestui corp este ( )∫=b

a

2 dxxfV π .

-Fie [ ]: ,f a b → R o funcŃie derivabilă cu derivata continuă. Lungimea graficului funcŃiei este

( ) ( )( )∫ ′+=b

a

2dxxf1fl .

-Fie [ ]: ,f a b +→ R continuă. ( ) ( ){ }3 2 2, , / ,x y z y z f x a x bφ = ∈ + = ≤ ≤R se numeste suprafaŃa de

rotaŃie daterminată de funcŃia f. Aria acestei suprafeŃe este ( ) ( ) ( )( )∫ ′+=b

a

2dxxf1xf2f πΑ .


4

Probleme rezolvate

1. Se consideră funcŃia ( )2 , 0

: ,1, 0

xx e xf f x

x x

+ ≤→ =

+ >R R .

a) Să se arate că funcŃia f admite primitive pe R.

b) Să se calculeze ( )0

1

xf x dx−∫ .

c) Să se determine volumul corpului obŃinut prin rotaŃia în jurul axei Ox a graficului funcŃiei g :[0;1]→R, g (x) = f (x) . R. a) O funcŃie admite primitive dacă este continuă pe domeniul de definiŃie. Problema continuităŃii se pune în punctul x0=0. Calculăm limitele laterale:

( ) ( )2 2 0

0 00 0

lim lim 0 1x

x xx x

f x x e e→ →< <

= + = + = , ( ) ( )0 0

0 0

lim lim 1 0 1 1x xx x

f x x→ →> >

= + = + = şi f (0)=1. Acestea sunt

egale şi atunci funcŃia este continuă pe R, deci admite primitive pe R.

b) ( ) ( ) ( ) ( )int.prin0 40 0 0 0 04 părŃi'2 3

1 1 1 1 11

10 +

4 4x x xx

xf x dx x x e dx x dx xe dx x e dx− − − − −−

−= + = + = + ⋅ = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )0 0

0 00 1 0 1

1 11 1

1 1 1 1 1' 0 1

4 4 4x x x x

xe x e dx e e e dx e e ee e

− −

− −− −

+ − ⋅ = − + ⋅ − − − = − + − = − + − + =∫ ∫

1 1 1 2 5 8 51

4 4 4e

e e e e

−= − + − + = − = .

c) Formula pentru calculul volumului este: ( ) ( )2b

f

a

Vol C f x dxπ= ∫ . Avem

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

22

0 0 0 0 0 0

1 2 1 2 1gVol C g x dx x dx x x dx xdx xdx dxπ π π π

= = + = + + = + + =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

13

1 1 12 2120

00

0

1 1 2 3 4 6 132 2 1 2 1 1

32 2 2 3 6 62

x xx dx xπ π π π π

+ + = + + = + + = + ⋅ ⋅ + = =

∫ .

2. Se consideră funcŃiile f,F:R →R date prin f(x)=xe

x şi F(x)=(x−1)ex.

a) Să se verifice că funcŃia F este o primitivă a funcŃiei f . b) Să se calculeze aria suprafeŃei plane determinate de graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele x = 0 şi x

=1.

c) Să se demonstreze că ( ) ( ) ( )( )

( )

2

2

1

'' ' 12

xf t f t f t x

dtf t x

− += −∫ pentru orice x>1.

R. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 1 ' 1 ' 1 1 1x x x x x xF x x e x e e x e e x xe= − + − = + − = + − = .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 0

00

1 0 1 1 0 1 1f

Aria f x dx F x F F e eΓ = = = − = − − − =∫ .

c) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

' 2'

2 2 2

' ' ' '' '' '' ' 'f t f t f t f t f t f t f tf t f t f t f t f t

f t f t f t f t

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅= = =

,

unde ( ) ( ) ( )' ' ' 1x x xf x x e x e e x= + = + .


5

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 '

2

11 1

'' ' ' ' ' ' 1

1

xx x xf t f t f t f t f t f x f edt dt

f t f t f t f x f

− = = = − =

∫ ∫

( )1x

x

x e

+ 1e−

( )1

1 1

1 e

+

⋅=

12

x

x

+= − .

3. Se consideră funcŃia f :R →R, ( ) , 1

2 , 1

xe e xf x

x x

⋅ ≤ −=

+ > −.

a) Să se arate că funcŃia f admite primitive pe R. b) Să se calculeze volumul corpului obŃinut prin rotaŃia în jurul axei Ox, a graficului funcŃiei g:[0,2]→R , g(x)=f(x), x0[0,2].

c) Să se calculeze ( )0

2

xf xdx

e−∫ .

R. a) Determinăm continuitatea funcŃiei în punctul x0= −1. ( ) 1 0

1 11 1

lim lim 1x

x xx x

f x e e e e e−

→− →−<− <−

= ⋅ = ⋅ = = ;

( ) ( )1 1

1 1

lim lim 2 2 1 1x xx x

f x x→− →−>− >−

= + = − = ; ( )1

1

limxx

f x→−<−

= ( )1

1

lim 1xx

f x→−>−

= ⇒ funcŃia este continuă în x0= −1 şi este

continuă pe R, deci admite primitive pe R.

b) Volumul se calculează după formula: ( ) ( )2

b

f

a

Vol C f x dxπ= ∫ .

( ) ( ) ( )22 2 2 3 3

2 2 2

00 0

22 4 4 4 4 4 2 2 2

2 3 3g

x xVol C x dx x x dx xπ π π π

= + = + + = + + = ⋅ + ⋅ + =

∫ ∫

8 24 24 8 568 8

3 3 3π π π

+ + = + + = =

.

c)( ) ( ) ( )

00 1 0 1 131'2 2

212 2 1 2 2

1 1 1 12 1

3 3x x x x

xf x xdx xe dx x x dx x e dx x xe e dx

e e e e

− − −−

−−− − − − −

= + + = + + = − − − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )1 1 1 1 2 1 2 1

2 22 2 2

2 2 2 8 3 8 9 81 2 3 3

3 3 3 3 3 3x x x e

xe e e x e e e e ee e e e e

− − − − − − − −

− − −

−= − − = − − = − + − = − = − = .

4. Se consideră funcŃia g :R→R, g(x)=(x+1)3 −3x

2 −1.

a) Să se calculeze ( )1

0

g x dx∫ .

b) Să se determine numărul real a >1 astfel încât ( )( )3

1

6a

x ag x x e dx e− ⋅ =∫ .

c) Să se calculeze ( ) ( )1

2 2009

0

3 3x g x dx+ ⋅∫ .

R. a) ( ) ( )( )1 1

3 2 3 2

0 0

1 3 1 3g x dx x x dx x x= + − − = +∫ ∫ 3 1x+ + 23x− 1−( ) ( )1 1

3

0 0

3dx x x dx= + =∫ ∫

14 2

0

3 1 3 74 2 4 2 4x x

= + = + =

.


6

b) g(x)=x3+3x şi ( )( ) ( ) ( )3 3 3

1 1 1 1

3 3 3 'a a a a

x x x xg x x e dx x x x e dx xe dx x e dx− ⋅ = + − ⋅ = = =∫ ∫ ∫ ∫

( )1 11 1

3 ' 3 3 3a a

a ax x a x a x axe x e dx ae e e dx ae e e ae e

= − = − − = − − = −

∫ ∫ ae e− +( ) ( )3 1ae a= − .

ObŃinem ( )3 1 6 : 3 1 2 3a a ae a e e a a− = ⇒ − = ⇒ = .

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 31 1 312 2009 2009 2009

00 0

3 3 'g x x x

x g x dx g x g x dx g x= +

+ ⋅ = ⋅ = =∫ ∫

( ) ( )2009 20093 3 20091 3 1 0 3 0 4= + ⋅ − + ⋅ = .

5. Se consideră funcŃia : f :R →R, f(x)=x+e

-x. a) Să se calculeze aria suprafeŃei plane cuprinse între graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x = 0 şi x =1 .

b) Folosind faptul că 22 1xx e−+ ≥ pentru orice x0R , să se demonstreze că

21

0

23

xe dx

− ≥∫ .

c) Să se determine volumul corpului obŃinut prin rotaŃia, în jurul axei Ox , a graficului funcŃiei g :[0,1]→R, g(x)=f (x)+ f (−x).

R. a) ( ) ( ) ( )11 1 2

1 0

00 0

1 0 1 1 3 11

2 2 2 2 2x x

f

xAria f x dx x e dx e e e

e e

− − − Γ = = + = − = − − − = − + = − ∫ ∫ .

b) Din 22 1xx e−+ ≥ obŃinem

2 21xe x− ≥ − şi integrăm inegalitatea pe intervalul [0,1] ⇒

( )2

11 1 32

00 0

1 21 1

3 3 3x x

e dx x dx x− ≥ − = − = − =

∫ ∫ .

c) ( ) ( ) ( ) x x x xg x f x f x x e x e e e− −= + − = + − + = + şi volumul este dat de: ( )2

b

a

V f x dxπ= ∫

( ) ( )11 1 2 2

2 2 2

00 0

2 22 2

x xx x x x e e

V e e dx e e dx xπ π π−

− − = + = + + = − + + =

∫ ∫

2 2 0 0 2 24 4

2 2 2e e e e e e

π π− − − + + − + + −

= − =

.

6. Se consideră funcŃia f :R→R, f (x) = x 2 + e

x +1.

a) Să se arate că orice primitivă a funcŃiei f este crescătoare pe R .


0

xf x dx∫ .

c) Să se demonstreze că ( )

1

ln 13

e f xdx e

x= +∫ .

R. a) O primitivă a funcŃiei f este F :R → R, astfel încât F '(x) = f (x) şi f (x) = x 2 + e x +1 > 0 ca sumă

de funcŃii pozitive ⇒ F '(x) > 0. Dacă derivata este pozitivă atunci funcŃia este crescătoare, adică F este funcŃie crescătoare ∀ x0R.


7

b) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 1 1 4 22 3

0 0 0 0

int

1 14 2

' 1

x x x

prinpărti

x x x x x x x

x xxf x dx x x e dx x xe x dx e x

xe dx x e dx xe e dx xe e C e x C

= + + = + + = + − + =

= = − = − + = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

( ) ( )1 01 1 3 71 1 0 1 1

4 2 4 4e e= + − + − − = + = .

c) ( ) ( )

2 ln 2

1 1 1

ln ln 1 ln ln 1*

e e exf x x e x xdx dx dx

x x x x x

+ += = + + =

∫ ∫ ∫ . Calcuăm primitivele separat:

( )2 3var

2 2ln 1 lnln ln ln '

3

schimbarede iabilăx x

dx x dx x x dx Cx x

= ⋅ = ⋅ = +∫ ∫ ∫

( )2ln ln

ln ln '2

x xdx x x dx C

x= ⋅ = +∫ ∫ ;

1lndx x C

x= +∫ .

( ) � �

3 2 3 2 3 2

011

ln ln ln ln ln 1 ln 1 1 1 2 3 6 11* ln ln ln1 1

3 2 3 2 3 2 3 2 6 6

e

x x e xx e

==

+ += + + = + + − − − = + + = =

.

7. Se consideră funcŃia f :[1,+∞)→R, ( )( )

11 ln

f xx x

=+

.


'

e

f x dx∫ .

b) Să se arate că orice primitivă a funcŃiei f este crescătoare pe [1,+∞) . c) Să se determine numărul real a0(1,e2) astfel încât aria suprafeŃei plane determinate de graficul

funcŃiei f, axa Ox, dreptele de ecuaŃii x=a şi x=e2 să fie egală cu

3ln

2.

R. a) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1

1 1

1 1 1 1 1 1' 1

1 ln 1 ln 1 1 ln1 1 1 1 2

eee

f x dx f xx x e e e e

= = = − = − = − + + + +

∫ .

b) Fie F :[1,+4) →R primitivă a funcŃiei f, atunci F’(x)=f(x),∀ x0[1,+4). Din x0[1,+4)⇒ x>0, lnx ≥ 0 şi atunci f(x) ≥ 0. Dacă derivata unei funcŃii F’(x)=f(x) ≥ 0 atunci functia F este crescătoare pe [1,+4).

c) ( ) ( )( )

( ) ( )2 2 2 2

2'

1 ln1 1 1ln 1 ln

1 ln 1 ln 1 ln

e e e ee

f a

a a a a

xAria f x dx dx dx dx x

x x x x x

+Γ = = = ⋅ = = + =

+ + +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3ln 1 ln ln 1 ln ln 1 2 ln 1 ln ln 3 ln 1 ln ln

1 lne a a a

a= + − + = + − + = − + =

+.

Din ( ) 3ln

2fAria Γ = obŃinem: ( )23 31 ln 2 ln 1 1,

1 ln 2a a a e e

a= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ∈

+

8. Se consideră funcŃiile f,g:(0,+∞)→R date prin f(x)= ex şi ( ) 1

g xx

= .

a) Să se calculeze primitivele funcŃiei f +g.

b) Să se arate că ( ) ( )( )2 4 2

2 2

1

12

e ef x g x dx

− ++ =∫ .


8

c) Folosind eventual faptul că 2ab≤a2+b

2, pentru orice a,b0R , să se demonstreze că 2 4 2

1

1 14

x e ee dx

x

− +⋅ ≤∫ .

R. a) ( ) ( ) 1 1lnx x x

f g x dx e dx e dx dx e x Cx x

+ = + = + = + + ∫ ∫ ∫ ∫ .

b) ( ) ( )( )22 2 2 4 2

2 2 22

11 1

1 1 11

2 2 2 2

xx e e e

f x g x dx e dxx x

+ = + = − = − − − = ∫ ∫

4 2 4 21 2 12 2

e e e e− − + − += = .

c) f(x), g(x)0R, folosind relaŃia 2ab≤a2+b

2 avem 2@f(x) @ g(x) ≤ f 2(x)+g

2(x). Integrăm inegalitatea pe intervalul [1,2] şi obŃinem:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 24 2 4 2

2 2

1 1 1

1 12 2

2 4e e e e

f x g x dx f x g x dx f x g x dx− + − +

⋅ ≤ + = ⇒ ⋅ ≤∫ ∫ ∫ .

9. Se consideră integralele 1

0

11

n

n

xI dx

x

+=

+∫ pentru orice n0N* .

a) Să se calculeze I1 . b) Folosind, eventual, faptul că x2 ≤ x, pentru orice x0[0,1] , să se demonstreze că I2 ≤ I1.

c) Să se demonstreze că 11

2ln 21n nI I

n+ + = +

+ pentru orice n0N

*.

R. a) Pentru n=1 se obŃine:1 1

1

1 0

0 0

11 1

1x

I dx dx xx

+= = = =

+∫ ∫ .

b) 1 2

2

0

11

xI dx

x

+=

+∫ . Din x2 ≤ x, ∀ x0[0,1] se obŃine x2+1 ≤ x+1⇒2 1 1

1 1x x

x x

+ +≤

+ +, ∀ x0[0,1]; integrăm pe

intervalul [0,1] şi se obŃine 1 12

2 1

0 0

1 11 1

x xdx dx I I

x x

+ +≤ ⇒ ≤

+ +∫ ∫ .

c) ( )1 1 1 1 11 1 1

1

0 0 0 0 0

1 21 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1

nn n n n n n

n n

x xx x x x x xI I dx dx dx dx dx

x x x x x x

+ + +

+

+ + + + + + + + ++ = + = + = = = + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )11 1

00

2 1 12ln 1 2ln 2 2ln1 2ln 2

1 1 1 1

nn x

x dx xx n n n

+ = + = + + = + − = + + + + + ∫ .

10. Se consideră funcŃiile f , g: R→R, ( ) ( )2 21 1

şix x

x x

e ef x g x

e e

+ −= = .

a) Să se verifice că funcŃia g este o primitivă a funcŃiei f.

b) Să se calculeze ( ) ( )1

0

f x g x dx∫ .

c) Să se demonstreze că ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0 0

' 'f x g x dx f x g x dx=∫ ∫ .


9

R. a) ( )( )

( )

' 2 22

2

2 11'

x x x x xx

xx

e e e e eeg x

e e

⋅ − − ⋅ −= = =

( )( )

2 2

2

2 1x

x x

e x

e e

e

⋅ − +( )

2 1x

x

ef x

e

+= = , adică g este

o primitivă a lui f .

b) ( ) ( )2 2 4

2 22

1 1 1x x xx x

x x x

e e ef x g x e e

e e e

− + − −= ⋅ = = −

şi

( ) ( ) ( )11 1 2 2 2 2 0 0 2

2 22

0 0 0

11

2 2 2 2 2 2 2 2

x xx x e e e e e e e

f x g x dx e e dxe

− −−

= − = + = + − + = + −

∫ ∫ .

c) ( ) xx

xx

x

x

x

eeee

e

e

exf −+=+=

+=

11 22 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'x x x x x xf x e e e x e e e− − −= + = + − = −

( ) xx

xx

x

x

x

eeee

e

e

exg −−=−=

−=

11 22⇒ ( ) ( ) ( ) xxxx eeeexg −− +=−= '''

şi atunci ( ) ( ) ( )( ) xxxxxx eeeeeexgxf 22 −−− −=−+=⋅

( ) ( ) ( )( ) xxxxxx eeeeeexgxf 22'' −−− −=+−=⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ =⇒⋅=⋅1

0

1

0

'''' dxxgxfdxxgxfxgxfxgxf .

11. Se consideră funcŃia f :(0,+∞)→R, ( ) ln xf x x

x= + .


lne

xf x dx

x

− ∫ .

b) Să se verifice că ( )2

12

e

ef x dx =∫ .

c) Să se arate că şirul care are termenul general ( )( )1

, 1

n

n

e

n

e

I f x x dx n

+

= − ≥∫ este o progresie aritmetică

cu raŃia 1.

R. ( )2 2 2

11 1 1

ln ln ln 1 12 2 2 2

e e e e

x x x x e ef x dx x dx xdx

x x x

− − = + − = = = − = ∫ ∫ ∫ .

b) ( ) ( )2 2 2

1 11 1 1 1 1

ln 1 ln 1ln ln ln '

2 2 2 2

e e e e e e e

x x x ef x dx x dx x dx xdx x x dx

x x

= + = ⋅ + = ⋅ + = + − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2ln ln 1 1 12 2 2 2 2

e e= − + − =

2 10

2 2e

− + −2

2e

= .

c) Dacă diferenŃa a doi termeni consecutivi este constantă atunci este progresie aritmetică.

( )( ) ( )( )2 12 1 2 1

11 1

2 2

1

ln ln ln ln2 2

n nn n n n

n nn n n n

e ee e e e

n n

e ee e e e

x x x xI I f x x dx f x x dx dx dx

x x

+ ++ + + +

++ +

+ − = − − − = − = − =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 1 2 1 2 2 1 1ln ln ln ln2 2 2

n n n n n n n ne e e e+ + + + − + − + +− −= − = =

2n=

4n+ 24 n+ − 2n− 21 n− − 2n− 21 n− + 21

2 2= = şi atunci r = 1.


10

12. Se consideră funcŃiile fm :[0,1] → R definite prin fm(x)=m

2x

2+(m2−m+1) x+1, unde m0R.

a) Să se calculeze ( )1f x dx∫ .


0

0

xe f x dx∫ .

c) Să se determine m0R* astfel încât ( )

1

0

32mf x dx =∫ .

R. a) ( ) ( )3 2

21 1

3 2x x

f x dx x x dx x C= + + = + + +∫ ∫ .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

int .1 1 1 1' 1

0 00 0 0 0

1

0

1 1 1

2 1 2 1 1

prinprti

x x x x x

x

e f x dx e x dx x e dx x e e dx

e e e e e

= + = + = + − =

= − − = − − + =

∫ ∫ ∫ ∫ .

c) ( ) ( )( ) ( )11 1 3 2

2 2 2 2 2

00 0

1 1 13 2m

x xf x dx m x m m x dx m m m x

= + − + + = + − + + =

∫ ∫

2 2 2 2 21 2 3 3 3 6 5 3 91

3 2 6 6m m m m m m m m− + + − + + − +

= + + = = şi

225 3 9 3

6 5 3 9 96 2

m mm m

− += ⋅ ⇒ − + = ⇒ ( )2

1 2

35 3 0 5 3 0 0,

5m m m m m m− = ⇒ − = ⇒ = = . Din

m0R* ⇒

35

m ∈

.

13. Pentru fiecare n0N se consideră integralele

2

lne n

n

e

xI dx

x= ∫ .

a) Să se verifice că I0 =1. b) Să se calculeze I1.

c) Folosind, eventual, faptul că 1≤ lnx ≤2, 2,x e e ∀ ∈ , să se demonstreze că 12 1

1 2 ,1

nn n

n

+ −≤ ≤ ∀ ∈

+N ,

pentru orice n0N.

R. a)

2 2

202

0

ln 1ln ln ln 2 1 1

e e

e

e

e e

xI dx dx x e e

x x= = = = − = − =∫ ∫ .

b) ( )22 2 2

2 2 2 2

1

ln 1 ln ln ln 4 1 3ln ln ln '

2 2 2 2 2

ee e e

ee e e

x x e eI dx x dx x x dx

x x

−= = ⋅ = ⋅ = = − = =∫ ∫ ∫ .

c) Din 1≤ lnx ≤2, 2,x e e ∀ ∈ prin ridicare la puterea n0N⇒ 2[ , ] 1 ln 2

1 ln 2 :n nx e e

n n n xx x

x x x

∈

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ şi

integrăm inegalitatea pe 2,e e ⇒

22 2 2

22 11 ln 2 lnln 2 ln

1

ee e en n nee n

e eee e e

x xdx dx dx x x

x x x n

+

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒+∫ ∫ ∫

( ) ( )1 2 1 1 1 1

2 2ln ln 2 1 2 1ln ln 2 ln ln 2 1 2 2 1 1 2

1 1 1

n n n n nn e n ne e

e e en n n

+ + + + +− − −= − ≤ ≤ − ⇒ − ≤ ≤ − ⇒ ≤ ≤

+ + +.


11

14. Se consideră funcŃia f :[−4,4]→R, ( ) 2 16f x x= − .


2

0

f x dx∫ .

b) Să se verifice că ( )

5

5

0x

dxf x

−

=∫ .

c) Să se demonstreze că ( )0

0 8m

f x dx≤ ≤∫ , oricare ar fi m0[0,2] .

R. a) ( ) ( )44 4 3 3

2 2

0 0 0

4 192 64 12816 16 16 4

3 3 3 3x

f x dx x dx x −

= − = − = ⋅ − = =

∫ ∫ .

b) ( ) ( )

5 5 55

2

2 2 55 5 5

16 16 5 16 5 016 16

x x xdx dx dx x

f x x x −− − −

−= = − = − − = − − − − =

− −∫ ∫ ∫ , sau

determinăm paritatea funcŃiei : 5, 5g − → R , ( )216

xg x

x=

−:

( )( )

( )2 21616

x xg x g x

xx

−− = = − = −

−− −, funcŃie impară pe intervalul simetric 5, 5 − ⇒

( )

5

5

0x

dxf x

−

=∫ .

c) Considerăm expresiile 4 + x şi 4 – x, unde x0[0,m], care sunt pozitive şi aplicăm inegalitatea mediilor:

02

a bab

+≤ ≤ ⇒ ( ) ( ) 24 4

0 4 4 0 16 42

x xx x x

+ + −≤ + − ≤ ⇒ ≤ − ≤ . Integrăm inegalitatea pe

intervalul [0,m], se obŃine: ( )2

0

0 0 0

0 16 4 0 4 4m m m

mx dx dx f x dx x m≤ − ≤ ⇒ ≤ ≤ =∫ ∫ ∫ , dar m ≤ 2 şi atunci

4m ≤ 8 şi avem ( )0

0 8m

f x dx≤ ≤∫ .

15. Se consideră funcŃia f :[0,1]→R definită prin ( ) 2 1xf x e x= + .

a) Să se verifice că ( )

1

20

11

f xdx e

x= −

+∫ .

b) Să se determine aria suprafeŃei plane cuprinse între graficul funcŃiei g:R→R, g(x)=xe−x

f (x), axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x = 0 şi x =1 .


2

1

1x f x dx

−

+ ⋅∫ .

R. a) ( )1 2

20

1

1

xf x e xdx

x

+=

+∫ 2 1x +

11 1

1 0

0 0 0

1x xdx e dx e e e e= = = − = −∫ ∫ .


12

b) ( ) 2 2 21 1 1x x x xg x x e e x x e x x x− − += ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + = + şi

( ) ( ) ( ) ( )1

111 1 2 21

'2 2 2 2

0 0

0

11 1 11 1 1

12 2 212

g

xAria x x dx x x dx

++

Γ = + = + + = ⋅ =+

∫ ∫2

⋅ ( )1

32

0

13

x⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( )3 32 21 1 1 2 2 11 1 0 1 8 1 2 2 1

3 3 3 3− = ⋅ + − + = − = − =

.

c) ( ) ( ) ( ) ( )int1 1 1 1

'2 2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 1

prinpărti

x x xx f x dx x e x dx e x dx x e dx

− − − −

+ ⋅ = + ⋅ ⋅ + = + = + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )1 1 1

1 12 1 1

111 1 1

1 2 2 2 2 ' 2 2 2x x x x xx e xe dx e e x e dx e e xe e dx− −

−−− − −

= + − = − − = − − − =

∫ ∫ ∫

( ) ( )11 1 1 1 1 1

1

32 2 2 2 2 2 2 6 2x

e e e e e e e e e e e e e ee

− − − − − −

−

= − − + − = − − + − + = − = −

.


2

21

n

n

xI dx

x=

−∫ , n0N.

a) Să se verifice că 0

1 3ln

2 2I = .

b) Să se calculeze I1.

c) Să se demonstreze că 1 1

23 2

1

n n

n nI In

+ +

+−

− =+

, pentru orice n0N.

R. a) 3 3 30

0 2 222 2

1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 3ln ln ln ln ln

2 1 2 4 3 2 4 1 2 21 1

x xI dx dx

xx x

− = = = = − = ⋅ = +− − ∫ ∫ .

b) ( ) ( ) ( )

3 3 23

21 2 2 2

2 2

1 '1 1 1 1 8ln 1 ln8 ln3 ln

2 2 2 2 31 1

xxI dx dx x

x x

−= = = − = − =

− −∫ ∫ .

c) ( )23 3 3 32 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1

1 1 1 1 1

nn n n n n n

n n

x xx x x x x xI I dx dx dx dx

x x x x x

+ + +

+

− −− = − = − = =

− − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 1x −

3

2

dx =∫

33 1 1 1

22

3 21 1

n n nn x

x dxn n

+ + +−= = =

+ +∫ , ∀ n0N.

17. Se consideră funcŃia f :(0,+∞)→R definită prin f (x)=lnx−x .

a) Să se calculeze ( )( )2

2

1

lnx f x x dx− +∫ .

b) Să se demonstreze că orice primitivă F a funcŃiei f este concavă pe intervalul (1,+∞) . c) Să se calculeze aria suprafeŃei plane cuprinse între graficul funcŃiei h:[1,e]→R, h(x) = f(x) + x, axa Ox şi dreptele x =1 şi x=e.


13

R. a) ( )( )2

2

1

ln lnx f x x dx x x− + = −∫ lnx x+ +( ) ( )2 2 232 2

11 1

2 43x

dx x dx= = =∫ ∫

3 32 1 8 1 7 284 4 4

3 3 3 3 3 3

= − = − = ⋅ =

.

b) F primitivă a funcŃiei f, atunci F’(x) = f(x) şi F’’(x) = f '(x) şi ( ) 1 1' 1

xf x

x x

−= − = .

Tabelul de semn: x 0 1 +4

F”(x)=f ' (x) + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - Pe (1,+4), F”(x) ≤ 0 ⇒ F este concavă pe (1,+4).

c) h:[1,e]→R, h(x)= f(x)+x = lnx − x + x = lnx şi

( ) ( ) ( )int .

1

1 1 1 1 1

1ln ln ' ln ln 1 ln1 1

prine e e e eparti

e

hAria h x dx xdx x x dx x x x dx e e dxx

Γ = = = ⋅ = − ⋅ = − ⋅ − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

11 1

ee x e e= − = − + = .

18. Se consideră funcŃia ( ) ( ): 0, , lnxf f x e x+∞ → = +R .

a) Ştiind că ( ) ( ) ( ): 0, , lng g x f x x+∞ → = −R , să se verifice că ( ) ( ) , 0g x dx g x C x= + >∫ .


e

f x dx∫ .

c) Să se demonstreze că ( )2 2

2

1

12

e ee e exf x dx

+ − +=∫ .

R. a) ( ) ( ) ln ln lnx xg x f x x e x x e= − = + − = şi ( ) ( ) , 0x xg x dx e dx e C g x C x= = + = + ∀ >∫ ∫ .

b) ( ) ( ) ( )int .

0

11 1 1 1 1

ln ln ln '

prine e e e epărŃie

x x xf x dx e x dx e dx xdx e x x dx e e= + = + = + ⋅ = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

� �

1

0 1011 1

1ln 1 ln 1 ln1 1 1 0 2 1 1

e e

ex x xdx e e e dx e e x e e e

x ==

+ − ⋅ = − + − ⋅ − = − + − − = − − + =∫ ∫ .

c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

.var' '2 2 2 2 2

1 1 1 1

1 1ln ln

2 2

schimb dee e e eiabilă

x xxf x dx x e x dx e x dx x x dx= + = + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

( ) � �

2

2 2 22 2

2 2 2 2 2 2 1 2 2 2

1 2 0

1 1 2 1ln ln 1 ln1 1

2 2 2

eex e e e e e

e x x x e e e e e= =

+ − − + = + − = + − − − + = =

2 2 12

ee e e+ − += .

( )( )

( )2 2

' '2 2 2 2 2

int .

, '

1ln ln ln ln ln ln

prinpărŃi

u x du x dx

x x dx u du u u du u u u du u u u C x x x Cu

= =

⋅ = = ⋅ = − ⋅ = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫��

.

19. Se consideră funcŃia f :(0,+∞)→R, ( )( )2 2

1 1

1f x

x x= −

+.


14

a) Să se calculeze ( )( )2

1

1

1

e

x f x dxx

+ +

∫ .

b) Să se arate că orice primitivă a funcŃiei f este crescătoare pe (0,+∞).

c) Să se verifice că ( ) ( )2

1

22'

81f x f x dx = −∫ .

R. a) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

e e e e

x f x dx x dx x dx dxxx xx x x

+ = − + = ⋅ = = + + +

∫ ∫ ∫ ∫

1ln ln ln1 1ex e= = − =

b) Fie F:(0,+∞)→R, F’(x)=f(x) primitivă a funcŃiei f. Atunci

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )2 2 2 2

2 2 22 2 2

1 2 1 2 10, 0,

1 1 1

x x x x x xf x x

x x x x x x

+ − + + − += = = ≥ ∀ ∈ +∞ ⇒

+ + + F’(x) ≥ 0 şi atunci funcŃia F

este crescătoare pe (0,+∞).

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 222 2 2 2 2

2 2 2 2

11 1

2 1 1 1 1 1 1' '

2 2 2 2 12 1 1 1

f x f ff x f x dx f x f x dx

− = = = = − − − = + +

∫ ∫

2 21 1 1 1 1 1 1 1 11 1

2 4 9 4 2 4 9 4 4

= − − − = − − +

1 11

9 4− + −

1

2

=

9

22

36

−⋅

8⋅

422

9 81= − .

20. Se consideră funcŃiile f,F:R→R definite prin f(x)=e−x

şi ( ) ( )0

x

F x f t dt= ∫ .

a) Să se arate că F(x)= − f (x)+1, pentru orice x0R. b) Să se demonstreze că funcŃia h:R→R, h(x)=F(x)−f (x) este concavă pe R.


2

0

x f x dx⋅∫ .

R. a) ( ) ( ) ( )0

00 0

1 1x x

xt t x x

F x f t dt e dt e e e e f x− − − −= = = − = − + = − + = − +∫ ∫ .

b) h(x)=F(x)−f (x)= - f(x)+1-f(x)=1 – 2f(x) şi h(x)= - 2f '(x), iar h"(x)= −2f "(x).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '' ' şi '' 'x x x x x xf x e x e e f x e x e e− − − − − −= = − ⋅ = − = − = − − ⋅ = . Cum 0,xe x− > ∀ ∈ R ,

f’’(x)>0 ⇒ h"(x)<0 şi h este concavă pe R.

c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 11'2 2 1 0 1

00 0 0

1 1 1 11

2 2 2 2x x xx f x dx x e dx x e dx e e e e− − − − −⋅ = ⋅ = − − ⋅ = − = − − = − − =∫ ∫ ∫ .

1 1 1 11

2 2 2e e

e e e

− − = − − = − =

.

21. Se consideră funcŃia f : R→R, ( ) 3 3x xf x −= + .


1

f x dx

−∫ .


15

b) Să se calculeze volumul corpului obŃinut prin rotaŃia, în jurul axei Ox,a graficului funcŃiei g:[0,1]→R, ( ) 3 xg x −= .

c) Să se arate că orice primitivă F a funcŃiei f este concavă pe (-4,0] şi convexă pe [0, +4) .

R. a) ( ) ( )11 1 1 1 1 1

11 1

3 3 3 3 3 33 3

ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3

x xx xf x dx dx

− − −−

−− −

= + = − = − − − =

∫ ∫

1 12

63 3 3 3 163ln 3 ln 3 3ln 3

− − −− − += = = .

b) ( ) ( ) ( )11 1 1 2 2 0

2 2 2

00 0 0

3 3 33 3 2 '

2 2 ln 3 2 ln 3

xx x

gVol C g x dx dx x dxπ π π

π π− −

− − −= = = ⋅ − = − ⋅ = − = − ∫ ∫ ∫

11

92 ln 3 2

π π−= − ⋅ = −

8−

⋅49

ln 3 9 ln 3π

= .

c) Fie F :R → R, primitivă a lui f pe R, atunci F '(x)=f(x) şi F"(x)=f '(x),

( ) ( )' 3 ln 3 3 ln 3 ln 3 3 3x x x xf x − −= − = − şi tabelul de semn pentru derivată:

x -4 0 +4

F"(x)=f

'(x) - - - - - - - - - - - - - -0 + + + + + + + + + +

Pe (-4,0], F"(x) ≤ 0 ⇒ F este concavă, iar pe [0,+4), F"(x) ≥ 0 ⇒ F este convexă.

22. Se consideră funcŃia f: [2, +4)→R, ( ) 1 11

f xx x

= +−

.


11

e

f x dxx

− − ∫ .

b) Să se arate că orice primitivă F a funcŃiei f este convexă pe [2,+4). c) Să se determine a>2 astfel încât aria suprafeŃei plane mărginite de graficul funcŃiei f axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=2 şi x=a să fie egală cu ln 3.

R. a) ( )2

1 1 11 1

e

f x dxx x x

− = + − − ∫1

1x−

− 2

2 2

1ln ln ln 2 1 ln 2

e e

edx dx x e

x

= = = − = −

∫ ∫ .

b). F este concavă dacă F"(x) ≤ 0 pe [2,+4). Calculăm derivata a doua a funcŃiei F: F '(x) = f (x) şi

( )( ) ( )

' '

2 22 2

1 1 1 1 1 1"( ) ' 0, [2, )

1 1 1F x f x x

x x x xx x

= = + = − − = − + > ∀ ∈ +∞ − − − şi atunci F "

este concavă pe [2,+4).

c) ( ) ( ) ( ) ( )

2

1ln ln 1 ln 2 ln

2

a

f

a aAria f x dx x a

−Γ = = + − − =∫ şi Aria(Γf)=ln3⇒

( ) ( ) 2 21 1ln ln 3 3 6 6 0

2 2

a a a aa a a a

− −= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − − =

2 4 25 5b ac∆ = − ⇒ ∆ = ⇒ ∆ = , 2 1

1,2

2

1 52

4 21 52

32

ab b ac

aa

a

− = = −− ± − = ⇒

+ = =

.


16

Cum a>2, valoarea cerută este a=3.

23. Se consideră funcŃiile f , F : [1, +4)→R, date prin ( ) 1lnf x x

x= + şi F ( x ) = ( x + l)lnx − x +1.

a) Să se arate că funcŃia F este o primitivă a funcŃiei f .


1

xf e dx∫ .

c) Să se demonstreze că ( ) ( ) ( )22

1

3ln 2 1

2f x F x dx

−=∫

R. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1' 1 ' ln 1 ln ' ' 1' ln 1 1 ln

xF x x x x x x x x x

x= + + + − + = + + ⋅ − = +

1 x+ −x

=

( )1ln x f x

x= + = .

b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2

222 2 2

1 11

1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1x x x x xf e dx F e e e e e e e e e e= = + − + = + − + − + − + = ∫

( )2 21 2 1e e= + ⋅ − + ( )1 1 1e e− + ⋅ + − 2 22 2e e e= + − − 1 e− + 2 1e= + .

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0

22 22 2 2

11 1

2 1 ln 2 2 1 2 ln1 1 1'

2 2

F xf x F x dx F x F x dx

=

+ − + − − += = = =∫ ∫

��

( )23ln 2 1

2

−= .


1

,n x

nI x e dx n= ∈∫ N .

a) Să se calculeze I0 .

b) Să se arate că I1 = e2.

c) Să se arate că ( ) ( )111 2 1n

n nn I I e e+++ + = − , pentru orice n0N.

R. a) ( )2 2

20 20 1

1 1

1x x xI x e dx e dx e e e e e= = = = − = −∫ ∫ .

b) ( )int .2 2 2 2

2 22 21 1 1

1 1 1 1

' ' 2 2

prinpărti

x x x x x xI xe dx x e dx xe x e dx e e e dx e e e= = = − = − − = − − =∫ ∫ ∫ ∫

22e e= − 2e e− + 2e= .

c) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

21 1 1 1 1 2 11 1

1 1 1 1

' ' 2 1 1n x n x n x n x n n n x

nI x e dx x e dx x e x e dx e e n x e dx+ + + + + ++ = = = − = − − +∫ ∫ ∫ ∫ ⇒

( ) ( )1 2 1 2 11 12 1 2 2 1n n n

n n n nI e e n I I I e e e e+ + ++ += − − + ⇒ + = − = − , pentru orice n0N.

25. Se consideră funcŃia f: R → R de forma f(x) = x

3 + mx2 + nx + p unde m,n,p0R


17

a) Pentru m = 0, n = −3, p = 2, să se calculeze ( )1

0

f x dx∫ .

b) Să se determine m,n,p0R ştiind că f ′(−1) = f ′(1) = 0 şi că ( )1

1

4f x dx

−

=∫ .


0

1lim

x

xf t dt

x→+∞ ∫ .

R. a) Pentru m = 0, n = −3, p = 2, avem f(x) = x3 − 3x + 2 şi

( ) ( )11 1 4 2

3

00 0

1 3 1 6 8 33 2 3 2 2

4 2 4 2 4 4x x

f x dx x x dx x − +

= − + = − + = − + = = ∫ ∫ .

b) ( ) 2' 3 2f x x mx n= + + şi

( )( )

' 3 2 3 2 0 2 3

3 2 0 2 3' 1 3 2

2 6 3 şi 0

f m n m n m n

m n m nf m n

n n m

− = − + − + = − + = − ⇒ ⇔

+ + = + + = −= + + = − ⇒ = − =

( )11 4 2

11

1 3 1 34 3 4 4 2 4 2

4 2 4 2 4 2x x

f x dx px p p p p

−−

= ⇒ − + = ⇒ − + − − − = ⇒ = ⇒ = ∫ .

c) ( ) ( )4 3 2 4 3 2

3 2

00 04 3 2 4 3 2

xx x

t t t x x xf t dt t mt nt p dt m n pt m n px

= + + + = + + + = + + +

∫ ∫ şi

( )

3 24

4 4

0

11 14 3 2lim lim

4

x

x x

x xx m n px

f t dtx x→+∞ →+∞

+ + += =∫ .

26. Se consideră funcŃiile f , g : (0,+ ∞)→R definite prin f (x) =1+ ln x şi g (x) = xln x . a) Să se arate că g este o primitivă a funcŃiei f .


e

f x g x dx⋅∫ .

c) Să se determine aria suprafeŃei plane cuprinse între graficul funcŃiei g, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x =1 şi x = e .

R. a) ( ) ( ) ( ) ( )1' ln ' ' ln ln ' ln ln 1g x x x x x x x x x x f x

x= = + = + ⋅ = + = ⇒ g este o primitivă a funcŃiei f.

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

22 2 2

11 1

1' 1

2 2

ueudu Ce e

g xf x g x dx g x g x dx g e g

= +∫⋅ = ⋅ = = − =∫ ∫

( )2

2 2 2 2 2 21 1ln 1 ln 1 1

2 2 2e

e e e= − = ⋅ = .

c) ( ) ( )3 3

2 2 2

11

2 2 2 2ln ln ln ln

3 3 9 3 3 9

ee

f

x eVol C f x dx x x e eπ π π

= = − + = − + − ∫

3 321 2 2 2 2 1 2 5 2

ln 1 ln1 13 3 9 3 3 9 3 9 27

e eπ

− − − + = − + − ⋅ = .

Am calculat primitiva:


18

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 3 32 2 2 2 2 2 2

3 3 3 32 2

2

3 32 2

2 2 1ln ln ln ln ln

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2ln ln ln ln .

3 9 9 3 3 3 9

1 1ln ' 2 ln ln '

' '3 3

x x xf x dx x xdx x x xdx x x x dx

x x x xx x C x x C

f x x f x x f x x f xx x

x xg x x g x g x x g x

= = − = − − =

= − + ⋅ + = − + +

= ⇒ = ⋅ = ⇒ =

= ⇒ = = ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫

27. Se consideră funcŃia f :R→R, f (x)=x

1004+2009x .

a) Să se determine ∫ f (x)dx . b) Să se arate că orice primitivă a funcŃiei f este funcŃie crescătoare pe R.


2

0x f x dx⋅∫ .

R. a) ( ) ( )1005

1004 20092009 +

1005 ln 2009

xx x

f x dx x dx C= + = +∫ ∫ .

b) Fie F :R→R o primitivă a funcŃiei f, atunci F'(x) = f(x) şi x1004 >0, 2009x>0 ⇒ f(x)>0, atunci F este funcŃie crescătoare pe R.

c) ( ) ( )2 2

120101 1 1 12 2008 2009

0 0 0 00

12009 2 2009

2 2010x x x

x f x dx x x dx x dx x dx⋅ = ⋅ + = + ⋅ = +∫ ∫ ∫ ∫

( )2

2

11 '2

00

1 1 1 2009 1 1 2009 12009

2 2010 2 ln 2009 2010 2 ln 2009 ln 2009

ua du xx x dx

∫ + ⋅ = + ⋅ = + − = ∫

1 1 20082010 2 ln 2009

= + ⋅ .

28. Se consideră funcŃia f:R→R, ( )2

2

2 1

1

x xf x

x

+ +=

+.

a) Să se determine ( ) ( )2 1x f x dx+ ⋅∫ .

b) Să se verifice că ( ) ( )1

0ln 2f x dx e=∫ .

c) Să se arate că ( ) ( ) ( )1

0' 1f x

f x e dx e e⋅ = −∫ .

R. a) ( ) ( ) ( )2 21 1x f x dx x+ ⋅ = +∫2

2

2 1

1

x x

x

+ +⋅

+( )

32 22 1

3x

dx x x dx x x C= + + = + + +∫ ∫ .

b) ( )( ) ( )

''221 1 1 1 11 22 2 20 00 0 0 0

11 2 21 1 ln 1

1 1 1

udu

uxx x xf x dx dx dx x dx x

x x x

∫++ + = = + = + = + + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫

( )ln ln 2 ln1 ln 2e e= + − = .

c) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ' 1 1 0 2 1

00 0' 1f x f x f x f f

f x e dx e dx e e e e e e e⋅ = = = − = − = −∫ ∫ .


0 1

xeI dx

x=

+∫ şi 1

0 1

xxeJ dx

x=

+∫ .

a) Să se verifice că I + J = e −1.

b) Utilizând, eventual, inegalitatea ex ≥ x + 1, adevărată pentru orice x0R , să se arate că 12

J ≥ .


19

c) Să se demonstreze că ( )

1

20

22 1

xe eI dx

x

−= +

+∫ .

R. a) ( )1 1 1 1

0 0 0 0

1

1 1 1 1 1

xx x x x x x e xe xe e xe e xe

I J dx dx dx dxx x x x x

+ ++ = + = + = = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫

1

1x +

1

01

dx =∫

1 1 1 0

001x xe dx e e e e= = = − = −∫ .

b) Luând [ ]

( ) ( )[ ]

0 1 0

0,1 0,11 1 : 1

1

xx xx x

x x

xee x x xe x x x x

x

≥ + ≥

∈ ∈≥ + ⋅ ⇒ ≥ + + ⇒ ≥ ⇒

+

121 1

0 00

11 2 2

xxe xdx xdx J J

x⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥

+∫ ∫ .

c) Aplicăm metoda integrării prin părŃi pentru calculul integralei definite I :

( )( ) ( )

( )

11 1 1 1'

2 20 0 0 0

0

1

20

1 11

1 1 1 21 1

2.

2 1

x x xx x

x

e e e eI dx e dx e dx dx

x x x x x

e edx

x

= = ⋅ = − ⋅ − = − + = + + + + +

−= +

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫

30. Pentru orice număr natural n se consideră ( )1

01

n

nI x x dx= +∫ .

a) Să se calculeze I1 .

b) Utilizând faptul că ( ) ( ) 11 1

n nx x

++ ≤ + , pentru orice n0N şi x0[0,1], să se arate că I2009 ≥I2008 .

c) Folosind, eventual, identitatea ( ) ( ) ( )11 1 1

n n nx x x x

++ = + − + , adevărată pentru orice n0N şi x0R,

să se arate că ( )( )

12 11 2

n

n

nI

n n

+⋅ +=

+ +.

R. a) ( ) ( )11 2 31

21

000

1 1 3 2 51

2 3 2 3 6 6x x

I x x dx x x dx +

= + = + = + = + = = ∫ ∫

b) Din ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 , 0 1 1

n n n nx x x x x x x x

+ ++ ≤ + ⋅ ≥ ⇒ + ≤ + şi pentru n = 2008 se obŃine:

( ) ( )2008 20091 1x x x x+ ≤ + . Integrăm pe intervalul [0,1] ⇒

( ) ( )1 1

2008 2009

2008 2009 2009 2008

0 0

1 1x x dx x x dx I I I I+ ≤ + ⇒ ≤ ⇒ ≥∫ ∫ .

c) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )1

1 2 1111

' 100 0

1 11 1 1

2 1

aplicam n nu x xegalitatea

n n n

ndata u x

x xI x x dx x x dx

n n

+ += ++

=

+ + = + = + − + = − = + + ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 12 1 2 2 1 2 1 22 2 1 12 1 2 1 1 2

n nn n n n n n

n n n n n n

+ ++ + + ⋅ − + ⋅ − + + += − − + = =

+ + + + + +

12 2 2n n+ +=

2n− −( ) n− 1 n− +

( ) ( ) ( ) ( )

12 2 11 2 1 2

nn

n n n n

++ ⋅ +=

+ + + +.

31. Se consideră funcŃia f:R→R, f (x)=xe

x.

a) Să se determine ( )1

0

xf x e dx−∫ .


20

b) Să se arate că ( )1

0'' 2 1f x dx e= −∫ .


2

1

f xdx

x∫ .

R.a) ( )0

121 1 1

0 0 001

12 2

x x x

e

xf x e dx x e e dx xdx

− −

=

= ⋅ = = =∫ ∫ ∫��.

b) ( ) ( ) ( )' ' ' 1x x x x xf x x e x e e xe e x= + = + = + şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 0

0 00'' ' 1 1 1 - 1 0 2 1xf x dx f x e x e e e= = + = + + = −∫ .

c) ( )2 22

1

f x xdx

x=∫

2xe

x( ) ( ) ( )2 2 2

22 2 22 4 3

1 1 1 1

1 1 1' 1

2 2 2 2x x x e

dx xe dx e x dx e e e e= = ⋅ = = − = −∫ ∫ ∫ .

32. Se consideră funcŃiile f,g:[0,1]→R, f(x)=1−x , g(x)=1 − x + x2 − x3 +...+ x2008 − x2009 . a) Să se determine mulŃimea primitivelor funcŃiei f. b) Să se determine volumul corpului obŃinut prin rotaŃia în jurul axei Ox, a graficului funcŃiei f .

c) Să se arate că ( ) ( )1

01 1x g x dx+ <∫ .

R. a) ( ) ( )2

12x

f x dx x dx x C= − = − +∫ ∫ .

b) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 122 2

0 0 0 0 01 1 2fVol C f x dx x dx dx xdx x dxπ π π= = − = − + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

13

2

0

13x

x xπ π

= − + =

1−13 3

π + =

.

c) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1

2 3 2008 2009 2010

0 0 01 1 1 ... 1x g x dx x x x x x x dx x dx+ = + − + − + + − = − =∫ ∫ ∫

12011

0

11 1

2011 2011x

x

= − = − <

.

33. Pentru orice număr natural nenul n se consideră, 1

0 1

n

n

xI dx

x=

+∫ .

a) Să se calculeze I1.

b) Să se arate că 1

11n n

I In

+ + =+

, oricare ar fi n∈N*.

c) Utilizând, eventual, inegalitatea 2 1

n nnx x

xx

≤ ≤+

, adevărată pentru orice x∈[0,1] şi n∈N*, să se

demonstreze că 2009

12010 1

2I≤ ⋅ ≤ .

R. a) ( )1 1 1 1

1 00 0 0

1 1 11 ln 1 1 ln 2 ln

1 1 1 2x x e

I dx dx dx x xx x x

+ − = = = − = − + = − = + + + ∫ ∫ ∫ .

b) ( )1 11 1 1 1

1 0 0 0 0

1

1 1 1 1 1

nn n n n

n n

x xx x x xI I dx dx dx dx

x x x x x

+ +

+

+ + = + = − = = + + + + +

∫ ∫ ∫ ∫ 111

00

11 1

nn x

x dxn n

+

= = =+ +∫ .


21

c) 2 1

n nnx x

xx

≤ ≤+

, ∀x∈[0,1] şi n∈N*⇒

2009 20092009

2 1x x

xx

≤ ≤+

, ∀x∈[0,1] şi folosind monotonia integralei

definite obŃinem: 2009 20091 1 1 2009

0 0 02 1x x

dx dx x dxx

≤ ≤+∫ ∫ ∫ ⇒

1 12010 2010

2009 2009 2009

0 0

1 1 12010 2010 1

2 2010 2010 2 2010 2010 2x x

I I I≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⋅ ⇒ ≤ ⋅ ≤⋅ ⋅

.

34. Se consideră funcŃiile f, g:(0,+∞)→R, f (x)=x

2+xln x şi g(x)=2x+lnx+1. a) Să se arate că f este o primitivă a funcŃiei g.


e

f x g x dx∫ .

c) Să se determine aria suprafeŃei plane cuprinse între graficul funcŃiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x = 1 şi x = e.

R. a) f este primitivă a lui g dacă f '(x) = g(x), ∀∈(0,+∞).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1' ' ln ' 2 ' ln ln ' 2 ln 2 ln 1f x x x x x x x x x x x x x x g x

x= + = + + = + + ⋅ = + + = .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 11

1'

2 2

e

e e f x f e ff x g x dx f x f x dx

−= ⋅ = = =∫ ∫

2 2 2ln 1 1ln1 12 2

e e e e e+ − − + −= = .

c)

( ) ( ) ( )3 2

2 2

1 1 1 11 1

2

ln ln ln3 2

e ee e e e

f

x xAria f x dx x x x dx x dx x xdx x

x

Γ = = + = + = + −

−

∫ ∫ ∫ ∫

12 x

⋅3 2 3 2 2

1 11

3 2 2 3 2

1 1 1 1ln ln1

3 3 2 2 2 3 2 3 4

1 1 1.

3 2 3 4 4 3 4 12

ee ee e e e x

dx e xdx

e e e e e

= − + − − = + − − =

= + − − + = + −

∫ ∫

35. Se consideră funcŃiile f,F:R→R, ( ) 23 2xf x e x= + + şi ( ) 3 2 1xF x e x x= + + − .

a) Să se arate că funcŃia F este o primitivă a funcŃiei f.


0f x F x dx⋅∫ .

c) Să se demonstreze că ( ) ( )( ) ( )1

01xf x F x dx F+ =∫ .

R. a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2' ' ' 2 ' 1'=e 3 2x xF x e x x x f x= + + − + + = .

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 2 2

1 1

0 00

1 0'

2 2

F x F Ff x F x dx F x F x dx

−⋅ = ⋅ = = =∫ ∫

1e +=

2 1+ −( ) ( ) ( )2 20 21 2

2 2

e e− − += .

c) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1

0 0 0' 'xf x F x dx x F x x F x dx x F x dx+ = ⋅ + ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1

01 1 0 0 1x F x F F F= ⋅ = ⋅ − ⋅ = .

Clase de resturi – probleme clasa a XII-a

1

Clase de resturi

Tabla adunării şi tabla înmulŃirii în Z5: Tabla înmulŃirii în Z6 şi tabla adunării în Z6:

Tabla adunării din Z8: Tabla înmulŃirii în Z8:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 0 1 2 3 4 5 6 7

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 0 2 4 6 0 2 4 6

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 0 3 6 1 4 7 2 5

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 0 4 0 4 0 4 0 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ5 0 5 2 7 4 1 6 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 0 6 4 2 0 6 4 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ7 0 7 6 5 4 3 2 1

i

Tabla înmulŃirii în Z11:

�

�

�

�

�

�

�

�

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 92ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 0 3 6 9 1 5 7 10 2 5 83

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 74

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5 0 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ6 0 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5ˆ ˆ7

8̂

9̂

10

i

�

�

�

�

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0 1 2 3 4 5 6 7

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 2 3 4 5 6 7 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 2 3 4 5 6 7 0 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 3 4 5 6 7 0 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ4 4 5 6 7 0 1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ5 5 6 7 0 1 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ6 6 7 0 1 2 3 4 5

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ7 7 0 1 2 3 4 5 6

+

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3 4 5

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 0 0 0 0 00

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 51

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 2 4 0 2 42

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 3 0 3 0 33

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0 4 2 0 4 24

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5 0 5 4 3 2 1

i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3 4 5

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 50

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 3 4 5 01

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 3 4 5 0 12

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 4 5 0 1 23

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ4 5 0 1 2 34

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5 5 0 1 2 3 4

+ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 0 1 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 0 2 4 1 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 0 3 1 4 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 0 4 3 2 1

⋅ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 3 4 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 3 4 0 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 3 4 0 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 0 1 2 3

+


2

Probleme propuse bacalaureat 2007

1. DeterminaŃi inversul lui 3̂ în Z11 în raport cu operaŃia de înmulŃire.

2. a) DeterminaŃi simetricul lui 7̂ în Z8 în raport cu operaŃia de adunare.

b) CalculaŃi suma S = 7̂6̂5̂4̂3̂ ++++ în Z8.

3. CalculaŃi produsul 7̂6̂5̂4̂3̂2̂1̂ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ în Z8.

4. CalculaŃi suma elementelor din Z14.

5. DeterminaŃi 6ˆ Z∈y astfel încât 3̂ˆ3̂ =⋅ y .

6. DeterminaŃi 9ˆ Z∈x astfel încât 1̂5̂ˆ =⋅x .

7. DeterminaŃi 8ˆ Z∈x astfel încât 0̂3̂ˆ =+x .

8. CalculaŃi produsul elementelor inversabile faŃă de înmulŃire în Z5.

9. CalculaŃi 20072̂ în Z12.


11. RezolvaŃi în Z5 ecuaŃia .3̂4̂ˆ2̂ =+⋅ x

12. RezolvaŃi în Z6 ecuaŃia .4̂2̂ˆ4̂ =+⋅ x

13. RezolvaŃi în Z8 ecuaŃia .4̂ˆ2̂ =⋅ x

14. CalculaŃi probabilitatea că un element din Z6 să verifice relaŃia .0̂ˆ3̂ =⋅ x

Probleme propuse bacalaureat 2008

1. Se consideră inelul (Z6 ,+,A) , unde { }6

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5=Z

a) Să se rezolve ecuaŃia ˆ ˆˆ2 5 1x + = , x0Z6 .

b) Să se calculeze determinantul

ˆ ˆ ˆ1 2 3

ˆ ˆ ˆ2 3 1

ˆ ˆ ˆ3 1 2

în Z6 .

c) Să se rezolve în Z6 sistemul de ecuaŃii ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ2 5

x y

x y

+ =

+ =.

2. Se consideră (Z8,+,A) inelul claselor de resturi modulo 8. a) Să se calculeze în Z8 suma ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 3 4 5 6 7S = + + + + + + . b) Să se calculeze în Z8 produsul elementelor inversabile ale inelului.

c) Să se rezolve în Z8 sistemul ˆ ˆˆ2 5 2

ˆ ˆ ˆ3 2 5

x y

x y

+ =

+ =.

3. Se consideră inelul (Z6 ,+,A) .


3

a) Să se calculeze numărul elementelor inversabile în raport cu înmulŃirea din inelul (Z6 ,+,A). b) Se consideră S suma soluŃiilor ecuaŃiei ˆ ˆ ˆ2 1 5x + = şi P produsul soluŃiilor ecuaŃiei x2 = x , unde x0Z6 . Să se calculeze S + P. c) Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din inelul (Z6 ,+,A), acesta să fie soluŃie a ecuaŃiei 3 0̂x = .

4. În mulŃimea M3 (Z8 ) se consideră matricele 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 0 0 1 0 0 1 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 3 0 , 2 3 0 , 0 1 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ0 0 5 3 7 5 0 0 1

A B I

= = =

Se notează X 2 = X A X , pentru ∀X 0M3 (Z8 ) . a) Să se arate că A2

= I3 . b) Să se rezolve ecuaŃia matricială AA X = I3 , unde X 0M3(Z8) . c) Să se calculeze (B − A)2

.

Rezolvări probleme bacalaureat 2007

1. DeterminaŃi inversul lui 3̂ în Z11 în raport cu operaŃia de înmulŃire.

R. Din tabla înmulŃirii în Z11⇒ ˆ ˆ ˆ3 4 1⋅ = şi atunci 1ˆ ˆ3 4− =

2. a) DeterminaŃi simetricul lui 7̂ în Z8 în raport cu operaŃia de adunare.

b) CalculaŃi suma S = 7̂6̂5̂4̂3̂ ++++ în Z8.

R. a) Din tabla adunării în Z8⇒ ˆ ˆ7̂ 1 0+ = şi atunci ˆ7̂ 1− =

b) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 4 5 6 7 7 5 6 7 4 6 7 2 7 1+ + + + = + + + = + + = + =

3. CalculaŃi produsul 7̂6̂5̂4̂3̂2̂1̂ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ în Z8.

R.łinând cont că înmulŃirea este comutativă, calculăm ˆ ˆ ˆ2 4 0⋅ = şi atunci produsul este 0̂

4. CalculaŃi suma elementelor din Z14.

R. � � � �ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13+ + + + + + + + + + + + + =

�( ) �( ) �( ) �( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0 00 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ1 13 2 12 3 11 4 10 5 9 6 8 7 7

= == = = =

= + + + + + + + + + + + + =

5. DeterminaŃi 6ˆ Z∈y astfel încât 3̂ˆ3̂ =⋅ y .

R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ3 1 3, 3 2 0, 3 3 3, 3 4 0, 3 5 3⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = şi atunci { }ˆ ˆ ˆˆ 1, 3,5y∈ .


4

6. DeterminaŃi 9ˆ Z∈x astfel încât 1̂5̂ˆ =⋅x .

R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7 8

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ5 0 5 1 6 2 7 3 8 4

i

⇒ ˆˆ 2x =

7. DeterminaŃi 8ˆ Z∈x astfel încât 0̂3̂ˆ =+x .

R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ3 3 4 5 6 7 0 1 2

+⇒ ˆˆ 5x =

8. CalculaŃi produsul elementelor inversabile faŃă de înmulŃire în Z5.

R. Elementele inversabile sunt: ˆ ˆ ˆ ˆ1,2,3,4 şi produsul lor ˆ ˆ2 3 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3 4 4⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ =


R. ˆ ˆ2 3 4 5 6ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 4, 2 8, 2 4, 2 8, 2 4= = = = = şi se repetă aceleaşi valori, atunci 2007=1003A2+1 şi

2007ˆ ˆ2 4= .

10.CalculaŃi 20074̂ în Z8.

R. 1 2 3 2 2007ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4,4 0,4 4 4 0 4 0,..., 4 0= = = ⋅ = ⋅ = =

11.RezolvaŃi în Z5 ecuaŃia .3̂4̂ˆ2̂ =+⋅ x

R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 4 3 1 2 4 2x x x⋅ + = + ⇒ ⋅ = ⇒ =

12.RezolvaŃi în Z6 ecuaŃia .4̂2̂ˆ4̂ =+⋅ x

R. { }ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ4 2 4 4 4 2 2,5x x x⋅ + = + ⇒ ⋅ = ⇒ ∈

13.RezolvaŃi în Z8 ecuaŃia .4̂ˆ2̂ =⋅ x

R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 1 2 3 4 5 6 7

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 0 4 0 4 0 4 0 4

i

⇒ { }ˆ ˆ ˆ ˆˆ 0, 2, 4,6x =

14.CalculaŃi probabilitatea că un element din Z6 să verifice relaŃia .0̂ˆ3̂ =⋅ x

R. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 1 2 3 4 5

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 0 3 0 3 0 3

i

⇒ { }ˆ ˆ ˆˆ 0, 2, 4x =

Legi de compoziţie Bacalaureat 2014-2016

Structuri algebrice

1. Monoid Fie (M,*), MxMM, (x,y)x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului: M1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zM (asociativitatea); M2. eM astfel încât x*e = e*x = x, xM (e element neutru); dacã M3. x*y = y*x, x,yM monidul este comutativ. Ex: 1. (N,+), (N,) sunt monoizi comutativi; 2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:EE, E – nevidã, o – compunerea funcţiilor). 2. Grup Fie (G,*), GxGG, (x,y)x*y, G-nevidã. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z), x,y,zG(asociativitatea); G2. eG astfel încât x*e = e*x = x, xG (e element neutru); G3. xG x’G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x); dacã G4. x*y = y*x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian). Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative; 2. (Rn,) – grupul resturilor modulo n, comutativ; 3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z; 4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate),

comutativ; 5. (n, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este comutativ; Definiţia 2.1. Fie (G,*) grup, HG, H este subgrup dacã x,yH x*yH şi xH x’H (x’ este simetricul lui x în raport cu operaţia *); Fie grupurile (G1,), (G2,): Definiţia 2.2. f:G1G2 se numeşte morfism de grupuri dacã f(xy)=f(x)f(y), x,yG1. Definiţia 2.3. f:G1G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi f(xy)=f(x)f(y), x,yG1. Definiţia 2.4. f:G1G2 se numeşte automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f este un izomorfism (morfism). 3. Inel Fie (A,+,), AxAA, (x,y)x+y şi AxAA, (x,y)xy, A nevidã; Definiţia 3.1. (A,+,) este inel dacã: G. (A,+) este grup abelian; M. (A,) este monoid şi D. este distributivã faţã de +: x(y+z) = xy + yz (y+z)x = yx + yz, x,y,zA


dacã C. xy = yx x,yA, inelul este comutativ. Exemple de inele: 1. (Z,+,) – inelul numerelor întregi; 2. (Z[i],+, ) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,bZ} 3. (Rn,,) – inelul resturilor modulo n; 4. (Mn(A),+,) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A); 5. (Zn,+,) – inelul claselor de resturi modulo n.

Fie inelele (A,,*) şi (A’,,o): Definiţia 3.1. f:AA’ se numeşte izomorfism de inele dacã f este bijectivã şi f(xy)

= f(x)f(y), f(x*y) = f(x)of(y), x,yA. Definiţia 3.2. (A,+,) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x0, y0 implicã xy0. Definiţia 3.3. Un inel comutativ cu cel puţin douã elemente şi fãrã divizori ai lui

zero se numeşte domeniu integritate. Definiţia 3.4. Dacã (A,+,) este inel, atunci (A[X],+ ,) este inelul comutativ al

polinoamelor cu coeficienţi în A. fA[X], f = a0 + a1X + a2X2 + … + anXn este forma algebricã a unui polinom de

nedeterminatã X cu coeficienţi în A: - dacã an0, grad f = n (an – coeficient dominant); - dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -.

Proprietãţi: 1. grad (f+g) max{grad f, grad g}; 2. grad fg grad f + grad g.

Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate şi grad fg = grad f + grad g, f,gA[X]. 4. Corp Fie (K,+,), KxKK, (x,y)x+y şi KxKk, (x,y)xy, K – nevidã. Definiţia 4.1. (K,+,) este corp dacã (K,+,) este inel, 01 şi xK, x0 x-1K, astfel încât xx-1 = x-1 x = 1. Dacã xy = yx, x,yK, corpul este comutativ. Exemple de corpuri: 1. (Q,+,) – corpul numerelor raţionale; 2. (R,+, ) – corpul numerelor reale; 3. (C,+, ) – corpul numerelor complexe;

4. (Q( d ),+,) – corpul numerelor pãtratice (dZ, d – liber de pãtrate); 5. (Zp,+, ) – corpul claselor de resturi modulo p (pN*, p >1, p – numãr prim).

Definiţia 4.2. Fie corpurile (K,,*) şi (K’,,o), f:KK’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(xy) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,yR.


Caz general Fie pe R operaţia x y=axy-abx-aby+b(ab+1), x,y R. Se cere:

1. Să se arate că, x,y R x y=a(x-b)(y-b)+b; 2. Să se arate că f :RR, f(t)=a(t-b), este funcţie bijectivă care verifică totodată

f(x y)=f(x) f(y), x,y R; 3. În cazul alegerii a > 0 considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a< 0

considerând H =(- ;b), să se arate că, x,y H, are loc x y H; 4. În cazul alegerii a > 0 considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a< 0

considerând H =(- ;b), să se arate că f :HR+* , f(t)=a(t-b), este izomorfism de la

(H; ) la (R+* ; ) ;

5. Să se arate că, x,y R, are loc x y = y x ; 6. Să se arate că x,y Q\ Z încât x y Z; 7. Să se arate că x,y R\ Q încât x y Z; 8. Să se arate că x,y,z R, are loc ( x y ) z = x ( y z ) ; 9. Să se arate că e R încât, x R, verifică x e = e x = x ;

10. Să se arate că, x R\{ b }, x' R\{ b } încât x x'= x' x= 1

a+ b;

11. În cazul alegerii a > 0, considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a<0, considerând H=(- ;b), să se determine ce fel de structură este (H, );

12. Să se rezolve ecuaţia 1

x b x a A B Ca

, x (0,+ ), unde A="an"-b-c,

B="an"-b+c, C=ac2+b, c Z; 13. Să se arate că R încât x R verifică x = x = ; 14. Să se determine valoarea expresiei

E=(-"an") (-"an"+1) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... ("an"-1) ("an"); 15. Să se arate că, x,y,z R, x y z=a2(x-b)(y-b)(z-b)+b; 16. Să se rezolve în R ecuaţia ("an"x2-x+b) (x2-"an"x+b)=b; 17. Să se rezolve în R ecuaţia (b-|b|+dx) (logdx) (b-1+Cx

”an”)=b, d N, d 2;

18. Să se arate că 1...nn

de nori

A A A a A b b

, n N, A fiind un număr real liber

ales, spre exemplu A = ”an”; 19. Să se determine cel mai mic număr n N* cu proprietatea (b+1) (b+2) (b+3) ... n

"an"; 20. Să se rezolve în R ecuaţia x x x x x=a4 A5+b, A fiind un număr real liber ales, spre

exemplu A = ”an”. Rezolvare 1. Se verifică imediat, prin calcul direct:

x y=a(x-b)(y-b)+b=a(xy-bx-by+b2 )+b=axy-abx-aby+b(ab+1) 2. Justificarea bijectivităţii funcţiei f :RR, f(t)=a(t-b), este imediată, ca funcţie de

gradul întâi. Conform cu


x y=a(x-b)(y-b)+b x y-b=a(x-b)(y-b)| a a(x y-b)=a(x-b) a(y-b) este chiar cerinţa, respectiv f(x y)=f(x) f(y).

3. Fie x H (x-b)0 şi y H (y-b)0 şi atunci (x-b)(y-b)0, dar cum a este constantă nenulă şi de semn prestabilit, apartenenţa a(x-b)(y-b)+b=x y H este justificată.

4. Variaţia funcţiei f :RR, f(t)=a(t-b), studiată anterior, arată imediat că restricţia f :H R*

+ este bijectivă. Tot din datele anterioare, este evident că H este parte stabilă a structurii (R; ) (item 3) şi că are loc proprietatea de morfism +(item 2), izomorfismul fiind astfel demonstrat.

5. Comutativitatea este imediată

6. Luând x y=a(x-b)(y-b)+b şi alegând x-b=2

3 şi y-b=

3

2, deoarece b Z, evident x,y Q\Z

şi x y=a+b Z.

7. Pe aceeaşi idee, alegând x-b= 2 -1 şi y-b= 2 +1, se va obţine x,y R\Q şi x y=a+b Z. Se observă că alegerea nu este unică, admiţând chiar o infinitate de posibilităţi.

8. Asociativitatea se demonstrează prin calcul

9. Din x y=a(x-b)(y-b)+b şi x e=x conduce la a(x-b)(e-b)+b=x din care se obţine 1

e ba

10. Dubla egalitate x x'=x' x=1

ba se reduce de fapt la x x'=

1b

a care se exprimă în

forma a(x-b)(x'-b)+b=1

ba , obţinând

2

1'x b

a x b

care este în mod evident din

R\{b}, justificând afirmaţia din item 10. 11. Structura (H; ) se dovedeşte grup comutativ, verificarea proprietăţilor fiind asigurată de

concluzii anterioare.

12. Cum 1 1

,e b x b x a A B Ca a

devine x x=a A B+C, adică a(x-

b)2+b=a ("an"-b-c)×("an"-b+c)+ac2+b. Observând diferenţa de pătrate, din a(x-b)2=a [("an"-b)2-c2]+ac2 se obţine (x-b)2=("an"-b)2 şi în final x="an", în condiţia alegerii evidente 2b-"an"<0<"an"-b.

13. Din x y=a(x-b)(y-b)+b se observă q=b cu proprietatea menţionată, x = x=. 14. Cum =b se regăseşte printre „factorii” ce compun expresia E , răspunsul la este

E==b. 15. Se obţine prin calcul folosind x y=a(x-b)(y-b)+b. 16. Ecuaţia ("an"x2-x+b) (x2-"an"x+b)=b devine ("an"x2-x)(x2-"an"x)=0 şi răspunsul va fi

10;"an";

"an"x

.

17. Ecuaţia devine (dx-|b| )(logd x-b ) "an" 1xC =0 , deci log ; ;0;"an"bdx b d .

18. Izomorfismul conduce imediat la 11 2

1

...n

nn k

k

x x x a x b b

şi astfel

identitatea 1...nn

de n ori

A A A a A b b

este evidentă.


19. (b+1) (b+2) (b + 3) ... n=an-b-1 (n-b)!+b şi astfel se determină imediat răspunsul. 20. x x x x x=a4 (x-b)5+b şi a4 (x-b)5+b =a4 A5+b soluţia x=A+b. Exemplul (corespunzător alegerii a=1, b=5, c=5 şi d=2) Fie pe R operaţia x y=xy-5x-5y+30,x,y R. Se cere: 1) Să se arate că, x,y R, x y=(x-5)(y-5)+5; 2) Să se arate că f :RR, f(t)=t-5, este funcţie bijectivă, care verifică totodată f(x y)=f(x) f(y), x,y R. 3) Considerând H = (5;+ ), să se arate că, x,y H, are loc x y H; 4) Considerând H = (5;+ ), să se arate că f :HR+

*, f(t)=t-5, este izomorfism de la (H; ) la ( R*

+ ; ); 5) Să se arate că, x,y R, are loc x y = y x ; 6) Să se arate că x,y Q\Z încât x y Z; 7) Să se arate că x,y R\ Q încât x y Z; 8) Să se arate că, x,y,z R, are loc ( x y) z = x ( y z ) ; 9) Să se arate că e R încât x R verifică x e = e x = x ; 10) Să se arate că, x R\{ 5 }, x' R\{5} încât x x'=x' x=6; 11) Considerând H = (5;+ ), să se determine ce fel de structură este (H, ); 12) Să se rezolve ecuaţia x 6 x=1999 2009+30, x (0,+ ) ; 13) Să se arate că R încât x R verifică x = x = ; 14) Să se determine valoarea expresiei E=(-2009) (-2008) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... 2008 2009; 15) Să se arate că, x,y,z R, x y z=(x-5)(y-5)(z-5)+5; 16) Să se rezolve în R ecuaţia (2009x2-x+5) (x2-2009x+5)=5; 17) Să se rezolve în R ecuaţia (2x) (log2x) (4+Cx

2009)=5; 18) Să se arate că 2009

2009

2009 2009 ... 2009 2004 5de ori

19) Să se determine cel mai mic număr n N*, cu proprietatea 6 7 8 ... n2009; 20) Să se rezolve în R ecuaţia x x x x x=20095+5 Rezolvare 1. Se calculează (x-5)(y-5)+5=xy-5x-5y+25+5=xy-5x-5y+30=x y 2. Funcţie de gradul I, bijectivă.

f(x y)=f((x-5)(y-5)+5)= (x-5)(y-5)+5-5=(x-5)(y-5)=f(x) f(y).

3. 5 5 05 5 0 5 5 5 5 5

5 5 0

x H x xx y x y

y H y y

x y>5 x y H 4. Calculând f ‘(t)=1>0 f este strict crescătoare pe (5, ) şi deci bijectivă pe (5, ).

Morfismul este demonstrat la itemul 2. 5. x y=xy-5x-5y+30=yx-5y-5x+30=y x


6. Alegem x-5=2

3 şi y-5=

3

2 obţinem

2 175 \

3 3x Q Z şi

3 135 \

2 2y Q Z şi

calculăm 17 13 17 13 2 3

5 5 5 5 1 5 63 2 3 2 3 2

Z .

7. Alegem x-5= 2 -1 şi y-5= 2 +1 x= 2 +4 R\Q şi y= 2 +6 R\Q şi calculăm

2 4 2 6 2 4 5 2 6 5 5

2 1 2 1 5 2 1 5 6 Z .

8. Asociativitatea: ( x y) z=[(x-5)(y-5)+5] z=[(x-5)(y-5)+5-5](z-5)+5=(x-5)(y-5)(z-5)+5 x ( y z) =x [(y-5)(z-5)+5]=(x-5)[(y-5)(z-5)+5-5]+5=(x-5)(y-5)(z-5)+5

9. Elemental neutru x e=x xe-5x-5e+30=x xe-5e=6x-30 e(x-5)=6(x-5) e=6 H.

10. x x’=6 xx’-5x-5x’+30=6 xx’-5x’=5x-24 x’(x-5)=5x-24 5 5 15 24 5 25 1 1

' 5 55 5 5 5

xx xx

x x x x

x’ R\{5}

11. Din 5) H este parte stabilă, din 8) rezultă asociativitatea, din 9) elementul neutru, din 9) elementul simetric şi din 5) comutativitatea (H, ) formează o structură de grup comutativ.

12. x 6 x=(x-5)(6-5)(x-5)+5 şi obţinem (x-5)2+5=1994 2005+30 (x-5)2=(1999-5)(1999+5)+25 (x-5)2=19992-25+25 (x-5)2=19992 x+5= 1999 x1=1994 şi x2=-2004.

13. Determinăm pe astfel încât -5=0 =5. Verificăm: x 5=(x+5)(-5)+5=5. 14. Conform itemului 13) x 5=5 şi în şirul care se compune există numîrul 5, deci E=(-

2009) (-2008) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... 2008 2009=5 15. Exprimarea de la acest punct s-a demonstrat la itemul 8). 16. (2009x2-x+5) (x2-2009x+5)=5 [(2009x2-x+5)-5][(x2-2009x+5)-5]+5=5 (2009x2-

x)( x2-2009x)=0 x(2009x-1)(x-2009)=0 1

0; ;20092009

x

.

17. Conform punctului 15) (2x) (log2x) (4+Cx

2009)= (2x-5)(log2x-5)(4+Cx2009-5)+5=5

2x-5=0 x1=log25 log2x-5=0 x2=25

2009 1 0xC 2009 1xC x3 =0 sau x4 =2009. 18. Generalizând punctul 8) se obţine

2009

2009 2009

2009 2009 ... 2009 2009 5 2009 5 ... 2009 5 5 2004 5de ori de ori

19. 6 7 8 ... n=(5+1-5) (5+2-5) (5+3-5) ... (n-5)+5=1 2 3 ... (n-5)+5=(n-5)!+5 se obţine (n-5)!+52009 (n-5)!2004. Ştim 6!=720 şi 7!=5040, deci n=7.

20. x x x x x=(x-5)(x-5)(x-5)(x-5)(x-5)+5=(x-5)5+5 (x-5)5+5 = 20095+5 (x-5)5=20095 x-5=2009 x=2014.


Probleme propuse 1. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție x y 3xy 3x 3y 2.

a) Arătați că 1 11. b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația xx x. c) Determinați perechile a,bde numerele întregi, ştiind că ab 8.

2. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă x y xy 3x 3y 6. a) Arătați că 0 33. b) Arătați că xy x 3y 33, pentru orice numere reale x şi y. c) Arătați că 3x 3, pentru orice număr real x. d) Verificați dacă e 2 este element neutru al legii de compoziție „”. e)Calculați 2016 2015 ... 3. f) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația xx x 5.

3. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y xy x y 2 . a) Arătaţi că x y x 1y 11, pentru orice numere reale x şi y. b) Calculaţi 012 3. c) Determinaţi numerele reale a, ştiind că a a 2016 2016.

4. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y 6xy 2x 2y 1.

a) Calculați 1

13

b) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie „”.

c) Calculați 1 2 3 2016...

1008 1008 1008 1008

5. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y xy x y. a) Calculaţi 22. b) Arătați că xy x 1y 11, pentru orice numere reale x şi y. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2 x 1. d) Verificați dacă legea de compoziţie „” este asociativă. e) Demonstraţi că numărul nn este multiplu de 8, pentru orice număr natural par n .

f) Dați un exemplu de două numere iraționale a şi b , pentru care abℕ. 6. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă

x y xy 4x 4y 20 . a) Arătați că x y x 4y 44, pentru orice numere reale x şi y. b) Calculați 12 32016. c) Determinaţi numerele naturale a, b şi c, ştiind că a b c şi a b c 66.

7. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție x y xy 2x 2y 2. a) Arătaţi că 1 22 . b) Demonstrați că xy x 2y 22 , pentru orice numere reale x şi y .

c) Determinați numerele reale nenule x, pentru care 1

x xx


8. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă xy2xy10x10y45. a) Arătați că x y 2x 5y 55, pentru orice numere reale x şi y. b) Arătați că 1234 567 89 10 5. c) Determinaţi numerele naturale m şi n, pentru care mn 27.

9. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie dată de x y xy x y . a) Calculaţi 1 2015. b) Arătaţi că x y x 1y 11, pentru orice numere reale x si y. c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3x 5x 1.

10. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie x y x y 2. a) Calculați 2 2 . b) Arătați că legea de compoziţie „” este asociativă. c) Verificaţi dacă e 2 este element neutru al legii de compoziţie „”. d) Determinaţi numărul real x, ştiind că x 1x 3. e) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia 9 3 0x x

f) Arătaţi că 22

10x

x pentru orice număr real nenul x.

11. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă x y xy 7x 7y 56 . a) Arătați că 77 7. b) Arătați că x y x 7y 77, pentru orice numere reale x şi y.

c) Calculați 12 3⋯2015. 12. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie asociativă

x y xy 3(x y) 12 . a) Arătaţi că x3 3x 3, pentru orice număr real x. b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x. c) Calculaţi 12 ... 2014.

13. Pe mulţimea numerelor reale se defineste legea de compoziţie dată de x y x y 1. a) Calculaţi 2 3. b) Verificaţi dacă legea de compoziţie „” este comutativă. c) Arătaţi că legea de compoziţie „” este asociativă. d) Determinaţi numerele reale x pentru care 2 11x x e) Arătaţi că x x 2014x 1012 x 1012, pentru orice număr real x.

f) Determinaţi numărul real nenul x pentru care 1

1xx

14. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y 2x y 1xy. a) Arătaţi că 12 2. b) Arătaţi că x 2 2 x 2 pentru orice număr real x. c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x.

15. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție xy 2xy 3x 3y 6. a) Calculați 12.


b) Arătaţi că3 3 3

22 2 2

x y x y

pentru orice numere reale x şi y.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x x 2. 16. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y xy 5x5y 30.

a) Arătați că 15 5. b) Arătați că x y x 5y 55 pentru orice numere reale x şi y. c) Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuaţia x x x.

17. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y 3x 3y xy 6 . a) Calculaţi 13. b) Arătaţi că x y 3 x 3y 3pentru orice numere reale x şi y. c) Determinaţi numerele reale x pentru care

2014...

x de ori

xx x x .

18. Pe mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie x y x y 3 şi x y (x 3)y33. a) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia x x x x. b) Să se determine numărul întreg a care are proprietatea că x a 3, oricare ar fi numărul întreg x.

c) Să se rezolve sistemul de ecuaţii

1 4

1 5

x y

x y

, unde x, yZ.

19. Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție asociativă x y = 2xy6x6y + 21 . a) Arătați că xy = 2(x3)( y3) + 3 , pentru orice numere reale x şi y . b) Arătați că 12 34 = 3. c) Determinați numerele reale x, pentru care x x x = x .

20. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x * y = x + y - 5. a. Arătaţi că (-2)* 7 = 0 . b. Arătaţi că legea de compoziție „*” este asociativă. c. Arătaţi că (1* 2)*(8*9) = (1*9)*(2 *8) . d. Determinaţi numărul real x , pentru care (x * x)* x = x . e. Determinaţi numărul real x, pentru care 9x *3x = 7 .

f. Demonstrați că 22

13x

x , pentru orice număr real nenul x .

Virgil-Mihail Zaharia

Analiza matematică, clasa a XII-a, probleme bacalaureat 2015-2016 Elemente de analiză matematică, clasa a XII-a D1: Fie I un interval şi f, F:IR. Funcţia F se numeşte primitivă a lui f dacă:

1) F este derivabilă; 2) F ’(x)=f(x), xI

Fie I un interval şi funcţia f:IR care admite primitive. Dacă F1, F2:IR sunt primitive ale funcţiei f, atunci F1(x)=F2(x)+c, xI, cR;

( ) { : primitiva a funcţiei }f x dx F I F f R - integrala nedefinită a funcţiei f;

O funcţie continuă pe un interval admite primitive pe acel interval ; Derivata oricărei funcţii derivabile pe un interval I are proprietatea lui Darboux pe I ; Daca f:IR admite primitive pe intervalul I, atunci f are proprietatea lui Darboux pe I ; Fie f:IR. Dacă imaginea funcţiei pe un subinterval J I nu este interval, atunci f nu

admite primitive pe I ; O funcţie cu puncte de discontinuitate de speţa I nu admite primitive deoarece nu are

proprietatea lui Darboux .

Formula de integrare prin părţi Fie f,g:IR funcţii derivabile cu derivatele continue. Aunci funcţiile f ’· g si f·g’ admit primitive şi .)()()()()()( '' dxxgxfxgxfdxxgxf

Teorema de schimbare de variabilă

Fie I,JR intervale, RJfsiJI :: funcţii cu proprietăţile:

este derivabilă pe I f admite primitiva F pe J

Atunci functia 'f admite primitiva Fo pe I.

Daca este o functie derivabila pe un interval, atunci:

1)

1)()(

1'

adxxx

aa C

2) )(ln)(

)('xdx

x

x

+C, 0

3) a

adxxa

xx

ln)(

)(')(

+C, a>0, a 1

4)

ax

ax

adx

ax

x

)(

)(ln

2

1

)(

)(22

'

+ C, 0, aa

5) a

xarctg

adx

ax

x )(1

)(

)(22

'

+C, a 0

6)

22

22

'

)()(ln)(

)(axxdx

ax

x

+C, 0a

Analiza matematică, clasa a XII-a, probleme bacalaureat 2015-2016

7) 22

22

'

)()(ln)(

)(axxdx

ax

x

+C, 22 a

8) a

xdx

xa

x )(arcsin

)(

)(22

'

+C, aaa ,0

9) )(cos)((x)sin ' xdxx +C

10) )(sin)()(cos ' xdxxx +C

11) )()(cos

)(2

'

xtgdxx

x

+C, IxZkkx ,,

2)12()(

12) )()(sin

)(2

'

xctgdxx

x

+C, IxZkkx ,,)(

13) )(cosln)()( ' xdxxxtg +C, IxZkkx ,,2

)12()(

14) )(sinln)()( ' xdxxxctg +C, IxZkkx ,,)(

D2: O funcţie raţională f, definita pe un interval I, este de forma ,xQ

xPxf Ix ,

,0)( xQ unde XRQP , . D3: O funcţie raţională se numeşte funcţie raţională simplă dacă are una din formele:

1) ( ) ( ),f x P x P X R

2)

*( ) , , ,n

Af x A a n

x a

R N

3)

2 *

2( ) , , , , , 4 0,n

Ax Bf x A B a b a b n

x ax b

R N

Orice funcţie raţională se poate descompune, în mod unic, în suma de funcţii raţionale simple

D4: Fie :F I R o primitiva a functiei continue :f I R . Se numeste integrala definită a

funcţiei f de la a la b, numărul real notat şi definit prin relatia b

a

aFbFdxxf )()()(

(formula Leibniz-Newton)

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxfIc ,

abcfdxxfiabacb

a

..,

b

a

dxxfatuncifDaca 0,ba, pe 0

, ,b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx R


b

a

b

a

dxxgdxxfatuncigfDaca ,ba, pe

, sunt astfel încât m f x , , , atuncib

a

Daca m M M x a b m b a f x dx M b a R

b

a

b

a

dxxfdxxf

D5: Fie , ,a b a b R şi funcţia continuă pozitivă : ,f a b R .

Multimea 2, / , 0f x y a x b y f x R se numeşte subgraficul funcţiei f..

D6: Funcţia : ,f a b R se numeşte continuă pe porţiuni dacă are cel mult un număr

finit, nenul, de puncte de discontinuitate şi acestea sunt puncte de discontinuitate de speţa întâi. -Fie Rbagf ,:, astfel încât baxxgxf ,, şi g este continuă. Atunci f este

integrabilă pe ba, şi b

a

b

a

dxxgdxxf .

-O funcţie : ,f a b R continuă pe porţiuni este integrabilă pe ba, şi

b

a

p

i

c

ci

i

i

dxxfdxxf1

1

, unde 1: , , 1,i i if c c i p R sunt funcţiile asociate lui f.

-Fie RIgf :, derivabile cu derivate continue. Dacă Iba , , atunci:

b

a

b

a

b

a

dxxgxfxgxfdxxgxf .

-Dacă II : este derivabila, cu derivata continuă şi :f I R este continuă, dacă

Iba , , atunci

b

a

b

a

dttfdxxxf

.

-Fie , : ,f g a b R continue a.î. baxxfxg ,, .Dacă

2, , / ,f g x y a x b g x y f x R , atunci aria

b

agf dxxgxf, .

-Fie : ,f a b R continuă. Mulţimea 3 2 2, , /V x y z y z f x R se numeşte

corpul de rotaţie în jurul axei Ox determinat de funcţia f. Volumul acestui corp este

b

a

dxxfV 2 .

-Fie : ,f a b R o funcţie derivabilă cu derivata continuă. Lungimea graficului funcţiei

este b

a

dxxffl 21 .

-Fie : ,f a b R continuă. 3 2 2, , / ,x y z y z f x a x b R se numeste

suprafaţa de rotaţie daterminată de funcţia f. Aria acestei suprafeţe este

b

a

dxxfxff 212 .


Probleme propuse 1. Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = 5x4 + 3x2 +1.

a) Arătaţi că 1

03 1 1f x x dx .

b) Calculaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x =1 şi x = 2 . c) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este crescătoare pe R.

2. Se consideră funcţia f : (0,+∞)→R, 22 1x

f xx

a) Arătaţi că 2

1

13f x dx

x .

b) Demonstraţi că funcţia F : (0,+∞)→R, 2 ln 2016F x x x este o primitivă a

funcţiei f . c) Arătaţi că volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g : [1,2]→R , g ( x) = f ( x) este mai mic decât 14π.

3. Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul 1 2

01

n

nI x dx .

a) Arătaţi că 1

2

3I .

b) Demonstraţi că In+1 ≤ In , pentru orice număr natural nenul n. c) Demonstraţi că 12 3 2 1n nn I n I , pentru orice număr natural nenul n.

4. Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = x33x2 + 2 .

a) Calculaţi 2 2

03 2f x x dx .

b) Arătaţi că 1 3 2

03 2 1f x x x x dx e .

c) Demonstraţi că 1

10

a

af x dx

,pentru orice număr real a .

5. Se consideră funcţia f :RR, f (x) = xex2 .

a) Determinaţi primitiva F a funcţiei f , pentru care F (1) = 0. .

b) Calculaţi 1

0xf x dx .

c) Determinaţi numerele reale x , ştiind că 1

0x

f t dt .

6. Se consideră funcţia f :RR, f (x) = x5 + x3 + 2x.

a) Arătaţi că 1 3

12 0f x x x dx

.

b) Arătaţi că 2 5 3 2

01 3 1xe f x x x dx e .


c) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe R. 7. Se consideră funcţia f :RR, f (x) = (3x +1)ex.

a) Arătaţi că 1

0

1 5

2xf x dx

e .

b) Determinaţi numărul real m , pentru care funcţia F:RR, F (x)=(3x + m)ex este o primitivă a funcţiei f .

c) Determinaţi numărul real nenul a , ştiind că 0

3a

f x dx a .

8. Se consideră funcţia f : (4,+)R, 1

4f x

x x

.

a) Arătaţi că 10

54 ln 2x f x dx .

b) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g :[5,6]R, g (x) = x f (x).

c) Demonstraţi că 12lim 1n

nnn f x dx

.

9. Se consideră funcţia f :RR, f (x) = x + 2.

a) Arătaţi că 1

1( ) 2 0f x dx

.

b) Arătaţi că 1

02 1xe f x dx e .

c) Determinaţi numărul real a , ştiind că 6

0 04

a af x dx f x dx

.

10. Se consideră funcăia f :RR, 2

2 3

3 3

xf x

x x

.


13 3 6x x f x dx .

b) Arătaţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x = 3 are aria egală cu ln 7.

c) Demonstraţi că 0

1' 0f x f x dx

.

11. Se consideră funcţia f :RR, f (x) = x2 + 3x.

a) Arătaţi că 1

13 0f x x dx

.

b) Arătaţi că 1 2

03xf x x e dx .

c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului

funcţiei 3: 1,2 ,

f xg g x

x R .

12. Se consideră funcţia f : (0,+)R, 2

xef x

x .



11x f x dx e e .

b) Demonstraţi că orice primitivă a funcţiei f este convexă pe intervalul [2,+) . c) Demonstraţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x =1 şi x = 2 are aria mai mică sau egală cu e(e -1).

13. Se consideră funcţia f : RR, f (x) = x4 + x +1.

a) Arătaţi că 1

0

11

5f x x dx .

b) Arătaţi că 4

4

1

11

4

e ef x x dx

.

c) Determinaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = 0 şi x =1.

14. Pentru fiecare număr natural n, se consideră numărul 11

0 3

n

n

xI dx

x

.

a) Arătaţi că 0

31 3ln

4I .

b) Demonstraţi că 1

13

2n nI In

, pentru orice număr natural n.

c) Arătaţi că 1

lim4n

nI

.

15. Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = 4x3 + 3x2.


13 15f x x dx

b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F (1) = 2015 .

c) Determinaţi numărul natural n , n >1, ştiind că

219

n f xdx

x .

16. Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = x2 2x + 5.

a) Arătați că 1

0

12 5

3f x x dx .

b) Calculaţi

2

0

'f xdx

f x .

c) Arătați că

2015

2014

1 1

4dx

f x .

17. Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = xex.

a) Arătați că 2

1

11f x dx e e

x .

b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F (1) = 0 .


c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul 1

0

nnI x f x dx .

Arătați că In + (n +1)In1 = e, pentru orice număr natural n , n ≥2. 18. Se consideră funcţia f : R→R , f (x) = x2 + 2 .

a) Arătați că 1

0

12

3f x dx .

b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care F (3) = 5. c) Arătați că suprafaţa delimitată de graficul funcţiei g :R→R , g (x) = ex f (x) , axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x =1, are aria egală cu 3e - 4.

19. Se consideră funcţia f : (0,+∞)→R, 1f x x

x .

a) Arătați că 3

1

14f x dx

x .

b) Arătați că 2 2

1

1 xf x e dx ex

.

c) Determinaţi numărul real a , a >1, ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii x =1 și x = a, are aria egală cu 4 + ln a.

20. Se consideră funcţia f : R→R, f (x) = x2 4.

a) Arătați că 1

0

14

3f x .

b) Determinați aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei g : R→R,

1

5g x

f x

, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x =1.

c) Determinaţi numărul real a , a >1, pentru care

1

412

a f xdx

x

.

Virgil-Mihail Zaharia

Integrala definită Virgil-Mihail Zaharia

2012

1

Integrala definită

Definiţie. Fie f: [ a, b]R, o funcţie care admite primitive pe [a,b] şi F o primitivă a lui f.Numim integrala definită de la a la b a lui f, expresia:

F(b) – F(a) şi notăm: b

a

dxxf )( = F(b) – F(a) (formula lui Leibniz- Newton).

Notaţie: –b

aF b F a F x (citit:”F(x) luat între a şi b).

Reamintim că orice funcţie continuă admite primitive.

Proprietăţi ale integralei definite.

1) Dacă f,g:[a,b]R sunt funcţii continue şi R, atunci:

a) b

a

dxxgxf )]()([ = b

a

dxxf )( + b

a

dxxg )( ;

b) b

a

dxxf )( = b

a

dxxf )( .

2) Dacă f: [ a, b]R, este o funcţie pozitivă şi continuă b

a

dxxf )( 0.

3) Dacă f,g:[a,b]R sunt funcţii continue, cu proprietatea: f(x) g(x), x[a,b], atunci:

b

a

dxxf )( b

a

dxxg )( ;

4) Fie f: [ a, b]R şi c(a,b); dacă restricţiile lui f, sunt continue pe [a,c] şi [c,b], atunci:

b

a

dxxf )( = c

a

dxxf )( + b

c

dxxf )( .

Definiţie. Dacă a b şi f:[a,b] R este o funcţie continuă, atunci punem prin definiţie:a) 0 0

b

adx

b) a

a

dxxf )( = 0;

c) b

a

dxxf )( = a

b

dxxf )( .

Aplicaţii: Calculaţi integralele:

1) dxxx

1

2

3 43 ; 2) dxx

x

4

22

3 ;

3) dxxx

2

2

11 ; 4)

1

3

2 dxxe x .


2012

2

Rezolvare

1)

1 4 21 4 2 4 23

2 2

2)4) 4)

4 23 3

2 21 13 4 3 4 3 4 1 3 4 24 2 4 2 4 2

1 3 16 12 1 6 16 11 514 8 4 6 8 104 2 4 2 4 4 4

Calcul

ăm o primitivă:

3 4 3 4 3 44 2

x xx x dx x

x xF x x x dx x dx xdx dx x C

;

2)

4 44 3 4 2 2 2

2 222 2 2 2

4)

3 1 1 4 2 1 13 3 32 2 2 4 2

1 3 278 2 3 64 4 4

xx dx xdx dxx x x

;

3)

2 1 1 24)

2 2 1 1

1 1 2 2 2 2x x dx x dx dx xdx

2

2x

11

12

2 2x

2

2x

2

12 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 1

4 2 2 4 1

10Explicit

ăm expresia de integrat:

1, 1 1, 11 , 1

1, 1 1, 1

1 1 2 , 11 1 1 1 2, 1,1

1 1 2 , 1

x x x xx x

x x x xx x x x

x x x x xx x x x

;

4)

1 2 21 1 1 21 1 3

33 3 3 3

3 3 3

1 32 2 2 2 2

2 2 2

2 2 1 9 2 2 2 24 42 2

x x x xe x dx e dx xdx e e e

e e e e e e

.

5)

1 1 01 1 1 11 01 1 1 110 0 0

00

2 2 22 2 22 2 2 2ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

1 2 1ln 2

xxxx x xdx dx dx

1 12

3 12 ln 2


2012

3

Folosind formula lui Leibniz –Newton calculaţi următoarele integrale:

1)2

5

0

43

x dx ;

2)3

5

2

196

x dx ;

3)3

7

3

0x dx

;

4)1

7

5

78x dx

;

5)

74 2

0

4 27

x xdx ;

6)

21 3

34

3 3 412

dxx

;

7)1

38

1 92

dxx

;

8)1 2

2

1 3 ln 22

x dxx

;

9)1

1

1xe dx ee

;

10)2

1

9010ln10

x dx ;

11) 122

0

22 2 1ln 2

xdx

12)4

24

1 2ln 325 5

dxx

;

13)3

21

1 33 6

dxx

14)0

sin 2xdx

;

15)2

0

cos 1xdx

;

16) 234

1 1cos

dxx

;

17)2

2

6

1 3sin

dxx

;

18) 2 2

20

1 ln 2 2 31

dxx

;

19) 2

23

1 ln 3 63

dxx

20)3

22

14

712

dxx

π

;

21)

34

20

19 124

dxx

π

;

22) 1

3

0

3 4 5x x dx ;

23) 45

1

63

2

2 36

3 2 546

e

x x dxx x

e ee

24) 5

2 24

6 3l3 n9

79

4 ln 7 2ln 2 6ln 3dxx x


2012

4

Integrarea prin părţi

Teoremă. Dacă f,g;[a,b] R, sunt două funcţii derivabile cu derivate continue,

atunci are loc relaţia: ( ) ( ) . ( ) ( )b b

b

aa a

f x g x dx f x g x f x g x dx .(1)

(formula de integrare prin părţi)Aplicaţii: Calculaţi, folosind formula de integrare prin părţi:

1)22 2 2 2

2

0 0 0 00

( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 3 1x x x x xx e dx e x dx e x e x dx e e dx 22 2 2 0 2 2 2

03 1 =3 1 ( ) 3 1 1 2xe e e e e e e e .

2)1 1

1 1 1

1ln ( ) ln ln ( 1) 1 1.e e e

e exdx x xdx x x x dx e x e e e ex

3)

2 22 2

0 0 00

0

2 2 22

0 00

3sin3 sin3 3cos3 cos32 2 2

3 3 3 9cos3 3sin3 sin32 2 2 2 2 4 4

x xx x

x xx

e eI e xdx x xdx e xdx

e e ex x dx e xdx

2 2 23 9 13 3 34 4 4 4 4 13

e e eI I I I

.

4)

5 5 5 522

2 2 24 4 4 4

55 552 2 2 2

44 44

4 14 44 4 4

5 294 4ln 4 4 4 4ln4 2 5

x xI x dx dx x dx dxx x x

x x dx x x x x x dx

29 5 5 292ln 4 55 292 5 29 8 5 4ln

4 2 5 22 5 4I I

.

5)

1 1 1 1 1(1) 1 12 2 2

0 00 0 0 0 0

( ) ' 2 2 ( ) ' 2

2 1 2

x x x x x x xx e dx x e dx x e xe dx e x e dx e xe e dx

e e e e

6)' 22 2 2 2(1)

2

1 1 1

1ln ln ln2 2 2x xx xdx xdx x x

1x

22 2

1 1

1 32ln 2 2ln 22 2 4

xdx .

7)(1)

'0

0 0 0

sin ( cos) cos cosx xdx x xdx x x xdx

.

8)'

(1)

2 21 11 1 1

ln 1 1 1 1 1 1 1 2ln ln ln ln1 1e ee e ex edx x dx x dx e

x x x x e x e e e

.


2012

5

Calculaţi:

1. 2

0

12

0

1

e (2 2 ) 2xx x xx e dx e

2.22 2

2

11

1 3ln 2ln 24 2

l4

n x x xx xdx

3.2

2

1

233

1

1 8ln 2 7ln9 3 3 9

ln x xxdx xx

4. 0

0cossin sinx x xdx x x

5. 21 1

n 1 lnl 2ee xdx

xx

x x

6. 2

0

2

02 ccos os ( 2 )si 2nx x x xx xdx

7. 52

52 2

44

9ln 7 41 99 ln 9 10 2 7 9ln32 2 2

9x x xd xx x

8. 24 4

2

0 0

ln cos2xxtg xdx xtgx x

9. 4

42 0

0

1 ln 2ln(cos ) ln coscos 4 4 4 4 2

x dx xtgx x tgx

10. 3 2 32 2 3 2

00

1sin 4 3 6 sin2 6 cos2 1 1(4 6 co24

s2 (3 6 )sin2 ) 6 424 24

x xdx x x x x x

11. 3

22

0

32

0

11 arcsinarcsi ( 3 3 )6

n x x xxdx

12.1

0

1

0

1 11 2 (1 )arctg 1 2 (6 6 3 5 )2 12

2 1ar x x xctg x dx

13. 2

4

2

4

22 1 3ctg ln sin 72 32 3 7 144ln

2 288 2x x x xxctg xdx

14. 2

2

3

1 9 4 3 9ln[3]1

cossin 8x x dx

x


2012

6

15.

3

0

1 23 5sin sin3 15cos cos340 5

1 2 215

c s

0

o

1 14 5 5

xe xdx e

e e

16. 2 21

ln( 1)

e x x dxx

17.1 2

20 ( 2)

xx e dxx

18.1

2

0

( 2 3) xx x e dx

19. 2 2

0

2 sin2xx dx

20. 2

0

2 ln( 1)e

x x dx

21. 2 21

ln( 1)

e x x dxx

22.1

0

1 ln(1 )1

x x dxx

23.

12

0

1ln1

xx dxx

24.2

2

3

xcosxsin

dxx

25.

12

0

arcsinx xdx

26.3

1

arctg xdx

27.1

2

0

1x dx

28.1

1

sin(ln )

e

x dx

29.1

1

cos(ln )

e

x dx


2012

7

30.2

lne

e

x dxx

Elemente de analiză matematică Virgil-Mihail Zaharia2012

1

INTEGRALA NEDEFINITĂ

1. Primitive. Proprietăţi.

Definiţia 1. Fie f: I → R. Se spune că f admite primitive pe I dacă F : I →R astfel încâta) F este derivabilă pe I;b) F’(x) =f(x), x ε I.F se numeşte primitiva lui f. ( I poate fiinterval sau o reuniune finită disjunctă de intervale).

Teorema 1.1 Fie f : I → R. Dacă 1 2, :F F I R sunt două primitive ale funcţiei f, atunci există o constantă c R astfel încât ,)()( 21 cxx FF xI.

Demonstraţie : Dacă FF 21, sunt primitive atunci FF 21, sunt derivabile )()(')(2

'1 xfxx FF x ε I

0)(')()()(2

'1

'21 xxx FFFF , x ε I. cxx FF )()( 21 , c= constantă

OBS 1. Fiind dată o primitivă F 0 a unei funcţii atunci orice primitivă F a lui f are forma F = 0F + c , c= constantă

f admite o infinitate de primitive.OBS 2. Teorema nu mai rămâne adevărată dacă I este o reuniune disjunctă de intervale Expl: f: R- 0 , f(x) = x²

F =3

3x , G=

23

13

3

3

x

x

F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constantă . Contradicţie cu T 1.1

OBS 3. Orice funcţie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.Se ştie că derivata oricărei funcţii are P. lui Darboux , rezultă că f are P lui Darboux. F’ =f.OBS 4. Dacă I este interval şi f(I) Ixxfdef /)( nu este interval atunci f nu admite primitive.

Dacă presupunem că f admite primitive atunci din OBS 3 rezultă că f are P lui Darboux, rezultă f(I) este interval ceea ceeste o contradicţie.OBS 5. Orice funcţie continuă definită pe un interval admite primitive.

Definiţia 2. Fie f: I →R o funcţie care admite primitive. Mulţimea tuturor primitivelor lui f se numeşte integrala

nedefinită a funcţiei f şi se notează prin simbolul )( xf dx. Operaţia de calculare a primitivelor uneifuncţii(care admite primitive ) se numeşte integrare.

Simbolul a fost propus pentru prima dată de Leibniz, în 1675.

Fie F(I)= RIf : Pe această mulţime se introduc operaţiile :1. (f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,2. (αf)(x)=α.f(x) Rx ,α constantă

)( xf dx = fluiaprimitivăFIFF /)( .

Teorema 1.2 Dacă f,g:I→ R sunt funcţii care admit primitive şi α R, α ≠0, atunci funcţiile f+g, αfadmit de asemenea primitive şi au loc relaţiile:∫(f+g) =∫f +∫g, ∫αf=α∫f, α≠0, ∫f =∫f +C


2

2. PRIMITIVELE FUNCŢIILOR CONTINUE SIMPLE

1. RcCxccdx , Ex Cxdx 66

2. Cnxdxx

nn

1

1

Ex. Cxdxx 11

1110

3. Cxdxx

1

1

Ex CxCxCxdxxdxx

3 4341

31

31

3

43

341

31

4. Ca

adxax

x

lnEx Cdx

xx 2ln

22

5. Cedxe xx6. Cxdx

x ln1 7. Cctgxdx

x2sin1

8. Ctgxdxx2cos

19. Cxxdx cossin 10. Cxxdx sincos

11. Caxarctg

adx

ax

11

22 Ex Cxarctgdxx

55

15

122

12.

Caxax

adx

axln

211

22 Ex

Cxxdx

x 55ln

101

251

2

13. Cxaxdxax

)ln(1 22

22Ex Cxxdx

x

)4ln(

41 22

22

14.

Caxxdxax

22

22ln1

Ex

Cxxdxx

49ln49

1 2

2

15.

Caxdx

xaarcsin1

22Ex

Cxdx

x 4arcsin

161

2

16. Cxtgxdx cosln 17. Cxctgxdx sinln

18. Caxdxax

x

22

22Ex Cxdx

xx

22

25

25

19. Caxdxax

x

22

22Ex Cxdx

xx

3636

2

2


3

20. Cxadxxa

x

22

22Ex Cxdx

xx

2

225

25

21. Caxxaaxxdxax 222

2222 ln22

Ex Cxxxxdxx 7ln277

27 222


2222 ln22

Ex Cxxxxdxx 9ln299

29 222

23. Caxaxaxdxxa arcsin

22

22222 Ex C

axaxaxdxxa arcsin

22

22222

I. Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii.

1. ∫(3x dxxx )232 35 2. ∫ x(x-1)(x-2)dx

3. ∫ dxxxx )1)(1( 4. ∫ dxxx

x )1(3

3

5. dxxxx 53 42 6. dxxxx

23535

7. ∫ x dxx 3)1( 8. dxxx

x

2

352

9. ∫( e dxe x

x )1 10. ∫ (x dxx )55

11. dxx

x 245

12.

dxx

x3

32

13. ∫ dxx 42 14. ∫ dxx 92

15. ∫ dxx 24 16*. ∫ dxxx 11

2

17*. dxx

x

23

2

2

18*. dxx

x

32

2

2

19*. dxxx 22 cossin

1 20*. dxxx cossin

1

21*. dxxx

11


4

3. PRIMITIVELE FUNCŢIILOR CONTINUE COMPUSE

1. RxCxdxx )(,)()(' Ex Cxdxx 15'15

2. Cxdxxx2

)()(')(2 Ex Cxdxx

2

344342

3.

Cnxdxxx

nn

1)()(')(

1 Ex Cxdxx

825525

87

4. Cedxxe xx )()( )(' Ex Cedxe xx 4242 2

5. Ca

adxxax

x

ln)('

)()(

Ex Cdx

xx 4ln

4343

3

6. Cxdxxx

)(ln)()('

Ex Cxdxx

712ln

71212

7. Cxn

dxxx

nn

)(1

11

)()('

1

Ex

Cx

dxx

56 42

151

)42(2

8. Caxax

adx

axx

)(

)(ln21

)()('

22

Ex Cxxdx

x

34

34ln61

91642

9. Caxarctg

adx

axx

)(1)(

)('22

Ex Cxarctgdx

x

25

21

42552

10. Cxdxxx )(cos)(sin)(' Ex Cxdxx )54cos()54sin(4

11. Cxdxxx )(sin)(cos)(' Ex Cxdxxx )73sin()73cos(6 22

12. Cxdxxtgx )(cosln)()(' Ex Cxdxxtg )75cos(ln)75(5

13. Cxdxxctgx )(sinln)()(' Ex Cxdxxctg )68sin(ln)68(8

14. Cxtgdxx

x )(

)(cos)('

2

Ex Cxtgdx

x 6

6cos62

15. Cxctgdxx

x )(

)(sin)('

2

Ex Cxctgdxx

)95(

)95(sin5

2

16. Caxdxaxxx

22

22)(

)()(')(

Ex Cxdx

xx

49

4933 2

2


5

17. Caxdxax

xx

22

22)(

)()(')(

Ex Cxdx

xx

2516

251644 2

2

18. Cxadxxa

xx

)(

)()(')( 22

22

Ex Cxdx

xx

2

249

4922

19. Caxxdxax

x

))()(ln(

)()(' 22

22

Ex Cxxdx

x

)7255ln(

725

5 22

22

20. Caxxdxax

x

22

22)()(ln

)()('

Ex Cxxdx

x

22

22493ln

49

3

21. Ca

xdxxa

x

)(arcsin)(

)('22

Ex Cxdx

x

5

2arcsin45

222


2222 )()(ln2

)(2

)()(


2222 )()(ln2

)(2

)()(

24. Caxaxaxdxxa )(arcsin

2)(

2)()(

22222

II.Să se calculeze primitivele următoarelor funcţii compuse.

1. dxx525 2. dxx43 3. xdx4sin4 4. xdx3cos3

5. dx

x 351 6. dx

x 9412 7. dx

x 1641

2 8. dxx 2925

1

9. dxx 3cos

12 10. dx

x5sin12 11. xdxtg4 12. xdxctg22

13. dxx 22 416

1 14. dxx

21691

III. Să se arate că următoarele funcţii nu admit primitive.

1. f: R → R, f(x) =

0,10,1

xx

2. f: R → R , f(x) = [x] ( partea întreagă din x)


6

3. f: R → R, f(x) =

0,10,00,1

xx

x4. f: R → R , f(x) = [X] +X

5. . f: R → R f(x) =

),0(,1]0,(,1

xxx

6. f: R → R , f(x) =

0,20,sin

xxx

IV. Să se determine a,b numere reale astfel încât F să fie primitiva unei funcţii f.

1*. F(x) =

1,1

11,ln

2 xxx

xbax2*. F(x) =

],[,)32(),1[,ln1

22

2

eexbxaexx

3*. F(x) =

0,142

0,22

3

xxx

xbea x

4*. F(x) =

0,96

0,1

2

2

xxx

xx

bax

5*. F(x) =

0,2

30,12

2

2

xx

axxbxea x

6*. F(x) =

0,cos3sin0,2

xxxxbaxx

V. Să se verifice dacă următoarele funcţii admit primitive şi în caz afirmativ să se determine o primitivă.

1. f: R→ R, f(x) =

0,20,32

xexx

x2. f: R→ R, f (x) =

0,41

0,4

12

xx

xx

3*.f:[0,∞)→R, f(x) =

1,11)1,0[,

3

3

xxx

xxx4*. f:[-2,∞)→R, f(x) =

)0,2[,9

1

0,3

2

2

3

xx

xx x


7

DERIVATENr FUNCTIA DERIVATA MULTIMEA PE CARE

FUNCTIA ESTE DERIVABILĂFUNCTIA COMPUSĂ DERIVATA

1. C 0 R2. x 1 R u u’

3. xn nxn-1 R un n.un-1.u’

4. xa axa-1 [0, ] ua aua-1.u’

5.x1

- 2

1x

R*

u1

- uu

.12

’

6.nx

1- 1nx

n R*

nu1

-n/un+1·u’

7. xx2

1 R*+ u

u21

u’

8. n xn nxn 1

1

R*+,n par

R*,n impar

n un nun 1

1

u’

9. sin x cosx R sin u u’cos u10. cos x -sinx R cos u -u’sin u11. tg x

x2cos1

R\{(2k+1)2

| kZ}tg u

'cos

12 u

u12. ctg x

-x2sin

1 R\{k | kZ} ctg u- 'sin

12 u

u13. arcsin x

211

x

(-1,1) arcsin u'

11

2u

u14. arccos x

-21

1x

(-1,1) arccos u- '

11

2u

u15. arctg x

211x

R arctg u'

11

2 uu

16. arcctg x- 21

1x

R arcctg u- '1

12 u

u17. ax

a x lna R au au.lna.u’18. ex

e x R eu eu.u’19. lnx

x1 R*

+ lnu'.1 u

u20. log a x

ax ln1 R*

+ logau'

ln1 u

au21. uv (uv)’ = v. uv-1.u’ + uv.v’.lnu


8

METODE DE CALCUL AL INTEGRALELOR

1. Formula de integrare prin părţi.

Teorema 1.1 Dacă f,g:R→R sunt funcţii derivabile cu derivatele continue, atunci funcţiile fg,f’g, fg’ admit primitive şi are loc relaţia: f(x)g’(x)dx =f(x)g(x)- f’(x)g(x)dx

Demonstraţie: f,g derivabile f,g continue f’g,fg,fg’ continue şi deci admit primitive.Cum (fg)’=f’g+g’f rezultă prin integrare ceea ce trebuia de demonstrat.

Să se calculeze integralele:

1. xdxln 2. xdxx ln 3. xdxx ln2 4. xdxx

ln1

5. xdxx

ln12 6. dx

xx)ln(ln 7. xdx2ln 8. dx

x)21ln(

9*. dxx

x2

3ln 10. dx

xx

2

2ln 11. dxx)cos(ln 12. dxx)sin(ln

13. xdxxx ln)32( 2 14. dxxx )1ln( 15. dxxx

x )11ln(1

2

2

16*. dxxxx

11ln 17. dxex x 12 18. dxex x

19. dxexx x32 2 20. dxex x 2 21. dxex x22 22*. dxexx x223 )25( 23. dxex x 2 24*.

dxex

xx

2223

25. xdxe x sin 26. xdxe x cos 27. xdxe x 2sin

28. xdxe x 2cos 29. xdxx sin 30. xdxx cos

31. xdxx sin2 32. xdxx cos2 33*. xdxx 2sin2

34*. xdxx 2cos2 35. xdxx 2sin 36. xdxx 2cos

37. dxx

x2cos

38. dxx

x2sin

39.

dxx

xx21

arcsin

40. dxx

x2

arcsin 41*. xdxe x 2sin 42*. dxx)(lncos 243*. dxxx 92 44*. dxxx 162 45*. dxxx 24

46. xdxx ln 47*. dx

exx

x

522


9

Rezolvări:

1. Cxxxdxxxdxx

xxxxdxxxdx lnln1lnln'ln

2.

Cxxxxdxxxdx

xxxxxdxxxdxx 2

2222'2

41ln

221ln

21

2ln

2ln

2ln

4.

Cxxdxx

xdxx

xdxx

xxxdxxxdxx

222 ln21ln1ln1ln21lnlnln'lnln1

Observaţie: La integralele care conţin funcţia logaritmică nu se umblă la ea ci se scriu celelalte funcţii ca f ’

20.

CxxeCeexex

dxeexexdxexexdxexexdxexdxexxxxx

xxxxxxxxx

2222

][22222

2'22'22

25. ])sin(cos[sincossinsinsin'

dxxexexexdxexexdxexdxe xxxxxxx

Notând cu I integrala xdxe x sin rezultă: CxxeIIxexeI xxx )cos(sin21cossin

Observaţie: La integralele unde apare funcţia exponenţială , se va scrie aceasta ca f ’

29. Cxxxxdxxxdxxxxdxx sincoscoscoscossin '

32. 29,)sincos(2sinsin2sinsincos 22'22 veziCxxxxxxdxxxxdxxxxdxx

37. Cxtgxxxtgxxtgxdxtgxxxdxtgxdxx

x cosln)cosln(

cos'

2

Observaţie: La integralele care conţin funcţii polinomiale şi funcţii trigonometrice nu se va umbla la funcţiile polinomialeci doar la funcţiile trigonometrice care se vor scrie ca f ’


10

41*. Se ştie că:

2

2cos1sinsin212cos 22 xxxx

CxexeIIxexeI

xdxexexedxxexe

xdxexedxxexedxxexdxeI

Iexdxedxedxxexdxe

xx

xx

xx

xxx

xxxxxx

xxxxx

)4

2cos2sin21(

34

41

42cos2sin

21

2cos41

42cos2sin

21

22cos

212sin

21

2sin212sin

21

22sin2sin

21

22sin2cos

21

22cos

21

21

22cos1sin

'

'

2

METODE DE CALCUL AL INTEGRALELOR

2. FORMULA SCHIMBĂRII DE VARIABILĂ (SAU METODA SUBSTITUŢIEI).

Teoremă: Fie I,J intervale din R şi :,:,: ileproprietatcufunctiiRJfJI 1) este derivabilă pe I;2) f admite primitive. (Fie F o primitivă a sa.)Atunci funcţia (f o ) ’ admite primitive, iar funcţia F o este o primitivă a lui (f o ) ’ adică:

CFodtttf '

Să se calculeze integralele:

1. dxbax n 2. dxx 912 3. dxxx 912

4. dxxx 72 35 5. dxxx 632 1 6. dxxx nkk 11

7. dxx x 2

7 8. dxe

ex

x

19. dx

eex

x

12

10. dxe x 11. dxx

e x

12. dxeex

x

1

2

13. dxe

ex

x

12

3

14. dxxx 1 15. dxx 52

16. dxxx 21 17. dxxx 43 1 18. dxxx 5 32 2

19. dxx3 52 20. dxxx 762 21. dxxx 22

22. dxx

x

ln 23. dxx

x

ln 24. xdxx ln

25. dxx

xx

3

2 26.

dxxxx 21 27.

dx

xx 3241

2


11

28.

dxxx 43

12

29. dxxx

4 130.

dx

xx

1231.

dx

xx 4ln11 32. dx

xx 8ln1

2 33.

dxxx 2ln3

1 34.

dxxx ln

1 35. dxx

x

3 ln1 36 . dxxx 223 37.

dxxx 2006)ln2005(

1 38.

dxxx 112

Rezolvări:

1. Cna

baxCnt

aadttdxbax

nnnn

)1()(

11 11

unde ax+b=t adx=dt dx=adt

2. CxCtdttdxx

20)12(

20212

101099 unde 2x-1=t 2dx=dt

3. CxxCttdtttdtttdxxx

20)12(

22)12(

2022)(

21

2112

1011101191099

4. dtxdxtxundeCxCtdttdxxx

1035,80

)35(810

110

35 2828

772

7. dtxdxtxundeCCdtdxxxt

tx 2,,7ln

721

7ln7

21

277 2

22

8. dxe

ex

x

1Notăm: dtdxete xx 1

CeCtdt

tdx

ee xx

x

)1ln(ln11

15. dxx 52 Notăm: tdtdxtdtdxtxsautx 225252 2

CxCttdttdxx

352

352

33

20. Cxxxxxxxdxxx

763ln

21676

23

28376 22

222

deoarece:

022

022

222

222

dacaaa

bxacbxax

saudacaaa

bxacbxax


12

23. dzdtt

zttdtdxtxdeoarecezdzdttttdt

ttdx

xx 1ln,22ln22lnln 2

2

Cxtzdxx

x

222

lnln2

2ln

28

tcuxnotaputeamCxC

x

dx

x

dxxx 2

32,5

32arcsin

252

32

arcsin

23

25

1

43

1222

INTEGRAREA FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE

Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind formula integrării prin părţi, fiemetoda substituţiei. În acest caz se pot face substituţiile:1. Dacă funcţia este impară în sin x, R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t.2. Dacă funcţia este impară în cos x, R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t.3. Dacă funcţia este pară în raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos x) atunci tg x=t.4. Dacă o funcţie nu se încadrează în cazurile 1,2,3,atunci se utilizează substituţiile universale:

211cos,

12sin 2

2

2

xtgtundettx

ttx

5. Se mai pot folosi şi alte formule trigonometrice:

sin 2x=2sin x .cos x,2

2cos1cos2

2cos1sin 22 xxxx

Să se calculeze:

1. xdxx cossin 3 2. xdxx 2sincos3 3. dxx )52sin(

4. xdxx 23 cossin 5. dxxtgtgx 3 6. dx

xx2sin1

cos

7. dxxx

cossin 3

8. dxxx

cos1 9. dx

xxcos1

10. xdx3sin 11. xdx3cos 12.

dxx

x21

arcsin

13. dxxx

4cossin

2 14.

dxx

x

22cos1

2sin 15. dxxx

22 arcsin11

16. dxxsin

1 17. dxxcos

1 18. xdxx 310 cossin


13

19. dxxx

20062 )arcsin2005(11 20. dx

xarctgx

2

2006

1Rezolvări:

1. Notăm sin x=t cosx dx= dt CxCtdttxdxx 4cos

4cossin

4433

2. Notăm cos x=t -sin x dx=dt

CxCtdttxdxxxdxxxxdxx 55

4433 cos52

522sincos2cossin2cos2sincos

10. CxxCttdttdxxxxdxxxdx 3coscos

3)1()cos1(sinsinsinsin

332223

12.

dxx

x21

arcsin Notăm cu t pe arcsin x

dtdxxx

x22 1

11

1'arcsin

CxCttdtdx

xx

2arcsin

21arcsin 22

2

INTEGRAREA FUNCŢIILOR RAŢIONALE

Definiţie: O funcţie f:I→R , I interval, se numeşte raţională dacă R(x)= ,,0)(,)()( Ixxg

xgxf

unde f,g sunt funcţii polinomiale.Dacă grad f grad g, atunci se efectuează împărţirea lui f la g f=gq+r, 0grad r<grad g şideci

.)(.)()()(

)()()( simplerationalefunctiidesumăcascriereafacesexRPentru

xgxrxq

xgxfxR

1. Cbaxa

dxbax

ln11

Ex. Cxdxx

72ln

21

721

2. Cabaxn

dxbax nn

1))(1(

1)(

11 Ex C

xdx

x

31

)83(61

)83(1

67

3. Caxarctg

adx

ax

11

22 Ex Cxarctgdxx

55

15

122

4.

Caxax

adx

axln

211

22 Ex

Cxxdx

x 55ln

101

251

2

5* dx

axx

adx

axaC

axxax

adx

ax

'

222222222

222

2222 211111

)(1


14

Ex. ]

)4(21

322[

161

441

161

1621

161

161

161

1616

)16(1

222

'

2222

22

22

xxxxarctg

dxx

xdxx

Cx

xxdxx

6.

0,])

2()

2[(

1

0,])

2()

2[(

1

1

22

22

2

dx

aabxa

dx

aabxa

dxcbxax

Ex. CxxC

x

xdx

x

dxxx

28

88ln31

83

85

83

85

ln

832

141

83

854

1154

1222

Ex.

Cxarctgdxx

dxxx

1

121

541

22

7. Ccbxaxdxcbxax

bax

22 ln2

Ex. Cxxdxxx

x

764ln764

68 22

8*.

dxcbxax

ncbxaxmdxcbxaxnbaxmdx

cbxaxBAx

22

22

1ln)2(

Ex.

Cxxxxdx

x

xx

dxxx

xxdxxx

xdx

xxx

57545754ln

4572

121452ln

43

457

452

141452ln

43

4521

41452ln

43

4524

1545443

45243

222

2

22

22

Să se calculeze:

1. dx

x 531 2.

dxxx

1232 3.

dxx

x4

4. dxx

x32

31

5.

dxx 200532

1 6. dx

x 91

2 7. dx

x 41

2 8. dx

xx

22

2


15

9. dx

xx

12

2

10. dx

x 5312 11.

dxxx 21

1 12. dx

xx 211

13. dx

xx 21 14.

dxxx 23

12 15.

dxxx 32

12 16.

dxxx 13

12

17. dx

xx 521

2 18. dx

xxx

13234

2 19. dx

xxx

52326

2 20. dxxx

x65

232

21. dx

xx

425

2 22. dxxx

x102

12 23.

dxx

x36

2

24.

dxx

x

414

25. dx

xx

412 26.

dxx

x8

3

127.

dx

xx

12

3

128.

dx

xx

101

29. dx

xx

46

2

Rezolvări.

23. Notăm 3x cu t dtdxx 23

CxxC

ttdt

tdx

xx

3

3ln36

133ln

321

31

331

3 3

3

26

2

26. Notăm pe 4x cu t 4 3x dx=dt

CxarctgCtarctgdtt

dxx

x

428

3

41

41

411

1

27. Notăm pe x-1 cu t x=t+1 dx=dt

Cttttdtttttdt

ttttdt

ttdx

xx

1110

39

38

)33(13311

1110981211109

12

23

12

3

12

3

= Cxxxx

111098 )1(111

)1(103

)1(31

)1(81

28. Notăm pe x-1cu t

C

xxCttdttdttdt

ttdx

xx

98

98109

1010 )1(91

)1(81

981

1

Să se calculeze integralele folosind descompunerea în fracţii raţionale simple.


16

30. dxxx

x

32

4 31. dxxx 52

1 32. dxx

xx

3

752

33. dxxx

x

2

31

34. dxxx

2

3

34. dxx

x

112

35. dxx

xx

1

14

36. dxxx 2

12

37. dxxx 4

12 38. dx

xxx

562 39. dxxxx 376

123 40. dx

xxx 211

41. dxxxxx

112

2

2

42. dxxxx

xx

23

2

223 43.

dx

xxxx

22

23

242 44. dx

xx 24

1

45. dx

xxxx

531

Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat -

1

Grup

Fie G-nevidã şi *: GxGG, (x,y)x*y, x,y G.

Axiomele grupului:

G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zG (asociativitatea);G2. eG astfel încât x*e = e*x = x, xG (e element neutru);G3. xG x’G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x);dacã G4. x*y = y*x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian).

Exemple

1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative;2. (Rn,) – grupul resturilor modulo n, comutativ;3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z;4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate),

comutativ;5. (n, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este

comutativ;

Definiţia 1. Fie (G,*) grup, HG, H este subgrup dacã x,yH x*yH şi xH x’H (x’ este simetricul lui x în raport cu operaţia *);

Fie grupurile (G1,), (G2,):Definiţia 2. f:G1G2 se numeşte morfism de grupuri dacã f(xy)=f(x)f(y), x,yG1.Definiţia 3. f:G1G2 se numeşte izomorfism de grupuri dacã f este bijectivã şi

f(xy)=f(x)f(y), x,yG1.Definiţia 4. f:G1G2 se numeşte automorfism (endomorfism) al grupului G1, dacã f

este un izomorfism (morfism).


2

Caz general

Fie pe R operaţia x y=axy-abx-aby+b(ab+1), x,y R. Se cere:

1. Să se arate că, x,y R x y=a(x-b)(y-b)+b;2. Să se arate că f :RR, f(t)=a(t-b), este funcţie bijectivă care verifică totodată

f(x y)=f(x) f(y), x,y R;3. În cazul alegerii a > 0 considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a< 0

considerând H =(- ;b), să se arate că, x,y H, are loc x y H;4. În cazul alegerii a > 0 considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a< 0

considerând H =(- ;b), să se arate că f :HR+* , f(t)=a(t-b), este izomorfism de la

(H; ) la (R+* ; ) ;

5. Să se arate că, x,y R, are loc x y = y x ;6. Să se arate că x,y Q\ Z încât x y Z;7. Să se arate că x,y R\ Q încât x y Z;8. Să se arate că x,y,z R, are loc ( x y ) z = x ( y z ) ;9. Să se arate că e R încât, x R, verifică x e = e x = x ;

10.Să se arate că, x R\{ b }, x' R\{ b } încât x x'= x' x= 1a

+ b;

11.În cazul alegerii a > 0, considerând H = (b;+ ), respectiv în cazul alegerii a<0,considerând H=(- ;b), să se determine ce fel de structură este (H, );

12.Să se rezolve ecuaţia 1x b x a A B Ca

, x (0,+ ), unde A="an"-b-c,

B="an"-b+c, C=ac2+b, c Z;13.Să se arate că R încât x R verifică x = x = ;14.Să se determine valoarea expresiei

E=(-"an") (-"an"+1) ... (-2) (-1) 0 1 2 ... ("an"-1) ("an");15.Să se arate că, x,y,z R, x y z=a2(x-b)(y-b)(z-b)+b;16.Să se rezolve în R ecuaţia ("an"x2-x+b) (x2-"an"x+b)=b;17.Să se rezolve în R ecuaţia (b-|b|+dx) (logdx) (b-1+Cx

”an”)=b, d N, d 2;18.Să se arate că 1... nn

de nori

A A A a A b b

, n N, A fiind un număr real liber

ales, spre exemplu A = ”an”;19.Să se determine cel mai mic număr n N* cu proprietatea

(b+1) (b+2) (b+3) ... n "an";20.Să se rezolve în R ecuaţia x x x x x=a4 A5+b, A fiind un număr real liber ales, spre

exemplu A = ”an”.

Rezolvare1. Se verifică imediat, prin calcul direct:

x y=a(x-b)(y-b)+b=a(xy-bx-by+b2 )+b=axy-abx-aby+b(ab+1)2. Justificarea bijectivităţii funcţiei f :RR, f(t)=a(t-b), este imediată, ca funcţie de gradul

întâi. Conform cux y=a(x-b)(y-b)+b x y-b=a(x-b)(y-b)| a a(x y-b)=a(x-b) a(y-b)


3

este chiar cerinţa, respectiv f(x y)=f(x) f(y).3. Fie x H (x-b)0 şi y H (y-b)0 şi atunci (x-b)(y-b)0, dar cum a este constantă

nenulă şi de semn prestabilit, apartenenţa a(x-b)(y-b)+b=x y H este justificată.4. Variaţia funcţiei f :RR, f(t)=a(t-b), studiată anterior, arată imediat că restricţia

f :H R*+ este bijectivă. Tot din datele anterioare, este evident că H este parte stabilă a

structurii (R; ) (item 3) şi că are loc proprietatea de morfism +(item 2), izomorfismulfiind astfel demonstrat.

5. Comutativitatea este imediată

6. Luând x y=a(x-b)(y-b)+b şi alegând x-b= 23

şi y-b= 32

, deoarece b Z, evident x,y Q\Z şi

x y=a+b Z.7. Pe aceeaşi idee, alegând x-b= 2 -1 şi y-b= 2 +1, se va obţine x,y R\Q şi x y=a+b Z.

Se observă că alegerea nu este unică, admiţând chiar o infinitate de posibilităţi.8. Asociativitatea se demonstrează prin calcul

9. Din x y=a(x-b)(y-b)+b şi x e=x conduce la a(x-b)(e-b)+b=x din care se obţine 1e ba

10.Dubla egalitate x x'=x' x= 1 ba se reduce de fapt la x x'= 1 b

a care se exprimă în forma

a(x-b)(x'-b)+b= 1 ba , obţinând

2

1'x ba x b

care este în mod evident din R\{b},

justificând afirmaţia din item 10.11.Structura (H; ) se dovedeşte grup comutativ, verificarea proprietăţilor fiind asigurată de

concluzii anterioare.

12.Cum 1 1,e b x b x a A B Ca a

devine x x=a A B+C, adică a(x-

b)2+b=a ("an"-b-c)×("an"-b+c)+ac2+b. Observând diferenţa de pătrate, din a(x-b)2=a [("an"-b)2-c2]+ac2 se obţine (x-b)2=("an"-b)2 şi în final x="an", în condiţia alegeriievidente 2b-"an"<0<"an"-b.

13.Din x y=a(x-b)(y-b)+b se observă q=b cu proprietatea menţionată, x = x=.14.Cum =b se regăseşte printre „factorii” ce compun expresia E , răspunsul la este E==b.15.Se obţine prin calcul folosind x y=a(x-b)(y-b)+b.16.Ecuaţia ("an"x2-x+b) (x2-"an"x+b)=b devine ("an"x2-x)(x2-"an"x)=0 şi răspunsul va fi

10;"an";"an"

x

.

17.Ecuaţia devine (dx-|b| )(logd x-b ) "an" 1xC =0 , deci log ; ;0;"an"bdx b d .

18.Izomorfismul conduce imediat la 11 2

1

...n

nn k

kx x x a x b b

şi astfel identitatea

1... nn

de n ori

A A A a A b b

este evidentă.

19. (b+1) (b+2) (b + 3) ... n=an-b-1 (n-b)!+b şi astfel se determină imediat răspunsul.20. x x x x x=a4 (x-b)5+b şi a4 (x-b)5+b =a4 A5+b soluţia x=A+b.


4

Probleme rezolvate

1. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia x ◦ y = xy + 4x + 4y +12 .a) Să se verifice că x ◦ y = (x + 4)( y + 4) − 4 pentru orice x, y R .b) Să se calculeze x ◦ (−4) , unde x este număr real.c) Ştiind că operaţia „◦ ” este asociativă, să se calculeze (−2009) ◦ (−2008) ◦... ◦ 2008 ◦2009 .

R. a) Se verifică prin calcul direct:(x + 4)( y + 4) − 4 = xy+4x + 4y + 16-12= xy + 4x + 4y +12= x ◦ y.b) x ◦ (−4) = (x+4)( −4 + 4) −4= (x+4) 0 −4 = −4, x R.c) (−2009) ◦ (−2008) ◦... ◦ 2008 ◦ 2009=

= 4

4

2009 2008 ... 5 4 3 ... 2008 2009

b)

dinpunctul

− 4.

2. Pe mulţimea numerelor reale definim operaţia x ◦ y = 2xy − 6x − 6y + 21.a) Să se arate că x ◦ y = 2(x − 3)( y − 3) + 3 , pentru orice x, y R.b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x ◦ x =11.c) Ştiind că operaţia „ ◦ ” este asociativă, să se calculeze 1 2 3 ... 2009 .

R. a) Prin calcul direct obţinem 2(x − 3)( y − 3) + 3 =2(xy − 3x − 3y +9)+3=2xy− 6x− 6y+9+3=2xy− 6x− 6y+12= x ◦ y .b) x ◦ x =11 2(x − 3)( x − 3) + 3 =11 2(x−3)2=8 (x−3)2=4 x−3=±2. S={1, 5}.c) Calculăm x ◦ 3 = 2(x − 3)( 3 − 3) + 3 = 2(x − 3) 0 + 3=3, oricare ar fi x R. Întermenii compunerii 1 2 3 ... 2009 există 9 3 şi din calculul precedentrezultatul calculului este 3.

3. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x ◦ y = xy − 2(x + y) + 6.a) Să se arate că x ◦ y = (x − 2)( y − 2) + 2, oricare ar fi x, y R .b) Să se demonstreze că x ◦ 2 = 2 , oricare ar fi x R .c) Ştiind că legea de compoziţie „◦ ” este asociativă, să se calculeze valoarea expresieiE = (−2009) ◦ (−2008) ◦…◦ (−1) ◦ 0 ◦1◦ 2 ◦…◦ 2009 .

R. a) Prin calcul direct (x− 2)( y − 2) + 2 = xy − 2x − 2y + 4 − 2 = xy − 2x − 2y + 2 = x ◦ y.b) x ◦ 2 = (x − 2)( 2 − 2) + 2 = (x − 2) 0 + 2 = 2, oricare ar fi x R.c)

2

2

2

2009 2008 1 0 1 2 2009=2E

conform

punctului b).


5

4. Se consideră mulţimea G = {Ax| x Z} , unde matricea1 0 00 1 0 ,

0 1xA x

x

Z .

a) Să se verifice că Ax Ay = Ax+y, unde x, y Z .b) Ştiind că mulţimea G împreună cu operaţia de înmulţire a matricelor formează ostructură de grup, să se determine elementul neutru al grupului (G, ) .c) Să se arate că funcţia f : Z→G, f (x) = Ax este morfism între grupurile (Z,+) şi (G, ).

R. a)1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1x y x yA A A

x y x y

b) Element neutru este Ae, e Z şi Ax Ae = Ax x + e = x e = 0 şi

2

1 0 00 1 00 0 1

eA I

.

c) O funcţie f : G1→G2 este morfism dacă f (x + y) = f (x) + f (y), x,y G1. Calculăm

)

punctula

f x y A x y A x A y f x f y , x,y Z şi f este izomorfism dela Z la G.

5. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x ◦ y = (x − 4)( y − 4) + 4 .a) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie.b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x ◦ x ◦ x = x .c) Să se determine două numere a,b Q \ Z astfel încât a ◦ b N.

R. a) Elementul neutru: există e R astfel încât oricare ar fi x R să avem: x◦ e = e ◦x = x.x ◦ e = (x − 4)( e − 4) + 4 (x − 4)( e − 4) + 4 = x (x − 4)( e − 4) = x−4 e − 4 = 1 e = 5.b) x ◦ x ◦ x = (x − 4) (x − 4) (x − 4) + 4 = (x − 4)3 + 4 (x − 4)3 + 4 = x (x−4)3−(x−4) = 0 (x − 4) [(x − 4)2 − 1] = 0 x1 = 0 şi (x − 4)2−1=0 (x−4)2= 1x − 4 = ± 1 x2 = 3 şi x3 = 5.

c)a,b Q\Z , ,cu , , , , 0, 0, 1, 1, , 1, , 1m pa b m n p q n p n p m n p qn q

N

şi calculăm 4 44 4 4 4m p m n p qa bn q n q

. Cum a ◦ b N atunci

4 4 / 4şi / 4

m n p q q m n n p qn q

N . Luăm valori pentru n şi q , n =3 şi

q =5, atunci 5 / (m – 4 3) m = 17 şi 3 / (p – 4 5) p = 23. Obţinem17 23şi3 5

a b , iar


6

17 23 17 12 23 20 5 34 4 4 4 4 1 4 5 .3 5 3 5 3 5

a b

N Obs. Se

pot lua şi alte valori pentru n şi q.

6. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x ◦ y = 3 33 1x y .a) Să se demonstreze că x ◦ (−x) = −1, oricare ar fi x real.b) Să se arate că legea de compoziţie „◦ ”este asociativă.c) Să se calculeze (−4) ◦ (−3) ◦...◦ 3◦ 4 .

R. a) 3 33 3 3 33 1 1 1 1x x x x x x , x R.b) Asociativitatea: x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, x,y,z R.

Calculăm 3 3 3 3 3 3 3 33 3 331 1 1 2x y z x y z x y z x y z şi

33 3 3 3 3 3 3 33 3 33

3 3 33

1 1 1 1 1

2

x y z x y z x y z x y z

x y z

,

cei doi termeni sunt egali şi legea de compoziţie este asociativă.c) (−4) ◦ (−3) ◦...◦ 3 ◦ 4 = (−4) ◦ (−3) ◦ (−2) ◦ (−1) ◦ 0 ◦ 1 ◦ 2 ◦ 3 ◦ 4 şi din punctul a)obţinem

3 31 1 1 1 3 3

4 4 3 3 2 2 1 1 0 1 1 1 1 0

3 3 3 33 3 3 3 3 3 33 33 3 0 3 3 1 0 7 0 7 0 1 8 2 .

7. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x ◦ y = xy + 7(x + y) + 42 .a) Să se calculeze 2 ◦ (− 2) .b) Să se verifice că x ◦ y = (x + 7)( y + 7) − 7, oricare ar fi x, y R .c) Ştiind că legea de compoziţie „◦ ” este asociativă, să se rezolve în mulţimea numerelorreale ecuaţia x ◦ x ◦ x = x .

R. a) 2 ◦ (− 2) =2 (−2) + 7(2−2) + 42 = −4+0+42 = 38.b) (x + 7)( y + 7) − 7 = xy +7y +7x +49− 7 = xy +7y +7x +42 = x ◦ y, x,y R.c) Calculăm x ◦ x ◦ x = [(x + 7)2 -7] ◦ x = [(x + 7)2 −7+7](x + 7) −7=(x + 7)3 −7 şiecuaţia va fi: (x + 7)3 −7 = x (x + 7)3 −(x +7) = 0 (x +7)[ (x + 7)2 − 1] = 0 (x +7) =0 şi (x + 7)2 − 1= 0, x1 = −7 şi (x + 7)2 = 1 x + 7 =1 sau x + 7 =− 1 x2 = −6 şi x3 = −8.

8. Se consideră mulţimea M = [k;+∞) R, k R şi operaţia x y = xy − k(x + y) + k 2 + k ,oricare ar fi x, y R.

a) Să se determine k R astfel încât 2 3 = 2 .b) Pentru k = 2 să se rezolve în M ecuaţia x x = 6 .c) Să se demonstreze că pentru orice x, y M , rezultă că x y M.


7

R. a) 2 3 = 2 3 − k(2 + 3) + k2 + k = 6 − 5k + k2 + k = k2 − 4k + 6 k2 − 4k + 6 = 2 k2 − 4k + 4 = 0 (k − 2)2 = 0 k = 2.b) x y = xy− 2(x + y) + 6 x2 − 4x + 6 = 6 x2 − 4x = 0 x(x− 4) = 0 x1 = 0 şix2 = 4.c)

2

2

0,

0

0 0

, , .

x k x kx y M

y k y k

x k y k xy k x y k k

xy k x y k k k x y M x y M

9. Se consideră mulţimea 0

0 0 00

a aM A a a

a a

R .

a) Să se verifice dacă A(a) A(b) = A(2ab) , oricare ar fi numerele reale a şi b.

b) Să se arate că 12

A

este element neutru faţă de operaţia de înmulţire a matricelor

pe M.c) Să se determine simetricul elementului A(1) M în raport cu operaţia de înmulţire amatricelor pe mulţimea M.

R. a) 0 0

0 0 0 ,

şi 0 0 0 ,

0 0

a a b bA a a A b b

a a b b

R R şi calculăm A(a) A(b):

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

2 0 20 0 0 2

2 0 2

a a b b ab ab ab abA a A b

a a b b ab ab ab ab

ab abA ab

ab ab

.

b) Calculăm )1 12

2 2

punctula

A a A A a A a

şi atunci 12

A

este element

neutru.

c) 1 0 1

1 0 0 01 0 1

A

şi elementul simetric este inversa matricei A-1(1) şi trebuie să

avem A(1) A-1(1) = 12

A

. Notăm A-1(1) = A(e), e R A(1) A(e) = A(2 1 e) =


8

A(2e) şi A(2e)= 12

A

, se obţine 1 122 4

e e . Obţinem A-1(1) = 14

A

.

10. Pe mulţimea numerelor întregi se definesc legile de compoziţie x y = x + y − 3 şix ◦ y = (x − 3)( y − 3) + 3.a) Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia x ◦ x = x x .b) Să se determine numărul întreg a care are proprietatea că x◦ a=3, oricare ar finumărul întreg x .


1 4

1 5

x y

x y

, unde x, y Z.

R. a) x ◦ x = (x – 3)2 +3 şi x x = 2x – 3, obţinem ecuaţia: (x – 3)2 +3 = 2x – 3 x2 – 8x + 15 = 0 care are soluţiile x1 = 3 şi x2 = 5, numere întregi.b) x◦ a=3 (x − 3)( a − 3) + 3 = 3 (x − 3)( a − 3) = 0 pentru a = 3 şi oricare ar fi

x Z.c)

1 4 1 3 4 63 1 3 3 5 2 2 6 3 51 5

6 62 2 4 : 2 2

/ 2 4 2, 4

x y x y x yx y x yx y

x y x yx y x y

y y x

şi soluţia este perechea (4;2).

11. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie xy=xy−5(x+y)+30.a) Să se demonstreze că xy=(x−5)(y−5)+5, oricare ar fi x,y R.b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „”.c) Ştiind că legea de compoziţie „” este asociativă, să se rezolve în mulţimea numerelorreale ecuaţia xxx=x.

R. a) (x−5)(y−5)+5 = xy −5y−5x +25+5= xy −5(x+y) +30 = xy.b) e R este element neutru dacă xe = x, oricare ar fi x R. Atunci (x−5)(e−5)+5=x(x−5)(e−5) −(x−5)=0 (x−5)(e−6) = 0 e = 6 R. Acelaşi element neutru se obţine şipentru ex=x.c) 2 2 35 5 5 5 5 5 5 5 5x x x x x x x x . Ecuaţia va

fi: 3 3 25 5 5 5 0 5 5 1 0x x x x x x x −5=0, x1 = 5

şi 2 22 35 1 0 5 1 5 1 6, 4x x x x x . Soluţii {4,5,6}.

12. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie


9

2 2 2x y x y .

a) Să se rezolve ecuaţia xx=x, unde x R.b) Să se demonstreze că legea de compoziţie „” este asociativă.c) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „”.

R. a) 22 2 2 2 2x x x x x şi se obţine ecuaţia:

2 22 2 2 2 0 2 2 1 0x x x x x x cu soluţiile

1 22şi 2 1

x x .b) Asociativitatea: xyz)=( xy)z, x,y,z R. Calculăm fiecare termen:

( ) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x y z x y z x y z

x y z

( ) 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x y z x y z x y z

x y z

Cei doi termeni sunt egali şi legea de compoziţie este asociativă.c) Elementul neutru: e R astfel încât x R să avem: xe = ex =x. Trebuiedeterminat e din egalitatea: xe = x, deoarece legea de compoziţie este evidentcomutativă.

2 2 2 2 2 2 0

2 2 1 0 2 1 0 2 1

x e x x e x

x e e e

R

este element neutru.

13. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie xy=x+y+m, unde m estenumăr real.

a) Să se arate că legea de compoziţie "" este asociativă.b) Să se determine m astfel încât e = −6 să fie elementul neutru al legii "".c) Să se determine m astfel încât 3 2 3 3 2m .

R. a) asociativitatea: x(yz) = (xy)z , x,y,z R. Calculăm fiecare termen:x(yz) = x(y+z+m) = x+(y+z+m)+m = x+y+z+2mşi (xy)z= (x+y+m)z = (x+y+m )+z +m = x+y+z+2m, cei doi termeni sunt egali şiasociativitatea este demonstrată.b) Elementul neutru: xe=ex=x, x R. Legea de compoziţie este evidentcomutativă şi atunci ajunge xe =x x−6 +m=x m=6.


10

c) 3 2 3 3 3 2 3m m 3 2 = 2 2 2 2 4 2

m

m m m m m m m m

şi se obţine: 4 2 3 2 4 4 2m m şi 2m .14. Pe mulţimea numerelor reale, se consideră legea de compoziţie definită prinx◦y=xy−x−y+2 .

a) Să se arate că legea “◦ ” este asociativă.b) Să se arate că, pentru oricare x,y(1,+∞), rezultă că x◦y (1,+∞).

c) Să se determine aR cu proprietatea că x◦a=a, oricare ar fi xR.

R. a) asociativitatea: x(yz) = (xy)z , x,y,z R. Calculăm fiecare termen:x(yz) = x(yz−y−z+2) = x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2 == xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+z.şi (xy)z= (xy−x−y+2)z = (xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2) −z +2==xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2= xyz−xy−xz−yz+x+y+z, cei doi termeni sunt egali şiasociativitatea este demonstrată.

b) 1 1 0

, 1, 1 1 01 1 0

x xx y x y

y y

1 0 1 2 1 (1, )xy x y xy x y x y .

c) 2 2 2 2 2 1x a a xa x a a xa a x a x x a .

15. Pe mulţimea R se consideră legea de compoziţie xy=2xy−x−y+1.a) Să se arate că xy=xy+(1−x)(1−y), oricare ar fi x,yR.b) Să se arate că legea de compoziţie „” este asociativă.c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x (1−x)=0.

R. a) xy+(1−x)(1−y)=xy+1−x−y+xy=2xy−x−y+1=xy, x,yRb) asociativitatea: x(yz) = (xy)z , x,y,z R. Calculăm fiecare termen:x(yz) =x[2yz −y−z+1]=2x[2yz −y−z+1] −x−[2yz −y−z+1]+1==4xyz−2xy−2xz+2x−x−2yz+y+z−1+1=4xyz−2(xy+xz+yz)+x+y+z.şi (xy)z=[2xy−x−y+1] z=2[2xy−x−y+1]z−[2xy−x−y+1] −z+1==4xyz−2xz−2yz+2z−2xy+x+y−1−z+1=4xyz−2(xz+yz+xy)+x+y+z, cei doi termenisunt egali şi asociativitatea este demonstrată.c) x (1−x)=0x(1−x)(1−x)[1−(1−x)]=0 x2(1−x)2=0x1=0 şi x2=1.

16. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie xy=−xy+2x+2y−2.a) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x4=10.b) Să se determine aR astfel încât xa=ax=a, oricare ar fi xR.


11

c) Ştiind că legea „” este asociativă, să se calculeze 1 2 4018...2009 2009 2009

R. a) x4=10−4x+2x+2·4−2=10−2x=4x=−2.

b) xa=a−xa+2x+2a−2=a−xa+a=−2x+2a(−x+1)=2(−x+1)a=2R.

c)

2 2

2

1 2 4018 1 2 4017 4018... ... 22009 2009 2009 2009 2009 2009 2009

conform punctului

precedent.

Probleme propuse

17. Pe mulţimea Z se consideră legile de compoziţie xy=x+y+1 , x◦y=ax+by−1, cu a,bZ şifuncţia f (x)=x+2, f :Z→Z,

a) Să se demonstreze că x (−1)=(−1)x=x , oricare ar fi xZ .

b) Să se determine a,bZ pentru care legea de compoziţie „ ◦ ” este asociativă.c) Dacă a=b=1 să se arate că funcţia f este morfism între grupurile (Z,) şi (Z,◦).

18. Se consideră mulţimea G={a+b 2 | a,b Z, a2−2b2=1}.a) Să se verifice că 3+2 2 G .b) Să se demonstreze că x y G, pentru x, y G .c) Să se arate că orice element din mulţimea G are invers în G în raport cu înmulţireanumerelor reale.

19. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie x y= 2x+y .a) Să se calculeze 2008 (−2008).b) Să se rezolve în R ecuaţia x x2 = 64 .c) Să se demonstreze că nu există x,y,z R pentru care (x y) z= 2z .

20. Pe mulţimea R se defineşte legea de compoziţie 3 33x y x y .a) Să se calculeze x*0.b) Să se demonstreze că legea „*” este asociativă.c) Ştiind că x0 Q şi xn=x0*xn−1, oricare ar fi n N* , să se arate că x* Q.

21. Se consideră mulţimea G=(2,∞) şi operaţia x y=xy−2(x+y)+6, x,y G.a) Să se arate că x y=(x−2)(y−2)+2, x,y G .b) Să se demonstreze că x y G, pentru x,y G.c) Să se afle elementele simetrizabile ale mulţimii G în raport cu legea " ".

22. Se consideră mulţimea G=(0,∞)\{1} şi operaţia x y=x3ln y , x,y G.a) Să se determine mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x e = 1, unde e este bazalogaritmului natural.b) Să se demonstreze că x y G , pentru x,y G.


12

c) Să se arate că operaţia „ ” este asociativă pe mulţimea G.

23. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţiex*y=2xy−6x−6y+21, pentru orice x,y R.a) Să se arate că x*y=2(x−3)(y−3)+3 pentru orice x,y R.b) Să se rezolve în R ecuaţia 5x*5x=11.c) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea "*".

24. Fie mulţimea G={a+b 3 | a,b Z, a2−3b2=1}.a) Să se verifice dacă 0 şi 1 aparţin mulţimii G.b) Să se demonstreze că pentru orice x, y G avem x y G .

c) Să se arate că dacă x G, atunci 1x

G.

25. Pe R se consideră legea de compoziţie asociativă x y=x+y+1.a) Să se calculeze 2007 2008.b) Să se rezolve în R inecuaţia x x2 ≤ 3.c) Fie mulţimea A={n N*| n≥2 şi 0 1 2 6n n nC C C n }. Să se determine numărulelementelor mulţimii A .

26. Se consideră mulţimea G=(−1,1) şi legea de compoziţie *1x yx y

xy

,

x, y G .

a) Să se rezolve în G ecuaţia x*x= 45

.

b) Să se verifice egalitatea

1 1 1 11 1 1 1

x y x yx y

x y x y

, x, y G.

c) Să se arate că pentru oricare x, y G rezultă că x*y G.

27. Pe mulţimea numerelor reale definim legea de compoziţie x y=xy+3x+3y+6, x,y R.a) Să se arate că x y=(x+3)(y+3)−3, x,y R.b) Să se determine elementul neutru, ştiind că legea de compoziţie „ ” este asociativăşi comutativă.c) Să se determine n N, n≥2 astfel încât 2 2C 13n nC .

28. Pe mulţimea numerelor întregi definim legile de compoziţie x*y=x+y−3 şix y=xy−3(x+y)+12 .a) Să se rezolve în Z ecuaţia x x=12.b) Să se arate că 1 (2*3)=(1 2)*(1 3).

c) Să se rezolve în mulţimea Z×Z sistemul

3 2

4 10

x y

x y

.

29. Pe mulţimea numerelor întregi se defineşte legea de compoziţiex y=x+y+11.


13

a) Să se arate că legea de compoziţie „ ” este asociativă.b) Să se rezolve ecuaţia

6 ori x

... 1de

x x x

.

c) Să se demonstreze că (Z, ) este grup comutativ.

30. Pe mulţimea numerelor reale R se consideră legea de compoziţie x y=xy−2(x+y)+6.a) Să se verifice că x y=(x−2)(y−2)+2, x,y R.b) Să se demonstreze că x 2=2 oricare ar fi x R.c) Ştiind că legea de compoziţie „ ” este asociativă, să se calculeze expresiaE=(−2008) (−2007) … (−1) 0 1 2 … 2008 .

31. Pe mulţimea G=(−1,1) se consideră legea de compoziţie *1x yx y

xy

.

Fie funcţia f:(-1,1) (0,4), 11

xf xx

a) Să se calculeze 1 12 2 .

b) Să se verifice că f(x*y)=f(x)*f(y),x,y G.c) Să se demonstreze că legea "*" este asociativă.

32. Pe mulţimea R se defineşte legea de compoziţie x y=xy−10(x+y)+110.a) Să se verifice că x y=(x−10)(y−10)+10 , oricare ar fi x,y R.b) Să se calculeze 1 1

20 20C Cc) Să se rezolve ecuaţia x (x−1)=10 , unde x R.

33. Se consideră mulţimea xG A x Z , unde matricea1 0 00 1 0

0 1xA

x

,x Z.

a) Să se verifice că Ax Ay= Ax+y , unde x,y Z.b) Să se determine elementul neutru din grupul (G, ).c) Să se demonstreze că funcţia f :Z→G, f (x)=Ax este morfism de grupuri.

34. Pe mulţimea numerelor reale R se consideră legea de compoziţie definită astfelx*y=xy−x−y+2.a) Să se demonstreze că x*y=(x−1)(y−1)+1, oricare ar fi x,y R.b) Să se demonstreze că legea „*” este asociativă.

c) Să se calculeze 1 2 2008* *...*2 2 2

.

35. Se defineşte pe mulţimea numerelor reale legea de compoziţie asociativăx*y=xy−6x−6y+42, pentru orice x,y R .a) Să se arate că x*y=(x−6)(y−6)+6, oricare ar fi x,y R.b) Să se rezolve în R ecuaţia x * x * x * x=x.c) Să se calculeze 1* 2 * 3 * ... * 2008.

36. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie


14

x*y=xy− 2008 (x+y)+2008+ 2008 , oricare ar fi x,y R.a) Să se arate că x*y=(x− 2008 )(y− 2008 )+ 2008 , oricare ar fi x,y R.b) Să se determine elementul neutru al legii de compoziţie „*” pe mulţimea R.c) Ştiind că legea de compoziţie „*” este asociativă, să se calculeze(− 2008 ) * (− 2007 ) * ...* 0 *...* ( 2007 ) * ( 2008 ).

37. Pe Z se defineşte legea de compoziţie asociativă x*y=3xy+7x+7y+14.a) Să se determine elementul neutru al legii "*" .

b) Să se rezolve în R inecuaţia x*x≤− 73

.

c) Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea „*”.

38. Pe R se defineşte legea de compoziţie prin x y=3xy+3x+3y+2,oricare ar finumerele reale x şi y .a) Să se verifice că x y=3(x+1)(y+1)−1, oricare ar fi x,y R.b) Să se determine perechile (x,y) R×R pentru care (x2−5) (y2−10)=−1.c) Să se determine două numere a,b Q−Z, astfel încât a b N.

39. Pe mulţimea Z se definesc legile de compoziţiex*y=x+y+2 şi respectivx y=xy+2x+2y+2.a) Să se demonstreze că x y=(x+2)(y+2)−2.b) Să se determine elementele neutre ale fiecăreia dintre cele două legi de compoziţie.

c) Să se rezolve sistemul2 2

2 2

716

x yx y

.

40. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compoziţie x y=2xy−8x−8y+36.a) Să se demonstreze că x y=2(x−4)(y−4)+4, oricare ar fi x,y R.b) Să se rezolve ecuaţia x x= 36 .c) Ştiind că operaţia „ ” este asociativă să se calculeze 1 2 ... 2008 .

41. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie prinx*y=3xy+3x+3y+2.a) Să se demonstreze că x*y=3(x+1)(y+1)−1, oricare ar fi x,y R.b) Să se determine perechile (x,y) R×R pentru care (x2−2)*(y2−5)=−1.c) Ştiind că legea de compoziţie este asociativă să se calculeze(−2008)*(−2007)*...*(−1)*0*1*...*2007*2008 .

42. Pe R definim legile de compoziţie x y=x+y+3 şi x*y=xy−3(x+y)+12.a) Să se verifice că x*y=(x−3)(y−3)+3, oricare ar fi x,y R .b) Să se rezolve în R ecuaţia (x (x+1))+(x*(x+1))=11.


1 0

1 1

x y

x y x y

, x,y R.

ExerciŃii analiză matematică clasa a XII-a Virgil-Mihail Zaharia

1

ExerciŃiul 1. Să se arate că e ex

xdx

ee

e

e2

3

12

12

( )ln

( )− < < −∫

SoluŃie: Fie f:[e,e2]6R funcŃia definită prin:

f xx

xx e e( )

ln; ( ) [ , ]= ∀ ∈ 2 .

Evident funcŃia f este derivabilă şi

f xx

xx e e' ( )

ln

ln;( ) ( , ]=

−> ∀ ∈

10

22 , rezultă f este strict crescătoare. Prin urmare

f(e)<f(x)<f(e2), (∀)x0(e,e2). Dar f(e)=e şi

f ee

ex

x

ex e e edx

x

xdx

edx

edx ex e e e e e

edx

ex

e e ee e e

x

xdx

ee

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

( )ln

; ( ) ( , )ln

( ) ( );

( ) ( )ln

( ) .

22 2

22

2 2

2 2 4 3 32

3

2 2 2

1

2 2 2 2 21 1

21

2 2 2

22

22

2

= ⇒ < < ∀ ∈ ⇒ < <

= = − = −

= = − = − ⇒ − < < −

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

ExerciŃiul 2. Să se arate că:

a x x dx bx

xdx

cx

x xdx d

x

xdx

e x x dx f e e dx e

ge

e dx e hx x

dx

i x x

x

x x

) ; ) ;

)( )

; ) ;

) ln ln( ) ; ) ;

) ; ) ;

) ln( ) ln(

2 2 4 5 2 10 31

16

02

11 9

1

135

3

41 0

22

2

8

1

4 2

3

9

2 3 4 4 2

2

1

1

2

5

3

22

1 3

22

7

2

0

1

1

24

40

22

2 30

1

2

2

< + + < <−+

<

<+

+ +< <

+

+<

< − + < < <

≤ < <− −

<

− ≤ −

−

−

−

−

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫π π

π arctg + <−

∫ 2 2 33

3) ln ;dx π

j e dxe

k e e dx e dx ex x x) ; )3

4

3

32 1

2 2 2

0

1

0

11

0

1< <

+≤ + ≤ +∫ ∫ ∫

−

ExerciŃiul 3. Fie I x dx n Nnn

e

= ∈∫ (ln ) ; *

1.

a) Să se arate că şirul (In) este monoton şi mărginit; b) Să se găsească o formulă de recuren]ă între In şi In-1, n0N, n$2; c) Să se calculeze lim

nnI

→∞.

SoluŃie:

a) I xdx I xdxnn

e

nn

e

= =∫ ∫++ln ; ln

11

1

1


2

(∀)n0N* avem: I I x x dxn nn

e

+ − = −∫11

1ln (ln )

Cum x0[1,e] obŃinem lnx0[0,1] şi deci In+1#In, rezultă şirul (In) este descrescător. Deoarece 0#lnx#1; (∀)x0[1,e], rezultă 0#In#e−1; (∀)n0N*, şirul (In) este mărginit.

b) I xdx x xdx x x n xdx e nI

n n

nn

en

ee n

e

n= = = − = −

∀ ∈ ≥

∫ ∫ ∫−

−ln ( )' ln ln ln ;

( ) ; .1 1

11

11

2N

c) Şirul (In) fiind monoton şi mărginit, este convergent. Fie I= limn

nI→∞

;

I0[0,e-1]. Din relaŃia de recurenŃă In=e−nIn-1;n$2 rezultă In+1=e− (n+1)In*:(n+1) I

n

e

nI nn

n+

+=

+− ∀ ≥1

1 11; ( ) ; prin trecere la limită rezultă

lim lim limn

n

nn

nn

I

n

e

nI I

→∞

+

→∞ →∞+=

+−

⇒ =1

1 10.

ExerciŃiul 4. Se consideră şirul (In)n$1, unde I x dx nnn= + ∈∫ ln( ) ; *1

0

1N .

a) ArătaŃi că şirul (In) este monoton şi mărginit; b) CalculaŃi lim

nnI

→∞.

ExerciŃiul 5. Să se arate că dacă pentru funcŃia continuă f:[0,1]→R există un număr natural n$2 astfel încât:

f x dxn

( ) ...0

11

1

2

1∫ = + + +

atunci există c0(0,1) astfel încât f(c)=1

1

−−

c

c

n

.

ExerciŃiul 6. Fie a>0 şi f:[0,a]→R o funcŃie continuă şi crescătoare. Să se arate că pentru orice b0(0,a) avem:

a f x dx b f x dxb a

( ) ( )0 0∫ ∫≤ .

SoluŃie: Deoarece f x dx f x dx f x dxa b

b

a

( ) ( ) ( )0 0∫ ∫ ∫= + rezultă că inegalitatea din

concluzia problemei are loc dacă şi numai dacă:

( ) ( ) ( )a b f x dx b f x dxb

a

b

− ≤∫ ∫0

. Conform teoremei de medie există c10(0,b] şi

c20[b,a] astfel încât:

f x dx bf c si f x dx a b f cb

a

b

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1 2∫ ∫= = − .

Cum 0#c1#b#c2#a rezultă f(c1)#f(c2) ⇒b⋅(a−b)⋅f(c1)#b⋅ (a−b)⋅f(c2) ⇒


3

b a b

f x dx

bb a b

f x dx

a b

a f x dx b f x dx b f x dx

a f x dx b f x dx f x dx

a f x dx b f x dx

b

b

a

b b

b

a

b b

b

a

b a

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

− ≤ −−

⇒

⇒ − ≤ ⇒

⇒ ≤ +

⇒

⇒ ≤

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

0

0 0

0 0

0 0

ExerciŃiul 7. Fie a,b0R cu a<b şi f:[a,b]→R o funcŃie continuă. Să se arate că există c0(a,b) astfel încât:

f ca b c

c a c b( )

( )( )=

+ −− −

2.

SoluŃie: În baza teoremei de existenŃă a primitivelor unei funcŃii continue, funcŃia F:[a,b]→R definită prin:

F x f t dt x a ba

x

( ) ( ) ;( ) [ , ]= ∀ ∈∫ este o primitivă a funcŃiei f pe [a,b], rezultă F este

derivabilă pe [a,b] şi F'(x)=f(x); (∀)x0[a,b]. Atunci funcŃia g:[a,b]→R definită prin g(x)=(x−a)(x−b)eF(x); (∀)x0[a,b] este continuă pe [a,b], derivabilă pe (a,b) şi rezultă g'(x)=(x−b)eF(x)+(x−a)eF(x)+(x−a)(x−b)F'(x)eF(x)=

=[2x−a−b+(x−a)(x−b)f(x)]eF(x); (∀)x0(a,b).

Deoarece g(a)=g(b)=0 atunci conform teoremei lui Rolle (∃)c0(a,b) astfel încât g'(c)=0. Deoarece eF(c)

≠ 0, deducem că 2c−a−b+(c−a)(c−b)f (c)=0, rezultă

f ca b c

c a c b( )

( )( )=

+ −− −

2.

ExerciŃiul 8. Să se determine toate funcŃiile continue f:[0,+4)→[0,+4) cu proprietatea că f(x)>0, (∀)x0(0,+4) şi care verifică relaŃia:

x f t dt f x xo

x2 0( ) ( );( ) [ , ).∫ = ∀ ∈ +∞

SoluŃie: Presupunem că există o funcŃie continuă f care satisface cerinŃele problemei. Atunci, în baza teoremei de existenŃă a primitivelor, funcŃia

F:[0,+4)→R definită prin F x f t dt xx

( ) ( ) ;( ) [ , )= ∀ ∈ +∞∫ 00

este derivabilă pe

[0,+4), rezultă f este derivabilă pe [0,+4). Derivând egalitatea dată în problemă, obŃinem că:

f x

f x

x

xx

' ( )

( ); ( ) ( , )=

+∀ ∈ +∞

3 20 , iar prin integrare rezultă

ln ( ) ln ;( ) [ , )f xx

x c x= + + ∀ +∞3

32 0 .


4

Prin urmare funcŃia f are forma:

f x cx e c

x

( ) ; ( ) [ , ); ( , ).= + ∀ ∈ +∞ ∈ +∞2 3

3

0 0 ExerciŃiul 9. Să se determine funcŃiile derivabile f:[0,+4]→R care au

proprietatea că:

x f t dt x f xx

+ = +∫ ( ) ( ) ( )0

1 ;(∀)x>0.

ExerciŃiul 10. Să se determine toate funcŃiile continue f:[0,+4) →[0,+4) cu proprietatea că f(x)>0; (∀)x0(0,+4) şi care verifică egalitatea

3 20

f t dt xf xx

( ) ( )∫ = ; (∀)x0[0,+4).

ExerciŃiul 11. Să Se determine funcŃiile derivabile f:R→R care satisfac egalitatea:

e f x e f t dt xx t

o

x

( ) ( )− =∫ 2 2 ;(∀)x0R.

ExerciŃiul 12. Să se determine toate funcŃiile continue f:[0,+4) → (0,2

π ) care

satisfac relaŃia:

tg ctgf x dx f x dxx x

( ) ( )0 0∫ ∫= ; (∀)x0[0,+4).

ExerciŃiul 13. Să se calculeze: lim [ ]n n

nx dx→∞

∫1

0

1, unde [a] este partea întreagă a

numărului real a.

SoluŃie: Fie n0N*. Atunci (∀)k0N, k#n−1 şi (∀)x0

+n

k

n

k 1, , avem [nx]=k. De

aici deducem că:

.2

1

2

)1(1)1...1(

11...

321

)1(...20][1

3

2

2

1

1

0

1

0

−=

−=−++=

−++++=

=−++++= ∫∫∫∫∫−

nnn

nn

nn

n

nnn

dxndxdxdxdxnx

n

n

n

n

n

n

n

n

lim [ ] lim .n nn

nx dxn

n

→∞ →∞∫ =

−=

1 1 1

2

1

20

1

ExerciŃiul 14. Fie p0N, p$2. Să se calculeze

lim [ ] .n n

n

pp x dx

→∞∫

1

0

1, unde [a] este partea întreagă a numărului real a.

ExerciŃiul 15. Fie p,q0N; p,q$2. Să se calculeze:

lim[ ]

[ ]n

n

n

p x dx

q x dx→∞

∫

∫

0

1

0

1, unde [a] este partea întreagă a numărului real a.

ExerciŃiul 16. Să se calculeze:


5

lim [ ]n

n xe nx e dx→∞

−

∫

1

0

11 , unde [a] este partea întreagă a numărului real a.

ExerciŃiul 17. Să se calculeze: limsinx

tx

e dt

x→

∫

0

02

22

.

SoluŃie: Fie f:R→R definită prin f(t)=et 2

,(∀)t0R; f fiind continuă, admite primitive. Fie F:R→R o primitivă a funcŃiei f. Atunci F este derivabilă şi F '(t)= ,

2te (∀)t0R. Pe de altă parte, din continuitatea funcŃiei f deducem că ea este integrabilă pe [0,x

2];(∀)x0R. Atunci, în baza formulei lui Leibnitz-Newton, avem:

e dt F x Ftx 2

2

0

2 0∫ = −( ) ( ) ;(∀)x0R. Deoarece F este continuă, lim ( ) ( )x

F x F→

=0

2 0 .

Cum lim sinx

x→

=0

2 0 se obŃine o nedeterminare de forma 0

0 . Observăm că sunt

îndeplinite ipotezele teoremei lui l'Hospital, rezultă:

lim

sinlim

( ) ( )

sinlim

[ ( ) ( )]'

(sin )'

lim'( )

sin coslim

sin cos.

x

tx

x x

x x

x

e dt

x

F x F

x

F x F

x

xF x

x x

xe

x x

→ → →

→ →

∫=

−=

−=

= = =

0

02 0

2

2 0

2

2

0

2

0

22

4

0 0

2

21

ExerciŃiul 18. Să se calculeze:

a

t dt

xb

t dt

x

cx

t dt d

t dt

x

e

e dt

e dt

f

e dt

e dt

gx

t

t

dt hx t

x

x

x

x

x

tx

x

x

x

tx

tx

x

tx

tx

x

x

x

) limsin

; ) limcos

;

) lim ( sin ) ; ) lim( )

;

) lim ; ) lim ;

) lim

( )

; ) limln

sin

→ →

→ →∞

→ →

→∞ →∞

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

+

+

0

2

02 0

2

0

0

1

0

2

0

2

0

02

0

0

2

4

23

20 33

11 2

1

1

1

1 1

1

2

2

2

2

arctg

tg

tg

ctgπ π

dtx

1∫

;


6

i

e dt

e dt

j x e tdt

kx

t dt l e dt

mx

t

tdt n

tdt

tdt

ox

t tdt p

x

tx

tx x

tx

xx

tx

x

tx x

x

x

xx

x

x

x

x

x

) lim ; ) lim sin ;

) lim ; ) lim ;

) lim ; ) lim

sin

;

) lim sin ; ) lim

sin

→∞ →∞

→>

+

→∞

→ →>

→∞ →

∫

∫∫

∫ ∫

∫∫

∫

∫

++

2

2

2 2

0

1

2

2

0

2

0

1

00

21

0 0

1

0 0 00

0

0

22

0

1

1 10

1

1

tg

tg

∞∫

1

0xt tdt

x

sin .

ExerciŃiul 19. Fie f:[1,2]→R funcŃia definită prin f(x)=x3; (∀)x0[1,2].

Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de graficul funcŃiei f, dreptele de ecuaŃii x=1; x=2 şi axa Ox. SoluŃie: FuncŃia f fiind continuă şi pozitivă rezultă multimea Γf delimitată de graficul funcŃiei f, dreptele de ecuaŃii x=1; x=2, axa Ox are arie şi:

aria( )Γ f x dxx

= = =∫3

1

2 4

1

2

4

15

4.

ExerciŃiul 20. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba

yx x

x=

−+

2 8

1; dreptele x=8, x=9 şi axa Ox.

ExerciŃiul 21. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba y=x

2arctgx; dreptele x=0, x=1 şi axa Ox. ExerciŃiul 22. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba

y x x= +2 2 , dreptele x=0, x=1 şi axa Ox.

ExerciŃiul 23. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba y=(x+1)lnx, dreptele x=1, x=3 şi axa Ox. ExerciŃiul 24. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba y=sinx*lncosx*, dreptele x=0, x=π/4 şi axa Ox. ExerciŃiul 25. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba

yx

x x=

−

− + −

1

2 3, dreptele x=0, x=4 şi axa Ox.

ExerciŃiul 26. Fie f,g:[2,5]6R funcŃiile definite prin f(x)=-x2 şi g(x)=e

x;(∀)x0[2,5]. Să se calculeze aria mulŃimii plane delimitate de graficele funcŃiilor f şi g şi dreptele de ecuaŃii x=2 şi x=5. SoluŃie: FuncŃiile f şi g sunt continue. Mai mult f(x)#g(x),(∀)x0[2,5], rezultă mulŃimea Γf,g delimitată de graficele celor două funcŃii f şi g, dreptele x=2, x=5 are arie şi


7

( )aria( ) .,Γ f gx xe x dx e

xe e= + = +

= − +∫

2

2

5 3

2

5

5 2

339

ExerciŃiul 27. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curbele x=ex;

y=(x+1)e-2x şi dreptele x=0, x=1. ExerciŃiul 28. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curbele y=xarctgx; y=ln(1+x

2) şi dreptele x=0, x=1. ExerciŃiul 29. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de parabola y=2x−x

2 şi drepta x+y=0. ExerciŃiul 30. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curbele y=2x; y=2 şi x=0. ExerciŃiul 31. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curbele y=2-x2 şi y3=x

2. ExerciŃiul 32. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curbele y=lnx şi y=ln2

x. ExerciŃiul 33. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba y=max{x2+3x+2,-x2+6x+7},dreptele x=-3; x=3 şi axa Ox. ExerciŃiul 34. Să se calculeze aria mulŃimii din plan delimitate de curba y=(1+mx)emx; m>0 şi axele de coordonate. ExerciŃiul 35. Să se calculeze aria mulŃimii delimitate de curbele

y px x y px= − =4 22 ; şi dreptele x=0 şi x=2p. ExerciŃiul 36. Fie a,b0R astfel încât 1<a<b. Să se calculeze aria mulŃimii delimitate de graficul funcŃiei f:[a,b]→R definite prin:

f xt

x t tdt( )

sin

( cos ) sin=

− +∫

2 20

π; (∀)x0[a,b] şi dreptele de ecuaŃii x=a; x=b şi axa Ox.

ExerciŃiul 37. Fie a,b0R astfel încât 0<a<b. Să se calculeze aria mulŃimii

delimitate de graficul funcŃiei f:[a,b]→R f x te dttx

( ) = ∫0

; (∀)x0[a,b], dreptele de

ecuaŃii x=a; x=b şi axa Ox. ExerciŃiul 38. Să se calculeze aria mulŃimii delimitate de graficul funcŃiei f:[-1,2]→R definite prin:

f xt t t x daca x

t t t x daca x( )

max{ : }, [ , ]

min{ : } ( , ]=

− ≥ ∈ −

− ≤ ∈

3 2

3 2

11

1 2

dreptele de ecuaŃii x=−1; x=2 şi axa Ox. ExerciŃiul 39. Fie f:[1,2]6R funcŃia definită prin: f(x)=(1+*x*)1/x;(∀)x0[1,2]. Să se arate că aria mulŃimii delimitate de graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele x=1 şi x=2 este cuprinsă între 2 şi 3. ExerciŃiul 40. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia f:[0,2]→R definită prin f(x)=*x2−1*; (∀)x0[0,2]. SoluŃie: FuncŃia f este continuă pe [0,2] şi f(x)$0, (∀)x0[0,2], atunci corpul de rotaŃie Cf determinat de funcŃia f are volum şi


8

vol C x dxx

x xf( ) = − = − +

=∫π π

π2 2

0

2 53

0

2

15

2

3

46

15.

ExerciŃiul 41. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia

f:[0,π]→R definită prin:

]f x

x daca x

x daca x

( )

cos , ,

, ,

=

∈

− ∈

02

2 2

π

π ππ

ExerciŃiul 42. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia f:[0,2] →R definită prin: f(x)=e-x; (∀)x0[0,2]. ExerciŃiul 43. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia f:[0,1] →R definită prin: f(x)=arcsinx; (∀)x0[0,1]. ExerciŃiul 44. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia f:[1,e] →R definită prin: f(x)=xlnx; (∀)x0[1,e]. ExerciŃiul 45. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia

f:[0,π] →R definită prin:

)f x

x x

x x

( )

cos ; ,

; ,

=

∈

− ∈

02

2 2

π

π ππ

ExerciŃiul 46. Să se calculeze volumul corpului de rotaŃie determinat de funcŃia

f:[0,2] →R definită prin: f x x x( ) ( )= + −1 12 ;(∀)x0[0,2].

ExerciŃiul 47. Fie n0N; n$1. Să se calculeze volumul Vn al corpului de rotaŃie

determinat de funcŃia f:[0,2nπ]→R definită prin: f x e xx( ) sin= − ;

(∀)x0[0,2nπ]. ExerciŃiul 48. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:[1,2] →R; f(x)=arccose

-x; (∀)x0[1,2].

SoluŃie: Evident funcŃia f este derivabilă şi f xe

e e

x

x x' ( ) =

−=

−

−

−1

1

12 2;

(∀)x0[1,2]. Deoarece f ' este continuă pe [1,2] rezultă că graficul funcŃiei are lungime finită şi

( )

l fe

dxe

edx

ln e ee e

e e

x

x

x

x x

( )

ln .

= +−

=−

=

= + − =+ −

+ −

∫ ∫11

1 1

11

1

21

2

21

2

2

1

2 2 4

2

ExerciŃiul 49. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:

e

e,

1 →R definite

prin: f(x)=lnx; (∀)x0

e

e,

1 .


9

ExerciŃiul 50. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:[0,1]→R definite

prin: f xe e

x x

( ) =+ −

2; (∀)x0[0,1].

ExerciŃiul 51. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:[3,5]→R definite prin f(x)=arcsine

-x; (∀)x0[3,5] ExerciŃiul 52. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:[1,e] →R

definite prin f xx

x( ) ln=

−2

2

; (∀)x0[1,e].

ExerciŃiul 53. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:π π3

2

3,

→R

definite prin f(x)=lnsinx; (∀)x0π π3

2

3,

ExerciŃiul 54. Fie a>0. Să se calculeze lungimea graficului funcŃiei f:[0,a] →R definite prin f(x)=e

x; (∀)x0[0,a]. ExerciŃiul 55. Să se calculeze aria suprafeŃei de rotaŃie determinată de funcŃia f:[-1,1] →R definită prin f(x)=e

x; (∀)x0[-1,1]. SoluŃie: FuncŃia f este derivabilă pe [-1,1] şi f '(x)=e

x; (∀)x0[-1,1]. Deoarece f ' este continuă pe [-1,1] rezultă că suprafaŃa de rotaŃie determinată de funcŃia f are arie.

( )

( ) ( )A f e e dx e e e e

ee e

e e e

e

x x x x x x( ) ln

ln .

= + = + + + +

=

= − + ++ +

+ +

− −∫2 1 1 1

1 11

1 1

2

1

12 2

1

1

23 2

2

2

π π

π

ExerciŃiul 56. Să se calculeze aria suprafeŃei de rotaŃie determinate de funcŃia f:[0,π/2] →R definită prin f(x)=cosx; (∀)x0[0,π/2]. ExerciŃiul 57. Să se calculeze aria suprafeŃei de rotaŃie determinate de funcŃia f:[0,π/4] →R definită prin f(x)=tgx; (∀)x0[0,π/4]. ExerciŃiul 58. Să se calculeze aria suprafeŃei de rotaŃie determinate de funcŃia f:[0,1] →R definită prin f(x)=e

-x; (∀)x0[0,1]. ExerciŃiul 59. Fie a>0. Să se calculeze aria suprafeŃei de rotaŃie determinate de

funcŃia f:[-a,a] →R definită prin f(x)=e e

a

ax ax+ −

2; (∀)x0[-a,a].

ExerciŃiul 60. Fie f,g:[0,1] →R funcŃiile definite prin f(x)=x4 şi

g(x)= x ;(∀)x0[0,1]. Să se calculeze coordonatele centrului de greutate al plăcii plane omogene delimitate de graficele funcŃiilor f şi g şi dreptele de ecuaŃii x=0 şi x=1. SoluŃie: FuncŃiile f şi g sunt continue pe [0,1] şi f(x)#g(x), (∀)x0[0,1]. Avem:


10

( )

( )

( )

( ).

36

15,

2

1

36

152

1

,2

11

0

4

1

0

8

1

0

42

1

1

0

52

3

1

0

4

1

0

4

⇒=

−

−

==

−

−

=

−

−

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫G

dxxx

dxxx

y

dxxx

dxxx

dxxx

dxxxx

x GG

ExerciŃiul 61. Fie f:[0,2] →R funcŃia definită prin f x

e daca x

e

xdaca x

x

( ), [ , )

, [ , ]=

∈

∈

0 1

1 2.

Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene delimitate de graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele x=0; x=2. ExerciŃiul 62. Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene delimitate de curbele y=x

3, y=x şi dreptele de ecuaŃii x=0; x=1. ExerciŃiul 63. Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene delimitate de curba y=cosx, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=0; x=π/2. ExerciŃiul 64. Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene delimitate de curba y=sinx,axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=0; x=π. ExerciŃiul 65. Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene

delimitate de curba y= 4 2− x , axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=0; x=2. ExerciŃiul 66. Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene

delimitate de curba y=x

x2

4− ln , axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=1; x=2.

ExerciŃiul 67. Fie 1#a<b<+4 şi f:(0,+4)→R funcŃia definită prin f(x)=lnx;(∀)x0(0,+4). Să se calculeze centrul de greutate al plăcii plane omogene delimitate de graficul funcŃiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaŃii x=a; x=b. ExerciŃiul 68. Fie F:R→R funcŃia definită prin F(x)=x

2; (∀)x0R. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de forŃa

�

F pentru deplasarea unei particule materiale P din punctul a=1 în punctul b=10. SoluŃie: FuncŃia F este continuă şi atunci lucrul mecanic efectuat este:

L L F x dxa b= = =−

=∫, ( ) 2

1

10 310 1

3333.

ExerciŃiul 69. Fie F:R→R funcŃia definită prin F(x)=x; (∀)x0R. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de forŃa

�

F pentru deplasarea unei particule materiale P din punctul a=0 în punctul b=4.

ExerciŃiul 70. Fie F:(0,+4) →R funcŃia definită prin F(x)=− ∈

− ≥

10 1

1

2

4

xx

x x

; ( , )

;

.

Să se calculeze lucrul mecanic efectuat de forŃa �

F pentru deplasarea unei particule materiale P din punctul a=1/2 în punctul b=2.

ExerciŃiul 71. Se consideră funcŃia: f x e dttx

( ) = ∫tg

arctg 2

0.

a) Să se arate că f este definită şi derivabilă pe R; b) Să se calculeze f '; c) Să se deducă relaŃia:


11

xf x

edx

e

e

xdx

x

x( )2

2

0

1

20

11

2 1 8∫ ∫+

+=

π.

ExerciŃiul 72. a) Dacă f şi g sunt două funcŃii continue pe [a,b] să se arate că trinomul:

( )t g x dx t f x g x dx f x dxa

b

a

b

a

b2 2 22( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+ +

este nenegativ pentru (∀)t0R. b) Să se deducă inegalitatea lui Cauchy-Buniakovski în forma integrală:

f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫≤

2 2

ExerciŃiul 73. Folosind inegalitatea Cauchy-Buniakovski în forma integrală să se arate că:

ln( )

sinn

n n nsi xdx

+

≤+

<∫1 1

1 3

3

2

0

2

π

π

ExerciŃiul 74. Fie f:[0,a]→R o funcŃie cu derivata continuă şi astfel ca f(0)=0. Atunci:

a) f x dx a x f x dxa a

( ) ( ) '( )0 0∫ ∫= − şi să se deducă de aici că:

f x dxa

f xa

x a( ) max '( )

0

2

02∫ ≤

≤ ≤;

b) f x f x dxa

f x dxa a

'( ) ( ) '( )0

2

02∫ ∫≤ .

ExerciŃiul 75. Să se determine numărul n0N astfel ca volumul corpului ob]inut

prin rotirea graficului funcŃiei f(x)=cos(narccosx) în jurul axei Ox să fie egal cu 2

3

π.

ExerciŃiul 76. (problema 23314 G.M. 7/1995 pag.333) Notăm

a xx

dxnn

n

=+

∫ sin11

,n0N*. Să se calculeze lim ( )n

nn a→∞

α , unde a0R este fixat.

SoluŃie: Conform teoremei de medie (∃)xn0(n,n+1) astfel încât a xx

n nn

= sin1

.

Cum xn>n, rezultă limn

nx→∞

= ∞ . Atunci: lim lim sin lim

sin

nn

nn

n n

n

n

a xx

x

x

→∞ →∞ →∞= = =

1

1

11. Prin

urmare lim lim lim lim

,

,n

nn n

nn

n a n a n

daca

daca

daca→∞ →∞ →∞ →∞

= = =

<

=

∞ >

α α αααα

0 0

1 0

0

.


12

ExerciŃiul 77. (problema 23319 G.M. 7/1995 pag 333) Fie funcŃia f:R→R;

f xnx

x x nn ( ) =

+ +

22 2

,n0N* şi an=maxfn(x).

a) Să se calculeze An=a1a2...an şi să se arate că: Ak

n

knk

k

n C=−

+=∑

( )1

2 10.

b) Să se calculeze B mk m

n

knk

k

n C( )( )

=−

+=∑

1

20; m0N* fixat.

SoluŃie: a) Derivata funcŃiei fn este funcŃia f 'n:R6R, ( )

fn n x

x x nn '

( )=

−

+ +

2 2 2

2 2.

Maximul funcŃiei se atinge în punctul x=n şi este an

nn =

+2

2 1. Atunci:

An=a1a2...an=2

3

4

5

2

2 1...

n

n + (1)

Calculăm acum suma Sk

knk

k

n C=−

+=∑

( )1

2 10. Folosind proprietăŃile integralei şi faptul că

integrala unei funcŃii pare pe un interval [-a,a] este dublul integralei acelei funcŃii pe intervalul [0,a], avem:

Sk

x dx x dx

x dx x dx A

knk

k

nk

nk k

k

nk

nk

k

nk

n nn n

CC C=

−+

= −

= −

=

= − = − =

= = =

−

∑ ∫∑ ∑∫

∫ ∫

( )( ) ( )

( ) ( ) ,

1

2 11 1

11

21

1

2

0

2

0

1

0 0

2

0

1

2

0

12

1

1(2)

unde pentru m,n0N notăm A x x dxn mn m

, ( ) ( )= + +−∫ 1 11

1. Calculând prin părŃi, obŃinem

formula de recurenŃă An

mAn m n m, ,=

+ − +1 1 1 pe care aplicând-o în mod repetat obŃinem:

( )( ) ( ) ( )A

n

m m m nA

m n

m n

An

n

n

n n

n

n

n m m n

m n

n n

n n

, ,

,

!

...

! !

!

( !)

( )!

( !)

( )!!( )!!

...

... ( )

=+ + +

=+ +

⇒

⇒ =+

=+

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

+

+ +

1 2

2

1

1

2

2

2 1

2

2 2 1

2 4 6 2

3 5 7 2 1

0

1

2 2 2

łinând seama de (1) şi (2) rezultă A Sk

n

knk

k

n C= =−

+=∑

( )1

2 10.

b)

B mk m

x dx

x dx x x dx

n

knk

k

nk

nk

k

n

m knk

k

nm n

CC

C

k m

( )( )

( )

( ) ( ) .

=−

+= −

=

= −

= −

= =

−

=

−

∑ ∫∑

∑∫ ∫

+ −1

21

1 1

0

2

0

1

0

1

00

11 2

0

1

1


13

Integrând prin părŃi se obŃine formula de recurenŃă Bn(m)=Bn+1(m−2). Se aplică repetat această formulă, discutându-se după paritatea lui m, iar

( )

Bq

xq

dx A iar

B x x dxx

q

q q

q q

q

q

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

,1 1 2

0

1 1

2

2 11 2 1

2 10

11

2 12

0

1

= −∫ =

= − =− +

− +=

+∫

.

ExerciŃiul 78 (problema dată la olimpiada 1997, etapa pe municipiu, Bucureşti)

Fie p0N* şi (an)n$1 un şir cu an$1, (∀)n0N* şi an→4. Să se calculeze [ ]

limn

n

nk

a a

a k

n

p

→∞ = +∑ 2 2

1, (unde prin [x] s-a notat partea întreagă a numărului x).

SoluŃie: Fie n0N* şi [ ]

fa

af x

x

np

n

: , ; ( )01

1 2

→ =+

R . Considerăm diviziunea

∆=[ ] [ ]

01 2 1

, , ,..., ,a a

a

a

a

an n

np

n

np

n

−

şi sumele inferioare şi superioare Darboux:

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ]

s f fk

a a

a

a ksi

S f fk

a af

a

a

a kf

a

a a

n nk

an

nk

a

n n n

n

nk

an

p

n nk

a

n

p

n

p

n

p

n

p

∆

∆

( )

( ) ( ) ( )

=

=

+

=−

= +

+−

= =

==

∑ ∑

∑∑

1

1 10

1 11

12 2

1

2 211

FuncŃia fiind descrescătoare pe [0,+4). Dacă notăm (xn)n$1, şirul dat de relaŃiile (1), deducem că

[ ]

S fa

fa

a ax s f

n

np

n nn∆ ∆( ) ( ) ( )− +

= =

1 12 .

Cum f este continuă rezultă că f este integrabilă pe

[ ]0,

a

a

np

n

, din (2) rezultă

[ ] [ ]

[ ]f x dx b x f x dx unde b

af

a

a

a

a

n n

a

a

nn

n

p

n

np

n

np

n

( ) ( ) ,0 0

11∫ ∫+ ≤ ≤ =

−

,

deci [ ] [ ]

arctg arctga

ab x

a

an

np

nn n

np

n

+ ≤ ≤ ∀ ≥;( ) ( )1 3

Deoarece f este mărginită şi lim limn

nn

na b→∞ →∞

= +∞⇒ = 0. Dacă p=1 din (3) rezultă

limn

nx→∞

=π4

, iar dacă p$2, rezultă limn

nx→∞

=π2

.


14

ExerciŃiul 79. (problemă dată la olimpiada naŃională 1997) Să se arate că pentru orice funcŃie continuă f:[-1,1]→R are loc inegalitatea:

f x dx f x dx xf x dx2

1

1

1

1 2

1

1 21

2

3

2( ) ( ) ( )

− − −∫ ∫ ∫≥

+

. PrecizaŃi funcŃiile f pentru care

inegalitatea de mai sus devine egalitate.

SoluŃie: Dacă f este pară atunci xf x dx( )−∫ =1

10 şi inegalitatea din enunŃ devine:

f x dx f x dx2

0

1

0

1 2

( ) ( )∫ ∫≥

(1)

Dacă f este impară, ea devine: f x dx xf x dx2

0

1

0

1 2

3( ) ( )∫ ∫≥

(2). Inegalită]ile (1) şi (2) se

deduc din inegalitatea Cauchy-Schwartz-Buniakowski

f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( ) ,0

1 22 2

0

1

0

1

∫ ∫∫

≤ considerând g(x)=1 pentru (1) şi g(x)=x pentru

(2). Fie f:[-1,1]→R o funcŃie continuă şi f1,f2:[-1,1]→R

f xf x f x

f xf x f x

1 22 2( )

( ) ( ); ( )

( ) ( )=

+ −=

− −. Evident f1 este pară, f2 este impară şi

f=f1+f2. Cum f1f2 este impară atunci

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx2

1

1

12

1

1

22

1

1

12

0

1

22

0

12 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫= + = +

)4()(3)(2

)(2

3)(

2

1)(

2

3)(

2

1

21

0

2

21

0

1

21

1

2

21

1

1

21

1

21

1

+

=

=

+

=

+

∫∫

∫∫∫∫−−−−

dxxxfdxxf

dxxxfdxxfdxxxfdxxf

Din (3) şi (4) inegalitatea din enunŃ devine:

f x dx f x dx f x dx xf x dx12

0

1

22

0

1

10

1 2

20

1 2

3( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫+ ≥

+

, care este adevărată din

(1) şi (2). Egalitatea are loc dacă şi numai dacă:

f x dx f x dx si f x dx xf x dx12

0

1

10

1 2

22

0

1

20

1 2

3( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫=

=

.

Cum în inegalitatea C-S-B cazul de egalitate are loc dacă şi numai dacă f=λg cu λ0R obŃinem: f1(x)=a, f2(x)=bx cu a,b0R şi deci f(x)=a+bx, (∀)x0[-1,1].

ExerciŃiul 80. (problemă dată la olimpiada naŃională 1997)


15

Fie şirul de funcŃii (fn)n0N, fn:[0,1]6[0,+4) cu f0 continuă arbitrară şi

fn+1(x)=1

10 +∫

f tdt

n

x

( ); (∀)n0N şi x0[0,1]. Să se arate că pentru orice x0[0,1] şirul fn

este convergent şi să se calculeze limita sa. SoluŃie: Pentru început vom rezolva în mulŃimea funcŃiilor continue şi pozitive pe

[0,1] ecuaŃia funcŃională f xf t

dt( )( )

=+

∫1

10

1, x0[0,1] (1)

Fie f o soluŃie a ecuaŃiei (1). Atunci f este derivabilă pe [0,1] şi

f xf x

'( )( )

=+

1

1 sau f '(x)(1+f(x))=1. Cum f t f t dt dt

x x

'( )( ( ))10 0

+ =∫ ∫ şi f(0)=0, obŃinem

f xf x x deci f x x

2

20 1 2 1

( )( ) , ( )+ − = = + − . Vom arăta că

lim ( ) ( )n

nf x f x→∞

= ,(∀)x0[0,1]. Pentru x=0 este evident. Fie x0(0,1). Avem:

( )( )

f x f xf t f t

dtf t f t

f t f tdt

f t f t dt x f t f t cu t x

nn

xn

n

x

n

x

n

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]

− =+

−+

=

−+ +

≤

≤ − = − ∈

−

−

−

− −

∫ ∫

∫

1

1

1

1 1 1

0

10

1

10

10

1 1 1 1

obŃinut prin aplicarea teoremei de medie funcŃiei fn-1−f pe [0,x]. Procedând analog obŃinem:

f t f t t f t f t t t f t f t

t t t f t f t cu t t x

n n n

n n n n

− − −

−

− ≤ − ≤ − ≤ ≤

≤ − ≤ ≤ ≤ ≤1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 3

1 2 1 0 10

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

... ( ) ( ) ...

ObŃinem în final f x f x x f t f tnn

t( ) ( ) ( ) ( )

[ , ]max− ≤ −∈ 0 1

0 . Cum

lim lim ( ) ( )[ , ]

( ) ( )n

n

t nnx f x f xf t f t

→∞ ∈ →∞− = ⇒ =0 1

0 0 .

Pentru x=1, fie ε>0 şi a0(0,ε/4). Avem:

( )

f f f t f t dt f t f t dt f t f t dt

f t f t dt a f t f t f t f t dt

a f t f t f t f t dt a

n n n

a

na

nt

n

a

n

a

tn n

a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) max ( ) ( ) ( ) ( )

max ( ) ( ) ( ) ( )

[ , ]

[ , ]

1 1

2

10

1

10

1

11

1

10 1

10

1

10

1

0 11 1

0

1

− ≤ − = − + − ≤

≤ − + − ≤ − +

+ + ≤ − +

− −

−

−−

−∈

−

−

−

−

∈− −

−

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

Cum lim ( ) ( )n

n

a

f t f t dt→∞

−

−− =∫ 1

0

10 , (∃)Nε0N astfel încât pentru (∀)n$Nε rezultă

f t f t dtn

a

−

−− ≤∫ 1

0

1

2( ) ( )

ε.

ObŃinem f f an ( ) ( )1 12

2− ≤ + <ε

ε ,(∀)n$Nε deci lim ( ) ( )n

nf f→∞

=1 1 .

ExerciŃiul 81. (23733 G.M. 4-5/1997 pag.199)


16

Fie f:[0,1]6R derivabilă de două ori pe [0,1] cu f "(x)>0, (∀)x0[0,1]. Dacă p0N, p$2 demonstraŃi că:

f x dxp

pf

p

pf x dx

p

( ) ( ) ( )1

1

2

2

0

111

1∫ ∫≤

−+

−

SoluŃie: FuncŃia f este integrabilă Riemann pe [0,1] deci şi pe [1/p,1]. Fie ∆

o diviziune echidistantă a intervalului [1/p,1] de normă p

pn

− 1

∆: ...( )

...( )

xp

xp

p

pnx

p

k p

pnx

p

n p

pnk n0 1

1 1 1 1 1 1 11= < = +

−< < = +

−< < = +

−=

Atunci:

f x dx f x x x fp

k p

pn

p

pn

p

pnf

p

k p

pn

p

nk k k

k

n

n k

n

n k

n

( ) lim ( )( ) lim( )

lim( )

.

1

1

11 1

1

1 1 1

1 1 1

∫ ∑ ∑

∑

= − = +−

−=

=−

+−

→∞−

= →∞ =

→∞ =

FuncŃia f fiind convexă, avem:

fp

k p

pnf

p

p

p

k

n pf

p

pf

k

ndeci

fp

k p

pn

n

pf

p

pf

k

nsi

k

n

k

n

1 1 1 1 11

1

1 11

1

11

+−

= +

−

≤ +

−

+−

≤ +

−

==

∑∑

( )( )

( )( )

p

pnf

p

k p

pn

p

pf

p

p nf

n

kk

n

k

n−+

−

≤

−+

−

= =∑ ∑

1 1 1 11

1 1

12

2

1

( )( )

Prin urmare

f x dxp

pf

p

p nf

n

kp

k

n

( ) ( )1

1

2

2

1

11

1 1∫ ∑≤

−+

−

=.

Dar lim ( )n k

n

onf

n

kf x dx

→∞ =

=∑ ∫1

1

1 deci:

f x dxp

pf

p

pf x dx

p

( ) ( ) ( )1

1

2

2

0

111

1∫ ∫≤

−+

−

ceea ce trebuia arătat.

ExerciŃiul 82. (G.M. 7-8/1997, problema 23776) Să se arate că dacă f:[1989,1999]→R este o funcŃie integrabilă şi convexă,

atunci f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( )1992

1996

1989

1991

1997

1999

∫ ∫ ∫≤ +


17

SoluŃie: Considerăm şirurile de diviziuni echidistante tinzând în normă la zero pentru intervalele [1989,1991],[1992,1994],[1994,1996],[1997,1999].

∆

∆

∆

∆

1

2 0

3 0

4 0

1989 1991 19892

0

1992 1994 19922

0

1994 1996 19942

0

1997 1999 19972

0

non

nn

kn

n nnn

kn

n nnn

kn

n nnn

kn

x x xn

k k n

y y yn

k k n

z z zn

k k n

t t tn

k k n

= = < < = = + =

= = < < = = + =

= = < < = = + =

= = < < = = + =

( ... ), ; ,

( ... ), ; ,

( ... ), ; ,

( ... ), ; ,

Atunci ∆ in

n= →

20.(∀)i0{1,...,4}. Vom determina λ,µ0(0,1) astfel încât

y x t si z x tkn

kn

kn

kn

kn

kn= + − = + −λ λ µ µ( ) ( )1 1 (∀)n0N*, k0{1,...,n}. Avem:

1992

21989

21 1997

2

1992 1997 85

8

+ = +

+ − +

⇔

⇔ = − ⇔ =

nk

nk

nkλ λ

λ λ

( )

şi analog µ =3

8.

Folosind convexitatea funcŃiei f, avem:

( )f y f x f t si f z f x f t

f y f z f x f t n k n

kn

kn

kn

kn

kn

kn

kn

kn

kn

kn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ),( ) ,( ) ,*

≤ + = + ⇒

⇒ + ≤ + ∀ ∈ ∀ = ⇒

5

8

3

8

3

8

5

8

0N

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )⇒ + ≤ + ⇒

⇒ + ≤ +

= = = =∑ ∑ ∑ ∑f y

nf z

nf x

nf t

n

f y f z f x f t

kn

k

n

kn

k

n

kn

k

n

kn

k

n

n n n nn n n n

( ) ( ) ( ) ( )

, , , ,

2 2 2 2

1 1 1 1

2 3 1 4σ σ σ σ

∆ ∆ ∆ ∆

Deoarece f este integrabilă pe intervalele compacte mai sus menŃionate, trecând la limită se obŃine:

f x dx f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( ) ( )1992

1994

1994

1996

1989

1991

1997

1999

∫ ∫ ∫ ∫+ ≤ + rezultă:

f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( )1992

1996

1989

1991

1997

1999

∫ ∫ ∫≤ + .

ExerciŃiul 83. (G.M. 8/1995, problema 23341) Să se calculeze:

Ln

nk

n

k

n

n k

n

=+

→∞ =∑lim

sin cos

1

2

1

24 4

1 π π

SoluŃie:


18

Lk

n

k

n

nn k

n

=+

→∞ =∑lim

sin cos

1

2 2

1

4 4

1

1 π π

Fie f:[0,1]6R, f x

x x

( )sin cos

=

+

1

4 4

π π continuă pe [0,1] şi deci

integrabilă pe [0,1]. Considerăm pe [0,1] şirul de diviziuni

∆n:(0=x0<x1=1

n<...<xn=1) cu ∆ = →

10

n şi sistemul de puncte intermediare

ξ k

k

nk n= =, ,1 ; suma din enunŃ este o sumă Riemann a funcŃiei f pe [0,1]

multiplicată cu 1

2 2:

1

2 2

1

2 2

1

2 2

1 1

4 4

11 1

σ ξ ξπ π∆ n

f f x xn k

n

k

n

k k k kk

n

k

n

( , ) ( )( )sin cos

= − =

+

−= =∑ ∑

L f x dx

x x

dxt t

dt

t

dt

t

dt

x t

= =

+

=+

=

=+

=+

∫ ∫ ∫

∫ ∫

=1

2 2

1

2 2

1

4 4

1

2 2

1 4

2

2

1

24

1 1

4

0

1

0

1 4

0

4

0

4

0

4

( )sin cos

sin cos

sin sin

π π π

π π π π

π π

π π

Cum

( )1

42 8 8 8

2 1

1 2 11

2 12 1

0

4

0

4

sinln ln ln

ln ln( ) ln ln( ).

t

dt tgt

tg

+

= +

= +

− − =

= − − =−

= +

∫ ππ π π

π π

ExerciŃiul 84. Să se arate că există o funcŃie continuă f:R→R astfel încât 1 1

220xe tdt f xt

x

sin ( )∫ + = ,(∀)x0R*.

ExerciŃiul 85. Fie f x ex ex e

x e( ) ln= +

−

+4 2 . Se cer:

a) Aria cuprinsă între graficul lui f, axa Ox şi dreptele x=2e, x=3e; b) Lungimea arcului de curbă y=f(x) cuprins între dreptele x=2e, x=3e. ExerciŃiul 86. Să se calculeze volumul torului generat de rotaŃia suprafeŃei plane

limitate de cercul x

2+(y-h)2=R2, (h>R)

în jurul axei Ox.

Analiza matematică – probleme propuse Virgil-Mihail Zaharia

2012

1

Model test primitive și integrala nedefinită

1. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 3 2, 1

ln , 1x x x

x x

. Să se arate că funcţia f admite

primitive pe R.

2. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 2, 1

( 1)ln , 1x x xx x x


primitive pe R.

3. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=, 1

2 , 1

xe e xx x


primitive pe R.

4. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 , 0

1, 0

xx e x

x x


primitive pe R.


, 0

x x

x x x


primitive pe R.

6. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2

5, 13 1, 1x xx x


primitive pe R.


ln 2, 1

x xx

x x


primitive pe R.

8. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2 3 2, 1

ln , 1x x x

x x


primitive.


1 , 01

x x

x xx


primitive pe R.

10. Se consideră funcţia f: ,0 R , f(x)= 2

11x

. Să se arate că funcţia F: ,0 R ,

F(x)= 1xx

este o primitivă a funcţiei f.

11. Se consideră funcţia f: R R, f(x)= xxe . Să se arate că funcţia F: R R, F(x)= ( 1) xx eeste o primitivă a funcţiei f.

12. Se consideră funcţiile f,g: ,0 R , date prin f(x)= 2 lnx x x şi g(x)= 2x + ln x + 1. Săse arate că f este o primitivă a funcţiei g.


2012

2

13. Se consideră funcţia f: R R, f(x)= 23 2xe x . Să se arate că funcţia F: R R,F(x)= 3 2 1xe x x este o primitivă a funcţiei f.

14. Se consideră funcţia f: ,1 R , f(x)= ln xx

. Să se arate că funcţia g: ,1 R ,

g(x)= 2

1 ln xx este o primitivă a funcţiei f.

15. Se consideră funcţia f: R R, f(x)= 2 2xe x x . Să se arate că funcţia F: R R,

F(x)=3

2 13

x xe x este o primitivă a funcţiei f.

16. Se consideră funcţiile f,F: ,0 R, 1( ) x xf x ex

şi F(x)= lnxe x x . Să se arate

că funcţia F este o primitivă a funcţiei f.17. Se consideră funcţia f: 1,0 R , f(x)= 2x . Să se calculeze 2 ( )f x dx .

18. Se consideră funcţia f:

,21 R , f(x)= 2 1x . Să se calculeze 2 ( )f x dx .

19. Se consideră funcţia f: ,0 R , f(x) = 1 11 2x x

. Să se arate că

2( 1)( 2) ( ) 3 , 0x x f x dx x x C x .

20. Se consideră funcţia f: ,0 R , f(x)= 1xx

. Să se determine ( )f x dx .

21. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2xe . Să se determine , 0,f x dx x .

22. Se consideră funcţia f: R R, f(x)=2

2

2 11

x xx

. Să se determine 2( 1) ( )x f x dx .

23. Se consideră funcţia, f(x)= 1004 2012xx . Să se determine ( )f x dx .

24. Se consideră funcţiile f,g: ,0 R , date prin f(x)= lnx x şi g(x)= 22x

x . Să se

arate că f este o primitivă a funcţiei g.25. Se consideră funcţia f: 0,1 R , f(x)=1– x. Să se determine ( )f x dx .

26. Se consideră funcţia f: 2,12, ( )f x xx

R . Să se determine ( )f x dx .

27. Să se determine 1 3 x dxx

.

28. Să se determine ( )x x dx .

29. Se consideră funcţia f: ,1 R , f(x)= 1ln xx

. Să se arate că funcţia F: ,1 R,

F(x)=(x+1) ln x – x + 1 este o primitivă a funcţiei f.30. Se consideră funcţiile :[0,2]mf R definite prin (2 )n

mf x . Să se determine 1( )f x dx .


2012

3

31. Se consideră funcţiile :[0,1]mf R definite prin (1 )m mmf x x x . Să se determine

2 ( )f x dx .

32. Se consideră funcţiile :mf R R definite prin 1mmf x . Să se determine 1( )f x dx .

33. Se consideră funcţiile : 0,1mf R definite prin 2 2 2( ) ( 1) 1,mf x m x m m x undemR. Să se calculeze 1( ) .f x dx

34. Se consideră funcţiile :[0,1]mf R definite prin 1( 1)m xmf x e . Să se determine

0 ( ) xf x e dx .

35. Se consideră funcţiile :[0,1]mf R definite prin ( ) ,nx

nf x e n N . Să sedetermine 1( )f x dx .

Documents

Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme ... · Analiză matematică clasa a XII-a – Bacalaureat – probleme rezolvate 2 8) a x dx a x x arcsin ( ) ( ) 2