Varianta model bacalaureat 2015 matematicƒ M1 mate-info

  • View
    55

  • Download
    10

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Rezolvarea pe înțelesul începătorilor a variantei model de bacalaureat 2015 matematică M1 mate-info.

Text of Varianta model bacalaureat 2015 matematicƒ M1 mate-info

  • Mat

    emat

    ica

    pent

    run

    cepa

    tori

    mat

    emat

    icap

    entr

    uinc

    epat

    ori.b

    logs

    pot.

    roVarianta model pentrubacalaureat 2015 M1 (mate-info)

    Abel Cavas, i

    28 februarie 2015

    1

    mailto:abel.cavasi@gmail.com

  • Mat

    emat

    ica

    pent

    run

    cepa

    tori

    mat

    emat

    icap

    entr

    uinc

    epat

    ori.b

    logs

    pot.

    ro

    2

    Cuvant nainte

    Scumpi elevi de clasa a XII-a. S, tiu ca se apropie baculs, i ca unii dintre voi au ceva emot, ii legate de modul n carese vor descurca la mate. As,a ca, pentru a va diminua cevadin aceste emot, ii, am creat aceasta cart,ulie pentru voi s, i,sper, pe nt,elesul vostru. Ea cont, ine rezolvarea foartedetaliata a variantei model propusa pentru anul 2015 lamate-info s, i este inspirata de pe blogul meu adresat ncepatorilorn ale matematicii:matematicapentruincepatori.blogspot.rounde gasit, i o mult, ime de alte informat, ii pret, ioase.

    Cartea este structurata as,a cum este structurata s, ivarianta de bac, iar rezolvarile sunt puse imediat subprobleme.

    Mult succes! Iar daca avet, i ntrebari, nu ezitat, i sa macontactat, i.

    http://subiecte2015.edu.ro/2015/bacalaureat/modeledesubiecte/probescrise/E_c_Matematica.ziphttp://matematicapentruincepatori.blogspot.romailto:abel.cavasi@gmail.commailto:abel.cavasi@gmail.com

  • Mat

    emat

    ica

    pent

    run

    cepa

    tori

    mat

    emat

    icap

    entr

    uinc

    epat

    ori.b

    logs

    pot.

    ro

    3

    Subiectul I

    Problema 1: Fie numarul complexz = 1 + i. Sa se calculeze (z 1)2.Rezolvare.

    Metoda 1. Metoda corecta (deci, s, i rapida) de rezolvareeste simpla nlocuire a lui z. Adica, (z 1)2 = [(1 + i)1]2 = (1 + i 1)2 = i2 = 1.

    Metoda 2 O metoda mult mai laborioasa s, i nereco-mandata ar fi sa ridicam ntai la patrat binomul (z 1)cu ajutorul formulei de calcul prescurtat (a+ b)2 = a2 +2ab + b2 s, i abia apoi sa facem nlocuirile lui z cu 1 + i.Desigur, am avea mult mai mult de lucru.

    (z 1)2 = z2 2z + 1 = (1 + i)2 2(1 + i) + 1 =12 + 2i+ i2 2 2i+ 1 = i2 = 1.

    Problema 2: Aratat,i ca3(x1 + x2) 4x1x2 = 3, unde x1 s, i x2 suntsolut,iile ecuat,iei x2 5x+ 3 = 0.Rezolvare. Ar fi inutil s, i am pierde timp pret, ios dacane-ar fi lene sa gandim put, in s, i ne-am arunca direct ngasirea solut, iilor x1 s, i x2 cu metoda veche, aceea cu delta.Nu e cazul!

  • Mat

    emat

    ica

    pent

    run

    cepa

    tori

    mat

    emat

    icap

    entr

    uinc

    epat

    ori.b

    logs

    pot.

    ro

    4

    Ori de cate ori avem de calculat o expresie ce cont, inesuma s, i produsul radacinilor, ne va sari mintea la RELAT, IILELUI VIETE. Caci, atat suma, cat s, i produsul, constituieambele relat, ii ale lui Viete s, i le putem nlocui cu valorilecoeficient, ilor care apar n ecuat, ie.

    Mai exact, x1 + x2 = ba = 51

    = 5 s, i x1x2 =ca

    =31

    = 3.As,adar,

    3(x1 + x2) 4x1x2 = 3 5 4 3 = 15 12 = 3,

    as,a cum trebuia sa aratam.

    Observat, ie Dar, daca totus, i dorit, i sa vedet, i cum ar fiaratat solut, iile acestei ecuat, ii, le putem obt, ine cu delta.Astfel, = 25 12 = 13. Acest 13, nefiind un patratperfect, este deja suficient de urat ncat sa va puna peganduri cum ca nu prea suntet, i pe drumul bun spre re-zolvarea problemei n maniera cea mai bine punctata.

    Am avea mai departe x1 =513

    2s, i x2 =

    5+13

    2.

    Adunand aceste solut, ii va va ramane 5, iar nmult, indu-le s, i folosindu-va eventual de formula de calcul prescurtat

    (a b)(a + b) = a2 b2, unde a = 52, iar b =

    132

    , vet, iobt, ine

    25134

    = 3. Adica aceleas, i rezultate pe care le-amobt, inut mai sus mult mai simplu cu relat, iile lui Viete.

  • Mat

    emat

    ica

    pent

    run

    cepa

    tori

    mat

    emat

    icap

    entr

    uinc

    epat

    ori.b

    logs

    pot.

    ro

    5

    Problema 3: Rezolvat,i n R ecuat,ia4x 3 2x + 2 = 0.Rezolvare. Nu s,tim sa rezolvam ecuat, ii exponent, ialen general, as,a ca trebuie sa facem un artificiu, o s,mecherie,prin care sa transformam ecuat, ia exponent, iala ntr-unacu care suntem familiarizat, i. S, i care este cea mai uzualaecuat, ie pe care s,tim s-o rezolvam? Desigur, ecuat, ia degradul doi. As,adar, haidet, i sa vedem daca nu cumvaecuat, ia noastra exponent, iala poate deveni o ecuat, ie degradul doi.

    Inainte de toate, ca sa scapam de exponentul acelacare ne ncurca, facem substitut, ia t = 2x. As,adar, ecuat, ianoastra devine 4x 3t+ 2 = 0.

    Acum ne mai ncurca 4x. Pentru aceasta ne mai tre-buie un pas n care sa ne amintim cateva formule de calculcu puteri. Avem

    4x = (22)x = 22x.

    Cum nmult, irea de la exponent este comutativa, obt, inem

    4x = (22)x = 22x = 2x2 = (2x)2 = t2.

    As,adar, ecuat, ia noastra exponent, iala devine n total-itate o ecuat, ie banala s, i dragut, a de gradul doi:

    t2 3t+ 2 = 0.

    Aceasta este una dintre cele mai cunoscute ecuat, iide gradul doi s, i sunt convins ca i putet, i calcula us,or s, i

  • Mat

    emat

    ica

    pent

    run

    cepa

    tori

    mat

    emat

    icap

    entr

    uinc

    epat

    ori.b

    logs

    pot.

    ro

    6

    repede solut, iile, eventual cu ajutorul relat, iilor lui Vietesau, mai primitiv, cu delta. Obt, inem atunci t1 = 1 s, it2 = 2.

    Dar noua ne trebuiesc valorile pentru x, nu pentrut. Unii elevi pur s, i simplu uita sa termine problema,avand impresia ca dupa rezolvarea ecuat, iei n t au ter-minat ntreaga rezolvare. Ei bine, mai trebuie sa gasimvalorile corespunzatoare pentru x din relat, ia 2x = t.

    Avem atunci s, i pentru x doua valori. Prima valoare alui x este cea care corespunde primei valori a lui t. Deci,2x1 = t1 = 1. Dar, 2 la ce putere ne da 1? Evident, laputerea 0. As,adar, x1 = 0.

    Pe x2 l gasim din relat, ia 2x2 = t2 = 2. Deci, 2 la

    ce putere ne da tot 2? Evident, la puterea 1. Astfel,obt, inem ca x2 = 1.

    Problema 4: Calculat,i probabilitatea caalegand un numar din mult,imeanumerelor naturale de doua cifre,acesta sa fie divizibil cu 13.

    Rezolvare. Din punctul de vedere al cunos,tint,elor pecare le-at, i acumulat n liceu, probabilitatea este un numarmai mic sau egal cu 1 (niciodata supraunitar!) dat de ofract, ie care cont, ine la numarator (sus) un numar maimic numit

    numarul cazurilor favorabile, iar la numitor

    numarul maxim, numitnumarul cazurilor posibile.

  • Mat

    emat

    ica

    pent

    run

    cepa

    tori

    mat

    emat

    icap

    entr

    uinc

    epat

    ori.b

    logs

    pot.

    ro

    7

    Deci, P = numarul cazurilor favorabilenumarul cazurilor posibile

    .Ne mai ramane sa determinam concret aceste numere

    care apar n expresia probabilitat, ii.Incepem cu

    mult, imea numerelor naturale de doua

    cifre. Cate asemenea numere naturale sunt? Asta-intrebarea init, iala. Procedam sistematic. Numere nat-urale de doua cifre care sa nceapa cu 0 nu avem. As,adar,avem doar numere naturale care ncep cu cifrele 1, 2, 3, . . . , 9.Deci, n locul primei cifre, care este cifra zecilor, se potafla doar 9 cifre, caci cifra 0 nu se poate afla acolo. Inschimb, n locul cifrei unitat, ilor se poate afla s, i cifra 0, ntotal zece cifre. Deci, pentru fiecare cifra a zecilor, avemcate zece numere posibile corespunzatoare. S, i cum suntn total 9 cifre n locul cifrei zecilor, obt, inem ca existan total 9 10 = 90 posibilitat, i n care putem construinumere naturale de doua cifre. Astfel, numitorul proba-bilitat, ii este determinat.

    Sa trecem acum la partea care este, de regula, cevamai grea, s, i anume la determinarea numaratorului prob-abilitat, ii. Trebuie sa cautam cate numere de doua cifredivizibile cu 13 sunt. Se pare ca, decat sa ne chinuimcu cine s,tie ce metode generale pentru a afla multipliilui 13, este mai us,or sa enumeram aceste numere, caci nusunt multe. Sunt tocmai multiplii lui 13 care nu depas,escsuta.

    As,adar, multiplii lui 13 care sunt mai mici decat 100sunt 13, 26, 39, 52, 65, 78 s, i 91. In total, avem 7 asemeneamultipli.

  • Mat

    emat

    ica

    pent

    run

    cepa

    tori

    mat

    emat

    icap

    entr

    uinc

    epat

    ori.b

    logs

    pot.

    ro

    8

    Atunci, probabilitatea cautata va fi

    P =7

    90.

    Problema 5: In reperul cartezian xOy seconsidera dreapta d de ecuat,ie y = 3x+ 5s, i punctul A(1, 0). Gasit,i ecuat,iaparalelei duse prin A la dreapta d.

    Rezolvare. Pentru a rezolva aceasta problema elevu-lui trebuie sa-i sara n minte o cunos,tint, a indispensabila:ecuat, ia dreptei de panta data care trece printr-un punctdat. Fara aceasta cunos,tint, a, rezolvarea devine un chins, i nu putem insista ntr-o asemenea direct, ie gres, ita. Dacaam continua sa ne chinuim, n cel mai bun caz, am putearedescoperi aceasta cunos,tint, a elementara s, i indispens-abila.

    As,adar, haidet, i sa vedem despre ce cunos,tint, a estevorba, mai concret. Deci, care este ecuat, ia dreptei depanta m care trece prin punctul A(x0, y0)?

    Iat-o: y y0 = m(x x0). Ea mai poate fi regasita s, isub forma echivalenta

    y y0x x0

    = m,

    iar aceasta ultima forma ne aduce aminte de legatura cuderivata sau cu tangenta unghiului pe care l face dreapta

  • Mat

    emat

    ica

    pent

    run

    cepa

    tori

    mat

    emat

    icap

    entr

    uinc

    epat

    ori.b

    logs

    pot.

    ro

    9

    cu axa OX. In ultima instant, a, panta este tocmai acestlucru: tangenta unghiului pe care l face dreapta cu a