FOURIEROVI RED OVI I INTEGRALI

5.6.20065.6.2006 Matematičke metode u kemijskom inženjerstvuMatematičke metode u kemijskom inženjerstvu 11

FOURIEROVI FOURIEROVI REDREDOVIOVI I I

INTEGRALIINTEGRALI

Ozren WittineOzren Wittine

5.6.2006 2Matematičke metode u kemijskom inženjerstvuMatematičke metode u kemijskom inženjerstvu

UVODUVOD

►pri rješavanju inženjerskih problema koriste se pri rješavanju inženjerskih problema koriste se periodične funkcijeperiodične funkcije

►periodične funkcije: trigonometrijske funkcije, periodične funkcije: trigonometrijske funkcije, sinus i kosinussinus i kosinus


PERIODIČNE FUNKCIJEPERIODIČNE FUNKCIJE

► temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj temeljna skupina funkcija koje se upotrebljavaju u harmonijskoj analizianalizi

► harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija harmonička analiza predstavlja razvoj dotičnih periodičnih funkcija u odgovarajući Fourierov redu odgovarajući Fourierov red

► za funkciju f(x) možemo reći da je periodična funkcija ako je za funkciju f(x) možemo reći da je periodična funkcija ako je definirana za svaki x koji je element od R skupa realnih brojeva i definirana za svaki x koji je element od R skupa realnih brojeva i ako postoji takav pozitivan broj T da vrijedi ako postoji takav pozitivan broj T da vrijedi f(x+T f(x+T)=)=f(x)f(x)

► broj T zove se period funkcije broj T zove se period funkcije f(x)f(x)


OSNOVNE PERIODIČKE FUNKCIJEOSNOVNE PERIODIČKE FUNKCIJE

► osnovne periodične funkcije - trigonometrijske funkcije: sinus i osnovne periodične funkcije - trigonometrijske funkcije: sinus i kosinus (temeljni period 2π) kosinus (temeljni period 2π)

► osnovne relacije za određivanje temeljnog perioda funkcija tipa osnovne relacije za određivanje temeljnog perioda funkcija tipa sinus odnosno kosinus mogu se prikazati slijedećim relacijama:sinus odnosno kosinus mogu se prikazati slijedećim relacijama:

f(x) = asin(bx + c)f(x) = asin(bx + c) f(x) = acos(bx + c)f(x) = acos(bx + c)


GRAFOVI NEKIH NAJČEŠĆE ZASTUPLJENIH GRAFOVI NEKIH NAJČEŠĆE ZASTUPLJENIH TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJATRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA


RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA RAZVOJ PERIODIČNIH FUNKCIJA PERIODA 2PERIODA 2ππ U FOURIEROVE REDOVE U FOURIEROVE REDOVE

► da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2da bi razvili odgovarajuću periodičnu funkciju s periodom 2 u u Fourierov red potrebno je najprije izračunati koeficijente Fourierov red potrebno je najprije izračunati koeficijente Fourierovog reda koje računamo na temelju ovih izraza:Fourierovog reda koje računamo na temelju ovih izraza:

0

1( )

2a f x dx

1( )cosna f x nxdx

1

( )sinnb f x nxdx


IZVOD KOEFICIJENATAIZVOD KOEFICIJENATA

► pretpostavimo da je pretpostavimo da je f(x)f(x) periodična funkcija s periodom 2 periodična funkcija s periodom 2 , koju , koju možemo prikazati trigonometrijskim redom.možemo prikazati trigonometrijskim redom.

► želimo odrediti koeficijente aželimo odrediti koeficijente an n i bi bnn

► aa0 0 dobijemo integrirajući izraz s obje strane od –dobijemo integrirajući izraz s obje strane od – do do : :

01

( ) ( cos sin )n nn

f x a a nx b nx

01

( ) ( cos sin )n nn

f x dx a a nx b nx dx



► prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2prvi dio izraza na desnoj strani jednak je 2aa00 dok su ostali dok su ostali

integralni izrazi jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:integralni izrazi jednaki nuli, te provedbom integracije dobivamo:

01

( ) ( cos sin )n nn

f x dx a dx a nxdx b nxdx

0

1( )

2a f x dx



► sada ćemo izračunati koeficijentesada ćemo izračunati koeficijente

► množit ćemo s cos množit ćemo s cos mxmx (m (m bilo koji fiksni pozitivan broj) bilo koji fiksni pozitivan broj)

► integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:integrirajući član po član proizlazi da je desna strana jednaka:

01

( ) cos ( cos sin cosn nn

f x mxdx a a nx b nx mxdx

01

cos cos cos sin cosn nn

a mxdx a nx mxdx b nx mxdx

1, 2 ,...a a



► prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (podintegralni izraz prvi integral i zadnji integral jednaki su nuli (podintegralni izraz neparna funkcija)neparna funkcija)

► primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije:primjenjujući svojstva parnosti i neparnosti funkcije:

► prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se prvi integral s desne strane jednak je nuli za svaki m i n koji se uzimaju u obzir i posljednji integral također je jednak nuli kada uzimaju u obzir i posljednji integral također je jednak nuli kada je ili iznosi je ili iznosi za svaki . Proizlazi da je desna strana za svaki . Proizlazi da je desna strana jednaka: jednaka:

1 1cos cos cos( ) cos( )

2 2nx mxdx n m dx n m dx

1( )cos

2ma f x mxdx

n m n m



► možemo izračunati koeficijente bmožemo izračunati koeficijente b11, b, b22,... pri čemu množimo sa sin ,... pri čemu množimo sa sin mxmx, ,

( (mm bilo koji fiksni pozitivan broj), integriramo: bilo koji fiksni pozitivan broj), integriramo:

► integrirajući dobivamo:integrirajući dobivamo:

01

( )sin ( cos sin sinn nn

f x mxdx a a nx b nx mxdx

01

sin cos sin sin sinn nn

a mxdx a nx mxdx b nx mxdx



► prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za prvi integral jednak je nuli, sljedeći integral također je jednak nuli za svaki n = 1, 2,... svaki n = 1, 2,...

► posljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bposljednji i prvi član jednak je nuli, desna strana postaje bmm, dakle:, dakle:

1 1sin sin cos( ) cos( )

2 2nx mxdx n m xdx n m xdx

1( )sinmb f x mxdx


EULEROVE FORMULEEULEROVE FORMULE

► Upisujući Upisujući nn umjesto m u te formule dobivamo: umjesto m u te formule dobivamo:

0

1( )

2a f x dx

1

( )cosna f x nxdx

1

( )sinnb f x nxdx


FOURIEROV REDFOURIEROV RED

► koeficijenti - Fourierovi koeficijenti funkcije koeficijenti - Fourierovi koeficijenti funkcije f(x).f(x).

0 1 1 2 2cos sin cos 2 sin 2 ... cos sinn na a x b x a x b x a nx b nx


► Ako imamo periodičnu funkciju Ako imamo periodičnu funkciju f(x)f(x) sa periodom 2 sa periodom 2 koja je koja je djelomično neprekidna unutar intervala i ukoliko djelomično neprekidna unutar intervala i ukoliko postoji njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj postoji njena derivacija i s lijeve i sa desne strane u svakoj točki unutar intervala integracije tada za odgovarajući točki unutar intervala integracije tada za odgovarajući Fourierov red kažemo da je konvergentan.Fourierov red kažemo da je konvergentan.

x

TEOREM 1.


PRIMJEDBA:PRIMJEDBA:

► ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije ukoliko Fourierov red odgovarajuće funkcije f(x) f(x) konvergira, red se konvergira, red se naziva Fourierovim redom funkcije naziva Fourierovim redom funkcije f(x)f(x)::

► ovaj niz je konvergentan i novo dobiveni red imat će sumu jednaku ovaj niz je konvergentan i novo dobiveni red imat će sumu jednaku

sumi originalnog reda pa možemo pisati:sumi originalnog reda pa možemo pisati:

0 1 1 2 2( ) cos sin cos 2 sin 2 ... cos sinn nf x a a x b x a x b x a nx b nx

01

( ) cos sinn nn

f x a a nx b nx


PARNE I NEPARNE FUNKCIJEPARNE I NEPARNE FUNKCIJE

► funkcija funkcija g = g(x)g = g(x) je je parnaparna ako vrijedi da je ako vrijedi da je g(x)g(x) = = g(-x).g(-x). ► graf ovakvih funkcija simetričan je s obzirom na ordinatugraf ovakvih funkcija simetričan je s obzirom na ordinatu

► bbnn = 0 = 0

► za funkciju za funkciju h(xh(x) kažemo da je ) kažemo da je neparnaneparna ako vrijedi ako vrijedi h(-x)h(-x) = = -h(x).-h(x).► funkcija funkcija cos nxcos nx je parna funkcija dok je sin nx neparna funkcija je parna funkcija dok je sin nx neparna funkcija

► aann = 0 = 0

01

( ) cos sinn nn

f x a a nx b nx

01

( ) cosnn

f x a a nx

1

( ) sinnn

f x b nx


TEOREM 1.TEOREM 1.

► Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2Fourierov red bilo koje parne periodične funkcije s periodom 2 je je kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:kosinusni Fourierov red koji zapisujemo:

01

( ) ( cos )n

nn

f x a a nx

0

0

1( )a f x dx

0

0

1( )cosa f x nxdx

► Fourierov red bilo koje neparne periodičke funkcije perioda 2Fourierov red bilo koje neparne periodičke funkcije perioda 2 je je tzv. sinusni Fourierov red koji zapisujemo:tzv. sinusni Fourierov red koji zapisujemo:

0

2( )sinnb f x nxdx


TEOREM 2.TEOREM 2.

► Fourierovi koeficijenti sume su jednaki sumi pripadajućih Fourierovi koeficijenti sume su jednaki sumi pripadajućih Fourierovih koeficijenata i .Fourierovih koeficijenata i .2f1f


FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIODPERIOD

► prijelaz iz funkcije perioda 2prijelaz iz funkcije perioda 2 na funkcije koje imaju period T je na funkcije koje imaju period T je jednostavan zbog toga što se može provesti izmjena skalejednostavan zbog toga što se može provesti izmjena skale

► ako je ako je f(t) f(t) funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu funkcija perioda T, tada možemo uvesti novu varijablu xx tako da nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2tako da nova funkcija, kao funkcija od x, ima period 2

► Fourierov red:Fourierov red:

2

Tt x

2x t

T

01

( ) ( ) ( cos sin )2 n n

n

Tf x f x a a nx b nx


KOEFICIJENTIKOEFICIJENTI

0

1( )

2 2

Ta f x dx

1

( )cos2n

Ta f x nxdx

1

( )sin2n

Tb f x nxdx


FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIODPERIOD

► Možemo primijeniti ove formule direktno, ali promjenom perioda T Možemo primijeniti ove formule direktno, ali promjenom perioda T pojednostavljujemo jednadžbu:pojednostavljujemo jednadžbu:

► Interval integracije postaje:Interval integracije postaje:

/ 2 22

Tt x t Tx

2 2

T Tt


FUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJANFUNKCIJE KOJE IMAJU PROIZVOLJAN PERIOD PERIOD

► Iz Eulerovih formula dobivamo:Iz Eulerovih formula dobivamo:

► Fourierov red:Fourierov red:

2

0

2

1( )

T

T

a f t dtT

2

2

2 2( )cos

T

nT

n ta f t dt

T T

2

2

2 2( )sin

T

nT

n tb f t dt

T T

01

2 2( ) ( cos sin )n n

n

n nf t a a t b t

T T


TEOREM 1.TEOREM 1.

► Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni red:Fourierov red parne funkcije f(t) perioda T je kosinusni red:

► koeficijentikoeficijenti::

01

2( ) cosn

n

nf t a a t

T

2

0

0

1( )

T

a f t dtT

2

0

4 2( )cos

T

n

n ta f t dt

T T


TEOREM 1.TEOREM 1.

► Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov Fourierov red neparne funkcije f(t) perioda T je sinusni Fourierov red:red:

► koeficijenti:koeficijenti:

1

2( ) sinn

n

nf t b dt

T

2

0

4 2( )sin

T

n

n tb f t dt

T T


POLUPERIODIČKO PROŠIRENJE REDAPOLUPERIODIČKO PROŠIRENJE REDA

► neka funkcija f(t) ima period T=2l. Ako je ta funkcija parna dobiva se neka funkcija f(t) ima period T=2l. Ako je ta funkcija parna dobiva se

Fourierov kosinusni red :Fourierov kosinusni red :


► ako je ta funkcije neparna dobiva se Fourierov sinusni red: ako je ta funkcije neparna dobiva se Fourierov sinusni red:


01

2( ) cosn

n

nf t a a t

l

0

0

1( )

l

a f t dtl

0

2( )cos

l

n

na f t tdt

l l

1

( ) sinnn

nf t b t

l

1

0

2( )sinn

nb f t tdt

l l


PERIODIČKO PONAVLJANJE PARNE FUNKCIJE PERIODA 2l

PERIODIČKO PONAVLJANJE NEPARNE FUNKCIJE PERIODA 2l

ll

2 ( )f t

l l

1( )f t

t

t


► A.E.Kreyzig , A.E.Kreyzig , ““Advanced engineering mathematicsAdvanced engineering mathematics”, ”, John John Wiley & Sons Inc (1995)Wiley & Sons Inc (1995)

► T.Bradić, R.Roki, Josip Pečarić, Mate Strunje, T.Bradić, R.Roki, Josip Pečarić, Mate Strunje, “Matematika za tehnološke fakultete”, Multigraf, Zagreb “Matematika za tehnološke fakultete”, Multigraf, Zagreb (1994)(1994)

LITERATURALITERATURA

Documents

FOURIEROVI RED OVI I INTEGRALI