INTEGRALI GENERALIZZATIDOPPI E TRIPLI.

FUNZIONI DEFINITEDA INTEGRALI

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Integrali generalizzati Integrali generalizzati doppi e tripli doppi e tripli

Funzioni definite da Funzioni definite da integraliintegrali

INTEGRALIINTEGRALIGENERALIZZATI GENERALIZZATI DOPPI E TRIPLIDOPPI E TRIPLI

Nella definizione di integrale Nella definizione di integrale multiplo secondo Riemann, abbiamomultiplo secondo Riemann, abbiamoesplicitamente supposto che la esplicitamente supposto che la funzione fosse limitata e che il funzione fosse limitata e che il dominio d’integrazione fosse dominio d’integrazione fosse limitato. limitato.

Spesso nelle applicazioniSpesso nelle applicazioniqueste ipotesi non sono verificate.queste ipotesi non sono verificate.Vediamo come possa essere adattataVediamo come possa essere adattatala nostra definizione per soddisfarela nostra definizione per soddisfarele esigenze, per esempio della fisicale esigenze, per esempio della fisica

Può dunque accadere che il dominioPuò dunque accadere che il dominiod’integrazione non sia limitato, o che d’integrazione non sia limitato, o che la funzione non lo sia in un intornola funzione non lo sia in un intornodi qualche punto. Per esempio, può di qualche punto. Per esempio, può accadere che accadere che f(x,y,z)f(x,y,z) tenda a infinito tenda a infinitose il punto se il punto (x,y,z)(x,y,z)TT tende a un certo tende a un certo(x(x00,y,y00,z,z00))TT..

Per presentare con una certa Per presentare con una certa precisione i concetti, daremo la precisione i concetti, daremo la seguente definizioneseguente definizione

Diremo che un sottoinsieme Diremo che un sottoinsieme JJ Rm

è localmente misurabile (secondo (secondoPJ) se la sua intersezione con PJ) se la sua intersezione con qualsiasi insieme misurabile qualsiasi insieme misurabile II è è misurabile (ricordiamo che ciò misurabile (ricordiamo che ciò significa che la frontiera di significa che la frontiera di J J I I è è trascurabile)trascurabile)

Diremo che una successione Diremo che una successione (A(Ann)) di diinsiemi misurabili insiemi misurabili invadeinvade JJ, se gli , se gli insiemi sono crescenti per inclusione insiemi sono crescenti per inclusione e contenuti in e contenuti in JJ: : AAnn AAn+1n+1 J J

Inoltre, per ogni Inoltre, per ogni B B J J, , BB misurabile, misurabile,deve accadere che la deve accadere che la m(B\ Am(B\ Ann)) 0 0, , per per nn ∞ ∞

Data Data ff, diremo che la successione , diremo che la successione (A(Ann) ) è è adattaadatta a a ff se se ff è R-integrabile è R-integrabilesu ogni su ogni AAnn. In questo modo si . In questo modo si superano i problemi dovuti all’superano i problemi dovuti all’eventuale non limitatezza di eventuale non limitatezza di ff..

Nel caso di integrali multipli, Nel caso di integrali multipli, prenderemo in considerazione prenderemo in considerazione funzioni che sono assolutamente funzioni che sono assolutamente integrabili. Per esempio, funzioniintegrabili. Per esempio, funzioniche hanno segno costante su che hanno segno costante su JJ

La sostanziale giustificazione diLa sostanziale giustificazione diquesta definizione è fornita dalquesta definizione è fornita dalseguenteseguente

TeoremaSe (A(Ann) ) e (B(Bnn) ) sono due successioni

adatte a f≥0 e invadenti J, allora

limn

fdm An

limn

fdmBn

Dunque il valore dell’integrale Dunque il valore dell’integrale nonnondipende dalla particolare successionedipende dalla particolare successioneusata per calcolarlo. Ciò ci permetteusata per calcolarlo. Ciò ci permettedi attribuire un valore certo al limitedi attribuire un valore certo al limitecosì calcolato. Si noti che una così calcolato. Si noti che una Funzione R-integrabile è anche Funzione R-integrabile è anche integrabile in senso generalizzato.integrabile in senso generalizzato.

Se la funzione non ha segno costanteSe la funzione non ha segno costanteallora bisognerà chiedere che siaallora bisognerà chiedere che siaintegrabili in senso generalizzato siaintegrabili in senso generalizzato siala sua la sua parte positivaparte positiva, che quella , che quella negativanegativa. In questo caso la funzione . In questo caso la funzione sarà integrabile in valore assolutosarà integrabile in valore assoluto

Accanto al teorema fondamentaleAccanto al teorema fondamentalecitato, servono alcuni criteri utili citato, servono alcuni criteri utili per stabilire che alcune funzioni per stabilire che alcune funzioni sono senz’altro integrabili.sono senz’altro integrabili.

Precisamente, se m è la dimensionePrecisamente, se m è la dimensionedello spazio, e la funzione tende adello spazio, e la funzione tende azero per zero per |x||x| che tende a infinito più che tende a infinito piùrapidamente di rapidamente di |x||x|-a-a, con , con a>ma>m, , allora certamente l’integrale è allora certamente l’integrale è convergenteconvergente

Se m è la dimensione dello spazio,Se m è la dimensione dello spazio,ff tende a infinito per tende a infinito per xxxx00 e vi tende e vi tendemeno rapidamente di meno rapidamente di |x-x|x-x00||-b -b , con , con b < mb < m, allora , allora ff è integrabile in senso è integrabile in sensogeneralizzato su generalizzato su JJ

Applichiamo queste considerazioniApplichiamo queste considerazionial calcolo di un integrale al calcolo di un integrale generalizzato fondamentalegeneralizzato fondamentale

Si voglia calcolareSi voglia calcolare

e x2

dx

La funzione La funzione exp(-xexp(-x22) ) tende a zerotende a zeroPer Per xx∞ ∞ più rapidamente, per più rapidamente, per esempio, di esempio, di 1/x1/x22 e quindi esiste e quindi esiste certamente l’integrale detto. certamente l’integrale detto. Cerchiamo di calcolarne il valoreCerchiamo di calcolarne il valore

Consideriamo la funzione Consideriamo la funzione exp(-exp(- xx2 2 -- yy22) ) che è integrabile in che è integrabile in senso generalizzato su tutto il pianosenso generalizzato su tutto il pianoRR22. Considereremo due famiglie . Considereremo due famiglie invadenti e adatte alla funzione:invadenti e adatte alla funzione:AAnn = [-n,n] = [-n,n] [-n,n] [-n,n] e e BBnn = = {(,): ≤ n} ≤ n}

AAnn

BBnn

Poiché le due successioni ,come Poiché le due successioni ,come si riconosce immediatamente, sono si riconosce immediatamente, sono invadenti invadenti RR22 e adatte alla funzione e adatte alla funzionealloraallora

nlim e (x2y2 )dxdy An

nlim e (x2y2 )dxdy

Bn

Ma Ma

e (x2 y2 )dxdy

An e x2

dx n

n

e y2

dy n

n

CioèCioè

e (x2 y2 )dxdy

An e x2

dx n

n

2

MentreMentre

e (x2 y2 )dxdyBn 2 e 2

d 0

n

(1 e n2

)

Se indichiamo con Se indichiamo con II l’integrale l’integrale cercatocercato

I e x2

dx

limn

e x2

dx n

n

troviamotroviamo

II22 = π = π

e quindie quindi I = √πI = √π

A partire da questo integrale A partire da questo integrale fondamentale e, agendo con una fondamentale e, agendo con una certa spregiudicatezza, si possonocerta spregiudicatezza, si possonoottenere alcuni risultati interessantiottenere alcuni risultati interessanti

exp(-xyexp(-xy22) sen x) sen x

è integrabile su è integrabile su ]0,+∞[]0,+∞[]0,+∞[]0,+∞[

Da Da I = √πI = √π si deduce si deduce

e xy2

dy 2 x0

Moltiplicando per Moltiplicando per sen x sen x e e integrando su x da integrando su x da 00 a a +∞+∞, si trova, si trova

dx e xy2

senxdy 2

senx

x0

0

0

dx

Scambiando l’ordine d’integrazioneScambiando l’ordine d’integrazione

Si trovaSi trova

dy e xy2

senxdx 1

1 y 4dy

0

2 20

0

2

senxx0

dx

DunqueDunque

senx

x0

dx 2

Qui è anche contenuto il problemaQui è anche contenuto il problemadi calcolare l’integrale di di calcolare l’integrale di 1/(1+y1/(1+y44))da da 00 a a + ∞+ ∞

Ponendo infine Ponendo infine xx22 al posto di al posto di x x nell’nell’integrale così calcolato, si trovaintegrale così calcolato, si trova

sen x 2dx

80

Si consideri il seguente problema:Si consideri il seguente problema:Si decida se è finito il volume dellaSi decida se è finito il volume dellaregione solida compresa tra il regione solida compresa tra il cerchio cerchio xx22 + y + y22 ≤ 1 ≤ 1 sul piano sul piano x yx y e la superficie e la superficie z = 1/√[xz = 1/√[x22 + y + y22]]

Una successione invadente, adattaUna successione invadente, adattaalla funzione che tende a infinito alla funzione che tende a infinito per per (x,y)(x,y)TT che tende a che tende a (0,0)(0,0)TT è è

CCnn = {(x,y) = {(x,y)TT:1/n ≤ √[x:1/n ≤ √[x22 + y + y22] ≤1}] ≤1}

L’integrale esiste finito poiché L’integrale esiste finito poiché f f tende a infinito come tende a infinito come 1/|x|1/|x| e e 1 < 21 < 2..Si vuole calcolareSi vuole calcolare

1x2

y 2dxdy 2 d

1 / n

1

Cn 2(1

1n)

Ovviamente il limite per Ovviamente il limite per n n ∞ ∞è è 2π2π..

FUNZIONIFUNZIONIDEFINITE DA DEFINITE DA

INTEGRALIINTEGRALI

È spesso utile considerare integrali È spesso utile considerare integrali dipendenti da un parametro e dipendenti da un parametro e riconoscere le proprietà dell’riconoscere le proprietà dell’integrale rispetto al parametrointegrale rispetto al parametrodetto; in particolare la dipendenzadetto; in particolare la dipendenzacontinua dalo la derivabilità rispetto continua dalo la derivabilità rispetto al parametro.al parametro.

Diremo allora, se questo è il caso,Diremo allora, se questo è il caso,che l’integrale è una funzione che l’integrale è una funzione del parametro stessodel parametro stesso

Considereremo due situazioni in Considereremo due situazioni in particolareparticolare

TeoremaSia f: f: [a,b] [c,d] R R continua.

su [c,d].

Allora g(y) =∫f(x,y)dx, è continuaa

b

Infatti, per le ipotesi fatte, Infatti, per le ipotesi fatte, g(y)g(y) esiste per ogni esiste per ogni yy in in [c,d][c,d] e e

|g(y)-g(y|g(y)-g(y00)| ≤ ∫|f(x,y) - f(x, y)| ≤ ∫|f(x,y) - f(x, y00)| dx)| dxa

b

L’uniforme continuità di L’uniforme continuità di f(x,y)f(x,y) sul sulrettangolo, assicura che: dato rettangolo, assicura che: dato >0 >0esiste esiste >0 >0 tale che se tale che se |y-y| < |y-y| < , , allora allora |f(x,y) - f(x, y|f(x,y) - f(x, y00)| < )| < /(b-a)/(b-a) . .

Perciò Perciò |g(y)-g(y|g(y)-g(y00)|≤ )|≤

Vale inoltreVale inoltre

TeoremaSe f: f: [a,b] [c,d] R R e fy sono

Continue sul rettangolo, allora

g(y) =∫f(x,y)dx, è derivabile e si ha b

a

g’(y) =∫ fy(x,y)dxa

b

Infatti si può considerare la funzioneInfatti si può considerare la funzionecontinuacontinua

h(y) =∫ fy(x,y)dxa

b

e integrarla tra e integrarla tra cc e e yy. Scambiando . Scambiando poi l’ordine d’integrazione, si trovapoi l’ordine d’integrazione, si trova

( f

2(x,t)dx)dt ( f

2(x,t)dt)dx =

c

y

a

b

a

b

c

y

[f (x,y) f (x,c)]

a

b

dx g(y) g(c)

CioèCioè

h(t)dt g(y) g(c)

c

y

E quindiE quindi

g’(y) = h(y) = ∫ fy(x,y)dxa

b

Se Se

F(y, ,) f (x,y)dx

con con a≤ a≤ ≤ ≤ ≤b ≤b, , F(y, F(y, , , )) è èfunzione continua e derivabile confunzione continua e derivabile concontinuità e quindi differenziabilecontinuità e quindi differenziabiledelle sue variabili; delle sue variabili; FFyy(y, (y, , , )) è dato è dato dalla formula precedente; dalla formula precedente; FF(y, (y, , , ) = -f() = -f(,y),y);; FF(y, (y, , , ) = f() = f(,y),y).. F(y, F(y, (x), (x), (x)(x))) è ècontinua o derivabile se lo sono continua o derivabile se lo sono (x)(x),, (x)(x)..

Fra le possibili utilizzazioni delleFra le possibili utilizzazioni delleformule, ne segnaliamo una: ancoraformule, ne segnaliamo una: ancorail calcolo di certi integraliil calcolo di certi integrali

Dopo avere calcolatoDopo avere calcolato

si calcolisi calcoli

dxx2 y 2

0

dx(x2 y 2)2

0

Il primo integrale vale Il primo integrale vale π/(2y)π/(2y)

Derivando sotto il segno e dividendoDerivando sotto il segno e dividendoper per -2y-2y, si trova che il secondo , si trova che il secondo integrale vale integrale vale π/(4yπ/(4y33))

Altro esempio: si voglia calcolareAltro esempio: si voglia calcolare

e x senxy

x0

dx

e x cos xy

0

dx 1

1 y 2

Derivando sotto il segno d’integraleDerivando sotto il segno d’integralerispetto a rispetto a yy, si trova, si trova

integrando rispetto a y i due integrando rispetto a y i due membrimembri

e x senxy

x0

dx = arctg y

Se facciamo la sostituzione Se facciamo la sostituzione x = z/yx = z/y

e z/y senz

z0

dz = arctg y

E prendendo il limite per E prendendo il limite per yy ∞ ∞

senzz0

dz = π/2