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1 INTEGRALI INDEFINITI Se F(x) è una primitiva di f(x), allora le funzioni F(x) + c , con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f(x). Precisamente: ! se F(x) è una primitiva di f (x), allora anche F(x) + c lo è; ! se F(x) e G(x) sono entrambe primitive di f(x), allora G(x) - F(x) = c . Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perché nei punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela. La funzione integranda è () mentre la variabile di integrazione è la variabile x. La funzione primitiva () che si ottiene per = 0 si chiama primitiva fondamentale. Significato del simbolo: la “ ” ricorda una S allungata, mentre “dx” indica la variabile rispetto alla quale si fa l’operazione di integrale indefinito. Una funzione che ammette una primitiva, ne ammette infinite e si dice integrabile. TEOREMA di CONTINUITÀ/INTEGRABILITÀ HP) Sia f una funzione continua in [ ] ; ab TH) Allora f è integrabile in [ ] ; ab Quindi: f è derivabile f è continua f è integrabile La continuità è una Condizione Sufficiente per l’integrabilità (mentre non tutte le funzioni continue sono derivabili; basta pensare alle funzioni con i punti angolosi…) Le proprietà di linearità si possono sintetizzare come: ! + ! ( ) = ! + ! , ! , ! . In sintesi, l’integrale è un operatore lineare.

INTEGRALI INDEFINITI · INTEGRALI DEFINITI

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    INTEGRALI INDEFINITI

    Se F(x) è una primitiva di f(x), allora le funzioni F(x) + c , con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f(x). Precisamente:

    ! se F(x) è una primitiva di f (x), allora anche F(x) + c lo è; ! se F(x) e G(x) sono entrambe primitive di f(x), allora

    G(x) - F(x) = c . Tutte le funzioni hanno la stessa derivata perché nei punti con la stessa ascissa hanno tangente parallela.

    La funzione integranda è 𝑓(𝑥) mentre la variabile di integrazione è la variabile x. La funzione primitiva 𝐹(𝑥) che si ottiene per 𝑐 = 0 si chiama primitiva fondamentale. Significato del simbolo: la “ ” ricorda una S allungata, mentre “dx” indica la variabile rispetto alla quale si fa l’operazione di integrale indefinito. Una funzione che ammette una primitiva, ne ammette infinite e si dice integrabile. TEOREMA di CONTINUITÀ/INTEGRABILITÀ HP) Sia f una funzione continua in [ ];a b TH) Allora f è integrabile in [ ];a b Quindi: f è derivabile ⇒ f è continua ⇒ f è integrabile La continuità è una Condizione Sufficiente per l’integrabilità (mentre non tutte le funzioni continue sono derivabili; basta pensare alle funzioni con i punti angolosi…)

    Le proprietà di linearità si possono sintetizzare come: 𝑐!𝑓 𝑥 + 𝑐!𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐! 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐! 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 , ∀𝑐!, 𝑐! ∈ ℝ. In sintesi, l’integrale è un operatore lineare.

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    INTEGRALI DEFINITI

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    TEOREMI DEL CALCOLO INTEGRALE (1)

    Dim. pag. 2008 (usa il T di Weierstrass e il T. dei valori intermedi) Interpretazione geometrica: se la funzione è positiva in 𝑎; 𝑏 , il Teorema della Media Integrale esprime l’uguaglianza fra l’area del trapezoide (indicata da 𝑓(𝑥)!! 𝑑𝑥) e l’area del rettangolo di base 𝑏 − 𝑎 e altezza 𝑓(𝑧) dove z è un particolare valore in 𝑎; 𝑏 .

    Il valore 𝑓(𝑧) si chiama appunto valor medio della funzione 𝑓 𝑥 in 𝑎; 𝑏 : f z( ) = f x( )dxa

    b

    ∫b− a

    Definizione Sia 𝑓 𝑥 una funzione continua in 𝑎; 𝑏 e sia 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 un generico valore. Si chiama Funzione Integrale di f in

    𝑎; 𝑏 , la funzione: F x( ) = f t( )dta

    x

    ∫ che associa ad ogni 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 il numero reale f t( )dta

    x

    Se la funzione f è positiva in 𝑎; 𝑏 , la funzione integrale F(x) rappresenta l’area del trapezoide ABCD e dipende da x. (2) N.B. Questo teorema collega il concetto di integrale definito con quello di integrale indefinito (*)

    Dim. pag. 2011 (usa il T della media integrale) (*) La derivata di F(x) coincide con il valore che la funzione integranda f assume nell’estremo variabile x di integrazione, ossa

    D f t( )dta

    x

    ∫ = f x( ) . Pertanto l’integrale indefinito della funzione f, inteso come totalità delle sue primitive, si esprime come

    f x( )dx =∫ f t( )dta

    x

    ∫ + c , con 𝑐 ∈ ℝ. (3) FORMULA DI NEWTON LEIBNIZ (riduce il calcolo di integrali definiti a quello di integrali indefiniti) L’integrale definito di una funzione continua f(x) è uguale alla differenza tra i valori assunti da una qualunque primitiva 𝜑(𝑥) di f(x) rispettivamente nell’estremo superiore e nell’estremo inferiore:

    f x( )dx

    a

    b

    ∫ =ϕ b( )−ϕ a( ) = ϕ x( )⎡⎣ ⎤⎦x=ax=b

    Dim. pag. 2012 (usa il T fondamentale del calcolo integrale)

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    CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE Per calcolare le aree, è opportuno avere il grafico della funzione Se f(x)>0: Se f(x)

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    APPROFONDIMENTI SUL CALCOLO DI AREE

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    CALCOLO DEI VOLUMI DEI SOLIDI (anche rispetto all’asse y)

    Analogamente per il metodo delle sezioni (o “delle fette”)

    Sezioni con piani perpendicolari all’asse x Sezioni con piani perpendicolari all’asse y

    Se S(x) è l’area della generica sezione del solido (ottenuta con un piano perpendicolare all’asse x) passante

    per il punto di (x;0) il volume del solido è:

    𝑽 = 𝑺(𝒙)𝒃

    𝒂𝒅𝒙

    Se S(y) è l’area della generica sezione del solido

    (ottenuta con un piano perpendicolare all’asse y) passante per il punto di (0;y) il volume del solido è:

    𝑽 = 𝑺(𝒚)𝒃

    𝒂𝒅𝒚

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    INTEGRALI IMPROPRI