Plosni integrali Dvostruki integrali - phy.pmf.unizg.hrtniksic/Klasicna/I/biljeske/Dodaci/plosni.pdf · Plosni integrali Dvostruki integrali Pravokutno podrucˇje integracije Zadatak

Plosni integrali

DvostrukiintegraliPravokutno podrucjeintegracije

Zadatak 1

Opcenito podrucjeintegracije

Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4

Greenov teoremIlustracija Greenovogteorema

Dvostruki integrali

• dvostruki integral neprekidne funkcije f (x , y) po omedenomzatvorenom podrucju D ravnine xy

∫∫

Df (x , y)dxdy = lim

∆xi ,∆yi→0

∑

i

∑

k

f (xi , yk)∆xi∆yk (1)

x

y

∆xi

∆yk

• suma se proteže po onim vrijednostima i i k za koje tocke(xi , yk) pripadaju podrucju S.

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Pravokutno podrucje integracije

• prvo promatramo jednostavno pravokutno podrucjeintegracije

a ≤ x ≤ b i c ≤ y ≤ d (2)

x

y

a b

d

c

• takvo podrucje oznacavamo s

R = [a, b] × [c, d ] (3)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Prvi nacin integracije:• os x podijelimo na segmente ∆x• svaki pravokutnik dimenzija ∆x × (d − c) dijelimo na manje

pravokutnike dimenzije ∆x × ∆y

x

y

a b

d

c

∆x

∆y

• ukupni integral dobijemo tako da zbrojimo doprinosepravokutnika ∆x × ∆y u svakom pojedinom stupcu, a zatimzbrojimo doprinose svih stupaca

∫∫

Rf (x , y)dA =

∫ b

a

[

∫ d

cf (x , y)dy

]

dx (4)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Drugi nacin integracije:• os y podijelimo na segmente ∆y• svaki pravokutnik dimenzija ∆y × (b − a) dijelimo na manje

pravokutnike dimenzije ∆x × ∆y

x

y

a b

d

c

∆y

∆x• ukupni integral dobijemo tako da zbrojimo doprinose

pravokutnika ∆x × ∆y u svakom pojedinom retku, a zatimzbrojimo doprinose svih redaka

∫∫

Rf (x , y)dA =

∫ d

c

[

∫ b

af (x , y)dx

]

dy (5)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• u prvom slucaju najprije integriramo funkciju f (x , y) po y ugranicama od c do d , dok varijablu x držimo konstantnom

• zatim dobiveni rezultat (koji ovisi o x ) integriramo po x ugranicama od a do b

• u drugom slucaju najprije integriramo funkciju f (x , y) po x ugranicama od c do d , dok varijablu y držimo konstantnom

• zatim dobiveni rezultat (koji ovisi o y ) integriramo po y ugranicama od c do d

• ako je funkcija neprekidna na podrucju R, oba nacinaintegriranja moraju dati isti rezultat

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Zadatak 1Izracunajte dvostruki integral

∫∫

R6xy2dA, (6)

ako je podrucje integracije pravokutnik R = [2, 4] × [1, 2].

• zadatak cemo riješiti na dva nacina da bi ilustrirali da rezultatne ovisi o poretku integracije

Rješenje 1:

• prvo integriramo po y od y = 1 do y = 2, a zatim po x odx = 2 do x = 4

∫∫

R6xy2dA =

∫ x=4

x=2

[

∫ y=2

y=16xy2dy

]

dx (7)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• unutar integrala po y varijablu x smatramo konstantom pa jemožemo izbaciti izvan integrala po y

∫∫

R6xy2dA = 6

∫ x=4

x=2x

[

∫ y=2

y=1y2dy

]

dx = 6∫ 4

2x[

y3

3

]∣

∣

∣

∣

2

1

= 2∫ 4

2[7x ] dx = 14

x2

2

∣

∣

∣

∣

4

2

= 7 (16 − 4) = 84 (8)

Rješenje 2:

• prvo integriramo po x od x = 2 do x = 4, a zatim po y ody = 1 do y = 2

∫∫

R6xy2dA =

∫ y=2

y=1

[

∫ x=4

x=26xy2dy

]

dx (9)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• unutar integrala po x varijablu y smatramo konstantom pa jemožemo izbaciti izvan integrala po x

∫∫

R6xy2dA = 6

∫ y=2

y=1y2

[

∫ x=4

x=2xdx

]

dy = 6∫ 2

1y2[

x2

2

]∣

∣

∣

∣

4

2

= 3∫ 2

1y2 [16 − 4] dx = 36

y3

3

∣

∣

∣

∣

2

1

= 12 (8 − 1) = 84 (10)

• u oba slucaja smo došli do istog rezultata jer on ne ovisi oporetku integracije

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Opcenito podrucje integracije

• dosada smo razmatrali samo pravokutna podrucja integracije

• podrucje integracije je cesto neka opcenita površina D∫∫

Df (x , y)dA (11)

• razlikujemo dva osnovna podrucja integracije

• u prvom slucajupodrucje integracije jes lijeve i desne straneomedeno pravcimax = a i x = b (b > a), as gornje i donje straneneprekidnim krivuljamay = φ1(x) i y = φ2(x)

x

y

a bx

y1 = φ1(x)

y2 = φ2(x)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• koristimo sve tocke (x , y) za koje obje koordinatezadovoljavaju nejednakosti

a ≤ x ≤ b i φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x) (12)

• podrucje integracije glasi

D = {(x , y) |a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)} (13)

• u ovom slucaju prvo integriramo po varijabli y , a zatim povarijabli x

∫∫

Df (x , y)dA =

∫ b

a

[

∫ φ2(x)

φ1(x)

f (x , y)dy

]

dx (14)

• granice integracije u integralu po varijabli y ovise o varijabli x

• pri racunanju integrala po varijabli y , varijablu x smatramokonstantom

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• u drugom slucajupodrucje integracijeje s donje i gornjestrane omedenopravcima y = c iy = d (d > c), a slijeve i desne straneneprekidnimkrivuljama x = φ1(y)i x = φ2(y) x

y

c

dy

x1 = φ1(y) x2 = φ2(y)

• koristimo sve tocke (x , y) za koje obje koordinatezadovoljavaju nejednakosti

c ≤ y ≤ d i φ1(y) ≤ x ≤ φ2(y) (15)

• podrucje integracije glasi

D = {(x , y) |c ≤ y ≤ d , φ1(y) ≤ x ≤ φ2(y)} (16)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• u ovom slucaju prvo integriramo po varijabli x , a zatim povarijabli y

∫∫

Df (x , y)dA =

∫ d

c

[

∫ φ2(y)

φ1(y)

f (x , y)dx

]

dy (17)

• granice integracije u integralu po varijabli x ovise o varijabli y

• pri racunanju integrala po varijabli x , varijablu y smatramokonstantom

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Zadatak 2Izracunajte plošni integral po naznacenom podrucju integracije

∫∫

Dex/y dA, D = {(x , y) |1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y3}

• podrucje integracije je omedeno pravcima y = 1 i y = 2 (tip2)

• primjenimo formulu (17)

∫∫

Dex/y dA =

∫ 2

1

[

∫ y3

yex/y dx

]

dy (18)

• prvo riješimo integral po varijabli x• varijablu y u ovom koraku tretiramo kao konstantu

∫ y3

yex/y dx = yex/y

∣

∣

∣

y3

y= yey2 − ye1 (19)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• vratimo se pocetnom integralu

∫∫

Dex/y dA =

∫ 2

1

[

yey2 − y]

dy =

∫ 2

1yey2

dy − e∫ 2

1ydy

(20)

• lijevi integral racunamo pomocu supstitucije u = y2

∫ 2

1yey2

dy =12

∫ 2

1ey2

dy2 =12

∫ 4

1eudu =

12

[

e4 − e1] (21)

• desni integral∫ 2

1ydy =

12

y2∣

∣

2

1 =32

(22)

• ukupni integral∫∫

Dex/y dA =

12

e4 − 2e (23)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Zadatak 3Izracunajte plošni integral

∫∫

D

[

4xy − y3]dA,

po podrucju omedenom funkcijama y =√

x i y = x3.

• prvo skiciramo podrucje integracije

Granice podrucjaintegracije:

0 ≤ x ≤ 1

x3 ≤ y ≤√

xy =

√x

y = x3

x

y

1

1

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• sada možemo riješiti integral

∫∫

D

[

4xy − y3]dA =

∫ 1

0

[

∫

√x

x3

(

4xy − y3) dy

]

dx (24)

• prvo rješavamo integral po varijabli y

∫

√x

x3

(

4xy − y3) dy =

∫

√x

x34xydy −

∫

√x

x3y3dy (25)

• varijablu x u ovom integralu tretiramo kao konstantu

∫

√x

x3

(

4xy − y3) dy = 4x∫

√x

x3ydy −

∫

√x

x3y3dy

= 4xy2

2

∣

∣

∣

∣

√x

x3

− y4

4

∣

∣

∣

∣

√x

x3

= 2x(

−x6 + x)

− 14

(

−x12 + x2)

= −2x7 + 2x2 +14

x12 − 14

x2 (26)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• vratimo se dvostrukom integralu

∫∫

D

[

4xy − y3] dA =

∫ 1

0

[

−2x7 +74

x2 +14

x12]

dx

=

(

−14

x8 +152

x13 +712

x3)∣

∣

∣

∣

1

0

=55156

(27)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Zadatak 4Izracunajte integral

∫∫

D(6x2 − 40y)dA,

ako je podrucje integracije trokut s vrhovima u tockama (0, 3),(1, 1) i (5, 3).

• skiciramo podrucje integracije

y = −2x + 3 y = 12x + 1

2

y = 3

x

y

(1, 1)

(0, 3)(5, 3)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• da bi mogli primjeniti formulu (14), podrucje integracijedijelimo na dva dijela

D = D1 ∪ D2 (28)

• D1 oznacava podrucje lijevo od pravca x = 1

D1 = {(x , y) |0 ≤ x ≤ 1,−2x + 3 ≤ y ≤ 3} (29)

• D2 oznacava podrucje desno od pravca x = 1

D2 = {(x , y) |1 ≤ x ≤ 5,12

x +12≤ y ≤ 3} (30)

• traženi integral možemo razbiti na dva dijela∫∫

D(6x2 − 40y)dA =

∫∫

D1

(6x2 − 40y)dA+

∫∫

D2

(6x2 − 40y)dA

(31)• oba integrala rješavamo istim postupkom kao i u prethodnim

primjerima∫∫

D(6x2 − 40y)dA = −935

3(32)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Greenov teorem• Greenov teorem povezuje linijski integral vektorskog polja po

zatvorenoj putanji i plošni integral po površini D omedenojputanjom C

CD

• orijentacija krivulje je po konvenciji pozitivna ako je obilazimou smjeru kazaljke na satu

• pretpostavimo da je zadano dvodimenzionalno vektorskopolje

~F = P(x , y)~i + Q(x , y)~j (33)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• Greenov teorem∫

C(P(x , y)dx + Q(x , y)dy =

∫∫

D

(

∂Q∂x

− ∂P∂y

)

dA (34)

• izraz u zagradi na desnoj strani je rotacijadvodimenzionalnog polja ~F

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Ilustracija Greenovog teorema

• Greenov teorem možemo ilustrirati na primjeru vektorskogpolja

~F = 2(x2 + y2)~i + (x + y)2~j (35)

i petlje u obliku trokuta s vrhovima u tockama A(1, 1), B(2, 2)i C(1, 3)

x

y

C1

C2

C3

(1, 1)

(2, 2)

(1, 3)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• želimo pokazati da vrijedi Greenov teorem∮

C

~Fd~r =

∫

S

(

∇× ~F)

· d~s (36)

• linijski integral polja ~F po trokutu mora biti jednak plošnomintegralu rotacije polja ~F po trokutu

Linijski integral• linijski integral po trokutu razbijemo na tri integrala

∮

C

~Fd~r =

∫

C1

~Fd~r +

∫

C2

~Fd~r +

∫

C3

~Fd~r (37)

• linija C1 leži na pravcu y = x pa je radijus vektor tocke naputanji C1 dan s

~r = x~i + y~j = x~i + x~j (38)

• diferencijal vektora

d~r = dx(

~i +~j)

(39)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• polje na istoj putanji dobijemo uvrštavanjem y = x u izraz(35)

~F = 4x2~i + 4x2~j = 4x2(

~i +~j)

(40)

• integriramo skalarni produkt diferencijala d~r i polja ~F

∫

C1

~F · d~r =

∫ x=2

x=1

~F · d~r =

∫ x=2

x=18x2dx =

563

(41)

• linija C2 leži na pravcu y = −x + 4 pa je radijus vektor tockena putanji C2 dan s

~r = x~i + y~j = x~i + (−x + 4)~j (42)

• diferencijal vektora

d~r = dx(

~i −~j)

(43)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• polje na putanji C2 dobijemo uvrštavanjem y = −x + 4 uizraz (35)

~F = 2[

x2 + (−x + 4)2]~i + 16~j = 4[

x2 − 4x + 8]

~i + 16~j (44)

• skalarni produkt polja ~F i diferencijala d~r

~F · d~r = 4(

x2 − 4x + 8)

dx − 16dx = 4x2dx − 16xdx + 16dx(45)


∫

C2

~F · d~r =

∫ x=1

x=2

~F · d~r = 4∫ x=1

x=2

(

x2 − 4x + 4)

dx = −43

(46)

• linija C3 leži na pravcu x = 1 pa je radijus vektor tocke naputanji C3 dan s

~r = x~i + y~j =~i + y~j (47)

• diferencijal vektorad~r = dy~j (48)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• polje na putanji C3 dobijemo uvrštavanjem x = 1 u izraz (35)

~F = 2(1 + y2)~i + (1 + y)2~j (49)

• skalarni produkt polja ~F i diferencijala d~r

~F · d~r = (1 + y)2dy (50)


∫

C3

~F · d~r =

∫ y=1

y=3

~F · d~r =

∫ y=1

y=3

(

1 + 2y + y2) dx = −563(51)

• sva tri doprinosa zajedno daju∮

C

~F · d~r =563

− 43− 56

3= −4

3(52)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


Plošni integral• da bi izracunali plošni integral u formuli (36) prvo trebamo

rotaciju polja ~F

∇× ~F = ~k (∂xFy − ∂y Fx) = 2 (x − y)~k (53)

• trokut po kojem integriramo se nalazi u ravnini xy , elementpovršine d~s ima smjer ~k

• integral po površini trokuta možemo podijeliti na dva dijela

x

y

(1, 1)

(2, 2)

(1, 3)

x

y

(1, 1)

(2, 2)

(1, 3)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• u integralu na lijevoj slici po x integriramo od x = 1 do x = 2,a po y od y = x (linija C1) do y = 2

I1 =

∫ 2

1

∫ 2

x2(x − y)dxdy = 2

∫ 2

1

∫ 2

xxdxdy − 2

∫ 2

1

∫ 2

xydxdy

(54)

• prvi doprinos

I1a = 2∫ 2

1

∫ 2

xxdxdy = 2

∫ 2

1x∫ 2

xdydx

= 2∫ 2

1x(

y |2x)

dx = 2∫ 2

1x (2 − x) dx

= 4∫ 2

1xdx − 2

∫ 2

1x2dx

= 4x2

2

∣

∣

∣

∣

x=2

x=1− 2

x3

3

∣

∣

∣

∣

x=2

x=1= 2(4 − 1) − 2

(

83− 1

3

)

= 6 − 143

=43

(55)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• drugi doprinos

I1b = −2∫ 2

1

∫ 2

xydxdy = −2

∫ 2

1

∫ 2

xydydx

= −2∫ 2

1

(

y2

2

∣

∣

∣

∣

2

x

)

dx = −2∫ 2

1

(

2 − x2

2

)

dx

= −4∫ 2

1dx +

∫ 2

1x2dx

= −4 x |x=2x=1 +

x3

3

∣

∣

∣

∣

x=2

x=1= −4(2 − 1) +

(

83− 1

3

)

= −4 +73

= −53

(56)

• ukupni doprinos integrala na lijevoj slici

I1 = I1a + I1b =43− 5

3= −1

3(57)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• u integralu na desnoj slici po x integriramo od x = 1 dox = 2, a po y od y = 2 do y = −x + 4 (linija C2)

I2 =

∫ 2

1

∫ 4−x

22(x − y)dxdy

= 2∫ 2

1

∫ 4−x

2xdxdy − 2

∫ 2

1

∫ 4−x

2ydxdy (58)

• prvi doprinos

I2a = 2∫ 2

1

∫ 4−x

2xdxdy = 2

∫ 2

1x∫ 4−x

2dydx

= 2∫ 2

1x(

y |4−x2

)

dx = 2∫ 2

1x (4 − x − 2) dx

= 4∫ 2

1xdx − 2

∫ 2

1x2dx = 2 x2

∣

∣

x=2

x=1 −23

x3∣

∣

x=2

x=1

= 2(4 − 1) − 23

(8 − 1) = 6 − 143

=43

(59)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• drugi doprinos

I2b = −2∫ 2

1

∫ 4−x

2ydxdy = −2

∫ 2

1

∫ 4−x

2ydydx

= −∫ 2

1

(

y2∣

∣

4−x

2

)

dx = −∫ 2

1

[

(4 − x)2 − 4]

dx

= −∫ 2

1

[

12 − 8x + x2]dx

= −12∫ 2

1dx + 8

∫ 2

1xdx −

∫ 2

1x2dx

= −12 + 4(4 − 1) − 13

(8 − 1) = −73

(60)

• ukupni doprinos integrala na lijevoj slici

I2 = I2a + I2b =43− 7

3= −1 (61)

• ukupni plošni integral rotacije ∇× ~F po trokutu iznosi∫

S(∇× ~F )d~s = I1 + I1 = −1

3− 1 = −4

3(62)

Plosni integrali


Zadatak 1


Zadatak 2

Zadatak 3

Zadatak 4


• linijski i plošni integral se zaista poklapaju, u skladu sGreenovim teoremom

Documents

Plosni integrali Dvostruki integrali - phy.pmf.unizg.hrtniksic/Klasicna/I/biljeske/Dodaci/plosni.pdf · Plosni integrali Dvostruki integrali Pravokutno podrucˇje integracije Zadatak