INTEGRALE INDEFINITO

INTEGRALE INDEFINITO

OBIETTIVI MINIMI:

Saper definire lintegrale indefinito di una funzione.

Conoscere le propriet dellintegrale indefinito.

Saper calcolare lintegrale indefinito di una funzione utilizzando i diversi metodi

di integrazione.

DA RICORDARE

La derivata di una funzione, quando esiste UNICA.

Una funzione si dice primitiva di una funzione definita nellintervallo se derivabile in tutto e la sua derivata .

Quindi: se allora una primitiva di .

Se una primitiva di allora lo sono anche tutte le funzioni del tipo

con costante reale arbitraria.

Infatti, poich la derivata di una costante nulla, si ha:

Se due funzioni e sono primitive della stessa funzione , allora le due funzioni differiscono per una costante.

Se continua in un intervallo allora in tale intervallo ammette primitiva.

Definizione di integrale indefinito

Si definisce integrale indefinito della funzione , e si indica con , linsieme di tutte le primitive di con numero reale qualunque.

Nella scrittura la funzione detta funzione integranda e la variabile variabile dintegrazione.

Teoremi degli integrali indefiniti

I teoremi sopra elencati permettono di affermare che lintegrale indefinito, come la derivata, un operatore lineare e il procedimento di integrazione che utilizza tali teoremi detto integrazione per decomposizione o per scomposizione.

Integrali immediatiSe possibile determinare lintegrale indefinito di una funzione grazie alle sole regole di derivazione allora lintegrale detto immediato.

Tabella degli integrali immediati delle funzioni elementari e loro generalizzazioni

Integrale immediatoGeneralizzazione

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

ESEMPI

Integrazioni immediate con utilizzo della regola di integrazione per decomposizione.

EMBED Equation.3

Integrazione di funzioni razionali frattePer integrare le funzioni razionali fratte si utilizza, in genere, il metodo di decomposizione che, come gi visto, si basa sulla possibilit di decomporre la funzione integranda nella somma di funzioni.

Si debba integrare:

a) Se grado di grado di si esegue la divisione tra i polinomi:

con ,

b) Se grado di < grado di e si calcola il dellequazione associata. Si presentano 3 casi:

1 CASO

(

(

2 CASO

(

( se di 1 grado

se di grado 0

3 CASO

ESEMPI

1CASO denominatore con

Si scompone e, grazie al principio di identit polinomiale si determinano le due costanti e tali che:

EMBED Equation.2

Risolvendo il sistema otteniamo e lintegrale diventa:

2CASO denominatore con

Si scompone e, grazie al principio di identit polinomiale, si determinano le due costanti A e B tali che:

Risolvendo il sistema otteniamo e lintegrale diventa:

3CASO denominatore con

Si riscrive la frazione come somma di frazioni, in modo che una di esse abbia come numeratore la derivata del denominatore

Il primo integrale immediato, mentre nel secondo si scrive il denominatore come somma di due quadrati per poter integrare come arcotangente:

lintegrale di partenza diventa:

Integrazione per sostituzioneQuesto metodo viene utilizzato per semplificare il calcolo di alcuni integrali e consiste nella sostituzione della variabile dintegrazione mediante una funzione del tipo :

ESEMPI

si pone

lintegrale diventa:

si pone

lintegrale diventa:

si pone

lintegrale diventa:

e grazie alle formule di bisezione:

Integrazione per partiQuesto metodo viene utilizzato quando la funzione integranda il prodotto di un fattore finito e di un fattore differenziale , in tal caso si applica la formula:

N.B.1 La scelta del fattore finito e del fattore differenziale quasi sempre determinante per la riuscita del calcolo e, pur non essendoci una regola generale, in alcuni casi utile sapere che:

conviene porre fattore finito nelle integrazioni: , ,

conviene porre fattore differenziale nelle integrazioni: , .

N.B.2 Il metodo pu essere utilizzato pi di una volta per la risoluzione di un integrale.

ESEMPI

si pone

fattore finito (

fattore differenziale (

lintegrale diventa

si pone

fattore finito (

fattore differenziale(

lintegrale diventa:

applichiamo nuovamente il metodo nellultimo integrale:

si pone

fattore finito (

fattore differenziale (

e si ottiene :

ESERCIZI

1. Quesiti a risposta multipla:

-

(a b

c

-

(a

b

c

- (a

b

c

2. Calcola i seguenti integrali immediati:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

3. Calcola i seguenti integrali di funzioni razionali fratte:

a)

b)

c)

e)

f)

g)

4. Calcola i seguenti integrali applicando il metodo di sostituzione:a)

b)

c)

d)

5. Calcola i seguenti integrali applicando il metodo di integrazione per parti:a)

b)

c)

d)

6. Vero o Falso ?

- Lintegrale con la sostituzione si trasforma in V F- Lintegrale con la sostituzione si trasforma in V F- Lintegrale con la sostituzione si trasforma in V F-

V F-

V F- Per calcolare si deve prima eseguire la divisione

tra numeratore e denominatore.

V F-

V F-

V F7. Calcola i seguenti integralia)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

l)

m)

n)

Lintegrale di partenza si trasforma in

EMBED Equation.3

Si cercano due numeri

EMBED Equation.3 e EMBED Equation.3 tali che

EMBED Equation.3

Si fattorizza EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Lintegrale la somma di logaritmi

EMBED Equation.3

Lintegrale di partenza si trasforma in

EMBED Equation.3

Si cercano due numeri

EMBED Equation.3 e EMBED Equation.3 tali che

EMBED Equation.3

Si fattorizza EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Lintegrale la somma di un logaritmo e di una funzione fratta

EMBED Equation.3

Lintegrale quello

immediato di una

funzione fratta

EMBED Equation.3

Se EMBED Equation.3 di grado 0 si scrive il denominatore come somma di due quadrati ottenendo come

integrale un arcotangente

EMBED Equation.3 non scomponibile

Se EMBED Equation.3 di 1 grado si scrive la frazione come somma di due frazioni , la prima delle

quali sia la primitiva di un logaritmo e la

seconda sia la primitiva di un arcotangente

EMBED Equation.3

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