TAVOLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI - Roberto · PDF fileR. Capone Analisi Matematica Il Calcolo Integrale 1 TAVOLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI Integrazione di funzioni elementari

R. Capone Analisi Matematica Il Calcolo Integrale

1

TAVOLA DEGLI INTEGRALI INDEFINITI

Integrazione di funzioni elementari Integrazione di funzioni composte

dx x c

1

1

xx dx c

1

( )( ) '( )

1

f xf x f x dx C

1lndx x c

x

'( )ln ( )

( )

f xdx f x c

f x

2

1tan

1dx arc x c

x

2

'( )arctan( ( ))

1 ( )

f xdx f x c

f x

2 2

1 1tan

xdx arc c

a x a a

x xe dx e c ( ) ( )'( )f x f xe f x dx e c

ln

xx a

a dx ca

∫ ( ) ( ) ( )

2

1arcsin

1dx x c

x

∫

( )

√ [ ( )] ( )

2

1arccos

1dx x c

x

∫

( )

√ [ ( )] ( )

cos sinxdx x c '( ) cos ( ) sin ( )f x f x dx f x c

sin cosxdx x c '( )sin ( ) cos ( )f x f x dx f x c

tan ln cosxdx x c

∫ ∫ ( ) ( ) ( )

∫ ∫ ( ) ( ) ( )

∫

∫

( )

( ) ( )

∫

∫

( )

( ) ( )

∫

∫

( )

( ) ( )

GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

Calcola i seguenti integrali. 1 3 22 2x x x dx 18

22

3 4

11dx

xx

2 3 22 3 3x x x dx 19 2 3 1x x dx


2

3

2

1 1 1dx

x xx

20 3 4 2x x dx

4 dx

xxx

3

111

21 4 3

5

6

7 2

7 10 2

2 4 2 4

x xdx

x x

x

x

5 3 2

2

3 2x x xdx

x

22 2 4

3 2 3

6 12 6

3 7

x x xdx

x x x

6 3 2

2

2 2 4x x xdx

x

23 sen cosx dxe x

7

2

3

1

xdx

x

24 cos senx xe xd

8

22 1

xdx

x

25 x x

x x

e edx

e e

9

2

23 1

xdx

x

26 2

2

2 x x

x x

e edx

e e

10

3

24 1

xdx

x

27 1 3

2 1 5dx

x x

11 32 cosxe x x dx 28 4 1

3 2 1dx

x x

12 33 senxe x x dx 29 2

2 1

4 1

xdx

x

13 34sen cos sen 3

sen

x x xdx

x

30 2

3

3 9

27

x xdx

x

14 34cos 2sen cos 3

cos

x x xdx

x

31 3

81

xdx

x

15

2 2

2 5

1 1dx

x x

32 4

101

xdx

x

16 1

2

5

1 5

x

xdx

33

2

1

ln

x

x x

edx

x e x e

17 2

2

3

1 3

x

xdx

34

2

2 cos

1 2 sen ln 1 2 sen

xdx

x x x x

L’INTEGRAZIONE PER PARTI

Teorema di integrazione per parti

Se f e g sono due funzioni reali di classe nell’intervallo [a,b], si ha:

∫ ( ) ( ) [ ( ) ( )] ∫ ( ) ( )


3

Dimostrazione:

pressoché ovvia. Essendo per la regola di derivazione del prodotto di due funzioni:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

si ha

∫ ( ) ( ) [ ( ) ( )]

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

da cui l’asserto.


4

Es.1 Si calcoli il seguente integrale

∫

La funzione integranda si presenta come il prodotto di due funzioni. L’integrale si risolve seguendo la formula dell’integrazione per parti

∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Avendo indicato con ( ) una primitiva di ( ) e avendo scelto ( ) come fattore finito e ( ) come fattore differenziale. Nel nostro caso:

∫ ∫


∫√

In questo esercizio, la scelta di come fattore finito è obbligata perché non se ne conosce una primitiva. Pertanto, si ha:

∫√

√

√


∫

Anche in questo caso, la scelta di come fattore finito è obbligata. Si ha:

∫

∫

∫

(∫ ∫

)

( )

NB: la scelta del fattore differenziale dipende sostanzialmente da due condizioni; deve essere una funzione di cui si conosce con semplicità la primitiva; inoltre deve essere tale che il nuovo integrale che compare

dall’applicazione della formula di integrazione per parti sia di difficoltà pari o minore a quello di partenza. Alcuni artifici ed esempi Es.4 Si calcolino i seguenti integrali

∫ ∫

∫ ∫

| |

∫ ∫

| |

Es.5 Si calcolino i seguenti integrali

∫

∫

∫


5

∫

∫

| |

∫

∫

∫

|

|

| |

∫

∫

( )

| (

)|

| |

Es.6 Si calcolino i seguenti integrali

∫

∫

∫

∫

∫

∫

( )

| |

∫

∫

∫

∫

( )

Calcola i seguenti integrali.

1 xdxx sin2 16 ∫

2 3 cosx xdx 17 ∫ ( )

3 ogxdxx l3

18 ∫

4 ogxdxx l4

19 ∫

5 2 arctgx xe e dx

20 ∫

6 1arctg

2x dx

x

21 ∫

7 dxxx 2sin3 2

22 ∫

8 dxxx 3cos2 2

23 ∫ ( )

9 ∫ 24 ∫

10 ∫ 25 ∫√

11 ∫ 26 ∫ ( )

12 ∫ 27 ∫ √

13 ∫ 28 ∫

14 ∫ 29 ∫ √


6

15 ∫ 30 ∫

( )

L’INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Per calcolare l’integrale ( )

( )

N xdx

D x di una funzione in cui il grado del denominatore sia maggiore del

numeratore si scompone D(x) nel prodotto di fattori irriducibili;

si riscrive la funzione integranda come somma di frazioni semplici aventi come denominatore i

fattori di D(x);

si applicano le regole di integrazione immediata

ax b A

ax b

1

1 2x x x

1 2

A B C

x x x

n

ax b

2 3...

n

A B C N

ax b ax b ax b ax b

2

3

1

1

x

x

2 3

1 1 1

A B C

x x x

2 ; 0ax bx c

2

Ax B

ax bx c

2

2 1

1 2

x

x x

21 2

A Bx C

x x

∫

√

√

∫

∫

( ) ∫

∫

∫

( ) ∫

( )

∫

| |

∫


7

Se il grado del Denominatore è minore o uguale al grado del Numeratore si procede alla divisione dei due

polinomi

( ) ( )( )

( ) ( )

N x R xdx Q x dx dx

D x D x

dove R(x) e Q(x) sono rispettivamente il resto e il quoziente della divisione.

1 ∫

( )

31 ∫

2 ∫

( )

32 ∫

3 ∫

( )

33 ∫

4 ∫

( )

34 ∫

5 ∫

( )

35 ∫

6 ∫

( )

36 ∫

7 ∫

37 ∫

8 ∫

38 ∫

9 ∫

39 ∫

10 ∫

40 ∫

11 ∫

41 ∫

12 ∫

42 ∫

13 ∫

43 ∫

14 ∫

44 ∫

15 ∫

45 ∫

16 ∫

( )

46 ∫

17 ∫

( )

47 ∫

18 ∫

( )

48 ∫

19 ∫

( )

49 ∫

( )

20 ∫

( )

50 ∫

( )

21 ∫

( )

51 ∫

( )

22 ∫

( )

52 ∫

( )


8

23 ∫

( )

53 ∫

( )

24 ∫

( )

54 ∫

( )

25 ∫

( )

55 ∫

( )

( )

26 ∫

( )

56 ∫

( )( )

27 ∫

( )

57 ∫

( )( )

28 ∫

( )

58 ∫

( )( )

29 ∫

59 ∫

( )( )

30 ∫

60 ∫

( )( )

L’INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

∫ ( )

(

)

∫ ( )

∫ ( )

∫ (√ ) √

Integrali del tipo

∫ ( )

1 ∫

( )

( )


9

2 ∫

| |

( )

3 ∫

√

√

4 ∫

( ) ( )

5 ∫

| |

6 ∫

( )

√

√

7 ∫

( )( )

| | ( )

8 ∫

( )

√

√

9

Integrali del tipo

∫ ( )

1 ∫

2 ∫

3 ∫

4 ∫

5 ∫

6 ∫

|

|

7 ∫

|

|

8 ∫

|

|

9 ∫

( ) |

|

|

|

10 ∫

( )

|

|

11 ∫

( ) |

|

|

|

12 ∫

( ) |

|

Integrali del tipo

∫ ∫

∫

Per n=1 ricorriamo ad una sostituzione con formule parametriche. Per n=2 si ricorre ad artifici.


10

Es.7

Si risolva il seguente integrale

∫

∫

∫

∫

∫

1 ∫

2 ∫

3 ∫

4 ∫

5 ∫

6 ∫

7 ∫

8 ∫

9 ∫

10 ∫

11 ∫

12 ∫

13 ∫

Alcuni integrali di espressioni trigonometriche si risolvono con formule di ricorrenza

Es. 8

Si calcolino i seguenti integrali

∫ ∫ ∫

Vale la seguente formula di ricorrenza di cui si omette la dimostrazione

∫

∫

Analogamente per il secondo e il terzo:


11

∫

∫

∫

∫

Integrali del tipo

∫ ( √

)

La sostituzione da effettuare è:

√

che fornisce:

( )

( )

Un caso particolare è dato quando la funzione integranda presenta due o più radici con indice diverso. Il

questo caso basta porre uguale a t la radice n-sima di un certo radicando, dove n rappresenta il m.c.m. degli

indici.

Es. 9

Si calcoli il seguente integrale

∫

√ √

Si adopera la sostituzione:

√

che fornisce:

∫

√ √ ∫

( )

E quindi:

∫

√ √ √ √

√

( √

)


12

1

∫

( )

√

√

2 ∫

√

√ ( √ )

3 ∫

√

√ ( √ )

4 ∫

√

√

√

5 ∫

√

( )√

√( )

6 ∫

√

√ ( √ )

7 ∫

√

( )√ ( )

8 ∫

√

√ ( √

)

9 ∫

√

√ ( √

)

10 ∫

√ √

11 ∫

√ √

12 ∫

√

√

√

13 ∫

√

√ ( √ )


13

14

∫√

√(

)

( √

)

( )

15 ∫

√

√ ( √ )

Integrali del tipo

∫ ( √ )

Caso

Un integrale del genere si risolve per sostituzione. La sostituzione fa effettuare è

√ √ ( )

( )

( )

In questo modo l’integranda si riduce a una funzione della variabile t:

√ √ (

) √ (

)

A titolo di esempio:

∫

√

ammette come soluzione, facilmente verificabile tramite la sostituzione appena vista:

∫

√

√ |

√

|

16 ∫

√

17 ∫

√

18 ∫

√

19 ∫

√

20 ∫√


14

21 ∫

√

22 ∫

√

23 ∫

√

24 ∫

√

25 ∫

√

26 ∫

√

27 ∫

√

28 ∫

√

29 ∫

√

30 ∫

√

Caso

La sostituzione da effettuare in questo caso è la seguente:

√

dove sono le soluzioni del polinomio sotto radice, che avrà un .

Dalla sostituzione si ricava:

( )

( )

√ (√| |

) √| |( )

A titolo di esempio:

∫

√

√| | √

Come si può facilmente verificare ammettendo la sostituzione appena vista.

31 ∫

√

32 ∫

√

33 ∫

√


15

34 ∫

√

35 ∫

√

36 ∫

√

37 ∫

√

38 ∫

( )

√

39 ∫√

40 ∫√

41 ∫√

Altri esempi

Es. 10


∫

Possiamo procedere per sostituzione di variabile, ponendo

Si ottiene così:

∫

∫

∫ ( )

∫( )

NB. La sostituzione è possibile ogni volta che l’elemento ( ) è invariante rispetto a

Es. 11


∫

Tale integrale può essere considerato un particolare caso di integrali del tipo:

∫


16

∫ ∫

∫( ) ( )

∫( ) ( )

Es. 12


∫

∫ ∫

Integrando per parti, si ottiene:

∫

∫ ∫( )

∫ ∫

Portando il valore dell’ultimo integrale a primo membro e sfruttando la proprietà di additività si ha:

∫

∫

Essendo poi:

∫

∫( )

(

)

segue che

∫

Formula di Newton-Leibnitz o secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia :[ , ]f a b R una funzione che ammette una primitiva F su [a,b]. Se f è integrabile si ha:

( ) ( ) ( ) ( )

bb

a a

f x dx G x G b G a

Tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.


17

1 2

3

12x x dx 17

4

2 2

3

11x x dx 17

4

3 24

1

2 3xdx

x

15 3ln 4

4 33

1

3 2xdx

x

26 2ln3

5 4

0sen cosx x dx

1 2

6 2

4

( s n )cos ex x dx

1 2

7 dxxex22

0 4 1

2

e

8 312

0

xx e dx 1

3

e

9 3 21

1

2 3 10 9

2

x x xdx

x

28

ln 33

10 3 26

3

2 2 2

1

x x xdx

x

213 5

3ln2 2

11 1

2

0

2

1

xdx

x 8 5 2

3

12 1

2

0

2

1

xdx

x 8 3 6

3

13 3

42

2

sen

1 2cos

xdx

x

2

8

14 4

20

cos

1 2sen

xdx

x

2

8

15 4

0sen 1x x dx

21

8

16 4

01 cosx xdx

22 1

8

IL CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE

Disegna le superfici delimitate dall’asse x e dal grafico delle funzioni seguenti, definite negli intervalli indicati, poi calcolane l’area.


18

1 1xy e , 0;2 . 2 1e

2 2xy e , 0;1 . 1e

3 2 2y x x , 1;2 . 8

3

4 2 2y x x , 2;1 . 8

3

5 3 26 11 6y x x x , 1;3 1

2

6 3 23 2y x x x , 0;2 . 1

2

7 Determina l’area della regione finita di piano delimitata dalla retta di equazione 2 2 9 0x y e

dall’iperbole di equazione 2

yx

. 63

3ln 48

8 Determina l’area della regione finita di piano delimitata dalla retta di equazione 2 2 9 0x y e

dall’iperbole di equazione 2

yx

. 63

3ln 48

Esercizi di riepilogo sugli integrali

1 2

3 2

9 6 1

xdx

x x

2 2

2

8 18dx

x x

3 2

1

4 4 3dx

x x

4

2

4

2 3

xdx

x x

5

2

2

2 5

xdx

x x

6

2

2

2 5

xdx

x x

7

3

2 1

1

xdx

x

8

3

3

1

xdx

x

9 4 2

5 3 2

5 2 4

3 2 6 3

x x xdx

x x x

10 3

4 2

2

4 1

x xdx

x x

11 3 1

2

xdx

x


19

12 2 1

2 1

xdx

x

13

2

2 1

2 24

xdx

x x

14

2

7

2 8

x

xxd

x

15

2

1

8 16

xdx

x x

16 ∫

17 ∫

√

18 ∫

19 ∫ √

( )

20 ∫

√

√

21 ∫

22 ∫

23 ∫

24 ∫

|

|

25 ∫

26 ∫

|

|

27 ∫

28 ∫

√

√

29 ∫

30 ∫

| |

31 ∫

( )

( )

32 ∫

33 ∫

√ √

34 ∫


20

35 ∫

√

√ ( )

36 ∫ √

√

( )

37 ∫

38 ∫

√

(

√

)

39 ∫√

√

( √ )

40 ∫

41 ∫

42 ∫

( )

43 ∫

√

|

√

|

44 ∫

√

|

√

|

45 ∫

( )

|

|

46 ∫ √

47 ∫

48 ∫

( )

49 ∫

50 ∫

( )

51 ∫

52 ∫

53 ∫

( )

54 ∫

( )

55 ∫

( )

56 ∫

( ) ( )

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