T. C.SELUKN VERS TESFENEDEB YATFAKLTESMATEMAT KBLM NTEGRAL (Ri emannntegrali) Ha z r l ayan Ahme t Re c e pKARAKO Te z Dan manDo . Dr . a z i ye YKSEL KONYA 1 9 9 6 ZET RiemannintegraliFenLiseleri,AnadoluLiselerininsaysalveeitarlk blmlerindegsterildiigibi; fakltelerde Analiz-I ve Analiz-II derslerinde nemli bir konu olarak yerini her zaman korumaktadr. Bu tez almas drt ksmdan olumaktadr. Birinciblmdebelirsizintegral;ikinciblmdebelirliintegral;nc blmdebelirliintegraliledzlemselalanhesaplar,dnelcisimlerinhacim hesaplarveyzeyalanhesaplarnnnaslhesaplanacananlatanteorikvepratik ksmlaryazlmtr.Drdncblmdeisebirucusonsuzagidenintegral hesaplarndan bahsedilmitir. Anahtar kelimeler: ntegral, Riemann, analiz, alan hesab, yzey alan hesab, dnel cisimlerin hacmi, grafik, leminskat, astroid, kardioid, Bernoulli, Cauchy NSZ BualmanntamamlanmasiinretimgrevlisiSaynDo.Dr.aziye YKSELden dn alm olduum kitaplar zerinde incelemeler yaparak alt ayda hazrladm. retmenimin gr ve eletirileriyle olgunlatrmaya altm bu eser Analiz-I ve Analiz-II derslerine yardmc kaynak olaca dncesindeyim. HattaRiemannntegralininbazksmlardaFenLiseleriveAnadolu Liselerindeanlatlanmfredatkonularilerttnden,butrdekilise rencilerine de yarar salayaca kansndaym. Butezyazmvehazrlkaamasnnherbirindebanayardmetmekten ekinmeyip,herzamandestekolanSaynretmenimDo.Dr.aziyeYKSELe teekkrlerimi arz ederim. Ahmet Recep KARAKO I N D E K L E RBLM 1.............................................................................................................................................. 1 BELRSZ NTEGRAL....................................................................................................................... 1 1.1. TANIM:....................................................................................................................................... 1 1.2. BELRSZ NTEGRALLERN ZELLKLER............................................................................ 2 1.3. TEMEL FORMLLER............................................................................................................... 3 1.4. NTEGRAL ALMA METOTLARI................................................................................................ 5 1.4.1. Deiken Deitirme Metodu: ........................................................................................... 5 1.4.2. Ksm ntegrasyon Metodu ................................................................................................ 7 1.4.3. Rasyonel Fonksiyonlarn ntegrasyonu (veya Basit Kesirlere Ayrma)........................... 9 1.4.3.1. }+dxb axkHali:.................................................................................................... 9 1.4.3.2. ( )}+dxb ax knHali: ............................................................................................ 10 1.4.3.3. ) () () (x Qx Px f = Hali:............................................................................................... 11 1.4.3.4. }+ + c bx axdx2Hali:............................................................................................. 12 1.4.4. Kkl fadelerin ntegrasyonu........................................................................................ 17 1.4.5. Binom ntegralleri ........................................................................................................... 20 1.4.6.( )}+ + dx c bx ax x R2,eklindeki ntegrallerin Hesab........................................ 22 1.4.6.1. }+ + c bx axdx2integralinin hesab:................................................................... 22 1.4.6.2. }+ ++dxc bx axn mx2integralinin hesab: ............................................................. 24 1.4.6.3. ( )}+ + + c bx ax n mxdx2integralinin hesab: .................................................. 25 1.4.6.4.( ) x Pn , n inci dereceden bir polinom olmak zere, }+ +dxc bx axx Pn2) (

eklindeki integrallerin hesab: .............................................................................................. 25 1.4.6.5N e nolmak zere, ( )}+ + c bx ax p xdxn 2eklindeki integrallerin hesab: 26 1.4.7. }||.|

\|++dxd cxb axx Rm,eklindeki ntegrallerin Hesab ............................................... 27 1.4.8.( )}dx x x R cos , sineklindeki ntegrallerin Hesab ................................................. 29 1.4.9. ndirgeme (Rekrans) Formlleri................................................................................... 30 1.5. ZLM PROBLEMLER................................................................................................... 32 1.6. ZLECEK PROBLEMLER................................................................................................. 37 IIBLM 2............................................................................................................................................ 38 BELRL NTEGRAL....................................................................................................................... 38 2.1. Aralklarn Paralanmas ......................................................................................................... 38 2.1.1. Tanm: .............................................................................................................................. 38 2.2. Merdiven Fonksiyonlar ........................................................................................................... 39 2.2.1. Tanm: .............................................................................................................................. 39 2.3. Merdiven Fonksiyonlarnn ntegrali ....................................................................................... 41 2.3.1. Tanm:............................................................................................................................... 41 2.4. Kapal Bir Aralkta Tanml, Reel ve Snrl Bir Fonksiyonun Riemann ntegrali.................... 42 2.4.1. Tanm:............................................................................................................................... 43 2.4.2. Tanm:............................................................................................................................... 43 2.4.3. Tanm: .............................................................................................................................. 43 2.4.4. Tanm: .............................................................................................................................. 44 2.5. Riemann Anlamnda ntegrallenebilen Baz Fonksiyon Snflar ......................................... 45 2.5.1. Tanm: .............................................................................................................................. 46 2.6.( )xaf u du}nun Sreklilii, lkel Fonksiyonlar, Diferansiyel ve ntegral Hesabnn Temel Teoremi ........................................................................................................................................... 54 2.6.1. Belirsiz ntegral ile Belirli ntegral Arasndaki Bant. lkel Fonksiyonlar:............... 55 2.6.2. Diferansiyel ve ntegral Hesabnn Temel Teoremi: ...................................................... 55 2.7. Baz Limitlerin ntegraller Yardmyla Hesab....................................................................... 57 2 . 8 . Z L M P ROBL EML ER ............................................................................. 58 2 . 9 . Z L ECE KP ROBL E ML E R .......................................................................... 65 BLM 3............................................................................................................................................ 68 BELRL NTEGRALN UYGULAMALARI................................................................................ 68 3.1. Alan Hesaplar......................................................................................................................... 68 3.1.1. Dik Al Koordinat Sistemlerinde Alan Hesab .......................................................... 68 3.1.2. Kutupsal Koordinat Sistemlerinde Alan Hesab.......................................................... 73 3.1.3. Eri Denkleminin Parametrik Olarak Verilmesi Halinde Alan Hesab .................... 75 3 . 1 . 4 . ZLM P ROBLE MLER ................................................................. 76 3 . 1 . 5 . ZLECEKP ROBLEMLER .............................................................. 85 3.2. Yay Uzunluunun Hesab ....................................................................................................... 85 3.2.1. Kartezyen Koordinat Sisteminde Yay Uzunluunun Hesab...................................... 85 3.2.2. Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunluunun Hesab .................................................. 87 3.2.3. Eri Denkleminin Parametrik Olarak Verilmesi Halinde Yay Uzunluunun Hesab.................................................................................................................................................... 90 3 . 2 . 4 . ZLM P ROBLE MLER ................................................................. 91 3 . 2 . 5 . ZLECEKP ROBLEMLER .............................................................. 93 3.3. Kiri Uzunluunun Eri Parasna Oran ............................................................................. 94 3.4. Hacim Hesaplar...................................................................................................................... 95 3.4.1. Kesit Metodu................................................................................................................... 95 3.4.1.a. Disk Metodu ............................................................................................................ 98 3.4.1.b. Kabuk Metodu ...................................................................................................... 101 3 . 4 . 2 . ZLM P ROBLE MLER ............................................................... 104 3 . 4 . 3 . ZLECEKP ROBLEMLER ............................................................ 113 3.5. Dnel Yzeylerin Alanlarnn Hesaplar .............................................................................. 115 III3.5.1. Eri Denkleminin Kartezyen Formda Verilmesi Halinde Dnel Yzeyin Alannn Hesab ...................................................................................................................................... 115 3.5.2. Eri Denkleminin Kutupsal Olarak Verilmesi Halinde Dnel Yzeyin Alannn Hesab ...................................................................................................................................... 119 3.5.3. Eri Denkleminin Parametrik Olarak Verilmesi Halinde Dnel Yzeyin Alannn Hesab ...................................................................................................................................... 120 3 . 5 . 4 . ZLM P ROBLE MLER ............................................................... 121 3 . 5 . 5 . ZLECEKP ROBLEMLER ............................................................ 124 BLM 4.......................................................................................................................................... 126 GENELLETRLM NTEGRALLER..................................................................................... 126 4.1. ntegralleme Aralnn Sonsuz Olmas Hali ....................................................................... 126 4.2.( )}+ dx x f in ntegrali ........................................................................................................ 128 4.3. Yaknsaklk Kriterleri. Mutlak Yaknsak ntegraller ........................................................... 129 4.3.1.f nin Negatif Olmamas Halinde( )af x dx} ntegralinin Yaknsakl: .................. 129 4.3.2. Seriler ile Olan Benzerlik: .............................................................................................. 130 4.3.3. Eer( )af x dx}integrali yaknsak ise,( )af x dx}integrali de yaknsaktr. ......... 131 4.3.4. Mutlak Yaknsaklk: ....................................................................................................... 131 4.3.5. Mukayese Kriteri: ........................................................................................................... 131 4 . 4 . Z L M P ROBL EML ER ......................................................................... 135 4 . 5 . Z L ECE KP ROBL E ML E R ........................................................................ 139 4.6. ntegralleme Aralnda Fonksiyonun Sonsuzluk Yerlerinin Bulunmas Hali .................. 139 EK 1............................................................................................................................................ 143 EK 2............................................................................................................................................ 151 EK 3............................................................................................................................................ 152 KAY NAKL AR ........................................................................................................................ 153 BLM 1 BELRSZ NTEGRAL Birbakmatrevalmailemlerinintersiolanintegralalmailemifenve mhendisliinenokihtiyaduyduumatematikkonularnnbandagelir.Bizbu blmdetemelfenderslerindekarlalmasmuhtemelolanbtnintegraltrleri iin zm yollarn etrafl olarak ele alacaz. Bublmdematematikvefizikproblemlerininzmndenemlibiryertutan integralkavramntantacak,dahasonraeitliintegralalmametotlarnvermeye alacaz. 1.1. TANIM: Trevi ) (x f veya diferansiyeli dx x f ) ( olan ) (x F ifadesine) (x f in belirsiz integrali denir ve( ) ( ) x F dx x f}= eklinde gsterilir. Bu( ) ( ) ( ) ( ) x f x Fdxddx x f x F = =} olmas demektir. Dier taraftan bir sabitin trevi sfr olduundan ( ) | | ( ) x f c x Fdxd= + yazlabilirki,buda) (x f inintegralinin) (x F eklindeyazlabileceinigsterir. Demekkidx x f}) ( integralinihesaplamakdemektrevi( ) f x olanfonksiyonu bulmak demektir. RNEK 1.1. }dx x 2 integralini hesaplaynz. 2zm: Bu integrali hesaplamak iin trevi x 2 olan ifadeyi bulmak gerekir. Bu ifadenin2x olduunu trev kavramndan dolay syleyebiliriz. u haldecxdx x + =}222 olur. imdi belirsiz integrallere ait baz zellikleri inceleyelim. 1.2. BELRSZ NTEGRALLERN ZELLKLER zellik 1:p eR iin ( ) ( )} }= dx x f a dx x f a dir. Yani integral iindeki sabit arpan integralin dna alnabilir. zellik2:Sonlusaydaterimlerintoplamndanoluanbirifadeninintegrali,bu terimlerin ayr ayr integrallerinin toplamna eittir. Yanip eNiin ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( )} } } }+ + + = + + + dx x f dx x f dx x f dx x f x f x fp p... ...2 1 1 1 dir. zellik 1 ve zellik 2 gz nne alnrsa; 1 2, , ,pa a a e . Rolmak zere, ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( )} } } }+ + + = + + + dx x f a dx x f a dx x f a dx x f a x f a x f ap p p p... ...2 2 1 1 1 2 1 1 yazlabilir. Birintegralalmaileminde,integralialnacakifadeninhangifonksiyonuntrevi olduugrlebiliyorsa,bufonksiyonabirc sabitieklemeksuretiyleintegrali alnmolur.Bunagre,trevkonusundagsterilenformlleryardmylaaadaki integral formllerini yazabiliriz. 31.3. TEMEL FORMLLER 1)c x dx + =} 2)cxdx x + =}22 3) x ( ) 1 ,11 = e ++=+}n R n cnxdx xnn 4)c xxdx+ =}ln5)c e a caadx aaxxx+ = + =}logln 6)c e dx ex x+ =} 7)c x dx x + =}cos sin8)c x dx x + =}sin cos9)c xxdx+ =}tancos2 10) }+ = c xxdxcotsin2 11)( ) 1 cos sin12< + = + =}x c x Arc c x Arcxdx 12)c x Arc c x Arcxdx+ = + =+}cot tan12 13)c shx dx chx + =} 14)c chx dx shx + =} 15)( ) 02= + =}x c chxx shdx 16)( ) c x x c Arcchxxdx+ + + = + =+}1 ln122 17)( ) ( ) 1 1 ln122> + + = + =}x c x x c Arcchxxdx 18)( ) 111ln2112> +|.|

\|+= + =}x cxxc Arcthxxdx 4imdi bu formllerden yararlanarak baz integralleri hesaplayalm. RNEK 1.2. ( )} + dx x x 3 6 92 integralini hesaplaynz. zm: ( )c x x xc xx xdx dx x dx x dx x x+ + =+ + = + = +} } } }3 3 3326393 6 9 3 6 2 92 32 32 RNEK 1.3. }|.|

\|+ dxxx x21cos 32 3 integralini hesaplaynz. zm: 3 2 3 2 5 21 1 2 13cos 3 cos 3sin ln2 2 5 2dxx x dx x dx x dx x x x cx x| | + = + = + + |\ .} } } } RNEK 1.4. } ||.|

\|++ dx xxshx2132integralini hesaplaynz. zm: 1 2 3 22 23 22 2 3 2 3 sin31 1dxshx x dx shx dx x dx chx Arc x x cx x| |+ + = + + = + + + | \ .} } } } 5ALI TI RMALAR Aadaki integralleri hesaplaynz. 1) }|.|

\|++ + dxxex x2125 . 3 22) }dxxx x 22 3) }|.|

\| dxx ch x sh2 21 2 4)1 < xolmak zere}|.|

\|+ + dxxxx2113 25)1 < xolmak zere } ||.|

\|++ dxxxx221213sin 1.4. NTEGRAL ALMA METOTLARI Bazenintegralialnacakifadenin(integrandn)hangiifadenintreviolduunu grmekokzordur.Bununiinbazintegrasyonmetotlargelitirilmitir.imdibu metotlardan en kullanll olanlar verelim. 1.4.1. Deiken Deitirme Metodu: }dx x f ) ( integralinde( ) t x = eklindebirdeikendeitirmesiyapldnda, ( ) ( ) ( )dt t t f}' . integralieldeediliyor.Eerbuintegralalnabilirse,( ) x t1 = konularak tekrar ilk deiken olanx e dnlr. imdi bu anlattklarmz rneklerle aklayalm. RNEK 1.5. ( ) ( )} dx x x x 2 3 . 2253 integralini hesaplaynz. zm: ( ) dt dx x t x x = = 2 3 22 3olup deerler yerine yazlrsa, 6( ) ( )( )cx xctdt t dx x x x += + = = } }6262 3 . 263 65 253 RNEK 1.6. }dx x excos .sin integralini hesaplaynz. zm: du dx x u x = = cos sinc e c e du e dx x ex u u x+ = + = =} }sin sincos . RNEK 1.7. ( )}dxxx Arc231sin integralini hesaplaynz. zm: dtxdxt x Arc = =21sin( ) ( )cx Arcctdt t dxxx Arc+ = + = =} }4sin41sin4 4323 ALI TI RMALAR Aadaki integralleri hesaplaynz. 1) }dxxx) (ln cos 2)( )}+ dx x ex x1 .1 22 3) }dxx x ln 4) } +dxxx2sin 1cos 5) ( )}+dxx xx2 2cos . tan 1tan 71.4.2. Ksm ntegrasyon Metodu uile v,x deikeninin birer fonksiyonu olsun. Bir arpnn diferansiyelinden, ( ) ( ) du v v u d dv u u dv v du v u d . . . . . . = + =olduunu biliyoruz. ( ) du v v u d dv u . . . =eitliinin her iki tarafnn integralini alrsak, } } = du v v u dv u . . .Bulunur. Eer }du v. integralinin hesab,}dv u.integralinin hesabndan daha kolay ise, bu metot olduka fayda salar. Demek ki bu metodu kullanmak iinu vedvdiye yle iki arpana ayrmaldr ki, }du v.integrali }dv u. integralinden daha kolay olsun. RNEK 1.8. P dx x x =}sin .integralini hesaplaynz. zm: )`==dv dx xx usin x vdx ducos == ( ) ( ) . cos cos .cos cos .cos sin P x x x dx x x x dx x x x c = = + = + +} } bulunur. RNEK 1.9. }dx x lnintegralini hesaplaynz. zm: )`==dv dxx u ln x vxdxdu== olacandan8c x x xxdxx xxdxx x x dx x + = = =} } }ln . ln . ln . lnolur. RNEK 1.10. }dx bx eaxcos .integralini hesaplaynz. zm: )`==dv dx bxe uaxcos bxbvdx e a duaxsin1.== olacandan, } } = dx bx ebabx ebdx bx eax ax axsin . sin1cos .Olur. Sa taraftaki integrale ayn metot uygulanrsa, _ _ Iax ax axIaxdx bx ebabx ebabx ebdx bx e} } + = cos . cos sin1cos .222 bx ebabx ebIbaIax axcos sin12 22+ = +bx ebabx ebIbb aax axcos sin12 22 2+ =||.|

\| + bulunur. Her iki taraf22 2bb a + ile blersek, ( )c eb abx a bx bdx bx eax ax+ ++=} 2 2cos . sin .cos .elde edilir. ALI TI RMALAR Aadaki integralleri hesaplaynz. 1) }dx x Arc tan2) }dx x x ln .3 93) }dxxx ln 4)( )} dx x x315)( ) dx x}ln cos6) }dx e xx 3 2. 1.4.3. Rasyonel Fonksiyonlarn ntegrasyonu (veya Basit Kesirlere Ayrma) P(x) veQ(x),xin polinomlarn gstersinler. P(x) polinomunun derecesi Q(x) polinomunun derecesinden byk ise, ) () () () () (x Qx Rx Kx Qx P+ =yazlabilir. Burada K(x) bir polinomdur ve R(x)in derecesi Q(x)in derecesinden kktr. u halde ) () (x Qx P eklinde bir rasyonel fonksiyonun integrallenebilmesi paynn derecesi paydasnn derecesinden kk olan ) () (x Qx R eklinde bir rasyonel fonksiyonun integrallenebilmesine indirgenir. Dier taraftan ) () (x Qx R ifadesi 0 42< ac b ve 1 > n olmak zere, ( ) ( )n nc bx axB Axc bx axB Axq pxNq pxM+ + ++ +++ +2 2, , ,eklindeki baz kesirlerin toplamndan ibaret yazlabilir. O halde dxx Qx P}) () ( eklinde bir integral,N neolmak zere, ( ) ( )} } } } }+ + ++ +++ +dxc bx axB Axdxc bx axB Axq pxdxq pxdxdx x Kn n 2 2, , , , ) ( eklindeki integrallerin hesabna indirgenmi olur. 1.4.3.1. }+dxb axkHali: 10Butrkesirlerdepaydanntrevipayksmndavarsa,logaritmalformlden yararlanlr. RNEK 1.11. }dxx 5 27 integralini hesaplaynz. zm: 22 5 2dudx du dx u x = = = c x c uuduududxx+ = + = = =} } }5 2 ln27ln2727275 27 RNEK 1.12. }+ dxx xx7 212 integralini hesaplaynz. zm: c x x dxx xxdxx xx+ + =+ =+ } }7 2 ln217 22 2217 2122 2 1.4.3.2. ( )}+dxb ax knHali: b ax u + =dnm ile zlr. RNEK 1.13. ( )}dxx65 43 integralini hesaplaynz. zm: 44 5 4dudx du dx u x = = = 11( )( )cxc u du uududxx+ =+ = = = } } }55 66 65 4120320343435 43 1.4.3.3. ) () () (x Qx Px f = Hali: Rasyonel ifadedeki payn derecesi paydann derecesinden byk veya eit ise, pay paydaya blnr. ) () () () () () (x Qx Rx Kx Qx Px f + = =eklinde yazlr ve sonra ayr ayr integralleri alnr. RNEK 1.14. }+ + +dxxx x13 2 322 integralini hesaplaynz. zm: ( ) c x x dxxxdxxx x+ + + =|.|

\|++ =+ + +} }1 ln 312313 2 322 22 RNEK 1.15. }+ + +dxxx x x1232 4 integralini hesaplaynz. zm: 3x2+2x+3x2+133x232xx4+2x2+x x3+1xx4x2x2124 2 2 2 233 3 32 2 2 3 2ln 11 1 3 1 2 3x x x x x xdx x dx x dx dx x cx x x| | + += + = + = + ++ |+ + +\ .} } } } RNEK 1.16. }dxx x2 integralini hesaplaynz. zm: c x x dxxdxx x+ + =|.|

\|+ =} }2 ln . 22212 1.4.3.4. }+ + c bx axdx2Hali: (A)Eerc bx ax + +2polinomuarpanlaraayrlyorsaifadebasitkesirlerine ayrlarakintegreedilir.Basitkesirlerineayrlmyorsa x Arc tan formlne benzetilerek zlr. RNEK 1.17. }dxxx11 32 integralini hesaplaynz. zm: ( ) ( )( ) ( ) 1 11 1 1 11 3 +++=+ x xxBxAx xx ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 11 11 11 3+ + +=+ x xx B x Ax xx ( ) B A x B A x + + = 1 3iki polinomun eitliinden A veByi bulabiliriz. O halde 2 213= = = +AB AB A2 , 1 = = B Ax x 21x 2 2 13bulunur. Buradan( )( ) c x xc x x dxxdxxdxx xdxxx+ + =+ + + =++=|.|

\|++=} } } }221 1 ln1 ln 2 1 ln1211121111 3 olur. RNEK 1.18. }+dxxx113 integralini hesaplaynz. zm: ( ) ( ) 1 1 1 112 2+ +++=+ + +x xC BxxAx x xx eitliinden31,32,32 = = = C B A bulunur. Buradan 23 21 2 1 2 1 2 1ln 1 ln 11 3 1 3 1 3 3x dx xdx dx x x x cx x x x+ += = + ++ + +} } } bulunur. (B) }+ + c bx axdx2halinde c bx ax + +2ifadesi arpanlarna ayrlmyorsa, yani 0 42< ac bise cAtArcA t A dt+ =+}tan12 2veyac x Arcxdt+ =+}tan12 formlnden faydalanarak zm yaplr. RNEK 1.19. }+ 92x dx integralini hesaplaynz. 14zm: 2 21 1 1tan tan19 9 3 3 39 133dx dx x xArc c Arc cxx= = + = ++(| |+ ( |\ . ( } } RNEK 1.20. }+ 54xdx x integralini hesaplaynz. zm: ( ) ( )} }+=+2 22452215xdx xxdx x du dx x x u = = 22 ( )22 421 1 1 1tan tan5 2 2 5 5 2 5 55x dx du u xArc c Arc cxu= = + = +++} } RNEK 1.21. }+ + 5 42x xdx integralini hesaplaynz. zm: 0 420 165 . 1 . 4 16 42< = = = ac b olduundan 5 42+ + x xpolinomu arpanlarna ayrlmaz. Bu yzden bu ifadeyi tam kare ifadeye benzetirsek, ( )( )2 2 22tan 24 5 4 4 12 1dx dx dxArc x cx x x xx= = = + ++ + + + ++ +} } } 15RNEK 1.22. ( ) ( )}+ ++dxx xx4 1 23 522 integralini hesaplaynz. zm: ( ) ( ) 4 1 2 4 1 23 52 22++++=+ ++xC BxxAx xx olacak ekilde A, B, C sabitlerini bulalm. (Paydada ikinci dereceden bir ifade olduu zaman, payn birinci dereceden genel bir ifade olduuna dikkat ediniz). Paydalar eitlenirse, ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) C A x C B x B Ax C Bx x A x+ + + + + =+ + + + = +4 2 21 2 4 3 522 2 3 40 25 2= += += +C AC BB A bulunur.Busisteminzmnden:1 , 2 , 1 = = = C B A bulunur.Bunlar yerine konulursa, ( ) ( )22 2 2 225 3 1 2 1 22 1 4 2 1 4 4 2 1 41 1 ln 2 1 ln 4 tan2 2 2x x dx x dxdx dx dx dxx x x x x x xxx x Arc c+ = + = + + + + + + + += ++ + +} } } } } } elde edilir. RNEK 1.23. ( )I dxx x xx x x=+ ++ +} 222 411 5 2 2 integralini hesaplaynz. zm: ( ) ( )222 222 41111 5 2 2+ + +++ +++ =+ ++ +}x xE Dxx xC BxxAdxx x xx x x yazlrvekatsaylarhesaplanrsa,4 , 3 , 1 = = = = = E C D B A bulunur.O halde 16( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )2 2 2 22 222 2222 2 22 2222 1 7 3 4 1 4ln1 2 11 12 1 9 1 7 1ln ln 12 2 1 212 1 1 7 1 9ln ln 12 2 1 2 21 11 1 7ln ln 12 2 2 1x dx x x xI dx dx x dx dxx x x x xx x x xx dxx x x dxx xx xx dx dxx x x dxx xx x x xdx x xx x+ = + + = + ++ + + ++ + + ++ = + + + ++ ++ ++= + + + + + ++ + + += + + + + +} } } } }} }} } }( )( )( )( )( )( )( )( )( )2 2222 2 2222 24 3 22 291 211 1 7 6 9ln ln 12 2 1 2 2 113 2 1 1 1 7 2 1 2 1ln ln 1 tan 2 3 tan2 2 1 2 1 3 3 33 2 1 1 1 13 2 1ln tan2 2 1 2 1 3 3x dxx xx xxdx dxx x xx x x xx xx x xx x x Arc Arc cx x x xx xx x x Arc cx x x x+ ++ += + + + + + + ++ ++ + += + + + ++ + + ++ += + + ++ + + +} }} } ALI TI RMALAR Aadaki integralleri hesaplaynz. 1) }52xdx 2) ( ) ( )}+ 2 3 x xdx 3) ( )( )( )}+ + + 3 2 1 x x xdx 4) }dxxx144 5)dxx x xx}+ +15 32 3 6) }+ + 6 72x xdx 7) ( ) ( )}+ +2 22 1 x xdx x 8) }++dxx xx22 9) } + +dxx x xx612 3 1710) ( ) ( )}+ + dxx xx x2 19 5 222 1.4.4. Kkl fadelerin ntegrasyonu (a)Basitkklintegrallerdedeitirdiimizdeikenkklifadeyiortadan kaldracak ekilde ayarlanr. RNEK 1.24. }+ dx x 4 2integralini hesaplaynz. zm: dt t dx dx dt t x t = = + = 2 2 4 22 ( ) c x ctdt t dt t t dx x + + = + = = = +} } }3324 2313. 4 2 RNEK 1.25. }+ 32x dx x integralini hesaplaynz. zm: dt t dx x dt t dx x t x = = = + 2 2 32 2 c x c t dttdt tx dx x+ + = + = = =+} } }3322 RNEK 1.26. }+ dxxx311 1 integralini hesaplaynz. zm: Kkn kuvvetleri2ve3olduundanOKEK (2, 3) =6 dr. Dolaysyla 16 = x tdnm yaplr. 18dx dt t x t = =5 66 1dir. Bu deerler yerine yazlrsa ( ) ( )( ) ( ) c x x ct tdt t t dt t t dt tttdxxx+ + = +||.|

\|+ =+ = + =+=+ } } } }3 2 6 74 73 6 3 3 53 6631231764 766 1 6 6111 1 bulunur. ALI TI RMALAR Aadaki integralleri hesaplaynz. 1) }+1 xdx x 2) } dx x x 13)dxx xx}+ 7 5 35 62 (b)Eerintegraloperatraltndaaadakiekildekklifadelervarsa karlarndaki gibi trigonometrik dnmler yaplr. rsabitve udeiken olmak zere i) 2 2u r iint r u sin . =ii) 2 2u r + iint r u tan . =iii) 2 2u r iint r u sec . =

RNEK 1.27. } dx x24 9integralini hesaplaynz. zm: ( )} } = dx x dx x2 2 22 3 4 9eklinde yazarsak, 3 = r ve x u 2 = olduu grlr. Burada t r u sin . = dnmn kullanacaz. 19dt t dx t x cos 3 2 sin 3 2 = =dir. Bu deerler yerine yazlrsa, ( ) ( )c t t dttdt tdt t t dt t t dx x dx x+|.|

\| + =+= = = = = } }} } } }2 sin214922 cos 129cos29cos . sin 1 923cos23sin 9 9 2 3 4 922 2 2 2 2 olur. imdi sonucuxdeikenine bal olarak yazmalyz. Bunun iin 32sin sin 3 2xt t x = = 224 9942 sin34 9322 cos . sin 2 2 sinxxtxt t t = = = 32sinxArc t =olup buradan, c xxArc dx x +|.|

\| + = }2 24 918432sin494 9sonucunu elde ederiz. RNEK 1.28. }+ 92 2x xdx integralini hesaplaynz. zm: tdtdx t x2cos3tan 3 = = dnm yaplrsa, } }=+dtttx xdx22 2sincos919 olur. Burada du dt t u t = = cos sin20xxcxArcctcu ududtttx xdx993tan sin191sin 919191sincos91922 22 2+ = +|.|

\| =+ = + = = =+} } } bulunur. 1.4.5. Binom ntegralleri , a beR ve , , p q r eolmak zere, ( )}+ dx bx a xq p reklindeki integrallere binom integralleri denir. A)Z e q iserilep ninpaydalarnn en kk ortak katkolmak zere,kt x = dnm yardmyla integral rasyonel bir fonksiyonun integraline dnr. RNEK 1.29. ( )}+231 x xdx integralini hesaplaynz. zm: ( )( ) dx x xx xdx 23 12 12311+ =+} } olduundan2 ,31,21 = = = q p r dir. qbir tam say olduundan 6t x = dnm yapmak gerekir. O halde dt t dx t x5 66 = =olur. Buradan ( ) ( )( )( )( ) ( )} } }} } }+ =++=+ +=+=+222222222222316 tan 6161611 16161tdtt Arctdttdtdttttdt tx xdx bulunur. imdi sa taraftaki yeni integrali hesaplamalyz. Ksm integrasyon metodu uygulanrsa, 21( )( )c t Arcttdtttdt+ ++=+++ =+} }tan211 211 211121122 2 22 dir. Bu deer yukarda yerine yazlrsa ve6 1x t =konursa ( )( ) c x Arcxxx xdx+ ++ =+}63 16 123tan 3131 bulunur. B)( )}+ dx bx a xq p r. integralindey xp= dnmyaplrsa,( )}||.|

\| ++ dy y y by apprq 11. .1integralieldeedilir. pr 1 +tamsayise,qnunpaydasnolmak zere,nt by a = +deiken deitirmesini yapmak gerekir. RNEK 1.30. }+dxxx3 41 integralini hesaplaynz. zm: Burada41,31,21= = = q p r olup,Z e =+21prdir. ( )43 3 4 11 1 = = + t x t xdeiken deitirmesi yaplrsa, ( ) ( ) ( )7 4 3 47 3 4 36 3 4 41 1212 12 1 3 17 4 7x t tdx t t dt c x x cx| | += = + = + + + |\ .} } C)( )}+ dx bx a xq p r. integrali }||.|

\| ++||.|

\| +dy yyby aqpr q11. eklindedeyazlabilir. Z e+pr 1fakatZ e||.|

\|++qpr 1ise ntyby a=+dnmileintegralrasyonel 22fonksiyonunintegralinednr.uhaldeZ e||.|

\|++qpr 1ise n pt b ax = +

dnmyle rasyonel bir fonksiyonun integrali elde edilir. RNEK 1.31. ( )}+dxxx1131 integralini hesaplaynz. zm:Verilenintegral( ) dx x x2 113 1 2 11}+ eklindedeyazlabileceinden 211,31,21 = = = q p r dir. Z e = ++11qpr olduundan t x = +13 1 deiken deitirmesi yapmak gerekir.( ) ( ) dt t t dx t x42321 6 1 = =deerleri yerine konduunda ( )( )cxxcxc t dt t dx x x ++= ++= + = = + } } 332 93 19 102 113 1 2 11 321132966 1bulunur. 1.4.6.( )}+ + dx c bx ax x R2,eklindeki ntegrallerin Hesab 1.4.6.1. }+ + c bx axdx2integralinin hesab: Bu integralin hesaplanmasa,b,csaylarnn deerine gre deiir. a)0 42< ac b ve 0 < a ise kk ii 2 2u k haline dntrlebilir. ckuArcu kdu+ =}sin2 2 formlyle hesaplanr. 23 b)0 42> ac b ve 0 > a ise kk ii 2 2k u haline dntrlebilir. ( ) c k u uk udu+ + =}2 22 2lnformlyle hesaplanr. c)0 42< ac b ve 0 > a ise kk ii 2 2k u + haline getirilir ve( ) c k u uk udu+ + + =+}2 22 2lndantsndan yararlanlr. d)0 42= ac b ve 0 > a ise kk iic bx ax + +2bir tam kare olup kk dna kar.

RNEK 1.32. }+ + 3 22x xdx integralini hesaplaynz. zm:( ) ( )0 1613 43 . 1 . 4 2 42 2> =+ = + = ac b ve 0 1< = aolduundan ( )2 2 21sin sin2 22 3 44 1dx dx du u xArc c Arc cx x ux= = = + = + + + } } } bulunur. RNEK 1.33. }+ 1 3 22x xdx integralini hesaplaynz. 24zm:0 11 . 2 . 4 9 42> = = ac b ve 0 2 > = aolduundan2 2k u haline getirebiliriz. 22 2 21 1 3 3 1ln4 4 16 2 22 3 13 1 3 124 16 4 16dx dx dxx x cx xx x| || | |= = = + + | |\ . +(| | | |\ . (||\ . \ . ( } } } olur. 1.4.6.2. }+ ++dxc bx axn mx2integralinin hesab: }} }} }+ +|.|

\| + + + =+ +|.|

\| ++ ++=+ ++=+ ++c bx axdxambn c bx axbmc bx axdxambn dxc bx axb axamdxc bx axmna axamdxc bx axn mx222 22 222222 22 olur. 1.4.6.1. tipinde integraldir. Bunun nasl hesaplanacan biliyoruz. RNEK 1.34. }+ ++dxx xx2 232 integralini hesaplaynz. zm:( ) c x x x x xx xdxdxx xxdxx xxdxx xx+ + + + + + + + =+ +++ ++=+ + +=+ ++} }} }2 2 1 ln 2 2 22 242 22 2212 26 2212 232 22 22 2 251.4.6.3. ( )}+ + + c bx ax n mxdx2integralinin hesab: Bu integralde tn mx=+1dnm yaplrsa, 1.4.6.2. tipinde bir integral elde edilir. RNEK 1.35. ( )}+ + 1 12x xdx integralini hesaplaynz. zm:tdtdxt tx tx = = =+111 olacandan ( )( )cxx xc t t ttdtt tdtx xdx+++ + = + + + =+|.|

\| =+ =+ +} } }11 2 1ln212121ln214121212 1 1 1222 2 2 bulunur. 1.4.6.4.( ) x Pn,ninciderecedenbirpolinomolmakzere, }+ +dxc bx axx Pn2) (

eklindeki integrallerin hesab: ) (1x Qn, n 1 inci dereceden bilinmeyen katsayl bir polinom vebir say olmak zere, } }+ ++ + + =+ +c bx axdxc bx ax x Q dxc bx axx Pnn2212. ) () (yazlabilir.Yukardakieitlikteherikitarafntrevialnrve ix lerinkatsaylar eitlenirse,) (1x Qnin katsaylar ile says bulunur. Bylece 1.4.6.1. tipindeki bir integralin hesaplanmasna dnr. 26RNEK 1.36. }++dxxx x4422 4 integralini hesaplaynz. zm:( )} }++ + + + + =++444422 2 322 4xdxx d cx bx ax dxxx xeitliin her iki tarafnn trevi alnr, paydalar eitlenir ve x in kuvvetlerine gre sralanrsa, ( ) ( ) ( ) + + + + + + + = + c x d b x a c bx ax x x 4 8 12 2 3 4 42 3 4 2 4 elde edilir. Kat saylar birbirine eitlenirse, 2 , 0 ,21, 0 ,41 = = = = = d c b abulunur. O halde ( )12 2322 44 ln 2 44244c x x xx xdxxx x+ + + ++=++} olur. 1.4.6.5N e nolmak zere, ( )}+ + c bx ax p xdxn 2eklindeki integrallerin hesab: Bu integralde tp x=1dnm yaplrsa,1.4.6.4. tipinde integral elde edilir. RNEK 1.37. ( )}+ + x x xdx2 12 3 integralini hesaplaynz. zm:tx=+11 dnm yaplrsa 21tdtdxt tx = =olacandan, 27( )} } =+ +222 31 2 1 tdt tx x xdx bulunur. Bu 1.4.6.4. tipinde bir integraldir. ( )} }+ + =2222111 tdtt B Attdt ther iki tarafn trevini alalm. ( )2 22221 111 t ttB At t Att++ = 21, 0 ,2122 2= = = + + = B A A Bt At tbulunur. O halde c t Arc t ttdt t+ + + =}sin211211222 dir. Buna gre ( )( )cxArcxx xx x xdx++++=+ +}11sin2112212 1222 3 olur. 1.4.7. }||.|

\|++dxd cxb axx Rm,eklindeki ntegrallerin Hesab Burada integral iindeki fonksiyonunxile kkl ifadenin rasyonel bir fonksiyonu olduunu belirtmek iin, parantez dna R harfi konulmutur. Bu ifadeyi rasyonel hale getirmek iin d cxb axtd cxb axtmm++= ++=koyalm. ( ) b ax t d cxm+ = + veyab ax t d t x cm m+ = +( ) ( )mmm mt c ab t dt g x b t d t c a x = = = dir. Bylece 28( ) | | ( )} }' =||.|

\|++dt t g t t g R dxd cxb axx Rm. , ,olur ve integral iindeki ifadet nin rasyonel bir ifadesidir. u halde imdiye kadar ki yntemlerle hesap edilebilir. RNEK 1.38. ( )}+ ++ +dxx xx1 12 12 integralini hesaplaynz. zm:dt t dx x t 2 1 = + = olur ve ( )( )( )2 4 3 222221 2 2 2 2 22 21 1 11 12log 1 log 11 32 41 1 2 2 1 1log tan2 1 3 3t tx t tdx dt dt dtt t t t t tx xdtt t ttx xArc cx x++ + + + | |= = = | + +\ . + += + + | |+ + |\ .+ + += ++ + +} } } }} bulunur. RNEK 1.39. ( )( )}+ 321 1 x xdx integralini hesaplaynz. zm:( )( )32311 11 1dx x dxx xx x+= + +} } yazlabilir. imdi 311+=xxtdersek, 29( )dtttdxttx232331611= +=olur. Bylece ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )cxx xArcx xx x xctArctt ttdttt ttdtt tdtdtt ttdtt t tttdtx xdx+||.|

\| + ++((((

|.|

\| + + + +=+++ + +=+|.|

\| ++ + +=+ +++ ++=|.|

\|+ ++= =+ }} } } } } }3 . 11 1 2tan 31 11 1 1log2131 2tan 311log2143212311log211 1 2311 2211112131 13232322323232 2 32222 222 2 2 332 bulunur. 1.4.8.( )}dx x x R cos , sineklindeki ntegrallerin Hesab Bu tip integrallerin zm iin tx=2tan dnm yaplr. Buna gre, 2 22212,11cos ,12sintdtdxttxttx+=+=+=olacandan karmzat nin bir rasyonel ifadesinin integrali kar. RNEK 1.40. } + xdx xcos 1sin integralini hesaplaynz. zm: Burada tx=2tan dnm yapacaz. ( ) cxcxc tttdtxdx x+|.|

\| = +|.|

\| + = + + =+=+} }2cos ln2tan 1 ln 1 ln12cos 1sin2 2 22 30RNEK 1.41. ( )}++dxx xxcos 1 cossin 1 integralini hesaplaynz. zm: tx=2tandnm yapacaz. O halde ( )cx xc t t dttdtttdxx xx+ + = + + =|.|

\|+ =+=++} } }2tan 1 ln 22tan 1 ln 212111cos 1 cossin 1 bulunur. NOT: Trigonometrikifadeleryukardakirneklerdeolduugibitoplamdeilde arpm halinde olurlarsat x = tandnm yaplr. Buradan 22 21,11cos ,1sin tantdtdxtxttx t x+=+=+= =olur. Bunun iin bir rnek verelim. RNEK 1.42. }x xdx3cos . sin integralini hesaplaynz. zm: t x = tandnm yapalm. c x x ctt dt ttdtttx xdx+ + = + + =|.|

\| + =+=} } }22 23tan21tan ln2ln1 1cos . sin 1.4.9. ndirgeme (Rekrans) Formlleri Ksm integrasyon metodu yardmyla, yksek dereceden baz ifadelerin integrali daha kk dereceden bir ifadenin integraline dntrlebilir. Bu yolla yksek dereceli ifadelerin integrali kolayca hesaplanabilir. imdi indirgeme formllerinden bazlarn verelim. 1)( ) N e+ =} } n dx xnnx xndx xn n n 2 1sin1cos . sin1sin 312)( ) 1cos 12cossin11cos2 1>+ =} } nxdxnnxxn xdxn n n 3)N e n m,olmak zere,} } + +++ = dx x xn mnx xn mdx x xm n m n m ncos . sin1cos . sin1cos . sin2 1 1 4)( ) 1 tan tan11tan2 1> =} } n dx x xndx xn n n 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1. 2 23 2. . 2 21 2 2 2 1 2 2 2 2 2>+ ++ =+} } nx adxa nnx a a nxx adxn n n 6)0 42< ac b ve 1 > n iin ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )} } + + ++ + +=+ +1 2 2 1 2 2 24 . 13 2 . 2. 4 . 12n n nc bx axdxb ac nn ac bx ax b ac nb axc bx axdx 7)N e nve 0 42< ac biin ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )}} + + + ++ + + ++ + =+ + +1 2 21 2 2 1 2 24 . 1 . 22 . 3 2 . 2. 4 . 1 . 22 . 2. 1 . 2nn n nc bx axdxb ac n ab ax n ac bx ax b ac n ab ax Ab aBc bx ax n aAdxc bx axB Ax 321.5. ZLM PROBLEMLER 1) }+|.|

\| dx exxx1211 integralini hesaplaynz. zm: dt dxxtxx =|.|

\| = +2111 c e c e dt e dx exxxt txx+ = + = = |.|

\| + +} }1 1211 2) ( )( )}+ =b ax x c xdx b axI2 2 22integralini hesaplaynz. zm: txbax = + deiken deitirmesi yaplrsa, ( )( )212 2 2 2 221 1sinsin sinax b dxdt tI Arc ccc t x cx ax bbaxax bxxI Arc c Arc cc cx= = = + +| |+ |+= + = + | |\ .} } elde edilir. 3) }++dxxx31 31integralini hesaplaynz. zm:311 332 3= = = +tx dt t dx t x deiken deitirmesi yapalm. ( )( )( ) ( ) c x x c t t c ttdt t t dtt tdt ttdt tttdxxx+ + + + = + + = +||.|

\|+ =+ =+= + =+=++} } } } }3 2 3 5 2 5 2543 32331 3311 3151311515 312313233 11311 31 4) }+ x xdx3 integralini hesaplaynz. 33zm:du u dx u x5 66 = =( )( ) c x x x x c u uu uududu u u duu uuduuuu udu ux xdx+ + + = + + ||.|

\|+ =+ + =||.|

\|+++=+=+=+} } } } } }1 ln 6 6 3 2 1 ln 62 3616 1 6111161666 6 32 323 33 253 5) ( )} x x dx1 integralini hesaplaynz. zm:dt t dx t xdt t dx t x2 12 122 = == = ( )c x Arc c t Arctdtt tdt tx x dxx x dx+ = + = ===} } } }22 21 sin 2 sin 212121 1 6) ( )}+2cos sin x x dxintegralini hesaplaynz. zm:( ) x x x x cos . sin 2 1 cos sin2+ = + dir. Burada t x = tan dnmn yaparsak, 22 21,11cos ,1sintdtdxtxttx+=+=+=olur. Bunlar yerine koyarsak, ( ) ( )cx xxcxctt dtt tdtx xdxx x dx++ = ++ = ++ =+=+ +=+=+} } } }sin coscos1 tan1111 2 1 cos . sin 2 1 cos sin2 2 2 bulunur. 7)( )}dx x ln cosintegralini hesaplaynz. zm: dt e dx dtxdxt xt= = = ln34( ) ( )( ) ( ) | | c x x xc t t e dt e t dx xt t+ + =+ + = =} }ln sin ln cos21sin cos21. cos ln cos 8) }dxxx Arcsin integralini hesaplaynz. zm: dt t dx t x 22= =( )( ) c x Arc x Arc xc t Arc t Arc t dt t Arc dt ttt Arcdxxx Arc+ + =+ + = = =} } }cos cos 2 sin 2sin cos sin . 2 sin 2 2sin sin 9) ( )}dxxx ln tan2integralini hesaplaynz. zm: dtxdxt x = = ln( )( ) c x x c t t dt dt t dt t dxxx+ = + = + = =} } } }ln ) tan(ln tan tan 1 tanln tan2 22 10)( )}dx x2ln integralini hesaplaynz. zm:Bunun zm iin ksm integrasyon metodundan faydalanalm. ( ))`==dx dvx u2ln x vxdxx du== ln 2 ( ) ( ) ( ) _ Idx x x xxdxx x x x dx x} } } = = ln 2 ln . ln 2 . ln . ln2 2 2 son integralde yine ksm integrasyon metodunu uygulayalm. )`==dx dvx u ln

x vxdxdu== x x x dx x xxdxx x x dx x I = = = =} } }ln . ln . ln . ln( ) ( ) c x x x x x dx x + =}2 ln . 2 ln . ln2 2 3511) }+ + +41 1 x xdxintegralini hesaplaynz. zm:Bu integralin zm iin ilk nce deiken deitirelim. dt dx t x = = +1( ) ( )} } } }+ = + =+=+ + +dt t t dt t tt t dtx xdx 14 1 4 114 1 2 14 411 1 Bu integral bir binom integrali haline dnm oldu. (Bkz. sayfa 18) Burada Z e = = = 1 ,41,41q p rolduundan 4u t =dnmn kullanacaz. du u dt u t3 44 = =( ) ( )( )( )( ) c x x xc t t t c u uuududu u duuduuuduuudu u u u dt t tx xdx+ + + + + + =+ + + = +((

+ + =++ =+++=+= + = + =+ + +} } } }} } } } 1 1 ln 4 1 4 1 41 ln 4 4 4 1 ln2414 1 411411414 4 1 11 14 44 42223 1 114 1 4 14 12) } + 1 .2x x xdxintegralini hesaplaynz. zm: ( )}+ + dx c bx ax x R2, tipinde bir integraldir. (Bkz. s:23) 21 1ududxux ux = = =2 2 222 1 2sin sin5 5. 1 15 12 2dx du du u xArc c Arc cxx x x u uu| | | |= = = + = + | |\ . + + \ .| || | | |\ .\ .} } } 3613) } +dxxxcos 1cosintegralini hesaplaynz. zm:2 2212,11cos2tantdtdxttx tx+=+= = ( )222 2 21 2cos 121 cos 1 1 1 2 tan tan2tx t dtdx dt dt dtx t t txt Arc t c x c+ = = = ++ + + += + + = + +} } } } } 14) }+ xdxsin 2integralini hesaplaynz. zm:2 212,12sin2tantdtdxttx tx+=+= = cxArc ctArcctArctdtt tdtxdx+||||.|

\|+= + |.|

\| +=+(((((

+=|.|

\| + +||.|

\|=+ +=+} } }312tan 2tan3231 2tan322321tan3221231 sin 222 2 15) }= dx x e x Ixsin . .2 2integralini hesaplaynz. zm:Bunun zlebilmesi iin ksm integrasyon metodundan yararlanacaz. )`==dv dx x eu xxsin .22( ) x xevdu dx xxcos sin 2522 == ( ) _ Kx x xdx x e x x x e x dx x e x I} } = = sin . .52cos sin 2 .51sin . .2 2 2 2 2 K integralinin zmn de ksm integrasyon yntemiyle yaparsak ( ) ( )((

= =}x x x x xedx x e x Kxxcos sin 352cos sin 25sin . .22 olur. O halde sonu 37( ) ( ) ( )((

+ + = =}x x x x x x xedx x e x Ixxcos sin 3254cos sin54cos sin 25sin . .222 2 dir. 1.6. ZLECEK PROBLEMLER 1)?12=}x xdx 7)?tan 1=+}xdx 2) ( )?ln cos .2=}x xdx 8)?422=+}dxeexx 3)? cos .2=}dx x x9)?12=+} xxadx a 4)?cossin2 2=+}x adx x10)?2 252=+ }dxx xx 5) ( ) ( )?1 . 12 2=+ +}x xdx 11)? sin =}dx x6)?12 34=++}dxx xx 12)?cos sin 1=+ +}x xdx 38BLM 2 BELRL NTEGRAL Bu blmde Riemann integralini anlatacaz ve bu integralin zelliklerinden bahsedeceiz. 2.1. Aralklarn Paralanmas ntegral teorisinin temel kavramlarndan biri paralama kavramdr. imdi bu kavram tanmlayalm. 2.1.1. Tanm: | | b a, aralnb x x x an< < < < niin 021= = Pdr. EerP paralanmas dzgn ise + n P 0 nermesi dorudur. 392.2. Merdiven Fonksiyonlar Belirliintegralkavrambirokdeiikekildeverilebilir.Bunlarnenyaygnolan merdivenfonksiyonlaryardmylaverilenidir.Busebeplebuksmdamerdiven fonksiyonlarn tantmaya alacaz. 2.2.1. Tanm: | |: , s a b Rfonksiyonubirmerdivenfonksiyonudur.Ancakveancak| | b a,aralnn yle birPparalanmas vardr ki, sfonksiyonu | | b a,aralnn her ak alt aral zerinde sabittir. Yukardakitanmagre,eersbirmerdivenfonksiyonuiseherbirn k , , 2 , 1 . = iin yle birssabit says vardr ki, ( )k kx x x ,1 e iin ks x s = ) (dir. sfonksiyonu| | b a, aralndatanmlolduundan nx x x , , ,1 0. noktalarnda tanml olmaldr, fakat fonksiyonun bu noktalarda ald deerlerssaylarndan biri olmakzorundadeildir.| | b a, zerindetanmlmerdivenfonksiyonlarnncmlesi| | b a M , ile gsterilir. RNEK 2.1. | | : 0, 4 s Rfonksiyonu ( )s iin( ) ( ) , , f P A f P c < ;(Riemannart)kalacak ekilde | |, a b nin bir paralanmasnn var olmasdr. TEOREM 2.4.4. f ve g fonksiyonlar| |, a b aralnda integrallenebilen fonksiyonlar olsun. 45(a), o | eRisef o veg | fonksiyonlarda | | , a b deintegrallenebilirve ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx o | o | + = +( } } }olur. (b)0 f > ise ( ) 0baf x dx >}dir. (c) 2f integrallenebilirdir. ()0 f > isef integrallenebilir. (d)f integrallenebilir ve( ) ( )b ba af x dx f x dx s} }dir. (e). f gintegrallenebilir. 2.5. Riemann Anlamnda ntegrallenebilen Baz Fonksiyon Snflar BukesimdeRiemannanlamndaintegrallenebilenfonksiyonlarnnemlibaz snflar verilecektir. TEOREM 2.5.1. | |, a baralnda srekli her fonksiyon bu aralkta integrallenebilirdir. TEOREM 2.5.2. | | , a b aralndaparalsreklivesnrlherfonksiyon| | , a b zerinde integrallenebilirdir. TEOREM 2.5.3. | |: , f a b R fonksiyonu monoton artan (veya azalan) ise f fonksiyonu | |, a b de Riemann anlamnda integrallenebilirdir. 462.5.1. Tanm: | |: , f a b Rfonksiyonusnrlsalnmldr | |, a b ninherparalanmasiin ( ) ( )11nk kkf x f x M= skalacakekildeenazbirM saysvardr.Supremum| |, a b nintmP paralanmalarzerindenalnmakzere,( ) ( ) ( )11, supnf k kks a b f x f x == geniletilmireelsaysnaf nin | | , a baralndakitotalsalnmadverilir.uhalde( ) ,fs a b < isef fonksiyonu snrl salnmldr. TEOREM 2.5.4. | |: , f a b Rfonksiyonununsnrlsalnmlolmasiingerekveyeterartiki monoton artan fonksiyonun fark eklinde yazlabilmesidir. SONU 2.5.1. | | , a b aralndasnrlsalnmlherfonksiyonRiemannanlamnda integrallenebilirdir. TEOREM 2.5.5. f,| |, a b aralnda ve Riemann anlamnda integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Eer( ) , x a b e iin( ) ( ) F x f x ' = olacakbiimdesreklibir | |: , F a b Rfonksiyonu varsa,( ) ( ) ( )baf x dx Fa Fb = }dir. NOT:1)( ) 0aaf x dx =} 2)( ) ( )a bb af x dx f x dx = } }( ) b a > 47RNEK 2.5. 4211 xdxx+}integralini hesaplaynz. zm: ( ) ( )2 3 221 1 2 xF x dx x x dxx x x + | |= = + = + |\ .} } olacandan( )4211 1 71 1 24 4xdxx+( | |= + + = |(\ . } olur. imdi yukardaki teoremin basit bir sonucu olan bir teoremi ifade edeceiz. TEOREM 2.5.6. f,| |, a b aralnda integrallenebilen bir fonksiyon olsun. (1) ntegralin deeri integrasyon deikeninden bamszdr, yani ( ) ( ) ( )b b ba a af x dx f t dt f z dz = = =} } }.(2)( ) ( ) ( )b c ba a cf x dx f x dx f x dx = +} } }dir. TEOREM 2.5.7. | | : , f a b Rfonksiyonuintegrallenebilirolsun.| | , a b zerinde( ) ( )xaF x f t dt =}eitliiiletanmlananF fonksiyonununf ninsrekliolduu her noktada trevlidir ve( ) ( ) F x f x ' =dir. TEOREM 2.5.8. Eer | |: , f a b Rfonksiyonusrekliise | |, a b zerindetrevlibirFfonksiyonu vardr ve | |, x a b e iin( ) ( ) F x f x ' = dir. 48TEOREM 2.5.9. | |: , a b Rsreklibirtrevesahipbirfonksiyonvef de ningrnt cmlesi ise ( ) ( ) ( ) ( )( )( ).bba af t t dt f x dx ' =} } dir. RNEK 2.6. 1201 x dx }integralini hesaplaynz. zm: ( )21 f x x = dir.( ) sin t t = alalm. sin 0 0sin 12t tt tt= == = olduundan 0 a = ve2bt= dir. ( ) ( ) ( )2 2sin 1 sin cos cos f t f t t t t = = = =olur.02tts s iincos 0 t > olduundan( ) ( )cos f t t = olur.Bunagre( )2 2 12 20 0 011 cos 1 cos 22 4x dx t dt t dtt tt = = + =} } }olur. RNEK 2.7. 3201 . x x dx +}integralini hesaplaynz. zm:21 x t + = denirse 2 dt x dx = olur. Dier taraftan 0 13 4x tx t= == = olacandan ( )3 42 3 20 141 1 1 71 . 8 11 2 3 3 3x x dx t dt t + = = = =} } elde edilir. 49Baz integralleri hesaplarken birden fazla deiken deitirmesi gerekebilir. Bununla ilgili iki rnek aada verilmitir. RNEK 2.8. ( )120ln 11xA dxx+=+}integralini hesaplaynz. zm: tan x = deiken deitirilmesi yaplrsa ( )40ln 1 tan A dt = +} olur. sintancos= olduundan ( ) ( )4 40 0ln cos sin ln cos A d dt t = + } } bulunur. imdi son integralde4t u = dnm yaparak hesaplayalm. ( )( )4 4 40 0 040cos sinln cos ln cos ln4 2ln cos sin ln 24d d ddt t ttt u u u u utu u u| | | | | |= = |||\ . \ . \ .= + } } }} bulunur. Bu deer yukarda yerine konursa ( ) ( )4 40 0ln cos sin ln cos sin ln 24A d dt tt u u u = + + +} } bulunur. ntegralin deeri integral deikenine bal olmadndan birinci ve ikinci integraller eittir. O halde ( )120ln 1ln 21 4xA dxxt+= =+} olur. RNEK 2.9. 02to < < iin2 20. sintan1 tan . sinx xdxxttooo=+} olduunu gsteriniz. 50zm: x t t = dnm yaplrsa ( ) ( )( )2 2 2 20 02 2 2 2 2 20 0 0. sin. sin1 tan . sin 1 tan . sinsin . sin sin21 tan . sin 1 tan . sin 1 tan . sint tx xI dx dtx tt t t tdt dt dtt t tt tt t tt to o ttto o o = =+ + = =+ + +} }} } } olur. cost u = deiken deitirmesi ile ( )12 2121 tan . 1duIuto =+ } bulunur.sinuuo= deiken dntrmesi yaplrsa, ( )sin2sinsin1sinsin 2 tan 2tan 2tan tan1dI Arcooot u t t tou o oo o o o ou= = = + =} sonucu elde edilir. imdi o ya bal baz zel deerler verelim. Mesela 4to = ise 220.sin41 sinx xdxxtt=+}bulunur. o ya buna benzer eitli deerler verilebilir. Bazdurumlardaf ninilkeliolanF fonksiyonubulunmadandaintegral hesaplanabilir. RNEK 2.10. 23 23 3 2 20sincos sinxI dxx xt=+}integralini hesaplaynz. zm:2x tt= dnm yaplrsa,23 23 3 2 20cossin cosxI dxx xt=+}bulunur. O halde, yukardaki integral ile bu integrali toplarsak, 2 2 2 23 3 3 3 2 2 2 23 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 20 0 0 0sin cos cos sin2.2sin cos sin cos sin cosx x x xI dx dx dx dxx x x x x xt t t tt += + = = =+ + +} } } } olup, dolaysyla 4It=olur. 51RNEK 2.11. | |: , f a a R fonksiyonu srekli olsun. a)f tek fonksiyon ise ( ) 0aaf x dx=} dr. b)f ift fonksiyon ise ( ) ( )02a aaf x dx f x dx=} } dr. Gsteriniz. zm:( ) ( ) ( )1 200a aa aI II f x dx f x dx f x dx = = +} } }_ _olsun. 1I integralindex t = deiken deitirmesi yaplrsa, integralin deeri deikene bal olmadndan ( ) ( ) ( )010 0a aaI f t dt f t dt f x dx = = = } } } yazlabilir. O halde ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0a a a aaI f x dx f x dx f x dx f x f x dx= = + = + ( } } } } olur. a)f tek fonksiyon olduunda ( ) ( ) f x f x = olacandan ( ) ( ) ( )0 00 . 0a a aaf x dx f x f x dx dx= = =( } } } olur. a)f ift fonksiyon olduunda ( ) ( ) f x f x = olacandan ( ) ( ) ( ) ( )0 02a a aaf x dx f x f x dx f x dx= + =( } } } bulunur.imdi de belirli integraller iin ksm integrasyon formln verelim. 52TEOREM 2.5.10. f ve g ,| |, a b aral zerinde srekli ve( ) , a b nda trevli olsunlar. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . . .b ba af x g x dx f b g b f a g a f x g x dx ' ' = } } dir. Burada ( ) u f x = ve ( ) v g x = yazlrsa, .b bbaa au dv u v v du = } } eklinde de ifade edilebilir. RNEK 2.12. 1lnex dx}integralini hesaplaynz. zm:lndxu x duxdv dx v x= == = olur. Buradan( )10 11 1 1ln .ln .ln 1.ln1 1 1 1e e eex dx x x dx e e dx e e e e = = = = + =} } } olur. RNEK 2.13. ( )1201nx dx }integralini hesaplaynz. ( ) neNzm: sin x t = deiken deitirmesi yaplrsa ( )( )2 2 2 122 2 1 2 2 2 2 100 0 0 02 2 22 2 1 2 1 2 1 20 0 01 cos cos . cos sin .cos 2 .sin .cos2 1 cos .cos 2 cos 2 cos .cosnn n n nn n nx dx x dx x x dx x x n x x dxn x x dx n x dx n x x dxt t ttt t t+ = = = += = } } } }} } } olur. Buna gre 532 2 22 1 2 1 2 10 0 0cos 2 cos 2 cosn n nx dx n x dx n x dxt t t+ += } } } yazlabilir. Son integral baa alnr ve her iki taraf 2 1 n + ile blnrse 2 22 1 2 10 02cos cos2 1n nnx dx x dxnt t+ =+} } rekrans forml elde edilir. Bu ekilde devam edilirse ( )( )2 22 1 2 30 020222 2 2cos cos2 1 2 12 2 2 2 4 2cos2 1 2 1 2 3 32 !2 2 2 2 4 22 1 2 1 2 3 3 2 1 !n nnn nx dx x dxn nn n nx dxn n nnn n nn n n nt tt+ = + = + = =+ +} }}

bulunur. u halde ( )( )( )22 1202 !12 1 !nn nx dxn =+} olur. Birinci Ortalama Deer Teoremi: f veg , | |, a b aralndatanmlveg ile. f g buaralktaintegrallenebilir olsunlar.g , | |, a b zerindeheryerdeayn iaretlivef snrlise | |inf , sup f f aralndaylebirksabitivardrki,( ) ( ) ( ) .b ba af x g x dx k g x dx =} }dir.Eerffonksiyonu | |, a b desrekliise | |, a b dekienazbir 0x noktasiin ( ) ( ) ( ) ( )0.b ba af x g x dx f x g x dx =} } olur. RNEK 2.14. ( ) 2 sin f x x = + fonksiyonunun ,2 2t t( ( aralndaki ortalama deerini bulunuz. Fonksiyon bu deeri hangi noktada alr? 54zm: ( )221 1 12 sin 2 cos 2 cos 2 22 2 2 2k x dxb attt t t ttt t ( | | | |= + = = = ||(\ . \ . } olur.2 sin 2 sin 0 0 ,2 2x x xt t(+ = = = e ( olduundan fonksiyon bu ortalama deeri00 x =noktasnda alr. kinci Ortalama Deer Teoremi: f veg ,| | , a b aralndatanmlve0 g > ,. f g ileg integrallenebilir,f snrl ve inf sup m f f M s s s ise | |, a baralnda yle bir c noktas vardr ki( ) ( ) ( ) ( ) .b c ba a cf x g x dx mg x dx M g x dx = +} } } dr. 2.6.( )xaf u du}nun Sreklilii, lkel Fonksiyonlar, Diferansiyel ve ntegral Hesabnn Temel Teoremi f fonksiyonu | | , a b de snrl ve integrallenebilir olsun. | | , x a b e olarak aldmzdan( )xaf udu}, x in bir fonksiyonudur. ( ) ( )xaF x f u du =},| |, x a b e iin ( ) f x M s olsun. 0x x > alalm. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 00 0x x x xa a x xF x F x f u du f u du f u du f u du Mx x = = s s } } } } u halde( )0x x nMcc < = alrsak,( ) ( )0F x F x c iin1 1 1lim1 2nn n pn| |+ + + |+ +\ . limitini hesaplaynz. zm: ( ) ( )( ) 1 1 11 11 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2 2 2 1 2 2 3 1 1 2 21 1 12 11 1 1n n nk k kp p n nr k r kn n pn n n n n n n p n p n pnn k n k p n kkr n k nrn= = = = = = =| || || |+ + + = + + + + + + + + + + + | | ||+ + + + + + + +\ .\ . \ .= + + ++ + +| | | | |= = ||+\ . |+\ .

olduundan( ) ( )1 1 11 1 10111 1 1 1 1 1lim lim1 2 1 ln 1 ln lnp p nn nr k rprdxk n n pn n xrnr r p = = ==| | || | | | | + + + = = ||+ + + | ||\ . \ .+ ||\ . \ .= + = }

olur. 1 1 11 2 n n pn+ + ++ + dizisinin yaknsak olduunu biliyoruz. imdi bu dizinin limitini bulalm. 1 1 1lim ln 21 2 2nn n n| |+ + + = |+ +\ .

olduu aktr. nk bu limit yukardaki limitin2 p = iin zel halidir. 2 . 8 . ZLMPROBLEMLER 1) 4214 3 x x dx +}integralini hesaplaynz. zm: nce( )24 3 f x x x = + fonksiyonunun iaretini inceleyeceiz.

59Yukardaki tablodan da grld zere 1 1 x s s ve 3 4 x s saralklarnda( ) 0 f x >;1 3 x s saralnda ( ) 0 f x iin ( ) []20xf x t dt =}eklinde tanmlanan fonksiyonun| |0, 3aralndaki grafiini iziniz. 667) Aadaki eitliklerin doru olup olmadklarn gsteriniz. a) ( )83010023x x dx + =} b) 4234ln3 2 3dxx x= +} c) 1 2601 1 5ln2 24ydyy+=+} )( )2024ax adxa xt = } d) 03 2cos 5dxxtt=+} e) ( )1221241dxxt+=+} 8) Aadaki eitliklerde 0 c > saysn bulunuz. a)( )01 0cx x dx =} b)( )01 0cx x dx =} 9) Aadaki limitleri hesaplaynz. a) 2 2 2 2lim1 4 9 4nn n n nn n n n nt| |+ + + + = |+ + + +\ .

b) ( )2 2 2 2 21 1 1 1lim 2 2 22 1nn n n n n nn n n| | |+ + + + = |+ + + +\ .

c) 2 11lim 1n n n nne e een| |+ + + += | |\ .. )( )1 2 3 1lim 01nnn | | + + + += > |+\ .. d) 1lim ln 1 2ln 2 1nnnkkn=| |+ = | |\ . 67e) ( ) 12lim 1 cos cos cos 12 2 2 2nnn n n n tt t t | |+ + + + = |\ .

f) 12 201lim2nnk n kt== 10) 23 203 2 x x x dx +}integralini hesaplaynz. 11) 3cos x dxtt } integralini hesaplaynz. 68BLM 3 BELRL NTEGRALN UYGULAMALARI 3.1. Alan Hesaplar 3.1.1. Dik Al Koordinat Sistemlerinde Alan Hesab Belirliintegralin,f fonksiyonunungrafiiile,yani( ) ( ) | | { }, , , f xy y f x x a b = = e ilex ekseniarasndakalanblgeninalann verdiinibiliyoruz.( )baf x dx}integrali,( ) y f x = erisiilex eksenive, x a x b = = apsisleri tarafndan snrlanan blgenin alandr. Fakat ou zaman, kapal bir eri tarafndan snrlanan blgenin alann hesaplamak gerekir. rnein bir elipsinalannbueitintegralyardmylabulmakistersek,buelipsblgesini,x ekseni,ilgiliapsislerveerinintekanlamldaltarafndansnrlananbirkaalt blgeyeayrmakicapeder.Bylece, 2 2 2x y R + = ileverilenbirdaireninalann bulmak iin, bunun alt ve st yarsn ayr ayr hesaplayabiliriz. Yani aradmz alan2 22 RRS R x dx= }dir.Buintegraleise,sin x R t = konduundacos dx R t dt = ve sin xt ArcR= olup, 22 2 2 222 cos 22S R t dt R Rtttt= = =} elde edilir. imdi,kapalbireritarafndansnrlananalanlarngenelolarakhesabngrelim. Bununiinncebueitalanlara,kenarerilerinindolamynnegrebiriaret verelim:Eerkapalbirblgeninkenarerisi,bublgesoltaraftakalacakekilde, yanisaatibresininhareketinintersiyndedolayorsa,buerinindolamynne pozitifdolamyn;aksihaldenegatifdolamyndiyeceiz.Kenarerisi pozitifyndedolalanbiralannegatifiaretliolarak,kenarerisinegatifynde dolalan bir alan ise pozitif iaretli olarak alacaz. 69 ekil 3.1. ekil3.1dex ekseniileeriveilgiliapsislerarasndakalanalanlarabakacak olursak,abM alan negatif ynde dolaldndan pozitif iaretli;MKNalan pozitif yndedolaldndannegatifiaretliveNLb alannegatifyndedolaldndan pozitif iaretlidir. ekil 3.2. Eridenklemininparametrikolarakverilmesihalinde,kapalbireriilesnrlanan blgeninalannhesaplamadayukardasylediimizzorluklarortayakmaz. Gerekten| | , t o | e iierimizindenklemi( ) ( ) , x t y t | = = olsun.nce erininkapalolmadnkabuledelim.x a = deerinet o = vex b = deerine t | = karlk gelsin. Bylece snrlanan blgenin alann bulmak iinekil 3.2.ye gre,( )baS f x dx =}formlnde( ) ( ) , x t y t | = = koyarsak,alanforml olarak( ) ( ) . S t t dt|o| =}eldeederiz.Tabiiburadabiz, | |, a b aralnatek anlamlbirekilde| | , o | parametrearalkarlkgeldiinivebuaralkta ( ) 0 t = olduunu kabul ediyoruz. 70imdideerininkapalolduunukabuledelim.t parametresio dan| ya deerler alrken erinin bir kere dolaldn kabul edersek, kapallktan dolay ( ) ( ) ( ) ( ) , o | | o | | = =artlar salanmaldr. Erinin ke noktalar olmadn da kabul edersek, ( ) t ' ve( ) t |' trevlerinimevcutvesreklikabuledebiliriz.Bundanbakakapaleriyi konveksolarakdnelim,yaniherhangibirdorutarafndanenfazlaikinoktada kesilsin. Erinin dikey teetleri olduu noktalar, yani( ) t `nin sfr olduu noktalar1N ve 2N olsun.t parametresio dan| yakadardeerleraldzaman kapaleribellibiryndedolalr.Buynnekil3.3.deokilegsterilenyn olduunu kabul edelim. ekil 3.3. Bu halde( ) ( ) . S t t dt|o| =}(3.1) integraliilegsterilenalan,ekildenegatifyndedolalan 1 2 1N AN CDN erisinin snrladnegatifalanntoplamnaeittir.Yanigenelolarak(3.1.)integrali,kapal bir erinin snrlad alan iaret fark ile verir. (3.1) formlne ksm integralleme metodunu uygularsak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ). . ..S t t dt t t t t dtt t dt| ||oo o|o| | | |= = = } }}` 71veya ( ) ( ) ( ) ( )1. .2S t t t t dt|o | | ( = }`` (3.2) formln elde ederiz. Buradanesrdmzartlarnsalanmadndnrsek,meselaerinin konveksolmadn,sonluokluktakenoktalarolduunukabuledersek, bulduumuzbuformlyinegeerlidir, nk byle bir kapal eri konveks erilere ayrlabilir, sonlu okluktaki ke noktalarnda ise, ( ) t ` ve ( ) t |`fonksiyonlarnn sramaeklindekisreksizliklerivardr;fakatbildiimizgibi,bylebirfonksiyon integrallenebilir. RNEK 3.1. | | 0, 2t aralnda sin y x = erisi arasnda kalan alan hesaplaynz. zm: nce sin y x = erisinin grafiini izelim. Grafiktedegrldgibi,snrlananalan | | 0,t aralndapozitif; | | , 2 t t aralnda negatiftir. Demek ki aranlan alan 20sin sin S x dx x dxt tt= +} }yahut | || |sin , 0,sinsin , , 2x xxx xtt t e= e olduundan 20sin S x dxt= } dir. Yani 22200sin sin cos cos 2 2 4 S x dx x dx x x brt tt ttt= = + = + =} } olur. 72RNEK 3.2. .cos x R t = , .sin y R t = dairesinin alann hesaplaynz. zm:Buradat parametresi | |0, 2t aralntaramaktadr.0 t = noktasnn( ) , 0 AR noktas, 2tt= noktasna( ) 0, B R noktaskarlkgeldiinden,demekkieri pozitifyndedolalmaktadr.Ohaldealannegatifiaretliolarakkacaktr. Gerekten.sin x R t = `olduundan 22 2 20sin S R t dt Rtt = = } bulunur. Fakat alan negatif olmayan bir byklk olduu iin, byle hallerde ifadenin mutlak deeri alnr. RNEK 3.3. a yaraplbirember,0 x y dzlemiiindex -eksenizerindeyuvarlansn.Bu takdirdeemberzerindekiherhangibirnoktadibirsykloid(sikloid)erisiizer. Bu erinin denklemi ( ) sin x at t = , ( ) 1 cos y a t = dir. Bu erinin bir yay ile x -ekseni arasnda kalan alan hesaplaynz. zm:Bu alan besbelli ( ) ( )2 222 2 2 20 01 cos 1 cos 2cos 3 A a t dt a t t dt at tt = = + =} } olur. 733.1.2. Kutupsal Koordinat Sistemlerinde Alan Hesab ekil 3.4. NM erisikutupsalkoordinatlaragre( ) r f v = denklemiyleverilmiolsun. OMN dilimininalannhesaplamakistiyoruz. | |, v o | e iin( ) f v ,pozitifve srekli bir fonksiyon olsun.| o asn aadaki ekilde paralayalm. 0 1 2 1 n nv v v v v o |= < < < < < = .ve gerekli yarap vektrleri izelim. imdi | |( )1,supi iiv v vf v Me= , | |( )1,infi iiv v vf v me=diyelim. 1 i i iv v v = A koyalm. Bu i-inci dilimin alan21.2i iM v A ile21.2i im v A arasndadr. Demek ki aradmz OMNdiliminin alann2112ni iiS M v== Aile 2112ni iiS m v== Atoplamlar arasndadr. Bunlar ise bildiimiz gibi ( )2 12f v dv|o( } integralinin Darboux toplamlardr. Yani ( )22 2max 0 max 01 11 1 1 Diliminin Alan lim lim2 2 2 i in ni i i iv vi iOMN M v m v f v dv|oA A = == A = A =( }(3.3) dir. RNEK 3.4. Leminskat erisinin bir fiyonku tarafndan meydana getirilen alan hesap ediniz. 74zm: nceLeminskaterisinigeometrikolaraktanmlayalm,bunundikal koordinatlara ve kutupsal koordinatlara gre denklemlerini kartalm. Birbirlerinden2a uzaklnda 1F ve 2F gibisabitikinoktadanuzaklklar arpmaya eit olan noktalarn geometrik yerine bir Leminskat denir. 10. Leminskat erisinin dik al koordinat sistemine gre denklemi: ekil 3.5. 1 2F Fdorusunu x ekseni,1 2F F nin orta noktasn 0 balang noktas olarak alalm ve bu noktada 1 2F Fye dik y eksenini izelim. Buna gre aranlan denklem: ( ) ( )2 22 2 4x a y x a y a ((+ + + = bantsndan ( ) ( )22 2 2 2 22 0 x y a x y + = (3.4) olarak bulunur. 20. Leminskat erisinin kutupsal koordinat sistemine gre denklemi: (3.4.) denkleminde .cos x r =,.sin y r = koyarsak, ( )4 2 2 2 22 cos sin 0 r a r = veya 2 22 cos 2 r a =bulunur. 30. Leminskat erisinin b,ir fiyonkunun bir parasnn snrlad alan: 4 422 2 244 4 41cos 2 sin 22 2aS r d a d at tttt t = = = =} } dir.bueriyi(Bkz.ekil3.6.)ilkdefaJaqueBernoulliincelediiiin,buna ekseriyetle Bernoulli Leminskat denir. 75 ekil 3.6. 3.1.3. Eri Denkleminin Parametrik Olarak Verilmesi Halinde Alan Hesab Parametrik denklemi,gtrevlenebilirvehsrekli olmak zere, ( )( )x g ty ht= = olan bir C erisi,x a = ve x b = dorular ile x -ekseni tarafndan snrlananAalann hesaplamak iin ( )b ba aA f x dx y dy = =} } integralini t cinsinden ifade etmek gerekir. ( ) y ht = , ( ) dx g t dt ' =dir.tnin a ve b ye karlk gelen deerlerine1t ve2t dersek, ( ) ( )21.ttA ht g t dt ' =} olur. RNEK 3.5. .cos.sinx a ty b t= = parametrik denklemleriyle verilen elipsin (elips tarafndan evrelenen blgenin) alann bulunuz. zm: nce elipsin drtte bir parasnn alann bulalm. 76 0 x = iin 2tt=x a = iin0 t =olacandan( )2 022 01 cos 24 sin .sin 4 br2tA b t a t dt ab dt abttt= = =} } bulunur. 3 . 1 . 4 . ZLM PROBLEMLER 1) Birinci drtte birde2 2 23 x y a + =dairesinin i ksmnda bulunan ve 22 y ax = ,22 x ay = ,( ) 0 a > parabolleri ile snrlanan blgenin alann bulunuz. zm: Yukardaki grafikte boyal olanOMNO alann hesap edeceiz. Besbelli bu alan 1 22 2 22 202 32 2a aaI Ix xS ax dx a x dxa a| | | |= + ||\ . \ .} }_ _ ( )3 21 2 2 3 2101 2 22 4 2 12 3 6 6aa a aI x x dx aa a| |= = = |\ .} 77( )22 2 2 32 2 2 222 2 2233 sin 32 2 2 6 33 2 1sin sin 2 2 12 3 6 3 2 2aaaax a x x xI a x dx Arc a xa a aa a aa Arc Arc| | | |= = + ||\ . \ .| |= + | |\ .} 23 1 2sin2 3 3S a Arc| |= + | |\ . elde edilir. 2)Birincidrttebirdebulunan 24 y x = , 24 x y = ve 2 25 x y + = erileriile snrlanan blgenin alann hesaplaynz. zm: nceekliizelimvedairenin,parabolkollarnkestiinoktalarnkoordinatlarn bulalm. 24 5 x x + = denkleminden,daireile 24 y x = parabolnnkesimnoktasnn koordinatlar olarak1 x = ,2 y = ;24 5 y y + = denklemiyardmylaisedaireile 24 x y = parabolnnkesim noktasnnkoordinatlarolarak2 x = ,1 y = bulunur.uhaldearanlanalan, paraboller 4 x = noktasnda kesitiklerinden784 1 2 2 2 220 0 14 1 22 3 3 33 3 21 1 0 02212 2 54 4 44 453 12 3 12 121453x x xA x dx x dx x dxx x xx x xdxxdx| | | | | |= |||\ . \ . \ .| | | |= + ||\ . \ .= } } }}} olupimdi 2215 I x dx = }integralinde5 sin x t = koyalm.5 cos dx t dt = olup buradan, ( )2 2255 1 sin 5 cos 5 cos 1 cos 225 5 5 5cos 2 sin 12 4 2 2 5 5 5I t t dt t dt t dtx x xt t Arc= = = += + = + } } } olduundan 222 21 15 5 2 15 sin 5 sin sin2 2 2 5 5 5x xI x dx Arc x Arc Arc| | | |= = + = ||\ . \ .} olup burada ( )2 2sin sin sin 1 1 Arc Arc Arc o | o | | o = formlnden faydalanrsak 2 1 3sin sin sin5 5 5Arc Arc Arc =olup alan hesabnn sonucunun14 5 3sin3 2 5A Arc = olduu grlr. 3)1 y x = + , cos y x = ve 0x -ekseni tarafndan snrlanan alan bulunuz. 79zm: ( )02 0 2201 0121 cos sin21 31 1br2 2xA x dx x dx x xtt| |= + + = + + |\ .| |= + = |\ .} } 4) 2 22 21x ya b+ = elipsinin birinci drtte birde OD x =apsisi zerindebulunanODNB blgesinin alann bulunuz. zm: 221xy ba= olduundan aranlan alan22 220 01.sin2 2x xt bA b dt a t dta aab x xyA Arca= = = +} } dir. 5) 3y x = erisiile1 x = ,1 x = dorularvex -eksenitarafndansnrlanan dzlemsel blgenin alann hesaplaynz. zm: 330 00 0x xx x> >< < dr. O halde 0 10 1 0 1 4 43 3 3 31 0 1 0 1 04 4x xA x dx x dx x dx x dx = + = + = + =} } } } bulunur. 806)ln y x = erisi,0 y = ,1 y = dorularvey -eksenitarafndansnrlanan blgenin alann hesaplaynz. zm: lnyy x x e = =1 111 0 200 01bry y yA e dy e dy e e e e = = = = = } } 7) 1yx= erisi1 x = ve( ) 1 x t t = > dorularuile0x -eksenitarafndan snrlanan alan hesap ediniz. zm: ( )211 11A=A = ln ln brt tt dxt dx x tx x= = =} } 8) 3y x = erisi iley x = dorusu tarafndan snrlanan blgenin alann bulunuz. zm: ( ) ( )1 0 13 3 3 21 1 01 br2A x xdx x x dx x x dx = = + =} } } 81U Y A R I :Alanlarnsimetrikoluundanyararlanarak,szkonusualan( )13 201 12 2 br4 2A x x dx = = =}eklinde de hesaplanabilir. 9)2y x = parabol, bu parabole ( ) 1,1 noktasndan izilen teet doru vey -ekseni tarafndan snrlanan blgenin alann hesaplaynz. zm: nce 2y x = erisine( ) 1,1 noktasndan izilen teet dorunun denklemini buluruz. ( ) ( )00 0. y y f x x x ' = formlnden ( ) 1 2.1. 1 y x = bulunur.uhaldeproblem 2y x = parabol,2 1 y x = dorusu,0 x = ve1 x = dorular tarafndansnrlananblgeninalannbulmaya indirgenir. Yandaki grafie gre ( ) ( )1 12 20 0132 202 1 2 11br3 3A x x dx x x dxxx x= = +| |= + = |\ .} } 10)( ) 1 cos r a o = + kardioidi tarafndan snrlanan blgenin alann hesaplaynz. zm: Evvelabulunmasistenenalangrafikle gsterelim. Yandaki grafie gre, ( )( )22 20 02 2 2 2012 1 cos231 2cos cosbr2A r d a dA a d at tto o oo o o t= = += + + =} }} olur. 8211)2 r = emberinindnda,( ) 2 1 cos r = + kardioidininiindekalanblgenin alann hesaplaynz. zm: Yandaki grafie gre taral alan ,2 2t t( ( aralndadr. Bu aralkta( ) 2 1 cos 2 + >olduundan ( ) ( )( )( ) ( )2 22 22 22 22 22 021 14 4 1 cos 4 1 cos 42 22 2cos cos 4 2cos cos8brA d dA d dAt tt tt tt t = + = + = + = += +} }} } dir. 12) 22 y x x = + erisi ile 0x -ekseni tarafndan snrlanan alan hesaplaynz. zm: Yandaki ekle gre, ( )22 2 321122 22 39 br2x xA x x dx xA| |= + = + |\ .=} olur. 13) 24 y x x = erisi ile0x -ekseni arasnda kalan alan ka birim karedir? zm: ( )44 32 200324 2br3 3xA x x dx x| |= = = |\ .} 8314)sin y x = erisiile0 x = ve2 x = dorularve0x -eksenitarafndan snrlanan blgenin alann bulunuz. zm: Yineherzamanyaptmzgibi,nce grafiini izelim. 1 2A S S = +dir.Fakat 1S negatifksmdaolduundan integralin nne () iareti konulmaldr. Aksi takdirde 1S ve 2S eitolduklarndantoplam sfr olur. O halde ( ) ( )20202sin sinsin sin4 brA x dx x dxA x dx x dxAt ttt tt= + + = =} }} } olur. 15) 24xy = ile22xy = + dorusutarafndansnrlananblgeninalann hesaplaynz. zm: Eriiledorununkesiimnoktalarn bulup grafiini izelim. 221 22 2 8 0 2 , 44 2x xx x x x =+ = = =44 2 2 32222 2 9 br2 4 4 12x x x xA dx x| | | |= + = + = ||\ . \ .} olur. 8416) 3y x = erisi ile2y x =erileri arasnda kalan alan hesap ediniz. zm: ( )11 3 42 3003 41 1 13 4 12x xA x x dxA| |= = |\ .= =} 17) 23xy = ve2243xy = parabolleri ile snrlanan blgenin alann hesaplaynz. zm: 2 21 22224 42 3 3xx xxx = = = = ( )2 2 2 22 22 02 324 2 4br3 3 3x xA dx x| |= = = |\ .} } 18)4 y x = erisi,x ekseni ve2 x = , 2 x = dorular tarafndan snrlanan blgenin alann hesap ediniz. zm: 4 , 044 , 0x xy xx x > = = + < ( ) ( )0 222 04 4 12 br A x dx x dx= + + =} } 853 . 1 . 5 . ZLECEKPROBLEMLER 1)( )( ) 1 2 y x x x = erisiile0x eksenitarafndansnrlananblgeninalann bulunuz. 2) 22 y x = erisi ile 4 x y = dorusunun snrlad alan hesaplaynz. 3)y x = ,2 y x = ve 0 x = arasnda kalan blgenin alann bulunuz. 4) 22 y x = ve22 x y = arasnda kalan alan hesap ediniz. 5)sin y x = ,cos y x = erileriile 4xt= ve 54xt= dorulartarafndan snrlanan blgenin alann bulunuz. 6) 3y x x = erisi ile bu eriye 1 x = apsisli noktada teet olan doru arasnda kalan blgenin alann bulunuz. 7) 26 y x x = erisi ile 1 0 y x + + =,1 x = , 3 x = dorular tarafndan snrlanan blgenin alann bulunuz. 8)3 5 23 0 x y + = ,5 2 28 0 x y = ve2 7 26 0 x y + = dorulartarafndan snrlanan blgenin alann hesaplaynz. 9) xy e= ,xy e = erileri ile 1 x = dorusu tarafndan snrlanan blgenin alann hesaplaynz. 10)Birincidrttebirdebulunanve 24 y x = parabolile1 y x = ve1 x =dorular tarafndan snrlanan blgenin alann hesaplaynz. 11)y x = ,2 y x = ve y x = erileri arasnda kalan blgenin alann bulunuz. 3.2. Yay Uzunluunun Hesab 3.2.1. Kartezyen Koordinat Sisteminde Yay Uzunluunun Hesab ( ) y f x = eitlii ile verilen trevli f fonksiyonunu gz nne alalm. Bu erinin1x a = ve2x b = apsisli noktalar arasnda bulunan parasnn uzunluunu bulmak istiyoruz. 86 ekil 3.7. x A kkalndnda AByaynns A uzunluuile | | AB doruparasnn uzunluu yaklak olarak eittir. Buna gre, ( ) ( )22 21ys x y xxA | |A ~ A + A = + A |A\ . yazlabilir. Her iki taraf x A ile blnr ve 0 x A iin limit alnrsa, ( )2S 1 y ' ' = +bulunur. Diferansiyel ve integral hesabn temel teoremi gereince ( )2S 1bay dx ' ' = +} bulunur. RNEK 3.6. Ryarapl bir emberin evre uzunluunu hesap ediniz. zm: Ryarapl 2 2 2x y R + = emberinigz nne alalm. Yandaki grafikten de grld gibi emberine evresiAByaynn drt katna eittir. Buna gre ( )204 1RS y dx ' = +} olacaktr. 872 2 22 22 2 0 x y R x y yx xy yyR x' + = + =' ' = = 22 22 20 00S 4 1 4S 4 . sin 2brR RRx dxdx RR xR xxRArc RRt= + == =} } olur. RNEK 3.7. 2 3 2 3 2 3x y a + = astroid erisinin evre uzunluunu hesap ediniz. zm: ( )1 3 1 31 3 1 33 2 1 32 3 2 32 203 3x xx y y yya x ' ' + = = = ( )2 3 2 3 2 322 3 2 30 0 02 31 3 1 3 1 3 2 32 300 0S 4 1 4 1 43S 4 4 4 6br2a a aa aay x yy dx dx dxx xadx a x dx a x ax+' = + = + == = = =} } }} } 3.2.2. Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunluunun Hesab Kartezyenkoordinatlarda( ) y f x = denklemiileverilenerininyay diferansiyelinin ( )21 dx y dx ' = +olduunu biliyoruz. ( )2 221dydy dy d dx dy dy ds y dx ddxdx d dx d dd | | | |' ' = = = = + = + ||\ . \ . dir. Dier taraftan .cos .sindxr rd ' = ve.sin .cosdyr rd ' = +88olduundan( )2 222dx dyr rd d | | | |' + = + ||\ . \ . dir. Buna gre, yay diferansiyeli ( )22ds r r d ' = +olur.Ohalde,erizerindenoktalarnbirletirenyaynuzunluu( )22S r r d|o ' = +}dir. RNEK 3.8. Ryarapl bir emberin evre uzunluunu hesaplaynz. zm: Ryarapl emberin kutupsal denklemi r R = olduundan2 22200 00 2 S R d R d R Rt tt t = + = = =} } dir. RNEK 3.9. ( ) 1 cos r a = + kardioidinin10 = ve23t = dorular arasnda kalan parann uzunluunu bulunuz. zm: 89( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 21 cos 1 2cos cos sin .sin r a a r a r a ' ' = + = + + = = olduundan ( ) ( )( )3 32 2 2 2 2 2 20 03 3 320 0 03 30 0S 1 2cos cos sin 1 2cos cos sinS 2 1 cos 2 1 cos 2 1 2cos 12S 2 cos 4 .sin 2 br2 2a a d a da d a d a da d a at tt t tt t = + + + = + + += + = + = + = = =} }} } }} RNEK 3.10. ( ) 2 1 cos r = kardioidinin6cos r = dairesiiindekalaparasnnyaynn uzunluunu hesap ediniz. zm: nce bu iki erinin kesiim noktalarn bulalm. ( )122132 1 cos 6.cos cos4 23t t= = = = olur.Bualarakarlkgelenuzunluk3 r = dr.Ohaldekesiimnoktalar 2A 3,3t | | |\ .ve4B 3,3t | | |\ . noktalardr. Dier taraftan ( ) ( ) ( )222 2 24 1 cos 2cos 4sin 8 1 cos 4.sin2r r | |' + = + + = =|\ . olduundan 904 32 3 2 34 sin 8 sin 16 cos 8 br2 2 3S d dt tt t t = = = =} } olur. 3.2.3.EriDenklemininParametrikOlarakVerilmesiHalindeYay Uzunluunun Hesab Parametrik denklemi ( )( )x g ty ht= = olan bir Cerisinin zerindeki herhangi iki noktann parametreleri1t ve2tolsun. Bu iki noktay birletiren eri parasnn uzunluunu bulmak istiyoruz. 2 22 2x ys x y tt tA A | | | |A = A + A = + A ||A A\ . \ . olduundan C erisinin yay diferansiyeli ( ) ( )2 22 2 dx dyds dt x y dtdt dt| | | |' ' = + = + ||\ . \ . olur. Dolaysyla ( ) ( )212 2ttS x y dt ' ' = +} dir. RNEK 3.11. 33.cos.sinx a ty a t == denklemi ile tanmlanan hiposikloid (astroid)in evre uzunluunu hesaplaynz. 91 zm: 223 .cos .sin3 .sin .cosx a t ty a t t' = ' = olduundan ( ) ( )2 22 2 29 .sin .cos x y a t t ' ' + =dir. O halde 2 20 022 20S 4 3 . sin .cos 12 sin .cosS 6 . sin 6bra t t dt a t t dta t at tt= == =} } neticesi elde edilir. 3 . 2 . 4 . ZLM PROBLEMLER 1)( ) ( ) , log sin , ,4 2f xy y x xt t (= = e ` ( )fonksiyonunun grafiinin uzunluunu bulunuz. zm:cossin xyx' =( )22 2224 4 4cos1 log tan log tan log 2 1sin sin 2 8x dx xS dxx xtt tt t tt | | | |= + = = = = + ||\ . \ .} } 2)( ) ( ) | |3 2 1, 2 , 2, 72f xy x y y = = + e ` ) fonksiyonunun grafiinin uzunluunu bulunuz. zm: | | , c d aralnda tanml () x y = fonksiyonu iinde, ' trevi | | , c d aralnda srekli olmak art ile, yay uzunluu21dcdxS dydy| |= + |\ .} forml ile hesap edileceinden, ( )197 97 52 52br54S = bulunur. 923) Parametrik denklemi ( )| |2 1 cos2sin0, 2x ty tt t= = e olan erinin uzunluunu bulunuz. zm: Bunun iin( ) ( )212 2S x y dt' ' = +}formln kullanalm. 222 2002 sin cos 2 4br S t t dt tttt = + = =} dir. 4) Denklemi216 y x = olan paraboln 0 x = ile 4 x = dorular arasnda bulunan yayn uzunluunu bulunuz. zm: 216 4 y x y x = =olupy' trevi| |0, 4aralnda srekli olmadndan erinin denklemini parametrik olarak | |2, 4 , 0, 2 x t y t t = = eeklinde yazabiliriz. Buradan ( ) ( )2 22 20 04 16 2 4 4 2 log 1 2 S t dt t dt = + = + = + +} } olup aranlan uzunluk bunun iki katdr, yani ( )2 8 2 log 1 2 br s (= + + dir. 5) 2 3y x = semikbik parabolnn 0 x = ile 4 x = dorular arasndaki yayn uzunluunu bulunuz. zm: Erinin parametrik denklemi 93| |3 20, 4x ty tt= = e olduundan( )( )24 4 443 21 200 0 03 3 1 2 8S 1 1 9 4 9 4 10 10 12 2 2 27 27t dt t dt t dt t| | | |= + = + = + = + = ||\ . \ .} } } sonucu elde edilir. 3 . 2 . 5 . ZLECEKPROBLEMLER 1) Parametrik denklemi 23330, 5x ty tt == (e olan erinin uzunluunu hesap ediniz. 2) Parametrik gsterimi | |3.sin.cos0, 2tx e ty e tt == e olan erinin uzunluunu bulunuz. 3)2 y x = parabolnn 0 x = ve 1 x =arasndaki yay uzunluunu bulunuz. 4) 21 1log4 2x y y = erisinin 1 y = ve y e =arasndaki yay uzunluunu hesap ediniz. 5)log y x = erisinin 3 x = ile 8 x = arasndaki yayn uzunluunu bulunuz. 6) xy e = erisinin( ) 0,1noktas ile ( ) 1, e noktas arasndaki yay uzunluunu hesaplaynz. 7) Parametrik denklemi 94( )( )| |2cos cos 22sin sin 20, 2x a t ty a t tt t = = e olan erinin uzunluu ka br.dir? 8) ( )3 22123y x = + erisinin 0 x = ve 3 x = dorular arasndaki yayn uzunluunu hesaplaynz. 9) ( )3 22 34 y x = erisinin 0 x = ve 8 x = dorular arasndaki yayn uzunluu ka br.dir? 10) 3 2 1 22 13 2y x x = erisinin 1 x = ve 4 x = dorular arasnda kalan yayn uzunluu ka br.dir? 11)4cos r = erisinin | | 0, t e arasndaki yay uzunluunu hesaplaynz. 12) 3sin3r= erisinin 0 3 t s s aralndaki yay uzunluunu hesaplaynz. 13) 3cosr= erisinin ,4 4t t (e ( aralndaki yay uzunluunu hesaplaynz. 14). r a e= logaritmik spiralinin2 r a = emberi iinde kalan parasnn uzunluunu hesaplaynz. 3.3. Kiri Uzunluunun Eri Parasna Oran y' trevi srekli olan bir ( ) y f x = erisi dnelim. Bu eri zerinde bir kiri uzunluunun buna karlk gelen eri paras uzunluuna orannn, eri paras uzunluu sfra yaklat zaman, limitini arayalm. 1 i i ix x xA = , 1 i i iy y yA = olmak zere,AB kiriinin uzunluu =( ) ( )2 2i ix y A + A ACB eri parasnn uzunluu = ( )121iixxf dx' +} 95dir. Bu ise integral hesabnn birinci ortalama deer teoremi gereince ( ) () ( )12 211 1 , ,iixi i ixf dx x f x x ' ' + = A + e( } dir. u halde aranlan oran ile gsterirsek ( )()22 0 01lim lim 11i iix xix f xABSx fA A' A +( = = =' A +( | |1,i ix x e ve| |1,i ix x xe olur. nk f ' srekli bir fonksiyon olarak alnmtr. 3.4. Hacim Hesaplar 3.4.1. Kesit Metodu Bir B cismi ile bir L dorusu verilmi olsun. Doru zerinde bir0balang nokats alalm (Bkz. ekil 3.9.). Ldorusunutnoktasnda dik kesen dzleme tD ; tDile B cisminin arakesitinin alann ( ) At ile gsterelim. ( ) : At At fonksiyonunun | |, a b aralndaintegrallenebilirolduunukabul edelim. ekil 3.9. ekil 3.10. B cismi, a b < olmak zere,aD ilebDdzlemleri arasnda bulunsun. aD iletD dzlemleri arasnda kalan cismin hacmini ( ) V t ile gsterirsek ( ) 0 V a = ve( ) V b V =yani istenen tm hacimdir. 96( ) ( ) V t h V t + fark,yaklakolarak,yksekliih ,tabanalan( ) At olandik silindirin hacmine eit olur. u halde ( ) ( ) ( ) . V t h V t h At + ~buradan da ( ) ( )( )V t h V tAth+ ~yazlabilir. Buna gre ( ) ( ) V t At ' =yazlabilir. ntegral hesabnn temel teoreminden ( ) ( )xaV x At dt =} elde edilir. ( ) V b V = olduundan ( )baV At dt =} bulunur. Yukardaki incelemelerden u gerek elde edilmektedir: Eer iki cismin bir doruya dikolandzelemlerileeldeedilenkesitlerieitalansahipiseler,buikicisimeit hacimlidir. Bu gerek Cavalieri Prensibi olarak bilinmektedir. RNEK 3.12. Bir cismin taban, yarap 2cm olan bir dairedir. Cismin tabana dik dzlemler ile arakesiti karelerdir. Bu cismin hacmini bulunuz. zm: emberinmerkezindengeendoruyuLolarak alalm. emberin merkezinden t kadar uzaktaki kenar uzunluuna s dersek, 22 2 24 16 42st s t| |+ = = |\ . olur.97 Kesitin alan ( )216 4 At t = olacandan ( ) ( )2 22 32 212816 4 br3V At dt t dt = = =} } bulunur. RNEK 3.13. Bircismin0x -ekseninedikdzlemlerilearakesiti,uzunekseniksaeksenininiki kataneitolanbirelipstir.Bircisim0 x y dzlemineparalelkesildiindeelde edilenengenikesitinstsnr 2113y x = paraboldr.Bucisminuzunluunun3br olduu bilindiine gre, hacmi nedir? zm: Eksen uzunluklar 2a ve 2bolan elipsin alanab t dir. Buna gre0x -eksenine gre x apsisli noktadan izilen dik dzlemin cisim ile arakesiti olan elipsin eksen uzunluklar2yve y dir. Buna gre ( )22212 2 2 3y xAx y yt tt| |= = = + |\ . dir. u halde ( )3 3 230 0361br2 3 5xV Ax dx dxtt| |= = + = |\ .} } olur. RNEK 3.14. TepenoktasnntabandzlemineolanuzaklH br.olanbirdaireselkoni veriliyor. Taban jyarap r olduuna gre bu koninin hacmini hesaplaynz. zm: 98P tepenoktasndantabandzlemine indirilen dikmeye L diyelim. Tabandant kadaryksekliktenL yedikizilen dzleminkoniilearakesitiyinebir dairedir. Dairenin yarapna m dersek, benzer genlerden 1m H t tm rr H H | |= = |\ . olur. Bylece kesitin alan ( )22 21tAt m rHt t| |= = |\ . ve dolaysyla koninin hacmi 22 2 3011 br3HtV r dt rHHt t| |= = |\ .} olur.uhaldebirkonininhacmi,tabanileyksekliininarpmnntebirine eittir. Dnel cisimlerin hacimlerini hesaplamada belli bal iki metot vardr: a)Disk Metodu, b)Kabuk Metodu. imdibumetotlarverelim. | | , a b aralndaf fonksiyonupozitifve integralenebilir olsun. 3.4.1.a. Disk Metodu | |, a b araln0 1 2 1 n na x x x x x b= < < < < < = . noktalar yardmyla n paraya blelim.Herbir | |1,k kx xaralnda k noktasseelim.Yaraplar( )kf , ykseklikleri kx A olandisklerin(silindirlerin)hacimleritoplam,yaklakolarak, dnel cismin hacmine eittir. 99 Dnel Cismin HacmiDnel Hacimlerin Toplam ekil 3.11. Paralanma ne kadar ince olursa yaklam o kadar ii olur. O halde [ ]()201lim . .nkpkV f x t == A yazabiliriz.f integrallenebilirolduundan 2f deintegrallenebilir.uhaldesa taraftakilimit 2f t fonksiyonunun| | , a b aralndakiintegralidir.Bunagre havim forml( )2baV f x dx t = } olur. ( ) y f x = erisi x a =, x b = ve y k = dorular tarafndan snrlanan dzlemsel blgey k = dorusununbirtarafndakalsn.Bublgey k = dorusuetrafnda dndrlrsemeydanagelendnelcisminhacmi,( ) y f x k = erisinin0x eksenietrafndadndrlmesiylemeydanagelencisminhacmineeit olacandan ( )2baV f x k dx t = } olur. Benzer ekilde, () x g y = erisi, y c = ve y d = dorular ile 0y ekseni etrafnda dndrlmesiyle elde edilen cismin hacmi100()2dcV g y dy t = } olur. ekil 3.12. ekil 3.12.ye gre| |, a b aralnda ( ) ( ) 0 g x f x s s olsun.( ) y f x =,( ) y g x = erileri x a = ve x b = dorular tarafndan snrlanan dzlemsel blgenin 0x ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen cismin hacmi( ) ( )2 2baV f x g x dx t( = } olacaktr. Bu ABFE blgesinin elde edilen hacimden ABCD blgesinin dndrlmesiyle elde edilen hacmin karlmasndan; yani fakndan baka bir ey deildir. Buradan ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2b b ba a aV f x g x dx f x dx g x dx t t t( = = } } } dir. RNEK 3.15. 215 1 y x = + parabol, 1 x = , 1 x = dorular ile0x ekseni etrafnda tarafndan snrlanan dzlemsel blgenin0x ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen dnel cismin hacmini bulunuz. 101zm: ( ) ( )( ) ( )1 122 21 11 122 4 20 0V 15 1V 2 15 1 2 225 30 1 112 f x dx x dxx dx x x dxt tt t = = += + = + + =} }} } olacaktr. RNEK 3.16. 0 a b < < olsun. Merkezi ( ) 0, b noktasnda bulunan a yarapl bir ember tarafndan snrlanan blgenin 0x ekseni etrafnda dndrlmesiyle elde edilen dnel cismin (torun) hacmini bulunuz. zm: Verilenemberindenklemi: ( )22 2x y b a + = dir.Bueitliktenyekilirse ( )2 21y f x b a x = = + ,( )2 22y g x b a x = = bulunur.Szkonusublgegrafikleyanda gsterilmitir. Buna gre istenen hacim ( ) ( )2 22 2 2 22 2 2 202 2 3VV 4 8V 2 braaa aab a x b a x dxb a x dx b a x dxa btt tt (= + ( = = =}} } olur. ekil 3.13. 3.4.1.b. Kabuk Metodu ( ) y f x = ,( ) y g x = erilerix a = vex b = dorulartarafndansnrlanan blgenin0y -ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen dnel cismin hacmini bulalm. (Bkz. ekil 3.13) 102| | , a b aralnnbirparalanmas{ }0 1 2 1, , , , ,n nP x x x x x= . olsun.Herbir| |1,k kx xaralnda k seelim.Boyu( ) ( )k kf g ,eni kx A olan dikdrtgenin0y -eksenietrafndadndrlmesiylemeydanagelensilindirik tabakann hacmi ekil 3.14. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 11V . 2 . .2k kk k k k k k k kx xx x f g f g x t t t +A = = Aolur. stenen V hacmi, yaklak olarak, bu VkA hacimlerinin toplamna eittir. Buna gre( ) ( )11V 2 . .2nk kk k kkx xf g x t =+~ A olur.Paralanmanekadarincealnrsayaklaklkokadariyiolur. [ ]0 P yaplrsa,12k kkx x +~ olacandan[ ]( ) ( )01lim 2 . .nk k k kPkV f g x t == A bulunur. Eer f g integrallenebilir ise sa taraftaki limit( ) ( ) 2 .bax f x g x dx t ( } integraline eit olacandan( ) ( ) V 2 .bax f x g x dx t = ( } 103bulunur. Benzer olarak () x u y = , () x v y = erileri, y c = ve y d = dorular tarafndan snrlanan dzlemsel blgenin0x -ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen dnel cismin hacmi() () V 2 .dcy u y v y dy t = ( } olur. RNEK 3.17. 2y x = ile 2y x = parabolleritarafndansnrlananblgenin0y -eksenietrafnda dndrlmesiyle meydana gelen dnel cismin hacmini bulunuz. zm: stteki erinin denklemi: y x = Alttaki erinin denklemi:2y x =olduundan ( )1 12 3 2 30 03V 2 2 b10x x x dx x x dxtt t = = =} } bulunur. RNEK 3.18. 22 y x x = parabolile0x -eksenive1 x = ve2 x = dorulartarafndan snrlanandzlemparasnn0y -eksenietrafndadndrlmesiylemeydanagelen dnel cismin hacmini bulunuz. zm: ( )2 22 2 3 31 111V 2 2 2 2br6x x x dx x x dx t t t = = =} } 104 3 . 4 . 2 . ZLM PROBLEMLER 1) 2y x =, 0 x = , 2 x = , 0 y = arasnda kalan blgenin 0x -ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen cismin hacmini bulunuz. zm: 22 2 52 4 30 0 032V br5 5xy dx x dx t t t t = = = =} } 2) Birinci drtte birde2y x = , 0 y =,1 x = ve 4 x = fonksiyonlarnn grafikleri tarafndansnrlananblgex eksenietrafndadndrlyor.Meydanagelendnel cismin hacmini bulunuz. zm: 4 42 31 115Vbr2y dx x dx t t t = = =} } 3)12 2 3 = + y x , 0 = x, 0 = y fonksiyonlarnn grafikleri ile snrlanan alan a)x ekseni etrafnda, b)y ekseni etrafnda, dndrlyor. Meydana gelen dnel cisimlerin hacimlerini integral yardmyla hesaplaynz. zm: 105a) 4021br48236 V236 t t =|.|

\| = =}dx x x y b) 6022b32324 V324 t t =|.|

\| = =}dy y y x 4) 3x y =,0 = y ve 2 = x fonksiyonlarnn grafikleri tarafndan snrlanan blge y ekseni etrafnda dndrlyor. Meydana gelen dnel cismin hacmini bulunuz. zm: 3803 2802596br dy y dy x V t t t = = =} } 5) 26 x x y = ve 0 = yfonksiyonlarnn grafikleri tarafndan snrlanan blge y 0 -ekseni etrafnda dndrlyor. Bu dnel cismin hacmini hesaplaynz. 106zm: 26 x x y = fonksiyonunungrafiiniizelim.Aranlan blge yekseni etrafnda dndrleceinden, dolay, bize verilen bantdanx i ekmeliyiz. O halde y x y xy x y x x = + = = = + 9 3 , 9 39 3 0 62 12) yazlabileceinden,szkonusublgeniny ekseni etrafnda dndrlmesinden meydana gelen cismin hacmi ( ) ( )90902 29 12 9 3 9 3 t t = =((

+ =} }dy y dy y y V dir. 6)( )31 = x y fonksiyonunungrafiiile0 = y ,1 = x ve2 = x dorular tarafndan snrlanan blge x ekseni etrafnda dndrlyor. Meydana gelen cismin hacmini bulunuz. zm: ( ) | |32123212br 71291 t t t = = =} } dx x dx y V 7)Kegenlerininkoordinatlar( ) 2 , 1 A ,( ) 5 , 4 B , ( ) 0 , 9 C olanbirgenx ekseni etrafnda dndrlyor. Meydana gelen dnel cismin hacmini bulunuz. 107zm: | | AB nin denklemi: 1 + = x y| | BC nin denklemi: 9 + = x y| | CA nin denklemi:494 + =xydir. Buna gre aranlan hacim, ( ) ( )3412412270494941br Vxx dxxx Vtt t=

\| + +(((

|.|

\|+ + =} } olur. 8) 2x y = ve 2 1x y = parabolleriarasndakiblgex 0 -eksenietrafnda dndrlyor. Meydana gelen dnel cismin hacmini hesaplaynz. zm: ( ) ( )( )1 12 22 1 2 20 014 30V3V br10y dx x x dxx x dxt tt t (= = ( = =} }} 9)22+ = x y ile 102+ = x yfonksiyonlar ile snrlanan blge x 0 -ekseni etrafnda dndrlyor. Meydana gelen dnel cismin hacmi ka birim kptr? zm: 2 24 8 2 10 22 12 2 2 2= == = + = +x xx x x x ( ) ( ) | |( ) ( )3202202222222256 4 48 4 24 2 V2 10 Vbr dx x dx xdx x xt t tt= = =+ + =} }} 10810) 21 x y = ,0 = x ve1 = x fonksiyonlarilesnrlananblgeniny 0 -ekseni etrafnda dndrlmesi ile meydana gelen dnel cismin hacmini hesaplaynz. zm: ( )31010221 br dy y dy x Vtt t = = =} } 11) Bir dzgn piramidin yksekliicm 100dir. Bu piramidin tabannn bir kenarnn uzunluucm 100olan bir karedir. Bu piramidin her 3cm nn arl3g dr. Buna gre bu piramidin arl ka kg dir? zm: ( )}+ = dt t A Vforml,dzlemkesitininalanbilinmesi halinde, hacmin hesaplanabileceini aklar. rnein,dikvekaretabanlbirpiramit verilmiolsunvet 0 -eksenipiramidin tepesindentabanadoruynelmi olarakseilmiolsun.Piramidinyksekliih,tabannn kenar uzunluuaise, tepeden tuzaklndabulunanbirdzlemileelde edilenkesitinkkenaruzunluuiinyani dzleme ait kenar uzunluunun dzleme ait ykseklie oranlar eittir. O halde thakhatk = =elde edilir ve ( ) ( )2222that A k t A = =dir. u halde109( ) h athadt thadt thadt t A Vhh203220222222313= = = = =} } }+ + dir. Buradan cm a 100 = vecm h 100 = olduundan piramidin hacmi( )3 2 231000000100 1003131cm h a V = = =olur. Bu piramidin her bir 3cm nn arlg 3olduuna gre bu piramidin arl:g 1000000 dir. Yanikg 1000 dir. 12) Bir cismin tabannn eksen uzunluklar cm 10 ve cm 8olan bir elipstir. Bu cismin byk eksen dik dzlemlerle arakesiti ykseklii cm 6olan birer ikizkenar gendir. Bu cismin hacmini bulunuz. zm: ABCikizkenargenolduundanBC AB =dir. cm a 5 =, cm b 4 = ,cm h 6 = dir. Bu cismin taban alan: 21024 . 5 .2cmb aA tt t= = = 360 6 . 10 . cm h A V t t = = = 13) 21 x y = erisiile0 = x ,1 = x ve0 = y dorulartarafndansnrlanan blgenin x 0 -ekseni etrafnda dndrlmesi ile meydana gelen dnel cismin hacmini bulunuz. zm: ( )31021021581 br dx x dx y V t t t = = =} } 11014) 21 x y = erisi ile x y = , 0 = ydorular tarafndan snrlanan blgenin x 0 ekseni etrafnda dndrlmesi ile oluan dnel cismin hacmi ka birim kptr? zm: ( ) ( )3210221022 231 br dx x dx y V = = =} }tt t 15)4 .= y x erisi ile1 = x , 4 = x ve 0 = y dorular tarafndan snrlanan blgenin x 0 ekseni etrafnda dndrlmesi ile oluan dnel cismin hacmini bulunuz. zm: 34124124121216 4br dxxdxxdx y V t t t t = =|.|

\|= =} } } 16) axa y2 = erisiilea y x = + dorusutarafndansnrlananblgenin y 0 ekseni etrafnda dndrlmesi ile oluan cismin hacmini bulunuz. zm: ( ) ( ) | | (3 30 02 2026br a Vy ay dy y a ay a dy x Va a att t t= = = =} } } 11117) 2x x y + = ve 12 = x y erileri ile0 = xdorusu arasnda kalan blgenin 1 = y dorusu etrafnda dndrlmesi ile meydana gelen cismin hacmini bulunuz. zm: ( ) ( ) ( |( )3012 301222012233 2 3 21 1br dx x x x Vx x x dx k x f Vttt t== + = + = =}} } 18) 21 x y = erisiile3 = y dorusuarasndakalanblgenin3 = y dorusu etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen cismin hacmini bulunuz. zm: 2 1 3 32) = = = x x y ( ) | | ( )20222222155124 2 3 1 dx x dx x V t t t = = =} } 19) 24 2 y x = ,4 22 = y x erileritarafndansnrlananblgenin3 = x dorusu etrafnda dndrlmesiyle oluan cismin hacmi ka birim kptr? 112zm: ( ) ( )( )340240222240244264 4 123 223 2223 2 3br dy y Vdyy yVdy x dy x Vt ttt t= =(((

||.|

\|+ ||.|

\|+ + =+ = + =}}} } 20) ( )( ) = =t a yt t a xcos 1sin Sikloidinin bir yay ilex 0 -ekseni tarafndan snrlanan blgeninx 0 -ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen cismin hacmini bulunuz. zm: ( )dt t a dx cos 1 =( ) ( )( ) ( )3 3 2203 2 3203 3202 2202. 5cos cos cos 1 cos 1cos 1 . . cos 1br a Vdt t t t a dt t a Vdt t a t a dx y Vtt tt tt tt t= + = = = =} }} } 21)x y = 6 dorusuile5 = xy erisitarafndansnrlananblgeniny 0 -ekseni etrafnda dndrlmesiyle oluan cismin hacmini a) Disk metodu ile b) Kabuk metodu ile hesaplaynz. zm: a)( )25 5221 1356643V x dy y dyyV brt tt (| |= = ( | ( \ . =} } 113 b) () ()( )5 51 152 3152 2 6642 6 53V ygy hy dy y y dyyV y y dy brt tt t| |= = ( | \ .= =} }} 22)2 = xy,4 = xyerileri ile1 = x , 2 = x dorular arasnda kalan blgenin 0y-ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen cismin hacmini hesaplaynz. zm: 2 2211 134 22 2 2 44V y dy dy yy yV brt t tt= = ==} } 23)Bircismintaban12 2s + y x dairesidir.Bucisminx 0 -ekseninedik dzlemlerle arakesiti karelerdir. Bu cismin hacmini bulunuz. zm: 2 2 224 4 12t k tk = = +|.|

\| ( )2 24 4 t k t A = = ( ) ( )311211316) 4 4 br dt t dt t A V = = =} } 3 . 4 . 3 . ZLECEKPROBLEMLER 1) 3x y = erisi ile 1 = x,2 = xve0 = y dorular tarafndan snrlanan blgenin x 0 -ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen dnel cismin hacmini bulunuz. 2)x y = erisiile0 = x ve1 = y dorulartarafndansnrlananblgex 0 -ekseni etrafnda dndrlyor. Meydana gelen dnel cismin hacmi ka birim kptr? 1143) 23 x x y = parabol ile x y = dorusu tarafndan snrlanan blgeninx 0 -ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen dnel cismin hacmini bulunuz. 4)px y 22= erisiileh x = dorusutarafndansnrlananblgeninx 0 -ekseni etrafnda dndrlmesiyle oluan dnel cismin hacmini bulunuz. 5)( ) x a a y = 2erisi ile 0 = xvea y 2 = dorular tarafndan snrlanan blgenin x 0 -ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen dnel cismin hacmini bulunuz. 6)Aadakierivedorulartarafndansnrlananblgeniny 0 -eksenietrafnda dndrlmesiyle oluan cisimlerin hacmini bulunuz. a)0 , 4 ,2= = = x y x yb)12222= +byax 7) Aadaki eriler tarafndan snrlanan blgenin karlarnda yazl eksenler etrafnda dndrlmesiyle oluan cismin hacmini bulunuz. a)1 , 1 ,3= = = x y x y Eksen:2 = yb)0 , 42= = y x x y Eksen:4 = yc) 2 22 , y x y x = = Eksen:1 = x8)12+ = x y erisiyle bu eriye 1 = xnoktasndan izilen teet ve 0 = xdorusu tarafndan snrlanan blgenin; a)x 0 -ekseni, b)y 0 -ekseni, etrafnda dndrlmesiyle oluan cismin hacmini bulunuz. 9)x y sin = ve x y cos = erileri 0 = xve4t= x dorular tarafndan snrlanan dzlemselblgeninx 0 -eksenietrafndadndrlmesiylemeydanagelencismin hacmini bulunuz. 10) 3 2 3 2 3 2a y x = + astroiderisitarafndansnrlananblgeninx 0 -ekseni etrafnda dnmesiyle oluan cismin hacmini bulunuz. 11)Aadakierivedorulartarafndansnrlananblgeniny 0 -eksenietrafnda dnmesiyle meydana gelen cismin hacmini bulunuz. a)2 , 0 , 0 ,2= = = = x x y x y115b)t = = = = x x yx xy , 0 , 0 ,sin c)0 , 42= = y x x y)4 , 2 , 0 , 42= = = = x x y x y12)x y sin = , x y cos = erileri ile 0 = xve2t= xdorular tarafndan snrlanan blgeninx 0 ve y 0eksenleri etrafnda dndrlmesiyle oluan cisimlerin hacimlerini bulunuz. 13)( ) cos 1 = a r kardioidinin kutupsal eksen etrafnda dndrlmesiyle oluan cismin hacmini bulunuz. 3.5. Dnel Yzeylerin Alanlarnn Hesaplar Bilindii gibi bir eri paras bir etrafnda dndrld zaman dnel yzey denilen yzeyler elde edilir. Bu kesimde bu tip yzeylerin alanlarn hesaplayacaz. 3.5.1.EriDenklemininKartezyenFormdaVerilmesiHalindeDnelYzeyin Alannn Hesab ( ) x f y = eitlii ile verilen | | b a,aralna karlk gelen ABeri parasnn x 0 -ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen yzeyin alann hesaplayalm. ekil 3.15.ekil 3.16. | | b a,aralnda bir ( ) 0 , S xnoktas ile ( ) 0 , R x x A +noktasn alalm. Erinin ( ) ( ) x f x, P ve ( ) ( ) x x f x x A + A + , Q noktalarn birletiren doru parasnnx 0 -eksenietrafndadnmesiyleeldeedilendnelyzeyinA A alan,| | PQ nn 116dnmesiylemeydanagelendnelyzeyin(kesikkoninin)yzeyalanlaryaklak olarak, eittir. u halde; ( ) ( )( ) ( ) ( ) | |( ) ( ) ( ) ( )xxx f x x f x x fx f x x f xx x fA ((

A A ++A + += A A + + AA + += A+~ A22 212x f2 A2x f2 APQ2QR PS2 Attt yazlabilir. Buna gre ( ) ( ) ( ) ( )212x f2A((

A A ++A + +=AAxx f x x f x x fxtolur. x Ane kadar kk seilirse bu yaklaklk o kadar iyi olur. f trevlenebilir olduunda( ) ( ) | |21 2 A x f x f ' + = ' tolur. ntegral hesabnn temel teoreminden( ) ( ) | | ( )} }' + = ' + =babadx y y dx x f x f2 21 2 1 2 A t tbulunur.Benzerolarak,denklemi( ) y u x = ,d y c s s olaneriparasnny 0 -ekseni etrafnda dndrlmesiyle meydana gelen dnel yzeyin alan ( ) ( ) | | ()} }' + = ' + =dcdcdy x x dy y u y u2 21 2 1 2 A t tolacaktr. ( ) x