1

Naloga

K dani funkciji f(x) želimo poiskati takšno funkcijo F(x), da bo veljalo

( ) ( )xF x f

Nalogo imenujemo nedoločeno integriranje

2

F(x) : nedoločeni integral ali primitivna funkcija funkcije f(x)

Simbolično to nalogo zapišemo

( ) ( ).xF x xf d

integralski znak

3

Izrek

Če je F(x) nedoločeni integral funkcije f(x), potem je tudi F(x)+C nedoločeni integral funkcije f(x). (C poljubna realna konstanta) .

Zaradi tega izreka nedoločeni integral običajno pišemo

( ) ( ).x xF f d Cx

4

1 Integral vsote je enak vsoti integralov

( ) ( ) ( ) ( )x x x xf g x xd d xf g d Posplošitev

1

1 2

2

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )

n

n

x x x x

x x x x

f d

d d x

f

xd

f

f f f

5

2 Integral razlike je enak razliki integralov

( ) ( ) ( ) ( )x x x xf g x xd d xf g d

3 Pomnoženo konstanto smemo izpostaviti pred integralski znak

. ( ) . ( )C d Cf xfx x x d

6

Naloga

Za dano funkcijo y = f(x) je potrebno izračunati na intervalu [a,b] ploščino lika med krivuljo in abscisno osjo.

7

y

xa b

y=f(x)

8

Rešitev naloge

Predpostavimo,da je funkcija y=f(x) zvezna na intervalu [a,b] in 0f x

Interval [a,b] razdelimo na n podintervalov

0 1 2 1... n nx x x xa bx

Širine podintervalov so

1 0 2 11 12, , ..., n nnx x xx x xx x x

9

Znotraj vsakega podintervala izberimo vmesno točko

V i - tem podintervalu bo 1 ii ix x

( ).ii iP f x ploščina i-tega pravokotnika s širino in višino

ix( )if

Približna ploščina lika med krivuljo y = f(x) in abscisno osjo na intervalu [a,b] je

nP

1 21

1 2( ). ( ) ( ) ... ( )n

n ii

ni nx x xP f f f f x

10

Zaporedje je omejeno in konvergentno

1 2 3, , ,..., ,...nP P P P

Definicija

Določeni integral funkcjie y = f(x) na intervalu [a,b] je limita

zaporedja ,ko gre in širine podintervalov

nP n 0ix

Določeni integral funkcije na intrvalu [a,b] simbolično zapišemo

1

( ) ( )lim i

b n

in ia

f d fx x xP

11

Geometrično določeni integral funkcije y = f(x) na intervalu [a,b] določa ploščino lika med krivuljo in abscisno osjo na tem intervalu

a : spodnja meja integrala

b : zgornja meja integrala

12

1. Vrednost določenega integrala na danem intervalu je pozitivna, če je funkcija na tem intervalu pozitivna in negativna, če je funkcija na tem intervalu negativna :

( ) 0 ( ) 0b

a

x xf dxf

( ) 0 ( ) 0b

a

x xf dxf

13

2. Integracijsko spremenljivko smemo poljubno označiti

( ) ( ) ( )b b b

a a a

d dx x yf y df f t t 3. Če je funkcija y = f(x) zvezna na intervalu [a,b] in (a<c<b), potem velja

,c a b

( ) ( ) ( )b c b

a a c

d dx x xf x df f x x

14

4. Če v določenem integralu meji obrnemo, se mu predznak spremeni

( ) ( )b a

a b

f fx xdx x d

5. Vrednost določenega integrala je nič, če sta meji med seboj enaki

( ) 0a

a

x xdf

15

Funkcija y = f(x) naj bo zvezna na intervalu [a,b]

Če je in , potem velja ,

( )supa bx

M xf

,

inf ( )a bx

m xf

,xm f M a bx Poprečna vrednost določenega integrala je

1( )

b

a

x dxfb a

16

Velja

Eksistira vsaj ena vrednost takšna, pri kateri je

,x a b

1( ) ( )

b

a

f f dx xb a

17

Naj bo y = f(x) zvezna funkcija na intervalu [a,b] in F(x) njen nedoločeni integral

( ) ( )x xF f xdVrednost določenega integrala izračunamo

( ) ( ) ( ) ( )b

a

F Fb

b adx x xf Fa

Newton-Leibniz-ova formula

18

Ta zveza omogoča računanje določenega integrala funkcije, če poznamo nedoločeni integral funkcije

19

Računanje nedoločenih integralov naslonimo na računanje integralov elementarnih funkcij, ki jim pravimo elementarni integrali

20

Elementarni integrali

1. potenčna funkcija

1

1

nn x

Cx xdn

1n nR za n = 0

dx Cx

21

2. logaritemska funkcija

1lnx C

xd x x > 0

3. eksponentna funkcija

ln

xx x

aa d C

a

za a = e x xe d e Cx

22

4. cosinusna funkcija

cos sin Cx xd x  5. sinusna funkcija

sin cosx x Cxd 6. tangensna funkcija

2

1tan

cosdx Cxx

23

7. kotangensna funkcija

2

1

sindx xx

ctg C

8. arkus-sinusna funkcija

2

1arcsin

1xd x

xC

9. arkus-tangensna funkcija

2

1arctan

1xd x

xC

24

10. funkcija

2

1( )x

af

x

a R

2

2

1ln( )x x xd a C

ax

25

Naloga

Izračunati želimo neelementarni integral

( )xfI xdRešitev

Poiskati moramo funkcijo tako, da dobimo za I elementarni integral

x t

Ker je , dobimo nov integral ( )d dtx t

( ) ( )I t df t t

26

Pogosto je zvezo med x in t ugodneje iskati v obliki

t x

Zelo preprosto je izračunati integral

( )

( )

xx

x

f

fd

ali ( ) ( )x xf f xd

Vpeljemo novo spremenljivko t xfin ( )d dft x x

ln ln ( )d

C Ct

t xft

2 2 ( )

2 2d C Ct

ftt

x

dobimo

27

Metoda je zgrajena na formuli za odvod produkta dveh funkcij in je največkrat tudi v takšnih primerih uspešna

Izračunati moramo integral

( ) ( )f g dI x x xRešitev

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g f gx x x x x x x xfdI dg

obrazec per-partes

28

Naloga

Funkciji y = f(x) in y = g(x) oklepata lik v X-Y ravnini.

Izračunati moramo ploščino lika med njima

29

a b

y

x

f x g x

30

Rešitev

Glede na geometrijski pomen določenega integrala bo iskana ploščina

( ) ( )b b

a a

f gx x x dP d x

Točki a in b sta rešitvi enačbe f(x) = g(x)

31

Naloga

Želimo izračunati ploščino lika med krivuljo,določeno z funkcijo in ordinatno osjo na intervalu [c,d]

y xf

Rešitev

Funkcijo razrešimo na neodvisno spremenljivko x :

y xf x yg

Ploščina je

d

c

P dy yg

32

c

dy

x

y=f(x)

33

Lik, ki ga določa funkcija y = f(x) definirana na intervalu [a,b] z abscisno osjo, naj se vrti okrog nje. Na ta način dobimo telo, ki mu pravimo vrtenina.

Naloga

Izračunati moramo prostornino vrtenine.

34

y

x

a b

f x

35

Rešitev

Prostornino vrtenine izračunamo

2 ( )b

a

xV f dx

36

Naloga

Lik,ki ga omejuje krivulja določena s funkcijo vrtimo okrog ordinatne osi na intervalu [c,d]

y xf

X Y Z( )

37

Rešitev

Funkcijo razrešimo na neodvisno spremenljivko x : in izračunamo integral

y xf x yg

2d

c

ygV dy