INTEGRALI KONTUROR-J

Integrali konturor siç është theksuar edhe më parë është parametër që karakterizon shkatërrimin e materialeve (trupave) të cilët pësojnë deformim elastiko-plastik.

Rice (1968), duke e idealizuar deformimin elastiko-plastik si deformim elastik jolinear, vendosi bazat e zgjerimit të metodave (parametrave) të mekanikës së shkatërrimit jashtë zonës së kufizuar nga mekanika elastike lineare e shkatërrimit (MELSH).

Kanali Plasaritja

Zo

na

e p

roce

sit

të

shka

tërr

imit

Materiali bazë nativ

Sjellja elastike lineare (EL)

Sjellja elastike jolineare (NLE)

Sjellja elastiko-plastike (EP)

A-B-C ≠ C-D-A

Pra, materialet që shfaqin sjellje elastiko- plastike karakterizohen me viskozitet dinamik më të madh, përkatësisht me rezistencë më të madhe ndaj inicimit (krijimit) dhe përhapjes së plasaritjes, prandaj këto materiale i trajton mekanika elastiko-plastike e shkatërrimit (MEPSH).

Rice, pra në shqyrtimin e materialeve që shfaqin sjellje elastiko-plastike mori parasysh supozimin se shkarkimi ngjashëm si edhe ngarkimi është në të njejtën trajektore ose më mirë me thënë ai (Rice) nuk e mori parasysh shkarkimin real të trupit të deformuar.

Në lëmin e deformimit, fenomenet (dukuritë) e plasticitetit janë shumë më të ndërlikuara se fenomenet (dukuritë) e elasticitetit.

Gjatë deformimit elastik, në zonën lineare, sipas ligjit të Hook-ut nga deformimi mund të përcaktohet sforcimi dhe e kundërta, nga sforcimi mund të përcaktohet deformimi.

Gjatë deformimit plastik, sjellja e materialit është më e ndërlikuar në aspekt të krijimit të gjendjes së sforcuar dhe gjendjes së deformuar, pra sjellja e materialit është e varur nga historiku i deformimit.

Analiza e dukurisë së shkatërrimit të materialeve me sjellje elastiko-plastike është e shoqëruar me shumë komplikime që nuk janë evidente për sjelljen elastik të materialev.

Këto komplikime më shumë paraqiten në kuadër të zonës jolinera etë deformimit që shoqërohen edhe me ndryshime të mëdha të gjeometrisë së sipërfaqes së thyerjes.

Komplikim tjetër plotësues është edhe rrumbullakimi (topitja) e majës (ballit) të plasaritjes, që i paraprin përhapjes stabile të plasaritjes para shkatërrimit përfundimtar.

Komplikim tjetër është bashkëshoqërimi i me thyerje të brishtë (frazhile).

Kontribut të veçantë në përcaktimin e rezistencës së materialeve ndaj thyerjas ka dhënë edhe shkencëtari Rice nëpërmjet të ashtuquajturit integrali konturor J ose integrali i Rices (Raisit). Interpretimi fizik i rezistencës ndaj thyerjes konsiston në ndryshimin e energjisë potenciale gjatë përhapjes së plasaritjes.

Ky parametër për vlerësimin e rezistencës së materialeve ndaj thyerjes aplikohet për materialet të cilët pësojnë deformim elastiko-plastik.

J. R. Rice, Journal of Applied Mechanics, 1968.

(Related works: Eshelby, Progress in Solid State Physics1956;

Sanders, Journal of Applied Mechanics, 1960; Cherepanov,International Journal of Solid sand Structures, 1969).

J-integrali në esencë është puna (energjia) e deformimit plastik kur materiali deformohet. Në rastin konkret ky integral paraqet ndryshimin e energjisë potenciale të zgjerimit kuazistatik të plasaritjes.

Integrali J ndryshe quhet edhe integrali vijëzor ose integrali konturor rreth majës (rreth ballit të plasaritjes). Vlen te theksohet se ka një domethënie të veçantë në mekaniken elastiko-plastike të shkatërrimit (MEPSH).

Integrali konturor J është ekuivalent me KIC dhe G, që përdoren në kuadr të mekanikës elastike lineare të shkatërrimit (MELSH).

Nga ky prezantim shihet se integrali konturor është ekuivalent me G.

Integrali konturor (J) paraqet intensitetin (shkallën) e energjisë së absorbuar (harxhuar) për njësi të sipërfaqes gjatë zgjerimit të plasaritjes. Kjo pra nuk është energji që lirohet si në rastin e deformimit elastik, por është energji e cila harxhohet gjatë përhapjes (zgjerimit) të plasaritjes, nga se energjia e deformimit plastik është energji që nuk rigjenerohet.

Krijimi i zonës plastike në majën(ballin-frontin) e plasaritjes shfaq dy efekte:

-e zvogëlon koncentrimin e sforcimeve,

-absorbon një pjesë të energjisë së deformimit

Zona e deformuar

Energjia e deformimit

Kufiri i proprcionalitetit

Elastik jolinear

Elastik linear

Energjia e deformimit (shkatërrimit)

Energjia shkatërrimit

(thyerjes)

Deformimi

Sfo

rcim

i

Energjia e deformimit (shkatërrimit) elastik linear kur merret parasysh prezenca e plasaritjes

Trupi pa plasaritje

Trupi me plasaritje

Ndryshimi i energjisë gjatë përhapjes së plasaritje

Zhvendosja ose(�)

Fo

rca

Sipërfaqja e trekëndëshit �OAB paraqet energjinë (punën) e deformimit që i është komunikuar materialit (trupit) për ta deformuar (energjia e e brendshme-deponuar-magazinuar) në material (trup).

Gjatë ekzistimit dhe hapjes së plasaritjes, energjia e deformimit përkufizohet me sipërfaqen e trekëndëshit �OCB.

Nga kjo rrjedh se diferenca �OAB- �OCB= �OAC paraqet energjinë e liruar gjatë procesit të përhapjes së plasaritjes.

Nëse supozohet se gjatë procesit të përhapjes së plasaritjes lirohet energji, atëhere mund të konkludohet se ngarkesa në këtë rast mbetet konstante:

Zhvendosja

ose(�)Fo

rca

Në këtë rast forca forca mbetet konstante por lirohet energjia (puna), që përshkruhet me sipërfaqen e katërkëndëshit □ABED.

Diferenca e sipërfaqes së trekëndëshave:

�OAD- �OAC= �ACDNga ana tjetër kjo sipërfaqe është ekuivalente me 1/2�P�δ, pra:�ACD= 1/2�P�δ

Vlen të theksohet se kjo sipërfaqe është shumë e vogël, andaj shpeshherë merret se:�OAD= �OAC

Ngjashëm si te sjellja elastike, edhe te sjellja elastiko plastike mund të përcaktohet energjia e deformimit nga sipërfaqja që përshkruhet me kurbat ngarkesa-zhvendosja:

Zhvendosja

Ng

arke

sa

Deformimi elastiko-plastik

Zhvendosja

Ng

arke

sa

Metoda numerike e përcaktimit të integralit konturor

W-energjia e deformimitT-vektori i tërheqjesS-trajektorja (rruga) që përshkruan

integralids- pjesë elementare e harkut të

trajektoresu-vektori i zhvendosjes

Për materiale me zonë elastike linare, integrali konturor (J) është i barabartë me faktorin e energjisë, përkatësisht me intensitetin e lirimit të energjisë (G):

Për materiale me zonë elastiko plastike, integrali konturor (J) është i barabartë me:

U-energjia potenciale e sistemit,

A-sipërfaqja e plasaritjes.

Integrali konturor-J përshkruhet me dy veti kryesore të cilat kanë kuptim të caktuar fizik:

1-Integrali konturor përgjatë një konture të mbyllur është i barabartë me zero. Nëse merret parasysh plasaritja atëhere rrjedh se ajo shkakton ndërprerje të konturës, andaj integrali konturor në këtë rast nuk është zero dhe mund të ofrojë vlera të caktuar që i referohen harxhimit të energjisë për shkak të krijimit të plasaritjes.

2-Integrali konturor ësht i pavarur nga trajektorja (kontura-path independent). Kjo do të thotë se përzgjedhja e (trajektores-konturës) për përcaktimin e J-integralit nuk është e rëndësishme. Për këtë përzgjedhet trajektorja(kontura) më e volitshme për qëllime të përcaktimit të vlerës përkatëse.

Γ1

Γ2

Γ3

Γ4

nj

y

x

nj

mj

Crack faces

∫Γ+Γ+Γ+Γ

=+++=

∂∂−=

4321

043211

1 JJJJdsnx

uWnJ jij

i σ

Rice (1968) showed a mathematical presentation to prove the path-independency of the J-integral.

µ2

2

'

2

'

2

IIIIII K

E

K

E

KGJ ++==

For a linear elastic, isotropic material

PËRCAKTIMI EKSPERIMENTAL I INTEGRALIT KONTUROR-J

Siç është theksuar edhe më parë integrali konturorë është parametër i mekanikës elastiko-plastike të shkatërrimit dhe është definuar metoda përkatëse për përcektimin e eksperimental të këtijë parametri.

Ekzistojnë dy metoda për përcaktimin e integralit konturor:

-metoda me një mostër (kampion)

-metoda me dy ose më shumë mostra (kampione).

Metoda me një mostër (kampion)

Kjo metodë konsiston në përcaktimin e inegralit konturorë në një mostër kampion ka analizohet dhe përcjellet (monitorohet) përhapja e një plasaritje me përmasa më të mëdha. Për këtë duhet të përdoren pajisje të sofistikuara dhe me ndjeshmëri të lartë të përcjelljes së hapjes (zhvillimit) të plasaritjes. Gjatë këtij përcaktimi mund të përcjellet edhe ndryshimi i energjisë potenciale dhe kapaciteti i dobësimit të rezistencës së materialit ndaj deformimit.

Lakorja ngarkesa-zhvendosja me shkarkime të njëpasnjëshme

Zhvendosja

Shkarkimi i pjesërishëm

Metoda me dy dhe më shumë mostra (kampione)

Kjo metodë është zbuluar dhe përsosur nga shkencëtarët: Landers dhe Begly, dhe kontributi i tyre solli edhe standardizimin e kësaj metode për përcaktimin e integralit konturor-J sipas standardit ASTM E 813 (ASTM E 813 *Standard Test method for JIC, a measure of fracture toughness* American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1987.).

Vlen të theksohet se aktualisht përdoret edhe standardi ASTM E 1737-96: Standard Test Method for J Integral Characterisation of Fracture Toughness.

Ky standard sintetizon dy standarde paraprake dhe ate: ASTM E 813 *Standard Test method for JIC, a measure of fracture toughness dhe ASTM E 1152-87- Standard Test Method for Determining J-R Curve.

Çdo mostër i nënshtrohet procesit të ngarkimit dhe shkarkimit sipas skemës në vazhdim:

Mos

tra

1

Mo

stra

2M

ostr

a 3

Mo

stra

4

Përhapja stabile e plasaritjes

Paraplasaritja e krijuar me lodhje

Zhvendosja (V ose 𝚫) Zhvendosja (V ose 𝚫)

Pas procesit të ngarkim shkarkimit bhet nxehja deri në një temperaturë të caktuar me qëllim të kontrastimit të sipërfaqes së thyerjes të shkaktuar nga paraplasaritja dhe nga zhvendosja stabile e plasaritjes.

Përmasa e gjatësisë së plasaritjes (ao) dhe e distancës së zhvendosjes së saj (𝚫a) për shkak të krijimit të konturës së rrumbullakuar duhet të matet më shumë, përkatësisht së paku nëntë(nëntë) herë dhe të caktohet vlera mesatare algjebrike e saj, që do të shenjohet me (ap) dhe do të emërtohet si vlera fizike e gjatësisë.

Drejtimi i plasaritjes

Pjesa e kanalit e punuar me gëdhendje

Drejtimi i plasaritjes

Zona e paraplasaritjes e krijuar me lodhje

Zona e thyerjes duktile

Zona e thyerjes së brishtë

Zona e tërheqjes

Për mostra (CT) vlera e integralit konturor përcaktohet nga relacioni:

ku:

E- moduli i elasticitetit,

K-faktori i intensitetit të sforcimit,

ν-koeficienti i Puasonit

Jpl- komponenta plastike e Integralit konturor-J

Vlera e komponentës plastike të integralit konturor (Jpl) që për këtë rast është vlera determinuese e përcaktimit të vlerës së përgjithshme të integralit konturor, përcaktohet nga relacioni:

ku:

Apl-energjia ( puna) e harxhuar për realizimin e deformimit plastik, e cila poashtu është e definuar në kuadër të standardit ASTM E 813. Kjo energji është sipërfaqja nën lakoren P-𝚫 ose P-V.

Integrali konturor-J mund të përcaktohet edhe me ndihmën e mostrave SENB, figura në vazhdim:

Në këtë rast vlera e integralit konturor-J përcaktohet me ndihmën e relacionit:

U-energjia që përfaqëson sipërfaqen që përshkruhet nga varësia e kurbës ngarkesa zhvendosja:

U

Varësia tipike e ngarkesës me zhvendosjen e plasaritjes gjatë përcaktimit të integralit konturor-J, prezantohet me lakoren si në vazhdim:

Rrumbullakimi (Topitja)

Ng

arke

sa

Zhvendosja

Krijimi

Përhapja stabilePërhapja jostabile

Pjesa e lakores që i dedikohet ligamentit të mostrës

Aparaturë për përcaktimin e J-integralit