of 23 /23
Capitolo 7 Integrali doppi In questo capitolo studieremo gli integrali per funzioni di pi` u variabili: pi` u precisamente ci occuperemo degli integrali di funzioni di due variabili (dunque integrali doppi), ma piccole varianti dei concetti che verranno introdotti permettono di studiare gli integrali di funzioni di tre e pi` u variabili. 7.1 Motivazioni Come per il caso degli integrali di funzioni di una variabile, il procedimento di integrazione per funzioni di due variabili nasce in modo naturale nelle applicazioni. 1. Il calcolo di un volume Consideriamo una funzione f (x,y ) continua, positiva e definita su un dominio rettangolare D =[a,b] × [c,d]. Per calcolare il volume della zona determinata dal grafico di f e dal piano xy e con base D, si procede in maniera analoga a quanto visto per il problema dell’area per funzioni di una variabile: si suddividono [a,b]e[c,d] tramite due suddivisione T e S T = {a = t 0 <t 1 < ··· <t n+1 = b} e S = {c = s 0 <s 1 < ··· <s m+1 = d}, 167

Capitolo 7 Integrali doppi - alessandro-giacomini.unibs.italessandro-giacomini.unibs.it/lucidi/intdoppi0708.pdf · Capitolo 7 Integrali doppi In questo capitolo studieremo gli integrali

  • Author
    lykien

  • View
    230

  • Download
    9

Embed Size (px)

Text of Capitolo 7 Integrali doppi -...

  • Capitolo 7

    Integrali doppi

    In questo capitolo studieremo gli integrali per funzioni di piu variabili: piu precisamente cioccuperemo degli integrali di funzioni di due variabili (dunque integrali doppi), ma piccolevarianti dei concetti che verranno introdotti permettono di studiare gli integrali di funzionidi tre e piu variabili.

    7.1 Motivazioni

    Come per il caso degli integrali di funzioni di una variabile, il procedimento di integrazioneper funzioni di due variabili nasce in modo naturale nelle applicazioni.

    1. Il calcolo di un volume Consideriamo una funzione f(x, y) continua, positiva edefinita su un dominio rettangolare D = [a, b] [c, d]. Per calcolare il volume dellazona determinata dal grafico di f e dal piano xy e con base D, si procede in manieraanaloga a quanto visto per il problema dellarea per funzioni di una variabile: sisuddividono [a, b] e [c, d] tramite due suddivisione T e S

    T = {a = t0 < t1 < < tn+1 = b}

    e

    S = {c = s0 < s1 < < sm+1 = d},

    167

  • 168 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    a t1 t2 b x

    y

    d

    s3

    s2

    s1

    c

    si sceglie un valore i,j nel rettangolo [ti, ti+1] [sj, sj+1] e si ottiene

    V V =

    i,j

    f(i,j)(ti+1 ti)(sj+1 sj).

    Raffinando le suddivisioni T e S, V sara unapprossimazione sempre migliore di V .

    2. Calcolo della massa di una lastra Supponiamo di avere una lastra rettangolareD = [a, b] [c, d], e supponiamo che (x, y) sia la densita di massa per unita disuperficie nel punto (x, y): cio significa che un piccolo rettangolo di lati e vicinoa (x, y) ha una massa

    m, (x, y).La funzione (x, y) non e supposta continua: in questo modo possiamo tenere in contoil caso interessante dei corpi compositi, cioe composti di diversi materiali. Analoga-mente a quanto visto nel caso di una variabile, date due suddivisioni T e S di [a, b]e [c, d], la massa m della lastra e approssimata da

    M M =

    i,j

    (i,j)(ti+1 ti)(sj+1 sj)

    dove i,j appartiene al rettangolo [ti, ti+i] [sj , sj+1]. Raffinando T e S, abbiamo cheM e unapprossimazione sempre migliore di M .

    3. Calcolo della superficie di una regione piana Il procedimento precedente puo es-sere utilizzato anche per calcolare la superficie di regioni curve. Lidea e questa: se Ee una regione piana limitata con bordo curvilineo, eD e un rettangolo che la contiene,possiamo considerare la funzione 1E(x, y) definita da

    1E(x, y) =

    {

    1 se (x, y) E0 se (x, y) D \ E.

    La regione determinata dal grafico di 1E ed il piano xy e un cilindro di base E edaltezza costante pari a 1: dunque il suo volume e pari numericamente allarea di E.

  • 7.2. DEFINIZIONE DI INTEGRALE 169

    x

    y

    z

    E

    Potendosi calcolare il volume tramite il procedimento di approssimazione visto prima,concludiamo che anche larea di E puo approssimarsi in modo simile.

    7.2 Definizione di integrale

    Motivati dai discorsi precedenti, possiamo formalizzare, in perfetta analogia con il ca-so monodimensionale, il concetto di integrale doppio per funzioni limitate definite surettangoli.

    1. Sia D = [a, b] [c, d], e sia f : D R una funzione limitata. Date due suddivisioniT = {a = t0 < t1 < < tn+1 = b} e S = {c = s0 < s1 < < sm+1 = d} di[a, b]e [c, d] rispettivamente, si dicono somma inferiore e somma superiore di frispetto alla griglia T S le quantita

    (f, T S) :=

    i,j

    (

    inf[ti,ti+1][sj ,sj+1]

    f

    )

    (ti+1 ti)(sj+1 sj)

    e

    (f, T S) :=

    i,j

    (

    sup[ti,ti+1][sj,sj+1]

    f

    )

    (ti+1 ti)(sj+1 sj)

    2. Diciamo integrale inferiore ed integrale superiore di f i valori

    I (f) = supT,S

    (f, T S)

    e

    I (f) = infT,S

    (f, T S).

    3. La definizione di integrabilita e di integrale doppio e la seguente.

  • 170 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    Definizione 7.1 (Funzioni integrabili e integrale doppio). Sia D = [a, b][c, d].Diciamo che una funzione limitata f : D R e integrabile secondo Riemann seI (f) = I (f). Tale valore si indica con

    D

    f(x, y) dxdy o

    b

    a

    d

    c

    f(x, y) dxdy,

    e si dice lintegrale doppio di f su D.

    Come nel caso unidimensionale si ha la seguente condizione dintegrabilita .

    Proposizione 7.2 (C.n.s. per lintegrabilita ). Condizione necessaria e sufficien-te affinche una funzione limitata f : [a, b][c, d] R sia integrabile secondo Riemanne che per ogni > 0 esistano una suddivisione T di [a, b] ed una suddivisione S di[c, d] tali che

    (f, T S) (f, T S) < .

    Il significato geometrico della condizione precedente e il seguente: e possibile ricopri-re la superficie z = f(x, y) con (x, y) D tramite una famiglia di parallelepipediassociati ad una grigli di suddivisione di D la somma dei cui volumi e piccola apiacere.

    4. La classe delle funzioni integrabili e molto ampia. Ragionando come nel caso uni-dimensionale, si vede che risultano certamente integrabili le funzioni continue.Abbiamo visto che sono interessanti anche le funzioni discontinue. Una classe chericorre nelle applicazioni e quella delle funzioni continue a tratti. La definizionedi funzione continua a tratti in un dominio bidimensionale imita quella gia vista inuna variabile. Siano A1, A2, . . . , An insiemi aperti disgiunti contenuti in D e tali che

    (7.1)n

    j=1

    Aj = D

    Una funzione f : D R si dice continua a tratti in D se esistono una famiglia diaperti A1, A2, . . . , An che soffisfa (7.1) e delle funzioni continue f1, f2, . . . , fn : D Rtali che f = fj su ogni Aj.

  • 7.3. I DOMINI NORMALI RISPETTO AGLI ASSI 171

    Aj

    Per una condizione di integrabilita per funzioni continue a tratti, rinviamo alla sezione7.4.

    5. Lintegrale doppio gode delle proprieta di linearita

    D

    (af + bg) dxdy = a

    D

    f dxdy + b

    D

    g dxdy,

    e di confronto, cioe se f g

    D

    f dxdy

    D

    g dxdy.

    In particolare, si ha

    D

    f dxdy

    D

    |f | dxdy.

    7.3 I domini normali rispetto agli assi

    In questa sezione introduciamo una classe di insiemi essenziali nello studio degli integralidoppi e nelle loro applicazioni.

    1. Supponiamo che , : [a, b] R siano due funzioni tali che

    x [a, b] : (x) (x).

    La regione di piano determinata da e puo essere descritta dalla formula

    E = {(x, y) R2 : a x b, (x) y (x)}.

    Si dice che E e un dominio normale rispetto allasse delle x.

  • 172 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    y = (x)

    x

    y

    a b

    y = (x)

    2. Similmente, se , : [c, d] R sono due funzioni tali chey [c, d] : (y) (y),

    diciamo che linsieme

    F = {(x, y) R2 : c y d, (y) x (y)}e un dominio normale rispetto allasse delle y.

    x

    y

    d

    c

    x = (y)

    x = (y)

    3. Un insieme nel piano puo talvolta essere visto come un dominio normale sia rispettoallasse delle x che allasse delle y. Ad esempio il triangolo T determinato da (0, 0),(1, 0) e (1, 1)

    (1, 0)

    (1, 1)y = x

  • 7.4. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE SU UN INSIEME 173

    puo essere descritto sia nella forma

    T = {(x, y) R2 : 0 x 1, 0 y x}

    che nella forma

    T = {(x, y) R2 : 0 y 1, y x 1}.Altri domini invece non sono normali ne rispetto ad un asse, ne rispetto allaltro: adesempio questo e il caso di una corona circolare.

    7.4 Integrale di una funzione f su un insieme E

    Nelle applicazioni e utile poter integrare funzioni non solo su rettangoli, ma anche su in-siemi piu generali (cerchi, ellissi...). E pertanto opportuno estendere il procedimento diintegrazione su insiemi con bordi curvilinei.

    1. Come abbiamo visto nella sezione delle motivazioni (parlando di area di regioni pia-ne), data una funzione integrabile f : D R con D = [a, b] [c, d], un modoragionevole per definire il suo integrale su un insieme E D e quello di porre

    E

    f dxdy =

    D

    f1E dxdy.

    x

    y

    z

    D

    E

    z = f(x, y)

  • 174 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    In questo modo, ponendo f uguale a zero fuori di E, ci si concentra solo su quantoaccade nellinsieme E. La definizione risulta ben posta se f1E e una funzione integra-bile: cio e garantito se 1E risulta integrabile, perche il prodotto di funzioni integrabilirisulta integrabile.

    2. Gli insiemi tali che 1E sia integrabile si dicono insiemi misurabili secondo Rie-mann. Pertanto e ben definita lintegrazione su insiemi di questo tipo. Dallinter-pretazione geometrica dellintegrabilita , e dalla forma particolare del grafico di 1E,si vede che lintegrabilita secondo Riemann e equivalente al fatto che il bordo di Epossa essere ricoperto mediante una famiglia finita di rettangoli la somma delle cuiaree e piccola a piacere. Cio viene sintetizzato dicendo che E ha area nulla. Dun-que possiamo concludere che lintegrabilita secondo Riemann di un insiemee equivalente al fatto che il suo bordo abbia area nulla.

    Sono sicuramente misurabili secondo Riemann gli insiemi normali rispettoagli assi determinati da funzioni integrabili di una variabile. Questo discendeimmediatamente dal fatto che i bordi di tali insiemi sono costituiti da due segmentie da due curve: i segmenti hanno chiaramente area nulla; le curve pure hanno areanulla perche cio discende dallintegrabilita delle due funzioni.

    3. Torniamo allintegrabilita delle funzioni continue a tratti f : D R a cui abbiamoaccennato nella Sezione 7.2: se A1, . . . , An e f1, . . . , fn sono gli insiemi aperti in D ele funzioni continue associate a f secondo la definizione di funzione continua a tratti,si ha

    f =

    n

    j=1

    fj1Aj + g

  • 7.4. INTEGRALE DI UNA FUNZIONE SU UN INSIEME 175

    dove g e non nulla solo sunj=1 Aj . Supponiamo che A1, . . . , An siano integrabili

    secondo Riemann. Allora ogni funzione fj1Aj e integrabile secondo Riemann, edessendo

    nj=1 Aj di area nulla, una verifica diretta mostra che anche g lo e . Dunque

    f risulta integrabile in quanto somma di funzioni integrabili. Essendonj=1 Aj di

    area nulla, gli insiemi aperti A1, . . . , An formano essenzialmente una partizione di D(rimane escluso solo un insieme di area nulla). Possiamo riassumere la condizionetrovata dicendo che una funzione continua a tratti e integrabile se i bordidella partizione associata sono di area nulla. Cio accade ad esempio se Aj halunghezza finita.

    4. Siano D = [a, b] [c, d], E1, E2 D insiemi misurabili secondo Riemann, e sianof, g : D R funzioni integrabili. Valgono le seguenti proprieta :

    (a) se E1 E2 =

    E1E2f dxdy =

    E1

    f dxdy +

    E2

    f dxdy;

    (b) se E1 E2

    E2\E1f dxdy =

    E2

    f dxdy

    E1

    f dxdy;

    (c) se f(x, y) g(x, y) per ogni (x, y) E,

    E

    f dxdy

    E

    g dxdy;

    (d) se E ha area nulla

    E

    f dxdy = 0;

    (e) si ha

    E

    f dxdy

    E

    |f | dxdy;

    (f) se E1 E2 = e

    h(x, y) =

    f(x, y) se (x, y) E1g(x, y) se (x, y) E20 se (x, y) D \ (E1 E2),

    h e integrabile e

    E1E2h dxdy =

    E1

    f dxdy +

    E2

    g dxdy.

  • 176 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    5. Come nel caso di funzioni di una variabile, la simmetria della funzione f(x, y) puo age-volare il calcolo di un integrale doppio. Per esempio se f(x, y) e una funzione pariin x

    f(x, y) = f(x, y),

    ed E e un insieme misurabile simmetrico rispetto allasse delle y, cioe

    (x0, y0) E = (x0, y0) E

    si ha

    E

    f(x, y) dxdy = 2

    E+f(x, y) dxdy,

    dove

    E+ := {(x, y) E : x > 0}.

    Geometricamente, il risultato dice semplicemente che la regione dello spazio di cuidobbiamo calcolare il volume e simmetrica rispetto al piano x = 0, per cui tale volumee semplicemente il doppio del volume della regione nel semispazio x 0.

    x

    y

    z

    E

    z = f(x, y)

    Similmente si ha che se f(x, y) e una funzione dispari in x, cioe

    f(x, y) = f(x, y)

    ed E e un insieme misurabile simmetrico rispetto allasse delle y, allora si ha

    E

    f(x, y) dxdy = 0.

    Geometricamente, il risultato dice semplicemente che le due regioni appartenenti aisemispazi x 0 e x 0 hanno lo stesso volume ma con segno differente.

  • 7.5. FORMULE DI RIDUZIONE 177

    x

    y

    z

    E

    z = f(x, y)

    Analoghe considerazioni si possono fare se f ha una particolare simmetria in y ed ildominio E e simmetrico rispetto allasse dell x.

    7.5 Formule di riduzione

    Fino a questo momento non abbiamo un metodo pratico per calcolare un integrale doppioche non sia quello di applicare la definizione. Le formule di riduzione di cui ci occupiamoin questa sezione, permettono di ridurre il calcolo di un integrale doppio al calcolo di dueintegrali per funzioni di una variabile.

    1. Le formule di riduzione consistono nellintegrare prima rispetto ad una variabile epoi rispetto ad unaltra.

    Proposizione 7.3 (Formule di riduzione). Sia D = [a, b] [c, d], e sia f : D Runa funzione integrabile. Supponiamo che per ogni x [a, b] lapplicazione y f(x, y) sia integrabile su [c, d]. Allora lapplicazione

    x d

    c

    f(x, y) dy

    e integrabile sullintervallo [a, b] e si ha

    b

    a

    d

    c

    f(x, y) dxdy =

    b

    a

    ( d

    c

    f(x, y) dy

    )

    dx.

    Similmente se per ogni y [c, d] lapplicazione x f(x, y) e integrabile su [a, b],allora lapplicazione

    y b

    a

    f(x, y) dx

    e integrabile sullintervallo [c, d] e si ha

    b

    a

    d

    c

    f(x, y) dxdy =

    d

    c

    ( b

    a

    f(x, y) dx

    )

    dy.

  • 178 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    Linterpretazione geometrica della prima formula di riduzione e la seguente (in manie-ra analoga si ragiona per la seconda): si seziona la regione tridimensionale A sottesadalla superficie z = f(x, y) con piani del tipo x = k, ottendo una regione piana Axdi cui si calcola larea. Il volume di A si ottiene integrando rispetto a x le aree di Axal variare di x in [a, b].

    Ax

    z = f(x, y)

    x

    y

    z

    Dimostrazione. Vediamo la dimostrazione della prima formula di riduzione (per laseconda il ragionamento e analogo). Poiche per ogni x [a, b] lapplicazione y f(x, y) e integrabile su [c, d], e ben definita la funzione

    g(x) =

    d

    c

    f(x, y) dy.

    La tesi e dimostrata se vediamo che g e integrabile e che

    b

    a

    g(x) dx =

    b

    a

    d

    c

    f(x, y) dxdy.

    Siano T e S due suddivisioni di [a, b] e [c, d]

    T = {a = t0 < t1 < < tn+1 = b}

    e

    S = {c = s0 < s1 < < sm+1 = d}.Notiamo che per definizione di integrale si ha

    g(x) =

    d

    c

    f(x, y) dy (f(x, ), S) =m

    j=0

    (

    infy[sj ,sj+1]

    f(x, y)

    )

    (sj+1 sj)

  • 7.5. FORMULE DI RIDUZIONE 179

    e dunque

    infx[ti,ti+1]

    g(x) m

    j=0

    (

    inf[ti,ti+1][sj,sj+1]

    f

    )

    (sj+1 sj).

    Concludiamo che

    (g, T ) =n

    i=0

    (

    infx[ti,ti+1]

    g(x)

    )

    (ti+1 ti)

    n

    i=0

    m

    j=0

    (

    inf[ti,ti+1][sj ,sj+1]

    f

    )

    (ti+1 ti)(sj+1 sj) = (f, T S)

    cioe che (g, T ) (f, T S). Similmente si dimostra che

    (f, T S) (g, T ).

    Passando al sup e allinf sulle possibili suddivisioni T e S otteniamo le disuguaglianze

    I (f) I (g) e I (g) I (f).

    Poiche f e integrabile su D, si ha

    I (f) = I (f) = b

    a

    d

    c

    f(x, y) dxdy

    per cui deduciamo

    b

    a

    d

    c

    f(x, y) dxdy I (g) I (g) b

    a

    d

    c

    f(x, y) dxdy.

    Abbiamo dunque che g e integrabile e che

    b

    a

    g(x) dx =

    b

    a

    d

    c

    f(x, y) dxdy

    che e la tesi.

    Vediamo un esempio di applicazione delle formula di riduzione.

    Esempio 7.4. Se D = [0, 1] [0, 2], si ha

    D

    xy dxdy =

    1

    0

    2

    0

    xy dxdy =

    1

    0

    ( 2

    0

    xy dy

    )

    dx

    =

    1

    0

    [

    xy2

    2

    ]2

    0

    dx =

    1

    0

    2x dx =[

    x2]1

    0= 1.

  • 180 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    2. Le formule di riduzione su un rettangolo forniscono le formule di riduzione perdomini normali rispetto agli assi. Se ad esempio E e un dominio normale rispettoallasse delle x determinato da due funzioni integrabili (x) e (x) con a x b, siha che lintegrale di una funzione integrabile f su E e dato da

    E

    f(x, y) dxdy =

    b

    a

    (

    (x)

    (x)

    f(x, y) dy

    )

    dx.

    Similmente se F D e un dominio normale rispetto allasse delle y individuato dallefunzioni integrabili , : [c, d] R, si ha

    F

    f(x, y) dxdy =

    d

    c

    (

    (y)

    (y)

    f(x, y) dx

    )

    dy.

    x

    yy = (x)

    a b

    y = (x)

    x

    y

    d

    c

    x = (y)

    x = (y)

    Tali formule si deducono immediatamente dalle formule di riduzione nel rettangolo.Ad esempio, per quanto riguarda i domini normali rispetto allasse x, basta notare chela sezione Ax della zona determinata da f con base E e semplicemente la zona sottoil grafico di f(x, y) sullintervallo [(x), (x)]: dunque larea di Ax e semplicemente

    (x)

    (x)

    f(x, y) dy

    e quindi lintegrale doppio si ottiene integrando tale quantita rispetto a x [a, b].

    xy

    z

    (x)

    (x)x = b

    x = a

    Ax

    z = f(x, y)

  • 7.5. FORMULE DI RIDUZIONE 181

    Esempio 7.5. Calcoliamo lintegrale doppio

    E

    (x+ y) dxdy

    dove E = {(x, y) R2 : 0 x 1, 0 y x2}.

    x

    y

    1

    y = x2

    0

    Si ha

    E

    (x+ y) dxdy =

    1

    0

    (

    x2

    0

    (x+ y) dy

    )

    dx =

    1

    0

    [

    xy +y2

    2

    ]x2

    0

    dx

    =

    1

    0

    (

    x3 +x4

    2

    )

    dx =

    [

    x4

    4+x5

    10

    ]1

    0

    =1

    4+

    1

    10=

    7

    20.

    3. Notiamo che tramite le formule di riduzione possiamo riottenere un risultato gia vistostudiando gli integrali di una variabile: precisamente larea del dominio normalerispetto allasse x dato da

    E = {(x, y) R2 : a x b, g(x) y f(x)}

    y = f(x)

    x

    y

    a b

    y = g(x)

  • 182 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    e data chiaramente dalla differenza delle aree determinate dai grafici di f e g, cioe b

    a

    [f(x) g(x)] dx.

    Tramite gli integrali doppi e le formule di riduzione si ha

    Area(E) =

    E

    dxdy =

    b

    a

    (

    f(x)

    g(x)

    dy

    )

    =

    b

    a

    [f(x) g(x)] dx

    e si ottiene precisamente la stessa formula.

    7.6 Formula del cambiamento di variabili

    In questa sezione ci occupiamo dellanalogo per gli integrali doppi della formula dintegra-zione per sostituzione per funzioni di una variabile.

    1. Iniziamo con il definire cosa intendiamo per cambiamento di coordinate. Sia Uun aperto di R2, e diciamo (x, y) il suo generico punto. Cambiare le coordinate in Usignifica passare a nuove coordinate u, v legate alle vecchie da una relazione del tipo

    {

    x = 1(u, v)

    y = 2(u, v).

    Al variare di (x, y) in U , le coordinate (u, v) descrivono un insieme V . Si dice che e un cambiamento di coordinate di classe C1 se : V U e unapplicazione di classeC1, invertibile e tale che linversa 1 : U V sia di classe C1. Il cambiamento dicoordinate puo anche essere pensato come una trasformazione tra V e U la cui leggee data da , e che ammette inversa 1.

    (u, v)

    (x, y)

    V

    U

    1

    Esempio 7.6. Ad esempio{

    x = u+ 2v

    y = u+ v

    e un cambiamento di coordinate di classe C1 in R2 il cui inverso e dato da{

    u = 2y xv = x y.

  • 7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI 183

    Esempio 7.7 (Le coordinate polari). Sono molto utili nelle applicazioni le coor-dinate polari piane: si descrive (x, y) tramite (r, ) dove r e la lunghezza del vettoredeterminato da (x, y), e e langolo che esso determina con lasse delle ascisse comein figura.

    r

    (x, y)

    x

    y

    Se descriviamo ad esempio linsieme

    U = {(x, y) R2 : 1 x2 + y2 4, x 0}

    x

    y

    tramite le coordinate polari, otteniamo che (r, ) variano nel rettangolo V

    1 r 2 e 2

    2.

    2. Diciamo jacobiano del cambiamento di coordinate lapplicazione J : V Rdefinita da

    J(u, v) = det

    (

    1u

    1v

    2u

    2v

    )

    .

    Possiamo dare un significato geometrico a |J(u, v)| nel seguente modo.

  • 184 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    1(t)

    2(t)

    u

    v

    x

    y

    Se prendiamo un quadrato Q di lato molto piccolo con un vertice in (u0, v0),tramite esso viene trasformato in un poligono A a lati curvilinei: in particolare ilsegmento (u0 + t, v0) con 0 t viene modificato nella curva

    1(t) = (1(u0 + t, v0),2(u0 + t, v0))

    mentre il segmento (u0, v0 + t) con 0 t viene modificato nella curva

    2(t) = (1(u0, v0 + t),2(u0, v0 + t)).

    Per piccolo, queste due curve sono ben approssimate dalla rette tangenti in (x0, y0) =(u0, v0) le cui direzioni sono date da

    1(0) =

    (

    1x

    (u0, v0),2x

    (u0, v0)

    )

    e

    2(0) =

    (

    1y

    (u0, v0),2y

    (u0, v0)

    )

    .

    1(0)

    2(0)

    (x0, y0)

    x

    y

    Dunque si ha per piccolo e per 0 t

    1(t) 1(0) + t1(0) = (x0, y0) + t1(0)

    e

    2(t) 2(0) + t2(0) = (x0, y0) + t2(0)

  • 7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI 185

    Quindi larea di A e approssimata dallarea del parallelogramma con un vertice in(x0, y0) e con lati dati da

    1(0) e

    2(0): ricordando il significato del prodotto

    vettoriale tra due vettori, questarea e data da

    |1(0) 2(0)| = 2|1(0) 2(0)|.Ma

    |1(0) 2(0)| = |J(u0, v0)|.Dunque |J(u0, v0)| puo essere interpetrato come il rapporto

    |J(u0, v0)| = lim0

    Area(A)

    Area(Q).

    3. Possiamo ora enunciare lanalogo dellintegrazione per sostituzione per gli integralidoppi.

    Proposizione 7.8 (Cambiamento di variabili). Siano U, V due aperti di R2, esia : V U un cambiamento di coordinate di classe C1. Sia f : U R unafunzione continua. Allora per ogni insieme misurabile secondo Riemann E U taleche E U , si ha che 1(E) e misurabile e

    E

    f(x, y) dxdy =

    1(E)

    f(1(u, v),2(u, v))|J(u, v)| dudv.

    In particolare, scegliendo f = 1 si ha

    Area(E) =

    1(E)

    |J(u, v)| dudv.

    La dimostrazione rigorosa della formula del cambiamento di variabili e complessa,ma lidea che ne sta alla base e tutta contenuta nel significato geometrico del termine|J(u, v)| che abbiamo visto al punto precedente. Infatti una somma di Riemanndellintegrale a secondo membro rispetto ad una quadrettatura nel piano (u, v) conquadrati Qij di lato e con il vertice in basso a sinistra dato da (uij, vij) e data da

    S =

    i,j

    f((uij, vij))|J(uij, vij)|Area(Qij ).

    Ma se (uij , vij) = (xij , yij), e Aij e il trasformato tramite di Q

    ij , allora grazie al

    significato geometrico di |J|, per piccolo tale somma e prossima a

    S

    i,j

    f(xij , yij)Area(Aij ).

    Il secondo membro e una somma di Riemann per lintegrale a primo membro relativoad una quadrettatura curvilinea nel piano xy data dai quadrilateri curvilinei Aij epertanto S approssima lintegrale doppio iniziale.

  • 186 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    Qij

    Aij

    v

    u

    y

    x

    Esempio 7.9. Calcoliamo

    T

    (x y)21 + (x y)2 dx dy

    doveT = {(x, y) R2 : 0 x 2, 0 x y 2}.

    Facciamo il cambiamento di variabili{

    x = u

    x y = v ={

    x = u

    y = u v

    cioe (u, v) = (u, u v). Si ha

    J(u, v) = det

    (

    1 01 1

    )

    = 1.

    Linsieme T diventa linsieme

    0 u 2, 0 v 2

    per cui

    I =

    2

    0

    2

    0

    v2

    1 + v2du dv = 2

    2

    0

    v2

    1 + v2dv = 2

    2

    0

    1 11 + v2

    dv

    = 2 [v arctan v]20 = 2(2 arctan 2).

    4. Nel caso delle coordinate polari piane si ha che J(r, ) = r cos che si ha

    E

    f(x, y) dxdy =

    1(E)

    f(r cos , r sin )rdrd.

    Esempio 7.10. Consideriamo

    I =

    T

    x2 dx dy

    dove T = {(x, y) R2 : x2 + y2 4, x 0, y 0}.

  • 7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI 187

    x

    y

    x2 + y2 = 4

    Allora con il cambiamento di coordinate polari, abbiamo che T diventa linsieme

    S = [0, 2] [0, /2]

    e dunque

    I =

    S

    (r2 cos2 )r dr d =

    2

    0

    2

    0

    r3 cos2 dr d

    =

    2

    0

    2

    0

    r31 + cos 2

    2drd =

    2

    0

    r3[

    2+

    sin 2

    4

    ]/2

    0

    dr

    =

    4

    2

    0

    r3 dr =

    4

    [

    r4

    4

    ]2

    0

    = .

    Esempio 7.11. Vediamo ora come gli integrali doppi e la sostituzione con le coor-dinate polari ci permettano di calcolare il seguente integrale

    I =

    +

    ex

    2

    dx

    che risulta fondamentale in teoria della probabilita . Tale integrale e da intendersicome

    I = lima+

    Ia = lima+

    a

    aex

    2

    dx.

    Innanzitutto si puo vedere che I e finito dal momento che (usa lo sviluppo di Taylor)

    ex2 2

    x2 + 1

    e

    lima+

    a

    aex

    2

    dx lima+

    a

    a

    2

    x2 + 1dx lim

    a+[2 arctanx]aa = 2.

  • 188 CAPITOLO 7. INTEGRALI DOPPI

    Consideriamo lintegrale doppio

    Ta

    ex2y2 dxdy

    dove a > 0 eTa =

    {

    (x, y) R2 : x2 + y2 a2}

    .

    Tramite le coordinate polari si ha

    Ta

    ex2y2 dxdy =

    a

    0

    2

    0

    er2

    rdrd

    = 2

    a

    0

    rer2

    dr = 2

    [

    1

    2 e

    a2

    2

    ]

    .

    Deduciamo che

    lima+

    Ta

    ex2y2 dxdy = .

    Daltro canto, si ha che

    lima+

    Ta

    ex2y2 dxdy = lim

    a+

    Qa

    ex2y2 dxdy

    dove Qa indica il quadrato [a, a] [a, a], dal momento che entrambi gli integralistanno tendendo allintegrale di ex

    2y2 su tutto il piano. Dalle formule di riduzionesi ha che

    Qa

    ex2y2 dxdy =

    a

    aex

    2

    dx

    a

    aey

    2

    dy = I2a .

    Dunque otteniamoI2 = lim

    a+I2a =

    da cui

    I =

    +

    ex

    2

    dx =.

    Esercizi

    1. Sia E R2 un insieme limitato. Dimostrare che E e misurabile secondo Riemann se e solose E ha area nulla.

    2. Sia : [a, b] R2 una curva di classe C1 e di lunghezza finita: dimostrare che ([a, b]) haarea nulla.

    3. Sia E = [0, 1]2 Q2. Dimostrare che E non e misurabile secondo Riemann.

    4. Trovare una funzione f : [0, 1]2 R non integrabile secondo Riemann.

  • 7.6. FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI VARIABILI 189

    5. Siano f : [0, 1] [0, 2] R e g : [1, 2] [0, 2] R due funzioni integrabili secondo Riemann,e sia h : [0, 2] R una funzione qualsiasi. Dimostrare che la funzione u : [0, 2]2 R

    u(x, y) =

    f(x, y) se x [0, 1[g(x, y) se x ]1, 2]h(y) se x = 1

    e integrabile secondo Riemann.

    6. Sia f : [0, 1]2 R integrabile secondo Riemann. E vero che per ogni x0 [0, 1] la funzioneg(y) = f(x0, y) e integrabile secondo Riemann?

    7. Sia E un insieme simmetrico rispetto allasse x, e sia f : E R una funzione integrabilesecondo Riemann pari rispetto a x. Siano E = E{x < 0} e E+ = E {x > 0}. Tramitela formula del cambiamento di variabili dimostrare che

    Ef(x, y) dxdy =

    E+f(x, y) dxdy

    cos che

    Ef(x, y) dxdy = 2

    E+f(x, y) dxdy.

    (Suggerimento: considera (u, v) = (u, v).)

    8. Sia E un insieme simmetrico rispetto allasse x, e sia f : E R una funzione integrabilesecondo Riemann dispari rispetto a x. Siano E = E {x < 0} e E+ = E {x > 0}.Tramite la formula del cambiamento di variabili dimostrare che

    Ef(x, y) dxdy =

    Ef(x, y) dxdy

    cos che

    Ef(x, y) dxdy = 0.

    (Suggerimento: considera (u, v) = (u, v).)