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INTEGRALE INDEFINITO

OBIETTIVI MINIMI:

Saper definire l’integrale indefinito di una funzione.

Conoscere le proprietà dell’integrale indefinito.

Saper calcolare l’integrale indefinito di una funzione utilizzando i diversi metodi

di integrazione.

DA RICORDARE

La derivata di una funzione, quando esiste è UNICA.

Una funzione si dice primitiva di una funzione definita nell’intervallo se è derivabile in tutto e la sua derivata è .

Quindi: se allora è una primitiva di .

Se è una primitiva di allora lo sono anche tutte le funzioni del tipo

con costante reale arbitraria.

Infatti, poiché la derivata di una costante è nulla, si ha:

Se due funzioni e sono primitive della stessa funzione , allora le due funzioni differiscono per una costante.

Se è continua in un intervallo allora in tale intervallo ammette primitiva.

Definizione di integrale indefinito

Si definisce integrale indefinito della funzione , e si indica con ,

l’insieme di tutte le primitive di con numero reale qualunque.

Nella scrittura la funzione è detta funzione integranda e la variabile

variabile d’integrazione.

Teoremi degli integrali indefiniti

I teoremi sopra elencati permettono di affermare che l’integrale indefinito, come la derivata, è un operatore lineare e il procedimento di integrazione che utilizza tali teoremi è detto integrazione per decomposizione o per scomposizione.

Integrali immediatiSe è possibile determinare l’integrale indefinito di una funzione grazie alle sole regole di derivazione allora l’integrale è detto immediato.

Tabella degli integrali immediati delle funzioni elementari e loro generalizzazioni

Integrale immediato Generalizzazione

ESEMPI

Integrazioni immediate con utilizzo della regola di integrazione per decomposizione.

Integrazione di funzioni razionali frattePer integrare le funzioni razionali fratte si utilizza, in genere, il metodo di decomposizione che, come già visto, si basa sulla possibilità di decomporre la funzione integranda nella somma di funzioni.

Si debba integrare:

a) Se grado di grado di si esegue la divisione tra i polinomi:

con ,

b) Se grado di < grado di e si calcola il dell’equazione

associata. Si presentano 3 casi:

1° CASO

Si fattorizza

Si cercano due numeri e tali che

L’integrale di partenza si trasforma in

2° CASO

se è di 1° grado se è di grado 0

3° CASO

L’integrale è la somma di logaritmi

Si fattorizza

Si cercano due numeri e tali che

L’integrale di partenza si trasforma in

L’integrale è la somma di un logaritmo e di una funzione fratta

L’integrale è quello immediato di una funzione fratta

non è scomponibile

Se è di grado 0 si scrive il denominatore come somma di due quadrati ottenendo come integrale un arcotangente

ESEMPI

1°CASO denominatore con

Si scompone e, grazie al principio di identità polinomiale si determinano le due costanti e tali che:

Risolvendo il sistema otteniamo e l’integrale diventa:


Si scompone e, grazie al principio di identità polinomiale, si determinano le due costanti A e B tali che:

Se è di 1° grado si scrive la frazione come somma di due frazioni , la prima delle quali sia la primitiva di un logaritmo e la seconda sia la primitiva di un arcotangente

Risolvendo il sistema otteniamo e l’integrale diventa:


Si riscrive la frazione come somma di frazioni, in modo che una di esse abbia come numeratore la derivata del denominatore

Il primo integrale è immediato, mentre nel secondo si scrive il denominatore come somma di due quadrati per poter integrare come arcotangente:

l’integrale di partenza diventa:

Integrazione per sostituzioneQuesto metodo viene utilizzato per semplificare il calcolo di alcuni integrali e consiste nella sostituzione della variabile d’integrazione mediante una funzione del tipo :

ESEMPI

si pone

l’integrale diventa:

si pone


si pone


e grazie alle formule di bisezione:

Integrazione per partiQuesto metodo viene utilizzato quando la funzione integranda è il prodotto di un fattore finito e di un fattore differenziale , in tal caso si applica la formula:

N.B.1 La scelta del fattore finito e del fattore differenziale è quasi sempre determinante per la riuscita del calcolo e, pur non essendoci una regola generale, in alcuni casi è utile sapere che:

conviene porre fattore finito nelle integrazioni: , ,

conviene porre fattore differenziale nelle integrazioni: , .

N.B.2 Il metodo può essere utilizzato più di una volta per la risoluzione di un integrale.

ESEMPI

si pone fattore finito

fattore differenziale

l’integrale diventa




applichiamo nuovamente il metodo nell’ultimo integrale:



e si ottiene :

ESERCIZI

1. Quesiti a risposta multipla:

- a b c

- a b c

- a b c

2. Calcola i seguenti integrali immediati:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

3. Calcola i seguenti integrali di funzioni razionali fratte:

a) b) c)

e) f) g)

4. Calcola i seguenti integrali applicando il metodo di sostituzione:

a) b) c) d)

5. Calcola i seguenti integrali applicando il metodo di integrazione per parti:

a) b) c) d)

6. Vero o Falso ?

- L’integrale con la sostituzione si trasforma in V F

- L’integrale con la sostituzione si trasforma in V

F

- L’integrale con la sostituzione si trasforma in V F

- V F

- V F

- Per calcolare si deve prima eseguire la divisione

tra numeratore e denominatore . V F

- V F

- V F

7. Calcola i seguenti integrali

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) l) m) n)