Derivada. Teoremas. Optimización.28/10/2011 PRIMER TRIMESTRE Límites. Continuidad.14/10/2011 Representación gráfica de funciones11/11/2011 Integración09/12/2011

Derivada. Teoremas. Optimización. 28/10/2011

PRIMER TRIMESTRELímites. Continuidad. 14/10/2011

Representación gráfica de funciones 11/11/2011

Integración 09/12/2011

PRIMERA EVALUACIÓN (REVISIONES) 16/12/2011

SEGUNDO TRIMESTRE

Matrices y determinantes 27/01/2012

Sistemas de ecuaciones lineales 24/02/2012

Vectores 16/03/2012

SEGUNDA EVALUACIÓN (REVISIONES) 23/03/2012

TERCER TRIMESTRE

Espacio afín/Espacio euclídeo 11/05/2012

TERCERA EVALUACIÓN (REVISIONES) 18/05/2012

FINAL 1 (3ªE) 25/05/2012 FINAL 2 (2ªE) 28/05/2012 FINAL 3 (1ªE) 29/05/2012

14/10/2011 LÍMITES. CONTINUIDAD

3xsix5

3x0sibax

0xsi1x2

1. Determinar a y b para que la función f(x) = sea continua en

2. Dada la función f(x) = x3 3x + 1, ¿se anula en algún punto de ? Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases. En caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de dos décimas que contenga el punto donde se anula.

3. Estudia si puede aplicarse a la función f(x) =

el teorema de Weierstrass en el intervalo [2, 2]. En caso afirmativo, calcula donde y cuál es el valor del mínimo absoluto y del máximo absoluto en dicho intervalo. En cualquier caso ¿se trata de una función acotada?

2x0si1x1

x

0x2six

xcos12

4. Supongamos que f(x) es una función continua en [0, 1] y que 0 < f(x) < 1 para todo x existente en [0, 1]. Probar que existe un c (0, 1) tal que f(c) = c. Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases.

[CALIFICACIÓN: 2,5 puntos cada ejercicio]

1. Determinar a y b para que la función f(x) = sea continua en

3xsix5

3x0sibax

0xsi1x2

Los tres tramos de la función están definidos mediante polinomios, por tanto, en cada uno de los tres intervalos, la función es continua.

Estudiamos la continuidad en los puntos de enlace.

En x = 0: 1)1x(lim 20x

b)bax(lim 0x b = 1

En x = 3: 1a3)1ax(lim 3x

2)x5(lim 3x 3a + 1 = 2 a =

3

1


2. Dada la función f(x) = x3 3x + 1, ¿se anula en algún punto de ? Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases. En caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de dos décimas que contenga el punto donde se anula.

f(x) es una función polinómica; por tanto es continua en todo

Buscamos un intervalo en el que se verifiquen las hipótesis del teorema de Bolzano:

f(0) = 1 > 0

f(1) = –1 < 0 c (0, 1) / f(c) = 0 (Tª Bolzano en [0, 1])

Aplicamos ahora el método de bipartición:

f(0,5) = –0,375 < 0 c (0; 0,5) / f(c) = 0 |0,5 – 0| > 0,2

f(0,3) = 0,127 > 0 c (0,3; 0,5) / f(c) = 0 |0,5 – 0,3| = 0,2

Por tanto, el intervalo (0,3; 0,5) cumple las condiciones demandadas.




2x0si1x1

x

0x2six

xcos12

Hemos de comprobar que la función f(x) es continua en el intervalo [–2, 2].

Cada uno de los dos tramos en que está definida f(x) es una función continua, puesto que son cocientes de funciones continuas cuyos denominadores no se anulan en el intervalo de definición.

)xcos1·(x

xcos1lim

)xcos1·(x

)xcos1)·(xcos1(limIND

0

0

x

xcos1lim

2

2

0x20x20x

2

1

2

1·1

xcos1

1·lim

x

xsenlim

)xcos1·(x

xcos1lim 0x2

2

0x2

2

0x

(1/2)




2x0si1x1

x

0x2six

xcos12

2

x

1x1·xlim

1x1·1x1

1x1·xlimIND

0

0

1x1

xlim 0x0x0x

(2/2)

Por tanto, la función f(x) presenta una discontinuidad de salto finito en x = 0.

Así pues, no es aplicable el teorema de Weierstrass.

Como las definiciones se realizan mediante cocientes, los posibles puntos en los que podría no estar acotada serían los valores en los que los denominadores se hicieran nulos. Pero hemos comprobado que en ellos, la función tiene un límite finito. Así pues, está acotada en [–2, 2].


4. Supongamos que f(x) es una función continua en [0, 1] y que 0 < f(x) < 1 para todo x existente en [0, 1]. Probar que existe un c (0, 1) tal que f(c) = c. Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases.

Definimos la función g(x) = f(x) – x.

Por ser diferencia de funciones continuas, es una función continua en [0, 1].

Además, como 0 < f(x), g(x) = f(x) > 0

Y como f(x) < 1, g(x) = f(x) – 1 < 0

Entonces, puede aplicarse el teorema de Bolzano que dice:

Dada una función continua en un intervalo [a, b], que verifica que f(a)·f(b) < 0, entonces, existe un valor c dentro del intervalo (a, b), donde f(c) = 0.

Lo cual, aplicado a g(x): c (0, 1)/ g(c) = 0.

Es decir, c (0, 1)/ f(c) – c = 0 c (0, 1)/ f(c) = c


28/10/2011 DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN.

1. Halla el valor de a para que la función

sea continua y estudia para dicho valor si es derivable.

2xsi)1xln(

2xsi1aaxx)x(f

2

2. Calcular los siguientes límites:

x2x

xlnlim)b

xtgx

xsenxlim)a

3x0x

3. Halla la recta tangente a la curva x2 + y2 – 4xy = 1 en el punto A(1, 4)

4. Un granjero desea vallar un terreno rectangular de 100 metros cuadrados para producir suficiente forraje para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de forma que utilice la mínima cantidad de valla?

5. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ex + x = 0? Razona la respuesta.

[CALIFICACIÓN: 2 puntos cada ejercicio]


1. Halla el valor de a para que la función

sea continua y estudia para dicho valor si es derivable.

2xsi)1xln(

2xsi1aaxx)x(f

2

x2 + ax + a – 1 es una función continua en (–, 2) por ser polinóminca.

Ln(x – 1) es una función continua en (2, +) ya que aquí, x – 1 > 1 > 0.

Estudiamos la continuidad en x = 2:

a33)1aaxx(lim 22x

01ln)1xln(lim 2x 3 + 3a = 0 f(x) es continua si a = –1

En este caso:

2xsi)1xln(

2xsi2xx)x(f

2

Derivamos:

2xsi1x

1

2xsi1x2)x(f

1x

1lim13)1x2(lim 2x2x

f ‘(2) (NO es derivable en x = 2)


2. Calcular los siguientes límites:

x2x

xlnlim)b

xtgx

xsenxlim)a

3x0x

Hôpital'LIND0

0

xtgx

xsenxlim)a 0x

Hôpital'LIND0

0

1xtg1

1xcoslim

20x

2

1

)xtg1(2

xcoslim

)xtg1·(xcos

senx2

senxlim

)xtg1·(tgx2

senxlim

20x2

0x20x

Hôpital'LIND

x2x

xlnlim)b

3x 0x2x3

1lim

2x3x

1lim

3x2x


3. Halla la recta tangente a la curva x2 + y2 – 4xy = 1 en el punto A(1, 4)

Utilizamos la técnica de derivación implícita:

2x + 2yy’ – 4y – 4xy’= 0

Despejamos y’:

y2x

yx2

y4x2

y2x4y

Para calcular la pendiente de la recta tangente, sustituimos x e y por las coordenadas del punto A:

7

2

7

2

4·21

41·2m

Entonces, la ecuación de la recta tangente es: 4)1x(7

2y

O bien: 2x – 7y +26 = 07

26x2y


4. Un granjero desea vallar un terreno rectangular de 100 metros cuadrados para producir suficiente forraje para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de forma que utilice la mínima cantidad de valla?

Si las dimensiones del terreno son, ancho = x, largo = y, tenemos que: A = xy = 100

Por otra parte, tenemos que minimizar el perímetro, que es equivalente a minimizar la suma S = x + y.

Así pues, despejando del dato del área: x

100y

Sustituimos en la función objetivo:x

100xS

Buscamos extremos relativos. Derivamos:2x

1001S

S’ = 0 x2 = 100 x = 10 (la solución negativa no tiene sentido en este contexto)

Se trata de un mínimo puesto que: 010

1)10(S

x

100S

3

Por otra parte: 1010

100

x

100y

Así pues, las dimensiones del terreno deben ser 10 m de ancho por 10 m de largo.


5. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ex + x = 0? Razona la respuesta.

En primer lugar, veamos que, al menos, tiene una solución. Para ello, usaremos el teorema de Bolzano. En efecto, podemos aplicarlo a la función:

f(x) = ex + x que es continua siempre, ya que es suma de funciones continuas.

f(0) = 1 > 0 f(–1) = e–1 – 1 < 0 c (–1, 0) / f(c) = 0

Ahora usaremos el teorema de Rolle para comprobar que no tiene más soluciones.

En efecto: f ‘(x) = ex + 1 > 0 x.

Por tanto, no puede tener más soluciones ya que si hubiera d / f(d) = 0, podríamos aplicar el teorema de Rolle en el intervalo (c, d) [o (d, c), según que c < d o d < c], y tendría que haber un valor α / f ‘(α) = 0.

Así pues, la ecuación dada tiene una solución única.

Estudia y representa gráficamente las siguientes funciones:

x1

2

3

e)x(f)b1x

x)x(f)a

NOTA: Cada representación gráfica se valorará sobre cinco puntos y los puntos estudiados que no estén debidamente refrendados en la gráfica se valorarán a la mitad.

11/11/2011 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

23

1x

x)x(f)a

(x – 1)2 = 0 x = 1 D f = – {1}

)x(f

1x

)x()x(f

2

3

NO PAR – NO IMPAR

F. racional: NO PERIÓDICA

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

23

1x

x)x(f)a

ESTUDIO DE LAS ASÍNTOTAS.

2

3

1x1x

xlim x = 1 es una asíntota vertical.

2

3

x1x

xlim asíntota horizontal.

11x

xlim

x1x

x

limm2

2

x

2

3

x

x

1x

xlimn

2

3

x

2

1x

xx2xxlim

2

233

x

⁄ ⁄

y = x + 2 es una asíntota oblicua.

CORTES CON LA ASÍNTOTA

2xy)1x(

xy

2

3

2x)1x(

x2

3

x3 = (x+2)(x2 – 2x + 1) 3x – 2 = 0

3

8,

3

2P

3

8y

3

2x


23

1x

x)x(f)a

CORTES CON LOS EJES. SIGNOS.

f(x) = 0 x3 = 0 x = 0 (0, 0) es el único punto de corte con ambos ejes.

0 1

Teniendo en cuenta que el denominador siempre es positivo, el signo de f(x) es el mismo que el signo de x. – + +

MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS.

4

322

1x

)1x(2·x1x·x3)x(f

\

\ 3

32

3

23

1x

)3x(x

1x

x3x

3x

0x0)x(f

0 1 3+ + – +

MÍNIMO RELATIVO:

4

27,3

6

22332

1x

)1x(3)·x3x(1x)·x6x3()x(f


23

1x

x)x(f)a

CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN.

\

\ 4 41x

x6

f “(x) = 0 x = 0

Teniendo en cuenta que el denominador siempre es positivo, el signo de f “(x) es el mismo que el signo de x. Por tanto: f(x) es cóncava si x < 0 y convexa si x > 0.

Así pues, (0, 0) es un PUNTO DE INFLEXIÓN.

Recapitulando, obtenemos la información necesaria para dibujar la gráfica:


x1

e)x(f)b

Exceptuamos x = 0 porque anula el denominador: D f = – {0}

Cualquier exponencial es estrictamente positiva en su dominio.

)x(fe

1ee)x(f

x1

x

1

x

1

NO PAR – NO IMPAR – NO PERIÓDICA


x1

0x elim 0elim x1

0x

x = 0 es asíntota vertical ‘por la derecha’

1elim x1

x

y = 1 es asíntota horizontal ‘por ambos lados’

No puede haber asíntota oblícua.

CORTES CON LA ASÍNTOTA

1y

ey x1

!!0x

11e x

1

No hay corte con la asíntota.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONESx1

e)x(f)b


22x

1

x

e

x

1·e)x(f

x1

< 0 x Df f(x) es siempre decreciente.

No hay extremos relativos.


4

x

1

4

x

12

2x

1

x

x21·e

x

x2·ex·x

1·e

)x(f

f “(x) = 0 x = 2

1

f (x) es CÓNCAVA si x < 2

1

f (x) es CONVEXA si x > 2

1

Recapitulando, obtenemos la información necesaria para dibujar la gráfica:

09/12/2011 INTEGRACIÓN

dx

1xxx

2x)bsenxdxe)a

23x2

1e

1)x(f

x

1.- Calcular las siguientes integrales indefinidas (1,5 puntos cada una):

2.- Determinar la primitiva de que verifique F(0) = 0

Indicación: Realizar el cambio de variable x = Ln(t) (2 puntos)

3.- Calcula el valor de A > 0 que hace que el área limitada por las funcionesf(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax valga 1/6. (2,5 puntos)

4.- Determina el área limitada por la función f(x) = x2 – 6x + 8 y los ejes de coordenadas (2,5 puntos)

INTEGRACIÓN

dx

1xxx

2x)bsenxdxe)a

23x2


senxdxe)a x2 = (por partes)

xcosvsenxdxdv

e2dueu x2x2

xdxcose2xcose x2x2 (por partes)

senxvxdxcosdv

e2dueu x2x2

senxdxe4senxe2xcose x2x2x2

Pasando al primer miembro la integral y despejando:

C5

)senx2x(cosesenxdxe

x2x2

INTEGRACIÓN

dx

1xxx

2x)bsenxdxe)a

23x2


dx1xxx

2xI)b

23

Factorizamos el denominador:

1 –1 – 1 1

1

1 0 –1 0

1 0 –1

x3 – x2 – x + 1 = (x – 1)(x2 – 1) = (x – 1)(x – 1)(x + 1) = (x – 1)2(x + 1)

Descomponemos en fracciones simples:

1xxx

)CBA(x)C2B(x)CA(

1x

C

)1x(

B

1x

A

1xxx

2x23

2

223

2CBA

1C2B

0CA

4

1C

2

3B

4

1A Por tanto:

INTEGRACIÓN

dx1x

1

4

1dx

1x

1

2

3dx

1x

1

4

1I

2

C|1x|Ln4

1

)1x(2

3|1x|Ln

4

1

C)1x(2

3

1x

1xLnC

)1x(2

3

1x

1xLn

4

14

INTEGRACIÓN

1e

1)x(f

x 2.- Determinar la primitiva de que verifique F(0) = 0

Indicación: Realizar el cambio de variable x = Ln(t) (2 puntos)

dtt

1dxLntx

Idt

)1t(t

1dt

t

1·

1t

1dx

1e

1x

Descomponemos en fracciones simples:)1t(t

At)BA(

1t

B

t

A

)1t(t

1

1B1A

0BA

C1t

tLndt

1t

1dt

t

1dt

)1t(t

1

Deshacemos el cambio: )x(FC1e

eLndx

1e

1x

x

x

Si queremos que F(0) = 0, entonces:2

1LnC0C

2

1LnC

1e

eLn

0

0

1e

e2Ln

2

1Ln

1e

eLn)x(F

x

x

x

x

Por tanto:

INTEGRACIÓN

3.- Calcula el valor de A > 0 que hace que el área limitada por las funcionesf(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax valga 1/6. (2,5 puntos)

y = 2x – x2

y = Ax

6

)A2(

3

x

2

x)A2(dx]xx)A2[(dx)Axxx2(S

3A2

0

A2

0

322A2

0

2

Buscamos el punto de corte de las gráficas:

A2x

0xAxxx2 2

2 – A

1A1A21)A2(6

1

6

)A2( 33

INTEGRACIÓN

4.- Determina el área limitada por la función f(x) = x2 – 6x + 8 y los ejes de coordenadas (2,5 puntos)

x2 – 6x + 8 = 0

4x

2x

2

1

4

2

22

0

2 dx)8x6x(dx)8x6x(S

Cx8x33

xdx)8x6x( 2

32

x8x33

x)x(F:Sea 2

3

3

163248

3

64)4(F

3

201612

3

8)2(F

0)0(F

Por tanto: S = F(2) – F(0) – F(4) + F(2) = 2F(2) – F(0) – F(4) = 8 u2

16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES

3.- Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a,b] y que f(a) < g(a) pero que f(b) > g(b). Probar que f(c) = g(c) para algún valor c de (a,b). Enunciar el (los) teorema(s) que utilices.

1.- Calcular los siguientes límites:

LÍMITES Y CONTINUIDAD

2x

22xlim)bxaxxlim)a 2xx

2.- Estudiar para qué valores del parámetro la función es continua en

axsi2x

axsix)x(f

2

4.- Una pista de atletismo está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo. Si el perímetro es de 200 metros, hallar las dimensiones de la pista para que el área de la zona rectangular sea máxima.

DERIVADAS Y APLICACIONES

5.- Calcular los siguientes límites:senx

eelim)b

1x

1

ee

elnlim)a

xx

0xx1x

0xsibaxx

0xsisenx)x(f

26.- Dada la función determinar el valor de los parámetros para que la

función sea derivable en R. Para esos valores ¿tiene un punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta.

7.- Estudia y representa las curvas: xlnx)x(g)bx

1x)x(f)a

2

REPRESENTACIÓN DE CURVAS

INTEGRACIÓN8.- Determina las siguientes integrales indefinidas: dx

3x2x

1xxx)barcsenxdx)a

2

23

9.- Halla el área comprendida entre las gráficas de las fnes. f(x) = x3 – 3x2 + 3x y g(x) = 2x2 – x

Continuidad Derivadas Gráficas Integración Ejercicios

X X X X2; 4; 6; 7b y 9

(2 puntos cada uno)

X X X

1b; 5b (1 punto cada uno)

2; 4; 6 y 7b (2 puntos cada uno)

X X X4; 6; 7b; 8b y 9

(2 puntos cada uno)

X X X2; 3; 7b; 8b y 9

(2 puntos cada uno)

16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

1.- Calcular los siguientes límites: 2x

22xlim)bxaxxlim)a 2xx

xax

xaxxaxxlim.Indxaxxlim)a xx

xax

xalimx

1x/a1

alimx 2

a

0

2x

22xlim)b 2x

22x)2x(

2xlim

22x)2x(

22x22xlim

0

0.Ind 2x2x

4

1

22x

1lim 2x


2.- Estudiar para qué valores del parámetro la función es continua en

axsi2x

axsix)x(f

2

Tanto x2 como x + 2 son funciones continuas en todo por ser funciones polinómicas.

Para que f(x) sea continua en x = a, deben ser iguales los límites laterales:

limxa x2 = limxa (x + 2) a2 = a + 2 a2 – a – 2 = 0 a1 = –1

a2 = 2

Para estos dos valores de a, f(x) es continua en


3.- Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a,b] y que f(a) < g(a) pero que f(b) > g(b). Probar que f(c) = g(c) para algún valor c de (a,b). Enunciar el (los) teorema(s) que utilices.

Definimos la función h(x) = f(x) – g(x)

Por ser diferencia de funciones continuas, h(x) es continua en [a, b]

Por otra parte, como f(a) < g(a), entonces h(a) < 0y como f(b) > g(b), entonces h(b) > 0

Se verifican las hipótesis del TEOREMA DE BOLZANO, por lo que podemos afirmar que c (a, b) de manera que h(c) = 0, es decir, f(c) = g(c).

TEOREMA DE BOLZANO: Dada una función h(x) continua en un intervalo cerrado [a, b], que verifica que h(a)·h(b) < 0 (es decir, toma valores de signos distintos en los extremos del intervalo), entonces, existe un valor c del intervalo abierto (a, b) en el que h(c) = 0.

16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES

4.- Una pista de atletismo está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo. Si el perímetro es de 200 metros, hallar las dimensiones de la pista para que el área de la zona rectangular sea máxima.

200yx2P

xyA

x2200

y

2x2x200

A

x4200

'A 50x0x4200

0'A

04

''A

Por tanto, se alcanza el máximo en x = 50 m. m10050·2200

y


5.- Calcular los siguientes límites:senx

eelim)b

1x

1

ee

elnlim)a

xx

0xx1x

1x

1

ee

elnlim)a

x1x

)1x)(ee(

eexlnlim

x

x

1x

exe

eelnlim

Hôpital'L0

0

x

x

1x

x

x

1xe)1x(

elnlim

Hôpital'L0

0

2

1ln

senx

eelim)b

xx

0x

2

xcos

eelim

Hôpital'L0

0 xx

0x


6.- Dada la función determinar el valor de los

parámetros para que la función sea derivable en . Para esos valores ¿tiene un

punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta.

0xsibaxx

0xsisenx)x(f

2

Para que sea derivable, ha de ser continua. Tanto senx como x2 + ax + b son continuas y derivables en todo

Para que f(x) sea continua en x = 0, deben coincidir los límites laterales:

limx0 senx = 0

limx0 x2 + ax + b = b b = 0

Derivamos:

0xsiax2

0xsixcos)x('f

limx0 cosx = 1

limx0 2x + a = a a = 1

Por tanto, queda definida la función:

0xsixx

0xsisenx)x(f

2


6.- Dada la función determinar el valor de los

parámetros para que la función sea derivable en . Para esos valores ¿tiene un

punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta.

0xsibaxx

0xsisenx)x(f

2

Derivamos de nuevo:

0xsi2

0xsisenx)x(''f

limx0 –senx = 0 2 f ”(0)

Además, lim x0–(–senx) > 0, es decir, tanto a la izquierda como a la derecha de 0, la función es convexa. Es decir, que NO tiene punto de inflexión en x = 0.

16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. REPRESENTACIÓN DE CURVAS

7.- Estudia y representa las curvas: xlnx)x(g)bx

1x)x(f)a

2

2x

1x)x(f)a

x2 = 0 x = 0 D f = – {0}

)x(f

x

1x)x(f

2

NO PAR – NO IMPAR

F. racional: NO PERIÓDICA


20xx

1xlim x = 0 es una asíntota vertical.

0x

1xlim

2x

y = 0 es una asíntota horizontal a izquierda y derecha.

Por tanto, no hay asíntotas oblicuas.

CORTES CON LA ASÍNTOTA:

0yx

1xy

2 (–1, 0)


7.- Estudia y representa las curvas: 2x

1x)x(f)a


f(x) = 0 x + 1 = 0 x = –1

(–1, 0)

–1 0

Teniendo en cuenta que el denominador siempre es positivo, el signo de f(x) es el mismo que el signo de x + 1.

– + +

No puede cortar al eje OY


3x

2x)x('f

f ’(x) = 0 x = –2

–2 0

– + –

MÍNIMO RELATIVO:

4

1,2


4x

)3x(2)x(''f

f ‘’(x) = 0 x = –3

–3 0

– + +

PUNTO DE INFLEXIÓN:

9

2,3


7.- Estudia y representa las curvas:

xlnx)x(g)b

D f = (0, +)

NO PAR – NO IMPAR

NO PERIÓDICA


xlnxlimx

No hay asíntota horizontal

xlnlimx

)x(flim xx

No hay asíntota oblicua

0)x(limx/1

x/1lim

Hôpital'L

/

x/1

xlnlimxlnxlim 0x20x0x0x


y = 0 xln(x) = 0 ln(x) = 0 x = 1 (1, 0)0 1– +


7.- Estudia y representa las curvas:

xlnx)x(g)b


f ‘(x) = 1 + Lnx

f ‘(x) = 0 1+Lnx = 0 x = e

1

– +

e1

MÍNIMO RELATIVO:

e

1,

e

1


f “(x) = x

1> 0 x D f Siempre es convexa y no hay puntos de inflexión.

8.- Determina las siguientes integrales indefinidas: dx3x2x

1xxx)barcsenxdx)a

2

23

16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. INTEGRACIÓN

arcsenxdx)a

xvdxdvx1

dxduarcsenxu

partesPor 2

Cx1arcsenx·xdxx1

xarcsenx·x 2

2

dx3x2x

1xxx)b

2

23

3x2x

4x61x

3x2x

1xxx22

23

Dividimos:

Descomponemos en fracciones simples:3x

B

1x

A

3x2x

4x62

3x2x

BA3x)BA(2

21121

B

A

4BA3

6BA3x

1·

2

11

1x

1·

2

11x

3x2x

1xxx2

23

dx

3x

1

2

11dx

1x

1

2

1dx)1x(dx

3x2x

1xxx2

23

C)3x(Ln2

11)1x(Ln

2

1x

2

x2

C)3x)(1x()3x(Lnx2

x 52

16/12/2011 1ª EVALUACIÓN. REVISIONES. INTEGRACIÓN

9.- Halla el área comprendida entre las gráficas de las funciones f(x) = x3 – 3x2 + 3x y g(x) = 2x2 – x

Buscamos los puntos de corte entre ambas gráficas:

x3 – 3x2 + 3x = 2x2 – x x3 – 5x2 + 4x = 0 x(x2 – 5x + 4) = 0

4x

1x

0x

Esta información es suficiente para saber que:

4

1

231

0

23 dxx4x5xdxx4x5xÁrea

y = x3 – 3x2 + 3x

y = 2x2 – x

Cx23

x5

4

xdxx4x5xI 2

3423

234

x23

x5

4

x)x(F

F(0) = 012

7)1(F

3

32)4(F

2u6

71

12

142

12

135

12

7

12

7

3

32

12

7)1(F)4(F)0(F)1(FÁrea

27/01/2012 MATRICES Y DETERMINANTES

111

111

111

A

m14

3m0

101

M

111

121

011

C112

113B

10

12

21

A

6x5xx

4x3xx

2x1xx

1.- Dada la matriz

a) Determina A2, A3 y A4 [1 punto].b) Utiliza los cálculos anteriores para obtener razonadamente An [1 punto].

a) Calcula su determinante. (1 punto)b) Utiliza el resultado anterior para estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro m. (1,5 puntos)

4.- Dadas las matrices

Resolver el sistema matricial ABX – CX = 2C [2,5 puntos]

5.- Utilizando las propiedades de los determinantes calcular (1,5 puntos)

2.- Dada la matriz

3.- Sabiendo que A y B son dos matrices de orden n e invertibles, demuestra que entonces la matriz producto AB también lo es y que se verifica (AB)–1 = B–1A–1 [1,5 puntos]


111

111

111

A1.- Dada la matriz

a) Determina A2, A3 y A4 [1 punto].b) Utiliza los cálculos anteriores para obtener razonadamente An [1 punto].

333

333

333

111

111

111

·

111

111

111

A2

999

999

999

333

333

333

·

111

111

111

A3

272727

272727

272727

999

999

999

·

111

111

111

A4

b) Multiplicar por A hace que cada elemento de la matriz quede multiplicado por 3.Por tanto, parece evidente que:

1n1n1n

1n1n1n

1n1n1n

n

333

333

333

AInducción completa:

nnn

nnn

nnn

1n1n1n

1n1n1n

1n1n1n

1n

333

333

333

333

333

333

·

111

111

111

A


m14

3m0

101

M

a) Calcula su determinante. (1 punto)b) Utiliza el resultado anterior para estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro m. (1,5 puntos)

2.- Dada la matriz

a)3m4m

m14

3m0

101

M 2

b) En cualquier caso rango(M) 2, puesto que:

b1) Si m 1 y m 3, |M| 0 rango(M) = 3

b2) Si m = 1 o m = 3, |M| = 0 rango(M) = 2

Por otra parte: |M| = 0 m2 – 4m + 3 = 0 m = 1 o m = 3

1 0

4 1

= 1 0


3.- Sabiendo que A y B son dos matrices de orden n e invertibles, demuestra que entonces la matriz producto AB también lo es y que se verifica (AB)–1 = B–1A–1 [1,5 puntos]

A es invertible |A| 0

B es invertible |B| 0 |A·B| = |A|·|B| 0 AB es invertible

Sea X = (A·B)–1

Por definición de inversa: A·B·X = I

Multiplicamos por A–1 por la izquierda: A–1·A·B·X = I BX = A–1

Multiplicamos por B–1 por la izquierda: B–1·B·X = B–1·A–1 X = B–1·A–1

Por tanto: (A·B)–1 = B–1·A–1


111

121

011

C112

113B

10

12

21

A4.- Dadas las matrices


Por la propiedad distributiva del producto de matrices respecto de la suma:

ABX – CX = 2C (AB – C)X = 2C

Si probamos que existe (AB – C)–1, entonces, multiplicando por la izquierda:

X = (AB – C)–1·(2C)

112

318

317

112

113·

10

12

21

B·A

222

242

022

C2

001

219

326

CAB

1

001

219

326

CAB

0. Por tanto (AB – C)–1

1221

1532

100

19

26

01

26

01

1929

36

01

36

01

2921

32

00

32

00

21

)CAB(Adj t


111

121

011

C112

113B

10

12

21

A4.- Dadas las matrices


1221

1532

100

)CAB( 1

Así que X = (AB – C)–1·(2C)

203030

243840

222

222

242

022

·

1221

1532

100

001

219

326

CAB

Por tanto:


5.- Utilizando las propiedades de los determinantes calcular (1,5 puntos) 6x5xx

4x3xx

2x1xx

6x5xx

4x3xx

2x1xx

6x5x

4x3x

2x1x

6xxx

4xxx

2xxx

Csuma

ciónDescomposi

2

= 0 (C1 = C2)

65x

43x

21x

x5x

x3x

x1x

Csuma

ciónDescomposi

3

= 0 (C1 = C3)

651

431

211

·xxpor

oductoPr

= 0 (C1 + C2 = C3)

0

24/02/2012 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.- Discute y resuelve en su caso (usando el Método de Gauss) el sistema:

6

952

1223

zyx

zyx

zyx

(2 puntos)

2.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (3,5 puntos):

2zyx

zyx

1zyx


0yx2

0mzyx5

0z7y2mx

4.- Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20, y 50 € con un valor total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averiguar cuántos billetes hay de cada tipo. (2 puntos)

1.- Discute y resuelve en su caso (usando el Método de Gauss) el sistema:


6

952

1223

zyx

zyx

zyx

(2 puntos)

Escribimos la matriz ampliada del sistema:

6111

9512

12123

12123

9512

6111

FF 31

6410

3310

6111

F3F

F2F

13

12

3700

3310

6111

FF 23

Es evidente que: r(A) = 3 = r(B)

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

7

3z3z7

7

30y3

7

9y3

7

3·3y

7

9x

7

336x6

7

3

7

30x

7

3z

7

30y

7

9x:SOLUCIÓN


Escribimos la matriz ampliada del sistema:


2zyx

zyx

1zyx

211

11

111

111

11

11

FF

2

31

32

2

2

13

12

1110

110

11

FF

FF

322

2

2

23

1200

110

11

FF



2zyx

zyx

1zyx

322

2

2

1200

110

11|A| = ( 1)(2 2) = ( 1)2( + 2)

(I) Si ≠ 1 y ≠ 2, r(A) = 3 = r(B) S.C.D.

DISCUSIÓN:

(II) Si = 1

0000

0000

1111r(A) = 1 = r(B) S.C.I. (2 g. l.)

(III) Si = 2

3000

6330

4211r(A) = 2 ≠ 3 = r(B) S.I.



2zyx

zyx

1zyx

322

2

2

1200

110

11

(I) Si ≠ 1 y ≠ 2, r(A) = 3 = r(B) S.C.D.

RESOLUCIÓN:

2

32

2

1z

2

)1(z

2

z11

1y 2

z

2

1y

zyx 2 2

1x

(II) Si = 1, r(A) = 1 = r(B) S.C.I. (2 g. l.)

x + y + z = 1 x = 1 – y – z



0yx2

0mzyx5

0z7y2mx

21m4m

012

m15

72m

A 2

|A| = 0 m2 + 4m – 21 = 0

3m

7m

(I) Si m ≠ 3 y m ≠ 7, r(A) = 3 S.C.D. SOLUCIÓN TRIVIAL: x = y = z = 0

SISTEMA HOMOGÉNEO

(II) Si m = 3

012

315

723r(A) = 2 S.C.I.

(III) Si m = 7

012

715

727r(A) = 2 S.C.I.

y = –2x

z = (5x + y)/3 = x

tz

t2y

tx

y = –2x

z = –(5x + y)/7 = –3x/7

7

t3z

t2y

tx


4.- Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20, y 50 € con un valor total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averiguar cuántos billetes hay de cada tipo. (2 puntos)

x = número de billetes de 10 €y = número de billetes de 20 €z = número de billetes de 50 €

x + y + z = 9510x + 20y + 50z = 2000

x = 2y

Simplificamos y reordenamos:x + y + z = 95

x + 2y + 5z = 200x – 2y = 0

Método de Gauss:

E2 – E1

E3 – E1

x + y + z = 95y + 4z = 105

– 3y – z = –95(E3 + 3E2)

x + y + z = 95y + 4z = 105

11z = 220 z = 20y = 25

x = 50

Por tanto hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de 20 € y 20 billetes de 50 €

6.- Encontrar los vectores unitarios de R3 perpendiculares al vector v = (1,0,1) y

que formen un ángulo de 60º con el vector . (1,75 puntos)

0cbay4c;1b;3a

2

1,

2

2,

2

1w

2.- Determina el valor del parámetro k para que los puntos A = (k,2,-3); B = (4,k,1) y C = (7,0,5) estén alineados. (1 punto)

7.- Calcula el volumen del tetraedro de vértices A = (1, 2, 3) ; B = (2, 5, 1) ; C = (5, 1, 5) y D = (4, 1, 5). (1,5 puntos)

16/03/2012 VECTORES

5.- Determina de forma razonada el siguiente producto vectorial (a – b)(a + b) (1,75 puntos)

4.- Dados los vectores a, b y c tales que , calcular la siguiente suma de productos escalares: a·b + b·c + a·c. (1,75 puntos)

3.- Determinar el área del triángulo de vértices A = (3,2,4); B = (4,4,5) y C = (6,3,3). (1,25 puntos)

1.- Calcular D para que los puntos ABCD formen un paralelogramo siendo A = (2,-1,3) ; B = (5,1,2) y C = (-1,2,3). (1,25 puntos)

1.- Calcular D para que los puntos ABCD formen un paralelogramo siendo A = (2,-1,3) ; B = (5,1,2) y C = (-1,2,3). (1,25 puntos)

16/03/2012 VECTORES

Nombramos los vértices del paralelogramo en sentido circular.

A B

CD

Consideramos el vector AB

AB = (5 – 2, 1 – (–1), 2 – 3) = (3, 2, –1)

Es evidente que DCAB = (–1 – xD, 2 – yD ,3 – zD) = (3, 2, –1)

Por tanto: –1 – xD = 3 xD = –4

2 – yD = 2 yD = 0

3 – zD = –1 zD = 4

D = (–4, 0, 4)

2.- Determina el valor del parámetro k para que los puntos A = (k,2,-3); B = (4,k,1) y C = (7,0,5) estén alineados. (1 punto)

16/03/2012 VECTORES

Consideramos el vector AB = (4 – k, k – 2, 1 – (–3)) = (4 – k, k – 2, 4)

Por otra parte BC = (7 – 4, 0 – k, 5 – 1) = (3, –k, 4)

Para que los tres puntos estén alineados, estos dos vectores han de tener la misma dirección, y por tanto, sus componentes deben ser proporcionales.

Puesto que la tercera componente de ambos vectores coinciden, también deben coincidir las demás:

k – 2 = – k k = 1

Efectivamente, este valor de k también hace que la igualdad entre las primeras componentes también sea cierta.

16/03/2012 VECTORES

3.- Determinar el área del triángulo de vértices A = (3,2,4); B = (4,4,5) y C = (6,3,3). (1,25 puntos)

A B

C

AB = (4 – 3, 4 – 2, 5 – 4) = (1, 2, 1)

AC = (6 – 3, 3 – 2, 3 – 4) = (3, 1, –1)

ÁreaTRIÁNGULO = 2u2

2550

2

15,4,3

2

1

113

121

kji

2

1ACAB

2

1

16/03/2012 VECTORES

0cbay4c;1b;3a 4.- Dados los vectores a, b y c tales que , calcular la siguiente suma de productos escalares: a·b + b·c + a·c. (1,75 puntos)

0cba·cba0cba

c·cb·ca·cc·bb·babc·ab·aa·acba·cba

222 |c|b·ca·cc·b|b|abc·ab·a|a|

0)c·ac·bb·a(226

Por tanto: 13c·ac·bb·a

16/03/2012 VECTORES

5.- Determina de forma razonada el siguiente producto vectorial (a – b)(a + b) (1,75 puntos)

bbabbaaababa

Puesto que y abba

0bbaa

)ba(2baba

16/03/2012 VECTORES

6.- Encontrar los vectores unitarios de R3 perpendiculares al vector v = (1,0,1) y

que formen un ángulo de 60º con el vector . (1,75 puntos)

2

1,

2

2,

2

1w

Buscamos un vector (x, y, z); | | = 1u

vu

(x, y, z)·(1, 0, 1) = 0 x + z = 0 z = –x

Por otra parte 2

1

2

1·1·1º60|·cosw|·|u|w·u

y2

2

2

xy

2

2

2

x

2

1,

2

2,

2

1·x,y,xw·u

Es decir 2

2y

2

1y

2

2

Además, ha de ser unitario: x2 + y2 + (–x)2 = 1 2x2 + ½ = 1 x = ½ u

Por tanto: o

2

1,

2

2,

2

1u

2

1,

2

2,

2

1u

u

16/03/2012 VECTORES

7.- Calcula el volumen del tetraedro de vértices A = (1, 2, 3) ; B = (2, 5, 1) ; C = (5, 1, 5) y D = (4, 1, 5). (1,5 puntos)

A

B

C

D

Consideramos tres vectores CONCURRENTES en un vértice:

AB = (2 – 1, 5 – 2, 1 – 3) = (1, 3, –2)

AC = (5 – 1, 1 – 2, 5 – 3) = (4, –1, 2)

AD = (4 – 1, 1 – 2, 5 – 3) = (3, –1, 2)

2u3

24·

6

1

213

214

231

6

1ADACAB

6

1V

11/05/2012 GEOMETRÍA

mz1mymx

1zmyx

1mzyx

3

2

1

2

3z

4

5y

2

1xr

2y

1xr

2

1z2y1xr

4y

0xsy

0zx

0yr

1.- Discutir la posición relativa de los siguientes tres planos dependiendo del parámetro:

2.- Determinar el parámetro m para que la recta sea paralela al plano 4x + my + z = 2

3.- Halla la ecuación del plano que contiene al punto A = (3,3,3) y a la recta

4.- Determina las coordenadas del punto B simétrico del A = (2,0,3) respecto de la

recta dada por

5.- Dadas las rectas

a) Determinar su posición relativa.b) Determinar una recta perpendicular a ambas y d(r,s).

NOTA: Cada ejercicio se valorará sobre 2 puntos.


mz1mymx

1zmyx

1mzyx

3

2

1

1.- Discutir la posición relativa de los siguientes tres planos dependiendo del parámetro:

Estudiamos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, aplicando el teorema de Rouché.

1m1m

1m1

111

= 1 – m, que se anula si, y sólo si, m = 1.

(I) Si m 1, r(A) = 3 = r(B). S. C. D. Los tres planos se cortan en un punto.

(II) Si m = 1:

1011

1111

2111

r(A) = 2 3 = r(B). S. I.

Es fácil observar que las dos primeras ecuaciones corresponden a planos paralelos, y la tercera ecuación a un plano que no es paralelo a los anteriores.


2

3z

4

5y

2

1xr

2.- Determinar el parámetro m para que la recta sea

paralela al plano 4x + my + z = 2

Vector director de r: u(2, 4, 2)

Vector característico de : v(4, m, 1)

uv

Los vectores u y v han de ser perpendiculares.

Por tanto, su producto escalar será nulo:

(2, 4, 2) · (4, m, 1) = 2·4 + 4·m + 2·1 = 0 10 + 2m = 0 m = 2

5


2y

1xr3.- Halla la ecuación del plano que contiene al punto A = (3,3,3) y a la recta

2y

1xr Pasamos a paramétricas:

z

2y

1x

r

Obtenemos un punto de r y su vector director: B = (–1, –2, 0) u = (0, 0, 1)

El vector v que une B y A también será una dirección del plano: v = (4, 5, 3)

Por tanto, con un punto y dos direccciones independientes, tenemos la ecuación del plano:

33z

53y

43x

0

133z

053y

043x

5x – 4y – 3 = 0


2

1z2y1xr

4.- Determina las coordenadas del punto B simétrico del A = (2,0,3) respecto de la

recta dada por

r

A

Hallamos el plano perpendicular a r que contiene a A.

El vector director de r es característico de : v(1, 1, 2)

1(x – 2) + 1(y – 0) + 2(z – 3) = 0 x + y + 2z – 8 = 0

Ecuaciones paramétricas de

21z

2y

1x

r

Hallamos el punto M intersección de con r:

M

(1 + ) + (2 + ) + 2(1 + 2) – 8 = 0 6 – 3 = 0 = ½

2,

2

5,

2

3M

Este punto M es el punto medio del segmento AB. Por tanto:

B

1x2

3

2

x2B

B

5y2

5

2

y0B

B

1z22

z3B

B B = (1, 5, 1)


4y

0xsy

0zx

0yr5.- Dadas las rectas


)1,0,1(u

)0,0,0(A

z

0y

x

0zx

0yr

)1,0,0(v

)0,4,0(B

z

4y

0x

4y

0xs

)0,4,0(ABw

a) Para determinar la posición relativa, estudiamos el rango de {u, v, w}

4

040

100

101

0 rango {u, v, w} = 3 Las rectas se cruzan

b) El vector director de la perpendicular común es u v =


4y

0xsy

0zx

0yr5.- Dadas las rectas


0,1,0

kji

100

101

0zx0

01z

10y

01x

1

0x0

01z

104y

00x

2

Perpendicular común:

0x

0zx

d(r,s) =

u40,1,0

4

vu

w,v,u


a) Determina para que se corten en un punto.b) Calcula el plano que las contiene en dicho caso

1.- Determinar los parámetros a y b para que los puntos A = (–1, 3, 2); B = (2, –1, –1) y C = (a – 2, 7, b) estén alineados.

18/05/2012 3ª EVALUACIÓN

4.- El vector u es perpendicular a los vectores v y w, que forman entre sí un ángulo de 30º. Si se sabe que |u|=2, |v|=5, y |w|=3, calcula el volumen del paralelepípedo que tiene a u, v y w como aristas.

2.- Sea M = (2, –1,3) el punto medio del paralelogramo ABCD, calcular C y D si A = (1, –1, 1) y

B = (3, –2,5), así como su área.

3.- Sabiendo que |u| = 3; u·v = 10; w = 3u – 2v y ang(u, v) = 60º, calcula a) |v|; b) u·w; c) |w|.

VECTORES EN EL ESPACIO

GEOMETRÍA ESPACIO

3

3z

2

1y

1

2xsyz

3

y

2

2xr


a) Estudiar su posición relativa.b) Determina la recta perpendicular a ambas que pasa por (1,2,0).

5

z

3

1y

7

2xsy

4

2z

2

3y

8

5xr

7.- Determina la ecuación de la recta que pasa por A = (1, -1,0) y se apoya en las rectas

1z2y2x

2z3yxsy

4

3zy

2

1xr

31z

1y

x

r8.- Determina el plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado por 2x – y + z + 1 = 0.

El alumnado que deba recuperar las dos partes realizará los ejercicios 2, 4, 5 y 7.

18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. VECTORES EN EL ESPACIO

1.- Determinar los parámetros a y b para que los puntos A = (–1, 3, 2); B = (2, –1, –1) y C = (a – 2, 7, b) estén alineados.

AB = (3, –4, –3) AC = (a – 1, 4, b – 2)

Para que A, B y C estén alineados estos dos vectores deben tener la misma dirección, y, por tanto, sus componentes deben ser proporcionales:

3

2b

4

4

3

1a

13

1a

a – 1 = –3 a = –2

13

2b

b – 2 = 3 b = 5


2.- Sea M = (2, –1,3) el punto medio del paralelogramo ABCD, calcular C y D si A = (1, –1, 1) y B = (3, –2, 5), así como su área.

A B

D C

M

AM = (1, 0, 2) = MC

Por tanto, C = (2, –1, 3) + (1, 0, 2) = (3, –1, 5)

BM = (–1, 1, –2) = MD

Por tanto, D = (2, –1, 3) + (–1, 1, –2) = (1, 0, 1)

AB = (2, –1, 4) AD = (0, 1, 0)

Área = 2u52202,0,4

010

412

kji

ADAB


3.- Sabiendo que |u| = 3; u·v = 10; w = 3u – 2v y ang(u, v) = 60º, calcula:

a) |v| b) u·w c) |w|

a) u·v = |u|·|v|·cos(u, v) = 3·|v|·cos60º = 10 |v| = 10/(3·cos60º) = 20/3

b) u·w = u·(3u – 2v) = 3·u·u – 2u·v = 3·|u|2 – 2u·v = 3·9 – 20 = 7

c) |w|2 = w·w = (3u – 2v)·(3u – 2v) = 9·u·u – 12·u·v + 4·v·v =

= 9|u|2 – 12·u·v + 4|v|2 = 9·9 – 12·10 + 4·400/9 = 1249/9

Por tanto: |w| =

3

1249


4.- El vector u es perpendicular a los vectores v y w, que forman entre sí un ángulo de 30º. Si se sabe que |u|=2, |v|=5, y |w|=3, calcula el volumen del paralelepípedo que tiene a u, v y w como aristas.

vw

uVolumen = Área de la base · altura = |v w| · |u|

Área de la base = |v w| = |v|·|w|·sen(v, w) = 5·3·sen30º = 7,5 u2

Por tanto: Volumen = 7,5 · 2 = 15 u3

18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO


a) Determina para que se corten en un punto.b) Calcula el plano que las contiene en dicho caso

3

3z

2

1y

1

2xsyz

3

y

2

2xr

z3

y

2

2xr

3

3z

2

1y

1

2xs

a)

1,3,2u

0,,2A

3,2,1v

3,1,2B

3,1,4ABw

Para que se corten en un punto debe ser rango{u, v, w} = 2, por tanto:

0

314

321

132

5 – 28 = 0 5

28

b)

0

31z

23y

122x

528

11x – 5y + 7z + 6 = 0



a) Estudiar su posición relativa.b) Determina la recta perpendicular a ambas que pasa por (1,2,0).

5

z

3

1y

7

2xsy

4

2z

2

3y

8

5xr

4

2z

2

3y

8

5xr

5

z

3

1y

7

2xs

a)

4,2,8u

2,3,5A

5,3,7v

0,1,2B

2,4,3ABw

Estudiamos el rango{u, v, w}: 034

254

432

378

las rectas SE CRUZAN

b) Dirección de la perpendicular común: u v = 5,6,110,12,2

k54

j32

i78

Por tanto, la recta pedida es:5

z

6

2y

1

1x

5z

62y

1x


7.- Determina la ecuación de la recta que pasa por A = (1, -1,0) y se apoya en las rectas

1z2y2x

2z3yxsy

4

3zy

2

1xr

4

3zy

2

1xr

4,1,2u

3,0,1P

z3

5

3

1y

3

4

3

5x

1z2y2x

2z3yxs

3,5,4v

0,,Q 31

35

3,1,0AP 0,2,10,3

4,

3

2AQ

Plano que contiene a r y A: 1 0

34z

111y

021x

7x – 6y – 2z – 13 = 0

Plano que contiene a s y A: 2 0

03z

251y

141x

2x – y – z – 3 = 0

Por tanto, la recta pedida es:7x – 6y – 2z – 13 = 0

2x –y – z – 3 = 0

8.- Determina el plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado por 2x – y + z + 1 = 0.


31z

1y

x

r

31z

1y

x

r

3,1,1u

1,1,0P 2x – y + z + 1 = 0

1,1,2v

Por tanto, el plano pedido es: 0

131z

111y

21x

4x + 7y – z – 6 = 0

25/05/2012 FINAL GEOMETRÍA

1.- Sea r la recta que pasa por A = (0,2,1) y tiene como vector director a (1,-1,1).a) Halla el punto P de la recta r que está más cerca del punto B = (4,7,5).b) Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQc) ¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ? Calcula su área.


Determinar el plano que contiene a la primera y es paralelo a la segunda.

5

2z

6

y

2

1xs

4

1z

2

3y

3

2xr

3.- Halla un punto P de la recta que con los puntos A=(1,1,1) y

B=(3,1,0) forme un triángulo rectángulo de hipotenusa BP.

1z

t1y

t2x

r

4.- Consideremos las rectas de ecuaciones:

a) Determinar n para que r y s sean paralelas.b) Para dicho valor, determina el plano que contiene a ambas.

2

z

n

3y

1

1xs

01zx2

03zyxr

Todos los ejercicios se valorarán sobre 2,5 puntos.



a)

t1z

t2y

tx

r Buscamos el plano perpendicular a r por B

El vector director de r es característico de : 1(x – 4) – 1(y – 7) + 1(z – 5) = 0

x – y + z – 2 = 0

r

B

P

El punto P que buscamos es la intersección de la recta r y el plano :

t – 1(2 – t) + (1 + t) – 2 = 0 3t – 3 = 0 t = 1 P(1, 1 , 2)



b)

A(0, 2, 1) P(1, 1, 2)

Q B(4, 7, 5)

1,1,1AP

APBQ Q = (4, 7, 5) – (1, –1, 1) = (3, 8, 4)

c) 3,6,3AQ AQ·AP 1·3 – 1·6 +1·3 = 0

Se trata de un RECTÁNGULO. Por tanto su área es (base · altura):

2222222 u2954·3363·1)1(1AQ·AP

AQAP



Determinar el plano que contiene a la primera y es paralelo a la segunda.

5

2z

6

y

2

1xs

4

1z

2

3y

3

2xr

4

1z

2

3y

3

2xr

5

2z

6

y

2

1xs

4,2,3u

1,3,2A

5,6,2v

2,0,1B

0

541z

623y

232x

2x + y – 2z – 5 = 0

3.- Halla un punto P de la recta que con los puntos A=(1,1,1) y

B=(3,1,0) forme un triángulo rectángulo de hipotenusa BP.

1z

t1y

t2x

r


1z

t1y

t2x

r P = (2 + t, 1 + t, 1)

0,t,t1AP A B

P

1,0,2AB

AB·APABAP 2(1 + t) = 0 t = –1

Por tanto P = (1, 0, 1)


4.- Consideremos las rectas de ecuaciones:

a) Determinar n para que r y s sean paralelas.b) Para dicho valor, determina el plano que contiene a ambas.

2

z

n

3y

1

1xs

01zx2

03zyxr

a)

01zx2

03zyxr

2

z

n

3y

1

1xs

21z

2y

x

2,1,1u

1,2,0A

2,n,1v

0,3,1B r // s n = 1

2

2

n

1

1

1

b)

0

121z

512y

11x

11x + y – 6z + 8 = 0

Necesitamos otro vector linealmente independiente: 1,5,1AB

28/05/2012 FINAL ÁLGEBRA

1.- Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro m,

y resuélvelo cuando se pueda.

2mz)m1(yx

m1y)m1(x

1zyx)m1(

x00

02x0

202x

A

013

002

101

B

2.- Sea la matriz

a) Halla los valores reales de x para los que tiene inversa.b) Resolver la ecuación matricial A·Y + B = I siendo A la matriz anterior para x = 3,

I la matriz identidad y B la matriz dada por

3.- Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcular cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos ha comprado el 30% de las cajas.

1

13z

10y

15x

1z3z2z

1x5x2x

1yy2y

4.- Se sabe que . Calcula sin desarrollar

.





2mz)m1(yx

m1y)m1(x

1zyx)m1(

2

2

2

13

12

2

312 m1m0m

mmmm0

mm111

FF

FF

111m1

m1m11

mm111

FF

mm111

m1m11

111m1

32

2

2

23322

2

2

13

mm2m1)m3(m00

mmmm0

mm111

FF

mm1mm2m0

mmmm0

mm111

mFF

I) Si m 0 y m –3, r(A) = 3 = r(B) S.C.D.

II) Si m = 0 r(A) = 1 2 = r(B) S.I.

1000

0000

0111

III) Si m = –3 r(A) = 2 3 = r(B) S.I.

7000

12330

9211




2mz)m1(yx

m1y)m1(x

1zyx)m1(

32

2

232

2

2

mm2m1)m3(m00

m1110

mm111

Fm

1

mm2m1)m3(m00

mmmm0

mm111

3mm

1mm2m

3mm

mm2m1z

2332

3mm

1m2

3mm

1mm2mm1y

23

3mm

m2

3mm

1mm2m)m1(

3mm

1m2mx

2232


x00

02x0

202x

A

013

002

101

B

2.- Sea la matriz

a) Halla los valores reales de x para los que tiene inversa.b) Resolver la ecuación matricial A·Y + B = I siendo A la matriz anterior para x = 3,

I la matriz identidad y B la matriz dada por .

a) |A| = x(x – 2)2 A–1 x 0 x 2

b) AY + B = I AY = I – B Y = A–1(I – B)

300

010

201

APara x = 3

100

030

203

3

1A 1

113

036

126

3

1

113

012

100

·

100

030

203

3

1Y


3.- Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcular cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos ha comprado el 30% de las cajas.

En el primer mercado ha comprado el 30% de las cajas: 0,3 · 1500 = 450 cajas.

450 cajas · 30 €/u = 13500 € Resto: 40500 – 13500 = 27000 €

Cajas compradas en el 2º mercado: x Cajas compradas en el 3º mercado: y

x + y = 105020x + 40y = 27000

~ (E2/20) ~x + y = 1050x + 2y = 1350

(E2 – E1) y = 300 cajas

Por tanto, se ha comprado: En el primer mercado 450 cajas.En el segundo mercado 300 cajas.En el tercer mercado 750 cajas.


1

13z

10y

15x

1z3z2z

1x5x2x

1yy2y

4.- Se sabe que . Calcula sin desarrollar

1z3z2z

1x5x2x

1yy2y

13z2z

15x2x

1y2y

z3z2z

x5x2x

yy2y

13z

15x

10y

1z2z

1x2x

1y2y

13z

15x

10y

1zz

1xx

1yy

2 1

13z

10y

15x

1.- Demostrar que la ecuación 2x3 – 6x + 1 = 0 tiene una única solución real en el intervalo (0, 1). Enunciar los teoremas utilizados en el razonamiento.

x

8yexy 2

2.- Determinar el valor de las constantes a, b, c sabiendo que la gráfica de la función f: , definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx tiene un punto de inflexión en (−2, 12) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación 10x + y + 8 = 0.

3.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2), encontrar aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Hallar el área de dicho triángulo.


29/05/2012 FINAL ANÁLISIS

4.- Calcular el área finita, comprendida entre la recta x = 1 y las curvas


1.- Demostrar que la ecuación 2x3 – 6x + 1 = 0 tiene una única solución real en el intervalo (0, 1). Enunciar los teoremas utilizados en el razonamiento.

Definimos la función f(x) = 2x3 – 6x + 1, que es continua y derivable en todos los números reales por ser una función polinómica.

Vemos si se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano en el intervalo [0, 1]

Por tanto, deberá cumplirse la tesis: a (0, 1) / f(a) = 0, es decir, la ecuación tiene, al menos una solución real dentro de dicho intervalo.

Supongamos que tiene otra solución b (0, 1). Entonces f(a) = f(b) = 0.

Se verifican las hipótesis del teorema de Rolle.

f’(x) = 6x2 – 6 = 6(x2 – 1) = 0 x = 1 (a, b) (0, 1), es decir, no se verificaría la tesis del teorema de Rolle.

Así pues, la solución de la ecuación ha de ser única.

f(0) = 1 > 0

f(1) = –3 < 0 TEOREMA DE BOLZANO

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] que verifica f(a)·f(b) < 0.

Entonces existe algun valor c (a, b) donde f(c) = 0.

TEOREMA DE ROLLESea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en (a, b) que

verifica f(a) = f(b). Entonces existe algun valor c (a, b) donde f ‘(c) = 0.

2.- Determinar el valor de las constantes a, b, c sabiendo que la gráfica de la función f: , definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx tiene un punto de inflexión en (−2, 12) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación 10x + y + 8 = 0.


f ‘(x) = 3ax2 + 2bx + c f ”(x) = 6ax + 2b

Punto de inflexión en (−2, 12) f(–2) = 12 –8a + 4b – 2c = 12 [1]f “(–2) = 0 –12a + 2b = 0 [2]

Recta tangente 10x + y + 8 = 0 pendiente = –10 Por tanto f ‘(–2) = –10 12a – 4b + c = –10 [3]

Resolvemos el sistema de ecuaciones [1], [2], [3]:

½ [1] ½ (–8a + 4b – 2c = 12) –4a + 2b – c = 6 [3] 12a – 4b + c = –10

+ 8a – 2b = –4 [4]

[2] + [4] = –4a = –4 a = 1[2] b = 6[3] c = 2


3.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2), encontrar aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Hallar el área de dicho triángulo.

(1, 2)

y = mx + n

2 = m·1 + n n = 2 – m y = mx + (2 – m)

2 –

m

y = 0 0 = mx + (2 – m) x = (m – 2)/m

(m – 2)/mÁrea = ½ base·altura A(m) =

m2

)2m( 2

2

2

m2

4m)m(A

3m

4)m(A

= 0 m = 2

A”(2) < 0 MÁXIMO

A”(–2) < 0 MÍNIMO

Por tanto, m = –2 n = 4. La ecuación de la recta buscada es y = –2x + 4

Área del triángulo = A(–2) = 4 u2


x

8yexy 2 4.- Calcular el área finita, comprendida entre la recta x = 1 y las curvas

x =

1

y = x2

y = 8/x

Hallamos el punto de corte entre las curvas y = x2 e y = 8/x

2x8xx

8x 32

2332

1

2

1

32 u2,3

3

72Ln8

3

1)1(Ln8

3

2)2(Ln8

3

x)x(Ln8dxx

x

8A

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