Coordenadas Cilindricas y Esfericas

MATEMATICAS II

para Ciencias

e

Ingeniera

Felix Carrillo Carrascal

10 de julio de 2013

Indice general

1. Calculo con Funciones Vectoriales 5

2. Calculo Diferencial de Varias Variables 7

3. Integracion Multiple 9

3.1. Cambio de Variables en Integrales Triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Aplicaciones de las integrales dobles y triples a la Fsica . . . . . . . . . . 33

3.2.1. Centro de masa de un sistema de partculas . . . . . . . . . . . . . 333.2.2. Centro de masa de un cuerpo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.3. Centro de masa de una lamina plana . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.4. Momento de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3

4 INDICE GENERAL

Captulo 1

Calculo con Funciones Vectoriales

5

6 CAPITULO 1. CALCULO CON FUNCIONES VECTORIALES

Captulo 2

Calculo Diferencial de Varias

Variables

7

8 CAPITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE VARIAS VARIABLES

Captulo 3

Integracion Multiple

3.1. Cambio de Variables en Integrales Triples

La formula del cambio de variables en integrales dobles es generalizado a las integralestriples. En este caso se necesitan tres ecuaciones de transformacion:

x = X(u, v, w) , y = Y (u, v, w) , z = Z(u, v, w) (3.1)

donde (u, v, w) es un punto cualquiera de una region T en el espacio tridimensional deter-minado por el sistema de ejes rectangulares u, v y w. La imagen de T sera una region Sen el espacio tridimensional determinado por el sistema de ejes rectangulares x, y y z. As,

si la region S es la region de integracion de la integral triple

Sf(x, y, z) dV , entonces

se verifica la siguiente equivalencia:Sf(x, y, z) dV =

Tf(X(u, v, w), Y (u, v, w), Z(u, v, w))|J(u, v, w)| dudvdw (3.2)

donde J(u, u, w) es el Jacobiano de la Transformacion:

J(u, v, w) =(x, y, z)

(u, v, w)=

x

u

x

v

x

w

y

u

y

v

y

w

z

u

z

v

z

w

(3.3)

El diferencial de volumen, que en el sistema xyz es dV = dxdydz, es equivalente a

dV = |J(u, v, w)|dudvdw

Ejemplo 3.1.1 Calcular

S

(y+2zx) dV , donde S es la region definida por el sistemade desigualdades:

1 x z 1 , 0 y + z 2 , 1 x+ z 3Solucion: Deducimos que el solido S esta limitado por 6 planos, pero estos planos no sonparalelos a los ejes coordenados. Consideremos las ecuaciones de transformacion:

9

10 CAPITULO 3. INTEGRACION MULTIPLE

u = x z , v = y + z , w = x+ z (1)

Con estas ecuaciones de transformacion el sistema de desigualdades que definen a S setransforma en:

1 u 1 , 0 v 2 , 1 w 3 (2)

Este sistema de digualdades define una caja rectangular de lados paralelos a los ejes coor-denados en el espacio uvw. Resolviendo las ecuaciones (1) para x, y y z, se obtienen:

x =u+ w

2, y =

u+ 2v w2

, z =w u2

(3)

que son las ecuaciones de la transformacion inversa de la transformacion (1). La cajarectangular sera la imagen del solido S. Igualmente, diremos que la transformacion (1) esla inversa de la transformacion (3) y que S es la imagen de la caja rectangular.

El Jacobiano de la transformacion (3) es:

J(u, v, w) =

x

u

x

v

x

w

y

u

y

v

y

w

z

u

z

v

z

w

=

1

2

1

212

0 1 0

1

212

1

2

=

1

2

As, dV = dxdydz = 12dudvdz. Por otra parte, el integrando es equivalente a:

y + 2z x = u+ 2v w + 2w 2u u w2

= v u

Entonces:

S

(y + 2z x) dV = 31

20

11

(v 1)12dudvdw

=

31

20

14(v u)2

11dvdw

=

31

20

vdvdw =

31

12v220dw = 4

Dos son las transformaciones mas importantes en integrales triples: coordenadas cilndri-cas y coordenadas esfericas. Las coordenadas cilndricas son aplicadas generalmente cuandola region de integracion tiene simetra respecto de una recta (eje de simetra), escogiendosedicha recta como uno de los ejes coordenados. En cambio, las coordenadas esfericas sonusadas cuando la region de integracion tiene simetra respecto de un punto, escogiendosedicho punto como el origen de coordenadas. A continuacion pasamos a describir ambossistemas de coordenadas.

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES 11

Coordenadas Cilndricas

Un punto P esta completamente determinado por sus coordenadas cartesianas (x, y, z),donde x , y y z son las distancias dirigidas

del punto P a los planos yz, xz y xy, res-pectivamente. Dicho punto puede ser expre-sado tambien determinando su proyeccion Qen el plano xy (ver Figura 3.63) y expresandoluego dicho punto Q en coordenadas polarespor el par (r, ). Entonces el punto P que-da completamente determinado por la terna(r, , z) y se dice esta expresado en coorde-nadas cilndricas. Ambos sistemas estan re-lacionados por las ecuaciones:

x

y

z

P

Q

(x, y, z)

(r, , z)

r

x

z

y

Fig. 3.63

b

x = r cos , y = r sen , z = z (3.4)

Las dos primeras ecuaciones implican a su vez las dos siguientes ecuaciones:

x2 + y2 = r2 ,y

x= tan (3.5)

Consideremos ahora que en las ecuaciones de transformacion (3.1), en vez de usar lasletras u, v y w usemos las letras r, y z, y que las ecuaciones de transformacion coincidenexactamente con las ecuaciones (3.4). Ademas, para que la transformacion sea univalente,consideramos las siguientes restricciones: r > 0 y 0 < 0 + 2pi. El Jacobiano de dichatransformacion es:

J(r, , z) =

x

r

x

x

z

y

r

y

y

z

z

r

z

z

z

=

cos r sen 0

sen r cos 0

0 0 1

= r cos

As, dV = dxdydz = rdzdrd. Entonces la ecuacion (3.2) queda expresado de la forma:Sf(x, y, z) dV =

Tf(r cos , r sen , z)rdzdrd (3.6)

Aun cuando se ha dicho que debe tomarse r > 0, esta equivalencia es valida tambien parar = 0 (plano en el espacio rz) debido a que r = 0 implica x = 0 = y; es decir, la imagende dicho plano es el eje z y los puntos del eje z determina volumen nulo.

Consideremos ahora que la region T es la region rectangular definida por las desigual-dades:

T : 0 2pi , 0 r a , 0 z h (3.7)


Para determinar cual sera la imagen de T en el espacio xyz, determinaremos antes laimagen del plano = , donde es una constante entre 0 y 2pi. Reemplazando en lasegunda de las ecuaciones (3.5) se obtiene y = (tan)x , ecuacion que en el espacio xyzcorresponde a un semiplano perpendicular al

plano xy y que pasa a travez del eje z. Enefecto, dependiendo en que cuadrante esta ,x = cos es solo positivo o solo negativo. Lomismo sucede con y = sen. Esto implicaque la imagen del plano = es el semiplanoque pasa por el eje z y forma con la porciondel plano y = 0 en que x 0 el angulo , talcomo muestra la Figura 3.64. Como = 0implica x = r 0, y = 0, z R, deducimosque la imagen del plano = 0 es justamente

xy

z

y = 0( = 0)

y = (tan)x( = )

Fig. 3.64

el semiplano y = 0 , x 0 (semiplano xz). La imagen del plano = 2pi es nuevamenteeste semiplano. De todo esto deducimos que la imagen de la region definida por la relacion0 2pi es la region que se obtiene haciendo rotar el semiplano xz , x 0 alrededordel eje z. Al dar una vuelta completa se generara todo el espacio xyz. Deducimos que laimagen de la region definida por la relacion 0 2pi es todo el espacio xyz. Hallaremosahora la imagen del plano r = a, donde a es una constante positiva. Reemplazando enla primera de las ecuaciones (3.5) se obtiene x2 + y2 = a2, ecuacion que como sabemoscorresponde a un cilindro circular recto de radio a y eje el eje z. Como la imagen del planor = 0 es el eje z, deducimos que la imagen de la region definida por la relacion 0 r aes la region encerrada por el cilindro x2 + y2 = a2. Finalmente, como de las ecuaciones(3.5), z = z, deducimos que las imagenes de los planos z = 0 y z = h del espacio rz, sontambien los planos z = 0 y z = h en el espacio xyz. Finalmente diremos que de todo loanterior concluimos que la imagen de la region rectangular T , definida en la ecuacion (3.7),es la region solida S encerrada por el cilindro x2 + y2 = a2 y los planos z = 0 y z = h, talcomo muestra la Figura 3.65. Entonces la ecuacion (3.6) es equivalente a:

Sf(x, y, z) dV =

2pi0

a0

h0

f(r cos , r sen , z) rdzdrd (3.8)

donde los lmites son los que corresponden a la region T .

r = a

= 2pi

z = h

r

z

x = r cos y = r sen z = z

Fig. 3.65 Transformacion mediante coordenadas cilndricas.

x

y

z

x

y

z

z = h

x2 + y2 = a2


En forma mas general consideremos que la region T es la region en el espacio rzlimitada lateralmente por los planos = , = , los cilindros r = 1() y 2(), inferior-mente por la superficie z = F1(r, ) y superiormente por la superficie z = F2(r, ); es decir,definida por el sistema de desigualdades:

T : , 0 1() r 2() , F1(r, ) z F2(r, ) (3.9)Si S es la imagen de este solido, entonces la ecuacion (3.6) en este caso sera equivalente a:

Sf(x, y, z) dV =

2()1()

F2(r,)F1(r,)


donde los lmites son determinados de la region T . En la practica es la region S en elespacio xyz lo que se tiene y no la region T de la cual es su imagen. Sin embargo, comolas ecuaciones de transformacion se determinan del mismo espacio xyz, los lmites paraT se determinan del mismo solido S. Para encontrar la forma de calcular dichos lmites,analizaremos como son las imagenes de las superficies que limitan al solido T . Por mediode las ecuaciones de transformacion encontramos que las imagenes de los planos = y = son los semiplanos y = (tan)x e y = (tan)x, planos que como ya vimos,son perpendiculares al plano xy. Igualmente, determinamos que las imagenes de los cilin-

dros r = 1() y r = 2() son las superficies de ecuaciones x2 + y2 =

[1(arctan y

x

)]2y

x2+y2 =[1(arctan y

x

)]2, respectivamente. Como estas ecuaciones no contienen la variable

z corresponden a cilindros perpendiculares al plano xy. Como las ecuaciones z = F1(r, )y z = F2(r, ) se transforman tomando las formas z = 1(x, y) y z = 2(x, y), respectiva-mente, donde:

1(x, y) = F1

(x2 + y2, arctan

y

x

), 2(x, y) = F2

(x2 + y2, arctan

y

x

)deducimos que la imagen de la superficie z = F2(r, ) es otra superficie cuyos puntos estanmas arriba (mayor coordenada z) que la de la superficie que es imagen de la superficiez = F1(r, ). De todo lo anterior concluimos que el solido S esta limitado lateralmente(en forma perpendicular al plano xy) por los semiplanos y = (tan)x, y = (tan)x y losdos cilindros mencionados, inferiormente por la superficie z = 1(x, y) y superiormentepor la superficie z = 2(x, y). Mas directamente se dice que las ecuaciones en coordenadascilndricas de los dos semiplano son: = y = ; de los dos cilindros son r = 1()y r = 2(); y de las dos superficies que lo limitan inferiormente y superiormente sonz = F1(r, ) y z = F2(r, ), respectivamente. Entonces se dice que el solido S esta definidoen coordenadas cilndricas por el sistema de desigualdades:

S : , 0 1() r 2() , F1(r, ) z F2(r, ) (3.11)

y seran los lmites para calcular

Sf(x, y, z) dV en coordenadas cilndricas.

Observacion: Notese que de las dos primeras desigualdades de la ecuacion (3.11) se de-duce que la proyeccion del solido S en el plano xy es una region como la que muestra laFigura 3.51(b). As, para determinar directamente del solido S los lmites en coordenadascilndricas, se proyecta el solido sobre el plano xy. De dicha proyeccion, expresandola encoordenadas polares, se determinan los lmites de r y . Si por cada punto de la proyeccionse hace pasar una recta paralela al eje z se observara a que superficie interseca inferiormentey a que superficie superiormente. De esta manera se determina los lmites de la variable z.


Ejemplo 3.1.2 Sea S el solido encerrado encerrado por el cilindro x2+y2 = 4 y los conosz =

x2 + y2 y z = 2

x2 + y2 + 3. Calcular

I =

S

x2 + y2dV

Solucion: Las ecuaciones de los conos en coordenadas cilndricas son z = r y z = 2r + 3,respectivamente, y la del cilindro es r = 2. Si suponemos que los conos se intersectan,entonces z = r = 2r+3 implica r = 3. Como r no puede ser negativo, concluimos que losconos no se intersectan. Ademas, es notorio que el cono z = 2r+3 esta siempre mas arribaque el cono z = r. Deducimos que el solido S esta limitado lateralmente por el cilindror = 2, inferiormente por el cono z = r y superiormente por el cono z = 2r + 3. Deducimostambien que la proyeccion del solido en el plano xy es el crculo r 2 (ver Figura 3.66).As, dicho solido esta definido en coordenadas cilndricas por las siguientes desigualdades:

S : 0 2pi , 0 r 2 , r z 2r + 3

Entonces el calculo de la integral triple I, usando coordenadas cilndricas, es:

I =

2pi0

20

2r+3r

r(rdzdrd)

=

2pi0

20

z2r+3r

r2drd

=

2pi0

20

(r3 + 3r2)drd

=

2pi0

14r4 + r3

20d =

2pi0

12d = 24pi

x2 + y2 = 4

(r = 2)

x

y

Fig. 3.66

Ejemplo 3.1.3 Calcular el volumen del solido S encerrado por las superficies:

x2 + y2 = 2x , x2 + y2 = 4x , z = x2 + y2 , x+ y = 0 , x y = 0 , z = 0

Solucion: De las ecuaciones dadas, deducimos que el solido S esta limitado lateralmente


por los planos x+ y = 0, x y = 0 y por loscilindros x2 + y2 = 2x y x2 + y2 = 4x, infe-riormente por el plano z = 0 y superiormentepor el paraboloide z = x2+y2. Completandocuadrados las ecuaciones de los cilindros pue-den reescribirse de la formas (x1)2+y2 = 1y (x2)2+y2 = 4, respectivamente. La pro-yeccion de los planos y de los cilindros en elplano xy encierran la region sombreada quemuestra la Figura 3.66. Transformando lasecuaciones a coordenadas polares encontra-mos que dicha region esta limitada por lasrectas = pi

4y = pi

4y por las circunferen-

cias r = 2 cos y r = 4 cos .

= pi4

= pi4

r = 4 cos

r = 2 cos x

y

Fig. 3.67

La ecuacion del paraboloide en coordenadas cilndricas es z = x2 + y2. As, el solidoesta definido en coordenadas cilndricas por las siguientes desigualdades:

S : pi4 pi

4, 2 cos r 4 cos , 0 z r2

El volumen de S, calculada en coordenadas cilndricas, es:

V (S) =

SdV =

pi4

pi4

4 cos 2 cos

r20

rdzdrd = 2

pi4

0

4 cos 2 cos

r20

rdzdrd

por la simetra del solido con respecto al plano xz. Integrando sucesivamente,

V (S) = 2

pi4

0

4 cos 2 cos

zr20rdrd

= 2

pi4

0

4 cos 2 cos

r3drd =1

2

pi4

0

r44 cos 2 cos

d = 120

pi4

0

cos4 d

Por identidades trigonometricas, se tiene que

cos4 =

(1 + cos 2

2

)2=

1

4

(1 + 2 cos +

1 + cos 4

2

)=

3

8+

cos 2

2+

cos 4

8

Reemplazando,

V (S) = 120

pi4

0

(3

8+

cos 2

2+

cos 4

8

)d

= 120

(3

8+

sen 2

4+

sen 4

32

) pi40=

15

4(3pi + 8).


Ejemplo 3.1.4 Determinar el volumen del solido S limitado por las superficies dadas encoordenadas cilndricas:

r = 2 , z + r2 = 4 , (z 8)2 + r2 = 4

y en la region en que x+ y 0 y z 8.

Solucion: Pasando cada ecuacion a coordenadas cartesianas identificamos que r = 2 co-rresponde al cilindro x2 + y2 = 4; z + r2 = 4 corresponde al paraboloide z = 4 x2 y2

cuyo vertice esta en el punto (0, 0, 4) y seabre hacia abajo; (z 8)2 + r2 = 4 corres-ponde a la esfera x2 + y2 + (z 8)2 = 4 cuyocentro es el punto (0, 0, 8). Por la condicionz 8, se toma solo el hemisferio debajo delplano z = 8. Notese que el radio de la super-ficie esferica es 2 y coincide con el radio delcilindro. Notese tambien que el paraboloideintersecta al plano xy en una circunferenciatambien de radio 2. Sin tomar en cuenta to-davia la condicion x + y 0, diremos quehay un solido limitado lateralmente por el elcilindro, inferiormente por el paraboloide y

x

y

z

Fig. 3.68

x+ y = 0

r = 2

x

y

superiormente por la superficie esferica. Si denotamos por S a este solido, entonces laFigura 3.68 muestra a S. Notese que la proyeccion de este solido en el plano xy es elcrculo x2 + y2 4. Tomando en cuenta ahora la condicion x+ y 0, entonces el solido Ssera solo la porcion de S que se proyecta sobre la parte del crculo que esta arriba de larecta x+ y = 0, tal como muestra tambien la Figura 3.68. Podemos decir entonces que elplano x+ y = 0 tambien limita lateralmente al solido S. As, el volumen del solido S es:

V (S) =

3pi4

pi4

20

84r24r2

rdzdrd

=

3pi4

pi4

20

[4r r

4 r2 + r3

]drd

=

3pi4

pi4

[2r2 + 1

3(4 r2) 32 + 1

4r4] 2

0d

=

3pi4

pi4

283d = 28pi

3

En muchas aplicaciones de integrales triples encontramos que la region de integracion esun solido de revolucion. Para dichos solidos puede resultar conveniente utilizar coordenadascilndricas y, aun cuando teoricamente existen 6 ordenes de integracion diferentes, dos sonlos principales ordenes de integracion mas usados. Estos ordenes son: dzdrd y drdzd.Para el primer caso se procede como en los ejemplos ya vistos: para hallar los lmites de ry se proyecta el solido en el plano xy. Para el segundo caso no es necesario proyectar el


solido en ningun plano. A continuacion deduciremos los lmites de integracion a partir delas ecuaciones de las curvas que rotan para generar las superficies de revolucion que limitanal solido.

Como paso previo, consideremos que el punto Q =(0, y, z) es un punto del plano yz que verifica y 0.Si este punto rota alrededor del eje z se genera unacircunferencia cuyo centro esta en el punto (0, 0, z)del eje z y cuyo radio coincide con la coordenaday del punto Q (ver Figura 3.70). Deducimos quetodos los puntos de la circunferencia generada tie-nen la misma coordenada z que el punto Q. Puestoque la distancia de un punto al eje z determina lacoordenada r de coordenadas cilndricas, deduci-mos tambien que todos los puntos de dicha cir-cunferencia tienen la misma coordenada r e iguala la coordenada y del punto Q. Todas estas con-sideraciones nos permiten establecer las siguientesconclusiones:

z

r

r = y

P (r, , z)

Q(0, y, z)

z

y

x

Fig. 3.70

Conclusiones:

1o) Si la curva en el plano yz, definida por las ecuaciones: z = (y) , x = 0 , y 0 ,rota alrededor del eje z se genera una superficie de revolucion cuya ecuacion encoordenadas cilndricas es z = (r) .

2o) Si la curva en el plano yz, definida por las ecuaciones: y = (z) , x = 0 , y 0 ,rota alrededor del eje z se genera una superficie de revolucion cuya ecuacion encoordenadas cilndricas es r = (z) .

Consideremos ahora que R es una region en el plano yz del Tipo I (ver Figura 3.71(a)),definida por las relaciones:

0 a y b , 1(y) z 2(y) , x = 0

SiR rota alrededor del eje z se genera un solido S de revolucion. Para obtener las superficiesque limitan a dicho solido, basta cambiar en las ecuaciones de las rectas y curvas que limitana R, todas las y por r. As, el solido de revolucion generado esta limitado lateralmente porlos cilindros r = a y r = b, inferiormente por la superficie z = 1(r) y superiormente por lasuperficie z = 2(r), tal como muestra la Figura 3.71(b). Notese que la proyeccion del solidoen el plano xy es la region interior a la circunferencia r = b y exterior a la circunferenciar = a. Deducimos que el solido S esta definido en coordenadas cilndricas por las siguientesrelaciones:

S : 0 2pi , a r b , 1(r) z 2(r) (3.12)


y = a y = b

z = 1(y)

z = 2(y)

R

(a)

z

y

Fig. 3.71

r = a

r = b

z = 1(y)

z = 2(r)

z

y

x(b)

Si ahora consideramos que una funcion f es integrable en la region S, entonces la inte-gral triple de dicha funcion sobre S, expresada en coordenadas cilndricas en el orden deintegracion dzdrd, es:

Sf(x, y, z) dV =

2pi0

ba

2(r)1(r)


En forma similar se determina que si la region R en el plano yz fuera del Tipo II, es decirdefinida por las relaciones:

c z d , 1(z) y 2(z) , x = 0 , y 0

entonces el solido de revolucion S generado por la rotacion deR alrededor del eje z estara li-mitada inferiormente por el plano z = c, superiormente por el plano z = d, y lateralmentepor las superficies r = 1(z) y r = 2(z). Estas dos ultimas superficies envuelven al eje zverificandose que los puntos de la superficie r = 1(z) estan mas proximos al eje z que lospuntos sobre la superficie r = 2(z), tal como muestra la Figura 3.72(a). As, el solido Sesta definido por las relaciones:

S : 0 2pi , c z d , 1(z) r 2(z) (3.14)

Entonces la integral triple de la funcion f sobre S, expresada en coordenadas cilndricasen el orden de integracion drdzd, es:

Sf(x, y, z) dV =

2pi0

dc

2(z)1(z)

f(r cos , r sen , z) rdrdzd (3.15)


y

z

y = 1(z)

y = 2(z)R

c

d

(a)

y

z

x

r = 1(z)

r = 2(z)

z = d

z = c(b)

Fig. 3.72

Observacion:Si el solido de revolucion se obtiene por la rotacion de una region del TipoI, que lleva a integrar en el orden dzdrd, no es necesario identificar cuales son las curvasque han rotado para determinar los lmites. Basta pasar las ecuaciones cartesianas a coor-denadas cilndricas y proyectar el solido en el plano xy, tal como se hizo en los ejemplos3.5.2, 3.5.3, 3.5.4 y 3.5.5. La deduccion de las desigualdades dadas en la ecuacion 3.12 y laaplicacion de la ecuacion (3.13) es una alternativa de solucion. Si el solido de revolucion seobtiene por la rotacion de una region del Tipo II, que lleva a integrar en el orden drdzd,entonces no es de utilidad la proyeccion del solido en el plano xy. En este caso resulta demayor utilidad la determinacion de las curvas que han de rotar para la determinacion delos lmites en la integral triple. Sin embargo, esto tampoco es necesario. En efecto, en laFigura 3.72 los lmites de y z estan claramente determinados. Para determinar los limitesde r tomamos en cuenta que si de un punto del eje z, entre los planos z = c y z = d, se trazauna recta perpendicular al eje z, dicha recta intersecta primero a la superficie r = 1(z),atravieza al solido, y sale por la superficie r = 2(z). Los valores de r en dichas superficiesdeterminan los lmites inferior y superior de r, respectivamente.

Ejemplo 3.1.5 Sea S el solido encerrado por la superficie esferica x2 + y2+ z2 = 10z y elcono z =

x2 + y2.

a) Calcular el volumen de S.

b) Calcular la integral triple I =

S

x2 + y2 + z2dV .

Solucion: La ecuacion de la superficie esferica puede reescribirse de la forma x2 + y2 +(z 5)2 = 25. Encontramos que su centro esta en el punto (0, 0, 5) y que su radio es 5.


En los puntos de interseccion se cumple:2z2 = 10z, esto es, z = 0 o z = 5. Con estosvalores encontramos que ambas superficies seintersectan en el origen y en la circunferencia

x2 + y2 = 25 , z = 5

Deducimos que el solido esta limitado infe-riormente por el cono y superiormente por lamitad superior de la superficie esferica, talcomo muestra la Figura 3.73. Observamosque la proyeccion del solido en el plano xyes el crculo encerrado por la circunferencia:x2 + y2 = 25 en dicho plano.

5

10

z = r

z = 5 +25 r2

z

y

x

Fig. 3.73

Pasando la ecuacion de la superficie esferica a coordenadas cilndricas y despejando zse obtiene: z = 5 25 r2. Para la mitad superior corresponde z = 5 + 25 r2. Laecuacion del cono en coordenadas cilndricas es z = r. Para la mitad superior correspondez = r. As, el solido S esta definido en coordenadas cilndricas por las relaciones:

0 2pi , 0 r 5 , r z 5 +25 r2 (1)

Estas mismas relaciones se obtienen al considerar que S es un solido de revolucion que sepuede obtener por la rotacion de la region R en el primer cuadrante del plano yz, encerradapor la circunferencia y2+ (z 5)2 = 25, la recta z = y y el eje z, alrededor del eje z. Dicharegion, mostrada en la Figura 3.74(a), es una region del Tipo I definida por las relaciones:

0 y 5 , y z 5 +25 y2 , x = 0 (2)

Cambiando todos los y por r se obtiene las relaciones: 0 r 5 y r z 5 +25 r2,que son los lmites para r y z en el solido de revolucion generado y son los mismos quemuestra las dos ultimas relaciones de la ecuacion (1). As,

a) El volumen del solido S es:

V (S) =

2pi0

50

5+25r2r

r dzdrd

=

2pi0

50

(5 +

25 r2 r

)rdrd

=

2pi0

52r2 1

3(25 r2)3/2 1

3r350d = 125pi


z = 5 +25 y2

z = y

5

10

R

y

z

(a)

Fig. 3.74

y =10z z2

y = z

5

10

R2

R1

(b)

y

z

b) La expresion de I sera:

I =

S

x2 + y2 + z2dV =

2pi0

50

5+25r2r

r2 + z2 rdzdrd

Encontramos que la integracion primero respecto de z no es inmediata. En cambio,si es inmediata la integracion primero respecto de r.La region R no es del Tipo IIpor lo que se hace necesario dividirlo en dos regiones R1 y R2 de este tipo, tal comomuestra la Figura 3.74(b). La region R1 esta definida por las desigualdades:

0 z 5 , 0 y z (3)

Si R1 rota alrededor del eje z se genera un solido de revolucion S1. En este solido lacoordenada vara de 0 a 2pi y la coordenada z de 0 a 5. Para hallar los lmites de rcambiamos en (3) y por r. As, el solido S1 esta definido por las desigualdades:

0 2pi , 0 z 5 , 0 r z

La region R2 esta definida por las desigualdades:

5 z 10 , 0 y 10z z2 (4)

Si R2 rota alrededor del eje z se genera un solido de revolucion S2. En este solidotambien la coordenada vara de 0 a 2pi y la coordenada z de 5 a 10. Para hallarlos lmites de r cambiamos en (4) y por r. As, el solido S2 esta definido por lasdesigualdades:

0 2pi , 5 z 10 , 0 r 10z z2


Ovbiamente, S = S1 S2. Notese que el plano z = 5 divide a S en S1 y S2. As,

I =

S1

x2 + y2 + z2dV +

S2

x2 + y2 + z2dV

=

2pi0

50

z0

r2 + z2rdrdzd +

2pi0

105

10zz20

r2 + z2rdrdzd

=

2pi0

50

13(r2 + z2)3/2

z0dzd +

2pi0

105

13(r2 + z2)3/2

10zz20

dzd

=

2pi0

50

13(22 1)z3dzd +

2pi0

105

13

(1010z3/2 z3) dzd

=

2pi0

112(22 1)z4

50d +

2pi0

13

(410z5/2 1

4z4) 10

5d

Evaluando en los lmites de z, integrando respecto de y simplificando,

I =

S

x2 + y2 + z2dV = 125(8

2)pi

Ejemplo 3.1.6 Calcular I = ds

Sex2+y2

z dV , donde S es el solido limitado por lassuperficies:

z2 = 4(x2 + y2) , 2z = x2 + y2 , z = 2

en la region en que z 2 .

Solucion: Identificamos las dos primeras ecuaciones como de un cono y un paraboloide,respectivamente. Ambas superficies se intersectan cuando z = 0 y cuando z = 8. As, haydos solidos limitados por las 3 superficies. Una arriba del plano z = 2 y otra debajo dedicho plano. El solido S es esta ultima y es como muestra la Figura 3.75(a).

r =2z

z = 2

r = z2

z

y

x

(a)

Fig. 3.75

y =2z

z = 2

y = z2

z

y

(b)

En coordenadas cilndricas,S

ex2+y2

zdV =

S

er2zrdzdrd =

S

er2zrdrdzd


Observamos que la integracion en el orden dzdrd es imposible. En cambio, es posible laintegracion en el orden drdzd. Como S es un solido de revolucion que tienen al eje z comoeje de rotacion, deducimos que el solido S es generado por la rotacion de la region en elprimer cuadrante del plano yz encerrada por la recta z = 2y, la parabola 2z = y2 y la rectaz = 2, alrededor del eje z. Dicha region es del Tipo II (ver Figura 3.75(b)) y esta definidapor las relaciones:

0 z 2 , z2 y

2z , x = 0

Entonces el solido S esta definido en coordenadas cilndricas por las relaciones:

0 2pi , 0 z 2 , z2 r

2z

As,

I =

2pi0

20

2zz2

er2zrdrdzd

Como el diferencial de r2

zes 2rdr

z, entonces multiplicando y dividiendo por 2

z, se tiene:

I =

2pi0

20

2zz2

er2z(2rdrz

) z2dzd

=

2pi0

20

er2z

2zz2

z2dzd = 1

2

2pi0

20

(e2z ze

z4

)dzd

Integrando por partes,

I = 12

2pi0

(12e2z2 4ze z4 + 16e z4

) 20d = 1

2

2pi0

(2e2 + 8e 16) d

Finalmente,I = pi

(2e2 + 8

e 16)

Ejemplo 3.1.7 Sea S el solido encerrado por el cono y2 + z2 = x2 y los planos x = 1 yx = 2. Calcular:

I =

S

(2x+ 2y + 2z)dV

Solucion: El eje del cono es el eje x y los planos x = 1 y x = 2 son paralelos al plano yz.

Por lo tanto, para mejor visualizacion, conviene di-bujar el plano yz horizontal. La Figura 3.76 mues-tra los ejes coordenados y al solido S. Utilizaremoscoordenadas cilndricas pero considerando al planoyz como el plano polar (donde se mide r y ). Esdecir, consideramos que las ecuaciones de transfor-macion son:

y = r cos , z = r sen , x = x

As, el solido S esta limitado por el cono x = r ylos planos x = 1 y x = 2. La integral triple es equi-

r = x

x = 2

x = 1

x

z

y

Fig. 3.76

valente a:


I =

S

(2x+ 2y + 2z)dV =

S

2xdV +

S

2ydV +

S

2zdV (1)

Observamos que S tiene simetra respecto de los planos xz y xy, pero no tiene simetrarespecto del plano yz. Como el integrando 2y es impar respecto de y y por la simetrade S respecto del plano xz, deducimos que

S2ydV = 0. En forma analoga deducimos

tambien que

S2zdV = 0. As, el valor de I es equivalente a a la siguiente integral triple:

I =

S

2xdV (2)

Puede integrarse en los ordenes: dxdrd y drdxd. En el primero tendramos que dividir elsolido en dos partes lo que hara el calculo laborioso. En cambio, para el segundo orden, elsolido esta totalmente definido por las relaciones:

0 2pi , 1 x 2 , 0 r x

y el calculo de I, segun la ecuacion (2), es:

I =

2pi0

21

x0

2x(rdrdxd)

=

2pi0

21

r2x0xdxd

=

2pi0

14x421d = 15pi

2

Coordenadas esfericas

Un punto P , expresado en coordenadas cartesianas por la terna (x, y, z), puede tambien

ser expresado por la terna (, , ), donde es la longitud del segmento que une P con elorigen O, el menor angulo que forma dichosegmento con el eje z positivo, y el anguloque forma el eje x positivo con el segmen-to OQ (proyeccion del segmento OP sobreel plano xy) (ver Figura 3.79). A dicha ter-na se le denomina coordenadas esfericasdel punto P . Notese que la coordenada esla misma que la de coordenadas cilndricasy tambien que la longitud del segmento OQcoincide con la coordenada r del punto P en

x

y

z

O

P

Q

(x, y, z)

(, , )

rx

z

y

Fig. 3.79

b

coordenadas cilndricas. De la figura hallamos que r = sen , entonces las ecuaciones querelacionan las coordenadas cartesianas con coordenadas esfericas son:

x = sen cos , y = sen sen , z = cos (3.16)


De estas ecuaciones se obtienen las siguientes tres ecuaciones:

x2 + y2 + z2 = 2 , x2 + y2 = 2 sen2 = r2 ,y

x= tan (3.17)

Consideremos ahora que en las ecuaciones de transformacion (3.1), en vez de usar lasletras u, v y w usemos las letras , y , y que las ecuaciones de transformacion coincidenexactamente con las ecuaciones (3.16). Ademas, para que la transformacion sea univalente,consideramos las siguientes restricciones: > 0, 0 pi y 0 < 0+2pi. El Jacobianode dicha transformacion es:

J(r, , z) =

x

x

x

y

y

y

z

z

z

=

sen cos cos cos sen sen

sen sen cos sen sen cos

cos sen 0

= 2 sen

As, dV = dxdydz = 2 senddd. Entonces la ecuacion (3.2) queda expresado de laforma:

Sf(x, y, z) dV =

Tf( sen cos , sen sen , cos)2 sen ddd (3.18)

= a

= pi

= 2pi

x = sen cos y = sen sen z = cos

Fig. 3.80 Transformacion mediante coordenadas esfericas.

z

x

y

x2 + y2 + z2 = a2

Aun cuando se ha dicho que debe tomarse > 0, esta equivalencia es valida tambien para = 0 (plano en el espacio ) debido a que = 0 implica x = 0 = y = z; es decir, laimagen de dicho plano es el origen de coordenadas y este punto determina volumen nulo.

Consideremos ahora que la region T es la region rectangular definida por las desigual-dades:

T : 0 2pi , 0 pi , 0 2pi (3.19)La Figura 3.80 muestra la region T . Tengase presente que si en este espacio a un punto sele asigna la terna (, , ), entonces dicha terna denota las coordenadas cartesianas de talpunto. A continuacion, determinaremos la imagen de T en el espacio xyz. Las imagenesde los planos de la forma = , donde es una constante en el intervalo [0, pi], son lasmismas que en coordenadas cilndricas: semiplanos perpendiculares al plano xy que pasansobre el eje z. Para hallar las imagenes de los planos de la forma = , donde es unaconstante en el intervalo [0, pi], reemplazamos dichos valores constantes en las ecuaciones


(3.16). As, si = 0, entonces x = 0 = y y z = . Estas ecuaciones definen al semieje zpositivo. Concluimos que este semieje es la imagen del plano = 0 del espacio . Enforma analoga, determinamos que la imagen del plano = pi es el semieje z negativo. Para = pi

2se obtienen: z = 0 y x2 + y2 = 2. Al variar en el intervalo [0,+ se genera

todo el plano xy. As, el plano xy es la imagen del plano = pi2. Para cualquier otro valor

= reemplazado en las ecuaciones (3.5), se obtienen las ecuaciones: x2 + y2 = 2 sen2 y z2 = 2 cos2 . Eliminando de estas ecuaciones se obtiene la ecuacion:

x2 + y2 = (tan )2 z2 (3.20)

Las ecuaciones de esta forma corresponde a conos circulares rectos con vertice en el origeny cuyas generatrices forman con el eje z positivo el angulo . Si 0, pi

2 entonces z > 0

y el cono se abre hacia arriba. Si pi2, 0 entonces z < 0 y el cono se abre hacia abajo.

As, al variar desde 0 hasta pi, las imagenes (los conos) generan todo el espacio xyz.La imagen del plano = 0 se halla reemplazando este valor en la primera de las ecuaciones(3.17) obteniendose x2 + y2 + z2 = 02, ecuacion que corresponde al origen de coordenadas.En forma similar se halla que la imagen del plano = a es x2 + y2 + z2 = a2. Deducimosque al variar desde 0 hasta a equivale a generar superficies esfericas centradas en elorigen cuyos radios varan desde 0 hasta a. Teniendo en cuenta todo lo anterior deducimosque la imagen de la region rectangular, definida por las desigualdades (3.19), es la esferax2 + y2 + z2 a2, razon por la cual al sistema se le denomina coordenadas esfericas. Siahora consideramos que una funcion f es integrable en la region S, entonces de la ecuacion(3.18),

Sf(x, y, z) dV =

2pi0

pi0

a0

f( sen cos , sen sen , cos)2 sen ddd

(3.21)Observacion: Que la imagen de los planos igual a una constante son conos era deesperarse por la definicion inicial de la coordenada en el mismo espacio xyz. En efecto,si el segmento OP de la Figura 3.79 se hace rotar alrededor del eje z se genera un conocircular recto. Se verifica que todas las generatrices de dicho cono forman con el eje zpositivo el mismo angulo .

Aun cuando tambien existen 6 ordenes de integracion, consideramos solo aplicacionesque llevan a integrar en el orden ddd. Para este tipo de aplicaciones la region S en elespacio xyz es imagen de la region T definida por las relaciones:

, 1 2 , F1(, ) F2(, ) (3.22)

Estas relaciones dan los lmites de , y . En la practica es la region S en el espacioxyz lo que se tiene y no la region T de la cual es su imagen. Sin embargo, al igual que encoordenadas cilndricas, no es necesario determinar cual es la region T de la que S es suimagen. De la misma region S se determinan dichos lmites. La interpretacion de S comoimagen de cierta region T en otro espacio es solo para la validez de la ecuacion (3.18).En forma mas directa se considera que los semiplanos, que son imagenes de los planos = y = , tienen por ecuacion en coordenadas esfericas justamente las ecuaciones = y = . Igualmente, los conos que son imagenes de los planos = 1 y = 2,tienen por ecuaciones en coordenadas esfericas justamente las ecuaciones = 1 y = 2.La imagenes de las superficies = F1(, ) y = F2(, ) seran dos superficies a lasque podemos denominar como S1 y S2. Debe verificarse que si del origen de coordenadas


se traza una recta hacia el solido, dicha recta intersectara primero a S1 y luego a S2.Tambien diremos que = F1(, ) y = F2(, ) son las ecuaciones en coordenadasesfericas de S1 y S2, respectivamente. As por ejemplo, si en el espacio xyz consideramos lasuperficie x2 + y2 = z2, que como sabemos corresponde a un cono circular recto, entoncestransformando a coordenadas esfericas su ecuacion se obtiene:

tan2 = 1 = = pi4

o =3pi

4

Deducimos que la mitad superior del cono es la imagen del plano = pi4del espacio , y

que la mitad inferior, la imagen del plano = 3pi4de dicho espacio. En forma mas directa

diremos que = pi4y = 3pi

4son las ecuaciones en coordenadas esfericas de las mitades

superior e inferior del cono, respectivamente. En los siguientes ejemplos describiremos laforma de hallar los lmites de , y , directamente del solido S.

Ejemplo 3.1.8 Determinar el volumen del solido interior al cono z =x2 + y2 e interior

la superficie esferica x2 + y2 + z2 = 4.

Solucion: La Figura 3.81 muestra el solido. Esta limitado inferiormente por el cono ysuperiormente por la superficie esferica. Si usamos coordenadas esfericas, entonces pasando

las ecuaciones a dicho sistema se obtiene que laecuacion del cono se transforma en = pi

4y la

ecuacion de la superficie esferica en = 2. Comoes un solido de revolucion, entonces en el solidola coordenada vara de 0 a 2pi. Para obtener loslmites de observamos que hay puntos del ejez positivo que pertenecen al solido. Si ahora nosimaginamos como que el eje z positivo se va trans-formando en conos circulares que se van abriendocada vez mas (como un abanico), observaremos

z

x

y

x2 + y2 + z2 = 4

( = 2)

z =x2 + y2(

= pi4

)

Fig. 3.81

que dichos conos contienen puntos del solido hasta cuando coincida con el cono = pi4. Si se

siguen abriendo mas se observara que ya los conos no contienen puntos del solido (salvo elorigen de coordenadas ya incluido en los conos anteriores). Por lo tanto, deducimos que enel solido la coordenada vara de 0 a pi

4. Para determinar los lmites de nos imaginamos

lneas rectas que parten del origen hacia el solido. Como el origen pertenece al solido,entonces el mnimo valor de es 0. Luego estas lneas atraviesan al solido aumentando sudistancia al origen y por lo tanto el valor de . Finalmente salen por la superficie esferica endonde toma su maximo valor dado por la ecuacion de esta superficie: = 2. Por lo tanto,deducimos que en el solido vara de 0 hasta 2. Concluimos que el solido esta definido porlas siguientes desigualdades:

0 2pi , 0 pi4

, 0 2


y el volumen del solido es:

V (S) =

2pi0

pi4

0

20

2 sen ddd

=

2pi0

pi4

0

13320sen dd = 8

3

2pi0

cospi40d = 8pi

3(22)

Ejemplo 3.1.9 Resolver nuevamente el ejemplo 3.5.6 utilizando coordenadas esfericas.

Solucion: Pasaremos las ecuaciones a coordenadas esfericas. La ecuacion x2+y2+z2 = 10z(superficie esferica) se transforma en:

2 = 10 cos = = 0 o = 10 cosLa ecuacion = 0 corresponde solo al origen de coordenadas, punto que tambien se obtiene

de la ecuacion = 10 cos cuando = pi2.

Por lo tanto, la ecuacion = 10 cos corres-ponde a toda la superficie esferica. La ecua-cion del cono z =

x2 + y2 se transforma en

= pi4. La Figura 3.82 muestra nuevamente

el solido S del ejemplo 3.5.6. con las ecua-ciones en coordenadas esfericas de las super-ficies que lo limitan. Como es un solido derevolucion, con el eje z como eje de revolu-cion, deducimos que los lmites de son desde0 hasta 2pi. Como el eje z positivo contienepuntos del solido y todo el solido esta en la

5

10

= pi4

= 1 cos

z

y

x

Fig. 3.82

region interior al cono, deducimos que vara desde 0 hasta pi4. Ademas, si desde el origen

se traza una recta cualquiera hacia el solido, esta recta atravieza al solido y sale por lasuperficie esferica. Como el origen pertenece al solido y en la superficie esferica = 10 cos,entonces vara desde 0 hasta 10 cos. As, el solido S esta definido en coordenadas esfericaspor las desigualdades:

0 2pi , 0 pi4

, 0 10 cosEntonces el volumen del solido es:

V (S) =

2pi0

pi4

0

10 cos 0

2 sen ddd

=

2pi0

pi4

0

13310 cos0

sen dd

= 10003

2pi0

pi4

0

cos3 sendd

= 2503

2pi0

cos4 pi40d = 125pi


La integral triple

S

x2 + y2 + z2 es:

I =

2pi0

pi4

0

10 cos0

3 sen ddd

=

2pi0

pi4

0

14410 cos0

sen dd

= 2500

2pi0

pi4

0

cos4 sendd = 500 2pi0

cos5pi40d = 125(82)pi

Encontramos que tanto el volumen de S como el valor de I, coinciden con lo hallado en elejemplo 3.5.6,utilizando coordenadas cilndrica. Comparando el grado de dificultad en lasdos formas de calculo, encontramos que casi no hay diferencia al calcular el volumen. Encambio, el calculo de I es mas inmediato utilizando coordenadas esfericas. No quiere decirque coordenadas esfericas es mejor que coordenadas cilndricas. Es mejor en este caso, peroen otro podra ser mejor utilizar coordenadas cilndricas u otro tipo de coordenadas.

Ejemplo 3.1.10 Calcular el valor de I, si

I =

22

4x24x2

4x2y2

4x2y2e(x

2+y2+z2)3/2 dzdydx (1)

Solucion: Observamos que la integracion en coordenadas cartesianas resulta muy com-plicada. De los lmites de z observamos el solido esta limitado por las mitades superior einferior de la superficie esferica x2 + y2 + z2 = 4. La region encerrada por esta superficiese proyecta en el plano xy sobre el crculo x2 + y2 4, crculo que esta definido por lasrelaciones 2 x 2 , 4 x2 y 4 x2 (ver Figura 3.83) y que son justamentelos lmites de x e y en la integral triple I. Deducimos que la region de integracion es laregion encerrada por la superficie esferica x2 + y2 + z2 = 4. Esta region esta definida encoordenadas esfericas por las desigualdades:

0 2pi , 0 pi , 0 2

As, (1) es equivalente a:

I =

2pi0

pi0

20

e3

2ddd

y =4 x2

y = 4 x2

y

x

Fig. 3.83

Como los lmites son constantes y el integrando puede agruparse, separando las variables,entonces la expresion anterior es equivalente a:

I =

( 2pi0

d

)( pi0

sen d

)( 20

13e

3

32d

)

=

(2pi0

)( cos

pi0

)(13e

3

20

)= 4

3pi(e8 1)


Ejemplo 3.1.11 Calcular el volumen del solido encerrado por la superficie

(x2 + y2 + z2)2 = a3x , a > 0

Solucion: Pasando la ecuacion a coordenadas esfericas, se tiene:

(2)2 = a3 sen cos = 3 = a3 sen cos (1)Como el primer miembro de (1) es no negativo, entonces el segundo miembro tambien.Como sen es mayor o igual a 0, para todo el intervalo [0, pi], entonces debe verificarse:cos 0; es decir, [pi

2, pi2]. As, en los puntos de la superficie definida por la ecuacion

(1), [0, pi], [pi2, pi2]. Entonces en la region encerrada por la superficie, tambien las

variables y toman los mismos valores de estos intervalos, respectivamente. Despejando de la ecuacion (1), = 3

a3 sen cos . Notese que el menor valor de en esta ecuacion es

0 (corresponde al origen de coordenadas) cuando = 0 o = pi2. As, el solido esta definido

por las desigualdades:

pi2 pi

2, 0 pi , 0 3

a3 sen cos

El volumen del solido es:

V =

pi2

pi2

pi0

3a3 sen cos 0

2 sen ddd

= 13a3 pi

2

pi2

pi0

sen2 cos dd

= 13a3 pi

2

pi2

cos d

pi0

12(1 cos 2)d

= 16a3(sen

pi2pi

2

)( sen 2

2

pi0

)= 1

3pia3

Ejemplo 3.1.12 Sea S el solido encerrado por la superficie

(x2 + y2 +

z2

4

)3= yz . Cal-

cular:

I =

S

4x2 + 4y2 + z2 dV

Solucion: Consideremos previamente la transformacion lineal:

x = x , y = y , z = 2z

As, dx = dx , dy = dy , dz = 2dz. Ademas, dV = dxdydz = 2(dxdydz) = 2dV . Laecuacion de la superficie se transforma en

[(x)2 + (y)2 + (z)2]3 = 2yz (1)

y la integral triple es equivalente a:

I = 4

S

(x)2 + (y)2 + (z)2 dV

donde S es el solido encerrado por la superficie definida por la ecuacion (1). Pasando ahoraa coordenadas esfericas:

x = sen sen , y = sen cos , z = cos

la ecuacion (1) se transforma en:


(2)3 = 22 sen cos sen = 4 = 2 sen cos sen (2)El segundo miembro de (2) debe ser positivo. Por lo tanto, cos sen 0 o bien, cos ysen deben ser ambos positivos o ambos negativos. As, debe verificarse:(

0 pi , 0 pi2

)o

(pi 2pi , pi

2 pi)

De (2), = 42 sen cos sen . De esta ecuacion = 0 para = 0, o = pi

2o = 0 o

= pi, y como la superficie es cerrada, entonces los lmites de en la region encerrada es:

0 42 sen cos sen

Entonces el valor de I es:

I = 4

[ pi0

pi2

0

42 sen cos sen 023 senddd +

2pipi

pipi2

42 sen cos sen 023 sen ddd

]

= 2

[ pi0

pi2

0

4 42 sen cos sen 0

sen dd +

2pipi

pipi2

4 42 sen cos sen 0

sen dd

]

= 4

[ pi0

sen d

pi2

0

sen2 cosd+

2pipi

sen d

pipi2

sen2 cosd

]

= 43

[( cos )

pi0(sen3 )

pi20+ ( cos )

2pipi

(sen3 )pipi2

]= 4

3[2 + 2] = 16

3

Ejemplo 3.1.13 Sea S el solido comun a las esferas

x2 + y2 + z2 = 8 y x2 + y2 + z2 = 4z

y sea la integral triple I =

S z dV . Expresar los lmites para I utilizando coordenadasesfericas. Luego, calcular el valor de I.

Solucion: La ecuacion x2 + y2 + z2 = 4z es equivalente a x2 + y2 + (z 2)2 = 4. As, estaesfera tiene su centro en el punto (0, 0, 2 y radio 2. La Figura 3.85(a) muestra al solido S(region comun a las dos esferas). La interseccion de las esferas es la circunferencia definida

=8

= 4 cos

(a)

z

y

x

Fig. 3.85

2

2

z = y8

y2 + z2 = 8

y2 + z2 = 4z

(b)

z

y


por las ecuaciones: x2 + y2 = 4 (r = 2) y z = 2. Pasando las ecuaciones a coordenadasesfericas estas se transforman en =

8 y = 4 cos, respectivamente. Notese que en los

puntos de interseccion: = pi4. Si la region sombreada que muestra la Figura 3.85(b) rota

alrededor del eje z se genera el solido S. Como la rotacion de la recta z = y genera el cono = pi

4, deducimos que este cono divide al solido en dos partes. Una region interior al cono

definida por las desigualdades:

0 2pi , 0 pi4

, 0 8

y otra region exterior al cono definida por las desigualdades:

0 2pi , pi4 pi

2, 0 4 cos

Entonces I en coordenadas esfericas esta expresado por dos integrales triples, siendo loslmites:

I =

2pi0

pi4

0

80

3 cos senddd +

2pi0

pi2

pi4

4 cos0

3 cos senddd (1)

No resulta complicado el calculo de estas dos integrales triples. Sin embargo, el calculode I es mas inmediato utilizando coordenadas cilndricas. En coordenadas cilndricas Sesta definido por las desigualdades:

0 2pi , 0 r 2 , 24 r2 z

8 r2

As, escogiendo la forma mas simple para calcular I,

I =

2pi0

20

8r224r2

zrdzdrd

=

2pi0

20

12z28r22

4r2

rdrd =

2pi0

d

20

24 r2rdr = (2pi) (16

3

)= 32pi

3

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA FISICA 33

3.2. Aplicaciones de las integrales dobles y triples a

la Fsica

3.2.1. Centro de masa de un sistema de partculas

Consideremos un cuerpo de peso w. Si g es la aceleracion de la gravedad, entonces lamasa m de dicho cuerpo es:

m =w

go bien, w = mg

Si en el tamano del espacio en que se encuentra el cuerpo, sus dimensiones resultan insig-nificantes, entonces a dicho cuerpo se le denomina partcula. Haciendo una abstraccionpodemos considerar que la masa total de una partcula se encuentra concentrado en un solopunto, y as, representarlo por un solo punto y denominarlo masa puntual. Al punto enel cual se considera concentrado la masa del cuerpo se llama centro de masa del cuerpo.

Consideremos etonces que una partcula de masa m esta situado en un punto P que seencuentra a una distancia dirigida r de un plano pi. Se denomina momento de masa oprimer momento de la partcula de masa m, con respecto a dicho plano pi, al productorm. Si denotamos por Mpi a este momento de masa, entonces:

Mpi = rm

Como la distancia dirigida r puede ser positiva o negativa, de acuerdo al lado del plano enque se encuentra el punto P , entonce el momento Mpi puede ser positivo, negativo o cero.Sera cero si el punto esta sobre el plano pi. De lo anterior, deducimos que si el punto Ptiene coordenadas cartesianas (x, y, z), entonces los momentos de masa de la partcula demasa m con respecto a los planos yz, zx y xy, son respectivamente:

Myz = xm , Mzx = ym , Mxy = zm

Consideremos ahora que tenemos un sistema de n partculas (masas puntuales) m1, m2, , mn, situados en los puntos P1, P2, , Pn cuyas distancias dirigidas a un plano pi sonr1, r2, , rn, respectivamente, entonces el momento de masa o primer momento Mpide dicho sistema es:

Mpi = r1m1 + r2m2 + + rnmn =ni=1

rimi

Analogamente, si las coordenadas rectangulares de dichos puntos son

P1 = (x1, y1, z2) , P2 = (x2, y2, z2) , , Pn = (xn, yn, zn)

entonces los momentos de masa con respecto a los planos yz, zx y xy son:

Myz = x1m1 + x2m2 + + xnmn =ni=1

ximi

Mzx = y1m1 + y2m2 + + ynmn =ni=1

ximi


Myz = x1m1 + x2m2 + + xnmn =ni=1

yimi

Si M es la masa total del sistema, entonces:

M = m1 +m2 + +mn =ni=1

mi

El centro de masa del sistema de n partculas es el punto en el cual debe colocarse unamasa puntual igual a M para producir los mismos momentos de masa que producen las npartculas. Si las coordenadas rectangulares de dicho centro de masa son (x, y, z), entonces:

x =Myz

M, y =

Mzx

M, z =

Mxy

M

Ejemplo 3.2.1 Una partcula se encuentra situada en el punto P1 = (1, 1, 3). Una segundapartcula de masa doble que la primera esta situada en el punto P2 = (2, 0,1). Unatercera partcula de masa 3

5de la segunda esta situada en el punto P3 = (2, 3, 1). Hallar el

centro de masa del sistema.

Solucion: Sea m la masa de la primera partcula. Entonces las masas de la segunda ytercera partculas seran 2m y 6

5m, respectivamente. Entonces la masa total del sistema es

M = m+ 2m+ 65m = 21

5m. Las coordenadas del centro de masas del sistema son:

x =Myz

M=

1(m) + (2)(2m) + 2(65)(m)

215m

= 17

y =Mzx

M=

1(m) + (0)(2m) + 3(65)(m)

215m

=23

21

z =Mxy

M=

3(m) + (1)(2m) + 1(65)(m)

215m

=11

21

As, el centro de masa del sistema es el punto(1

7, 2321, 1121

).

El momento de peso de una partcula de peso w = mg, que se encuentra a unadistancia dirigida r de un plano pi, se define como el producto wr. Igualmente, si se tieneun sistema de n partculas de pesos w1, w2, , wn, cuyas distancias dirigidas al plano pison r1, r2, , rn, respectivamente, entonces el momento de peso Wpi se define como:

Mpi = r1w1 + r2w2 + + rnwn =ni=1

riwi

SiWyz, Wzx yWxy, representan los momentos de peso del sistema con respecto a los planosyz, zx yxy, respectivamente, entonces el punto de coordenadas (x, y, z) tal que:

x =Wyz

w, y =

Wzx

w, z =

Wxy

w

donde w = w1 + w2 + +wn, se denomina centro de gravedad del sistema. Comowi = mig, puede demostrarse que si los pesos estan en un campo gravitacional uniforme(aceleracion de la gravedad constante), entonces el centro de gravedad coincide con el centrode masa del sistema.


3.2.2. Centro de masa de un cuerpo continuo

Si se tiene un sistema conformado por un numero grande de partculas puede conside-rarse que dicho sistema esta constituido no por partculas individuales sino por un continuode materia denominado cuerpo continuo. As, diremos que un cuerpo continuo es aquelque ocupa toda una region cerrada y acotada de R3. Si S es el espacio ocupado por elcuerpo continuo, entonces podemos llamar como S tanto a dicho espacio como al cuerpocontinuo que lo ocupa. Si la densidad es la misma en todos los puntos del cuerpo se diceque dicho cuerpo es homogeneo. Si dicha densidad constante es , la masa m y el volumenV , entonces se verifica:

=m

Vo m = V

Si la densidad de un cuerpo continuo no es el mismo en todos los puntos se dice que el cuerpocontinuo es heterogeneo. Si la densidad en el punto P = (x, y, z) depende de x, y y z,entonces expresamos que la densidad es (x, y, z). Denominemos por S al espacio ocupadopor el cuerpo continuo heterogeneo y consideremos que la densidad (x, y, z) es continuaen cada punto de S. Por medio de planos paralelos a los planos coordenados podemosobtener una particion del cuerpo S en paraleleppedos rectangulos. Sea n el numero deparaleleppedos en que se ha dividido S. En el i-esimo paraleleppedo de volumen iVescojamos un punto cualquiera tal como (xi, yi, zi) (ver Figura 3.91). Entonces un valoraproximado para la masa correspondiente a este i-esimo paraleleppedo es:

im = (xi, yi, zi)iV

Los momentos de masa producidos por estamasa im, con respecto a los planos yz, zxy xy son respectivamente,

iMyz = xi (xi, yi, zi)iViMzx = yi (xi, yi, zi)iViMxy = zi (xi, yi, zi)iV

(xi, yi, zi)

S

x

z

y

Fig. 3.91

As, para un valor de n relativamente grande, la sumatoria:

ni=1

(xi, yi, zi)iV

sera un valor aproximado para la masa total del cuerpo S. Igualmente, las sumatorias:

ni=1

xi (xi, yi, zi)iV ,

ni=1

yi (xi, yi, zi)iV ,

ni=1

zi (xi, yi, zi)iV

seran valores aproximados para los momentos de masa del cuerpo S respecto de los planosyz, zx y xy, respectivamente. Como la densidad es continua en S, entonces cada unode estas sumatorias tendran lmite cuando n crece ilimitadamente, originando integralestriples. Esto permite establecer las siguientes definiciones:

Definicion 3.2.1 Sea S el espacio ocupado por un cuerpo continuo cuya densidad en elpunto (x, y, z) es (x, y, z), continua en cada punto de S. La masa total M del cuerpo


continuo es:

m =

S

(x, y, z)dV (3.23)

Los momentos de masa del cuerpo continuo con respecto a los planos yz, zx y xy, denotadospor Myz, Mzx y Mxy respectivamente, es:

Myz =

S

x (x, y, z)dV (3.24)

Mzx =

S

y (x, y, z)dV (3.25)

Mxy =

S

z (x, y, z)dV (3.26)

El centro de masa del cuerpo continuo es el punto (x, y, z) tal que:

x =Myz

m=

S

x (x, y, z)dVS

(x, y, z)dV

(3.27)

y =Mzx

m=

S

y (x, y, z)dVS

(x, y, z)dV(3.28)

z =Mxy

m=

S

z (x, y, z)dVS

(x, y, z)dV

(3.29)

Si el cuerpo continuo es homogeneo, y si la densidad constante es k, entonces de la ecuacion(3.23), encontramos que la masa del cuerpo es:

m = k

S

dV = kV (3.30)

donde V es el volumen del cuerpo. Igualmente, de las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.29),encontramos que el centro de masa es el punto (x, y, z) tal que:

x =

S

xdV

V, y =

S

ydV

V, z =

S

zdV

V(3.31)

En este caso al centro de masas se le denomina centroide y depende solo de la figurageometrca del cuerpo continuo homogeneo.

Ejemplo 3.2.2 Determinar el centro de masa de un cono solido de altura h y radio de subase a, si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia de ese punto a la basedel cono.


Solucion: Consideremos que el eje del cono es el eje z y que su base esta en el planoxy. Podemos considerar que el cono solido se ha generado por la rotacion de la regionsombreada en el plano yz que muestra la Figura 3.92(a), alrededor del eje z. La ecuacion

(0, h)

(a, 0)

(a)

z

y

Fig. 3.92

(b)

z

(x, y, z)

z

y

x

del segmento de recta que une los puntos (0, h) y (a, 0) es z = ha(a y). Cambiando en

esta ecuacion y por r, encontramos que la ecuacion de la superficie lateral del cono encoordenadas cilndricas es: z = h

a(a r). As, si S es el espacio ocupado por el cono solido,

entonces S esta definido en coordenadas cilndricas por las relaciones:

0 2pi , 0 r a , 0 z ha(a r)

Si (x, y, z) es un punto cualquiera en el cono solido, entonces su distancia a su base (planoxy) es z (ver Figura 3.92(b)). Entonces la densidad en dicho punto es (x, y, z) = kz, dondek es la constante de proporcionalidad. As, la masa total del cono solido es:

m =

S

(x, y, z)dV =

S

kzdV = k

S

zdV

Utilizando coordenadas cilndricas,

m = k

2pi0

a0

ha(ar)

0

zrdzdrd

= kh2

2a2

2pi0

d

a0

(a2r 2ar2 + r3) dr

= kh2

2a2(2pi)

[12a2r2 2

3ar3 + 1

4r4] a

0= 1

12kpia2h2

De las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.29), los momentos de masa respecto de los planos yz,zx y xy son, respectivamente:

Myz = k

S

xzdV , Mzx = k

S

yzdV , Mxy = k

S

z2dV

Como el integrando xz es impar respecto de x y el cono tiene simetra respecto del planoyz, deducimos que

SxzdV = 0. Igualmente, el integrando yz es impar respecto de y, y


por la simetra respecto del plano xz, tambien

SyzdV = 0. As, Myz = 0 y Mzx = 0. En

cambio,

Mxy = k

2pi0

a0

ha(ar)

0

z2rdzdrd

= kh3

3a3

2pi0

d

a0

(a3r 3a2r2 + 3ar3 r4) dr

= kh3

3a3(2pi)

[12a3r2 a2r3 + 3

4ar4 1

5r5] a

0= 1

30kpia2h3

Reemplazando los valores de los momentos de masa hallados, en las ecuaciones (3.27),(3.28) y (3.29), el centro de masa es el punto (x, y, z) tal que:

x = 0 , y = 0 , z =2

5h

Ejemplo 3.2.3 Un cuerpo ocupa la region S limitada por las superficies:

x+ z = 4 , y + z = 3 , x = 0 , y = 0 , z = 0

Si la densidad en el punto (x, y, z) es (x, y, z) = kx, donde k es una constante positiva,hallar los momentos estaticos respecto de los planos coordenados y el centro de masa dedicho cuerpo.

Solucion: La Figura 3.93(a) muestra el solido S. De la figura deducimos que si el planoxz fuera horizontal, diriamos que el cuerpo esta limitado lateralmente (verticalmente) porlos planos z + x = 3, x = 0 y z = 0, inferiormente por el plano y = 0 y superiormente porel plano y = 3 z. As, la proyeccion del cuerpo sobre el plano xz es la region sombreadaque muestra la Figura 3.93(b).

x

y

z

z + x = 3 z + y = 3

(a)

Fig. 3.93

z = 3 x

3

3

z

x

(b)


Los momentos estaticos respecto de los planos yz, zx y xy son respectivamente:

Myz =

S

x(x, y, z)dV =

30

3x0

3z0

kx2dydzdx

= k

30

12(3 z)2

3x0

x2dx = k2

(15x5 3x3) 3

0= 81k

5

Mzx =

S

y(x, y, z)dV =

30

3x0

3z0

kxydydzdx

= k2

30

13(3 z)3

3x0

xdx = k6

(15x5 27

2x2) 3

0= 243k

20

Mxy =

S

z(x, y, z)dV =

30

3x0

3z0

kxzdydzdx

= k

30

32z2 1

3z33x0

xdx = k6

(25x5 9

4x4 + 27

2x2) 3

0= 243k

40

La masa total del cuerpo es:

m =

S

(x, y, z)dV =

30

3x0

3z0

kxdydzdx

= k

30

(3z 1

2z2) 3x

0xdx = k

2

(92x2 1

4x4) 3

0= 81k

8

Reemplazando los valores de los momentos de masa hallados, en las ecuaciones (3.27),(3.28) y (3.29), encontramos que el centro de masa es el punto (x, y, z) tal que:

x =8

5, y =

6

5, z =

3

5

Ejemplo 3.2.4 Sea S la region interior al paraboloide 4z = x2 + y2, exterior al conoz2 = 3x2 + 3y2 y debajo del plano z = 4. Un cuerpo continuo ocupa la region S de modoque la densidad en el punto (x, y, z) es (x, y, z) = 10 + x+ y + z. Halle la masa total y elcentro de masa de dicho cuerpo.

Solucion: La Figura 3.94 muestra el solido S. Notamos que S es un solido de revolucion

cuyo eje es el eje z. Notamos tambien que Stiene simetra respecto de los planos xz e yz.Para calcular el centro de masas debemoscalcular previamente las integrales triples:

Sx(x, y, z)dV ,

Sy(x, y, z)dV y

Sz(x, y, z)dV . Como

(x, y, z) = 10 + x+ y + z

estas integrales se pueden expresar de las si-guientes formas:

r = 2z

z = 4

r = z3

z

y

x

Fig. 3.94


S

x(10 + x+ y + z)dV =

S

x(10 + y + z)dV +

S

x2dV

S

y(10 + x+ y + z)dV =

S

y(10 + x+ z)dV +

S

y2dV

S

z(10 + x+ y + z)dV =

S

xzdV +

S

yzdV +

S

(10z + z2)dV

Los integrandos x(10 + y + z) y xz son impares respecto de x, y como S tiene simetrarespecto del plano yz, sus integrales triples sobre S son iguales a 0. Analogamente, losintegrandos y(10 + x+ z) e yz son impares respecto de y, y por la simetra de S respectodel plano xz, sus integrales triples sobre S son tambien iguales a 0. As, las tres integralesson equivalentes a:

S

x(x, y, z)dV =

S

x2dV

S

y(x, y, z)dV =

S

y2dV

S

z(x, y, z)dV =

S

(10z + z2)dV

La ecuacion del paraboloide y del cono en coordenadas cilndricas son 4z = r2 (r = 2z)

y z =3r (r = z

3), respectivamente. As, la region S esta definido en coordenadas

cilndricas por las relaciones:

0 2pi , 0 z 4 , z3 r 2z

La primera integral triple es:S

x2dV =

2pi0

40

2zz3

r3 cos2 drdzd

= 14

2pi0

12(1 + cos 2)d

40

(16z2 1

9z4)dz

= 18

( + 1

2sen 2

) 2pi0

(163z3 1

45z5) 4

0= 512(7pi)

45

Entonces: S

x(x, y, z)dV =512(7pi)

45

La segunda integral triple es:S

x2dV =

2pi0

40

2zz3

r3 sen2 drdzd

El valor de esta integral triple coincide con la integral triple anterior. As,S

y(x, y, z)dV =512(7pi)

45


La tercera integral triple es:

S

(10z + z2)dV dV =

2pi0

40

2zz3

(10z + z2) drdzd

= 12

2pi0

d

40

(120z2 + 2z3 z4) dz

= pi3

(40z3 + 1

2z4 1

5z5) 4

0= 128(97pi)

15

As, S

z(x, y, z)dV =128(97pi)

15

La masa total del cuerpo es:

m =

S

(x, y, z)dV =

S

(10 + x+ y + z)dV

=

S

(10 + z)dV +

S

xdV +

S

ydV

Las dos ultimas integrales triples valen 0. Por lo tanto,

m =

2pi0

40

2zz3

(10 + z) rdrdzd

= 16

2pi0

d

40

(120z + 2z2 z3)dz = pi3

(60z2 + 2

3z3 1

4z4) 4

0

Evaluando, encontramos que la masa total del cuerpo es:

m =256(11pi)

9

As, el centro de masa del cuerpo es el punton (x, y, z) tal que:

x =

Sx(x,y,z)dV

m=

512(7pi)45

256(11pi)9

=14

55

y =

S y(x,y,z)dV

m=

512(7pi)45

256(11pi)9

=14

55

z =

S z(x,y,z)dV

m=

128(97pi)15

256(11pi)9

=291

110

Ejemplo 3.2.5 Calcular el centroide del cuerpo homogeneo que ocupa la porcion de laesfera x2 + y2 + z2 = a2 en el primer octante.

Solucion: Como el cuerpo es homogeneo, entonces la densidad es constate. Sea (x, y, z) =k dicha densidad. Denominemos por S a la porcion de la esfera en el primer octante. Por


formula, el volumen de S es V = 18

(43pia3

)= 1

6pia3. Para el calculo de los numeradores en

la ecuacion (3.31) utilizaremos coordenadas esfericas. As,

S

xdV =

pi2

0

pi2

0

a0

( sen cos )2 senddd

=

pi2

0

cos d

pi2

0

sen2 d

a0

3d

= sen pi20

[ pi2

0

12(1 cos 2)d

]144a0

= 18a4[ 1

2sen 2

] pi20= 1

16pia4

Analogamente, S

ydV =

pi2

0

pi2

0

a0

3 sen2 sen ddd

S

zdV =

pi2

0

pi2

0

a0

3 sen cosddd

Ambas integrales son tambien iguales a 116pia4. Se deja al lector su verificacion. Reempla-

zando estos valores en las formulas de la ecuacion (3.31), el centroide del cuerpo es el puntode coordenadas:

(x, y, z) =

(3a

8,3a

8,3a

8

)

En el ejemplo anterior, que las 3 coordenadas del centroide resultaran iguales era pre-visible, pues la porcion de la esfera en el primer octante tiene simetra respecto de la rectax = y = z. El siguiente teorema establece esta propiedad y otras dos adicionales.

Teorema 3.2.1 Sea S el espacio ocupado por un cuerpo continuo homogeneo.

i) Si la region S tiene simetra respecto de una recta L, entonces el centroide de Sesta situado sobre dicha recta.

ii) Si la region S tiene simetra respecto de un plano P, entonces el centroide de Sesta situado en dicho plano.

ii) Si la region S tiene un centro de simetra, entonces dicho centro de simetra es elcentroide de S.

En los dos captulos siguientes definiremos el centroide de superficies y curvas. El teoremaanterior es valido si S es una superficie o una curva que tiene las simetras mencionadas.Por aplicacion de dichas propiedades puede determinarse el centroide de muchas figurasgeometricas conocidas.

Ejemplo 3.2.6 Hallar el centroide del solido S limitado superiormente por la esfera x2 +y2 + z2 = a2 e inferiormente por el cono cuya ecuacion en coordenadas esfericas es = .


Solucion: La Figura 3.95 muestra el solido S. Observamos que el solido tiene simetrarespecto del eje z. por lo tanto, el centroide estara situado en dicho eje. Es decir, si (x, y, z)es el centroide, entonces x = 0 = y. En efecto, al ser S simetrico respecto de los planos yzy xz, entonces se verifican:

SxdV = 0 =

SydV , originando que dichas coordenadas

sean 0. En cambio,

S

zdV =

2pi0

0

a0

cos2 sen ddd

= 14a4 2pi0

d

0

sen cosd

= pi4a4 sen2

0= pi

4sen2

El volumen del solido es:

V =

2pi0

0

a0

2 sen ddd

= 13a3 2pi0

d

0

sen d = 2pi3a3(1 cos)

z

x

y

x2 + y2 + z2 = a2

( = a)

=

Fig. 3.95

As, el centroide de S es el punto (0, 0, z), donde

z =

SzdV

V=

pi4sen2

2pi3a3(1 cos) =

3a

8(1 + cos)

Ejemplo 3.2.7 Hallar el centro de gravedad del cuerpo homogeneo limitado por el para-boloide 2az = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 3a2 (z 0, a > 0).

Solucion: Considerando que el cuerpo se encuentra en un campo gravitacional uniforme(aceleracion de la gravedad constante), entonces el centro de gravedad coincide con el centrode masa del cuerpo. Como ademas, el cuerpo es homogeneo, entonces el centro de masa esel centroide del cuerpo. As, el centro de gravedad coincide con el centroide.

Denominemos por S al cuerpo. Las superficies que limitan a S se intersectan segun lacircunferencia: x2 + y2 = 2a2 , z = a. La Figura 3.96 muestra el solido S y observamosque su proyeccion en el plano xy es el crculo x2 + y2 2a2. Pasando las ecuaciones acoordenadas cilndricas, deducimos que el solido esta definido en coordenadas cilndricaspor las siguientes desigualdades:

0 2pi , 0 r a , r2

2a z

3a2 r2


Por la simetra del solido con respecto al ejez, el centroide estara sobre dicho eje. Enton-ces calculamos:

S

zdV =

2pi0

20

3a2r2r2

2a

zrdzdrd

= 12

2pi0

d

20

(3a2 r2 r4

4a2

)rdr

= pi(

3a2r2

2 r4

4 r6

24a2

) 2a0

= 5pi3a4

z =3a2 r2

z = r2

2a

z

y

x

Fig. 3.96El volumen del solido es:

V =

2pi0

20

3a2r2r2

2a

rdzdrd

=

2pi0

d

20

[3a2 r2 r2

2a

]rdr

= 2pi[1

3(3a2 r2) 32 r4

8a

] 2a0

= (635)pi3

a3

La coordenada z del centro de gravedad es:

z =

S

zdV

V=

5pi3a4

(635)pi3

a3=

5a

63 5

As, el centro de gravedad es el punto

(x, y, z) =

(0, 0,

5a

63 5

)

3.2.3. Centro de masa de una lamina plana

Consideremos un cuerpo continuo que tiene la forma de un cilindro recto de altura h.Si la altura es pequena en comparacion con sus bases, entonces al cuerpo se le denominauna lamina plana de espesor o altura constante h. Consideremos tambien que una de lascaras paralelas de la lamina es una region R del plano xy, tal como muestra la Figura 3.97.


h

R

z

y

x

Fig. 3.97

Si la densidad es continua y como el espesor es pequeno, ocurrira que las variaciones de dichadensidad a lo largo de una lnea paralela al eje z seran tambien pequenas y practicamentenulas. Es decir, podemos considerar que la densidad en el punto (x, y, z) de la lamina esfuncion solo de sus coordenadas x e y, o lo que es lo mismo, funcion del punto (x, y) sobreel cual se proyecta en el plano xy. Notese que dicho punto (x, y) pertenece a la region R.As, puede considerarse como que la masa esta distribuida sobre la superficie R y definiruna funcion densidad superficial (x, y) (masa por unidad de area). Bajo estas condiciones,el area de la region R y el volumen de la lamina seran:

A =

RdA , V = hA = h

RdA

La masa total de la lamina sera:

mT = h

R(x, y)dA

Las formulas dadas en las ecuaciones (3.24), (3.25) y (3.26), para los momentos de masade la lamina con respecto a los planos yz, zx y xy se transforman en:

Myz = h

Rx(x, y)dA , Mzx = h

Ry(x, y)dA

Mxy =1

2h2mT =

1

2h2

R(x, y)dA

Tambien, las formulas dadas en las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.29), para las coordenadasdel centro de masa se reducen a:

x =

Rx(x, y)dA

R(x, y)dA

, y =

Ry(x, y)dA

R(x, y)dA

, z =h

2(3.32)


Notese que las coordenada z depende solo del espesor de la lamina. Esto era de esperarseya que la densidad a lo largo de una lnea perpendicular a las caras se ha consideradoconstante. Esto significa que el centro de masa de la lamina estara completamente si seconoce el punto (x, y) sobre la region R. As, para una lamina plana se establecen lassiguientes definiciones:

Definicion 3.2.2 sea R la region del plano xy ocupada por una lamina plana, y sea (x, y)la densidad superficial de dicha lamina en el punto (x, y) de R.

i) Los momentos de masa de dicha lamina respecto de los ejes x e y, denotados por Mxy My, respectivamente, son definidos como:

Mx =

Ry(x, y)dA , My =

Rx(x, y)dA (3.33)

ii) El centro de masa de la lamina plana es el punto de coordenadas (x, y) tal que:

x =My

m=

Rx(x, y)dA

m, y =

Mx

m=

Ry(x, y)dA

m(3.34)

donde m =

R(x, y)dA es definida como la masa total superficial de la lamina.

Si en la definicion anterior la densidad superficial es constante, entonces al centro demasa de la lamina se denomina centroide de la region R. Las coordenadas (x, y) delcentroide quedan expresadas como:

x =

RxdA

A, y =

RydA

A(3.35)

donde A es el area de la region R.Ejemplo 3.2.8 Una lamina de espesor h tiene por base la region R encerrada por lacircunferencia y =

4 x2 y el eje x. Si la densidad en el punto (x, y, z) es proporcional

a la distancia del punto al eje z, encontrar el centro de masa de dicha lamina.

Solucion: La distancia del punto (x, y, z) al eje z esx2 + y2; es decir, no depende z. Dicha

distancia es tambien igual a la distancia del punto (x, y, 0) al mismo eje z. Deducimos que ladensidad de un punto (x, y, z) de la lamina es funcion de su proyeccion (x, y) sobre el planoxy. As, consideramos que la densidad superficial en el punto (x, y) de R (ver Figura 3.98)es: (x, y) = k

x2 + y2, donde k es una constante de proporcionalidad. De las ecuaciones

(3.33), los momentos de masa respecto de los ejes x e y son, respectivamente:

Mx =

Ry(x, y)dA =

Rkyx2 + y2dA

=

pi0

20

kr3 sen drd = 4k

pi0

sen d = 8k

My =

Rx(x, y)dA =

Rkxx2 + y2dA

y

x

r = 2

R

Fig. 3.98


Puesto que el integrando kxx2 + y2 es impar respecto de x, y siendo la regionR simetrica

respecto del eje y, deducimos que:

My =

Rkxx2 + y2dA = 0

La masa superficial de la lamina es:

m =

R(x, y)dA =

Rkx2 + y2dA

=

pi0

20

kr2drd = 8k3

pi0

d = 8kpi3

As, por las formulas de la ecuacion (3.34), el centro mde masa de la lamina es el punto(x, y) tal que:

x =My

m=

08kpi3

= 0 , y =Mx

m=

8k8kpi3

=3

pi

Notese que en realidad, el centro de masa de la lamina es el punto (x, y, z) =(0, 3

pi, h2

).

Ejemplo 3.2.9 Determinar el centro de masa de la lamina plana que ocupa la regionlimitada por las rectas y = 2x , y = x y x+ y = 3, si la densidad en el punto (x, y) es iguala su distancia al eje y.

Solucion: Denotemos por R a la region encerrada por dichas rectas (ver Figura 3.99).Como la distancia del punto (x, y) de R al eje y es igual a x, entonces la densidad en dichopunto es (x, y) = x. Entonces los momentos estaticos respecto de los ejes x e y y la masade la lamina seran:

Mx =

Ry(x, y)dA =

RxydA

My =

Rx(x, y)dA =

Rx2dA

m =

R(x, y)dA =

RxdA

Como la region R no es totalmente del Tipo Ini del Tipo II, entonces para simplificar los

R

y

x

y = x

y = 2x

x+ y = 3

Fig. 3.99

calculos, hacemos la siguiente transformacion:

u = 2x+ y , v = x+ y

Despejando,

x =u+ v

3, y =

2v u3


Entonces el Jacobiano de esta ultima transforma-cion es:

J(u, v) =

x

u

x

v

y

u

y

v

=

13

13

13

23

=1

3

Las imagenes de las rectas y = 2x, y = x yx + y = 3 son las rectas u = 0, u = v

2y v = 3,

respectivamente. As, la imagen de la region R es

T

v

u

v = 3

u = 0

v = 2u

Fig. 3.100

el triangulo T que muestra la Figura 3.100. Entonces, los momentos Mx y My son:

Mx =

RxydA =

T

127(u+ v)(2v u)dudv

= 127

30

v2

0

(2v2 + uv u2) dudv

= 127

30

(2v2u+ v

2u2 1

3u3) v2

0dv = 1

27

30

1312v3dv = 13

16

My =

Rx2dA =

T

127(u+ v)2dudv

= 127

30

v2

0

(u+ v)2dudv = 181

30

(u+ v)3 v20dv = 23

(4)(81)

30

v3dv = 2316

La masa de la lamina es:

m =

RxdA =

T

19(u+ v)dudv

= 19

30

v2

0

(u+ v)dudv

= 118

30

(u+ v)2 v20dv = 5

72

30

v2dv = 58

Si (x, y) es el centro de masa de la lamina, entonces:

x =My

m=

231658

=23

10, y =

Mx

m=

131658

=13

10

Ejemplo 3.2.10 Hallar el centroide de la region R acotada por la parabola y = 6x x2 yla recta 4x+ y = 6.

Solucion: La Figura 3.101 muestra la region R. De esta figura, se tiene:


RxdA =

61

6xx26x

xdydx

= 73x3 1

4x4 3x2

61= 875

12RydA =

61

6xx26x

ydydx

= 12

(15x5 3x4 + 35

3x3 + 6x2 36x) 6

1= 625

6

El area de la region R es:

A =

RdA =

61

6xx26x

dydx

= 72x2 1

3x3 6x

61= 125

6

R

y

x1 6

5

y = 6x x2

y = 6 x

Fig. 3.101

Reemplazando los valores hallados en la formulas dadas en la ecuacion (3.35), encontramosque el centroide de la region R es el punto de coordenadas (x, y) tales que:

x =

RxdA

A=

875121256

=7

2, y =

RydA

A=

6256

1256

= 5

Ejemplo 3.2.11 Hallar el centroide de la region encerrada por las parabolas 4y = x2 y4x = y2.

Solucion: Si en la ecuacion b4y = x2 se cambian x por y e y por x, dicha ecuacion setransforma en 4x = y2. Es decir, las parabolas dadas son cada una la simetrica de la otracon respecto a la recta y = x. Por lo tanto, la region R encerrada por dichas parabolastiene simetra respecto de la recta y = x, tal como se observa en la Figura 3.102. Deducimosque el centroide de esta region estara sobre dicha recta de simetra. As, bastara hallar solouna de las coordenadas. De la figura,

RxdA =

40

2x1

4x2

xdydx

=

40

(2x

3

2 14x3)dx

= 45x

5

2 116x440

= 485

4

4

y = x

y = 14x2

y = 2x

y

x

Fig. 3.102

Teniendo en cuenta la simetra, el area de R es:

A = 2

40

x1

4x2dydx = 2

40

(x 1

4x2)dx = 2

(12x2 1

12x3) 4

0= 16

3


As, la coordenada x del centroide es:

x =

RxdA

A=

485163

=9

5

Concluimos que el centroide de R es el punto (95, 95

).

3.2.4. Momento de Inercia

Consideremos un sistema de n partculas de masas m1, m2, , mn, situadas en lospuntos P1, P2, , Pn cuyas distancias a una recta L son r1, r2, , rn, respectivamente.El momento de inercia o segundo momento del sistema con respecto a la recta L sedefine como:

IL =ni=1

r2imi

Analogamente, si las distancias de dichos puntos P1, P2, , Pn, a un plano Q son d1, d2, ,dn, respectivamente, entonces el momento de inercia del sistema de n partculas respectoal plano Q se define como:

IQ =

ni=1

d2imi

Haciendo un analisis semejante al realizado para calcular los momentos de masa de uncuerpo continuo, puede establecerse la siguiente definicion:

Definicion 3.2.3 Consideremos un cuerpo continuo heterogeneo queocupa cierta region Sde R3. Si la densidad en el punto (x, y, z) es una funcion continua (x, y, z), entonces lossegundos momentos o momentos de inercia de dicho cuerpo, respecto de los ejes x, y y z,se definen respectivamente como:

Ix =

S

(y2 + z2)(x, y, z)dV (3.36)

Iy =

S

(x2 + z2)(x, y, z)dV (3.37)

Iz =

S

(x2 + y2)(x, y, z)dV (3.38)

Igualmente, los momentos de inercia del cuerpo continuo, con respecto a los planos yz, zxe xy, se definen respectivamente como:

Iyz =

S

x2(x, y, z)dV (3.39)

Izx =

S

y2(x, y, z)dV (3.40)

Ixy =

S

z2(x, y, z)dV (3.41)


Por propiedades de aditividad de las integrales triples, pueden demostrarse las siguientesrelaciones:

Ix = Izx + Ixy , Iy = Ixy + Iyz , Iz = Iyz + Izx (3.42)

Puede resultar mas sencillo utilizar estas ultimas ecuaciones para el calcuo de Ix, Iy e Iz.

Ejemplo 3.2.12 Un cuerpo tiene la forma de un cilindro circular recto de altura h y radiode la base a. Calcular su momento de inercia con respecto al eje del cilindro, si su densidaden cada punto es directamente proporcional a la distancia a dicho eje.

Solucion: Si escogemos el eje del cilindro como el eje z y las bases una en el plano xy y laotra en el plano z = h (ver Figura 3.106), entonces el momento de inercia pedido sera Iz.

La densidad en el punto (x, y, z) es:(x, y, z) = k

x2 + y2, donde k es una

constante de proporcionalidad. Reemplazan-do valores en la ecuacion (3.38) y utilizandocoordenadas cilndricas,

Iz =

S

k(x2 + y2

) 32 dV

= k

2pi0

a0

h0

kr3(rdzdrd)

= kh

2pi0

d

a0

r4dr = 25pikha5 x

y

z

x

y

z

z = h

r = a

Fig. 3.106

Consideremos ahora una lamina plana de espesor h, que ocupa cierta regionR del planoxy, cuya densidad en el punto (x, y, z) solo depende de x e y. Como vimos antes, equivale aconsiderar que la masa esta distribuida sobre la superficie R y que la densidad superficialen el punto (x, y) es (x, y). Para esta lamina plana los momentos de inercia respecto delos planos yz y zx quedan expresadas por:

Iyz = h

Rx2(x, y)dA , Izx = h

Ry2(x, y)dA (3.43)

A su vez, el momento de inercia respecto del eje z queda expresada por:

Iz = h

R

(x2 + y2

)(x, y)dA (3.44)

Puesto que la densidad no depende de z, se definen los momentos de inercia de dichalamina con respecto a los ejes x e y y respecto del origen de coordenadas por las siguientesexpresiones:

Ix =

Ry2(x, y)dA , Iy =

Rx2(x, y)dA , I0 =

R

(x2 + y2

)(x, y)dA

(3.45)respectivamente. I0 viene a ser en realidad Iz, sin tomar en cuenta el espesor de la lamina.Por propiedad de aditividad de la integral doble, se verifica:

I0 = Ix + Iy (3.46)


Si en las ecuaciones (3.45) hacemos x, y) = 1, entonces Ix, Iy e I0 son denominados losmomentos geometricos de inercia de la region plana R y estan expresadas por:

Ix =

Ry2dA , Iy =

Rx2dA , I0 = Ix + Iy =

R

(x2 + y2

)dA (3.47)

Ejemplo 3.2.13 Hallar los momentos de inercia Ix, Iy e I0 de una lamina delgada R delplano xy limitada por la parabola y =

2x y las rectas y = 0 y x = 2, si la densidad en el

punto (x, y) es (x, y) = |x y|.

Solucion: La region sombreada de la Figura 3.107 es la region R. Por definicion de valor

absoluto, deducimos que:

(x, y) =

{x y ; y x(x y) ; y > x

Observamos que la recta y = x divide a la regionR en dos partes: R1 donde (x, y) = x y, y R2donde (x, y) = yx. As, descomponiendo en dosintegrales dobles, x

y

y =2x

x = 2

y = x

R1R2

Fig. 3.107Ix =

Ry2(x, y)dA

=

20

x0

y2(x y)dydx+ 20

2xx

y2(y x)dydx

=

20

13xy3 1

4y4x0dx+

20

14y4 1

3xy3

2xx

dx

=

20

112x4dx+

20

(112x4 + x2 2

2

3x

5

2

)dx = 1

30x5 + 1

3x3 4

2

21x

7

2

20

Evaluando, Ix =2435.

Iy =

Rx2(x, y)dA

=

20

x0

x2(x y)dydx+ 20

2xx

x2(y x)dydx

=

20

12(x y)2

x0x2dx+

20

12(y x)2

2xx

x2dx

=

20

12x4dx+

20

(x3 2x 72 + 1

2x4)dx = 1

5x5 + 1

4x4 2

2

9x

9

2

20

Evaluando, Iy =14845. As, el momento de inercia respecto del origen sera:

I0 = Ix + Iy =24

35+

148

45=

1252

315


Ejemplo 3.2.14 Hallar el momento de inercia de un anillo circular de radios a y b (a &

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Coordenadas Cilindricas y Esfericas