giaovienvietnam.com€¦ · BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO X CHO TEEN 2K1 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 1 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO X CHO TEEN

BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROXCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1


ĐẠO HÀM VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:

www.vted.vn Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề thi 132

Họ, tên thí sinh:..................................................................... Trường: ...........................................

*Hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0 ∈(a;b), khi đó giới hạn limx→x0

f (x)− f (x0 )x − x0

nếu tồn

tại được gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 , kí hiệu là ′f (x0 ) hoặc ′y (x0 ).

Vậy ′f (x0 ) = lim

x→x0

f (x)− f (x0 )x − x0

.

*Đặt Δx = x − x0 người ta gọi là số gia của đối số tại điểm x0 , Δy = f (x)− f (x0 ) = f (x0 + Δx)− f (x0 ), người ta gọi là số gia của hàm số tại điểm x0.

*Ta có thể viết ′y (x0 ) = lim

Δx→0

ΔyΔx

.

*Tính đạo hàm (nếu có) của hàm số tại điểm x0.

Cách 1: Tính giới hạn limx→x0

f (x)− f (x0 )x − x0

.

Nếu giới hạn tồn tại có kết quả bằng L , kết luận ′f (x0 ) = L. Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay 2. Điều kiện để hàm số có đạo hàm tại điểm x0.

Hàm số f liên tục tại điểm x0 và limx→x0

+

f (x)− f (x0 )x − x0

= limx→x0

−

f (x)− f (x0 )x − x0

.

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm • Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):

x x

f x f xf x

x x0

00

0

( ) ( )'( ) lim

→

−=

− =

x

yx0

limΔ

ΔΔ→

(Δx = x – x0, Δy = f(x0 + Δx) – f(x0))

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm • Ý nghĩa hình học: + f′ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại ( )M x f x0 0; ( ) .

+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại ( )M x y0 0; là: y – y0 = f′ (x0).(x – x0) • Ý nghĩa vật lí:

2 BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROXCHOTEEN2K1–DUYNHẤTTẠIVTED.VN


+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s′(t0).

+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q′(t0). 3. Qui tắc tính đạo hàm

• (C)′ = 0 (x)′ = 1 (xn)′ = n.xn–1 n Nn 1

⎛ ⎞∈⎜ ⎟>⎝ ⎠

( )xx

1

2

′ =

• u v u v( )′ ′ ′± = ± uv u v v u( )′ ′ ′= + u u v v uv v2′⎛ ⎞ ′ − ′=⎜ ⎟⎝ ⎠

(v ≠ 0)

ku ku( )′ ′= vv v21 ′⎛ ⎞ ′= −⎜ ⎟⎝ ⎠

• Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u′x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y′u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: x u xy y u.′ = ′ ′

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

• x

xx0

sinlim 1→

= ; x x

u xu x0

sin ( )lim 1( )→

= (với x x

u x0

lim ( ) 0→

= )

• (sinx)′ = cosx (cosx)′ = – sinx ( )xx2

1tancos

′ = ( )xx2

1cotsin

′ = −

5. Vi phân • dy df x f x x( ) ( ).Δ= = ′ • f x x f x f x x0 0 0( ) ( ) ( ).Δ Δ+ ≈ + ′ 6. Đạo hàm cấp cao

• [ ]f x f x''( ) '( ) ′= ; [ ]f x f x'''( ) ''( ) ′= ; n nf x f x( ) ( 1)( ) ( )− ′⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (n ∈ N, n ≥ 4) • Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f′′(t0). Chú ý công thức tính đạo hàm của tích và của thương

• uv( )′ = ′u v + ′v u;

•

uv⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

′=′u .v− ′v .u

v2 .

Một số hàm số có dạng thương ta hay sử dụng phương pháp đưa về dạng tích (bằng phép nhân chéo) rồi lấy đạo hàm của tích cho đơn giản

Ví dụ. Với y =

cos2 xx

. Ta có xy = cos2 x⇒ y + x ′y = 2cos x.(−sin x).

Một số đạo hàm cấp cao của một số hàm số cơ bản

• Hàm số y = sin(ax + b) có y(n) = an sin ax + b+

nπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

• Hàm số y = cos(ax + b) có y(n) = an cos ax + b+

nπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

• Hàm số y = (ax + b)α có y(n) =α(α−1)...(α−(n−1))an(ax + b)α−n.



Đặc biệt:

• y =

1x

có y(n) =

(−1)n n!xn+1 ;

• y =

1ax + b

có y(n) =

(−1)n ann!(ax + b)n+1 .

Công thức Lepnit y(n) = uv⎡⎣ ⎤⎦

(n)= Cn

ku(k )v(n−k )

k=0

n

∑ (chứng minh bằng quy nạp)

Câu 1. Cho hàm số f (x) = 1

2x3. Tính ′f (2).

A. ′f (2) = 6. B. ′f (2) = −6. C. ′f (2) = 12. D. ′f (2) = −12.

Câu 2. Cho hàm số f (x) = x . Tính ′f 1

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

A. ′f 1

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 2. B.

′f 1

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −2. C.

′f 1

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1. D.

′f 1

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −1.


2x. Tính

′f 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

.

A. ′f 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1. B.

′f 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −1. C.

′f 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= − 1

2. D.

′f 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1

2.


2x3 + x . Đạo hàm của hàm số tại điểm x0 trên khoảng (0;+∞) là ?

A.

3x02

2+ 1

2 x0

. B.

x02

2+ 1

2 x0

. C.

3x02

2+ 2

x0

. D.

x02

2+ 2

x0

.

Câu 5. Đạo hàm của hàm số y = 1

2x3 − 9x2 tại điểm x0 là ?

A.

12

x02 − 9x0. B.

12

x02 −18x0. C.

32

x02 − 9x0. D.

32

x02 −18x0.

Câu 6. Hỏi hàm số f (x) = x2 − 2 x có đạo hàm tại điểm x = 0 không ? Nếu có tính ′f (0). A. không. B. có, ′f (0) = 2. C. có, ′f (0) = −2. D. có, ′f (0) = 0. Câu 7. Một vật chuyển động theo phương trình s(t) = t2 , trong đó t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 (giây). A. 2 m/s. B. 4 m/s. C. 3 m/s. D. 5 m/s.

Câu 8. Cho hàm số f (x) =

mx2 + 2x + 2 (x > 0)nx + 2 (x ≤ 0)

⎧⎨⎪

⎩⎪. Tìm tất cả các tham số m,n sao cho hàm số f (x)

có đạo hàm tại điểm x = 0. A. không tồn tại m,n thoả mãn.

B. m = 2,∀n. C. n = 2,∀m. D. m = n = 2.

Câu 9. Tính số gia Δy của hàm số f (x) = x3 tại x0 = 1,Δx = 1.



A. Δy = 3. B. Δy = 9. C. Δy = 7. D. Δy = 5. Câu 10. Tính số gia Δy của hàm số f (x) = x3 tại x0 = 1,Δx = −0,1. A. Δy = 3. B. Δy = −0,271. C. Δy = 7. D. Δy = 1,271.

Câu 11. Tính số gia Δy của hàm số f (x) = 1

x theo x và Δx.

A. Δy = − Δx

x(x − Δx). B.

Δy = Δx

x(x − Δx). C.

Δy = − Δx

x(x + Δx). D.

Δy = Δx

x(x + Δx).

Câu 12. Một vật rơi tự do theo phương trình s = 1

2gt2 , trong đó g ≈ 9,8m / s2 là gia tốc trọng trường.

Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến t + Δt giây,

Δt = 0,001s. A. vtb ≈ 49m / s. B. vtb ≈ 49,49m / s. C. vtb ≈ 49,005m / s. D. vtb ≈ 49,245m / s.

Câu 13. Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2. Tập nghiệm S của bất phương trình ′y > 0 là ? A. S = (1;2). B. S = (0;2). C. S = (−∞;0)∪ (2;+∞). D. S = (1;+∞). Câu 14. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t2 , trong đó

t > 0, t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây. Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc chuyển động là 11 mét/giây. A. 11m / s2. B. 14m / s2. C. 20m / s2. D. 6m / s2. Câu 15. Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = t3 − 3t2 + 9t + 2, (t > 0), t tính bằng giây và

s(t) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất ? A. t = 3s. B. t = 2s. C. t = 6s. D. t = 1s. Câu 16. Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s(t) = 196t − 4,9t2 trong đó t là thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao, s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạt bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét ? A. 1690m. B. 1069m. C. 1906m. D. 1960m.

Câu 17. Cho hàm số3 2

( ) (3 ) 2.3 2mx mxf x m x= − + − − + Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số

m để '( ) 0f x < với mọi x.

A.

0;125

⎛⎝⎜

⎤

⎦⎥. B.

0;12

5⎡

⎣⎢

⎞⎠⎟

. C.

0;125

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

. D.

0;125

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥.

Câu 18. Cho hàm số f (x) = x(x −1)(x − 2)...(x − 2018). Tính ′f (0). A. ′f (0) = 0. B. ′f (0) = −2018!. C. ′f (0) = 2018!. D. ′f (0) = 2018. Câu 19. Cho hàm số f (x) = x(x +1)(x + 2)...(x + 2008). Tính ′f (−1004). A. ′f (−1004) = 0. C. ′f (−1004) = −1004!.

B. ′f (−1004) = 1004!. D. ′f (−1004) = (1004!)2.

Câu 20. Biết hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a > 0) có ′f (x) > 0,∀x. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. b

2 − 3ac > 0. B. b2 − 3ac ≥ 0. C. b

2 − 3ac < 0. D. b2 − 3ac ≤ 0.



Câu 21. Biết hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a < 0) có ′f (x) < 0,∀x. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. b

2 − 3ac > 0. B. b2 − 3ac ≥ 0. C. b

2 − 3ac < 0. D. b2 − 3ac ≤ 0.

Câu 22. Biết hàm số f (x) = ax + b

cx + d có ′f (x) > 0 trên mỗi khoảng xác định. Mệnh đề nào sau đây đúng

? A. ad − bc > 0. B. ad + bc > 0. C. ad − bc < 0. D. ad + bc < 0.

Câu 23. Biết hàm số f (x) = ax + b

cx + d có ′f (x) < 0 trên mỗi khoảng xác định. Mệnh đề nào sau đây đúng

? A. ad − bc > 0. B. ad + bc > 0. C. ad − bc < 0. D. ad + bc < 0.

Câu 24. Cho hàm số

f (x) =2x2 +5x + a3x2 + 7x − b

(x > 0)

ax2 + 23bx + 4 (x ≤ 0)

⎧⎨⎪

⎩⎪. Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0.


−x2 + a (x ≥ −1)x2 + bx (x < −1)

⎧⎨⎪

⎩⎪. Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại điểm x = −1.


x2 + ax + b (x >1)

2− x2 (− 2 ≤ x ≤1)

⎧⎨⎪

⎩⎪. Tìm a,b để hàm số có đạo hàm tại điểm x = 1.

Câu 27. Cho hàm số f (x) xác định trên ° thoả mãn với mọi a > 0, ta có f (x + a)− f (x − a) < a2 ,∀x ∈° . Chứng minh hàm số đã cho là hàm hằng. Câu 28. Biết hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c có ′f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ab > 0. B. ab < 0. C. ab ≥ 0. D. ab ≤ 0.

ĐÁP ÁN

1A 2C 3B 4A 5D 6A 7B 8C 9C 10B 11A 12C 13C 14B 15D 16D 17B 18C 19D 20C 21C 22A 23C 28B

Câu 1. Ta có limx→2

f (x)− f (2)x − 2

= limx→2

12

x3 − 4

x − 2= lim

x→2

(x − 2)(x2 + 2x + 4)2(x − 2)

= limx→2

x2 + 2x + 42

= 6.

Vậy ′f (2) = 6. Chọn đáp án A.

Câu 2. Ta có

limx→1

4

f (x)− f14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x − 14

= limx→1

4

x − 12

x − 14

= limx→1

4

1

x + 12

= 1.



Vì vậy ′f 1

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 1.

Chọn đáp án C. Câu 8. Ta có f (0) = 2 và

limx→0+

f (x)− f (0)x − 0

= limx→0+

mx2 + 2xx

= limx→0+

(mx + 2) = 2;

limx→0−

f (x)− f (0)x − 0

= limx→0−

nxx

= limx→0−

n = n

Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0 ⇔ lim

x→0+

f (x)− f (0)x − 0

= limx→0−

f (x)− f (0)x − 0

⇔ n = 2.

Vậy n = 2,∀m. Chọn đáp án C. Câu 9. Ta có Δy = f (x)− f (x0 ) = f (x0 + Δx)− f (x0 ) = f (1+1)− f (1) = f (2)− f (1) = 7. Chọn đáp án C.

Câu 11. Ta có Δy = f (x)− f (x0 ) = f (x)− f (x − Δx) = 1

x− 1

x − Δx= − Δx

x(x − Δx).

Chọn đáp án A.

Câu 12. Ta có vtb =

s(t + Δt)− s(t)Δt

= 4,9(t + Δt)2 − 4,9t2

Δt= 9,8t + 4,9Δt.

Với t = 5s,Δt = 0,001s ⇒ vtb = 49,005m / s. Chọn đáp án C. Câu 14. Ta có v(t) = 11⇔ 8t + 3t2 = 11⇔ t = 1(t > 0). Khi đó a(1) = ′v (1) = 14m / s2. Chọn đáp án B. Câu 15. Ta có v(t) = 3t2 − 6t + 9 = 3(t −1)2 + 6 ≥ 6. Dấu bằng đạt tại t = 1s. Chọn đáp án D.

Câu 17. Ta có

′f (x) = −mx2 + mx − (3− m) < 0 ⇔

m = 0−3< 0,∀x

⎧⎨⎩−m < 0Δ = m2 − 4m(3− m) < 0

⎧⎨⎩⎪

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⇔ 0 ≤ m < 125

.

Chọn đáp án B. Câu 18. Theo định nghĩa đạo hàm, ta có

Ta có ′f (0) = lim

x→0

f (x)− f (0)x − 0

= limx→0

x(x −1)(x − 2)...(x − 2018)x

= limx→0

(x −1)(x − 2)...(x − 2018) = 2018!.

Chọn đáp án C. Câu 19. Ta có theo định nghĩa đạo hàm



′f (−1004) = limx→−1004

f (x)− f (−1004)x +1004

= limx→−1004

x(x +1)(x + 2)...(x + 2008)− 0x +1004

= limx→−1004

x(x +1)(x + 2)...(x +1003).(x +1005)...(x + 2008) = (1004!)2.

Chọn đáp án D.

Câu 28. Ta có ′f (x) = 4ax3 + 2bx; ′f (x) = 0 ⇔ 2x(2ax2 + b) = 0 ⇔

x = 02ax2 = −b (1).⎡

⎣⎢

Theo giả thiết thì (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ 2a.(−b) > 0 ⇔ ab < 0. Chọn đáp án B.

Câu 1. Cho hàm số y = x4−cos2x. Tính y(4).

A. y(4) = 24+16cos2x.

C. y(4) = 48−16cos2x.

B. y(4) = 24−16cos2x.

D. y(4) = 48+16cos2x.

Câu 2. Cho hàm số y = cos2 x. Tính y(5).

A. y(5) = 8cos2x.

C. y(5) =−16sin2x.

B. y(5) =−8cos2x.

D. y(5) =16sin2x.

Câu 3. Cho hàm số y = 2x− x2 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. y

3y '' =−1. B. y3y '' =1. C. y

3y '' =−8. D. y3y '' = 8.

Câu 4. Cho hàm số y = x2 + 2x + 3. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A.

′′y =x +1

(x2 + 2x + 3)3.

C.

′′y =1

2 (x2 + 2x + 3)3.

B.

′′y =1

(x2 + 2x + 3)3.

D.

′′y =2

(x2 + 2x + 3)3.

Câu 5. Cho hàm số y =

1x

. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. y(n) =

(−1)n n!xn+1 . B.

y(n) =

(−1)n+1n!xn+1 . C.

y(n) =

n!xn+1 . D.

y(n) =−

n!xn+1 .


12x + 3


A. y(n) =

(−2)n n!(2x + 3)n+1 . B.

y(n) =

−2n n!(2x + 3)n+1 . C.

y(n) =

−2.n!(2x + 3)n+1 . D.

y(n) =

(−2)n+1n!(2x + 3)n+1 .


1ax + b


A. y(n) =

(−a)n+1n!(ax + b)n+1 . B.

y(n) =

−ann!(ax + b)n+1 . C.

y(n) =

(−a)n n!(ax + b)n+1 . D.

y(n) =

ann!(ax + b)n+1 .


3x + 42x + 3




A. y(n) =

(−2)n n!(2x + 3)n+1 . B.

y(n) =

(−2)n+1n!(2x + 3)n+1 . C.

y(n) =

(−2)n−1n!(2x + 3)n+1 . D.

y(n) =

(−1)n 2n−1.n!(2x + 3)n+1 .

Câu 9. Cho hàm số f (x) = (x−a)(x−b)(x−c) với a < b< c. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A.

′′f (a)′f (a)

+′′f (b)′f (b)

+′′f (c)′f (c)

=1.

C.

′′f (a)′f (a)

+′′f (c)′f (c)

= 2′′f (b)′f (b)

.

B.

′′f (a)′f (a)

+′′f (b)′f (b)

+′′f (c)′f (c)

=−1.

D.

′′f (a)′f (a)

+′′f (b)′f (b)

+′′f (c)′f (c)

= 0.

Câu 10. Cho hàm số f (x) = (x−a)(x−b)(x−c) với a < b< c. Với x∉{a;b;c}, hỏi mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ′′f (x) f (x)−[ ′f (x)]2 > 0. C. ′′f (x) f (x)−[ ′f (x)]2 = 0.

B. ′′f (x) f (x)−[ ′f (x)]2 < 0. D. ′′f (x) f (x)−[ ′f (x)]2 ≠ 0.

Câu 11. Cho hàm số y = x + x2 +1. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. 4(1+ x2 ) ′′y + 4x ′y = y. C. 4(1+ x2 ) ′′y −4x ′y =−y.

B. 4(1+ x2 ) ′′y + 4x ′y =−y. D. 4(1+ x2 ) ′′y −4x ′y = y.

Câu 12. Cho hàm số y = sin(ax). Tính y(n) .

A. y(n) = asin ax +

nπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

C. y(n) =−asin ax +

nπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

B. y(n) = an sin ax +

nπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

D. y(n) =−an sin ax +

nπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

Câu 13. Cho hàm số y = cos(ax). Tính y(n) .

A. y(n) =−an cos ax +

nπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

C. y(n) = an cos ax +

nπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

B. y(n) = (−a)n cos ax +

nπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

D. y(n) = acos ax +

nπ2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.


5x−3x2−3x + 2

. Tính y(n) .

A. y(n) = (−1)n n! 7

(x−2)n+1−2

(x−1)n+1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

C. y(n) = (−1)n n! 7

(x−2)n+1 +2

(x−1)n+1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

B. y(n) = (−1)n n!− 7

(x−2)n+1 +2

(x−1)n+1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

D. y(n) = (−1)n n!− 7

(x−2)n+1−2

(x−1)n+1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .


x2

1− x. Tính y

(100) (0).

A. y(100) (0) =100!. B. y

(100) (0) =−100!. C. y(100) (0) =−99!. D. y

(100) (0) = 99!. Câu 16. Cho hàm số y = sin2x. Tính y

(20) (x). A. 2

20 sin2x. B. 220 cos2x. C. −220 sin2x. D. −220 cos2x.

Câu 17. Tìm đa thức P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 thoả mãn đẳng thức:



(x + 2)(x2−4) ′′P (x)−2x(x + 2) ′P (x)+12P(x) = 0,∀x. A. P(x) = a(x3 + 6x2−12x +8). C. P(x) = a(x3 + 6x2 +12x +8).

B. P(x) = a(x3−6x2 +12x−8). D. P(x) = a(x3−6x2 +12x +8).

Câu 18. Cho hàm số y = x2 + 2x . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ( ′y )2 + ′′y y = 0. C. ( ′y )2 + ′′y y = 2.

B. ( ′y )2 + ′′y y =1. D. ( ′y )2 + ′′y y =−1.

Câu 19. Cho hàm số y = −4x2 + 2x +1. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ( ′y )2 + ′′y y =1. C. ( ′y )2 + ′′y y =−1.

B. ( ′y )2 + ′′y y = 4. D. ( ′y )2 + ′′y y =−4.

Câu 20. Cho hàm số y = 1+ x2 − x . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. 2(1+ x2 ) ′′y + (2x + 1+ x2 ) ′y = 0.

C. 2(1+ x2 ) ′′y + (2x− 1+ x2 ) ′y = 0.

B. (1+ x2 ) ′′y + (2x + 1+ x2 ) ′y = 0.

D. (1+ x2 ) ′′y + (2x− 1+ x2 ) ′y = 0. Câu 21. Cho hàm số y = sin2 x. Tính y

(2018) (0). A. y

(2018) (0) =−22017. B. y(2018) (0) = 22017. C. y

(2018) (0) =−22018. D. y(2018) (0) = 22018.

Câu 22. Cho hàm số y = sin xcos2x. Tính y(2018) π

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟.

A. y(2018) π

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 0.

C. y(2018) π

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 32018−1.

B. y(2018) π

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

32018−12

.

D. y(2018) π

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

32018 +12

.

Câu 23. Cho hàm số f (x) = (x−a)(x−b)(x−c) với a < b< c. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A.

1′f (a)

+1′f (b)

+1′f (c)

= 0.

C.

1′f (a)

+1′f (b)

+1′f (c)

=1.

B.

1′f (a)

+1′f (b)

+1′f (c)

=−1.

D.

1′f (a)

+1′f (b)

+1′f (c)

= 2.


5x2−3x−20x2−2x−3

. Tính y(n) .

A. y(n) = (−1)n n! 3

(x +1)n+1−4

(x−3)n+1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

C. y(n) = (−1)n n! 3

(x +1)n+1 +4

(x−3)n+1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

B. y(n) = (−1)n n!− 3

(x +1)n+1 +4

(x−3)n+1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

D. y(n) = (−1)n+1n! 3

(x +1)n+1 +4

(x−3)n+1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .


cos xx

. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 2 ′y + x ′′y = xy. B. 2 ′y + x ′′y =−xy. C. ′y + x ′′y = xy. D. ′y + x ′′y =−xy.




sin xx


A. 2 ′y + x ′′y = xy. B. 2 ′y + x ′′y =−xy. C. ′y + x ′′y = xy. D. ′y + x ′′y =−xy.


tan xx


A. 2 ′y + x ′′y = 2(xy)3 + 2xy. C. ′y + x ′′y = (xy)3 + xy.

B. 2 ′y + x ′′y = (xy)3 + xy. D. ′y + x ′′y = 2(xy)3 + 2xy.


cot xx


A. 2 ′y + x ′′y = 2(xy)3 + 2xy. C. ′y + x ′′y = (xy)3 + xy.

B. 2 ′y + x ′′y = (xy)3 + xy. D. ′y + x ′′y = 2(xy)3 + 2xy.


xcos x


A. tan x =

′′y − y′y

. B. 2tan x =

′′y − y′y

. C. tan x =−

′′y − y′y

. D. 2tan x =−

′′y − y′y

.


xsin x


A. 2cot x =

′′y − y′y

. B. 2cot x =−

y + ′′y′y

. C. 2cot x =

y + ′′y′y

. D. 2cot x =

y− ′′y′y

.

Câu 31. Cho hàm số y = xcos x. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A.

2 cos x− ′y( )− x ′′y + y( )=1.

C. 2 cos x− ′y( )+ x ′′y + y( )=1.

B. 2 cos x− ′y( )+ x ′′y + y( )= 0.

D. 2 cos x− ′y( )− x ′′y + y( )= 0.

Câu 32. Cho hàm số y = xsin x. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A.

2 ′y −sin x( )− x y + ′′y( )= 0.

C. 2 ′y −sin x( )+ x y + ′′y( )= 0.

B. 2 ′y −sin x( )+ x y + ′′y( )=1.

D. 2 ′y −sin x( )− x y + ′′y( )=1.

Câu 33. Cho hàm số f (x) = x(x−1)(x−2)...(x−2018). Tính ′f (0). A. ′f (0) = 2018!. B. ′f (0) = 0. C. ′f (0) =−2018!. D. ′f (0) = 2018.


x(x2−1)(x2−2)...(x2−2018)

. Tính ′f (0).

A. ′f (0) =−

12018!

B. ′f (0) = 0. C. ′f (0) =

12018!

. D. ′f (0) =

12018

.

Câu 35. Cho hàm số f (x)= x3 +bx2 + cx +d có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt x1 ,x2 ,x3.

Tính giá trị của biểu thức P = 1

′f (x1)+ 1

′f (x2)+ 1

′f (x3).

A. 12b +

1c. B. 0. C. b+ c +d. D. 3+2b+ c.



Câu 36. Cho f (x) = 1+ x + x2 + x3( )10

. Tính f(5) (0).

A. 228240. B. 174240. C. 15504. D. 30240. Câu 37. Cho hàm số f (x)= (3x

2 −2x −1)9. Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại x =0. A. −60480. B. −34560. C. 60480. D. 34560. Câu 38. Cho hàm số f (x)=(3x−1)

9(x+1)10. Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số f (x) tại điểm x=0. A. −2600640. B. −2047680. C. 2600640. D. 2047680.

ĐÁP ÁN 1B 2C 3A 4D 5A 6A 7C 8D 9D 10B 11A 12B 13C 14A 15A 16A 17C 18B 19D 20A 21B 22D 23A 24C 25B 26B 27A 28A 29B 30D 31B 32A 33A 34C 35B 36A 37A 38A

Câu 8. Ta có y =

3x + 42x + 3

=

32

2x + 3( )+12

2x + 3=

32

+1

2(2x + 3)⇒ y(n) =

(−2)n n!2(2x + 3)n+1 .

Chọn đáp án D. Câu 9. Ta có ′f (x) = (x−a)(x−b)+ (x−b)(x−c)+ (x−c)(x−a). Và ′′f (x) = 6x−2(a + b+ c).

Do đó

′′f (a)′f (a)

=4a−2b−2c(a−b)(a−c)

;′′f (b)′f (b)

=4b−2c−2a(b−c)(b−a)

;′′f (c)′f (c)

=4c−2a−2b(c−a)(c−b)

.

Suy ra:

′′f (a)′f (a)

+′′f (b)′f (b)

+′′f (c)′f (c)

=−(b−c)(4a−2b−2c)−(c−a)(4b−2c−2a)−(a−b)(4c−2a−2b)

(a−b)(b−c)(c−a)= 0.

Chọn đáp án D.

Câu 10. Ta có ′f (x) = f (x) 1

x−a+

1x−b

+1

x−c

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

Do đó

′f (x)f (x)

=1

x−a+

1x−b

+1

x−c.

Và

′f (x)f (x)⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

′=−

1(x−a)2 −

1(x−b)2 −

1(x−c)2 =

′′f (x) f (x)−[ ′f (x)]2

f 2(x)< 0.

Chọn đáp án B.

Câu 14. Ta có y =

7x−2

−2

x−1⇒ y(n) = (−1)n n! 7

(x−2)n+1−2

(x−1)n+1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

Chọn đáp án A.

Câu 15. Ta có y =

(x2−1)+11− x

=−(x +1)− 1x−1

⇒ y(100) =−(−1)100.100!

(x−1)101 ⇒ y(100) (0) =100!.

Chọn đáp án A.

Câu 16. Có y(20) (x) = 220 sin 2x +

20π2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟= 220 sin2x. Chọn đáp án A.



Câu 20. Ta có

′y =1+ x2 − x( )′

2 1+ x2 − x=

x

1+ x2−1

2 1+ x2 − x=

x− 1+ x2

2 1+ x2 1+ x2 − x=

−y

2 1+ x2. Suy ra

2 1+ x2 ′y =−y⇒ 2 1+ x2 ′y( )′ =− ′y⇔ 2 1+ x2 ′′y +

2x

1+ x2′y =− ′y ⇔ 2(1+ x2 ) ′′y + (2x + 1+ x2 ) ′y = 0.

Chọn đáp án A.

Câu 21. Ta có y =

12−

12

cos2x⇒ y(2018) =−12

.22018 cos 2x + 2018.π2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⇒ y(2018) (0) = 22017.

Chọn đáp án B.

Câu 22. Ta có y =

12

sin3x−sin x⎡⎣

⎤⎦ ⇒ y(2018) =

12

32018 sin 3x + 2018.π2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−sin x + 2018.π

2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

Do đó y(2018) π

2⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=

32018 +12

.

Chọn đáp án D. Câu 23. Ta có

1′f (a)

+1′f (b)

+1′f (c)

=1

(a−b)(a−c)+

1(b−a)(b−c)

+1

(c−a)(c−b)

=−(b−c)−(c−a)−(a−b)

(a−b)(b−c)(c−a)= 0.

Chọn đáp án A.

Câu 24. Ta có y =

5(x2−2x−3)+ 7x−5x2−2x−3

=1+7x−5

(x +1)(x−3)=1+

3x +1

+4

x−3.

Do đó y(n) = (−1)n n! 3

(x +1)n+1 +4

(x−3)n+1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ .

Chọn đáp án C. Câu 25. Ta có

xy = cos x⇒ (xy ′) =−sin x⇒ y + x ′y =−sin x⇒ y + x ′y( )′ =−cos x

⇒ ′y + ′y + x ′′y =−cos x =−xy⇔ 2 ′y + x ′′y =−xy.

Chọn đáp án B. Câu 26. Ta có xy = sin x⇒ y + x ′y = cos x⇒ ′y + ′y + x ′′y =−sin x =−xy. Chọn đáp án B. Câu 27. Ta có

xy = tan x⇒ y + x ′y =1

cos2 x= tan2 x +1

⇒ 2 ′y + x ′′y = 2tan x(tan2 x +1) = 2(xy)3 + 2xy.

Chọn đáp án A.



Câu 28. Ta có

xy = cot x⇒ y + x ′y =−1

sin2 x=−cot2 x−1

⇒ 2 ′y + x ′′y = 2cot x. 1sin2 x

= 2cot3 x + 2cot x

⇒ 2 ′y + x ′′y = 2(xy)3 + 2xy.

Chọn đáp án A. Câu 29. Ta có

ycos x = x⇒ ′y cos x− ysin x =1⇒ ′′y cos x− ′y sin x− ′y sin x− ycos x = 0

⇔ 2 ′y sin x = ( ′′y − y)cos x⇒ 2tan x =′′y − y′y

.

Chọn đáp án B. Câu 30. Ta có

ysin x = x⇒ ′y sin x + ycos x =1⇒ ′′y sin x + ′y cos x + ′y cos x− ysin x = 0

⇔ 2 ′y cos x = ( y− ′′y )sin x⇒ 2cot x =y− ′′y′y

.

Chọn đáp án D.

Câu 31. Ta có

y = xcos x′y = cos x− xsin x′′y =−sin x−sin x− xcos x

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⇒ 2 cos x− ′y( )= 2xsin x =−x( ′′y + y).

Vì vậy 2 cos x− ′y( )+ x ′′y + y( )= 0.

Chọn đáp án B.

Câu 32. Ta có

y = xsin x′y = sin x + xcos x′′y = cos x + cos x− xsin x

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⇒ 2 ′y −sin x( )= 2xcos x = x y + ′′y( ).

Vậy 2 ′y −sin x( )− x y + ′′y( )= 0.

Chọn đáp án A. Câu 34. Theo định nghĩa đạo hàm ta có:

′f (0) = limx→0

f (x)− f (0)x−0

= limx→0

x(x2−1)(x2−2)...(x2−2018)

−0

x−0

= limx→0

1(x2−1)(x2−2)...(x2−2018)

=1

(−1)(−2)...(−2018)=

12018!

.

Chọn đáp án C. Câu 35. Có f (x) = (x− x1)(x− x2 )(x− x3) và



1′f (x1)

+1′f (x2 )

+1′f (x3)

=1

(x1− x2 )(x1− x3)+

1(x2− x1)(x2− x3)

+1

(x3− x1)(x3− x2 )

=−(x2− x3)−(x3− x1)−(x1− x2 )

(x1− x2 )(x2− x3)(x3− x1)= 0.

Chọn đáp án B. Câu 36. Có f

(5) (0) = 5!a5, trong đó a5 là hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển.

Có 10 10 10 10

2 3 10 10 2 10 2 210 10 10 10

0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) .m m n n m n m n

m n m nx x x x x C x C x C C x +

= = = =

+ + + = + + = =∑ ∑ ∑∑

Cần tìm 2 5,0 10,0 10 ( ; ) (1;2);(3;1);(5;0).m n m n m n+ = ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ = Vậy hệ số cần tìm bằng a5 = C10

1 C102 +C10

3 C101 +C10

5 C100 = 1902.

Và f(5)(0)=5!×1902. Chọn đáp án A.

Câu 37. Với f (x)= a0 +a1x +a2x2 + ...+anxn thì f

(k )(0)= k!ak . Do đó f

(6)(0)=6!a6 =720×(−84)= −60480. Chọn đáp án A.

Câu 38. Có f(6)(0)=6!a6 =720×(−3612)=−2600640. Chọn đáp án A.

Documents

giaovienvietnam.com€¦ · BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO X CHO TEEN 2K1 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 1 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO X CHO TEEN