Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008

7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008

http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-toan-cao-cap-iii-dang-van-vinh-bien-soan-dai 1/229

Trườ ng Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứ ng dụng-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích hàm nhiều biến

• Giả ng viên Ts. Đặ ng V ă n Vinh (2/2008)

[email protected]

Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của giải tích hàm nhiều biến.

Sinh viên sau khi k ết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng:

hàm nhiều biến, giớ i hạn kép và liên tục, đạo hàm riêng và vi phân, đạo

Mục tiêu của môn học Toán 3

hàm theo hướ ng, khai tri n Taylor, Maclaurint của hàm nhi u bi n, ứng

dụng của đạo hàm riêng: phươ ng trình mặt phẳng tiếp diện, pháp véctơ ,ứng dụng tìm cực trị; cách tính tích phân bội: bội 2, bội 3; tích phân

đườ ng: loại 1, loại 2; tích phân mặt: loại 1, loại 2 và các ứng dụng hình

học, cơ học của các loại tích phân này; tích phân suy rộng phụ thuộc

tham số; trườ ng véctơ .



Giớ i hạn và liên tục

Đạo hàm theo hướ ng

Ứ ng dụng của đạo hàm riêng

Tích phân kép

Tích phân đườ ng loại 1 và loại 2

Tích phân mặt loại 1 và loại 2

Trườ ng véctơ

Tích phân bội ba

Tích phân phụ thuộc tham số

Nhiệm vụ của sinh viên.

Đi học đầy đủ (vắng 20% trên tổng số buổi học bị cấm thi!).

Làm tất cả các bài tập cho về nhà.

Đọc bài mớ i trướ c khi đến lớ p.

Đánh giá, ki m tra.

Thi giữa học k ỳ: hình thức trắc nghiệm (20%)

Thi cuối k ỳ: hình thức tự luận + điền k ết quả (80%)



Tài liệu tham khảo

1. Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lươ ng, Nguyễn Minh Hằng. Giải tích nhiều biến.

NXB Đại học quốc gia

2. Ngô Thu Lươ ng, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 3.

3. Đỗ Công Khanh. Giải tích nhiều biến. NXB Đại học quốc gia

4. James Stewart. Calculus, second edition, 2000.

5. www.tanbachkhoa.edu.vn

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Hàm hai biến

0.2 – Các khái niệm tôpô trong Rn

0.3 – Các mặt bậc hai

0.4 – Giớ i hạn

0.5 – liên tục



I. Hàm hai biến---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nhiệt độ T tại một điểm trên bề mặt trái đất tại một thờ i điểm t

cho trướ c phụ thuộc vào kinh độ x và v ĩ độ y của điểm này. Chúng

ta có thể coi T là một hàm theo hai biến x và y, ký hiệuT = T(x,y)

Ví dụ

Thể tích V của một bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r và

chiều cao h. Thực tế ta biết . Khi đó V là một hàm hai

biến theo r và h:

2V r hπ =2

( , ) .π =V r h r h

Ví dụ

I. Hàm hai biến---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho . Hàm hai biến là một ánh xạ2D R ⊆

Định ngh ĩ a hàm hai biến

:f D R →

( , ) ( , )x y f x y ֏

Ký hiệu: ( , ).f f x y =

D đượ c gọi là miền xác định của f . | ( , ) : ( , )= ∈ ∃ ∈ = E a R x y D a f x yMiền giá trị của f :

Nếu f cho bở i biểu thức đại số: Miền xác định là tập hợ p tất cả các

giá trị của x và y, sao cho biểu thức có ngh ĩ a.

Miền giá trị là tập hợ p tất cả các số thực mà hàm có thể nhận đượ c.



I. Hàm hai biến---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Miền xác định:

Hàm hai biếnVí dụ. 1

( , ) x y

f x y x y

+ +=

−

2( , ) | 1 0,D x y R x y x y = ∈ + + ≥ ≠

3 2 1(3,2) 63 2

f + += =−

2 2m a nụ. ,x y x y =

Miền xác định: 2

D R =

Miền giá trị: [0, )f E R += = +∞

2 2 2 2( , ) ( ) ( ) 2( )f x y x y x y x y x y + − = + + − = +

2 2 2( , ) 2f x x x x x = + =

I. Hàm hai biến---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Miền xác định:

Hàm hai biếnVí dụ. ( , )1

=+

x f x y

y

2( , ) | 1D x y R y = ∈ ≠ −

Hàm hai biếnVí dụ. 1

( , )1

f x y y

=+

2

Miền giá trị: f E R =

,x y y = ∈ ≠ −

Miền giá trị: 0f E R =

Hàm hai biếnVí dụ. neáu

, neáu

2 2

1

, ( , ) (0,0)( , )

0 ( , ) (0,0)

x y e x y f x y

x y

−

+

≠= =

Miền xác định: 2D R =

Miền giá trị: [0,1)f E =



II. Tôpô trong R2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

) 20 0( , ) ( , ) | ( ,B M r M x y R d M M r = ∈ <

Hình tròn mở tâm , bán kính0 0 0( , )M x y 0r >

2 2 20 0( , ) | ( ) ( )x y R x x y y r = ∈ − + − <

Hình tròn mở này cũng gọi là một r -lân cận của M0 và mọi tập con của R2 chứamột r-lân cận nào đó của M0 gọi là một lân cận của M0.

2 2

Có một lân cận của M0 nằm trọn trong A, ngh ĩ a là chỉ chứa những điểm của

A. Khi đó M0 đượ c gọi là điểm trong của tập A.

.

trừ nhau sau đây:0

Có một lân cận của M0 nằm trọn ngoài A, ngh ĩ a là hoàn toàn không chứa

điểm nào của A. Khi đó M0 là một điểm trong của phần bù của A.

Bất k ỳ lân cận nào của M0 cũng có cả những điểm của A và những điểm

không thuộc A. Khi đó M0 là một điểm biên của A.

II. Tôpô trong R2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chú ý. 1) Điểm trong của A là một điểm thuộc A.

2) Điểm biên của A có thể thuộc hoặc không thuộc A.

Một tập hợ p đượ c gọi là mở nếu mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong của nó.

của phần bù của nó.

Một tập hợ p là đóng nếu phần bù của nó là mở .

Một tập hợ p là mở nếu nó không chứa điểm biên nào của nó.



II. Tôpô trong R2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Điểm M0 đượ c gọi là điểm tụ của A, nếu mọi lân cận của M0 đều chứa vô sốđiểm của A.

Một tập hợ p là đóng nếu nó chứa tất cả các điểm biên của nó.

Điểm M0 là điểm tụ của tập A, nếu mọi lân cận của nó có chứa ít nhất một

điểm của A khác vớ i M0.

Chú ý. 1) Điểm tụ có thể thuộc A, có thể không thuộc A.

2) Có những tập hợ p không là tập đóng, cũng không là tập mở .

II. Tôpô trong R2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

Xét tập hợ p các điểm trong mặt phẳng. Cho tập hợ p A

( ) 2 2 2, 1A x y R x y = + <∈

1.Tất cả các điểm trong của A: ( ) 2 2 2, 1x y R x y + <∈

2. Tất cả các điểm biên của A: ( ) 2 2 2, 1x y R x y + =∈

4. Tập A là tập mở .

3. Tất cả các điểm tụ của A: ( ) 2 2 2, 1x y R x y + ≤∈



II. Tôpô trong R2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

Xét tập hợ p các điểm trong mặt phẳng. Cho A là tập hợ p các điểm nằm trong

hình tròn đơ n vị mà tọa độ các điểm là các số hữu tỉ.

2 2 2( , ) | 1A x y x Q y = ∈ + <

1. Tìm tất cả các điểm trong của A.

2. Tìm tất cả các điểm biên của A.

. m t t c c c m tụ c a .

4. Tập A đóng hay mở .

Đáp số: 1) Không có điểm trong

2) Tập điểm biên và điểm tụ bằng nhau

2 22( , ) | 1R A x y x y ∂ + ≤= ∈Tập điểm biên

4) A không đóng, không mở .

II. Tôpô trong R2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

Xét tập hợ p các điểm trong mặt phẳng. Cho tập hợ p A

2n+3,

n+121

1A R n

= + ∈

1. Tìm tất cả các điểm trong của A.

2. Tìm tất cả các điểm biên của A.

. m t t c c c m tụ c a .

4. Tập A đóng hay mở .

Đáp số: 1) Không có điểm trong

2) Có một điểm biên là (1,2).

4) A không đóng, không mở .

3) Có một điểm tụ là (1,2).



III. Các mặt bậc hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Từ chươ ng trình toán A2, để vẽ mặt bậc hai:

Phươ ng trình tổng quát của mặt bậc hai trong hệ tọa độ Descartes 0xyz là

2 2 22 2 02Ax By Cz Dxy Ex Gx z Fyz Hy Kz L + ++ ++ + ++ =+

1) Đưa dạng toàn phươ ng (màu đỏ) về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao

, .

3) Vẽ hình.


Tập hợ p tất cả các điểm ( x,y) của miền xác định D f , sao cho f ( x,y) = k đượ c gọi là

đườ ng mức, trong đó k là hằng số cho trướ c.

k = 0

k = 1

Xét đồ thị của hàm số: 2 2z x y = +

•

•

k = 2

k = 3

k = 4




Mặt paraboloid elliptic

2 2

2 2

x y z

a b = +


Mặt paraboloid elliptic2 2

2 2

x y z

a b = +




Mặt paraboloid elliptic 2 2( 1) ( 3) 4z x y = − + − +


Mặt paraboloid elliptic 2 2x z = +




Mặt ellipsoid2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b c + + =


Mặt Paraboloid hyperbolic2 2

2 2

x y z

a b = −




Mặt Paraboloid hyperbolic


Mặt Paraboloid hyperbolic 2 2 y z x = −




Mặt Hyperboloid 1 tầng2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b c + − =


Mặt Hyperboloid hai tầng2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b c + − = −




Ta thấy vớ i mọi k , đườ ng mức luôn là đườ ng tròn bán kính bằng 1.

Xét đồ thị của hàm số: 2 2

1x y + =

k = 0

k = 1

k = 2

k = -2

k = -1


Mặt trụ: trong phươ ng trình thiếu hoặc x, hoặc y, hoặc z.

2 2

2 2 1

x y

a b + =




Mặt trụ: 2 24x z + =


Mặt trụ 2x =

z

x




Mặt trụ 2z x =


Mặt trụ 22z x = −




Mặt trụ 22z x = −


Mặt nón hai phía2 2 2

2 2 2

x x x

a b c + =




Mặt nón hai phía

IV. Giớ i hạn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a giớ i hạn kép

Cho hàm hai biến , sao cho là điểm tụ của D f .( , )f f x y = 2

0 0 0( , )M x y R ∈ 0M

Ta nói giớ i hạn của f khi (x,y) dần đến điểm M0 bằng , nếu giá trị của f (x,y) tiến

gần đến tùy thích bằng cách lấy những điểm (x,y) gần điểm M0, nhưng không

trùng vớ i M0.

a a

lim ( , )f x y a =0 0, ,x y x y →

2 20 0 0 00, 0 : ( , ) ,( , ) ( , ), ( ) ( )f x y D x y x y x x y y ε δ δ ∀ > ∃ > ∀ ∈ ≠ − + − <

Khi đó ( , ) .f x y a ε − <

Ký hiệu khác của giớ i hạn kép: 0

0

lim ( , )x x

y x

f x y a →

→

=



. ạn------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---

Tính chất của giớ i hạn

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )1. lim [ ( , ) ( , )] lim lim

x y a b x y a b x y a b f x y g x y f g

→ → →+ = +

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )2. lim [ ( , ) ( , )] lim lim

x y a b x y a b x y a b f x y g x y f g

→ → →⋅ = ⋅

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )

lim ( , )( , )

lim , lim 0( , ) lim ( , )

3. neáu→

→ →→

= ≠ x y a b

x y a b x y a b x y a b

f x y f x y

gg x y g x y

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

lim lim , lim .

4. neáu vaø

thì→ → →

≤ ≤

= = = x y a b x y a b x y a b

f x y g x y h x y

f h M g M

. ạn------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---

Ví dụTìm giớ i hạn nếu tồn tại hoặc chứng minh không tồn tại.

( , ) (0,0)

1lim sin

→

= +

x y I x y

x

1 1,

x x

0

( , ) (0,0)

1lim sin 0.

→

⇒ + = x y

x y x



. ạn------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---

Ví dụTìm giớ i hạn nếu tồn tại, hoặc chứng tỏ giớ i hạn không tồn tại.

2

2 2( , ) (0,0)

3lim

→

=

+ x y

x y I

x y

2 23

x x

2 2 2 2, , v .=

+ + x y y

x y x y

0

2

2 2( , ) (0,0)

3lim 0.

→⇒ =

+ x y

x y

x y

. ạn------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---

Ví dụTìm giớ i hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tồn tại.

2 2

2 2( , ) (0,0)

2lim

→

+=

+ x y

x y I

x y

Chọn dãy 1

( , ) ,0 (0,0)→+∞

= → n

n n x y

Khi đó 1( , ) ,0 1. = =

n n f x y f n

Chọn dãy thứ hai ' ' 1( , ) 0, (0,0)

→+∞ = →

nn n x y

n

Khi đó ' ' 1( , ) 0, 2.

= =

n n f x y f

n

Vậy tồn tại hai dãy dần đến (0,0) nhưng giá trị của f tại những điểm đó tiến đến

hai số khác nhau, suy ra không tồn tại giớ i hạn đã cho.



. ạn-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-


2 2( , ) (0,0)lim

→=

+ x y

xy I

x y

Chọn = y kx

Khi đó ( )( , ) , .1

= =+

k f x y f x kx

k

f (x,y) là một đại lượ ng phụ thuộc vào k , mà k thay đổi nên không tồn tại giớ i hạn.

Chú ý. Chọn y = k x, tức là tiến đến (0,0) bằng những đườ ng thẳng.

Phươ ng pháp này không thể dùng để tìm giớ i hạn của dãy.

. ạn-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-Ví dụTìm giớ i hạn (nếu có) hoặc chứng tỏ không tồn tại.

3

2 6( , ) (0,0)lim

→=

+ x y

xy I

x y

Chọn dãy 1

( , ) ,0 (0,0)→+∞

= → n

n n x y

Khi đó 1( , ) ,0 1. = =

n n f x y f n

Chọn dãy thứ hai ' '

3

1 1( , ) , (0,0)

→+∞ = →

nn n x y

nn

Khi đó ' '

3

1 1 1( , ) , .

2n n f x y f

nn

= =





. ạn-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-


2 2

2 2 2

( , ) (0,0)

lim

( ) x y

x y I

x y x y→

=

+ −

Chọn dãy 1

( , ) ,0 (0,0)→+∞

= → n

n n x y

Khi đó1

( , ) ,0 0.n n f x y f n

= =

Chọn dãy thứ hai ' '

2

1 1 1( , ) , (0,0)

nn n x y

n n n

→+∞ = + →

Khi đó ' '

2

1 1 1 1

( , ) , .2n n f x y f n n n

= + =



. ạn-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


3( , ) (0,0)lim

1 1 x y

xy I

xy→=

− +

Đ t = Khi đó

30lim

1 1t

t I

t →=

− + 3= −



. ạn-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-


2

2( , ) (0,0)lim

9 3 x y

x y I

x y→

+=

+ + −

Đ t 2= Khi đó

0lim

9 3t

t I

t →=

+ − 6=

. ạn-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------


4

2 2 2( , ) (0,0)lim

( ) x y

xy I

x y→=

+

Sử d n h t a đ c c đ t = =

4 4

40

cos sinlimr

r t r t I

r →

⋅=

4

0lim( cos sin )r

I r t t →

⇔ = ⋅

Khi thì0; 0 x y→ → 0r →

0 I ⇔ =



. n ục-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-

Định ngh ĩ aHàm số f ( x,y) đượ c gọi là liên tục tại , nếu0 0( , ) x y

0 0

0 0( , ) ( , )

lim ( , ) ( , ) x y x y

f x y f x y→

=

Hàm đư c i là liên t c nếu nó liên t c t i m i điểm mà nó xác đ nh

Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là liên tục.

Thươ ng của hai hàm liên tục là liên tục nếu hàm ở mẫu khác 0.

Hợ p của hai hàm liên tục là liên tục (tại những điểm thích hợ p).

. n ục-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-Định ngh ĩ aCác hàm sau đây đượ c gọi là hàm sơ cấp cơ bản:

1) Hàm hằng; 2) hàm mũ; 3) hàm lũy thừa; 4) hàm lượ ng giác;

5) hàm lượ ng giác ngượ c; 6) hàm logarit.

Định ngh ĩ a

Hàm thu đượ c từ các hàm sơ cấp cơ bản bằng hữu hạn các phéptoán: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn đượ c gọi là hàm sơ cấp.

Định lý

Hàm sơ cấp liên tục tại những điểm mà nó xác định.



. n ục------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---

Ví dụTìm các điểm gián đoạn của hàm sau

( , ) xy

f x y x y

=

+

Suy ra những điểm gián đoạn của hàm số là đườ ng thẳng x + y = 0.

Đây là hàm sơ cấp cơ bản nên liên tục tại những điểm mà nó xác định.

. n ục------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---Ví dụKhảo sát tính liên tục của hàm sau:

3 3

2 2

sin( ), ( , ) (0,0)

( , )

0, ( , ) (0,0)

x y x y

f x y x y

x y

+≠

= +

=

3 30

3 3sin( ) sin 1

t x y t t x y

→+ = →+

3 3 3 3 3 32 2 3 3 2 2

sin( ) sin( ) x y x y x y

x y x y x y

+ + += ⋅+ + +

3 3

2 20 | | | |

x y x y

x y

+≤ ≤ +

+ ( , ) (0,0)lim ( , ) 1.0 0 (0,0)

x y f x y f

→⇒ = = =

Vậy hàm đã cho liên tục tại mọi điểm trong mặt phẳng.

Suy ra f liên tục tại (0,0).



. n ục------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---

Ví dụ

Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số liên tục tại điểm (0,0)

2 2

2 2 , ( , ) (0, 0)

( , )

x y x y

f x y x

−≠

= +

, ( , ) (0, 0)a x y =

Ta có không tồn tại.( , ) (0,0)

lim ( , ) x y

f x y→

Vậy hàm không liên tục tại (0,0). Không tồn tại a.

VI. Bài tập----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm

2 21) ( , ) 4 f x y x y= − −

2

2) ( , ) x y f x y e −=

2 2

1

x y

−

+,

24) ( , ) ln( 4 8) f x y y x= − +

5) ( , ) arcsin y

f x y x

=

2

16) ( , ) f x y

x y=

−



VI. Bài tập----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Vẽ các mặt bậc hai sau:

1) 3 z =

2 22) 2 z x y= +

2 23) 1 z x y= − −

2 28) 1 z x y= − −

2 29) 1 z x y= + +

10) 1 x y z+ + =

24) z x=

25) 1 z y= −

2 2

6) 1

9 4

x y

+ =

27) 1 y x= +

11) 2 z x=

2 212) 2 2 x y x y+ = +

2 213) 2 x y z+ + =

2 2 214) 8 2 x y z+ + =

VI. Bài tập----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Vẽ các khối sau:

2 21) ; 4 x y z z+ = =

2 22) ; 1. x y z x z+ = + =

2 23) 1; 1; 4. x y z z+ = = =

2 2 2 2 2 2

4) 1; ; 4 x y x y z x y z+ = + = + = −

25) 1 ; 0; 0; 2. y x y z z= − = = =

2 22 2 2

6) 1; 4; 0.9 4

x y

x y z z+ ≤ + + = ≥

2 27) 4 ; 2; 0; 4. z y z y x x= − = + = =



VI. Bài tập----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Vẽ các khối sau (tiếp theo)

2 28) ; 2; 2 x y x x z x z+ = + = − =

2 2 2 29) 2 ; ; 1; ;2 . y x y x x z x y z x y= = = = + = +

210) 1 ; 3 ; 5; 0 y x z x y z= + = = ≥

2 2 2 211) ; 1 1 z x y z x y= + − = − −

2 2 212) ; ; 1; 0. z x y y x y z= + = = =

13) ; 2 ; 0; 6. y x y x z x z= = = + =

2 2 2 214) 1; 2; 4; 1. x x y z y z= = + = + =

VI. Bài tập----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Tìm các giớ i hạn kép

2

2 4( , ) (0,0)

1) lim x y

x y

y x→ +

( , ) (0,0)

12) lim os

x y y c

y x→⋅

−

3

−

3( , ) (0,0)

3) lim x y x y→ +

( , ) (0,0)

1 14) lim sin sin

x y x y

y x→+

2 2

2 2( , ) (0,0)

5) lim x y

x y xy

x xy y→

+

− +

2 2 2

2 2( , ) (0,0)

( )6) lim

1 os( ) x y

xy x y

c x y→

+

− +



VI. Bài tập----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Tìm các giớ i hạn kép (tiếp theo)

( )2 2

1/

( , ) (0,0)7) lim 1

x y

x y xy

+

→+

( )2 2

1/( )

2 2

( , ) (0,0)8) lim os

x y

x yc x y

− +

→+

π

( , ) ( , ) m s n

x y xy

xy→ ∞ ∞

2 2 2 2

4 4 2 2 2 26( , ) ( , )

610) lim

2(1 ) x y

x y x y

x y x y x y→ ∞ ∞

+ + + +

+ + + − +

2 2

( , ) (0,0)

111) lim ( )sin

x y

x y

xy→

+

( , ) (0,0)12) lim

x y

x

x y→ +

VI. Bài tập----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Tìm các giớ i hạn kép (tiếp theo)2 2

2( , ) (2,1)

413) lim

2 2 4 x y

x y

x x xy y→

−

+ − −

( , ) ( , )14) lim (1 )

x

x y k

y

x→ ∞+

x +2 2

( , ) ( , )

m

x y x y→ ∞ ∞ +

( , ) (0,2)

sin( )16) lim

x y

xy

x→

2 2( , ) (0,0)

17) lim x y

x y

x xy y→

+

− +

2 2 2

( , ) (0,0)18) lim ln( )

x y x x y

→+



VI. Bài tập----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Tìm các điểm gián đoạn

2 21) ln z x y= +

2 212)1

z x y

=− −

1

2

( ) z

x y=

−

14) cos z

xy=

3

2 2

5) x

z

x y

=

+2

2 26)

x z

x y=

+

VI. Bài tập----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Tìm các điểm gián đoạn (tiếp theo)

2 2

2 2

2 2

, 07)

0, 0

x x y

x y z

x y

+ ≠

+=

+ =

3 3

, 08)

3, 0

x y

x y z x y

x y

+ ≠= + + =

2

sin( ), 0

9)

, 0

xyz z

zu

x z

≠

= =



VI. Bài tập----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số liên tục tại (0,0).

3 22 2

2 2

2 2

, 01)

, 0

x xy x y

x y z

m x y

−+ ≠

+=

+ =

22 2

4 2

2 2

, 02)

, 0

x y x y z

m x y

+ ≠+=

+ =

2 2

2 2

2 2

2, 0

3)

, 0

xy x y

x y z

m x y

+ ≠

+= + =







[email protected]

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)

0.2 – Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p

0.3 – Đ o hàm riên và vi hân của hàm ẩn

0.5 – Công thứ c Taylor, Maclaurint

0.6 – Ứ ng dụng của đạo hàm riêng

0.4 – Đạo hàm theo hướ ng



I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a đạo hàm riêng theo x.

Cho hàm hai biến f = f(x,y) vớ i điểm cố định.0 0 0( , ) M x y

Xét hàm một biến F(x) = f(x,y0) theo biến x.

Đạo hàm của hàm một biến F(x) tại x0 đượ c gọi là đạo hàm riêng theo xcủa f(x,y) tại , ký hiệu0 0 0( , ) M x y

0 0 0 00 0

0

'( , ) ( ) ( )( , ) lim

x x

f x y F x x F x f x y

x x∆ →

∂ + ∆ −= =

∂ ∆

0 0 0 0

0

( , ) ( , )lim x

f x y f x y

x∆ →

∆ −=

∆


Định ngh ĩ a đạo hàm riêng theo y.

Cho hàm hai biến f = f(x,y) vớ i điểm cố định.0 0 0( , ) M x y

Xét hàm một biến F(y) = f(x0,y) theo biến y.

Đạo hàm của hàm một biến F(y) tại y0 đượ c gọi là đạo hàm riêng theo y

của f(x,y) tại , ký hiệu0 0 0( , ) M x y

0 0 0 00 0

0

'( , ) ( ) ( )( , ) lim y

y f x y F y y F y f x y

y y∆ →

∂ + ∆ −= =∂ ∆

0 0 0 0

0

( , ) ( , )lim y

f x y y f x y

y∆ →

+ ∆ −=

∆




Ghi nhớ .

Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại theo x là đạo hàm của hàm

một biến f = f(x,y0).0 0 0( , ) M x y

Đạo hàm riêng của f = f(x,y) tại theo y là đạo hàm của hàmmột biến f = f(x0,y).

0 0 0( , ) M x y

Qui tắc tìm đạo hàm riêng.

Để tìm đạo hàm riêng của f theo biến x, ta coi f là hàm một biến x, biến

còn lại y là hằng số.

f(x,y) biễu diễn bở i mặt S (màu xanh)

Giả sử f(a,b) = c, nên điểm P(a,b,c) S.∈

Cố định y = b. Đườ ng cong C1 là

giao của S và mặt phẳng y = b.

Phươ ng trình của đườ ng cong C1

là g(x) = f(x, b).

1

đườ ng cong C1 là' '( ) ( , ) xg a f a b=

Đạo hàm riêng theo x của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T1 vớ i đườ ng

cong C1 tại P(a,b,c).

Tươ ng tự, đạo hàm riêng theo y của f = f(x,y) là hệ số góc của tiếp tuyến T2

vớ i đườ ng cong C2 tại P(a,b,c).



Ví dụ. Cho hàm . Tìm và biễu diễn hình học của

đạo hàm riêng này.

2 2( , ) 4 2 f x y x y= − −

'(1,1) x f

'2' 2( , ) (4 ) 22 x x f x y x y x−= − = −

'

(1,1) 2.1 2 x f ⇒ = − = −

Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh.

Mặt phẳng y = 1 cắt ngang đượ cđườ ng cong C1.

Tiếp tuyến vớ i C1 tại (1,1,1) là

đườ ng thẳng màu hồng.

Hệ số góc của tiếp tuyến vớ i C1

tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.

Biễu diễn hình học của ' 2 2

(1,1) ( , ) 4 2vôùi x f f x y x y= − −



Ví dụ. Cho hàm . Tìm và biễu diễn hình học của

đạo hàm riêng này.

2 2( , ) 4 2 f x y x y= − −

'(1,1) y f

'2' 2( , ) (4 2 ) 4 y y x f x y y y−= − = −

'

(1,1) 4.1 4 y f ⇒ = − = −

Mặt bậc hai f = f(x,y) màu xanh.

Mặt phẳng x = 1 cắt ngang đượ cđườ ng cong C2.

Tiếp tuyến vớ i C2 tại (1,1,1) là

đườ ng thẳng màu hồng.

Hệ số góc của tiếp tuyến vớ i C2

tại (1,1,1) là đạo hàm riêng cần tìm.

Biễu diễn hình học của

' 2 2(1,1) ( , ) 4 2 vôùi

y f f x y x y= − −



I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)--------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của đạo hàm riêng

Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên tính chất của đạo hàm

riêng cũng là tính chất của đạo hàm của hàm một biến.

' '1) ( ) x x f f α α = ' ' '2) ( ) x x x f g f g+ = +

' ' '

x xgf fg f − =

' ' '3 ⋅ = ⋅ + ⋅

2

xg g

Hàm một biến: hàm liên tục tại x0 khi và chỉ khi hàm có đạo hàm cấp 1 tại x0.

Hàm nhiều biến: Tồn tại hàm có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (x0,y0) nhưng

không liên tục tại điểm này. Giải thích!


Ví dụ

Tìm đạo hàm riêng , biết' '(1, 2), (1, 2) x y f f

2 2( , ) ln( 2 ) f x y x y= +

Giải. ( )'

' 2 2( , ) ln( 2 ) x

x f x y x y= +

' 2,

x x = ' 2

1 2⇒ =2 x y+ 9

( )'

' 2 2( , ) ln( 2 ) y

y f x y x y= +

'

2 2

4( , )

2 y

y f x y

x y=

+

' 8(1, 2)

9 y f ⇒ =




Ví dụ

Tìm đạo hàm riêng , biết' '(1, 2), (1, 2) x y f f ( , ) ( 2 )

y f x y x y= +

Giải.

( )

''( , ) ( 2 )

y

x x f x y x y= +

' 1( , ) ( 2 )

y x f x y y x y

−= +

'(1, 2) 10 x f ⇒ =

ln ln( 2 ) f y x y= +

'2

ln( 2 )2

y f x y y

f x y= + + ⋅

+

' 2( , ) ( 2 ) ln( 2 )

2

y y f x y x y x y y

x y

⇒ = + + + ⋅

+

Đạo hàm riêng hai vế theo y, ta có

' 4( , ) 25(ln 5 )

5 y f x y⇒ = +

I. Đạo hàm riêng và vi phân của f = f(x,y)---------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải. ( )'

' 2 3

2 31) ( , ) x

x

x f x y x y

x y= + =

+

Ví dụ

Cho .2 3( , ) f x y x y= +

1) Tìm '

(1,1) x f 2) Tìm '

(0,0) x f 3) Tìm '

(0,0) y f

' 1(1,1)

2 x f ⇒ =

2) Không thể thay (0,0) vào công thức để tìm . Ta sử dụng định ngh ĩ a(0,0) x

f

'

0

(0 , 0) (0, 0)(0, 0) lim x

x

f x f f

x∆ →

+ ∆ −=

∆

2

0

( ) 0 0lim x

x

x∆ →

∆ + −=

∆ 0

| |lim x

x

x∆ →

∆=

∆

Không tồn tại giớ i hạn này vì giớ i hạn trái và giớ i hạn phải không bằng nhau.

Tươ ng tự '

0

(0, 0 ) (0, 0)(0, 0) lim y

y

f y f f

y∆ →

+ ∆ −=

∆

3

0

( ) 0lim y

y

y∆ →

∆ −=

∆ 0=




Giải.

Ví dụ

Cho

2 22

1

( , )t x y

f x y e dt +

= ∫

Tìm ' '( , ), ( , ). x y f x y f x y

2 22

'

'

1

( , )t x y

x

x

f x y e dt +

= ∫

( ) ( )2

2 2 '2 2

x y

x

e x y+

= ⋅ +2 2

2 2

x y xe

x y

+= ⋅

+

Vì biểu thức đối xứng đối vớ i x và y nên, đổi chỗ x và y cho nhau ta

đượ c đạo hàm riêng theo y.

2 2'

2 2( , )

x y y

y f x y e

x y

+⇒ = ⋅

+


Ví dụ

Cho

2 21/( ) 2 2

2 2

, 0( , )

0, 0

neáu

neáu

x ye x y

f x y x y

− + + >=

+ =

Tìm '

(0,0). x f

.

'

0

(0 , 0) (0, 0)(0, 0) lim x

x

f x f f

x∆ →

+ ∆ −=

∆

21/( )

0lim

x

x

e

x

− ∆

∆ →

=∆

1t

x=

∆Đặt , suy ra .t → ∞

2'(0,0) lim

t x

t f te

−

→∞

⇒ = 0= (sử dụng qui tắc Lopital)




Cho hàm hai biến f = f(x,y).

Đạo hàm riêng theo x và theo y là những hàm hai biến x và y:

Ta có thể lấy đạo hàm riêng của hàm :'( , ) x f x y

( )2'

' ''

2( , ) ( , ) ( , ) x xx

x

f f x y f x y x y

x

∂= =

∂( )

2'' ''( , ) ( , ) ( , ) x xy

y

f f x y f x y x y

x y

∂= =

∂ ∂

( )2

'' ''( , ) ( , ) ( , ) y yx

x

f f x y f x y x y

y x

∂= =

∂ ∂( )

2'

' ''

2( , ) ( , ) ( , ) y yy

y

f f x y f x y x y

y

∂= =

∂

Tươ ng tự có thể lấy đạo hàm riêng của hàm :'( , ) y f x y

Tiếp tục quá trình, ta có khái niệm các đạo hàm cấp cao.

Vì đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm một biến nên việc tính đạo hàm

riêng cấp cao cũng tươ ng tự tính đạo hàm cấp cao của hàm một biến: dùng

công thức Leibnitz và các đạo hàm cấp cao thông dụng.


cao ta phải chú ý đến thứ tự lấy đạo hàm.

Chú ý.

2 2

0 0 0 0( , ) ( , ) f f

x y x x

y y y x

∂ ∂≠

∂ ∂ ∂ ∂Nói chung , nên khi lấy đạo hàm riêng cấp

Định lý

2 2

0 0 0 0( , ) ( , ) f f

x y x x

y y y x

∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂

Cho hàm f(x,y) và các đạo hàm riêng xác định trong lân

cận của và liên tục tại điểm này. Khi đó

' ' '' '', , , x y xy yx f f f f

0 0( , ) x y

Chứng minh:




Giải. '( , ) sin

x x f x y e y=

Ví dụ

Chứng tỏ rằng hàm thỏa phươ ng trình Laplace( , ) sin x

f x y e y=

2 2

2 2 0

f f

x y

∂ ∂+ =

∂ ∂

''sin

x xx f e y=

2 2

2 2 sin sin 0

x x f f e y e y

x y

∂ ∂⇒ + = − =

∂ ∂

'( , ) cos

x y f x y e y=

''sin

x yy f e y= −

Hàm f = f(x,y) thỏa phươ ng trình Laplace đượ c gọi là hàm điều hòa.

Hàm điều hòa đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết fluid flow, heat

conduction, electric potential,….


Giải. '( , ) cos( )t u x t a x at = − −

Ví dụ

Chứng tỏ rằng hàm thỏa phươ ng trình sóng( , ) sin( )u x t x at = −

2 22

2 2

u ua

t x

∂ ∂=

∂ ∂

'' 2sin( )tt u a x at = − −

2 22 2

2 2 sin( )

u ua a x at

t x

∂ ∂⇒ = = − −

∂ ∂

'

( , ) cos( ) xu x t x at = −

''

sin( ) xxu x at = − −

Phươ ng trình sóng mô tả sự chuyển động của các loại sóng: sóng biển,

sóng âm thanh hay sóng chuyển động dọc theo một sợ i dây rung.




Ví dụ

Chứng tỏ rằng thỏa phươ ng trình truyền nhiệt2 2

/(4 )1( , )

2

x a t u t x e

a t π

−=

22

2

u ua

t x

∂ ∂=

∂ ∂

Giải. 2 2

' /(4 )

2

1 2( , )

4 )2

x a t x

xu x t e

a t a t π

− −= ⋅

22

2

u ua

t x

∂ ∂⇒ =

∂ ∂

2 2'' /(4 )

5 2

2( , )

8

x a t xx

x a t u x t e

a t t π

−−⇒ =

2 2'

/(4 )1

2

x a t

t

ue

t a t π

−∂ =

∂

2 22 2

/(4 )

3 2

2

8

x a t x a t e

a t t π

−−=


Ví dụ

Cho

2 2

2 2

2 2

, 0( , )

0, 0

neáu

neáu

xy x y

x y f x y

x y

+ ≠

+=

+ =

Tìm ''

(0,0). xx f

.

'

0

(0 , 0) (0, 0)(0, 0) lim x x

f x f f x∆ →

+ ∆ −=∆ 0

0 0lim 0 x x∆ →

−= =∆

( )

3 22 2

22 2'

2 2

, 0

( , ) ( , )

0, 0

neáu

neáu

x

y yx x y

x yh x y f x y

x y

−+ ≠

+⇒ = =

+ =




Tìm đạo hàm riêng cấp hai

'' '

0

(0 , 0) (0, 0)(0, 0) (0, 0) lim xx x

x

h x h f h

x∆ →

+ ∆ −= =

∆

''

0

0 0(0, 0) lim 0 xx

x f

x∆ →

−⇒ = =

∆

Tươ ng tự tìm đượ c và''

(0, 0) 0 yy f = '' ''(0, 0); (0, 0) xy yx f f ∃ ∃

Chú ý. Để tìm đạo hàm riêng cấp hai tại (x0, y0) ta phải tìm đạo hàm

riêng cấp một tại mọi điểm (tức là tìm hàm ).'( , ) x f x y

'( , ) x f x y

Hàm này có các đạo hàm riêng cấp 1 tại (0,0) nhưng không liên tục tại đây.


Giải.

Ví dụ

Cho hàm . Tìm( , ) (2 3 ) ln( 2 )u x y x y x y= + +

100

100 (1, 2).

f

x

∂

∂

Sử dụng công thức Leibnitz, coi f ( x,y) là hàm một biến theo x.

Đ t . ; , 2 3 ; , ln 2u x x x x= = + = +

1000 (0) (100) 1 ' (99) 2 '' (98)

100 100 100100 ( , ) ... x x x x x x

f x y C f g C f g C f g

x

∂= + + +

∂

' ''2; 0; x xx f f = = ( )

( )( ) 1 1ln( 2 ) ( 1) ( 1)!

( 2 )

nn n x x n

g x y n x y

−= + = − −

+

100 99 980 1

100 100100 100 99

( 1) 99! ( 1) 98!( , ) (2 3 ) 2 0

( 2 ) ( 2 )

f x y C x y C

x x y x y

∂ − ⋅ − ⋅= + ⋅ + ⋅ +

∂ + +



Cho f có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục

C1 và C2 là hai đườ ng cong tạo

nên do hai mặt y = b và x =a cắt S

Điểm P nằm trên cả hai đườ ng này.

Giả sử T1 và T2 là hai tiếp tuyến

vớ i hai đườ ng cong C1 và C2 tại P.

Mặt hẳn chứa T và T ọi làα

nα

' '0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( ) x y z z f x y x x f x y y y− = − + −

mặt phẳng tiếp diện vớ i mặt S tại P.

Tiếp tuyến vớ i mọi đườ ng cong nằm

trong S, qua P đều nằm trong .( )α

Phươ ng trình mặt tiếp diện vớ i S tại (x0, y0, z0) là:


Giải.

Ví dụ

Tìm phươ ng trình mặt phẳng tiếp diện vớ i paraboloid elliptic

2 22 z x y= +

' '4 (1,1) 4. x x f x f = ⇒ =

tại điểm .(1,1,3)

' '2 (1,1) 2. y y f y f = ⇒ =

Phươ ng trình mặt phẳng tiếp diện:

' '0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( ) x y z z f x y x x f x y y y− = − + −

3 4( 1) 2( 1) z x y− = − + −

4 2 3 ( , ) z x y L x y= + − =



Nếu tại điểm tiếp xúc ta phóng

to lên thì mặt paraboloid gần

trùng vớ i mặt phẳng tiếp diện.

Hàm tuyến tính L(x,y) = 4x +2y – 3 là hàm xấp xỉ tốt cho f = 2x2 + y2

khi mà (x,y) gần vớ i điểm (1,1).

( , ) 4 2 3 f x y x y≈ + −

(1.1,0.95) (1.1,0.95) 4(1.1) 2(0.95) 3 3.3 f ≈⇒ + − =

Gần bằng vớ i giá trị thực: 2 2

(1.1,0.5) 2(1.1) (0.95) 3.3225 f = + =

Nếu ta chọn điểm xa điểm (1,1) thì k ết quả không còn đúng nữa.

(2,3) (2,3) 4(2) 2(3) 3 11 f ⇒ + − =≈

Khác xa vớ i giá trị thực: 2 2(2,3) 2(2) (3) 17 f += =




Định ngh ĩ a

Cho hàm f = f(x,y) và (x0, y0) là điểm trong của miền xác định.

Hàm f đượ c gọi là khả vi tại (x0, y0) nếu số gia toàn phần

có thể biễu diễn đượ c ở dạng

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) f x y f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ −

0 0( , ) f x y A x B y x yα β = ∆ + ∆ + ∆ + ∆∆

trong đó A, B là các hằng số, , 0, , 0.khi x yα β → ∆ ∆ →

Định ngh ĩ a

Đại lượ ng gọi là vi phân của hàm f = f(x,y) tại (x0,y0).0 0( , )d f x y A x B y= ∆ + ∆

Mặt tiếp diện

' '( , ) ( ) ( ) x y z f a b f x a f y b− = − + −




Định lý (điều kiện cần khả vi)

Nếu hàm f = f (x,y) khả vi tại (x0, y0), thì:

1) f liên tục tại (x0, y0),

2) f có các đạo hàm riêng cấp một tại (x0,y0) và ' '

0 0 0 0( , ), ( , ) x y A f x y B f x y= =

Chứng minh.

Định lý (điều kiện đủ)

Nếu hàm f(x,y) xác định trong một lân cận của (x0,y0) và có các đạo hàm riêng

' ', x y f f liên tục tại (x0,y0), thì hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0).

Chứng minh.


Ghi nhớ

Vi phân cấp 1 của f(x,y) tại (x0,y0): ' '

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) x ydf x y f x y dx f x y dy= +

Tính chất của vi phân

Cho f(x,y) và g(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó

1) ( ) d f df α α =

2) ( ) d f g df dg+ = +

3) ( ) d fg gdf fdg= +

24) ( )

f gdf fdgd

g g

−=




Dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng

Cho hàm f(x,y) khả vi tại (x0,y0). Khi đó ta có:

' '0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y f x y dx f x y dy x yα β + ∆ + ∆ − = + + ∆ + ∆

' '0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x y f x y f x y dx f x y dy x yα β + + + ∆ + ∆=

' ' ≈, , , , x y

Công thức (1) dùng để tính gần đúng giá trị của f tại (x,y).

Công thức (1) có thể viết lại: ' '

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y f x y f x y f x y dx f x y dy− ≈ +

hay ta có: f df ∆ ≈


Qui tắc dùng vi phân cấp 1 để tính gần đúng

Để tính gần đúng giá trị của hàm f tại điểm cho trướ c (x,y). Ta thực hiện

1) Chọn một điểm (x0,y0) gần vớ i điểm (x,y) sao cho f (x0,y0) đượ c tính dễ dàng

2) Tính giá trị ' '

0 0 0 0 0 0, , ( , ), ( , ). x y x x x y y y f x y f x y∆ = − ∆ = −

Chú ý: Nếu điểm (x0,y0) xa vớ i điểm (x,y) thì giá trị tính đượ c không phù hợ p.

' '0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (1) x y f x y f x y f x y x f x y y+ ∆ + ∆≈

3) Sử dụng công thức:




Ví dụ

Chứng tỏ f = xe xy khả vi tại (1,0). Sử dụng k ết quả này để tính gần đúng giá

trị

Giải.

(1.1, 0.1) f −

2( , ) ; ( , ) xy xy xy x y f x y e xye f x y x e= + =

Các đạo hàm riêng cấp một liên tục trên R2, nên liên tục trong lân cận của

(1,0). Theo định lý (đk đủ khả vi) f = xe xy khả vi tại (1,0).

' '

(1.1, 0.1) (1, 0) (1, 0) (1, 0) x y f f f x f y− ≈ + ∆ + ∆

Chọn0 01; 0 x y= = 0 1.1 1.0 0.1 x x x⇒ ∆ = − = − =

0 0.1 0 0.1 y y y∆ = − = − − = −

1 1(0.1) 1( .1) 10= + + − =

So sánh vớ i giá trị thực: 0.11

(1.1, 0.1) (1.1 0 9) . 8542 f e−

− = ≈


Ví dụ

Cho 2 2

( , ) 3 f x y x xy y= + −

1) Tìm ( , )d f x y

2) Khi x thay đổi từ 2 đến 2.05, y thay đổi từ 3 đến 2.96, so sánh df và f ∆

' '. , x y x y x y= , x y x y x x y y= −

2) Cho x0 = 2, y0 = 3 0.05, 0.04, 2.05, 2.96 x y x y⇒ ∆ = ∆ = − = =

(2,3) (2.2 3.3)0.05 (3.2 2.3) 0.6( 0. 504) f d = + + − − =

(2, 3) (2.05, 2.96) (2, 3) f f f ∆ = −

2 2 2 2(2,3) 2.05) 3 (2.5) (2.96) (2.96) 2 3 2 3 3 f = + ⋅ ⋅ − − + ⋅ ⋅ − ∆

0.6449=

Ta thấy hai giá trị gần giống nhau nhưng d f tính dễ hơ n.




Định ngh ĩ a vi phân cấp cao

Cho hàm f = f(x,y) khi đó df(x,y) cũng là một hàm hai biến x, y.

Vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1 đượ c gọi là vi phân cấp 2.

2( , ) ( ( , ))d f x y d df x y=

' '( )

x y

d f dx f dy= + ' '

( ) ( ) x y

d f dx d f dy= +

' '( ) ( ) x ydxd f dyd f = +

' ' ' ' ' ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) x x x y y x y ydx f dx f dy dy f dx f dy = + + +

'' '' '' '' xx xy yx yy f dxdx f dxdy f dxdy f dydy= + + +

2 '' 2 '' '' 2( , ) 2 xx xy yyd f x y f dx f dxdy f dy=⇔ + +

nn

d f dx dy f x y

∂ ∂ = +

∂ ∂

Một cách hình thức, có công thức tính vi phân cấp n. Sử dụng nhị thức Newton


Ví dụ

Công thức vi phân cấp 3 của hàm f = f(x,y)

2 33 2

3 3 f dx dy f dx dy f dy f x x y x y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3

3d f dx dy f x y

∂ ∂ = +

∂ ∂

3 3 2 2 3

3 2 2 33 3d f dx dx dy dxdy dy x x y x y y= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂4

4d f dx dy f

x y

∂ ∂ = +

∂ ∂

4 4 4 4 40 4 1 3 2 2 2 3 3 4 44 4 4 4 44 3 2 2 3 4

f f f f f C dx C dx dy C dx dy C dxdy C dy

x x y x y x y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Công thức vi phân cấp 4:




Giải.

Ví dụ

Tìm vi phân cấp hai , biết

( , ) xy

f x y e=

' '' 2 '', (1 )

xy xy xy x xx xy f ye f y e f e xy= ⇒ = = +

' ''

2(1,1)d f

. xy xy

y yy f xe f x e= ⇒ =

Vi phân cấp hai

2 '' 2 '' '' 22 xx xy yyd f f dx f dxdy f dy= + +

( )2 2 2 2 2( , ) (1 )2 xyd f x y e y dx xy dxdy x dy= + + +

( )2 2 2(1,1) 4d f e dx dxdy dy= + +


Giải.

Ví dụ

Tìm vi phân cấp hai , biết

( , ) y

f x y x

=

' '' ''

2 3 2

2 1, x xx xy

y y f f f

x x x

− −= ⇒ = =

2(1,1)d f

' ''

0. y yy f f x= ⇒ =

Vi phân cấp hai

2 '' 2 '' '' 22 xx xy yyd f f dx f dxdy f dy= + +

2 2 2

2 3

4( , ) 0

y yd f x y dx dxdy dy

x x

−= + +

2 2(1,1) 4d f dx dxdy= − +



Giải.


Ví dụ

Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng

2 3(1.03) (1.98) A = +

2 3( , ) f x y x y= +Chọn hàm

0 0,= =

0 1.03 1 0.03dx x x x⇒ = ∆ = − = − =

' '0 0( , ) ( , ) x y f f x y f x y df f dx f dy∆ = − ≈ = +

' '(1.03,1.98) (1,2) (1,2).(0.03) (1,2)( 0.02) x y f f f f ≈ + + −

ọn g r g n v . , . :

0 1.98 2 0.02dy y y y= ∆ = − = − = −

2

2 3 2 3

2 3

2

x ydx dy

x y x y= +

+ +

2 3 2 3.4(1.03) (1.98) (1.03,1.98) 3 (0.03) ( 0.02)

3 2.3 A f = + = ≈ + + − 2.98=

II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hợ p---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm một biến

' ' '( )( ) ( ) ( )

( )

f f u f x f u u x

u u x

=⇒ = ⋅

=

Hàm hai biến: trườ ng hợ p 1

' ' ' ' ' '( ) f f u== ⋅ = ⋅

( , ) y x y x

y xu u=

Trườ ng hợ p 2.

' ' ' ' '

( , )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

u v

f f u v

u u x f x f u x f v x

v v x

=

= ⇒ = ⋅ + ⋅ =




Giải.

Ví dụ

Tìm các đạo hàm riêng của hàm hợ p 2

( ) , sin( )u

f f u e u xy= = =

2' ' '

( ) 2 . cos( )u

x x f f u u ue y xy= ⋅ =

2sin ( )

( , ) xy

f f x y e= =

2sin ( )

2sin( ) . cos( ) xy

xy e y xy=

2' ' '

( ) 2 . cos( )u

y y f f u u ue x xy= ⋅ =2

sin ( )2sin( ) . cos( )

xy xy e x xy=

Giải. ' ' ' ' '( ) ( ) ( )u v

df f x f u x f v x

dx= = ⋅ + ⋅

Ví dụ

Tìm , biết 3 2( , ) ln( ), , sin

x f f u v u v uv u e v x= = + = =

' x f

2 31 13 sin(2 )

xu v e u x

u v

= + + +


Trườ ng hợ p 3

' ' ' ' '

' ' ' ' '

( , )

( , )

( , )

u v

u

x x x

y v y y

f f u v f f u f v

u u x y f f u f v

v v x y

== ⋅ + ⋅

⇒== ⋅ + ⋅ =

f = f (u,v) ' x f

u = u( x,y) v = v( x,y)

x y x y

' y f




Giải.

Ví dụ

Tìm của hàm hợ p 2 2( , ) , ( , ) , ( , )

uv f f u v e u x y x y v x y xy= = = + =

' ' ' ' '.2 .

uv uv x u x v x f f u f v ve x ue y= ⋅ + ⋅ = +

2 2( )

( , ) x y xy

f f x y e +

= =

' ', x y f f

' ' ' ' '.2 .

uv uv y u y v y f f u f v ve y ue x= ⋅ + ⋅ = +

2 2 2 2' ( ) 2 2 ( )

.2 ( ) . x y xy x y xy

x f xye x x y e y+ +

= + +

2 2 2 2' ( ) 2 2 ( )

.2 ( ) . x y xy x y xy

y f xye y x y e x+ +

= + +


Trườ ng hợ p 4

( , )

( )

f f x y

y y x

=

=

f = f (x,y) là một hàm hai biến theo x và y. Khi đó ta có khái niệm đạo

hàm riêng theo x:'

x

f f

x

∂=

∂

Thay y = y(x) vào ta đượ c hàm một biến theo x:

df f dx f dy

dx x dx y dx

∂ ∂= ⋅ + ⋅

∂ ∂

f f dy

x y dx

∂ ∂= + ⋅

∂ ∂

Trong trườ ng hợ p này vừa tồn tại đạo hàm của f theo x như là đạo hàmdf

dx

của hàm một biến x, vừa tồn tại đạo hàm riêng của f theo x. f

x

∂

∂




Ví dụ

Tìm của hàm ( )2 2( , ) , ( ) ln 1

xy f f x y e x y y y x x x= = + = = + +

( )'

2

2 xy xy

x

f

e x y ye xy x

∂

= + = +∂

, f df

x dx

∂

∂

'2 2 xy xy f ∂

y y∂

( )( )'

' 2

2

1( ) ln 1

1

dy y x x x

dx x= = + + =

+

df f f dydx x y dx

∂ ∂= + ⋅∂ ∂

2

212 ( )

1

xy xy ye xy xe x x

= + + + ⋅+


Đạo hàm cấp hai của hàm hợ p

( , )

( , )

( , )

f f u v

u u x y

v v x y

=

= =

' ' ' ' ' x u x v x f f u f v= ⋅ + ⋅ ( ) ( )

' ''' ' ' ' ' '

xx x u x v x x x

f f f u f v= = ⋅ + ⋅

là hàm

hợ p hai biến u,v

'u f

( ) ( )' '' ' ' 'u x v x

x x f u f v= ⋅ + ⋅ ( ) ( ) ( ) ( )' '''' '' ' ' ' ''

x u x x v x x x

u v x x

u f u v f v f f = ⋅ + + ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( )'' '

' ' ' '

'' ' '' ' ' ''' ' ''v x v x

u vu x u x

u v x u xx x v xxu f f u f u f vv u f v f v

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

+

⋅⋅ + ⋅

( ) ( )2 2

'' ' '' ' ' ' '' '' ' ' '' ' ' ''uu x uv x x u xx vu x x vv x v xx f u f v u f u f v u f v f v= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅




Ví dụ

Tìm của hàm hợ p 2 2( , ) 2 , ( , ) , ( , ) 3 f f u v u v u x y xy v x y x y= = + = = +

' ' ' ' ' 22 . 2.1 x u x v x f f u f v u y= ⋅ + ⋅ = +

'' xy f

( ) ( )' '

'' ' 22 . 2 xy x

y y

f f u y⇒ = = +

( )'

'' 2 ' 22 . 2 . 2 .2 xy y

y f u y u y u y= = +

Tìm của hàm hợ p 2( , ) , ( , ) , ( , ) 2

uv f f u v e u x y xy y v x y x y= = = + = +''

xy f

' ' ' ' '. .2

uv uv x u x v x f f u f v ve y ue= ⋅ + ⋅ = + ( )

'''

. .2uv uv

xy y

f ve y ue⇒ = +

( ) ( )' '

. . 2( 2 ) 2uv uvuv uv y

v y

ue y v y ve x ye ee u= + + + + +

( ) ( ) ( )' '

' ''

. .uv uv

y yu v

uv

ye u ee v= + .( 2 ) .1

uv uvve x y ue= + +


Đạo hàm cấp hai của hàm hợ p

( )

( , )

f f u

u u x y

=

=

' ' '( ) x x f f u u= ⋅

( ) ( )' '

'' ' ' '( ) xx x x

x x f f f u u= = ⋅ ( ) ( )

''

'' ' '

)) (( x x x x

u f u f u u= ⋅ + ⋅

là hàm

hợ p một biến u

'( ) f u

( )'

' ' ' ' ''( ) ( ) ( ) x xx x u f u f uu u u = ⋅ + ⋅ ⋅ ( )2

'' ' ' ''( ) ( ) x xx f u u f u u= ⋅ + ⋅

( ) ( )' '

'' ' ' '( ) xy x x

y y f f f u u= = ⋅ ( ) ( )

''

'' ' '

)) (( x x y y

u f u f u u= ⋅ + ⋅

( )'

' ' ' ' ''( ) ( ) ( ) x xy y u f u f uu u u

= ⋅ + ⋅

⋅ '' ' ' ' ''

( ) ( ) x y xy f u u u f u u= ⋅ ⋅ + ⋅




Ví dụ

Tìm của hàm hợ p 2( ) ln , ( , )

y f f u u u x y xy e= = = +

' ' ' 21( ) . x x f f u u y

u

= ⋅ =

'' xy f

( )

''

'' ' 21. xy x

y y

f f y

u

⇒ = =

''' 21 1

. .2 xy f y y

= + 2

2

1 1(2 ). .2

y xy e y y= − + +

y

Ví dụ

Tìm của hàm hợ p 2( )

y f f x e= +

'' xy f

' ' ' '( ) ( ).2

x x

f f u u f u x⇒ = ⋅ =2

( , ) y

u x y x e= +Đặt

( )'

'' '( ).2 xy

y f f u x=

''2 . ( ).

y x f u e=


Vi phân cấp một của hàm hợ p

( , )

( , )

( , )

f f u v

u u x y

v v x y

=

= =

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

u, v là hai biến hàm, x và y là hai biến độc lập.

Khi thay u(x,y), v(x,y) vào ta đượ c hàm f theo hai biến

x, y độc lập.

x y x y= ⋅u x v x u y v yu v x u v y= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )' ' ' ' ' 'u x y v x y f u dx u dy f v dx v dy= + + +

' 'u v f du f dv= +

' ' (1)u vdf f du f dv= +

' ' (2) x ydf f dx f dy= +

Tùy theo bài toán mà ta dùng công thức (1) hoặc

(2). Thườ ng dùng công thức số (1)

Hai công thức giống nhau. Trong (1) là biến hàm, trong (2) là biến độc lập.

Nên ta nói: vi phân cấp một có tính bất biến.




Ví dụ

Tìm của hàm hợ p 2( , ) , ( , ) ; ( , ) 2 3

uv f f u v e u x y xy v x y x y= = = = +

' 'u vdf f du f dv= +

df

Ví dụ

22du y dx xydy= + 2 3dv dx dy= +

2( 2 ) (2 3 )

uv uvdf ve y dx xydy ue dx dy= + + +

2( 2 ) (2 3 )

uv uve vy u dx e vxy u dy= + + +

Tìm của hàm hợ p 1

( ) , ( , ) ln( 2 ) f f u u x y x yu

= = = +df

( )' '

2

1 x yu dx u dy

u= − +

'( )df f u du=

2

1 1 2

2 2dx dy

x y x yu

= − +

+ +

Chú ý: Trong hai ví dụ này ta đều có thể dùng ' '

x ydf f dx f dy= +

nhưng việc tính toán phức tạp hơ n.


Ví dụ

Tìm của hàm hợ p 2( 2 , )

xy f f x y e= +df

Đặt 2

2 ; xy

u x y v e= + =

Ta có 2

( , ); ( , ) 2 , ( , ) xy

f f u v u x y x y v x y e= = + =

' 'u vdf f du f dv= +

2 2du xdx dy= + xy xy

dv ye dx xe dy= +

' '(2 2 ) ( )

xy xyu vdf f xdx dy f ye dx xe dy= + + +

Chú ý: Có thể dùng ' ' x ydf f dx f dy= +




Vi phân cấp hai của hàm hợ p

( , )

( , )

( , )

f f u v

u u x y

v v x y

=

= =

2( )d f d df =

Chú ý ở đây u, v là biến hàm nên du, dv không là hằng số

' '( )u vd f du f dv= +

( ) ( )' 'u vd f du d f dv= +

( ) ( )u u v vd f d f du f d du d f dv f d dv= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

là những hàm hợ p hai biến' ',u v f f

( ) ( ) ( )' '

' ' 'u u u

u vd f f du f dv= + ( ) ( ) ( )

' '' ' '

v v vu v

d f f du f dv= +

( ) ( )2 2,d du d u d dv d v= =

Vi phân cấp hai không còn tính bất biến.


Vi phân cấp hai của hàm hợ p

( )

( , )

f f u

u u x y

=

=

2( )d f d df = '

( ( ) )d f u du=

( ) ( )' '( ) ( )d f u du f u d du= ⋅ + ⋅

( )'

2 ' ' 2( ) ( ) ( )d f f u u du du f u d u= ⋅ ⋅ +

'' 2 ' 2( ) ( ) f u du f u d u= ⋅ +

Tóm lại:

Để tìm đạo hàm riêng (vi phân) cấp hai của hàm hợ p ta lấy đạo hàm (vi

phân) của đạo hàm (vi phân) cấp một và phải biết phân biệt là hàm hợ p mấy

biến.




Ví dụ

Tìm của hàm hợ p2 2 2

( , ) 2 ; ( , ) 2 ; ( , ) f f u v u v u x y xy x v x y x y= = + = + = +

2d f

' 'vudu f d v f d f = + [ ] [ ]( 2) 2 22 2 y dx xdy xdx yv dy++ + +=

y x x y v x x y y= = + + + +

( )[ ] ( )[ ]22 ( 2) 2 2 2d f d y dx xdy d v xdx ydy= + + + +

( ) ( ) ( )22 ( 2) ) 2 ( 2 2 2 2 2 2d f d y dx d xdy xdx ydy dv vd xdx ydy= + + + + + +

(( 2) )d y dx• + ( )d xdy•

( )2 2d xdx ydy• + (2 ) (2 )d xdx d ydy= + 2 2

2 2dx dy= +

( 2)dxd y= + dxdy= dxdy=


'

Ví dụ

Tìm của hàm hợ p 2( 3 ) f f x y= +2d f

Đặt 2

3u x y= +

Ta có 2

( ); ( , ) 3 f f u u x y x y= = +

'u u=

2 '( ) ( ( )(2 3 ))d f d df d f u xdx dy= = +

u x x y= +

2 ' '(2 3 ) ( ( )) ( ) (2 3 )d f xdx dy d f u f u d xdx dy= + ⋅ + ⋅ +

'( ( ))d f u•

''( ) f u du=

''( ) (2 3 ) f u xdx dy= ⋅ +

(2 3 )d xdx dy• + (2 ) (3 )d xdx d dy= + 2 0dxdx= + 22dx=



III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử phươ ng trình xác định một hàm ẩn( , ) 0F x y = ( ) y y x=

sao cho vớ i mọi x thuộc miền xác định của f .( , ( )) 0F x y x =

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợ p:

F dx F dy∂ ∂ F F dy∂ ∂

x dx y dx⋅ ⋅ =

∂ ∂ x y dx⋅ =

∂ ∂

'

'

/

/

x

y

F dy F x

dx F y F

∂ ∂= − = −

∂ ∂

II. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Tìm biết y = y(x) là hàm ẩn xác định từ phươ ng trình

2 2 xy xy x y e+ + =

'( ) y x

Cách 1. Đạo hàm hai vế phươ ng trình, chú ý y là hàm theo x.

' ' '2 2 ( )

xy y x y x y y e y x y+ ⋅ + + ⋅ = + ⋅ ' 2

( ) xy

ye x y y x

− −⇒ =

x y xe+ −

Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây sử dụng đạo hàm riêng!

2 2( , ) 0

xyF x y xy x y e= + + − ≡

' '2 ; 2

xy xy

x yF y x ye F x y xe= + − = + −

'

'

'

2( )

2

xy

x

xy

y

F y x ye y x

F x y xe

+ −⇒ = − = −

+ −

Chú ý. Cần phân biệt đạo hàm theo x ở hai cách. Cách 1, đạo hàm hai vế coi y

là hàm theo x. Cách 2, đạo hàm riêng của F theo x, coi y là hằng.




Giả sử phươ ng trình xác định một hàm ẩn .( , , ) 0F x y z = ( , ) z z x y=

sao cho vớ i mọi ( x,y) thuộc miền xác định của z.( , , ( , )) 0F x y z x y =

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợ p, chú ý x, y là hai biến độc lập, z

là hàm theo x, y

F dx F z∂ ∂ ∂ F F z∂ ∂ ∂

x dx z x⋅ + ⋅ =

∂ ∂ ∂ x z x⇔ + ⋅ =

∂ ∂ ∂

'

'

/

/

x

z

F F x

F z

z

F x−

∂ ∂ ∂= − =

∂ ∂ ∂

'

'

/

/

y

z

F F y

F z

z

F y−

∂ ∂ ∂= − =

∂ ∂ ∂


Ví dụ

Tìm , biết z = z(x,y) là hàm ẩn xác định từ phươ ng trình

z x y x y z e

− −+ − =

' x z

Cách 1. Đạo hàm hai vế phươ ng trình theo x, chú ý y là hằng, z là hàm theo x.

' '1 ( 1)

z x y x x z e z

− −− = − ' 1

1 z x y

x

e z

− −

− −

+⇒ = =

e − −+

Cách 2. Sử dụng công thức. Chú ý ở đây x là biến, y và z là hằng!

( , , ) 0 z x y

F x y z x y z e − −

= + − − ≡

' '1 ; 1

z x y z x y

x zF e F e

− − − −= + = − −

'

'

'

11

1

z x y

x

x z x y

z

F e z

F e

− −

− −

+⇒ = − = − =

− −

Tươ ng tự tìm đạo hàm riêng của z theo y.



III. Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý (về hàm ẩn) .

Cho hàm thỏa các điều kiện sau:( , )F x y

2)0 0

(( , )) 0F x y =

1) Xác định, liên tục trong hình tròn mở tâm bán kính0 0 0

( , ) M x y r 0

( , ) B M r

F F ∂ ∂

3) 0 0( , ) 0F x y y

∂ ≠∂

, x y∂ ∂

0,

Khi đó xác định trong lân cận U của một hàm thỏa( , ) 0F x y = 0 x ( ) y y x=

và trong U . Ngoài ra y = y( x) khả vi, liên tục trong U 0 0

( ) y y x= ( , ( )) 0F x y x =

'

'

/

/

x

y

F dy F x

dx F y F

∂ ∂= − = −

∂ ∂

Chứng minh.


Đạo hàm riêng cấp hai của hàm ẩn: z = z(x,y)

1) Tìm đạo hàm riêng cấp 1 (bằng 1 trong hai cách)

2) . Chú ý: x là hằng, y là biến, z là hàm theo y.( )'

'''' '

'

x

xy x y z y

F z z

F

= = −

Vi phân cấp 1 của hàm ẩn: z = z(x,y): ' '

x ydz z dx z dy= +

Chú ý. Vì z = z(x,y) là hàm hai biến độc lập x và y. Nên vi phân cấp một,

cấp hai hoặc cấp cao của hàm ẩn cũng giống như vi phân cấp 1 và cấp hai

của hàm f = f(x,y) trong phần I.

Vi phân cấp 2 của hàm ẩn: z = z(x,y)

2 '' 2 '' '' 22

xx xy yyd z z dx z dxdy z dy= + +




Ví dụ


3 3 32 3 2 3 0, (1,1) 2. x y z xyz y z+ + − + − = = −

(1,1)dz

3 3 3( , , ) 2 3 2 3 0F x y z x y z xyz y= + + − + − ≡

' 2 ' 2 ' 2

x x yz= − y

= − z

z xy= −

' 2 2

'

' 2 2

3 3

3 3

x

x

z

F x yz yz x z

F z xy z xy

− −= − = − =

− −

' 1.( 2) 1.1(1,1) 1

4 1 x

z − −

⇒ = = −−

' 2

'

' 2

6 3 2

3 3

y

y z

F y xz z

F z xy

− += − = −

−

' 14(1,1)

9 y

z⇒ = −

Vi phân cấp 1: ' ' 14

9 x y

dz z dx z dy dx dy= + = − −


Ví dụ


2 2 2 x y z x y z e

+ ++ + =

'' xy z

2 2 2( , , ) 0

x y zF x y z x y z e + +

= + + − ≡

' 2 2 22 2

x y z

xF x e x x y z+ +

= − = − − − ' 2 2 2

2 2 x y z

zF z e z x y z+ +

= − = − − −

' 2 2 2

'

' 2 2 2

2

2

x

x

z

F x x y z z

F x y z z

− − −= − =

+ + −

'2 2 2

''

2 2 2

2

2 xy

y

x x y z z

x y z z

− − − =

+ + −

Đạo hàm theo y, coi x là hằng,

y là biến, z là hàm theo y!

( )

' ' '

22 2 2

( 2 2 ) (2 2 2 )

2

maãu töû y y y

y z z y z z z

x y z z

− − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅=

+ + −




Ví dụ


2 22 3 xyz x y z+ + = −

2 2( , , ) 2 3 0F x y z xyz x y z= + + − + ≡

'2

xF yz x= +

'2F xz y= +

'2

zF xy= −

2 z

x y

∂

∂ ∂

'

'

'

2 2

2 2

x

x

z

F yz x yz x z

F xy xy

+ += − = − =

− −

' ''

''

'

2

2

x

xy

z y y

F yz x z

F xy

+ = − =

−

Coi x là hằng, y là biến,

z là hàm theo y

( )

( )

'

2

( ) 2 ( 2 ) ( )

2

y z yz xy yz x x

xy

+ ⋅ − − + ⋅ −=

−

II. Bài tập---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



II. Bài tập---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

II. Bài tập---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------







[email protected]

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.5 – Công thứ c Taylor, Maclaurint

0.4 – Đạo hàm theo hướ ng

0.6 – Cự c trị của hàm nhiều biến



IV. Đạo hàm theo hướ ng, véctơ Gradient---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

có đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong một lân cận của


f = f ( x,y)

1 2( , )u u u=

( , ) M x y•

Véctơ đơ n vị cùng phươ ng u

( )0 1 2,u

l l lu

= =

( )0 cos , cosl α β =

là góc tạo bở i và chiều dươ ng

tr c 0x và 0 tươ n ứn .

u

,α β

oy

α β

0 0 0, M x y•

Phươ ng trình tham số của tia 0 : M M 0

0

cos0

cos

x x t t

y y t

α

β

= +≥

= +

Đạo hàm của hàm f theo hướ ng véctơ tại điểm là giớ i hạn (nếu có)u

0 M

'0( )

u f M

ox•

0( ) f

M u

∂=

∂

0

0

0

( ) ( )lim

M M

f M f M

MM →

−=




Đây chính là đạo hàm của hàm f theo biến t

2 20 0 0( ) ( ) M M x x y y t = − + − =

' 0 00

0

( , ) ( , )( ) lim

ut

f x y f x y f M

t +→

−=

' 0 0 0 00

0

( cos , cos ) ( , )( ) lim

u

t

f x t y t f x y f M

t

α β +

→

+ + −=

' '0( ) t u

f M f =

' ' ' ' x t y t f x f y= ⋅ + ⋅

' '0 0 0 0( , ) cos ( , ) cos x y f x y f x yα β = ⋅ + ⋅

( ) ( )( )' '0 0

'00 0 0( , ), cos ,c( , ) ,) s, o( xu y f x y f x y f x y α β =

( )' '0 0 0 0 0 0( , ) ( , ), ( , )grad x y f x y f x y f x y=

véctơ gradient của f tại M0

Tích vô hướ ng của véctơ gradient tại M0 vớ i véctơ đơ n vị.( )'

0 0 0 0( ) ( , ),gradu

f M f x y l=


' ' ' '0 0 0 0( ) ( ) cos ( ) cos ( ) cos x y zu

f M f M f M f M α β γ = ⋅ + ⋅ + ⋅

( )'0 0 0 0 0( ) ( , , ),grad

u f M f x y z l=

Tươ ng tự, ta có định ngh ĩ a đạo hàm của f=f (x,y,z) tại M0 theo hướ ng u

u

Trong đó: véctơ đơ n vị cùng phươ ng vớ i là: ( )0 , ,os os osl c c cα β γ =

là các góc tạo bở i và chiều dươ ng trục 0x, 0y và 0z tươ ng ứng.u

, ,α β γ

Véctơ Gradient của f (x,y,z) tại M0 là: ( )' ' '0 0 0 0( ) ( ), ( ), ( )grad x y z f M f M f M f M =




Ví dụ.

Tìm đạo hàm của tại điểm M0(1,1)2 4 5

( , ) 3 f x y xy x y= −

(1, 2)u = −

theo hướ ng của véctơ

Giải.

0

1 2,l

= −

Véctơ đơ n vị cùng phươ ng vớ i là:u

( ),os osc cα β =

' 2 3 512 x f y x y= −

' 4 42 15 y f xy x y= −

'(1,1) 11 x f ⇒ = −

'(1,1) 13 y f ⇒ = −

' ' '(1,1) (1,1) (1,1)os os x yu

f f c f cα β = ⋅ + ⋅

11 263 5

5 5= − + =


Ví dụ.

Tìm đạo hàm của tại điểm M0(1,2)3 2

( , ) 3 4 f x y x xy y= − +

theo hướ ng của véctơ tạo vớ i chiều dươ ng trục 0x một góc 300.

Giải.0l =

Véctơ đơ n vị là: ( ),os osc cα β

' 23 3 x f x y= −

'3 8 y f x y= − +

'(1,2) 3 x f ⇒ = −

'(1,2) 13 y f ⇒ =

0

' ' '(1,2) (1,2) (1,2)os os x yl

f f c f cα β = ⋅ + ⋅

3 3 13

2 2= − +

0 cos ,cos ,

6 3 2 2l⇒ = =

,

6 2 6 3

α β = = − =




Ví dụ.

Tìm đạo hàm của tại điểm( , ) arctg y

f x y x

=

theo hướ ng pháp véctơ của đườ ng tròn x2 + y2 = 2x tại M0.

Giải.

0

1 3,

2 2 M

=

2 2( , ) 2 0F x y x y x= + − = ( ) ( )' '

, 2 2,2 x yn F F x y⇒ = = −

( 1, 3)= −

'

2 2 x

y f

x y= −

+

'

2 2 y

x f

x y

=

+

'0

3( )

2 x f M ⇒ = −

'0

1( )

2 y f M ⇒ =

0

' ' '0 0 0( ) ( ) ( )os os x yl

f M f M c f M cα β = ⋅ + ⋅

0l =

Véctơ đơ n vị là: ,2 2

−

3

2=


Ví dụ.

Tìm đạo hàm của tại điểm M0(3,3,1)3 2 2

( , , ) 2 3 f x y z x xy yz= + +

theo hướ ng của véctơ l=(2,1,2).

Giải.0l =

Véctơ đơ n vị là: 2 1 2

, ,3 3 3

(cos ,cos ,cos )α β γ =

3 2 x

f x y= +

' 24 3 y f xy z= +

(3,3,1) 45 x

f ⇒ =

'(3,3,1) 39 y f ⇒ =

' ' ' '0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )os os os x y zl

f M f M c f M c f M cα β γ = ⋅ + ⋅ + ⋅

'6 z f yz=

'(3,3,1) 18 z f ⇒ =

55=




Ví dụ.

Tìm đạo hàm của tại điểm M0(1,2,-1)2

( , , ) 3 4 f x y z x yz= − +

theo hướ ng của véctơ tạo vớ i các trục tọa độ những góc nhọn bằng nhau.

Giải. 0l =

Véctơ đơ n vị là: (cos ,cos ,cos )α β γ

2 2 2= 2 1

'2 x f x=

'3 y f z= −

'(1,2, 1) 2 x f ⇒ − =

'(1,2, 1) 3 y f ⇒ − =

' ' ' '0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )os os os x y zl

f M f M c f M c f M cα β γ = ⋅ + ⋅ + ⋅

'

3 z f y= −

'

(1,2, 1) 6 z f ⇒ − = −

3

3= −

3


Chú ý. Cho hàm f=f (x,y,z).

Đạo hàm của f tại M0 theo hướ ng của véctơ (1,0,0) là:

' ' ' '0 0 0 0( ) ( ) cos ( ) cos ( ) cos x y zi

f M f M f M f M α β γ = ⋅ + ⋅ + ⋅ '

0( ) x f M =

Nếu đạo hàm riêng theo x không tồn tại, thì đạo hàm theo hướ ng vẫn có thể có.

, , 0 ,

đạo hàm riêng theo x tồn tại.

(vì theo định ngh ĩ a, đạo hàm theo hướ ng là giớ i hạn một phía)




Ví dụ.

Tìm đạo hàm của tại điểm M0(0,1, 1)( , , ) | | 2 f x y z x yz= +

theo hướ ng của véctơ (1,0,0).

Giải.0l =

Véctơ đơ n vị là: ( )1,0,0

Không tồn tại đạo hàm riêng theo x tại M0.

Tìm đạo hàm của f theo hướ ng của véctơ (1,0,0) bằng định ngh ĩ a

' 0 0 0 0 0 0

0

( cos , cos , cos ) ( , , )(0,1,1) lim

it

f x t y t z t f x y z f

t

α β γ +

→

+ + + −=

'0

( ,1,1) (0,1,1)(0,1,1) limi

t

f t f f t +

→

−

=

0

| | 2 2lim

t

t

t +→

+ −

=0

| |lim

t

t

t +→

=0

lim 1t

t

t +→

= =

Lý do: trong định ngh ĩ a đạo hàm theo hướ ng, M dần đến bên phải của M0.


( )'0 0 0( ) ( ),grad

u f M f M l=

Theo công thức tính đạo hàm đạo hàm theo hướ ng:

0 0 0( ) ( )grad grad f M l f M ≤ ⋅ =

0 0( ) cosgrad f M l θ = ⋅ ⋅

ạo m c a ạ 0 ạ g r n n eo ư ng c a v c ơ 0

Giá trị lớ n nhất của đạo hàm theo hướ ng bằng: 0 0( , )grad f x y

Đạo hàm của f tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất theo hướ ng ngượ c vớ i 0( )grad f M

Giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướ ng bằng: 0 0( , )grad f x y−




Ví dụ.

Cho hàm và một điểm2 3

( , , ) 2 f x y z xyz xy yz= + +

1) Tìm hướ ng mà đạo hàm của f theo hướ ng đó tại M0 đạt giá trị lớ n nhất.

( )0 1,1,2 M =

Tìm giá trị lớ n nhất này.

2) Tìm hướ ng mà đạo hàm của f theo hướ ng đó tại M0 đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải.

.

1) Hướ ng cần tìm là hướ ng của véctơ gradf (M0)

( )' ' '0 0 0 0( ) ( ), ( ), ( )grad x y z f M f M f M f M =

Giá trị lớ n nhất bằng độ lớ n véctơ gradf (M0): 0

'( ) 0| ( ) |grad grad f M f f M =

2) Hướ ng cần tìm là ngượ c hướ ng của véctơ gradf (M0)


Ví dụ.

Cho hàm và một điểm( , ) ln( ) f x y xyz=

1) Tìm giá trị lớ n nhất của đạo hàm theo hướ ng của f tại M0.

Giải.

( )0 1, 2, 3 M = − −

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của đạo hàm theo hướ ng của f tại M0.

1) Đạo hàm theo hướ ng của hàm f tại M0 là một hàm phụ thuộc vào

hướ ng của véctơ l =(l1, l2,l3).

Giá trị lớ n nhất của đạo hàm theo hướ ng bằng độ lớ n véctơ gradf (M0)

Giá trị lớ n nhất đạt đượ c khi lấy đạo hàm theo hướ ng của véctơ gradf (M0)




Ví dụ.

Cho hàm và một điểm2( , ) sin( ) f x y x xy= +

Tìm hướ ng mà đạo hàm của f theo hướ ng đó tại M0 có giá trị bằng 1

( )0 1,0 M =

Giả sử hướ ng cần tìm là hướ ng của véctơ đơ n vị: 2 2

0 ( , ), 1l a b a b= + =

' ' '

0 0 0 0l x ya= ⋅ ⋅

'2 cos( ) x f x y xy= +

'cos( ) y f x xy='

0( ) 2 x f M ⇒ = '

0( ) 1 y f M ⇒ =

0

'0( ) 2 1l f M a b= + =

0 4 / 5;

1 3/5

a a

b b

= =

= = −

Vậy có hai hướ ng:

0 (0,1)l = hoặc 0 (4/5, 3/ 5)l = −

điểm đó là theo hướ ng của véctơ .


Ví dụ.

Cho hàm 2 2( , ) 2 4 . f x y x y x y= + − −

Tìm tất cả các điểm mà tốc độ thay đổi nhanh nhất của hàm f tại những

i j+

Giả sử điểm cần tìm là M(a,b)

Tốc độ thay đổi nhanh nhất của f tại M là theo hướ ng của véctơ gradf(M)( )' '

( ) ( , ), ( , )grad x y f M f a b f a b=

(2 2,2 4)a b= − −

(2 2,2 4) (1,1), 0a b t t − − = >

Theo đề: grad f (M) cùng hướ ng vớ i véctơ i + j = (1,0) + (0,1) = (1,1)

1 / 2 1, 0

2 / 2 2

a t a ss

b t b s

= + = + ⇔ ⇔ >

= + = +

Tập hợ p các điểm là nửa đườ ng thẳng.



1) Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ tại điểm P(2,-1,2) theo hướ ng đến


Ví dụ.

Nhiệt độ T tại một điểm (x,y,z) đượ c cho bở i công thức

2 2 23 9

( , , ) 200 x y zT x y z e

− − −= ⋅

T tính bằng 0C; x, y, z tính bằng mét.

m ,- , .

2) Tìm hướ ng mà nhiệt độ thay đổi nhanh nhất tại điểm P(2,-1,2).

3) Tìm giá trị lớ n nhất của tốc độ thay đổi tại điểm P(2,-1,2).


0 0 0( , , )grad f x y z

Mặt phẳng tiếp diện

Mặt cong S có ptrình: F(x,y,z) = 0

một m t uộc

Phươ ng trình mặt phẳng

tiếp diện tại P vớ i S:

' ' '0 0 0( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 x y zF P x x F P y y F P z z− + − + − =

Pháp véctơ của mặt phẳng tiếp diện chính là vectơ grad f (P)



Ví dụ.

Viết phươ ng trình mặt tiếp diện và phươ ng trình của pháp tuyến vớ i mặt2 2

23

4 9

x z y+ + = tại điểm P(-2, 1, -3).

2 22

( , , ) 3 0

4 9

x zF x y z y= + + − =

' ' ' 2; 2 ;

2 9 x y z

x zF F y F = = =

Phươ ng trình mặt tiếp diện

21( 2) 2( 1) ( 3) 0

3 x y z− + + − − + =

3 6 2 18 0 x y z− + + =

Phươ ng trình pháp tuyến qua P và có VTCP (-1, 2, -2/3): 2 1 3

1 2 2 / 3

x y z+ − += =

− −

V. Công thứ c Taylor, Maclaurint---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho hàm có các đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong lân cận V( , ) f f x y=

của điểm .( )0 0 0, M x y=

k n d

Công thức Taylor của f đến cấp n tại điểm M0 là

0 0 0 0 0 0

1

, , , , ,

!

n

k

x y x x y y x y x y x y

k =

= + + = + +

trong đó là phần dư cấp n.( , )n R x y∆ ∆

Khai triển Taylor tại điểm M0(0,0) đượ c gọi là khai triển Maclaurint




Có hai cách thườ ng dùng để biễu diễn phần dư:

1) Nếu cần đánh giá phần dư, thì sử dụng phần dư ở dạng Lagrange:

10 0

1( , ) ( , )( 1)!

nn R x y d f x x x yn θ θ

+

∆ ∆ = + ⋅ ∆ + ⋅ ∆+

trong đó 0 1θ < <

2) Nếu không quan tâm phần dư, thì sử dụng phần dư ở dạng Peano:

( , ) ( )n

n R x y o ρ ∆ ∆ =

trong đó 2 20 0( ) ( ) x x y y ρ = − + −


Ứ ng dụng khai triển Taylor

1) Xấp x ĩ hàm đã cho vớ i một đa thức (một hoặc nhiều biến) trong lân cận

một điểm cho trướ c.

2) tính đạo hàm cấp cao của f tại một điểm cho trướ c.

3) Tính giớ i hạn của hàm số (giớ i hạn kép nếu hàm 2 biến)

4) Tính gần đúng vớ i sai số cho trướ c (vi phân cấp một không làm đượ c điều

này).




Ví dụ.

Cho hàm và một điểm2( , ) 2 f x y x xy= +

Tìm công thức Taylor của f tại M0 đến cấp hai.

( )0 1,2 M =

2 2(1,2)( , ) (1,2) ( )1!

(1,2)2!

df f x f o f y d ρ = + + +

' ', ,

( , ) (1, 2)1!

x y f x y f

x y− + −= + +

'' 2 '' '

2

' 2(1,2)( 1) 2 (1,2)( 1)(

( )2) (1, 2)(

2!

2) xx xy yy f f o

x f x y y ρ +

++

− − − + −

tính tất cả các đạo hàm riêng trong công thức, thay vào!!

2 2( 1) ( 2) x y ρ = − + −


Chú ý.

Tìm khai triển Taylor bằng công thức rất mất thờ i gian, nên trong đa sốtrườ ng hợ p ta sử dụng cách sau.

Tìm khai triển Taylor của f = f (x,y) tại M0(x0,y0):

1) Đặt0 0

, X x x Y y y= − = −0 0

; x X x y Y y⇔ = + = +

2) Tìm khai triển Maclaurint của hàm f (X,Y), sử dụng khai triển Maclaurint

của hàm một biến.

3) Đổi f (X,Y) sang f (x,y) (thay )0 0, X x x Y y y= − = −

4) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các bậc của 0 0, x x y y− −




Ví dụ.

Tìm khai triển Taylor đến cấp hai của tại .1

( , )2 3

f x y x y

=+

( )0 1,2 M =

Đặt 1, 2 X x Y y= − = − 1; 2 x X y Y ⇔ = + = +

1

2( 1) 3( 2) f

X Y =

+ + +

1

2 3 8 X Y =

+ +

1 1

8 1 2 /8 3 /8 X Y = ⋅

+ +

Sử dụng khai triển hàm một biến 2 21 2 3

( ) 1 ( ),1 8 8

X Y

g t t t o t t t

= = − + + = ++

221 2 3 2 3

1 ( )8 8 8 8 8

X Y X Y f o ρ

= − + + + +

Khai triển, bỏ bậc cao hơ n 2, đổi biến lại, sắp xếp theo thứ tự.

2

2 2 3

1 2 3 4( 1) ( 2) ( 1)

8 8 8 8 f x y x= − − − − + − + ⋯


Ví dụ.

Tìm khai triển Taylor đến cấp ba của tại .( , ) ln( ) f x y x y= + ( )0 1,1 M =

Đặt 1, 1 X x Y y= − = − 1; 1 x X y Y ⇔ = + = +

ln(2 ) f X Y = + + ln 2 12 2

X Y = ⋅ + +

ln 2 ln 1

2 2

X Y = + + +

Sử dụng khai triển hàm một biến

2 3

3( ) ln(1 ) ( ),2 3 2 t t X Y

g t t t o t t +

= + = − + + =

2 331 1

ln 2 ( )2 2 2 3 2

X Y X Y X Y f o ρ

+ + + = + − ⋅ + ⋅ +


1 1ln 2

2 2

x y f

− −= + + + ⋯




Ví dụ.

Tìm khai triển Maclaurint đến cấp ba của .( , ) sin x

f x y e y=

Sử dụng khai triển hàm một biến

2 3 31 ( )

1! 2! 3!

x x x xe o x= + + + +

3 4sin ( )

3!

y y y o y= − +


3 4( , ) sin 1 ( ) ( )

1! 2! 3! 3!

x x x x y f x y e y o x y o y= = + + + + ⋅ − +

3 3 2 2 3 3 3 33

( , ) ( )6 6 2 36 6 36

y xy x y x y x y x y f x y y xy o ρ = − + − + − + − +

2 33

( , ) ( )2 6

x y y f x y y xy o ρ = + + − +

VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị tự do---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a

Hàm đạt cực đại chặt tại , nếu( , ) f f x y=0 0 0( , ) M x y 0 0( , ) ( , ) f x y f x y<

vớ i mọi (x,y) gần 0 0( , ) x y

tức là0 0 0 0( , ) : ( , ) , : ( ) ( ) f B M r M B M r D M M f M f M ∃ ∀ ∈ ∩ ≠ <

Đ nh n h ĩ a

Hàm f đạt cực đại không chặt tại , nếu

vớ i mọi (x,y) gần 0 0( , ) x y

tức là 0 0 0

1 0 1 0 1 0

( , ) : ( , ) , ( ) ( )

v , ( , ) : ( ) ( )

f B M r M B M r D f M f M

M M M B M r f M f M

∃ ∀ ∈ ∩ ≤

∃ ≠ ∈ =aø

0 0 0( , ) M x y 0 0( , ) ( , ) f x y f x y≤

tươ ng tự cho cực tiểu chặt và cực tiểu không chặt.




Hàm f (x,y) = x2 + y2 đạt cực tiểu tại (0,0).

Xét 2 2

( , ) (0,0) 0 f x y f x y− = + ≥

2 2( , ) 0 ( , ) (0,0) f x y x y x y= + = ⇔ =

Vậy điểm (0,0) là điểm cực tiểu chặt.


Khảo sát cực trị của tại (1,1).2 2( , ) 1 ( 1) ( 1) f x y x y= − − + −

2 2( , ) (1,1) 1 ( 1) ( 1) 1 f x y f x y− = − − + − − 2 2

( 1) ( 1) 0 x y= − − + − ≤

( , ) (1,1) f x y f ⇔ ≤

Vậy hàm đạt cực đại chặt tại (1,1).

( , ) 1 ( , ) (1,1) f x y x y= ⇔ =




Khảo sát cực trị f (x,y) = x2y2 tại (0,0).

Ta có 2 2

( , ) (0,0) 0 f x y f x y− = ≥

suy ra f đạt cực tiểu tại (0,0)

Trong mọi lân cận của (0,0) đ u

tìm đượ c một điểm khác vớ i (0,0)

mà giá trị của f tại đó bằng giá trịcủa f (0,0) = 0.

Vậy (0,0) là điểm cực tiểu không chặt.


Khảo sát cực trị của f (x,y) = x y2 tại điểm (0,0).

Hàm không đạt cực trị tại (0,0).

Nếu ta tiến về (0,0) theo đườ ng

thẳng y = x ( x > 0) thì f > 0.

Nếu ta tiến về (0,0) theo đườ ng

= .

Trong mọi lân cận của (0,0)

đều tìm đượ c điểm mà f > 0

và điểm mà f < 0.




Định lý điều kiện cần của cực trị

Hàm f đạt cực trị tại thì tại đó:

1) Không tồn tại đạo hàm riêng cấp 1, hoặc

0 0 0( , ) M x y

' '0 0 0 02) ( , ) 0, ( , ) 0. x y f x y f x y∃ = ∃ =

Điểm dừng: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0.

Chứng minh.

Điểm tớ i hạn: các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 hoặc không tồn tại.

Điểm cực trị: hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu.


Định lý điều kiện đủ của cực trị

Cho là điểm dừng của hàm f = f (x,y) và f có các đạo hàm riêng

lien tục đến cấp 2 trong lân cận của điểm M 0.0 0 0( , ) M x y

1) Nếu , thì là điểm cực tiểu.2

0( ) 0d f M > 0 M

2) Nếu , thì là điểm cực đại.2

0( ) 0d f M < 0 M

Chứng minh.

Chú ý: Nếu , thì không k ết luận đượ c. Ta phải tìm vi phân

cấp cao hơ n của f .

20( ) 0d f M =




Sơ đồ khảo sát cực trị của hàm hai biến f = f (x,y)

1) Tìm điểm dừng

'

'

( , ) 0

( , ) 0

x

y

f x y

f x y

=

=

2) Tính tất cả các đạo hàm riêng cấp hai '' '' ''

, , . xx xy yy f f f

1 2( , ), ( , ),P x y P x y⇔ ⋯

.

1 1 1( , ) :P x y '' '' '' 21 1 1( ), ( ), ( ), xx xy yy A f P B f P C f P AC B= = = ∆ = −

1

0

0P

A

∆ >• ⇒

>là điểm cực tiểu

1

0

0P

A

∆ >• ⇒

<là điểm cực đại

10 P•∆ < ⇒ không là điểm cực trị 0:•∆ = không k ết luận đượ c

phải khảo sát bằng định ngh ĩ a


Chú ý:

1) Sơ đồ ở slide trướ c không cho phép khảo sát cực trị tại điểm mà các đạo

hàm riêng không tồn tại. Những điểm này đượ c khảo sát bằng định ngh ĩ a

2) Đối vớ i hàm nhiều hơ n hai biến ta khảo sát tươ ng tự, bằng cách dùng

định lý điều kiện cần (tìm ở đâu) và định lý điều kiện đủ (tìm như thế nào)

Theo định lý điều kiện đủ, để khảo sát tại điểm dừng ta xét dấu vi phân cấp2. Đây là một dạng toàn phươ ng.

3) Sơ đồ ở slide chỉ sử dụng cho hàm hai biến.




1) Tìm điểm dừng:

2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2.

Ví dụ.

Khảo sát cực trị tự do của hàm 2 2

( , ) 2 f x y x xy y x y= + + − −

'

'

2 2 0

2 1 0

x

y

f x y

f x y

= + − =

= + − = 1(1,0),P⇔

'' '' ''2, 1, 2 xx xy yy f f f = = =

3) Khảo sát từng điểm dừng. '' ''1 1 1(1,0) : ( ) 2; ( ) 1 xx xyP A f P B f P= = = =

'' 21( ) 2; 3 0 yyC f P AC B= = ∆ = − = >

Kết luận cho điểm dừng P1: là điểm cực tiểu,100

P A∆ > ⇒

>1( ) 1ct f f P= = −



2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2.

Ví dụ.

Khảo sát cực trị tự do của hàm 4 4 2 2

( , ) 2 f x y x y x xy y= + − − −

' 3

' 3

4 2 2 0

4 2 2 0

x

y

f x x y

f y x y

= − − =

= − − =

1 2

3

(1,1), ( 1, 1),

(0,0)

P P

P

⇔ − −

'' 2 '' '' 212 2, 2, 12 2 xx xy yy f x f f y= − = − = −

3) Khảo sát từng điểm dừng. ''1 1(1,1) : ( ) 10; 2 xxP A f P B= = = −

'' 2 21( ) 10; 10 4 0 yyC f P AC B= = ∆ = − = − >

Kết luận cho điểm dừng P1: là điểm cực tiểu,1

0

0P

A

∆ >⇒

>1( ) 2.ct f f P= = −

Tươ ng tự P2 là điểm cực tiểu.




Khảo sát bằng định ngh ĩ a:

Tại điểm dừng không thể k ết luận đượ c.23(0,0) : 0P AC B∆ = − =

4 4 2 2( , ) (0,0) 2 f f x y f x y x xy y∆ = − = + − − −

Chọn dãy: 1

( , ) ,0 (0,0)n

n n x y →+∞

= →

Xét dấu của trong lân cận của (0,0): f ∆

Vậy hàm không đạt cực trị tại (0,0).

Khi đó:2

4 2 4

1 1 1( , ) 0n n

n f x y

n n n

−∆ = − = <

Chọn dãy: 1 1

( , ) , (0,0)n

n n x yn n

→+∞− = →

Khi đó:4 4 4

1 1 2( , ) 0n n f x yn n n

∆ = + = >






Ví dụ.

Khảo sát cực trị tự do của hàm 2 2( , ) 1 f x y x y= + +

'

2 2

'

2 2

0

0

x

y

x f

x y

y f

x y

= =

+

= = +

Không có điểm dừng.

Suy ra (0,0) là điểm cực tiểu chặt.

Dùng định ngh ĩ a ta thấy đạo hàm riêng theo x, theo y tại (0,0) không tồn tại.

(0,0) là điểm tớ i hạn, không là điểm dừng.

2 2(0,0) ( , ) (0,0) 0 f f x y f x y∆ = − = + ≥ (0, 0) 0 ( , ) (0, 0). f x y∆ = ⇔ =


Khảo sát cực trị của f (x,y) = |x|+ y2 tại điểm (0,0).

Điểm (0,0) không là điểm dừng.

(0,0) là điểm tớ i hạn.

Không tồn tại '

(0,0) x f

2( , ) (0,0) | | 0 f x y f x y− = + ≥

(0,0) là điểm cực tiểu chặt.



VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đồ thị của ( , ) 2 2 f x y x y= − −

là mặt phẳng. Không có cực trị tự do.

Xét điều kiện: 2 2 1 x y+ =

o s cực r r n ư ng e pse

giao của mặt phẳng và mặt trụ.

Tồn tại cực trị có điều kiện.


Định ngh ĩ a cực trị có điều kiện

Hàm đạt cực đại chặt tại vớ i điều kiện( , ) f f x y= 0 0 0( , ) M x y ( , ) 0 x yϕ =

nếu 0 0 0 0( , ) : ( , ) , : ( ) ( ) f B M r M B M r D M M f M f M ∃ ∀ ∈ ∩ ≠ <

và thỏa điều kiện ràng buộc ( ) 0. M ϕ =

Tươ ng tự, ta có định ngh ĩ a cực đại không chặt có điều kiện, cực tiểu chặt

và không chặt có điều kiện.




Điểm đượ c gọi là điểm k ỳ dị của đườ ng cong0 0 0( , ) M x y ( , ) 0 x yϕ =

nếu ' '

0 0( ) 0; ( ) 0 x y M M ϕ ϕ = =

Định lý (điều kiện cần của cực trị có điều kiện)

Điểm thỏa các điều kiện:0 0 0( , ) M x y

1 M khôn là điểm k d của đườ n con , 0 x =

2) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong lân cận của M0.( , ), ( , ) f x y x yϕ

3) Hàm f(x,y) vớ i điều kiện đạt cực trị tại M0.( , ) 0 x yϕ =

Khi đó tồn tại một số thỏa:λ ' '0 0

' '

0 0

0

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

( ) 0

x x

y y

f M M

f M M

M

λϕ

λϕ ϕ

+ =

+ ==


Số đượ c gọi là nhân tử Lagrange.λ

Hàm đượ c gọi là hàm Lagrange.( , ) ( , ) ( , ) L x y f x y x yλ ϕ = + ⋅

Định lý (điều kiện đủ của cực trị có điều kiện)

Giả sử khả vi liên tục đến cấp 2 trong lân cận của .0 M ( , ), ( , ) f x y x yϕ

M .

20( ) 0d L M • >

0 M ⇒ là điểm cực tiểu có điều kiện.

20( ) 0d L M • <

0 M ⇒ là điểm cực đại có điều kiện.

0 M ⇒ không là điểm cực trị20( )d L M • không xác định dấu




'

'

( , ) 0

( , ) 0( , ) 0

x

y

L x y

L x y x yϕ

=

=

=

'' '' ''

1 1 1 1

2 2 2 2

( , ),

( , ),

P x y

P x y

λ

λ

⇔ ⋯

Sơ đồ khảo sát cực trị của f = f (x,y) vớ i điều kiện ( , ) 0 x yϕ =

1) Lập hàm Lagrange ( , ) ( , ) ( , ) L x y f x y x yλ ϕ = + ⋅

Tìm điểm dừng của L(x,y):

2) Tính t t cả các đạo hàm riêng c p hai , , . xx xy yy L L L

3) Khảo sát từng điểm dừng.

1 1 1 1( , ), :P x y λ 2 '' 2 '' '' 21 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) xx xy yyd L P L P dx L P dxdy L P dy= + +

Dựa vào định lý điều kiện đủ để k ết luận.

Tươ ng tự khảo sát các điểm dừng còn lại.


Từ đây ta có dx theo dy (hoặc dy theo dx)

( , ) 0 x yϕ =

Chú ý:

1) Để khảo sát đôi khi ta cần sử dụng điều kiện21( )d L P

( , ) 0d x yϕ ⇒ =

' '1 1( ) ( ) 0 x yP dx P dyϕ ϕ ⇔ + =

1( ) 0d Pϕ ⇒ =

2) Trong bài toán cực trị có điều kiện, dx và dy không đồng thờ i bằng 0.

Thay vào biểu thức của , ta có một hàm theo dx2 (hoặc dy2)2

1( )d L P

3) Trườ ng hợ p có nhiều hơ n một điều kiện: 1 2( , ) 0, ( , ) 0 x y x yϕ ϕ = =

1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L x y f x y x y x yλ ϕ λ ϕ = + +

và tiếp tục tươ ng tự trườ ng hợ p một điều kiện.




Ví dụ.

Tìm cực trị của hàm vớ i điều kiện( , ) 6 5 4 f x y x y= − −

'

'

2 2

5 2 0

4 2 0

( , ) 9 0

x

y

L x

L y

x y x y

λ

λ

ϕ

= − + =

= − − =

= − − =

1 1

2 2

(5, 4), 1/ 2,( 5,4), 1/ 2

PP

λ λ

⇔ − =

− = −

2 29 x y− =

1) Hàm Lagrange: 2 2( , ) 6 5 4 ( 9) L x y x y x yλ = − − + − −

2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. '' '' ''

2 , 0, 2 xx xy yy L L Lλ λ = = = −

3) Khảo sát từng điểm dừng.1 1(5, 4), 1/ 2 :P λ − =

2 '' 2 '' '' 21 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) xx xy yyd L P L P dx L P dxdy L P dy= + +

2 2dx dy= −

từ điều kiện: 1( ) 0d Pϕ = 10 8 0dx dy⇔ + =5

4dy dx⇔ = −

22 2 2

1

5 9( ) 0

4 16d L P dx dx dx

− − = − = ≤

P1 là điểm cực đại chặt có điều kiện


Ví dụ.

Tìm cực trị của hàm vớ i điều kiện2 2

( , ) 2 12 f x y x xy y= + +

'

'

2 2

4 12 2 0

12 2 8 0

( , ) 4 25 0

x

y

L x y x

L x y y

x y x y

λ

λ

ϕ

= + + =

= + + =

= + − =

1 1 2

1 3 4

2: (3, 2), ( 3,2),

17: ,

4

P P

P P

λ

λ

⇔ = − −

= −

2 24 25 x y+ =

1) Hàm Lagrange: 2 2 2 2

( , ) 2 12 ( 4 25) L x y x xy y x yλ = + + + + −

2) Tìm đạo hàm riêng cấp 2. '' '' ''

4 2 , 12, 2 8 xx xy yy L L Lλ λ = + = = +

3) Khảo sát từng điểm dừng. 1 1(3, 2), 2 :P λ − =

2 '' 2 '' '' 21 1 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) xx xy yyd L P L P dx L P dxdy L P dy= + + 2 2

8 24 18dx dxdy dy= + +

từ điều kiện: 1( ) 0d Pϕ = 6 16 0dx dy⇔ − =8

3dx dy⇔ =

21( ) 0d L P ≥ P1 là điểm cực tiểu chặt có điều kiện



VI. Cự c trị hàm nhiều biến: giá trị lớ n nhất, nhỏ nhất--------------------------------------------------------------

Tươ ng tự ta có định ngh ĩ a giá trị nhỏ nhất.

chặn D, nếu và

Định ngh ĩ a

Số a đượ c gọi là giá trị lớ n nhất của hàm trên một tập đóng và bị f

0 0: ( ) M D f M a∃ ∈ =: ( ) M D f M a∀ ∈ ≤

Nhắc lại: Để tìm giá trị lớ n nhất, nhỏ nhất của f = f (x) trên [a,b]:

1) Tìm điểm dừng thuộc (a,b): '1 2( ) 0 , ,... f x x x= ⇔

loại các điểm không thuộc (a,b). Tính giá trị của f tại những điểm còn lại.

2) Tính giá trị của f (a), f (b).

3) So sánh giá trị của f ở bướ c 1) và bướ c 2). Kết luận.

VI. Cự c trị hàm nhiều biến: giá trị lớ n nhất, nhỏ nhất

--------------------------------------------------------------

và giá trị nhỏ nhất trên D.

Định lý Weierstrass

Hàm nhiều biến f liên tục trên tập đóng và bị chặn D thì đạt giá trị lớ n nhất

Để tìm giá trị lớ n nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f trên D:

loại các điểm không là điểm trong của D. Tính giá trị của f tại những điểm

còn lại.

2) Tìm trên biên D.

3) So sánh giá trị của f ở bướ c 1) và bướ c 2). Kết luận.

1 2, ,...P PTìm điểm dừng của f :



VI. Cự c trị hàm nhiều biến: giá trị lớ n nhất, nhỏ nhất--------------------------------------------------------------

Chú ý:

1) Tìm trên biên D: giả sử biên D cho bở i phươ ng trình ( , ) 0 x yϕ =

Tìm trên biên D tức là tìm cực trị của f(x,y) vớ i điều kiện ( , ) 0 x yϕ =

Lập hàm Lagrange: ( , ) ( , ) . ( , ) L x y f x y x yλ ϕ = +

Tìm điểm dừng của L:

'

'

( , ) 0

( , ) 0

( , ) 0

x

y

L x y

L x y

x yϕ

=

=

=

1 1 1

2 2 2

( , )

( , )

Q x y

Q x y

⇔ ⋯

Tính giá trị của f tại các điểm Q1, Q2,...

VI. Cự c trị hàm nhiều biến: giá trị lớ n nhất, nhỏ nhất

--------------------------------------------------------------

Chú ý:

2) Trườ ng hợ p đặc biệt, biên của D là những đoạn thẳng

Tìm trên từng đoạn thẳng. Giả sử tìm trên đoạn AB có phươ ng trình

Thay vào hàm f(x,y) ta có hàm một biến x, tìm gtln, gtnn của hàm này.

( 0)ax by c b+ = ≠ y xb b

⇒ = − −



trên miền D:

VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

Tìm giá trị lớ n nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 2( , ) ( 6) ( 8) f x y x y= − + +

2 2

25 x y+ ≤

' = − =1) Tìm trong D:

'2( 8) 0

x

y f y

= + =1(6, 8)P D⇔ − ∉

2) Tìm trên biên của D: 2 2

( , ) 25 0 x y x yϕ = + − =

Lập hàm Lagrange: 2 2 2 2

( , ) ( 6) ( 8) ( 25) L x y x y x yλ = − + + + + −

VI. Cự c trị hàm nhiều biến: cự c trị có điều kiện

------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm điểm dừng của L:

'

'

2 2

2( 6) 2 0

2( 8) 2 0

25

x

y

L x x

L y y

x y

λ

λ

= − + =

= + + =

+ =

1 2(3, 4); ( 3,4)Q Q⇔ − −

3 4 25= − = 3 224 5= − =

3) So sánh giá trị của f ở bướ c 1) và bướ c 2). Kết luận

Giá trị lớ n nhất là 225 đạt tại (-3,4).

Giá trị nhỏ nhất là 25 đạt tại (3,-4).




trên miền D:

Ví dụ.

Tìm giá trị lớ n nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 2( , ) f x y x xy y= − +

| | | | 1 x y+ ≤

(0,1) A•

1) Tìm trong D:

'

'

2 0

2 0

x

y

f x y

f x y

= − =

= − + =1(0,0)P D⇔ ∈

(1,0) B•

(0, 1)C • −

( 1,0) D − •

1 0( ) f P⇒ =


------------------------------------------------------------------------------------------

2) Tìm trên biên của D. Có 4 cạnh. Tìm trên từng cạnh một.

2 2 2(1 ) (1 ) 3 2 1 f x x x x x x= − − + − = − +

Trên AB: phươ ng trình AB là 1 , [0,1] y x x= − ∈

Tìm giá trị lớ n nhất, nhỏ nhất của hàm một biến trên [0,1].

'

6 2 0 [0,1]3 f x x= − = ⇔ = ∈

Trên AB có 3 điểm nghi ngờ : A(0,-1), B(1,0) và 1

1 2,

3 3Q

Tính giá trị của f tại 3 điểm này:1( ) ; ( ) ; 1

1 )3

(1 f A f B f Q= = =

Tươ ng tự tìm trên 3 cạnh còn lại.

3) so sánh, k ết luận: GTLN: 1; GTNN: 0.




trên miền D:

Ví dụ.

Tìm giá trị lớ n nhất, giá trị nhỏ nhất của 2 2

( , ) f x y x y= −

2 22 x y x+ ≤

1) Tìm trong D:

'

'

2 0

2 0

x

y

f x

f y

= =

= − =1(0,0)P⇔ loại vì không là điểm trong của D


------------------------------------------------------------------------------------------

2) Tìm trên biên D: 2 2

( , ) 2 0 x y x y xϕ = + − =

2 22 y x x⇔ = −

Tìm giá trị lớ n nhất, nhỏ nhất của hàm một biến

2 2 22 2 2 x x x x x= − − = − trên 0 2

' 14 2 0

2 f x x= − = ⇔ =

1;

10(0) ; (2) 4

22 f f f

−= = =

3) So sánh, k ết luận: Giá trị lớ n nhất là 4; giá trị nhỏ nhất là1

2

−

Chú ý: có thể lập hàm Lagrange.



Bài tập------------------------------------------------------------------------------------------

Bài tập

------------------------------------------------------------------------------------------



Bài tập------------------------------------------------------------------------------------------

Bài tập

------------------------------------------------------------------------------------------







[email protected]

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.2 – Tọa độ cự c

0.1 – Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép

0.3 – Ứ ng dụng hình học

0.4 – Ứ ng dụng cơ học



I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho vật thể (hình trụ cong) đượ c giớ i hạn trên bở i mặt bậc hai ( , ) f f x y=

giớ i hạn xung quanh bở i những đườ ng thẳng song song oz, tựa trên biên D

g ớ ạn ướ ở m n ( ng, c ặn).

Tìm thể tích vật thể.










Cho vật thể đượ c giớ i hạn trên bở i mặt bậc hai ( , ) f x y

giớ i hạn dướ i bở i miền D (đóng, bị chặn).

giớ i hạn xung quanh bở i những đườ ng thẳng song song oz, tựa trên biên D

Tìm thể tích vật thể.

1, 2, ..., n.

Có diện tích tươ ng ứng là1 2, ,..., .

n D D DS S S

2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm ( , )ii i i D M x y S ∈

3) Thể tích của vật thể:1

( )i

n

i D ni

V f M S V =

⋅≈ =∑

lim nn

V V →+∞

=4)




Định ngh ĩ a tích phân kép

Cho f = f (x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D.

Tích phân kép của f trên miền D là giớ i hạn (nếu có)

Nếu I tồn tại, ta nói f khả tích trên D.

1

( , ) ( )limi

n

i Dn i D

I f x y dxdy f M S →+∞ =

= = ⋅∑∫∫


Tính chất của tích phân kép

1) Hàm liên tục trên một miền đóng, bị chặn, có biên trơ n tùng khúc thì

khả tích trên miền này.

3) ( , ) ( , ) D D

f x y dxdy f x y dxdyα α =∫∫ ∫∫

2) 1 D D

S dxdy= ∫∫

[ ]4) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) D D D

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫

5) Nếu D đượ c chia làm hai miền D1 và D2 không dẫm lên nhau:

1 2

( , ) ( , ) ( , ) D D D

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy= +∫∫ ∫∫ ∫∫

6) ( , ) , ( , ) ( , ) D D

x y D f x y g x y fdxdy gdxdy∀ ∈ ≤ ⇒ ≤∫∫ ∫∫




Ví dụ

Cho vật thể đượ c giớ i hạn trên bở i mặt bậc hai 2 2( , ) 16 2 f x y x y= − −

giớ i hạn dướ i bở i hình vuông: [0,2] [0,2] R = ×

giớ i hạn xung quanh bở i những đườ ng thẳng song song oz, tựa trên biên R.

a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;

b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;

c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;

d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;

e) Tính thể tích của vật thể.

4

1

( )in i D

i

V V f M S =

≈ = ⋅∑

1, 1,...,4.i D iS = ∀ =

(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)V f f f f ≈ + + +

13 7 10 4 34.V ≈ + + + =









Cách tính (Định lý Fubini) Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D.

y= y2(x)

1) Giả sử D xác định bở i:

2

1

( )

( )

( , ) ( , )b

a x D

y x

y

I f x y dxdy dx f x y dy= =∫∫ ∫ ∫a b x≤ ≤

y= y1

(x)

a b

1 2( ) ( ) y x y x y

≤ ≤




Cách tính tích phân kép (Định lý Fubini)

d

x= x1(y)

x= x2(y)

2) Giả sử D xác định bở i:2

1

( )

( )

( , ) ( , )d

c y D

x y

x

I f x y dxdy dy f x y dx= =∫∫ ∫ ∫c d y≤ ≤

c

1 2( ) ( ) x y x y x

≤ ≤


Giải câu e)

2

2 0 2 x≤ ≤0 2 y

≤ ≤

Tính thể tích của vật thể. ( )2 216 2 R

V x y dxdy= − −∫∫ ( )2 2

0

2 2

0

16 2dx x y dy= − −∫ ∫

0

322

2

0

(16 ) 23

x d y

x y

= − −∫

22

0

1632 2

3 x dx

= − −∫

48=



Ví dụ

Tính tích phân kép , trong đó D là miền phẳng giớ i hạn bở i D

I xydxdy= ∫∫

22 , . y x y x= − =

2 1 x≤ ≤−

22 x y x−

≤ ≤

( ) D

I xy dxdy= ∫∫ ( )221

2

x

x

dx xy dy−

−

= ∫ ∫

2

21

2

2

2 x

x

x dx y

−

−

= ∫

2 2 21

2

(2 )

2 2

x x x x dx

−

−= −∫

Ví dụ

Tính tích phân kép , trong đó D là tam giác OAB, vớ i( ) D

I x y dxdy= +∫∫

(0,0), (1,1), (2,0).O A B

0 2 x≤ ≤0 y

≤ ≤0 ? y

≤ ≤

A•

B•

1 2

D1 D21 2 D D D

I = = +∫∫ ∫∫ ∫∫

1 2 2

0 0 1 0

( ) ( ) x x

I dx x y dy dx x y dy−

= + + +∫ ∫ ∫ ∫

Nếu lấy cận y trướ c, x sau thì không cần chia D



Ví dụ

Tính tích phân kép

D là miền phẳng giớ i hạn bở i

2

D

I y x dxdy= −∫∫

( ) D I xy dxdy= ∫∫

2 2− −

1 1,0 1. x y− ≤ ≤ ≤ ≤

1 2

2 2

D D y x dxdy y x dxdy= − + −∫∫ ∫∫

1 2 D D

− −

( ) ( )2

2

1 1 12 2

1 1 0

x

x

dx y x dy dx x y dy− −

= − + −∫ ∫ ∫ ∫

11

15 I =

D1

D2D2

Ví dụ

Tính tích phân kép21 1

0

x

y

I dy e dx= ∫ ∫

Tích phân không tính đượ c ( qua các hàm sơ cấp)21

x

y

e dx∫

ay t ứ tự y t c p n:

1) Xác định miền D

2) Vẽ miền D

3) Thay đổi thứ tự



0 1:

1

y D

y x

≤ ≤

≤ ≤

Thay đổi cận: 0 1

:0

x D

y x

≤ ≤

≤ ≤

21

0 0

x x I dx e dy= ∫ ∫

21

00

x xe y dx= ∫

21

0

x xe dx= ∫

2

1

0

1 12 2

x ee −= =

Ví dụ

Tính tích phân kép1 1 3

0

sin( 1) y

I dy x dx= −∫ ∫

Tích phân không tính đượ c (qua các hàm sơ cấp)1

3sin( 1) y

x dx−∫

0 1:

1

y D

y x

≤ ≤

≤ ≤

Thay đổi cận:

2

0 1:

0

x D

y x

≤ ≤

≤ ≤21

3

0 0

sin( 1) x

I dx x dy= −∫ ∫21

3

00

sin( 1) x

x y dx= − ⋅∫

12 3

0

sin( 1) x x dx= −∫ cos(1) 1

3

−=



Ví dụ

Thay đổi thứ tự lấy tích phân

21

0 0

( , ) y y

I dy f x y dx+

= ∫ ∫

2

0 1:

0

y D

x y y

≤ ≤

≤ ≤ +

0 2

: 1 1 4

12

x

D x

y

≤ ≤ − + +

≤ ≤ 2 1

0 1 1 4

2

( ,) x

I dx f x dy− + +

= ∫ ∫

Thay đổi cận

Ví dụ

Thay đổi thứ tự lấy tích phân

2

2

2 43

3 12

( , ) y

y

I dy f x y dx+ −

− −

= ∫ ∫

Vẽ miền D:

2 2

3 3:

12 2 4

y D

y x y

− ≤ ≤

− ≤ ≤ + −

D1

D3

12 2

3 2 3:

12 4

x D

x y x x

≤ ≤

− ≤ ≤ −

Thay đổi cận

Phải chia D làm 3 miền

D2

22 2

3 2 3:

4 12

x D

x x y x

≤ ≤

− − ≤ ≤ − −

32 2

2 3 4:

4 4

x D

x x y x x

≤ ≤

− − ≤ ≤ − 1 2 3 D D D

I fdxdy fdxdy fdxdy= + +∫∫ ∫∫ ∫∫



II. Tọa độ cự c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( , ) M x y•

y

y

r ϕ cos

sin

x r

y r

ϕ =

=

Mối liên hệ giữa tọa độ cực và

tọa độ Descartes

x x

2 2 2 x y r + =Chú ý:

2 2 4 x y+ =Ví dụ. Phươ ng trình đườ ng tròn tâm 0, bán kính bằng 2:

Phươ ng trình đườ ng tròn này trong tọa độ cực là: 2.r =

II. Tọa độ cự c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phươ ng trình đườ ng tròn này trong tọa độ cực là: 22 cos 2cosr r r ϕ ϕ = ⇔ =

Ví dụ. Phươ ng trình đườ ng tròn tâm (1,0), bán kính bằng 1: 2 2 2 x y x+ =

Ví dụ. Phươ ng trình đườ ng tròn tâm (0,1), bán kính bằng 1: 2 2

2 x y y+ =

Phươ ng trình đườ ng tròn này trong tọa độ cực là: 2 2 sin 2sinr r r ϕ ϕ = ⇔ =

Phươ ng trình đườ ng thẳng này trong tọa độ cực là:2

cos 2cos

r r ϕ ϕ

= ⇔ =

Ví dụ. Phươ ng trình đườ ng tròn thẳng x = 2 (trong tọa độ Descartes)



II. Tọa độ cự c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

cos

sin

x r

r

ϕ =

=

( , ) R

I f x y dxdy= ∫∫

Qua phép đổi biến:

Chia [a,b] thành m phần.

Chia thành n phần.[ , ]α β

Miền 1

1

: i i

ij j j

r r r R

θ θ θ

−

−

≤ ≤≤ ≤

Trên Rij lấy một điểm * *( , )i jr θ

* *1 1

1 1( ); ( )

2 2i i i i i ir r r θ θ θ − −= + = +

Diện tích miền Rij

là:

2 21

1

1 1;

2 2

( )

ij i i

j j

A r r θ θ

θ θ θ

−

−

∆ = ⋅ ∆ − ⋅ ∆

∆ = −

( )2 21

1

2ij i i A r r θ

−∆ = ∆ ⋅ − ( ) ( )1 1

1

2 i i i ir r r r θ − −= ∆ ⋅ + ⋅ −

*ir r θ = ⋅ ∆ ⋅ ∆



Tọa độ cực của điểm Rij là: * * * *( cos , sin )i j i jr r θ θ ⋅ ⋅

Tổng Riemann * * * *

1 1

( cos , sin )m n

mn i j i j ii j

V f r r Aθ θ = =

= ⋅ ⋅ ⋅ ∆∑ ∑

* * * * *

1 1

( cos , sin )m n

i j i j ii j

f r r r r θ θ θ = =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ ⋅ ∆∑ ∑

( , ) ( cos , sin )g r r f r r θ θ θ = ⋅ ⋅ ⋅Đặt * *

1 1

( , )m n

mn i ji j

V g r r θ θ = =

= ⋅ ∆ ⋅ ∆∑ ∑

* * * *

, 1 1

( , ) lim ( cos , sin )m n

i j i j im n i j R

f x y dxdy f r r Aθ θ →∞ = =

= ⋅ ⋅ ⋅ ∆∑ ∑∫∫

* *

, 1 1

lim ( , )m n

i jm n i j

g r r θ θ →∞ = =

= ⋅ ∆ ⋅ ∆∑ ∑

( , )

b

a

g r drd β

α

θ θ = ∫ ∫

( , ) ( os , sin )b

R a

f x y dxdy d f r c r d r r β

α

θ θ θ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫∫ ∫ ∫

Ví dụ

Tính tích phân kép , trong đó D là miền phẳng giớ i hạn bở i( ) D

I x y dxdy= +∫∫

2 2 2 21, 4, y 0, x y x y y x+ = + = ≥ ≤

cos x r ϕ =

sin y r ϕ =

0: 4 D

π ϕ

≤ ≤

:1 2

Dr

≤ ≤



( ) D

I x y dxdy= +∫∫

( ) / 4 2

0 1

cos sin I d r r dr r π

ϕ ϕ ϕ = + ⋅ ⋅∫ ∫ ( ) / 4 2

2

0 1

cos sind r dr π

ϕ ϕ ϕ = + ⋅ ⋅∫ ∫

( )

23 / 4

cos sin r

I d π

ϕ ϕ ϕ = + ⋅∫0

1

( ) / 4

0

8 1cos sin

3 3 I d

π

ϕ ϕ ϕ

= + ⋅ −∫

73

I =

Ví dụ

Tính , trong đó D là miền phẳng giớ i hạn bở i2 24 D

I x y dxdy= − −∫∫

2 2 4, , 3 (y x) x y y x y x+ = = = ≥

cos

sin

x r

y r

ϕ

ϕ

=

=

: 4 3 Dπ π ϕ ≤ ≤

0 2r ≤ ≤

/3 22

/ 4 0

3 I d r dr r π

π

ϕ = − ⋅ ⋅∫ ∫

2

9 I

π =



− −

Ví dụ

Tính , trong đó D là miền phẳng giớ i hạn bở i2 2

D

I x y dxdy= +∫∫

2 2 2 , . x y x y x+ ≤ ≤ −

cossin

x r y r

ϕ ϕ

==

: 2 4 Dϕ

− −≤ ≤

0 2cosr ϕ ≤ ≤

2cos / 4

/ 2 0

r dr r I d ϕ π

π

ϕ −

−

= ⋅ ⋅∫ ∫

/ 43

/ 2

8cos

3 I d

π

π

ϕ ϕ −

−

= ∫ 16 10 2

9

−=

Ví dụ

Tính , trong đó D là miền phẳng giớ i hạn bở i( 1) D

I x dxdy= +∫∫

2 2 2 22 ; 4 ; ; 3 x y x x y x y x y x+ ≥ + ≤ ≥ − ≤

cos

sin

x r

y r

ϕ

ϕ

=

=

: 4 3 Dπ π ϕ − ≤ ≤

2cos 4cosr ϕ ϕ ≤ ≤

4cos / 3

/ 4 2cos

( cos 1) I d r dr r ϕ π

π ϕ

ϕ ϕ −

= + ⋅ ⋅∫ ∫



0: 2 D

π ϕ

≤ ≤

Ví dụ

Tính , trong đó D là miền phẳng giớ i hạn bở i( ) D

I x y dxdy= +∫∫

2 2 2 22 ; 2 . x y x x y y+ ≤ + ≤

cossin

x r y r

ϕ ϕ

==

0 r ≤ ≤ ?

1 2 D D

I = +∫∫ ∫∫

D2 D1

1

0: 4 D

π ϕ ≤ ≤

2sin0 r ϕ ≤ ≤

2 : 4 2 D

π π ϕ

≤ ≤

2cos0 r ϕ ≤ ≤

II. Tọa độ cự c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0

0

cos

sin

x x r

y y r

ϕ

ϕ

− =

− =

Toạ độ cự c mở rộng:

Trườ ng hợ p 1. Miền phẳng D là hình tròn 2 2 2

0 0( ) ( ) x x y y a− + − ≤

Dùng phép đổi biến:

Khi đó định thức Jacobi:

' '

' '

r

r

x x J

y y

ϕ

ϕ

=

Khi lấy cận của ta coi như gốc tọa độ dờ i về tâm hình tròn.,r ϕ

cos .sin

sin .cos

r

r

ϕ ϕ

ϕ ϕ

−= r =



II. Tọa độ cự c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Toạ độ cự c mở rộng:

Trườ ng hợ p 2. Miền phẳng D ellipse2 2

2 2 1, 0, 0

x ya b

a b+ ≤ > >

cos

sin

x

r a

yr

ϕ

ϕ

= =

Dùng phép đổi biến:

Khi đó định thức Jacobi:

' '

' '

r

r

x x J

y y

ϕ

ϕ

= .cos .sin

.sin .cos

a ar

b br

ϕ ϕ

ϕ ϕ

−= . .a b r =

Khi đó cận của , :r ϕ 0 2

0 1r

ϕ π ≤ ≤

≤ ≤

Ví dụ

Tính , trong đó D là miền phẳng giớ i hạn bở i(2 ) D

I x y dxdy= +∫∫

2 2( 1) ( 2) 4; 1. x y x− + − ≤ ≥

1 cos

2 sin

x r

y r

ϕ

ϕ

− =

− =

Tính

Gốc tọa độ dờ i về đây

[ ] / 2 2

/ 2 0

2(1 cos ) (2 sin ) I r d r r dr π

π

ϕ ϕ ϕ −

= + + + ⋅ ⋅∫ ∫

: 2 2 Dπ π ϕ − ≤ ≤

0 2r ≤ ≤

•



Ví dụ

Tính , trong đó D là miền phẳng giớ i hạn bở i( 1) D

I x dxdy= +∫∫2 2

1; 0; 09 4

x y y x+ ≤ ≥ ≥

cos

3

sin2

xr

yr

ϕ

ϕ

=

=

Tính

( ) / 2 1

0 0

. cos3 3 21 I dr r d r π

ϕ ϕ ⋅ ⋅∫ ⋅= + ⋅∫

0: 2 D

π ϕ

≤ ≤

0 1r ≤ ≤

•

Ví dụ

Tính , trong đó D là miền phẳng giớ i hạn bở i D

I xdxdy= ∫∫2

21; 0;

3

x y y y x+ ≤ ≥ ≤

cos3

sin

xr

y r

ϕ

ϕ

=

=

0: D

ϕ ≤ ≤0 1r ≤ ≤

Tính

3

π

/3 1

0 0

. cos3 3 1 I r d r dr π

ϕ ϕ = ⋅ ⋅∫ ∫ ⋅ ⋅

•

sintg cos

ϕ ϕ ϕ =

/

/( 3)

y r

x r =

Vì đườ ng y = x nên tg 3ϕ =

3

π ϕ ⇒ =



III. Ứ ng dụng hình học---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Diện tích miền D: 1 D D

S dxdy= ⋅∫∫

Thể tích hình trụ cong đượ c giớ i hạn trên bở i f = f(x,y), giớ i hạn dướ i bở i miềnD, giớ i hạn xung quanh bở i những đườ ng thẳng song song 0z, tựa trên biên D:

V x dxd = D

Thể tích hình trụ cong đượ c giớ i hạn trên bở i f = f 2(x,y), giớ i hạn dướ i bở i

f = f 1(x,y), giớ i hạn xung quanh bở i những đườ ng thẳng song song 0z, tựa trên

biên D:( )2 1( , ) ( , )

D

V f x y f x y dxdy= −∫∫

Ví dụ

Tính diện tích miền phẳng giớ i hạn bở i

2 2 2 22 ; 6 ; 3; 0 x y y x y y y x x+ = + = ≥ ≥

Diện tích miền D là:

S dxd =6sin / 2 ϕ π

= D /3 2sinπ ϕ

6sin / 2

/3 2sin

2

2 D

r S d

ϕ π

π ϕ

ϕ = ∫ / 2

2

/3

16sin d π

π

ϕ ϕ = ∫

42 3

3 DS π = +




Để tính thể tích khối Ω

1) Xác định mặt giớ i hạn bên trên: 2 ( , ) z z x y=

2) Xác định mặt giớ i hạn bên dướ i: 1( , ) z z x y=

3) Xác định hình chiếu của xuống 0xy:Ω proxy D = Ω

( )2 1( , ) ( , ) D

V z x y z x y dxdyΩ = −∫∫

Chú ý: 1) Có thể chiếu xuống 0xz, hoặc 0yz. Khi đó mặt phía trên, mặt

phía dướ i phải theo hướ ng chiếu xuống.Ω

2) Để tìm hình chiếu của xuống 0xy, ta khử z trong các phươ ng trình

của

Ω

Ω


( )2 2

1

2 22 12 2( ) ( ) x y

x xV dxdy y x+ ≤

− + +−∫∫ −=

( )2 2

2 2

1

1 x y

V x y dxdy+ ≤

= − −∫∫

( )2 1

2

0 0

1V d r r dr π

ϕ = − ⋅ ⋅∫ ∫

Đổi sang tọa độ cực:

12 42

00

2 4

r r d

π

ϕ

= −∫

2V

π =

cos

sin

x r

y r

ϕ

ϕ

=

=



Ví dụ

Tính thể tích vật thể giớ i hạn bở i 2 2 2; ; 1; 0 z x y y x y z= + = = =

Mặt trên:

Hình chiếu: D

2 2 z x y= +

Mặt phía dướ i: 0 z =

D


( )2 20

D

V x y dxdy= + −∫∫

2

1 1:

1

x D

x y

− ≤ ≤

≤ ≤

( )2

2 2

1 xV dx x y dy

−= +∫ ∫

2

131

2

1 3 x

V x y

y dx−

= +∫

612 4

1

1

3 3

xV x x dx

−

= + − + ∫

88

105=



Ví dụ

Tính thể tích vật thể giớ i hạn trên bở i 2 2( 1) ;2 2 x y z x z− + = + =

Mặt phía trên: 2( , ) 2 2 z z x y x= = −

Mặt phía dướ i: 2 2

1( , ) ( 1) z z x y x y= = − +

Hình chiếu

n c u: ử z trong p ươ ng tr n

2 2( 1) 2 2 x y x− + = − 2 2 1 x y⇔ + =

2 2: 1 D x y⇒ + ≤

( )2 2

2 11 x y

V z z dxdy+ ≤

= −∫∫

Ví dụ

Tính thể tích vật thể giớ i hạn bở i và các mặt tọa độ.2 22 1; 1; z x y x y= + + + =

Mặt phía trên: 2 22 1 z x y= + +

Mặt phía dướ i: 0 z =

Mặt dướ i

n c u: tam g c m u ỏ.

( )2 22 1 0V x y dxdy= + + −∫∫tam giaùc

0 •

A •

B•



z

Ví dụ

Tính thể tích vật thể giớ i hạn bở i 2 24 ; 2; 1; 2. z y z y x x= − = + = − =

Chiếu vật thể xuống 0yz:

Có thể chiếu xuống 0xy tươ ng tự các ví

dụ trướ c.

xy

2 x =

Mặt phía dướ i: 1 x = −

Mặt phía trên:

Thể tích vật thể cần tính:

( )2 1( , ) ( , ) D

V x y z x y z dydz= −∫∫

z

D

2

2

41

1 2

(2 ( 1)) y

y

V dy dz−

− +

= − −∫ ∫

y

2

2

41

1 2

3

y

y

V z dy

−

− +

= ∫

( )1

2 2

1

3 4 2V y y dy−

= − − −∫

8.V =




Mặt S cho bở i phươ ng trình z = z(x,y), D là hình chiếu của S xuống 0xy.

Chia miền D thành n miền con D1, D2, ..., Dn. S đượ c chia thành các mặt

con S1, S2, ..., Sn.

Lấy điểm bất k ỳ ( , ,0)i i i i

P x y D∈ Tươ ng ứng điểm ( , , )i i i i i M x y z S ∈

T là mặt tiếp diện vớ i S tại Mi Ti là mảnh có hình chiếu Di

1

( )n

n ii

S S S T =

≈ = ∑

Vớ i Di nhỏ ta coi diện tích của Ti là diện tích gần đúng của mảnh Si.

Gọi là góc giữa hai mảnh Di và T

i :

i

θ ( ) ( ) cosi i i

S D S D θ = ⋅

Ta có là góc giữa pháp tuyến tại Mi vớ i mặt S và trục Oz.iθ


Véctơ pháp của S tại Mi :

( ) ( )2 2

' '

1cos

( , ) ( , ) 1

i

x i i y i i f x y f x y

θ =

+ +

( ) ( )2 2

' '

1

( , ) ( , ) 1 ( )n

n x i i y i i ii

S S f x y f x y S D=

≈ = + + ⋅∑

' '( ( , ), ( , ), 1)i x i i y i in f x y f x y= −

( ) ( )2 2

' '

1

1 ( )limn

x y in i

S f f S D→+∞ =

= + + ⋅∑

Diện tích mặt cong có phươ ng trình z = f(x,y), có hình chiếu xuống mặt phẳng

0xy là D đượ c tính bở i công thức:22

1 D

f f S dxdy

x y

∂ ∂ = + +∫∫

∂ ∂



Ví dụ

Tính diện tích phần mặt paraboloid nằm trong hình trụ2 21 z x y= − −

Hình chiếu của S xuống 0xy:

2 2 1 x y+ =

2 2: 1 D x y+ ≤

Phươ n trình m t S: 2 21 x= − −

Diện tích phần mặt paraboloid:

' '2 ; 2 x y z x z y= − = −

( ) ( )2 2

' '1 x y

D

S z z dxdy= + +∫∫

2 2

2 2

1

1 4 4 x y

S x y dxdy+ ≤

= + +∫∫2 1

2

0 0

1 4d r r dr π

ϕ = + ⋅ ⋅∫ ∫

Bài tập



Bài tập







[email protected]

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.2 – Tọa độ trụ

0.1 – Định ngh ĩ a, cách tính tích phân bội ba

0.3 – Tọa độ cầu

0.5 – Ứ ng dụng cơ học

0.4 – Ứ ng dụng hình học



I. Định ngh ĩ a, cách tính tích phân bội ba---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( , , ) f f x y z= xác định trên vật thể đóng, bị chặn E

Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: 1 2, ,..., .n E E E

Thể tích tươ ng ứng mỗi khối 1 2( ), ( ),..., ( ).nV E V E V E

, , .i i i ii

Lập tổng Riemann:1

( ) ( )n

n i ii

I f M V E =

= ⋅∑

, không phụ thuộc cách chia E , và cách lấy điểm M ilim nn

I I →+∞

=

đượ c gọi là tích phân bội ba của f=f ( x,y,z) trên khối E .

( , , ) E

I f x y z dxdydz= ∫∫∫


Tính chất của tích phân bội ba

1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơ n tùng khúc

thì khả tích trên miền này.

3) ( , , ) ( , , ) E E

f x y z dxdydz f x y z dxdydzα α ⋅ =∫∫∫ ∫∫∫

2) E E

V dxdydz= ∫∫∫

4) ( ) E E E

f g dxdydz f dxdydz gdxdydz+ = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

5) Nếu E đượ c chia làm hai khối E 1 và E 2 không dẫm lên nhau:

1 2 E E E

fdxdydz fdxdydz fdxdydz= +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

6) ( , , ) , ( , , ) ( , , ) E E

x y z E f x y z g x y z f g∀ ∈ ≤ ⇒ ≤∫∫∫ ∫∫∫



Định lý (Fubini) ( , , ) E


Phân tích khối E : Chọn mặt chiếu là x0y.

Mặt phía trên:

2 ( , ) z z x y=

Mặt phía dướ i:

2 ( , ) z z x y=

1( , ) z z x y=

1( , ) z z x y=

Hình chiếu:

Hình chiếu: D

2

1

( , )

( , )

( , , ) z x y

D z x y

f x y z dz dxdy

= ∫∫ ∫

( , , ) E


0Pr xy E D=

Ví dụ

Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giớ i hạn bở i( ) E

I x z dxdydz= +∫∫∫

Hình chiếu của E xuống 0xy:

2 2 2 21, 2 , 0 x y z x y z+ = = − − =

2 2: 1 D x y+ ≤


Mặt phía trên:

2 2

2 ( , ) 2 z x y x y= − −

0 z =

2 2

2 2

2

01

( ) x y

x y

I x z dz dxdy− −

+ ≤

= + ∫∫ ∫



2 2

2 2

22

10

2

x y

x y

z z I x dxdy

− −

+ ≤

= +∫∫

2 2

2 2 22 2

1

(2 )(2 )

2 x y

x y I x x y dxdy

+ ≤

− −= − − +∫∫

2 21 2 x y

x y I dxdy

+ ≤

− −= ∫∫ Đổi sang tọa độ cực.

( )2

22 1

0 0

2

2

r I d r dr

π

ϕ −

= ⋅ ⋅

∫ ∫

7

6

π =

Ví dụ

Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giớ i hạn bở i E

I zdxdydz= ∫∫∫


21 , 1 y x z x= − = − và các mặt phẳng tọa độ, (phần )0 z ≥

Tam giác OAB


Mặt phía trên:

2

2 ( , ) 1 z x y x= −

0 z =

21

0

x

OAB

I zdz dxdy−

∆

= ∫∫ ∫

A

B



21

0

x

OAB

I zdz dxdy−

∆

= ∫∫ ∫

A

O B

21

2

02

x

OAB

z I dxdy

−

∆

= ∫∫

( )2

21 1

0 0

1

2

x x

I dx dy

− −

=

∫ ∫

11

60=

( )21

2OAB

x I dxdy

∆

−

= ∫∫

Ví dụ

Tính tích phân trong đó E là vật thể giớ i hạn bở i(2 3 ) E

I x y dxdydz= +∫∫∫


, 1 , 0, 0. y x z y x z= = − = =

Mặt phía trên: 1 z y= −

0 z =




( )1

0

2 3 y

D

I x y dz dxdy−

= +∫∫ ∫

1

0(2 3 )

y

D I x y dxdy z

− = +

∫∫

( )( )1 1

0

2 3 (1 ) x

I dx x y y dy= + −∫ ∫

( )2 3 (1 ) D

I x y y dxdy= + −∫∫

11

60 I =

Ví dụ

Tính tích phân trong đó E là vật thể giớ i hạn bở i( 1) E

I z dxdydz= +∫∫∫


2, , 0, 1.= = = = x y z x z x

Mặt phía trên: z x=

0 z =




0

( 1) x

D

I z dz dxdy

= +∫∫ ∫

2

02

x

D

z I z dxdy

= +∫∫

2

2

21 1

1 2 y

x I dy x dx

−

= +∫ ∫

2 D

I x dxdy= +∫∫

38

35 I =

II. Toạ độ trụ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.

( , , ) M x y z •

z M đượ c xác định duy nhất bở i bộ ( , , )r zϕ

( , , )r zϕ đượ c gọi là tọa độ trụ của điểm M.

Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang

tọa độ trụ:

1( , ,0) M x y•

ϕ r

z

y

x

cossin

x r y r

z z

ϕ ϕ

= ⋅= ⋅

=' ' '

' ' '

' ' '

r z

r z

r z

x x x

J y y y

z z z

ϕ

ϕ

ϕ

= r =



2( , ) z z r ϕ =

Đổi biến sang tọa độ trụ.

cos

sin

x r

y r

z z

ϕ

ϕ

= ⋅

= ⋅ =

( , , ) E


Mặt phía dướ i: 1( , ) z z r ϕ =

Mặt phía trên: 2( , ) z z r ϕ =

Hình chiếu: D

1( , ) z z r ϕ =

Xác định cận của D:,r ϕ

1 2

1 2

: Dr r r

ϕ ϕ ϕ ≤ ≤

≤ ≤

2 2 2

1 1 1

( , )

( , )

( cos , sin , )r z r

r z r

I d r dr f r r z dzϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

Ví dụ

Tính tích phân trong đó E là vật thể giớ i hạn bở i2 2

E

I x y dxdydz= +∫∫∫


2 2 2 24, 1 , 1. z z x y x y= = − − + =

Mặt phía trên: 4 z =

21 z r = −

Hình chiếu xuống 0xy: : 1 D x y+ ≤

2

2 1 4

0 0 1 r

I d dr r dzr π

ϕ −

= ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

0 2:

0 1 D

r

ϕ π ≤ ≤

≤ ≤

2

2 1 42

10 0

r I d dr r z

π

ϕ −

= ∫ ∫

( )2 1

2 2

0 0

(3 )d r r dr π

ϕ = +∫ ∫ 12

5

π =



Ví dụ

Tính tích phân trong đó E là vật thể giớ i hạn bở i E



2 2 2 2 2 2, 2 , 1. z x y z x y x y= + = + + + =

Mặt phía trên: 2

2 z r = +

2 z r =


2 2: 1 D x y+ ≤

Cận của D:

0 2:

0 1 D

r

ϕ π ≤ ≤

≤ ≤

2

2

2 1 2

0 0

r

r

I d dr z dzr π ϕ +

= ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

2

2

22

2 1

0 0 2

r

r

zd r dr π ϕ

+

= ∫ ∫ 3π =

Ví dụ

Tính tích phân trong đó E:( )2 2

E

I x z dxdydz= +∫∫∫ 2 2

2 , 2. y x z y= + =

Chiếu xuống x0z

y

Mặt trên: 2 y =

Mặt dướ i:

2

2

r y =

Hình chiếu: 2 2: 4 D x z+ ≤

2

2 2 22

0 0 / 2r

I d dr r dyr π

ϕ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫



II. Toạ độ cầu---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ 0xyz.

( , , ) M x y z •

z M đượ c xác định duy nhất bở i bộ ( , , )θ ϕ ρ

( , , )θ ϕ ρ đượ c gọi là tọa độ cầu của điểm M.

Công thức đổi biến sang tọa độ cầu:

sin cos x ρ θ ϕ = ⋅ ⋅θ ρ

1( , ,0) M x y•

ϕ

y

x

sin sin

cos

y

z

ρ θ ϕ

ρ θ

= ⋅ ⋅ = ⋅

' ' '

' ' '

' ' '

x x x

J y y y

z z z

ρ ϕ θ

ρ ϕ θ

ρ ϕ θ

= 2| | sin J ρ θ ⇒ = ⋅

cos z ρ θ =

sinr ρ θ =

II. Toạ độ cầu---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử trong tọa độ cầu, vật thể E đượ c giớ i hạn bở i:

1 2

1 2

1 2

θ θ θ

ϕ ϕ ϕ

ρ ρ ρ

≤ ≤

≤ ≤ ≤ ≤

( , , ) I f x y z dxdydz= ∫∫∫ E

2 2 2

1 1 1

2( sin cos , sin sin , co ) s ns i

θ ϕ ρ

θ ϕ ρ

θ ϕ ρ θ ϕ ρ θ ϕ ρ ρ θ θ ρ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫d d f d

Chú ý: 0

0 2

0

or

θ π

ϕ π π ϕ π

ρ

≤ ≤

≤ ≤ − ≤ ≤

< < +∞



Ví dụ

Tính tích phân trong đó E là vật thể giớ i hạn bở i2 2 2

E

I x y z dxdydz= + +∫∫∫

2 2 2 2 2, . z x y x y z z≥ + + + ≤

Đổi sang tọa độ cầu:

sin cos

sin sin

cos

x

y

z

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ρ θ

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

Xác định cận: 04

π θ ≤ ≤

0 2ϕ π ≤ ≤

0 osc ρ θ ≤ ≤

/ 4 2 cos

0 0 0

2sin I d d d

π π θ

ρ ϕ ρ θ θ ρ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ 1 2

10 80π

= −

Ví dụ



2 2 2 2 2, 1. z x y x y z≤ − + + + =

Đổi sang tọa độ cầu: sin cos

sin sin

cos

x

y

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

θ

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

z


4

π θ π ≤ ≤

0 2ϕ π ≤ ≤

0 1 ρ ≤ ≤

1

0 0

22

3 / 4

cos sin I d d d π π

π

θ ϕ ρ θ ρ ρ θ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

y

x

8

π = −



y

z

Ví dụ

Tính tích phân trong đó E là vật thể giớ i hạn bở i( ) E

I y z dxdydz= +∫∫∫

2 2 20, 2 ( 0) z x y z y z= + + = ≤

Đổi sang tọa độ cầu: sin cossin sin

cos

x y

ρ θ ϕ ρ θ ϕ

θ

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅

xXác định cận:2

π θ π ≤ ≤

0 ϕ π ≤ ≤

0 2sin sin ρ θ ϕ ≤ ≤ ⋅

2sin sin

/ 2 0 0

2( sin sin c sinos )+ I d d d

θ ϕ π π

π

θ ϕ ρ θ ρ ϕ θ ρ θ ρ ⋅

= ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

Cách 2.

Xác đ nh c n:

sin cos

sin sin

cos

1

x

y

z

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ρ θ

= ⋅ ⋅

= ⋅− ⋅ = ⋅

π

Đổi sang tọa độ cầu mở rộng

y

z


2

0 2ϕ π ≤ ≤

0 1 ρ ≤ ≤

2 1

/ 2 0

2

0

(1 sin sin co is ) s n+ I d d d π π

π

θ ϕ ρ θ ϕ ρ θ ρ θ ρ = + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

x



z

Ví dụ

Tính tích phân trong đó E là vật thể giớ i hạn bở i2 2 2 3/ 2( ) x y z

E

I e dxdydz+ += ∫∫∫

2 2 20, 1 ( 0) y x y z y= + + = ≤

Đổi sang tọa độ cầu:sin cos

sin sin

x

y

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅

x

y

Xác định cận: 0 θ π ≤ ≤

2π ϕ π ≤ ≤

0 1 ρ ≤ ≤

32

2 1

0 0

sin I d d e d π π

ρ

π

θ ρ ρ ϕ θ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ 1

23

eπ

−=

Ví dụ



2 2 21, 2 ( 1) z x y z z z= + + = ≤

Đổi sang tọa độ cầu:sin cos

sin sin

x

y

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅


π θ ≤ ≤

0 2ϕ π ≤ ≤

0 ρ ≤ ≤ ?

Phải chia khối E ra làm 2 khối. Công việc tính toán rất phức tạp.



Xác định cận:

Đổi sang tọa độ cầu mở rộng

sin cos

1

sin sin

cos

x

y

z

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ρ θ

= ⋅ ⋅

= ⋅

−

⋅ = ⋅

π θ π ≤ ≤


0 2ϕ π ≤ ≤

0 1 ρ ≤ ≤

2 1

/ 2 0

2

0

(1 cos n) si I d d d π π

π

θ ϕ ρ ρ θ θ ρ = + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

Ví dụ

Tính tích phân trong đó E là vật thể giớ i hạn bở i2 21

E

I dxdydz x y

= ∫∫∫+

Đổi san t a đ tr :

2 2 2 2 20, 4, ( 0)1 z x y z x y z= + + = + ≤ ≥

Sử dụng tọa độ cầu công việc tính toán

phức tạp hơ n nhiều.cos

sin

x r

r

ϕ =

=

Xác định cận:

z z =0 2ϕ π ≤ ≤

0 1r ≤ ≤

20 4 z r ≤ ≤ −

22 1 4

0 0 0

r r I d dr dz

r

π

ϕ −

= ∫ ∫ ∫



Ví dụ

Đổi sang tọa độ cầu rồi tính2 2 2

0 0 0

2 4 4 x x y

I dx dy xdz− − − − − −

= ∫ ∫ ∫

Vẽ khối EXác định vật thể E:

2

2 0

4 0

x

x y

− ≤ ≤

− − ≤ ≤

z

x

y

2 24 0 x y z

− − − ≤ ≤

Đổi biến sang tọa độ cầu:

Xác định cận:2

π θ π ≤ ≤

sin cos

sin sin

cos

x

y

z

ρ θ ϕ

ρ θ ϕ

ρ θ

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅

3

2

π π ϕ ≤ ≤

z

x

y

0 2 ρ ≤ ≤

3 / 2 22

/ 2 0

sin cos sin I d d d π π

π π

θ ϕ ρ θ ϕ ρ θ ρ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

3 / 2 22 2

/ 2 0

sin cos I d d d π π

π π

θ θ ϕ ϕ ρ ρ ρ = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫3 / 2

2

/ 2

1sin cos

4d d

π π

π π

θ θ ϕ ϕ = ⋅∫ ∫

I π = −



z

Ví dụ

Đổi sang tọa độ trụ rồi tính 22 2 4

2 2

0 0 0

x x

I dx dy z x y dz−

= +∫ ∫ ∫

Vẽ khối EXác định vật thể E:

2

0 2

0 2

x

y x x

≤ ≤

≤ ≤ −

x

y

0 4 z≤ ≤

x

y

Đổi biến sang tọa độ trụ:


π ϕ ≤ ≤

cos

sin

x r

y r

z z

ϕ

ϕ

= ⋅

= ⋅ =

0 2cosr ϕ ≤ ≤

z

0 4 z≤ ≤

2cos / 2 4

0 0 0

I d dr z r r dzϕ π

ϕ = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

422cos / 2

2

0 00

2

z I d r dr

ϕ π

ϕ = ∫ ∫

128

9 I =

x



III. Ứ ng dụng hình học của tích phân bội ba---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Từ định ngh ĩ a tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E:

1 E

E

V dxdydz= ∫∫∫

Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể.

Tuy nhiên trong một số trườ ng hợ p sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơ n,

vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu.

Ví dụ

Tính thể tích vật thể E đượ c giớ i hạn bở i

2 2 2 2 2 2 2 21; 4,+ + = + + = ≥ + x y z x y z z x y

E

V dxdydz= ∫∫∫

Sử d n t a đ cầu

04

π θ ≤ ≤

0 2π ≤ ≤

1 2 ρ ≤ ≤

/ 42

2 2

0 0 1

sinV d d d π π

θ ρ ϕ θ ρ = ⋅∫ ∫ ∫

14 7 2

3 3V π π = −

Sử dụng tích phân kép, tính toán rất phức tạp!!



Ví dụ

Tính thể tích vật thể E đượ c giớ i hạn bở i 2 22 ; 3, 3 x y x x z x z+ = + = − =

E

V dxdydz= ∫∫∫

2 2

π π ϕ

−≤ ≤

z

Sử dụng tọa độ trụ

cos

sin

x r

y r

z z

ϕ

ϕ

=

=

=

0 2cosr ϕ ≤ ≤

2 3 cos / 2

/ 2 0 cos 3

osc r

r

V d dr r dzϕ ϕ π

π ϕ

ϕ −

− −

= ⋅∫ ∫ ∫

4V π =

cos 3 3 cosr z r ϕ ϕ − ≤ ≤ −

y

x

Ví dụ

Tính thể tích vật thể E đượ c giớ i hạn bở i 2 2 2 2 2 24; 4 x y z x y z z+ + = + + =

E

V dxdydz= ∫∫∫

Sử dụng tọa độ trụ

0 2ϕ π ≤ ≤

z

r ≤ ≤

2

2

2 3 4

0 0 2 4

r

r

V d dr dzr π

ϕ −

− −

= ⋅∫ ∫ ∫

10

3V

π =

2 22 4 4r z r − − ≤ ≤ −

x

y

Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp hơ n nhiều.



Ví dụ

Tính thể tích vật thể E đượ c giớ i hạn bở i 2, 1, 0. y x y z z= + = =

E

V dxdydz= ∫∫∫1

0

y

Parabol

dz dxdy−

= ∫∫ ∫ 2

11 1

1 0

y

x

dx dy dz−

−

= ∫ ∫ ∫

Bài tập



Bài tập







[email protected]

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

II –Tích phân đườ ng loại hai

I –Tích phân đườ ng loại 1

II.1 – Định ngh ĩ a, cách tính

II.3 – Tích phân không phụ thuộc đườ ng đi.

II.2 – Công thứ c Green



I. Tích phân đườ ng loại một.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 A•

2 A• 1n

A −•

n A•

• •• • •

1 M •

2 M •

n M •

• • •• • •

0


xác định trên đườ ng cong C.( , ) f f x y=

Chia C một cách tùy ý ra n đườ ng cong nhỏ bở i các điểm 0 1, ,..., .n A A A

Độ dài tươ ng ứng 1 2, ,..., .n L L L

Trên mỗi cung lấy tuỳ ý một điểm ( , ).i i i M x y1i i A A+

Lập tổng Riemann:1

( )n

n i ii

I f M L=

= ⋅∑

, không phụ thuộc cách chia C , và cách lấy điểm M ilim nn

I I →+∞

=

đượ c gọi là tích phân đườ ng loại một của f=f ( x,y) trên cung C.

( , )C

I f x y dl= ∫



I. Tích phân đườ ng loại một---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của tích phân đườ ng loại một

1) Hàm liên tục trên cung C, bị chặn, trơ n tùng khúc thì khả tích trên C.

3)C C

fdl fdlα α ⋅ = ⋅∫ ∫2) ( ) 1C

L C dl= ∫ 4) ( )C C C

f g dl fdl gdl+ = +∫ ∫ ∫

6) Nếu C đượ c chia làm hai cung C 1 và C 2 không dẫm lên nhau:

5) Tích phân đườ ng loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.

1 2C C C

fdl fdl fdl= +∫ ∫ ∫

7) ( , ) , ( , ) ( , )C C

x y C f x y g x y fdl gdl∀ ∈ ≤ ⇒ ≤∫ ∫

8) Định lý giá trị trung bình. Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơ n C có độ dài

L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho

0( )C

fdl f M L= ⋅∫

Cách tính tích phân đườ ng loại một

1

( , ) ( )limn

i in iC

f x y dl f M L→+∞ =

= ⋅∑∫

1 2 2' '( ) ( )

it

L x t y t dt +

= +2 2

' '( ) ( ) x t y t t = + ⋅ ∆ t t t ≤ ≤

Li là độ dài cung nhỏ AiAi+1:

Cung C cho bở i phươ ng trình tham số: x = x(t), y = y(t),1 2t t t ≤ ≤

it

Chọn điểm trung gian Mi có tọa độ ( )( ), ( )i i x t y t

( ) ( ) ( )2 2

' '

1

( , ) ( ), ( ) ( ) ( )lim→+∞ =

= ⋅ + ⋅ ∆∑∫

n

i i i i in iC

f x y dl f x t y t x t y t t

( ) ( )2

1

2 2' '

( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( )t

C t

f x y dl f x t y t x t y t dt = ⋅ + ⋅∫ ∫



Cách tính tích phân đườ ng loại một

( ) ( )2

1

2 2' '

( , ) ( ( ), ( )) ( ) ( )t

C t

f x y dl f x t y t x t y t dt = ⋅ + ⋅∫ ∫

Cung C cho bở i phươ ng trình: y = y(x), a x b≤ ≤

Phươ ng trình tham số của C là :x = x(t), y = y(t), 1 2t t t ≤ ≤

2

2'

'

'

( )( ( ), ( )) 1 ( )

t y t f x t y t x t dt

x t

= ⋅ + ⋅ ⋅∫

1

( )2

'( , ) ( , ( )) 1 ( )

b

C a

f x y dl f x y x y x dx= ⋅ + ⋅∫ ∫

( )2

'( , ) ( ( ), ) 1 ( )

d

C c

f x y dl f x y y x y dy= ⋅ + ⋅∫ ∫

Tươ ng tự, Cung C cho bở i phươ ng trình: x = x(y), c y d ≤ ≤

Tươ ng tự , ta có định ngh ĩ a tích phân đườ ng trong không gian.


xác định trên đườ ng cong C trong không gian.( , , ) f f x y z=

C cho bở i phươ ng trình tham số: 1 2

( )

( ) ,

( )

x x t

y y t t t t

z z t

=

= ≤ ≤ =

( , , )C

I f x y z dl= ∫

( ) ( ) ( )2

1

2 2 2' ' '

( , , ) ( ( ), ( ), ( )). ( ) ( ) ( )t

C t

f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt = + + ⋅∫ ∫



Ví dụ

Tính , trong đó C là cung parabol3

C

I x dl= ∫

2

,2

0 x 3 x

y = ≤ ≤

33 ' 2

0

1 ( ( )) x y x dx= +∫( )2

'( , ( )) 1 ( )

b

a

I f x y x y x dx= ⋅ + ⋅∫ 3

3 2

0

1 x x dx= +∫ 58

15

=

Ví dụ

2, = 1 2 , 1 = , , ,C

=

C2 là đườ ng thẳng từ (1,1) đến (1,2).

1 2

2 2 2C C C

I xdl xdl xdl= = +∫ ∫ ∫ ( )1 2

'

0

2 1 ( ) x y x dx= ⋅ + ⋅∫ ( )2 2

'

1

2 ( ) 1 ( ) x y x y dy+ ⋅ + ⋅∫

12

0

2 1 4 x x dx= ⋅ + ⋅∫ ( )2

2

1

2 1 1 0 dy+ ⋅ ⋅ + ⋅∫ 5 5 1

26

−= +

Ví dụ

Tính , vớ i C là nửa trên đườ ng tròn2(2 )C

I x y dl= +∫ 2 2 1 x y+ =

( )2

'( , ( )) 1 ( )

b

a

I f x y x y x dx= ⋅ + ⋅∫Có thể dùng công thức

nhưng việc tính toán phức tạp.

Viết phươ ng trình tham số cung C.

Đặt cos ; sin x r t y r t = =

Vì , nên r = 1.2 2

1 x y+ =

Phươ ng trình tham số của nửa trên cung tròn:cos

; 0sin

x t

t y t

π =

≤ ≤=

( ) ( )2 2

2 ' '

0

(2 sin ) ( ) ( )os I c t t x t y t dt π

= + ⋅ +∫ 2

0

(2 sin )osc t t dt π

= + ⋅∫ 2

23

π = +



Ví dụ

Tính , vớ i C là nửa đườ ng tròn2 2

( )C

I x y dl= +∫ 2 2

2 ; 1. x y x x+ = ≥


Đặt cossin

x r t y r t

==

Phươ ng trình tham số của C:

2cos cos 1 cos2;

2cos sin sin2 4 4 -

π π = ⋅ = +≤ ≤

= ⋅ =

x t t t t

y t t t

/ 42 2

/ 4

(2 2cos2 ) ( 2sin2 ) (2cos2 )π

π −

= + − +∫ I t t t dt

Vì , nên2 22 x y x+ = 2cosr t =

Ví dụ

Tính , vớ i C là nửa bên phải đườ ng tròn4

C

I xy dl= ∫ 2 2

16; 0. x y x+ = ≥


Đặt cos

sin

x r t

y r t

=

=

Phươ ng trình tham số của C: 4 cos

;4 sin 2 2

x t

t y t

π π = ⋅− ≤ ≤

= ⋅

/ 24 4 2 2

/ 2

4 4 sin ( 4sin ) (4cos )os I c t t t t dt π

π −

= ⋅ − +∫ 62

45

= ⋅

Vì , nên2 216 x y+ = 4r =

/ 26 4

/ 2

4 sinosc t tdt π

π −

= ⋅∫



Ví dụ

Tính , vớ i C là giao của và x + z = 42C

I xdl= ∫ 2 24 x y+ =

Đặt

cos

sin

4 cos

x r t

y r t

z r t

=

=

= −

Vì , nên2 2

4, 4 x y x z+ = + = 2=r


22 2 2

0

4cos ( 2 sin ) (2cos ) (2 sin ) I t t t t dt π

= ⋅ − + +∫

2cos

; 0 22sin

4 2cos

x t

t y t

z t

π

=

≤ ≤= = −

0=

Ví dụ

Tính , vớ i C là phần đườ ng tròn( )C

I x y dl= +∫ 2 2 2 4; . x y z y x+ + = =


Đặt 2 cos

2 sin

x y r t

z r t

= = ⋅

= ⋅


( )2

2 2 2

0

2 2 cos ( 2 sin ) ( 2 sin ) (2cos )osπ

= + − + − +∫ I c t t t t t dt

Vì , n n, x y z y x+ + = = r =

2 cos; 0 2

2sin π

= =≤ ≤

=

x y t t

z t



Ví dụ

Tính , vớ i C là phần đườ ng tròn2

C

I x dl= ∫ 2 2 2

4; 0. x y z x y z+ + = + + =

Viết phươ ng trình tham số cung C phức tạp.

2 2 2

C C C

I x dl y dl z dl= = =∫ ∫ ∫

2 2 21

3 C

x y z=

4

3 C

I dl= ∫

4

3

= ⋅ độ dài cung C (chu vi đườ ng tròn)

4 164

3 3 I

π π = ⋅ =

Ví dụ

Tính , vớ i C là đườ ng( )= +∫C

I x z dl 3cos , 3sin , , 0 t 4 .π = = = ≤ ≤ x t y t z t

Khi t thay đổi từ thì cung C là đườ ng cong nằm

trên hình trụ.

2 29 x y+ =

( ) ( ) ( )4 2 2 2

' ' '

0

(3cos ) ( ) ( ) ( )π

= + + +∫ I t t x t y t z t dt

4

0

(3cos ) 10π

= +∫ I t t dt 28 10π =



II. Tích phân đườ ng loại hai.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chia C một cách tùy ý ra n đườ ng cong nhỏ bở i các điểm

0 0 0 1 1 1( , ), ( , ),..., ( , ).n n n A x y A x y A x y

Trên mỗi cung lấy tuỳ ý một điểm ( , ).k k k M x y1+k k A A

xác định trên đườ ng cong C.( , ), ( , )= =P P x y Q Q x y

Lập tổng Riemann: ( )11

1( )( ) ( ) ( )−=

−= ⋅ + ⋅∑ − −n

n k k k k k k i

I P M Q y y M x x

, không phụ thuộc cách chia C , và cách lấy điểm M ilim nn

I I →+∞

=

đượ c gọi là tích phân đườ ng loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C.

( , ) ( , )= +∫C

I P x y dx Q x y dy

II. Tích phân đườ ng loại hai---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của tích phân đườ ng loại hai

1) Tích phân đườ ng loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.

+ = − +∫ ∫ AB BA

Pdx Qdy Pdx Qdy

2) Nếu C đượ c chia làm hai cung C 1 và C 2 không dẫm lên nhau:

Giải thích.

1 2

+ = + + +∫ ∫ ∫C C C

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy



Cách tính tích phân đườ ng loại hai

( , ) ( , ) ( , ) ( , )+ = +∫ ∫ ∫C C C

P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy

t = a ứng vớ i điểm đầu, t = b: điểm cuối cung.1) C: x = x(t), y = y(t),

1

( , ) lim ( , )→+∞ =

= ⋅ ∆∑∫n

k k k n k

C

P x y dx P x y x

0 1 2 na t t t t b= < < < < =⋯Chia [a,b] thành n đoạn:

ñ nh l ù La ran e

1 1( ) ( )k k k k k x x x x t x t − −∆ = − = −

Chọn điểm trung gian ( )( ), ( )k k k M x t y t

( ) '

1

( , ) lim ( ), ( ) ( )n

k k k k k C

P x y dx P x t y t x t t =

= ⋅ ∆∑∫ ( ) '( ), ( ) ( )

b

a

P x t y t x t dt = ⋅∫

( ) ( )' '( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )+ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫

b b

C a a

P x y dx Q x y dy P x t y t x t dt Q x t y t y t dt

'( )

k k x t t = ⋅ ∆

Cách tính tích phân đườ ng loại hai

Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên tập mở D chứa cung trơ n C.

( )2

1

'( , ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )) ( )+ = + ⋅∫ ∫

x

C x

P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx

x = x1 là hoành độ điểm đầu, x = x2: điểm cuối cung.2) C: y = y(x),

( )2

1

'( , ) ( , ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), )+ = ⋅ +∫ ∫

y

C y

P x y dx Q x y dy P x y y x y Q x y y dy

y = y1 là tung độ điểm đầu, y = y2: điểm cuối cung.3) C: x = x(y),



Tích phân đườ ng loại hai trong không gian

Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục trên tập mở D chứa cung

trơ n AB.

( )0 1

lim ( ) ( ) ( )

kax

n

k k k k k k

m l k AB

Pdx Qdy Rdz P M x Q M y R M z∆ →

=

+ + = ∆ + ∆ + ∆∑∫

Cung AB có phươ ng trình tham số: ( ), ( ), ( ); x x t y y t z z t a t b= = = ≤ ≤

( )' ' '( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( )

b

a

P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt = ⋅ + ⋅ + ⋅∫

( )' ' '( ) ( ) ( )b

a

P x t Q y t R z t dt = ⋅ + ⋅ + ⋅∫

AB

Pdx Qdy Rdz+ +∫

Ví dụ

Tính , trong đó C là biên tam giác2

( 3 ) 2= + +∫C

I x y dx ydy

OAB, vớ i O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngượ c chiều kim đồng hồ.

B •

C

I = ∫0 0 A AB B

= + +∫ ∫ ∫

=

O •

A•

12

10 0

( 3 ) 2 1 A

I x x dx x dx= = + + ⋅ ⋅∫ ∫

Hoành độ điểm đầu: x = 0

Hoành độ điểm cuối: x = 1

12

10 0

( 5 ) A

I x x dx= = +∫ ∫ 17

6=



O •

B •

A•

22

0

1

(( 3(2 )) 2 ) 12 ( ) AB

I x x dx x dx= = + − + ⋅ −− ⋅∫ ∫

Phươ ng trình AB: y = 2 – x

Hoành độ điểm đầu: x = 1

Hoành độ điểm cuối: x = 0

11

6= −

1 2 3 I I I I = + +

23

0

2

(0 3 )0 2 BO

I y y dy= = + + ⋅ ⋅∫ ∫

Phươ ng trình BO: x = 0 Tung độ điểm đầu: y = 2

Tung độ điểm cuối: y = 0 4= −

17 114 3

6 6= − − = −

Ví dụ

Tính , trong đó C là cung từ O(0,0) đến A(1,1)= +∫C

I ydx xdy 2 22+ = x y x

•cos

sin

x r t

y r t

=

=Sử dụng tọa độ cực

2 22 2cos+ = ⇒ = x y x r t

chiều kim đồng hồ.

•

1 2

2cos cos 1 cos2

2cos sin sin2

;2 4

x t t t

y t t t

t t π π

= ⋅ = + = ⋅ =

= =

Phươ ng trình tham số cung C

( ) ( ) / 4

/ 2

sin 2 2sin 2 (1 cos 2 ) 2cos 2 I t t dt t t dt π

π

= ⋅ − + + ⋅∫2

π −=



II.2. Công thứ c Green---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C là biên của miền D.

Chiều dươ ng qui ướ c trên C là chiều mà đi theo chiều này ta thấy miền D

ở phía bên tay trái.

Trong đa số trườ ng hợ p, chiều dươ ng qui ướ c là ngượ c chiều kim đồng hồ.

Trong trườ ng hợ p tổng quát điều này không đúng.

Miền D đượ c gọi là miền đơ n liên nếu các biên kín của D có thể co về một

điểm P thuộc D mà không bị các biên khác cản trở . Ngượ c lại D đượ c gọi

là miền đa liên.

Công thức Green

D là miền đóng giớ i nội trong mặt phẳng xy vớ i biên C trơ n từng khúc.

P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trong miền mở chứa D.

( , ) ( , ) C D

Q PP x y dx Q x y dy dxdy

x y

∂ ∂+ = −∫ ∫∫

∂ ∂

Dấu + nếu chiều lấy tích phân trùng chiều dươ ng qui ướ c

Điều kiện để sử dụng công thức Green:

1) C là cung kín.

2) P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền D có biên C.



Ví dụ

Tính , trong đó C là biên tam giác2

( 3 ) 2= + +∫C

I x y dx ydy

OAB, vớ i O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngượ c chiều kim đồng hồ.

B •Cung C kín

2( , ) 3 ; ( , ) 2P x y x y Q x y y= + =

O •

A•

2( 3 ) 2

C D

Q P I x y dx ydy dxdy

x y

∂ ∂= + + = −∫ ∫∫

∂ ∂ +

3= −

P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1

liên tục trên miền D có biên C.

( )0 3 D

dxdy= −∫∫1 2

0

( 3) x

x

dx dy−

= −∫ ∫

Ví dụ

Tính , trong đó C nửa trên đườ ng tròn2 2

( ) ( )= − + +∫C

I x y dx x y dy

cùng chiều kim đồng hồ.

1 2C C AO AO

I I I ∪

= = − = −∫ ∫ ∫

Cung C không kín

2 22 x y x+ =

2π = −( )2( ) 2( ) D

x y x y dxdy= − + + −∫∫

02 2

22

( 0) ( 0) 0 I x dx x dx= − + +∫

1 DC AO

Q P I dxdy

x y∪

∂ ∂= = −∫ ∫∫

∂ ∂ −

2cos / 2

0 0

4 cosd r r dr ϕ π

ϕ ϕ = − ⋅ ⋅∫ ∫

8

3= −

1 2

82

3 I I I π = − = − +

Có thể giải bằng cách viết phươ ng trình tham số cung C



Ví dụ

Tính , trong đó C đườ ng tròn2 2

( ) ( )+ − −= ∫

+C

x y dx x y dy I

x y

ngượ c chiều kim đồng hồ.

Cung C kín, nhưng P, Q và các ĐHR cấp 1

2 24 x y+ =

không liên tục trên D, không sử dụng

côn thức Green đư c!!

2

0

(2cos 2sin )( 2sin ) (2cos 2sin )2cos

4

t t t dt t t tdt I

π + − − −= ∫

Viết phươ ng trình tham số cung C

2cos

2sin

x t

y t

=

= 1 20; 2t t π = =

2π = −

Tích phân trên đườ ng tròn x2 + y2 = 4, nên thay vào mẫu số ta có

Có thể sử dụng công thức Green trong

trườ ng hợ p này.

( ) ( )

4

+ − −= ∫

C

x y dx x y dy I

2

4 DS = − ⋅

1( ) ( )4= + − −∫C

I x y dx x y dy

2 24

1( 1 1)

4 x y

dxdy+ ≤

= − −∫∫ 2π = −



Ví dụ

Tính , trong đó C là cung Cicloid(4 )= − +∫C

I y dx xdy

(cùng chiều kim đồng hồ).

Cung C không kín

2( sin ), 2(1 cos ),0 2 x t t y t t π = − = − ≤ ≤

2

0

(4 2(1 cos )) 2(1 cos ) 2( sin )(2sin ) I t t dt t t t dt π

= − − ⋅ − + −∫

2

0

4 sin I t tdt π

= ∫ 8π = −

Ví dụ

Tính , trong đó( )2 2( ) cos 2 sin 2− += +∫ x y

C

I e xydx xydy

ngượ c chiều kim đồng hồ.2 2

4 x y+ =

2 2( )

( , ) cos(2 )− +

= x yP x y e xy

2 2

2 24

0 x y

Q P I dxdy

x y+ ≤

∂ ∂= − =∫∫

∂ ∂

( )2 cos(2 ) sin(2 ) x y

e y xy x xy y

− += −

∂

( )2 2

( )2 cos(2 ) sin(2 )

x yQe y xy x xy

x

− +∂= −

∂



Ví dụ

Tính , trong đó C đườ ng cong kín tùy ý2 2

−= ∫

+C

xdy ydx I

x y

không chứa gốc 0, ngượ c chiều kim đồng hồ.

Trườ ng hợ p 1. C không bao quanh gốc 0.

Sử dụng công thức Green.

−

2 2( , )P x y

x y=

+

( )

2

2 2 22 2

1 2P y

y x y x y

∂ −= +

∂ + +

2 2( , )

xQ x y

x y

=+

( )

2

2 2 22 2

1 2Q x

x x y x y

∂= −

∂ + +

0 D

Q P I dxdy

x y

∂ ∂= − =∫∫

∂ ∂

Trườ ng hợ p 2. C bao quanh gốc 0.

Không sử dụng công thức Green đượ c

vì P, Q và các ĐHR cấp 1 không

liên tục trên miền D, có biên là C.

Kẻ thêm đườ ng tròn C1 có bán kính a đủ nhỏ đểC1 nằm lọt trong C, chọn chiều kim đồng hồ.

1 1

1 2C C C C

I I I ∪

= = − = −∫ ∫ ∫

1

1 0een=

Gr

C C D

Q P I dxdy x y∪

∂ ∂= + − =∫ ∫∫ ∂ ∂

Tính tích phân I2 trên cung tròn x2 + y2 = a2

1 2cos , sin , 2 , 0 x a t y a t t t π = = = =Phươ ng trình tham số của cung C1:

0

2 22

cos cos sin sin2

a t a t dt a t a t dt I

aπ

π ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= = −∫ 1 2 2 I I I π = + =



II.3. Tích phân không phụ thuộc đườ ng đi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho hàm P(x,y), Q(x,y) và các ĐHR cấp 1 của chúng liên tục trong miền

mở đơ n liên D chứa cung AB.

Các mệnh đề sau đây tươ ng đươ ng

Định lý

1. Q P

x y

∂ ∂=

∂ ∂

2. Tích phân không phụ thuộc đườ ng cong trơ n từng khúc AB

I Pdx Qdy= +∫

nối cung AB nằm trong D.

3. Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy, tức là

( , )dU x y Pdx Qdy= +

4. Tích phân trên mọi chu tuyến kín C, trơ n từng khúc trong D bằng 0.

0C

I Pdx Qdy= + =∫

II.3. Tích phân không phụ thuộc đườ ng đi---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tích phân không phụ thuộc đườ ng đi ( )Q P

x y

∂ ∂=

∂ ∂

B•

1 2

AC CB AB

I I I = = + = +∫ ∫ ∫

A y y=

,

B

A B

x x

y y

=

1 ( , ) ( , ) AC

I P x y dx Q x y dy= +∫

, A B

x x

( , ) ( , ) 0 B

A

x A A

x

P x y dx Q x y dx= + ⋅∫

2 ( , ) ( , )CB

I P x y dx Q x y dy= +∫ ( , ) 0 ( , ) B

A

y

A B y

P x y dy Q x y dy= ⋅ +∫

( , ) ( , ) B B

A A

x y

A B x y

I P x y dx Q x y dy⇒ = +∫ ∫



Ví dụ

Tính(2,3)

( 1,2)−

= +∫ I ydx xdy

Cách 1.

suy ra, tích phân không phụ thuộc đườ ng đi.1Q P

x y

∂ ∂= =

∂ ∂

( 1,2) A − •

(2,3) B•

C I = +∫ ∫

2 3

2 2dx d = + = AC CB 1 2−

Cách 2. Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy

( , )U x y xy=tìm đượ c hàm'

'

( , )

( , )

x

y

U P x y

U Q x y

=

=(2,3)

(2,3)

( 1,2)( 1,2)

( , )−

−

= + =∫ I ydx xdy U x y (2,3) ( 1, 2) 8U U = − − =

Ví dụ

Tính(6,8)

2 2(1,0)

+= ∫+

xdx ydy I x y

suy ra, tích phân không phụ thuộc đườ ng đi.Q P

x y

∂ ∂=

∂ ∂

Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy

' 1 x

U P x

= = 1 U x P x dx⇒ = +2 2

'

2 2( , )

(2)

x

y

x y y

U Q x y x y

+

= = +

2 2( , ) ( )U x y x y g y= + +

'(2) ( ) 0g y⇒ = ( )g y C ⇒ =

2 2( , )U x y x y C = + +

(6,8)

(1,0)( , )= I U x y (6,8) (1,0)U U = − 9=



Ví dụ

Tính theo đườ ng cong AB tùy ý từ (1,0) đến (2,0):

2 2

+= ∫

+ AB

xdx ydy I

x y

a) Không bao quanh gốc tọa độ;

b) Bao quanh gốc tọa độ.

Q P∂ ∂=a) tích phân I không phụ thuộc đườ ng đi từ A đến B.

22

11

ln | | ln 2dx

I x x

= = =∫

b) . Đây là tích phân không phụ thuộc đườ ng đi.Q P

x y

∂ ∂=

∂ ∂

I không thể tính theo đườ ng thẳng từ A đến B theo trục hoành, vì khi đó khôngcó miền đơ n liên D nào chứa đườ ng cong kín bao quanh gốc O sao cho P, Q và

các ĐHR cấp 1 liên tục trên D.

Có hai cách khắc phục:

Cách 1. Tính theo các đoạn thẳng: AC, CD, DE, EF, FB.

trong đó: A(1,0), C(1,1), D(-1,1), E(-1,-1), F(2,-1), B(2,0).

Cách 2. Tìm hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của P(x,y)dx+Q(x,y)dy

'( , ) (1) x

xU P x y

= = 1 , ,U x P x dx⇒ = +

'

2 2( , )

(2) y

x y

yU Q x y

x y

+

= = +

2 2ln( )

( , ) ( )2

x yU x y g y

+= +

'(2) ( ) 0g y⇒ = ( )g y C ⇒ =

2 2( , ) ln( )U x y x y C = + +

(2,0)

(1,0)( , )= I U x y (2,0) (1,0)U U = −

ln 4 ln1ln 2

2

−= =



Ví dụ

(2 cos ) (2 sin )α α

= + + −∫ xy x xy x

C

I ye e y dx xe e y dy

a) Tìm hằng số để tích phân I không phụ thuộc đườ ng đi.

b) Vớ i ở câu a), tính I biết C là cung tùy ý nối A(0, ) và B(1,0).

a) Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đườ ng đi

α

α π

Q P

x y

∂ ∂=

∂ ∂

Đây cũng là điều kiện đủ vì vớ i mọi cung C luôn tìm đượ c miền đơ n liên D

chứa cung C sao cho P, Q và các ĐHR cấp 1 liên tục trên miền D.

2 2 sin 2 2 sin xy xy x xy xy x

e xye e y e xye e yα α

α ⇔ + − = + −

1α ⇒ =

O •

b) vớ i ta có tích phân1α =

(1,0)

(0, )

(2 cos ) (2 sin )π

= + + −∫ xy x xy x

I ye e y dx xe e y dy

Chú ý I không phụ thuộc đườ ng đi.

(0, ) A π •

(1,0) B•

1 2

0

, 0

x

y yπ

=

= =

AO OB I = +∫ ∫

1 2

0

1, 0

y

x x

=

= =0 1

0

sin x

I ydy e dxπ

= − +∫ ∫

1 I e= +



Ví dụ

( ) ( , ) ( ) ( , )= +∫C

I h y P x y dx h y Q x y dy

a) Cho . Tìm hàm h(y) thỏa h(1) = 1 sao cho

b) Vớ i h(y) ở câu a), tính I biết C là phần đườ ng cong có phươ ng trình

( , ) , ( , ) 2= = − y

P x y y Q x y x ye

tích phân không phụ thuộc đườ ng đi.

2 24 9 36 x y+ = , ngượ c kim đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2).

Q P

x y

∂ ∂=

∂ ∂

Ví dụ

= + +∫

C I ydx zdy xdz vớ i C là đườ ng congTính

cos , sin , ,0 2 x a t y a t z bt t π = = = ≤ ≤ theo hướ ng tăng dần của biến t.

2

0

sin ( sin ) ( cos ) cos ( ) I a t a tdt bt a tdt a t bdt π

= ⋅ − + ⋅ +∫

( )2

2 2

0

sin cos cos I a t abt t ab t dt π

= − + +∫ 2

aπ = −



vớ i C là giao của

Ví dụ

( ) ( ) ( )= − + − + −∫C

I y z dx z x dy x y dz 2 2 24, x y z+ + =

;0 y x tgα α π = ⋅ < < , ngượ c chiều kim ĐH nhìn theo hướ ng trục 0x.

Tham số hóa cung C

2 2 2 24 x x tg zα + + =

2 2

( )2

0

(2sin cos 2sin )( 2cos sin ) (2sin 2cos cos )(-2sin sin ) I t t t t t t dt π

α α α α = − − + −∫

22 2 sin( )

4a

π π α = −

144

2osc α

+ =

2cos cos ; 2cos sin ; 2sin x t y t z t α α = ⋅ = ⋅ =

0 2t π ≤ ≤

( )2

0

(2cos cos 2sin cos )(2cos )t t t dt π

α α + −∫



Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 2

Chương 7. Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa.

• Gi ng viên Ts. Đng V ăn Vinh (11/2008) [email protected]

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Khái niệm chuỗi số.

III- Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối.

II – Chuỗi không âm.

IV- Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẩn Leibnitz.

V- Chuỗi luỹ thừa. Bán kính và miền hội tụ.



II. Chuỗi không âm

Định ngh ĩ a chuỗi không âm

Chuỗi số không âm là chuỗi1

, ) 0,n n

n

a n a+∞

=

∀ >∑ (

Nhận xét

Với chuỗi không âm, dãy tổng riêng là dãy không giảm.

Vậy chuỗi không âm hội tụ khi và chỉ khi bị chặn trên.

nS

Tiêu chuẩn so sánh 1

Hai chuỗi thoả điều kiện1 1

,n nn n

a b+∞ +∞

= =

∑ ∑ 00 ,n na b n n≤ ≤ ∀ ≥

1) Nếu chuỗi hội tụ, thì chuỗi hội tụ.1

nn

b+∞

=

∑1

nn

a+∞

=

∑

+∞ +∞

2) Nếu chuỗi phân kỳ, thì chuỗi phân kỳ.1n

n a=∑ 1n

n a=∑

Chuỗi hội tụ nên dãy tổng riêng bị chặn trên1

nn

b+ ∞

=

∑ nS

'

0 0

n n

n n n nk k

S a b S = =

⇒ ≤ ≤ ≤∑ ∑

CM

dãy tổng riêng của

bị chặn trên, vậy chuỗi hội1

nn

a∞

=

∑



Tiêu chuẩn so sánh 2

Hai chuỗi thoả1 1

,n nn n

a b+∞ +∞

= =

∑ ∑( 1) (2)00 ,n na b n n< < ∀ ≥

lim n

nn

aK b→+∞

=

1) Nếu chuỗi (2) hội tụ, thì chuỗi (1) hội tụ.0 :K =

2) hữu hạn, : Chuỗi (1) và (2) cùng HT hoặc cùng PKK 0≠

3) Nếu chuỗi (1) HT, thì chuỗi (2) HT.:K = +∞

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Chuỗi dương

2

1 1

cos

( 1) n

n n

na

n n

∞ ∞

= ==

+∑ ∑2

2

cos 1 1

( 1) ( 1)

n

n n n n n≤ ≤

+ +

Chọn chuỗi số2

1nb

∞ ∞

=∑ ∑1 1n n= =

lim 1n

nn

a

b→∞

= hữu hạn, khác không.

Suy ra hai chuỗi cùng tính chất hội tụ.1 1

,n nn n

a b∞ ∞

= =

∑ ∑

Vì chuỗi hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.21 1

1n

n n

bn

∞ ∞

= =

=∑ ∑



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 31 1

5 3( 1)

2

n

nnn n

a∞ ∞

+

= =

+ −=∑ ∑

Chuỗi dương3 3

5 3( 1) 8 10

2 2 2

n

n n n+ +

+ −< ≤ =

Vì chuỗi hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.1

1 1, | | 1

22n

n

q∞

=

= <∑

Chuỗi dương3

3 22 ln 2

nn n

n n

e n e e

n

+ ≅ =

+

chuỗi FK, nên chuỗi đã cho FK.1

, | | 12 2

n

n

e eq

∞

=

= >

∑

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi3

31 12 ln

n

nnn n

e na

n

∞ ∞

= =

+=

+∑ ∑

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ 21 1

ln(1 sin(1/ )ln

nn n

n an n

∞ ∞

= =

+=

+∑ ∑

Chuỗi dương2 2

ln(1 sin(1/ ) 1/ 1

ln

n n

nn n n

+≅ =

+

Vì chuỗi hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.2

1

1

n n

∞

=

∑

cosh 1na nn

π = −

chuỗi HT, nên chuỗi đã cho HT.2

3/ 21 2n n

π ∞

=

∑

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ1 1

cosh 1 nn n

n an

π ∞ ∞

= =

− =

∑ ∑

2 21/ 2

2 3/ 21 1

2 2n

n n

π π ≅ ⋅ + − =



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ ( )1 1

1 ln cosh(1/ ) nn n

n n a∞ ∞

= =

+ ⋅ =∑ ∑

( )1 ln cosh(1/ )na n n= + ⋅

Vì chuỗi hội tụ, nên chuỗi đã cho hội tụ.3/ 2

1

1

2n n

∞

=

∑

2ln(1 1/(2 ))n n≅ ⋅ +

3/ 2

1

2n≅

2

2

arctan( 2 )

3n n

n na

n

+=

+

chuỗi HT, nên chuỗi đã cho HT.1

1

3n

n

∞

=

∑

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ2

21 1

arctan( 2 )

3 nn

n n

n na

n

∞ ∞

= =

+=

+∑ ∑

/ 2 1

23 3n n

π π ≅ =

( )1 sin(1/ )na n n α

= − ⋅ 3

1 11

3!n

n n

α

≅ − ⋅ −

2

1

6 nα α

≅

Ví dụ Tìm để chuỗi HT ( )11 sin(1/ )n

n n

α ∞

= − ⋅∑α

Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi 1

2α >

na3

1 1 1ln ln

6n nn

α

≅ − −

Ví dụ1

1 1ln sin lnn n n

α ∞

=

− ∑Tìm để chuỗi HTα

2

1ln 1

6n

α

≅ −

2

1

6 nα α

≅


2α >



3 2

1 11

(1/ 1/ 6 ) 2

na

n n n n

α

≅ − −

−

1 1

α

− −

Ví dụ Tìm để chuỗi HT1

1cos(1/ )

sin(1/ )n

nn n

α ∞

=

−

∑α

2 21 1/ 6 2

nn n−

2 2

1 11 1

6 2na

n n

α

≅ + − −

2

2 1

3 n

α

α α = ⋅


2α >

Ví dụ Tìm để chuỗi HT ( )( )( )2

1

1 1/

1 cos(1/ )

n

n

e n

n

α

∞

=

− +

−∑α

ln(1 1/ )11

n

n ne e en

+ − + = −

2(1/ 1/ 2 )n n n

e e −

≅ − 1 1 /2ne e

−= −

1/ 2.

ne e e

−= −

11e e

≅ − −

e=

( )2

2

11 cos(1/ )

4n

n− ≅

2

/ 2

4n

e na

n

α α α

⇒ ≅2 2

2

e

n

α

α α + −=

Chuỗi đã cho hội tụ khi và chỉ khi 2 1 1α α − > ⇔ <



Tiêu chuẩn d'Alembert

1) chuỗi hội tụ.1: D <

Chuỗi dương . Giả sử

1

n

n

a+∞

=

∑ 1lim n

n

n

a D

a

+

→∞

=

2) chuỗi phân kỳ.1: D >

3) : không kết luận được, chuỗi có thể HT, hoặc PK.1 D =

Tiêu chuẩn Cô si

1) chuỗi hội tụ.1:C <

Chuỗi dương . Giả sử1

nn

a+∞

=

∑ lim nn

na C

→∞

=

2) chuỗi phân kỳ.1:C >

: ng t u n ược, c u c t , o c .1C =



Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi1 1

3 !n

nnn n

na

n

∞ ∞

= =

⋅=∑ ∑

1

11

3 ( !

(

1

1

)

)

n

nna n

n+

+

+

+

+

⋅=

Phân kỳ

3 3 ( 1) !

( 1) ( 1)

n

n

n n

n n

⋅ ⋅ + ⋅=

+ ⋅ +

3 3 !

( 1)

n

n

n

n

⋅ ⋅=

+

1 3 3 !n n

na n n+

⋅ ⋅⇒ = ⋅

3n

= 3

1n→∞ → >

lim nn

na

→∞

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 5

1 1

3 2

4 3

n

nn n

nn a

n

∞ ∞

= =

+ =

+ ∑ ∑

na n n+ ⋅ n e

53 2lim

4 3

n

n

nn

n→∞

+= ⋅

+

31

4= < HT theo t/c Cô si.

1

2 5 8 (3( ) 1)

1 6 11 5 4

1

1n

n

na

+

⋅ ⋅ −=

+

+⋅ ⋅ −

⋯

⋯


nn

a

∞

=∑2 5 8 (3 1)

1 6 11 (5 4)n

na

n

⋅ ⋅ −=

⋅ ⋅ −

⋯

⋯

2 5 8 (3 2)

1 6 11 5 1

n

n

⋅ ⋅ +=

⋅ ⋅ +

⋯

⋯

2 5 8 (3 1)(3 2)

1 6 11 (5 4)(5 1)

n n

n n

⋅ ⋅ − +=

⋅ ⋅ − +

⋯

⋯

(3 2)

(5 1)n

na

n

+= ⋅

+

1 3 2lim lim

5 1

n

n nn

a n

a n

+

→∞ →∞

+⇒ =

+

31

5= <

Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d'Alembert.



1 1

2 5 8 (3( ) 2)

2 1 !

1

1nna

n

n++

⋅ ⋅

⋅ +

+=

+

+⋯


nn

a∞

=

∑

2 5 8 (3 2)

2 ( 1)!n n

na

n

⋅ ⋅ +=

⋅ +

⋯

2 5 8 (3 5)

2 2 2 !n

n

n

⋅ ⋅ +=

⋅ ⋅ +

⋯

2 5 8 (3 2) (3 5)

2 2 ( 1)!( 2)n

n n

n n

⋅ ⋅ + ⋅ +=

⋅ ⋅ + +

⋯ (3 5)

2( 2)n

na

n

+= ⋅

+

1 3 5lim lim

2 4

n

n nn

a n

a n

+

→∞ →∞

+⇒ =

+

3

12= >

Chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn d'Alembert.

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi / 21

, 0(ln( 1))n

n

n

n

α

α

∞

=>+∑

/ 2lim lim

(ln( 1))n n

n nn n

na

n

α

→∞ →∞

=+

1lim 0 1

ln( 1)n n→∞

= = <+

Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô si với mọi α

3


1cos

n

n n

∞

=

∑

3

1lim lim cos

n

n nn

n na

n→∞ →∞

=

2

1lim cos

n

n n→∞

=

22 2

1

2 2

1

2

1lim 1

2

nn n

n n

−⋅

−

→∞

= − 1/ 2

e−=

11

e= < Hội tụ theo Cô si.




43 1

1

1

1

n n

n

n

n

+ +∞

=

−

+ ∑

33 1

1lim lim

1

n n

nnn

n n

na

n

+ +

→∞ →∞

− =

+

42 3 1

( 1) 1

22

lim 1 1

n nn n n

n n

− + +⋅

− + +

→∞

= − +

Chuỗi h i t theo tiêu chu n Cô si.

2

11e= <


2

1

1

23

3

n

n

n

n

n

∞+

=

+ ⋅

+ ∑

1

( 3) 3

11lim lim 3 3 1

3

nn n

nnn

n na

n

−⋅

− + +

→∞ →∞

= ⋅ ⋅ − +

Phân kỳ3

1e

= >

II. Chuỗi có dấu tuỳ ý. Hội tụ tuyệt đối.

Định ngh ĩ a hội tụ tuyệt đối

Chuỗi gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi hội tụ1

nn

a+∞

=

∑1

nn

a+∞

=

∑

Định lý

Nếu chuỗi hội tụ, thì chuỗi hội tụ.1

nn

a=∑ 1

nn

a=∑

Theo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.

Mệnh đề ngược lại không đúng: có những chuỗi hội tụ,

tuy nhiên chuỗi của trị tuyệt đối không hội tụ.




(2 3)cos3

1n

n n

n n

∞

=

+

+ +∑

Chuỗi có dấu tuỳ ý. Xét chuỗi là chuỗi dương

1

| |n

n

a∞

=

∑

3

(2 3) cos3| |n

n na

+=

3 7

2 3n +≤

7 /3

2n≅

4 /3

2= ⇒

Hội tụ

tu ệt đ in n


arctan( )

3 1

n

n

n

n n

∞

=

−

+ +∑

4 6

| arctan( ) || |

3 1

n

n

na

n n

−=

+ + 6 / 4

/ 2

n

π ≤

3/ 22n

π = ⇒ Hội tụ tuyệt đối

II. Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẫn Leibnitz.

Định ngh ĩ a chuỗi đan dấu

hoặc gọi là chuỗi đan dấu.1

( 1) , , 0n

n nn

a n a+∞

=

− ∀ ≥∑ , 0nn a∀ ≤

Định ngh ĩ a chuỗi Leibnitz

Chuỗi đan dấu gọi là chuỗi Leibnitz, nếu:1

( 1)n

nn

a+∞

=

−∑

1) lim 0nn

a→∞

=

2) dãy là dãy giảm.1( )n na

∞

=



II. Chuỗi đan dấu. Tiêu chuẫn Leibnitz.

Định lý (Leibnitz)

1

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của chuỗi1 1

( 1) ( 1)2

n

nn

n n

an

∞ ∞

= =

−= −

+∑ ∑

Chuỗi không hội tụ tuyệt đối. 1

lim lim 02

nn n

an→∞ →∞

= =+

1

1

2 nn

∞

=

+ là dãy giảm. Đây là chuỗi Leibnitz và hội tụ.

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

1

1 1

( 1) ln( 1)

nn

nn n

na

n

+∞ ∞

= =

−= −∑ ∑

lnlim lim 0.nn n

na

n→∞ →∞

= =

1

ln

n

n

n

∞

=

dãy giảm (có thể k/s đạo hàm)

Chuỗi Leibnitz nên hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibnitz)



Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Điều kiện cần →khoâng Phân kỳ thô

Chuỗi dương

có

có

Sử dụng các tiêu chuẩn

hội tụ của chuỗi dương

không

đan dấu có

Leibnitz

không không

cóHội tụ

hội tụ1

nn

a+∞

=

∑ cóHT tuyệt đối

không

Đ /ngh ĩ a, các

t/chuẩn khác

II. Chuỗi luỹ thừa.

Định ngh ĩ a chuỗi luỹ thừa

Chuỗi luỹ thừa là chuỗi 0

0

( )n

n nn

a x x a R+∞

=

− ∈∑ , (1)

Khi ta có chuỗi luỹ thừa0

n

n nn

a x a R+∞

=

∈∑ , (2)0 0 x =

Cho một giá trị cụ thể ta có chuỗi số0

nn

n

a α

+∞

=∑ x α =

Định ngh ĩ a miền hội tụ chuỗi luỹ thừa

Tập hợp các giá trị của x, khi thay vào chuỗi (1) hoặc (2)

được chuỗi số hội tụ, gọi là miền hội tụ của (1) hoặc (2)



Bổ đề Abel

Nếu chuỗi hội tụ tại , thì nó hội tụ tuyệt đối

0

n

n

n

a x+∞

=

∑ 0 0 x ≠

trong khoảng .( )0 0| |,| | x x−

Định lý

Cho chuỗi . Khi đó tồn tại duy nhất thoả0

n

nn

a x+∞

=

∑ 0 R≤ ≤ +∞

1) Chuỗi hội tụ , x x R∀ < 2) Chuỗi phân kỳ , x x R∀ >

Chứng minh



Định ngh ĩ a

Số trong định lý gọi là bán kính hội tụ của chuỗi0

.n

nn

a x+∞

=

∑ R

Định lý (dấu hiệu d'Alembert để tìm bán kính hội tụ)

Cho chuỗi . Giả sử vànna x

+∞

, : 0n n n a∃ ∀ ≥ ≠0n=

1lim n

nn

a

a ρ +

→∞

= Khi đó, bán kính hội tụ 1

R =

(Qui ước: )1 1, 0

0

= ∞ =

∞Chứng minh.

Định lý (dấu hiệu Côsi- Hadamard tìm bán kính hội tụ)

Cho chuỗi . Giả sử0

n

nn

a x+∞

=

∑ lim nn

na ρ

→∞

=

Khi đó, bán kính hội tụ 1

R ρ

=

(Qui ước: )1 1

, 00

= ∞ =∞

Chứng minh



Ví dụ Tìm bán kính hội tụ của1

(2 1)!!

!

n

n

n x

n

∞

=

−∑

1 (2 1)!! !lim lim

( 1)! (2 1)!!

n

n nn

a n n

a n n ρ

+

→∞ →∞

+= = ⋅

+ −

2= 1 1

2 R

ρ ⇒ = =

Ví dụ Tìm bán kính hội tụ của1

1 1 11

2 3

n

n n

∞

=

+ + + +

∑ ⋯

1

lim n

nn

a

a ρ

+

→∞=

1 1 1 11

2 3 1lim 1 1 11

2 3

nn n

n

→∞

+ + + + +

+=+ + + +

⋯

⋯

1=1

1 R ρ

⇒ = =

Ví dụ Tìm bán kính và miền hội tụ của1

( 1) (1)2 1

n n

n

xn

∞

=

−+∑

( 1)lim lim

2 1

n

n nn

n na

n ρ

→∞ →∞

−= =

+

1lim 1

2 1n n→∞

= =+

11 R

ρ ⇒ = =

Tại có chuỗi số1 X =1 2 1n n= +∑ Phân kỳ theo so sánh

hội tụ theo Leibnitz

Miền hội tụ của đã cho 1 1 x− ≤ <

Tại có chuỗi số1 X = −1

( 1)

2 1

n

n n

∞

=

−

+∑



Ví dụ Tìm bán kính và miền hội tụ của1

5 ( 2) (1)

1

n nn

n

xn

∞

=

+ −

+∑

5 ( 3)

lim lim 1

n n

n nnn na n ρ →∞ →∞

+ −= =

+ 5=

1 1

5 R ρ ⇒ = =

n n∞ −Tại có chuỗi số

5 X =

1 ( 1) 5n

n n= + ⋅∑ Phân kỳ theo so sánh

hội tụ (tách ra tổng)

Miền hội tụ của đã cho 1 1

5 5 x− ≤ <

Tại có chuỗi1

5 X = −

1

5 ( 2)( 1)

( 1) 5

n nn

nn n

∞

=

+ −−

+ ⋅∑

Ví dụ Tìm bán kính và miền hội tụ của 21

2 ( 1)

(1)ln ( 1)

n n

n

x

n n

∞

=

+

+∑

Đặt 1 X x= + Xét chuỗi2

1 1

2 (2)

ln ( 1)

n nn

nn n

X a X

n n

∞ ∞

= =

=+

∑ ∑

2

2lim lim

ln ( 1)

n

n nn

n na

n n ρ

→∞ →∞

= =+

2= 1 1

2 R

ρ ⇒ = =

Tại có chuỗi số1

2 X = 2

1

2 1

2ln ( 1)

nn

n n n

∞

=

⋅ +

∑ hội tụ.

Tại có chuỗi số1

2 X

−= 2

1

2 1

2ln ( 1)

nn

n n n

∞

=

− ⋅

+ ∑

hội tụ

tuyệt đối

Miền hội tụ của (1) 1 1

12 2

x−

+≤ ≤ 3 1

2 2 x⇔ ≤

−≤

−



Ví dụ Tìm miền hội tụ của1

( 1) 3 - 2ln (1)

3 21

n

n

x n

nn

∞

=

+

++∑

Đặt 1 X x= + Xét chuỗi1 1

3 - 2ln (2)

3 21

nn

nn n

X na X

nn

∞ ∞

= =

=++

∑ ∑

1 3 - 2lim lim lnn n

n

na ρ

∞ ∞

= = 1= 1

1 R⇒ = =

Tại có chuỗi số1 X =1

1 3 - 2ln

3 21n

n

nn

∞

= ++∑ hội tụ.

Tại có chuỗi số1 X = − 1

( 1) 3 - 2ln

3 21

n

n

n

nn

∞

=

−

++∑

hội tụ

tuyệt đối

Miền hội tụ của (1) 1 1 1 x− ≤ + ≤ 2 0 x⇔ − ≤ ≤

Ví dụ Tìm miền hội tụ của

3 3

1

2 1 2 1( 3) (1)

n

n

n n x

n

∞

=

+ − −

+∑

Đặt 3 X x= + Xét chuỗi3 3

1 1

2 1 2 1( 3)

n n

nn n

n n x a X

n

∞ ∞

= =

+ − −+ =∑ ∑

3 32 1 2 1lim limn n

n na

+ − −= = 1=

11 R⇒ = =

n n

n→∞ →∞ ρ

Tại có chuỗi số1 X =

3 3

1

2 1 2 1

n

n n

n

∞

=

+ − −∑

Hội tụ.

Tại có chuỗi1 X = −

3 3

1

2 1 2 1( 1)

n

n

n n

n

∞

=

+ − −−∑ HT tuyệt đối

Miền hội tụ của (1) 1 3 1− ≤ + ≤ 4 2⇔ − ≤ ≤ −



Tính chất của chuỗi luỹ thừa

1) Tổng của chuỗi luỹ thừa là một hàm liên tục trên

miền hội tụ của nó.

2) Trong khoảng hội tụ: Đạo hàm của tổng bằng tổng

''∞ ∞ ∞

c c ạo m:10 0

n n n

n n nn n n

a x a x na x −

= = =

= = ∑ ∑ ∑

3) Trong khoảng hội tụ: Tích phân của tổng bằng tổng

các tích phân: ( )1

0 00 0 0 1

x x n

n nn n n

n n n

xa t dt a t dt an

+∞ ∞ ∞

= = =

= = + ∑ ∑ ∑∫ ∫

Ví dụ Tính tổng của1

3n

n

n∞

=∑

Ta có0

1, ( 1,1)

1

n

n

x x x

∞

=

= ∀ ∈ −−

∑

Đạo hàm hai vế (đạo hàm của tổng bằng tổng các

∞

21(1 )

n

n nx x

−

=

=− ∑

11

9

4 3n

n

n∞

−

=

= ∑Cho ta có:1

3 x =

Nhân hai vế cho 1/3:1

3

4 3n

n

n∞

=

= ∑




11

2

5

n

nn

n∞

+

=

⋅∑

Theo ví dụ trước: 1

21

1

(1 )

n

n

nx x

∞−

=

=−

∑

Nhân hai vế cho x, đạo hàm hai vế:

∞

1

11

875 2

81 5

n

nn

n −∞

−

=

⋅= ∑Cho ta có:

2

5 x =

Nhân hai vế cho 2/25:1

1

70 2

81 5

n

nn

n∞

+

=

⋅= ∑

31( 1)

n

n

n x x

−

=

=−

∑

Ví dụ Tính tổng của

3 2

1

3 4 5 4

nn

n n∞

=

− +

∑

Ta có:

Số hạng cuối cùng tính trực tiếp, số hạng thứ hai tính

3 2

1

3 4 5

4n

n

n n∞

=

− +∑

3 2

1 1 1

13 4 5

4 4 4n n n

n n n

n n∞ ∞ ∞

= = =

= − +∑ ∑ ∑

∞

v ụ n y ta c :

Nhân hai vế cho x, đạo hàm hai vế ta được:

t eo v ụ v a r . 2 1

31( 1)

n

n n x x

−

=

=− ∑

23 1

41

4 1

( 1)

n

n

x xn x

x

∞−

=

+ +− =

− ∑ từ đây tính ra được số hạng đầu.

Qua 3 ví dụ, ta có thể tính tổng0

( )k

nn

P n

a

∞

=

∑




1

2n

n n

∞

= ⋅∑

Xét chuỗi1

( )n

n

xS x

n

∞

=

= ∑ Miền hội tụ: 1 1 x− ≤ <

Đạo hàm ta được: '

0

( ) n

n

S x x∞

=

= ∑ 1

1 x=

−( 1,1)∀ ∈ −

( )1

dxS x

x⇒ =

−∫ ln 1 x C = − − + (0) 0 0S C = ⇒ =Vì

( ) ln 1S x x⇒ = − −

1

1

2n

n n

∞

= ⋅∑ 1

2S

=

ln |1 1/2 |= − − ln 2=


2 ( 1) 3

n

nn n n

∞

= + ⋅∑

Xét chuỗi1

1

( )( 1)

n

n

xS x

n n

+∞

=

=+

∑ Miền hội tụ: 1 1 x− ≤ ≤

Đạo hàm ta được: '( )

n x

S x∞

= ∑ ln(1 ) x= − − vdụ trước1n=

( ) ln(1 )S x x dx⇒ = − −∫ (1 ) ln(1 ) x x x C = + − − + (0) 0

0

S

C =

⇒ =

( ) (1 ) ln(1 )S x x x x⇒ = + − −

1

2

( 1) 3

n

nn n n

∞

= + ⋅∑ 2

3S

=

2 2 21 ln 1

3 3 3

= + − −

2 ln 3

3

−=




4

( 1)

( 4 3) 3

n

nn

I n n

∞

=

−=

− + ⋅∑

4

( 1)

( 3)( 1) 3

n

nn

I n n

∞

=

−=

− − ⋅∑

4 4

1 ( 1) 1 ( 1)

2 2( 3) 3 ( 1) 3

n n

n nn nn n

∞ ∞

= =

− −= −

− ⋅ − ⋅∑ ∑

3( 1) ( 1)

n N

J +∞ ∞− −

= =Đ t ta có:3 N n= − 1 ( 1)

n∞− −=

4 1( 3) 3 3n

n N n N = =− ⋅ ⋅ 127 3n

n n= ⋅

1

ln 1n

n

x x

n

∞

=

= − −∑Thay vào ta được .1

3 x

−= J

1

14 3

( 1) ( 1)

( 1) 3 3

n N

n N n N

K n N

+∞ ∞

+

= =

− −

= =− ⋅ ⋅∑ ∑Đặt , ta có:1 N n= −3

1 ( 1)

3 3

n

nn n

∞

=

− −

= ⋅∑Tương tự J, tính được K.

III. Chuỗi Taylor Maclaurint.

Định ngh ĩ a chuỗi Taylor

Hàm có đạo hàm vô hạn lần trong lân cận của

( )

00

0

( )( )

!(1)

+∞

=

−∑ n

n

n

f x x x

n

( ) y f x=

điểm . Chuỗi gọi là chuỗi Taylor0 x

của hàm tại lân cận của .( ) y f x= 0 x

Chuỗi Taylor trong lân cận của gọi là chuỗi Maclaurint.0 0= x



III. Chuỗi Taylor Maclaurint.

Định lý

Nếu hàm cùng các đạo hàm mọi cấp của nó bị( ) y f x=

chặn trong lân cận của điểm , tức là tồn tại số thực M,0 x

trong lân cận của ta có0 x

thì

( )( ), ( )

nn N f x M ∀ ∈ ≤

( )

00

0

( )( ) ( )

!

+∞

=

= −∑ n

n

n

f x f x x x

n

Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng:

0

1)!

+∞

=

= ∑ n

x

n

xe

n

1

( 1)2) ln(1 )

+∞

=

−+ = ∑

n n

n

x x

n

2 1

++∞ n

Miền hội tụ: R

Miền hội tụ: ( ]1,1−

( )03) sin 1 (2 1)! =

= −+∑

n

n x n

( )2

0

4) cos 1(2 )!

+∞

=

= −∑ nn

n

x x

n

Mi n hội tụ: R




0

16)

1

+∞

=

=−

∑ n

n

x x

0

17) ( 1)1

+∞

=

= −+

∑ n n

n

x x

0

( 1) ( ( 1))5) (1 )

! α α α α +∞

=

⋅ − − −+ = ∑

⋯

n

n

n x x

nMiền hội tụ: ( 1,1)−

Miền hội tụ: ( 1,1)−

Miền hội tụ: ( 1,1)−

( )2 1

0

8) arctan 12 1

++∞

=

= −+

∑ nn

n

x x

n

2

0

9) cosh(2 )!

+∞

=

= ∑ n

n

x x

n

Miền hội tụ: ( ]1,1−


2 1

0

10) sinh(2 1)!

++∞

=

=+

∑ n

n

x x

nMiền hội tụ: R

Ví dụ Tìm chuỗi luỹ thừa của hàm ln(2 3 ) y x= +

trong lân cận của 0 1. x =

Đặt 1 X x= − 1 x X ⇔ = +

Tìm khai tri n Maclaurint của hàm ln(2 3( 1)) X = + +

ln(5 3 ) f X = + 3 3ln5 1 ln5 ln 1

5 5

X X = + = + +

( )1

1

3 /5ln5 ( 1)

n

n

n

X f

n

∞−

=

= + −∑ ( )1

1

3 1ln5 ( 1)

5

nn

n

nn

x

n

∞−

=

⋅ −= + −

⋅∑



Ví dụ Tìm chuỗi luỹ thừa của hàm 2

2 1 x y

x x

+=

+

trong lân cận của 0 2. x =

Đặt 2 X x= −

Tìm khai triển Maclaurint của hàm 2 5 X

f +

=

2 x X ⇔ = +

1 1

2 3 f

X X = +

+ +

1 1 1 1

2 1 / 2 2 1 /3 X X = ⋅ + ⋅

+ +

0 0

1 1( 1) ( 1)

2 22 3

n nn n

n n

n n

X X f

∞ ∞

= =

= ⋅ − + ⋅ −∑ ∑

( )0

1 1 1( 1) 2

2 2 3

nn

n nn

f x∞

=

= ⋅ − + −

∑

Ví dụ Tìm chuỗi Maclaurint của hàm2

1, | | 1

(1 ) y x

x= <

−

Ta có0

1

1

n

n

x x

∞

=

=−

∑

Đạo hàm hai vế (trong miền hội tụ, đạo hàm của tổng

bằng tổng các đạo hàm )

( )

1

21

1

1

n

n

nx x

∞−

=

=−

∑0

( 1) n

n

n x∞

=

= +∑



Ví dụ Tính tích phân

1

0

ln(1 ) x I dx

x

+= ∫

2 2

2 2

1 1

1 1,

6 8(2 1)

n nn n

π π ∞ ∞

= =

= =−

∑ ∑biết rằng

11

n−∞ −

Ta có1

1

0

n

xn

I dx x

== ∫1 1

1

10

( 1)n

n

n

x dxn

−∞−

=

−= ∑∫

11

21 0

( 1)n

n

n I xn

−∞

=

−

= ∑

1

21

( 1)n

n n

−∞

=

−

= ∑ 2 21 1

1 1 1

4(2 1)n nn n

∞ ∞

= == −−∑ ∑

2

12

π

=

Ví dụ Tính tích phân1

0

1ln

1 I dx

x=

−∫

Ta có1

0

ln(1 ) I x dx= − −∫1

10

( 1)( )

nn

n

x dxn

∞

=

−= −∑∫

1

1

10

n

n

xdx

n

∞

=

= ∑∫

1

1 0

1

( 1)n

n I x

n n

∞+

== +∑ 1 ( 1)n n n=

= +∑ lim 1nS = =

Vì 1 2 ...n nS a a a= + + + 1 1 1

...1.2 2.3 .( 1)n n

= + + ++

1 1 1 1 1 11 ... 1

2 2 3 1 1nS

n n n= − + − + + − = −

+ +




2

( 1)

2

∞

=

−=

+ −∑

n

n

I n n

2

( 1)

( 1)( 2)

∞

=

−=

− +∑

n

n

I n n 2 2

1 ( 1) 1 ( 1)

3 1 3 2

∞ ∞

= =

− −= −

− +∑ ∑

n n

n nn n

1( 1) ( 1)

+∞ ∞− −= =

−∑ ∑

n N

J Đặt :1= − N n2 1= =−n N

1

1

( 1) −∞

=

−= ∑

n

n n

2

2 4

( 1) ( 1)

2

+∞ ∞

= =

− −= =

+

∑ ∑n N

n N

K

n N

Đặt :2= + N n1

4

( 1) −∞

=

−= −∑

n

n n

ln 2=

1ln 2

2= − Vậy

2 3ln

3 18 I = −

Ví dụ Tính tổng2

1 !n

n I n

∞

=

= ∑

Ta có2

1 !n

n I

n

∞

=

= ∑1 ( 1)!n

n

n

∞

=

=−

∑1

1 1

( 1)!n

n

n

∞

=

− +=

−∑

2 1

1 1

( 2)! ( 1)!n n

I n n

∞ ∞

= =

= +− −

∑ ∑0 0

1 12

! !n n

en n

∞ ∞

= =

= + =∑ ∑



Nội dung ôn tập------------------------------------------------------------------------------------------------

I) Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1,2: đạo hàm riêng và vi phân

của hàm f = f(x,y), hàm hợ p, hàm ẩn.

Ứ ng dụng đạo hàm riêng: Cực trị tự do, có điều kiện, giá trị lớ n

nhất, giá trị nhỏ nhất; công thức Taylor, Maclaurint của f = f(x,y)

II) Tích phân: 1) Tích phân kép: toạ độ Đềcác, toạ độ cực; ứng

dụng hình học của tích phân kép (diện tích, th tích, diện tích

mặt cong)

2) Tích phân bội ba: toạ độ Đềcác, toạ độ trụ, toạ độ cầu. Ứ ng

dụng hình học: tính thể tích vật thể.

3) Tích phân đườ ng: Tích phân đườ ng loại một trong mặt phẳng

và trong không gian. Ứ ng dụng hình học: tính độ dài cung, diện

tích mặt cong.

Nội dung ôn tập------------------------------------------------------------------------------------------------

Tích phân đườ ng loại hai trong mặt phẳng và trong không gian:

cách tính, công thức Green, tích phân không phụ thuộc đườ ng đi.

4) Tích phân mặt loại một: cách tính. Ứ ng dụng hình học tính

diện tích mặt cong.

Tích phân mặt loại hai: cách tính. Công thức Gauss-Ostrogradskii,

.

III) Chuỗi: 1) Chuỗi số: khảo sát sự hội tụ của chuỗi tuỳ ý, chuỗidươ ng, chuỗi đan dấu. Tính tổng của chuỗi số.

2) Chuỗi luỹ thừa: bán kính hội tụ, miền hội tụ. Dùng chuỗi luỹthừa để tính tổng của chuỗi số.

3) Chuỗi Taylor, Maclaurint: tìm chuỗi Taylor, Maclaurint của hàm

y = f(x), ứng dụng để tính tổng của chuỗi số, tính tích phân.



Đề mẫu cuối kỳ 2------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1. Cho 2 2( , ) 1 f x y xy x y= − − Tính

2

(0,0); (0,0) z

dz x y

∂

∂ ∂

Câu 2. Tìm cực trị tự do của hàm2

(1 2 2 ) y x

z e x y−

= − −

Câu 3. Tính tích phân , trong đó D là miền( )| | D

I x y dxdy= +∫∫phẳng giớ i hạn bở i 2 2

4, 0. x y x+ ≤ ≥

Câu 4. Cho 2 hàm . Tìm hàm h(y)( , ) ; ( , ) 2 y

P x y y Q x y x ye= = −

thoả h(1) = 1để tích phân ( ) ( , ) ( ) ( , )C

I h y P x y dx h y Q x y dy= +∫không phụ thuộc đườ ng đi. Vớ i h(y) tìm đượ c tính:

( ) ( , ) ( ) ( , )C

I h y P x y dx h y Q x y dy= +∫ trong đó C là đườ ng cong

đồng hồ từ A(3,0) đến B(0,2).

Câu 5. Sử dụng tích phân bội ba, tính thể tích vật thể giớ i hạn bở i2 2 2

2 x y z z+ + = 2 2

1 z x y+ + ≤và

Câu 6. Tính

2 2 2 2, 2 z x y z x y= + = − −vớ i S là vật thể giớ i hạn bở i

(2 ) (3 ) (3 )S

I x y dydz y z dxdz z x dxdy= + + + + +∫∫

Cuối k ỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn thận), thờ i gian: 90phút.

Câu 7. Tìm miền hội tụ của chuỗi2 6

0

( 2)( 1)

5 1

n

nn

n x

n

∞

+=

+ +

+∑

Câu 8. Tìm tổng của chuỗi0

2 ( 1)

!

n

n

n

n

∞

=

+∑



Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1.

• Gi ng viên Ts. Đng V ăn Vinh (11/2008)

[email protected]

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Định ngh ĩ a.

1 – Phương trình vi phân tách biến

II – Các dạng phương trình vi phân:

– ương r n v p n uy n n c p

3 – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

4 – Phương trình vi phân toàn phần

5 – Phương trình Bernoulli



I. Các khái niệm cơ bản

Cho mạch điện như hình bên.

Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt

Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry)

Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampe

Theo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t được

tính bởi công thức:

( )( ) ( )

dI t L RI t E t

dt

+ =

Ptrình vi phân cấp 1.


Định ngh ĩ a

Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc

một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.

Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi

là phương trình vi phân thường (Differential Equation)

Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi

phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE).




Định ngh ĩ a

Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân

gọi là cấp của phương trình vi phân.

'''

phương trình vi phân cấp 3.3 2

2

3 3

xd y d ye

dxdx+ =

s n y x x x x

+ =

phương trình đạo hàm riêng cấp 2

2 2

2 1u u

y x∂ ∂+ =

∂ ∂∂


Định ngh ĩ aDạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n

' ( )( , , ,..., ) 0 (1)

nF x y y y =

2 ' 3(3 ) ( 2 ) 0

y y x e y y x+ + + =Ví dụ:

Nếu giải ra được : ( ) ' ( 1)

( , , ,..., )n n

y x y y yϕ −

=( )n y

( ) ( )2 2 22 x xy dy x y dx+ = +Ví dụ:

Giải ra được:2 2

'

2

2dy x y y

dx x xy

+= =

+



I. Các khái niệm cơ bảnĐịnh ngh ĩ a

Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm

xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được

đồng nhất thức.

( ) y xϕ =

, y Cx C R= ∈

Đồ thị của nghiệm gọi là đường cong tích phân( ) y xϕ =

Ví dụ: Phương trình vi phân có nghiệm là' 10 y y− =

vì thỏa phương trình vi phân đã cho.


Nếu giải ra được :

Định ngh ĩ aDạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1

'( , , ) 0 (2)F x y y =

'( , ) (3) y x yϕ =

' y

Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1:' x

y y xe− =

2 2 2( ) ( ) 0 y x dy xy y dx+ + + =

( )2

' '1 y xy y= + +

dạng (3)

dạng (3)

phương trình Clairaut, dạng (2)




Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương

trình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên)

0 0( ) (4) y x y=

Nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong

tích phân phụ thuộc hằng số C.

Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân

đi qua điểm cho trước0 0( , ) x y

nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân:


3, y Cx C R= ∈

Ví dụ: Phương trình vi phân ' 30 y y

x− =

Xét bài toán Cauchy ' 3 0, (1) 3 y y y x

− = =

Ta có 33 1C = ⋅ 3C ⇒ =

Nghiệm của bài toán Cauchy 33 y x=




Đường cong tích phân trong vài trường hợp

33 y x=

3 y x= −

32 y x=

Nghiệm của bài toán

Cauchy là đường

cong màu đỏ.

3

y x=

Đường cong qua

điểm (1,3).


Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở , thì

Định lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy)

với mọi điểm , bài toán Côsi (3) với điều kiện( )0 0, x y D∈

2 D R⊂

c ng m x c n trong n c n c a x0

.

Ngoài ra nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trong D, thì f

y

∂

∂

nghiệm này là duy nhất.



Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C.


Định ngh ĩ a

Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1: ( , ) y x C ϕ =

Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát

bằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toán

Côsi).

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm

tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào.

Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó.


Trong chương trình này, ta giải phương trình theo

cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia

cho y không biết y có triệt tiêu không).

Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thể

tham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4.



II.1 Phương trình vi phân tách biến

Dạng ( ) ( ) 0 f x dx g y dy+ =

Cách giải: tích phân hai vế ta được

( ) ( ) f x dx g y dy C + =∫ ∫

Ví dụ Giải pt 2 2 0

1 1

dy dx

y x+ =

+ +

2 2

1 1

dy dxC

y x

⇒ + =∫ ∫+ +

arctan arctan y x C + =Nghiệm của phương trình:

arctan arctan y x C + =

arctan arctan y x C + =



Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến

Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến

Dạng 11 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 f x g y dx f x g y dy+ =

Nếu tại y = b, thì y = b là một nghiệm riêng.1( ) 0g y =

Nếu tại x = a, thì x = a là một nghiệm riêng.2 ( ) 0 f x =

Nếu , chia hai vế cho2 1( ) ( ) 0 f x g y ≠ 2 1( ) ( ) 0 f x g y ≠

Phương trình tách biến 1 2

2 1

( ) ( )0

( ) ( )

f x g ydx dy

f x g y+ =

II.1 Phương trình vi phân tách biến

Ví dụ Giải pt 2 2tan sin cos cot 0 x ydx x ydy⋅ + ⋅ =

2 2

tan cot0

cos sin

x ydx dy

x y+ =

2 2

tan cot

cos sin

x ydx dy C

x y⇒ + =∫ ∫

2 2tan cot x y C − =Nghiệm của phương trình:

Ví dụ Giải pt 2 2(1 ) (1 ) 0 x x dy y dx⋅ + − + =

2 2 0

1 (1 )

dy dx

y x x− =

+ + 2 2

1 (1 )

dy dxC

y x x⇒ − =∫ ∫

+ +

21arctan ln | | ln(1 )

2 y x x C − + + =Nghiệm của phương trình:



Ví dụ Giải phương trình 3 2

( 1) ( 2) 0 x dy y dx+ − − =

Phương trình trên được viết lại:

2 3 0

( 2) ( 1)

dy dx

y x

− =− +

Tích hân hai v 2 3

dy dxC − =

y x−

2 3( 2) ( 2) ( 1) ( 1) y d y x d x C

− −− − − + + =∫

2

1 1 1

2 2 ( 1)C

y x− + =

− +

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

Ví dụ Giải phương trình

( )

'0 xy x y y+ − =


( )1 0dy

x y ydx

+ − =

Tích hân hai v 1 y dx

d C +

− =

10

y dxdy

y x

+⇒ − =

y x

1/ 2 1/ 21 y dy x dx C

y

− − + − =

∫

2 ln | | 2 y y x C + − =




2 ln | | 2 y y x C + − =

Ví dụ Giải phương trình 2 '2 3 0

x y x y y

+ −+ =


22 3

03 2

x y

x y

dy

dx

−

+ =

1 dx+

218 0

3

x

ydx dy

− ⇒ + =

y y x

− =

218

3

x

ydx dy C

− + =

∫

( )

( )

2 / 3 18

ln 2 / 3 ln(18)

x y

C −

− =




Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến

Cách giải:

Dạng 2 '

( ), 0, 0 y f ax by c b a= + + ≠ ≠

Đặt u ax by c= + + ' '

u a by⇒ = +

'( )u a b f u− = ⋅

'( )u a b f u= + ⋅

( )du dx

a b f u⇒ =

+ ⋅

Nếu , giải tìm . Kiểm tra có phải là nghiệm.( ) 0a b f u+ ⋅ = u

Nếu , chia hai vế cho( ) 0a b f u+ ⋅ ≠ ( )a bf u+

Đây là phương trình tách biến

(biến u riêng, biến x riêng)

Ví dụ Giải phương trình ' 1 2 3

4 6 5

y

y x y

− −

= + −

' 2 3 1

2( 2 3 1) 3

x y y

x y

− − +=

− − − + −

Thay vào pt đã cho

2 3 1u x y= − − + ' '

2 3u y⇒ = − −

'2

3 2 3

u u

u

+=

− − −

' 32

2 3

uu

u= −

+

Nghiệm của phương trình vi phân là

6

2 3

udu dxu

− −⇒ =+

2 3

6

u du dxu

+⇒ = −+

2 3

6

u du dxu

+⇒ = −+

∫ ∫

2 9ln | 6 |u u x C ⇒ − + = − +

2( 2 3 1) 9 ln | 2 3 7 | x y x y x C − − + − − − + = − +



Ví dụ Giải phương trình ' 2 3

4 6 5

x y y

y

− −=

+ −

Bỏ số 1 ở tử ta vẫn được phương trình vi phân dạngđan xét.

Chú ý:

Ví dụ Giải phương trình ' 1 2 3

2 6 5

x y y

x y

− −=

+ −

Thay số 4 bởi một số khác (số 2) thì phương trìnhnày không có dạng phương trình vi phân đang xét.

II.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Dạng '( ) ( ) y p x y q x+ =

Cách giải: Nhân hai vế cho ( ) p x dxe∫

' ( ) ( ) ( )( ) ( )

p x dx p x dx p x dx y e p x y e q x e∫ ∫ ∫⋅ + ⋅ = ⋅

( ) ( )( )

p x dx p x dx y e q x e dx C ∫ ∫⋅ = ⋅ +∫

( )'

( ) ( )

( ) p x dx p x dx

y e q x e∫ ∫⋅ = ⋅

( ) ( )( )

p x dx p x dx y e q x e dx C

− ∫ ∫= ⋅ + ∫



Ví dụ Giải phương trình '

cot sin y y x x− =

( ) cot , ( ) sin p x x q x x= − =

( ) ( )( )

p x dx p x dx y e q x e dx C ∫− ∫ = ⋅ + ∫cot cot

sin xdx xdx

y e x e dx C −∫ ∫+ = ⋅ + ∫

cos cos

sin sinsin

x xdx dx

x x y e x e dx C −+ ∫ ∫

= ⋅ + ∫

sinsin

sin

x y x dx C

x

= +

∫ ( )sin x x C = +

Chú ý: Chỉ lấy một nguyên hàm của ( ) p x dx∫

Ví dụ Giải phương trình 2 '

( 1) 4 3 x y xy+ + =

2 2

4 3( ) , ( )

1 1

x p x q x

x= =

+ +

Chia hai vế cho 21 0 x + ≠

'

2 2

4 3

1 1 y y

x+ =

+ +

2

2

4( ) 2ln( 1)

1

xdx p x dx x= = +

+∫ ∫

( ) ( )

( ) p x dx p x dx

y e q x e dx C ∫− ∫

= ⋅ + ∫2 2

2ln( 1) 2ln( 1)

2

3

1

x x y e e dx C

x

+− + = ⋅ + +

∫

( )2

2

2 2 2

1 31

( 1) 1 y x dx C

x x

= ⋅ + + + +

∫ ( )3

2 2

3

( 1)

x x C

x

+ +=

+



Ví dụ Giải phương trình , y(2) = 1.'(1 )( )

x x y y e

−− + =

( ) 1, ( )1

xe

p x q x x

−

= =−

( ) ( )( ) p x dx p x dx y e q x e dx C − ∫ ∫ ⇒ = ⋅ + ∫ x−

( ) p x dx dx x= =∫ ∫−

'

1

xe

y y x

−

+ =−

1

x xe e dx C

x

−= ⋅ +

− n y e x

−= − − +

Với điều kiện y(2) = 1: [ ]21 ln |1 2 |e C

−= − − + 2

C e⇒ =

Nghiệm của phương trình:2

ln |1 | x

y e x e− = − − +

2ln |1 |

x xe x e

− −= − − +

II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

Dạng ' y y f

x

=

Cách giải: Đặt

yu

x= y xu⇒ = ' '

y u x u⇒ = + ⋅

'⋅ =

'⋅ = −

Nếu , thì giải pt này ta có các nghiệm riêng.( ) 0 f u u− =

Nếu ( ) 0 : f u u− ≠ ( )du

x f u udx

⋅ = −

( )

du dx

f u u x⇒ =

− là phương trình tách biến



Ví dụ Giải phương trình '

ln x

y x y y y

− ⋅ =

'⋅

Đặt / u y x= ' ' y u x u⇒ = + ⋅

du⋅

'ln

y y y y

x x x− = −

'ln

y y y y

x x x⇒ + =

dx

ln

du dx

u u x⇒ =

ln

du dxC

u u x⇒ = +∫ ∫

ln | ln | || ln | | lnu x C ⇒ = + ln

ln | | lnu

C

x

⇒ =

ln u C x⇒ = 1C xu e⇒ = 1C x

y xe⇒ =

Ví dụ Giải phương trình , (-1) 1 dy ydx ydy y− = =

' u⋅ =

Đặt / u y x= ' '

y u x u⇒ = + ⋅

du u x u⇒ ⋅ = −

( ) y dy ydx− = ' dy y y

dx x y⇒ = =

−

/

1 /

y x

y x=

−

2u

=

kết hợpđiều kiện

1 u− 1

dx u−

2

(1 )u du dx

xu

−⇒ =

2

(1 )u du dxC

xu

−⇒ = +∫ ∫

1ln | | ln | |u x C

u⇒ − − = −

1ln | | xu C

u⇒ + =

1 u

−

( )ln | | x y C y⇒ = −

( )1 ln1C − = −

1C ⇒ = −nghiệm pt: (1 ln | |) x y y= − +



II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp

Dạng ( )', y f x y=

với là hàm đẳng cấp bậc 0 ( )( , ) f x y ( ) ( , ) ( , )t f tx ty f x y∀ =

22

( , ) x xy

x +=

là hàm đẳng cấp bậc 0.

xy y+

( ) ( )( )

( )( ) ( )

2

2

2( , )

tx tx ty f tx ty

tx ty ty

+=

+

2

2

2( , )

x xy f x y

xy y

+= =

+

Ví dụ Giải phương trình 2 2

( ) 2 0 x y dx xydy+ − =

2 2'

2

dy x y y

dx xy

+= =

2' 1 u+

⋅ =

( )

( )

21 /

2 /

y x

y x

+=

Đặt / u y x= ' '

y u x u⇒ = + ⋅

2 21 1du u u+ −

⋅ = − =

hàm đẳng cấp bậc 0.

2u 2 2dx u u

2

2

1

udu dx

xu⇒ =

− 2

2

1

udu dxC

u⇒ = +

−∫ ∫

2ln |1 | ln | | lnu x C ⇒ − − = +

2ln | (1 ) | lnu C ⇒ − =

2(1 ) x u C ⇒ − =

2

1(1 )u C C ⇒ − = ± =



II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp

Dạng ' 1 1 1a x b y c

y f ax by c

+ +=

+ +

Trường hợp 1: 1 1 1 00

a x b y cax by c

+ + =+ + =

có duy nhất

nghiệm 0 0( , ) x y

' 1 0 1 0 1

0 0

( ) ( ) )

( ) ( )

a X x b Y y cY f

a X x b Y y c

+ + + +⇒ =

+ + + +

Đổi biến:0 0

, - X x x Y y y= − = ' ' y Y ⇒ =

1 1a X b Y

f aX bY

+ =

+

( )

( )1 1' /

/

a b Y X Y f

a b Y X

+=

+ là phương trình đẳng cấp.

II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

Trường hợp 2: 1 10

a b

a b=

Đổi biến: u ax by= + ' '

u a by⇒ = +

1 1a bk

a b= =Giả sử

' 1 1 1a x b y c + +

' 1k u c

u a b f u c

⋅ + ⇒ − = ⋅

+

phương trình tách biến

ax by c+ +

' 1 1 1a x b y cb y b f

ax by c

+ +⇒ ⋅ = ⋅

+ +

1du k u c

a b f dx u c

⋅ + = + ⋅

+



Ví dụ Giải phương trình (1 ) ( 3) 0 x y dy x y dx− + − + − =

' 3

1

dy x y y

dx x y

+ −= =

− +

1 1 1a x b y c f

ax by c

+ +=

+ +

Giải hệ: 3 0

1 0

x y

x

+ − =

− + + =( ) ( )0 0, 2,1 x y⇔ =

Đổi biến: 2, -1 X x Y y= − = ' '

y Y ⇒ =

' ( 2) ( 1) 3

1 ( 2) ( 1)

X Y Y

X Y

+ + + −⇒ =

− + + +

X Y

X Y

+=

− +

( )

( )

1 /

1 /

Y X

Y X

+=

− +

Đây là phương trình vi phân đẳng cấp.

II.4 Phương trình vi phân toàn phần

Dạng ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ =

trong đó Q P

y

∂ ∂=

∂ ∂

Cách giải: Nghiệm t ng quát của phương trình: ( , )u x y C =

0 0

0( , ) ( , ) ( , )

y x

x y

u x y P x y dx Q x y dy C = + +∫ ∫Với

trong đó là một điểm tùy ý mà P, Q liên tục.( )0 0, x y



II.4 Phương trình vi phân toàn phần

Cách khác: Nghiệm tổng quát : ( , )u x y C =

( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy= +Với

( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx g y⇒ = +∫( , )u P x y x

∂ = ∂

( , )u

Q x y y

=∂

Đạo hàm hai vế theo y (coi x là hằng)

( ) ''

( , ) ( ) y

uP x y dx g y

y

∂= +

∂ ∫ ( , )Q x y=

'( )g y⇒ ( )g y⇒ ( , )u x y⇒

Ví dụ Giải phương trình 2

(2 3) (2 3 ) 0 y dx x y dy− + + =

Đâ l à hươn trình vi hân toàn hần.

( , ) 2 3P x y y= − 2P

y

∂⇒ =

∂

2( , ) 2 3Q x y x y= + 2

Q

x

∂⇒ =

∂

2Q P

x y

∂ ∂= =

∂ ∂

Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C =

0 0

( , ) ( , ) (0, )

y x

u x y P x y dx Q y dy= +∫ ∫ 2

0 0

(2 3) 3

y x

y dx y dy= − +∫ ∫3

( , ) 2 3u x y xy x y= − +

Nghiệm tổng quát: 32 3 xy x y C − + =



Ví dụ Giải phương trình 2 2 3(3 7) 2 0 x y dx x ydy+ + =

Đâ l à hươn trình vi hân toàn h n.

2 2( , ) 3 7P x y x y= +

26

P x y

y

∂⇒ =

∂

2( , ) 2 3Q x y x y= + 26Q y x

∂⇒ =∂

26

Q P x y

x y

∂ ∂= =

∂ ∂

Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C =

0 0

( , ) ( , ) (0, )

y x

u x y P x y dx Q y dy= +∫ ∫ 2 2

0 0

(3 7) 0

y x

y dx dy= + +∫ ∫3 2( , ) 7u x y x y x= +

Nghiệm tổng quát: 3 27 x y x C + =

Phương trình vi phân toàn phần.

xy xyPe xye

y

∂= +

∂

xy xyQe xye

∂= = +

∂

N hi m t n uát: u x C =

Ví dụ Giải (2 ) (1 ) 0 xy xy

x ye dx xe dy+ + + = (0) 1 y =

0

0

0

( , ) (2 ) (1 )0 y x

xy yu x y x ye dx e dy= + + +∫ ∫ 2

00

x y xye y= + +

Nghiệm tổng quát: 2 xye y C + + =

Điều kiện 2 .1010 e C + + = 2C ⇒ =

Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu: 22

xy x e y+ + =



Phương trình vi phân toàn phần.

/

2

x yP xe

y y

∂= −

∂

/

2

x yQ xe

x y

∂= = −

∂

N hi m t n uát: u x C =

Ví dụ Giải / /

( ) (1 ) 0 x y x y x

e dx e dy y

+ + − = (0) 2 y =

0 1

/ ( , ) ( ) 1

y x x y

u x y x e dx dy= + +∫ ∫2

/

1

02

x

y x y x ye y= + +

Nghiệm tổng quát:2

/

2

x y x ye y y C + − + =

Điều kiện 02 2 / 0 2e C + = 2C ⇒ =

Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu:2

/ 2

2

x y x ye+ =

II.5 Phương trình vi phân Bernoulli

Dạng '( ) ( ) , 1, 0 y p x y q x y

α

α α + = ⋅ ≠ ≠

Cách giải: Chia hai vế cho : yα

'1

1 p x q x

y yα α

α α α −

− − = −

1 z y

α −=Đặt

'' ' (1 )

(1 ) . y

z y y y

α

α

α α

− −⇒ = − =

'(1 ) ( ) (1 ) ( ) z p x z q xα α + − ⋅ = −

Đây là phương trình vi phân tuyến tính với hàm z(x).



Phương trình Bernoulli.

−

Ví dụ Giải ' 2

ln , (1) 1 xy y y x y+ = =

' 21 ln y y y

x x+ = ⋅

Chia hai vế cho 2 : y

'

12 1 ln y x y

x x y−+ =

, a c : z y=

1

(1) 1(1) z y= =

Điều kiện 0C ⇒ =

Nghiệm pt: ln 1 z x= +

z z x

− + =

Giải pt tuyến tính: ln 1

ln 1 x

z x C x Cx x x

= + + = + +

1

1 ln y⇒ =

+

Ví dụ Giải ' 2 5 2 2 / 39 3( ) , (0) 1 y x y x x y y− = + =

' 2 / 3 '1

3 z y y

−⇒ =

Có phương trình tuyến tính:

Phương trình Bernoulli 2/3.α =

Đặt 1 1 2 / 3 1/ 3

z y y yα − −

= = =

' 2 5 23 z x z x x− = +

Nghiệm tổng quát pt đã cho:

3 3 3 3

3 3

2

3 3

x x x x x x z e e C e Ce = + = +

3 33

1/ 3 2

3

x x x y e Ce= +

Điều kiện y(0) = 1, suy ra C = 1.

3 33

1/ 3 2

3

x x x y e e= +Nghiệm bài toán Côsi:



Đường cong tích phân thỏa bài toán Côsi: y(0) = 1

•

Bài tập. Nhận dạng và giải các phương trình vi phân

'1) cosh( ) y x y= +

' 32) 0 xy y xy+ − =

2 ' 23) 0 x y xy y− + =

2 26) 1 1 0 y dx y x dy− + − =

2'

214) , (0) 11

y y y x

+= =+

3 ' 2 25) ( ) y y x y= +



'7) sin ln 0, ( / 2) y x y y y eπ − = =

8) sin cos cos sin , (0) / 4 y xdy y xdx y π = =

2 ' 29) 0 x y xy y− + =

'11)

x y y

x y

+=

−

2 2 ' '12) y x y xyy+ =

2 210) ) ( ) 0 ( xy x dx y x y dy+ + − =

2 2 2

13) (3 3 ) ( 2 ) y xy x dx x xy dy+ + = +

' 2 214) xy y x y− = +

( )2 215) 3 2 0, (0) 1 y x dy xy y− + = =

2 2

'

2 2216) , (1) 12

y xy x y y y xy x

− −= = −+ −

2'

17) 2 x

y xy xe−

+ =

218) 2 ( 6 ) 0 ydx y x dy+ − =



' 219) ( ) ( 1)

x y y x x e− = +

'20) , (1) 0

1

y xy x y

x− = =

+

( )2 2 221) 1 ( ) , (1) / 4 x x dy y yx x dx y π + = + − = −

'

2 222) , (1) 1

2

y xy x y y

y xy x

− −= = −

+ −

2'

2

124)

(1 )

y y

xy x

+=

+

'23) sin sin

2 2

x y x y y

+ −+ =

325) ( ) ydx y x dy= −

' 226) ( ) y x y= +

( )2 227) 2 0 x xy y dy y dx− − + =

2 2 228) 2 x xy y y xy=

− + −

'

29) tan xy y y

x x

−=

'

'30) 2, (1) 1

y xy y

x yy

−= =

+



'

231) 1 , (0) 1

1

y y x y

x− = + =

−

'32) (1 ) , (0) 0 x y

e yy e y+ = =

' 2 5 233) 3 , (0) 1 y x y x x y= + + =

' 2 534)

2 4

y x y

x y

− −=

− +

3 135)

2 1

' y x y

x y

− +=

− +

236) 0

1

' y y

y x

+ + =+

' 237) 4 0 xy y x y− − =

'

2

2238)

cos

y y y

x x+ =

' 239) ln xy y y x+ =

'40) ( 1) ( 1) (3 2 ) 0 x x xe y e y e− + + − + =

2 441) 0

' y

y x y− + =

' 2 342) 2 2 0 xy y x y

−+ − =



3 2 3 243) (2 ) (2 ) 0 x xy dx y x y dy− + − =

2 2 2 244)

dy ydxdx

x y x y= −

+ +

45) ( 2 ) 0 y ye dx xe y dy+ − =

22 2

46) xx y

−=

+

Documents

Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008