Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008

7/25/2019 Bi ging Ton cao cp II - ng Vn Vinh (Bin son), i Hc Bch Khoa Tp.HCM, 2008

1/249

Trng i hc Bch khoa tp. HCh MinhBmn Ton ng dng

-------------------------------------------------------------------------------------

i stuyn tnh

1

Ging vin Ts.ng Vn Vinh (9/2008)www.tanbachkhoa.edu.vn

Mn hc cung cp cc kin thc cbn ca i stuyn tnh. Sinh vinsau khi kt thc mn hc nm vng cc kin thc nn tng v bit giicc bi ton cbn: tnh nh thc, lm vic vi ma trn, bi ton gii

Mc tiu ca mn hc Ton 2

2

hphng trnh tuy n tnh, khng gian vct, nh xtuy n tnh, tm trring vc tring, a dng ton phng vchnh tc.


2/249

Sphc

Ma trn

nh thc

Hphng trnh tuyn tnh

3

Khng gian vc t

Php bin i tuyn tnh

Trring, vctring

Dng ton phng

Khng gian Euclide

Nhim vca sinh vin.

i hc y .

Lm tt ccc bi tp cho vnh.

c bi mi trc khi n lp.

4

nh gi, ki m tra.

Thi gia hc k: hnh thc trc nghim (20%)

Thi cui k: tlun (80%)


3/249

Ti liu tham kho

1.Cng Khanh, Ng Thu Lng, Nguyn Minh Hng.i stuyn tnh. NXBi hc quc gia

2. Ng Thu Lng, Nguyn Minh Hng. Bi tp ton caocp 2.

5

11.www.tanbachkhoa.edu.vn

3.Cng Khanh.i stuyn tnh. NXBH quc gia

Ni dung--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 Dngi sca sphc

0.2 Dng lng gic ca sphc

0.3 Dng mca sphc

6

0.4 Nng sphc ln ly tha

0.5 Khai cn sphc

0.6 nh l cbn cai s


4/249

0.1 Dng i sca sphc-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khng tn ti mt s thc no m bnh phng ca n l mt sm. Hay, khng tn ti s thcx sao chox2 = -1.

Bnh phng ca mt s o l mt s m. K tic chn k

th k th 17, ngi tanh ngha mt s o.

7

nh ngha si

Si,c gi ln v o, l mt s sao cho

i2

= -1

hiu mt s m bnh phng ca n b ng1.

0.1 Dng i sca sphc-----------------------------------------------------------------

nh ngha s phcChoa vb l hai s thc vi ln v o, khi z = a + bi

c gi l s phc. S thca c gi l phn thc v sthcbc gi l phno ca s phcz.

8

Tp s thc l tp hp con ca tp s phc, bi v nu cho b = 0,tha + bi = a + 0i = a l mt s phc.

Phn thc ca s phcz = a + bic k hiu lRe(z).Phno ca s phcz = a + bic k hiu lIm(z).


5/249

0.1 Dng i sca sphc-----------------------------------------------------------------

Tt c cc s c dng 0 + bi, vi b l mt s thc khc khng

c gi l s thuno. V d:i, -2i, 3i l nhng s thuno.

9

S phc ghidng z = a + bic gi l dngi s ca sphcz.

0.1 Dng i sca sphc

-----------------------------------------------------------------

nh ngha php nhn hai s phc.Cho z1= a + bi vz2= c + di l hai s phc, khi

z1.z2= (a + bi) (c + di) = (ac bd) + ( ad + bc)i

V dTm d n i s ca s hc

10

z = (2 + 5i).(3+ 2i)

Gii

z = (2 + 5i)(3 + 2i)

= 6 + 4i + 15i + 10 i2

Vy dngi s ca s phc l: z = -4 + 19i.

= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i

= 6 + 19i + 10(-1) = -4 + 19i


6/249

0.1 Dng i sca sphc-----------------------------------------------------------------

Hai sphc c gi l bng nhau nu chng c phn thc v phno tng ng bng nhau.

Ni cch khc, hai sphcz1= a1+ ib1 vz2= a2+ib2 bng nhaukhi v chkhi a1= a2 v b1= b2.

nh ngha sbng nhau

11

Choz1= 2 + 3i; z2= m + 3i.

Tm tt c cc s thcmz1= z2.

Gii

1 2 2 3 3z z i m i= + = +2

23 3

mm

= =

=

0.1 Dng i sca sphc

-----------------------------------------------------------------nh ngha php cng v php tr ca hai s phc.Choa + bi vc + di l hai s phc, khi

Php cng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Php tr: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i

V d

12

Tm ph n thc v ph no ca s phcz = (3 + 5i) + (2 - 3i).

Giiz = (3 + 5i) + (2 - 3i)

Re( ) 5; Im( ) 2.z z = =

= (3+2) + (5i 3i) = 5 + 2i.


7/249

0.1 Dng i sca sphc-----------------------------------------------------------------

Choz vw l hai s phc; v l hai s phc lin hptngng. Khi:

z w

1. l mt s thc.z z+

2. l mt s thc.z z

Tnh cht ca s phc lin hp

13

3. khi v ch khiz l mt s thc.z z=

4. z w z w+ = +

5. z w z w =

6. z z=

7. vi mi s t nhinn( )n nz z=

0.1 Dng i sca sphc

-----------------------------------------------------------------

Cng, tr, nhn hai sphc:Khi cng (tr) hai sphc, ta cng (tr) phn thc v

phn o tng ng.

14

N n a s p c, ta t c n g ng n n n a uthc i svi ch i2 = 1.


8/249

0.1 Dng i sca sphc-----------------------------------------------------------------

V d.

nh ngha s phc lin hp

S phc c gi l s phc lin hp ca sphcz =a + bi.

z a bi=

15

Tm s phc lin hp ca s phcz = (2 + 3i) (4 - 2i).

Gii.

Vy s phc lin hp l 14 8 .= z i

z = (2 + 3i) (4 - 2i) =2.4 2.2i + 3i.4 3i.2i

=8 4i + 12i 6i2

= 8 4i + 12i 6(-1) = 14 + 8i.

Lu : So snh vi sphc.Trong trng sphc khng c khi nim so snh. Ni mt cchkhc, khng thso snh hai sphcz1 = a1 + ib1 v z2 = a2 + ib2

0.1 Dng i s ca s phc------------------------------------------------------------------

16

. 1 2 2 1

ngha trong trng sphc C ngoi trchng ta nh ngha khinim so snh mt cch khc.


9/249

0.1 Dng i sca sphc-----------------------------------------------------------------

Php chia hai s phc.

1 1 12 2 2

z a ib

z a ib

+

=+

17

2 2 2 2 2( )( )z a ib a ib=

+

1 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 2

2 2 2 2 2

z a a b b b a a bi

z a b a b

+ = +

+ +

Mun chia sphc z1 cho z2, ta nhn tv mu cho sphc lin hpca mu. (Gis )2 0z

0.1 Dng i s ca s phc-----------------------------------------------------------------

V d.

Thc hin php toni

i

+

5

23

Gii.Nhn t v mu cho s phc

18

)5)(5(5 iii +=

125

210315 2

+

+++=

iii

ii

2

1

2

1

26

1313+=

+=

n p c a m u + .

Vitdngi s


10/249

0.2 Dng lng gic ca sphc---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( , ) = +M a b z a bib

y

trco

19

r

ao x

2 2 mod( )= + =r a b z

cos

:sin

=

=

a

r

b

r

trc thc


2 2mod( ) | |= = +z z a b

nh ngha Mdun ca s phcMdun ca s phcz = a + bi l mt s thc dngcnh nghanh sau:

V d

20

Tm mun ca s phcz = 3 - 4i.

Gii

Vy mod(z) =|z| = 2 2 2 23 ( 4) 5.+ = + =a ba = 3; b = -4.


11/249


Ch :

Nu coi s phcz = a + bi l mtim c ta (a, b), th2 2 2 2| | ( 0) ( 0)= + = + z a b a b

l khong cch t im (a, b)n gc ta.

21

Choz = a + bi v w = c + di.

l khong cch gia haiim (a, b) v (c,d).

2 2| | ( ) ( )z w a c b d = +


V d

Tm tt c cc s phc z t ha

| 2 3 | 5 + =z i

22

| 2 3 | 5z i + =

| (2 3 ) | 5z i =

ng trn tm (2,-3) bn knh bng 5.


12/249


V d


| | | | 4z i z i + + =

23

| | | | 4 + + =z i z i

Tp hp tt ccc im trong mt phng sao cho tngkhong cch t n hai im cho trc (0,1) v (0,-1)khng thay i bng 4 chnh l ellipse.

0.2 Dng lng gic ca sphc

----------------------------------------------------------------------------nh ngha argument ca s phc

Gc c gi l argument ca s phcz vc k hiu larg( ) .=z

Gc c gii hn trong khongLu .

24

0 2 < hoc <

Cng thc tm argument ca s phc.

2 2

2 2

cos

sin

= =

+ = = +

a a

r a b

b b

r a b

hoc tg = b

a


13/249


GiiMun:

V d

Tm dng lng gic ca s phc 1 3.= +z i

1; 3.= =a b 2 2| | 2.= = + =r z a b

25

1 1os =

23 1

= =

+

ac

r

3 3sin =

23 1 = =

+

b

r

Suy ra2

3

=

Dng lng gic:

Argument:

2 21 3 2(cos sin )3 3

= + = +z i i


V d


| 2 | | 2 |z z = +

26

| 2 | | 2 | = +z z

Tp hp tt c ccim trong mt phng sao cho khong

cch t n haiim (2,0) v (-2,0) bng nhau.

y chnh l trc tung.


14/249


Gii

V d

Tm argument ca s phc 3 .= +z i

3; 1= =a b . Ta tm gc tha:

27

3 3os =

23 1 = =

+

ac

r

1 1sin =

23 1 = =

+

b

r

Suy ra6

=

Vy arg(z) =6


2 2; 0= + + >z a bi a b

2 2

2 2 2 2( )= + +

+ +

a bz a b i

a b a b

28

cos s n = +z r

Dng lng gic ca s phc(cos sin )z r i = +


15/249

0.2 Dng lng gic ca sphc-----------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 1 1 2 2 2 2(cos sin ); (cos sin )z r i z r i = + = +

S bng nhau gia hai s phcdng lng gic

1 2

1 2 1 2 2

r rz z

k

==

= +

29

1 2 1 2 1 2 1 2(cos( ) sin( ))z z r r i = + + +

Nhn hai s phc dng lng gic: mun nhn vi nhau v

argument cng li.


Gii

V d

Tm dng lng gic, mun v argument ca s phc

(1 )(1 3).= + z i i

30

=

Dng lng gic:

2( os in ) 2( os in )4 4 3 3

= + +z c is c is

2 2[ os( ) in( )]4 3 4 3

= + + +z c is

2 2( os in ).12 12

= +z c is


16/249

0.2 Dng lng gic ca sphc-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Php chia hai s phcdng lng gic1 1 cos sin

z ri= +

1 1 1 1 2 2 2 2(cos sin ); (cos sin )z r i z r i = + = +

2 20 0. >z r

31

2 2z r

Chia hai s phc dng lng gic: mun chia cho nhau v

argument tr ra.


Gii

V d

Tm dng lng gic, mun v argument ca s phc

2 12.

3

=

+

iz

i

- -

32

2 2 33

= +

izi

Dng lng gic:7 7

2( os in ).6 6

= +z c is

cos s n

3 35 5

2(cos sin )6 6

+

=

+ i

- 5 - 52[cos( - ) sin( - )]

3 6 3 6

= +z i


17/249

0.3 Dng mca sphc---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

cos sini

e i

= +

nh l Euler (1707-1783)

33

z a bi= +

(cos sin )z r i = +

iz re

=

Dngi s ca s phc z

Dng lng gic ca s phc z

Dng m ca s phc z

0.3 Dng mca sphc---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V d

Tm dng m ca s phc sau

3= +z i

34

Dng lng gic: 2(cos sin )6 6z i= +

Dng m:5

62 i

z e

=


18/249

0.3 Nng sphc ln ly tha-----------------------------------------------------------------------------------------------------

V d. C h o z = 2 + i . T n h z5.

=+= 55 )2( iz

35

=++++++= 555555 22222 iCiCiCiCiCC

=+++++= iii 1.2.5).(4.10)1.(8.10.16.532

i4138 +=

0.3 Dng mca sphc---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V d

Biu din cc s phc sau ln mt phng phc

2 ;i

z e R

+

=

36

Mun khng thayi, suy ra tp hp ccim lng trn.

2(cos sin )z e i = +


19/249

0.3 Dng mca sphc---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V d

Biu din cc s phc sau ln mt phng phc

3;a iz e a R

+=

37

(cos3 sin3)az e i= +

Argument khng thay i, suy ra tp hp cc im l nangthng nm trong gc phn t th 2.

0.4 Nng sphc ln ly tha

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

nh ngha php nng s phc ln ly tha bc n

z a bi= +

2 2 2( )( ) ( ) (2 )z z z a bi a bi a b ab i= = + + = +

38

3 3 3 2 2 3

( ) 3 3 ( ) ( ) ...= + = + + + =z a bi a a bi a bi bi0 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n n n n n n nn n n nz a bi C a C a bi C a bi C bi

= + = + + + +

nz A iB= +


20/249

0.3 Nng s phc ln ly tha--------------------------------------------------------------

Ly tha bc n ca s phc i:

ii =1

12 =i

23

iiiii === 145

1)1(1246

=== iii

iiiii === 1347

39

===

1)1()1(224 === iii 111448

=== iii

Ly tha bc n ca i

Gi sn l s t nhin, khiin = ir, virl phn d ca n chiacho 4.

0.3 Dng mca sphc---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V d

Tnh 1987

=z i

40

1987 4 496 3= +

1987z i=

4 496 3 3i i i

+= = =


21/249

0.3 Nng sphc ln ly tha-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho z = 1 + i.

a) Tm z3;

b) Tm z100.

V d

41

3 3) (1 )a z i= + 2 31 3 3i i i= + + +

1 3 3i i= +

2 2z i= +

) Tnh tng t rat phc tap. Ta s dung cach khacb

0.3 Nng sphc ln ly tha-----------------------------------------------------------------------------------------------------

z a bi= + (cos sin )r i = +

2 2(cos2 sin2 )z z z r i = = +

3 2 3(cos3 sin3 )z z z r i = = +

1n n n= =

42

[ (cos sin )] (cos sin )n nr i r n i n + = +

Cng thc De MoivreCho r > 0, cho n l s t nhin. Khi


22/249

0.3 Nng sphc ln ly tha-----------------------------------------------------------------------------------------------------

V d. S dng cng thc de Moivres, tnh:

a) (1 + i)25 200)31( i+b)

20

17

)212()3(i

i+c)

43

Gii. a) Bc 1. Vit 1 + idng lng gic

)4

sin4

(cos21

iiz +=+=

Bc 2 . S dng cng thc de Moivres:

)4

25sin

4

25(cos)2()]

4sin

4(cos2[ 252525

iiz +=+=

Bc 3. n gin )4

sin4

(cos221225

iz +=

0.4 Khai cn sphc-----------------------------------------------------------------------------------------------------

nh ngha cn bc n ca s phc

Cn bc n ca sphc z l sphc w, sao cho wn =z, trong n l stnhin.

= =

44

2 2(cos sin ) (cos sin )n nn kk kz r i z r i

n n

+ += + = = +

vi k = 0, 1, 2, , n 1.

Cn bc n ca sphc z c ng n nghim phn bit.


23/249

0.4 Khai cn sphc-----------------------------------------------------------------------------------------------------

V d. Tm cn bc n ca cc sphc sau. Biu din cc nghim lntrn mt phng phc.

3 8a) 4 3 + ib) 8

16

1

i

i+c)

6 1

3

i

i

+

d) 5 12i+e) 1 2i+f)

45

Gii cu a)

Vit sphc dng lng gic: 8 8(cos0 sin0)i= +

Sdng cng thc:

3 0 2 0 2

8(cos0 sin 0) 2(cos sin )3 3k

k ki z i

+ ++ = = +

0,1,2.k =

0.5 nh l cbn ca i s---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

nh l c bn ca i s cho bit c s nghim ca phngtrnh m khng ch cch tm cc nghim nh th no.

Nua thc vi h s thc, chng ta c mt h qu rt quan trng

46

H qu

Nua + bi l mt nghim phc caa thcP(z) vi h s thc, tha bi cng l mt nghim phc.


24/249

0.4 Khai cn sphc-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Gii cu b)

Vit sphc dng lng gic:

Sdng cng thc:

442 26 62(cos sin ) 2(cos sin )

6 6 4 4

+ ++ = = +k

k ki z i

3 2(cos sin )6 6

+ = +i i

47

, , , .=

0z

1z

2z

3z

0.5 nh l cbn ca i s---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nh bc hc ngi c Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chngminh rng mia thc c t nht mt nghim.

48

nh l cbn cai sa thcP(z) bc n cng n nghim k c nghim bi.


25/249

0.5 nh l cbn ca i s---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(s dng h qu canh l cbn)

1) Tm a thc bc 3 vi hsthc nhnz1= 3i vz2= 2+i

V d

lm nghim.2) Tma thc bc 4 vi h s thc nhnz1= 3i vz2= 2+i

49

.

1) Khng tn ti a thc tha yu cu bi ton.

2)a thc cn tm l:

1 1 2 2( ) ( )( )( )( )P z z z z z z z z z=

( ) ( 3 )( 3 )( (2 ))( (2 ))P z z i z i z i z i= + + 2 2( ) ( 9)( 4 5)P z z z z= + +

0.5 nh l cbn ca i s---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V d. Gii cc phng trnh sau trong C.

015 =+ iza)

0122 =++ izzd)

0224 =++ zzc)

012 =++ zzb)

50

Gii. Gii phng trnh 02 =++ cbzaz

acb 42 =Bc 1. Tnh

Bc 2. Tm2,1

2 4 == acb

Bc 3. 1 21 2;2 2

b bz z

a a

+ += =


26/249

0.5 nh l cbn ca i s---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gii. Bi va thc vi h s thc v2 + i l mt nghim, theo hqu ta c2 i cng l nghim.

(s dng h qu canh l cbn)

Tm tt ccc nghim cabit 2 + i l mt nghim.

V d

4536144)(234

++= zzzzzP

51

z c p n c n z + z - =

= z2 4z + 5

P(z) c th ghidng

P(z) = (z2 4z + 5)(z2 + 9)

z2 + 9 c hai nghim 3i v3i. Vy ta tmc c 4 nghimcaP(z) l2 + i, 2 i, 3i, -3i.

0.5 nh l cbn ca i s---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gii phng trnh sau trong C.

9 0z i+ =

V d

52

9z i= 9z i = 9 cos sin

2 2z i

= +

2 22 2cos sin

9 9k

k k

z i

+ +

= +

0,1,...,8.k =


27/249

Kt lun---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Dng Lng gic ca s phc)sin(cos irz +=

1. Dngi s ca s phcbiaz +=

53

3. Nng ln ly tha)sin(cos)]sin(cos[ ninrirz nnn +=+=

4. Cn bc n ca s phc

)2sin2(cos)sin(cosn

ki

n

krzirz nknn

++

+==+=

.1,...,3,2,1 = nk

Thc hin php ton

Bi tp 1

)2(

)32(5

2

ii

iz

+=

54

Vit s phc saudng lng gic.

Bi tp 2

)3)(1( iiz ++=


28/249

Vit s phc saudngi s

Bi tp 3

5)32( iz =

Bi t 4

55


1|21| + iz

Cho |z| = 2. Chng t

Bi tp 5

6 8 13z i+ +

Bi t 6

56

Cho |z| = 1. Chng t

21 | 3 | 4z


29/249

Tm s phc z t ha

Bi tp 7

2z z i = +

Bi t 8

57

Tm s phc z t ha2

1 12 6z i z+ + =

Cho z l mt s phc khc 0. Tm mun ca s phc sau

Bi tp 9

2008z i

z

58

Xcnh tp hp ccim trong mt phng phc biu din cc sphc z t ha mn

Bi tp 10

zk

z i=

vi k l s thc dng cho trc.


30/249

Tm s phc z t ha mnng thi

Bi tp 11

11

z

z i

=

v

31

z i

z i

=

+

59

Tm s phc z t ha mn

Bi tp 12

4

1z i

z i

+ =

Tm phn thc v phno ca s phc

Bi tp 13

3 2

1

i iz

i i

+=

+

60

Gii phng trnh .

Bi tp 14

2 | | 0z z+ =


31/249

Vit dng lng gic ca mi s phc

Bi tp 15

2) sin 2sin

2

a i

+ ) cos (1 sin )b i + +

61

Tm s cn bc hai ca s phcz = - 8 + 6i.

Bi tp 16

Vit s phc saudngi s

Bi tp 17

5)32( iz =

62


1|21| + iz


32/249

Xcnh phn thc ca s phc

Bi tp 19

1

1

z

z

+

bit rng |z| = 1 v 1.z

63

Chng minh rng nu l mt s o th |z| = 1.

Bi tp 20

1

1

z

z

+

Bi tp 21

Tnh v5cos 5sin

Tnh vncos nsin

64

Bi tp 22

Tnh , vi31

1

i

iz

+

=6 z


33/249

Bi tp 23

Tnh , vi 16=z4 z

Bi tp 24

65

Tnh 3 22 i+

Bi tp 25

Tnh i41 +

Bi t 26

66

Gii phng trnh 07

=+iz


34/249

Bi tp 27

Gii phng trnh 012 =++ izz

Bi tp 28

67

Chng t rng s phc 2 + 3 i l mt nghim ca phng trnh

05216174 234 =++ zzzz

v tm tt c cc nghim cn li.

Bi tp 29

Gii phng trnh

02)22()2( 23 =+++ iziziz

bit rng phng trnh c mt nghim thuno.

68

Bi tp 30

Phn tch x3 + 27 ra tha s bc nht v bc hai.


35/249

Bi tp 31

Tnh 0 2 4 2006 2008

2008 2008 2008 2008 2008A C C C C C = + +

Bi tp 32Tnh

nA cos3cos2coscos ++++=

69

Bi tp 33

Tnh

cos cos( ) cos( ) cos( )A b b b b n = + + + + + + + +2

Vit dng lng gic ca mi s phc

Bi tp 34

2) sin 2sin2

a i

+ ) cos (1 sin )b i + +

70

Tm s phc z sao cho|z| = |z 2| v mt argument ca z 2 bng

Bi tp 35

mt argument ca z + 2 cng vi .2


36/249

Chng minh rng nu b a s phc tha mn

Bi tp 36

th mt trong ba s phi bng 1.

1 2 3, ,z z z

1 2 3

1 2 3

| | | | | |

1

z z z

z z z

= =

+ + =

71

Xcnh tp hp ccim trong mt phng phc biu din cc s

Bi tp 37

2

2

z

z

+phc z sao cho c mt argument bng .3

72


37/249

Trng i hc Bch khoa tp HCh MinhBmn Ton ng dng

-------------------------------------------------------------------------------------

Chng 1: Ma tran

Giang vien: Ts. ang Van Vinh (9/2008)

www.tanbachkhoa.edu.vn

NOI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. nh ngha ma tran va v du

II. Cac phep bien oi s cap

III. Cac phep toan oi vi ma tran

IV. Hang cua ma tran

V. Ma tran nghch ao


38/249

I. Cc khi nim cbn v v d.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

nh ngham at rn

Ma trn c mxn l bng s (thc hoc phc) hnh ch nht c mhng v n ct .

Ma trn A cmxnCt j

=

mnmjm

iniji

nj

aaa

aaa

aaa

A

......

......

......

1

1

1111

Hng i

I. Cc khi nim cbn v v d.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V d1.

32502

143

=A

y l ma trn thc c2x3.

Ma trn A c 2 hng v 3 ct.5;0;2;1;4;3 232221131211 ====== aaaaaaPhn tca A:

V d2

223

21

+=

ii

iA


39/249

Tp hp tt ccc ma trn cmxn trn trng K c k hiul Mmxn[K]

Ma trn A c m hng v n ct thng c k hiu bi

nmijaA

=

I. Cc khi nim cbn v v d.---------------------------------------------------------

Ma trn c tt c cc phn t l khngc gi l ma trn khng,k hiu 0, (aij = 0 vi mi i v j ) .

nh ngha ma trn khng

=

000

000A

I. Cac khai niem c ban va v du---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phn t khc khng u tin ca mt hng k t bn tric gi l phn t csca hng.

nh ngha ma trn dng bc thang1. Hng khng c phn tcs(nu tn ti) th nm di cng

2. Phn tcsca hng di nm bn phi (khng cngct) so vi phn tcsca hng trn.


40/249

I. Cc khi nim cbn v v d.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V d

52140

62700

23012

=A Khng l ma trnbc thang

=

5000

3000

2112

B Khng l ma trnbc thang

54

I. Cc khi nim v v dcbn.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V d

52000

41700

22031

=A

L ma trn dng bcthang

L ma trn dngbc thang

54

=

7000

3100

2021

B


41/249

I. Cc khi nim cbn v v d----------------------------------------------------------

Chuyn vca l ma trn cnXmthu c tA bng cch chuyn hng thnh ct.

( )mnij

TaA

=

nh ngha ma trn chuyn v

nmijaA

=

2393

01

42

=T

A32

904

312

=A

I. Cc khi nim cbn v v d.----------------------------------------------------------

Nu s hng v ct ca ma trn A bng nhau v bng n, th Ac gi l m a t rn vung cp n.

nh ngha ma trn vung

23

12

=A

Tp hp cc ma trn vung cp n trn trng s Kc k hiubi [K]nM


42/249


Cc phn t a11, a22,,ann to nnng cho chnh ca ma trnvung A.

2 3 1 1

3 4 0 5

2 1 3 7

2 1 6 8


Ma trn vung c gi l m a t rn tam gic trn nunh ngha ma trn tam gic trn

=

200

630

312

A

( )ij n nA a =ij 0,a i j= >

Ma trn vung c gi l ma trn tam gic dinu

nh ngha ma trn tam gic di

2 0 0

4 1 0

5 7 2

A

=

( )ij n nA a =ij 0,=


43/249

I. Cc khi nim cbn v v d.---------------------------------------------------------------

Ma trn vung Ac gi l ma trn cho nu cc phn t nmngoing chou bng khng, c ngha l ( aij = 0 , ij).

nh ngha ma trn cho

= 030

002

D

200

Ma trn cho vi cc phn t ng chou bng 1c gi lma trnn v, tc l ( aij = 0 , ij; v aii = 1 vi mi i).

nh ngha ma trn n v

=

100

010

001

I


Ma trn ba ng cho l ma trn cc phn t nm ngoi bang cho (ng cho chnh, trn n mtng, di n mtng)u bng khng.

nh ngha ma trn ba ng cho.

=

9500

1840

0713A


44/249


Ma trn vung thc A t ha aij = aji vi mi i = 1,.n v j =1,,nc gi l m a t rni xng (tc l , nu A = AT)

nh ngha ma trn i xng thc

= 741

312

A

Ma trn vung A tha aij = - aji vi mi i v j (tc l A = -AT)c gi l m a t rn phni xng.

nh ngha ma trn phn i xng

1 3

1 7

3 7

0

0

0

A

=

II. Cc php bin i scp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cc php bini scpi vi hng

; 0 i ih h1. Nhn mt hng ty vi mt skhc khng

; + i i jh h h

2. Cng vo mt hng mt hng khcc nhn vi mt sty

i jh h3.i ch hai hng ty

Tng t c ba php bini scpi vi ct.

Ch : cc php bin i s cp l cc php bin i c bn,thng dng nht!!!


45/249

II. Cc php bin i scp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mi ma trn u c tha vma trn dng bc thang bng ccphp bin i scp i vi hng.

nh l 1

Khi dng cc php bin i scp i vi hng ta thu cnhiu ma trn bc thang khc nhau

Ch

II. Cc php bin i scp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dng cc php bin i s cp i vi hng a ma trn sauy v ma trn dng bc thang.

1 1 1 2 1

2 3 1 4 5

3 2 3 7 4

1 1 2 3 1

V d

Bc 1. Bt u tct khc khng u tin tbn tri. Chnphn tkhc khng ty lm phn tcs.

1 1 1 2 1

2 3 1 4 5

3 2 3 7 4

1 1 2 3 1


46/249

1 1 1 2 1

0 1 1 0 3

0 1 0 1 1

0 2 1 1 2

4 4 1 +

h h h

2 2 12 h h h

3 3 13 h h h

Bc 2. Dng bsc i vi hng, khtt ccc phn tcn li cact.

II. Cc php bin i scp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 1 2 1

2 3 1 4 5

3 2 3 7 4

1 1 2 3 1

A

=

4 4 3

1 1 1 2 1

0 1 1 0 3

0 0 1 1 4

0 0 0 0 0

+

h h h

Bc . Che tt ccc hng thng cha phn tcsv nhnghng trn n. p dng bc 1 v 2 cho ma trn cn li

3 3 2

4 4 22

1 1 1 2 1

0 1 1 0 30 0 1 1 4

0 0 1 1 4

+

h h hh h h

II. Cc php bin i scp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nu dng cc bin i scp a A vma trn bc thangU, th U c gi l dng bc thang ca A.

nh ngha

Ct ca ma trn bc thang A c gi l ct csnu ct

nh ngha

c a p n cs

1 2 0 2

0 0 1 3

0 0 0 7

A

=


47/249

III. Cc php ton i vi ma trn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hai ma trn bng nhau nu: 1) cng c; 2) cc phn t nhngv tr tngng bng nhau (aij = bij vi mi i v j ) .

Sbng nhau ca hai ma trn

Php cng hai ma trn

Tng A + B :Cng c

Cc phn t tngng cng li

=

=

741

623;

503

421BA

=+

1244

1002BA

V d


Php nhn ma trn vi mt s.Nhn ma trn vi mt s, t a ly s nhn vi tt c cc phn

t cam at rn.

=503

421A

=842

2 A

V d

Tnh cht:a) A + B = B + A; b) (A + B) + C = A + ( B + C);

c) A + 0 = A; d) k(A + B) = kA + kB;

e) k (mA) = (km) A; f) (k + m)A = kA + mA;


48/249


Php nhn hai ma trn vi nhau

( ) ; ( )pij m i pj nA a B b = =

nmijcCAB == )( vi pjipjijiij bababac +++= ...2211

1*

* *

jb

b

tm phn tc2,3ma trn tch: ly hng 2 ca A nhn vi ct 3ca B (coi nhnhn tch v hng hai vctvi nhau)

1 2 ... ... ...

*

i i ip

pj

ijAB a a a

b

c= =

11 12 13

1 2 22 1 4 c c c

III. Cc php ton i vi ma trn---------------------------------------------------

=

=

342

103

221

;014

412BA

V d

Tnh AB

12 137 c c

21 22 234 1 0 2 4 3 c c c

11c = ( )2 1 4

1

3

2

2 1 ( 1) 3 4 2 7= + + =

21 22 23c c c


49/249

III. Cc php ton i vi ma trn---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 1 1;

4 1 3

= =

A B

V d

Tm ma trnX

, thaAX = B

.

a

.

AX=B

b

2 1 1

4 1 3

a

b

=

2 1

4 3

a b

a b

=

+

2 1

4 3

a b

a b

=

+ =

2 1,

3 3a b = =

2 / 3Vay

1/ 3X

=

III. Cc php ton i vi ma trn---------------------------------------------------

a. A(BC) = (AB)C; b. A(B + C) = AB + AC;

e. k (AB) = (kA)B = A(kB).

d. ImA = A = A Im

Tnh cht ca php nhn hai ma trn

c. (B + C)A = BA + CA;

Ch :1. Ni chung BAAB

2. ACAB = CB =

0=AB 00 == BA3.


50/249


Nng ma trn ln ly tha.

nA A A A A=

0Qui c: A I= 2A A A=

3A A A A=

nnijn

nn

n aAaxaxaxaxf

=++++= )(;...)( 011

1

n

11 1 0( ) ... .

n nn nA a A a A a IA a

= + + + +


22 1 ; ( ) 2 4 33 4

A f x x x

= = +

V d

Tnh f(A).

2( ) 2 4 3A A IA= +

2 1 2 1 2 1 1 0( ) 2 4 33 4 3 4 3 4 0 1

A

= +

1 6 8 4 3 0( ) 2

18 13 12 16 0 3A

= +

3 8( )

24 13

A

=


51/249


1 3.

0 1A

=

V d

Tnh A2; A3, t suyraA200

2 1 3 1 3

1 6

0 1 0 1 10

3 2 1 6 1 3

0 1 0 1A A A

= =

1

1

9

0

=

200 1

0 1

200 3A

=


2 3.

0 2

=

A

V d

Tnh A200

2 3 1 3/ 2

1 a

0 2 0 1 0 1

1 1Ta co:

0 1 0 1

na na

=

200200200

200

3002 2

0 2A

=


52/249


1 1.

1 1

=

A

V d

Tnh A200

2 1 1 1 1 2 2 1 1

1 1 1 1 2 2 1 1

1Suy ra: A 2n n A=

199 199200

199 1992 2

2 2A =

3 2.

2 3

=

AV d

Tnh A200

1 1 1 02 2

1 1 0 1A B I

= + = +

V B v I giao hon nhau nn ta dng nhthc Newton

12n nB B=

( ) ( ) ( )200 200 1990 1 200 200200 200 2002 2 2 ...B I C B C B C I+ = + + +

0 200 200 1 1 199 199 1 200 200200 200 2002 .2 2 .2 ...C B C B C I

= + + +

( )0 200 1 199 199 200200 200 200 2004 4 ... .42

BC C C C I = + + + +

( )( )200

4 1 1 . 2

B

I= + +


53/249

IV. Hng ca ma trn-----------------------------------------------------------------------------------------------------

nh ngha hng ca ma trn

Gi s Amxn tngng hng (ct) vi ma trn bc thangE. Khi ta gi hng ca ma trn A l s cc hng khc

r(A) = s hng khc khng ca m a t rn bc thang E

IV. Hng ca ma trn-----------------------------------------------------------------------------------------------------

V dTm hng ca m a t rn sau

1 2 1 1

2 4 2 2

3 6 3 4

A

=

Gii. 1 2 1 1

2 4 2 2

3 6 3 4

=

A

1 2 1 1

0 0 0 0

0 0 0 1

2 3

1 2 1 1

0 0 0 1

0 0 0 0

h h( ) 2r A =

2 2 1

3 3 1

2

3

h h h

h h h


54/249

IV. Hng ca ma trn-----------------------------------------------------------------------------------------------------

V dS dng bini scp, tm hng cam at rn sau

1 2 3 3

2 4 6 9

2 6 7 6

A

=

V dTm hng ca m a t rn sau

2 3 1 4

3 4 2 9

2 0 1 3

A

=

IV. Hng ca ma trn-----------------------------------------------------------------------------------------------------

V dTm tt c cc gi tr thc m sao cho r(A) =3

1 1 1 2

2 3 4 1

3 2 1

=

+

A

m m

1 1 1 2 1 1 1 2

2 3 4 1 0 1 2 3

3 2 1 0 1 3 5

=

+

A

m m m m

1 1 1 2

0 1 2 3

0 0 1 8

m m

r(A) = 3 vi mi gi trm.


55/249

IV. Hng ca ma trn-----------------------------------------------------------------------------------------------------

V dTm tt c cc gi tr thc m sao cho r(A) =2

1

11

m m

A m mm m

=

V dTm tt c cc gi tr thc ca m cho r(A) = 3.

1 1 1 1

2 3 1 4

3 3 1

A

m m

=

+

IV. Hng ca ma trn-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Tnh cht ca hng ma trn

1. r (A) = 0 A = 0

2. A = (aij)mxn r(A) min{m, n}

BSC3. Nu A B, th r (B) = r (A)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

A

=

2 2 2

0 0 0

0 0 0

( ) 1.r A =


56/249

V. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

nh ngha m a t rn nghcho

Ma trn vungAc gi l ma trn kh nghch nu tn tima trnIsao cho AB = I =BA. KhiBc gi l nghcho caA v k hiu lA-1.

2 1 3 1 2 2

5 3

=

2 25 2

2 1 3 1 1 0

5 3 5 2 0 1AB I

= = =

3 1 2 1 1 0

5 2 5 3 0 1BA I

= = =

1 3 1

5 2A B

= =

V. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Khng phi bt kma trn vungA no cng khnghch. Crt nhiu ma trn vung khng khnghch.

Ch

Ma trn khnghch c gi l ma trn khng suy bin

n ng a

Ma trn khng khnghch c gi l ma trn suy bin


57/249

V. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho ma trn vung A, cc mnh sau y tng ng

Stn ti ca ma trn khnghch.

1. Tn tiA-1 (A khng suy bin)

.

3. AX = 0 suy raX = 0.

4. A ITng ng hng

V. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trn thu c tI bng ng 1 php bin i scp cgi l ma trn scp.

nh ngha ma trn scp

V d1 0 0 1 0 0

2 2 12

2

1 0 0 1 0 0

0 1 0 2 1 0

0 0 1 0 0 1

h h hI E

+

= =

3 33

10 1 0 0 1 00 0 1 0 0 3

h h

I E

= =


58/249

V. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Mt php bin i scp i vi hng ca ma trn A ng

3 1

3

1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 0

h hI E

= =

ngha vi nhn bn tri A vi ma trn sc p tng ng.

Mt php bin i scp i vi ct ca ma trn A ng

ngha vi nhn bn phi A vi ma trn scp tng ng.

V. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

3 1

2 1 1 3 2 1

1 1 0 1 1 0

3 2 1 2 1 1

h hA B

= =

3 2 1 0 0 1 2 1 1

1 1 0 0 1 0 1 1 0

2 1 1 1 0 0 3 2 1

=


59/249

V. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1bsc hang

...n nA I I E E E A =

11 1...n nA E E E I

=

1 trenbsc hangI A

V. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Cch tm A-1

[ A|I ] [ I|A-1 ]Bsc i vi hng

V dTm nghcho (nu c ) cam at rn

=

111

321

=

101

011

001

210

110

111

100

010

001

321

221

111

]|[ IA


60/249

V. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

110

121

111

100

010

011

110

011

001

100

110

111

]|[

110

121

100

010 1=

AI

=

110

121

0121

A

V. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Tnh bng cc php scp i vi hng ca ma trn[ A|I ] ta cn sdng

phc tp ca thut ton tm A-1

n3 php nhn hoc chia

n3 2n2 + n php cng hoc tr

1

nnA

i vi hai ma trn khnghch A v B, cc khng nh sau yng.

Tnh ch t ca ma trn nghch o

(A-1)-1 = A

Tch AB l hai ma trn khnghch.

(AB)-1 = B-1A-1

(AT)-1 = (A-1)T


61/249

IV. Ma trn nghch o-----------------------------------------------------------------------------------------------------

V dTm tt c cc gi tr thc m ma trn sau kh nghch

1 1 2

2 13 2 1

=

A m

V dTm tt c cc gi tr thc ca m choAkh nghch.

1 1 1 1

2 3 1 4

3 3 1

A

m m

=

+

VI. Kt lun------------------------------------------------

Ma trn l g? Ma trn vung ? Ma trn bc thangMa trn khng? Ma trn cho? Ma trn chuyn v?

Ma trn n v? Ma trn i xng?

Cc php ton i vi ma trn: Sbng nhau Php cng

Nhn ma trn vi mt s Nhn hai ma trn vi nhau

Hng ca ma trn l g?

Lm thno tm hng ca mt ma trn cho trc?

Ma trn khnghch l g?

Lm thno tm nghch o ca mt ma trn cho trc?

Nghch o ca ma trn A l g?

Nng ln ly tha


62/249

Thc hin php tonBi tp 1

2 3 21 2 1

1 2 33 0 4

Tm f(A), bit

Bi tp 2.

23 4 5x x x= + v 2 3

A

=


63/249

Bi tp 3.

Tm ma trnX , saochoA X =B,vi2 1

=2

=3 1 3

Cho

Bi tp 4

2 12 3 4

; 1 31 2 7

3 2

A B

= =

3 2 T

A B+


64/249

a m a t rn s a u v dng bc thang bng bini scp

Bi tp 5.

1 1 2 1 1

2 1 3 4 2

3 4 7 3 1

1 3 4 7 3

Bi tp 6Tm ma trn nghcho, nu c 1 1 1

2 3 1

3 4 1

A

=


65/249

Bi tp 7a v ma trn bc thang, tm hng cam at rn

1 1 1 0

2 0 1 3

Bi tp 8

Tm ma trn A , nu

1 0 5 25 3A A

=


66/249

Bi tp 9

Tm cc gi tr ca s v t, sao cho ma trn sau li xng

2s s st

2t s s

Bi tp 10

Cho , cho A l ma trn c3xn , B cnx3.1 0 0

0 0 1P

=

a )Mt PA theo ngha bini scpi vi hngb)Mt BP theo ngha bini scpi vi ct


67/249

Bi tp 11

Cho A, B, C l cc ma trn,n gin biu thc sau

Bi tp 12

Tm ma trn nghcho ca A

2 7 1

1 4 1A

=

1 3 0


68/249

Bi tp 13

Tnh A43, bit

2 1 =

3 2

Cho l ma trn vung.

Bi tp 14

cos sin

sin cosA

=

a) Tnh A2.

b) Tnh An.


69/249

Bi tp 15

Cho hai ma trn A v B

1 1 1

3 2

=

0 0 2

= 0 1

Tm tt c ma trn X, sao cho AX = B.

Bi tp 16

Tm tt c cc gi tr msaocho(A)=2

1 1

1 1

m

A m

=

1 1 m


70/249

Bi tp 17

Bin lun t h e o m hng ca m a t rn A

1 1 2

2 1 5

m

A m

=

1 10 6 m

Bi tp 18

Tm tt c s thc m, sao cho ma trn A k h nghch

1 1 1

2 3 1A

=

3 5 m


71/249

Bi tp 19

Tm tt c cc s thc m, sao cho ma trn A k h nghch

1 1 1 2

2 3 1 4A

=

3 2 1m m +

Bi tp 20

Gi s A l ma trn kh nghch cp 5. Tm r(A) v r (A-1)


72/249


73/249


---------------------------------------------------------------

i stuyn tnh

Chng 2: nh thc

Ging vin Ts. ng Vn Vinh (9/2008)


NI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I nh nghanh thc v v d.

II Tnh cht canh thc

III Khai trin Laplace


74/249

I. nh ngha v v d---------------------------------------------------------------------

Cho l ma trn vung cp n.

nh thc ca A l mt sk hiu bi detnnij

aA

=

AaAnnij

==

)(

K hiu lnh thc thuc tA b n cch b i hnMthi v ct th j ca ma trn A;

ij( 1)i j

ijA M+

= Bi sca phn taij li lng

nh ngha bi sca phn taij

I. nh ngha v v d---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) k =2: 11 12

11 22 12 21 11 11 12 1221 22

a aA A a a a a a A a A

a a

= = = +

a) k =1: [ ] 1111 aAaA ==

nh nghanh thc bng qui np

c) k =3:

11 12 13

21 22 23 11 11 12 12 13 13

31 32 33

a a a

A a a a A a A a A a A

a a a

= = + +

d) k =n: 11 12 1

11 11 12 12 1 1*

nn n

a a aA A a A a A a A

= = + + +

...............


75/249

I. nh ngha v v d---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 2 3A A A A= + +

Tnh det (A), vi

=

423

032

321

A

V d

Gii

23

32)1()3(

43

02)1(2

42

03)1(1

312111 +++++=A

11151612 =+=A

1 1 1 111

1 2 33 0

2 3 0 ( 1) 122 4

3

( )

2 4

1A + +

== =

II. Tnh cht ca nh thc---------------------------------------------------------------------

1. C th tnh nh thc bng cch khai trin theo bt khng hoc ct ty no

*

a a a a A a A a A= = + + +

1

2

1 1 2 2

* *

j

j

j j j j nj nj

nj

a

aa A a A a A

a

= = + + +

*


76/249

II. Tnh cht ca nh thc---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tnhnh thc det (A), vi

=

004

225

313

A

V d

Khai trin theo hng th3

322231)1(4

004

225

313

)1(4

004

225

3131313

==

=

= ++

A

Gii.


2 3 3 2

3 0 1 4

V d

n n c e , v

2 0 3 2

4 0 1 5

=


77/249


Khai trin theo ct thhai

12 22 32 42 12

2 3 3 23 0 1 4

( 3) 0 0 0 3A A A A A A

= = + + + =

Gii

4 0 1 5

3 1 4

3 2 3 2 87

4 1 5

A = = =


nh thc ca ma trn tam gic bng tch cc phn t nmtrnng cho.

V d

120145)3(2

10000

94000

82500

1763040312

==

=A


78/249


Sdng bini scpi vi hngtnhnh thc

1.Nu thi ih hA B

| | | |B A=

i i jh h h + | | | |B A=

3. Nu thi jh h

A B

| | | |B A=


V d

Sdng cc php bini scp, tnhnh thc

0532

1211

=

13122623


79/249

17301010

2110

1211


Gii

1312

2623

0532

1211

||

=A

2 2 12 h h h

3 3 13 h h h

4 4 12 +h h h

1504101

211

||

=A

Khai trin theo ctu tin||A

173

101

211

)1(1 11

+

19154

11

)1(1 21

=

=

+


Bc 1. Chn 1 hng (hoc mt ct) ty ;

Bc 2. Chn mt phn tkhc khng ty ca hng (hay ct)bc 1. Dng bini scp, khtt ccc phn tkhc.

Nguyn tc tnhnh thc sdng bini scp

Bc 3. Khai trin theo hng (hay ct) chn.


80/249


V d

Sdng bini scp, tnhnh thc

=02321123

A

1314

2413

0411

0253

0232

1123

1314

2413

0232

1123

||

=A


Gii

3 3 12 +h h h

4 4 1 h h h

2 3 2

| | 5 8 0

5 5 0

A

=

411

253232

)1(1 41

+

1 35 8( 2) ( 1) 30

5 5

+= =

Khai trin theo ct s4||A


81/249


det (AT) = det (A)

det(AB) = det(A) det(B)

Ma trn c mt hng (ct) b ng khng, th det (A) = 0

Ma trn c hai hng (ct) tlnhau, th det (A) = 0

Ch :det(A+B) det(A) + det(B).

II. Tnh ch t ca nh thc---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

GisAl ma trn khnghch nxn. Khi tn ti matrn khnghch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra

Chng minh

Ma trn vungA khnghchkhi v chkhi det(A) 0.

nh l

det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) 0

1 1AA P

A

= , vi

11 12 1

21 22 2

1 2

Tn

nA

n n nn

A A A

A A AP

A A A

=

Gisdet(A) 0. Khi


82/249


| |A i =

=

*

*

*

111

111

iii

jjj

aaa

aaa

A

=

*

*

*

111

111

jjj

jjj

aaa

aaa

B

1 1 2 20,

i j i j in jna A a A a Ai j

+ + + =


Tnh cht ca ma trn nghcho

1. 1 1det( )

det( )A

A

=

1n=

Chng minh.


83/249


ChoA l ma trn khnghch. Khi

11 12 1T

nA A A

Cng thc tnh ma trn nghcho A-1

1 1AA P

A

= , vi 21 22 2

1 2

nA

n n nn

A A AP

A A A

=


V d. Tm ma trn nghcho ca

=

043

132

111

A

Gii. 02)det( =A Akhnghch

Tnh 9 bi sca cc phn t

1 111 ( 1) 4;4 0A +

= = 1 212 ( 1) 3;3 0A +

= = 1 313 ( 1) 13 4A +

= =

21 22 23 31 32 334; 3; 1; 2; 1; 1A A A A A A= = = = = =

1

4 4 21

3 3 12

1 1 1

A

=


84/249

Tnh det(A), nu

V d1

2 1 1 3

3 2 1 2

4 1 0 1

3 3 2 2

=

Tnh det(A), vi

V d2

4 1 1 0

3 2 4 1

2 1 3 1

5 1 2 3

=


85/249

Khngnh no sauyng?

V d3

2

3

2 1 3

3 2 3 1( )

3 5 2 1

6 3 2 1 9

x

xf x

x x

x

+=

+

+

a) Bc ca f(x)l 5.

b) Bc ca f(x)l 4.

c) Bc caf(x)l 3.

d) Cc cu khcu sai.

Tnhnh thc ca ma trn sau

V d4

1 0 1 i+

0 11 1

A ii i

=


86/249

Tnhnh thc

V d5

1 2 2 2 2

2 1 2 2 2

2 2 1 2 2

2 2 2 1 2

2 2 2 2 1

I =

Gii phng trnh, vi a, b, c l cc sthc.

V d6

2 3

2 3

1

1

x x x

a a a

2 3

2 3

1

1

b b b

c c c

=


87/249

Gii phng trnh

V d7

1 1 1 11 1 1 1x

1 1 1

x

n x

=

Tnhnh thc

V d8

1 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

I =


88/249

Tnhnh thc

V d9

1 2 3 n

1 2 0 0

1 2 3 0

nD

=

Tnhnh thc

V d10

3 2 2 2

2 2 3 2

2 2 2 3

nD =


89/249

Gii phng trnh trong C

V d11

2 2 3x

0

0 0 7 6

0 0 5 3

=

Tnhnh thc

V d12

7 5 0 0

0 2 7 0

0 0 0 7

nD =


90/249

Khai trin theo hng 1, ta cGii v d9 11 127 5nD A A= +

1 1 1 1

7 5 0 0 2 5 0 0

2 7 5 0 0 7 5 0

7( 1) 5( 1)0 2 7 0 0 2 7 0

0 0 0 7 0 0 0 7

nD + +

= +

1 11

7 5 0 0

2 7 5 0

7 5.2( 1) 0 2 7 0

0 0 0 7

n nD D +

=

1 2

7 10n n n

D D D

=

1 1 25 2( 5 )n n n nD D D D =

1 2 2 35 2( 5 )n n n nD D D D =

21 2 35 2 ( 5 )n n n nD D D D =

21 2 15 2 ( 5 ) *( )

nn nD D D D

=


91/249

1 27 10n n nD D D =

1 1 22 5( 2 )n n n nD D D D =

1 2 2 32 5( 2 )n n n nD D D D =

1 2 12 5 ( 2 ) * )*(n

n nD D D D

=

21 2 15 2 ( 5 ) *( )

nn nD D D D

=

1 2* **( ) & ( ) theo vanD D D

Tnhnh thc

V d13

5 3 0 0

0 2 5 0

0 0 0 5

nD =


92/249

Tnhnh thc

V d14

9 5 0 0

0 4 9 0

0 0 0 9

nD =

Tm ma trn nghcho bng cch tnhnh thc

V d15

1 2 1

2 3 1A

=

3 5 2


93/249

Tm ma trn nghcho ca ma trn sau

V d16

1 0 0 0

2 1 0 0

5 4 1 0

1 2 3 2

=

Tm tt ccc gi trca mma trn sau khnghch

V d17

1 1 2 1

2 1 5 3A

=

5 0 7

1 2 3 3

m


94/249

Tm tt ccc gi trthc ca mma trn sau khnghch.

V d18

1 2 1 1 1 12 3 2 3 2A m

=

Cho . 1) Tnh det (A-1).

V d19

1 1 1

2 3 1

3 3 5

A

= 2) Tnh det (5A)-1.

3) Tnh det (PA).


95/249

Cho

V d20

3 3[ ]; [ ];det( ) 2;det( ) 3.A M R B M R A B = =

1) Tnh det (4AB)-1.

2) Tnh det (PAB).

Cho k l s t nhin nh hn hoc bng n; i1, i2, , ikv j1, j2,, jkl nhng stnhin tha

1 ... ;1 ...i i i n j j j n < < < < < <

III. Khai trin Laplace

-----------------------------------------------------------------------------

nh thc con cp k, k hiu bi , lnh thc thuc tA bi nhng phn tgiao ca k hng i1, i2, , ikv k ct j1, j2, , jk.

1

1

,...,

,...,k

k

i i

j ja

nh nghanh thc con cpk


96/249


-----------------------------------------------------------------------------

i lng 1 111

1

1

. . . . . . ,, . . . ,

,

. . . ,

. . . , , . . . ,( 1 )n

n

n n n

n

i ii i

j j

j j i i

j jMA + + + + +

=

c gi l bi scpkca 11

,...,

,...,k

k

i i

j ja

nh l (Khai tri n Laplace)nh thc ca ma trn vung A bngtng tt c cc tchcanhthc con cp krt ra t k hng (hoc k ct) no vi bi sca chng.


-----------------------------------------------------------------------------

Tnhnh thc bng khai trin Laplace.

bc 1. Chn k hng (hoc k ct) ty

bc 2. Tnh tt c ccnh thc con cp k thuc t k hngchn. Tng cng c nh thc con cpk.k

nC

bc 3. Tm tt ccc bi scp k tngng ca ccnh thccon cpkbc 2.

bc 4.nh thc ca ma trn A bngtng tt ccc tch canhthc con cp k vi bi sca chng.


97/249


-----------------------------------------------------------------------------

V d21

Tnhnh thc ca A bng cch sdng khai trin Laplace.

2 3 1 13 0 1 0

A

=

1 0 2 0


-----------------------------------------------------------------------------

Gii

Chn k = 2, chn 2 hng: hng 2 v hng 4.

3 0 1 0

1 0 2 0

T n t i nh thc con c 2 nhn chc 1 khc khn .2 =

2,41,3

3 15

1 2a

= =

2,4 2 4 1 31,3

3 1( 1) 1

2 1A

+ + += =

2,4 2,41,3 1,3det( ) . 5.1 5A a A= = =


98/249

Tnh det(A) sdng khai trin Laplace

V d22

2 1 2 3 5

1 0 3 0 2

3 4 2 5 1

2 0 1 0 4

3 2 5 2 1

A =


----------------------------------------------------------------------------

Chn k = 2, chn 2 hng: hng 2 v hng 4.1 0 3 0 2

2 0 1 0 4

Tn ti nh thc con cp 2 nhng chc 2 khc khng.25 10C =

2,41 3

1 35a = = 2,4 1 3 2 4

1 3 5+ + +

1,3

2 2 1

2,4 2,4 2,4 2,4 2,4 2,41,3 1,3 1,5 1,5 3,5 3,5det( ) . . .A a A a A a A= + +

2,41,5

1 20

2 4a = =

2,43,5

3 210

1 4a = =


99/249


Tnhnh thc bng bi scn n! php ton.

Nu mt my tnh siu tc c th tnh t t php tontrong mt giy thtnh mtnh thc cp 25 cn 500.000nm (cn 25! , khong 1.5x1025 php ton).

Phn ln cc my tnh s dng bin i s cp tnhdet (A).

Cc php bin i s cp cn (n3+2n-3)/3 php nhn v

chia. Bt kmy tnh no cng c thtnhnh thc cp 25trong vng phn ca 1 giy, chcn khong 5300 php ton.


100/249


---------------------------------------------------------------

i stuyn tnh

Chng 3: Hphng trnh tuyn tnh

Ging vin Ts. ng Vn Vinh (9/2007)


Ni dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I H phng trnh tuyn tnh tng qut

II H hn trnh tu n tnh thu n nh t


101/249

I. Hphng trnh tuyn tnh tng qut---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

n n

n n

a x a x a x ba x a x a x b

+ + + =

+ + + =

H phng trnh tuyn tnh gm m phng trnh, n n cdng:

nh ngha h phng trnh tuyn tnh.

a11, a12, , amnc gi l h s ca h phng trnh.

1 1 2 2m m mn m ma x a x a x b

+ + + =

b1, b2, , bmc gi l h s t do ca h phng trnh.


H phng trnh tuyn tnh c gi l thun nht nu tt ccc h s t do b1, b2, , bmu bng 0.

nh ngha h thun nht.

nh ngha h khng thun nht.

Nghim ca h l mt b n s c1, c2, , cm sao cho khi thayvo tng phng trnh ca h tac nhngng thcng.

p ng r n uy n n c g ng u n n n u

nht mt trong cc h s t do b1, b2, , bm khc 0.


102/249


H tng thch

H khng tng thch

Mt h phng trnh tuyn tnh c th:

1. v nghim,

2. c duy nht mt nghim3. C v s nghim

Hai h phng trnhc gi l tngng nu chng cngchung mt tp nghim.

gii h phng trnh ta dng cc php bini h vh tngng, m h ny giin gin hn.


C 3 php bini tngngi vi h phng trnh .

Mt php binic gi l tngng nu bin mt hphng trnh v mt h tngng.

nh ngha php bini tngng

1. Nhn hai v ca phng trnh vi mt s khc khng.

3.i ch hai phng trnh.

2. Cng vo mt phng trnh mt phng trnh khc c nhn vi mt s ty .

Ch : Chng ta c th kim tra d dng rng cc php bini trn l cc php bini tngng.


103/249


0y+ =

Gii h phng trnh:

0

2 3 3

2 3

x y

x y z

x y z

+ =

+ =

=

V d

1 2

1 3h h

+ 3 3 3

3 3

y z

y z

+ =

=

2 3h h +

0

3 3 3

4 0

x y

y z

z

+ =

+ = =

Phng trnh c nghim duy nht : x = 1 ; y = - 1 ; z = 0


1 1 0

2 1 3

1 2 1

Ma trn h s:

Ma trn mrng:1 1 0 02 1 3 3

1 2 1 3


104/249


1 1 0 0

2 1 3 3

1 2 1 3

1 1 0 0 1 2

1 3

2h h

h h

+

+

2 3h h +

0 3 3 3

0 3 1 3

1 1 0 0

0 3 3 3

0 0 4 0

I. Hphng trnh tuyn tnh tng qut

n csln tngng vi ct cha phn t cs.

n t d o l tngng vi ct khng c phn t cs.

nh nghan csvn t do.

1 1 1 2 12 2 3 5 6

3 3 4 1 1

BSC HNG1 1 1 2 10 0 1 1 4

0 0 0 6 8

x1, x3, x4: l cc n cs

x2: n tdo


105/249

N u , th h AX = b v n him.( | ) ( )r A b r A

I. Hphng trnh tuyn tnh tng qut

nh l Kronecker Capelli

Nu hai ma trn m rng ca hai h phng trnh tuyn tnhtngng hng vi nhau th hai h tngng.

Nu , th h AX = b c nghim.( | ) ( )r A b r A=

Nu = s n, th h AX = b c nghim duynht.

( | ) ( )r A b r A=

Nu < s, th h A X = b c v s nghim.( | ) ( )r A b r A=

I. Hphng trnh tuyn tnh tng qut--------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Dng bin i scp i vi hng a ma trn mrngvma trn dng bc thang. Kim tra hc nghim haykhng

Sdng bin i scp i vi hng gii h

1. Lp ra ma trn mrng ( | )A A b=

3. Vit hphng trnh tng ng vi ma trn bc thang

4. Gii hphng trnh ngc tdi ln, tm n xn, sau xn-1, ., x1.


106/249

I. Hphng trnh tuyn tnh tng qut----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gii cc h phng trnh sau y vi cc ma trn m rng chotrc.

1 5 2 6 1 1 1 3

V d

. ,

0 0 5 0

a

. 0 1 2 4 ,

0 0 0 5

b

1 1 1 0

. 0 1 2 5 ,0 0 0 0

c

1 1 1 0

. 0 3 1 0 .

0 0 0 0

c

I. Hphng trnh tuyn tnh tng qut--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V d

5 2 1

4 6

3 3 9

x y z

x y z

x

+ + =

+ =

+ =

Gii h phng trnh:


107/249


3

3 5 9 2

2 3 3

y z

x y z

x

+ =

+ + =

+ + =

V d

Gii h phng trnh


Tm nghim tng qut ca hphng trnhV d

2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 6 6 4 5

3 7 8 5 8 9

3 9 12 9 6 15

x x x x

x x x x x

x x x x x

+ + =

+ + =

+ + =

n cs: 521 ,, xxx n tdo: 43 ,x

Nghim tng qut:

1

2

3

4

5

24 2 3

7 2 2

4

x

x

x

x

x

= +

= +

=

=

=


108/249


Tm nghim tng qut ca hphng trnh bit ma trn mrng

V d

1 1 1 1

2 3 4 1

3 4 2 1

I. Hphng trnh tuyn tnh tng qut-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

---


V d

1 1 2 0

2 1 5 0

3 4 5 0


109/249

I. Hphng trnh tuyn tnh tng qut-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

--


V d

1 1 1 1 2

2 1 3 0 1

3 4 2 2 5

2 3 1 1 3



1 1 2 0 1

V d

2 3 1 2 43 4 5 1 3

1 2 3 1 0


110/249

I. Hphng trnh tuyn tnh tng qut------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-

Tm tt ccc gi trca tham sm phng trnh sau c nghim

V d

1 1 1m

2

1 1 ,

1 1

m m

m m


1 1 1 1

Tm tt ccc gi trca tham sm phng trnh sau c nghimExample

2 3 1 4

3 4 1m m

+


111/249

I. I. Hphng trnh tuyn tnh tng qut

V dTm tt ccc gi trca tham sm phng trnh sau c nghim

duy nht1 1 1 1 1

2 1 3 1 2,

3 4 2 0 6

2 1 0 1m m


V dTm tt ccc gi trca tham sm phng trnh sau c nghim

duy nht

2 3 1 4 0

23 2 1 5 71 1 1m m


112/249

II. Hthun nht.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

H phng trnh tuyn tnh c gi l thun nht nu tt ccc h s t do b1, b2, , bmu bng 0.

nh ngha h thun nht.

x1 = x2 = = xn = 0.

Nghim nyc gi l nghim tm thng.

H thun nht ch c nghim duy nht bng khng khi v chkhi r (A) = n = s n .

II. Hthun nht.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

H thun nht AX = 0 c nghim khng tm thng khi v chkhi r(A) < n.

H thun nht A X = 0 , vi A l m a t rn vung c nghim khngtm thng (nghim khc 0) khi v ch khi det(A) = 0.


113/249

II. Hthun nht.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tm nghim tng qut ca h phng trnh.

V d

1 2 3 42 2 0x x x+ + + =

1 2 3 4

1 2 3 43 6 4 0

x x x x

x x x x

+ + + =

+ + + =

II. Hthun nht.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gia nhng nghim ca h

V d

2 0

2 4 0

y z

x y z

+ + =

+ + =

2 0x y z+ =

tm nghim tha biu thc y x y = 2 z


114/249

II. Hthun nht.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Gi s Almat rn ca h thun nht c 4 p hng trnh v 8n,

gi s c 5n t do. Tm r(A)?

V d

Gii thch v sao h phng trnh thun nht c m p hng trnh,nn vim


115/249

Trng H Bch khoa tp HCh Minh

Khoa Khoa hc ng dng - Bmn Ton ng dng------------------------------------------------------

ai so tuyen tnh

Chng 4: KHONG GIAN VECT

Giang vien TS. ang Van Vinh


Ni dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I nh ngha va V du

II oc lap tuyen tnh, phu thuoc tuyen tnh

III Han cua ho vect

V Khong gian con.

IV C s va so chieu


116/249

I. nh ngha va cac v du---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

==

Tp khc rngV Hai php ton

Nhn vctvi 1 sCng

8 tin

KHNG GIAN VCTV3. Tn ti vc tkhng, k hiu 0 sao chox + 0 = x

4. Mixthuc V, tn ti vect, k hiu xsao cho x + (-x) = 0

8.1x = x

5. Vi mi s v mi vectorx:, K ( ) x x x + = +

6. Vi mi s , vi mi :K x , y V ( x y ) x y + = +

7.( ) x ( x ) =

I. nh ngha v cc v d---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tnh cht ca khng gian vct

1) Vctkhng l duy nht.

2) Phn t i xng ca vctxl duy nht.

3) 0x = 0

5) -x = (-1)x

Vi mi vectxthucVv mi s :K

4) 0 0 =


117/249

I. nh ngha v cc v d----------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

}{ RxxxxV i = ),,( 3211

),,(),,(),,( 332211321321 yxyxyxyyyxxxyx +++=+=+

V d1

nh ngha php cng hai vctnhsau:

nh ngha php nhn vctvi mt sthc nhsau:

),,(),,( 321321 xxxxxx ==

=

=

=

=

33

22

11

yx

yx

yx

yx

V1 - Khng gian vct trn trngsthc3R

nh ngha sbng nhau:

I. nh ngha v cc v d---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

RcbacbxaxV ++= ,,2

2

V d2

nh ngha php cng hai vct: l php cng hai a thcthng thng, bitphthng.

nh ngha php nhn vctvi mt s: l php nhna thc

V2 - Khng gian vct ][2 xP

vi mts thcthng thng, bi tph thng.

nh ngha sbng nhau: hai vc tbng nhau nu hai athc bng nhau, tc l cc hstngng bng nhau).


118/249

I. nh ngha v cc v d---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

= Rdcba

dc

baV ,,,3

V d3

nh ngha php cng hai vct: l php cng hai ma trnbit trong chng ma trn.

V3 - Khng gian vct ][2 RM

vi mt s bit.

nh ngha sbng nhau ca hai vct: hai vc tbng nhauhai ma trn bng nhau.

I. nh ngha v cc v d----------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

}{4 1 2 3 1 2 32 3 0ix x x x R x x x= + + =( , , )

Php cng hai vctv nhn vctvi mt sging nhtrong v d1.

V d4

V4 - l KGVT

CH : C nhiu cch khc nhau nh ngha hai phpton trn V1, ( hocV2, hocV3) sao cho V1 ( hocV2, hocV3) l khng gian vct.


119/249

I. nh ngha v cc v d----------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

}{5 1 2 3 1 2 32 1i( x ,x ,x ) x R x x x= + =

Php cng hai vctv nhn vctvi mt sging nh

V d5

.

V4 -KHNGl KGVT

4 4(1,2,1) , (2,3,2)= = x V y V

4)3,5,3( Vyx =+

II. c lp tuyn tnh---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V- KGVT trn K

1 2{ , ,..., }mM x x x=

Tp con

MPTTT1 2, , , m K khngng thi bng 0

1 1 2 2 0m mx x + + + =

M c lp tuyn tnh1 1 2 2 0m mx x + + + =

1 2 0m = = =


120/249

II. c lp tuyn tnh---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V- KGVT trn K

1 2{ , ,..., }mM x x x=

Tp con

1 2, , , m K

1 1 2 2 m mx x x x = + + +

Vector x thuc Vc gi lThp tuyn tnhcaM,nu

II. c lp tuyn tnh---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

{ (1,1,1) ; ( 2 ,1, 3 ) , (1, 2 , 0 ) }M =

Trong khng gian R3cho hvc tV d5

1. Hi Mc lp tuyn tnh hay phthuc tuyn tnh?

2. Vctx = (2,-1,3) c l thp tuyn tnh ca hM?

c u . s , , , , , , =

2 2 3 0 0 0( , , ) ( , , ) + + + + + =

2 0

2 0

3 0

+ + =

+ + = + =

1 2 1

1 1 2

1 3 0

A

=

2r( A ) =

Hc v snghim, suy ra M phthuc tuyn tnh


121/249

Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008

Text of Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM,...

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO X CHO ......2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO X CHO TEEN 2K1 – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG

ĐỀ SỐ *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: ... · Cho biết hàm số y=ax3+bx2+cx+d(a

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM 8 Website: · Hỏi khoảng cách từ N đến mặt ... phẳng (SAD),(SCD),(SBC) cùng tạo với mặt phẳng (Oxy) góc 600. Tính

Bài 2. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ€¦ · SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: Video bài

Trường Đại học Bách Khoa - fme.hcmut.edu.vn TAY CHAT LUONG.pdf · Đại diện lãnh đạo về chất lượng là người chịu trách nhiệm phân công biên soạn

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT-BẬC NHẤT€¦ · TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT/BẬC NHẤT *Biên soạn: Thầy Đặng Thành

Đặng Doãn Kiên

Bài giảng Toán cao cấp III - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X ... - vted.vn€¦ · Cho hàm số yfx= có đạo hàm fx'( ) liên tục trên R và đồ thị của hàm số fx'( )trên đoạn

TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRUNG TÂM ðÀO TẠO … · (*)ðề thi ñược soạn lại bởi Vũ Hữu Tiệp K52-ðTVT-KSTN-ðHBKHN TRƯỜNG ðẠI HỌC BÁCH

Kinh Bách Dụ

đề thi 132 , tên thí sinh: Trường: - vted.vn€¦ · PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (ĐỀ SỐ 02) *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: Video bài giảng

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO ... - vted.vn€¦ · biÊn soẠn: thẦy ĐẶng thÀnh nam – pro xplus cho teen 2k1 – duy nhẤt tẠi vted.vn 1 biÊn soẠn:

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – … · Cho đồ thị của hai hàm số y=ax,y=bx với 0

ĐỀ THI ONLINE - TỶ SỐ THỂ TÍCH ĐỀ SỐ 02 · BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: 1 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: 1 ĐỀ THI ONLINE –

ĐỀ THI ONLINE - BÀI TOÁN THỰC TẾ LOGARIT Ề THI ONLINE – BÀI TOÁN THỰC TẾ LOGARIT *Biên soạn: Thầy – Đặng Thành Nam – website: ... mũ so với độ

SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI … · biÊn soẠn: thẦy ĐẶng thÀnh nam pro xmax cho teen 2k – duy nhẤt tẠi vted.vn 3

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: 1€¦ · BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Website: 1 ... Một chiếc xe buýt du lịch có 80 chỗ ngồi. Kinh nghiệm

CHUYỆN BÁCH DỤ Biên soạn: Pháp sư Thánh Pháp Việt dịch ... · nhưng, kiến thức của tác giả còn nông cạn, văn chương vụng về, chưa lột tả

MỞ ĐẦU TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ · 2017-09-12 · biÊn soẠn: thẦy ĐẶng thÀnh nam pro x cho teen 2k – duy nhẤt tẠi vted.vn 1 biÊn soẠn: thẦy

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO XMAX CHO TEEN 2K … · cÁc khoÁ hỌc mÔn toÁn dÀnh cho 2k – 2k1 – 2k2 – 2k3 tẠi vted . biÊn soẠn: thẦy ĐẶng thÀnh

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO XMAX ... - vted.vn · 2 biÊn soẠn: thẦy ĐẶng thÀnh nam pro xmax cho teen 2k – duy nhẤt tẠi vted.vn 2 biÊn soẠn: thẦy

VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC ĐƠN …€¦ · 2 biÊn soẠn: thẦy ĐẶng thÀnh nam pro x dÀnh cho teen 2k – duy nhẤt tẠi vted.vn

VẬN DỤNG CAO GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ - vted.vn · 2 biÊn soẠn: thẦy ĐẶng thÀnh nam pro xmax cho teen 2k – duy nhẤt tẠi vted.vn 2 biÊn soẠn: thẦy ĐẶng

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO X CHO TEEN …(3) Mối quan hệ giữa điểm cực trị và đồ thị của hàm số (cơ bản) (4) Tóm tắt định nghĩa

MICROSOFT WORD · Ngọc, đại học Bách Khoa, HN . – Microsoft Word: hương trình soạn thảo văn bản chuyên nghiệp. – OpenOffice –hương trình soạn thảo

› upload › exam › images › ... · ĐỀ THI ONLINE – SỐ PHỨC (ĐỀ SỐ 02) - VtedĐỀ THI ONLINE – SỐ PHỨC (ĐỀ SỐ 02) *Biên soạn: Thầy Đặng Thành

Bách gia tính

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO X CHO TEEN 2K1 …

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X ... - vted.vn · Cho đồ thị của hai hàm số y=ax,y=bx với 0

Documents

Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008

Text of Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM,...