Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008

7/25/2019 Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008

http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-toan-cao-cap-ii-dang-van-vinh-bien-soan-dai 1/249

Trườ ng Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứ ng dụng-------------------------------------------------------------------------------------

Đại số tuyến tính

1

• Giả ng viên Ts. Đặ ng V ă n Vinh (9/2008)

www.tanbachkhoa.edu.vn

Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính. Sinh viên

sau khi k ết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải

các bài toán cơ bản: tính định thức, làm việc vớ i ma trận, bài toán giải

Mục tiêu của môn học Toán 2

2

hệ phươ ng trình tuy n tính, không gian véctơ , ánh xạ tuy n tính, tìm trị riêng véc tơ riêng, đưa dạng toàn phươ ng về chính tắc.



Số phức

Ma trận

Định thức

Hệ phươ ng trình tuyến tính

3

Không gian véc tơ

Phép biến đổi tuyến tính

Trị riêng, véctơ riêng

Dạng toàn phươ ng

Không gian Euclide

Nhiệm vụ của sinh viên.

Đi học đầy đủ.

Làm tất cả các bài tập cho về nhà.

Đọc bài mớ i trướ c khi đến lớ p.

4

Đánh giá, ki m tra.

Thi giữa học k ỳ: hình thức trắc nghiệm (20%)

Thi cuối k ỳ: tự luận (80%)



Tài liệu tham khảo

1. Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng.

Đại số tuyến tính. NXB Đại học quốc gia

2. Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao

cấp 2.

5

11. www.tanbachkhoa.edu.vn

3.Đỗ Công Khanh. Đại số tuyến tính. NXB ĐH quốc gia

Nội dung

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.1 – Dạng đại số của số phứ c

0.2 – Dạng lượ ng giác của số phứ c

0.3 – Dạng mũ của số phứ c

6

0.4 – Nâng số phứ c lên lũy thừ a

0.5 – Khai căn số phứ c

0.6 – Định lý cơ bản của Đại số



0.1 Dạng đại số của số phức-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Không tồn tại một số thực nào mà bình phươ ng của nó là một sốâm. Hay, không tồn tại số thực x sao cho x2 = -1.

Bình phươ ng của một số ảo là một số âm. Ký tự i đượ c chọn để ký

Ở thế k ỷ thứ 17, ngườ i ta định ngh ĩ a một số ảo.

7

Định ngh ĩ a số i

Số i, đượ c gọi là đơ n vị ảo, l à một số sao cho

i2

= -1

hiệu một s mà bình phươ ng của nó b ng –1.

0.1 Dạng Đại số của số phức

-----------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a số phức

Cho a và b là hai số thực và i là đơ n vị ảo, khi đó z = a + bi

đượ c gọi là số phức. Số thực a đượ c gọi là phần thực và sốthực b đượ c gọi là phần ảo của số phức z.

8

Tập số thực l à tập hợ p con của tập số phức, bở i v ì nếu cho b = 0,

thì a + bi = a + 0i = a là một số phức.

Phần thực của số phức z = a + bi đượ c ký hiệu là Re(z).Phần ảo của số phức z = a + bi đượ c ký hiệu là Im(z).




-----------------------------------------------------------------

Tất cả các số có dạng 0 + bi, vớ i b là một số thực khác không

đượ c gọi là số thuần ảo. Ví dụ: i, -2i, 3i là những số thuần ảo.

9

Số phức ghi ở dạng z = a + bi đượ c gọi là dạng đại số của sốphức z.


-----------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a phép nhân hai số phức.

Cho z1 = a + bi và z2 = c + di là hai số phức, khi đó

z1.z2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i

Ví dụTìm d n đ i số của số hức

10

z = (2 + 5i).(3+ 2i)

Giải

z = (2 + 5i)(3 + 2i)

= 6 + 4i + 15i + 10 i2

Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i.

= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i

= 6 + 19i + 10(-1) = -4 + 19i




-----------------------------------------------------------------

Hai số phức đượ c gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần

ảo tươ ng ứng bằng nhau.

Nói cách khác, hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 +ib2 bằng nhaukhi và chỉ khi a1 = a2 và b1 = b2.

Định ngh ĩ a sự bằng nhau

11

Cho z1 = 2 + 3i; z2 = m + 3i.

Tìm tất cả các số thực m để z1 = z2.

Giải

1 2 2 3 3 z z i m i= ⇔ + = +2

23 3

mm

=⇔ ⇔ =

=


-----------------------------------------------------------------Định ngh ĩ a phép cộng và phép trừ của hai số phức.

Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đó

Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Phép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i

Ví dụ

12

Tìm ph n thực và ph n ảo của s phức z = (3 + 5i) + (2 - 3i).

Giải

z = (3 + 5i) + (2 - 3i)

Re( ) 5; Im( ) 2. z z⇒ = =

= (3+2) + (5i – 3i) = 5 + 2i.




-----------------------------------------------------------------

Cho z và w là hai số phức; và là hai số phức liên hợ ptươ ng ứng. Khi đó:

z w

1. là một số thực. z z+

2. là một số thực. z z⋅

Tính chất của số phức liên hợ p

13

3. khi và chỉ khi z là một số thực. z z=

4. z w z w+ = +

5. z w z w⋅ = ⋅

6. z z=

7. vớ i mọi số tự nhiên n( )n n z z=


-----------------------------------------------------------------

Cộng, trừ , nhân hai số phứ c:

Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và

phần ảo tươ ng ứng.

14

N n a s p c, ta t ực n g ng n ư n n a u

thức đại số vớ i chú ý i2 = −1.




-----------------------------------------------------------------

Ví dụ.

Định ngh ĩ a số phức liên hợ p

Số phức đượ c gọi là số phức liên hợ p của sốphức z = a + bi.

z a bi= −

15

Tìm số phức liên hợ p của số phức z = (2 + 3i) (4 - 2i).

Giải.

Vậy số phức liên hợ p là 14 8 .= − z i

z = (2 + 3i) (4 - 2i) = 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i

= 8 – 4i + 12i – 6i

2

= 8 – 4i + 12i – 6(-1) = 14 + 8i.

Lư u ý: So sánh vớ i số phứ c.

Trong trườ ng số phức không có khái niệm so sánh. Nói một cách

khác, không thể so sánh hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 + ib2

0.1 Dạng Đại s của s phức

------------------------------------------------------------------

16

. 1 2 2 1

ngh ĩ a trong trườ ng số phức C ngoại trừ chúng ta định ngh ĩ a kháiniệm so sánh một cách khác.




-----------------------------------------------------------------

Phép chia hai số phức.

1 1 12 2 2

z a ib

z a ib

+

=+

−

17

2 2 2 2 2( )( ) z a ib a ib=

+ −

1 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 2

2 2 2 2 2

z a a b b b a a bi

z a b a b

+ −= +

+ +

Muốn chia số phức z1 cho z2, ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợ pcủa mẫu. (Giả sử )2 0 z ≠

0.1 Dạng Đại s của s phức

-----------------------------------------------------------------

Ví dụ.

Thực hiện phép toáni

i

−

+

5

23

Giải.

Nhân tử và mẫu cho số phức

18

)5)(5(5 iii +−

=

−

125

210315 2

+

+++=

iii

ii

2

1

2

1

26

1313+=

+=

n ợ p c a m u + .

Viết ở dạng Đại số



0.2 Dạng lượ ng giác của số phức---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( , )• ≡ = + M a b z a bib

y

trục ảo

19

r

ao x

2 2 mod( )= + =r a b z

cos

:sin

ϕ

ϕ ϕ

=

=

a

r

b

r

trục thực

0.2 Dạng lượ ng giác của số phức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2mod( ) | |= = + z z a b

Định ngh ĩ a Môdun của số phức

Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dươ ng đượ c định ngh ĩ anhư sau:

Ví dụ

20

Tìm môđun của số phức z = 3 - 4i.

Giải

Vậy mod( z) = |z| = 2 2 2 23 ( 4) 5.+ = + − =a ba = 3; b = -4.




Chú ý:

Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm c ó tọa độ (a, b), thì

2 2 2 2| | ( 0) ( 0)= + = − + − z a b a b

là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ.

21

Cho z = a + bi và w = c + di.

là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d).

2 2| | ( ) ( ) z w a c b d − = − + −


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Tìm tất cả các số phức z t hỏa

| 2 3 | 5− + = z i

22

| 2 3 | 5 z i− + =

| (2 3 ) | 5 z i⇔ − − =

đườ ng tròn tâm (2,-3) bán kính bằng 5.




Ví dụ


| | | | 4 z i z i− + + =

23

| | | | 4− + + = z i z i

Tập hợ p tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho tổng

khoảng cách từ đó đến hai điểm cho trướ c (0,1) và (0,-1)

không thay đổi bằng 4 chính là ellipse.


----------------------------------------------------------------------------Định ngh ĩ a argument của số phức

Góc đượ c gọi là argument của số phức z và đượ c ký hiệu làϕ

arg( ) .ϕ = z

Góc đượ c giớ i hạn trong khoảngϕ

Lưu ý.

24

0 2ϕ π ≤ < hoặc π ϕ π − < ≤

Công thức tìm argument của số phức.

2 2

2 2

cos

sin

ϕ

ϕ

= =

+ = = +

a a

r a b

b b

r a b

hoặc tgϕ = b

a




Giải

Môđun:

Ví dụ

Tìm dạng lượ ng giác của số phức 1 3.= − + z i

1; 3.= − =a b 2 2| | 2.= = + =r z a b

25

1 1os =

23 1ϕ

− −= =

+

ac

r

3 3sin =

23 1ϕ = =

+

b

r

Suy ra2

3

π ϕ =

Dạng lượ ng giác:

Argument:

2 21 3 2(cos sin )3 3

π π = − + = + z i i


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ


| 2 | | 2 | z z− = +

26

| 2 | | 2 |− = + z z

Tập hợ p tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng

cách từ đó đến hai điểm (2,0) và (-2,0) bằng nhau.

Đây chính là trục tung.




Giải

Ví dụ

Tìm argument của số phức 3 .= + z i

3; 1= =a b . Ta tìm góc thỏa:ϕ

27

3 3os =

23 1ϕ = =

+

ac

r

1 1sin =

23 1ϕ = =

+

b

r

Suy ra6

π ϕ =

Vậy arg( z) =6

π


2 2; 0= + + > z a bi a b

2 2

2 2 2 2( )= + +

+ +

a b z a b i

a b a b

28

cos s nϕ ϕ = + z r

Dạng lượ ng giác của số phức(cos sin ) z r iϕ ϕ = +



0.2 Dạng lượ ng giác của số phức-----------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 1 1 2 2 2 2(cos sin ); (cos sin ) z r i z r iϕ ϕ ϕ ϕ = + = +

Sự bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượ ng giác

1 2

1 2 1 2 2

r r z z

k ϕ ϕ π

== ⇔

= +

29

1 2 1 2 1 2 1 2(cos( ) sin( )) z z r r iϕ ϕ ϕ ϕ ⋅ = + + +

Nhân hai số phức ở dạng lượ ng giác: môđun nhân vớ i nhau và

argument cộng lại.


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải

Ví dụ

Tìm dạng lượ ng giác, môđun và argument của số phức

(1 )(1 3).= + − z i i

30

= −

Dạng lượ ng giác:

2( os in ) 2( os in )4 4 3 3

π π π π − −= + ⋅ + z c is c is

2 2[ os( ) in( )]4 3 4 3

π π π π − −= + + + z c is

2 2( os in ).12 12

π π − −= + z c is



0.2 Dạng lượ ng giác của số phức-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Phép chia hai số phức ở dạng lượ ng giác

1 1 cos sin z r

i= − + −

1 1 1 1 2 2 2 2(cos sin ); (cos sin ) z r i z r iϕ ϕ ϕ ϕ = + = +

2 20 0.≠ ⇔ > z r

31

2 2 z r

Chia hai số phức ở dạng lượ ng giác: môđun chia cho nhau và

argument trừ ra.


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải

Ví dụ

Tìm dạng lượ ng giác, môđun và argument của số phức

2 12.

3

−=

− +

i z

i

- -π π

32

2 2 33

−=− +

i zi

Dạng lượ ng giác:7 7

2( os in ).6 6

π π − −= + z c is

cos s n

3 35 5

2(cos sin )6 6

π π

+

=

+ i

- 5 - 52[cos( - ) sin( - )]

3 6 3 6

π π π π = + z i



0.3 Dạng mũ của số phức---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

cos sini

e i

ϕ

ϕ ϕ = +

Định lý Euler (1707-1783)

33

z a bi= +

(cos sin ) z r iϕ ϕ = +

i z re

ϕ =

Dạng đại số của số phức z

Dạng lượ ng giác của số phức z

Dạng mũ của số phức z

0.3 Dạng mũ của số phức

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Tìm dạng mũ của số phức sau

3= − + z i

34

Dạng lượ ng giác: 2(cos sin )6 6 z i= +

Dạng mũ:

5

62 i

z e

π

=



0.3 Nâng số phức lên lũy thừa-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. C h o z = 2 + i . T í n h z5.

=+= 55 )2( i z

35

=++++++= 555555 22222 iC iC iC iC iC C

=++−+−++= iii 1.2.5).(4.10)1.(8.10.16.532

i4138 +−=


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức

2 ;i

z e Rϕ

ϕ +

= ∈

36

Môđun không thay đổi, suy ra tập hợ p các điểm là đườ ng tròn.

2(cos sin ) z e iϕ ϕ = +



0.3 Dạng mũ của số phức---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức

3;a i

z e a R+

= ∈

37

(cos3 sin3)a z e i= +

Argument không thay đổi, suy ra tập hợ p các điểm là nửa đườ ng

thẳng nằm trong góc phần tư thứ 2.

0.4 Nâng số phức lên lũy thừa

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n

z a bi= +

2 2 2( )( ) ( ) (2 ) z z z a bi a bi a b ab i= ⋅ = + + = − +

38

3 3 3 2 2 3

( ) 3 3 ( ) ( ) ...= + = + + + = z a bi a a bi a bi bi

0 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )n n n n n n nn n n n z a bi C a C a bi C a bi C bi

− −= + = + + + +

n z A iB= +



0.3 Nâng s phức lên lũy thừa

--------------------------------------------------------------

Lũy thừa bậc n của số phức i:

ii =1

12−=i

23

iiiii =⋅=⋅= 145

1)1(1246

−=−⋅=⋅= iii

iiiii −=−⋅=⋅= 1347

39

−=⋅−=⋅=

1)1()1(224=−⋅−=⋅= iii 111448

=⋅=⋅= iii

Lũy thừa bậc n của i

Giả sử n là số tự nhiên, khi đó in = ir , vớ i r là phần dư của n chiacho 4.


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Tính 1987

= z i

40

1987 4 496 3= ⋅ +

1987 z i=

4 496 3 3i i i

⋅ += = = −




Cho z = 1 + i.

a) Tìm z3;

b) Tìm z100.

Ví dụ

41

3 3) (1 )a z i= + 2 31 3 3i i i= + + +

1 3 3i i= + − −

2 2 z i= − +

) Tính töông töï raát phöùc taïp. Ta söû duïng caùch khaùcb


z a bi= + (cos sin )r iϕ ϕ = +

2 2(cos2 sin2 ) z z z r iϕ ϕ = ⋅ = +

3 2 3(cos3 sin3 ) z z z r iϕ ϕ = ⋅ = +

1n n n−= ⋅ =

42

[ (cos sin )] (cos sin )n nr i r n i nϕ ϕ ϕ ϕ + = +

Công thức De Moivre

Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó




Ví dụ. Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:

a) (1 + i)25 200)31( i+−b)

20

17

)212()3(i

i+−c)

43

Giải. a) Bướ c 1. Viết 1 + i ở dạng lượ ng giác

)4

sin4

(cos21 π π

ii z +=+=

Bướ c 2 . Sử dụng công thức de Moivre’s:

)4

25sin

4

25(cos)2()]

4sin

4(cos2[ 252525 π π π π

ii z +=+=

Bướ c 3. Đơ n giản )4

sin4

(cos221225 π π i z +=

0.4 Khai căn số phức-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a căn bậc n của số phức

Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z, trong

đó n là số tự nhiên.

= =

44

2 2(cos sin ) (cos sin )n nnk

k k z r i z r in n

ϕ π ϕ π ϕ ϕ + += + = = +

vớ i k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt.



0.4 Khai căn số phức-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diễn các nghiệm lên

trên mặt phẳng phức.

3 8a) 4 3 + ib) 8

16

1

i

i+c)

6 1

3

i

i

+

−d) 5 12i+e) 1 2i+f)

45

Giải câu a)

Viết số phức ở dạng lượ ng giác: 8 8(cos0 sin0)i= +

Sử dụng công thức:

3 0 2 0 2

8(cos0 sin 0) 2(cos sin )3 3k

k k i z i

π π + ++ = = +

0,1,2.k =

0.5 Định lý cơ bản của Đại số---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý cơ bản của Đại số cho biết đượ c số nghiệm của phươ ng

trình mà không chỉ cách tìm các nghiệm đó như thế nào.

Nếu đa thức vớ i hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng

46

Hệ quả

Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P(z) vớ i hệ số thực, thì

a – bi cũng là một nghiệm phức.



0.4 Khai căn số phức-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải câu b)

Viết số phức ở dạng lượ ng giác:

Sử dụng công thức:

442 26 62(cos sin ) 2(cos sin )

6 6 4 4

π π

π π π π + ++ = = +k

k k i z i

3 2(cos sin )6 6

π π + = +i i

47

, , , .=

0 z•

1 z•

2 z•

3 z•


Nhà bác học ngườ i Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng

minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm.

48

Định lý cơ bản của Đại sốĐa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm k ể cả nghiệm bội.




(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)

1) Tìm đa thức bậc 3 vớ i hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i

Ví dụ

làm nghiệm.

2) Tìm đa thức bậc 4 vớ i hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i

49

.

1) Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán.

2) Đa thức cần tìm là:

1 1 2 2( ) ( )( )( )( )P z z z z z z z z z= − − − −

( ) ( 3 )( 3 )( (2 ))( (2 ))P z z i z i z i z i= − + − + − −

2 2( ) ( 9)( 4 5)P z z z z= + − +


Ví dụ. Giải các phươ ng trình sau trong C.

015=−+ i za)

0122=−++ i z zd)

0224=++ z zc)

012=++ z zb)

50

Giải. Giải phươ ng trình 02=++ cbzaz

acb 42−=∆Bướ c 1. Tính

Bướ c 2. Tìm2,1

2 4 ∆=−=∆ acb

Bướ c 3. 1 21 2;

2 2

b b z z

a a

− +∆ − +∆= =




Giải. Bở i vì đa thức vớ i hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo hệquả ta có 2 –i cũng là nghiệm.

(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)

Tìm tất cả các nghiệm của

biết 2 + i là một nghiệm.

Ví dụ

4536144)(234

+−+−= z z z z zP

51

z c p n c n z – + z - – =

= z2 – 4z + 5

P(z) có thể ghi ở dạng

P(z) = ( z2 – 4z + 5)(z2 + 9)

z2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm đượ c cả 4 nghiệmcủa P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i.


Giải phươ ng trình sau trong C.

9 0 z i+ =

Ví dụ

52

9 z i= −

9 z i⇔ = − 9 cos sin2 2

z iπ π − −

⇔ = +

2 22 2cos sin

9 9k

k k

z i

π π π π

− −+ +

⇒ = +

0,1,...,8.k =



Kết luận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Dạng Lượ ng giác của số phức)sin(cos ϕ ϕ ir z +=

1. Dạng Đại số của số phứcbia z +=

53

3. Nâng lên lũy thừa)sin(cos)]sin(cos[ ϕ ϕ ϕ ϕ ninr ir z

nnn+=+=

4. Căn bậc n của số phức

)2sin2(cos)sin(cosn

k i

n

k r zir z n

k nn π ϕ π ϕ ϕ ϕ

++

+==+=

.1,...,3,2,1 −= nk

Thực hiện phép toán

Bài tập 1

)2(

)32(5

2

ii

i z

−

+=

54

Viết số phức sau ở dạng lượ ng giác.

Bài tập 2

)3)(1( ii z ++−=



Viết số phức sau ở dạng đại số

Bài tập 3

5)32( i z −=

Bài tậ 4

55


1|21| ≤+− i z

Cho |z| = 2. Chứng tỏ

Bài tập 5

6 8 13 z i+ + ≤

Bài tậ 6

56

Cho |z| = 1. Chứng tỏ

21 | 3 | 4 z≤ − ≤



Tìm số phức z t hỏa

Bài tập 7

2 z z i− = +

Bài tậ 8

57

Tìm số phức z t hỏa2

1 12 6 z i z+ + =

Cho z là một số phức khác 0. Tìm môđun của số phức sau

Bài tập 9

2008 z i

z

⋅

58

Xác định tập hợ p các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các sốphức z t hỏa mãn

Bài tập 10

zk

z i=

−

vớ i k l à số thực dươ ng cho trướ c.



Tìm số phức z t hỏa mãn đồng thờ i

Bài tập 11

11

z

z i

−=

−và

31

z i

z i

−=

+

59

Tìm số phức z t hỏa mãn

Bài tập 12

4

1 z i

z i

+ =

−

Tìm phần thực và phần ảo của số phức

Bài tập 13

3 2

1

i i z

i i

− += −

+

60

Giải phươ ng trình .

Bài tập 14

2 | | 0 z z+ =



Viết dạng lượ ng giác của mỗi số phức

Bài tập 15

2) sin 2sin

2

a i ϕ

ϕ + ) cos (1 sin ) b iϕ ϕ + +

61

Tìm số căn bậc hai của số phức z = - 8 + 6i.

Bài tập 16

Viết số phức sau ở dạng đại số

Bài tập 17

5)32( i z −=

62


1|21| ≤+− i z



Xác định phần thực của số phức

Bài tập 19

1

1

z

z

+

−

biết rằng |z| = 1 và 1. z ≠

63

Chứng minh rằng nếu là một số ảo thì |z| = 1.

Bài tập 20

1

1

z

z

+

−

Bài tập 21

Tính vàα 5cos 5sin

Tính vàα ncos α nsin

64

Bài tập 22

Tính , vớ i31

1

i

i z

+

−=6 z



Bài tập 23

Tính , vớ i 16= z4 z

Bài tập 24

65

Tính 3 22 i+−

Bài tập 25

Tính i41 +

Bài tậ 26

66

Giải phươ ng trình 07

=+ i z



Bài tập 27

Giải phươ ng trình 012=−++ i z z

Bài tập 28

67

Chứng tỏ rằng số phức 2 + 3 i là một nghiệm của phươ ng trình

05216174 234=+−+− z z z z

và tìm tất cả các nghiệm còn lại.

Bài tập 29

Giải phươ ng trình

02)22()2( 23=−+++− i zi zi z

biết rằng phươ ng trình có một nghiệm thuần ảo.

68

Bài tập 30

Phân tích x3 + 27 ra thừa số bậc nhất và bậc hai.



Bài tập 31

Tính 0 2 4 2006 2008

2008 2008 2008 2008 2008A C C C C C = − + − ⋅ ⋅ ⋅ − +

Bài tập 32

Tính

n A cos3cos2coscos +⋅⋅⋅+++=

69

Bài tập 33

Tính

cos cos( ) cos( ) cos( ) A b b b b nα α α = + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +2

Viết dạng lượ ng giác của mỗi số phức

Bài tập 34

2) sin 2sin2

a i ϕ

ϕ + ) cos (1 sin ) b iϕ ϕ + +

70

Tìm số phức z sao cho |z| = |z – 2| và một argument của z – 2 bằng

Bài tập 35

một argument của z + 2 cộng vớ i .2

π



Chứng minh rằng nếu b a số phức thỏa mãn

Bài tập 36

thì một trong ba số đó phải bằng 1.

1 2 3, , z z z

1 2 3

1 2 3

| | | | | |

1

z z z

z z z

= =

+ + =

71

Xác định tập hợ p các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số

Bài tập 37

2

2

z

z

−

+phức z sao cho có một argument bằng .3

π

72



Trườ ng Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán ứ ng dụng-------------------------------------------------------------------------------------

Chöông 1: Ma traän

Giaûng vieân: Ts. Ñaëng Vaên Vinh (9/2008)


NOÄI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. Ñònh nghóa ma traän vaø ví duï

II. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp

III. Caùc pheùp toaùn ñoái vôùi ma traän

IV. Haïng cuûa ma traän

V. Ma traän nghòch ñaûo



I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ am at rận

Ma trận cở mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chử nhật có mhàng và n cột .

Ma trận A cở mxnCột j

=

mnmjm

iniji

n j

aaa

aaa

aaa

A

......

......

......

1

1

1111

⋮⋮⋮

⋮⋮⋮

Hàng i

I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 1.

32502

143

×

= A

Đây là ma trận thực cở 2x3.

Ma trận A có 2 hàng và 3 cột.5;0;2;1;4;3 232221131211 ====== aaaaaaPhần tử của A:

Ví dụ 2

223

21

×

−

+=

ii

i A



Tập hợ p tất cả các ma trận cở mxn trên trườ ng K đượ c ký hiệulà Mmxn[K]

Ma trận A có m hàng và n cột thườ ng đượ c ký hiệu bở i

nmija A×

=

I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.

---------------------------------------------------------

Ma trận c ó tất cả các phần tử là không đượ c gọi là ma trận không,ký hiệu 0, (aij = 0 vớ i mọi i và j ) .

Định ngh ĩ a ma trận không

=

000

000 A

I. Caùc khaùi nieäm cô baûn vaø ví duï---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Phần tử khác không đầu tiên của một hàng kể từ bên tráiđượ c gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.

Định ngh ĩ a ma trận dạng bậc thang1. Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dướ i cùng

2. Phần tử cơ sở của hàng dướ i nằm bên phải (không cùngcột) so vớ i phần tử cơ sở của hàng trên.



I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

52140

62700

23012

−

−

= A Không là ma trậnbậc thang

−

=

5000

3000

2112

B Không là ma trậnbậc thang

54×

I. Các khái niệm và ví dụ cơ bản.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

52000

41700

22031

−

−

= A

Là ma trận dạng bậcthang

Là ma trận dạngbậc thang

54×

−

=

7000

3100

2021

B



I. Các khái niệm cơ bản và ví dụ----------------------------------------------------------

Chuyển vị của là ma trận cở nXmthu đượ c từ A bằng cách chuyển hàng thành cột.

( )mnij

T a A

×=

Định ngh ĩ a ma trận chuyển vị

nmija A×

=

2393

01

42

×

−=T

A32

904

312

×

−= A

ụ


----------------------------------------------------------

Nếu số hàng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì Ađượ c gọi l àm a t rận vuông cấp n.

Định ngh ĩ a ma trận vuông

23

12

−

= A

Tập hợ p các ma trận vuông cấp n trên trườ ng số K đượ c ký hiệubở i [K]n M




----------------------------------------------------------

Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đườ ng chéo chính của ma trậnvuông A.

2 3 1 1

3 4 0 5

2 1 3 7

2 1 6 8

−

−

−


----------------------------------------------------------

Ma trận vuông đượ c gọi l àm a t rận tam giác trên nếuĐịnh ngh ĩ a ma trận tam giác trên

−

−

=

200

630

312

A

( )ij n n A a

×=

ij 0,a i j= ∀ >

Ma trận vuông đượ c gọi là ma trận tam giác dướ inếu

Định ngh ĩ a ma trận tam giác dướ i

2 0 0

4 1 0

5 7 2

A

=

−

( )ij n n A a

×=

ij 0,= ∀ <a i j




---------------------------------------------------------------

Ma trận vuông A đượ c gọi là ma trận chéo nếu các phần tử nằmngoài đườ ng chéo đều bằng không, có ngh ĩ a l à ( aij = 0 , i ≠ j).

Định ngh ĩ a ma trận chéo

= 030

002

D

− 200

Ma trận chéo vớ i các phần tử đườ ng chéo đều bằng 1 đượ c gọi làma trận đơ n vị, tức l à ( aij = 0 , i ≠ j; và aii = 1 vớ i mọi i).

Định ngh ĩ a ma trận đơ n vị

=

100

010

001

I


---------------------------------------------------------------

Ma trận ba đườ ng chéo là ma trận các phần tử nằm ngoài bađườ ng chéo (đườ ng chéo chính, trên nó một đườ ng, dướ i n ó mộtđườ ng) đều bằng không.

Định ngh ĩ a ma trận ba đườ ng chéo.

−

−=

9500

1840

0713 A




---------------------------------------------------------------

Ma trận vuông thực A t hỏa aij = a ji vớ i mọi i = 1,….n và j =1,…,nđượ c gọi l àm a t rận đối xứng (tức l à , nếu A = AT)

Định ngh ĩ a ma trận đối xứng thực

−

−

= 741

312

A

Ma trận vuông A thỏa aij = - a ji vớ i mọi i và j (tức là A = -AT)đượ c gọi l à m a t rận phản đối xứng.

Định ngh ĩ a ma trận phản đối xứng

1 3

1 7

3 7

0

0

0

A

−

=

− −

II. Các phép biến đổi sơ cấp.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Các phép biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng

; 0α α → ≠i ih h1. Nhân một hàng tùy ý vớ i một số khác không

; β β → + ∀i i jh h h

2. Cộng vào một hàng một hàng khác đã đượ c nhân vớ i một sốtùy ý

↔i jh h3. Đổi chổ hai hàng tùy ý

Tươ ng tự có ba phép biến đổi sơ cấp đối vớ i cột.

Chú ý: các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi cơ bản,thườ ng dùng nhất!!!




Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc thang bằng cácphép biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng.

Định lý 1

Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng ta thu đượ cnhiều ma trận bậc thang khác nhau

Chú ý


Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng đưa ma trận sauđây về ma trận dạng bậc thang.

1 1 1 2 1

2 3 1 4 5

3 2 3 7 4

1 1 2 3 1

−

−

−

− −

Ví dụ

Bướ c 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái. Chọnphần tử khác không tùy ý làm phần tử cơ sở .

1 1 1 2 1

2 3 1 4 5

3 2 3 7 4

1 1 2 3 1

−

−

−

− −



1 1 1 2 1

0 1 1 0 3

0 1 0 1 1

0 2 1 1 2

−

−

−

4 4 1→ +

→

h h h

2 2 12→ − →h h h

3 3 13→ − →h h h

Bướ c 2. Dùng bđsc đối vớ i hàng, khử tất cả các phần tử còn lại củacột.


1 1 1 2 1

2 3 1 4 5

3 2 3 7 4

1 1 2 3 1

A

−

− =

− − −

4 4 3

1 1 1 2 1

0 1 1 0 3

0 0 1 1 4

0 0 0 0 0

→ +

−

→

h h h

Bướ c . Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử cơ sở và nhữnghàng trên nó. Áp dụng bướ c 1 và 2 cho ma trận còn lại

3 3 2

4 4 22

1 1 1 2 1

0 1 1 0 30 0 1 1 4

0 0 1 1 4

→ +

→ −

−

→

− − −

h h hh h h


Nếu dùng các biến đổi sơ cấp đưa A về ma trận bậc thangU, thì U đượ c gọi là dạng bậc thang của A.

Định ngh ĩ a

Cột của ma trận bậc thang A đượ c gọi là cột cơ sở nếu cột đó

Định ngh ĩ a

c a p n cơ s

1 2 0 2

0 0 1 3

0 0 0 7

A

−

=



III. Các phép toán đối vớ i ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hai ma trận bằng nhau nếu: 1) cùng cở ; 2) các phần tử ở nhữngvị trí tươ ng ứng bằng nhau (aij = bij vớ i mọi i và j ) .

Sự bằng nhau của hai ma trận

Phép cộng hai ma trận

Tổng A + B :Cùng cở

Các phần tử tươ ng ứng cộng lại

−=

−=

741

623;

503

421 B A

=+

1244

1002 B A

Ví dụ


Phép nhân ma trận vớ i một số.Nhân ma trận vớ i một số, t a lấy số đó nhân vớ i tất cả các phần

tử củam at rận.

−

=503

421 A

−

=×842

2 A

Ví dụ

Tính chất:a) A + B = B + A; b) (A + B) + C = A + ( B + C);

c) A + 0 = A; d) k(A + B) = kA + kB;

e) k (mA) = (km) A; f) (k + m)A = kA + mA;




Phép nhân hai ma trận vớ i nhau

( ) ; ( ) pij m i p j n A a B b× ×

= =

nmijcC AB×

== )( vớ i pjip ji jiij bababac +++= ...2211

1*

* *

jb

b

⋮

Để tìm phần tử c2,3 ở ma trận tích: lấy hàng 2 của A nhân vớ i cột 3của B (coi như nhân tích vô hướ ng hai véctơ vớ i nhau)

1 2 ... ... ...

*

i i ip

pj

ij AB a a a

b

c= =

⋮⋮

11 12 13

1 2 22 1 4 c c c

− −

III. Các phép toán đối vớ i ma trận

---------------------------------------------------

−

=

−=

342

103

221

;014

412 B A

Ví dụ

Tính AB

12 137 c c

21 22 234 1 0 2 4 3 c c c

11c = ( )2 1 4−

1

3

2

2 1 ( 1) 3 4 2 7= × + − × + × =

21 22 23c c c



III. Các phép toán đối vớ i ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 1 1;

4 1 3

− = =

A B

Ví dụ

Tìm ma trận X

, thỏa AX = B

.

a

.

AX=B

b

2 1 1

4 1 3

a

b

− ⇔ =

2 1

4 3

a b

a b

− ⇔ =

+

2 1

4 3

a b

a b

− =⇔

+ =

2 1,

3 3a b⇔ = =

2 / 3Vaäy

1/ 3 X

=

III. Các phép toán đối vớ i ma trận

---------------------------------------------------

a. A(BC) = (AB)C; b. A(B + C) = AB + AC;

e. k (AB) = (kA)B = A(kB).

d. ImA = A = A Im

Tính chất của phép nhân hai ma trận

c. (B + C)A = BA + CA;

Chú ý:1. Nói chung BA AB ≠

2. AC AB = C B =

0= AB 00 =∨= B A3.




Nâng ma trận lên lũy thừa.

n A A A A A= ⋅ ⋅⋯

0Qui öôùc: A I = 2 A A A= ⋅

3 A A A A= ⋅ ⋅

nnijn

nn

n a Aa xa xa xa x f ×

−

− =++++= )(;...)( 011

1

n

11 1 0( ) ... .n n

n n A a A a A a I A a−

−= + + + +


22 1; ( ) 2 4 3

3 4 A f x x x

− = = − +

Ví dụ

Tính f(A).

2( ) 2 4 3 A A I A= − +

2 1 2 1 2 1 1 0( ) 2 4 33 4 3 4 3 4 0 1

A− − −

= − +

1 6 8 4 3 0( ) 2

18 13 12 16 0 3 A

− − = − +

3 8( )

24 13

A− −

=




1 3.

0 1 A

=

Ví dụ

Tính A2; A3, từ đósuyraA200

2 1 3 1 3 ⋅

1 6

0 1 0 1 10

3 2 1 6 1 3

0 1 0 1 A A A

= ⋅ =

1

1

9

0

=

200 1

0 1

200 3 A

× ⇒ =


2 3.

0 2

=

A

Ví dụ

Tính A200

2 3 1 3/ 2 ⋅

1 a

0 2 0 1 0 1

1 1Ta coù:

0 1 0 1

na na

=

200200200

200

3002 2

0 2 A

=

⋅




1 1.

1 1

=

A

Ví dụ

Tính A200

2 1 1 1 1 2 2 1 1

1 1 1 1 2 2 1 1

1Suy ra: A 2n n A−

=

199 199200

199 1992 2

2 2 A =

3 2.

2 3

=

AVí dụ

Tính A200

1 1 1 02 2

1 1 0 1 A B I

= + = +

Vì B và I giao hoán nhau nên ta dùng nhị thức Newton

12n n B B−

=

( ) ( ) ( )200 200 1990 1 200 200200 200 2002 2 2 ... B I C B C B C I + = + + +

0 200 200 1 1 199 199 1 200 200200 200 2002 .2 2 .2 ...C B C B C I − −

= + + +

( )0 200 1 199 199 200200 200 200 2004 4 ... .4

2

BC C C C I = + + + +

( )( )200

4 1 1 . 2

B

I = + − +



IV. Hạng của ma trận-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a hạng của ma trận

Giả sử Amxn tươ ng đươ ng hàng (cột) vớ i ma trận bậc thangE. Khi đó ta gọi hạng của ma trận A là số các hàng khác

r(A) = số hàng khác không của m a t rận bậc thang E


Ví dụTìm hạng của m a t rận sau

1 2 1 1

2 4 2 2

3 6 3 4

A

=

Giải. 1 2 1 1

2 4 2 2

3 6 3 4

=

A

1 2 1 1

0 0 0 0

0 0 0 1

2 3

1 2 1 1

0 0 0 1

0 0 0 0

↔

→

h h( ) 2r A⇒ =

2 2 1

3 3 1

2

3

→ −

→ − →h h h

h h h




Ví dụSử dụng biến đổi sơ cấp, tìm hạng củam at rận sau

1 2 3 3

2 4 6 9

2 6 7 6

A

=

Ví dụTìm hạng của m a t rận sau

2 3 1 4

3 4 2 9

2 0 1 3

A

=

− − −


Ví dụTìm tất cả các giá trị thực m sao cho r( A) =3

1 1 1 2

2 3 4 1

3 2 1

=

+

A

m m

1 1 1 2 1 1 1 2

2 3 4 1 0 1 2 3

3 2 1 0 1 3 5

= → −

+ − − −

A

m m m m

1 1 1 2

0 1 2 3

0 0 1 8

→ −

− − m m

r( A) = 3 vớ i mọi giá trị m.




Ví dụTìm tất cả các giá trị thực m sao cho r(A) =2

1

11

m m

A m mm m

=

Ví dụTìm tất cả các giá trị thực của m để cho r(A) = 3.

1 1 1 1

2 3 1 4

3 3 1

A

m m

=

+


Tính chất của hạng ma trận

1. r (A) = 0 A = 0

2. A = (aij)mxn r(A) min{m, n}≤

BĐSC3. Nếu A B, thì r (B) = r (A)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

A

=

→

2 2 2

0 0 0

0 0 0

( ) 1.r A→ =



V. Ma trận nghịch đảo-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a m a t rận nghịch đảo

Ma trận vuông A đượ c gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tạima trận I sao cho AB = I =BA. Khi đó B đượ c gọi là nghịchđảo của A và ký hiệu là A-1.

2 1 3 1−

2 25 3

×

=

2 25 2

×−

2 1 3 1 1 0

5 3 5 2 0 1 AB I

− = = =

−

3 1 2 1 1 0

5 2 5 3 0 1 BA I

− = = =

−

1 3 1

5 2 A B−

− = = −


Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch. Córất nhiều ma trận vuông không khả nghịch.

Chú ý

Ma trận khả nghịch đượ c gọi là ma trận không suy biến

n ng a

Ma trận không khả nghịch đượ c gọi là ma trận suy biến




Cho ma trận vuông A, các mệnh đề sau đây tươ ng đươ ng

Sự tồn tại của ma trận khả nghịch.

1. Tồn tại A-1 ( A không suy biến)

.

3. AX = 0 suy ra X = 0.

4. A I Tươ ng đươ ng hàng


Ma trận thu đượ c từ I bằng đúng 1 phép biến đổi sơ cấp đượ cgọi là ma trận sơ cấp.

Định ngh ĩ a ma trận sơ cấp

Ví dụ1 0 0 1 0 0

2 2 12

2

1 0 0 1 0 0

0 1 0 2 1 0

0 0 1 0 0 1

h h h I E

→ +

= → =

3 33

10 1 0 0 1 00 0 1 0 0 3

h h

I E →

= → =




Một phép biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng của ma trận A đồng

3 1

3

1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 0

h h I E

↔

= → =

ngh ĩ a vớ i nhân bên trái A vớ i ma trận sơ c p tươ ng ứng.

Một phép biến đổi sơ cấp đối vớ i cột của ma trận A đồng

ngh ĩ a vớ i nhân bên phải A vớ i ma trận sơ cấp tươ ng ứng.


3 1

2 1 1 3 2 1

1 1 0 1 1 0

3 2 1 2 1 1

h h A B

↔

−

= → =

−

3 2 1 0 0 1 2 1 1

1 1 0 0 1 0 1 1 0

2 1 1 1 0 0 3 2 1

−

=

−




1 1bñsc haøng

...n n A I I E E E A−

→ ⇔ =

11 1...n n A E E E I −

−⇒ =

1ôû treânbñsc haøng I A−

⇔ →


Cách tìm A-1

[ A|I ] [ I|A-1 ]Bđsc đối vớ i hàng

Ví dụTìm nghịch đảo (nếu c ó ) củam at rận

=

111

321

−

−→

=

101

011

001

210

110

111

100

010

001

321

221

111

]|[ I A




−

−−

−

→

−

−→

110

121

111

100

010

011

110

011

001

100

110

111

−

]|[

110

121

100

010 1−=

−

−−→ A I

−

−−

−

=−

110

121

0121

A


Tính bằng các phép sơ cấp đối vớ i hàng của ma trận[ A|I ] ta cần sử dụng

Độ phức tạp của thuật toán tìm A-1

n3 phép nhân hoặc chia

n3 – 2n2 + n phép cộng hoặc trừ

1−

×nn A

Đối vớ i hai ma trận khả nghịch A và B, các khẳng định sau đâyđúng.

Tính ch t của ma trận nghịch đảo

(A-1)-1 = A

Tích AB là hai ma trận khả nghịch.

(AB)-1 = B-1A-1

(AT)-1 = (A-1)T



IV. Ma trận nghịch đảo-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụTìm tất cả các giá trị thực m để ma trận sau khả nghịch

1 1 2

2 13 2 1

=

A m

Ví dụTìm tất cả các giá trị thực của m để choAkhả nghịch.

1 1 1 1

2 3 1 4

3 3 1

A

m m

=

+

VI. Kết luận------------------------------------------------

Ma trận là gì? Ma trận vuông ? Ma trận bậc thangMa trận không? Ma trận chéo? Ma trận chuyển vị?

Ma trận đơ n vị? Ma trận đối xứng?

Các phép toán đối vớ i ma trận: Sự bằng nhau Phép cộng

Nhân ma trận vớ i một số Nhân hai ma trận vớ i nhau

Hạng của ma trận là gì?

Làm thế nào để tìm hạng của một ma trận cho trướ c?

Ma trận khả nghịch là gì?

Làm thế nào để tìm nghịch đảo của một ma trận cho trướ c?

Nghịch đảo của ma trận A là gì?

Nâng lên lũy thừa



Thực hiện phép toánBài tập 1

2 3 21 2 1

1 2 33 0 4

− −

−

Tìm f(A), biết

Bài tập 2.

23 4 5 x x x= + − và 2 3

A−

=



Bài tập 3.

Tìm ma trậnX , saochoA X =B,vớ i2 1−

=2−

=3 1 3

Cho

Bài tập 4

2 12 3 4

; 1 31 2 7

3 2

A B

−

= = −

3 2 T

A B+



Đưa m a t rận s a u về dạng bậc thang bằng biến đổi sơ cấp

Bài tập 5.

1 1 2 1 1

2 1 3 4 2

3 4 7 3 1

− −

1 3 4 7 3

−

Bài tập 6Tìm ma trận nghịch đảo, nếu có 1 1 1

2 3 1

3 4 1

A

−

=



Bài tập 7Đưa về ma trận bậc thang, tìm hạng củam at rận

1 1 1 0−

2 0 1 3 − − −

Bài tập 8

Tìm ma trận A , nếu

1 0 5 25 3 A A

− = −



Bài tập 9

Tìm các giá trị của s và t, sao cho ma trận sau là đối xứng

2s s st

−

2t s s

Bài tập 10

Cho , cho A là ma trận cở 3xn , B cở nx3.1 0 0

0 0 1P

=

a )Môtả PA theo ngh ĩ a biến đổi sơ cấp đối vớ i hàngb)Môtả BP theo ngh ĩ a biến đổi sơ cấp đối vớ i cột



Bài tập 11

Cho A, B, C là các ma trận, đơ n giản biểu thức sau

− −− −

Bài tập 12

Tìm ma trận nghịch đảo của A

2 7 1

1 4 1 A

= −

1 3 0



Bài tập 13

Tính A43, biết

2 1− =

3 2

Cho là ma trận vuông.

Bài tập 14

cos sin

sin cos A

α α

α α

− =

a) Tính A2.

b) Tính An.



Bài tập 15

Cho hai ma trận A v à B

1 1 1−

3 2−

=

0 0 2

= 0 1

Tìm tất cả ma trận X, sao cho AX = B.

Bài tập 16

Tìm tất cả các giá trị msaocho(A)=2

1 1

1 1

m

A m

=

1 1 m



Bài tập 17

Biện luận t h e o m hạng của m a t rận A

1 1 2

2 1 5

m

A m

−

= −

1 10 6 m −

Bài tập 18

Tìm tất cả số thực m, sao cho ma trận A k hả nghịch

1 1 1

2 3 1 A

−

=

3 5 m



Bài tập 19

Tìm tất cả các số thực m, sao cho ma trận A k hả nghịch

1 1 1 2

2 3 1 4 A

−

= −

3 2 1m m +

Bài tập 20

Giả sử A là ma trận khả nghịch cấp 5. Tìm r(A) và r (A-1)






Bộ môn Toán Ứ ng dụng

---------------------------------------------------------------


Chươ ng 2: Định thứ c

Giả ng viên Ts. Đặ ng V ă n Vinh (9/2008)


NỘI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Định ngh ĩ a định thứ c v à v í dụ.

II – Tính chất của định thứ c

III – Khai triển Laplace



I. Định ngh ĩ a và ví dụ---------------------------------------------------------------------

Cho là ma trận vuông cấp n.

Định thức của A là một số ký hiệu bở i detnnija A

×=

Aa Annij ==

×)(

K hiệu là định thức thu đượ c từ A b n cách bỏ đi hàn M

thứ i và cột thứ j của ma trận A;

ij( 1)i j

ij A M +

= −Bù đại số của phần tử aij là đại lượ ng

Định ngh ĩ a bù đại số của phần tử aij

I. Định ngh ĩ a và ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) k =2: 11 12

11 22 12 21 11 11 12 1221 22

a a A A a a a a a A a A

a a

= → = − = +

a) k =1: [ ] 1111 a Aa A =→=

Định ngh ĩ a định thức bằng qui nạp

c) k =3:

11 12 13

21 22 23 11 11 12 12 13 13

31 32 33

a a a

A a a a A a A a A a A

a a a

= → = + +

d) k =n: 11 12 1

11 11 12 12 1 1*

nn n

a a a A A a A a A a A

= → = + + +

⋯⋯

...............




1 2 3 A A A A= ⋅ + ⋅ + − ⋅

Tính det (A), vớ i

−

=

423

032

321

A

Ví dụ

Giải

23

32)1()3(

43

02)1(2

42

03)1(1

312111 +++−⋅−+−⋅+−⋅= A

11151612 =+−= A

1 1 1 111

1 2 33 0

2 3 0 ( 1) 122 4

3

( )

2 4

1 A + +

−

=−= − =

II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------

1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất k ỳhàng hoặc cột tùy ý nào đó

*

a a a a A a A a A= = + + +⋯ ⋯

1

2

1 1 2 2

* *

j

j

j j j j nj nj

nj

a

aa A a A a A

a

= = + + +⋯⋯

*



II. Tính chất của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính định thức det (A), vớ i

−

=

004

225

313

A

Ví dụ

Khai triển theo hàng thứ 3

322231)1(4

004

225

313

)1(4

004

225

3131313

−=−−⋅=

−

−⋅=

−

= ++

A

Giải.


2 3 3 2

3 0 1 4

−

Ví dụ

n n c e , v

2 0 3 2

4 0 1 5

=

− −




Khai triển theo cột thứ hai

12 22 32 42 12

2 3 3 23 0 1 4

( 3) 0 0 0 3 A A A A A A

−

= = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = −−

Giải

4 0 1 5−

3 1 4

3 2 3 2 87

4 1 5

A = − = =

−

⋯


Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm

trên đườ ng chéo.

Ví dụ

120145)3(2

10000

94000

82500

1763040312

−=⋅⋅⋅−⋅=

−

−

= A




Sử dụng biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng để tính định thức

1.Nếu thìi ih h A B

α → → | | | | B Aα =

i i jh h h β → + | | | | B A=

3. Nếu thìi jh h A B

↔ → | | | | B A= −


Ví dụ

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức

−

0532

1211

−

−

=

13122623



17301010

2110

1211

−

−

−


Giải

1312

2623

0532

1211

||

−

−

−

= A

2 2 12→ −h h h

3 3 13→ −h h h

4 4 12→ +h h h

1504101

211

||−−

−= A

Khai triển theo cột đầu tiên|| A

173

101

211

)1(1 11

−

−−⋅ +

19154

11

)1(1 21

−=−−

−

−⋅=

+


Bướ c 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;

Bướ c 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột)

ở bướ c 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.

Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp

Bướ c 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.




Ví dụ

Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức

−

−

=02321123

A

−−

1314

2413

0411

0253

0232

1123

−

−

−

1314

2413

0232

1123

||−−

−

−

= A


Giải

3 3 12→ +h h h

4 4 1→ −h h h

2 3 2

| | 5 8 0

5 5 0

A

−

= −

411

253232

)1(1 41

−

−

−⋅ +

1 3 5 8( 2) ( 1) 30

5 5

+= − − ⋅ − = −

Khai triển theo cột số 4|| A




det ( AT) = det ( A)

det( AB) = det( A) det( B)

Ma trận có một hàng (cột) b ng không, thì det (A) = 0

Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0

Chú ý: det( A+B) det( A) + det( B).≠

II. Tính ch t của định thứ c---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma

trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra

Chứng minh

Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det( A) 0.≠

Định lý

det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) 0≠

1 1 A A P

A

−= , vớ i

11 12 1

21 22 2

1 2

T n

n A

n n nn

A A A

A A AP

A A A

=

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮

⋯

Giả sử det( A) 0. Khi đó≠




| | A i =

=

*

*

*

111

111

iii

j j j

aaa

aaa

A

⋯

⋯

=

*

*

*

111

111

j j j

j j j

aaa

aaa

B⋯

⋯

1 1 2 20,

i j i j in jna A a A a Ai j

+ + + =≠

⋯


Tính chất của ma trận nghịch đảo

1. 1 1

det( )det( )

A A

−=

1n−=

Chứng minh.




Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó

11 12 1T

n A A A ⋯

Công thức tính ma trận nghịch đảo A-1

1 1 A A P

A

−= , vớ i 21 22 2

1 2

n A

n n nn

A A AP

A A A

=

⋯

⋮ ⋮ ⋮

⋯


Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của

=

043

132

111

A

Giải. 02)det( ≠−= A A khả nghịch

Tính 9 bù đại số của các phần tử

1 111 ( 1) 4;4 0 A +

= − = − 1 212 ( 1) 3;3 0 A +

= − = 1 313 ( 1) 13 4 A +

= − = −

21 22 23 31 32 334; 3; 1; 2; 1; 1 A A A A A A= = − = − = − = =

1

4 4 21

3 3 12

1 1 1

A−

− −

= − −

− −



Tính det(A), nếu

Ví dụ 1

2 1 1 3

3 2 1 2

−

−

4 1 0 1

3 3 2 2

=

−

Tính det(A), vớ i

Ví dụ 2

4 1 1 0

3 2 4 1

−

2 1 3 1

5 1 2 3

=

−



Khẳng định nào sau đây đúng?

Ví dụ 3

2

3

2 1 3

3 2 3 1( )

3 5 2 1

6 3 2 1 9

x

x f x

x x

x

− +=

+

+

a) Bậc của f(x) là 5.

b) Bậc của f(x) là 4.

c) Bậc của f(x) là 3.

d) Các câu khác đều sai.

Tính định thức của ma trận sau

Ví dụ 4

1 0 1 i+

0 11 1

A ii i

=

− −



Tính định thức

Ví dụ 5

1 2 2 2 2

2 1 2 2 2

2 2 1 2 2

2 2 2 1 2

2 2 2 2 1

I =

Giải phươ ng trình, vớ i a, b, c là các số thực.

Ví dụ 6

2 3

2 3

1

1

x x x

a a a

2 3

2 3

1

1

b b b

c c c

=



Giải phươ ng trình

Ví dụ 7

1 1 1 11 1 1 1 x−

⋯⋯

1 1 1

x

n x

=−

−

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯


Ví dụ 8

1 1 1 1

1 0 1 1

⋯

⋯

1 1 0 1

1 1 1 0

I = ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯




Ví dụ 9

1 2 3 n

−

⋯

1 2 0 0

1 2 3 0

n D

−

= − −

− − −

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯


Ví dụ 10

3 2 2 2⋯

2 2 3 2

2 2 2 3

n D =

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯



Giải phươ ng trình trong C

Ví dụ 11

2 2 3 x

−0

0 0 7 6

0 0 5 3

=


Ví dụ 12

7 5 0 0⋯

⋯

0 2 7 0

0 0 0 7

n D = ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯



Khai triển theo hàng 1, ta cóGiải ví dụ 9 11 127 5n D A A= +

1 1 1 1

7 5 0 0 2 5 0 0

2 7 5 0 0 7 5 0

7( 1) 5( 1)0 2 7 0 0 2 7 0

0 0 0 7 0 0 0 7

n D + +

= − + −

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯

1 11

7 5 0 0

2 7 5 0

7 5.2( 1) 0 2 7 0

0 0 0 7

n n D D +

−= − −

⋯

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

1 2

7 10n n n

D D D− −

= −

1 1 25 2( 5 )n n n n D D D D− − −

⇔ − = −

1 2 2 35 2( 5 )n n n n D D D D− − − −

− = −

21 2 35 2 ( 5 )n n n n D D D D

− − −⇒ − = −

21 2 15 2 ( 5 ) *( )

nn n D D D D−

−⇒ − = −



1 27 10n n n D D D− −= −

1 1 22 5( 2 )n n n n D D D D− − −

⇔ − = −

1 2 2 32 5( 2 )n n n n D D D D− − − −

− = −

1 2 12 5 ( 2 ) * )*(n

n n D D D D−

−⇒ − = −

21 2 15 2 ( 5 ) *( )

nn n D D D D−

−⇒ − = −

1 2* **( ) & ( ) theo vaøn D D D⇒


Ví dụ 13

5 3 0 0⋯

⋯

0 2 5 0

0 0 0 5

n D = ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯




Ví dụ 14

9 5 0 0⋯

⋯

0 4 9 0

0 0 0 9

n D = ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách tính định thức

Ví dụ 15

1 2 1

2 3 1 A

= −

3 5 2



Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau

Ví dụ 16

1 0 0 0

2 1 0 0

−

5 4 1 0

1 2 3 2

=

Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch

Ví dụ 17

1 1 2 1

2 1 5 3 A

=

5 0 7

1 2 3 3

m

− −



Tìm tất cả các giá trị thực của m để ma trận sau khả nghịch.

Ví dụ 18

1 2 1 1 1 12 3 2 3 2 A m

=

−

Cho . 1) Tính det (A-1).

Ví dụ 19

1 1 1

2 3 1

3 3 5

A

= 2) Tính det (5A)-1.

3) Tính det (PA).



Cho

Ví dụ 20

3 3[ ]; [ ];det( ) 2;det( ) 3. A M R B M R A B∈ ∈ = = −

1) Tính det (4AB)-1.

2) Tính det (PAB).

Cho k là số tự nhiên nhỏ hơ n hoặc bằng n; i1, i2, …, ik và j1, j2,

…, jk là những số tự nhiên thỏa

1 ... ;1 ...i i i n j j j n≤ < < < ≤ ≤ < < < ≤

III. Khai triển Laplace

-----------------------------------------------------------------------------

Định thức con cấp k , ký hiệu bở i , là định thức thu đượ c từA bở i những phần tử giao của k hàng i1, i2, …, ik và k cột j1, j2, …, jk .

1

1

,...,

,...,k

k

i i

j ja

Định ngh ĩ a định thức con cấp k




-----------------------------------------------------------------------------

Đại lượ ng 1 11

1

1

1

. . . . . . ,, . . . ,

,

. . . ,

. . . , , . . . ,( 1 )n

n

n n n

n

i ii i

j j

j j i i

j j M A + + + + +

= −

đượ c gọi là bù đại số cấp k của 1

1

,...,

,...,k

k

i i

j ja

Định lý (Khai tri n Laplace)

Định thức của ma trận vuông A bằng tổng tất cả các tích của định

thức con cấp k rút ra từ k hàng (hoặc k cột) nào đó vớ i bù đại sốcủa chúng.


-----------------------------------------------------------------------------

Tính định thức bằng khai triển Laplace.

bướ c 1. Chọn k hàng (hoặc k cột) tùy ý

bướ c 2. Tính tất cả các định thức con cấp k thu đượ c từ k hàng đã

chọn. Tổng cộng có định thức con cấp k .k nC

bướ c 3. Tìm tất cả các bù đại số cấp k tươ ng ứng của các định thứccon cấp k ở bướ c 2.

bướ c 4. Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định

thức con cấp k vớ i bù đại số của chúng.




-----------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 21

Tính định thức của A bằng cách sử dụng khai triển Laplace.

2 3 1 13 0 1 0

A

− −

=

1 0 2 0

−


-----------------------------------------------------------------------------

Giải

Chọn k = 2, chọn 2 hàng: hàng 2 và hàng 4.

3 0 1 0

1 0 2 0

−

−

T n t i đ nh thức con c 2 nhưn chỉ có 1 khác khôn .2=

2,41,3

3 15

1 2a

−= =

−

2,4 2 4 1 31,3

3 1( 1) 1

2 1 A

+ + += − =

2,4 2,41,3 1,3det( ) . 5.1 5 A a A= = =



Tính det(A) sử dụng khai triển Laplace

Ví dụ 22

2 1 2 3 5

1 0 3 0 2

−

3 4 2 5 1

2 0 1 0 4

3 2 5 2 1

A = −


----------------------------------------------------------------------------

Chọn k = 2, chọn 2 hàng: hàng 2 và hàng 4.

1 0 3 0 2

2 0 1 0 4

Tồn tại định thức con cấp 2 nhưng chỉ có 2 khác không.25 10C =

2,41 3

1 35a = = − 2,4 1 3 2 4

1 3 5+ + +

1,3

2 2 1

−

2,4 2,4 2,4 2,4 2,4 2,41,3 1,3 1,5 1,5 3,5 3,5det( ) . . . A a A a A a A= + +

2,41,5

1 20

2 4a = =

2,43,5

3 210

1 4a = =




Tính định thức bằng bù đại số cần n! phép toán.

Nếu một máy tính siêu tốc độ có thể tính tỉ tỉ phép toán

trong một giây thì để tính một định thức cấp 25 cần 500.000

năm (cần 25! , khoảng 1.5x1025 phép toán).

Phần lớ n các máy tính sử dụng biến đổi sơ cấp để tính

det ( A).

Các phép biến đổi sơ cấp cần (n3+2n-3)/3 phép nhân và

chia. Bất k ể máy tính nào cũng có thể tính định thức cấp 25trong vòng phần của 1 giây, chỉ cần khoảng 5300 phép toán.




Bộ môn Toán Ứ ng dụng

---------------------------------------------------------------


Chươ ng 3: Hệ phươ ng trình tuyến tính

Giả ng viên Ts. Đặ ng V ă n Vinh (9/2007)


Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát

II – H hươ n trình tu n tính thu n nh t



I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

n n

n n

a x a x a x ba x a x a x b

+ + ⋅ ⋅ ⋅ + =

+ + ⋅ ⋅ ⋅ + =

Hệ phươ ng trình tuyến tính gồm m phươ ng trình, n ẩn códạng:

Định ngh ĩ a hệ phươ ng trình tuyến tính.

a11 , a12 , …, amn đượ c gọi là hệ số của hệ phươ ng trình.

1 1 2 2m m mn m ma x a x a x b

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ + ⋅ ⋅ ⋅ + =

b1 , b2 , …, bm đượ c gọi là hệ số tự do của hệ phươ ng trình.


Hệ phươ ng trình tuyến tính đượ c gọi là thuần nhất nếu tất cảcác hệ số tự do b1, b2, … , bm đều bằng 0.

Định ngh ĩ a hệ thuần nhất.

Định ngh ĩ a hệ không thuần nhất.

Nghiệm của hệ là một bộ n số c1, c2, …, cm sao cho khi thayvào từng phươ ng trình của hệ ta đượ c những đẳng thức đúng.

p ươ ng r n uy n n ượ c gọ ng u n n n u

nhất một trong các hệ số tự do b1, b2, … , bm khác 0.




Hệ tươ ng thích

Hệ không tươ ng thích

Một hệ phươ ng trình tuyến tính có thể:

1. vô nghiệm,

2. có duy nhất một nghiệm3. Có vô số nghiệm

Hai hệ phươ ng trình đượ c gọi l à tươ ng đươ ng nếu chúng cùngchung một tập nghiệm.

Để giải hệ phươ ng trình ta dùng các phép biến đổi hệ vềhệ tươ ng đươ ng, mà hệ này giải đơ n giản hơ n.


Có 3 phép biến đổi tươ ng đươ ng đối vớ i hệ phươ ng trình .

Một phép biến đổi đượ c gọi l à tươ ng đươ ng nếu biến một hệphươ ng trình về một hệ tươ ng đươ ng.

Định ngh ĩ a phép biến đổi tươ ng đươ ng

1. Nhân hai vế của phươ ng trình vớ i một số khác không.

3. Đổi chổ hai phươ ng trình.

2. Cộng vào một phươ ng trình một phươ ng trình khác đãđượ c nhân vớ i một số tùy ý.

Chú ý: Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng các phép biếnđổi trên là các phép biến đổi tươ ng đươ ng.




0 y+ =

Giải hệ phươ ng trình:

0

2 3 3

2 3

x y

x y z

x y z

+ =

− + =

− − =

Ví dụ

1 2

1 3h h

−

− + → 3 3 3

3 3

y z

y z

− + =

− − =

2 3h h− +

→

0

3 3 3

4 0

x y

y z

z

+ =

− + = − =

Phươ ng trình có nghiệm duy nhất : x = 1 ; y = - 1 ; z = 0


1 1 0

2 1 3

1 2 1

−

−

Ma trận hệ số:

Ma trận mở rộng:1 1 0 02 1 3 3

1 2 1 3

−

− −




1 1 0 0

2 1 3 3

1 2 1 3

−

− −

1 1 0 0 1 2

1 3

2h h

h h

− +

− + →

2 3h h− + →

0 3 3 3

0 3 1 3

−

− −

1 1 0 0

0 3 3 3

0 0 4 0

−

−

I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát

Ẩn cơ sở là ẩn tươ ng ứng vớ i cột chứa phần tử cơ sở .

Ẩn tự d o là tươ ng ứng vớ i cột không có phần tử cơ sở .

Định ngh ĩ a ẩn cơ sở và ẩn tự do.

1 1 1 2 12 2 3 5 6

3 3 4 1 1

−

BĐSC HÀNG1 1 1 2 10 0 1 1 4

0 0 0 6 8

− −

x1, x3, x4: là các ẩn cơ sở

x2: ẩn tự do



N u , thì hệ AX = b vô n hiệm.( | ) ( )r A b r A≠

I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát

Định lý Kronecker Capelli

Nếu hai ma trận mở rộng của hai hệ phươ ng trình tuyến tínhtươ ng đươ ng hàng vớ i nhau thì hai hệ đó tươ ng đươ ng.

Nếu , thì hệ AX = b có nghiệm.( | ) ( )r A b r A=

Nếu = số ẩn, thì hệ AX = b có nghiệm duynhất.

( | ) ( )r A b r A=

Nếu < s, thì hệ A X = b c ó v ô số nghiệm.( | ) ( )r A b r A=

I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát--------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Dùng biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng đưa ma trận mở rộngvề ma trận dạng bậc thang. Kiểm tra hệ có nghiệm haykhông

Sử dụng biến đổi sơ cấp đối vớ i hàng để giải hệ

1. Lập ra ma trận mở rộng ( | ) A A b=

3. Viết hệ phươ ng trình tươ ng ứng vớ i ma trận bậc thang

4. Giải hệ phươ ng trình ngượ c từ dướ i lên, tìm ẩn xn, sau đóxn-1,… ., x1.



I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải các hệ phươ ng trình sau đây vớ i các ma trận mở rộng chotrướ c.

1 5 2 6− 1 1 1 3−

Ví dụ

. ,

0 0 5 0

a −

. 0 1 2 4 ,

0 0 0 5

b

1 1 1 0

. 0 1 2 5 ,0 0 0 0

c

−

−

1 1 1 0

. 0 3 1 0 .

0 0 0 0

c

−

I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

5 2 1

4 6

3 3 9

x y z

x y z

x

+ + =

− − + =

+ − = −

Giải hệ phươ ng trình:




3

3 5 9 2

2 3 3

y z

x y z

x

+ =

+ + = −

+ + =

Ví dụ

Giải hệ phươ ng trình


Tìm nghiệm tổng quát của hệ phươ ng trìnhVí dụ

2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 6 6 4 5

3 7 8 5 8 9

3 9 12 9 6 15

x x x x

x x x x x

x x x x x

− + + = −

− + − + =

− + − + =

ẩn cơ sở : 521 ,, x x x ẩn tự do: 43 , x

Nghiệm tổng quát:

1

2

3

4

5

24 2 3

7 2 2

4

x

x

x

x

x

α β

α β

α

β

= − + −

= − + −

=

=

=




Tìm nghiệm tổng quát của hệ phươ ng trình biết ma trân mở rộng

Ví dụ

1 1 1 1−

2 3 4 1

3 4 2 1

−

I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

---

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phươ ng trình biết ma trận mở rộng

Ví dụ

1 1 2 0

2 1 5 0

3 4 5 0



I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

--


Ví dụ

1 1 1 1 2−

2 1 3 0 1

3 4 2 2 5

2 3 1 1 3

−

−



1 1 2 0 1

Ví dụ

2 3 1 2 43 4 5 1 3

1 2 3 1 0

−

− −



I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phươ ng trình sau có nghiệm

Ví dụ

1 1 1m

2

1 1 ,

1 1

m m

m m


1 1 1 1

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phươ ng trình sau có nghiệmExample

2 3 1 4

3 4 1m m

+



I. I. Hệ phươ ng trình tuyến tính tổng quát

Ví dụ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phươ ng trình sau có nghiệm

duy nhất1 1 1 1 1

2 1 3 1 2,

3 4 2 0 6

2 1 0 1m m

−

− − −


Ví dụ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phươ ng trình sau có nghiệm

duy nhất

2 3 1 4 0

23 2 1 5 71 1 1m m

− −



II. Hệ thuần nhất.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hệ phươ ng trình tuyến tính đượ c gọi là thuần nhất nếu tất cảcác hệ số tự do b1, b2, … , bm đều bằng 0.

Định ngh ĩ a hệ thuần nhất.

x1 = x2 = … = xn = 0.

Nghiệm này đượ c gọi là nghiệm tầm thườ ng.

Hệ thuần nhất chỉ có nghiệm duy nhất bằng không khi và chỉkhi r (A) = n = số ẩn .

II. Hệ thuần nhất.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hệ thuần nhất AX = 0 có nghiệm không tầm thườ ng khi và chỉkhi r(A) < n.

Hệ thuần nhất A X = 0 , vớ i A l à m a t rận vuông có nghiệm khôngtầm thườ ng (nghiệm khác 0) khi và chỉ khi det(A) = 0.



II. Hệ thuần nhất.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phươ ng trình.

Ví dụ

1 2 3 42 2 0 x x x+ + + =

1 2 3 4

1 2 3 43 6 4 0

x x x x

x x x x

+ + + =

+ + + =

II. Hệ thuần nhất.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giữa những nghiệm của hệ

Ví dụ

2 0

2 4 0

y z

x y z

+ + =

+ + =

2 0 x y z+ − =

tìm nghiệm thỏa biểu thức y – x y = 2 z



II. Hệ thuần nhất.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử Alàmat rận của hệ thuần nhất c ó 4 p hươ ng trình và 8 ẩn,

giả sử có 5 ẩn tự do. Tìm r(A)?

Ví dụ

Giải thích vì sao hệ phươ ng trình thuần nhất c ó m p hươ ng trình,n ẩn vớ im<n lu ô n lu ô n c ó v ô số nghiệm.

Ví dụ

II. Hệ thuần nhất.------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-

Tìm tất cả các gía trị tham số m để hệ sau có nghiệm không tầmthườ ng

Ví dụ

0 x y z+ + =

2 3 5 03 ( 1) 0

x y z x my m z

+ + =+ + + =



Trườ ng ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học ứ ng dụng - Bộ môn Toán ứ ng dụng------------------------------------------------------

Ñaïi soá tuyeán tính

Chöông 4: KHOÂNG GIAN VEÙCTÔ

Giaûng vieân TS. Ñaëng Vaên Vinh


Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Ñònh nghóa vaø Ví duï

II – Ñoäc laäp tuyeán tính, phuï thuoäc tuyeán tính

III – Han cuûa ho veùctô

V – Khoâng gian con.

IV – Cô sôû vaø soá chieàu

ï ï



I. Ñònh nghóa vaø caùc ví duï---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

==

Tập khác rỗng V Hai phép toán

Nhân véctơ vớ i 1 sốCộng

8 tiên đề

KHÔNG GIAN VÉCTƠ V3. Tồn tại véc tơ không, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x

4. Mọi x thuộc V , tồn tại vectơ , ký hiệu –x sao cho x + (-x) = 0

8. 1x = x

5. Vớ i mọi số và mọi vector x: , K α β ∈ ( ) x x xα β α β + = +

6. Vớ i mọi số , vớ i mọi :K α ∈ x , y V ∈ ( x y ) x yα α α + = +

7. ( ) x ( x )αβ α β =

I. Định ngh ĩ a và các ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của không gian véctơ

1) Véctơ không là duy nhất.

2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất.

3) 0x = 0

5) -x = (-1)x

Vớ i mọi vectơ x thuộc V và mọi số :K α ∈

4) 0 0α =



I. Định ngh ĩ a và các ví dụ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

}{ R x x x xV i ∈= ),,( 3211

),,(),,(),,( 332211321321 y x y x y x y y y x x x y x +++=+=+

Ví dụ 1

Định ngh ĩ a phép cộng hai véctơ như sau:

Định ngh ĩ a phép nhân véctơ vớ i một số thực như sau:

),,(),,( 321321 x x x x x x α α α α α ==⋅

=

=

=

⇔=

33

22

11

y x

y x

y x

y x

V 1 - Không gian véctơ trên trườ ng số thực3 R

Định ngh ĩ a sự bằng nhau:


RcbacbxaxV ∈++= ,,2

2

Ví dụ 2

Định ngh ĩ a phép cộng hai véctơ : là phép cộng hai đa thứcthông thườ ng, đã biết ở phổ thông.

Định ngh ĩ a phép nhân véctơ vớ i một số: là phép nhân đa thức

V 2 - Không gian véctơ ][2 xP

vớ i một s thực thông thườ ng, đã bi t ở ph thông.

Định ngh ĩ a sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau nếu hai đathức bằng nhau, tức là các hệ số tươ ng ứng bằng nhau).




∈

= Rd cba

d c

baV ,,,3

Ví dụ 3

Định ngh ĩ a phép cộng hai véctơ : là phép cộng hai ma trận đãbiết trong chươ ng ma trận.

V 3 - Không gian véctơ ][2 R M

vớ i một số đã biết.

Định ngh ĩ a sự bằng nhau của hai véctơ : hai véc tơ bằng nhauhai ma trận bằng nhau.


--

}{4 1 2 3 1 2 32 3 0i x x x x R x x x= ∈ ∧ + + =( , , )

Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ vớ i một số giống nhưtrong ví dụ 1.

Ví dụ 4

V 4 - là KGVT

CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định ngh ĩ a hai phéptoán trên V 1, ( hoặc V 2, hoặc V 3 ) sao cho V1 ( hoặc V 2, hoặcV 3 ) là không gian véctơ .




--

}{5 1 2 3 1 2 32 1i( x ,x ,x ) x R x x x= ∈ ∧ + − =

Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ vớ i một số giống như

Ví dụ 5

.

V 4 - KHÔNG là KGVT

4 4(1,2,1) , (2,3,2)= ∈ = ∈ x V y V

4)3,5,3( V y x ∉=+

II. Độc lập tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V- KGVT trên K

1 2{ , ,..., }m M x x x=

Tập con

M– PTTT1 2, , , m K α α α ∃ ∈⋯

không đồng thờ i bằng 0

1 1 2 2 0m m x xα α α + + + =⋯

M – độc lập tuyến tính1 1 2 2 0m m x xα α α + + + =⋯

1 2 0mα α α → = = =⋯




V- KGVT trên K

1 2{ , ,..., }m M x x x=

Tập con

1 2, , , m K α α α ∃ ∈⋯

1 1 2 2 m m x x x xα α α = + + +⋯

Vector x thuộc V đượ c gọi là Tổ hợ p tuyến tính của M, nếu


{ (1,1,1) ; ( 2 ,1, 3 ) , (1, 2 , 0 ) } M =

Trong không gian R3 cho họ véc tơ Ví dụ 5

1. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

2. Véctơ x = (2,-1,3) có là tổ hợ p tuyến tính của họ M?

c u . s , , , , , ,α γ =

2 2 3 0 0 0( , , ) ( , , )α β γ α β γ α β ⇔ + + + + + =

2 0

2 0

3 0

α β γ

α β γ

α β

+ + =

⇔ + + = + =

1 2 1

1 1 2

1 3 0

A

=

2r( A )⇒ =

Hệ có vô số nghiệm, suy ra M phụ thuộc tuyến tính




Giải câu 2. Giả sử 1 1 1 2 1 3 1 2 0( , , ) ( , , ) ( , , ) x+ + =α β γ

2 2 3 2 1 3( , , ) ( , , )⇔ + + + + + = −α β γ α β γ α β

2 2

2 1

+ + =

⇔ + + = −

α β γ

α

1 2 1 2

1 1 2 1A | b

= −

3 3 + = α β 1 3 0 3

r(A | b) r(A)≠

Vậy véctơ x không là tổ hợ p tuyến tính của M.

Hệ phươ ng trình vô nghiệm, suy ra không tồn tại bộ số , ,α β γ


1 2{ , , , }m M x x x= ⋯

1 1 2 2 0m m x x xα α α + + + =⋯ Hệ thuần nhất

AX=0

Có duy nhấtnghiệm X = 0

M – phụ thuộc tuyếntính

Có nghiệmkhác không

M – độc lập tuyến tính




1 2{ , , , }m M x x x= ⋯

1 1 2 2α α α + + + =⋯

m m x x x x Hệ thuần pt

AX= b

Hệ có nghiệm

x không là tổ hợ ptuyến tính

Hệ vô nghiệm

x là tổ hợ p tuyến tínhcủa M


{ , , 2 3 , }= + M x y x y z

Ví dụ

Trong không gian véctơ V cho họ

a. Vécto 2x + 3y có là tổ hợ p tuyến tính của x, y, z.

b. M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính




Ví dụ

Trong không gian véctơ V cho họ M = { x, y, z} độc lập tuyếntính.Chứng tỏ {x+y+2z, 2x+3y+z, 3x+4y+z} độc lập tuyến tính.

Giả sử ( 2 ) (2 3 ) (3 4 ) 0 x y z x y z x y zα β γ + + + + + + + + =

Vì M độc lập tuyến tính nên ta có

2 3 0

3 4 0

2 0

α β γ

α β γ

α β γ

+ + =

+ + =

+ + =

0α β γ ⇔ = = =

Vậy M độc lập tuyến tính


{ , }= M x y

Ví dụ

Trong không gian véctơ V cho họ ĐLTT

Các tập hợ p con sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộctuyến tính

a.

b.

1 = x, y

2 =M {x+y,2x+3y}

c. 3 =M {x+y,2x+3y,x-y}




{ , } y

Ví dụ

Trong không gian véctơ V cho độc lập tuyến tính, zkhông là tổ hợ p tuyến tính của x và y.

Chứng minh rằng độc lập tuyến tính{ , , } x y z


Nếu M chứa véctơ 0, thì M phụ thuộc tuyến tính.

1 2{ , , , }m M x x x= ⋯ - phụ thuộc tt

- là tổ hợ p tuyến tính của các véctơ cònlại trong M

i x∃




Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thuđượ c một họ phụ thuộc tuyến tính.

Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính ta thu đượ chọ độc lập tuyến tính.

Cho họ véctơ M chứa m véctơ 1 2{ , ,..., }m M x x x=

Cho họ véctơ N chứa n véctơ 1 2{ , ,..., }n N y y y=

Nếu mỗi véctơ yk của N là tổ hợ p tuyến tính của M vàn > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến tính.


Ví dụ

Trong không gian véctơ V cho họ M = { x, y} tùy ý.

Hỏi M1 ={2x+y, x+3y, 3x+y} độc lập hay phụ thuộc tt?

Giả sử (2 ) ( 3 ) (3 ) 0 x y x y x yα β γ + + + + + =

(2 3 ) ( 3 ) 0 x yα β γ α β γ ⇔ + + + + + =

Sai vì M chưa chắc độc lập tuyến tính2 3 03 0

α β γ α β γ

+ + =⇒ + + =

Lờ i giải đúng. Kiểm tra thấy mỗi vectơ của M1 là tổ hợ p tt của M

Vì số lượ ng véctơ trong M1 là 3 nhiều hơ n trong M là 2

Theo bổ đề cơ bản, M1 phụ thuộc tuyến tính.




{ , , }= M x y z

Ví dụ

Trong không gian véctơ V cho hai họ

-=

a. Chứng minh rằng nếu M ĐLTT tính thì M 1 ĐLTT

1 , ,

b. Chứng minh rằng nếu M 1 ĐLTT tính thì M ĐLTT

III. Hạng của họ véctơ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 2{ , , , , }m M x x x V = ⊂⋯ ⋯

Định ngh ĩ a hạng của họ véctơ

Hạng của họ M là k 0 nếu tồn tại k 0 véctơ độc lập tuyếntính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơ n k 0 véctơ

.

Hạng của họ M là số tối đại các véctơ độc lập tuyến tínhcủa M .




{ , }= M x y

Ví dụ

Trong không gian véctơ V cho họ ĐLTT

=

Tìm hạng của các họ véc tơ sau đây.

b.

1 ,

2 2 3M {x,y, x y}= +

c. 3 2 3 0M {x,y, x y, }= +

1. Hạng của họ véctơ M không đổi nếu ta nhân một véctơ củaM vớ i một số khác không.


Tính chất của hạng họ véctơ

2. Cộng vào một véctơ của họ M, một véctơ khác đã đượ cnhân vớ i một s thì hạng không thay đổi.

3. Thêm vào họ M một véctơ x là tổ hợ p tuyến tính của M thìhạng không thay đổi.




Ví dụ 11

Tìm hạng của họ véctơ sau.

{(1,1,1,0);(1,2,1,1);(2,3,2,1),(1,3,1,2)} M =


1 2 1 1

3 1 0 5

2 4 1 6

A

−

=

−

Họ véctơ hàng của A

1 2 3

, , , ; , , , ; , , , x x x= = − = = −

Họ véctơ cột của A

1 2 1 1

3 , 1 , 0 , 5

2 4 1 6

N

−

= −




Định lý về hạng:

Cho A là ma trận cở mxn trên trườ ng K .

Hạng của ma trận A bằng vớ i hạng của họ véctơ hàng A.

Hạng của ma trận A bằng vớ i hạng của họ véctơ cột của A.


Ví dụ 11

Tìm hạng của họ véctơ sau

{(1,1,1,0);(1,1, 1,1);(2,3,1,1),(3,4,0,2)} M = −

Lờ i giải

1 1 1 0

1 1 1 1

2 3 1 1

3 4 0 2

A

− =

M là họ véctơ hàng của A. Suy ra hạng của M bằng hạngr(A) của ma trận A.




Cho tập hợ p M chứa m véctơ .

1. Nếu hạng của M bằng vớ i m (số véctơ của M ) thì M độc

lập tuyến tính.2. Nếu hạng của M nhỏ hơ n m (số véctơ của M ) thì M phụ

u c uy n n .

3. Nếu hạng của M bằng vớ i hạng của M thêm véctơ x, thì xlà tổ hợ p tuyến tính của M .


Ví dụ 7

Hãy xác định tập hợ p các véctơ sau đây độc lập tuyến tínhhay phụ thuộc tuyến tính.

{ (1,1, 1) ; ( 2 ,1, 3 ) , (1, 2 , 0 ) } M =




Ví dụ 8

Hãy xác định tập hợ p các véctơ sau đây độc lập tuyến tínhhay phụ thuộc tuyến tính.

2 2{ 1,2 3 2,2 1} M x x x x x= + + + + +


Ví dụ 9

Hãy xác định tập hợ p các ma trận sau đây độc lập tuyến tínhhay phụ thuộc tuyến tính.

1 1 2 1 3 4 1 3{ ; ; ; }

1 0 1 1 0 1 1 2 M

=

− −




Ví dụ 10

Xác định tất cả các giá trị của hằng số thực m, để họ véctơ sauphụ thuộc tuyến tính

{(1,1,0);(1,2,1);( ,0,1)} M m=

IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 2{ , , , , }m M x x x V = ⊂⋯ ⋯

Định ngh ĩ a tập sinh

Tập hợ p M đượ c gọi là tập sinh của không gian véctơ Vnếu mọi véctơ x của V là tổ hợ p tuyến tính của M.

M sinh ra V

Không gian véctơ V đượ c sinh ra bở i M



IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 12Kiểm tra tập sau đây có là tập sinh của khônggian R3 {(1,1,1);(1,2,1);(2,3,1)}=

1 2 3 3( , , ) . x x x x R∀ = ∈

Giả sử

Khi đó x là tổ hợ p tt của M, hay M sinh ra R3.

1 2 3 1 2 31 1 1 1 2 1 2 3 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )α α α = = + + x x x x

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 3

2

2 3

x

x

x

α α α

α α α

α α α

+ + =

⇔ + + =

+ + =

Hệ có nghiệm

IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 13Kiểm tra tập sau đây có là tập sinh của khônggian R3 {(1,1, 1);(2,3,1);(3,4,0)}= −

1 2 3 3( , , ) . x x x x R∀ = ∈

1 2 3 1 2 31 1 1 2 3 1 3 4 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )α α α = = − + + x x x x

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3

2 3

3 4

x

x

x

α α α

α α α

α α

+ + =⇔ + + =

− + =

Tồn tại x để hệ vô nghiệm, ví dụ:0 1 2 1( , , )=

Hay không là tổ hợ p của M. M không sinh ra R3.0



IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 14

M có là tập sinh của không gian P2[x]?

2 2 2{ 1;2 3 1; 2 }= + + + + + x x x x x x

22( ) [x]. p x ax bx c P∀ = + + ∈

1 2 3 p x x x x x x xα α α = + + + + + + +

1 2 3

1 2 3

1 2

2

3 2

a

b

c

α α α

α α α

α α

+ + =

⇔ + + =

+ =Tồn tại p(x) để hệ vô nghiệm, ví dụ: 20 2 p x x= +

Suy ra M không là tập sinh.


Ví dụTrong không gian véctơ V cho tập sinh M = {x, y, z}.

Hỏi M1 = {2x, x + y, z} có là tập sinh của V?

v V ∀ ∈ là tổ hợ p tuyến tính của M ( vì M là tập sinh)v⇔

Có ngh ĩ a là v là tổ hợ p tuyến tính của M1

v x y zα β γ ⇔ = + +

( ) 2 02

v x y x zα β

β γ −

⇔ = + + + =

Hay M1 sinh ra vectơ v, mà vì v tùy ý nên M1 sinh ra kgian V




Ví dụ

Trong không gian véctơ V cho tập sinh M = {x, y, z}.

Hỏi M2 = {x, x+y, x - y} có là tập sinh của V?

Trườ ng hợ p 1. z là tổ hợ p tuyến tính của x và y.

Thật vậy, ta chứng minh M2 không sinh ra đượ c véctơ z.

ta c ng m n 2 t p s n c a ng g an v ctơ

Trườ ng hợ p 2. z không là tổ hợ p tuyến tính của x và y.

Khi đó ta chứng minh M2 là không tập sinh của không gianvéctơ V.

IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 2{ , , , , }m M x x x V = ⊂⋯ ⋯

M - độc lập TT M sinh ra V

M - cơ sở của V

M cơ sở hữu hạn

V – là không gian hữu hạnchiều dim V = Số véctơ trongmột cơ sở của V

Nếu V không đượ c sinh ra bở i tập hữu hạn, thì V đượ c gọilà không gian vô hạn chiều




Ví dụ

Trong không gian véctơ V, cho M = {x, y, z} là cơ sở của V.

Hỏi M1 = {2x + y + z, x + 2y + z, x + y + z} có là cơ sở của V?

ng m n r ng 1 t p s n c a .

Chứng minh rằng M1 độc lập tuyến tính bằng định ngh ĩ a.


Ví dụ

Trong không gian véctơ V, cho M = {x, y, z} là cơ sở của V.

Hỏi M1 = {2x, 3y, z, x + y + z} có là tập sinh của V?

p n. 1 cơ s c a . t v y c c n c ng t x, y,z là tập sinh của V.



IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử V là không gian hữu hạn chiều.

Định lý.

1. Tồn tại vô số cơ sở của không gian vectơ V.2. Số lượ ng vectơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau.

Chứng minh

IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở dim( ) .n R n=

(1,0,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,0,...,1){ } E =

Chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở dim( ) 1.[ ]nP x n= +

, ,..., ,1{ }

n n

E x x x

−=

Chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở 2

dim( ) .[ ]n M R n=

1 0 ... 0 0 1 ... 0

0 0 0 0 , 0 0 0 0 ,...

0 0 0 0 0 0 0 0

E

=



IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

dim(V) =n

Mọi tập con của V chứa ít hơ n n véctơ không sinh ra V.

Mọi tập con của V chứa nhiều hơ n n véctơ thì phụ thuộctuyến tính.

Mọi tập độc lập tuyến tính có đúng n véctơ là cơ sở của V

Mọi tập sinh của V có đúng n véctơ là cơ sở của V

IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho - tập con của V , H = Span1 2{ , ,..., } pS v v v= 1 2{ , ,..., } pv v v

a. Nếu S là tập phụ thuộc tuyến tính, thì có thể bỏ đi một phần tửcủa S ta vẫn đư c t sinh của H .

b. Nếu S là tập độc lập tuyến tính, thì không thể bỏ đi bất kỳphần tử nào của S để đượ c tập sinh của H .



IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 14

Kiểm tra tập hợ p sau có là cơ sở của R3.

{(1,1,1);(2,3,1);(3,1,0)} M =

IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 14

Kiểm tra tập hợ p sau có là tập sinh của R3.

{(1,1,1);(2,0,1);(1,1,0), (1, 2,1)} M = −



IV. Cơ sở và chiều---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 15

Tập hợ p sau đây có là cơ sở của không gian P2[x]?

2 2 2{ 1;2 1; 2 2} M x x x x x x= + + + + + +



Trườ ng ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Khoa Khoa học ứ ng dụng - Bộ môn Toán ứ ng dụng

------------------------------------------------------

Ñaïi soá tuyeán tính

Chöông 4: KHOÂNG GIAN VEÙCTÔ (tt)

Giaûng vieân TS. Ñaëng Vaên Vinh


Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Toạ độ của véctơ .

II – Không gian con.

III - Tổng và giao của hai không gian con.



I. Toạ độ của véctơ -------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho E ={e1 , e2 , …, en} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V

Định ngh ĩ a toạ độ của véctơ

1 1 2 2 ...⇔ = + + + n n x x e x e x e x V ∀ ∈

Bộ số đượ c gọi là tọa độ của véctơ x trong1 2( , ,..., )n x x x

1

2[ ] E

n

x

x x

x

=

⋮

cơ sở E.

I. Toïa ñoä cuûa veùctô-------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2 2Cho { 1; 2 1; 2} E x x x x x x= + + + + + +

Ví dụ

Tìm véctơ p(x), biết toạ độ trong cơ sở E là

3

[ ( )] 5

2

E p x

= −

là cơ sở của không gian2[x]P

3

[ ( )] 5

2

= −

E p x

2 2 2( ) 3( 1) 5( 2 1) 2( 2)⇔ = + + − + + + + + p x x x x x x x

( ) 5 2⇔ = − + p x x




Cho {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)} E =

Ví dụ

là một véctơ của R3. Tìm toạ độ của véctơ x trong cơ sở E.

là cơ sở của R3 và x = (3,1,-2)

Giả sử

1

2[ ]

= E

x

x x 1 1 2 2 3 3⇔ = + + x x e x e x e

3 x

1 2 3(3,1, 2) (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)⇔ − = + + x x x

1 2 3

1 3

1 2

3

1

2

+ + =

+ = + = −

x x x

x x

x x

4

[ ] 2

5

−

⇔ =

E x

I. Toïa ñoä cuûa veùctô -------------------------------------------------------------------------------------------------

22Cho { 1; 1;2 1} laø cô sôû [ ]. E x x x x P x= + + + +

Ví dụ

Tìm toạ độ của véctơ p(x) = 3x2+4x-1 trong cơ sở E.

Giả sử [ ( )]

= E

a

p x b 1 2 3( ) . . .⇔ = + + p x a e b e c e

c2 2

3 4 1 ( 1) ( 1) (2 1)⇔ + − = + + + + + + x x a x x b x c x

3

2 4

1

=

+ + = + + = −

a

a b c

a b c

3

[ ( )] 9

5

⇔ = −

E p x




1 1 x y+ 1 1 x y=

1

2[ ] E

n

y

y y

y

=

⋮

Tính chất của tọa độ véctơ

1

2[ ] E

n

x

x x

x

=

⋮

2 22. [ ] E

n n

x y x y

x y

+ + =

+

⋮

2 21.

n n

x y x y

x y

== ⇔

=

⋮

1

23. [ ] E

n

x

x x

x

α

α α

α

=

⋮


Ý ngh ĩ a của toạ độ véctơ .Trong không gian n chiều V cho một cơ sở

E ={e1 , e2 , …, en}.

Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dướ i dạng tọa độ.

Hai phép toán cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ vớ i mộts và s b n nhau tron V có thể hức t .

Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép toán này giốnghoàn toàn trong Rn.

Suy ra cấu trúc của không gian vectơ V hoàn toàn giống Rn.

Chứng minh đượ c V và Rn đồng cấu vớ i nhau, vậy nên trongnghiên cứu ta đồng nhất V và Rn.

Tất cả các không gian n chiều đều coi là Rn

.



I. Toïa ñoä cuûa veùctô -------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2 22{ 1;3 2 1;2 } [ ].Cho laø taäp con cuûa= + + + + + M x x x x x x P x

Ví dụ

Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.

Chọn cơ sở chính tắc của P2[x] là .2, ,1{ } E x x=

21 1

1

E[ ] x x + + =

2

3

2 1 2

1

E[3 ] x x

+ + =

2

2

1

0

E[2 ] x x

+ =

Hạng của M = hạng của họ vectơ của M ở dạng toạ độ.

1 3 2

1 2 1

1 1 0

A

=

( ) 2r A⇒ = Vậy M phụ thuộc tuyến tính

Tập con F

II. Khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

V là K-kgvt

Kg con F

Tập con F 2 phép toán trong V K- kgvt F




Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V

khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa.

Định lý

. ,

2. , :α α ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ f F K f F


{ }1 2 3 3 1 2 3( , , ) | 2 0F x x x R x x x= ∈ + − =

Ví dụ

1. Chứng tỏ F là không gian con của R3

2. Tìm cơ sở và chiều của F.

Giải câu 2.1 2 3( , , )∀ = ∈ x x x x F 1 2 32 0⇔ + − = x x x

3 1 22⇔ = + x x x

Khi đó 1 2 3 1 2 1 2( , , ) ( , , 2 )= = + x x x x x x x x

1 2(1,0,1) (0,1,2)⇔ = + x x x

Suy ra là tập sinh của F .(1,0,1);(0,1,2){ }= E

Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.

dim( ) 2⇒ =F




{ }2( ) [x] | (1) 0 & (2) 0= ∈ = =F p x P p p

Ví dụ

1. Chứng tỏ F là không gian con của P2[x].


Giải câu 2. 2( )∀ = + + ∈ p x ax bx c F (1) 0 (2) 0&⇔ = = p p

Suy ra là tập sinh của F .2

3 2{ }= − + E x x

Hiển nhiên E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.

dim( ) 1⇒ =F

0

4 2 0

+ + =⇔

+ + =

a b c

a b c; 3 ; 2α α α ⇔ = = − =a b c

2( ) 3 2α α α ⇒ = − + p x x x

2( ) ( 3 2)α ⇔ = − + p x x x


Ví dụ

{ 2

1 1[ ] | 0F A M R A

− = ∈ =

−

1. Chứng tỏ F là không gian con M 2[R]





L(M)=Span 1 2 1 1 2 2{ , ,..., } { }n n n iv v v v v v Rα α α α = + + + ∀ ∈⋯

1 2{ , , , }n M v v v V = ⊂⋯

. ng g an con c a

2. dim(L(M)) = Hạng của họ M.

II. Không gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử dim(V) = n

1 2{ , ,..., }m M x x x=

Hạng M = Hạng Ma trận

M phụ thuộc tt

M độc lậ ttKgian con <M>

hạng M < m

M tập sinh của V M là cơ sở của V x là tổ hợ p tt của M

hạng M = m hạng M = dim(V)

hạng M = dim(V) = số vectơ trong M

hạng M = hạng M thêm vectơ x Chiều kgian con<M> = hạng M




Cho (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1)F =< >

Tìm cơ sở và chiều của F.

Ví dụ


Cho 2 2 21,2 3 1, 2 2F x x x x x x=< + + + − + − >


Ví dụ




Ví dụ

2 ,

+ − = ∈

a b a bF a b R

a



Ví dụ

1 1 2 1 3 1 1 0, , ,F

=

− −





Cho (1, 2,3); {(1,1,1);(2,1,0);(3, 1,3)} x M = − = −

x có thuộc không gian con sinh ra bở i M ?

Ví dụ


Cho (1,0, ); {(1,1,1);(2,3,1);(3,2,0)} x m M = =

Ví dụ

bở i M ?



III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho F và G là hai không gian con của K-kgvt V .

Giao của hai không gian con F và G là tập hợ p con của V, ký

hiệu bở i

Định ngh ĩ a giao của hai không gian con

{ | vaø }F G x V x F x G= ∈ ∈ ∈∩

Tổng của hai không gian con F và G là tập hợ p con của V,

ký hiệu bở i

Định ngh ĩ a tổng của hai không gian con

{ | vôùi vaø }F G f g f F g G+ = + ∈ ∈


2.

Định lý

1. là hai không gian con của V.&F G F G+∩

dim( ) dim( ) dim( ) dim( )F G F G F G+ = + − ∩

Kết quả

F G F F G V ⊆ ⊆ + ⊆∩

F G G F G V ⊆ ⊆ + ⊆∩




Các bướ c để tìm không gian con F+G

1. Tìm tập sinh c

ủa F . Gi

ả s

ử là { f 1 , f 2 , …, f n}

2. Tìm tập sinh của G. Giả sử là {g1 , g2 , …, gm}

1 2 1 23. , ,..., , , ,...,n mF G f f f g g g+ =< >


Cho F và G là hai không gian con của R3, vớ i

Ví dụ

{ 1 2 3 1 2 3( , , ) | 2 0}F x x x x x x= + − =

1 2 3 1 2 3

, , x x x x x x= − + =

.F G∩1. Tìm cơ sở và chiều của

2. Tìm cơ sở và chiều của .F G+




Giải câu 1.

1 2

1

3

2 3

02 0

x x x x

x x− ++ − =

=⇔

1 2 3( , , ) x x x x F G∀ = ∈ ∩

& x F x G⇔ ∈ ∈

1

2

3

3

2

x

x

x

α

α

α

=

⇔ = =

Khi đó 1 2 3( , , ) ( ,3 ,2 ) x x x x α α α = =

(1,3,2) x α⇔ =

(1,3,2){ } E ⇒ = là tập sinh của F G∩

vì E độc lập tuyến tính. Suy ra E là cơ sở của F G∩

dim( ) 1.F G⇒ ∩ =


Giải câu 2. Bướ c 1. Tìm tập sinh của F. 1 {(-1,1,0),(2,0,1)} E =

Bướ c 2. Tìm tập sinh của G. 2 {(1,1,0),( 1,0,1)} E = −

( 1,1,0),(2,0,1 (1,1,0),(, 1,0,1))F G −⇒ + −=< >

1 1 0 − 1 1 0

−

dim( ) ( ) 3.F G r A⇒ + = =

1 1 0

1 0 1

A

= −

0 0 1

0 0 0

bñs haøngc ñv → −

Cơ sở : ( 1,1,0),(0,2,1),(0,0, 1){ } E = − −





Ví dụ

{ 1 2 3 1 2 3( , , ) | 0}F x x x x x x= + + =

, , ; , ,=< >




Giải câu 1.

(1,0,1) (2,3,1) x G x α β ∈ ⇔ = +

1 2 3( , , ) x x x x F G∀ = ∈ ∩ & x F x G⇔ ∈ ∈

( 2 ,3 , )α β β α β ⇔ = + +

thoûa ñieàu kieän cuûa . x F x F ∈ ⇔

2 03 β α α β β ⇒ + + + =+ 3α β ⇔ = −

Vậy

dim( ) 1.F G⇒ ∩ =

( ,3 , 2 ) x β β β = − − ( 1,3, 2) β = − −

(1, 3,2) x β ⇔ = − − (1, 3,2){ } E ⇒ = − là tập sinh của F G∩

vì E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở





Ví dụ

{ 1 2 3 41 2 3 4

1 2 3 4

0( , , , )2 2 0 x x x xF x x x x x x x x

+ + − = = + + − =

{ 1 2 3 4

1 2 3 41 2 3 4

0( , , , )

3 2 2 3 0

x x x xG x x x x

x x x x

+ − + = =

+ + − =




Cho F và G là không gian con của R3, vớ i

Ví dụ

(1,0,1);(1,1,1)F =< >

= , , , ,






Cho F và G là hai không gian con của P2[x], vớ i

Ví dụ

2{ ( ) [ ] | (1) 0}F p x P x p= ∈ =



2 −


.F G∩

Cho F và G là hai không gian con của P2[x], vớ iVí dụ

21,2 1 ;F x x x=< + − + >

Tìm cơ sở và chiều của

22, 1G x x x=< − + + >

Cách 1. Có thể giải như các ví dụ trướ c.

Cách 2. Coi P2[x] là không gian R3. F và G là hai mặt phẳng.Cặp véctơ chỉ phươ ng của F là: (1,1,-1); (0,2,1).

Cặp véctơ chỉ phươ ng của G là: (1,-1,2); (0,1,1).

Pháp véctơ của F là (3,-1,2); pháp véctơ của G là (3,1,-1)

Giao của F và G là đườ ng thẳng có vectơ chỉ phươ ng: (-1,9,6)

Cơ sở của : E={(-1,9,6)};F G∩ dim( ) 1.F F ∩ =






Chươ ng 5: Không gian Euclid



Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5.1 – Tích vô hướ ng của hai véctơ . Các khái niệm liên quan.

5.2 – Bù vuông góc của không gian con.

5.3 – Quá trình trự c giao hóa Gram – Schmidt.

5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.



5.1 Tích vô hướ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a tích vô hướ ng

Tích vô hướ ng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho

mỗi cặp véctơ u và v thuộc V , tươ ng ứng vớ i một số thực ký

hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau:

a. ( , ) ( , ) ( , )u v V u v v u∀ ∈ =

b. ( , , w V) ( , ) ( , ) ( , )u v u v w u w v w∀ ∈ + = +

c. ( , , ) ( , ) ( , ) R u v V u v u vα α α ∀ ∈ ∀ ∈ =

d. ( ) ( , ) 0;( , ) 0 0u V u u u u u∀ ∈ ≥ = ⇔ =

Không gian thực hữu hạn chiều cùng vớ i một tích vô

hướ ng trên đó đượ c gọi là không gian Euclid.

5.1. Tích vô hướ ng-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong không gian cho qui tắc2 R

Ví dụ

1 2 2 1 2 2( , ) ; ( , ) x x x R y y y R∀ = ∈ ∀ = ∈

1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) (( , ), ( , )) 2 2 10 x y x x y y x y x y x y x y= = + + +

1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướ ng.

Giải.

2. Tính tích vô hướ ng của hai véctơ (2,1), (1, 1)u v

= = −

2. Tính tích vô hướ ng của hai véctơ là(2,1), (1, 1)u v= = −

( , ) ((2,1),(1, 1))u v = −

2.1 2.2.( 1) 2.1.1 10.1.( 1) 10= + − + + − = −



5.1. Tích vô hướ ng-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

2 21 1 1 2 2 2 2( ) ; ( ) [x]. p x a x b x c q x a x b x c P∀ = + + = + + ∈

Trong không gian cho qui tắc2[x]P

1

0

( , ) ( ) ( ) p q p x q x dx= ∫

1. Chứng tỏ ( p,q) là tích vô hướ ng.

2. Tính tích vô hướ ng của 2( ) 2 3 1, ( ) 1 p x x x q x x= − + = +

1

0

( , ) ( ). ( ) p q p x q x dx= ∫1

2

0

(2 3 1)( 1) x x dx= − + +∫ 1

6=

2. Tích vô hướ

ng củ

a hai véctơ

( p,q

) là

5.1. Tích vô hướ ng------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

Định ngh ĩ a độ dài véctơ Độ dài véctơ u là số thực dươ ng ký hiệu bở i ||u|| và đượ cđịnh ngh ĩ a như sau

|| || ( , )u u u=

Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơ n vị.

Chia một véctơ cho độ dài của nó ta đượ c véctơ đơ n vị.

Quá trình tạo ra véctơ đơ n vị đượ c gọi là chuẩn hóa.



5.1. Tích vô hướ ng------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

Bất đẳng thức Cauchy-Schwatz

Trong không gian Euclid V, ta có bất đẳng thức sau

| ( , ) | || || . || ||u v u v≤

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v phụ thuộc tuyến tính.

Bất đẳng thức tam giác.

Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V.

|| || || || || || u v u v+ ≤ +

5.1. Tích vô hướ ng------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

Định ngh ĩ a khoảng cách giữa hai véctơ

Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V, khoảng cách

giữa hai véctơ u và v, ký hiệu bở i d(u,v), là độ dài của véctơ u – v. Vậy d(u,v) = ||u – v||

Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V.

Góc giữa hai véctơ u và v là đại lượ ng thỏaα

( , )cos

|| || . || ||

u v

u vα =



Trong không gian cho qui tắc

5.1. Tích vô hướ ng-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

1 2 3 3 1 2 3 3( , , ) ; ( , , ) x x x x R y y y y R∀ = ∈ ∀ = ∈


1 2 3 1 2 3( , ) (( , , ), ( , , )) x y x x x y y y=

1 1 1 2 2 1 2 2 3 35 2 2 3 x y x y x y x y x y= + + + +

1. C ng t (x,y) là tíc v ư ng.

2. Tính tích vô hướ ng của hai véctơ (2,1,0), (3, 2,4)u v= = −

2. ( , ) ((2,1,0), (3, 2,4))u v = − 5.2.3 2.2.( 2) 2.1.3 3.1.( 2) 0.4= + − + + − +

( , ) 22.u v =


5.1. Tích vô hướ ng-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

1 2 3 3 1 2 3 3( , , ) ; ( , , ) x x x x R y y y y R∀ = ∈ ∀ = ∈


1 2 3 1 2 3( , ) (( , , ), ( , , )) x y x x x y y y=

1 1 1 2 2 1 2 2 3 35 2 2 3 x y x y x y x y x y= + + + +

3. Tìm độ dài của véctơ (3,2,1)u =

|| || ( , )u u u= ((3,2,1),(3,2,1))=

|| || 5.3.3 2.3.2 2.2.3 3.2.2 1.1u = + + + +

|| || 82u =

Chú ý: So sánh vớ i độ dài véctơ ở phổ thông! Cùng một véctơ

nhưng “dài” hơ n!!!



5.1. Tích vô hướ ng-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

1 2 3 3 1 2 3 3( , , ) ; ( , , ) x x x x R y y y y R∀ = ∈ ∀ = ∈


1 2 3 1 2 3( , ) (( , , ), ( , , )) x y x x x y y y=

1 1 1 2 2 1 2 2 3 35 2 2 3 x y x y x y x y x y= + + + +

ø. , , , ,

( , ) || ||d u v u v= − ( , )u v u v= − − (( 2,2, 1), ( 2,2, 1))= − − − −

( , ) 5.( 2).( 2) 2.( 2).2 2.2.( 2) 3.2.2 1.1d u v = − − + − + − + +

( , ) 17d u v =

Chú ý: So sánh vớ i khoảng cách giữa hai véctơ ở phổ thông.

Khoảng cách giữa hai điểm “lớ n” hơ n!!!


5.1. Tích vô hướ ng-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

1 2 3 3 1 2 3 3( , , ) ; ( , , ) x x x x R y y y y R∀ = ∈ ∀ = ∈


1 2 3 1 2 3( , ) (( , , ), ( , , )) x y x x x y y y=

1 1 1 2 2 1 2 2 3 35 2 2 3 x y x y x y x y x y= + + + +

5. Tìm góc giữa hai véctơ (1,0,1) (2,1,0)vaøu v= =

( , )cos

|| || . || ||

u v

u vα =

12 12

6. 31 186= =

12arccos

186a⇒ =



5.1. Tích vô hướ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho hai véctơ p( x) và q( x) của R-Kgvt P2[x], đặt

1. Chứng tỏ ( p,q) là tích vô hướ ng.

1

1

( , ) ( ) ( ) p q p x q x dx−

= ∫

2. Tính ( p,q) vớ i 2( ) 2 3 1; ( ) 3 p x x x q x x= − + = −

1

1

( , ) ( ). ( ) p q p x q x dx−

= ∫1

2

1

(2 3 1)( 3) x x x dx−

= − + −∫

12= −

5.1. Tích vô hướ ng-------------------------------------------------------------------------------------------------------


1

1

( , ) ( ) ( ) p q p x q x dx−

= ∫

3. Tìm độ dài của véctơ ( ) 2 3 p x x= +

|| || ( , ) p p p=1

1

( ). ( ) p x p x dx−

= ∫

12

1

(2 3) dx−

= +∫ 62

3=



5.1. Tích vô hướ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------


1

1

( , ) ( ) ( ) p q p x q x dx−

= ∫

4. Tính khoảng cách giữa hai véctơ p( x) và q(x) vớ i2 2( ) 2; ( ) 2 3 p x x x q x x x= + + = − +

( , ) || ||d p q p q= − ( , ) p q p q= − −

(3 1,3 1) x x= − −

12

1

(3 1) x dx

−

= −∫

2 2=

5.1. Tích vô hướ ng-------------------------------------------------------------------------------------------------------


1

1

( , ) ( ) ( ) p q p x q x dx−

= ∫

5. Tính góc giữa hai véctơ 2( ) ; ( ) 2 3 p x x x q x x= + = +

( , )cos

|| || . || ||

p q

p qα =

1

1

1 1

1 1

2 2

p(x)q(x)dx

[p(x)] dx [q(x)] dx

−

− −

∫=

∫ ∫



5.2. Tích vô hướ ng

---------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a sự vuông góc

Hai vectơ u và v đượ c gọi là vuông góc nhau, nếu

(u,v) = 0, ký hiệu u v⊥

Định ngh ĩ aVéctơ x vuông góc vớ i tập hợ p M, nếu

( ) x y y M ∀ ∈ ⊥

5.1. Tích vô hướ ng------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

Định ngh ĩ a họ trực giao

Tập hợ p con M của không gian Euclid V đượ c gọi là họtrực giao, nếu

( , ) ( ) . thì x y M x y x y∀ ∈ ≠ ⊥

Tập hợ p con M của không gian Euclid V đượ c gọi là họtrực chuẩn, nếu

1. tröïc giao. M

2. || || 1.( ) x M x∀ ∈ =



5.1. Tích vô hướ ng------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

Mệnh đề

Véctơ x vuông góc vớ i không gian con F khi và chỉ khi x

vuông góc vớ i tập sinh của F.

Chứng minh.

Hiển nhiên.

Giả sử x vuông góc vớ i tập sinh 1 2, ,..., .m

f F ∀ ∈ 1 1 2 2 ... m m f f f f α α α ⇔ = + + +

Xét tích vô hướ ng ( , ) x f 1 1 2 2( , ... )m m x f f f α α α = + + +

1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )m m x f x f x f x f α α α ⇔ = + + +

( , ) 0 x f ⇔ = hay x vuông góc f .

Vậy x vuông góc vớ i F.

5.1. Tích vô hướ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong không gian R3 vớ i tích vô hướ ng chính tắc cho

không gian con

Ví dụ

{ 1 2 3

1 2 31 2 3

0( , , )

2 3 0

x x xF x x x

x x x

+ − = =

+ + =

cho véctơ x = ( 2, 3, m). Tìm tất cả m để x vuông góc vớ i F.

Bướ c 1. Tìm tập sinh của F {(4,-3,1)}

Bướ c 2. vuoâng goùc vôùi taäp sinh cuûa .F x F ⊥ ⇔

(4, 3,1) x⇔ ⊥ − ((2,3, ),(4, 3,1)) 0m⇔ − = 4.2 ( 3).3 1. 0m⇔ + − + =

chú ý tích vô hướ ng!!

1.m⇔ =



5.2. Bù vuông góc của không gian con------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

Định ngh ĩ a bù vuông góc của không gian con

Cho không con F của không gian Euclid V. Tập hợ p

|{ }F x V x F ⊥= ∈ ⊥

đượ c gọi là bù vuông góc của không gian con F.

1. laø khoâng gian con cuûa V.F ⊥

2. dim( ) dim( ) dimF F V ⊥

+ =

Cho không con F của không gian Euclid V. Khi đó


--

Bướ c 1. Tìm một tập sinh của F. Giả sử đó là

Bướ c 2. Tìm không gian con bù vuông góc.

Các bướ c tìm cơ sở và chiều của không gian F ⊥

1 2, ,...,{ }m f f f

⊥ â ù ù û

1

2

...

m

y f

y f

y f

⊥

⊥⇔

⊥

1

2

( , ) 0

( , ) 0

...

( , ) 0m

y f

y f

y f

=

=⇔

=

laø khoâng gian nghieäm cuûa heä.F ⊥

0.heä thuaàn nhaát AX ⇔ =




--

Ví dụ. Cho là không gian

con của R3. Tìm cơ sở và chiều của .(1,1,1),(2,1,0),(1,0, 1)F =< − >

F ⊥

Giải.1 2 3

( , , ) x x x x F x F ⊥∀ = ∈ ⇔ ⊥

(1,1,1)⊥ 1 2 3 0 x x x+ + =

, ,

(1,0, 1)

x

x ⊥ −

1

2

3

2

x

x

x

α

α

α

=

⇔ = −

=(1, 2,1)F

⊥⇒ =< − > cơ sở : {(1,-2,1)}; Dim =1.F ⊥

1 2

1 3

2 0

0

x x

x x

⇔ + = − =

( , 2 , ) (1, 2,1)α α α α ⇔ = − = −


--

Ví dụ. Cho

F ⊥

{ }1 2 3 3 1 2 3 1 2 3( , , ) | 0 & 2 0F x x x R x x x x x x= ∈ + + = + − =

là không gian con của R3. Tìm cơ sở và chiều của .

Giải. Bướ c 1. Tìm tập sinh của F .

0 x x x+ + =

1 2 3( , , ) x x x x F ∀ = ∈

1

2

3

2

3

x

x

x

α

α

α

=

⇔ = − =

Bướ c 2. Tươ ng tự như ở ví dụ trướ c.

Vậy tập sinh của F là {(2,-3,1)}

1 2 32 0 x x x⇔

+ − =

(2 , 3 , ) (2, 3,1) x α α α α ⇔ = − = −



5.2. Bù vuông góc của không gian con----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý

Cho S = {u1 , u2 , ..., um} là tập hợ p con, trực giao, không chứa

véctơ không của không gian Euclid V. Khi đó S độc lập tt.

Chứng minh (bằng định ngh ĩ a của độc lập tuyến tính)

Giả sử 1 1 2 2 ... 0m mu u uα α α + + + =

Khi đó 1 1 1 2 2( , ... )m mu u u uα α α + + +1( ,0) 0u= =

1 1 1 2 1 2 1( , ) ( , ) ... ( , ) 0m mu u u u u uα α α ⇔ + + + =

1 1 1( , ) 0u uα ⇔ =

vì S không chứa véctơ 0 nên 1 1( , ) 0u u > 1 0α ⇒ =

Tươ ng tự ta chứng minh đượ c 2 3 ... 0mα α α = = = =

Vậy S độc lập tuyến tính.


--

Chứng minh.

Định lýGiả sử E = {e1 , e2 , ..., en} là cơ sở trực chuẩn của không

gian Euclid V. Khi đó vớ i mọi , x có thể biễu diễn

duy nhất ở dạng x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen

vớ i ( , )i i x e=

x V ∈

1 1 2 2 ... n n x V x x e x e x e∈ ⇔ = + + +

khi đó 1 1 2 2( , ) ( ... , )i n n i x e x e x e x e e= + + +

1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ... ( , )i i i n n i x e x e e x e e x e e= + + +

vì E là cơ sở trực chuẩn nên0,

( , )1,

neáu

neáui j

i je e

i j

≠=

=vậy ta có ( , )i i x x e=




--

Ví dụ

1 1 2 1 1 1 1 1, , ; , , 0 ; , ,

6 6 6 2 2 3 3 3 E

− − − =

Cho cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V

Tìm tọa độ của véctơ trong cơ sở E.(3, 2,1)v = −

1

2

3

[ ] E

v

v v

v

=

1 1 2 2 3 3v v e v e v e⇔ = + +

1 1( , )v v e=

3;6

= 2 2( , )v v e= 1 ;2

= 3 3( , )v v e= 63

=


--

1 2{ , ,..., }n E e e e=

Cho cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid V

Cho hai véctơ của V: 1 1 2 2 .. n n x x e x e x e= + + +

1 1 2 2 .. n n y y e y e y e= + + +

1 1 2 2 1 1 2 2.. ..(x,y)=( , )n n n n x e x e x e y e y e y e+ + + + + +

1 1 1 1 2 2 2 2( , ) ( , ) .. ( ,(x,y)= )n n n n x y e e x y e e x y e e+ + +

1 1 2 2 ..(x,y)= n n x y x y x y+ + +

Khi làm việc vớ i cơ sở trực chuẩn thì công việc tính tích vô

hướ ng của hai véctơ rất nhanh gọn!!



5.3 Quá trình trự c giao hóa Gram-Schmidt------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--

Khi làm việc vớ i không gian Euclid V, ta làm việc vớ i cơ sở của

không gian véctơ .

Theo định lý trên và ví dụ ở slide trướ c ta thấy nếu cơ sở là trực

chuẩn thì công việc tính toán rất nhanh (tính tọa độ, tính tích vôhướ ng của hai véctơ , tính độ dài, khoảng cách, …)

.

Bướ c 1. Trướ c hết, ta chọn một cơ sở tùy ý E của V.

Bướ c 2. Dùng quá trình Gram – Schdmidt sau đây đưa E về cơ sở trực giao.

Bướ c 3. Chia mỗi véctơ cho độ dài của nó ta đượ c cơ sở trực chuẩn.

5.3 Quá trình trự c giao hóa Gram-Schmidt--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Quá trình Gram – Schmidt là quá trình đơ n giản dùng đểtìm một cơ sở trực giao, sau đó là cơ sở trực chuẩn cho một

không gian con của không gian Euclid.

Cho là họ độc lập tuy n tính của không

Định lý (quá trình Gram – Schmidt)

1 2, , ...,{ }m E e e e=

gian Euclid V.

1 2, ,...,{ }mF f f f =

Khi đó có thể xây dựng từ E một họ trực giao

sao cho 1 2 1 2, ,..., , ,...,m m f f f e e e< >=< >




Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt

Chọn 1 1 f e=

2 12 2 1

1 1

( , )

( , )

e f f e f

f f ⇒ = −

Tìm 2 2 1 1 f e f α = +

2 1 2 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) f f e f f f α ⇒ = + 2 1 1 1 10 ( , ) ( , )e f f f α ⇔ = +

2 11

1 1

( , )

( , )

e f

f f α ⇒ = −

3 1 3 23 3 1 2

1 1 2 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

e f e f f e f f

f f f f = − −

1 2 11 2 1

1 1 2 2 1 1

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

k k k k k k k

k k

e f e f e f f e f f f f f f f f f

−−

− −

= − − − −⋯

Khi đó { f 1 , f 2 , ..., f m} là cơ sở trực giao của W.

3 3 3 1 1 2 2Tìm ôû daïng f f e f f α α = + +


Ví dụ

Trong cho họ đltt E= {(1,0,1,1), ) , (0,1,1,1), (1,1,1,1)}

Dùng quá trình Gram –Schmidt tìm họ trực giao, họ trực chuẩn.

4 R

1 2 3{ , , }F f f f = 1 1 (1,0,1,1) f e= =Chọn

2 12 2 1

1 1

( , )

( , )

e f f e f

f f = −Tìm

2(0,1,1,1) (1,0,1,1)

3= −

2 1 1( ,1, , )

3 3 3

−=

3 1 3 23 3 1 2

1 1 2 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

e f e f f e f f

f f f f = − −Tìm

Chọn 2 ( 2,3,1,1) f = −2 2 1 1

( , , , )5 5 5 5

− −=

Chọn 3 (2,2, 1, 1) f = − − Họ trực giao cần tìm 1 2 3, ,{ }F f f f =

Chia mỗi vectơ cho độ dài của nó ta đượ c họ trực chuẩn

1 1 1 2 3 1 1 2 2 1 1,0, , , , , , , , , ,

3 3 3 15 15 15 15 10 10 10 10

− − −



5.3 Quá trình trự c giao hóa Gram-Schmidt--------------------------------------------------------------------------------------------------

Bướ c 1. Chọn một cơ sở tùy ý của F :


không gian con

Ví dụ

{ 1 2 3 4

1 2 3 41 2 3 4

0( , , , )

2 3 3 0

x x x xF x x x x

x x x x

+ − + = =

+ − + =

Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của F.

(2, 1,1,0);(0, 1,0,1){ } E = − −

Bướ c 3. Cơ sở trực chuẩn là:

2 1 1 2 5 1 6, , ,0 , , , ,

6 6 6 66 66 66 66

− −

Bướ c 2. Dùng quá trình Gram Schmidt đưa E về cơ sở trực giao

1 2,{ }F f f = 1 1 (2, 1,1,0) f e= = −Chọn

Tìm ở dạng2 f 2 12 2 1

1 1

( , )

( , )

e f f e f

f f = − (2,5,1, 6)= −

5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách.-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong không gian Euclid V cho không gian con F và

một véctơ v tùy ý.

Véctơ v có thể biễu diễn duy nhất dướ i dạng:

| &v f g f F g F ⊥

= + ∈ ∈

véctơ đư c i là hình chiếu vuôn óc của v xuốn F :

prF f v=

Nếu coi véctơ v là một điểm, thì độ dài của véctơ g là khoảng

cách từ v đến không gian con F.

( , ) || || || ||d prF v F g v v= = −



5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách.-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài toán. Cho không gian con F và một vectơ v.

1) Tìm hình chiếu vuông góc của v xuống F .

Giải câu 1). Tìm một cơ sở của F . Giả sử đó là:

v f g= +

2) Tìm khoảng cách từ v đến F .

1 2, ,...,{ }m f f f

1 1 2 2 ... m m x f x f x f g= + + + +

1 1 1 2 1 2 1 1 1

1 2 1 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2

, , ... , , ,

( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , )

... ... ...

( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , )

m m

m m

m m m m m m m

x x x g v

x f f x f f x f f g f v f

f f x f f x f f g f v f

=

+ + + + =

+ + + + =

Giải hệ tìm 1 2, , ..., m x x x1 1 2 2 ...prF m mv f x f x f x f ⇒ = = + +

câu 2). ( , ) || || || ||prF d v F g v v= = −

5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách.--------------------------------------------------------------------------------------------------


không gian con

Ví dụ

{ 1 2 3 4

1 2 3 41 2 3 4

0( , , , )

2 3 3 0

x x x xF x x x x

x x x x

+ − + = =

+ − + = 1) Tìm hình chiếu vuông góc của véctơ xuống F.(1,1,0,1) x =

2) Tìm khoảng cách từ véctơ đến F.(1,1,0,1) x =

1). Tìm một cơ sở của F : 1 2(2, 1,1,0), ( 2,1,0,1){ } E f f = = − = −

1 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2 2 2 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

x f f x f f x f

x f f x f f x f

+ =

+ =

1 2

1 2

6 5 1

5 6 1

x x

x x

− =⇔

− + = −

1 2

1 1,

11 11 x x

−⇔ = = 1 1 2 2F pr x x f x f ⇒ = +

4 2 1 1( , , , )11 11 11 11

− −=

2). ( , ) || || || ||d prF x F g x x= = − 7 13 1 12

, , ,

11 11 11 11

− =

3=



5.4. Hình chiếu vuông góc, khoảng cách.---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong không gian véctơ P2[x] vớ i tích vô hướ ng

1

0

( , ) ( ) ( ) p q p x q x dx= ∫

Cho không gian con

Ví dụ

( ) | (1) 0{ }F p x p= =

1) Tìm hình chiếu của xuống F .2( ) 2 1 f x x x= − +

2) Tìm khoảng cách từ đến F .2( ) 2 1 f x x x= − +

1). Tìm một cơ sở của F : 2

1 2, 1{ } E f x x f x= = − = −

1 1 1 2 1 2 1

1 2 1 2 2 2 2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

f f f f f f

f f f f f f

α α

α α

+ =

+ =Sử dụng tích vô hướ ng đã cho, tìm hệ ptrình, giải, tìm 1 2,α α

Suy ra hình chiếu vuông góc và khoảng cách.



Trườ ng Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứ ng dụng

-------------------------------------------------------------------------------------


Chươ ng 6: Ánh xạ tuyến tính

Giả ng viên Ts. Đặ ng V ă n Vinh

Email : [email protected]

Website: www.tanbachkhoa.edu.vn

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Định ngh ĩ a v à v í dụ.

III – Ma trận của á n h xạ tuy n tính trong cặp cơ sở

II – Nhân và ảnh của á n h xạ tuyến tính

IV –Ma trận chuyển cở sở , đồng dạng




Cho hai tập hợ p tùy ý X và Y khác rỗng.

Định ngh ĩ a ánh xạ

: f X Y → , ! : ( ) x X y Y y f x∀ ∈ ∃ ∈ =

Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi xthuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f ( x)

Ánh xạ f đượ c gọi là đơ n ánh nếu 1 2 1 2( ) ( ) x x f x f x≠ ⇒ ≠

Ánh xạ f đượ c gọi là toàn ánh nếu , : ( ) y Y x X y f x∀ ∈ ∃ ∈ =

Ánh xạ f đượ c gọi là song ánh nếu đơ n ánh và toàn ánh.


Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnhcủa mọi phần tử thuộc X.

Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ.

Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ,bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,…



I. Định ngh ĩ a và ví dụ------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a ánh xạ tuyến tính

Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trườ ng số K.

Ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ V, W: W f V →

là một ánh xạ thỏa

2. ( , ) ( ) ( ) K v V f v f vα α α ∀ ∈ ∀ ∈ =

1. 1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( ) ( )v v V f v v f v f v∀ ∈ + = +


Chứng tỏ ánh xạ cho bở i23: R R f →

21 2 1 3 1 33( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 ) x x x x x x x x f x∀ = = + − +

Ví dụ

là ánh xạ tuyến tính.

1 2 3 1 2 3 3( , , ); ( , , ) x x x x y y y y R∀ = = ∈

1 1 2 3 32( ) ( , , )

y x y x f x y y f = + ++ +

3 3 31 1 1 32 21 3 2( ) ( ,3 )2 22 x y x x y x y x y x y f y + ++ ++ − − += +

1 13 312 1 3233 3( ) ( ,2 2)2 2( , ) x x y y f x y x y y y x+ = + − + − +++

( ) ( ) ( ) f x y f x f y+ = +

Tươ ng tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyếntính.





I. Định ngh ĩ a và ví dụ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 2: f R R→

(1,1,1) (1,2), f =(1,1,0) (2, 1), f = − (1,0,1) ( 1,1); f = −

1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f ( x)

2. Giả sử 1 2 3( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) x x x α β γ = = + +

1 xα β γ + + = 1 3 x xα = −

2

3

x

x

α β

β γ

⇔ + =

+ =

1 2 3

1 2

x x

x x

β

γ

⇔ = − + +

= −

1 2 3( ) ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) f x f x x x f f f α β γ ⇔ = = + +

1 3 1 2 3 1 2( ) ( )(2, 1) ( )(1,2) ( )( 1,1) f x x x x x x x x= − − + − + + + − −

2 3 1 2 3( ) (2 , 2 3 ) f x x x x x x= − − + +

Ánh xạ f đượ c xác định hoàn toàn


Ví dụCho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyzquanh trục 0z một góc 30o ngượ c chiều kim đồng hồ nhìn từhướ ng dươ ng của trục 0z. Tìm f ( x).

Đây là ánh xạ3 3: f R R→ z

n u t ượ c n c a m t cơ s c a R3. Chọn cơ sở chính tắc

oy

x

(0,0,1) (0,0,1) f =

3 1(1,0,0) ( , ,0)

2 2 f =

1 3(0,1, 0) ( , , 0)

2 2 f

−=

1 2 1 2 3

3 1 1 3

( ) ( , , )2 2 2 2 f x x x x x x⇒ = − +



Ánh xạ f đượ c xác định hoàn toàn nếu biết đượ c ảnh của mộtcơ sở của R3.


Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính là phép đối xứng trong không gian0xyz qua mặt phẳng . Tìm f ( x).

Tươ ng tự ví dụ trướ c, đây là ánh xạ3 3

: f R R→

2 3 0 x y z− + =

(2, 1,3) ( 2,1, 3) f − = − −

(1,2,0) (1,2,0) f = (0,3,1) (0,3,1) f =

( ) f x⇒

Nếu chọn cơ sở chính tắc thì việc tìm ảnh qua mặt phẳng đãcho phức tạp. Ta chọn cơ sở của R3 là: pháp véctơ của mặtphẳng và cặp véctơ chỉ phươ ng của mặt phẳng.


Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính?Ví dụ

1. ),32(),(;: 1212122 x x x x x f R R f +=→

2. )0,2(),(;: 212122 x f R R f +=→

3. )1,2(),(;: 1212122 +−=→ x x x x f R R f

4. ),1(),(;: 212122 x x x f R R f −=→

5. ),(),(;: 2

1212122 x x x x x f R R f +=→

6 ),(),(;: 122122 x x x x f R R f =→



II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho ánh xạ tuyến tính.

Định ngh ĩ a nhân của ánh xạ tuyến tính

W V f →:

}{ 0)(| =∈= x f V xKerf

Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợ p tất cả các vectơ x

của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0.

V W

0Ker f


Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợ p tất cả các phần tử y

của không gian véctơ W sao cho tồn tại để y = f(x).

Định ngh ĩ a ảnh của ánh xạ tuyến tính

}{ )(:|Im x f yV xW y f =∈∃∈=

Cho ánh xạ tuyến tính. W V f →:

x V ∈

V W

Im f




Định lý

Cho ánh xạ tuyến tính W V f →:

1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V .

. n c a n xạ tuy n t n ng g an con c a .

3. dim(ker f ) +dim(Im f ) = dim (V )

Chứng minh.


3. dim(ker f ) +dim(Im f ) = dim (V )Chứng minh.Giả sử dim(Ker f ) = m.Tồn tại cơ sở của nhân 1 2, , ...,{ }m E e e e=

Bổ sung vào E để đượ c cơ sở của V: 1 1 1,..., , ,..., }{ m n E e e v v=

Ta chứng tỏ cơ sở của Im f là: 2 1( ),..., ( ){ }n E f v f v=

Im : ( ) y f x V y f x∀ ∈ ⇔ ∃ ∈ =

1 1 1 1( ... ... )m m n n y f e e v vα α β β ⇔ = + + + + +

1 1 1 1( ) ... ( ) ( ) ... ( )m m n n y f e f e f v f vα α β β ⇔ = + + + + +

1 1( ) ... ( ).n n y f v f v β β ⇔ = + + Vậy E2 là tập sinh của Im f .

1) E2 là tập sinh:




2) Chứng minh E2 độc lập tuyến tính.

1 1( ... ) 0n n f v vα α ⇔ + + =

1 1 ... .ern nv v K f α α ⇔ + + ∈

1 1 1 1... ...n n m mv v e eα α β β ⇔ + + = + +

1 1( ) ... ( ) 0n n f v f vα α + + =Giả sử

1 1 1 1... ... 0n n m mv v e eα α β β ⇔ + + − − − =

Vì E1 độc lập tt nên 1 2 ... 0mα α α = = = =

Suy ra E2 độc lập tuyến tính. Vậy E2 là cơ sở của Im f .

dim(Im f ) = n. Hay dim(Im f ) + dim(Ker f ) = m + n = dim(V ).


Mệnh đềẢnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con đượ c sinh rabở i ảnh của một tập sinh của V.

Chứng minh.1 2, , ...,{ }n E e e e=Giả sử tập sinh của V là

Im y f ∀ ∈ : ( ) x V y f x⇔ ∃ ∈ = Vì x thuộc V nên x là thtt của E.

= n n

1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n n y x f e x f e x f e= + + +

1 2( ), ( ),..., ( ){ }nF f e f e f e= sinh ra y.

1 2Im ( ), ( ),..., ( )n f f e f e f e⇒ =< >

Lập ma trận, dùng bđsc đối vớ i hàng đưa về bậc thang, kết luận:




Các bướ c tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính.

1. Chọn một cơ sở của V là 1 2, , ...,{ }n E e e e=

3. 1 2Im ( ), ( ),..., ( )n f f e f e f e=< >

2. Tìm 1 2( ), ( ),..., ( )n f e f e f e

Chú ý: a) Còn có nhiều cách giải khác.

b) Tùy theo đề bài mà ta chọn cơ sở (ở bướ c 1) phù hợ p, để việctìm ảnh của cơ sở đó nhanh.


Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3: f R R→

31 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

( , , ) :

( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 )

x x x x R

f x f x x x x x x x x x x x x

∀ = ∈

= = + − + − + −

1. Tìm cơ sở và chiều của Ker f .

1 2 3( , , ) Ker x x x x f ∀ = ∈ ( ) 0 f x⇔ =

1 2 3 1 2 3 1 2 3( ,2 3 ,3 5 ) (0,0,0) x x x x x x x x x⇔ + − + − + − =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

2 3 0

3 5 0

x x x

x x x

x x x

+ − =

⇔ + − = + − =

1 2 32 ; ; x x xα α α ⇔ = = − =

(2 , , ) x α α α ⇒ = −

(2, 1,1) x α ⇔ = −

Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Ker f

dim(Ker f ) = 1.






(1,1,1),(1,1,2), (1,2,1){ } E =Cách 2. Chọn cơ sở Ker x f ∀ ∈ ( ) 0 f x⇔ =

Giả sử tọa độ của x trong E là1

2

3

[ ] E

x

x x

x

=

1 2 3

(1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) x x x⇔ = + +

1 2 3( ) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) f x x f x f x f ⇒ = + +

1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( 2 5 ,2 4 , )⇔ = + + + + − − f x x x x x x x x x x

Hệ thuần nhất, giải ra có( ) 0 f x = 1 2 3, 2 ,x x x α α α = − = − =

2[ ]

α

α α

−

= −

E x

(1,1,1) 2 (1,1,2) (1,2,1)x α α α ⇔ = − − +

( 2 , , 4 ) (2,1, 4)x α α α α ⇔ = − − − = −

Cơ sở của Ker f E={(2,1,4)}, dim(Ker f ) = 1.


Ví dụCho ánh xạ tuyến tính , biết3 3: f R R→

2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Im f .

(1,1,1) (1,2,1); f = (1,1,2) (2,1, 1); f = − (1,2,1) (5,4, 1); f = −

Chọn cơ sở của R3 là (1,1,1),(1,1,2), (1,2,1){ } E =

ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3.

Im (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1) f f f f =< >

Im (1,2,1),(2,1, 1),(5,4, 1) f =< − − >

Lập ma trận, dùng bđsc đối vớ i hàng đưa về bậc thang, kết luận:

dim(Im ) 2 f = Cơ sở : E={(1,2,1), (0,1,1)}



Có thể tìm f(x) như ở ví dụ trướ c rồi


Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyzquanh trục 0z một góc 30o ngượ c chiều kim đồng hồ nhìn từhướ ng dươ ng của trục 0z.

Tìm cơ sở và chiều của nhân và ảnh. z

t m n n v n .

o

x

Ta giải bằng cách lập luận đơ n giản sau:

Qua phép quay chỉ có mỗi véctơ 0 cóảnh bằng 0. Vậy nhân chứa một véctơ

0, dim(Ker f ) = 0, không có cơ sở .dim(ker f ) + dim(Im f ) = dim (R3). Suy ra dim(Im f ) = 3

Vậy Im f = R3.


Ví dụTìm một ánh xạ tuyến tính , biết4 3: f R R→

1 2Im (1,1,1), (1, 2,1) f f f =< = = >

1 2er (1,1,1,0), (2,1,0,1)K f e e=< = = >

1 1 1 0e

2(2,1,0,1)e

3(0,0,1,1)e

4(0,0,0,1)e

(0,0,0)

1(1,1,1) f

2 (1,2,1) f

1 2( ) ( ) 0 f e f e= = 3 4( ) (1,1,1), ( ) (1,2,1) f e f e= =

( ) f x⇒ Chú ý: lờ i giải không duy nhất!



III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a ma trận của ánh xạ tuyến tính.

Ma trận cở mxn vớ i cột thứ j là tọa độ của véctơ trong( ) j f e

E = {e1 , e2 , …, en} là một cơ sở của V .

F = { f 1 , f 2 , …, f m} là một cơ sở của W .

Cho ánh xạ tuyến tính W V f →:

cơ sở F đượ c gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở E và F .

, 1 2[ ( )] [ ( )] [ ( )] E F F F n F A f e f e f e

=

⋯


Ánh xạ cho bở i3: R R f →

1 2 3 1 2 3 1 3( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 )∀ = = + − + x x x x f x x x x x xVí dụ

Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở

{ }; { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0) (1,1),(1,2)E F = =

3 −

Vậy ma trận cần tìm là

, , , , ,

3

F

(1,0,1) ( 2,3)f = − [ ](1,7

0,1)5

F f

⇒ =

−

(1,1,0) (3,2)f = [ ](1,4

1,0)1

F f

⇒ = −

7

5

3

3

4

1A

−

=

−−




1. Cho ánh xạ tuyến tính . Khi đó tồn tại duy nhấtmột ma trận AE,F cở mxn sao cho

: f V W →

,[ ( )] [ ]=F E F E f x A x

vớ i E và F là hai cơ sở trong V và W tươ ng ứng.

Định lý

2. Cho ma trận trên trườ n s K. Khi đó t n tại( ) A a×

=

duy nhất một ánh xạ tuyến tính thỏa: n m

f K K →

,[ ( )] [ ]=F E F E f x A x

Chú ý: Mỗi một ánh xạ tuyến tính tươ ng ứng duy nhất một ma trận

và ngượ c lại.Ta coi ánh xạ tuyến tính là ma trận. Thông thườ ng không phân biệthai khái niệm này.


Ví dụ

E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} làCho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trongcặp cơ sở

3 2: f R R→

1. Tìm f (3,1,5),

2 1 3

0 3 4 E F A

− =

Bướ c 1. Tìm tọa độ của (3,1,5) tron cơ sở E:

3

(3,1,5) 2[ ]

=

Bướ c 2. Sử dụng công thức ,[ ( )] [ ]F E F E f x A x=

Bướ c 3. Đổi tọa độ của ảnh cần tìm sang cơ sở chính tắc.

2 −

32 1 3 14

[ (3,1,5)] 20 3 4 2

2

F f

−

= = − −

(3,1,5) 14(1,1) 2(2,1) (10,12) f = − =



III. Ma trận của ánh xạ tuy n tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} làCho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trongcặp cơ sở

3 2: f R R→

2. Tìm f ( x),

2 1 3

0 3 4 E F A

− =

= = , , , , , ,

1 2 3 1 2 1 3; ;x x x x x x x α β γ ⇔ = − + + = − = −

[ ]1 2 3

1 2

1 3

E

x x x

x x x

x x

− + + ⇔ = −

−

III. Ma trận của ánh xạ tuy n tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[ ]

1 2 3

1 2

1 3

2 1 3( )

0 3 4F

x x x

f x x x

x x

− + + −

⇔ = − −

Theo công thức ta có: [ ] [ ],( ) .F E F E f x A x =

[ ] 1 2 3

1 2 3

4 5( )

7 3 4F

x x x f x

x x x

− + +

⇔ = − −

1 2 3 1 2 3( ) ( 4 5 )(1,1) (7 3 4 )(2,1)f x x x x x x x ⇔ = − + + + − −

1 2 3 1 2 3( ) (10 5 3 ,3 2 )f x x x x x x x ⇔ = − − − +




Ví dụ

Cho là ánh xạ tuyến tính.3 3: f R R→

Giả sử

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ,2 ,3 4 ) f x f x x x x x x x x x x x x= = + + + − + −

2. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở

E = {(1,1,1); (1,1,2); (1,2,1)}.

3. Tính f (2,1,5) sử dụng 2), so sánh vớ i 1).

III. Ma trận của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ

Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} là

1. Tìm f (2,3,-1) 2. Tìm cơ sở và chiều của nhân Ker f .

,

1 1 1

2 3 3

1 2 4

E E A

−

=

3 3: f R R→

Cách 1. Để tìm ker f , có thể tìm f (x) rồi làm tiếp.Cách 2. ker ( ) 0 x f f x∈ ⇔ =

Giả sử1

2

3

[ ] E

x

x x

x

=

[ ( )] 0 E f x⇔ = , .[ ] 0 E E E A x⇔ =





VI. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

{ }; { }' ' ' '

1 2 1 2, ,..., , ,...,n n E e e e E e e e = =Cho hai cơ sở của kgvt V:

(1)1 1 2 2 ... n n x V x x e x e x e ∀ ∈ ⇔ = + + +

(2)' ' ' ' ' '1 1 2 2 ... n n x x e x e x e = + + +

'1 11 1 21 2 1... n n e a e a e a e = + + +

'= n n

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯'

1 1 2 2 ...n n n nn n e a e a e a e = + + +

'1 11 1 21 2 1

'2 12 1 22 2 2

'1 1 2 2

( ... )

( ... ) ...

( ... )

n n

n n

n n n nn n

x x a e a e a e

x a e a e a e

x a e a e a e

= + + + +

+ + + + + +

+ + + +

III. Ma trận chuyển cơ sở , đồng dạng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

& (2)

'

111 12 11'

21 22 22 2

'1 2 ,

(1)

n

n

n n n n n n

x a a a x a a a x x

a a a x x

⇒ =

⋮

⋮

⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋮ ⋮

⋮

11 12 1n a a a

⋮

1 2 ,

n

n n n n

P

a a a

=

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋮

Ma trận

đượ c g

ọi là ma tr

ậnchuyển cơ sở từ E sang E’.

Ta có: [ ] [ ] '.E E x P x =

Cấu trúc ma trận P:

( )' ' '1 2[ ] [ ] [ ]E E n E P e e e = ⋯




Ví dụ

E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)}Trong R3 cho cặp cơ sở :

1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang E’.

E’ = {(1,1,2); (1,2,1); (1,1,1)}

'=

'

2

=

1 −

Tươ ng tự ta tìm đượ c: '2

2

1

0

[ ]E e

=

−

'3[ ]

1

0

0

E e

=

2

1

0

1

0

0

2

0

1

P ⇒ = −

−


{ }; { }' ' ' '

1 2 1 2, ,..., , ,...,n n E e e e E e e e = =Cho hai cơ sở của V:Cho ánh xạ tuyến tính W:f V →

{ }; { }' ' ' '

1 2 1 2, ,..., , ,...,m m F f f f F f f f = =Cho hai cơ sở của W:

Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E’.

là ma trận chu ển cơ sở từ F vào F’.

A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E và F.

Khi đó là ma trận của f trong cặp cơ sở E’ và F’.1EF Q A P

−

[ ( )] [ ]F EF E f x A x =' '[ ( )] [ ]EF F E

Q f x A P x ⇔ =

' '

1[ ( )] [ ]EF F E

f x Q A P x −

⇔ =




E FAP

Tóm tắt slide vừa rồi trong sơ đồ như sau:

E’ F’Q-1AP

Chú ý: Q là ma trận chuyển cơ sở từ F sang F’, nên Q khả nghịch.


{ }; { }' ' ' '

1 2 1 2, ,..., , ,...,n n E e e e E e e e = =Cho hai cơ sở của V:Cho ánh xạ tuyến tính V:f V →

Giả sử P là ma trận chuyển cơ sở từ E vào E’.

A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E.

1−

Khi đó là ma trận của f trong cơ sở E’.1P AP

−

' 'E E

=

E E

E’ E’

A

P P

P-1AP



Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,2,1); (1,1,2); (1,1,1)} là


3 3: f R R→

Ví dụ

,

1 0 1

2 1 4

1 1 3 E E

A

=

Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính

trong cơ

sở

chính tắc.

Cơ sở chính t c: { }(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)F =

Giả sử ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là P.

Ma trận cần tìm là 1B P AP

−=

Tìm ma trận P lâu. Các cột của P là tọa độ của các các véctơ của F trong E. Ma trận là ma trận chuyển từ F sang E.1

P −

1

1 1 1

2 1 1

1 2 1

P −

=

Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở là


: → f V V

Ví dụ

,

2 1 3

1 2 0

1 1 1

=

−

E E ATìm ma trận của f trong cơ sở

Giả sử ma trận chu ển cơ sở từ E san F là P.

{ , ,2 }1 2 3 1 2 3 1 2 32E e e e e e e e e e = + + + + + +

{ , , }1 2 3 1 2 2 3F e e e e e e e = + + + +

Ma trận cần tìm là 1B P AP −=

Tìm ma trận P. Các cột của P là tọa độ của các các véctơ của Ftrong E.

1 2 2

0 1 0

0 1 1

P

−

=

−




Cho hai ma trận vuông A và B cấp n trên cùng trườ ng K.

Định ngh ĩ a hai ma trận đồng dạng

A và B đượ c gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận khả nghịchP sao cho P-1 A P = B.

Hệ quả

A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở E, E.

Cho ánh xạ tuyến tính V.:f V →

B là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở F, F.

Khi đó A và B là hai ma trận đồng dạng.






Chươ ng 7: Trị riêng, véctơ riêng


[email protected]

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

7.2 – Chéo hóa ma trận.

7.3 – Chéo hóa ma tr n đ i xứ n bở i ma tr n tr c iao.

7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.

7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.



7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Av

u

Ví dụ. 3 2

1 0 A

− =

1

1u

− =

2

1v

=

Tính và . Hãy cho biết nhận xét.Au Av

Au

Số đượ c gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x kháckhông, sao cho . Ax xλ =

λ

Khi đó, véctơ x đượ c gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A

tươ ng ứng vớ i trị riêng .λ


Giải 1 6 6 24− = =

Ví dụ

1 6

5 2 A

=

6

5u

=

−

3

2v

=

−

Véctơ nào là véctơ riêng của A?

6 = − = −

5 2 5 20−

Ta có 4.Au u = − là véctơ riêngu ⇒

1 6 3 9

5 2 2 11

− = =

− Av

Không tồn tại số đểλ Av v λ = không là véctơ riêngv ⇒

5−






Bướ c 1. Lập phươ ng trình đặc trưng det( ) 0.λ − = A I

(Tính định thức ở vế trái, ta có phươ ng trình bậc n theo )λ

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n.

Bướ c 2. Giải phươ ng trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm củaphươ ng trình đặc trưng là trị riêng của A và ngượ c lại.

Bướ c 3. Tìm VTR của A tươ ng ứng TR (chẳng hạn)1λ

1( ) 0.λ − = A I X bằng cách giải hệ phươ ng trình

Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứngvớ i trị riêng 1.λ


Không gian nghiệm của hệ đượ c gọi là

Định ngh ĩ a

1( ) 0A I X λ − =

Bội đại số của trị riêng là bội của trị riêng trong phươ ngtrình đặc trưng.

λ Định ngh ĩ a

λ

Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêngtươ ng ứng vớ i trị riêng đó.

Định ngh ĩ a

không gian con riêng ứng vớ i TR , ký hiệu1λ 1E λ



Định lý. Các véctơ riêng ứng vớ i các trị riêng khác nhau thìđộc lập tuyến tính.

{ 1 2, ,..., m E x x x= là các VTR ứng vớ i các TR khác nhau

1 2, ,..., mλ λ λ là các trị riêng tươ ng ứng.

Giả sử hạng của bằng E r

Có thể iả sử là họ véctơ ĐLTT cực đại của E .... x x x

Khi đó là tổ hợ p tuyến tính của1r x+ 1 2, ,..., r x x x

11

r

r i ii

x x+=

⇔ = α∑ ( ) ( )1 1 11

r

r r r i ii

A I x A I x+ + +=

⇒ − λ = − λ α∑

( )11

0r

i i r ii

x+=

⇔ = α λ − λ∑ vì ĐLTT nên1 2, ,..., r x x x

, 0ii∀ α = 1 0r x+

⇒ = vô lý vì là VTR.

Định lý. BHH của trị riêng luôn nhỏ hơ n hoặc bằng BĐS của nó.

{ }0 1 2dim( ) , ,..., r r E e e eλ = ⇒ ∃ = là cơ sở của KGCR.

Bổ sung vào E để có cơ sở của lànK { }1 2, ,..., ,...,r ne e e e

Đặt1 2, ,..., nP e e e =

1P AP

− 11 2, ,..., nP Ae Ae Ae− =

10 1 0 2, ,..., nP e e Ae− = λ λ

0

01

0 0 *

0 * *

0 0 0

P AP−

λ ⇔ =

⋯

⋱ ⋯

⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋮

⋮1

P AP− đồng dạng vớ i A.

Bội đại số r ≥






Ví dụ. 1 1 1

1 1 1

1 1 1

=

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

ATìm trị riêng; cơ sở , chiềucủa các kgian con riêng ứngcủa ma trận vuông cấp n.

Xét phươ ng trình đặc trưng: det( ) 0A I λ − =

Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng1, ta có thừa số chung là suy ra là trị riêng thứ 2.( )n λ − 2 n λ =

Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằng .1 0λ =

Tươ ng ứng vớ i TR xét hệ thuần nhất 1

( ) 0A I X λ − =1

0λ =

Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH củaTR này bằng n – 1, suy ra BĐS của lớ n hơ n hoặc bằng n -1.1λ

Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa!


1 là trị riên của Aλ

Ví dụ. Cho là trị riêng của ma trận vuông A.0λ

1) Chứng tỏ là trị riêng của ma trận Am.0m λ

2) Giả sử A khả nghịch, chứng tỏ là trị riêng của A-1.

0

1

λ

0 :x Ax x λ ⇔ ∃ ≠ =

0 0 0 0. ... . ....m A x A A Ax A A A x λ = = 0 0... m x λ = =

Chứng tỏ là trị riêng của Am.0m λ



7.2 Chéo hóa ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức làcùng chung tập trị riêng).

Định lý

Giả sử hai ma trận A và B đồng dạng, tức là 1( ) .P P AP B −

∃ =

− 1−

= − 1 1− −

= −

1det( ( ) )P A I P λ −

= − 1

det( ).det( ).det( )P A I P λ −= −

det( )A I λ = − Vậy A và B cùng đa thức đặc trưng.

Hai ma trận đồng dạng có cùng trị riêng nhưng các véctơ riêng thì khác nhau.

Chú ý.

7.2 Chéo hóa ma trận------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trận vuông A gọi là chéo hóa đượ c nếu A đồng dạng vớ ima trận chéo.

Định ngh ĩ a

Tức là tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho 1P AP D −

=

trong đó D là ma trận chéo.

Không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa đượ c.

Chéo hóa ma trận A là tìm ra ma trận khả nghịch P và matrận chéo D.

Ta phân tích cấu trúc của ma trận P và cấu trúc ma trận D.



Giả sử ma trận vuông A chéo hóa đượ c bở i ma trận P và D.

11 1

1

n

n nn

a a

A

a a

=

⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋯

1

2

0 0

0 0

0 0 n

D

λ

λ

λ

=

⋮

⋮

⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋮

7.2 Chéo hóa ma trận------------------------------------------------------------------------------------------

11 1

1

n

n nn

p p

P

p p

=

⋯

⋯ ⋯ ⋯

⋯

( )*1 *2 *n P P P = ⋯

Trong đó là các cột thứ 1, thứ 2, …., thứ ntươ ng ứng của ma trận P.

*1 *2 *, ,..., n P P P

11 11

1

1 1

1

n n

n nn nn n

a a p

AP

a a p

p

p

⇒

⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯

Cột thứ nhất của AP là:

7.2 Chéo hóa ma trận------------------------------------------------------------------------------------------

AP PD ⇔ =

1

P AP D −

=Ta có

*1AP =

Cột thứ nhất của PD là

111 1

1 0n

n

nn n

p

PD

p

p

p λ

λ ⇒

⋯ ⋯

⋯

⋯

⋯

⋯⋯*11P λ =

Vậy*1 1 *1AP P λ = Hay là trị riêng của A.1λ

là véctơ riêng của A tươ ng ứng vớ i trị riêng*1P 1.λ



7.2 Chéo hóa ma trận------------------------------------------------------------------------------------------

Hoàn toàn tươ ng tự ta thấy:

Tất cả các cột của ma trận P là các véctơ riêng của A.

Các phần tử nằm trên đườ ng chéo của D là các trị riêng của A.

Vì P là ma trận khả nghịch nên tất cả các cột (các véctơ riêngcủa A) độc lập tuyến tính.

Định l

Ma trận vuông A cấp n chéo hóa đượ c khi và chỉ khi tồn tại n

véctơ riêng độc lập tuyến tính.

Nếu ma trận vuông A cấp n có đúng n trị riêng phân biệt thìA chéo hóa đượ c.

Hệ quả 1.

7.2 Chéo hóa ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trận vuông A cấp n chéo hóa đượ c khi và chỉ khi bội hìnhhọc của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng.

Hệ quả 2 (thườ ng sử dụng trong bài tập)

Giả sử phươ ng trình đặc trưng của A l à 2 1( 2) ( 3) 0λ λ − + =

1 3λ = − Bội đại số = 1 Bội hình học = 1

2 2λ =

Bội đại s = 2 Bội hình học = ?Để tìm BHH của TR ta tìm chiều của không gian conriêng (khgian nghiệm) tươ ng ứng của hệ

2 2λ =

2( ) 0.A I X λ − =

Nếu BHH của bằng 2, thì BHH của cả hai trị riêng bằngBĐS của chúng, suy ra A chéo hóa đượ c để tạo nên ma trận P.

2 2λ =

Trong trườ ng hợ p này, ta chọn đủ 3 VTR độc lập tuyến tính: 1

VTR ứng vớ i và 2 VTR ứng vớ i .1λ 2λ



7.2 Chéo hóa ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bướ c 1. Lập phươ ng trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng. Xácđịnh bội đại số của từng trị riêng.

Các bướ c chéo hóa ma trận vuông A cấp n.

Bướ c 2. Giải các hệ phươ ng trình tươ ng ứng vớ i từng trịriêng. Tìm cơ sở của các không gian con riêng. Xác địnhbội hình học của trị riên .

Bướ c 3. Nếu bội hình học của một TR nào đó nhỏ hơ n BĐScủa TR này thì A không chéo hóa đượ c.

Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa đượ c. Ma trận P có

các cột là các cơ sở của những kgian con riêng. Các phần tửtrên đườ ng chéo chính của D là các trị riêng.

7.2 Chéo hóa ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. Chéo hóa ma trận A ( nếu đượ c).

1 3 3

3 5 3

3 3 1

A

= − − −

Bướ c 1. Tìm tất cả các trị riêng của A3 2 2

0 det( ) 3 4 ( 1)( 2) A I λ λ λ λ λ = − = − − + = − − +

1 1λ = Bội đại số = 1 Bội hình học = 1

2 2λ = − Bội đại số = 2 Bội hình học = ?



7.2 Chéo hóa ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bướ c 2. Tìm 3 véctơ riêng độc lập tuyến tính của A

Giải hệ phươ ng trình tuyến tính thuần nhất.1 1λ =

( )

1

1 2

3

0 3 3 0

3 6 3 0

3 3 0 0

x

A I X x

x

λ

− = − − − =

1 1λ =Cơ sở : 1

1

1

1

= −

v

2 2λ = −Cơ sở : 2 3

1 1

1 ; 0

0 1

u u

− − = =

7.2 Chéo hóa ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bướ c 3. BHH của 22 dim( ) 2E λ λ = = = BĐS của .2λ

BHH của11 dim( ) 1E λ λ = = = BĐS của .1λ

Vậy A chéo hóa đượ c. 1 1 1

1 1 0

1 0 1

− −

= −

PThiết lập ma trận P:

1 0 0

0 2 0

0 0 2

D

= −

−

Thiết lập ma trận D:

Chú ý: các cột của ma trận P có thể đổi chổ cho nhau, miễnsao TR và VTR tươ ng ứng nằm trên cùng một cột.



7.2 Chéo hóa ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ 6. Chéo hóa ma trận A ( nếu đượ c).

2 4 3

4 6 3

3 3 1

A

= − − −

3 2 2= − = − − = − −

1

1

1

1

u

= −

2

1

1

0

u

−

=

Cơ sở : 1 1λ = Cơ sở : 2 2λ = −

BĐS của là 2 lớ n hơ n BHH của .2 2λ = − 2λ

Suy ra A không chéo hóa đượ c.

7.2 Chéo hóa ma trận---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ. a) Chéo hóa ma trận A nếu đượ c.

5 0 0 0

0 5 0 0

1 4 3 0

1 2 0 3

A

=

−

− − −

b) Tính A100

2 20 det( ) ( 5) ( 3) A I λ λ λ = − = − +

1 2

8 16

4 4;

1 0

0 1

u u

− − = =

Cơ sở :1 5λ =





7.3 Chéo hóa ma trận đối xứ ng bở i ma trận trự c giao---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trận vuông thực A thỏa aij = a ji vớ i mọi i = 1,….n và j =1,…,nđượ c gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT)

Định ngh ĩ a ma trận đối xứng thực

Định ngh ĩ a ma trận trực giao

Ma trận vuông A đượ c gọi là ma trận trực giao nếu A-1=AT .

1/ 2 1/ 18 2 / 3

0 4 / 18 1/ 31/ 2 1/ 18 2 / 3

−

=

−

P

7.3 Chéo hóa ma trận đối xứ ng bở i ma trận trự c giao----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trận vuông A là ma trận trực giao nếu các cột của A tạo nênhọ trực chuẩn.

Hệ quảĐể thiết lập ma trận trực giao ta dùng hệ quả sau.

Ma trận vuông A đượ c gọi là chéo hóa trực giao nếu tồn tạima trận trực giao P và ma trận chéo D sao cho

A = PDP-1=PDPT .

Định ngh ĩ a







3. Giả sử là một cặp trị riêng, véctơ riêng

Chứng minh

( )1 1, xλ

là một cặp trị riêng, véctơ riêng khác( )2 2, xλ

( ) ( )1 1 1 1 2 1 1 2, , Ax x Ax x x x= λ ⇔ = λ

( ) ( )1 2 1 1 2,T

x x x x⇔ = λ ( )1 2 1 1 2,T T

x A x x x⇔ = λ

( )1 2 1 1 2,T

x Ax x x⇔ = λ ( )1 2 2 1 1 2,T

x x x x⇔ λ = λ

( ) ( )2 1 2 1 1 2

, , x x x x⇔ λ = λ ( )( )2 1 1 2

, 0 x x⇔ λ − λ =

( )1 2, 0 x x⇔ = Vậy hai véctơ riêng này vuông góc vớ i nhau.


Bướ c 1. Lập phươ ng trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng.Các bướ c chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực.

Bướ c 2. Giải các hệ phươ ng trình tươ ng ứng vớ i từng trịriêng. Tìm cơ sở TRỰ C CHUẨN của các kgian con riêng.

Bướ c 3. Ma trận P có các cột là các cơ sở TRỰ C CHUẨN của.

Các phần tử trên đườ ng chéo chính của D là các trị riêng.

Chú ý: Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa đượ c nên không cầnxác định bội đại số và bội hình học.

Để tìm cơ sở trực chuẩn của một không gian con riêng nào đó tachọn một cơ sở tùy ý rồi dùng quá trình Gram – Schmidt (nếu cần).




Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực sau:

3 2 4

2 6 24 2 3

−

= −

A

Ví dụ

20 det( ) ( 7) ( 2) A I λ λ λ = − = − − +

1 2

1 1

0 ; 2

1 0

−

= =

x xCơ sở của không gian conriêng :

1

7λ = E

Lập phươ ng trình đặc trưng


1 1

1

0 ;

1

= =

f x 2 1

2 2 1 2

1 1

1( , )

4( , )

1

−

= − ⇒ =

x f f x f f

f f

Dùng quá trình Gram – Schmidt, tìm cơ sở trực giaocủa không gian con riêng :

1

7λ = E { }1 2,F f f =

Trực chuẩn hóa, tìm cơ sở trực chuẩn của :1 7λ = E

1/ 181/ 2

0 ; 4 / 18

1/ 2 1/ 18

−

=

E






Ví dụ. Tìm ma trận đối xứng thực cấp 3 (khác vớ i ma trậnchéo) sao cho có ba trị riêng là .

1 2 32; 1; 1λ λ λ = = − =

A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa đượ c bở i ma trậntrực giao P và ma trận chéo D. 2 0 0

0 1 0

0 0 1

D

= −

Theo đề bài ta có ma trận chéo:

.

Chọn một cơ sở tùy ý (khác vớ i cơ sở chính tắc) của R3:

{ }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E =

Dùng quá trình Gram – Schmidt đưa E về cơ sở trực giao, sau

đó trực chuẩn hóa, ta đượ c cơ sở trực chuẩn.Các cột của ma trận trực giao P là cơ sở trực chuẩn này.

Kết luận. Ma trận đối xứng thực cần tìm: 1 T A PDP PDP −

= =


Cho A là ma trận đối xứng thực cấp 3.

Chứng tỏ rằng ma trận khả nghịch.A iI −

Trong đó i là đơ n vị ảo, và I là ma trận đơ n vị cùng cấp A.

Ví dụ.

A là ma trận đ i xứng thực nên trị riêng của A là những s thực.Nếu , thì i là trị riêng của ma trận đối xứng A(điều không thể xảy ra)

det( ) 0A iI − =

det( ) 0A iI − ≠Vậy

Hay ( A – iI ) khả nghịch.



7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong chươ ng ánh xạ tuyến tính ta biết: có thể coi ánh xạ tuyếntính là ma trận, cho nên tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạtuyến tính là tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận.

Chéo hóa ánh xạ tuyến tính là chéo hóa ma trận.

S đượ c ọi là trị riên của A, n u t n tại véctơ λ ∈ K

Định ngh ĩ a

Cho V là K-kgvt, ánh xạ tuyến tính .:f V V →

x V ∈

khác không, sao cho .( ) λ = f x x

Khi đó, véctơ x đượ c gọi là véctơ riêng của ánh xạ tuyếntính f tươ ng ứng vớ i trị riêng .λ

Chú ý: véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính là véctơ có ảnh tỉ lệvớ i véctơ ban đầu.

Nếu xét trong không gian thực: VTR là véctơ có ảnh cùngphươ ng vớ i véctơ ban đầu (tạo ảnh).


Giả sử véctơ 0 00; ( )v v α ≠ ∈ Khi đó: 0 0( )f v v = 01.v =

Suy ra là VTR của f và là trị riêng của f.0v 0 1λ =

Cho ánh xạ tuyến tính f là phép đối xứng qua mặt phẳng

y = x trong hệ trục tọa độ 0xyz. Tìm TR và VTR của f.

Ví dụ

( )α

Khi đó: 1 1( )f v v = − 1( 1).v = −

Suy ra là VTR của f và là trị riêng của f.1v 1 1λ = −

Giả sử véctơ 1 10; ( )v v α ≠ ⊥

c c c vec ơ c ng u c ng vα 0

Tất cả các vectơ vuông góc vớ i là VTR ứng TR( )α 0≠ 1λ

Không còn TR, VTR loại khác. (tại sao?)




Giả sử là TR của axtt f 0λ 0 0 0 0 00; : ( )x x V f x x λ ⇔ ∃ ≠ ∈ =

Cho V là K-kgvt, E là một cơ sở của V.

: .f V V →Cho ánh xạ tuyến tính

A là ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E.

0 0 0[ ( )] [ ]E E f x x λ ⇔ = 0 0 0[ ] [ ]E E A x x λ ⇔ =

là trị riêng của ma trận A.0λ ⇒

là VTR của ma trận A ứng vớ i TR0[ ]E x 0.λ

Kết luận. 1) TR của ma trận là TR của axtt và ngượ c lại.

2) Nếu véctơ là VTR của ma trận A ứng vớ i TR ,0x 0λ

thì véctơ sao cho là VTR của f ứng vớ i TR0[ ]E x x = 0.λ x

7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bướ c 1. Chọn một cơ sở E tùy ý của kgvt V.

Tìm ma trận A của f trong cơ sở E.

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.

Bướ c 2. Tìm TR và VTR của ma trận A.

Bướ c 3. Kết luận

1) TR của ma trận là TR của axtt và ngượ c lại.2) Nếu véctơ là VTR của ma trận A ứng vớ i TR ,0x 0λ

thì véctơ sao cho là VTR của f ứng vớ i TR0[ ]E x x = 0.λ x

Chú ý. VTR của ma trận không hẳn là VTR của axtt mà là tọa độcủa VTR của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E.

Cần đổi sang cơ sở chính tắc.




Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R →

Ví dụ

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

( ) ( , , )

(5 10 5 ,2 14 2 , 4 8 6 )

f x f x x x

x x x x x x x x x

= =

− − + + − − +


1) Chọn cơ sở chính tắc của R3 là: { }(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)E =

5 10 5

2 14 2

4 8 6

− −

=

− −

AMa trận của f trong E là:

2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.

2( 5)( 10) 0λ λ

− − =

1 25, 10λ λ = =Trị riêng của ma trậnAlà:

Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính.


1

1 2

3

0 10 5

( ) 2 9 2 0

4 8 1

λ

− −

− = =

− −

x

A I X x

x

3) Tìm véctơ riêng của A:Giải hệ phươ ng trình1 5λ =

5

2

4

x α

⇔ = −

5

VTR của A ứng vớ i TR là tất cả các véctơ 1λ 2 ,4

0α α −

≠

VTR của f ứng vớ i TR véctơ x sao cho1λ [ ]

5

2

4

E x

α

α

α

= −

(5 , 2 , 4 )x α α α ⇔ = − (vì E là cơ sở chính tắc)

Tươ ng tự cho trị riêng2

λ





Ví dụ


1) Chọn cơ sở của R3 là: { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E =

(1,1,1) (2,1,3); (1,0,1) (6,3,5); (1,1,0) ( 2, 1, 3).f f f = = = − − −

1 3 1

1 1 1

−

= −

−

AMa trận của f trong E là:

2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. ( 2)( 4) 0λ λ λ − − =

1 2 30, 2, 4λ λ λ = = =Trị riêng của ma trậnAlà:



1

1 2

3

2 2 2

( ) 1 3 1 0

1 1 1

λ

−

− = − =

−

x

A I X x

x


1

0

1

x α

⇔ = 1

VTR của A ứng vớ i TR là t t cả các véctơ 1

00 ,

1

α α

≠

VTR của f ứng vớ i TR véctơ x sao cho1λ [ ] 0E

x

α

α

=

(1,1,1) 0(1,1,1) (1,1,0)x α α ⇔ = + +

Tươ ng tự cho trị riêng2 3

,λ λ

(2 ,2 , ), 0α α α α = ≠




2 2 1

2 1 214 25 14

− −

= − − −

A

Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trongcơ sở là

3 3:f R R →

Ví dụ

{ }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E =

vì ma trận của f trong E đã cho sẵn là A.

m r r ng, v c r ng c a n xạ uy n n .

2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. 2

( 3)( 6) 0λ λ − − =

1 23, 6λ λ = =Trị riêng của ma trậnAlà:


1) Hiển nhiên chọn cơ sở của R3 là: { }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E =


1

1 2

3

1 2 1

( ) 2 4 2 0

14 25 11

λ

− − −

− = − − − =

x

A I X x

x


1

1

1

x α

⇔ = − 1

VTR của A ứng vớ i TR là t t cả các véctơ 1

1 ,

1

0α α −

≠

VTR của f ứng vớ i TR véctơ x sao cho1λ [ ]E x

α

α

α

= −

(1,1,1) (1,2,1) (1,1,2)x α α α ⇔ = − +

Tươ ng tự cho trị riêng2

λ

( ,0,2 ), 0α α α = ≠




2 2 1

2 1 214 25 14

− −

= − − −

A

Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trongcơ sở là

3 3:f R R →

Ví dụ

{ }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E =

1) Tính 2)(2,4,3)f (2,0,4)f

Để giải câu 1) và 2) ta sử dụng công thức [ ] [ ]( )E E

f x A x =

Tuy nhiên theo ví dụ trướ c ta thấy véctơ (2,0,4) là VTR của f tươ ng ứng vớ i TR 1 3λ =

Vậy (2, 0, 4) (2,3. 0, 4) (6,0,12)f = =


Tìm ánh xạ tuyến tính , biết f có 3 trị riêng là3 3:f R R →Ví dụ

(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)

1 2 12, 1, 0λ λ λ = = =

và 3 véctơ riêng tươ ng ứng là

,

Biết ảnh của một cơ sở của R3, suy ra ta có thể tìm đượ c f(x).

(1,1,1) 2(1,1,1) (2,2,2)f = =

(1,2,1) 1(1,2,1) (1,2,1)f = =

(1,1,2) 0(1,1,2) (0,0,0)f = =



7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong chươ ng trướ c ta biết ánh xạ tuyến tính là một ma trận Acủa ánh xạ trong một cơ sở E nào đó.

Cho ánh xạ tuyến tính :f V V →

Khi làm việc vớ i axtt f ta làm việc vớ i ma trậnAnày.

Trong không gian véctơ V có vô số cơ sở E, F, G,…..

sở khác nhau đó.

Mỗi ma trận đều đại diện (thay thế) cho ánh xạ tuyến tính. Khilàm việc vớ i axtt, ta làm việc vớ i một trong các ma trận này.

Chọn một ma trận có cấu trúc đơ n giản nhất, nếu có thể ta chọnma trận chéo D.

Bài toán đặt ra: Tìm cơ sở B (nếu có) của V sao cho ma trậncủa f trong B là ma trận chéo D.


Ánh xạ tuyến tính có thể coi là một ma trận nên chéo hóa ánhxạ tu n tính cũn là chéo hóa ma trận.

Định ngh ĩ aÁnh xạ tuyến tính gọi là chéo hóa đượ c nếu tồn tạicơ sở B của V, sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trậnchéo D.

:f V V →

Ánh xạ tt chéo hóa đượ c khi và chỉ khi ma trận chéo hóa đượ c.

Ma trận của ánh xạ tt trong các cơ sở khác nhau thì đồng dạngnên chúng có cùng đa thức đặc trưng, cùng tập trị riêng.

Một ma trận của f trong cơ sở A chéo hóa đượ c thì ma trận củaf trong các cơ sở khác cũng chéo hóa đượ c và ngượ c lại.




Tìm ma trận A của f trong cơ sở E.

Bướ c 2. Chéo hóa ma trận A ( nếu đượ c)

Bướ c 1. Chọn một cơ sở E của không gian véctơ V.

Các bướ c chéo hóa ánh xạ tuyến tính :f V V →


, .

Giả sử A chéo hóa đượ c bở i ma trận P và ma trận chéo D.

Nếu A không chéo hóa đượ c, thì f không chéo hóa đượ c.

Khi đó cơ sở B cần tìm có: tọa độ mỗi véctơ của B trong cơ sở E là một cột của ma trận P.(Chú ý!!)

Ma trận của f trong cơ sở B là ma trận chéo D.

7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho ánh xạ tuyến tính , biết

1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) (2 2 , 2 2 ,14 25 14 )f x x x x x x x x x x = − − − − − + +

3 3:f R R →

Ví dụ

Tìm một cơ sở B (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong Blà ma trận chéo D, tìm D. (Tươ ng đươ ng: chéo hóa f nếu đượ c).

1) Chọn cơ sở chính tắc của R3 { }(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)E =

Ma trận của f trong E là

2) Chéo hóa (nếu đượ c) ma trận A. 2( 3)( 6) 0λ λ − − =

2 2 12 1 2

14 25 14

A

− −

= − − −

Kiểm tra thấy BHH của nhỏ hơ n BĐS của nó.2 6λ =

Vậy A không chéo hóa đượ c, suy ra f không chéo hóa đượ c.





Ví dụ

Tìm một cơ sở B (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong B

là ma trận chéo D, tìm D. (Tươ ng đươ ng: chéo hóa f nếu đượ c).

(1,1,1) (1, 7,9); (1,0,1) ( 7, 4, 15); (1,1,0) ( 7,1, 12).f f f = − = − − = − −

Bướ c 1. Tìm ma trận của f trong { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E =

8 11 8

8 8 5

− −

= − −

−

A

Bướ c 2. Chéo hóa A (nếu đượ c).

Phươ ng trình đặc trưng: 2( 1)( 3) 0λ λ − + =

1 1λ = Bội đại số = 1 Bội hình học = 1

2 3λ = − Bội đại số = 2 Bội hình học = ?


Tìm VTR của f 1 1:λ = 2

2

x α α

α

⇔ =

−

Hệ1( ) 0A I X λ − =

VTR của f ứng vớ i TR là x sao cho1 1λ = [ ] 2

2E

x

α

α

α

=

− (1,1,1) 2 (1,0,1) 2 (1,1,0)x α α α ⇔ = + − ( , ,3 )α α α = −

2 3:λ = − x

α β

α

β

+

⇔ =

Hệ 2( ) 0A I X λ − =

VTR của f ứng vớ i TR là x sao cho2 3λ = − [ ]E

x

α β

α

β

+

=

Chọn một VTR của f ứng vớ i TR là: 1 (1, 1,3)b = −1 1λ =




(2 2 , 2 ,2 )x α β α β α β ⇔ = + + +

( )(1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)x α β α β ⇔ = + + +

Chọn hai VTR độc lập tuyến tính của f ứng vớ i TR là2 3λ = −

(2,1,2) (2,2,1)x α β ⇔ = +

Ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B là:

2 3, , , ,

Cơ sở B cần tìm là: { }(2,1,2)(1, 1, (2,; 23 1)) ; ,B −=

0 001

30 0

3 0D −

−

=

Bài tập--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 4 2

1) 3 4 0 ; 1,2,3.

3 1 3

λ

− −

= − =

−

A

1. Chéo hóa các ma trận sau (nếu đượ c)4 2 2

2) 2 4 2 ; 2,8.

2 2 4

λ

= =

A

2 2 1− 4 0 2−

3) 1 3 1 ; 0,1,4.

1 1 0

A λ = − =

−

4) 2 5 4 ; 5,4

0 0 5

λ = =

A

7 4 16

2 5 8 ; 3,35) ,1.

2 2 5

λ

= =

− − −

A

0 4 6

6) 1 0 3 ; 2,2,1.

1 2 5

A λ

− −

= − − =



Bài tập--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Chứng minh rằng nếu A chéo hóa và khả nghịch thì A-1

cũng chéo hóa và khả nghịch.

3. Chứng tỏ nếu ma trận vuông A cấp n có n VTR độc lậptuyến tính thì ma trận AT cũng có n VTR độc lập tuyến tính.

4. Chứng tỏ nếu B đồng dạng vớ i A và A chéo hóa đượ c thìB cũn chéo hóa đượ c

5. Chứng tỏ nếu B = P-1AP và x là VTR của A tươ ng ứng vớ iTR , thì P-1x là VTR của B ứng vớ i TR này.λ

6. Chứng tỏ nếu A đồng dạng vớ i B, thì rank(A) = rank(B).

7. Chứng tỏ nếu A chéo hóa đượ c, thì A và AT đồng dạng.

8. Chứng tỏ nếu A đồng dạng B, thì A2 và B2 đồng dạng.





7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạng toàn phươ ng trong R3 thườ ng đượ c ghi ở dạng

1 2 3( ) ( , , )f x f x x x = =

2 2 21 2 3x x x 1 2 1 3 2 32 2 2A B C Dx x Ex x Fx x = + + + + +

Ma trận của dạng toàn phươ ng lúc này là ma trận đối xứngA D E

E F C

=

Khi đó f(x) có thể viết lại 1 2 3( ) ( , , )f x f x x x = =

1

1 2 3 2

3

( , , )A D E x

x x x D B F x

E F C x

=

T x M x = ⋅ ⋅

7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 3 2 4 4 6 2= + − + − + f x x x x x x x x x x

Vi t ma trận của dạn toàn hươ n .

13

2

3

:

x

x x R

x

∀ = ∈

3 2 3

2 2 1

3 1 4

−

=

− −

A

Giải

( )1

1 2 3 2

3

3 2 3

( ) 2 2 1

3 1 4

− ⇒ = =

− −

T

x

f x x Ax x x x x

x



7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho dạng toàn phươ ng vớ i( ) ,= T f x x Ax 1 2 3( , , )

T x x x x =

Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa đượ c bở i ma trậntrực giao P và ma trận chéo D: T

A PDP =

Khi đó: ( ) T T f x x PDP x = ( ) ( )T T T P x D P x =

Đặt T P x x P = ⇔ =

Ta có ( ) T

f y y Dy =

1 1

1 2 3 2 2

3 3

0 0

( ) ( , , ) 0 0

0 0

y

f y y y y y

y

λ

λ

λ

⇔ =

2 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3( ) ( , , )f y f y y y y y y λ λ λ ⇔ = = + +

7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định ngh ĩ a

Dạng toàn phươ ng đượ c gọi là dạng chính( ) T

f y y Dy =

( ) T f x x Ax =tắc của dạng toàn phươ ng

Dạng chính tắc là dạng toàn phươ ng có các số hạng là các bìnhphươ ng.

Ma trận A là ma trận của dạng toàn phươ ng trongcơ sở chính tắc.

( ) T

f x x Ax =

Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phươ ng

trong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P.

( ) T

f x x Ax =

Khi làm việc vớ i dạng toàn phươ ng ta có thể làm việc vớ i matrận A, cũng có thể làm việc vớ i ma trận D. Tất nhiên ma trận D

có cấu trúc đơ n giản hơ n.



7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

dạng chính tắc bằng cách chéo hóa trực giao

Dạng toàn phươ ng luôn luôn có thể đưa về( ) T

f x x Ax =

( ) T

f y y Dy =

ma trận A của dạng toàn phươ ng.

toàn phươ ng về dạng chính tắc.

Còn có nhiều phươ ng pháp đưa dạng toàn phươ ng về chính tắckhác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay là phép biến đổisơ cấp)

Phép biến đổi trực giao phức tạp nhưng có ưu điểm là ta vẫn cònlàm việc vớ i cơ sở trực chuẩn (cơ sở từ các cột của ma trận P)

7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bướ c 1. Viết ma trận A của dạng toàn phươ ng (trong chính tắc)

Đưa dạng toàn phươ ng về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao

Bướ c 2. Chéo hóa A bở i ma trận trực giao P và ma trận chéo D


Vớ i D là ma trận của dạng toàn phươ ng ban đầu trong cơ sở trực chuẩn từ các cột của ma trận trực giao P.

Dạng chính tắc cần tìm là: ( ) T f y y Dy =

Phép biến đổi cần tìm: x = Py



7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đưa dạng toàn phươ ng sau về dạng chính tắc bằng phép biếnđổi trực giao. Nêu rõ phép biến đổi.

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 3 6 3 4 8 4= + + − + + f x x x x x x x x x x x x

Ví dụ

1. Ma trận của dạng toàn phươ ng là ma trận đối xứng:

3 2 4

2 6 2

4 2 3

−

= −

A

7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Chéo hóa A bở i ma trận trực giao P (đã làm ở ví dụ trướ c)1 1

2 18

40

18

1 1

2

3

1/ 3

2

=

−

−

P

2

0 0

0 0

7

7

0 0

= −

D

2 18 3 3. Dạng chính tắc cần tìm là:

2 2 21 2 3 1 2 3( , , ) 27 7f y y y y y y −= +

Phép biến đổi cần tìm: x Py =

1 1

2 2

3 3

x y

x P y

x y

⇔ =



7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đưa toàn phươ ng về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange.

Nội dung của phươ ng pháp Lagrange là sử dụng các phép biếnđổi khôn su bi n đưa dạn toàn hươ n v dạn chính t c.

Phép biến đổi x = Py đượ c gọi là phép biến đổi không suy biếnnếu ma trận P là ma trận không suy biến.

Nhượ c điểm của phép biến đổi này là ta sẽ làm việc vớ i dạngchính tắc trong một cơ sở thườ ng là không trực chuẩn.

Phép biến đổi này rất dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biếnđổi sơ cấp, không cần tìm TR, VTR của ma trận.

7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đưa toàn phươ ng về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange.

Bướ c 2. Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phươ ng.

Bướ c 1. Chọn một thừa số khác không của hệ số 2

k x

Lập thành hai nhóm: một nhóm gồm tất cả các hệ số chứa ,nhóm còn lại không chứa số hạng này.

k x

Ta có một tổng bình phươ ng và một dạng toàn phươ ng không.k

Bướ c 3. Sử dụng bướ c 1, và 2 cho dạng toàn phươ ng khôngchứa hệ số .k x

Chú ý: Nếu trong dạng toàn phươ ng ban đầu tất cả các hệ số 2

k x

đều bằng 0, thì ta chọn thừa số khác 0 của hệ số i j x x

( , ) : ;k k k i j y x ∀ ≠ = ;i i j j i j x y y x y y = + = −Đổi biến:



7.6 Dạng Toàn phươ ng------------------------------------------------------------------------------------------------

Đưa dạng toàn phươ ng sau về dạng chính tắc bằng phép biếnđổi Lagrange. Nêu rõ phép biến đổi.

2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 3 6 3 4 8 4= + + − + + f x x x x x x x x x x x x

Ví dụ

1. Chọn thừa số 213x

Lập thành hai nhóm:

2 22

21 1 2 1 31 3 3 2 32 3 4 8 6( , , ) ( ) ( )3 4= + +− + + x x x x x x f x x x x x x

Lập thành tổng bình phươ ng đủ ở nhóm 1.

2 221 2 3

21 1 2 1 33 2 3

4 8( , , ) ( ) (6 )

33

343 + +−= ++ x x x x x x x x x x x x f

2 22

2 2 21 2 3 2 3 2 23 3 3

2 4 16 4 163( )

3 3 3 3(6 3 4 )

3− + + +− + += − x x x x x x x x x x x f

7.6 Dạng Toàn phươ ng------------------------------------------------------------------------------------------------

21 2 3 32

2 223

14 28 7( )3

2 43( )3 3 3 3

= + −− + + f x x x x x x

Lặp lại từ đầu cho dạng toàn phươ ng: 2 22 2 3 3

14 28 7

3 3 3+ − x x x x

Chọn thừa số 22

14

3x

Lập 2 nhóm: 2

2 2 323

3 33+ − x x x x

Lập thành tổng bình phươ ng đủ ở nhóm đầu.

( )2 2 2

32 3 3

14 14 7

3 3 3−+ − x x x x

( ) 32

2 32

2 23 3= + − x x x x

( )2

2233

14

37x x x −= +



7.6 Dạng Toàn phươ ng------------------------------------------------------------------------------------------------

( )2

22

2 31 32

3

2 43( )

14

337

3= − + + + − x x x x x x f

Đặt:

1 1 2 3

2 2 3

2 4

3 3

(*)

= − +

= +

y x x x

y x x

3 3=

y x

Vậy dạng chính tắc cần tìm là: 223

221

14

373 −+= y f y y

là phép biến đổi cần tìm.(*)

7.6 Dạng Toàn phươ ng------------------------------------------------------------------------------------------------

Đưa dạng toàn phươ ng sau về dạng chính tắc bằng phép biếnđổi Lagrange. Nêu rõ phép biến đổi.

1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 4 4= + + f x x x x x x x x x

Ví dụ

1. Trong dạng toàn phươ ng không có hệ số chứa 2k x

Chọn một hệ số tùy ý chứa xmxn, ví dụ: 4x1x2

1 1 2

2 1 2

3 3

= +

= − =

x y y

y y

x y

Đổi biến:

2 21 2 1 2 3 1 2 34 4 4( ) 4( )= − + + + − f y y y y y y y y



7.6 Dạng Toàn phươ ng------------------------------------------------------------------------------------------------

2 21 1 3 24 8 4= + − f y y y y 2

1 1 3224( ) 48+⇔ −= y y y y f

21 1 3

224( ) 42+⇔ −= y y y y f

21

223 32

444( )⇔ −−+= y f y y y

1 1 3

2 2

= + =

z y y

z yĐổi biến:

3 3

Dạng chính tắc cần tìm là: 1 2 322 31

22( , , ) 4 4 4= − − z z f z z z z

1 1 2 3

2 1 2 3

3 3

= + −

= − − =

x z z z

x z z z x z

Phép biến đổi cần tìm:

7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạng toàn phươ ng f (x) = xTAx đượ c gọi là:

Định ngh

ĩ a

1. xác định dươ ng, nếu ( 0) : ( ) 0x f x ∀ ≠ >

2. xác định âm, nếu ( 0) : ( ) 0x f x ∀ ≠ <

3. nửa xác định dươ ng, nếu

( ) : ( ) 0x f x ∀ ≥ 1 1( ) : ( ) 0x f x ∃ ≠ =và4. nửa xác định âm, nếu

( ) : ( ) 0x f x ∀ ≤ 1 1( ) : ( ) 0x f x ∃ ≠ =và

5. không xác định dấu, nếu &1 2 1 1( , ) : ( ) 0 ( ) 0x x f x f x ∃ < >



7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử dạng toàn phươ ng đưa về chính tắc đượ c:

1. Nếu , thì dạng toàn phươ ng xđ dươ ng.( 1,.., ) : 0k k n λ ∀ = >

2 2 21 1 2 2( ) ... n n f y y y y λ λ λ = + + +

. u , ạng o n p ươ ng x m.,..., : k n =

3. Nếu và , thì nửa xđ dươ ng.( 1,..., ) : 0k k n λ ∀ = ≥ 0k λ ∃ =

4. Nếu và , thì nửa xđ âm.( 1,..., ) : 0k

k n λ ∀ = ≤ 0k

λ ∃ =

5. Nếu , thì dạng toàn phươ ng không xác định dấu1 20; 0λ λ ∃ < >

7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử dạng toàn phươ ng đưa về chính tắc đượ c:2 2 2

1 1 2 2( ) ... n n f y y y y λ λ λ = + + +

Số các hệ số dươ ng đượ c gọi là chỉ số dươ ng quán tính.

Số các hệ số âm đượ c gọi là chỉ số âm quán tính.

Tồn tại rất nhiều phươ ng pháp đưa dạng toàn phươ ng về dạngchính tắc. Các dạng chính tắc này thườ ng khác nhau.

Luật quán tính

Chỉ số dươ ng quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toànphươ ng là những đại lượ ng bất biến không phụ thuộc vào cáchđưa dạng toàn phươ ng về dạng chính tắc.

Có điểm chung của các dạng chính tắc là: số lượ ng các hệ số âmvà số lượ ng các hệ số dươ ng là không thay đổi.



11 12 13 1n a a a a

⋮

7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho ma trận thực A vuông cấp n.

Định ngh ĩ a

Tất cả các định thức con tạo nên dọc theo đườ ng chéo chínhđượ c gọi là định thức con chính cấp 1, 2,…, n.

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n n n nn

A a a a a

a a a a

=

⋮

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋮

1∆ 2∆ 3∆ ⋯⋯ n ∆

7.6 Dạng Toàn phươ ng---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho dạng toàn phươ ng f (x) = xTAx.

Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester)

1. xác định dươ ng khi và chỉ khi ( 1, ) : 0i n ∀ = ∆ >

( )f x

2. xác định âm khi và chỉ khi ( 1, ) : ( 1) 0i

i i n ∀ = − ∆ >( )f x



7.6 Dạng Toàn phươ ng------------------------------------------------------------------------------------------------

Vớ i giá trị nào của m thì dạng toàn phươ ng sau đây xác địnhdươ ng.

2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 4 2 8 4= + + − + + f x x x x x mx x x x x x x

Ví dụ

1 1 4−

Ma trận của dạng toàn phươ ng là: 1 4 2

4 2

A

m

= −

Dạng toàn phươ ng xác định dươ ng khi và chỉ khi các định thứccon chính đều dươ ng.

1 11 1 0a ∆ = = >

2

1 13 0

1 4

−∆ = = >

−

3

1 1 41 4 2 0

4 2 m

−

∆ = − > 28m ⇔ >

7.6 Dạng Toàn phươ ng------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm m để dạng toàn phươ ng không xác định dấu2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3( , , ) 5 4 6 2= + + − + + f x x x x x mx x x x x x x

Ví dụ

Đưa dạng toàn phươ ng về chính tắc bằng biến đổi Lagrange.

2 2 24 6 5 2f x x x x x x mx x x = − + + + +

Dạng toàn phươ ng không xác định dấu khi và chỉ khi có ít nhấtmột hệ số âm và một hệ số dươ ng

2 2 21 2 3 2 2 3 3( 2 3 ) 14 ( 9)f x x x x x x m x ⇔ = − + + + + −

2 2 21 2 3 2 3 3( 2 3 ) ( 7 ) ( 58)f x x x x x m x ⇔ = − + + + + −

58m ⇔ <



7.6 Dạng Toàn phươ ng------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong hệ trục tọa độ 0xy cho đườ ng cong có phươ ng trình2 2

3 2 3 4 2 2 0+ + − − = x xy y x

Ví dụ

Nhận dạng và vẽ đườ ng cong này.

yXét dạng toàn phươ ng 2 2( , ) 3 2 3= + + f x y x xy y

xo

ư ng cong trong trục xylàm việc vớ i cơ sở chính tắc của R2.

Đưa dạng toàn phươ ng này về dạng chính tắc để khử đi hệ số 2xy.

Nếu đưa dạng toàn phươ ng về chính tắc bằng biến đổi Lagrange thì

ta chỉ có thể nhận dạng đượ c đườ ng cong này, còn khó vẽ hình đượ cvì lúc đó ta sẽ làm việc vớ i cơ sở (thườ ng là) không trực chuẩn.

Có ngh ĩ a là vẽ hình trong hệ trục tọa độ không vuông góc!

7.6 Dạng Toàn phươ ng------------------------------------------------------------------------------------------------

Vì vậy ta cần phép biến đổi trực giao để có cơ sở trực chuẩn:3 1

1 3

=

A

26 8 0λ λ − + =Phươ ng trình đặc trưng:

1 22; 4λ λ ⇔ = =

Cơ sở trực chuẩn của các không gian con riêng:

1 2

Phép biến đổi:

1 x1 2 : 1/ 2λ = =

− 2

x1

4 :1/ 2

= =

x u P

y v

=

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2

u

v

= −

hay2 2

u v x = +

2 2

u v y = − +



7.6 Dạng Toàn phươ ng------------------------------------------------------------------------------------------------

Đườ ng cong đã cho có phươ ng trình trong hệ trục tọa độ 0uv là:

2 23 2 3 4 2 2 0+ + − − = x xy y x

2 22 4 4 2 2 0

2 2

u v u v

⇔ + − + − =

2 22 4 4( ) 2 0u u v v ⇔ − + − − =

2 212( 1) 4( ) 5

2u v ⇔ − + − =

v

xoM •

N •

u

1 1,

2 2M

• −

1 1,

2 2N

•

Nội dung ôn tập------------------------------------------------------------------------------------------------

I) Số phức: Dạng đại số; dạng lượ ng giác; nâng lên lũy thừa;khai căn số phức; giải phươ ng trình trong C.

II) Ma trận: 1) Các phép toán: bằng nhau, cộng, trừ, nhân,biến đổi sơ cấp; nâng lên lũy thừa.

2) Tìm hạng của ma trận; 3) Tìm ma trận nghịch đảo.

III) Định thức: 1) Cách tính định thức cấp 4,5 (dùng BĐSC)

2) Tính định thức cấp n bằng đệ qui; 3) Khai triển Laplace.

IV) Hệ phươ ng trình: Cách giải hệ phươ ng trình AX = b.

2) Tìm tổng, giao của hai không gian con, tổng trực tiếp.

V) Không gian véctơ : 1) Tìm cơ sở chiều của không gian con

3) Tìm cơ sở và chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất



Nội dung ôn tập------------------------------------------------------------------------------------------------

VI) Ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính W:f V →

Có 3 cách cho: 1) biết f(x)

2) biết ảnh của cơ sở (tập sinh) của V.

3) biết ma trận của f trong cặp cơ sở E, F.

Trong khi ôn tập chúng ta phải biết cách làm các câu hỏi sau:1) Tìm ảnh của một phần tử cho trướ c

0( ).f v

2) Tìm ( ).f x

3) Tìm cơ sở và chiều của nhân của ánh xạ tuyến tính.ker f

4) Tìm cơ sở và chiều của ảnh của ánh xạ tuyến tính.Im f

5) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở cho trướ c.

6) Giả sử V = W. Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.

7) Giả sử V = W. Chéo hóa ánh xạ tuyến tính (nếu đượ c).

Nội dung ôn tập------------------------------------------------------------------------------------------------

VII) Dạng toàn phươ ng:1) Đưa dạng toàn phươ ng về dạng chính tắc bằng hai cách:

a) Biến đổi trực giao; b) Biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp)

2) Phân loại dạng toàn phươ ng: có 5 loại. Cách phân loại: đưa vềdạng chính tắc hoặc dùng tiêu chuẩn Sylvester.

3) Sử dụng vẽ đườ ng cong bậc hai, mặt cong bậc hai.Chú ý: Trên đây là những phần chính. Ngoài ra các em phải biếtcách giải một số bài toán dạng khác.

Nói chung 8 phần trên là toàn bộ các kiến thức yêu cầu trongmôn học toán 2 này. Tuy nhiên để đượ c điểm tối đa các em phảibiết cách giải thêm một số dạng bài tập khác.



Đề mẫu cuối kỳ------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1. Tính , biết10 z 1

1 3

i z

i

−=

+

4 2

Hình thức thi: tự luận, đề thi gồm 8 câu, tgian thi: 90 phút.

Câu 2. Tính A2008, bi t1 3

A =

Câu 3. Trong không gian R3 cho hai không gian con

Tìm cơ sở và chiều của

1 2 3 1 2 3{( , , ) | 2 - 0 };F x x x x x x = + =

( )F G ⊥

∩

(1,1,1);(1,0,1)G =< >

Câu 4. Trong không gian , vớ i tích vô hướ ng[x]2P

1

0

( , ) ( ) ( ) p q p x q x dx = ∫ cho khgian con { }( ) | (1) 0F p x p = =

Tìm cơ sở và chiều của F ⊥

Câu 5. Cho ánh xạ tuyến tính , biết

(1,1,1) (2,1,3); (1,0,1) (3,0,5); (1,1,0) (40, 41, 2)f f f = = = −

3 3:f R R →

Vớ i giá trị nào của m thì véctơ là VTR của f .( 2,1, )x m = −

Câu 6. Cho ánh xạ tuyến tính [x] [x]2 2:f P P →

biết

Tìm trị riêng và cơ sở của các không gian con riêng.

'

2( ) [ ] : ( ( )) ( ). p x P x f p x p x ∀ ∈ =



Câu 7. Tìm ma trận vuông B cấp 2, sao cho 3 34 14

105 43B

− =

− Câu 8. Trong hệ trục tọa độ 0xy cho đườ ng cong có phươ ng

2 25 8 5 4 2 6 2 2 0.x xy y x y + + − + − =

Nhận dạng và vẽ đườ ng cong này.

trình

Đáp án------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 1. 107 7- 2 - 22 12 12cos sin ; 0,...,9.

2 10 10k

k k z i k

π π π π + + = + =

Câu 2.2008

2008

2008

1 1 2 0 2 / 3 1/ 3

1 2 1/ 3 1/ 30 5A

− = −

Câu 3. Cơ sở : {(1,0,-1); (0,1,0)}; chiều: 2

Câu 4. Cơ sở :{p(x) = 10x2 - 8x + 1}; chiều: 1

Câu 5. m = 0. HD. suy ra hệ pt.( 2,1,0) ( 2,1,0)f λ − = −

Câu 6. TR: . Cơ sở của1 2 3 0λ λ λ = = =

1:E

λ { }( ) 1 p x =



Đáp án------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu 7. Đặt 34 14

105 43A

− =

−

Chéo hóa A ta đượ c:

114 1 0 3 / 7 1/ 7

35 3 0 35 / 7 1 78 4 / A

− =

−

Documents

Bài giảng Toán cao cấp II - Đặng Văn Vinh (Biên soạn), Đại Học Bách Khoa Tp.HCM, 2008