1

2. MATEMATI2. MATEMATIČČKI MODELI KI MODELI LINEARNIH SISTEMALINEARNIH SISTEMAAnaliza sistema automatskog upravljanja zahteva formiranje matematičkih modela tih sistema.Proučavanjem ovih matematičkih modela dolazi se do saznanja o verovatnom ponašanju stvarnih tehničkih sistema automatskog upravljanja.Realni sistemi su dinamički sistemi, i za opisivanje njihovog ponašanja obično se koriste diferencijalne jednačine.Realni procesi su složeni, pretežno nelinearni, ali za veliki broj procesa i fizičkih zakona kojima se oni opisuju mogu se koristiti linearni matematički modeli.U mnogim slučajevima moguće je izvršiti linearizacijumatemazičkih izraza kojima su opisani realni procesi. Kontinualne linearne procese opisuju linearne diferencijalne jednačine sa konst. koeficijentima.

UVODNA RAZMATRANJAUVODNA RAZMATRANJA

Analizu dinamičkog ponašanja sistema vršimo u vremenskom domenu ili u domenu učestanosti.Dinamika linearnog sistema u vremenskom domenu može da bude određena linearnom diferencijalnom jednačinom n-tog reda ili se koristi “koncept stanja sistema” pa se dinamika sistema opisuje pomoću promenljivih sistema sa N simultanih diferencijalnih jednačina prvog reda.U oba sličaja određivanje i analiza dinamike sistema podrazumeva rešavanje tih diferencijalnih jednačina. To je vrlo često veliki posao, ako se ograničimo na klasične matematičke metode.

2

UVODNA RAZMATRANJAUVODNA RAZMATRANJAU cilju prevazilaženja ovog problema, u okviru teorije automatskog upravljanja razvijene su specifične matematičke metode, koje omogućavaju da se, na relativno jednostavan i pouzdan način, izvrši identifikacija dinamičkog ponašanja sistema.Primenom Laplasove transformacije, problem opisan diferencijalnim jednačinama u vremenskom domenupreslikavamo u algebarske jednačine u domenu kompleksne promenljive p = c + jω.U zavisnosti od toga šta želimo da saznamo o sistemu, dalje analize se vrše u domenu kompleksne promenljive p ili u domenu učestanosti , ako se izvrši zamena p = jω za c = 0.Kada se dobije rešenje u domenu kompleksne promenljive, inverznom Laplasovom transformacijom nalazimo rešenje u vremenskom domenu.

MatematiMatematiččki modeli krutih telaki modeli krutih telaPod krutim, odnosno apsolutno krutim telom, podrazumevamo telo koje ne menja svoj oblik pod uticajem bilo kakvih spoljašnjih sila.Materijalna tačka je telo koje ima masu m i čije se dimenzije mogu zanemariti.Prosta greda oslonjena je na jedan nepokretni i na jedan pokretni oslonac i na nju mogu delovati sile.

A

y

F

B x

a bl

3

Ova prosta greda se nalazi u stanju ravnoteže. Matematički model ove ptoste grede se može predstaviti definisanjem uslova ravnoteže:ΣFi = 0ΣMA = 0Štap je telo određene mase koje ima veliku dužinu u odnosu na dimenzije poprečnog preseka. Matematički model štapa je definisan masom, središtem mase, poprečnim presekom i momentom inercije.

x

z

a

b

l y

A,m,I

MatematiMatematiččki modeli krutih telaki modeli krutih tela

Ploča je telo kod koga je dimenzija debljine c mnogo manja od druge dve dimenzije (širine a i dužine b). Matematički model je definisan masom m i momentima inercije za sve tri ose.

ca

b

x

y

z

A, m, Ix , Iy , Iz

MatematiMatematiččki modeli krutih telaki modeli krutih tela

4

z

y

x

Veze i stepeni slobodeVeze i stepeni slobodeSvaki realni tehnički sistem se sastoji od više elemenata koji su međusobno povezani vezama. Zavisno od načina vezivanja elemenata oni mogu ili ne mogu izvoditi neka kretanja – imaju određeni broj stepeni slobode kretanja.Primer 1:Štap prikazan slikom nije vezan ni u jednoj svojoj tački i zato slobodno može da izvodi sledeća kretanja:

translaciju u pravcu x osetranslaciju u pravcu y osetranslaciju u pravcu z oserotaciju oko x oserotaciju oko y oserotaciju oko z ose

Dakle, ovaj štap ima 6 stepeni slobode. Kretanje štapa se opisuje sa 6 kretanja:T, T, T, R, R, R.

Veze i stepeni slobodeVeze i stepeni slobodePrimer 2: Kugla na slici je naslonjena na ploču pa su na taj način ova dva tela vezana i predstavljaju jedan kinematski par. Kugla slobodno može rotirati oko sve tri ose, translatorno se može kretati u pravcu x i y osa, a u pravcu z ose translatorno kretanje kugle nije moguće jer je naslonjena na ploču. Dakle, ploča kugli oduzima jedan stepen slobode kretanja. Kretanje kugle po ploči se opisuje kao T, T, R, R, R.

y

z

x

5

Primer 3:Štap prikazan na slici vezan je sa drugim telom uz pomoćosovinice oko koje može da rotira (rotacija oko x ose). Ni jedno drugo rotaciono niti translatorno kretanje nije moguće. Ovaj štap ima samo jedan stepen slobode kretanja R.

y

z

x

Veze i stepeni slobodeVeze i stepeni slobode

Veze i stepeni slobodeVeze i stepeni slobode

Dva vezana tela čine kinematski par.Više od dva vezana tela čine kinematski lanac.Sistemi mogu imati veliki broj elemenata i mnogo stepeni slobode kretanja (skeletni sistem čoveka ima 156 stepeni slobode kretanja). Opterećenje materijala koji čini sistem uvek mora biti ispod granice elastičnosti kako ne bi dolazilo do nepredviđenih kretanja ili loma sistema.

6

Idealna telaIdealna tela

Idealno elastično telo:

F

F

C

Idealno viskozno telo -Njutnovo telo:

F

F

k, η

Idealna telaIdealna tela

Idealno plastično telo: Maxvelovo telo:

F

F

σ

σw

δ

C

K

F

F

CK

7

DIFERENCIJALNE JEDNADIFERENCIJALNE JEDNAČČINE INE FIZIFIZIČČKIH SISTEMAKIH SISTEMA

Dinamičko ponašanje fizičkih sistema opisuju dif. Jednačine, koje se formiraju primenom odgovarajućih zakona fizike.Za opisivanje pojedinih, međusobno različitih fizičkih pojava, ćesto se koriste analitički izrazi iste klase, što ukazuje na analogiju koja postoji kako između različitih fizičkih pojava, tako i zakona kojima se pojave objašnjavaju.Pojedinim električnim sistemima odgovaraju analogni sistemi u mehanici, termodinamici i mehanici fluida.Analogija pojedinih sistema različitih fizičkih pojava omogućava da se saznanja u jednoj oblasti prošire na analogne sisteme u drugim oblastima.

Analogija fiziAnalogija fiziččkih pojava i kih pojava i elementarni fizielementarni fiziččki sistemiki sistemi

Najčešće se koristi analogija električnog sistema sa sistemom koji se izučava, pa se često izučavanje originalnog sistema vrši na električnom sistemu kao modelu.Primer mehaničkog modela i analognih elektr. modela:

i4i3

i2

kc

my

x(t)

i(t)

i

i1

CR L

R

Cu(t) i L

a)b) c)

8

Analogija fiziAnalogija fiziččkih pojava i kih pojava i elementarni fizielementarni fiziččki sistemiki sistemi

Primenom Dalamberovog principa na mehanički oscilatorni model prikazan na prethodnoj slici, dobija se diferencijalna jednačine oscilatornog kretanja mase m:

y

)(2

2

txcydtdyk

dtydm =+⋅+⋅

Ako se ista jednačina napiše preko promenljive :

( )dym ky c ydt x tdt

+ + =∫Primenom I zakona Kirhofa na električno kolo prikazano na slici pod b) dobija se:

1 ( )du uC udt i tdt R L

+ + =∫

(1)

(2)

Analogija fiziAnalogija fiziččkih pojava i kih pojava i elementarni fizielementarni fiziččki sistemiki sistemi

Primenom II zakona Kirhofa na električno kolo prikazano na slici pod c) dobija se :

Očigledno je da dobijene diferencijalne jednačine pripadaju istoj klasi i da su istog oblika, pa su sva tri modela prikazana na prethodnoj slici analogna.Direktnim upoređivanjem pojedinih članova posmatranih diferencijalnih jednačina dolazi se do zaključka o analogiji pojedinih veličina: pojedinim veličinama u mehanici odgovaraju tačno određene veličine u elektrotehnici.

1 ( )diL Ri idt u tdt C+ + =∫ (3)

9

Analogija fiziAnalogija fiziččkih pojava i kih pojava i elementarni fizielementarni fiziččki sistemiki sistemi

Na primer, diferencijalne jednačine (1) i (2) ukazuju na analogiju koja postoji između veličina:

Te dve diferencijalne jednačine međusobno se razlikuju samo po različitim konstantnim koeficijentima. Za slučaj da su brojne vrednosti odgovarajućih koeficijenata međusobno jednake, te dif. jednačine postaju identički jednake.Takođe, diferencijalne jednačine (1) i (3) ukazuju na analogiju koja postoji između veličina:

U sledećoj tabeli dat je uporedni prgled analognih veličina u mehanici i elektrotehnici.

y i u ; m i C ; k i 1/R ; c i 1/L

y i i ; m i L ; k i R ; c i 1/C

Analogija u Mehanici i ElektrotehniciAnalogija u Mehanici i Elektrotehnici

10

Klasifikacija fiziKlasifikacija fiziččkih elemenatakih elemenata

Matematičke relacije koje opisuju ponašanje idealnih fizičkih elemenata čine osnovu za formiranje diferencijalnih jednačina fizičkih sistema.Koristeći uslovno terminologiju mehaničkih sistema, idealni fizički elementi mogu da se svrstaju u tri grupe, prema analogiji matematičkih modela kojima se opisuju fizičke pojave i to:1. Elementi u kojima se vrši disipacija energije;2. Elementi koji akumuliraju “kinetičku” energiju;3. Elementi koji akumuliraju “potencijalnu” energiju.U sledećim tabelama prikazani su fizički elementi i osnovne relacije kojima se opisuju fizičke pojave.

Elementi u kojima se Elementi u kojima se vrvršši disipacija energijei disipacija energije

11

Elementi koji akumuliraju Elementi koji akumuliraju ““kinetikinetiččkuku”” energijuenergiju

Elementi koji akumuliraju Elementi koji akumuliraju ““potencijalnupotencijalnu”” energijuenergiju

12

KoriKoriššććene oznake:ene oznake:

Električne veličine:i – jačina strujeu – napon R – otpornostC – kapacitativnost kondenzatoraL – induktivnost kalemaMehaničke veličine:F – silav, ω - brzina i ugaona brzinaFr – otporna silak, kφ - koeficijenti viskoznog prigušivanja (translacija i rotacija)x, φ - translatorno i ugaono pomeranjecx – karakteristika elastičnog elementa

KoriKoriššććene oznake:ene oznake:

c – krutost elastičnog elementa (cx = 1/c)cφ – torziona karakteristika elastičnog elementa cT – torziona krutost elastičnog elementa (cφ = 1/cT)Mr – moment trenjaMT – torzioni momentEk – kinetička energijaEp – potencijalna energijaMehanika fluida:p – pritisakRf – hidrodinamička otpornost Q – zapreminski protokmQ – inercija Cf – protočni kapacitet fluida

13

KoriKoriššććene oznake:ene oznake:

Termodinamika:θ – temperaturaq – toplotni protokRθ – termička otpornost Cθ – termički kapacitet