Deseto predavanje

Matrice specijalnog tipaDefinicija1. Matrica je realn ako su joj svi elementi realni brojevi. Definicija2.Matrica je pozitivna ako su joj svi elementi pozitivni Analogno se defini u: negativne, nenegativne i nepozitivne matrice Definicija3.Kvadratna matrica je

involutivna ako je A2 ! E Definicija4. Regularna matrica je ortogonalna ako je AT A1 Definicija5. Kvadratna matrica je AT ! A simetri na ako je Teorema1. Ako regularna matrica ima dvije od tri osobina: involutivnost,ortogonalnost simetri nost, ona ima i tre u osobinu

Definicija6. Kvadratna matrica je kosokoso-simetri na ako je A A Definicija7. Kvadratna matrica je A A hermitska ako je Definicija8. Kvadratna matrica je A T A 1 unitarna ako je Teorem2. Modul determninante unitarne matrice je 1 Teorema3. Ako je A kvadratna

TT

matrica onda je A A simetri na matrica i A T A hermitska Teorema4. Matrice A, A , A su istovremeno singularne ili regularna. Definicija9. Za kvadratnu matricu A({ ) A({O) ka e se da je idempotentna ako je A 2 ! A Definicija10. Kvadratna matrica A({ A({O) je nilpotentna ako postoji prirodan broj k>1 takav da jeTT

Ak ! 0;

Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matriceDefinicija11. Neka je A C ( n,n ) ( R ( n,n ) ) (A je kompleksna(realna) matrica reda n) .Broj P C zove se svojstvena (karakteristi na,vlastita,sopstvena) vrijednost matrice A ako postoji takav da vrijedi n xC , x { 0 Ax= x. x se naziva svojstveni (karakteristi ni, vlastiti, sopstveni) vektor koji pripada

svojstvenoj vrijednosti . Definicija12. Skup svih svojstvenih vrijednosti matrice A naziva se spektar matrice A u oznaci W(A). Definicija13. Neka je A kvadratna matrica . Matrica A- E je Akarakteristi na matrica matrice A a polinom det(A- E ) po je det(AKarakteristi ni polinom matrice A. Jedna ina det(A- E )=0 je det(Akarakteristi na jedna ina matrice A

Teorem5. Broj P C je svojstvena vrijednost matrice A akko P0 zadovoljava karakteristi nu jedna inu det(A- E )=0 . det(A Dokaz Jedna ina Ax= x mo e se predstaviti u obliku (A- E)x=O (AOvoj vektorskoj jedna ini odgovara sistem od n linearnih homogenih jedna ina

0

n

(2) ( aij PH ij ) x j ! 0(i ! 1, - , n)j !1

Da bi sistem imao netrivijalno rje enje (jer po uslovu je x{0) x{ potrebno je i dovoljno da bude det(Adet(A- E)=0.

Primjedba1. Kako je det(A- E) det(Apolinom stepena (reda) n po , karakteristi na jedna ina matrice A ima n rije enja P (i ! 1, 2, - , n) i me u kojima mo e biti i jednakih. Dakle matrica A ima n (ne moraju biti sve me usobno razli ite) svojstvenih vrijednosti.

Teorem6. Neka je A C ( n ,n ) i) Neki od koeficijenata karakteristi nog npolinom ! E j P j su G( ):=det(A- E) ):=det(Aj !0

E n ! ( 1) n ; E n 1 ! ( 1) ( n 1) tr ( A); E o ! det( A);n

tr ( A) ! aiii !1

ii) A posjeduje svojstvenu vrijednost 0 akko je A singularna

Teorem7. Neka je A C ( n,n ) a)Ako je x svojstveni vektor matrice A koji pripada svojstvenoj vrijednosti tada je i Qx (Q{0) svojstveni vektor (Q{0) matrice A koji pripada svojstvenoj vrijednosti . b)Ako je x svojstveni vektor koji pripada svojstvenoj vrijednosti tada je tako e x svojstveni vektor matrice n A koji pripada svojstvenoj vrijednosti Pn .

A i AT imaju iste svojstvene vrijednosti Neka je A regularna matrica i ako je svojstvena vrijednost matrice A i x njoj pripadaju i svojstveni vektor onda je 1 svojstvena vrijednost matrice P A1 a x pripadaju i svojstveni vektor

Teorema8. (Cayley-Hamiltonov (Cayleystav) Svaka matrica je u matri nom smislu nula svog karakteristi nog polinoma

Primjer1

Na i svojstvene vrijednosti i pripadaju e svojstvene vektore 1 2 0 A! 1 1 2 0 1 3 2 i i B! i i

Primjer2.

Na i spektar matrice je

A6

ako

7 2 78 A ! 0 13 0 0 0 2007

Primjer3.

Neka je H ! E 2 wwT ; w 2 ! 1 Householder matrica . Dokazati da je w svojstveni vektor matrice H i odrediti pripadaju u svojstvenu vrijednost

Primjer4.

Dokazati da su sve razli ite od nula svojstvene vrijednosti matrice AB tako e svojstvene vrijednosti matrice BA

Teorem 9. Neka je A C Hermitska matrica. Tada su sve svojstvene vrijednosti realne Definicija13. Hermitska matrica se naziva pozitiv definitna ako su joj sve svojstvene vrijednosti pozitivne

( n,n )

VektoriVektori-ponavljanje

Ponoviti definiciju vektora, jednakost vektora, sabiranje i oduzimanje vektora mno enje vektora skalarom

Primjedba2.Obi ni slobodni vektori nad poljem realnih brojeva su samo jedan od primjera vektora. Ina e vektori se algebarski definiraju kao elementi vektorskog prostora. Vektorski prostor nad poljem K je algebarska struktura sa dvije opercije : sabiranje vektora i mno enje vektora skalarima.

(skalari se uzimaju iz polja K). Pri tome mora vrijedeti (V,+) Abelova grupa a za mno enje sa skalarima vrijede slijede e osobine( Fx) ! ( F ) x ( F ) x ! x Fx ( x y ) ! x Fy 1 x ! x ( , F K ; x, y V )

Vektorski prostor obi nih slobodnih vektora je samo jedan primjer vektorskog prostora nad poljem K realnih brojeva. Ina e vektorski prostor Vnad poljem K( u polju imamo dvije operacije + i . + mora biti asocijativno i komutativno

Linearna zavisnost vektora. Kolinearni i komplanarni vektoriDefinicija14.n Neka su a1 , a2 ,- an suma oblika Pi ai naziva se linearna i !1 kombinacija vektora a1 , a2 ,- an Definicija15. Skup {a1 , a2 ,- an } vektora naziva se a) linearno zavisan, ako mo emo odrediti skalare P , P ,- , P koji nisu svi jednaki 0, takvi da je

1 2 n

T Pi ai ! 0n i !1

b) Linearno nezavisni, ako nije linearno zavisan,tj. akon

P ai i !1

i

! 0 P1 ! P2 ! - ! Pn ! 0

Primjedba2. Svaki vektor je linearno nezavisan. Nula-vektor je Nulalinearno zavisan. Svaki skup koji sadr i nula-vektor je linearno nulazavisan.

a{0

T T Definicija16. Za dva vektora a i b

ka emo da su kolinearni ako imaju isti pravac, tj. isti nosa ili paralelne nosa e. T T Teorem10. Dva vektora a i b su linearno zavisna akko su kolinearna Dokaz T P1 a1 P2 a2 ! 0 pri emu je barem jedan

brojeva napr.

P1

i

P2

P1 { 0

razli it od 0. Neka je . Tada je

X P2 T a! b P1 T T a ! Pb P2 P! P1

T pa su vektori a i

T b kolinearni

a)

T T b {0 T T T T T a ! Pb a Pb ! 0

b)

T T b !0 T T T 0 a 1 b ! 0

Definicija17. Za tri vektora ka emo da su komplanarni ako su paralelni jednoj istoj ravni T T b dva Teorema11. Neka su a i T nekolinearna vektora. Svaki tre i vektor T c T b kimplanaran je sa vektorima a i ako vrijedi

T T T c ! a Fbpri emu su skalari E i F jednozna no odre eni

Teorema12. Vektori su komplanarni akko su linearno zavisni . TTT Definicija18. Ure en trojka ( a , b , c ) nekomplanarnih vektora dovedenih na zajedni ki po etak O naziva se a) triedrom desne orijentacijeT se, ako gledaju i sa vrha vektora c najkra e obrtanje vektora da

TTT a , b ic

T a

T se poklopio sa smjerom vektora b

vr i u smislu suprotnom od kretanja kazaljke na satu b) triedrom lijeve orijentacije, ako se gledaju i sa vrha vektora najkra e obrtanje vektora da bi T se poklopio sa smjerom vektora b vr i u smislu kretanja kazaljke na satu

a

T Tc

Primjer6.

Neka su nekomplanarna vektora. Dokazati 1 T T T T T T a c , 2a 2b ,b c da je skup 2 linearno zavisan

TT i T tri a, b c

Primjer7

TTT T m, n, pix Vektori zadani su u TTT odnosu na bazu (a , b , c )

T T T TT T T TT T T T ! a b c , n ! a b 2c , p ! a 2b 3c T T T T x ! 6a 9b 14c

Dokazati da vektori tako e obrazuju bazu . Na i T koordinate vektora x u odnosu TTT na bazu ( , n, p)

TT T m, n i p

Skalarni (unutra nji) proizvod dva vektora

Definicija1. Skalarnim ili unutra nijim proizvodom dva vektora a i b u T T TT oznaci a b ili (a b ), nazivamo skalar koji je jednak proizvodu inteziteta tih vektora i kosinusa ugla koji oni obrazuju

T T TT a b :! a b cos NN-ugao koji obrazuju vektori a i b

Primijena skalarnog proizvod

Odre ivanje rada

TT A ! F s

Odre ivanje projekcije jednog vektora na osu drugog jer jeT T T T T ! b cos , prT ! a cos pra b a b

Dakle,

T T T T T TT T a b ! a pra b ! b prb a

Za Dekartove koordinate vektora vrijedi: TT ax ! a i TT ay ! a j TT az ! a k

Uslov normalnost (ortogonalnosti)

Konvencija: Nul-vektor je normalan Nulna svaki vektor Teorema1.TT T T a b ! 0 a B b

Dokaz T T TT T a B b N ! a b ! 0 2

T TT TT T T a b ! 0 a b cos N ! 0 a ! 0 b ! 0 N ! 2

Teorem2. Neka su skalar. Tada vrijedi T T TT a) ab e a b , pri emu znak jednakosti T T vrijedi akko su a i b kolinearni TT T vektori. Specijalno je a a ! a TT TT b) a b ! b a2

TTT a, b , c i k

TT T T T T c) k (a b ) ! (ka ) b ! a (kb ) T T T T T TT d) a (b c ) ! a b a c T T e)Ako su vektori a i b dati svojim koordinatam u Dekartovom prevouglom sistemu u prostoru T

tj. tada je

T a ! (a x , a y , a z ), b ! (bx , by , bz )

TT a b ! a x bx a y by a z bz

Dokaz

Radi ilustracije dokaza dokaza emo samo d) i e) T T T T T T T d) a (b c ) ! a prT(b c ) ! a ( prTT prTT b c)T T T T T T ! a pra b a pra ca a a

e)U ovom dijelu dokaza koristi emo b),c)(pretpostavimo da je dokazano) i d) kao i injenicu da je

TT T T T T i i ! j j ! k k ! 1, T T TT i j ! j i ! 0, X T TT j k ! k j ! 0; X T TT i k ! k i ! 0

T T T T T T TT a b ! (a x i a y j a z k ) (bx i by j bz k ) ! TT TT TT a x bx (i i ) a x by (i j ) a x bz (i k ) TT TT TT a y bx ( j i ) a y by ( j j ) a y bz ( j k ) TT TT TT a z bx (k i ) a z by (k j ) a z bz (k k ) ! ! a x bx a y by a z bz

Odre ivanje kosinusa ugla izme u dva vektoraTT a b T TT T cos N ! TT a { 0, b { 0) ( ab cos N ! a xbx a y by a z bz a a a2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z

b b b

Uslov normalnosti vektora zadanih koordinatam

T T a ! (a x , a y , a z ), b ! x , by , bz b a x bx a y by a z bz ! 0

Primjer8.

Odrediti x tako da vektori T a ! (1, | x 2 4 |, | x 1 |) T b ! (| x 2 1 |,1, | x 2 |) Budu normalni

Primjer9

Ako jeT T TT T T T T TT T a ! 3 n , b ! 2n , | |! 2, | n |! 1, ( , n ) ! 3

Odrediti

T2 T T | a | 3a b

Primjer10.

U trouglu ABC dato je| AB | ! 2, | AC | ! 5, ( AB, AC ) !T 3

Na i ugao izme u te i nica povu enih iz vrhova A i B.

Vektorski(vanjski) proizvod dva vektora

T Definicija14 Neka su vektori a i

T b

dovedeni na zajedni ki po etak O. T Vektorskim proizvodom vektoraT a i T T TT T b u oznaci a v b a v b ili [a, b ] T nazivamo vektor definisan slijede im uslovima TT avb 1) nosa vektora T b T normalan je na ravan n h odre enu vektorima T a

T b TT 2) smjer vektora a v b je takav da TTT T a ure ena trojka _, b , a v b aobrazuje trijedar desne orijentacije TT TT a v b vektora a vb 3) intezitet je jednak mjernom broju povr ine paralelograma konstruisanom T T nad vektorima a i bT ai

T T T TT T T T a v b !| a v b | n !| a || b | sin Nn

T TT n ort vektora a vb

Teorem13.2 T T T2 T2 T T2 a v b !| a | | b | ( a b )

Dokaz

2 T T T2 T2 T2 2 2 a v b !| a | | b | sin N !| a | | b | (1 cos 2 N ) ! T2 T2 T2 T2 T2 T2 T T2 2 | a | | b | | a | | b | cos N !| a | | b | (a b )

Teorem14.(uslov kolinearnosti)TT T T T T T a v b ! 0 (a ! kb b ! ka )

Teorema15. Neka su k skalar. Tada TT TT a) a v b ! (b v a ) TT T T T T b) k (a v b ) ! (ka ) v b ! a v (kb ) T T T TT TT c) (a b ) v c ! a v c b v c

TTT a , b ic vektori

i

Dokaza) Iz definicije vektorskog proizvoda T TT T slijedi da vektori a v b ib v a Imaju isti pravac i jednake intezitete TTT T TTT T a , b , a v b i b , a , b v a imaju istu orijentaciju. Iz toga slijedi da su TTT T TTT T a , b , b v a triedri a , b , a v b i suprotne orijentacije

_

a _ a _ a _

a

b)Doka imoTT T T k (a v b ) ! (ka ) v bT TT T T d :! k (a v b ); d1 :! ( ka ) v bT T k ! 0 d ! 0 d1 ! 0T2 T T2 T2 T2 T T2 T2 T2 T T2 2 | d1 | !| ( ka ) v b | !| ka | | b | ( ka b ) ! k (| a | | b | ( a b ) ) ! T2 T T2 T2 2 T k | a v b | !| k ( a v b ) | !| d 1 | T T | d1 |!| d |

T Lako se vidi da se vektorima d T i d1 poklapaju pravci i smjerovi Primjedba Operacija vektorskog proizvoda distributivna je i slijeva u odnosu na sabiranje

Teorema15.Neka su vektori dati u svojim koordinatama u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu:T T a ! ( a x , a y , a z ), b ! (bx , by , bz ); T T T i j k T T a v b ! ax a y az bx by bz

T a

i

T b

Primjer1

Neka jeT T T T a ! (1,0,2), b ! (0,2,2), c ! (1,1,1), d ! ( 2,3,4)

Izra T unati T T T a) d v ( 2a 3b c ) T TT b) prc d a c) povr inu trugla iji su vrhovi A,B i TTT C odre eni vektorima a , b ic respektivno

Primjer2.

Izvesti sinusnu teoremu za trougao.