predavanje 4

6. NEZAKRIVLJENI NOSAČI U RAVNI

Nosači su kruta tijela koja nose terete i prenose ih na oslonce. Pripadaju grupi elemenata koji ulaze u sastav osnovne statičke konstrukcije.

Osnovna karakteristika nosača je znatno manji poprečni presjek u odnosu na uzdužne dimenzije.

Nosači mogu biti ravni i prostorni. Kod ravnog nosača sile, odnosno opteredenje koje djeluje na nosač i podužna osa nosača leže u istoj ravni, u protivnom je nosač prostorni.

Pored toga nosači mogu biti: puni, rešetkasti nosači ili rešetke i okvirni nosači. Puni nosači se najčešde nazivaju gredama a mogu biti zakrivljeni i nezakrivljeni.

Da bi se kruto tijelo moglo upotrijebiti kao nosač ono mora biti nepokretno. To se postiže vezivanjem za nepomične tačke ili oslanjanjem na oslonce.

6.2. Vrste oslonaca

6.2. Vrste oslonaca

Za oslanjanje nosača u praksi se koriste: - nepokretni i pokretni oslonci ili - uklještenje kao veza.

Izvedbe nepokretnih i pokretnih oslonaca mogu biti različite a najčešće se primjenjuju nepokretni i pokretni cilindrični zglob, kotrljajna i klizna ležišta. Otpor nepokretnog cilindričnog zgloba (nepokretnog oslonca) je uvijek kos (sl. 43.a. i b.), dok je otpor pokretnog oslonca uvijek normalan na ravan oslanjanja oslonca (sl.43.d., e. i f.).

Glavni tipovi ravnih nosača

- prikazuju pomoću pravih duži. Prema rasporedu oslonaca ravnih nosača oni mogu biti: Prosti nosači (prosta greda), oslonjeni na

pokretni i nepokretni oslonac. Rastojanje između pokretnog i nepokretnog oslonca predstavlja dužinu grede

Nosači sa jednim ili dva prepusta (greda sa prepustom). Kod ovih nosača rastojanje između oslonaca nije jednako dužini nosača

Konzole - nosači koji su na jednom kraju uklješteni

Gerberova greda ili greda sa zglobom

predstavlja složeni nosač. Sastavljena je iz dvije grede koje su spojene pomoću zgloba a mogu biti oslonjene na više oslonaca b.).

Okvirne nosače koji su sastavljeni iz više prostihnosača



Vrste opteredenja nosača Prema obliku, opterećenja koja djeluju na nosač mogu biti:

a) koncentrisana opterećenja b) kontinualna opterećenja

Kod koncentrisanih opterećenja se dejstvo sile prenosi na zanemarljivo mali dio dužine nosača, pa se pretpostavlja da sila djeluje u jednoj tački. Koncentrisano opterećenje može biti:

prosto koncentrisano opterećenje, kada koncentrisana sila djeluje okomito ili koso, opterećenje spregom sila, ekscentrično opterećenje kada sile posredno

djeluju na nosač.

Vrste opterećenja nosača

a) koncentrisana opterećenja

A B

A B

A B

x

x

x

q

q1 q2

f ( x )

Kod kontinualnog opterećenja, opterećenje nosača može biti raspoređeno po

cijeloj njegovoj dužini ili po nekoj dužini njegovog raspona.

Kontinualno opterećenje se karakteriše specifičnim opterećenjem po jedinici dužine

nosača, pa se u općem slučaju daje izrazom q = q(x) i mjeri se u N/m ili kN/m. Osa x

predstavlja uzdužnu osu nosača.

a.

b.

Kontinualno opterećenje može biti jednoliko raspoređeno po određenoj dužini nosača,

kada se prikazuje površinom u obliku pravougaonika Specifično optrećenje q u ovom

slučaju je konstantno.

Za nejednoliku raspodjelu kontinualno opterećenje predstavlja površina omeđena

tzv. linijom opterećenja f(x).

Vrste opterećenja nosača

b) kontinualna opterećenja

Kod svakog nosača, u opštem slučaju je potrebno rješiti četiri osnovna zadatka:

Računskim ili grafičkim postupkom odrediti

veličinu, pravac i smjer otpora oslonaca. Nacrtati dijagram napadnog momenta i odrediti

položaj presjeka u kome se javlja najvedi napadni moment i izračunati njegovu brojnu vrijednost.

Nacrtati dijagrame transverzalne (poprečne sile) i aksijalne (normalne) sile.

Analitički postupak određivanja reakcija oslonaca nosača

iX =0 0AX F cos

iY =0 0A BY F sin F

iF

AM =0 0BF l F sin a

AX F cos , B

F sin aF

l ,

A

F sin bY

l

A T

x

YA

XA

YA

XA

FR

W0

T

T

FB

FR

W0

d

d

F

a. b.

d. c.

A

T

B

F R d

F R

W 0

T

A

F R

d

d

F R

F R d

F R B

1 2

1 2

W 0 d W 0

W 0 d W 0

W 0

Transverzalna sila. Moment savijanja. Aksijalna sila.

Ako se za redukcionu tačku na 2. dijelu nosača odabere tačka T, koja se nalazi u težištu poprečnog presjeka grede, kao rezultat redukcije dobit de se glavni vektor d

RF i glavni moment sila d

oM sila koje djeluju na desni dio nosača. Intenzitet glavnog vektora i glavnog momenta sila desno od uočenog presjeka se može odrediti geometrijskim postupkom i analitičkim postupkom pomodu izraza: .


d

RY = BF F sin d

RX = F cos ,

Intenzitet glavnog vektora

dRF =

2 2d d

R RY X ,

dok je intenzitet glavnog momenta :

doM = BF l x - F sin l x b ,

gdje je x udaljenost presječne ravnine

od lijevog oslonca.


Na isti način se može odrediti i utjecaj dijela 1 na dio 2. Redukciona tačka je ponovo ista tačka T (težište poprečnog presjeka).

Prenesu li se ponovo sve sile koje djeluju na prvi dio, u

tačku T, kao rezultat redukcije se dobije glavni vektor lRF i

glavni moment loM sila, koje djeluju na lijevi dio nosača..

Intenziteta ovih veličina se može odrediti geometrijskim putem (sl.) i analitičkim postupkom pomodu izraza:

lRY = AY , l

RX = - AX = - F cos

Intenzitet glavnog vektora je:

lRF =

2 2l lR RY X

Intenzitet glavnog momenta: loM = .Ay x


Kada se u izraze za glavne vektore i glavne momente uvrste konkretne vrijednosti vanjskih sila i reakcija oslonaca, dobiju se iste vrijednosti intenziteta glavih vektora i glavnih momenata sila sa lijeve i desne strane presjeka, ali sa suprotnim predznacima

Do istih rezultata se dolazi i konstrukcijom poligona sila, kako je prikazano

na slikama

Sprovedena analiza pokazuje da 1. dio nosača djeluje na 2. dio nosača silom, koju predstavlja glavni vektor i spregom sila, odnosno glavnim momentom, koji su po intenzitetu i pravcu jednaki, ali su suprotno usmjereni od sila i momenata kojima 2. dio djeluje na 1. dio nosača (sl.) Ovaj rezultat je saglasan sa tredim Newtonovim zakonom i sa četvrtom aksiomom statike.



Prema tome može se zaključiti slijedede: Prvi ili drugi dio nosača de biti u ravnoteži samo onda kada na njih u zamišljenom presjeku pridoda i utjecaj odbačenog dijela. Ova analiza služi i za definisanje slijededih statičkih pojmova: aksijalne sile, transverzalne sile i momenta savijanja.

Transverzalna sila Vertikalna projekcija glavnog vektora sila sa napadnom tačkom u težištu

poprečnog presjeka I-I, koja djeluje na određeni dio nosača lijevo ili

desno od uočenog presjeka I-I se naziva transverzalna ili poprečna sila u

tom presjeku.

Aksijalna sila Horizontalna projekcija glavnog vektora sila u presjeku I-I se naziva

aksijalna ili uzdužna sila u tom presjeku.

Moment savijanja Glavni momet sila koje djeluju na posmatrani dio grede lijevo ili desno

od posmatranog presjeka za težišnu tačku T, kao obrtnu tačku se naziva

moment savijanja ili napadni moment


S obzirm na analitički postupak, prema kojem se određuju vrijednosti vertikalnih i horizontalnih projekcija glavnog vektora i glavnog momenta,

ove veličine se mogu definisati i na drugi način.

Transverzalna ili poprečna sila u posmatranom

presjeku nosača predstavlja algebarski zbir projekcija

svih vanjskih sila na osu koja je normalna na uzdužnu

osu nosača. Sa obje strane presjeka transverzalne sile

su istog intenziteta a suprotnog smjera.


Aksijalna ili uzdužna sila u posmatranom presjeku nosača

predstavlja algebarski zbir projekcija svih vanjskih sila na

uzdužnu osu nosača. Sa obje strane presjeka aksijalne sile

su istog intenziteta ali su suprotnog smjera.

Napadni moment ili moment savijanja u posmatranom

presjeku nosača predstavlja algebarski zbir statičkih

momenata svih vanjskih sila, lijevo ili desno od presjeka,

obzirom na težište posmatranog presjeka.


Pod pojmom vanjskog opteredenja nosača ovdje se podrazumijeva opteredenje od vanjskih sila, spregova sila i reakcije oslonaca. Napadni moment se označava sa M , sa indeksom l ili d, transverzalna sila sa TF , sa indeksima l ili d, a aksijalna sila

sa aF , sa ideksima l ili d. Indeksi l i d označavaju stranu

presjeka. Da bi znak transvezalne sile, aksijalne sile i momenta savijanja bio isti bez obzira sa koje se strane presjeka računa, uvedena je konvenciju o znaku ovih veličina. Na sl. ucrtan je znak transverzalne sile, aksijalne sile i momenta savijanja sa lijeve i desne strane jednog presjeka.


Moment savijanja nosača za presjek koji je

udaljen od oslonca za rastojanje x označava se sa

XM .

Kako bi se grafički mogle prikazati transvezalna

sila, aksijalna sila i moment savijanja treba se

obavezno pridržavati uvedene konvencije o

predznaku.


Statički dijagrami transverzalnih sila, aksijalnisila i momenata savijanja nosača koji su opteredeni koncentrisanim silama

Za pravilno dimenzionisanje nosača, neophodno je poznavatipromjenu transverzalne sile, aksijalne sile i momenta savijanja u svimpresjecima nosača.

Iz tog razloga se vrši grafičko prikazivanje ovih veličina, na tajnačin da se crtaju tzv statički dijagrami transverzane sile, aksijalne sile imomenta savijanja.

Da bi se ovi dijagrami mogli nacrtati moraju se prema definicijiM, FT i Fa, utvrditi analitički izrazi za sve oblike opteredenja nosača.

Nosač prikazan na slici optereden je koncentrisanom silom F= 2 2 N. Rastojanje a= 2 m, b=3 m i ugao = 450. Iz uslova ravnoteže sila, za prikazani nosač, prvo se određuju nepoznate reakcije u osloncima prema izrazima (6.2) koji su dati u poglavlju 6.5.1. Intenziteti nepoznatih sila za date podatke su:

2AX N , 6

5AY N ,

4

5BF N .

Za prikazanu gredu, sada se mogu postaviti jednačine za određivanje transverzalne sile za određena polja i nacrtati dijagram transverzalne sile. Pod poljem se podrazumijeva raspon na gredi na kojem ne dolazi do skokovite promjene transvezalne sile.

Primjer 1.b) Dijagram napadnog momenta ili momenta savijanja

Analitički izrazi momenta savijanja posmatranog nosača

za već definisana polja su:

I Polje (0 < x1 < 2 m)

1 1

6

5

lAM Y x x

,

za 1 0x , 0 0M Nm

za 1 2x, 0

12.

5M Nm

II Polje (2 <x2< 5 m)

2 2 2

42 4

5

lAM Y x F sin x x

za 2 2x , 0

12

5M Nm za 2 5x

0

0M Nm

I Polje (0 < x1< 2 m)

Transverzalna sila u definisanom polju, određena sa lijeve strane presjeka je:

lTF =

6

5AY N

II Polje (2 <x2 < 5 m)

lTF

= 2 6 2 4

2 22 5 2 5

AY F N

c) Dijagram aksijalne sile

I Polje (0 < x1 < 2 m)

2la AF X N II Polje (2 <x2< 5 m)

0daF

Osnovni statički dijagrami

Kada je specifično opteredenje nosača proizvoljna funkcija apscise (raspona)

nosača tj. q f x , za takve nosače se kaže

da su opteredeni proizvoljnim kontinualnim opteredenjem. Jedan takav nosač prikazan je na sl. Ako se za dato opteredenje može odrediti položaj težišta površine ispod krive q= f(x), onda ukupna sila koja optereduje nosač djeluje u težištu T i njen intenzitet iznosi:

Statički dijagrami nosača koji su opterećeni proizvoljnimkontinualnim opterećenjem

Q=

l

x dxq0

=

l

dxxf0

)(

(6.7)

Nepoznate reakcije u osloncima ovog nosača određuju se primjenom jednačina

ravnoteže paralelnih sila.

1

0n

ii

Y

0A BY Y Q

1

0i

NFA

i

M 0BY l Q a

B

Q aY

l, A

Q bY

l

izraz za transverzalnu silu u proizvoljno

Analitički odabranom presjeku nosača koji je

udaljen od tačke A za rastojanje x je:

lTF = AY -

0

x

f ( x )dx.

Napadni moment u tom presjeku je određen

izrazom:

lM = AY x -

x

dxxf0

)( cx x

Gdje je cx rastojanje tačke težišta površine

koja je određena dužinom x.

Za određivanje veze između

transverzalne sile, momenta savijanja i

specifičnog opterećenja posmatra se

elementarni dio nosača sa sl.51., dužine

dx, koji je opterećen kontinualnim

opterećenjem. Kako je nosač pod

djelovanjem vanjskih sila i reakcija veza

u ravnoteži, to je i svaki njegov dio u

ravnoteži.

Izdvoji li se elementarni dio nosača

dužine dx, koji je u ravnoteži, onda se

dejstvo odbačenih dijelova nosača mora

nadoknaditi glavnim vektorom i glavnim

momentom sila, koji su prikazani na slici

52. b.

Veza između transverzalne sile, momenta savijanja ispecifičnog opterećenja

Uz pretpostavku da je specifično kontinualno opteredenje xq konstantno na dužini dx, za ovaj izdvojeni dio se mogu napisati jednačine ravnoteže paralelnih sila:

iY= 0 .

iY = 0Tx x Tx TxF q dx F dF

CM= 0

CM=

02

x x x x Tx Tx

dxM q dx M dM F dF dx

Tačka C, je težišna tačka površine poprečnog presjeka sa lijeve strane presjeka nosača, dužine dx.

Ako se u jednačini (6.11) zanemare veličine višeg reda, onda one prelaze u oblik:

0Tx xdF q dx 0x TxdM F dx

Iz jednačina (6.12) i (6.13) se uspostavlja veza između transverzalne sile, momenta savijanja i specifičnog opterećenja.

Txx

dFq

dx X

Tx

dMF

dx

Izdvoji li se elementarni dio nosača dužine dx, koji

je u ravnoteži, onda se dejstvo odbačenih dijelova

nosača mora nadoknaditi glavnim vektorom i

glavnim momentom sila, koji su prikazani na slici

52. b.

Prema tome, analizom jednačina ravnoteže izdvojenog dijela nosača

dužine dx, koji je opterećen kontinualnim opterećenjem se može

zaključiti slijedeće:

Prvi izvod transverzalne sile u bilo kojem poprečnom presjeku

nosača po apscisi x jednak je intenzitetu specifičnog opterećenja u

tom presjeku uzet sa negativnim znakom, dok je prvi izvod napadnog momenta u nekom poprečnom presjeku po apscisi x

jednak transverzalnoj sili u tom presjeku.

Jednačine se ne mogu primijeniti na nosače na koje djeluju koncentrisane sile ili spregovi sila, jer su u presjeku nosača u kojima

djeluju sile funkcije prekidne pa izvod gubi smisao.

Na osnovu jednačina (6.14) i (6.15) se crtaju dijagrami transverzalnih sila i napadnih momenata. Prema osobinama izvoda funkcije može se

zaključiti:


Ako je transverzalna sila na bilo kojem dijelu raspona nosača veda od

nule ( XTx

dMF

dx>0), napadni moment XM na tom dijelu raspona

nosača se povedava, odnosno ako je transverzalna sila negativna

( XTx

dMF

dx<0), napadni moment XM na tom dijelu raspona

nosača se smanjuje. Kada transverzalna sila u nekom presjeku nosača prolazi kroz nulu i

mijenja znak, napadni moment u tom presjeku ima ekstremnu vrijednost, maksimum ili minimum.Taj presjek je opasni presjek. Mjesto opasnog presjeka se određuje iz uslova:

XTx

dMF

dx=0


Prema tome, problem crtanja statičkih dijagramakontinualno opteredenih nosača se svodi na ispitivanjeodređenih funkcija pomodu izvoda tih funkcija, jer sumomentne funkcije neprekidne i derivabilne funkcije. Deriviranjem momentne funkcije po dužini dx, te izjednačavanjem prvog izvoda sa nulom, dobije se presjek nosača u kojem moment ima maksimum. Prema jednačini poprečna sila u tom presjeku jednaka je nuli

Prema tome, problem crtanja statičkih dijagrama kontinualno opteredenih nosača se svodi na ispitivanje određenih funkcija pomodu izvoda tih funkcija, jer su

Documents

predavanje 4