Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
158
บทท 6
การเคลอนทแบบออสซลเลต
บทนา
การเคลอนทแบบออสซลเลต (Oscillatory motion) จะหมายถงการเคลอนทเปนรอบ
หรอการเคลอนทเปนคาบรอบตาแหนงสมดล เชน การเคลอนทของลกตมนาฬกา การเคลอนทของ
วตถทผกตดไวทปลายสปรงเมอยดสปรงแลวปลอย การสนของอะตอมในของแขง อะตอม
ในโมเลกลกสนสมพทธซงกนและกน อเลกตรอนในสายอากาศมการเคลอนทแบบสนแกว ง
อยางรวดเรว นอกจากนการสนแบบออสซลเลตยงเปนพนฐานของการศกษาเรองคลนอกดวย
ในบรรดาการเคลอนทแบบออสซลเลต การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก (Simple
harmonic motion, SHM) นบวาเปนชนดทสาคญทสด เพราะวาเปนการเคลอนทซงสามารถใช
คณตศาสตรอธบายไดงายทสด และยงประกอบดวยคาบรรยายทคอนขางแมนยาสาหรบการสนท
พบในธรรมชาต
6.1 การเคลอนทแบบ SHM (Simple harmonic motion)
เมออนภาคเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก เมอการกระจด y สมพทธกบจดกาเนดของ
ระบบโคออดเนตเปนฟงกชนของเวลา และสมพนธกนตามสมการ
y = A sin (t + ) …..(6-1)
เมอปรมาณ t + เรยกวา เฟส (Phase) และ เรยกวา เฟสเรมตน เมอเวลา t = 0
การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกยงสามารถนยามเปน Cosine function กได แตจะแตกตางกน
เพยงประการเดยวคอ เฟสเรมตนจะตางกนอย 90 หรอ /2 เรเดยน ทงนเนองจาก Sine function
หรอ Cosine function มคาอยระหวาง –1 กบ +1 ดงนนการกระจดจงมคาอยระหวาง x = -A กบ
x = +A ซงเรยกวา แอมปลจด (Amplitude) ของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกจะเวยนซาเดม
ในทก ๆ ครงทมมเฟส t เพมขนทก 2 ดงนนการกระจดของอนภาคจะซาเดมอกหลงจา
ชวงเวลา 2/ ไดผานไป การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกจงเปนแบบพรออดก (Periodic)
ซงคาบ T คอ
T = ωπ2
…..(6-2)
159
เมอความถเชงมม = 2f และทาใหความถ f = 1/T ดงนนความเรว v และความเรง a
ของอนภาคซงอนพนธฟงกชนกบเวลาสามารถหาไดจากสมการท (6-1) คอ
v = dtdy
= Acos(t + ) …..(6-3)
และ a = 2
2
dt
yd =
dtdv
= -2A sin(t + ) = -2y…..(6-4)
จากสมการท (6-4) จะเหนวาในการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก ความเรงจะเปน
ปฏภาคโดยตรงและมทศทางตรงขามกบการกระจด ดงแสดงในรปท 6-1 ซงเปนกราฟของ
การกระจด ความเรว และความเรงเปนฟงกชนของเวลา
รปท 6-1 กราฟการกระจด x ความเรว v ความเรง a ของวตถทเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก
การกระจดของอนภาคทเคลอนทแบบ SHM สามารถใชเวกเตอรหมน (Rotating vector)
อธบายไดดงรปท 6-2 ถาพจารณาองคประกอบตามแนวแกน x ของเวกเตอร A
เมอหมนทวนเขม
นาฬการอบจด O ดวยความเรวเชงมม และทามมในขณะใด ๆ เปน t + กบแกน –y ดงรปท
160
6-3 ซงแสดงเวกเตอร A
ในตาแหนงตาง ๆ กน ดงนนขนาดขององคประกอบของเวกเตอร A
ตาม
แนวแกน x ณ เวลา t ใด ๆ สามารถแสดงไดเปน x = Ax = A sin (t + )
(ก) (ข) (ค)
รปท 6-2 Rotating vector สาหรบการกระจดใน SHM
รปท 6-3 แสดง Rotating vector สาหรบการกระจด x ความเรว v และความเรง a ใน SHM
ความเรวและความเรงของอนภาคสามารถแทนไดดวยเวกเตอรหมน A และ A2
ตามลาดบ และมองคประกอบของความเรว ความเรง ตามแนวแกน x ของอนภาคซงกาลงเคลอนท
แบบ SHM โดยตาแหนงของเวกเตอรหมนสามารถแสดงได ดงรปท 6-4
161
(ก) (ข)
รปท 6-4 แสดงความสมพนธระหวางการเคลอนทแบบวงกลมกบ SHM
จากรปท 6-4 จะเหนวาเวกเตอรความเรว A นาหนาเวกเตอรการกระจด A ไป /2
และเวกเตอรความเรง 2A นาหนาเวกเตอรการกระจด A ไป เมอสมพนธกบเวกเตอรหมน A
เมอมเฟสนาหนาไปเชนน จงเขยนสมการท (6-3) และ (6-4) ใหมไดเปน
v = A sin(t + + 2π
) …..(6-5)
และ a = 2A sin(t + + ) …..(6-6)
ซงแสดงใหเหนวา เวกเตอรความเรว v และเวกเตอรความเรง a มเฟสแตกตางจาก
การกระจด x เปนจานวน /2 และ ตามลาดบ นอกจากนเรายงสามารถใชการเคลอนทแบบ
วงกลมอธบายการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกไดอก ดงแสดงในรปท 6-4
ความสมพนธระหวางการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกกบการเคลอนทแบบวงกลม
ดงรปท 6-4 สามารถพจารณา OP ซงมความยาวเทากบ A ในรปท 6-5 (ก) และหมนรอบจด O
ดวยความเรวเชงมม ซงเสน OP จะเปนเวกเตอรหมน โดยเวกเตอร OP ทามม กบแนวระดบ
ทเวลา t = 0 จด N จะเปนเงา (Projection) ของจด P ในแนวแกน y เมอเวกเตอร OP หมน จะทาให
จด N เกดการออสซลเลตไปตามแนวแกน y ถากาหนดให y เปนความยาวของ ON ทเวลา t ใด ๆ
มมระหวางรศม OP และแกน x เทากบ t + นนคอ
y = A sin(t + )
ความเรวของการเคลอนท ทจด P ดงรปท 6-4 (ข) มขนาดเปน A และความเรว
ในแนวแกน y จะมคาเทากบ
v = A cos(t + )
162
และความเรงของจด P คอความเรงเชงมมซงมขนาด A2 และความเรงในแนวแกน y คอ
a = 2A sin(t + )
ตวอยางท 6-1 จงหาการกระจด ความเรว และความเรงของอนภาคทแกวงแบบ SHM ดวยขนาด
แอมปลจด A = 0.05 m และความถ f = 20 Hz ในขณะเวลา 0.04 s ภายหลงทอนภาคผานตาแหนง
สมดลและกาลงเคลอนทไปในทศทางบวก
วธทา หาขนาดเนองจากการแกวงแบบ SHM จาก
y = A sin(t + )
เมออนภาคผานตาแหนงสมดล ทาใหเฟสเรมตน = 0 และ = 2f ดงนน
y = A sin t
y = 0.05 sin(2 20 0.04)
= -0.048 m ตอบ
สาหรบความเรวเกดจากอนพนธของการกระจดเทยบกบเวลา คอ
v = dtdy
= A cos(t)
v = 2 20 0.05 cos(2 20 0.04)
= 1.9 m/s ตอบ
ทานองเดยวกนความเรงกเกดจากอนพนธของความเรวเทยบกบเวลา จะได
a = dtdv
= -2A sint
a = -[(2 20)2 0.05 sin(2 20 0.04)]
= 7.5 102 m/s ตอบ
6.1.1 แรงและพลงงานของการเคลอนทแบบ SHM
พจารณาจากมวล m ทยดตดกบสปรงทมคาคงทของสปรง k ดงรปท 6-5
เราสามารถหาแรงเนองจากสปรงทกระทาตอมวล m หลงจากออกแรงยดสปรงไดระยะ x เทากบ
-kx และจากกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน F = ma เมอแทนคาความเรงของการเคลอนทของ
อนภาคมวล m ตามสมการท (6-4) โดยกาหนดให x เปนการกระจดทไดจากการยดสปรง จะได
163
รปท 6-5 แสดงมวลยดตดกบปรง
F = -m2x = -kx …..(6-7)
ดงนน = mk
…..(6-8)
จากสมการท (6-7) จะเหนวาแรงของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกจะเปน
สดสวนโดยตรงและมทศตรงกนขามกบการกระจด สมการของคาบในสมการท (6-2) สามารถเขยน
ใหมไดเปน
T = 2km
…..(6-9)
และความถ f = mk
π2
1 …..(6-10)
เนองจากพลงงานจลนของอนภาคมวล m ทกาลงเคลอนทดวยความเรว v เทากบ
Ek = 21
mv2 …..(6-10)
เมอแทนคาความเรวจากสมการท (6-3) ลงในสมการท (6-11) จะไดพลงงานจลนเปน
Ek = 21
mv2 = 21
m2A2 cos2(t + ) …..(6-12)
เนองจาก sin2 + cos2 = 1 และ x = Asin(t+) เราสามารถเขยนพลงงานจลน
ของอนภาคมวล m ใหมได
Ek = 21
m2A2 [1 - sin2(t + )]
หรอ Ek = 21
m2[A2 - x2] …..(6-13)
164
จะเหนวาพลงงานจลนมคามากทสดทจดสมดลเมอ x = 0 และมคานอยทสด คอ
ศนย เมอการกระจด x = +A สาหรบการหาคาพลงงานศกย EP เราสามารถใชสมการ
F = -dx
dE P
และจากสมการท (6-7) เมอแทนคาแรง F แลวอนทเกรตจากพลงงานศกยเรมตน
ณ จดกาเนดหรอตาแหนงสมดลไปยงพลงงานศกย ณ ตาแหนง x ใด ๆ จะได
PE
0PdE = dxkx
x
0
EP = 21
kx2 = 21
m2x2 …..(6-14)
ดงนนพลงงานศกยทมคานอยทสดเปนศนย ณ ตาแหนงสมดล หรอตาแหนง x = 0
และจะมคาเพมขนและมากทสดเมออนภาคเคลอนทจากตาแหนงสมดล จนการกระจด x = +A และ
เมอรวมสมการท (6-13) กบ (6-14) เขาดวยกนจะไดพลงงานรวมทงหมดของการเคลอนทแบบ
ซมเปลฮารโมนกของอนภาคเปน
E = Ek + EP = 21
m2A2 = 21
kx2 …..(6-15)
แสดงวาการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกจะมคาพลงงานรวม E คงท ซงอาจ
กลาวไดวาในระหวางการแกวงนน พลงงานจลนและพลงงานศกยยอมแลกเปลยนกนในขณะท
อนภาคเคลอนทออกจากตาแหนงสมดล และพลงงานศกยลดลงเทากบพลงงานจลนทเพมขน
เมออนภาคเคลอนทเขาหาตาแหนงสมดล ความสมพนธของพลงงานและการกระจดสามารถแสดง
ไดดงรปท 6-6
รปท 6-6 แสดงความสมพนธระหวาง E EP และ Ek
(ดดแปลงจาก: Serway, Raymond A.; &John W. Jewett, 2004, p.462)
165
ในรปท 6-6 พลงงานศกย EP = 21
kx2 ซงแทนดวยเสนโคงพาราโบลาสาหรบ
พลงงานทงหมด E ทกาหนดใหไดแสดงไวดวยเสนระดบ ขดจากดของการแกวงหาไดจากจดตดกน
ของเสนระดบนกบเสนโคงของพลงงานศกย เนองจากเสนโคงพาราโบลานมลกษณะสมมาตร
ขดจากดของการแกวงจงอยทระยะการกระจด x = +A เทากนจากจด O พลงงานจลน Ek ณ จด x ใด
ๆ คอระยะทางระหวางเสนโคง EP(x) กบเสนตรง E
ตวอยางท 6-2 อนภาคมวล 0.25 kg เคลอนทแบบสนแกวงภายใตแรงเนองจากสปรงทมคาคงทของ
สปรง k = 4.0 N/m2 ถาวตถเรมตนดวยความเรว 0.4 m/s ไปทางขวาจากจดเรมตนซงอยหางจาก
จดสมดลเปนระยะทาง 0.1 m จงคานวณหา
(ก) คาบความถ และความถเชงมม (ข) พลงงานทงหมด
(ค) แอมปลจด (ง) เฟสเรมตน
(จ) ความเรวและความเรงสงสด
(ฉ) การกระจด ความเรว และความเรง เมอเวลาผานไป /8 วนาท
วธทา (ก) คานวณหา คาบ ความถ และความเรวเชงมม ตามลาดบ
T = 2km
= 2425.0
= 1.6 s
f = mk
π2
1 =
25.04
21π = 0.64 Hz
= 2f = 2 0.64 = 4 rad/s ตอบ
(ข) คานวณหา พลงงานรวมทงหมด
E = Ek + EP = 21
m20v +
21
k20x
E = 21
0.25 (0.4)2 +21 4 (0.1)2
= 0.04 J ตอบ
(ค) คานวณหาแอมปลจด จาก x = A เมอ Ek = 0 และ E = EP = 21
kA2 ดงนน
A = kE2
= 4
04.02 = 0.14 m ตอบ
(ง) คานวณเฟสเรมตนเมอการกระจดเรมตน x0 = 0.1 m จาก
sin = Ax 0
= 14.01.0
= sin4π
ดงนน เฟสเรมตน = 4π
rad ตอบ
166
(จ) คานวณความเรวสงสดขณะอนภาคอยทตาแหนงสมดลจาก
vmax = A = 4 0.14 = 0.57 m/s
และความเรงสงสดขณะวตถมการกระจด x = A
amax = 2A = 42 0.14 = 2.3 m/s2 ตอบ
(ฉ) การกระจด ความเรว และความเรง เมอเวลา t = /8 วนาท โดยพจารณาสมการ
การเคลอนทของอนภาคนแบบ SHM ดงนนสมการการกระจด ความเรว และความเรง สามารถ
เขยนได
x = A sin(t + ) = 0.14 sin(4t + 4π
)
v = A cos(t + ) = 0.57 cos(4t + 4π
)
a = -2A sin(t + ) = -2x
เมอแทนคา t แลวจะได
x = 0.14 sin(8
4 π+
4π
) = 0.10 m
v = 0.57 cos(8
4 π+
4π
) = -0.40 m/s
a = -2x = -(4)2 0.10 = -0.16 m/s2 ตอบ
6.1.2 การเคลอนทของมวลตดสปรงและลกตมนาฬกาอยางงาย
การเคลอนทของมวลตดสปรง
สปรงเมอยดกบมวล m อยทตาแหนง x = 0 และเมอดงมวล m ใหยดออก ตวสปรง
จะดงมวลกบดวยแรงขนาด F = -kx เมอ k เปนคาคงทของสปรงมหนวยเปน N/m และเมอดงมวล m
ออกไปเรอย ๆ จนถงจด ๆ หนง และเมอปลอยแรงดงแลวสปรงสามารถหดตวกลบได เรยกจดนวา
จดขดจากดความยดหยน (Elastic limit) แตถาดงสปรงนตอไปอกสปรงจะไมกลบคนสภาพเดม
และตอไปสปรงกจะขาดออกจากกน
167
รปท 6-7 การเคลอนทแบบ SHM ของมวลผกตดกบสปรง
พจารณารปท 6-7 เมอดงสปรงใหยดไปเปนระยะทาง x ซงยงไมถงจดขดจากด
ความยดหยน แลวปลอยใหสปรงดงมวลกบดวยแรง F = -kx สปรงจะดงมวล m เคลอนทกลบมา ณ
จด x = 0 ทนท แตเนองจากโมเมนตมของความเฉอยของมวล และความเรวทเกดจากแรง F = -kx
เดม จะทาใหมวล m เคลอนทเลยจดศนยไปยงจด -x ซงในสปรงจะมแรงตาน F = kx ทนท และจะ
ผลกวตถใหเคลอนทกลบมาทจดศนยอก และดวยเหตผลเดยวกบครงแรก มวลจะเคลอนทเลยจด x
และเปนเชนนเรอย ๆ ตราบใดทไมมแรงภายนอกมากระทาตอมวลน การเคลอนทของมวลน
เราเรยกวา การเคลอนทแบบฮารโมนก (Harmonic motion) และถาเขยนกราฟการเคลอนทตอเวลาท
ผานไป จะไดลกษณะกราฟเปนรป Sine curve ดงแสดงในรปท 6-7 สาหรบสมการการเคลอนท
แบบฮารโมนกสามารถเขยนหาไดจาก
F = ma = -kx
เนองจาก a = d2x/dt2 เมอแทนคาและจดเทอมใหม จะได
2
2
dt
xd+
mk
x = 0 …..(6-16)
เมอสมการท (6-16) เปนสมการการเคลอนทแบบฮารโมนก ซงมลกษณะเปนกราฟ
รปไซน (Sine curve) ดงนนถาสมมตใหคาของคาตอบ (Solution) ของสมการนเปน
x = C cos0t และ x = D sin0t …..(6-17)
168
หาอนพนธของ x จะได
2
2
dt
xd = -0 C sin0t
และ 2
2
dt
xd = -
20ω C cos0t = -
20ω x
ทานองเดยวกน
dtdx
= -0 D cos0t
และ 2
2
dt
xd = -
20ω D sin0t = -
20ω x
จะเหนวาคาของ x ทงสองในสมการท (6-17) จะไดคา 2
2
dt
xd =
20ω x เชนเดยวกน
และเมอนาไปแทนคาในสมการท (6-16) จะได
20ω =
mk
หรอ 0 = mk
…..(6-18)
แสดงวาคาคาตอบของสมการท (6-16) จะมคาของ x นาจะเปน
x = -C cos0t + D sin0t …..(6-19)
หรอเขยนในรปแบบใหม คอ
x(t) = A sin(0t + )
หรอ x(t) = A cos(0t + )
เพราะเมอหาอนพนธเทยบกบเวลากาลงสองแลวจะได 2
2
dt
xd = -
20ω x เชนเดม
เมอ เปนผลตางเฟส
ถาสมมตให และ t เปนศนย เมอใชคาตอบเปน
x(t) = A sin(0t + ) จะได x(0) = 0
แตถาใชคาตอบเปน
x(t) = A cos(0t + ) จะได x(0) = A
สาหรบตารานจะกาหนดใหใชคาตอบของสมการอนพนธอนดบสองในการอธบาย
การเคลอนทแบบฮารโมนก เมอเวลาเปนศนยคาของ x จะตองเทากบศนยดวย ดงนน
x(t) = A sin(0t + ) .....(6-20)
169
ตวอยางท 6-3 วตถมวล 2 kg ยดตดกบสปรงทมคาคงท k = 8 N/m ทเวลา t = 0 มวลอยทตาแหนง
ของการกระจด x = 0.2 m แลวปลอยใหเคลอนท จงหาสมการการเคลอนทแบบฮารโมนก
วธทา จากสมการท (6-20)
x(t) = A sin(0t + )
เมอ t = 0 x(0) = A sin
ดงนน ความเรวของมวล ณ t = 0 จะได
v(0) = dtdx
= A cos
เมอ t = 0 ในขณะท x 0 แต v(0) = 0 ดงนน จะตองเทากบ /2 และ A = 0.2 m
นนคอ
x(t) = 0.2 sin(0t + 2π
)
x(t) = 0.2 cos(0t)
แตเนองจาก 0 = mk
= 28
= 2 rad/s แทนคา จะได
x(t) = 0.2 cos(2t) ตอบ
ตวอยางท 6-4 ถานามวล m ตอกบสปรงสองตวทมคาคงท k1 และ k2 จงหาคาบของการแกวง เมอตอ
สปรงแบบอนกรมและตอแบบขนาน ดงแสดงตามรปท 6-8 กาหนดใหพนไมมความเสยดทาน
(ก) ตอสปรงแบบอนกรม (ข) ตอสปรงแบบขนาน
รปท 6-8 ตวอยางท 6-4
170
วธทา เมอตอสปรงแบบอนกรม ใหจดยดออกไปของสปรง k1 เปน x1 และของสปรง k2 เปน x2
ดงนน ระยะยดออกไปทงหมดเปน x = 1x+ 2x และจาก
F = -kx หรอ x = -kF
แตเนองจาก x = 1x+ 2x = -F
21 k1
k1
ดงนนแสดงวา k1
=
21 k1
k1
= 21
21
kkkk
จาก 0 = mk
และ 0 = Tπ2
ดงนนคาบการแกวง
T = 2km
= 221
21
kk)kk(m
ตอบ
สาหรบการตอสปรงแบบขนาน แลวทาใหสปรงยดออกเปนระยะทาง x แรงดงกบ
เนองจากสปรง k1 และของสปรง k2 เทากบ F1 = k1x และ F2 = k2x ตามลาดบ แตงแรงทกระทาตอ
มวลเปน
F = F1 + F2 = -(k1 + k2)x = -kx
แสดงวา k = k1 + k2
และคาบการแกวง T = 2km
= 221 kk
m ตอบ
ลกตมนาฬกาอยางงาย
การเคลอนทของลกตมนาฬกาอยางงาย (Simple pendulum) เปนตวอยางหนงของ
การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกประกอบดวยลกตมนาหนกมวล m ผกตดกบจด O ดวยเสนเชอก
เบามากและยาว L ดงรปท 6-9 หลกการทสาคญของการเคลอนทแบบนคอ ลกตมจะตองแกวงทามม
เลก ๆ กบแนวดงและถอวาเปนการแกวงของวตถทเปนจด
รปท 6-9 การแกวงของลกตมนาฬกา
171
เมอดงลกตมมวล m ไปยงปลายขางหนงของจดสมดล จะมแรงดงกลบ F เทากบ
F = -mg sin …..(6-21)
ถามม มคานอย ๆ การแกวงของลกตมนาฬกาจะเปนการเคลอนทแบบซมเปล
ฮารโมนก ซงคาของมม sin และสวนโคง x = L ดงนนสมการท (6-21) จะเปน
F = -mg = -L
mgx …..(6-22)
นนคอ แรงดงกลบจะเปนปฏภาคโดยตรงกบระยะทาง x และมทศทางตรงกนขาม
ซงคาคงทนกาหนดใหเทากบ k ดงนน จากสมการท (6-22) จะได k = mg/L แตเนองจาก
การเคลอนทของสปรงจะมความถตามธรรมชาต 0 = 2f0 = mk
ดงนนจะไดความถตาม
ธรรมชาตของการแกวงแบบลกตมนาฬกาเปน
0 = 2f0 = Tπ2
= mLmg
= Lg
…..(6-23)
จากสมการ (6-23) แสดงวาความถตามธรรมชาตของการแกวงแบบลกตมนาฬกา
ไมไดขนอยกบมวลของลกตมแตขนอยกบความยาว L ของลกตมนาฬกา สาหรบกรณทแอมปลจด
ของการแกวงกวางขน คาบการแกวงจะขนอยกบมม ดวย
รปท 6-10 การแปรผนของคาบของลกตมนาฬกากบแอมปลจด
การแปรผนของคาบของลกตมนาฬกา T กบแอมปลจดในพจนของคาบของ
สมการท (6-23) ซงเทากบ T = 2Lg
ทสมนยกบแอมปลจดเลกมากนน ไดแสดงไวในรปท 6-10
ใหสงเกตวาเมอแอมปลจดกวางมาก ๆ เทานน
172
จงจะเหนวา T แตกตางจาก T อยางเหนไดชด สาหรบแอมปลจดทกวางไมมาก
เกนไปนกใหอนโลมใชสตร
T = 2
2
161
1gL θ …..(6-24)
ซงมม ตองวดเปนเรเดยน สตรนเปนคาประมาณทใชไดดพอสาหรบทางปฏบต
เปนสวนมาก ตามขอเทจจรงนนพจนแกไขใหถกตอง คอ 2/16 มคานอยมากเมอแอมปลจดเลกกวา
23 จงอนโลมใหใชสตรตามสมการท (6-24) ได
ตวอยางท 6-5 ลกตมนาฬกาอนหนงมความยาว 619 mm ลกตมถกดงไปทางขวามอไกล 25 mm
จากจดสมดลแลวปลอย เรมจบเวลาเมอลกตมผานจดตาสดครงแรก จงหา
(ก) แอมปลจด ความถ คาบ และเฟสเรมตน
(ข) เวลาทลกตมมาหยดครงแรกชวขณะ
(ค) อตราเรวสงสดของลกตมในระหวางแกวง
วธทา (ก) แอมปลจด A = 0.025 m ดงนนความถ f และคาบ T จะได
f = T1
= Lg
π2
1 =
61.081.9
21π = 0.64 Hz
และ T = f1
= 64.01
= 1.6 s
สวนเฟสเรมตน = 0 ตอบ
(ข) จากสมการความเรว
v = A cos(t + ) = 2fA cos(2ft + 0)
เมออนภาคหยด แสดงวาความเรว v = 0 ดงนน
cos(2ft) = 0 = cos2π
ดงนนจะไดวา 2ft = 2π
หรอ t = 2π
f21π = 0.39 s ตอบ
(ค) ทจดสมดล อนภาคจะมอตราเรวสงสด จากสมการ
v = A cos(t + )
= 2fA cos(2ft + 0)
ในกรณนจะไดวา cos(2ft + ) = 1 ดงนน จะไดวา
173
vmax = 2fA = 2 0.64 0.025
= 0.10 m/s ตอบ
ตวอยางท 6-6 ลกตมนาฬกาจะตองยาวเทาไร จงจะมคาบการแกวง 1.0 s สาหรบแอมปลจดแคบ ๆ
ถากาหนดใหความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลกเทากบ 9.78 m/s2
วธทา จากคาบของการแกวง
T = 2gL
หรอ L = 2
2
4
gT
π
L = 2
2
4
)0.1(78.9
π
= 0.248 m
เพราะฉะนนลกตมนาฬกาจะยาว 248 mm จงจะมคาบการแกวงเทากบ 1.0 s ตอบ
6.2 หลกการรวมกนการเคลอนทแบบ SHM (Superposition of simple harmonic motion)
ตอไปนเราจะพจารณาการรวมกนไดของการเคลอนทของสองซมเปลฮารโมนก (Superposition)
หรอเรยกอกอยางหนงวา การแทรกสอด (Interference) ของการเคลอนทของสองซมเปลฮารโมนก
ซงทาใหเกดการกระจดของอนภาคไปตามเสนตรงเดยวกนหรอตางกน สาหรบในตาราน เพอเปน
ตวอยาง เราจะพจารณาการรวมกนของสองการเคลอนทแบบ SHM 3 แบบ ดงตอไปน คอ
แบบท 1: การเคลอนทของสอง SHM ทอยในแนวทางเดยวกนและความถเดยวกน
พจารณาการรวมกนไดของการเคลอนทของสอง SHM ทมการกระจดอยในแนวเสนทาง
เดยวกน และการเคลอนททงสองมความถเทากน ถากาหนดใหเฟสเรมตนของการกระจด y1 เปน
ศนย และของ y2 เปน จะไดสมการของการกระจด y1 และ y2 เปน
y1 = A1 sint
และ y2 = A2 sin(t + )
ดงนนสมการของการกระจดรวมกน จะเปน
y = y1 + y2 = A1 sint + A2 sin(t + )
ในกรณพเศษ ถา = 0 นนคอการเคลอนทของทงสอง SHM ทมเฟสตรงกน การกระจด
ลพธของการเคลอนทของสอง SHM จะรวมกนเปน
y = A1 sint + A2 sint = (A1 + A2)sint
174
y = (A1 + A2)sint = Asint …..(6-25)
ซงยงคงเปนการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกทมความถเชงมม เทากน และม
แอมปลจดลพธหรอผลรวมของแอมปลจดเปน A = A1 + A2 ดงแสดงในรปท 6-11 (ก) โดยเสนประ
ในรปแสดงกราฟของการกระจด y1 และ y2 และเสนทบแสดงกราฟของการกระจดรวม y จากรปน
จะเหนวา y มความถเชงมมเทากบความถของ y1 และ y2 และมแอมปลจดรวมเทากบผลรวมของ
แอมปลจดทงสอง
(ก) การรวมกนของสอง SHM ทมเฟสตรงกน (ข) การรวมกนของสอง SHM ทมเฟสตางกน
รปท 6-11 แสดงการรวมคลน
ในกรณ = จะไดการกระจดเปน
y1 = A1 sint
และ y2 = A2 sin(t + ) = -A2sint
ดงนนการกระจดรวมของการเคลอนทจะเปน
y = A1 sint -A2sint
y = (A1 - A2)sint …..(6-26)
ซงเปนการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนกทมความถเชงมมเทากน และมแอมปลจดรวม
เปนผลตางของแอมปลจดของการเคลอนท ดงแสดงในรปท 6-11 (ข)
สาหรบกรณท เปนมมใด ๆ ไมวาผลตางของมมเฟสจะเปนเทาใดกตาม การรวมกนของ
สอง SHM กยงคงเปนการเคลอนทแบบ SHM โดยมสมการของการกระจดเปน
y = y1 + y2 = A1 sint + A2sin(t + ) …..(6-27)
ซงสามารถเขยนเปนสมการของการกระจดรวมใหอยในรปทวไป ไดดงตอไปน
175
y = A sin(t +) …..(6-28)
โดยมม เปนผลตางของมมเฟส (Phase difference) ของการกระจด y และ y1 สวน A
เปนแอมปลจดรวมของการเคลอนทแบบ SHM ดงแสดงในรปท 6-12
รปท 6-12 การรวมกนของสอง SHM ทมความถเทากนและผลตางเฟสเปน
เมอเปรยบเทยบสมการท (6-27) และ (6-28) จะได
A sin(t +) = A1 sint + A2sin(t + ) …..(6-29)
จากตรโกณมต sin (A + B) = sinAcosB + cosAsinB ดงนน สมการท (6-29) ดานซายมอ
จะได
A sin(t +) = A sint cos + A cost sin
และดานขวามอของสมการท (6-29) คอ
A1 sint + A2sin(t + ) = A1 sint + A2 sint cos + A2cost sin
เมอนาทงสองคานแทนลงในสมการท (6-29) พรอมทงจดเทอมใหมจะได
A sint cos +A cost sin = A1 sint+A2 sint cos+A2cost sin …..(6-30)
เนองจากวาสมการนจะตองเปนจรงในเวลา t ใด ๆ ดงนนสมประสทธของ sin t
และ cos t ในแตละขางของสมการท (6-30) จะตองเทากนซงจะได
A sint cos = A1 sint + A2 sint cos …..(6-31)
A cost sin = A2cost sin …..(6-32)
สมการท (6-31) หารดวย sin t และสมการท (6-31) หารดวย cos t จะได
A cos = A1 + A2 cos …..(6-33)
176
A sin = A2 sin …..(6-34)
สมการท (6-33) และ (6-34) ยกกาลงสองแลวรวมกนจะได
A2(cos2 + sin2) = 21A + 2A1A2 cos +
22A (cos2 + sin2)
= 21A + 2A1A2 cos +
22A
หรอ A = cosAA2AA 2122
21 …..(6-35)
ตวอยางท 6-7 อนภาคตวหนงมการเคลอนทของสอง SHM พรอมกนดวยความถและทศทาง
เดยวกน ถาสมการของการการเคลอนททงสองเปน y1 = 10sin2t และ y2 = 6sin(2t+125π
) ตามลาดบ
จงหาสมการการเคลอนทรวมของการเคลอนททงสอง
วธทา เนองจากผลตางของมมเฟส คอ 125π
เรเดยนและแอมปลจดของการเคลอนทเปน A1 = 10
และ A2 = 6 ดงนน จากสมการท (6-35) จะมแอมปลจดรวมเปน
A = cosAA2AA 2122
21
= 125
cos)6102(261022 π = 12.92
และจากสมการการรวมกนของสองซมเปลฮารโมนก
y = A sin(t + )
โดย เปนผลตางของมมเฟสระหวาง y และ y1 และ ณ เวลา t = 0 จะได
y = 12.92 sin
และจาก y = y1 + y2 = 0 + 6 sin125π
= 5.79
ดงนน sin = 92.1279.5
= 0.4486
จะได = 26.5 = 0.147 rad
นนคอ สมการการรวมกนของสองซมเปลฮารโมนก จะไดเปน
y = A sin(t + )
y = 12.92 sin(2t + 0.147) ตอบ
177
แบบท 2: การเคลอนทของสอง SHM ทอยในแนวทางเดยวกนแตความถตางกน
พจารณาการเคลอนทของสองซมเปลฮารโมนกทเคลอนทในแนวทางเดยวกน แตความถ
ตางกน ดงแสดงไดดวยสมการ y1 = A1sin(1t) และ y1 = A2sin(2t) โดยมสมการของการเคลอนท
รวม คอ y = y1 + y2 ดงนนจาก Rotating vector ดงรปท 6-13
รปท 6-13 การรวมกนของสอง SHM ทมความถตางกนและผลตางเฟสเปน
จากรปท 6-13 มมระหวางเวกเตอรหมน A2 กบ A1 คอ = 2t - 1t = (2 - 1)t ซงม
คาไมคงท เพราะฉะนนเวกเตอรลพธ A จะยาวไมคงท ดงนนการเคลอนทรวม y = y1 + y2 จงไมเปน
SHM และมแอมปลจดของการเคลอนทเปน
A = )cos(AA2AA 122122
21 ωω - …..(6-36)
ซงจะมการสนแกวงระหวางคา A1 + A2 เมอ = (2 - 1)t = 2n และ A = A1 - A2 เมอผลตางเฟส = (2 - 1)t = 2n + โดยคาของ n = 1, 2, 3,... กรณเชนน เรามกจะพดวา
Amplitude modulation และมความถ Amplitude oscillation
f = πωω
2)( 12 -
= f2 - f1 …..(6-37)
ซงเทากบผลตางความถของการเคลอนททงสองทแทรกสอดกน การเปลยนแปลง
แอมปลจดกลบไปกลบมาน ตวอยางเชน สอมเสยงสองอนทมความถใกลเคยงกนตางกสนพรอมกน
ในบรเวณใกลเคยงกน ผฟงจะไดยนเสยงทมความเขมของเสยงขนลง ซงเกดเนองมาจาก
การเปลยนแปลงแอมปลจด เราเรยกปรากฏการนวา บตส (Beat)
178
รปท 6-14 บสตเมอแอมปลจดของการเคลอนททงสองเทากน
ในกรณทนาสนใจอกกรณหนงคอ เมอแอมปลจดของสอง SHM มคาเทากน A1 = A2
ดงนนสมการท (6-36) จะเขยนใหมไดเปน
A = ]t)cos(AA1[2A 12211 ωω - …..(6-36)
และจากเอกลกษณ 1+cos = 2 cos2(/2) ดงนน เราจะไดแอมปลจด เปน
A = 2A1cos2
t)( 12 ωω - …..(6-38)
ซงมคาอยระหวาง 0 กบ 2A1 และกราฟระหวาง y กบ t ไดแสดงไวในรปท 6-14 ซงเสนประ
แสดงโมดเลชน (Modulation) ของแอมปลจด
แบบท 3: การเคลอนทของสอง SHM ทอยในแนวทางตงฉากกนและความถเดยวกน
พจารณาในกรณทอนภาคอนหนงเคลอนทในระบบทมพกด x และ y ทงสองสนแกวง
แบบ SHM ถาการแกวงสนดวยความถเทากนการเคลอนทตามแนวแกน x จะเปนไปตามสมการ
x = A sin t …..(6-39)
และการเคลอนทในแนวแกน y เปนไปตามสมการ
y = B sin (t + ) …..(6-40)
เมอ ในทนเปนความตางเฟสระหวางการสนแกวงของ x และ y และสมมตวา
แอมปลจด A กบ B ตางกน จะเหนวาการกระจดของอนภาคจะจากดอยในแนวเสนตรง x = +A และ
y = +B ซงตอไปนจะพจารณากรณพเศษบางกรณ ถาการเคลอนททงสองมผลตางของมมเฟส = 0
และ y = B sin t เมอรวมกบ x = A sint จะได y/x = B/A สมการนคอ สมการของเสนตรง PQ
ในรปท 6-15 (ก) และในการเคลอนทรวมเปน SHM ทมแอมปลจด เปน 22 BA ทงนเปน
เพราะวาการกระจดในแนว PQ คอ
179
(ก) = 0 (ข) =
(ค) = /2 (ง) = 3/2
รปท 6-15 การเคลอนทของสอง SHM ทมความถเทากนแตมทศทางตงฉากซงกนและกน
r = 22
yx = 22BA sint …..(6-41)
ในทานองเดยวกนถาการเคลอนทของทงสอง SHM มทศทางตรงกนขาม = จะได
y/x = -B/A ซงเปนสมการของเสนตรง RS ในรปท 6.14 (ข) การเคลอนทยงคงเปนแบบ SHM
เชนเดม โดยมแอมปลจดเทากบ 22BA เพราะฉะนนจงอาจกลาวไดวา เมอ = 0 หรอ =
การรวมกนของสอง SHM ทตงฉากกนและมความถเทากนจะไดการเคลอนทรวมเปนการเคลอนท
ฮารโมนกเชงเสนตรง (Rectilinear harmonic motion)
แตสาหรบ = /2 เราจะเรยกการเคลอนทไปตามแนวแกน x และแกน y วา Quadrature
และไดสมการของการเคลอนทเปน
y = B sin(t + 2π
) = B cost …..(6-42)
180
เมอรวมกบสมการท 6.39 แลว จะได
2
2
A
x+ 2
2
B
y = 1 …..(6-43)
ซงเปนสมการของวงรดงแสดงในรปท 6-14 (ค) รปวงรนวนตามเขมนาฬกา ซงอาจ
ตรวจสอบไดโดยการหาความเรวของอนภาคทจด x = +A จะไดความเรวขนานกบแกน y ทจดน
ตามสมการท (6-39) จะตองไดวา sint = 1 และองคประกอบของความเรวตามแนวแกน y คอ
vy = dtdy
= -B sin(t) = -B …..(6-44)
เนองจากตดคาลบ จดทผาน A จงกาลงเคลอนทลงลาง ซงสมนยกบการหมนของเขม
นาฬกานนเอง
ถา = 3/2 หรอ = -/2 จะไดวงรเหมอนกน แตการเคลอนทจะเปนแบบทวนเขม
นาฬกา ดงรปท 6-14 (ง) ฉะนนจงอาจกลาวไดวา เมอผลตางของเฟส = +/2 แลวการรวมกน
ของสอง SHM ทมความถเดยวกนจะไดการเคลอนทเปนวงร โดยมแกนทงสองของวงรขนานกบทศ
ของการเคลอนททงสอง
เมอ A = B วงรจะเปลยนรปมาเปนวงกลม และไดการเคลอนทเปนวงกลม สาหรบผลตาง
เฟสใด ๆ การเคลอนทกยงคงเปนวงร แตแกนของรปจะหมนไปสมพทธกบแกนโคออดเนต
การเคลอนทสาหรบผลตางเฟสบางคา ไดแสดงไวดงรปท 6-16
รปท 6-16 Lissajous figure
181
ลกษณะการแทรกสอดทนาสนใจอกกรณหนง คอ การรวมกนของการเคลอนทสนแกวง
ของสอง SHM ทตงฉากกนและมความถตางกน นนคอ การเคลอนทในแนวแกน x จะเปน
x = A1 sin1t …..(6-45)
และการเคลอนทในแนวแกน y เปนไปตามสมการ
y = A2 sin(2t +) …..(6-46)
ซงแนวการเคลอนทรวมจะขนอยกบอตราสวนของ 1: 2 และขนอยกบผลตางเฟส
ดวย แนวการเคลอนทเหลานจะเรยกวา Lissajous figure ซงจะไมขอกลาวถงรายละเอยดในตาราน
6.2.1 การออสซลเลตแบบแอนฮารโมนก (Anharmonic oscillation)
การเคลอนทแบบ SHM เกดขนจากการกระทาของแรง F = -kx ซงสมนยกบ
พลงงานศกยตามความสมพนธ EP = 21
kx2 เมอ x วดจากตาแหนงสมดล โดยใหตาแหนงสมดลอยท
x0 แทนทจะอย ณ จดกาเนด ดงรปท 6-17 พลงงานศกยสามารถเขยนใหมไดเปน EP = 21
k(x-x0)2
รปท 6-17 Harmonic oscillator
กราฟของ EP เปนเสนพาราโบลาทมจดยอดเปนจดสมดลอยท x0 ถาพลงงาน
ทงหมดเทากบ E ตดกบ EP ทจด A และจด B แลวอนภาคจะสนแกวงแบบซมเปลฮารโมนก
ในระหวาง x1 กบ x2 ซงอยในตาแหนงสมมาตรเมอเทยบกบ x0
182
รปท 6-18 Anharmonic oscillator
ในกรณทพลงงานศกยไมเปนเสนโคงพาราโบลา แตมคาจดตาสดอยทจด x0
ซงเปนตาแหนงสมดล ดงรปท 6-18 ลกษณะแบบนพบไมบอยในระบบกายภาพและเปนผลมาจาก
Anharmonic oscillatory motion ถาพลงงานทงหมดเทากบ E อนภาคสนแกวงระหวาง x1 และ x2
ซงโดยทวไปจะไมสมมาตรเมอเทยบกบตาแหนงสมดล x0 ในกรณนความถจะขนอยกบพลงงาน
ตวอยางเชน พลงงานศกยของอตรกรยาระหวางอะตอมสองอะตอมซงอยในโมเลกลทมเพยงสอง
อะตอม จะมลกษณะคลายกบรปท 6-18 อะตอมทงสองตางกมการเคลอนทแบบออสซลเลตสมพทธ
การเคลอนทแบบนจะสามารถคดวาเปนการเคลอนทแบบ SHM ไดตอเมอมพลงงานตามาก แตถ
พลงงานของการสนของโมเลกลมคาเพมขน การเคลอนทจะเปลยนเปนแบบฮารโมนก และความถ
ของสนจะเปลยนไป
6.2.2 การออสซลเลตแบบแดมพ (Damp oscillation)
จากหวขอการออสซลเลตทกลาวมาแลวขางตนทงหมดถอวาไมมแรงเสยดทาน
จากภายนอกมากระทาตอออสซลเลเตอร ซงถาเปนไปตามนแลวการเคลอนทของวตถตาง ๆ เชน
ลกตมนาฬกาหรอนาหนกบนลวดสปรงจะมการออสซลเลตอยางไมหยดยง แตในความเปนจรงแล
แอมปลจดของการออสซลเลตจะคอย ๆ ลดลงจนกระทงเปนศนย ทงนเนองจากวามแรงเสยดทาน
มาตานการเคลอนท แรงเสยดทานนมกจะมาจากความตานทานของอากาศหรอแรงภายในของ
ระบบ โดยขนาดของแรงเสยดทานมกจะเปนสดสวนโดยตรงกบความเรวของวตถ แตทศทาง
ตรงกนขาม ตวอยางหนงของการเคลอนทแบบออสซลเลตแบบนไดแสดงไวในรปท 6-19
การเคลอนทเมอมแรงเสยดทานมาเกยวของ จะเรยกวา การออสซลเลตแบบแดมพ (Damp
183
oscillation) ซงเปนการเคลอนทแบบกลบไปกลบมา ซงมคาบของการสนแกวงคงท แตขนาดของ
แอมปลจดจะลดลงไปเรอย ๆ จนในทสดเปนศนย และพลงงานจะลดนอยลง
รปท 6-19 การออสซลเลต
(ทมา: Serway, Raymond A.; &John W. Jewett, 2004, p.471)
เพอความเขาใจในเรองการเคลอนทซงจานถกหนวงดวยของเหลว เราอาจคดวา
นอกเหนอจากแรงยดหยนของสปรง F = -kx แลวยอมจะมแรงอนทพยายามตานการเคลอนท
สาหรบในเรองของเหลว แรงเนองจากความหนดจะเปนแรงภายในของเหลวทพยายามตาน
การเคลอนท ซงพบวาเปนปฏภาคโดยตรงกบความเรว ดงสมการ
F
= - v
เมอ คอ ตวคงท และ v เปนความเรว สาหรบเครองหมายลบแสดงถงแรง
ตานทานการเคลอนท สวน Damping force แบบอน ๆ ทเปนสดสวนโดยตรงกบความเรวทยกกาลง
สงขน หรอมฉะนนกมความสมพนธเชงฟสกสทแตกตางออกไป อาจมสวนเกยวของอกดวยกได
แตจะไมพจารณาในทน ดงนนสมการของการออสซลเลตแบบแดมพจะพจารณาจากกฎขอทสอง
ของนวตน
F = ma
ดงนน -kx - v = ma
หรอ
m 2
2
dt
xd+
dtdx
+kx = 0 …..(6-47)
จดสมการท (6-47) ใหม จะไดเปน
2
2
dt
xd+2
dtdx
+20ω x = 0 …..(6-48)
184
โดยคา 2 = /m และ 20ω = k/m ซง 0 เปนความถตามธรรมชาตในกรณทไมม
แดมพเกดขน แตในกรณทเกดแดมพเพยงเลกนอย นนคอคา มคานอย โดย < ดงนนคาตอบ
จากการแกสมการอนพนธในสมการท (6-48) ตองใชเทคนคจากวชาแคลคลสซงจะไมแสดงวธทา
ในทน แตจะเขยนเปนตาตอบของสมการเปน
x = Ae-t sin( + ) …..(6-49)
เมอ A และมม เปนคาคงทใด ๆ และมคา
= 22
0 γω - = 2
mk γ- …..(6-50)
โดยคาของ จะนอยกวาความถตามธรรมชาต 0 ของการเคลอนทแบบไมเกด
แดมพ
จากสมการท (6-50) จะเหนวาการเกดแดมพมผลทาใหความถของการออสซลเลต
ลดลง แตคาบของการแกวงยาวขน นนคอแรงเสยดทานจะทาใหการเคลอนทชาลง แตถาไมมแรง
เสยดทาน คาของ จะเปนศนย และ จะเทากบความถตามธรรมชาต 0 นนคอ
= 0 = mk
รปท 6-20 การกระจดทเปลยนไปตามเวลา
(ทมา: Serway, Raymond A.; &John W. Jewett, 2004, p.471)
พจารณารปท 6-20 แสดงการเปลยนแปลงการกระจดของ x ไปตามเวลา t ของ
การเคลอนทแบบออสซลเลต ซงมแดมพเกดขนเพยงเลกนอย ขนาดของแอมปลจด A ของ
การเคลอนทแบบมแดมพจะขนอยกบเวลา คอ
A = Ae-t …..(6-51)
ซงแอมปลจดจะลดลงเมอเวลา t เพมขนจนกระทงลดลงเปนศนย ดงนนพลงงาน
ของวตถจะลดลงดวย พลงงานทหายไปนจะสญเสยใหกบสงแวดลอม
185
ตวอยางท 6-8 ลกตมนาฬกาอนหนงประกอบดวยทรงกลมอลมเนยมแขวนไวดวยเสนเชอกยาว
L = 1 m พบวาในเวลา 27 นาท แอมปลจดลดลงจาก 6 ไปเปน 5.4 ใหหา และจงสรปวาแรง
ตานของอากาศจะมผลตอคาบของการแกวงของลกตมนาฬกาอยางไร
วธทา จากสมการแอมปลจดของการออสซลเลตแบบแดมพ
A = Ae-t
หรอเขยนใหมในเทอม
= AA
nt1
เมอแทนคา t = 27 60 = 1.62103 s, A = 6 และ A = 5.4 จะได
= AA
nt1
= 4.5
6n
1062.1
13
= 6.56 10-4 s-1
ในกรณของลกตมนาฬกา 20ω = g/L ดงนน จากสมการท (6-50) จะได
= 22
0 γω - = 2
Lg γ-
ดงนนคาบของการแกวง
T = ωπ
2 =
2
Lg
2
γ
π
-
ซงในตวอยางน g/L = 9.8 s-2 และ 2 = 4 10-7 s-2 โดยคา 2 มคานอยมากเมอเทยบกบ
g/L สามารถตดทงได ดงนนจะไดคาบของการสนแกวงเปน
T = 2gL
= 280.91
= 2.01 s
ซงแสดงวาแรงตานของอากาศไมมผลตอคาบแตจะผลตอแอมปลจดของการแกวงของ
ลกตมนาฬกา ตอบ
6.2.3 การออสซลเลตเมอมแรงกระทา (Forced oscillation)
ถามแรงภายนอกทเปนพรออดก เชน แรงมขนาด F0cos ft มากระทาตอวตถ
และทาใหวตถนนสนแกวง โดยมคา f เปนความถเชงมม และ F0 เปนแอมปลจด ซงเราเรยก
การสนแกวงแบบนวา การออสซลเลตเมอมแรงมากระทา (Forced oscillation) สาหรบสมการของ
การเคลอนทแบบนจะเปนไปตามกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน โดยความเรงทเกดขนในกรณน
186
จะมแรงเนองจากการดงกลบของดงสปรง F = -kx แรงททาใหเกดแดมพ F = -v และแรง
ภายนอกทเปนพรออดก F0cos ft ดงนน จาก F = ma จะได
-kx - v – F0cosft = ma
หรอ ma + v + kx = F0cosft
ดงนน
m 2
2
dt
xd+
dtdx
+kx = F0cosft …..(6-52)
โดยวธเดยวกนกบการออสซลเลตแบบแดมพ จดสมการท (6-52) ใหม จะได
2
2
dt
xd+2
dtdx
+20ω x =
mF0
cosft …..(6-53)
จากสมการท (6-53) จะไดวาวตถจะออสซลเลตดวยความถเชงมมของแรงทมา
กระทา คอ f ดงนนคาตอบของสมการทเปนไปไดคาตอบหนง คอ
x = A sin(ft - ) …..(6-54)
โดย A เปนแอมปลจดของแรงออสซลเลต และ เปนเฟสเรมตน ซงแสดงวา
ระบบนจะมการออสซลเลตดวยความถของแรงทมากระทา แตมมมเฟสทตางจากแรงทมากระทา
และจะมการสนแกวงหรอออสซลเลตดวยแอมปลจดคงท
จากการกระจาย
sin(ft - ) = sinft cos - cos ft sin
แทนคา x จากสมการท (6-54) ลงในสมการท (6-53) จะเหนวาสมการท (6-54)
จะถกตองกตอเมอแอมปลจด A มคาเปน
A = 2f
2220
2f
0
4)(
m/F
ωγωω - …..(6-55)
และมมเฟสเรมตนของการกระจดเปน
= tan-1
f
20
2f
2γωωω -
…..(6-56)
ดงนนทงแอมปลจด A และมมเฟสเรมตน จะไมเปนคาใด ๆ แตจะตองมคาคงท
ซงขนอยกบความถ f ของแรงทมากระทา สาหรบความเรวของการเคลอนทแบบนจะพจารณาจาก
v = dtdx
= fA cos(ft - ) …..(6-57)
187
ซงแสดงวาแอมปลจดของความเรวคอ v0 = fA จะเหนวา Forced oscillation
ขนอยกบความถของแรงทใชกระทา สาหรบการแปรคาของ Velocity amplitude: v0 ตามความถ f
ไดแสดงไวในรปท 6-21
รปท 6-21 การแปรคาแอมผลจด
ถาความถของแรงภายนอกเทากบความถตามธรรมชาตของวตถ นนคอ f = 0 =
mk
จะไดแอมปลจด ความเรว และพลงงานจลนของการออสซลเลตมคามาก ทาใหเกดกาทอน
(Resonance) โดยทแรงทใสเขาไปและความเรวจะมมมเฟสเหมอนกนเมอ = 0 และอตราของ
การถายเทพลงงานจากแรงทใสเขาไปยงวตถทออสซลเลตจะมคามากทสด
รปท 6-22 ลกตมนาฬกาททาใหเกดกาทอน
การเกดกาทอนสามารถแสดงใหเหนไดโดยการทดลอง คอ ถาเอาเชอกชนด
เดยวกนมาทาลกตมนาฬกาหลายอนทมความยาวตางกน และแขวนอยบนเสนเชอก AB ซงเปนเสน
เชอกชนดเดยวกนกบลกตมนาฬกา ดงแสดงในรปท 6-22 ถาเราทาใหลกตม P แกวง ลกตมอก 5 อน
กจะแกวงดวย ทงนเนองจากเกดการถายทอดพลงงานจากลกตม P ไปยงลกตมทง 5 อน จาก
การแกวงของลกตมทง 5 อนทถกทาใหแกวง จะพบวาลกตมอนท 3 จะแกวงดวยแอมปลจดทมคา
มากทสด ทงนเพราะลกตมอนท 3 มความยาวเทากบลกตม P นนคอ มความถตามธรรมชาตเทากน
188
กาทอนจะเกดขนในวชาฟสกสเกอบทกสาขาวชา การกาทอนเกดในระบบทมแรง
ภายนอกมากระทา ซงแปรคาเปนคาบตามเวลา ตวอยางเชน ถาใสกาซไวในสนามไฟฟา ซงสน
แกวง (อยางกรณของคลนแมเหลกไฟฟา) กจะเกด Forced oscillation ในอะตอมทประกอบกนขน
เปนโมเลกลของกาซ เนองจากโมเลกลมความถตามธรรมชาตทแนนอน การดดกลนพลงงานจะมาก
ทสดเมอความถของสนามไฟฟาทใชเทากบความถตามธรรมชาตของโมเลกลอนใดอนหนง
โดยหลกการนเราสามารถไดรบ Vibrational spectrum ของโมเลกลได ในทานองเดยวกน
เราสามารถคดเรองอเลกตรอนในอะตอมวาเปนออสซลเลเตอรซงมความถตามธรรมชาตทแนนอน
อนหนง พลงงานทอะตอมดดกลนจากสนามไฟฟาทสนแกวงจะมากทสด เมอความถของ
สนามไฟฟาเทากบความถธรรมชาตอนหนงของอะตอม ผลกบางชนด เชน โซเดยมคลอไรด
ประกอบดวยอนภาคทมประจบวกและประจลบ ซงเรยกวา ไอออน ถาผลกถกกระทาดวย
สนามไฟฟาทสนแกวงจากภายนอก แลวไอออนบวกจะสนสมพทธกบไอออนลบ การดดกลน
พลงงานโดยผลกมคาสงสดเมอความถของสนามไฟฟาเทากบความถตามธรรมชาตของไอออนทสน
สมพทธกน ในกรณของผลกโซเดยมคลอไรดพบวามความถประมาณ 5 1012 Hz
การกาทอนทเรามกคนเคยกนดจะเกดขนเมอเราหมนหาคลนวทยใหตรงกบความถ
ของสถานวทยกระจายเสยง สถานวทยกระจายเสยงทกสถานจะผลต Forced oscillation บนวงจร
ของเครองรบวทยตลอดเวลา เมอหมนใหไดความถเทากบความถของสถานวทยแลว การดดกลน
พลงงานกจะมากทสด และเปนสถานเดยวเทานนทเราไดยนเสยง ถาสองสถานใชความถใกลเคยง
กนมาก บางทจงไดยนเสยงสองสถานในเวลาเดยวกน การเหลอมลาของความถนเปนผลใหเกด
การแทรกสอดขน
เราสามารถขยายความคดเรองการกาทอนแกกระบวนการ หรอกรรมวธซงเปน
เงอนไขทเหมาะ แกการถายเทพลงงานจากระบบหนงไปสอกระบบหนง แมจะไมสามารถบอก
กระบวนการนนในพจนของ Forced oscillation ไดกตาม ในความหมายนทาใหสามารถพดเรอง
การกาทอนในปฏกรยานวเคลยรและในขบวนการทเกดในอนภาคมลฐานได
189
แบบฝกหด
1. วตถมการเคลอนทแบบ SHM ซงมระยะการกระจดทขนกบเวลา คอ x(t) = 10sin(2t + )
เมอ x มหนวยเปนเมตร และเวลา t เปนวนาท จงหา
(ก) ความถและคาบของการเคลอนท
(ข) แอมปลจดและเฟสคงทของการเคลอนท
(ค) ระยะกระจดทเวลา t = 0.2 s
(ง) ความเรวและความเรงเมอ t = 2π
2. ถาปลอยลกเทนนสมวล 200 g สงจากพน 2 m เมอลกเทนนสตกกระทบพนมความยดหยน
อยางสมบรณ และไมคดแรงเสยดทานของอากาศ ลกเทนนสจะเคลอนทกลบไปกลบมาดวย
ความถ 3 รอบตอวนาท จงหา
(ก) คาบของการเคลอนท
(ข) ความเรว และความเรงของลกเทนนส
3. ลกเหลกมวล 100 g นามาเชอมตดกบสปรงซงมคาคงท 10 N/m และเมอกดสปรงจากตาแหนง
สมดลเปนระยะทาง x = 5 cm แลวปลอยใหเคลอนทตามแนวดง ถาการเคลอนทไมมแรงเสยด
ทานของอากาศ จงหา
(ก) คาบของการเคลอนท
(ข) ความเรวและความเรงสงสด
(ค) ฟงกชนของระยะการกระจด ความเรว และความเรงเมอเวลาใด ๆ
(ง) ความเรว และความเรงทระยะ 3 cm จากจดสมดล
(จ) เวลาทใชเคลอนทจาก x = 0 ถง x = 3 cm
(ฉ) ฟงกชนของพลงงานจลน และพลงงานศกยทเวลาใด ๆ
4. เมออนภาคเคลอนทแบบ SHM ตามแนวแกน x จากจดเรมตนไปทางขวามอ ซงมแอมปลจด 5
cm และมความถ 4 Hz
(ก) จงแสดงวาระยะกระจดของการเคลอนท คอ x = 10sin(4t) ในหนวย cgs
(ข) จงหาความเรวและความเรงสงสด
(ค) จงหาระยะทอนภาคเคลอนทไดจาก t = 0 ถง t = 1 s
5. การแกวงของลกตมนาฬกาอยางงายมคาบเทากบ 4 วนาท จงหาความยาวของเสนเชอก และ
คาบการแกวง เมอนาไปแกวงทดวงจนทรซงมคาความโนมถวงเทากบ 1.5 m/s2
190
6. ลกตมนาฬกาอยางงายใชลกเหลกมวล 400 g และเชอกยาว 1 m จงหาคาบทเปลยนแปลงไป
เมอคาความเรงเนองจากแรงโนมถวงเปลยนจาก 10 m/s2 เปน 9.8 m/s2
7. เมอนามวล 1 kg ยดตดกบสปรงทมมวลนอยมาก และมคาคาบการเคลอนทเทากบ 1 s ถานา
มวลทไมทราบคามาเชอมตดแทนจะมคาบของการเคลอนทเปน 2 s จงหา
(ก) มวลไมทราบคาน
(ข) คาคงทของสปรง
8. เมอนามวล 200 g ไปตดทปลายสปรงซงมคาคงท 300 N/m ถาระยะการกระจดเรมตนเทากบ
20 cmเมอมแรงกระทา F = -bv จะทาใหแอมปลจดลดลงเปน 10 cm ในเวลา 2 วนาท จงหา
คาคงท b
9. สมการทวไปของการเคลอนทแบบ SHM คอ x = Asin(t + 0) ซงสามารถเขยนใหมในรป
ของ x = B sint + C cost
(ก) จงเขยนแอมปลจด B และ C ในเทอมของแอมปลจด A และ Bและมมเฟสเรมตน 0
(ข) จงแสดงแอมปลจด B และ C ในรปของเวกเตอรหมน
10. สปรงสองอนมความยาวเทากน และคาคงทของสปรงตางกน คอ k1 และ k2 ผกตดกบวตถมวล
m ซงวางอยบนพนระนาบทไมมแรงเสยดทาน จงหาคาคงทของสปรงรวมในแตละกรณ
ซงแสดงไวดงรป (ก) และรป (ข)
(ก) (ข)
รปภาพ สาหรบโจทกขอท 10
11. อนภาคสองตวมการเคลอนทแบบ SHM ซงเคลอนทดวยแอมปลจด และความถเดยวกนไป
ตามแนวเสนตรงเดยวกน ในแตละครงทอนภาคทงสองเคลอนทผานซงกนและกน
ในทศทางตรงขามกน การกระจดจะเทากบครงหนงของแอมปลจด จงหาผลตางของมมเฟส
ระหวางอนภาคทงสอง
191
12. จงหาสมการของทางเดนของการเคลอนทรวมของอนภาคทมการเคลอนทแบบ SHM ทตงฉาก
กน และมสมการของการเคลอนทเปน x = 4sint และ y = 3sin(t +) โดยในแตละกรณ
ใหเขยนกราฟเสนทางเดน และวถการเคลอนทของอนภาคเมอ เทากบ 0, /2 และ
13. จงหาสมการการเคลอนทของการรวมกนไดของสองคลน SHM ทขนานกนและมสมการ
การเคลอนทเปน x1 = 2sin(t + 3/2) และ x2 = 3sin(t + /2)
14. สปรงเบามากเสนหนง มคาคงทของสปรงเทากบ 7 N/m ถกตดแบงครงเปนสองเสน
รปภาพ สาหรบโจทกขอท 14
(ก) จงหาคาคงทของสปรงแตละเสน
(ข) ถาใชสปรงทถกตดแบงครงสองเสนมายดวตถมวล M ดงรป และระบบนสนดวยความถ 3
Hz จงหาคามวล M
15. จงเขยนสมการของการเคลอนทแบบ SHM ของ Oscillator เนองจากมแรง F = F0cosft
มากระทา และจงแสดงใหเหนวารากของสมการน คอ
x = )(m
F2f
20
0
ωω -cosft
192
16. ลกตมความยาว L และมมวล M มสปรงทมคาคงท k ตดอยหางจากจดแขวน h ดงรป จงหา
ความถของการเคลอนทของระบบมวลน กาหนดให นอยมาก ๆ
รปภาพ สาหรบโจทกขอท 16
17. จงหาความถสนพอง (Resonance frequency) ของระบบมวล ดงรป
รปภาพ สาหรบโจทกขอท 17