บทท 1

เวกเตอร (Vector)

บทนา

เวกเตอร เปนปรมาณทางกายภาพทบอกทงขนาดและทศทาง ตวอยางปรมาณเวกเตอร

ไดแก การกระจด ความเรว ความเรง และแรง ในบทนจะศกษาพชคณตเวกเตอร การรวมเวกเตอร

การคณเวกเตอร นกศกษาจงจาเปนตองทาความเขาใจในเรองดงกลาว ไมวาจะเปนการวเคราะห

เวกเตอรเชงกราฟ วเคราะหเชงพชคณต และการคณเวกเตอร

1.1 พชคณตเวกเตอร (Vectors algebra)

ในทางฟสกสและวศวกรรมศาสตรนน การทราบจานวนและหนวยของปรมาณใด

ปรมาณหนงจะไมเพยงพอสาหรบอธบายปรมาณนน ๆ ใหสมบรณได เชน การเดนไปทางทศเหนอ

3 กโลเมตร ยอมมตาแหนงแตกตางจากการเดนไปทางทศตะวนออก 3 กโลเมตร การกลาวเพยงสน ๆ

วาไดเดนทางไป 3 กโลเมตร จะไมสามารถบอกตาแหนงสดทายได ถาไมทราบทศของการเดน

ตาแหนงทเปลยนไปนเรยกวา การกระจด (Displacement) ซงเรยกปรมาณทมทง ขนาด (Magnitude)

และทศทาง (Direction) วา ปรมาณเวกเตอร (Vector quantity) เชน ความเรว ความเรง แรง ฯลฯ

สวนปรมาณทมเฉพาะขนาดเพยงอยางเดยวจะเรยกวา ปรมาณสเกลาร (Scalar quantity) เชน มวล

ปรมาตร ความหนาแนน ความดน อณหภม ฯลฯ การคานวณทางคณตศาสตรของปรมาณสเกลาร

จะเหมอนกบการคานวณทวไป สวนการคานวณปรมาณเวกเตอร จะตองคานงถงทศทางของ

ปรมาณนนดวย จงเรยกการคานวณแบบนวา พชคณตเวกเตอร (Vector algebra) ซงจะกลาวอยาง

ละเอยดตอไป

1.1.1 ปรมาณสเกลาร (Scalar quantity)

ปรมาณสเกลาร คอ ปรมาณทมแตขนาดเพยงอยางเดยว ไมมทศทาง ตวอยางเชน

เวลา อณหภม ประจไฟฟา พลงงาน และปรมาตร เปนตน ดงนนปรมาณสเกลารจงเปนปรมาณ

ตาง ๆ ทบอกแตเพยงขนาดเพยงอยางเดยวกเปนทเขาใจไดอยางสมบรณได

1.1.2 ปรมาณเวกเตอร (Vector quantity)

ปรมาณเวกเตอร คอ ปรมาณทมทงขนาดและทศทาง ซงอาจเขยนแทนดวยลกศร

โดยความยาวลกศรจะแสดงขนาดและหวลกศรแสดงทศทางของเวกเตอรนน ๆ นอกจากนเรายง

สามารถเขยนเวกเตอรได โดยการกาหนดขนาดเวกเตอรดวยตวอกษรโรมนทมหวลกศรกากบ

2

หรอเขยนเปนตวตวหนา (ตวทบ) กได ดงเชนรปท 1-2 (ในตารานจะใชสญลกษณ A

แทนเวกเตอร

A หรอ B

แทนเวกเตอร B)

ก) การไหลของของไหล ข) เวกเตอรของแรง

ค) สนามแมเหลก ง) การกระจด

รปท 1-1 แสดงปรมาณเวกเตอรแบบตาง ๆ

รปท 1-2 สญลกษณของปรมาณเวกเตอร

ซงความยาวของลกศรแทนขนาด

และหวลกศรแทนทศทางของเวกเตอร

รปท 1-3 แสดงเวกเตอรการกระจด

ในรปท 1.3 ถาเวกเตอร A

แทนการกระจดขนาด 5 km จากจด O ไปยงจด P ใน

ทศตะวนออกเฉยงเหนอ จดเรมตน O คอหางลกศร เรยกวาจดกาเนดของเวกเตอร สวน P คอจด

3

หวลกศร เปนจดปลายของเวกเตอร ดงนนจงเขยนเวกเตอร A

แทนดวย OP ได คอการลากเสนจาก

จดเรมตน O ไปจดปลาย P โดยมลกศรกากบไวทปลายเสน

ขนาดของเวกเตอร A

เขยนเปนคาสมบรณ A

= A

= 5 km หรออกษรโรมน

ตวปกต A ซงเปนอกษรตวเดยวกนนนเอง ในการเขยนสญลกษณแทนปรมาณเวกเตอรดวยลายมอ

หรอพมพดดตองมลกศรกากบไวดวยเสมอ สวนในตารานนจะใชสญลกษณเปนอกษรโรมนตวหนา

แทนเวกเตอร

1.1.3 องคประกอบเวกเตอร (Vector component)

ในระบบพกดฉากของระนาบ xy ถากาหนดเวกเตอร A

ทามม กบแนวแกน x

ดงรปท 1.4 องคประกอบของเวกเตอร A

ตามแนวแกน x คอ xA

และแกน y คอ yA

ซงสามารถ

เขยนใหอยในรปเวกเตอรในระบบแกนพกดฉาก ได คอ

รปท 1-4 แสดงองคประกอบของเวกเตอร A

ในระนาบ xy

A

= xA

+ yA

= Ax i + Ay j …..(1.1)

เมอ i และ j คอเทอมทกาหนดเฉพาะเพอบงบอกทศทางซงมขนาดเทากบหนง

และไมมหนวย เรยกวา เวกเตอรหนงหนวย (Unit vector) ทชตามแนวแกน +x และแกน +y

ตามลาดบ (ตารานจะใชสญลกษณของเวกเตอรหนวยของเวกเตอรใด ๆ เปนพยญชนะตวเลกหนา

เชน เวกเตอร C

มเวกเตอรหนวยคอ c (แตตาราบางเลมอาจจะใชเวกเตอรหนวยเปน i , j, k หรอ

c กได) ดงนน

i = x

x

A

A

, j = y

y

A

A

…..(1.2)

และขนาดของเวกเตอร xA

และ yA

พจารณาจากตรโกณมต ซงมขนาดเทากบ

Ax = A cosθ, Ay = A sinθ .....(1.3)

ซงองคประกอบของเวกเตอรอาจเปนบวกหรอลบกได อนงการกาหนดแกน x และ

แกน y ถาเขยนแกน x หรอแกน y เฉย ๆ จะหมายถงชไปทางแกนบวก

4

การตงแกนพกด (Coordinate) โดยทวไปแลวจะตงใหอยในแนวระดบและแนวดง

แตในบางกรณ เชน ในกรณระนาบเอยง ใหตงแกน x ขนานกบระนาบเอยง และแกน y ตงใหตง

ฉากกบระนาบเอยง จะทาใหงายตอการคานวณ

1.2 การรวมเวกเตอร (Addition of vectors)

การรวมเวกเตอรหมายถงการนาเวกเตอรมาเรยงแบบ หางตอหว (Tail to Head)

โดยเวกเตอรลพธ R

จะเกดจากการลากจากหางเวกเตอรตวตง A

ไปยงหวเวกเตอรตวสดทาย B

ดงรปท 1-5

รปท 1-5 แสดงการรวมของสองเวกเตอรและเวกเตอรผลลพธทได

การบวกเวกเตอร เปนการรวมเวกเตอรอยางหนงซงแตกตางจากการบวกเลขทาง

คณตศาสตรทว ๆ ไป เพราะการบวกเวกเตอรจะตองคานงถงขนาดและทศทางของเวกเตอรนนดวย

เชน การบวกเวกเตอร A

กบ B

แลวไดผลลพธการบวก เปนเวกเตอร C

ซงเราสามารถเขยนเปน

สมการได

C

= A

+ B

…..(1.4)

ในการบวกเวกเตอรนน เราสามารถสลบทการบวกเวกเตอรได ซงเราเรยกวา “คณสมบต

การสลบท (Commutative) ดงนน

A

+ B

= B

+ A

.....(1-5)

ซงสามารถแสดงคณสมบตการสลบทของเวกเตอรได ดงรปท 1-6

รปท 1-6 แสดงคณสมบตการสลบทของเวกเตอร

5

รปท 1-7 แสดงการจดกลมการบวกเวกเตอร

สาหรบการบวกเวกเตอรทมมากกวา 2 เวกเตอร เราสามารถสลบกลม (Associative) ได

เชน การบวกเวกเตอร A

, B

และ C

โดยการนาเวกเตอร A

และ B

มาบวกกนกอน แลวจงนา

ผลลพธดวย C

ดงรปท 1-7 (ก) และ (ข) สวนรปท 1-7 (ค) และ (ง) เปนการบวกเวกเตอรโดยนา

เวกเตอร B

และ C

มาบวกกนกอน แลวนาผลทไดมาบวกดวยเวกเตอร A

ซงผลลพธทไดจะม

ความสมพนธ ดงสมการ

( A

+ B

) + C

= A

+ ( B

+ C

) .....(1-6)

ซงเวกเตอรในสมการท (1-6) จะมขนาดเทากนและมทศไปในทางเดยวกน

รปท 1-8 แสดงการลบเวกเตอร

(ทมา: Young, Hugh D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.37)

การลบเวกเตอรกสามารถทาไดเชนเดยวกบการบวกเวกเตอร โดยเวกเตอรทจะนามาบวก

จะเปนสวนกลบของเวกเตอร หรอมขนาดเทากบเวกเตอรลบ แตมทศทางตรงกนขาม ดงตวอยาง

การลบเวกเตอร A

ดวยเวกเตอร B

ดงรปท 1-8 (ก) โดยสวนกลบของเวกเตอร B

และไดผลลพธ

ดงรปท 1-8 (ข) ซงมความสมพนธตามสมการ

C

= A

- B

= A

+ (- B

) …..(1-7)

6

1.2.1 การคณเวกเตอรดวยสเกลาร (The product of a scalar and vector)

การคณเวกเตอรดวยปรมาณสเกลารนนแยกออกไดเปน 3 กรณ ดงน

ถาให c = 2 เปนจานวนจรง และ A

เปนเวกเตอร ผลคณระหวาง c กบ A

จะได

2 A

ถา c = -21

ผลคณ c กบ A

จะได -21

A

(ดรปท 1-9 ประกอบ)

A

A2 A

A21

รปท 1-9 แสดงการคณเวกเตอรดวยปรมาณสเกลาร

(1) ถา c > 0, c A

จะมขนาดเทากบ cA และมทศทางเดยวกบ A

(2) ถา c < 0, c A

จะมขนาดเทากบ cA แตมทศทางตรงขามกบ A

ซงการคณเวกเตอรดวยปรมาณสเกลารจะสามารถหาผลลพธไดจากกฎการบวก

ของเวกเตอรได ดงเชน

3 A

= A

+ A

+ A

ในการบวกและการลบเวกเตอรใด ๆ เราสามารถเขยนเวกเตอรนน ๆ ในรป

องคประกอบของเวกเตอรในระบบพกดฉาก (x, y, z) ได ดงรปท 1-10

jA y

kA z

θiAx

รปท 1-10 แสดงองคประกอบของเวกเตอรในระบบพกดฉาก

(ทมา: Young, Hugh D.; &Roger A. Freedman, 2016, p.45)

7

โดยองคประกอบของเวกเตอร A

ในระบบพกดฉาก สามารถเขยนในรป

A

= xA

+ yA

+ zA

= Ax i + Ay j + Az k …..(1-8)

เมอ Ax, Ay, Az คอ องคประกอบของเวกเตอร A

ตามแนวแกน x, y, z ในทศ i , j,

k ตามลาดบ โดย i , j , k เปนเวกเตอรหนวย (Unit vector) ทกาหนดตามนยามในสมการท

(1-3) และขนาดของเวกเตอร A

เทากบ

A = A

= 2z

2y

2x AAA …..(1-9)

โดยมขนาดของ Ax, Ay และ Az ตามลาดบ คอ

Ax = A sinθ sin, Ay = A cosθ, Az = A sinθ cos …..(1-10)

สาหรบองคประกอบของเวกเตอรบนระนาบ xy ใด ๆ ขนาดและทศทางของ

เวกเตอรสามารถพจารณาไดจากรปท 1-3 โดยมขนาดของเวกเตอร A

เทากบ

A = A

= 2y

2x AA …..(1-11)

และทศทาง tan θ = Ay/Ax …..(1-12)

นนคอ ถาเวกเตอร A

และ B

เปนเวกเตอรในระบบพกดฉาก โดยม C

= A

+ B

เราสามารถพจารณาการบวกของเวกเตอรไดจาก

A

= xA

+ yA

+ zA

= Ax i + Ay j + Az k

B

= xB

+ yB

+ zB

= Bx i + By j + Bz k

ดงนน

C

= xC

+ yC

+ zC

= (Ax+Bx) i + (Ay+By) j + (Az+Bz) k …..(1-13)

ในทานองเดยวกนถาตองการ C

= A

- B

เราสามารถเปลยนจากการลบเวกเตอร

ใหเปนการบวกเวกเตอร และไดผลลพธเปน

C

= A

- B

= A

+ (- B

)

และ C

= xC

+ yC

+ zC

= (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k …..(1-14)

8

ตวอยางท 1-1 ถากาหนดใหเวกเตอร A

และ B

เปนเวกเตอรบนระนาบ xy และมองคประกอบ

ของเวกเตอรเขยนไดเปน A

= 2 i - 3 j และ B

= -3 i + j จงหาขนาดและทศทางของ A

+ B

และ A

- B

B

A

รปท 1-11 ตวอยางท 1-1

จากโจทย A

= 2 i - 3 j และ B

= 3 i + j ถากาหนดให 1C

= A

+ B

ดงนน

1C

= A

+ B

= (2 i - 3 j) + (-3 i + j)

= (2 - 3) i + (-3 + 1) j = - i - 2 j

ขนาดของเวกเตอร C1 = 1C

= 22)2()1( -

= 2.24 หนวย

ทศทาง 1C

พจารณาจาก tan θ = x1

y1

C

C =

1

2

-

- = 2

θ = tan-1(2) = 63.4

นนคอ ขนาดของเวกเตอร 1C

เทากบ 1 หนวย ในทศทามม 63.4 กบแกน –x ตามเขม

นาฬกา ดงรปท 1-11 (ก) ตอบ

ในทานองเดยวกน ถากาหนดให 2C

= A

- B

ดงนน

2C

= A

- B

= (2 i - 3 j) - (-3 i + j)

= (2 + 3) i + (-3 - 1) j = 5 i - 4 j

ขนาดของเวกเตอร C2 = 2C

= 22)4)5( (- = 6.40 หนวย

ทศทาง 2C

พจารณาจาก tan θ = x2

y2

C

C =

4-

5 = -0.8 = tan-1(2) = 38.7

นนคอ ขนาดของเวกเตอร C2 เทากบ 6.40 หนวย ในทศทามม 38.7 กบแกน –x ตามเขม

นาฬกา ดงรปท 1-11 (ข) ตอบ

9

1.2.2 การหาเวกเตอรลพธโดยการสรางรป (The Geometry of Vectors Addition)

การสรางรปจากผลการรวมเวกเตอรจะเปนวธการทงายทสดในการหาเวกเตอร

ลพธ เพราะใชเพยงเครองมอและอปกรณสาหรบการวดเทานน กสามารถหาคาตอบได สวน

ความผดพลาดทเกดขนมกจะเกดจากเครองมอวดและผวดเทานน

ถากาหนดเวกเตอร A

ขนาดยาว 4 หนวย ในทศตามแนวแกน x และเวกเตอร B

ขนาดยาว 4 หนวย ในทศทามม 45 กบแนวแกน x ดงรปท 1-12 (ก) ถาตองการหาเวกเตอรลพธ R

ทเกดจาก A

+ B

เราสามารถหาโดยวธการสรางรปไดดวยการนาหาง B

มาเรยงตอกบหว A

แบบหางตอหว สาหรบเวกเตอรลพธ R

จะเกดจากการลากจากหางเวกเตอรตวตง A

ไปยง

หวเวกเตอรตวสดทาย B

จากนนนาเครองมอวดมาวดความยาวของ R

ไดเทากบ 7.39 หนวย และ

มมทเวกเตอร R

ทากบแกน +x ทวนเขมนาฬกา ประมาณ 22.5 ดงแสดงในรปท 1-12 (ข)

A

B

BAR

A

B

รปท 1-12 แสดงการรวมเวกเตอรโดยการสรางรป

1.2.3 การหาเวกเตอรลพธโดยการคานวณและแยกเวกเตอร

การหาเวกเตอรลพธโดยการคานวณจากการแยกเวกเตอร กเปนอกวธหนงทม

ความสะดวกและรวดเรว เพราะไมจาเปนตองใชเครองมอวด กสามารถหาคาตอบได ถาพจารณารป

ท 1.13 (ก) เวกเตอร A

ขนาด 4 หนวย และ B

มขนาด 4 หนวยในทศทามม 45 กบแกน x

เราสามารถแยกองคประกอบของเวกเตอร A

และ B

เปนองคประกอบของเวกเตอรตามแนวแกน

x และแกน y ไดตามลาดบ ดงตอไปน คอ A

x = 4cos 0 i , A

x = 4sin 0 i และ B

x =

4cos 45 i , B

y = 4sin 45 j ตามลาดบ

BAR

A

B

yB

xB

B

A

รปท 1-13 แสดงการหาเวกเตอรลพธโดยการแยกเวกเตอรและคานวณ

10

จากรปท 1.13 (ข) สามารถหาเวกเตอรลพธตามแนวแกน x ได

xR

= xA

+ xB

= 4cos 0 i + 4cos 45 i

= (4 + 2.83) i

= 6.83 i

และเวกเตอรลพธตามแนวแกน y เทากบ

yR

= yA

+ yB

= 4sin 0 j + 4sin 45 j

= (0 + 2.83) j

= 2.83 j

ดงนนเวกเตอรลพธ

R

= xR

+ yR

= 6.83 i + 2.83 j

R = R

= 22)83.2()83.6(

= 7.39 หนวย

และทศทางของ R

พจารณาจาก

tan θ = x

y

R

R =

83.6

83.2 = 0.414

θ = tan-1(0.414) = 22.5+ x ตอบ

1.3 การคณเวกเตอร (Multiplication of vectors)

ปรมาณทางเวกเตอรนอกจากจะนามารวมกนไดแลว เรายงสมารถนามาคณกนไดอกแตยง

ไมพบการนาเวกเตอรมาหารกน ซงผลจากการคณกนของเวกเตอรจะใหผลลพธเปน 2 ปรมาณคอ

ปรมาณทมเฉพาะขนาดเพยงอยางเดยว ซงเรยกวา ผลคณสเกลาร (Scalar product หรอ Dot

product) กบปรมาณทมทงขนาดและทศทาง เรยกวา ผลคณเวกเตอร (Vector product หรอ Cross

product)

1.3.1 ผลคณสเกลาร

ผลคณสเกลารของเวกเตอร A

และ - B

มนยามวาเปนปรมาณสเกลารทไดจาก

การคณขนาดของเวกเตอร A

กบ B

และ cosine ของมมระหวางเวกเตอรทงสองนน ดงรปท 1-14

ซงผลคณสเกลารนเขยนเปนสญลกษณไดวา A B

(อานวา A dot B) ซงมคาดงน

11

cosB

รปท 1-14 แสดงความหมายของ dot product

A B

= AB cos …..(1-15)

เมอ เปนมมระหวาง A

กบ B

และเปนมมทเลกกวา 180 หรอ 0 < < 180

อนงใหสงเกตและจาไวเสมอวา A B

จะเปนปรมาณสเกลาร

จากรปท 1-14 และนยามของผลคณสเกลาร จากสมการท 1-15 จะเหนวา A B

คอผลคณของขนาดของ A

กบเงาของ B

บน A

หรอผลคณของขนาดของ B

กบเงาของ A

บน

B

นนเอง

ถา A

เปนเวกเตอรใด ๆ ในระบบพกดฉาก ซงเขยนอยในรปขององคประกอบ

ของเวกเตอรทงสามคอ A

x, A

y, A

z ตามแนวแกน x, y และ z ไดตามลาดบ ซงจะสามารถเขยน

A

ไดดงสมการ

A

= xA

+ yA

+ zA

= Ax i + Ay j + Az k …..(1-16)

จากนยามของผลคณสเกลาร จากสมการท (1-15)

A2 = A A

= (Ax i + Ay j + Az k )(Ax i + Ay j + Az k )

= 2xA +

2yA + 2

zA = A2

เนองจากเวกเตอรหนวย i , j, k ตางกตงฉากซงกนและกน ดงนน

i i = j j = k k = 1

i j = j k = k i = 0

ดงนนขนาดของ A

จะได

A = A

= 2z

2y

2x AAA …..(1-17)

ซงจะสงเกตเหนวาสมการท (1-17) มคาเทากบสมการท (1-9) สมการท (1-16)

ถาคณเวกเตอร A

ดวย i จะได

A i = Ax = Acos

ในทานองเดยวกน ถาคณดวย j และ k จะได

12

Acos = Ay, Acos = Az

เมอ , , เปนมมทเวกเตอร A

ทากบแกน x, y และ z ตามลาดบ(ดรปท

1-15) ดงนนเราสามารถนยามความหมายของไดเรคชนโคไซน (Direction cosine) ไดเปน

cos = A

Ax , cos = A

A y , cos = A

A z …..(1-18)

รปท 1-15 แสดง Direction cosine ของเวกเตอร A

กฎตาง ๆ ของผลคณสเกลาร

1. A B

= B A

Commutative law

2. A ( B

+ C

) = A B

+ A C

Associative law

3. c( A B

) = (c A

) B

= A (c B

)

4. ถา A B

= 0 แสดงวา (1) A

หรอ B

= 0 หรอ (2) ถา A

และ B

ไมเปนศนย แสดง

วา A

ตงฉากกบ B

13

ตวอยางท 1-2 กาหนดให A

= 2 i - j + 3 k จงหาเวกเตอรหนวยของ A

และมมท A

ทากบแกน

x, y และ z ตามลาดบ

x

y

z

Ak

j

iO

รปท 1-16 ตวอยางท 1-2 แสดง Direction cosine ของเวกเตอร A

วธทา หาขนาดของ A

A = 2z

2y

2x AAA

= 222)3()1()2( - = 3.74 หนวย

ดงนนเวกเตอรหนวยของ A

หรอ a จะมคาดงน

a = A

A

= 74.3

k3ji2 -

= 0.53 i - 0.27 j + 0.80 k ตอบ

จากนยามของไดเรกชนโคไซนจะไดวา

cos = A

Ax = 74.3

2 = 0.53

cos = A

A y = 74.3

1- = -0.27

cos = A

A z = 74.3

3 = 0.80

นนคอมมท A

ทากบแกน x, y และ z ตามลาดบ คอ

= 58.0, = 105.7, = 36.9 ตอบ

14

ตวอยางท 1-3 กาหนดให A

= 2 i + 3 j และ B

= -4 i + j จงหามมระหวาง A

และ B

A

B

รปท 1-17 ตวอยางท 1-3

วธทา ขนาดของ A

หาไดจาก

A = 2y

2x AA = 22

)3()2(

= 3.6 หนวย

และขนาดของ B

หาไดจาก

B = 2y

2x BB = 22

)1()4( -

= 4.1 หนวย

และ A B

= (2 i + 3 j)(-4 i + j) = -5 หนวย

จากสมการท 1-15 จะไดวา

cos = AB

BA

= )1.4)(6.3(

5 = -0.34

หรอ = 109.80 ตอบ

1.3.2 ผลคณเวกเตอร

ผลคณเวกเตอรของเวกเตอร A

และ B

ใด ๆ มนยามเปนปรมาณเวกเตอร ซงม

ขนาดเทากบผลคณของขนาดเวกเตอร A

กบ B

และ sine ของมมระหวางเวกเตอรทงสอง โดยม

ทศตงฉากกบระนาบทฟอรมขนโดยเวกเตอร A

และ B

เขยนเปนสญลกษณไดวา A B

(อานวา

A cross B) และมคาดงน

C

= A B

= AB sin n …..(1-19)

15

รปท 1-18 แสดงระบบมอขวาหรอแบบเกลยวขวา (Right-handed system)

(ทมา: Hugh D. Young, Roger A. Freedman, 2016, p.46)

เมอ 0 < θ < 180 และทศทางของเวกเตอร C

เขยนแสดงไว ดงรปท 1-18 ตาม

ระบบมอขวาหรอแบบเกลยวขวา (Right–handed system) สวนขนาดของ A B

จะมคาเทากบ

พนทของรปสเหลยมดานขนานทมดานประกอบดวยเวกเตอรทงสอง ดงแสดงใหเหนดงรปท 1-19

A

B

θn

θC

รปท 1-19 แสดงความหมายของ Cross product ทเกดจาก AB

โดยทวไปเวกเตอรสามอน A

, B

และ C

ซงมจดเรมตนรวมกนและไมอยใน

ระนาบเดยวกน ถา A

และ B

ทามม 0 < θ < 180 และหมนเกลยวจาก A

ไป B

ผานไปเปนมม

θ เกลยวจะเคลอนทพงไปในทศของ C

เรยกวา เกลยวขวา

สาหรบเวกเตอรในระบบแกนพกดฉากใด ๆ สามารถเขยนเวกเตอรเหลานนในรป

องคประกอบของเวกเตอรตามแนวแกน x, y และ z ได เชน

A

= Ax i + Ay j + Az k

B

= Bx i + By j + Bz k

ดงนน C

= A B

= (Ax i + Ay j + Az k ) (Bx i + By j + Bz k )

= (AyBz – AzBy) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBz) k

ทงนเพราะวา i , j และ k ตางกตงฉากซงกนและกน ดงนน

16

i i = j j = k k = 0

i j = k , j k = i , k i = j

i k = - j, j k = - i , k i = - j

อกวธหนงทสามารถหาผลคณเนองจากผลคณเวกเตอรไดเชนเดยวกบการคณ

โดยตรง กคอวธการทางเมทรกซ (Matrix) โดยใชหลกของดเทอรมแนนท (Determinant) ดงแสดง

ตอไปน

C

= A B

=

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

= (AyBz - AzBy) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k

ซงจะใหผลลพธออกมาเทากน

กฎตาง ๆ ของ Cross product

1. A B

= - B

A

Anti-commutative law

2. A ( B

+ C

) = ( A B

) + ( A

C

) Distributive law

3. c( A B

) = (c A

) B

= A (c B

) = ( A

B

) เมอ c เปนปรมาณสเกลาร

4. ถา A B

= 0 แสดงวา (1) A

หรอ B

= 0 หรอ (2) A

และ B

ขนานกน

ตวอยางท 1-4 กาหนดเวคเตอร A

= 3 i +2 j- k , A

= B

= i - j+2 k และ C

= -2 i +3 j+ k จงหา

ผลลพธของเวคเตอรทเกดจาก A ( B

+ C

) และ A ( B

+ C

)

วธทา พจารณา ( B C

) จาก

B C

=

13

211

kji

2-

-

= (-1 - 6) i + (-4 - 1) j + (3 - 2) k

= 7 i - 5 j + k

นนคอ A ( B

+ C

) = (3 i + 2 j - k ) (-7 i - 5 j + k )

= -21 - 10 - 1 = 32 หนวย

สาหรบ A ( B

+ C

) จะพจารณา ( B C

) กอน โดยเรมจากกาหนด

D

= ( B

+ C

)

17

= (1 - 2) i + (-1 +3) j + (2 + 1) k

= - i + 2 j + 3 k

นนคอ A D

=

32

3

kji

1-

1-2

= 8 i - 8 j + 8 k

และมขนาดเทากบ

DA = )8(-8)()8(

222

= 13.86 หนวย ตอบ

18

แบบฝกหด

1. ระบบพกดฉากเชงมมของจด ๆ หนงบนระนาบ xy เมอ r = 20 หนวย ทามม = 45 กบ

แนวแกน +x ไปในทศทวนเขมนาฬกา จงหาองคประกอบของเวกเตอร r ตามแนวแกน x และ

แกน y

2. กาหนดใหเวกเตอร A

= 3 i + 4 j + k และ B

= -2 i - 2 j + 3 k จงหา

(ก) A

+ B

(ข) A

- B

(ค) ขนาดของ A

+ B

และ A

- B

(ง) A B

(จ) A B

3. ในระบบพกดฉากของจด ๆ หนงอยท x = 4m, y = -5m, z = 2m จงหาคาของเวกเตอร r และมม

ในระบบพกดเชงมม และขนาดของ r

4. จงหาคาของมมท A

= 3 i + 5 j - 2 k ทากบแกน x, y และ z ตามลาดบ โดยอาศยนยามของผล

คณสเกลาร เมอกาหนดให , และ เปนมมท A

ทากบแกน x, y และ z ตามลาดบ

5. คาของ cosine ของมม , และ รไดจาก Direction cosine ซงอธบายไดดวยเวกเตอรทม

คาคงทคาหนง จงแสดงใหเหนวามมเหลานมความสมพนธดงสมการ

cos2 + cos2 + cos2 = 1

6. จงแสดงวาเวกเตอร A

= 2 i - j + 2 k และเวกเตอร B

= -2 i + 4 j + 4 k ตงฉากกน

7. จงแสดงวาเวกเตอร A

= i - 3 j + 4 k และเวกเตอร B

= -2 i + 6 j - 8 k ไมขนานกน

8. รถยนตคนหนงวงไปทางทศเหนอ 40 km และวงไปทางทศตะวนตกทามม 30 กบทศเหนอเปน

ระยะทาง 20 km จงหาการกระจดของรถยนตโดยใชกระดาษกราฟ

9. รถยนตคนหนงวงไปทางทศตะวนออก 5 km และวงไปทางทศตะวนออกเฉยงเหนอเปน

ระยะทาง 8 km และสดทายวงไปในทศตะวนตกในทศทามม 37 กบทศเหนอ จงหาขนาดและ

ทศทางของการกระจดลพธของรถยนตคนน

10. กาหนดให A

= 3 i + 4 j - 5 k , B

= 9 i - 7 j + 3 k และ C

= i - 2 j - 2 k จงคานวณหา

(ก) A ( B

+ C

)

(ข) A (2 B

- C

)